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Víctor Osorio L. 
Estructuras y Geometría Cristalina 
Ciencia de los Materiales (541524) 
Víctor Osorio L. 
Redes espaciales y celdas. 
La estructura física de los materiales sólidos depende 
principalmente de la disposición de los átomos, iones 
o moléculas y de las fuerzas de enlace. 
Punto reticular o nodo 
celda 
unitaria 
Víctor Osorio L. 
modelo de esferas solidas 
Víctor Osorio L. 
Sistemas cristalinos y redes de Bravais 
Asignando valores específicos para las longitudes 
axiales y los ángulos interaxiales , se construyen las 
diferentes celdas unitarias. 
Parámetros de la red 
Víctor Osorio L. 
Sistemas cristalinos: 
 
 Cúbico 
 
 Tetragonal 
 
 Ortorrómbico 
 
 Romboédrico 
 
 Hexagonal 
 
 Monoclínico 
 
 Triclínico 
Tipos básicos de celdas unitarias: 
 simple 
 centrada en el cuerpo 
 centrada en las caras 
 centrada en la base 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: cubico 
Parámetros de la red: a=b=c 
 α=β=γ= 90º 
Celdas unitarias: 
 simple 
 cuerpo centrado 
 caras centradas 
Redes de Bravais: 
 cubica simple 
 cubica de cuerpo centrado 
 cubica caras centradas 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: tetragonal 
Parámetros de la red: a=b # c α=β=γ= 90º 
Celdas unitarias: 
 simple 
 cuerpo centrado 
Redes de Bravais: 
 tetragonal simple 
 tetragonal de cuerpo centrado 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: ortorrómbico 
Parámetros de la red: a # b # c
 α=β=γ= 90º 
Celdas unitarias: 
 simple 
 cuerpo centrado 
 caras centradas 
 centrada en la base 
Redes de Bravais: 
 ortorrómbica simple 
 ortorrómbica de cuerpo centrado 
 ortorrómbica caras centradas 
 ortorrómbica centrada en las bases 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: romboédrico 
Parámetros de la red: a=b=c α=β=γ # 90º 
Celda unitaria: 
 simple 
Redes de Bravais: 
 romboédrico simple 
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Sistema cristalino: hexagonal 
Parámetros de la red: a 1 = a2 = a3 # c α=β= 90º γ= 120º 
Red unitaria: 
 simple 
Redes de Bravais: 
 hexagonal simple 
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Sistema cristalino: monoclínico 
Parámetros de la red: a # b # c α=γ= 90º # β 
Celdas unitarias: 
 simple 
 centrada en la base 
Redes de Bravais: 
 monoclínico simple 
 monoclínico centrado en la base. 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: triclínico 
Parámetros de la red: a # b # c α # β # γ # 90º 
Celda unitaria: simple 
Redes de Bravais: 
 triclínico simple 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: monoclínico 
Parámetros de la red: a # b # c α=γ= 90º # β 
Celdas unitarias: 
 simple 
 centrada en la base 
Redes de Bravais: 
 monoclínico simple 
 monoclínico centrado en la base. 
Víctor Osorio L. 
Sistema cristalino: triclínico 
Parámetros de la red: a # b # c α # β # γ # 90º 
Celda unitaria: simple 
Redes de Bravais: 
 triclínico simple 
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Principales estructuras cristalinas metálicas 
 la mayoría de los metales cristalizan en tres estructuras 
cristalinas densamente empaquetadas: 
 bcc 
 fcc 
 hexagonal compacta 
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Estas estructuras se encuentran en disposiciones u 
ordenamientos de energía cada vez mas bajas y estables. 
Estructura cristalina cubica centrada en el cuerpo bcc 
Número de coordinación: 8 
 
Equivalente de átomos por celda unitaria: 2 
 
Átomos en contacto: diagonal del cubo 
 
Factor de apilamiento atómico: 0,68 
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Estructura cristalina cubica de caras centradas fcc 
Número de coordinación: 12 
 
Equivalente de átomos por celda unitaria: 4 
 
Átomos en contacto: diagonal de las caras 
 
Factor de apilamiento atómico: 0,74 
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Estructura cristalina hexagonal compacta 
Número de coordinación: 12 
 
Equivalente de átomos por celda unitaria: 6 
 
Átomos en contacto: lado , c = 1,633 a 
 
Factor de apilamiento atómico: 0,74 
Víctor Osorio L. 
Posiciones atómicas (sistema XYZ) 
(0,0,0) 
(1,0,0) 
(0,1,0) 
(0,0,1) 
(1,1,0) 
(1,0,1) 
(0,1,1) 
(1,1,1) 
(1/2,1/2,1/2) 
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Índices de Miller 
 son la notación abreviada usada para describir 
las direcciones o los planos en una celda unitaria y 
corresponden a los mínimos enteros y que de ser 
negativo se representa con una barra sobre el numero. 
Los enteros no se separan con comas y se encierran 
entre paréntesis. 
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Índices de Miller para direcciones cristalográficas: 
 
 1.- Utilizando un sistema coordenado, se determinan las 
coordenadas de dos puntos que están en esa dirección. 
 
 2.- Se restan las coordenadas, para obtener el número de 
parámetros de red medidos en la dirección de cada eje del 
sistema de coordenadas. 
 
 3.- Se eliminan las fracciones y/o se reducen los resultados 
obtenidos de las restas, a los enteros mínimos. 
 
 4.- Se enuncian los números entre corchetes [ ]. 
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Índices de Miller para direcciones 
Índices de Miller de una dirección cristalina: se considera el 
vector, convertida en enteros. 
[ u v w ] dirección 
 
< u v w > familia de direcciones 
 
Grupo de direcciones equivalentes 
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Direcciones en celdas unitarias. 
 
[ u v w ] dirección 
 
< u v w > familia de direcciones 
[ 1 1 0 ] 
 
[ 1 1 1 ] 
 _ 
[ 0 0 1 ] 
 ( ½, 1, 0) [ 1 2 0 ] 
( 1, ½, 0 ) [ 2 1 0 ] 
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Índices de Miller para planos cristalográficos 
 
 1.- Se identifican los puntos en los cuales el plano 
intercepta a los ejes coordenados , en función del número de 
parámetro de red. Si el plano pasa por el origen, éste debe ser 
desplazado. 
 
 2.- Se obtienen el reciproco de estas intersecciones. 
 
 3.- Se eliminan las fracciones pero no se reduce a los 
mínimos enteros. 
 
 4.- Se encierran las cifras resultantes entre paréntesis ( ). 
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Índices de Miller para planos 
Índices de Miller de un plano cristalino se buscan con los 
recíprocos de las intersecciones con los ejes y son el conjunto 
mas pequeño de números enteros. 
( h k l ) Plano 
 
{ h k l } familia de planos 
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Planos de la celdas unitarias. 
( h k l ) Plano 
 
{ h k l } familia de planos 
( 1 1 1 ) 
Víctor Osorio L. 
( h k l ) Plano 
 
{ h k l } familia de planos 
 
( 1 1 0 ) 
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Distancia entre planos para celdas 
cubicas. 
 
 
d (h k l) = a / √h2 + k2 + l2 
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Calculo de densidad linear, planar y volumétrica en una celda 
unitaria. 
Densidad atómica linear = (número de átomos que tienen su centro en la longitud de la dirección seleccionada) / (longitud de la dirección seleccionada) 
Densidad atómica planar = (número equivalente de átomos cuyos centros están en el área seleccionada) / (área seleccionada) 
Densidad volumétrica = (masa de la celda) / (volumen de la celda) 
 
Masa = (numero de átomos) * (peso molecular) / (numero de Avogadro) 
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Polimorfismo o alotropía 
 Son las distintas formas cristalinas que existen para un 
compuesto a diferentes condiciones de temperatura y presión. 
hcp 
hcp 
fcc 
Tº ambiente 
bcc 
bcc 
Estructura cristalina 
Otra Tº (ºC) 
bcc (>447) 
fcc (>427) 
bcc (>1742) 
fcc (912-1394) 
Bcc (>1394) 
Hcp (<193) 
Metal 
Ca 
Co 
Hf 
Fe 
Li 
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Análisis de la estructura cristalina 
 
Difracción de rayos X 
 
 nλ = 2d sen θ Ley de Bragg 
Víctor Osorio L. 
Planos de difracción para redes fcc y bcc 
Víctor Osorio L. 
Reglas para determinar los planos de difracción 
en redes cristalinas cubicas. 
Víctor Osorio L. 
Reglas para determinar los planos de difracción 
en redes cristalinas cubicas. 
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