fluidos

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Estática de fluidos. En todo lo visto hasta ahora, se ha dirigido la atención principalmente 
hacia la acción de fuerzas que se ejerce, entre cuerpos rígidos. En este apartado se 
desarrollará el estudio de cuerpos sometidos a fuerzas debidas a la acción de las presiones 
de los fluidos. Se llamará fluido a toda sustancia continua que, en estado de reposo, es 
incapaz de soportar una fuerza cortante. Fuerza cortante es la que es tangente a la superficie 
sobre la que se ejerce y aparece cuando en capas contiguas de fluido existen velocidades 
diferentes. Así pues, un fluido en reposo sólo puede ejercer fuerzas normales sobre una 
superficie limite. Los fluidos pueden ser gaseosos o líquidos. A 1a Estática de fluidos se le 
suele llamar Hídrostática cuando el fluido es un líquido y Aerostática cuando es un gas. 
 
(a)Presión en un fluido. La presión en un punto de un fluido 
es la misma en todas direcciones (principio de Pascal). Se 
puede poner de manifiesto este hecho considerando el 
equilibrio de un elemento triangular infinitesimal de fluido, tal 
como el representado en la figura a. Tomando la unidad sobre 
la dimensión z y llamando a las presiones sobre los tres lados 
p1, p2 y p3 el equilibrio de las fuerzas en las direcciones x e y 
podrá venir expresado por las ecuaciones. 
Figura a 
 
p2 dx dz = p3 ds dz cos θ, p1 dy dz = p3 ds dz sen θ. 
 
Como ds sen θ = dy y ds cos θ = dx, estas ecuaciones requieren que p1 = p2 = p3 = p. 
 
Girando 90° el elemento se encuentra que p4 también es igual a las otras presiones. Luego 
la presión p es la misma en todas direcciones. En este estudio no es preciso tener en cuenta 
el peso del elemento de fluido, puesto que al multiplicar el peso específico γ (peso por 
unidad de volumen) del fluido por el volumen del elemento, se obtiene un infinitésimo de 
orden superior que puede despreciarse frente a los términos de las fuerzas. 
 
En todos los fluidos en reposo, la presión es función de la dimensión vertical. Para 
determinar esta función habrá que considerar una variación de la dimensión vertical y tener 
en cuenta el peso del fluido. En la figura b puede verse un elemento diferencial de fluido en 
forma, de cilindro de eje vertical y sección recta de área dA. El sentido positivo de la 
coordenada vertical h se toma hacia abajo. La presión sobre la cara superior es p, y sobre la 
cara inferior será p más la variación de p, o sea p + dp. El peso 
del elemento es igual a su peso específico y multiplicado por su 
volumen. Las fuerzas normales a la superficie lateral no 
intervienen en él equilibrio de las fuerzas verticales y por ello no 
se han señalado. El equilibrio del elemento de fluido en la 
dirección h requiere 
Figura b 
 p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh, 
 
Esta relación diferencial indica que la presión en un fluido crece con la profundidad o 
disminuye al crecer la altura. La ecuación p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh, 
vale tanto para líquidos como para gases y está de acuerdo con los conocimientos corrientes 
de las presiones en el aire y en el agua. 
 
Los fluidos que son esencialmente incompresibles reciben el nombre de líquidos, y se 
deduce que para la mayoría de los fines prácticos se puede considerar el peso específico 
constante para todas las parte del líquido. Siendo γ constante, se puede integrar 
directamente la ecuación p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh y resulta: 
 
 p = p0 + γ h 
 
La presión p0 es la presión sobre la superficie del líquido en donde h = 0. Si p0 es debida a 
la presión atmosférica y el instrumento de medida sólo registra el incremento de presión 
sobre la atmosférica, (La presión atmosférica al nivel del mar puede considerarse de 1 
kg/cm2 y de manera más aproximada 1 033 kg/cm2), la medida da lo que se conoce con el 
nombre de “presión manométrica” que es p = γ h. 
 
Por otra parte, los gases son compresibles y en ellos el peso específico varía con la 
distancia vertical. Para la mayoría de problemas técnicos esta variación es despreciable al 
considerar la presión del gas sobre una estructura puesto que la altura de ésta, por lo 
general, sólo representa una pequeña variación de altitud. Cuando sea necesario, para 
determinar la variación de presión con la altitud se podrá utilizar la ley de los gases 
KTp γ= , donde T es la temperatura absoluta del gas y K es una constante. Sustituyendo 
)/(KTp=γ en la ecuación p dA + γ dA dh - (p + dp) dA = 0, dp = γ dh y reemplazando 
la medida hacia abajo h por la medida hacia arriba z, donde dh = -dz, se tiene 
dzpdpKT −= . Integrando entre las condiciones de presión p0 a altitud cero y la presión p 
a altitud z se tiene, en condiciones de temperatura constante, 
 
p
p
KTz 0log= 
 
Cuando la temperatura del gas no se mantiene constante con la altura, como ocurre en la 
atmósfera terrestre, deberá tenerse en cuenta el efecto de la variación de temperatura. 
 
(b) Presión hidrostática sobre superficies rectangulares sumergidas. Una superficie 
sumergida en un líquido, tal como la válvula de un aliviadero en una presa o las paredes de 
un depósito, está sometida a una presión normal a su superficie distribuida sobre ésta. En 
los problemas en que son apreciables las fuerzas ejercidas por el fluido será necesario tener 
en cuenta la fuerza resultante debida a la distribución de la presión sobre la superficie y la 
posición en la cual está aplicada dicha resultante. En los sistemas abiertos a la atmósfera 
terrestre, la presión atmosférica p0 se ejerce sobre todas las superficies y, por tanto, dará una 
resultante nula. Así pues, sólo habrá que considerar el incremento sobre la presión 
atmosférica, al que se denomina “presión manométrica”, que es p = γ h. 
 
Considerese el caso particular pero frecuente de la acción de la presión hidrostática sobre 
una placa rectangular sumergida en un líquido. En la figura c puede verse una tal placa 1-2-
3-4 con su borde superior horizontal y con el plano de la 
placa formando un ángulo θ cualquiera con el plano 
vertical. La superficie horizontal del líquido está 
representada por el plano x-y'. La presión (manométrica) 
del fluido que actúa normalmente al plano en el punto 2 
está representada por el vector 6-2 y es igual al producto 
del peso específico γ por la profundidad vertical desde la 
superficie del líquido al punto 2. La misma presión se 
ejerce sobre todos los puntos del borde, 2-3. 
 
 
 figura c 
 
En el punto 1 del borde inferior, la presión del fluido es igual al producto de γ por la 
profundidad vertical correspondiente al punto 1, y esta presión es la misma en todos los 
puntos del borde 1-4. La variación de la presión p sobre la superficie de la placa viene 
regida por la relación lineal con la profundidad y estará representada, por tanto, por la 
altura del prisma truncado 1-2-3-4-5-6-7-8 que tiene la placa como base. La fuerza 
resultante producida por esta distribución de la presión está representada por R, la cual se 
ejerce sobre un cierto punto P llamado centro de presión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 figura d figura e 
 
Está claro que las condiciones que prevalecen en la sección vertical 1-2-6-5 de la figura c 
son las mismas que en la sección 4-3-7-8 y en cualquier otra sección vertical que corte a la 
placa. Así pues, se puede analizar el problema bidimensionalmente a partir de una sección 
vertical como la 1-2-6-5 de la figura d. En esta sección, la distribución de la presión es 
trapezoidal. Sí es b la anchura horizontal de la placa, sobre el elemento de superficie 
dA = b dy se ejercerá la presión p = γ h, y el incremento de la fuerza resultante es dR = p 
dA = bp dy. Pero p dy no es más que el incremento sombreado del área trapezoidal dA', con 
lo que dR = b dA'. Por tanto, la fuerza resultante que se ejercerá sobre toda la placa podrá 
expresarse en la forma 
 
∫ ′= AdbR ´ o sea AbR′= 
 
 Hay que tener cuidado en no confundir el área física A de la placa con el área geométríca 
A' definida por la distribución trapezoidal de la presión. 
 
El área trapozoidal que representa la distribución de la presión se expresa fácilmente 
utilizando su altura media. Por tanto, la fuerza resultante R podrá escribirse en función de la 
presión media ( )212
1
pppmed += , multiplicándola por el área A de la placa. La presión 
media es también la presión existente a la profundidad media correspondiente al centroide 
O de la placa. Por tanto, otra expresión de R será 
 
AhApR med γ== 
 
donde θcosyh = . 
 
La recta soporte de la fuerza resultante R se obtiene mediante el principio de los momentos. 
Utilizando como eje de momentos el eje x (punto B en figura d) se tiene ( )∫= dypbyYR . 
Sustituyendo Addyp ′= y eliminando b se tiene 
 
∫
∫
′
′
=
Ad
Ady
Y 
 
que no es más que la coordenada centroidal del trapecio de área A'. Por tanto, desde el 
punto de vista bidimensional, la resultante R pasa por el centroide C del trapecio definido 
por la distribución de la presión sobre la sección vertical. Evidentemente, Y sitúa también 
el centroide C del prisma truncado 1-2-3-4-5-6-7-8 de la figura c por el que pasa en realidad 
la resultante R. 
 
Al tratar con una distribución trapezoidal de presión, el cálculo suele simplificarse 
considerando la resultante como compuesta por dos componentes (figura e). Se divide el 
trapecio en un rectángulo y un triángulo, considerando por separado las fuerzas 
representadas por una y otra parte. La fuerza representada por la porción rectangular se 
ejerce sobre el centro O de la placa y es R2 = p2A, siendo A el área 1-2-3-4 de la placa. La 
fuerza representada por el incremento triangular de la distribución de presión es 
( )App 212
1 − y pasa por el centroide de la porción triangular, según se indica. 
 
(e) Presión hidrostática sobre superficies cilíndricas, En el caso de una superficie curva 
sumergida, la resultante R debida a la presión distribuida lleva consigo más cálculos que en 
el caso de superficie plana. Como ejemplo considérese la superficie cilíndrica sumergida 
representada en la figura f en donde los elementos de la superficie curva son paralelos a la 
superficie horizontal x-y' del líquido. Las secciones verticales normales a la superficie dan 
todas la misma curva AB y la misma distribución de presión. Por tanto, se podrá utilizar la 
misma representación bidimensional de la figura g. Para hallar R por integración directa es 
necesario integrar las componentes x e y de dR a lo largo de la curva AB, ya que la presión 
cambia de dirección continuamente. Asi pues, 
 
 
( )∫ ∫== dypbdLpbR xx y ( )∫ ∫== dxpbdLpbR yy 
 
 
 
Figura f Figura g Figura h 
 
A continuación necesitaremos una ecuación de momentos para establecer la posición de R. 
 
A menudo resulta más sencillo otro método para hallar R. Consideremos el equilibrio del 
bloque de líquido ABC situado inmediatamente encima de la superficie y que se ha 
representado en la figura h. La resultante R aparece entonces como la reacción (opuesta) 
que la superficie ejerce sobre el bloque de líquido. Las resultantes de las presiones a lo 
largo de AC y CB son, respectivamente, px, y py, y se obtienen fácilmente. El peso W del 
bloque de líquido se calcula a partir del área ABC de su sección, multiplicándola por la 
dimensión constante b y por el peso especifico. El peso W pasa por el centroide de la 
superficie ABC. La equilibrante R quedará entonces determinada a partir de las ecuaciones 
de equilibrio aplicadas al diagrama de sólido libre del bloque de fluido. 
 
(d) Presión hidrostática sobre superficies planas de 
forma cualquiera. En la figura i puede verse una placa 
plana de forma cualquiera sumergida en un líquido. La 
superficie horizontal de éste es el plano x-y', y el plano 
de la placa forma un ángulo è con la vertical. La fuerza 
que actúa sobre una faja diferencial de área dA paralela 
a la superficie del liquido es dR = p dA = ãh dA. La 
presión p tiene el mismo valor en todos los puntos de la 
faja, puesto que no hay ninguna variación de 
profundidad a lo largo de la faja horizontal. La fuerza 
total que actúa sobre el área A se obtiene por 
integración, y es 
figura i 
 
∫ ∫ ∫=== dAhdApdRR γ 
Sustituyendo la relación centroidal ∫= dAhAh se tiene 
 
AhR γ= 
 
La cantidad hγ representa la presión que existe a la profundidad del centroide O de la 
superficie y es la presión media sobre ella. 
 
La resultante R puede también representarse geométricamente por un volumen en la forma 
indicada en la figura j. En este caso, el vector presión p se representa como altura 
correspondiente a la placa considerada como base. El volumen resultante es un cilindro 
truncado recto. La fuerza dR que actúa sobre el elemento de superficie de área dA = x dy 
da el volumen elemental dV = p dA representado por la rebanada sombreada, y la fuerza 
total es, pues, el volumen total del cilindro. Así, 
 
 
∫ ∫ === VdVdRR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura j 
 
De la ecuación AhR γ= se ve que la altura media del cilindro truncado es la presión media 
hγ que existe a una profundidad correspondiente al centroide O de la superficie sometida a 
presión. En los problemas en que no se vea fácilmente el centroide O el volumen V, se 
obtendrá R por integración directa. Así, 
 
∫ ∫ ∫=== dAxhdApdRR γγ 
 
donde, para integrar, la profundidad h y la longitud x de la faja horizontal de área 
diferencial se deben poner en función de y. 
 
El segundo requisito del análisis de la presión del fluido es la determinación de la posición 
de la fuerza resultante a fin de tener en cuenta los momentos de las fuerzas de presión. 
Utilizando el principio de los momentos, tornando como eje de momentos el eje x de la 
figura j, se tiene 
 
∫= dRyYR o sea V
dVy
Y ∫= 
 
Esta segunda relación satisface la definición de la coordenada Y del centroide del volumen 
V, y se concluye, por tanto, que la resultante R pasa por el centroide del volumen descrito 
por el área de la placa como base y la presión linealmente variable como altura. El punto P 
de la placa al que hay que aplicar R es el centro de presión. Téngase m cuenta que el centro 
de presión P y el centroide de la superficie plana O no son un mismo punto. 
 
Se puede escribir otra expresión de Y que contiene el llamado momento de inercia (será 
tratados a profundidad en futuras clases) de la superficie. Sustituyendo en la expresión del 
principio de los momentos AhR γ= , hAdR γ= , θcosyh = , θcosyh = , la expresión 
∫= dRyYR da 
 
 
Ay
dAy
Y ∫=
2
 o sea 
Ay
I
Y x= 
 
donde Ix es el momento de inercia ∫ dAy 2 de la superficie respecto al eje x paralelo en la 
superficie del líquido. El momento de inercia de la superficie puede escribirse en la forma 
AkI xx
2= donde kx es el llamado radio de giro de la superficie respecto al eje x. 
Efectuando esta sustitución, la ecuación 
Ay
I
Y x= podrá escribirse en la forma 
 
y
k
Y x
2
= 
 
La utilizaciónde las ecuaciones 
Ay
dAy
Y ∫=
2
 y 
Ay
I
Y x= exige el conocimiento de las 
propiedades de los momentos de inercia de superficies. Como en este momento no se 
supone que el lector posea dicho conocimiento, no se insitará en el estudio de las 
ecuaciones 
Ay
dAy
Y ∫=
2
 y 
Ay
I
Y x= . 
 
Al tener en cuenta el momento resultante respecto a un eje paralelo a la placa de las fuerzas 
de presión que sobre ella se ejercen, la integración directa resulta a menudo tan inmediata 
como la aplicación de las ecuaciones ∫= dRyYR , V
dVy
Y ∫= , 
Ay
dAy
Y ∫=
2
 y 
Ay
I
Y x= . Así, el momento resultante M de las fuerzas de presión respecto, por ejemplo, al 
eje x es 
 
∫ ∫== dyxhyydRM γ 
 
 
y, de nuevo, para realizar la integración, deberán ponerse en función de, y la profundidad h 
y la longitud x de la faja horizontal de área diferencial. 
 
 
Problema 5/110 Meriam 2da EdiciónLa compuerta vertical accionada por el resorte está engoznada 
por su borde superior A según un eje ho rizontal y cierra el 
extremo de un canal rectangular de agua dulce de 1,2 m de 
anchura (normal al plano del papel). Calcular la fuerza F que 
debe ejercer el resorte para limitar la profundidad del agua a h = 
1,8 m. 
 
Solución: 
 
3/1000 mkp=γ 
 
( )
2
3
/900
2
8,1/1000
mkp
mmkp
Pmedia == 
 
la resultante: 
 
( )( ) kpmmmkpAPR media 00,19442,18,1/900 2 === 
 
ubicación de la resultante: 
 
m
m
h 6,0
3
8,1 == 
 
por equilibrio 
 
 + ∑ = 0AM 
 
( ) ( ) 08,19,0 =−⋅ RmFm R 
 
 
( ) ( ) KpKpR
m
Rm
FR 388800,1944229,0
8,1 =⋅=⋅== 
 
m
m
h 6,0
3
8,1
== m
m
h 6,0
3
8,1
==
9-104. La presa de concreto está diseñada para 
que su cara AB tenga una pendiente gradual en 
el agua, como se muestra. Por esto, la fuerza 
friccional en la base BD de la presa se 
incrementa debido a la fuerza hidrostática del 
agua que actúa sobre la presa, Calcule la fuerza 
hidrostática que actúa en la cara AB de la 
presa. La presa tiene un ancho de 60 pies. ρw = 
62.4 lb/pies3. 
 
Solución: 
 
( )( )( )[ ]( )piespiespiespieslbFAB 6063,2112/4,622
1 3= 
 
 
kipFAB 486= 
 
 
 
 
 
9-112. La superficie arqueada AB tiene la forma de un cuarto 
de círculo. Si tiene una longitud de 8 m, determine las 
componentes vertical y horizontal de la fuerza resultante 
causada por el agua que actúa sobre la superficie. ρw =1.0 
Mg/m3. 
 
Solución: 
 
( )( )( )( )( ) kNmmmsmmKgF 88,470823/81.9/1000 233 == 
 
( )( )( )( )( ) kNmmmsmmKgF 88,470823/81.9/1000 232 == 
 
( )( ) ( )( )( ) kNmmmsmmKgF 96,156822
2
1
/81.9/1000 231 =



= 
 
( ) ( ) ( )( )( ) kNsmmkgmmmW 37,67/81,9/100082
4
1
2 2322 =


 −= π 
 
( ) kNkNFx 62888,47096,156 =+= 
 
( ) kNkNFy 53837,6788,470 =+= 
A C
pies18
D B
pies12
pies63,21
ABF
A
m2
W
2F
1F
3F
A
m2
W
2F
1F
3F