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541233: DINAMICA
EJERCICIOS DE EVALUACIONES
ANTERIORES
GABRIEL BARRIENTOS RIOS
DPTO. INGENIERIA MECANICA
Universidad de Concepción
17 de marzo de 2014
2 Gabriel Barrientos R.
Índice general
1. Cinemática 5
2. Ley de Newton 17
3. Método Trabajo Enerǵıa 19
4. Impacto 23
5. Tensor de Inercia 29
6. Dinamica de cuerpos rigidos 35
7. Ecuaciones del movimiento 43
3
4 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 1
Cinemática
5
6 Gabriel Barrientos R.
1. Si la velocidad angular Ω2 del cuer-
po 2 es 100 rad/s en sentido ho-
rario y R = 20 cm y L = 30 cm,
determine:
la velocidad angular del cuer-
po 3,
la aceleración del punto A2
perteneciente al semi disco
2
la aceleración del punto A3
Figura 1.1:
2. La barra BD desliza sobre la su-
perficie curva fija. Si la barra AB
gira con una velocidad angular
constante en sentido horario de
10rad/s, determine:
La velocidad angular de la
barra BD
La veocidad del punto D. D
se encuentra en ese instante
en la posición horizontal
la aceleración del centro de
la barra BD
3. Considerando que la barra CB gi-
ra con una velocidad angular con-
stante de 4 rad/s en sentido ho-
rario, determine:
Figura 1.2:
Velocidad angular de la ba-
rra recta AB
velocidad del punto A
aceleración del punto A
Figura 1.3:
4. El disco rueda por la superficie
curva sin deslizar. La velocidad
angular del disco es de 10 rad/s,
constante y en sentido horario.
Si la barra recta que en el in-
stante estudiado se ubica en for-
ma vertical y se mueve con una
velocidad angular ω2 = 4 rad/s
también en sentido horario, de-
termine la velocidad del pasador
A que conecta a ambas gúıas.
Gabriel Barrientos R. 7
Figura 1.4:
5. La barra OD gira con velocidad
angular constante de 4 rad/s en
sentido horario. La barra DB es
compuesta (soldada) y en el ex-
tremo B tiene una gúıa que per-
mite el deslizamiento de la barra
recta AC. Determine la velocidad
angular de la barra AB y las ve-
locidades de los puntos A y C.
Figura 1.5:
6. Los discos 2 y 3 ruedan sin deslizar
sobre la superficie inclinada 45o
respecto a la horizontal. Si la ve-
locidad angular del disco 2 es de
5 rad/s en sentido horario y la
aceleración angular de 0,5 rad/s2,
determine la velocidad y aceleración
del punto P del disco 3.
Figura 1.6:
7. La barra DE desliza sobr ela bar-
ra curva AC con centro de cur-
vatura en C Dada la geometŕıa
de la figura y conocida la veloci-
dad angular ω2 = 3 rad/s, con-
stante, determine la velocidad y
aceleración angular de la barra
DE.
Figura 1.7:
8. La barra AD desliza sobre la su-
perficie curva fija de radio R = 1
m con centro en C. Si se conoce
la velocidad del extremo A según
8 Gabriel Barrientos R.
se indica en la figura, determine
la velocidad angular de la barra
AD.
Figura 1.8:
9. La barra recta AD desliza en la
superficie curva de la barra BD.
Conocida la geometŕıa de las bar-
ras y para la posición mostrada
determine la velocidad y aceleración
angular de la barra AD si se conoce
la velocodad angular constante de
la barra curva. ω2 = 10 rad/s en
sentido antihorario.
Figura 1.9:
10. El cilindro 2 rueda sin deslizar
sobre el plano curvo 1 empujan-
do al cilindro 3. Para el instante
dado en la figura determine la ve-
locidad y aceleración angular si
ω = 2,5 rad/s.
Figura 1.10:
11. El disco 2 rueda sin deslizar sobre
el plano curvo 1. Para el instante
de la figura determine la veloci-
dad y aceleración angular de la
barra recta 3 si ω = 10 rad/s
y la aceleración angular α = 1
rad/s2.
Figura 1.11:
12. Determine la velocidad y aceleración
de la part́ıcula de masa M = 2
kg si R = 1 m y L = 1,5 m y
la velocidad relativa a la barra es
de 2 m/s y aumenta a razón de
1 m/s cada dos segundos. La ve-
locidad angular de la barra para
Gabriel Barrientos R. 9
el instante en que θ = 30o es
de 2 rad/s y su aceleración de 3
rad/s2, ambas en sentido antiho-
rario.
Figura 1.12:
13. Si R = 1 m y la velocidad an-
gular constante del cilindro 2 que
rueda sin deslizar respecto del plano
horizontal es de 3 (rad/s) en sen-
tido horario, determine las acel-
eraciones angulares de los cuer-
pos 3 y 4 para el instante mostra-
do en la figura.
Figura 1.13:
14. El carro del extremo izquierdo de
la figura se mueve con una veloci-
dad lineal v0 = 1 m/s hacia la
izquierda. En el punto B arras-
tra una barra curva que está en
contacto con un disco que se de-
splaza con una velocidad de su
centro de giro v0 hacia la derecha.
La barra curva y el disco están en
contacto en el punto P. El disco
rueda sin deslizar sobre el punto
A y el punto P para el instannte
de la figura. Determine la veloci-
dad angular de la barra curva.
Figura 1.14:
15. Los cilindros de iguales dimen-
siones de la figura ruedan sin deslizar
por las superficies planas indicadas
con velocidades angulares en sen-
tido horario. Para los cálculos con-
sidere que R1 = R2 = R3 = 1 m.
La distancia C2C2 = 3R/2.
(a) Determine la relación entre
las velocidades angulares de los
dos cilindros si vP = 10i− 2j
b) Calcule la velocidad angular
de la barra AP
En A y P existe un pasador que
permite que ellos deslicen libre-
mente por las gúıas de los cilin-
dros respectivos.
Figura 1.15:
10 Gabriel Barrientos R.
16. Si el cilindro superior rueda sin
deslizar sobre la superficie curva
tal que la velocidad del punto su-
perior A es vA (constante y hor-
izontal), determine la velocidad
y aceleración del punto B de la
barra ŕıgida que se apoya sobre
la superficie curva para la posi-
ción mostrada en la figura.
Figura 1.16:
17. El disco de radio r = 0,5 m gira
en sentido horario y en su cen-
tro arrastra una barra AC que
desliza en el punto B. Determine
para el instante de la figura la ve-
locidad del punto C si L = 3 m.
Figura 1.17:
18. El pivote que se indica en la figu-
ra está fijado al disco 3. Supon-
ga que los radios R3 y R4 son
iguales a R = 1 m. El disco 4 y el
yunque 2 deslizan respecto a este
pivote. Los discos 3 y 4 ruedan
sin deslizar sobre el plano hori-
zontal. Si la velocidad del yunque
es v = 10 m/s según lo mostrado
en la figura. Determine:
(a) Velocidad angular del disco 3
(b) Velocidad angular disco 4
(c) Aceleración anular disco 3
(d) Aceleración angular disco 4
Figura 1.18:
19. La figura representa un pasador
que desliza simultáneamente por
las gúıas. Determine la velocidad
y aceleración del pasador para el
instante mostrado. L = 0,5 m,
R = 0,25 m. La velocidad angu-
lar constante de la barra recta es
1,8 (r/s) en sentido antihorario
y la velocidad angular de la bar-
ra con curvatura (también con-
stante) es de 1,2 rad/s en sentido
horario.
20. El disco D de radio R = 5 cm.
Está sujeto de un brazo de longi-
tud L = 10 cm. Este brazo rota
alrededor de un eje vertical a una
velocidad angular 1 = 100 r/s. Si
Gabriel Barrientos R. 11
Figura 1.19:
el disco D gira a una velocidad
angular 2 = 50 r/s. Determine:
(a) La aceleración del punto P y,
(b) la velocidad y aceleración an-
gular del disco D.
Figura 1.20:
21. El brazo OA gira con velocidad
angular de 6 rad/s y aceleración
angular de 10rad/s2, ambas en
sentido horario en el instante que
se muestra. Calcule la aceleración
angular de AB
22. El cuerpo (part́ıcula) 3 desliza en
las ranuras de la barra 2 y del
disco 4 simultáneamente. Para la
posición mostrada en la figura y
con R = 1 m y el disco rueda sin
deslizar, determine la velocidad
de la part́ıcula 3.
Figura 1.21:
Figura 1.22:
12 Gabriel Barrientos R.
23. Determine para el instante mostra-
do la aceleración del punto P del
disco A de la figura. El disco A
tiene un radio de 2R y el anil-
lo B un radio de 4R. Se conocen
las velocidades angulares del dis-
co A (2 rad/s) y del anillo B (3
rad/s) en la dirección mostrada
en la figura. Use R = 1 m.
Figura 1.23:
24. Si la velocidad angular del disco
de radio R = 1 m es de 2 rad/s
en sentido antihorario, determine
la velocidad angular de la barra
2 que está apoyada sobre el dis-
co mayos. Los discos ruedan sin
deslizar respecto al plano hori-
zontal.
Figura 1.24:
25. Si la magnitudde la velocidad de
la part́ıcula 3 (que desliza entre
las dos gúıas) es de 10 m/s, con-
stante (moviéndose hacia abajo),
determine la aceleración angular
de la barra 2. Considere R = 2
m.
Figura 1.25:
26. El disco pequeño de radio R gira
en sentido horario sobre el circulo
mayor de radio 3R. En los pun-
tos D y B existe rodadura pura.
Los centros E y F están alinea-
dos sobre una vertical. La barra
ABC está apoyada sobre el disco
pequeño en el punto B que corre-
sponde al punto medio de la bar-
ra y para el instante de la figura
la distancia AB = 2R. Si el disco
pequeño gira con una velocidad
angular de -10k rad/s, constante
y el punto A siempre desliza so-
bre la superficie curva, determine
la aceleración lineal del punto C.
R=1 m.
27. (T1-2013). El disco circular de ra-
dio R = 1m rueda sin deslizar
con respecto al punto de contac-
to con el plano horizontal (punto
A). Si la velocidad del centro del
disco es de 3i m/s (dirección hor-
izontal hacia la derecha del dibu-
jo), determine las velocidades an-
gulares de las barras 3 y 4 para el
Gabriel Barrientos R. 13
Figura 1.26:
instante de la figura. El extremo
derecho de la barra 4 desliza so-
bre el plano horizontal y nunca
se separa de él.
Figura 1.27:
28. (R-2013). El cuerpo rectangular
de masa m = 1kg y longitud 2R
desliza sobre la superficie hori-
zontal a velocidad constante v =
2m/s, empujando al disco de masa
2m y radio R = 1m en el punto
A. El disco rueda si deslizar en el
punto B. Determine la velocidad
y aceleración del punto D.
29. (C1-PLEV-2013). La part́ıcula P
rueda por ambas gúıas. Para la
posición de la figura determine la
Figura 1.28:
aceleración de P si la rueda gira
sin deslizar en el plano horizontal
con una velocidad angular con-
stante de 5rad/s2 en la dirección
indicada. El radio de la rueda es
de 1,5m.
Figura 1.29:
30. (C1-PLEV-2013). La barra 2 gi-
ra con una velocidad angular de
−10k. Si el disco rueda sin deslizar
en el contacto con la barra 4 (pun-
to B), determine la velocidad an-
gular de la barra 4. R = 1m.
31. (C1-2012). La barra 2 de longi-
tud 10 gira con una velocidad an-
gular de 2rad/s en la dirección
mostrada en la figura. Consideran-
do que el disco rueda sin deslizar
sobre la superficie curva, deter-
mine la velocidad angular de los
cuerpos 3 y 4.
14 Gabriel Barrientos R.
Figura 1.30:
Figura 1.31:
32. (C1-2012). El disco de radio 3R
descansa sobre discos 2 y 3, am-
bos de radio R que giran con ve-
locidad angular constante según
los sentidos mostrados en la figu-
ra. Si los cilindros de radioR ruedan
sin deslizar sobre la superficie rec-
ta según las direcciones mostradas,
determine la velocidad y aceleración
del centro C del cilindro 4 supe-
rior para el instante de la figura
Figura 1.32:
33. (R-2012). El disco de radio 3R
descansa sobre discos 2 y 3, am-
bos de radio R que giran con ve-
locidad angular constante según
los sentidos mostrados en la figu-
ra. Si los cilindros de radioR ruedan
sin deslizar sobre la superficie rec-
ta según las direcciones mostradas,
determine la velocidad y aceleración
del centro C del cilindro 4 supe-
rior para el instante de la figura
34. (R-2011). El disco de radio R =
1m rueda sin deslizar sobre el plano
inclinado con una velocidad an-
gular constante de ω − 2rad/s k
(en sentido horario). El punto B3
tiene una velocidad relativa re-
specto al cuerpo 2 igual a 2,4m/s
i y una aceleración relativa de α =
0,4m/s2 i. Si para el instante de
Gabriel Barrientos R. 15
Figura 1.33:
la figura la barra 3 está horizon-
tal, determine su velocidad y acel-
eración angular.
Figura 1.34:
16 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 2
Ley de Newton
17
18 Gabriel Barrientos R.
1. El bloque A de masa =10 kg des-
cansa sobre la cuña B de masa
22 kg. Sabiendo que el sistema se
libera del reposo y despreciando
el roce hallar:
(a) la aceleración de A,
(b) la velocidad de A respecto B
en t=0.5 s.
Figura 2.1:
Caṕıtulo 3
Método Trabajo Enerǵıa
19
20 Gabriel Barrientos R.
1. El bloque A de masa m tiene una
velocidad inicial v0 y comienza
a deslizar sobre el cuerpo B de
masa 3m. Inicialmente el bloque
B está detenido. El coeficiente de
roce entre las superficies de los
cuerpos A y B es µ. Determine
la distancia relativa que recorre
el cuerpo A sobre el B hasta que
ambos comienzan a deslizar jun-
tos sobre el suelo liso.
Figura 3.1:
2. Un martillo compuesto por un dis-
co delgado A de radio R = 0, 4
m y masa de 15 kg y una varilla
delgada B de longitud 2, 4 m y
masa de 12 kg es utilizado para
deformar láminas de metal por
su impacto. Se une a la varilla
un resorte de constante elástica
k = 300 N/m conectado al apoyo
F y está sin deformar cuando su
longitud es de 0, 5 m. Determine
la reacción horizontal en el apoyo
C, inmediatamente ANTES del
impacto
3. La figura representa un semi dis-
co de masa M . Si se suelta desde
la posición mostrada a la izquier-
da, determine la velocidad angu-
lar cuando el semi disco (que rue-
da sin deslizar) pasa por la posi-
ción mostrada a la derecha de la
figura. Considere IG = MR
2/2
4. El sistema de la figura está for-
Figura 3.2:
Figura 3.3:
mado por una barra AC de lon-
gitud L y un disco hueco, ambos
de masa M . El disco rueda sin
deslizar. La barra está unida al
disco por los pasadores A y B.
La distancia AB = L/3, L = 3R
y r = 0, 9R
(a) Determine la máxima altura
que alcanza la barra en el lado
derecho si es soltada desde la posi-
ción mostrada,
(b) Determine cuales son las posi-
ciones extremas horizontales al-
canzadas por el punto A
(c) Determine la máxima veloci-
dad angular de la barra.
5. Una barra delgada de 4Kg puede
rotar en un plano vertical en torno
al eje B. Sujeto a ella como se
muestra en la figura hay un re-
sorte de constante k = 400 N/m
Gabriel Barrientos R. 21
Figura 3.4:
y longitud natural 150 mm. Sa-
biendo que la barra se suelta en
reposo en la posición representa-
da, encuentre su velocidad angu-
lar tras haber rotado 90o.
Figura 3.5:
6. La masa del disco es de 5 kg y su
diámetro de 80 mm. La barra AB
de masa 4 kg mide 320 mm de
longitud entre A y B y está artic-
ulada al centro del disco en A y
unida al pasador B que se desliza
libremente por una ranura verti-
cal lisa. Si el sistema se abandona
del reposo con θ = 60o, calcule
la velocidad del centro del disco
cuando θ = 0o. El disco rueda sin
deslizar.
Figura 3.6:
22 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 4
Impacto
23
24 Gabriel Barrientos R.
1. Los carros 1 y 3 son similares y
están ŕıgidamente unidos por una
barra, tal que la masa total entre
ambos es de 4 kg. El carro 2 tiene
una masa de 1 kg. Inicialmente
1 y 3 tienen una velocidad de 5
m/s y 2 está detenido, como se
muestra en la figura. Desprecie el
roce.
(a) Suponga que el choque entre
1 y 2 es perfectamente plástico.
¿Cuál es la velocidad final del sis-
tema?
(b) Suponga que el choque entre
1 y 2 es perfectamente elástico
y entre 2 y 3 es perfectamente
plástico. ¿Cuál es la velocidad fi-
nal del sistema?
(c) Suponga que ambos choques
entre 1 y 2 y entre 2 y 3 son per-
fectamente elásticos. ¿Cuál es la
velocidad de 2 después del primer
y segundo choque?
Figura 4.1:
2. Los cuerpos A y B consisten de
dos pequeñas esferas de igual masa
m conectados por barras ŕıgidas
de masa despreciable y longitud
L. Inicialmente B está detenida y
A se mueve tal que 1=0 y veloci-
dad lineal vo, hacia la derecha.
Asumiendo que todo se mueve en
el plano de la figura y que el coe-
ficiente de restitución es e = 0,5,
determine las velocidades de A
y B inmediatamente después del
choque. Considere las esferas co-
mo part́ıculas.
Figura 4.2:
3. Las part́ıculas 1 y 2 están unidas
por un cable de masa desprecia-
ble e inextensible. Para el instante
de la figura (distancia horizon-
tal y vertical = 1 m), el cable
está en su extensión natural. Si
m=1 kg, y el sistema es impacta-
do (choque perfectamente elásti-
co) por la part́ıcula 3 sobre la
part́ıcula 2, a una velocidad de
10 m/s en la dirección indicada,
determinelas velocidades de las
part́ıculas después del impacto.
Figura 4.3:
4. La varilla compuesta de la figu-
ra tiene una masa total de 5M
(compuesta de 5 varillas de lon-
gitud L y masa M) y se deja caer
Gabriel Barrientos R. 25
de una altura H, golpeándose en
un muro ŕıgido en el punto A. Si
el coeficiente de restitución es e,
determine la pérdida de enerǵıa
cinética con el impacto.
Figura 4.4:
5. La figura muestra una barra com-
puesta que se deja caer desde una
altura h desde el reposo y choca
con el borde circular a 45o vis-
to frontalmente desde el cilindro.
El coeficiente de restitución es e.
Determine la velocidad angular
posterior al choque con el cilin-
dro que está fijo
6. La barra esbelta de la figura de
masaM y longitud R se deja caer
desde la posición mostrada a la
superficie circular lisa. Determine
el movimiento de la barra (ve-
locidad del centro de masa y ve-
locidad angular) después del im-
pacto si el choque es perfectamente
elástico
7. El sistema está compuesto por dos
varillas delgadas de masam y lon-
gitud L y un disco delgado de
masa m y radio R = L/4 se deja
caer desde una altura h = 2L con
Figura 4.5:
Figura 4.6:
26 Gabriel Barrientos R.
velocidad inicial nula. Si el im-
pacto con el muro es totalmente
plástico determine la velocidad an-
gular del sistema después del im-
pacto.
Figura 4.7:
8. La varilla compuesta por 8 var-
illas delgadas de longitud L=20
cm y masa m=0,5 kg (cada una
de las 8 partes) cae desde una
altura H=1 m y golpea una su-
perficie ŕıgida con uno de sus ex-
tremos como se muestra en la figu-
ra. Si el coeficiente de restitución
es 0,5, obtenga la velocidad an-
gular del cuerpo después de la
colisión. Use los ejes de acuerdo
a lo indicado en la figura
9. Obtenga la velocidad angular de-
Figura 4.8:
spués del choque para la barra
delgada de masa m y longitud L
de la figura que cae verticalmente
desde una altura h y choca elásti-
camente con un plano liso de 30o
de inclinación.
10. Una pequeña esfera A unida por
un hilo inextensible de masa de-
spreciable (igual que la esfera B)
se suelta desde el reposo en la
posición indicada y choca con la
esfera B (idéntica a A) suspendi-
da inicialmente en forma vertical.
Si el ángulo máximo θB después
del impacto es igual al ángulo θA
inicial, determine la relación LB/LA
en función del coeficiente de resti-
tución e entre las esferas.
11. El sistema compuesto por barras
esbeltas según disposición mostra-
da en la figura cuelga de dos pasadores
A y B desde el techo ŕıgido. a)
Determine las reacciones en el pasador
Gabriel Barrientos R. 27
Figura 4.9:
Figura 4.10:
A cuando bruscamente se rompe
el pasador B. b) Si se rompen los
dos pasadores A y B simultánea-
mente, determine la velocidad an-
gular del sistema después que chocan
elásticamente los puntos E y F .
La superficie en el punto F es
lisa. El sistema cae desde la al-
tura L. Considere m = 1kg, L =
1m, .
Figura 4.11:
12. Las dos barras ŕıgidamente unidas
en uno de sus extremos se deja
caer desde una altura H = 2m
desde el reposo. Al caer choca con-
tra una superficie esférica según
se muestra en la figura. Si el co-
eficiente de restitución entre am-
bas superficies e = 0,7 y el coe-
ficiente de roce es 0,4, determine
la velocidad angular del cuerpo
compuesto después del choque. L =
1m, m = 1kg.
13. El sistema de la figura formado
por tres barras esbeltas ŕıgida-
mente unidas entre śı cuelga de
28 Gabriel Barrientos R.
Figura 4.12:
dos hilos sin masa conectados al
techo en los puntos A y B. Ca-
da una de las tres barras tiene
una longitud L y masa M . M =
2,1kg, L = 0,8m. Si se cortan
bruscamente ambos hilos en A y
B, el cuerpo cae desde la altura
H = 1,2m (entre C y D). De-
termine la velocidad angular de-
spués del choque entre C y D si
el coeficiente de restitución es de
0,6. La superficie curva es lisa.
Figura 4.13:
Caṕıtulo 5
Tensor de Inercia
29
30 Gabriel Barrientos R.
1. Determine para el sistema com-
puesto de la figura los ejes prin-
cipales de inercia y la matriz de
inercia asociada a dichos ejes que
pasan por el centro de gravedad.
Las barras delgadas tienen masa
M = 2 y L = 8. El disco delgado
tiene un radio L/8 y es de masa
3M .
Figura 5.1:
2. Determine el momento de inercia
de la figura compuesta de bar-
ras esbeltas, homogéneas, con re-
specto al eje OB.
Figura 5.2:
3. Para los tres problemas indicados
en la figura, determine Ixx, Iyy e
Ixy. Los casos (b) y (c) son var-
illas delgadas que forman el sis-
tema total. El caso (a) es un anil-
lo delgado de ancho B y espesor
0, 2. (Para el caso (a) debe deter-
minar las expresiones de los mo-
mentos y productos de inercia).
4. Para la barra delgada de la figura
determine el tensor de inercia con
origen en A, IAabc
Figura 5.3:
Gabriel Barrientos R. 31
Figura 5.4:
5. Para el cuerpo de la figura for-
mado por las dos barras esbeltas
de masas m y 2m que están con-
tenidas en el plano xy, determi-
nar las direcciones principales de
inercia con origen en el centro de
masas G del sistema.
Figura 5.5:
6. Las barras de masa m y longitud
L están unidas por la barra ŕıgi-
da central sin masa, de manera
que su configuración relativa no
cambia en el tiempo. Determine
el tensor de inercia respecto a los
ejes xyz ubicados según la figura.
El eje z es perpendicular al plano
mostrado.
7. (a) Para la barra de la figura con
una masa puntual en su extremo
determine las direcciones princi-
pales de inercia asociadas al cen-
tro de masas G. (b) Determine el
momento de inercia IAabc
Figura 5.6:
Figura 5.7:
8. Determine el tensor de inercia para
la varilla delgada de la con re-
specto a los ejes xyz mostrados.
9. (a) Determine el tensor de inercia
Iuu para la barra compuesta de la
figura.
(b) Determine el momento de i-
nercia respecto al eje x′ mostrado
en la figura.
10. El péndulo compuesto de la figu-
ra consta de una varilla delgada
de masa m y longitud L, soldada
a una placa delgada de masa M y
lados 2a, tal como se muestra en
la figura. Considerando que M =
2m y L = 4a, determine la ecuación
del movimiento del péndulo us-
ando el método de D‘Alembert.
11. La figura representa un modelo
32 Gabriel Barrientos R.
Figura 5.8:
Figura 5.9:
Figura 5.10:
de cigueñal compuesto por 8 var-
illas delgadas iguales. Determine
el tensor de inercia con origen en
el centro de masa respecto a los
ejes xyz dados.
Figura 5.11:
12. La varilla y el anillo ŕıgidamente
unidos se sueltan del reposo cuan-
do θ = 0o. Calcule la reacción
en el apoyo al momento en que
θ = 90o. Obtenga previamente el
Gabriel Barrientos R. 33
momento de inercia del anillo con
respecto a su centro de gravedad
Figura 5.12:
13. Para las dos varillas delgadas sol-
dadas entre śı, determine el mo-
mento de inercia respecto al eje
A-A
Figura 5.13:
14. El sistema de la Figura está com-
puesto por tres varillas delgadas
y homogéneas. La varilla de lon-
gitud L tiene una masa m. Deter-
mine el momento de inercia del
sistema con respecto al eje de giro
suponiendo que L y m valen 1.
Figura 5.14:
15. Para el sistema de la figura deter-
mine el momento de inercia re-
specto al eje que pasa por los pun-
tos O y A. El sistema está forma-
do por varillas delgadas y por el
disco tambien delgado. La cara
del disco es paralela al plano XZ
Figura 5.15:
16. Para el sistema de la figura com-
puesto por dos barras delgadas,
determine el momento de inercia
del sistema respecto a un eje que
tiene dirección AB. La masa de
cada una de las dos barras es M .
17. La figura representa un sistema
de tres varillas delgadas de lon-
gitud L y masa M (cada una)
todas ubicadas en forma perpen-
dicular una de otra. Las posiciones
(x, y, z) de cada una son:A(L, 0, 0),
B(L, 0, L), C(L,L,L),D(0, L, L).
Encuentre el momento de inercia
34 Gabriel Barrientos R.
Figura 5.16:
I respecto al eje que pasa por los
puntos A y D.
Figura 5.17:
18. Determine el momento de inercia
de la barra de masa M respecto
al eje AB.
19. Las tres barras esbeltas de masam y longitud L están ŕıgidamente
unidas en el punto O. Determine
el momento de inercia con respec-
to al eje CA.
Figura 5.18:
Figura 5.19:
Caṕıtulo 6
Dinamica de cuerpos rigidos
35
36 Gabriel Barrientos R.
1. (C2-2005). La plataforma circu-
lar delgada de la figura rota con
velocidad ω1 = 6, constante, en
torno a un eje de masa desprecia-
ble que descansa en los apoyos D
y C. Sobre esta plataforma circu-
lar, se monta un eje de masa des-
preciable sobre los apoyos A y B,
donde existe una varilla de masa
M y longitud L girando a una
velocidad relativa a la platafor-
ma ω2 = 4 constante. Sabiendo
que L = 10, M = 8 determine
las reacciones en los apoyos A y
B. Donde sea que fije el origen
de los ejes, utilice las direcciones
indicadas en la figura.
Figura 6.1:
2. (C2-2007-PLEV). El eje de masa
despreciable de la figura rota re-
specto a los apoyos AB. Supon-
ga que la fuerza axial en el eje es
absorbida por el descanso A. La
barra de masa m = 4 kg está in-
clinada respecto del eje en 45o y
centrada. La plataforma que actúa
como base de este eje gira ver-
ticalmente con la velocidad an-
gular ω = 2 rad/s. El momento
M1 = 10 Nm permite mantener
el giro en el eje. Determine el mo-
mento C0 necesario para man-
tener la plataforma con el movimien-
to indicado. R = 1 m
Figura 6.2:
3. (C2-2008). El eje de la figura com-
puesto por varillas esbeltas de masa
m y longitud L gira sobre los apoyos
A y B con velocidad angular con-
stante relativa a la plataforma ωb.
La plataforma de masa 10m gira
con velocidad constante absoluta
ωa. Determine las reacciones en
los apoyos suponiendo que el des-
canso A absorbe la correspondi-
ente componente axial. ¿Qué par
T respecto al eje AB se necesita
para mantener ωb constante?
Figura 6.3:
Gabriel Barrientos R. 37
4. (E-2008). Cada uno de los dos
discos de masa m están conec-
tados por la barra compuesta de
varillas delgadas de masam y lon-
gitud R y soldada a cada disco
en los puntos A y B. Si los discos
ruedan sin deslizar sobre el plano
con una velocidad constante de
sus centros igual a v en la direc-
ción z, determine las fuerzas de
roce entre cada disco con el plano
para el instante mostrado en la
figura
Figura 6.4:
5. (C2-2009). Para el eje de masa
M = 3m sobre el cual está solda-
da una barra de masa m y longi-
tud L según se muestra en la figu-
ra, determine las reacciones de
la barra sobre el eje en el punto
C. La barra gira con velocidad y
aceleración angular ω y α respec-
tivamente. Establezca claramente
los ejes móviles y los ejes iner-
ciales.
Figura 6.5:
6. (C1-1999). El disco de radio a está fi-
jo a la base circular de radio R a
través del brazo inclinado de lon-
gitud L soldado a la base. La ve-
locidad de giro del disco relativa
a la base es φ̇ y la velocidad de la
base es Ω̇ , ambas constantes. De-
termine la velocidad del punto P
de la periferia del disco mostrado
en la figura.
Figura 6.6:
7. (C2-2000). La barra delgada de
la Figura está articulada a un eje
que gira con rapidez angular ω
constante de 10 r/s. La barra pe-
sa 20 Kg. L = 4 m, a = 0,2 m,
θ =30o ¿Cuál es la tensión en la
cuerda AB cuya masa puede de-
spreciarse?.
8. (C2-1999). Sobre el disco de masa
M , radio R y espesor delgado
h de la figura está montado un
cono de masa m sobre los apoyos
A y B. Si el apoyo B resiste la
carga axial del cono, determine
las reacciones A y B y el torque
Co que se debe aplicar al eje ver-
tical solidario al disco. M1 es un
momento externo dado, necesario
para hacer girar el cono con ve-
locidad ω1 constante relativa al
disco.
9. (E-1999). Los discosA yB ruedan
38 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.7:
Figura 6.8:
sin deslizar en sus planos medios
por sobre la superficieD. La masa
de cada disco es de 20 kg y ca-
da uno gira alrededor de ejes que
están articulados al soporte ver-
tical, el cual a su vez gira con ve-
locidad angular ω1 uniforme. Con-
sidere despreciable la masa de los
dos ejes horizontales. Si los discos
desarrollan una fuerza total ver-
tical de 100 N sobre el plano D,
calcule la velocidad angular ω1.
Figura 6.9:
10. (ER-1999). La varilla delgadaAB
de 4 kg tiene un pasador en A y
está sujeto en B con una cuerda.
El eje CD está soportado en sus
extremos mediante rótulas y gira
con velocidad angular constante
de ω = 2 r/s. Calcule la tensión
que se desarrolla en la cuerda y
la magnitud de la fuerza que de-
sarrolla el pasador A.
11. (C2-2007). Suponga que se quiere
hacer girar el sistema de la figura
respecto al eje z indicado. Deter-
mine las reacciones en los apoyos
A y B para el instante de la figu-
ra. Suponga que la reacción en la
dirección axial es soportada por
el apoyo A. La velocidad angular
ω0 indicada es constante.
12. (C2-2008-PLEV). El eje inclina-
do ŕıgido tiene una varilla delga-
da de masa m y longitud L y gira
Gabriel Barrientos R. 39
Figura 6.10:
Figura 6.11:
sobre los soportes A y B monta-
dos sobre la plataforma externa
de radio R y masas 10m. Supon-
ga que la componente axial de
las reacciones del eje es resisti-
da por el descanso A. Las veloci-
dades angulares mostradas en la
figura ω1 y ω2 son constantes. De-
termine las reacciones en los des-
cansos A y B.
Figura 6.12:
13. (C2-2013). El eje vertical tiene
masa despreciable y gira con una
velocidad angular constante de 10
rad/s en el sentido indicado. En
el puntoA la barra inclinada (m,L)
está soldada a la barra horizon-
tal (2m, 2L). Determine las reac-
ciones en los descansos B y C.
m = 1kg, L = 1m.
14. (C3-2013). Determine la veloci-
dad angular de la barra compues-
ta después del choque contra el
plano inclinado (45o). H = 1m,
L = 1m, m = 1kg. Coeficiente
de restitución = 0,5. Coeficiente
de roce = 0,6. La barra es dejada
caer del reposo desde una altura
H en la posición mostrada.
15. (R-2012). La mitad de una sec-
ción de tubo con masa m y ra-
dio R se suelta desde el reposo en
40 Gabriel Barrientos R.
Figura 6.13:
Figura 6.14:
la posición indicada. Si el medio
tubo rueda sin deslizar determine:
a) Su velocidad angular después
que haya girado 90o,
b) La reacción sobre la superficie
horizontal en ese mismo instante.
La distancia GO es igual 2R/π.
IO = mR
2
Figura 6.15:
16. (R-2012). El sistema de la figura
formado por tres barras esbeltas
ŕıgidamente unidas entre śı cuel-
ga de dos hilos sin masa conec-
tados al techo en los puntos A y
B. Cada una de las tres barras
tiene una longitud L, masa M =
1,3kg y L = 0,8m. Si repenti-
namente se corta el hilo que une
el extremo B, determine la acel-
eración angular del sistema inmedi-
atamente después de cortado el
hilo
Gabriel Barrientos R. 41
Figura 6.16:
42 Gabriel Barrientos R.
Caṕıtulo 7
Ecuaciones del movimiento
En los siguientes ejemplos en todos los casos es posible obtener la ecuación del
movimiento del sistema por cualquiera de los tres métodos disponibles:
1. Ley de Newton
2. Método de D’Alembert
3. Método de Lagrange
En todos los casos la geometŕıa es conocida.
43
44 Gabriel Barrientos R.
1. (C1-2005). Para el problema de
la figura determine la(s) ecuación
(es) del movimiento usando la Ley
de Newton. Ambos resortes tienen
una rigidez k y el carro una masa
m y el péndulo una masa M . Si el
sistema tiene más de un grado de
libertad, exprese las ecuuaciones
del movimiento en forma matri-
cial.
Figura 7.1:
2. (C1-2009-PLEV). La figura rep-
resenta dos masasmA ymB conec-
tadas por una barra ŕıgida de lon-
gitud 3R y masa despreciable. Las
masas se mueven en un plano per-
pendicular a la gravedad (por e-
jemplo una mesa) sin roce de man-
era que la posición de equilibrio
está dada cuando la masa A está u-
bicada sobre la ĺınea que une los
centros O1 y O2. La figura rep-
resenta una posición cualquiera
cuando el sistema es sacado del
equilibrio. Si el resorte tiene una
rigidez k, la distancia O1O2 es de
7R y las masas mA = 2mB = 4
m, determine la ecuación(es) del
movimiento del sistema. Si el sis-
tema tiene más de un grado de
libertad, exprese las ecuuaciones
del movimiento en forma matri-cial.
Figura 7.2:
3. (C3-2004-PLEV). El péndulo de
la figura consta de un tubo de
masa M que cuelga de un resorte
de constante de rigidez k y longi-
tud inicial xo. En el interior del
tubo desliza sin roce una masa
M puntual sujeta por los dos re-
sortes mostrados en la figura. Si
el momento de inercia del tubo
respecto a un eje perpendicular
a la figura que pasa por su cen-
tro de masa ubicado en la mitad
es J , determine las ecuaciones del
movimiento usando el método de
Lagrange. Suponga que en la posi-
ción vertical de reposo todos los
resortes no están transmitiendo
Gabriel Barrientos R. 45
fuerza, es decir tienen longitud
xo cada uno.
Figura 7.3:
4. (T2-2005). Las masa m1 m2 y
m3 están ligadas por resortes de
rigidez k de acuerdo a lo indi-
cado en la figura. Determine las
ecuaciones del movimiento usan-
do la Ley de Newton y escriba las
ecuaciones en forma matricial. Use
x1 x2 y x3 como las variables que
definen la cinemática del sistema.
Figura 7.4:
5. (C1-2007). Determine las ecuacio-
nes del movimiento del sistema
en función de las variables dadas.
Use las ecuaciones de Newton. Los
planos de deslizamiento son lisos
(sin roce). L0 es la longitud de
los resortes de rigidez k sin carga
Figura 7.5:
6. (C1-2007-PLEV). Para el sistema
de dos masas de la figura deter-
mine las ecuaciones del movimien-
to usando las ecuaciones de New-
ton. Ambos resortes tienen rigidez
k y ambos cuerpos tienen masas
M . Considere pequeños desplaza-
mientos.
Figura 7.6:
7. (C1-2008). Determine las ecuacio-
nes del movimiento resumidas en
una matriz del tipo:Md̈+Kd = 0
, donde M es la matriz de masa,
K la matriz de rigidez y d rep-
resenta el vector desplazamiento
46 Gabriel Barrientos R.
de la variable usada en la descrip-
ción del movimiento. La posición
de equilibrio se muestra en la figu-
ra ubicándose cada part́ıcula a 120o
respecto las otras. Considere el
radio de la gúıa curva igual a R.
Desprecie el roce en todas las su-
perficies y suponga que los resor-
tes no tocan las superficies de las
gúıas (son y se estiran siguiendo
la curvatura). Eso implica que la
fuerza de los resortes actúa siem-
pre tangente a la curva. El peso
actúa perpendicular al plano de
la figura.
Figura 7.7:
8. (T2-2008). Determine las ecuacio-
nes del movimiento del sistema
de la figura y expréselas en for-
ma matricial. Use como variable
del sistema el valor de x para la
masa mayor y x1 para la masa
menor.
Figura 7.8:
9. (C1-2004-PLEV). Para ambos pro-
blemas determine las ecuaciones
del movimiento usando la Ley de
Newton. En el caso (b) el carro
se desplaza horizontalmente con
una aceleración a. El péndulo es
con una masa puntual 2m que
cuelga de un hilo inextensible de
masa despreciable. Exprese las e-
cuaciones matricialmente en fun-
ción de los parámetros dados.
Figura 7.9:
10. (C1-2006). Determine la(s) ecua-
ción(es) diferencial(es) del pén-
dulo doble que se mueve en el
plano de la figura en función de
las variables dadas. El resorte no
tiene masa y los puntos A y B
representan rótulas sin masa. La
longitud del resorte sin carga es
Lo. La cuerda del péndulo del ex-
tremo mide también Lo. La rigidez
del resorte es k.
11. (T8-2001). Obtenga la (s) ecua-
ción (es) del movimiento del sis-
tema alrededor de la posición de
equilibrio estático que se muestra
Gabriel Barrientos R. 47
Figura 7.10:
en la figura. Considere pequeños
desplazamientos. Use el método
de Lagrange.
Figura 7.11:
12. (E-2002). La plataforma de la figu-
ra de masa M gira con veloci-
dad angular θ accionada por un
torque externo T . Las dos bolitas
de masas m1 y m2 se desplazan
por el interior del tubo liso. Con-
sidere la posición de equilibrio es-
tático como nivel de referencia para
el movimiento de ambas masas.
Determine el Lagrangiano corre-
spondiente.
Figura 7.12:
13. (E-2002). El semi-cilindro de pa-
red delgada de radio r, masa mc
y momento de inercia Jc oscila
sin deslizar sobre el piso. Simultánea-
mente un cilindro macizo de ra-
dio a, masa mb y momento de in-
ercia Jb rueda sin deslizar sobre
la pared interior del semi-cilindro.
Determine el Lagrangiano corres-
pondiente.
Figura 7.13:
14. (C2-2005). Utilizando el método
de D’Alembert obtenga la (s) e-
cuación (es) del movimiento del
sistema para pequeños desplaza-
mientos. Ambos semi-discos del-
gados ruedan sin deslizar
15. (E-2005). Determine las ecuaciones
del movimiento usando el méto-
do de D’Alembert. Considere am-
bos cuerpos como discos delga-
48 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.14:
dos que se mueven en el plano
Figura 7.15:
16. (E-2005). El tubo doblado y ŕıgi-
do de la figura oscila como péndu-
lo por el pasador según lo mostra-
do. Sólo en uno de los lados (el
izquierdo de la figura mostrado
en corte) existe una varilla de masa
M y longitud L/2 unida a un re-
sorte de constante k que cuando
no trabaja tiene una longitud ini-
cial L0. Considere cada lado del
péndulo como varilla delgada de
masa M y longitud L. Determine
la(s) ecuación(es) del movimien-
to utilizando el método de La-
grange.
17. (C3-2005). Sabiendo que para una
ecuación diferencial de 1 grado
de libertad de la formamẍ+kx =
0 la frecuencia natural está da-
da por ωn =
√
k/m y utilizando
el método de Lagrange, obtenga
la ecuación del movimiento del
sistema para pequeños desplaza-
mientos y su frecuencia natural.
El semi-disco delgado rueda sin
deslizar.
Figura 7.16:
Figura 7.17:
18. (C3-2005). Del centro de masa del
semi-disco 1 -de masa 4M - cuel-
ga de un pasador un tubo de lon-
gitud L y masa 2M (considerarlo
como varilla delgada) que en su
interior tiene una part́ıcula 3 de
masa M colgada de un resorte de
rigidez k, el cual no trabaja cuan-
do su longitud es L0. Determine
el Lagrangiano del sistema.
Figura 7.18:
Gabriel Barrientos R. 49
19. (C3-2006). Sabiendo que para una
ecuación diferencial de 1 grado
de libertad de la formamẍ+kx =
0 la frecuencia natural está da-
da por ωn =
√
k/m y utilizando
el método de Lagrange, obtenga
la ecuación del movimiento del
sistema para pequeños desplaza-
mientos y su frecuencia natural.
El semi-disco delgado rueda sin
deslizar sobre el plano horizontal.
Figura 7.19:
20. (C2-2006-PLEV). Utilizando las
leyes de Newton determine las e-
cuaciones del movimiento para el
sistema de la figura. Los 3 resortes
tienen longitud Lo cuando no tienen
carga. La longitud de la barra ŕıgi-
da, sin masa que une 2M y 3M es
L. La longitud del péndulo ŕıgido
de masa despreciable que cuelga
de la masa 2M es de 2L, por el
cual desliza la masa M .
Figura 7.20:
21. (E-2004). Un cilindro circular sóli-
do de masa m, radio r rueda en
el interior de un tubo de masa m
y radio 2r, el cual a su vez gi-
ra sobre una superficie curva de
radio 6r. Asumiendo que no ex-
iste deslizamiento en ninguna su-
perficie, determine el lagrangiano
del sistema.
Figura 7.21:
22. (C3-2006-PLEV). Para la varil-
la delgada, homogénea de masa
m y longitud L determine la(s)
ecuación(es) del movimiento u-
tilizando el método de D‘Alem-
bert. Suponga que los resortes cuan-
do tienen longitud L están sin car-
ga
Figura 7.22:
50 Gabriel Barrientos R.
23. (ER-2006). Para la barra uniforme
de masa m y longitud R deter-
mine la ecuación del movimiento
si se deja oscilar libremente so-
bre el plano circular de radio R,
sin roce. Después de obtener la
ecuación del movimiento lineal-
ice y obtenga la frecuencia natu-
ral.
Figura 7.23:
24. (C2-2006). La figura muestra la
posición de equilibrio de un dis-
co y una barra delgada, ambos de
masa m. La barra tiene una lon-
gitud de 3R. Si se saca del equi-
librio cualquiera de los dos cuer-
pos, determine para pequeñas os-
cilaciones la(s) ecuación(es) del
movimiento del sistema usando
el método de D’Alembert. El dis-
co rueda siempre sin deslizar y
esta conectado a la barra por un
pasador que le permite girar li-
bremente
25. (C3-2006). Considerando que en
la posición horizontal de la bar-
ra de masa m y longitud L, el
resorte sin masa de constante k
está en su posiciónde equilibrio
y tiene una longitud Lo, obtenga
la ecuación del movimiento del
sistema usando el método de La-
grange. El extremo libre de la bar-
ra se monta en un rodillo sin masa
que desliza sobre una superficie
horizontal lisa.
Figura 7.24:
Figura 7.25:
Gabriel Barrientos R. 51
26. (C3-2006). Para las 5 situaciones
de un semi disco de masa m y ra-
dio R mostradas en la figura, de-
termine cual representa la may-
or frecuencia natural ω =
√
k/m
. Obtenga la ecuación diferencial
para pequeñas oscilaciones en ca-
da caso usando el método de La-
grange. Datos: R (radio semidis-
co), r = 4R/3π (posición de G
medido desde el centro), IG =
0, 22mR2.
Figura 7.26:
27. (T4-2006). Determine la (s) ecuación
(es) del movimiento del sistema
para pequeños desplazamientos us-
ando el método de Lagrange. El
resorte cuando la barra ŕıgida sin
masa está en posición vertical no
trabaja y tiene una longitud ini-
cial L.
28. (C3-2007-PLEV). Para la barra
compuesta de la figura determine
la frecuencia natural de oscilación.
Obtenga la(s) ecuación(es) del mo-
vimiento usando el método de La-
grange.
29. (C2-2007-PLEV). La part́ıcula de
masa m desliza simultáneamente
por la barra delgada y por el anil-
lo delgado, ambos con movimien-
to pendular independiente respec-
to al pasador superior. Determine
Figura 7.27:
Figura 7.28:
52 Gabriel Barrientos R.
las ecuaciones del movimiento us-
ando el método de D’Alembert,
para pequeñas oscilaciones. La figu-
ra muestra la condición de equi-
librio
Figura 7.29:
30. (C2-2007-PLEV). Para pequeñas
oscilaciones determine las ecua-
ciones del movimiento del sistema
usando el método de D’Alembert.
Suponga que el punto de contac-
to es tal que no existe desliza-
miento entre las superficies. La
barra (de longitud 2R) y el disco
son delgados. La posición mostra-
da en la figura corresponde a la
posición de equilibrio. Ambas cur-
vaturas de los semi-discos son de
radio R
31. (C2-2007). La figura representa
un péndulo doble en equilibrio.
Al sacar del equilibrio el sistema
comienza a oscilar. Determine las
ecuaciones del movimiento para
pequeños desplazamientos del sis-
Figura 7.30:
tema compuesto de varillas del-
gadas. Use el método de D’Alembert.
El plano de deslizamiento curvo
es liso (sin roce). Considere R =
2L
Figura 7.31:
32. (CR-2007). Obtenga la ecuación
del movimiento del sistema de la
figura para pequeñas deformacio-
nes. La posición mostrada en la
figura representa aquella en que
los resortes están sin carga. El
péndulo de masa M y longitud
L = R (barra esbelta) oscila en
Gabriel Barrientos R. 53
torno al punto G. El momento
de inercia con respecto a G de la
barra circular sujeta por los re-
sortes es de 0,08MR2.
Figura 7.32:
33. El bloque de masa m se desliza
sobre el plano superior (sin roce)
de un semidisco unido sólo por
un resorte de rigidez k. El semidis-
co de radio R y masa 4m a su
vez puede oscilar en el plano cur-
vo fijo de radio 3R. Determine el
Lagrangiano del sistema.
34. (T3-2007). Para el semićırculo de
masa m y radio R determine la
frecuencia natural de oscilación
(ω =
√
k/m) utilizando el méto-
do de D’Alembert para pequeñas
oscilaciones. (cosα = 1 y senα =
α)
35. (C3-2008). El disco de masa m
y radio R rueda sin deslizar so-
bre la superficie curva de radio
Figura 7.33:
Figura 7.34:
2R. Dicha superficie curva se en-
cuentra sobre un carro de masa
despreciable cuyo movimiento es
restaurado por ambos resortes mos-
trados. Usando el método de La-
grange determine la(s) ecuación(es)
diferencial(es) que rige(n) el movimien-
to del sistema.
Figura 7.35:
36. (C2-2008-PLEV). La barra del-
gada de masa 5M y longitud to-
tal de 5L de la figura actúa como
péndulo y arrastra al disco del-
54 Gabriel Barrientos R.
gado de masa M cuyo pasador
ubicado en su centro B usa como
gúıa al péndulo. Dicho disco rue-
da siempre sin deslizar sobre el
plano horizontal indicado. Usan-
do el método de D’Alembert de-
termine las ecuaciones del movi-
miento del sistema.
Figura 7.36:
37. (C3-2009-PLEV). El péndulo de
la figura tiene su posición de equi-
librio cuando sus elementos están
alineados con la vertical. El re-
sorte lineal de rigidez k tiene una
longitud inicial L y el cuerpo en
el extremo inferior de masa des-
preciable desliza por la gúıa hori-
zontal lisa. Determine la (s) ecuación
(es) del movimiento utilizando el
método de Lagrange. Los resortes
de torsión utilizados tienen una
rigidez K que permite que el sis-
tema oscile respecto a su posición
de equilibrio.
Figura 7.37:
38. (C2-2008). Para el cilindro plano
de la figura el momento de iner-
cia IG = 3, 6mR
2 y la coordena-
da del centro de masas G indica-
da es ȳ = R/3. La figura mues-
tra la posición de equilibrio para
la cual la longitud inicial de am-
bos resortes es 2R. Al sacar am-
bos cuerpos de su condición de
equilibrio, ellos quedan oscilan-
do. Determine las ecuaciones del
movimiento del sistema para pe-
queñas oscilaciones. Para los re-
sortes y la barra colgante, des-
precie los movimientos laterales
suponiendo que los resortes sólo
oscilan verticalmente.
39. (C3-2008). La barra esbelta de
masa m y longitud 4R de la figu-
ra se deja apoyada sobre la su-
perficie lisa mostrada. Determine
para pequeñas oscilaciones la fre-
Gabriel Barrientos R. 55
Figura 7.38:
cuencia natural del sistema usan-
do el método de Lagrange.
Figura 7.39:
40. (T4-2007). El semićırculo de la
figura de masam y radioR puede
oscilar sobre la superficie curva
lisa. Determine la frecuencia nat-
ural de oscilación (ω =
√
k/m)
utilizando el método de Lagrange
para pequeñas oscilaciones. (cosα =
1 y senα = α). Izz = MR
2/2
41. (CR-2008). Determine la(s) ecuación(es)
del movimiento de la varilla del-
gada de masa m y longitud 14R
usando el método que más le aco-
mode. Los discos delgados de masa
despreciable ruedan sin deslizar
Figura 7.40:
en todos los puntos de contacto.
Linealice para pequeños despla-
zamientos. La posición de equi-
librio se da cuando la varilla está en
posición horizontal (como en la
figura)
Figura 7.41:
42. (CR-2008). Para el péndulo de la
figura de masa m y longitud 3L
unidos por una barra ŕıgida sin
masa (de longitud L) al cuerpo
de masaM , determine la (s) ecua-
ción (es) del movimiento usando
cualquier método. El resorte de
longitud inicial L y constante de
rigidez k está sin carga cuando el
péndulo está en la posición verti-
cal mostrada
43. (T4-2008). Para el aro de la figu-
ra de masa M y radio 2R deter-
mine la frecuencia natural de vi-
bración si las superficies en con-
tacto con el apoyo de radio R
(fijo), ruedan sin deslizar. Use el
método de Lagrange. Linealice para
56 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.42:
pequeños desplazamientos. IG =
(masa)(radio)2 es el momento de
inercia del aro respecto a G
Figura 7.43:
44. (C2-2009-PLEV). La figura está com-
puesta por una barra de masa m
y longitud L en la cual un resorte
de rigidez k puede estirarse y/o
encogerse tal que permite la ex-
tensión de la barra. Consideran-
do en sus cálculos que la barra
compuesta tiene una inercia con
respecto a G (en su centro) igual
a I = mL2/12 con L la longi-
tud de la barra, determine la(s)
ecuación(es) del movimiento uti-
lizando el método de D’Alembert.
La parte inferior de la barra (que
sirve de gúıa) tiene masa despre-
ciable. El resorte de torsión K es
lo suficientemente poderoso para
restaurar el movimiento cuando
el sistema se saca de su posición
vertical (ambos resortes descar-
gados). La rueda de masa M y
radio R gira sobre el plano hori-
zontal sin deslizar.
Figura 7.44:
45. (C3-2009-PLEV). La figura mues-
tra un anillo de masa m y radio
2R que rueda sin deslizar en el
plano horizontal. En su interior
se ubica una semi esfera que a su
vez rueda sin deslizar sobre la su-
perficie curva interior del anillo.
Determine la(s) ecuación(es) del
movimiento del sistema utilizan-
do el método de Lagrange.
46. (T3-2004). Exprese el Lagrangiano
L para el sistema de péndulosde
Gabriel Barrientos R. 57
Figura 7.45:
la figura en función de las vari-
ables del problema L = T − V ,
donde T es la enerǵıa cinética del
sistema y V la enerǵıa potencial.
47. (T4-2004). Usando el método de
Lagrange, obtenga la (s) ecuación
(es) del movimiento del sistema.
La longitud sin carga del resorte
es L0 y ambos discos ruedan sin
deslizar sobre la superficie curva.
Idisco = mr
2/2; momento de in-
ercia de un disco respecto a un
eje que pasa por G.
48. (ER-2002). El sistema consta de
un cilindro delgado da masa M
y una varilla delgada también de
masa M . Indique claramente las
coordenadas generalizadas y de-
termine el Lagrangiano del sis-
tema. La posición horizontal rep-
resenta la posición de equilibrio
estático. Ambos cuerpos ruedan
sin deslizar.
49. (C2-2005-PLEV). Dos aros del-
gados, ambos de masa m y radios
2R y R respectivamente, unidas
en forma ŕıgida entre śı por las
Figura 7.46:
Figura 7.47:
Figura 7.48:
58 Gabriel Barrientos R.
varillas sin masas 1, 2, 3, 4. De-
termine la ecuación del movimien-
to oscilatorio usando el Método
de A’Lembert.
Figura 7.49:
50. (C2-2000). Para el péndulo de la
figura y usando las ecuaciones de
Lagrange, obtenga las ecuaciones
del movimiento. El resorte de rigidez
k tiene masa despreciable y una
longitud inicial r0.
Figura 7.50:
51. (C2-2001). La part́ıcula de masa
m de la figura desliza sin fricción
sobre el interior de un tubo de
masa M , momento de inercia I
(respecto al eje que pasa por el
centro de masa del tubo) y radio
R. El tubo tiene un movimien-
to de péndulo en el plano respec-
to al apoyo superior. Obtenga las
ecuaciones del movimiento del sis-
tema usando el método de La-
grange
Figura 7.51:
52. (C2-2001). Para el péndulo móvil
de la figura, determine las ecua-
ciones del movimiento usando el
método de D’Alembert.
53. (C2-1999). Para el sistema de la
figura determine las ecuaciones del
movimiento usando: (a = longi-
tud resorte sin estirar): (a) Ecua-
ciones de Lagrange y (b) Las leyes
de Newton.
54. (E-1999). Para el péndulo de la
figura, determine para pequeñas
oscilaciones las ecuaciones del mo-
vimiento usando el método de La-
grange.
55. (E-2000). El disco de radio ro y
masa M actúa como un péndulo.
En su centro tiene una masa m
Gabriel Barrientos R. 59
Figura 7.52:
Figura 7.53:
Figura 7.54:
atada a un resorte de constante k
que cuando mide ro está sin esti-
rar. Determine la(s) ecuación(es)
del movimiento del sistema usan-
do las ecuaciones de Lagrange.
Figura 7.55:
56. (E-2001). Para el péndulo doble
de la figura, determine las ecua-
ciones del movimiento usando el
método de Lagrange. Ambas bar-
ras tienen una masa igual a M .
Considere que ninguno de los re-
sortes indicados está deformado
cuando ambas barras están en posi-
ción vertical. Los resortes lineales
60 Gabriel Barrientos R.
se mantienen aproximadamente hor-
izontales, ya que se deben consid-
erar pequeñas deformaciones.
Figura 7.56:
57. (ER-2001). El bloque m2 desliza
sobre el bloque m1 que a su vez
se desplaza horizontalmente. Si
la posición absoluta dem1 está da-
da por x1 y si la posición relati-
va de m2 está dada por x2, de-
termine usando el método de La-
grange la(s) ecuación(es) del mo-
vimiento:
(a) si no existe roce entre m1 y
m2 y
(b) si el coeficiente de roce entre
m1 y m2 es µ.
Figura 7.57:
58. (ER-1999). Para el sistema de bar-
ras de la figura determine para
pequeñas oscilaciones las ecuaciones
del movimiento usando las ecua-
ciones de Lagrange. Todas las var-
illas tienen masa m y longitud L.
La varilla 4 está soldada a la var-
illa 5 y puede deslizar libremente
en el punto A el cual se mantiene
fijo a la barra 3.
Figura 7.58:
59. El pédulo de la figura está com-
puesto por una varilla delgada de
largo L y masa 2m y sobre él va
montado un tubo que desliza de
longitud 3L y masa 3m el cual
puede oscilar axialmente por la
acción restauradora de los dos re-
sortes (con una masa interior m)
internos de rigidez k. Determine
el Lagrangiano del sistema.
60. (T8-1999). Para el sistema de la
figura formular las ecuaciones de
la dinámica para pequeñas oscila-
ciones, usando el método de La-
grange. El sistema consta de tres
masas m1 , m2 y m3. La masa m3
Gabriel Barrientos R. 61
Figura 7.59:
desliza sin roce horizontalmente.
La masam1 corresponde al péndu-
lo de longitud 2a.
Figura 7.60:
61. (C3-2005). Usando el método de
Lagrange, determine la (s) ecuación
(es) del movimiento del sistema
si la barra está pivoteada en el
centro del disco hueco. La posi-
ción mostrada corresponde a la
situación de equilibrio estable y
el sistema oscila con pequeños de-
splazamientos. Linealice después
de obtener la enerǵıa cinética T
y la enerǵıa potencial V .
Figura 7.61:
62. (C1-2009). Para el sistema de la
figura determine la(s) ecuación del
movimiento. Considere que los pe-
sos actúan en un plano perpen-
dicular al plano de la figura. To-
dos los resortes tienen rigidez k.
El ángulo de inclinación de los
bloques respecto a la horizontal
es α.
63. (C1-2013). Determine las ecuacio-
nes del movimiento del sistema
mostrado en la figura. Ambas masas
cuelgan en forma de péndulo des-
de el cuerpo de masa nula que
se desplaza verticalmente. Todos
los resortes tienen longitud ini-
cial L antes de deformarse. Lin-
ealice las ecuaciones para pequeños
desplazamientos.
64. (C2-2013). Determine las ecuacio-
nes del movimiento del sistema
mostrado en la figura. Ambas masas
cuelgan en forma de péndulo des-
de el cuerpo de masa nula que
se desplaza verticalmente. Todos
los resortes tienen longitud ini-
cial L antes de deformarse. Lin-
ealice las ecuaciones para pequeños
62 Gabriel Barrientos R.
Figura 7.62:
Figura 7.63:
desplazamientos.
Figura 7.64:
65. (C3-2013). Usando el método de
Lagrange, determine la(s) ecuación
(es) del movimiento del sistema.
Todas las superficies son lisas. To-
dos los resortes tienen longitud
inicial L cuando el sistema está en
equilibrio) y rigidez k.
Figura 7.65:
66. (C3-2013). Determine la(s) ecua-
ción(es) del movimiento para el
sistema de la figura usando el méto-
do de Lagrange. La barra (con-
siderada como esbelta) de masa
4m y longitud 6L que actúa como
péndulo arrastra al disco de masa
3m a través del pasador que desliza
en ella sin roce. El disco de ra-
dio L rueda sin deslizar sobre la
superficie curva de radio 2L. La
figura muestra la posición de equi-
librio.
67. (C3-2013). Determine las ecuacio-
nes del movimiento para el sis-
tema de la figura usando la ley
Gabriel Barrientos R. 63
Figura 7.66:
de Newton. Simplifique las ecua-
ciones linealizando para pequeños
desplazamientos Considere que am-
bos resortes tienen una longitud
inicial igual a L.
Figura 7.67:
68. (T4-2013). Para el sistema de la
figura, usando el método de D’A-
lembert determine la(s) ecuación(es)
del movimiento de la barra del-
gada que se mueve sobre el plano
curvo del semi-aro. La masa del
semi-aro (ŕıgido) es despreciable
y la masa de la barra esbelta es
M . Linealizar para pequeños despla-
zamientos
Figura 7.68: Problema 7.68
69. (R-2013). Determine la frecuen-
cia natural de la barra que puede
deslizar sobre las superficies cur-
vas lisas según la disposición mos-
trada en la figura. Use el método
que usted quiera.
Figura 7.69:
70. (PLEV-C1-2013). Determine las
ecuaciones del movimiento usan-
do la segunda Ley de Newton.
Considere que el sistema está en
equilibrio cuando todos los resor-
tes tienen una longitud inicial L.
Figura 7.70:
64 Gabriel Barrientos R.
71. (C2-2013). Para el semidisco de
masaM y radioR determine la(s)
ecuación(es) del movimiento si la
superficie es lisa (sin roce). Use el
método de D’Alembert. La posi-
ción mostrada corresponde a la
posición de equilibrio del semidis-
co. h = 0,4R y IC = mR
2.
Figura 7.71:
72. (C3-2013). Para el semidisco de
masam y radioR determine la(s)
ecuación(es) del movimiento. Use
el método de Lagrange. La posi-
ción mostrada corresponde a la
posiciónde equilibrio del semidis-
co. h = 0,4R y IC = mR
2.
Figura 7.72:
73. (C3-2013). Determine la ecuación
(es) del movimiento del sistema.
La posición mostrada correponde
a la condición de equilibrio y to-
dos los resortes tienen una longi-
tud inicial L/2. Use el método de
Lagrange.
74. (C1-2012). Para el sistema de la
figura, determine la(s) ecuación
(es) diferencial (es) que rige(n)
Figura 7.73:
su dinámica cuando se saca de
la posición de equilibrio que se
muestra en la figura. La longi-
tud inicial del resorte (sin defor-
mar) es R. Considere las superfi-
cies lisas (sin roce)
Figura 7.74:
75. (C2-2012). El disco delgado de
masa 2m y radio R descansa so-
bre una superficie curva (también
de radio R). La superficie cur-
va de contacto es lisa. Desde el
punto A (pasador) ubicado a una
distancia R/2 desde el centro del
disco cuelga una barra esbelta de
masa m y longitud R. El dibu-
jo muestra la condición de equi-
librio. Si se saca el sistema de
su condición de equilibrio giran-
do el disco sobre la superficie cur-
va, determine la(s) ecuación(es)
del movimiento del sistema usan-
do el método de D’Alembert.
Gabriel Barrientos R. 65
Figura 7.75:
76. (C2-2012). El disco de masaM =
1 y radio R = 1 rueda sin deslizar
por la superficie fija 1, 2 ó 3. El
resorte de rigidez k = 1 tiene una
longitud inicial igual a 10R cuan-
do está descargado. Determine en
cuál de los tres casos la frecuen-
cia natural del sistema es menor.
Figura 7.76:
77. (C2-2012). Para el sistema de la
figura determine usando el méto-
do de Lagrange la(s) ecuación(es)
del movimiento del sistema para
pequeñas oscilaciones. La barra
vertical es ŕıgida de masa despre-
ciable. Las superficies de contac-
to de los cuerpos en la ranura
horizontal son lisas. La posición
mostrada corresponde a la posi-
ción de equilibrio y los resortes
tienen longitud inicial L0.
Figura 7.77:
78. (T3-2012). Un semi aro de radio
2R y masa M yace sobre una su-
perficie rugosa circular (radio R)
fija. La figura muestra la posición
de equilibrio natural. Si el semi
aro se mueve haciéndolo girar so-
bre la superficie curva, de manera
que se produzca rodadura pura
entre las superficies curvas, de-
termine la ecuación del movimien-
to del semi aro usando el método
de D’Alembert
Figura 7.78:
79. (T4-2012). El aro A de masa 2M
se encuentra ŕıgidamente unido
al aro B de masa M a través de
las barras 1, 2 y 3 (sin masa).
La figura muestra la posición de
equilibrio del sistema. Al sacarlo
de su posición de equilibrio el aro
comienza a oscilar sobre la super-
ficie curva externa de radio 4R
fija. Considere que el aro rueda
66 Gabriel Barrientos R.
sin deslizar respecto a la super-
ficie fija curva. Usando el méto-
do de Lagrange obtenga la fre-
cuencia natural del sistema para
pequeños desplazamientos. El mo-
mento de inercia de un anillo de
masa m y radio r está dado por:
Ic = mr
2/2 , donde c representa
el centro del aro.
Figura 7.79:
80. (C3-2011). El sistema de la figura
está compuesto de dos cuerpos.
El anillo de masa m rueda sin
deslizar sobre el cuerpo que tiene
una superficie curva y que se en-
cuentra conectado a un resorte
de rigidez k. El cuerpo conecta-
do al resorte se compone de un
semićırculo y una placa rectan-
gular, con un momento de iner-
cia total I = 0,32mR2, respec-
to a un eje que pasa por su cen-
tro de gravedad. Determine la(s)
ecuación(es) del movimiento para
el sistema usando el método de
Lagrange. Ianillo = mr
2 ; mo-
mento inercia del anillo respecto
a eje que pasa por g. ( r: radio
del anillo)
81. (C3-2011). El sistema de la figu-
ra está compuesto por dos var-
illas delgadas de masa m y lon-
gitud L. La posición de reposo
está dada cuando ambas barras
están en posición horizontal y el
resorte tiene una longitud inicial
L. Determine la(s) ecuación(es)
Figura 7.80:
del movimiento del sistema. La
barra de la derecha desliza su ex-
tremo (derecho) sobre la superfi-
cie curva de radio L. Use método
de Lagrange.
Figura 7.81:
82. (T4-2011). El disco de masaM =
4m y radio L/4 rueda sin deslizar
en ambas superficies de contacto;
con el piso y con la barra esbelta
de longitud L y masa m. La bar-
ra en su derecha se apoya en una
superficie curva de radio L/8 lisa.
Determine usando el método de
Lagrange la (s) ecuación (es) del
movimiento para pequeños desplaza-
mientos.
Figura 7.82:
Gabriel Barrientos R. 67
83. (R-2011). El sistema de la figu-
ra está en reposo (AD = 4,5R)
cuando los dos resortes tienen una
longitud inicial de 3R. Determine
la(s) ecuación(es) del movimien-
to usando el método de Lagrange
si el disco de radio R rueda sin
deslizar en los puntos A y B. El
semi-disco de inercia Ig = 0,22mr
2,
de radio r = 3R y masa m=3M,
desliza en los puntos D y E sin
roce. Ambos resortes sólo se mue-
ven horizontalmente.
Figura 7.83: