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INTERACCION ESTATICA SUELO 
ESTRUCTURA ANALISIS CON EL METODO 
DE ELEMENTOS FINITOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTERACCION ESTATICA SUELO 
ESTRUCTURA ANALISIS CON EL METODO 
DE ELEMENTOS FINITOS 
 
 
 
JUAN PABLO LEON ALVARADO 
Ingeniero Civil 
Graduado en la Carrera de Ingeniería Civil 
Facultad de Ingenieria 
Universidad Estatal de Cuenca 
 
 
DIRIGIDO POR: 
 
Ángel Julver Pino Velázquez 
Ingeniero Civil, Máster en Estructuras 
Universidad de Cuenca 
 
 
 
 
Cuenca-Ecuador 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEDICATORIA 
 
Para mi Esposa Priscila 
Para mis hijos León Vega 
 
 
 
 
 
 
PREFACIO 
 
Al inicio los ingenieros estructurales y hasta la fecha algunos analaizan las estructuras 
como si tuvieran un apoyo fijo, que no sufre asentamiento, o un asentamiento diferencial, pero 
no se han tomado en consideración las fuerzas internas producto de los asentamientos producto 
de la interacción suelo-estructura. 
 
La presente tesis está encaminada para aquellos colegas que quieren incluir este efecto 
en las estructuras tradicionales, además de ser un precursor de un análisis sobre rocas simples, 
ya que si algún investigador quiere desarrollar el análisis para diferentes tipos de suelos, en 
régimenes especiales. 
 
Cabe indicar que los programas tradicionales ya incluyen esta situación en las 
estructuras estudiadas, pero este producto es de desarrollo investigativo para desenvolver todos 
los principios básicos utilizados en la interacción suelo-estructura. 
 
Se presenta en esta tesis un valioso programa desarrollado en matlab, el cual es un 
valioso aporte para los tradicionales programas de enlace de elementos isoparamétricos de 
cuatro nodos, ya que la programación de estos elementos no se realiza en el pregrado por la 
complejidad que representa. 
 
Esta tesis tiene un amplio espectro, inicialmente tratamos principios básicos que se 
basan en la mecánica del medio continuo, y que se aplican en la modelación de los suelos, 
luego se analizan los elementos de interfase, y después se analiza la superestructura y sus 
ensamblajes 
 
El desarrollo del software es reslizado en Mat- Lab, y puede calcular estructuras 
aporticadas con los elementos isoparamétricos de cuatro nodos, el suelo en cualquier 
dimensión, y los ensambles de cada uno de estos a la interfase y la resolución de F=Kd. 
 
 
 
PROLOGO 
 
El estudio de la interacción suelo estructura, generalmente inicial con la concepción 
del suelo que va a servir de cimiento, para esto el análisis de los suelos es muy extenso, ya que 
se tienen diversos tipos de suelos y con comportamientos diferentes en esta obra se consideran 
los suelos que consideran la ley de Hooke (rocas), Modelo Mohr-Coulomb, Suelo Endurecido, 
modelos de suelos endurecidos con pequeñas deformaciones, modelo de suelo suave, estos 
suelos son los principales, pero tenemos comportamientos de suelos plásticos, elásticos 
hiperelasticos, hiperplásticos, y las combinaciones que nos traen extensos capítulos por 
resolver. 
 
Se tomó un suelo de comportamiento elástico lineal, para simplificar el estudio, la 
superestructura se dividió en elementos isoparamétricos de cuatro nodos, y la interfase se 
modeló como un elemento de ancho cero, con cuatro nodos, el desarrollo del software está 
explicado en la última sección de la tesis, y su desarrollo se aplica para este problema, que es 
muy común a las estructuras existentes en la actualidad. 
 
Espero sea de un aporte valioso para seguir desarrollando estas técnicas de diseño 
nuevas en si para mi desarrollo, el inicio de este estudio se puede complementar para quien 
desee desarrollar programas que calculen diversos comportamientos de suelos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AGRADECIMIENTO 
 
 A Dios sobre todas las cosas, a mi amigo Angel Julver Pino 
A toda la familia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Datos de Catalogación bibliográfica 
 JUAN PABLO LEON ALVARADO 
 Interacción estática suelo-estructura análisis con el MEF 
 Universidad Politécnica Salesiana, Cuenca-Ecuador, 2011 
 Formato 170 x 240 mm Paginas 168 
 
Breve Reseña de Autores e información de contacto 
 Juan Pablo León Alvarado 
Ingeniero Civil, Universidad de Cuenca 
Facultad de Ingenieria 
e-mail: jpconsla@hotmail.com 
 
 Ángel Julver Pino Velázquez 
Ingeniero Civil, Máster en Estructuras Universidad de Cuenca Métodos Numéricos y 
Análisis Estructural. Diseño Estructural de Edificaciones. Tecnologías Constructivas. 
e-mail: angel.pino@ucuenca.edu.ec 
 
 
 
INDICE 
INTERACCION ESTATICA SUELO-ESTRUCTURA ANALISIS CON 
EL MEF 
1. INTRODUCCION 
 
 PAG 
 
INTRODUCCION 1 
ANTECEDENTES 2 
OTROS METODOS 5 
JUSTIFICACION 5 
VIABILIDAD 6 
CONSECUENCIAS DE LA INVESTIGACION 6 
PROTOCOLO DE INVESTIGACION 7 
OBJETIVO GENERAL 9 
 
2. FORMULACION DE ECUACIONES BASICAS 
 
2.1 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 11 
2.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 14 
2.3 MEDIDAS DEL TENSOR DE TENSIONES 20 
2.3.1 TASA DE TENSION DE JAUMANN 24 
2.3.2 TASA DE TENSION DE HILL 24 
2.3.3 TASA DE TENSION DE TRUESDELL 25 
2.4 MEDIDAS DE LAS TRACCIONES EN LA SUPERFICIE 27 
2.5 ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE ESTRUCTURAS ELASTOPLASTICAS 29 
2.6 ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL PROBLEMA 33 
2.7 DISCRETIZACION POR ELEMENTOS FINITOS 36 
APENDICE A 42 
 
3. APLICACIÓN DE ELEMENTOS DE INTERFASE 
 
3.1 INTERFASE DE ELEMENTOS EN INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA 46 
3.2 FORMULACION DE ELEMENTOS DE INTERFASE 47 
3.2.1 RELACION CONSTITUTIVA 47 
3.2.2 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS 52 
 
4. SUELO 
 
4.1 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL SUELO Y SU 
MATRIZ DE RIGIDEZ 56 
4.2 CONSIDERACIONES NUMÉRICAS. (INTERACCIÓN SUELO 
-SUBESTRUCTURA) 57 
 
4.2.1 APROXIMACIÓN DE VIGA DE RESORTE 57 
4.2.2DESARROLLO DE LA FORMULACIÓN DE LA DEFORMACIÓN 
DEL SUELO POR MEDIO DE LA MECANICA DEL CONTINUO 61 
4.2.2.1 ECUACIONES BÁSICAS DE DEFORMACIÓN Y MODELOS 
 DE SUELOS 61 
4.2.2.2 LIMITACIONES DE LOS MODELOS DESCRITOS 65 
4.2.2.3 PRELIMINARES DE MODELACION DE MATERIAL 67 
4.2.2.3.1 DEFINICIÓN GENERAL DE ESFUERZOS 67 
4.2.2.3.2 DEFINICIÓN GENERAL DE DEFORMACIONES 71 
4.3. DEFORMACIONES ELASTICAS 73 
4.3.1 SUELO NO DRENADO ANALISIS DE ESFUERZOS 75 
4.3.2 ECUACIONES BÁSICAS DE DEFORMACIÓN DEL CONTINUO 78 
4.4 DISCRETIZACIÓN EN ELEMENTOS FINITOS 79 
4.5 INTEGRACIÓN IMPLICITA DE MODELOS DIFERENCIALES DE PLASTICIDAD 81
 4.5.1 PROCEDIMIENTO GLOAL ITERATIVO 84 
4.6 CONSOLIDACIÓN 85 
4.6.1 DISCRETIZACION POR ELEMENTOS FINITOS. 86 
4.7 CONSOLIDACIÓN ELASTOPLÁSTICA 90 
 
5.0 MODELACIÓN DE UNA ESTRUCTURA Y SU ANALISIS PARA 
DETERMINAR LA INTERACCIÓN DEL SUELO Y LA ESTRUCTURA. 
 
5.1 PRESENTACIÓN DEL MODELO 92 
5.2 ESTUDIO DEL ELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS 94 
5.3 RELACIÓN ENTRE ESFUERZO-DEFORMACIÓN 99 
5.4 ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ  K
 
101 
 
 6. ANÁLISIS DE ELEMENTOS DE INTERFASE 
 
6.1 TEORIA BÁSICA 104 
6.2 FORMULACIÓN CON ELEMENTOS FINITOS 107 
6.3 PROBLEMAS QUE SURGEN EN LA INTERFASE DEL 
SUELO-ESTRUCTURA 111 
6.4 CONDICIONES DE FRONTERA DEL SUELO. 112 
 
 
7.0. SUPERESTRUCTURA E INTERFASE DESARROLLO DE LAS 
MATRICES DE RIGIDEZ 
 
 
7.1 DIMENSIONAMIENTO Y NUMERACION DE NODOS DE LA 
SUPERESTRUCTURA 117 
 
 
7.2 DERIVACION DE LOS ELEMENTOS DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 
USANDO APROXIMACION DE ELEMENTOS FINITOS 123 
7.3 DESARROLLO DE LA MATRIZ DE INTERFASE 132 
7.3.1 DESARROLLO DEL PRIMER ELEMENTO DE INTERFASE 
(UNA DIMENSIÓN) 133 
7.4 ENSAMBLAJE DEMATRIZ DE RIGIDEZ DE LA MATRIZ 
 DE LA SUPERESTRUCTURA Y DE LA DE INTERFASE. 139 
7.5 MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SUELO. 140 
7.6 ENSAMBLAJE MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA 
 SUPERESTRUCTURA INTERFASE-SUELO 144 
7.6 PRESION DE TIERRA PARA CONDICIONES USUALES DE CARGA. 147 
 
8. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA 150 
 
9. CONCLUSIONES 158 
 
10. RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS 160 
 
 
BIBLIOGRAFIA 161 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 PAG 
Figura 1 Asentamiento diferencial 1 
Figura 2 Teoría Winkler 3 
Figura 3 Viga Flexible 3 
Figura 4 Viga Rígida 4 
Figura 5. Contacto entre dos cuerpos 11 
Figura 6 Rotacion de una barra bajo esfuerzos iniciales 20 
Figura 7 –Interpretación de la tasa convectiva del tensor Cauchy 22 
Figura 8 Resultados de las tres tasas de medición del tensor cauchy 26 
Figura 9 Relacion de Configuraciones t0 y t1 durante la deformación de un cuerpo 44 
Figura 10. Sistema Mohr Coulomb 48 
Figura 11 Geometria del elemento de diez nodos de interfase 52 
Figura 12 Tipos de cimentaciones 56 
Figura 13 Vigas Resorte representando al suelo 57 
Figura 14 a) modelo de winkler b) continuo elástico o inelástico 58 
Figura 15 Cimentaciones basadas en resortes de winkler y en el continuo 
 a) balsa rigida b) balsa flexible 59 
Figura 16 Modelos de elementos finitos en balsas de cimentación 60 
Figura 17 Principales modos de interacción suelo-Estructura 61 
Figura 18 Sistema de coordenadas tridimensional convención de signos 68 
Figura 19 Espacio de Esfuerzos Principales 70 
Figura 20 Modelo a estudiar (Catedral) 92 
Figura 21 Discretización del suelo 93 
Figura 22 Discretización de una viga Pared con elementos rectangulares de cuatro 
 
 nodos , definición de ejes locales r y s 94 
Figura 23 Elemento Rectangular con Fuerzas aplicadas en nodos 95 
Figura 24 Interfase Suelo estructura usando elementos finitos 104 
Figura 25 Elementos continuos para modelar la interfase 105 
Figura 26 Uso del resorte para modelar la interfase 105 
Figura 27 Uso de elementos especiales para modelar la interfase 105 
Figura 28 Elementos de interfase de seis y ocho nodos 106 
Figura 29 Elementos de interfase con seis nodos 108 
Figura 30 Origen de funciones seno y coseno 111 
Figura 31 Condiciones de frontera del suelo 112 
Figura 32 Transformación de coordenadas 116 
Figura 33 Discretización de la superestructura por elementos finitos 117 
Figura 34 Estructura analizada enlazada (suelo y superestructura) 118 
Figura 35 Superestructura 119 
Figura 36 Superestructura Discretizada 120 
Figura 37 Elemento Rectangular, modo de ingreso de datos 121 
Figura 38 Discretización utilizada en el programa en MatLab 122 
Figura 39 Elemento triangular de tres nodos 122 
Figura 40 Elemento Triangular de tres nodos usado en nuestro ejemplo 130 
Figura 41 Numeración de nodos de la superestructura 131 
Figura 42 Numeración de elementos de pilar derecho 132 
Figura 43 Primer desarrollo del elemento de interfase (Goodman-1968) 133 
Figura 44 elemento # 1 de interfase de la estructura estudiada 134 
Figura 45 Elemento de ancho cero con cuatro nodos (elemento 1 de interfase) 135 
Figura 46 Esquema de los elementos de Interfase 138 
Figura 47 nodos de enlace de interfase-suelo 140 
 
Figura 48 Numeración de elementos del suelo 141 
Figura 49 Ensamblaje de los elementos de la esquina inferior izquierda 141 
Figura 50 Ensamblaje de elementos interiores 142 
Figura 51 Ensamblaje de interfase y suelo 143 
Figura 52 Contabilización de nodos del suelo 145 
Figura 53 Numeración de nodods de Interfase 145 
Figura 54 Ensamble Interfase Suelo 146 
Figura 55 Presión de Tierra Lateral 148 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
INTERACCION ESTATICA SUELO-
ESTRUCTURA ANALISIS 
CON EL MEF 
INTRODUCCION 
 
A través del camino de la Ingeniería Civil, en los análisis estructurales de las 
cimentaciones se sintetizó el hecho de suponer que sobre estos actúan las fuerzas 
provenientes de la estructura, calculada a partir de la suposición de apoyos fijos. 
Llamaré subestructura a la cimentación, es decir a la parte de la estructura que va en la 
parte bajo el terreno, y que transmite las cargas al suelo o roca subyacente. Estos 
suelos se comprimen produciendo asentamientos. 
Los requisitos fundamentales en el cálculo común son: que el asentamiento 
total de la estructura sea pequeño, y que el asentamiento diferencial de las partes de la 
estructura se elimine. Se limitan los asentamientos transmitiendo la carga de la 
estructura hasta un estrato de suelo con resistencia suficiente y distribuyendo la carga 
sobre un área grande de este estrato para minimizar las presiones de contacto. 
Estos análisis estructurales sufren una variación a la hora de calcular las 
fuerzas internas que se generan en la estructura ya que no se ha considerado la 
interacción del suelo con la subestructura. 
 
Figura 1 Asentamiento diferencial 
 
2 
 
Para resolver este problema se han propuesto modelar el sistema suelo 
estructura, analizando la subestructura como un todo, o discretizada en elementos 
lineales, realizando diferentes modelaciones del suelo, considerándolo un medio 
discontinuo o continuo, de acuerdo a que el suelo tenga un comportamiento tenso 
deformacional lineal o no lineal. 
 
ANTECEDENTES 
 
La primera vez que fue propuesto un procedimiento considerando la 
interacción de un suelo con la subestructura fue realizado por Winkler en el año de 
1867. Este modela las cimentaciones como una viga flexible, en el cual se supone el 
terreno como un conjunto infinito de muelles situados bajo una viga deformable, la 
cimentación. La constante de deformación de cada muelle es Ks (módulo de balasto), 
valor obtenido del cociente entre la presión de contacto (q) y el desplazamiento, en 
nuestro caso (δ). 
El método se creó inicialmente para el análisis de las traviesas del ferrocarril, 
donde el balasto es la capa de grava que se tiende sobre la explanación de los 
ferrocarriles para asentar y sujetar las traviesas. El creador de este modelo de 
interacción estructura-terreno fue Winkler, y tiene múltiples aplicaciones, no sólo en 
el campo de las cimentaciones, sino en cualquiera problema que pudiese adaptarse a 
este modelo. 
La aplicación de la teoría del módulo de balasto ha ganado aceptación en los 
últimos tiempos, ya que permite una fácil asimilación del modelo de la interacción 
estructura-terreno utilizando los métodos matriciales de cálculo. 
Bastará con incluir muelles en los nudos con la rigidez correspondiente al 
balasto, en elementos lineales mediante su discretización en varias barras cuyos nudos 
incluyen bielas, en elementos superficiales mediante un emparrillado de barras con las 
bielas en los nudos. Esto ha supuesto que el método de Winkler sea el que usa la 
mayor del software de cálculo de estructuras, principalmente para vigas y losas de 
cimentación. 
Ks= q / δ 
3 
 
 
Figura 2 Teoría Winkler 
Hasta los inicios de los años 1950, la mayoría de las soluciones de los 
problemas elásticos eran resueltas por métodos analíticos formulados localmente, 
puesto que los problemas variacionales eran muy laboriosos. 
En la actualidad el uso del computador nos ha permitido resolver 
eficientemente las ecuaciones variacionales, poniendo en práctica métodos numéricos 
como el de las Diferencias Finitas, Elementos Finitos y Elementos de Contorno. 
La solución de estas ecuaciones por métodos conocidos como, el de las 
Diferencias Finitas y Elementos Finitos, han sido ampliamente estudiados y han 
servido para encontrar la solución de muchos problemas de ingeniería. 
Veamos ahora lo que pasa en la figura 2, consideremos un problema plano en 
donde unaviga se apoya sobre un suelo semi-infinito continuo y es cargada 
uniformemente, si el valor de la rigidez de la viga es bajo tendremos entonces una viga 
que presenta una deflexión mayor en el centro y de menor valor en los extremos. 
 
 
 
 
 
Figura 3 Viga Flexible 
4 
 
En el otro caso en que la viga se presente demasiado rígida comparada con el 
suelo, la deflexión a lo largo de la viga se presentará uniforme, mientras la 
distribución de presiones varia desde lo infinito en los extremos hasta un valor finito 
en el centro. Esta situación se ilustra en la figura 3. En estos casos el radio de presión 
de deflexión no es constante en la interface suelo estructura entonces los enunciados 
del valor de ks quedan demostrados. 
Con estos problemas, Pasternak en su publicación “On a New Method of 
Analysis of an Elastic Foundation by Means of Two Foundation Constants” y Vlasov 
y Leont'ev en su publicación "Vigas y Placas sobre cimentaciones elásticas”, revelan 
dos parámetros a tomar en consideración para el análisis. Pero la evaluación de estos 
nuevos parámetros trae nuevas confrontaciones con ingenieros geotécnicos. 
Realmente sabemos que el valor de ks depende de la continuidad del suelo, de la 
rigidez de la estructura y de la distribución de la carga 
 
 
 
 
Figura 4 Viga Rígida 
 
 
Muchos investigadores usan las ecuaciones de Boussinesq, asumiendo la 
continuidad del suelo como semi-infinita. Si existe la presencia de un estrato de roca 
dura en una capa finita, el concepto de uso de una masa de suelo semi-infinita puede 
traer sustanciales errores. 
Por el efecto de estas limitaciones para el análisis moderado de estructuras 
simples, el concepto de la constante de no linealidad ks es usado por ingenieros. Pero 
cuando los conceptos cambian para estructuras grandes como un presa hidráulica una 
5 
 
mejor y más detallada determinación de las rigideces del suelo basado en estas 
relaciones constitutivas, dan resultados positivos. 
 
OTROS METODOS 
 
Un alternativo y mejor método es aquel que considera al suelo como un medio 
continuo en su dominio, la resolución matemática es demasiado tediosa, pero las 
computadoras hacen el trabajo de analizar los problemas numéricos, usando métodos 
como diferencias finitas, y elementos finitos, algunos autores (21), usan el método de 
elementos finitos para resolver problemas de interacción suelo-estructura. 
Como siempre, en estos métodos crecen confusamente el número de 
incógnitas, y van más lejos cuando las discretizaciones del continuo son alteradas para 
mas correctas representaciones de el suelo continuo, es decir que si obtenemos un 
mallado más denso por decirlo así se van a tener muchas más incógnitas. El hecho de 
establecer una normal discretización en la interacción suelo-estructura resulta a veces 
problemático en el caso de que el mallado se lo haga un tanto grosero, en este caso se 
pueden tomar ciertos métodos alternativos, como es el caso del método de elementos 
de contorno. 
 
JUSTIFICACION 
 
A partir del año 1867, y hasta la fecha se vienen utilizando los cálculos 
clásicos de las estructuras, es decir se supone que la estructura está sustentada en 
apoyos fijos que no se mueven. O que tienen unos asentamientos despreciables. El 
justificativo de esta investigación es desarrollar un software en el cual se analize la 
estructura, subestructura y suelo como un solo cuerpo, y considerando la interacción 
del suelo con la cimentación modelada a partir de muelles, se calculen las reacciones 
internas de la superestructura en base a los efectos del suelo en la subestructura, se 
analizará el suelo mediante soluciones de la mecánica clásica como un medio 
continuo suponiéndolo homogéneo y linealmente deformable. Cuando el suelo se 
muestre estratificado se utilizará la mecánica de suelos clásica 
 
6 
 
VIABILIDAD 
 
El tema es de gran interés, lastimosamente no se encuentra en la bibliografía 
una modelación única del sistema suelo-estructura que permita analizar estructuras 
apoyadas en cimientos corridos a aislados, donde se considera al suelo como un medio 
continuo o discontinuo, con comportamiento tensional lineal o no lineal, pero esto 
motiva lo suficiente para que la investigación este desarrollándose en un entorno 
apasionante y totalmente moderno 
La bibliografía existente acerca de la interacción suelo estructura está 
disponible en idioma inglés, italiano, y español, con una abundante información en 
pdfs, y trabajos de tesis e investigación localizados en varios portales de ingeniería en 
internet. Además se cuenta con el apoyo y el respaldo del Ing. Julver Pino quien me ha 
dotado de un valioso escrito en donde se sintetiza la investigación ahora viene el 
proceso expansivo y de investigación 
 
CONSECUENCIAS DE LA INVESTIGACION 
 
Esta investigación pretende dar un claro entendimiento de la necesidad de 
conocer el verdadero comportamiento de una estructura y el cambio de las fuerzas 
internas al momento en el que la estructura se asiente, es sabido por todos que las 
estructura en cierto momento de su vida útil, por lo general al comienzo una vez 
edificada sufren asentamientos, estos influyen directamente en el diseño de los 
elementos de la estructura. 
La idea es presentar un software en donde el usuario que será una persona 
comprometida con el MEF y con conocimientos adecuados para inicialmente ingresar 
las características de la estructura, luego el tipo de cimentación a emplear (cimientos 
aislados o corridos), y las características del suelo, estas últimas se basan en detalles 
existentes de libros, o en algún cálculo de la mecánica de suelos clásica. 
Para el efecto de este programa se piensa utilizar MatLab o algún otro, ya que 
el entorno es amigable y los resultados se pueden presentar de manera gráfica. 
7 
 
Además que con la experiencia y los métodos de construcción de nuestro 
medio, el software resolvería aplicaciones de acuerdo a los métodos constructivos 
locales. 
 
PROTOCOLO DE INVESTIGACION 
 
• PROBLEMAS A RESOLVER 
 
 
1. Entender el MEF como método de resolución poderoso capaz de 
dispara soluciones que sirvan para el posterior diseño de las 
estructuras 
2. Aplicar los conocimientos a suelos existentes en la zona, arcillas, 
limos, materiales rocosos. 
3. Entender los resultados para estructuras bi y tri dimensinales. 
4. Comprender mediante un software la solución de problemas de 
análisis de interacción suelo estructural con el Método de 
Elementos Finitos. 
 
 
• SITUACION PROBLEMÁTICA 
 
En la actualidad se desarrollan las prácticas comunes de la ingeniería con 
excelentes resultados, el desarrollo de este estudio nos permitirá, comprender que 
existen estructuras que vienen funcionando en nuestra ciudad sin ningún problema 
aparentemente. La ventaja de este método es simplificar el cálculo y la economía ya 
que en un estudio común se necesitaría de un técnico estructural y un geotécnico por 
separado, trabajando en estas aplicaciones de una manera investigativa, y con un 
apoyo de un especialista geotécnico, el programa resultaría ser de amplia ventaja, 
conozco que existen programas como Plaxis, Sap 2000, etc. Que han desarrollado la 
interacción del suelo estructura en detalles, pero sería muy valioso tener un programa 
poderoso a nivel local con todo el conocimiento nuevo y tecnología de punta que se 
puede desarrollar en base a esta investigación 
 
8 
 
• FORMULACION DEL PROBLEMA 
 
El problema a tratar será la “INTERACCION ESTÁTICA DEL SUELO 
ESTRUCTURA CON EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS”. 
 
• HIPOTESIS 
 
La hipótesis básica en que se fundamenta la investigación son: 
El suelo se considera como continuo o discontinuo. 
- El MEF analiza el suelo con un comportamiento tenso deformacional 
lineal o no lineal, utilizando elementos finitos bidimensionales y 
tridimensionales 
- Se consideran cimientos corridos o aislados 
- Se dispondrá de la información disponible que se tenga del suelo . 
 
• OBJETOEl objetivo principal de esta investigación es proponer la modelación del 
sistema suelo estructura mediante la cual se pueda investigar la interacción estática del 
suelo con las estructuras, considerando al suelo como un medio continuo o 
discontinuo, tensional deformacional lineal o no lineal, y usar las soluciones clásicas o 
del MEF dependiendo de la información que se tenga del suelo. 
 
• CAMPO DE ACCION 
 
La presente investigación se sustenta en el MEF, la modelación del suelo 
como un medio discontinuo es muy simple por lo que el cálculo de los asentamientos 
y de la presión de contacto, entre el suelo y subestructura, a este modelo se le han 
producido cambios de acuerdo al tipo de subestructura. Estos cambios se irán 
analizando para diferentes tipos de cimentación. Se utilizará el MEF para analizar el 
9 
 
suelo con comportamientos tensos deformacional lineal o no lineal utilizándose 
elementos finitos bidimensionales y tridimensionales. 
 
OBJETIVO GENERAL 
 
El objetivo general es el tratamiento de las estructuras como ocurre en la 
realidad es decir dejar de suponer que la superestructura se asienta sobre apoyos fijos 
en donde el asentamiento es despreciable, sino considerar este efecto para analizar 
adecuadamente las reacciones internas de los elementos de una estructura y para su 
posterior diseño de cálculo. 
 
• OBJETIVOS ESPECIFICOS 
 
- La superestructura, la subestructura o cimiento y el suelo en 
conjunto se consideran como un solo cuerpo, el mismo que se 
comporta como un sistema único en su comportamiento ingenieril 
y tenso deformacional. 
- La presente tesis demuestra la fascinante complejidad del sistema 
de suelo - estructura y de las muchas variables geotécnias y 
estructurales que contribuyen al fenómeno de la interacción 
estática. 
Desarrollo de un software 
 
 
- VARIABLES 
 
Existirán 2 tipos de variables que intervendrán en el desarrollo de esta 
investigación: 
- Variables Cuantitativas; Dimensión de los elementos, magnitud de 
cargas, magnitud de las deformaciones y esfuerzos. 
- Variables Cualitativas; Características del suelo, que se deben 
conocer previo al manejo del software 
 
10 
 
- METODOS 
 
En el desarrollo de la tesis se procederá de la siguiente manera: 
 
- Descripción de las características del suelo a partir de conocimientos 
clásicos 
- Desarrollo Matemático de la Ley general de MEF F= K.δ 
- Solución numérica de la ecuación general a través de un software 
poderoso programado en MAtLab. 
- Desarrollo de un software para la solución de problemas. 
- Validación de resultados obtenidos mediante la aplicación de software 
comercial con el método de los elementos finitos. 
 
- TAREAS 
 
- Recopilación de información del método de elementos Finitos 
- Selección de información del MEF 
- Recopilación de información de las características del suelo 
- Desarrollo teórico y matemático del método de elementos de 
elementos finitos para el calculo de la interacción suelo estructura 
- Creación de subrutinas y comprobación para ensamblaje de programa 
principal. 
- Implementación de programa principal que permita la solución de los 
problemas planteados. 
- Comparación de resultados mediante software comercial. 
- Exposición y defensa de la tesis ante el tribunal. 
 
 
 
 
 
 
11 
 
2. FORMULACION DE ECUACIONES 
BÁSICAS 
 
En este capítulo las ecuaciones básicas para el problema de grandes 
deformaciones elastoplasticas y su discretización en elementos finitos van a ser 
estudiadas. Las ecuaciones de equilibrio en el contorno, describen los cambios que se 
producen en los esfuerzos y las deformaciones cuando el equilibrio cambia. Para las 
grandes deformaciones elastoplasticas se evalúan las relaciones constitutivas en un 
trabajo posterior. Finalmente la discretización en elementos finitos de las ecuaciones 
de gobierno es la discusión final. 
 
2.1 PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 
 
 
Figura 5. Contacto entre dos cuerpos 
 
Ahora vamos a considerar dos cuerpos sometidos a contacto, es decir 
suponemos que tenemos dos cuerpos como el suelo-estructura. Considérense los 
cuerpos sometidos sus superficies a contacto, y en equilibrio, como indica la figura 5, 
los cuerpos están descritos como a y como b. Incluimos un valor residual ri para 
describir cada uno de los puntos en el interior de cada uno de los cuerpos (14): 
 
12 
 
, 0a a a
i ji j ir σ γ= + = , 0b b b
i ji j ir σ γ= + = (6) 
 
Donde jiσ es el vector de tensiones de Cauchy, y, iγ , el tensor de fuerzas, si 
observamos estas expresiones residuales, nos damos cuenta que es la simple ecuación 
de Cauchy ( 0σ ρ∇ + = )(2), aplicada la condición de equilibrio interno, se somete 
cada uno de los cuerpos a esta condición. Esta condición se conoce como la ecuación 
de equilibrio interno del medio continuo. Ahora vamos a aplicar el principio de los 
Trabajos virtuales (14), es decir tenemos un factor residual ri, y lo multiplicamos por 
un diferencial iuδ . El principio de los trabajos virtuales puede ser obtenido a partir 
de las ecuaciones (6): 
 
a b
i i i iW
Va Vb
r u dv r u dvδ δ δ= +∫ ∫ (7) 
 
Donde iuδ es un pequeño desplazamiento. 
Tomando la definición (6), aplicando el teorema de la divergencia de Gauss(1), y la 
fórmula de Cauchy ji j in tσ = ; transformamos la ecuación (7) en. 
 
, 0a b
ji i j i i i i i i
V V Sa Sb
t tu dv u dv u dS u dSσ δ γ δ δ δ− ++ + =∫ ∫ ∫ ∫ (8) 
 
El volumen V es el total de los dos cuerpos. Las superficies vienen denotadas 
por a y b, Sa y Sb, y el tensor ti es la tracción asociada. Si dividimos la superficie 
tenemos una superficie externa Se, y una superficie común de contacto Sc, entones el 
término de trabajo en la superficie sWδ describe a los términos de cada cuerpo a y b, 
y de su superficie común Sca y Scb, y de la superficie externa Se, entonces la 
superficie dividida en la ecuación (8) queda como: 
13 
 
 
a b
i i i i i iWs
Se Sca Scb
t tt u dS u dS u dSδ δ δ δ= + +∫ ∫ ∫ (9) 
 
El principio de acción y reacción de Newton nos describe (2): 
 
a b
i i it t τ= − = (10) 
 
Reemplazando en (9) tenemos: 
 
i i i i i iWs
Se Sca Scb
t u dS u dS u dSτ τδ δ δ δ= + −∫ ∫ ∫ (11) 
 
Recordando que el trabajo virtual interno donde las tensiones jiσ
 
permanecen 
constantes, establecemos el trabajo virtual total interno como la suma del trabajo 
realizado por las tensiones Wσδ , el trabajo de las superficies comunes Wcδ , el trabajo 
de las fuerzas, y Wtδ , el trabajo de la superficie externa(14): 
 
0W Wc W Wtσ γδ δ δ δ− + + =− (12) 
 
Donde: 
,ji i jW
V
u dVσδ σ δ= ∫ 
14 
 
i i i iWc
ScaScb
u dS u dSδ τ δ τ δ−= ∫ ∫ 
i iW
V
u dVγδ γ δ= ∫ 
i iWt
Se
t u dSδ δ= ∫
 
 
2.2 ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN EL CONTORNO 
 
Los cambios de esfuerzos y de deformación hacen que la ecuación (12) 
0W Wc W Wtσ γδ δ δ δ− + + =−
 
sea válida en todas las condiciones. Excepto 
cuando: 
 
(13)) 0( Wδ • =
 
 
La condición necesaria y suficiente para que una superficie móvil en el 
espacio, definida implícitamente por la función f(x,y,z,t)=0, sea material, es decir que 
esté constituída siempre por las mismas partículas; es que la derivada material de 
f(x,y,z,t) sea nula: (2) 
 
. 0
( , )
v f
df x t df
dt dt
= + ∇ =
 (14) 
 
15 
 
La condición es necesaria puesto que si la superficie es material, su 
descripción material no depende del tiempo ( ( ))F F X≡ y por consiguiente, su 
descripción espacial tiene derivada material nula. La condición de suficiencia se 
fundamenta en que si, la derivada material de f(x,t) es nula, la correspondiente 
descripción material no depende del tiempo ( ( ))F F X≡ y por consiguiente, el 
conjunto de partículas (identificadas por sus coordenadas materiales) que cumplen la 
condición F(X)=0 es siempre el mismo.(2) 
Poniendo otra notación a (14) y diferenciando esta tenemos: 
 
,k k
FF u F
t
• •∂≡ +
∂
 (15) 
 
, , , ,( )jj k j kFF u F
•
•
•
−≡ (16) 
 
Ahora bien necesitamos recordar la tasa de cambio de las integrales de superficies y de 
volumen (1)
 
 
 (17) 
 
 
Los detalles de las anteriores expresiones de las derivadas de integrales nos 
trae (1) , transformemos ahora (17) a otra notación: (2) 
16 
 
 
KK
V V
Fdv F F dVε
•
• •   = +     
∫ ∫ (18) 
( )kk k kll
S S
FdS F F n n dSε ε
•
• • •  
 = + − 
    
∫ ∫ (19) 
 
En donde klε
•
es el tensor de deformaciones y el kn es la normal a un elemento de 
Area ds. 
Con estas condiciones, se puede hacer cumplir (13) para el primer término de (12): 
 
,ji i jW
V
u dVσδ σ δ= ∫
 (Primer término de (12)) 
 
, , , ,( ( ) )ji i j ji i j ji i j k k
V
W u u u u dVσδ σ δ σ δ σ δ
•• • •= + +∫ (20) 
 
Utilizando la relación (16), la tasa de cambio material del gradiente de 
desplazamientos virtuales (2), puede ser expresado como dos términos: 
 
, , , , , ,( )i j i j k j i k k j i kuu u u u uδδ δ δ
•
− −
• •• = = (21) 
 
17 
 
El primero de estos dos términos es cero ya que iuδ es constante cuando el 
material está moviéndose, sustituyendo el resultado de (21) en (20) tengo: 
 
, , ,( )ji ki j k ji k k i j
V
W u u u dVσδ σ σ σ δ
•• • •
= − +∫ (22) 
 
El término dentro de los paréntesis se identifica como la derivada material del 
primer tensor de Piola Kirchoff (1), por tanto: 
 
, ,ji ji ki j k ji k ku uσ σ σ
• • ••
Σ = − + (23) 
Por tanto la ecuación (22) ahora se escribe: 
 
,ji
V
i jW u dVσδ δ
••
Σ= ∫ (24) 
 
Usando la diferenciación de la integral de superficie para el término que 
determina el trabajo en la interface a-b tenemos para el término δWc: 
 
 
Wc i i i i
Scb Sca
u dS u dSδ τ δ τ δ= −∫ ∫
 (14)
 
(( ))i b ac i i i i
Sc
u J JW u u dSδδ τ τ δ δ
• •
∆ += −∫ (25) 
18 
 
Aquí J determina la deformación en la interface de los dos elementos 
( ) JdSds • = , y iuδ∆ , determina el desplazamiento relativo de i
b a
i iu u uδ δ δ∆ = − . 
Para los dos restantes miembros de la ecuación (12), aplicamos directamente 
los postulados de diferenciación de integrales de Área y Volumen (2) expresados en 
(18)(19), y se obtiene: 
 
,( )i i k k i
V
W u udVγδ γ γ δ
•• •
= +∫ (26) 
)(t i i i
S
JW t t u dSδ δ
• •
+= ∫ (27) 
 
En esta tesis de interacción estática, del suelo-estructura, solo se consideran 
las cargas muertas, en consecuencia iγ es una carga por unidad de masa 
i igγ γρ= ; i i iggγ γ γ ρρ
• • •
+= (28) 
 
Aquí iγ es una carga, y ρ es la densidad del material, de la conservación de 
la masa y ecuación de la continuidad sabemos que(2): 
,k kuρ ρ
• •
= − (29) 
 
Aplicando estas consideraciones en (26), tenemos entonces que (14): 
 
i i
V
W g u dVγδ γρ δ
• •
= ∫ (30) 
 
19 
 
También asumiremos que la tracción es resultado de una carga aplicada, que implica 
que: 
 
s it i
S
nW t u dSρδ δ
• •
= ∫ (31) 
El valor de sρ es definido por la expresión s sJρ ρ
•
= − , t es la intensidad de 
carga y in determina la dirección de la tracción.(2) 
Las condiciones de equilibrio continuo están ahora determinadas y se pueden 
cumplir con lo que dice la ecuación (13) 
 
, (( )) 0ji i b a i s i
V
i j i i i i i i
Sc V S
u J J nu dV u u dS g udV t u dSδ ρδ τ τ δ δ γρ δ δ
• • • •
− Σ ∆ +− − + + =∫ ∫ ∫ ∫ 
Se puede considerar también que (i b ai i i iu J JIc u uδτ τ δ δ
•
∆ += − ), en (3), (van der 
Lugt), por tanto: 
 
, 0ji i s i
V
i j i i
Sc V S
nu dV IcdS g u dV t u dSρδ γρ δ δ
• • •
− Σ − + + =∫ ∫ ∫ ∫ (32) 
 
Este valor Ic también se escribe como: i ri i iu JIc uδτ τ δ
•
∆ += ∆ , donde 
( )
1
2
r a bJ J J= + , que es la deformación en la superficie de contacto(2). Esta 
expresión coincide con (25). Cuando los cuerpos toman contacto y tienen la misma 
deformación Ja=Jb. En general la expresión (32) se usa cuando no existen diferencias 
en las deformaciones de contacto. 
 
20 
 
La relación (32), incrementa los esfuerzos por los incrementos de carga para el 
establecimiento de las ecuaciones constitutivas (14). 
 
2.3 MEDIDA DE TENSOR DE TENSIONES 
 
 Para explicar el objetivo de la tasa de variación (derivada) del tensor de 
tensiones de Cauchy, consideraremos un rodillo o una varilla mostrada en la figura 6. 
Suponga el caso de una tasa de ecuación constitutiva usada, conocida una ley 
hipoelástica donde la tasa de esfuerzo es linealmente relativa a la tasa de 
deformación.(1)(2) 
(AT.1) 
 
 
Figura 6 Rotacion de una barra bajo esfuerzos iniciales 
 
 
 La pregunta aquí gira en torno a: ¿Son válidas las ecuaciones constitutivas? 
La respuesta es No, y va a ser explicada a continuación, considérese un sólido 
como en la figura 6 donde sus tensiones en la configuración inicial 0xσ σ= . Ahora 
21 
 
vemos que la barra a rotado manteniendo su longitud constante, también no ha tenido 
ninguna deformación por tanto D=0. Recuérdese que en el movimiento del cuerpo 
rígido un estado de tensión inicial (o pre-tensión) se presenta en el sólido, de igual 
manera la deformación no cambia en la rotación del cuerpo rígido, el esfuerzo es visto 
por un observador que cabalga con el cuerpo y no debería cambiar. Pero el tensor de 
Cauchy expresado en el nuevo sistema de coordenadas cambia durante la rotación, 
entonces la derivada material del tensor no es cero. Como siempre en la rotación del 
cuerpo rígido, el lado derecho de la ecuación descrita (AT.1) debería anularse en el 
movimiento. Nosotros debemos demostrar que la tasa de deformación desaparece en el 
movimiento del cuerpo rígido. 
 Esta situación explicada en el párrafo anterior no es solo hipotética, sino que 
presenta lo que realmente sucede en simulaciones realizadas. Un cuerpo puede estar en 
un estado de tensión sometido a esfuerzos térmicos o preesfuerzos; un ejemplo son los 
esfuerzos presentes en una barra pretensada. 
 Entonces el factor que falta en la ecuación (AT1), es el que no aparece para 
medir la rotación del material. La rotación material puede ser medida correctamente 
usando una objetiva tasa del tensor de tensiones, esta también se le conoce como la 
tasa de invariantes. Se considerará tres tasas objetivas: Jaumann, Truesdell y Hill. 
(1)(14). 
Las ecuaciones constitutivas revisadas nos han traído hasta ahora datos de 
deformación, el objetivo ahora es conocer medidas de tensiones. Algo parecido las 
medidas de tensiones aseguran que para el instante que el cuerpo rígido se mueve no 
influye sobre el estado tensional del material. Muchas definiciones de esfuerzos se 
encuentran en (1,2). Tres de las definiciones hemos escogido para discutirlas aquí ellas 
son Jaumann, Hill y Truesdell. 
 Para llegar a una verdadera definición de la tasa de esfuerzo nosotros 
consideraremos que la tasa de cambio del tensor de tensiones de Cauchy no es causa 
solo de la deformación elástica, sino también por convección que el tensor Cauchy 
presente antes de cambiar su medida.(1) 
 
ijij ijσ σ σ
•
= +
o (
 (33) 
22 
 
El primer término ijσ
o
, lo llamaremos la tasa constitutiva del tensor de 
tensiones de Cauchy, y el segundo término ijσ( , la tasa convectiva del tensor de 
tensiones de Cauchy (1). Estos nombres no son utilizados en la bibliografia, pero 
ayudarán a aclarar conceptos de estas líneas. Las definiciones de tasa de tensiones no 
se encuentran de la interpretación de la tasa de tensiones convectiva. 
 Supongamos un elemento de un material cualquiera cargado por las fuerzas 
0
1df sobre la superficie del elemento 0
1dA , figura 7 . La correspondiente fórmula de 
Cauchy para este caso resulta: 
0 0
1 1ij dA dfσ = (34) 
 
Figura 7 –Interpretación de la tasa convectiva del tensor Cauchy 
 
Durante una deformación, las fuerzas aplicadas en la superficie del elemento 
encuentran el movimiento del cuerpo. Las fuerzas buscan la dirección de la línea del 
elemento alineándose a éste en la configuración t=t0. La superficie del elemento rota y 
se deforma. Para obtener el cambio convectivodel vector de Cauchy, las componentes 
que conforman la fuerza y los vectores en la superficie en la correspondiente 
configuración t=t1, deben expresarse relativamente al marco de referencia. En el 
apéndice A las derivadas de estos componentes están dadas por:( 1)(14) 
1 0 0
1 ij j ij kj kC Cdf df dAσ= = (35) 
23 
 
1 1 0
1 0 1/ ji jCdA dAρ ρ −= 
 
El Tensor ijC es el gradiente de deformación y 0 1/ρ ρ es el radio de 
densidades, La tasa convectiva de cambio del tensor Cauchy describe la deformación 
en la superficie producto de la fuerza aplicada en la misma. 
1 1
1)( jijij dt dA dfσ σ =+ (
 (36) 
 
Estas tensiones están relacionadas con las tensiones en la configuración t=t0, 
que combinando las ecuaciones (35 y 36), tenemos: 14)(1)(15) 
1 0) /( ik jl klijij dt C Cρ ρ σσ σ =+ (
 (37) 
 
En el apéndice A se muestra que la matriz ijC y el radio de densidades se 
pueden relacionar con el tensor de deformación del material en el punto considerado 
1 0/ (1 )kk dtρ ρ ε
•
= − ; ( ( ) )ijij ij ijC dtδ ε
•
= + − Ω (38) 
 
Donde el tensor de deformaciones y el tensor spin son definidos como: 
, ,( )
1
2ij i j j iu uε
• • •
= + 
(39) 
, ,( )j i i jij u u
• •
Ω = − 
 
24 
 
 
2.3.1 TASA DE TENSIÓN JAUMANN 
 
La definición de Jaumann para medir el esfuerzo considera solo los cambios 
convectivos durante la rotación. Consecuentemente los términos sometidos a 
deformación deben borrar de la expresión (38) lo siguiente (14)(1)(15): 
1 0/ 1ρ ρ = ; ( )ij ij ijC dtδ= − Ω (40) 
Ahora bien la combinación de estas condiciones en la ecuación (37), nos trae: 
ij
J
ik jkkj kiσ σ σ= Ω + Ω(
 (41) 
 
La tasa de medición de Jaumann del tensor de Cauchy es definida como la 
correspondiente tasa constitutiva de esfuerzos la cual se define por la siguiente 
expresión: 
ij
J
J
ij ijσ σ σ
•
= −
o (
 (42) 
Sustituyendo el cambio convectivo de tensiones tenemos entoces la definición de la 
medida de esfuerzo de Jaumann: 
J
ij ij ik jkkj klσ σ σ σ
•
= − Ω − Ω
o
 (43) 
 
2.3.2 TASA DE TENSION DE HILL 
 
Cuando la dilatación es tomada en cuenta , pero los cambios de la fuerza y de 
los vectores superficiales estan direccionados solo con la rotación rígida solamente, 
encontramos que(14)(1)(15): 
25 
 
1 0/ (1 )kk dtρ ρ ε
•
= − ; ( )ij ij ijC dtδ= − Ω (44) 
 
De estas expresiones y tomando la ecuación (37), el cambio convectivo del 
tensor de Cauchy se obtiene como: 
ij ij
H J
kk ik jk kkij ijkj klσ ε σ σ σ ε σ σ
• •
= − + Ω + Ω = − +( (
 (45) 
 
Con estos resultados encontramos la tasa de tensión constitutiva: 
H J
ij ij kk ijσ σ ε σ
•
= +
o o
 (46) 
 
Esta definición convenientemente fue llamada la tasa de tensión de Hill. En la 
Literatura se puede encontrar otros nombres como el co-rotacional del tensor Kirchoff 
y medida de la tensión de Biezeno-Hencky . 
 
2.3.3 TASA DE TENSIÓN DE TRUESDELL 
 
Finalmente todos los efectos de la deformación están tomados en la tasa de 
tensión de TRUESDELL: 
1 0/ (1 )kk dtρ ρ ε
•
= − ; ( ( )ijij ij ljC dtδ ε
•
= + − Ω (47) 
Quien encuentra el cambio convectivo del tensor de Cauchy: 
ij
T
kk ik jk lk kj jk klij kj klσ ε σ σ σ σ ε σ ε
• • •
+ += − + Ω + Ω(
 
26 
 
ij
J
kk lk kj jk klijε σ σ ε σ ε σ
• • •
+ += − + (
 (48) 
Y la medida constitutiva de tensión de Truesdell se escribe: 
T J
ij ij kk ik kj jk kiijσ σ ε σ σ ε σ ε
• • •
= + − −
o o
 (49) 
 
La definición de Truesdell no se va a usar en esta tesis debido a que ésta 
involucra y presenta un modelo con características no físicas cuando usa la Ley de 
Hooke para incrementos de esfuerzo y deformación. Para el efecto se usará la 
ecuación de Hill que presenta simetría con el las ecuaciones del método de elementos 
finitos. Entonces para definir las ecuaciones constitutivas usaremos el modelo de Hill 
para medir el tensor de Cauchy(14). 
 
Figura 8 Resultados de las tres tasas de medición del tensor cauchy 
La figura 8 muestra los resultados de una simulación de una prueba a 
compresión. La curva que representa a Truesdell en su definición de la medición de la 
tensión está descrita por la expresión : 
 
( 1)E eεσ = − (50) 
 
Aquí E es el módulo de Young, mientras ε es el logaritmo tensión(14) el 
cual se encuentra de la integración del estado de tensión. Note que el radio de Poisson 
fue escogido como cero. Esto demuestra que la deformación decrece cuando la 
27 
 
densidad incrementa. Un expectador puede ver esto desde cualquier punto físico. 
Como sea la curva de Hill que mide la tasa de tensión, agrega bien esta condición. 
Ahora la relación esfuerzo-deformación viene dad por: 
(1 )E e εσ −= − (51) 
 
Aquí la Ley de hooke para incrementos de esfuerzos y deformaciones puede 
basarse mejor en la tasa de tensión de Hill. La Mejora del modelo de Truesdell puede 
ser solo improvisado para adoptar un incremento no-lineal elástico. 
 
2.4 MEDICION DE LAS TRACCIONES EN LA SUPERFICIE 
 
La formulación de una relación constitutiva para la superficie en contacto 
entre los dos cuerpos requiere la definición de una objetiva medida de la 
tracción.(14)(1)(15) Esta medida puede desarrollarse a lo largo de esta tesis como se 
hizo con la tasa de medida del tensor de tensiones. Como En la ecuación (33), 
podemos distinguir entre un cambio constitutivo, it
o
, y un cambio convectivo,it
(
, de la 
superficie de tracción 
ii it t t
•
= +
o (
 (52) 
Por definición la tracción it , es la fuerza aplicada en la superficie del 
elemento, por tanto 
0 0
1i dA dft = (53) 
 
Durante la deformación las componentes de la fuerza cambian de acuerdo a la 
ecuación (35) en relación a un punto de referencia fijo. A mas de esto los elementos 
de superficie cambian por.(14)(1)(15): 
28 
 
01 (1 )dA Jdt dA= + (54) 
J Representa la superficie distorsionada, el cambio convectivo de la tracción 
describe la superficie sometida a esta, llamada.(14)(1)(15): 
1
1
1)( i i dt dft t dA+ =
(
 (55) 
 
Sustituyendo de ecuaciones (35,53,54), producen los siguientes arreglos: 
r
r r
kii k ki i kt t J tt ε
•
= Ω − +
(
 (56) 
 
El superíndice r describe que la deformación se deriva de un movimiento 
producto del contacto en la superficie. 
Solo cuando la rotación rígida es considerada en el desarrollo de la ecuación, 
la tasa de tracción de Jaumann es obtenida: 
Jaumann i i
J
r
k kit t t
•
= − Ω
o
 (57) 
 
Acorde a Hill los cambios direccionales son derivados de una rotación rígida, 
en suma, la distorsión de la superficie es tomada como: 
Hill i
H J
r
i it t t J= −
o o
 (58) 
 
Finalmente , todos los efectos de la deformación son tomados por la definición 
de Truesdell respecto a la tasa de tracción: 
 
Truesdell i i
T J r
r
kii kt t t J t ε
•
= + −
o o
 (59) 
29 
 
Para evaluar la ecuación (56), es necesario conocer la deformación de contacto 
presente en la superficie. Como se observó anteriormente, siempre las dos superficies 
en contacto pueden deformarse independientemente. Consecuencia de esto 
necesitamos un plano de referencia en el cual se produce la deformada. Este plano 
puede ser definido por: 
 
( )
1
2
r a b
i i iu u u
• • •
= + (60) 
 
Notese que cuando los dos planos se deforman el mismo instante, la correcta 
deformación se obtiene, con esta definición, el alargamiento y el tensor spin se 
escriben como: 
 
( )
1
2
r a bJ J J= + ( )
1
2
r a b
ij ij ijΩ = Ω + Ω (61) 
 
 
2.5. ECUACIONES CONSTITUTIVAS DE ESTRUCTURAS 
ELASTOPLASTICAS 
 
Una adecuada medida de la deformación es la tasa del tensor de pequeñas 
deformaciones ijε
•
, este tensor es la parte simétrica del tensor gradiente de 
velocidad.(12)(1)(15). 
, ,( )
1
2
i j j iij u uε
• ••
= + (62) 
 
30 
 
Todas las relaciones constitutivas en esta tesis están basadas en la teoría de 
plasticidad, consecuentemente el tensor de deformaciones se puede dividir en una 
parte elástica y en una parte plástica.(12)(1)(15) 
e p
ij ij ijε ε ε
• • •
= + (63)De éstas la primera parte significan cambios objetivos de esfuerzos. La 
singular teoría de plasticidad superficial de KOITER, generalizada por 
MANDEL.(12)(1)(15), encuentra estos cambios. En esta teoría la deformación plástica 
divide su medida en las siguientes contribuciones: 
p pk
ijij
k
εε
••
=∑ (64) 
Una componente de esta deformación 
pk
ijε
•
 se une a estas condiciones: 
0
pk
ijε
•
= cuando 0kf p o cuando 0kf = y 0kf
•
p 
0
pk
ijε
•
≠ cuando 0kf = y 0kf
•
= con 0kλ
•
f (65) 
 
Donde kf es una función conocida y kλ es un multiplicador positivo el cual 
indica la tasa de deformación de una función potencial plástica ( )k k ijg g σ= 
p
k
kij
ij
g
g
λε
••
= ∂
∂
 (66) 
 
MANDEL .(12)(1)(15)adopta estos conceptos de deformaciones asumienfo 
kf como una función de el estado de tensión y de los multiplicadores mλ 
31 
 
( , )k k ij mf f σ λ= (67) 
 
Como resultado, los multiplicadores puedfen ser resueltos de las condiciones: 
0k kij mk
ij m
f
f fσ λσ λ
• •
= + =∂ ∂
∂ ∂
o
 (68) 
 
Para materiales isotrópicos, la relación entre la tasa de esfuerzos y la parte 
elástica del tensor de deformaciones viene dado por (14): 
e e
ij ijkl klDσ ε
•
=
o
 (69) 
Donde: ( )e
ijkl ij kl ik jl il jkD λδ δ µ δ δ δ δ= + + (70) 
 
Los parámetros λ y µ son las constantes de Lame y ijδ representa la delta 
de Kroenecker. Algunos investigadores argumentan que estas definiciones de 
respuesta elástica son válidas solo para pequeñas deformaciones en régimen elástico. 
Para grandes deformaciones (elasticidad), un ciclo cerrado de carga y unas disipación 
de energía en algunos casos. Como siempre esta restricción no se usa mucho en la 
mecánica de suelos, donde la grande deformación es causa de la tensión plástica. 
Combinando las ecuaciones (63 y 66-69), conseguimos después de una 
elaboración: 
 
e
kmkm ijpq pq
ij
B D
fλ εσ
••
= ∂
∂
 (71) 
Donde e
k m kkm ijpq
ij pq m
B D
gf f
σ σ λ= −∂∂ ∂
∂ ∂ ∂
 (72) 
32 
 
La ecuación (71) representa un sistema de ecuaciones lineales de un 
desconocido multiplicador mλ
•
, el cual se soluciona por: 
 
1 e
km mk ijpq pq
ij
B D
fλ εσ
••
−= ∂
∂
 (73) 
por definición 1
ij jk ikB B δ− = (74) 
 
Combinando las ecuaciones (63,66,69,73) llegamos a la formal expresión de 
la relación constitutiva.(12)(1)(15), 
ep
ij ijkl klDσ ε
•
=
o
 (75) 
Donde: 1ep e e e
m nijkl ijkl ijrs mn pqkl
rs pq
D D D B D
g f
σ σ
−= − ∂ ∂
∂ ∂
 (76) 
 
La ecuación (75) sirve como fundamento para más detalles de la descripción 
de comportamiento material. 
La relación constitutiva para el contacto entre cuerpos fue desarrollado en 
completa analogía a la relación del continuo. En este caso la velocidad relativa de el 
contacto de superficies puede servir como una medida de deformación(14). 
b a
i i iu u u
• ••
∆ = − (77) 
 
Paralelamente a esta deformación se divide en una parte reversible y en otra 
ireversible: 
e p
i i iu u u
• ••
∆ = ∆ − ∆ (78) 
33 
 
La irreversible, o parte plástica de esta expresión es derivada de una función 
potencial plástica g = g(ti), donde se convierte en una función de la tracción de 
superficie ti 
p
i
i
u
g
t
λ
• •
∆ = ∂
∂
 (79) 
 
Una función de producción f(ti), es introduida para distinguir entre la respuesta 
elástica y elastoplástica. 
Una simple relación lineal es escogida para describir una tasa objetiva de 
tracción en la superficie a la parte elástica de velocidad relativa 
e
e
j kjkt D u
•
= ∆
o
 (80) 
 
La relación constitutiva completa para el comportamiento de contacto es 
obtenido por la combinación de ecuaciones (78-80) 
 
ep
j kjkt D u
•
= ∆
o
 (81) 
 
2.6 ECUACIONES QUE GOBIERNAN EL PROBLEMA 
 
Para obtener las ecuaciones que gobiernan el problema de grandes 
deformaciones elastoplásticas, la ecuación de equilibrio en el contorno debe de 
complementarse con las relaciones constitutivas vistas en la sección anterior. 
En ecuación (32), los primeros dos términos indican el trabajo virtual 
realizados por los esfuerzos internos. La tasa de cambio material de el primer tensor 
de Piola Kirchoff (2), ecuación (23), comenta la tasa de Hill del tensor Cauchy,(15) 
ecuación(46), encontrando esto: 
34 
 
 
, 0ji i s i
V
i j i i
Sc V S
nu dV IcdS g udV t u dSρδ γρ δ δ
• • •
− Σ − + + =∫ ∫ ∫ ∫ (32) 
 
H J
ij ij kk ijσ σ ε σ
•
= +
o o
 (46) 
, ,ji ji ki j k ji k ku uσ σ σ
• • ••
Σ = − + (23) 
,ji j k ik kj jk kl
H
ji ki u σ σσ σ
• •
Σ = − + Ω + Ω
o
 (82) 
 
 
Consecuentemente el primer término de la ecuación (32) puede ser escrito de 
la siguiente forma . 14) 
 
, ,( )
H
ji ki j k ik kj jk kl i j
V
W u u dVσδ σ σ σ σ δ
• •
= − + Ω + Ω∫
o
 (83) 
 
Para llegar a una expresión más trabajable para usar en la formulación de los 
elementos finitos volvemos a escribir (83) como: 
H GW W Wσ σ σδ δ δ
• ••
= + (84) 
Donde: 
 
35 
 
H
H
ji ij
V
W dVσδ σ δε
•
= ∫
o
 
, , ,(2 ) ( )G
ki j k ij j i ik kj jk kl i j
V
W u u u dVσδ σ δε δ σ σ δ
• • 
= − − + Ω + Ω 
 
∫ 
En donde ijδε es la parte simétrica del gradiente de desplazamientos. El 
término geométrico 
G
Wσδ
•
, se puede arreglar y nos da: 
 
, , 2
G
ki j k jkj i kl ij
V
W u u dVσ σ δ σ ε δε
• • • 
= − 
 
∫ (85) 
 
La contribución en la interfase a la ecuación de trabajo virtual (32) también se 
puede dividir en una parte material y una parte geometrica para la introducción de la 
tasa de tracción de Hill de la ecuación (58) .(12)(1)(15) 
 
H G
C C CW W Wδ δ δ
• • •
= + (86) 
Donde 1
H H
C i
Sc
W u dSδ τ δ
•
= ∆∫
o
 
( )
G
r r
C k ki i i i
Sc
W u J u dSδ τ δ τ δ
•
= Ω ∆ + ∆∫ 
 
Aqui se introduce la diferencia en alargamiento J∆ y el desplazamiento virtual de la 
superficie de referencia r
iuδ (14) 
36 
 
 
b aJ J J∆ = − 
1
( )
2
r a b
i i iu u uδ δ δ= + (87) 
 
2.7 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS 
 
Las ecuaciones que gobiernan el problema de grandes deformaciones 
elastoplásticas, deben ser discretizados en el sentido de los desplazamientos basados 
en el método de los elementos finitos. Los términos en las ecuaciones de tensiones 
resultantes, describen los desplazamientos nodales ubicados en las fuerzas nodales, 
que nosotros identificaremos. Haremos una distinción entre los términos que 
necesitamos en un análisis típico de pequeñas deformaciones y una grande 
deformación respectivamente. Para pequeñas deformaciones los conceptos que 
adoptaremos respecto a las ecuaciones de elementos finitos los tomaremos (5), Para 
grandes deformaciones tomaremos conceptos de libros especializados en grandes 
deformaciones. La notación indicial es usada para la elaboración de la ecuaciones de 
elementos finitos, porque es mas claro para las estructuras. Por otra parte es 
indispensable la introducción de notaciones simbólicas adicionales. Siempre como la 
ecuación de continuidad de equilibrio es al final discretizada como una matriz , una 
transicion de notación matriz y vector se hará al final de esta sección. 
 El campo de velocidades iu
•
 es interpolado de los desplazamientos nodales de 
los elementos finitos con la ayuda de las funciones de forma ijN . El desplazamiento 
virtual esta restringuido entonces a este set de funciones(5)(14): 
 
i jiju N a
• •
= ; i ij ju N aδ δ= (88) 
ja
•
 y jaδ son las velocidades nodales y virtual desplazamiento nodal 
respectivamente. El índice j abarca todos los grados de libertad nodales. De esta 
37 
 
expresión para el gradiente de velocidad ,i ku
•
, el tensor de deformación ikε
•
 y el tensor 
spin ikΩ se obtienen asi en funcion de las funciones de forma(15)(1): 
 
, ,i k j jij k ijku N a L a
• • •
= = 
1
( )
2
ik j jijk kji ijkL L a B aε
• • •
= + = (89) 
1
( )
2
j jik kji ijk ijkL L a C a
• •
Ω = − = 
 
 
De la misma forma para econtrar la expresión del gradiente de desplazamientos 
virtuales ,i juδ y la parte simétrica de,i jδε se encuentra como(15)(1): 
 
,i j ijk ju L aδ δ= ; ik ijk jB aδε δ= (90) 
 
Las expresiones 88,89 y 90 se usan para discretizar la ecuación de continuidad de 
equilibrio 
 
0c tW W W Wσ γδ δ δ δ
• • • •
− − + + = (91) 
 
 
El primer término de esta expresión fue tratado en (84). Haciendo la sustitución de las 
expresiones 88,89,90, la parte material de este término nos da(14): 
38 
 
H H
H
ij ijij q iqj
V V
W dV a B Vσδ σ δε δ σ δ
•  
= =  
 
∫ ∫
o o
 (92) 
 
Una diferenciación mas avanzada en la parte lineal material y lineal no-material es 
posible cuando las ecuaciones 69 y 75 se utilizan: 
 
H e p
p pq qp q qpW a K a a K aσδ δ δ
• • •
= − (93) 
Donde: e e
qp iqj ijkl kpl
v
K B D B dV= ∫ 
 ( )p e ep
qp iqj ijkl ijkl kpl
v
K B D D B dV= −∫ 
Notese que en la definición (89), ijkB , es simétrico con respecto al primero y 
último índice ijk kjiB B= . Consecuentemente este par de matrices son simétricas(2), al 
menos cuando consideramos comportamientos isotrópicos y fluidos plasticos 
derivados en asociación a las leyes de fluidos. Para no relacionar la plasticidad, la 
segunda matriz resulta no simetrica. 
Sobre este punto, la formulación ha sido clásica y debe tener igual buen 
desarrollo en la notación estándar de matrices y vectores. Como siempre el tratamiento 
de la parte geométrica del termino del esfuerzo en la ecuación (91), requiere la 
introducción de notaciones simbólicas especiales. Pero no son necesarios cuando la 
notación indicial es usada. La discretización de la ecuación (85) produce la siguiente 
ecuación entonces: 
 
G G
pq qpW a K aσδ δ
• •
= (94) 
Donde: 
39 
 
( 2 )G
qp jpk ki jqi jpk ki iqj
V
K L L B B dvσ σ= −∫ 
 
También esta matriz es simétrica(2) 
 
Para la contribución de la interfase en la ecuación de trabajos virtuales, necesitan 
introducirse nuevas funciones. La velocidad de referencia de la superficie 
r
iu
•
, la 
ecuacion (60) ( )
1
2
r a b
i i iu u u
• • •
= +
, 
y este virtual desplazamiento 
r
iuδ
que es interpolado de los desplazamientos nodales 
con la función forma 
r
ijN 
 
r
r
i jiju N a
• •
= ; r r
i ij ju N aδ δ= (95) 
 
El desplazamiento virtual es derivado de las funciones de forma ijN∆
(5)
 
i ij ju N aδ δ∆ = ∆ (96) 
 
Paralelamente el tensor spin (2)de la superficie de referencia r
ijΩ , se puede 
expresar como: 
 
 , ,
1
( )
2
r r r r
j jij kj i ij k ijkN N a C a
• •
Ω = − = (97) 
40 
 
 
 
La ecuacion (86) para la parte geométrica de la contribución de la interfase a 
la ecuación de trabajos virtuales contiene la diferencia entre la distorsión de los 
cuerpos en contacto(14) 
KK klk lJ n nε ε
• •
∆ = ∆ − ∆ (98) 
Donde kl
b a
kl klε ε ε
• • •
∆ = − . La diferencia en tasa de deformación es interpolada 
sobre los valores nodales con las funciones de forma de (96): 
 
, ,
1
( )
2
ik j jij k kj i ijkN N a B aε
• • •
∆ = ∆ + ∆ = ∆ (99) 
 
El segundo término de la ecuación de continuidad de equilibriopuede ser 
discretizada con las ecuaciones (95 y 96). Para la parte material de este término, 
ecuación (86), sustituyendo resulta(14): 
H H H
c i i q iq i
Sc Sc
W u dS a N dSδ τ δ δ τ
•  
= ∆ = ∆ 
 
∫ ∫
o o
 (100) 
 
Las ecuaciones (80 y 81) son usadas para dividir este resultado en una parte 
lineal material y en otra no lineal(2) 
 
H e p
p pc q qp q qpW a K a a K aδ δ δ
• • •
= − (101) 
Donde: 
41 
 
e e
qp iq ij jp
Sc
K N D N dS= ∆ ∆∫ 
( )p e ep
qp iq ij ij jp
Sc
K N D D N dS= ∆ − ∆∫ 
 
El par de matrices son simétricas cuando e e
ij jiD D= y cuando se considera un 
fluido, y tambien ep ep
ij jiD D= . La parte geométrica de los términos de la interfase se 
encuentran de la sustitución de ecuaciones (95 y 96)en la definición de este término 
(86) 
 
G G
pc q qpW a K aδ δ
• •
= (102) 
 
Donde: ( )G r r
qp jpi j iq kpk k i kpi i iq
Sc
K C N B n n B N dSτ τ = ∆ + ∆ − ∆ ∫ 
 
Esta matriz no es simétrica de la relación constitutiva usada. 
Los terminos de carga en la ecuación (91), no difieren del uso que se le da 
también para pequeñas deformaciones cuando solo la carga muerta es la considerada. 
 
i i q iq i q q
V V
W g u dV a N g dV a f
γ
γδ γ ρ δ δ γ ρ δ
• • • • 
= = = 
 
∫ ∫ (103) 
t
t s i i q iq s i q q
S S
W t n u dS a N t n dS a fδ ρ δ δ ρ δ
• • • • 
= = = 
 
∫ ∫ (104) 
 
42 
 
La ecuacion de equilibrio continuo en esta forma discretizada es obtenido 
cuando cada término en la ecuación (91) es reemplazado por la contraparte como 
elemento finito(14). 
Por notación, matrices y vectores se expresan: 
 
( ) ( ) 0
t
T e p G Ta K K K a a f f
γ
δ δ
• • •
= = =− − − −− −
− − + + + = (105) 
 
La contribución de las interfase a sido incluida en los términos del continuo. 
La expresión anterior puede ser cero para cada desplazamiento virtual entre el grupo 
de las funciones de forma y para cada aδ
−
. Como consecuencia de esto la continuidad 
del equilibrio requiere que: 
t
T
K a f f
γ• • •
= − − −
= + (106) 
Donde: 
e p G
T
K K K K
= = = =
= − + 
T
K
=
 es la matriz de fuerzas tangenciales, matriz 
GK
=
 es usualmente 
despreciada en pequeñas deformaciones, excepto cuando se estudia cierto fenómeno 
(buckling). Todos los efectos de no-linealidad están incorporados en la matriz plástica 
de reducción 
pK
=
 
 
APÉNDICE A 
 
Es este apéndice se tratará las derivaciones de las ecuaciones (35) y (38)donde 
son necesarias para el desarrollo de la sección (2.3) Tasa de tensiones. 
43 
 
 
Durante una deformación de configuración actual en t=t0 a otra en t=t1, figura 
9, las componentes del vector de superficie cambian de acuerdo a la fórmula de 
Nanson 
 
0
1 00
1
1 1
j
i j
x
dA dA
x
ρ
ρ
∂
=
∂
 (A1) 
 
Una observación para la sección 2.3 Tasa de Tensiones, la fuerza sobre la 
superficie del elemento busca la dirección de la línea del elemento con quien este fue 
alineado en la configuración t=t0. Esto implica que los componentes de la fuerza 
cambian en un similar camino que los componentes de la linea material del elemento 
 
1
1 0
0
i
i j
j
x
dx dx
x
∂=
∂
 y 
1
1 0
0
i
i j
j
x
df df
x
∂=
∂
 (A2) 
 
Si introducimos el gradiente de deformación Cij : 
 
1
0
i
ij
j
x
C
x
∂=
∂
 (A3) 
 
Entonces, por aplicación en el cambio de la diferenciación, es fácil comprobar 
que la inversa del gradiente (usada en primera expresión), viene dada por: 
0
1
1
i
ij
j
x
C
x
− ∂=
∂
 (A4) 
44 
 
 
 
Figura 9 Relacion de Configuraciones t0 y t1 durante la deformación de un cuerpo 
 
Donde por definición 1
ijC − es: 
1
ij jk ikC C δ− = (A5) 
 
Cuando estas notaciones son usadas en las fórmula (A1) y (A2) y en la ecuación (35) 
se obtiene 
 
1 0
i ij jdf C df= 
 (35) 
1 1 00
1
i ji jdA C dA
ρ
ρ
−= 
 La deformación de la configuración en t=t0 a la otra configuración en t=t1 está 
dada por: 
45 
 
1 0
i i ix x u dt
•
= + (A6) 
 Este resultado puede usarse para elaborar el gradiente de deformación para 
diferenciales de tiempo dt 
, ( )i j ijij ij ij ijC u dt dtδ δ ε
• •
= + = + − Ω (A7) 
 
El tensor spin esta definido por: 
, ,
1
( )
2
j i i jij u u
• •
Ω = − (A8) 
 
El radio de las densidades encontramos de la ecuación de la continuidad 
 
,1 0 0(1 )m mdt u dtρ ρ ρ ρ
• •
= + = − (A9) 
 
O el equivalente: 1
,
0
(1 )m mu dt
ρ
ρ
•
= − (A10) 
 
 
Todas los términos de la ecuación (38) han sido derivados entonces. 
 
 
 
 
46 
 
3. APLICACIÓN DE ELEMENTOS DE 
INTERFASE 
 
 Este capítulo discute la aplicación de elementos de interfase en el análisis de 
interacción suelo-estructura. Como los elementos de interfase son usados para modelar 
la zona de contacto entre la estructura y el suelo. Para este propósito unos 10 nudos de 
elementos finitos son formulados y su integración numérica es discutida.(6)(9)(14) 
 Algunos problemas de interacción suelo-estructura involucran temas 
especiales donde el campode la deformación juega un papel singular, un ejemplo sería 
un flujo de suelo alrededor de una esquina. Un convencional elemento finito malla 
deficientemente la flexibilidad para modelar este problema. Consecuentemente los 
elementos finitos están distorsionando este concepto, por lo tanto producen resultados 
de esfuerzos no esperados. Una solución a este problema es presentado en la sección 
3.4 donde es tocado un especial uso de interfase de elementos. Tres problemas de 
interacción suelo estructura son discutidos, todos involucran puntos de singular 
deformación, que serán discutidos. Se va a dar especial atención a la calidad de las 
tensiones resultantes y a los límites de carga.(6)(9) 
 
3.1 INTERFASE DE ELEMENTOS EN INTERACCIÓN 
SUELO-ESTRUCTURA 
 
 En el análisis de interacción suelo estructura el desarrollo de singulares 
desplazamientos y zonas de alta distorsión requiere atención particular. Elementos 
Finitos especiales serán usados para modelar estas zonas. El primer estudio de estos 
elementos de interfase o de nudos de elementos fue realizado en el análisis de masas 
de roca con nudos predefinidos. Más tarde el problema de la interfase fue aplicado al 
problema de interacción suelo estructura. Independientemente de esto, el análisis de la 
fractura del concreto conduce al desarrollo de toda la interfase de elementos, en donde 
el contacto de las caras son acopladas nudo a nudo. 
 Roughly ha tocado el tema de dos aproximaciones que pueden ser encontradas 
en la Literatura. Una aproximación es tratar directamente el problema de la interfase 
47 
 
como compatibilidad. Los requerimientos de la compatibilidad son exigir exactitud. 
Por ejemplo por el aproximado de los multiplicadores de Lagrange, se deberá 
considerar una corrección de la formulación debido a esta circunstancia. La segunda 
aproximación usa el concepto físico de de los elementos de interfase. Las ecuaciones 
constitutivas describen el esfuerzo de contacto para dividirse y comprimirse. Desde el 
punto de vista matemático esta aproximación y la corrección de las ecuaciones 
coinciden. Un detalle de la formulación de interfase está dada por Honberg, un 
investigador suizo en un tratado (1988) Zürich. La segunda aproximación será 
escogida para esta tesis. Un elemento de interfase puede ser incorporado fácilmente a 
cualquier programa de elementos finitos el cual necesita para su buen funcionamiento 
la introducción de los multiplicadores de Lagrange o la actualización de las 
constantes cinemática. 
 
3.2 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS DE INTERFASE 
 
3.2.1 RELACION CONSTITUTIVA 
 
 La ecuación constitutiva para el comportamiento de la interfase está basado en 
la ecuación (80) (9)(14) 
( )
e p
e e
c c
t D u D u u
• • •
= =− − − −
= ∆ = ∆ − ∆
o
 (3.1) 
 Donde t
−
o
describe una objetiva tasa de tracción, 
e
u
•
−
∆ es el desplazamiento 
relativo en la superficie de interfase. La matriz e
c
D
=
 describe la simple expresión: 
0
0
e
c
Ks
D
Kn=
 
=  
 
 (3.2) 
 
48 
 
 Vease que la matriz de rigidez elastoplástica, la cual es derivada del mayor 
desarrollo de la ecuación (3.1), generalmente contiene términos solo en la diagonal 
principal. Para programas computacionales en el régimen plástico la definición de 
matríz D, no es muy importante. La división elástica comienza muy pequeña dando 
como resultado que 
c
t
•
−
desaparezca. Boulon presenta un incrementado modelo 
constitutivo no linear. El cual puede ser usado para dar una mayor correcta predicción 
del comportamiento de la interfase en el rango de pre-falla. 
 Las matrices de interfase Ks y Kn pueden ser escogidas en la parte inicial de la 
curva carga-desplazamiento, guardando semejanza con lo que pasa con la interfase. En 
esta camino la influencia de las interfases se limita al caso de la división plástica, 
donde esta aumenta la flexibilidad del modelo. Sobre la vinculación de los valores de 
Kn y Ks son determinados por las condiciones de una simple matriz de rigidez. Es 
decir que para formar la matriz de rigidez de interfase necesitamos conocer la longitud 
del elemento l, Modulo de corte del suelo G, y el valor de Poisson ν, encontrando 
ahora que: 
G
Ks
l
µ= ; 
(1 2 )
G
Kn
l
µ
ν
=
−
 (3.3)(14)(9) 
Para la presente tesis usaremos el valor de µ =50. Adecuados valores de Ks y 
Kn, son difíciles de encontrar para modelos avanzados, como resultado, la solución 
elástica se comprueba con las consideraciones propuestas. 
Ahora se considera el simple sistema de Mohr-Coulomb (2) descrito en la figura 10 
 
Figura 10. Sistema Mohr Coulomb 
49 
 
 
( ) tans n i if t t t cφ
−
= + − (3.4) 
 
Este sistema involucra la presión de contacto nt y la presión de corte st . 
Parámetros φ y ic representan el ángulo de fricción y adhesión (interfase). La parte 
plástica del desplazamiento relativo alrededor de la superficie de interfase, 
p
u
•
−
∆ , llega 
a no ser cero cuando el incremento de tracción es tal que 
 
( ) 0f t
−
= y 0
T
e
c
f
D u
t
•
−=
−
∂ ∆ ≥
∂
 (3.5) 
 
La tasa de la división plástica viene de la función potencial plástica g(14) 
 
( ) tans n ig t t t ψ
−
= + (3.6) 
 
Expresión que contiene el ángulo de dilatación iψ . La ley no constitutiva de 
fluidos con la regla i iψ φ< predice una dilatación plástica. En problemas de 
confinamiento se producirá una sobre estimación de presión de contacto y por lo tanto 
un corte de fuerza. 
La relación entre la parte plástica del desplazamiento relativo y de la función 
plástica potencial esta dad por: 
 
50 
 
p g
u
t
λ
• •
−
−
∂∆ =
∂
 (3.7) 
 
El multiplicador λ
•
 puede encontrarse de la condición de consistencia 0f
•
= , 
obteniendo lo siguiente (14): 
1 T
e
c
f
D u
d t
λ
• •
−=
−
∂= ∆
∂
 ; 
T
e
c
f g
d D
t t=
− −
∂ ∂=
∂ ∂
 (3.8) 
 
La relación constitutiva incremental es obtenida por la combinación de 
expresiones (3.1) a (3.8) 
ep
ct D u
•
− −=
= ∆
o
 (3.9) 
 
Donde para valores positivos de st 
 
tan tan tan
tan 1
ep s n
c
K K
D
d
φ ψ φ
ψ=
− 
=  − 
 ; tan tans nd K K φ ψ= + (3.10) 
 
Para valores negativos de st los términos de la diagonal cambian el signo. 
Observando la matriz ep
cD
=
vemos que para tann su u ψ
• •
∆ = ∆ el incremento de 
tracción desaparece, como en efecto esto es esperado. Para comportamiento de 
material no asociado, también para ψ φ≠ , esta matriz ya no es simétrica. 
51 
 
Una relación para incrementos finitos de esfuerzo y deformación se obtiene por la 
integración de la ecuación (3.9). Si el esfuerzo interseca la zona durante una etapa de 
carga, el comportamiento del material cambia de elástico a elastoplástico. Entonces la 
integración de la ecuación (3.9) puede incorporar la determinación de esta 
intersección. Esta complicación es eliminada si hacemos uso de un proyecto de 
integración implícita. 
Sobre la integración de la ecuación (3.1) tenemos: 
( )pe
ct D u u
− − −=
∆ = ∆ − ∆ ; u udt
•
− −
∆ = ∆∫ (3.11) 
Si ahora definimos: 
0( )e e
cf f t D u
−− =
≡ + ∆ (3.12) 
 
Entonces la ecuación (3.8) puede simplificarse a 
 
1 e
f
d
λ
• •
= (3.13) 
 
También después de la integración 
 
0
1
( )
e
e e f
f f
d d
λ∆ = − = (3.14) 
 
Como el estado inicial del esfuerzo 0t
−
 siempre satisface la ecuación 0( ) 0f t
−
= , el 
término 0
ef puede ser borrado de esta expresión. Cuando esta relación para λ∆ , se 
sustituye en la ecuación (3.11), y se obtiene: 
52 
 
 
( )e
c
g
t D u
t
λ
− −=
−
∂∆ = ∆ − ∆
∂
 (3.15) 
 
Esta relación es utilizada en los programas computacionales para incremento de 
esfuerzos. 
 
3.2.2 DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS 
 
En la sección 2.7 (DISCRETIZACIÓN POR ELEMENTOS FINITOS) se 
discutió la discretización de la ecuación de equilibrio continuo. En este capítulo no se 
consideran los efectos de grandes deformaciones, y como consecuencia de esto, la 
matriz de rigidez de la interfase de los elementos es completamente definidapor la 
ecuación (101). Los Métodos de rigidez inicial, cuando se usan en procesos de 
iteración dan características para problemas elastoplásticos de pequeñas 
deformaciones, por tanto Los métodos de rigidez iniciales son usados en el análisis 
numérico de problemas elastoplasticos de pequeñas deformaciones. 
Consecuentemente, solo la matriz de rigidez elástica necesita ser derivada. 
 
 
Figura 11 Geometria del elemento de diez nodos de interfase 
 
La figura 11 muestra el ancho de banda de los 10 nudos que se analizarán en 
este estudio. Este elemento particular se escogió por la compatibilidad con el elemento 
53 
 
triangular de 15 nudos. De acuerdo a la ecuación (101) (e e
qp iq ij jp
Sc
K N D N dS= ∆ ∆∫ ) 
(5)la matriz de rigidez para este elemento puede ser escrita como:
 
 
e T e
c c
Sc
K N D N dS
= == =
= ∆ ∆∫ (3.16) 
 
Donde la interpolación de la matriz N
=
∆ , es encontrada en la ecuación 
i ij ju N aδ δ∆ = ∆ (96); esta matriz interpola el desplazamiento relativo sobre los 
valores nodales. 
1
1
10
10
( )
( )
( )
r
z
r
z
r
z
a
a
u
N
u
a
a
ξ ξ
ξ =
 
 
 
  ∆  = ∆     ∆   
 
 
  
M
M
 (3.17) 
 
Donde ξ es una coordenada local del elemento, figura (4.2). La matriz de 
interpolación N
=
∆ se obtiene de una manera sencilla(5). Con la conoceda definición 
de interpolación encontramos que: 
 
1 1 5 5
1 1 5 5
0 0 0 0
0 0 0 0
N N N N
N
N N N N=
− − 
∆ =  − − 
L
L
 (3.18) 
 
 Las funciones de forma N1 a N5 se definen: 
54 
 
 
1
2 1 1
( ) ( ) ( )( 1)
3 2 2
N ξ ξ ξ ξ ξ= + − − 
2
8 1
( ) ( 1) ( )( 1)
3 2
N ξ ξ ξ ξ ξ= − + − − 
3
1 1
( ) 4( 1)( )( )( 1)
2 2
N ξ ξ ξ ξ ξ= + + − − (3.19) 
4
8 1
( ) ( 1) ( )( 1)
3 2
N ξ ξ ξ ξ ξ= − + + − 
5
2 1 1
( ) ( ) ( )( 1)
3 2 2
N ξ ξ ξ ξ ξ= + − + 
 
Los elementos de la matriz de rigidez pueden ahora ser elaborados para el caso 
del eje de simetria ( )ξ (5) 
 
2e T e
c c
K N D N rJd
ξ
π ξ
= == =
= ∆ ∆∫ (3.20) 
 Donde r es la coordenada radial y J el Jacobiano de la transformación de 
coordenadas globales a locales(5): 
 
2 2
1
2
r z
J L
ξ ξ
   ∂ ∂= + =   ∂ ∂   
 (3.21) 
 
 Para un elemento continuo, este Jacobiano es igual a la mitad de su longitud. 
55 
 
 También se debe notar que por la definición (3.17), la matriz e
c
D
=
 describe 
componentes globales de tracción a componentes globales de desplazamientos 
relativos(5)(14). 
 
2 2
2 2
e s r n z s r z n r z
c
s r z n r z s z n r
K n K n K n n K n n
D
K n n K n n K n K n=
 + −
=  − + 
 (3.22) 
 
 Nr y Nz son los componentes de un vectore unitario en la dirección de la 
interface de los elementos. Una mejora de esta definición es que la matríz e
c
K
=
 en la 
ecuación (3.20) no debe ser transformada a cordenadas globales antes de la adición a 
la matriz de rigidez global del sistema 
En el caso de condiciones para deformaciones planas, la matriz de rigidéz se reduce a: 
 
 
e T e
c c
K N D N Jd
ξ
ξ
= == =
= ∆ ∆∫ (3.23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
56 
 
4. SUELO 
 
4.1 DETERMINACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DEL 
SUELO Y SU MATRIZ DE RIGIDEZ 
 
 Ahora vamos a considerar el análisis de estructuras geotécnicas. Son 
presentados los requerimientos de diseño, consideraciones teóricas serán discutidas. 
Aquí vamos a ver de manera general el potencial de los elementos finitos sobre los 
métodos convencionales. 
 
 
Figura 12 Tipos de cimentaciones 
 
57 
 
Todos los ingenieros estructurales de cierta manera tienen que considerar el 
efecto del suelo sobre todo en los diques o presas de tierra y en los cortes en material 
rocoso, este suelo desestabiliza y estabiliza las fuerzas para mantener el equilibrio. En 
cambio las balsas y los pilotes transfieren la carga de las estructuras al suelo. El diseño 
de estas estructuras debe considerar las fuerzas que existen en el suelo y en los 
miembros de la estructura y los potenciales desplazamientos de la estructura y del 
suelo que la circunda. Generalmente se consideran cargas de trabajo y de última 
resistencia. 
 
4.2 CONSIDERACIONES NUMÉRICAS. (INTERACCIÓN 
SUELO-SUBESTRUCTURA) 
 
4.2.1 APROXIMACIÓN DE VIGA DE RESORTE 
 
 Esta viga de aproximación es usada para la investigación de problemas de 
interacción suelo-estructura. Por ejemplo se puede utilizar para estudiar el 
comportamiento de pilas o pilotes lateral y axialmente cargados, balsas de cimentación 
muros y túneles. El comportamiento del suelo es aproximado por un set de resortes 
interconectados verticales y horizontales (Borin-1989), o por un set de factores lineal 
elásticos (Papin-1985). Solo simples estructuras pueden ser acomodadas en este 
análisis. Consecuencia de esto una simple pila o una pared de contención pueden ser 
analizadas. Aproximaciones paralelas se introdujeron para los casos de interacción 
suelo-estructura. La figura 13 muestra estas aproximaciones (6): 
 
Figura 13 Vigas Resorte representando al suelo 
58 
 
 
 En el diseño de balsas de cimentación, el suelo puede presentar dos 
simulaciones (figura 14): a) como un set de resortes (Winkler) b) como un continuo 
referido a un espacio elástico. De acuerdo a las hipótesis de Winkler, la presión de 
contacto ρ en un punto enm la base de la cimentación es proporcional al asentamiento 
w por (6): 
Kwρ = (4.0) 
 
 
 
Figura 14 a) modelo de winkler b) continuo elástico o inelástico 
 
Como se indica en la figura 14, la constante de proporcionalidad k es llamada 
comúnmente módulo de reacción del sistema de resortes de Winkler. Esta forma de 
llamado también hace referencia al modelo de fluidos densos, porque este sistema de 
resortes es análogo a lo que sucede en los fluidos densos como se ve en FIGURA 14 
(a), con u se denomina a la presión hidrostática. Por lo tanto la unidad del modulo de 
reacción de winkler es el mismo que el usado en la unidad de peso γ .(6) 
 Alternativamente a estos resortes de Wilkler, el suelo se puede representar 
como un continuo, siendo elástico o inelástico (figura 14(b)), El primer caso mejor 
conocido como un medio elástico (Módulo de Young E, y coeficiente de Poisson υ , 
puede ser investigado y solucionado por las teorías de la Elasticidad. El segundo caso 
que adiciona los parámetros de cohesión c, y del ángulo de fricción φ , es utilizado en 
59 
 
cada día de prácticas de ingeniería y se resuelve por métodos numéricos como el 
(MEF).(9)(6) 
 La respuesta de los diferentes modelos se observa en la figura (15), para los 
dos casos extremos desde cero hasta infinitas rigidez de la cimentación, relativo al 
suelo. La diferencia es notable para presiones de contacto bajo cimentaciones rígidas y 
para los asentamientos de cimentaciones flexibles. 
 
 
Figura 15 Cimentaciones basadas en resortes de winkler y en el continuo a) balsa rigida b) balsa 
flexible 
 
El método de los elementos finitos utiliza elementos de 2 y 3 dimensiones, 
como pueden ser platos y elementos de resorte. Un diseñador que busca el uso de los 
MEF, debe primero estudiar la teoría general del método, para luego familiarizarse 
con los elementos codificados. El segundo paso no es simple ya que se deben estudiar 
varios elementos disponibles, las cargas y la capacidad de las restricciones. Se 
60 
 
recomienda que el investigador en un proyecto real, debe probar las soluciones para 
muchos casos para ganar la experiencia necesaria. 
Un importante aspecto del análisis de elementos finitos es la selección del modelo 
para las dos estructuras la balsa misma y el suelo. El modelo depende de tres factores 
básicos a considerar: a)tipo de balsa (simple, o con vigas, o tipo caja), b)características 
del suelo c) tipo de análisis (sofisticación). La pregunta de sofisticación del análisis 
debe considerar no solo el tiempo y presupuesto disponible sino también la calidad de 
datos del suelo. Este es un pequeño punto que se adopta para un modelo sofisticado si 
los parámetros disponibles son de