Solución de ecuaciones diferenciales

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE 
CERRO AZUL 
 
 
 
Métodos Numéricos 
ALUMNO: 
 CRISTIAN SÁNCHEZ HERNÁNDEZ 19500474 
 
UNIDAD: 5 
Solución de ecuaciones diferenciales 
DOCENTE: 
ING.SALVADOR ZAMORA GARZA 
 
CARRERA: 
INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 
 
CERRO AZUL, VER .2022 
 
6.1 Método de un paso 
Los métodos de un paso tienen por objetivo obtener una aproximación de la solución 
de un problema bien planteado de valor inicial en cada punto de la malla, basándose 
en el resultado obtenido para el punto anterior. 
¿Cómo decidir qué método aplicar? 
Hay dos cuestiones importantes que deben tenerse en cuenta al evaluar un 
algoritmo: 
• El esfuerzo computacional requerido para ejecutarlo. 
• La precisión que este esfuerzo produce. 
Para los algoritmos vistos, el mayor esfuerzo se presenta en la evaluación de f. El 
algoritmo de Euler hace una evaluación de f por paso y el de RK4 hace cuatro, 
mientras que los de Taylor, tienen la complicación de evaluar las derivadas de f en 
cada paso. Por esta razón, y dado que un método de Runge-Kutta de orden m tiene 
la misma precisión que el método de Taylor de igual orden, es que los métodos de 
Taylor no se utilizan con fines prácticos. 
Por lo dicho anteriormente, el método RK4 requiere cuatro veces más esfuerzo por 
paso. Este hecho puede resultar engañoso ya que suele obtenerse con pocos pasos 
de RK4 la misma precisión que con cientos del método de Euler. Por ejemplo, 
analicemos los resultados obtenidos al aplicar ambos procedimientos en el siguiente 
PVI: 
 
 
 
La solución exacta de este problema está dada por y = 2 + 2 t + et. El valor 
aproximado de y(1) obtenido con los métodos de Euler y Runge Kutta y con distintos 
pasos para cada uno de ellos, arrojó los resultados tabulados en la tabla siguiente: 
 
Se observa en esta tabla que al reducir el tamaño del paso en un factor 10, se 
reduce el error un factor 10 para el método de Euler, y un factor 10000 para el 
método de Runge-Kutta de orden 4. Esto es consecuencia del error global de cada 
método. 
 
Consistencia, estabilidad y convergencia 
 
Hay algunas propiedades importantes de las ecuaciones en diferencias para 
problemas de valor inicial de EDOs de primer orden que deben considerarse antes 
de que se pongan en práctica los métodos numéricos. Ellas son consistencia, 
estabilidad y convergencia. 
 
Se dice que una ecuación en diferencias es consistente con una EDO si la 
diferencia entre ambas (el error de truncamiento) se acerca a cero a medida que el 
paso h tiende a cero. En símbolos, si llamamos ti(h) al error local de truncamiento, 
podemos decir: 
 
 
Con este concepto se analiza la relación entre la ecuación diferencial y su 
formulación discreta. Cuando se conoce el error de truncamiento, es fácil probar la 
consistencia. Cuando no se conoce, debe analizarse la ecuación en diferencias 
completa para probar la consistencia, utilizando el desarrollo de Taylor. 
 
Un método es estable si produce soluciones acotadas cuando la solución exacta es 
acotada y es inestable cuando produce una solución no acotada cuando la solución 
exacta es acotada. 
 
Hay varias definiciones de estabilidad. Informalmente, se dice que un método es 
inestable si los errores en las aproximaciones crecen en forma exponencial a 
medida que el cálculo avanza. 
 
Por último, se dice que un método de la ecuación en diferencias de un paso 
es convergente respecto a la ecuación diferencial que aproxima, si 
 
 
 
Con la convergencia se analiza la relación entre la solución numérica y la solución 
exacta de la ecuación diferencial. Si se cumplen las condiciones de estabilidad y 
consistencia en un problema bien planteado, entonces podremos asegurar la 
convergencia. 
 
El método de Runge–Kutta de orden 4 no presenta inestabilidad numérica para 
valores de h suficientemente pequeños. Pero para el método de Euler estudiado no 
se puede decir lo mismo. 
Por ejemplo, utilicemos este método para resolver el problema: 
 
La solución exacta de esta ecuación está dada por y(t) = e-t, siendo una función 
acotada. 
 
La ecuación del método de Euler resulta 
 
 yn+1 = yn + h (- yn) = (1 – h) yn = G yn 
 
Aplicando reiteradamente esta fórmula podemos expresar entonces la solución 
aproximada en función de y0: 
 yn+1 = (1 – h)n+1 y0 , n = 1, …, N. 
 
Se ve en esta ecuación que la solución discreta va a ser acotada siempre que la 
constante 1-h sea menor a uno en valor absoluto. Esto implica que h debe ser menor 
a 2, aunque el comportamiento óptimo se da para valores de h entre 0 y 1. Por lo 
tanto, la solución obtenida con el método de Euler será estable siempre que h sea 
menor que 2. El hecho de que la estabilidad del método dependa del valor de h, 
hace que el método sea condicionalmente estable. 
 
Este análisis de estabilidad puede hacerse sólo para ecuaciones diferenciales 
lineales. En el caso de ecuaciones diferenciales no lineales, deben primero 
linealizarse localmente, y realizar un análisis de estabilidad en la ecuación de 
diferencias que aproxima a la ecuación diferencial linealizada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.2 Método de pasos múltiples. 
Los métodos de un paso descritos en las secciones anteriores utilizan información 
en un solo punto xi para predecir un valor de la variable dependiente yi+1 en un 
punto futuro xi+1. Procedimientos alternativos, llamados métodos multipaso, se 
basan en el conocimiento de que una vez empezado el cálculo, se tiene información 
valiosa de los puntos anteriores y esta a nuestra disposición. La curvatura de las 
líneas que conectan esos valores previos proporciona información con respecto a 
la trayectoria de la solución. Los métodos multipaso que exploraremos aprovechan 
esta información para resolver las EDO. Antes de describir las versiones de orden 
superior, presentaremos un método simple de segundo orden que sirve para 
demostrar las características generales de los procedimientos multipaso. 
Esto lo podemos demostrar mediante las siguientes graficas. 
 
 
6.3 Sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. 
En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser 
reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se introducen nuevas 
variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas 
de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias 
de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma: 
https://sites.google.com/site/metodos0123/unidad-6-ecuaciones-diferenciales-ordinarias/6-3-metodos-de-pasos-multiples/2.png?attredirects=0
 
 
 
Reducción a un sistema de primer orden 
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales de orden n con m ecuaciones: 
 
Existe un sistema equivalente de primer orden con a lo sumo (n+1)xm ecuaciones. 
Para ver esto consideremos un sistema en que intervienen m funciones 
incógnitas xi y sus n derivadas, e introduzcamos un nuevo conjunto de 
variables yi,k definidos de la siguiente manera: 
 
 
El sistema de primer orden equivalente en las variables yi,k resulta ser: 
 
 
Como ejemplo de reducción de un sistema de ecuaciones diferenciales podemos 
considerar las ecuaciones de movimiento de la mecánica newtoniana de una 
partícula que es un sistema de segundo orden con tres ecuaciones: 
http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana
 
Si se introducen tres funciones incógnitas nuevas que representan la velocidad, el 
sistema anterior se puede reducir a un sistema de primer orden y seis ecuaciones: 
(Sites google, s.f.) (Bravo, s.f.) 
 
6.4 Aplicaciones. 
 
 Las ecuaciones diferenciales tienen muchísimas aplicaciones en física, química, 
economía, biología e ingeniería. De mi paso por la universidad lo que más recuerdo 
es resolver ejercicios relacionados con el crecimiento de poblaciones. 
Antes de meternos en harina, hagamos un rápido repaso de lo que es una ecuación 
diferencial. 
Una ecuación diferenciales una ecuación en la que intervienen una función y una o 
más de sus derivadas. Si la función tiene solo una variable independiente (que son 
las que vamos a ver aquí), la ecuación se denomina «ecuación diferencial ordinaria» 
y si depende de dos o más variables independientes, las derivadas serán parciales 
y la ecuación se denominará «ecuación en derivadas parciales», en este caso, se 
pone en relación el ritmo de cambio de una variable con respecto al ritmo al que 
cambian otras. 
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria (de ahora en adelante «ecuación 
diferencial») es 
y´´+4y´−2y=4 
o escrito de otra forma 
d2ydx2+4dydx−2y=4 
Una función y=f(x) se denomina solución de una ecuación diferencial si la ecuación 
se satisface al sustituir y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas. 
Para verlo más claro, para el caso de la ecuación y´+2y=0, las funciones 
y=e−2x 
y=3e−2x 
y=12e−2x 
son soluciones. A la solución y=Ke−2x se le llama solución general, siendo K un 
número real cualquiera. 
Una vez recordado a lo que llamamos ecuaciones diferenciales, podemos decir que 
estas se utilizan mucho por ejemplo en: 
• Análisis de poblaciones: Medir como crece una población que puede ser 
de personas, árboles, bacterias, animales, etc. 
• Analisis de poblaciones depredadoras. De la universidad aún recuerdo un 
ejercicio relacionado con el crecimiento de una población de lobos. Existe 
una relación entre la población de depredadores y sus presas, si hay más 
lobos habrá menos presas y si hay menos lobos habrá más presas, pues 
estas se reproducirán mejor. Casos como este en el que tenemos dos 
poblaciones los describiríamos con un sistema de ecuaciones diferenciales. 
 
• Ley de enfriamiento de Newton: Trata sobre la velocidad con la que los 
objetos tienden a enfriarse o a calentarse para igualarse con la temperatura 
del ambiente. Esto se visualiza muy bien con el ejemplo de las tazas de café. 
Supongamos que la temperatura ambiente es de 21ºC y que tenemos una 
taza de café a 75ºC, según vaya transcurriendo el tiempo, la taza de café se 
irá enfriando hasta igualar a la temperatura del ambiente. Lo mismo ocurre si 
tenemos una taza de café a 15ºC, se irá calentando hasta llegar a los 21ºC. 
Utilizando ecuaciones diferenciales podríamos dar respuesta a preguntas del 
estilo ¿cuál será la temperatura de la taza de café después de haber 
transcurrido diéz minutos?. 
• Las mezclas en química también se pueden describir con ecuaciones 
diferenciales. Por ejemplo supongamos que tenemos un depósito con 50l de 
una solución compuesta por 90% de agua y 10% de alcohol. Se vierte en el 
depósito una segunda solución compuesta al 50% de agua y 50% de alcohol 
a una velocidad de 4l/min. Al mismo tiempo se vacía el depósito a una 
velocidad de 5l/min. Suponiendo que la solución del depósito se agita 
constantemente, ¿cuanto alcohol queda en el depósito después de 
transcurridos 10 minutos?. 
Modelado Simple de Población 
 
Vamos a representar a la población con la variable P. Pero la población depende 
del tiempo, si partimos de una población de 1000 personas, transcurrido un año la 
población puede ser más o menos. Vamos por tanto a hablar de P(t). P es una 
función que dependerá de la variable «t» 
Supongamos que nos dan más datos y nos dicen que la Tasa de Natalidad de esa 
población es del 10% anual (constante N) y que la tasa de mortalidad es del 5% 
anual (constante M). 
Esto quiere decir que transcurrio un año tendremos 0,1×1000=100 nacimientos y 
0.05×1000=50 muertes. 
Estas tasas pueden depender de la cantidad de población que haya, por ejemplo al 
haber más población podria haber menos alimento y más personas morirse. Para 
simplificar las cosas vamos a considerar que N y M son constantes y no 
cambian/varian con el tiempo. 
Vamos a llamar Δt a un intervalo de tiempo que puede ser de medio año, o de dos 
años, da igual, nosotros queremos conociendo una población en un determinado 
tiempo P(t), calcular la población P(t+Δt) , es decir, la población cuando ha 
transcurrido t+Δt 
P(t+Δt)=P(t)+nacimientos–muertes 
Pensemos en que queremos saber la población que habrá en dos años para 
concretar algo y tratar de visualizarlo mejor. 
Podríamos pensar que el número de nacimientos en dos años es 
0.1 x 1000 x 2 
0.1 por el 10%, 1000 que es la población y 2 porque es en dos años, pero no porque 
la población trascurrido el primer año es de 1000+nacimientos en un año según N 
+ muertes en un año según M, i.e: 
1000 + 0.1 x 1000 – 0.05×1000 = 1050 personas 
Es decir, después del primer año, la población que tenemos que considerar para 
obtener los nacimientos ya no es 1000 sino 1050. 
De igual forma, si en lugar de ir calculando la población cada año, la vamos 
calculando cada mes, pues esta va a ir variando un poco cada mes y vamos a ser 
más exáctos en los cálculos. 
Por resumir, 0.1 x 1000 x 2 es una aproximación «bruta» de los nacimientos 
en dos años, pero si disminuimos el tiempo considerando Δt pequeño, la 
aproximación va a ser mejor. 
Nacimientos = NP(t)Δt 
Muertes=MP(t)Δt 
La fórmula nos queda P(t+Δt)=P(t)+nacimientos–muertes 
P(t+Δt)=P(t)+NP(t)Δt–MP(t)Δt 
Vamos a dejar mejor esta ecuación/modelo que hemos obtenido. 
P(t+Δt)=P(t)+(N–M)P(t)Δt 
P(t+Δt)–P(t)=(N–M)P(t)Δt 
Ahora pasamos Δt al lado izquierdo y N-M como es una constante la vamos a llamar 
C 
P(t+Δt)–P(t)Δt=C⋅P(t) 
La expresión del lado izquierdo vemos claramete que es la definición de la derivada. 
Vamos a calcular el límite cuando Δt tiende a 0 para ser muy precisos y tener la 
fórmula de como cambia la población en cada instante, no en cada año o cada mes 
sino en cada momento. 
limΔt→0P(t+Δt)–P(t)Δt=C⋅P(t) 
El lado izquierdo es la derivada de la función P así que nos queda 
P´(t)=C⋅P(t) 
Esta ya es una ecuación diferencial porque aparece una derivada. 
Vamos a resolver esta ecuación: 
P´(t) lo podemos escribir como dPdt 
dPdt=CP 
dPP=Cdt 
∫dPP=∫Cdt 
lnP=Ct+C1 
P=eCt+C1 
P=eCteC1 
Como C1 es una constante arbitraria, eC1 sigue siendo una constante, así que lo 
vamos a escribir como K. 
P=K⋅eCt 
Esta es la función que nos da la población en cada instante t, escrito en notación de 
función queda 
P(t)=K⋅eCt 
Si nosotros tomamos el instante 0, tenemos la población al inicio. 
P(0)=K⋅eC⋅0 
P(0)=K 
Es decir, K es la población al inicio, que en nuestro caso era 1000, pero que para 
hacer la función más general vamos a llamar P(0)=P0 
P(t)=P0⋅eCt 
Con esto ya lo tenemos todo porque la constante K la conocemos K=N-M 
Resumiento, utilizando ecuacines diferenciales hemos obtenido la función que 
modela el crecimiento de una población sencilla. Digo sencilla porque naturalmente 
en el crecimiento o decrecimiento de una población hay que tener en cuenta muchos 
factores que influyen y no solo las tasas de natalidad y de mortalidad, pero a modo 
explicativo el ejemplo es suficiente. 
Ley de enfriamiento de Newton 
La ley de enfriamiento de Newton dice: «La razón de cambio de temperatura de un 
objeto, es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del ambiente» 
Supongamos que tenemos una taza de café a 75ºC y la temperatura ambiente es 
de 21ºC. Nosotros queremos medir como va cambiando la temperatura del café con 
con paso del tiempo. 
Nos ponemos a medirlo y vemos lo siguiente: 
 
Con t=0 la temperatura es 90ºC. 
Con t=10 minutos la temperatura es 45ºC. 
Con t=20 minutos la temperatura es 34ºC, al principio se enfrió más rápido que 
ahora. 
Con t=30 minutos, la temperatura es 26ºC. 
Según va pasando el tiempo, el café se va enfriando más despacio y si dejamos 
pasar más el tiempo, llegará un momento en el que la taza de café estará a la 
teperatura ambiente. Esto es lo que nos dice la ley de enfriamiento de Newton, i.e, 
que cuanto mayor sea la diferencia de temperatura entre la taza de café y la 
temperatura ambiente, más rápido se va a enfriar esta y cuanto menor sea la 
diferencia, el enfriamiento será más lento. 
Vamos a ver cómo resolver estocon ecuaciones diferenciales. 
Llamemos T(t) a la temperatura del objeto o en este caso la taza de café en el 
instante t, i.e, es una función porque esa temperatura no es constante sino que 
depende del tiempo «t». 
Vamos a representar a la constante Temperatura del Ambiente como la constante 
«A». Si somos estrictos, la temperatura del ambiente también puede ir cambiando 
según hacemos la prueba y por tanto sería una función, pero por hacerlo más 
sencillo vamos a considerar que no cambia y es constante. 
La otra cosa de la que nos habla la ley es de la razón de cambio de la temperatura, 
razón de cambio respecto al tiempo. La razón de cambio, significa derivar la función 
de la cual estamos midiedo esa razón, i.e, la razón de cambio es la derivada de la 
función temperatura. T´(t) es la razó de cambio o velocidad con la que va variando 
la temperatura. 
La ecuación diferencial que modela la ley de enfriamiento de Newton es por tanto: 
La razón de cambio (T'(t) ) es proporcianal (es decir k) a la diferencia de la 
temperatura T(t) y la temperatura del ambiente A. 
T´(t)=k⋅(T(t)−A) 
Este sería otro ejemplo de uso de ecuaciones diferenciales. 
 
 
Bibliografía 
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