Capacitancia FERNANDO

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Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Departamento de F́ısica
Clases Capacitancia
Electromagnetismo 510226
Profesor: Fernando Cortés Guerrero
April 22, 2018 1 / 25
Capacidad
El potencial de un único conductor asilado, que contiene una carga Q,
depende directamente de esta carga y depende de la forma y tamaño del
conductor.
En general, mientras mayor sea la superficie del conductor mayor es la
carga que puede almacenar a una potencial dado.
El potencial de un conductor esférico de radio R, que tiene una carga Q es:
V =
k Q
R
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La relación Q/V entre la carga y el potencial se denomina capacidad C.
C =
|Q|
|V |
Esta magnitud mide la capacidad de almacenar carga para una
determinada diferencia de potencial. Como el potencial es proporcional a
la carga, esta relación no depende ni de Q ni de V, sino solo del tamaño
del conductor.
La unidad en el SI para la capacidad es:
1 F =
1 C
V
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Condensador
Un condensador es un dispositivo constituido por dos conductores, los
cuales tienen cargas Q y -Q.
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El campo dentro de las placas es constante E =
σ
�0
La diferencia de potencial entre las placas es igual a:
V = Ed =
σ
�0
d =
Qd
�0A
La capacidad del condensador de placas paralelas es:
C =
Q
V
=
Q(
Qd
�0A
) = �0A
d
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Encuentre la expresión de la capacidad de un condensador ciĺındrico
formado por dos conductores de longitud L. Un cilindro tiene un radio R1
y el otro es una corteza ciĺındrica de radio interno R2. R1 < R2 << L
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Almacenamiento de enerǵıa
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Si transferimos una pequeña cantidad de carga dq a un potencial V, la
enerǵıa potencial del condensador se incrementa en:
dU = V dq =
q
C
dq
La enerǵıa potencial U es la suma de los incrementos, producto d las
transferencias de cargas desde que esta en cero hasta que se carga
completamente con caga Q.
U =
∫
dU =
∫ Q
0
q
C
dq =
1
C
∫ Q
0
qdq =
1
2
Q2
C
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La enerǵıa potencial, es la energás almacenada en el condensador. Puede
escribirse de varias maneras, debido a que C=Q/V:
U =
1
2
Q2
C
=
1
2
QV =
1
2
CV 2
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Enerǵıa del campo electrostático
La enerǵıa almacenada en el condensador reside en el campo eléctrico,
siendo la enerǵıa del campo electrostático. La enerǵıa almacenada es:
U =
1
2
CV 2 =
1
2
[
�0A
d
]
(Ed)2 =
1
2
�0E
2(Ad)
Ad es el volumen del espacio entre las placas.
la densidad de enerǵıa del campo electrostático es:
ue =
energia
volumen
=
1
2
�0E
2
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Asociación de condensadores
Los condensadores pueden estar en un circuito básico, compuesto de uno o
mas condensadores y una bateŕıa.
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Condensadores en paralelo
Los dispositivos que comparten la misma diferencia de potencial estan
conectados en paralelo.
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Tenemos una diferencia de potencial V = Va − Vb entre las placas del
condensador. Si las capacitancias son C1 y C2, las cargas almaceadas Q1
y Q2 vienen dadas por:
Q1 = C1 V Q2 = C2 V
La carga total almacenada
QT = Q1 + Q2 = C1 V + C2 V = (C1 + C2)V
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capacidad equivalente en paralelo
podemos entender que todas las capacitancias pueden ser reemplazadas
por un unico condensador. Una asoiación de condensadores en un circuito
puede reemplazarse por un solo condensador que almacene la misma
cantidad de carga para una determinada diferencia de potencial.
Ceq =
Q
V
=
Q1 + Q2
V
=
Q1
V
+
Q2
V
= C1 + C2
Ceq =
n∑
i=1
Ci
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Condensadores en serie
La carga en cada capacitor es la misma.
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Las diferencias de potencial a través del primer y segundo condensador son:
V1 =
Q
C1
V2 =
Q
C2
Ls diferencia de potencial entre los dos condensadores en serie es la suma
de estas diferencias de potencial
V = Va + Vb = V1 + V2 =
Q
C1
+
Q
C2
= Q
[
1
C1
+
1
C2
]
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V = Q
[
1
C1
+
1
C2
]
Q
Ceq
= Q
[
1
C1
+
1
C2
]
1
Ceq
=
[
1
C1
+
1
C2
]
1
Ceq
=
n∑
i=1
1
Ci
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Dieléctricos
Un material no conductor (vidrio, madera, etc) es llamado dieléctrico. Si el
espacio entre las placas de un condensador es ocupado por un dieléctrico,
la capacidad aumenta por un factor k que es caracteŕıstico del dieléctrico.
El campo eléctrico entre las placas se debilita por causa del dieléctrico, aśı
para una carga sobre las placas, la diferencia de potencial se reduce y la
relación Q/V se incrementa.
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Si el campo eléctrico original entre las placas de un condensador sin
dieléctrico es E0, el campo en el interior del dieléctrico introducido entre
las placas es
E =
E0
k
En un condensador de placas paralelas de separación d, la diferencia de
potencial entre las placas esta dada por:
V = Ed =
E0d
k
=
V0
k
siendo V la diferencia de potencial con dieléctrico y V0 = E0d la diferencia
de potencial original sin dieléctrico.
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La nueva capacitancia esta dada por
C =
Q
V
=
Q
V0/k
= k
Q
V0
C = kC0
C =
k�0A
d
=
�A
d
� = k�0
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Problema 1
Sean 2 condensadores semillenos con dieléctrico tal como lo muestra la
figura. El área y separación entre las placas son las mismas en las dos
imágenes. ¿Cuál tiene mayor capacitancia?
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Problema 2
Para el diagrama, calcular:
1 Capacitancia total entre los terminales
2 Carga almacenada en cada condensador
3 enerǵıa total almacenada
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Problema 3
Un condensador de placas paralelas rectangulares de longitud a y anchura
b, posee un dieléctrico de igual anchura inserto parcialmente una distancia
x entre las placas. Encuentre:
1 la capacitancia en función de x. Desprecie los bordes.
2 Que sucede en x=0 y x=a.
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