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Mecánica de fluidos 2016 Prof. Claudio Saavedra O. Lectura 1 
 
La mecánica de fluidos es una rama de la mecánica que estudia el comportamiento de la materia en 
fase líquida y gaseosa, cuando está en reposo o en movimiento. Dado que el estado de un fluido se 
debe definir en función de variables como la presión y la temperatura, la mecánica de fluidos se sus-
tenta también en los principios de la termodinámica. 
El alcance del curso está limitado a la mecánica del medio continuo, los fluidos se consideran como un 
medio continuo, esto significa que en cualquier punto del volumen que ocupa el fluido, existe la proba-
bilidad cierta de la existencia de materia. 
 
Características de los fluidos 
Entre las características más importantes de los fluidos están: 
-Cuando actúa un esfuerzo cortante sobre un fluido, éste se deforma en forma continua y se genera su 
movimiento (escurrimiento) 
-El fluido se deforma y adquiere la forma del recipiente que lo contiene, es una característica ventajosa 
para su transporte por el interior de ductos. 
Existe una diferencia entre gases y líquidos, los gases ocupan todo el volumen del recipiente, los líqui-
dos son capaces de crear una superficie libre cuando su volumen es inferior al del recipiente. 
-Densidad de un fluido: un fluido está constituido a nivel macro por partículas y éstas por un número 
suficientemente grande de moléculas en movimiento, por lo que se puede considerar una distribución 
continúa de la materia (medio continuo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
La densidad de un fluido se asocia con la densidad de una partícula de fluido y se puede expresar como 
una función continua de la posición y del tiempo (medio continuo) 
 
Lo anterior implica que la densidad del fluido no es necesariamente uniforme a través del volumen. 
Un modo de definir la densidad es en términos de la concentración de masa por unidad de volumen, 
como la masa “m” es constante, derivando la expresión entre masa, densidad y volumen, se obtiene: 
 
 
 
La relación anterior permite obtener la densidad en términos del volumen, por lo que se obtendrá una 
relación para evaluar los cambios de volumen generados por cambios de la temperatura y de la pre-
sión. 
Expresando el volumen “V” en función de la presión “P” y de la temperatura “T”, se obtiene: 
 
 
 
 
 
Definiendo los coeficientes de compresibilidad “K” y de expansión térmica “β”, la expresión anterior 
queda: 
 
 
 
 
 
 
El valor de los coeficientes de expansión térmica y de compresibilidad se obtiene experimentalmente. 
En la tabla siguiente se indican valores para algunos fluidos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escurrimiento compresible e incompresible: 
El escurrimiento es incompresible, si la densidad de la partícula de fluido es independiente de la presión, 
Líquido Temperatura Densidad Viscosidad 
dinámica 
Presión 
Vapor 
K  
 ºC Kg/m3 Pa-s Pa 1/Pa 1/ºK 
Alcohol etílico 20 789 1.19*10-3 5900 9.43*10-10 1098*10-6 
Gasolina 16 680 0.31*10-3 55000 7.69*10-10 
Glicerina 20 1260 1.5 14000 2.21*10-10 480*10-6 
Mercurio 20 13600 1.57*10-3 0.16 0.35*10-10 181*10-6 
Aceite SAE 30 16 912 0.380 6.67*10-10 700*10-6 
Agua de mar 16 1030 1.20*10-3 1770 4.27*10-10 207*10-6 
Agua 16 999 1.12*10-3 1770 4.65*10-10 207*10-6 
Aire 16 1.8*10-5 
ρ
dρ
V
dV
VdρdV ρ 0ρVm 
 
PTPT δT
δV
V
1
dP
δP
 δV
V
1
V
dV
dT
δT
δV
dP
δP
 δV
dV
TP,fV 


























dPK dT β
V
dV
ρ
dρ
δT
δV
V
1
β
δP
δV
V
1
K
PT














0Pρ 
 
 
 3 
Entonces aplicando las relaciones anteriores a los líquidos, se puede concluir que: 
a) el flujo de líquidos se considera como incompresible ya que se puede despreciar el efecto de la presión 
sobre su densidad 
b) el flujo de gases puede ser considerado incompresible si las velocidades son medianas a bajas, si ellas 
son altas el flujo es compresible. En escurrimientos compresibles se presentan dos fenómenos que no 
ocurren en flujos incompresibles: 
a) cambio brusco de las propiedades del flujo (salto en una onda de choque) 
b) flujo crítico, cuando el flujo máximo que pasa a través de una sección alcanza un límite 
 
Aplicaciones: 
1.1 Una bomba de émbolo tiene un cilindro de 80 mm de diámetro in-
terno y un pistón. Calcule el valor de la presión interna, cuando el pis-
tón se ha desplazado 0.8 mm, si las válvulas están cerradas 
Al inicio, el agua que llena el cilindro está a la presión atmosférica 
(101325 Pa) y su temperatura se mantiene en 16°C 
Datos: K=4.6*10-10 1/pa, β=207*10-6 1/°K . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para líquidos una pequeña reducción de su volumen genera un aumento significativo de su presión. 
Este es el principio de operación de las máquinas llamadas como “máquinas de desplazamiento posi-
tivo” 
Calcule el cambio de la densidad del agua y resuelva el problema anterior si el fluido es el aire. 
 
1.2 Si el fluido es aire, calcule la presión interna sí la válvula de descarga se abre cuando el pistón ha 
recorrido 100 mm, el aire proviene del am-
biente. 
Condición inicial del aire en el cilindro 16°C y 
101325Pa. 
Considere que el proceso es adiabático reversi-
ble, y recalcule la presión si el proceso es isotér-
mico. Calcule la densidad del aire para la posi-
ción del pistón indicada anteriormente. 
 
 
 
 
     
bar 146.4Pa14,641,73314,540,407101.325
V
V
ln
k
1
PP
mm599,165/40.8120*80πV mm603,186120/4*80πV
PPK
V
V
lndPK
V
dV
 0dTisotérmicoprocesoparadTβdPK
V
dV
f
i
if
32
f
32
i
if
i
f















 
 
 4 
2. Un estanque contiene 350 litros de agua, los que se calientan desde 15 ºC hasta 85ºC, calcule la pre-
sión máxima que se alcanza, si todas las válvulas permanecen cerradas. 
 
3. El estanque de la figura tiene un volumen total de 10 m3. Inicialmente la 
presión interna absoluta es de 10 bar y la temperatura 20°C, cuando el volu-
men de agua líquida es de 4 m3 y el de aire 6 m3 
Luego, mediante el suministro de aire, se logra aumentar la presión del agua 
y del aire a 400 bar absoluto, manteniendo la temperatura en 20°C 
Calcule: la densidad final del agua, si su densidad inicial es de 1000 kg/m3 y 
la masa de aire que entró al estanque ´ 
 
 
4.-Un estanque hermético, con un volumen de 1 m3, está lleno con 
agua a una temperatura de 100ºC, y presión absoluta de 10 bar Ob-
tenga el valor de la presión del agua, al enfriarla hasta 60 ºC. 
 K = 4.7*10-10 (1/Pa) =200 * 10-6 (1/ºK) 
 
 
5 Se llena un circuito hidráulico con 250 litros de líquido a 20 °C, quedando 25 litros adicionales en un 
depósito abierto a la atmósfera. Si la presión no debe cambiar en el circuito, calcule los volúmenes de 
líquido en el depósito para temperaturas de 80°C y 5°C. = 0.00072/°C 
 
6.-Un recipiente de 10 litros de capacidad está lleno de líquido, calcular el volumen de líquido que es-
capará del recipiente si la presión disminuye desde 200 a 1 atmósfera. K= 0.77*10-4 1/bar 
 
7.-Un circuito de calefacción tiene una capacidad equivalente a 80 litros, si se llena con agua a 15°C, 
calcular el volumen de agua que pasa al tanque de expansión cuando opera a 80°C 
 
8.- Un estanque rígido contiene 500 litros de agua, a una presión de 4 bara, la que se calienta desde 15 
ºC hasta 85ºC, Calcule el volumen de agua que se debe dejar escapar para mantener la presión en 4 
bara  = 207*10-6 1/°K K = 4.65*10-10 1/Pa 
 
 
 
 
 
9.- Obtenga los coeficientes de compresibilidad y de expansión térmica para el aire considerado como 
gas ideal.10.- Un circuito de calefacción tiene un volumen de 2 m3 y está lleno con agua a 4 bar man. y 
15°C, en operación su temperatura llega a los 70°C. 
El sistema dispone de un estanque de expansión, de 1 m2 de área transversal,y tiene inicialmente 0.8 
m3 de agua a 15°C y 0.5 m3 de aire a 15°C separados por una membrana flexible. 
Suponga que: 
- las temperaturas del aire y agua en el tanque de expansión y cañería permanecen en 15°C. 
7.3l0.0073l0.50.5073VVΔV
m0.5073e*0.5eVVΔTβ
V
V
ln dTβ
V
dV
0dPcondTβdPK
V
dV
if
30.0145ΔTβ
if
i
f








 
 
 5 
-el volumen de agua en la cañería que conecta el tanque de expansión con 
el circuito de calefacción es despreciable 
 
1) Calcule la presión inicial que indica el manómetro de la cámara de aire 
Ubicando los puntos “1” (eje tubería circuito calefacción) “2” membrana, 
como en esta dirección rige la estática de fluidos, se tiene: 
 
 
 
Como el efecto de la columna de aire sobre la presión, es muy bajo, se 
puede despreciar con lo que el aire está a una presión uniforme y por lo tanto el manómetro indica 
una presión de 360,800 Pa. 
 
2) Calcule la presión final que indica el manómetro de la cámara de aire asumiendo que la presión en el 
circuito de calefacción no cambia 
Bajo el supuesto anterior, el volumen del agua existente en el circuito de calefacción aumenta sin res-
tricción, ya que el exceso pasa al tanque de expansión. Se calculará el volumen de agua que pasa hacia 
el estanque de expansión. 
Empleando la relación: 
 
 
 
 
Dado que el aire se comprime más fácil que el agua, el volumen de aire se reduce en 0.0229 m3, por 
otra parte la masa de aire se mantiene, lo mismo que su temperatura, por lo que se cumple: 
 
 
 
 
 
3) Verifique si la presión permanece en 4 bar manométrico 
Recalculando la presión en el punto 1 (ver figura) se tiene con el nuevo valor de presión para el aire: 
422,405Pa39,424382,981)
1
0.0229
(4*1000*9.8382,981h´ ρ gPP 21  =4.22 bar 
 
Los resultados indican que la presión no se mantiene en su valor inicial, aumenta en 0.22 bar, pero si 
no se dispusiera de un estanque de expansión el aumento de presión sería: 244.8 bar 
Datos adicionales: Raire = 287 K =4.65*10-10 (1/Pa) β=207* 10-6 (1/K) 
 
11.- Tomando como referencia al aire y utilizando el programa EES calcule su densidad para presiones 
entre 0.1 bara y 100 bara, fije la temperatura en 15°C.discuta sobre la validez de la relación para aire 
como gas ideal. 
 
  3315-7010207*βΔT
i.f
i
f
0.0229m2.02.0229ΔV2.0229m2eeVV
βΔT
V
V
ln βdT
V
dV
0 dP cambia nopresión la comokdPβdT
V
dV
6-


 
bar 3.83382,981Pa101,325484,306P
484,306.Pa
0.02290.5
0.5
101,325)(360,800
V
V
PPV P cteT R mVP
man
f
i
ifffiii




bar 08 3.6Pa 360,800P 
4*1000*9.810*4h ρ gPP h ρ gPP
2
5
1221


 
 
 6 
12.- Utilizando el programa EES, discuta sobre la validez del comportamiento incompresible del agua y 
del aire. 
 
13.-Calcular las presiones que indicarán los manómetros cuando el contenido de los tanques alcanza 
una temperatura de 90°C. 
Tanque I de forma cilíndrica de 1 m de altura y 0.8 m de diáme-
tro, contiene agua inicialmente a 15 °C y 2 bar man. 
Tanque II de forma cilíndrica de 1,3 m de altura y 0.8 m de diá-
metro, contiene agua y aire, según se muestra, inicialmente a 
15 °C y 2 bar man 
 
207RK)(1/10*207β(1/Pa)10*4.8K
mRTPVβdTKdP
V
dV
610 


 
 
Supuestos que hace para resolver el problema: 
-Tanques no cambian sus volúmenes 
- El aire no se disuelve en agua 
-El agua y el aire están en equilibrio térmico al inicio y al final, lo mismo ocurre con las presiones 
 
Desarrollo: 
Tanque I: como el volumen del agua no puede cambiar, con dV=0, se obtiene: 
 
    Pa10*325,415)(90
10*4.8
10*207
10*2)T(T
K
β
PPTTβPPKβdTKdP 5
10
6
5
ifififif  

 
 
Tanque II: al aumentar la temperatura del agua y del aire, desde 15°C hasta 90°C, y dado que el aire 
se comprime más fácilmente que el agua, la expansión del agua se compensa con una compresión del 
aire, de modo que el volumen total que ocupan no cambia (tanque indeformable) 
 
- volumen inicial del aire 
322
aia m 0.1508/4(0.8)*0.3*π/4D*L*πV  
-masa de aire no cambia aire de 0.762kg
15)(273*207
0.1508*101325)(200.000
T*R
V*P
m
ai
iai
a 


 
-volumen inicial del agua 
322
iagua m 0.5027/4(0.8)*1*π/4D*L*πV  
-volumen total del tanque 
322
TKTK m 0.6535/4(0.8)*1.3*π/4D*L*πV  
 
Como el volumen total no cambia se debe cumplir que la suma del volumen final del aire y del volumen 
final del agua, se mantiene igual al volumen del tanque: 
 
 (1) 
 
El volumen final del aire se calcula con ley de los gases ideales y teniendo en cuenta que la tempera-
tura y la presión son absolutas 
 
3
TKfaguafa m 0.6535VVV 
 
 
 7 
 
 (2) 
 
 
El volumen final del agua, se obtiene a partir de la ecuación que relaciona el cambio de volumen 
con cambios de la temperatura y de la presión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La solución se encuentra iterando con Pfm en las ecuaciones (1), (2) y (3) 
El valor de la presión final manométrica que existe en el tanque II, cuando el agua y el aire se han ca-
lentado hasta 90 °C es de 299191 Pa 
 
El agua aumentó su volumen desde 0.5027 m3 hasta 0.5105 m3, ósea, 0.007841 m3 
 
El aire a pesar de estar a una mayor temperatura, redujo su volumen desde 0.1508 m3 hasta 0.143 
m3, ósea 0.007841 m3, esto provocado por la expansión del agua. 
 
Resultados: 
Presión manométrica tanque I = 32.543.750 Pa = 325.44 bar 
Presión manométrica tanque II = 299.191 Pa = 2.99 bar 
 
Conclusiones: de acuerdo con los resultados obtenidos se puede concluir 
a) que si el objetivo es calentar un líquido en un recipiente cerrado conviene considerar un volumen de 
aire (o gas) adicional para mantener controlado el incremento de presión. 
 
b) que si el objetivo es aumentar la presión de un líquido entonces no conviene que exista aire (o gas), 
ya que se limita el incremento de presión 
 
 
 
Tensión superficial y capilaridad 
Son fenómenos asociados a la capacidad de un líquido de crear una superficie libre, y ocurren en las 
interfaces entre: líquido/gas, líquido/sólido y líquido/líquido, y se deben a la existencia de dos tipos de 
fuerzas: 
- fuerzas de cohesión: fuerzas de atracción entre moléculas de la misma naturaleza 
- fuerzas de adhesión : fuerzas de atracción entre moléculas diferentes 
 
Las moléculas que están en el interior del líquido, están sometidas a fuerzas de atracción en todas di-
recciones, por lo que la fuerza resultante es nula. En cambio aquellas ubicadas en la superficie, están 
sometidas a una fuerza resultante hacia el interior del líquido, por lo que se requiere hacer un trabajo 
para trasladar una molécula desde el interior a la superficie. La superficie tiene un comportamiento si-
milar al de una membrana elástica. 
 
fm)fmf
fa
fa
P(101325
57.257,4
)P(101325
90)(273*207*0.762
absP
T*R*m
V





   
15)(9010*207200.000)(P10*4.8
0.5027
V
ln (3)
TTβPPK
V
V
ln βdTKdP
V
dV
6
fm
10fagua
ifif
iagua
fagua
agua
agua



















 
 
 8 
Relación entre la presión interna y la tensión superficial para gota 
líquida 
Para el análisis se considera una gota de forma esférica, rodeada por 
el aire atmosférico. 
El diagrama de cuerpo libre de la mitad de la gota indica que despre-
ciando el efecto del peso, existe un equilibrio entre la fuerza resul-
tante de la presión externa “Patmf”, la presión interna "Pi" y la fuerza 
resultante de la tensión superficial existente en la superficie de la 
gota "". 
 
 
La expresión anterior entrega el valor máximo de la presión interna que puede resistir la superficie de 
la gota. También se puede observar que una gota de menor tamaño (menor radio) puede resistir una 
mayor presión interna sin colapsar. 
Para: agua (20ºC) en contacto con aíre  = 0.073 N/m 
 mercurio en contacto con aíre  = 0.514 N/m, benceno0.024 N/m, etanol 0.023 N/m., 
 
Aplicación: la figura muestra una burbuja de vapor de 5 mm de diámetro, que 
se evaporó del agua líquida saturada a 10°C . Calcule el valor de la presión in-
terna máxima a la cual puede estar el vapor. 
Del programa EES con t = 10°C, se obtiene para agua líquida saturada en con-
tacto con su vapor  = 0.0742 N/m. y Po = 1228 Pa 
 
 
 
Si la burbuja de vapor es arrastrada por el agua líquida a una región donde el agua líquida tiene una 
presión de 10.000 Pa, cuál será la presión del vapor? 
 
 
Capilaridad 
La relación entre la fuerza de cohesión del líquido y la fuerza de adhesión del líquido a las paredes de 
un sólido puede originar los siguientes casos: 
- si la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión el líquido asciende y 
se forma una superficie libre cóncava 
 
- sí la fuerza de cohesión es mayor que la fuerza de adhesión el líquido no moja 
las paredes del tubo, y la superficie libre puede ser plana o convexa 
 
Equilibrio de fuerzas las dos fuerzas en equilibrio son: la tensión superficial y el 
peso. 
Para el caso de la figura se tiene: 
-Componente vertical Fv de la fuerza originada por la tensión superficial Fv =   d cos 
o
atmfi
2
oi
2
0atmfo
R
2σ
PPR πPR πPR π2 σ 
Pa 1258301228
0.005
0.0742*2
1228
R
σ 2
PP
o
oi 
 
 
 9 
El peso de la columna liquida Fw =Fuerza peso =  d2 h  g / 4 
 
A partir del balance de fuerzas se obtiene la altura “h” que se eleva el agua por encima de la superficie 
libre 
Para agua / vidrio  = 0 
 
Aplicación calcule cuanto se eleva el agua en el interior de un tubo de 5 mm de diámetro interior: 
 
 
 
Viscosidad del fluido 
Es una propiedad de los fluidos que mide su resistencia al escurrimiento, y que también se manifiesta 
como la adherencia a fronteras solidas cuando escurre. 
Esto implica que las partículas de fluido en contacto con una pared, tiene la velocidad de esta. 
Este hecho impone condiciones de borde en la solución de las ecuaciones de flujo para fluido viscoso, 
sin embargo en el caso del flujo de un fluido ideal no-viscoso, se admite por razones mate-
máticas la existencia de una velocidad relativa tangencial no nula. 
La viscosidad de un líquido se puede obtener a partir del tiempo que tarda en escurrir 
en un tubo capilar, como el que se muestra. 
La viscosidad de gases y de la mayoría de los líquidos aumenta ligeramente con el aumento 
de presión. 
Los cambios de la viscosidad originados por cambios en la temperatura del fluido son más 
importantes. Cuando la temperatura aumenta, la viscosidad de los líquidos disminuye y la de 
los gases aumenta, correlacionando los datos experimentales de la viscosidad dinámica se 
han obtenido expresiones para gases y líquidos como las siguientes: 
 
 
 
 
 
Para aire n= 0.7 (aprox.) T0 =300 K µ0 = 1.846*10-5 
Para agua T0= 273.1 µ0 =0.001792 a=-1.94 b=-4.80 c = 6.74 
 
Se definen dos tipos de viscosidades: la dinámica y la cinemática, que se relacionan como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ρd
cosθ4
h
g


6mm0.006m
1000*9.8*0.005
0.073*4
h 
líquidos para
T
T
c
T
T
ba
μ
μ
lngases para
T
T
μ
μ
2
00
0
n
00



















/s)m(ρμcinemáticaviscosidadηs)Pa(dinámicaviscosidadμ 2
 
 
 10 
Mecánica de fluidos 2016 Prof. C. Saavedra Lectura 2: Fuerzas 
 
 
Fuerzas en fluidos 
 
La segunda ley de Newton, que posteriormente se aplicará al estudio de los fluidos, relaciona las fuer-
zas que actúan sobre un fluido con su movimiento. 
 
 
 
Para aplicar la relación anterior a los fluidos se deben hacer algunos ajustes, considerando que existen 
dos tipos de fuerza que pueden actuar sobre los fluidos: 
 
a) Las de cuerpo: que actúan sobre la materia sin requerir de un contacto directo, 
son proporcionales a la masa, ej: la fuerza de gravedad (el peso),y la fuerza electro-
magnética. 
Para el volumen de control que se muestra la fuerza por unidad de masa que actúa 
sobre la partícula de masa de “dm” es f

, que tiene las dimensiones de la acelera-
ción. 
 
Por lo tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula de masa dm es dm fFd C

 y teniendo en cuenta 
que la masa dm en el volumen dV es dm =  dV, se obtiene: dV ρ fFd C


 
La fuerza de cuerpo resultante que actúa sobre la masa contenida en el volumen de control es: 
 
 
 
nota: las fuerzas ficticias de D'Alambert se consideran como fuerzas de cuerpo, y f

, es ahora, la acele-
ración del fluido, a

 
 
 
 
b) Las de superficie: que se originan por la interacción directa entre: moléculas de un mismo fluido, 
moléculas de fluidos diferentes y también por contacto con la superficie de un sólido. 
Recordando que una fuerza es una cantidad vectorial y que la superficie S

es también una cantidad 
vectorial, el número de combinaciones posibles entre las tres componentes del vector fuerza y las tres 
componentes del vector superficie origina una cantidad de nueve componentes: 
 
 
 
 
La cantidad resultante se llama esfuerzo, tiene 9 componentes, 3 componentes normales  (+para 
tracción) y 6 componentes” ”, que son tangente a la superficie sobre la que actúa. 
El esfuerzo es un tensor de 2º orden, con componentes del tipo ij (ver figura) 
Dónde: i: identifica la dirección de la normal al área sobre la cual actúa la componente del esfuerzo 
  VomC dV ρ fdm fF 0

  amF

 
 zyx
zyx
S,S,S
F,F,F
Superficie
Fuerza
σ 
dV ρ aF
0V
a 

 
 
 11 
 J: identifica la dirección de la componente del esfuerzo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: En solidos el esfuerzo aparece cuando el material es deformado elásticamente, en fluidos el es-
fuerzo de cortadura, aparece cuando existe escurrimiento viscoso. En un fluido en reposo no existen 
esfuerzos de corte. 
 
Simetría del tensor esfuerzo 
-Si el fluido es tal que los torques dentro de él, se originan como momentos de fuerzas directas, el 
fluido se clasifica como no polar. 
-Si el fluido es capaz de transmitir torques originados en cuplas de esfuerzos, el fluido se clasifica como 
polar 
 
Por lo tanto para un fluido no polar se cumple: 
 
 
 
Por lo que, el tensor esfuerzo es simétrico y tiene 6 componentes independientes: 
a) las tres componentes de la diagonal principal que representan los esfuerzos normales y su suma 
tiene un valor único independiente de la orientación de los ejes x, y, z , por lo tanto es un escalar., lo 
mismo que su promedio  
 
 
 
b) las 3 componentes fuera de la diagonal, que son los esfuerzos tangenciales, que apuntan desde y 
hacia las esquinas 
 ij : [ xy  xz  yz ] ( ver figura) 
 
Relación entre la presión (termodinámica) y los esfuerzos normales, 
La presión, concepto de equilibrio termodinámico es una cantidad escalar definida como una fuerza 
por unidad de área que genera un efecto de compresión. El esfuerzo normal es un concepto no restrin-
gido a una condición de equilibrio, que se acostumbra a definir generando tracción (aun cuando un 
fluido no soporta esfuerzos de tracción, salvo el caso de la tensión superficial). 
 zzyyxx  
3
1
zyyzzxxzyxxy ττττττ 
 
 
 12 
Según Stokes la presión “P” en un punto de un fluido se define como el promedio de los esfuerzos nor-
males sobre tres planos de referencia mutuamente ortogonales, ósea: 
 
 
 
Finalmente la fuerza superficial 0F

que actúa sobre la superficie oS

que rodea a un volumen de fluido V0 
es: 
 
 
Con lo que la segunda ley de Newton aplicada a fluidos queda: 
 
 
 
La expresión anterior se puede escribir en forma diferencial, transformando la integral de superficie en 
una de volumen mediante el teorema de la divergencia: 
 
 
 
Agrupando términos e igualando a cero 
 
Y dado que dV ≠ 0se obtiene: 
 
 
 
Relación general conocida como ecuación de Cauchy, cuando la única fuerza de cuerpo existente es el 
peso, entonces 
 
 
 
 
Distribución del esfuerzo en un punto de un fluido en movimiento (equilibrio local de los esfuerzos) 
Si se considera un pequeño volumen de fluido (ver figura siguiente), se puede establecer que, según la 
segunda ley de Newton, está en equilibrio producto de la acción de las fuerzas de cuerpo, de inercia y 
de superficie que actúan sobre él. 
Cuando el volumen se reduce a un punto, las fuerzas de cuerpo e inerciales, que son proporcionales al 
volumen, disminuyen más rápido que las fuerzas de superficie, que son proporcionales al área. 
 
De lo anterior se puede deducir que un fluido está en equilibrio local (en un punto) debido al equilibrio 
local de los esfuerzos. 
 
Cada elemento de fluido queda sometido a esfuerzos provenientes del resto del fluido que lo encierra. 
Los esfuerzos normales existen, esté el fluido en movimiento o en reposo, pero los esfuerzos tangen-
ciales aparecen, sólo si el fluido está en movimiento. 
 zzyyxx σσσ
3
1
- σp 
 
00o VSV
dV ρ aSd σdV ρ f

 
00o VVV
dV ρ adV σ divdV ρ f


0S
s Sd σ F

  0dVρadivσρf
0V


aσ div
ρ
1
f


a σ div 
ρ
1
ggf


 
 
 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Casos en que no existen los esfuerzos tangenciales 
- el fluido está en reposo, 
- el fluido se mueve como un sólido (no existe deslizamiento entre una capa y otra de fluido 
- el fluido se mueve pero se considera como un fluido ideal con viscosidad nula. 
 
Distribución de los esfuerzos normales en un punto de un fluido si no existe esfuerzo de corte  = 0 
Según lo anterior, el fluido contenido en el pequeño volumen de control limitado por cuatro superficies 
planas (dos verticales, una horizontal y una inclinada) que se indica en la figura siguiente, está en equi-
librio, por lo que la fuerza resultante de los esfuerzos normales que actúan sobre las cuatro superficies 
es cero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimiento: 
- El vector que representa a la superficie inclinada ABC se puede descomponer en tres vectores superfi-
cies según tres planos ortogonales AOC, BOC y ABO, ósea: 
 
 
 
Multiplicando por la presión p, se obtiene: 
 
 
 
kAjAiAA zyxn 

kA pjA piA pA p zyxn 

 
 
 14 
- de la condición de equilibrio de las fuerzas superficiales (resultan del producto del esfuerzo normal 
por el área de la superficie sobre la que actúa), se obtiene: 
 
 
 
Al restar las dos ecuaciones anteriores y considerando que el sentido de la presión es de compresión y 
que el esfuerzo normal σnn es de tracción, se obtiene: 
 
 
La expresión anterior confirma que la distribución del esfuerzo normal en torno a un punto de un 
fluido cuando no existe el esfuerzo de corte, es esférica, por lo que no depende de la orientación y se 
puede considerar como un escalar. 
 
 
Condición de equilibrio para un fluido en reposo (no existe esfuerzo de corte) 
En este caso la fuerza inercial se anula, con lo que, la condición de equilibrio del fluido en reposo, con-
tenido en el volumen de control V0, se establece por la fuerza de cuerpo peso y la fuerza superficial re-
sultante de los esfuerzos normales que ejerce el resto del fluido 
 
 
 
Dado que la fuerza peso es vertical, la resultante de las presiones es también vertical pero de sentido 
contrario. A la fuerza vertical resultante de las presiones que ejerce el resto del fluido sobre el volu-
men de control se llama empuje E. 
 
 
 
 
 
 
El empuje es igual al peso del fluido contenido en el volumen V0 y por lo tanto no depende de la posi-
ción del volumen de control y tampoco depende del valor del campo o distribución de las presiones. 
 
Aplicación: compare el empuje sobre un cuerpo de 1 m3 de volumen cuando está sumergido en agua, 
con el empuje producido por el aire atmosférico. 
Para agua E= g agua V0 =9.8*1000*1=9800 N 
Para el aire E= g aire V0 =9.8*1.2*1=11.8 N 
 
 
Flotación de un cuerpo en un líquido 
Cuando un cuerpo de volumen V0 y peso específico ʏ0 y peso W, se introduce en un líquido en reposo, 
de peso específico ʏL, se pueden alcanzar tres condiciones de equilibrio: 
-Si W = E, el cuerpo se ubica en cualquier posición en el interior del fluido (caso a) 
pσσσσ zzyyxxnn 
0Sd σdV ρ g
0o SV


k̂ V γk̂ V ρ gSd pE 00
S0
 

kAσjAσiAσAσ zzzyyyxxxnnn 

 
 
 15 
-Si W > E, en ausencia de otra fuerza externa, el cuerpo se va a fondo (caso b). 
 
-Si W < E, el cuerpo puede flotar total o parcialmente sobre la superficie del líquido 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicación: calcule los volúmenes V01 y V02 para el cuerpo de forma cubica de 1 m3 de volumen si su 
densidad es un 70% de la densidad del agua 
De la condición de equilibrio se tiene: 
 
 
 
 
 
Variación de la presión en un líquido en reposo 
Interesa determinar cómo cambia la presión en un fluido que está en reposo, aplicando la relación 
 
 
a un volumen de control de forma cilíndrica, de altura “dZ” y área transversal “A” tal como se indica en 
la figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
La fuerza resultante de las presiones que actúan sobre el manto del cilindro es cero, ya que la compo-
nente del peso en planos horizontales es nula, y la relación se reduce a: 
 
 
 
Lo que indica que la distribución de presiones en planos horizontales es uniforme 
 
Según la dirección vertical, la existencia de la fuerza peso afecta la distribución de presiones. 
0Sd σdV ρ g
0o SV


0Sd pSd σ
00 SS
 

3
0101aguaagua 0.7mVV*ρE1*ρ 0.7W 
 
 
 16 
El balance de fuerzas sobre el volumen de control de peso dW que está en equilibrio es 
 
 
 
 
 
Esta relación indica que a medida que aumenta Z (se aproxima a la superficie) la presión disminuye, al 
integrarla se puede relacionar la presión en A con la presión en B. 
 
 
 
La relación anterior indica que la presión en A se obtiene sumando a la presión en B, el peso de la co-
lumna de líquido (por unidad de área) que se encuentra sobre la superficie considerada. 
 
Al agrupar todos los términos con el mismo subíndice, se obtiene: 
 
 
 
 
 
La relación cteZ
γ
P
 se llama altura piezométrica y corresponde a la suma de la altura de presión y 
de la altura potencial o cota, cuando se aplica esta relación a diferentes puntos ubicados en el fluido 
indican que: 
 La altura piezométrica es constante en un líquido en reposo 
 
 
Manometría 
Las relaciones anteriores se pueden aplicar a la determinación de las presiones en fluidos que estén en 
reposo como en movimiento. 
La figura muestra un tanque que contiene agua hasta una altura de 4 m res-
pecto a su fondo y está presurizado con aire. Existe un manómetro instalado a 
0.5 m por debajo de la superficie del agua que indica 180 kPa. 
Calcule la presión del aire y grafique la distribución de presiones interna tanto 
manométrica como absoluta. 
 
-Dado que el agua está en reposo, todos los puntos que están a la misma altura que el punto 2 están a 
la presión que indica el manómetro. 
 
-Como el peso del aire tiene un efecto mínimo sobre la distribución de presiones, se asume que esta es 
uniforme, y por lo tanto la presión en el cualquier punto de su volumen es la misma “Pa” 
 
  ΔZ ρ gPPZZgρPPdZgρdP BAABAB
Z
Z
P
P
B
A
B
A
 
altura de unidadesen Z
γ
P
Z
γ
P
presión de unidadesen Zρ gP Zρ gP
B
B
A
A
BBAA


dZ ρ -gdP0 dZρA g-A dZ
Z
P
-
 dZρA ggρρddWy dZ
Z
P
PP :con0dWA PA P ABBA







 
 
 17 
-En la interface entre dos fluidos existe un valor único para las variables termodinámicas, en este caso 
la presión; por lo tanto 
 P1aire=P1agua y además P1aire=Pa 
 
La presión P2 es igual a la presión P1 más el peso de la columna de líquido =g*agua*0.5 
 
 
 
El aire está a una presión manométrica de 175.100 Pa y su presión absoluta es de 175.100+101325=276.425 Pa. 
La altura piezométrica para el agua es, referida a la presión atmosférica: 
 
 
 
 
. Si se conecta un tubo vertical a un punto ubicado en el fondo del estanque, el agua en el tubo alcan-
zaría una altura de 21.87m (verifique este valor) 
La altura piezométrica para el aire es: 
 
 
Dado que el aire está comprimido, se necesita calcular su densidad, se asumirá que existe equilibrio 
térmico con el ambiente y que la temperatura ambiente es de 15°C. 
 
 
 
 
En el caso de gases el efecto de la presión es muy superior al efecto del peso de la columna de aire 
 
Distribución de las presiones internas: 
Se ubicará el eje vertical Z partiendo desde el fondo, por lo tanto la presión Pz en un punto ubicado en 
la cota Z, tomando como referencia la presión existente P1 en la superficie del agua, será: 
 
 
 
La figura muestra en rojo la distribución de las presiones en el interior del 
tanque. 
Donde hay aire la presión es uniforme, donde hay agua la presión au-
menta en forma lineal con la profundidad, alcanzando el valor máximo en 
el fondo. 
 
 
 
 
 
21.87m
9800
175.100
4
γ
P
zh
agua
1
1pagua 
175.100Pa0.5*1000*9.8180.0000.5*ρ*gPPP0.1*ρ*gPP 21a12 
aire
1
1paire
γ
P
zh 
m 5,3545,3504
3.34*9.8
175100
4h3.34kg/m
273)(15*287
276,425
ρ paire
3
aire 


214,300Pa4*9800175,100P es fondo elen presión laz)(4γPP 3agua1z 
 
 
 18 
Calcule la diferencia de presiones P2 – P1 para los circuitos que se muestran en las figuras, 
1.- corresponde a la impulsión de aire mediante ventilador (circuito de ventilación) 
2.- corresponde a la instalación de una restricción al flujo (placa orificio) para la medición del caudal de 
aire que pasa por la tubería. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3- La figura muestra un manómetro en U, que contiene mercurio como líquido mano-
métrico, y que está conectado a una tubería que contiene agua. 
Sabiendo que el mercurio alcanza la condición de equilibrio de niveles, cuando la pre-
sión absoluta P1 es de 0.8bar, calcular: 
- la presión P1 manométrica y absoluta cuando h =0.3m, para esta condición existirá el 
peligro de que algo de mercurio entre a la tubería? 
- la posición de la columna de mercurio cuando la presión manométrica P1 es de 
 200 kPa. 
 
4- La figura muestra un manómetro en U, que contiene agua como líquido manomé-
trico, y que está conectado a una tubería que contiene aire. Calcule el valor de P1 para 
h =0.3m. 
Calcule el error en el valor de P1, si no se considera la posición vertical del tubo en U 
respecto al eje de la tubería. 
 
 5- La figura muestra un manómetro diferencial que indica la diferencia de 
presiones existente entre dos puntos de una tubería que conduce aceite (den-
sidad 860 kg/m3), h = 300 mm columna de mercurio .Calcule: 
- la caída de presión entre los puntos 1 y 2 en Pascal, Bar 
- exprese la caída de presión en unidades de altura: mm columna de agua, 
mm columna de mercurio, mm columna de aceite 
 Sí la presión P2 es de 2 bar manométrico, calcule el valor de la presión P1absoluta y manométrica 
 
6- Si el manómetro del problema nº3 y del nº4, se cambia por los que se muestran en la figura si-
guiente, cuáles serían las posiciones del líquido manométrico que se obtendrían para los valores de la 
presión P1. 
Cuáles son las ventajas y desventajas respecto al manóme-
tro en U. 
 
 
 
 
 19 
7. Calcule la diferencia de presiones existente en la 
tubería inclinada en 30 °, si el aceite tiene una 
gravedad específica de 0.8 y el mercurio tiene una grave-
dad específica de 13.6 
El desnivel h es de 10 cm 
 
 
 
 
8.La figura muestra dos tuberías por las que circula agua, si la presión en 
1 es de 2.5 bar, cuál es la presión en 2 ? 
Suponga que los ejes de ambas tuberías están a la misma altura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Mecánica de fluidos 2016 Prof. C. Saavedra Lectura 3: Fuerzas 
 
Distribución de presiones en fluidos con equilibrio relativo 
Cuando un fluido se mueve como un sólido sin que exista movimiento relativo entre partículas de 
fluido, y por lo tanto sin que exista esfuerzo de corte, se dice que el fluido está en equilibrio relativo. 
Pueden existir dos situaciones: 
- El fluido se mueve con velocidad constante (aceleración nula) 
- El fluido es acelerado o retardado con aceleración uniforme 
 
La relación general, (2 ley de Newton), se puede aplicar al caso de un fluido en equilibrio relativo, 
donde el esfuerzo se reduce al esfuerzo normal (presión) y la aceleración es uniforme. 
 
 
 
Aceleración lineal uniforme de un fluido 
La figura muestra un líquido contenido en un estanque 
acelerando en la dirección horizontal 
 Tomando dos volúmenes de control para obtener la dis-
tribución de presiones según las direcciones vertical y ho-
rizontal, se tiene: 
-según la dirección vertical no existe aceleración por lo 
que las partículas en el volumen de control están en equi-
librio debido al peso y a la presión, por lo que la presión 
Pz vale Pz = g  h 
 
- según la dirección horizontal existe una aceleración ax y la condición de equilibrio para el volumen de 
control horizontal de largo dx y área transversal A queda: 
 
 
 
 
 
Por lo tanto según la dirección horizontal la disminución de presión en la dirección “x” es proporcional 
al producto de la aceleración por la densidad del fluido. 
Para que ocurra lo anterior, la superficie libre del líquido se debe inclinar como se muestra en la figura, 
y el ángulo α se puede calcular a partir de la condición de equilibrio del volumen de control horizontal 
de largo “L”. 
Integrando la ecuación anterior, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
00o VSV
dV ρ aSd p-dV ρ g

ρ a
dx
dP
-dx A ρ aA dx
dx
dP
P-A P
dxA ρdV ρmdx
dx
dP
PPcona mA PA P
xx11
12x21








g
a
L
hh
α tgρLah ρ gh ρ g
doreemplazanh ρ gPh ρ gP tienese verticaldirección lasegún 
ρLaPPdxρadP
x21
x21
2211
x21
X
X
x
P
P
2
1
2
1




 
 
 
 21 
El resultado indica que se puede medir la aceleración midiendo la inclinación de la superficie libre del 
líquido. 
 
Aplicación: líquido en un estanque cerrado que se mueve con una aceleración de 2 m/s2. 
Encontrar la distribución de presiones en planos verticales y horizon-
tales si el punto B1 está a la presión atmosférica, según direcciones 
horizontal y vertical se tiene: 
 
 
 
La presión en B0 es: PB0 =PB1+gH =0+9.8*1000*3=29,400 Pa 
 
La diferencia de presiones a nivel del fondo PA0-PB0 =41,400-29,400=12,000 Pa 
es la misma que existe a nivel del techo. 
 
En la figura superior se ha dibujado la distribución de presiones sobre 
la pared anterior del recipiente, y sobre la pared posterior de éste. 
En la figura inferior se ha dibujado la distribución de presiones sobre 
el techo y piso del tanque. 
 
 
 
 
Resuelva el problema anterior pero considere que: 
a) el camión donde va el tanque frena con la misma aceleración 
b) el movimiento es sobre un plano inclinado en 30° ascendente con aceleración de 2 m/s2 
c) el movimiento es sobre un plano inclinado en 30° descendente con aceleración de 2 m/s2 
 
Problema: se solicita obtener la distribución de presiones en el agua contenida en el tanque que se 
mueve con una aceleración de 2.6 m/s2 sobre el plano inclinado. 
Se plantean dos soluciones atendiendo a la posición del sistema de referencia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: como el fluido (agua) se mueve como un sólido, el esfuerzo de cortadura es cero, por lo que 
cuando el volumen de control tiende a un punto, el fluido está en equilibrio debido a los esfuerzos nor-
males. Luego se deduce que la presión en un punto del fluido, tiene el mismo valor cualquiera sea la di-
rección.(distribuciónesférica). 
 41,400Pa3*1000*9.812,000PaH ρgPP Vertical
 12,000Pa6*1000*20L ρaPP Horizontal
A1A0
xB1A1


 
 
 22 
Solución I se obtendrá la variación de la presión según x e y. 
 Las relaciones de equilibrio de un elemento de volumen dV que contiene una masa dm, son: 
Según X 
 
 
 
 
 
 
 
El resultado indica el efecto de la componente ax de la acelera-
ción sobre la distribución de presiones según dirección X 
 
Según Y 
 
 
 
 
 
 
 
El resultado indica el efecto de la componente ay de la aceleración sobre la distribución de presiones 
según dirección Y 
 
Las relaciones anteriores se aplicarán según X (NR) 
 
 
 
 
Según y (NM) se obtiene: 
 
 
 
 
 
De acuerdo con el resultado el punto N se encuentra a 0.203 m de la superficie libre y el ángulo de ésta 
con la dirección horizontal es: 
 
 
 
Por lo tanto la superficie libre del agua cuando se mueve con la aceleración dada forma un ángulo de 
11.48° con la dirección horizontal 
 
 0x0
X
X
x
P
P
x12
xx21
x-xρaPPdxρadP
ρdxadx
x
P
-dx
x
P
PP
dxA dVcon dV ρadmaAPAP
00










    0y0
Y
Y
y
P
P
y12
yy21
y-ygaρPPdygaρdP 
dy ρ gdy ρ ady
y
P
-dy
y
P
PP
dyA dVcon dV ρadmadV ρ g-APAP
00










   
2,252Pa1*cos30*2.6*1000P
0P 1mxxkg/m 1000ρ2.6m/sacon xxcos30 a ρPP
N
RNR
32
NRRN


 11.48φ0.203
1
0.203
NR
MN
tgφ
  
 
 
m 0.203
9.8sen30 2.6*1000
2,252
yy
Pa 2,252Py sen30 aa 0Pcon yyga ρPP
NM
NyMNMyMN




 
 
 23 
Solución II se obtendrá la variación de la presión según x´ e y´, teniendo en cuenta que el peso tiene 
componentes según las dos direcciones seleccionadas y que la aceleración solo tiene componente se-
gún x´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando las relaciones de equilibrio de un elemento de volumen dV que contiene una masa dm, se 
obtiene: 
Según X´ 
 
 
 
 
 
Según Y´ 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones anteriores se aplicarán a C-D y C-F, teniendo en cuenta que las presiones en D y F son la 
atmosférica. 
Se usará x´-x´0 = 1 m 
 
Para C-D : PC = PD+ (2.6+9.8 sen30°)1000 *1 =7500 Pa 
 
Para C-F PC =PF +9.8 *1000* cos30° (yF - yC) = 8487*(yF - yC) 
 
Como la presión en C es conocida es posible calcular la distancia según Y´ a la cual se encuentra el 
punto C respecto a la superficie libre. 
 
 (yF - yC) = 7500/8487=0.884 m 
 
El ángulo que forma la superficie libre con el plano inclinado es: 
 
 
 
 00
Y´
Y
P
P
12
21
y´-y´cos30 ρ gPPdy´cos30 ρ gdP 
 dy´ ρcos30 gdy´
y´
P
-dy´
y´
P
PP
 dy´A dVcon 0dV ρcos30 g-APAP
´
00









 41.48α0.884
1
0.884
CD
CF
tgα
 
   ´00
X´
X
P
P
1221
x´-x ρ gsen30aPP
´dxρ gsen30adP dx´ ρ a dx´ *sen30 ρ dx´-g
x´
P
-
dx´
x´
P
PP dx´A dVcon dV ρ adm asen30* dm g-APAP
00









 
 
 24 
Nota: si se trazan rectas inclinadas en 41.48° respecto al plano inclinado, se obtienen rectas cuyos pun-
tos están a la misma presión, por ejemplo todos los puntos que están ubicados sobre la recta que coin-
cide con la superficie libre están a la presión atmosférica. 
 
 
 
Fuerza sobre superficies 
Si no existe esfuerzo de corte, la fuerza que ejerce un fluido sobre 
una superficie sólida, se debe a la presión. 
Ella se puede calcular teniendo en cuenta que la presión es un es-
calar y que la superficie es una cantidad vectorial que se repre-
senta por un vector normal a ella. 
Debido a esto, la fuerza proveniente de las presiones es normal 
(perpendicular) en cada punto a la superficie sobre la que actúa. 
 
En la figura se muestra la fuerza dF proveniente de la presión so-
bre la superficie curva dS. 
 
Interesa obtener un procedimiento de cálculo para la fuerza ba-
sado en sus componentes. Como se indica a continuación: 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones obtenidas indican que la fuerza resultante de las presiones sobre una superficie se 
puede obtener a partir de sus componentes. 
- En la dirección vertical la fuerza Fz proveniente de la presión es igual al peso del volumen de fluido 
que está sobre la superficie 
- En las dos direcciones horizontales, la fuerza Fx se calcula sobre el área proyectada en el plano YZ, y 
la fuerza Fy se calcula sobre el área proyectada en el plano XZ 
 
Aplicación 1: 
La figura muestra la mitad de un estanque que con-
tiene agua hasta una altura de 4m respecto al 
fondo. 
Calcular la fuerza del agua sobre las siguientes su-
perficies 
a) superficie vertical A1-A2-C2-A3-C1-A1 
b) superficie vertical B1-B2-C3-B3-C4-B1 
c) superficie curva A1-B1-C4-B3-A3-C1-A1 
Los casos a) y b) son similares y las fuerzas son 
idénticas, por lo que se calculará una sola. 
xyzxzyyzx
xyxz yz
zyxzyx
dS z γdFdS pdFdS pdF
 z γpcon k̂dS pĵdS pîdS -pFd
k̂ dSĵ dSî dSSdcon y k̂dFĵdFîdF Fdcon Sd p- Fd





 
 
 25 
 
Superficie vertical B1-B2-C3-B3-C4-B1 se tiene: 
 La fuerza dF que actúa sobre la superficie rectangular de 
 ancho “dz” y longitud (6+x*) es: 
 
 
 
 
 
Superficie curva A1-B1-C4-B3-A3-C1-A1 utilizando las proyecciones se tiene: 
a) Componente vertical de la fuerza que actúa sobre sobre la superficie curva A1-B1-C4-B3-A3-C1-A1, 
es equivalente al peso del agua que está sobre ella (línea de acción pasa por su centroide) 
b) Componente horizontal de la fuerza que actúa sobre la superficie curva (C1-C4-B3-A3-C1)se calcula 
considerando la proyección de ella sobre un plano vertical. Esta corresponde a un rectángulo de 4 m 
de altura por 12m de largo 
 
 
 
 
 
La línea de acción de la componente horizontal de la fuerza que actúa sobre la superficie C1-C4-B3-A3-
C1 se determina igualando el momento que produce la fuerza equivalente con el momento que 
produce la fuerza distribuida. Si el cálculo de momento se hace respecto a la arista inferior se tiene: 
 
 
 
 
La línea de acción de la fuerza pasa a una altura de 1.333 m del fondo. 
 
Aplicación 2 
La figura muestra un recipiente abierto, con las dimensiones que se indican, fijado rígidamente a la pla-
taforma de un camión, moviéndose con velocidad constante sobre un plano horizontal. 
Si frena con una aceleración también horizontal, de 3 m/s2, calcule la fuerza neta horizontal que se 
transmite al camión. 
 
 
 
 
 
En la figura las líneas que representan la superficie libre del agua son: 
H1-H1 cuando se mueve con velocidad constante 
H2-H3 cuando se frena 
F1 es la fuerza resultante de las presiones sobre la superficie CH3 
    
    dz z8z6z-4dA pF
dz z8z6dAz)-4 γpcon dA p dF


 z z
y

 
  40.8KN9N 940,800 γ96dz 12 z4γF
dz*12dA z4γpcon dA PdF
z



 
altura) la de (1/3 m 1.333
96
128
F
dz z z4 γ12
F
zdF
zFzzdFM zz00
z
0 




 
 
 26 
F2 es la fuerza resultante de las presiones sobre la su-
perficie AH2 
En la dirección vertical la presión es afectada por el peso 
dz ρ gdP  
Según la dirección horizontal la distribución de presio-
nes es afectada por la desaceleración dx ρ dP a 
 
Se aplicarán las relaciones anteriores al volumen de control horizontal H2-M de longitud L, obtenién-
dose: 
 y 3HM MH ρ gPP 3  
 
Con PH2=0 y PH3 =0 (se encuentran sobre la superficie libre) El ángulo α que forma la superficie libre 
con la horizontal (ver figura) es 
 
 
 
 
Además como MH2= L= 6 m se obtiene MH3 = 3*6/9.8=1.837 m 
 
Para encontrar la posición de la superficie libre, es decir ubicar los puntos H2 y H3, como el volumen de 
agua no cambia, se cumple que: 
Volumen inicial = 6*2.5*3 =45 m3 
Volumen final tiene un área transversal formada por el rectángulo AH2MC y el triángulo H2MH3 
Con AH2 = h1 y CH3=CM+MH3=h1+1.837 
Volumen final =3* (6*h1+0.5*6*1.837)=18* h1+16.533=45m3 
Obteniéndose h1=1.582 m 
 
Con AH2=h1=1.582 m se obtiene CH3 =1.582+1.837= 3.419 m se puede calcular las fuerzas 
 
 
 
 
 
 
 
Si en lugar de un recipiente abierto, se usa uno cerrado 
como el que se muestra, donde existe una abertura en A a 
la presión atmosférica, calcule la fuerza neta horizontal que 
se transmite al camión, cuando este frena con la acelera-
ción horizontal de 3 m/s2. 
Aplicando la relación siguiente, según la dirección horizontal, se obtiene la presión en B 
 
L ρ aPP
3HM

)02.17(360.0
8.9
3
H M
H M
tgα
2
3  
g
a
N 135,00036,790171,837FFF
N 36,7903*(1.582)*9800
2
1
3*)(AH ρ g
2
1
F
 N 171,8373*(3.419)*9800
2
1
3*)(CH ρ g
2
1
F
21R
22
22
22
31



Pa 18,000 6*1000*30L ρ aPP AB 
 
 
 27 
 
La distribución se presiones sobre las superficies verticales queda como 
se ve en la figura siguiente. Como la distribución triangular de presio-
nes es similar sobre ambas caras, la fuerza resultante se debe sólo, a la 
presión originada por la aceleración: 
 
 
El resultado es el mismo que el obtenido para estanque abierto 
Si el recipiente está completamente cerrado, cuáles serían las presiones PA y PB indicados por los ma-
nómetros cuando el camión frena con la aceleración hori-
zontal de 3 m/s. 
Nota: desprecie efectos de cambio fase y de volumen y la 
existencia de aire disuelto en el agua. Tome como referen-
cia el análisis para la primera situación (abierto a la atmos-
fera) 
 Según los resultados obtenidos en 1) para compensar el efecto de 
la desaceleración la superficie libre del agua se inclina, pero cuando 
el tanque es cerrado, esto no puede ocurrir, generándose un cam-
bio de la presión: en A la presión disminuye respecto a la presión 
atmosférica,(condición inicial) en el equivalente a la columna de 
agua H1H2 y en B la presión sube en una presión equivalente a la columna H1H3 (ver figura) 
 
 
 
Aplicación 3 
-La figura muestra un depósito que contiene agua y está presuri-
zado con aire a una presión de 2 bar manométrica. En un ex-
tremo existe una compuerta horizontal, que se mantiene en po-
sición cerrada mediante aire a presión. 
a) calcular y dibujar la distribución de la presión en el agua, se-
gún la vertical. 
b) calcular la presión necesaria del aire para mantener cerrada 
la compuerta 
c) el valor de “h” que indica el manómetro en U conectado se-
gún se indica. Fluido manométrico mercurio. 
 
a ) distribución de la presión en el agua: 
En la superficie libre p = 2bar=200.000Pasc 
En el fondo p = 200.000 + 9.8*1000*4 = 239200 Pa 
 
b) presión del aire para mantener cerrada la compuerta 
- la distribución de las presiones en el agua a la profundidad de la compuerta 
es uniforme y vale Pi =200.000+9.8*1000*2=219.600Pa 
 8,918Pa2.5)(3.41*9800P 8,996Pa1.582)(2.5*9800P BA 
135,000N3)*(2.5*18,000FR 
 
 
 28 
- la presión Pa que ejerce el aire sobre la compuerta también es uniforme, de la condición de equilibrio 
de fuerzas o momentos resulta que Pi = Pa =219600 Pa 
 
c) desnivel del mercurio en el manómetro en U. 
Como ambas ramas están conectadas a aire, entonces se tiene que: 
h = (219.600 – 200.000) / 9.8*13600 = 0.147 m = 147 mm 
Como la presión del aire para mantener cerrada la compuerta es mayor que la presión del aire en el 
estanque, la rama derecha está más baja que la izquierda. 
 
 Problemas propuestos 
1. La figura representa un depósito cerrado que contiene 
una capa de aceite de 4m , una capa de agua de 4m de es-
pesor y el resto(2m), corresponde a aire a presión 
Dibujar las distribuciones de presiones manométricas y ab-
solutas sobre: 
La pared vertical AB y el fondo del estanque EB 
La pared curva A C y el fondo del estanque EC 
Compare las fuerzas sobre las superficies ya indicadas 
2.-Calcular para el depósito de forma cilíndrica de diámetros 1m y 3m, que se 
muestra y que contiene agua, las fuerzas de las presiones sobre: 
 - el manto ADEF 
- el fondo del tanque FE. 
- el anillo ABCD 
- el esfuerzo de tracción sobre el manto ADEF 
 
 3. Para el estanque de la figura con líquidos de S1 = 1 y S2=0.95, calcular el 
valor de la fuerza externa “F”, para mantener cerrada la compuerta si se 
aplica en Z = 3.0 m y en Z = 1.5 m 
Considere que el largo del estanque medido perpendicular al plano de la fi-
gura es de 6 m. 
Repita el cálculo anterior considerando ahora S2 = 0.65 
Verifique si es posible mantener la compuerta cerrada, sin aplicar ninguna 
fuerza, presurizando el lado izquierdo del tanque con aire, calcule la presión 
mínima necesaria 
 
 
 
Aerostática 
 
Si se considera el aire atmosférico como un fluido quieto, es posible estimar como cambia su presión, 
con la temperatura y con la altura respecto al nivel del mar. 
Para esto, la atmosfera se divide en varias capas, ubicadas a diferentes alturas, y cada una de ellas con 
características termodinámicas propias. La tabla siguiente entrega rangos de altura y valores de los 
coeficientes politrópicos para las diferentes capas. 
 
 
 29 
Teniendo en cuenta la distribución de la presión en un fluido en reposo y considerando además el 
aire atmosférico como un gas ideal, se pueden obtener relaciones entre la presión, temperatura y al-
tura para las capas de la atmosfera definida en la tabla siguiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones que se aplican basadas en el comportamiento como gas ideal son: la distribución de pre-
siones en un fluido con peso, la ecuación de estado de un gas ideal y la definición de un proceso poli-
trópico 
 
 
 
 
Relación para capa atmosférica isotérmica: 
 
 
 
 
 
 
Relación para capa atmosférica politrópica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicación: calcule la presión y la temperatura del aire atmosférico a una altura de 40,000 m 
(Ubicación representada por el punto 3 de la figura). 
Datos a nivel del mar: presión 101325 Pa y temperatura 15°C 
 
Procedimiento: conocidas las condiciones a nivel del mar (punto 0), se calcularan las condiciones exis-
tentes en los puntos 1, luego en 2 y finalmente en el punto 3. 
-Presión P1 y temperatura T1 en el punto 1.para la primera capa que es politrópica con n = 1.24 apli-
cando las relaciones anteriores se tiene: 
 
Rango Altitud (m) Tipo de atmosfera Exponente “n” 
1 0 - 10,770 Politrópica 1.24 
2 10,770 – 32,000 Isotérmica 1 
3 32,000 - 50,000 Politrópica 0.82 
4 50,000 – 60,000 Isotérmica 1 
5 60,000 – 78,000 Politrópica 1.22 
n
1n
00
n
P
P
T
T
ctePρ T R ρPdz ρ gdP









 
 0
0
zz
T R
g
0
0
000
e PP
zz
RT
g
P
P
ln
RT
gdZ
P
dP
dz
T R
P
-gdz ρ gdP









 












































n
1n
00
0
00
n
1
n
1n
0
n
1-n
0
n
1
n
1
n
1
n
P
P
1
ρ g
P
1n
n
zzzz
cte
g
1
P
P
P
1n
n
dz
cte
g
P
dP
dz
cte
P
gdPcte
ρ
P
dz ρ gdP
 
 
 30 
 
 
 
 
 
 
 
T1 se obtiene con: 
 
 
 
Al término de la primera capa (punto 1) se tiene: 
 T1 =216.8K, P1 =23,365 Pa, 1=0.376 kg/m3 
 
Al término de la segunda capa (punto 2) se tiene, pasando a través de la 
capa isotérmica 
con: T2=T1=216.8 K y P1=23,365 Pa 
 
 
 
 T2=216.8 K P2=824.9 Pa 2=0.0133 kg/m3 
 
-Presión P3 y temperatura T3 en el punto 3 
Se encuentra ubicado en la capa 3 que es del tipo politrópica con n = 0.82 
 
 
 
 
 
 
 
 
La temperatura T3 se obtiene con: 
 
 
 
 
En el punto 3, la temperatura T3 = 276,8 K y la presión P3=271.2 Pa 3 = 0.0034 kg/m3 
 
 
Ejercicio propuesto: compare la lectura de un barómetro que tiene mercurio como liquido manomé-
trico con la lectura de otro barómetro que tiene agua como líquido barométrico, ambos ubicados a 
una altitud de 55,000 m. 
 
Pa 365,23P0.75290.24711
101325
P
101325
P143,577
101325
P
1
9.8
288*287
11.24
1.24
10,770
P
P
1
ρ g
P
1n
n
zz
1
0.1935
1
0.1935
1
1.24
1-1.24
1
n
1n
0
1
0
0
01




























































K 8.216
101325
23,365
288T
P
P
T
T 1.24
11.24
1
n
1n
0
1
0
1 













   
Pa 9.824e 365,23e PP
10,770-32,000
216.8*287
9.8zz
T R
g
12
0
1 

Pa 2.271P2766.10.27661
824.9
P
824.9
P
128,923.9-
824.9
P
1
9.8
216.8*287
1-0.82
0.82
000,32000,40
P
P
1
1n
n
zz
3
0.2195-
3
0.2195-
3
0.82
1-0.82
3
n
1n
2
32
23


























































g
RT
K 8.276
824.9
271.2
8.216T
P
P
T
T 0.82
1-0.82
3
n
1n
2
3
2
3 













 
 
 31 
Mecánica de Fluidos 2016 Prof. C. Saavedra Lectura 4: 
 
Movimiento de fluidos 
 
Para describir el movimiento de un fluido se necesita conocer como va-
rían algunas cantidades físicas como ser: densidad, velocidad, presión, 
temperatura, esfuerzo; en función del tiempo y de la posición. 
 Como las partículas que forman un fluido no están rígidamente unidas 
unas a otras, el movimiento relativo se hace más complejo que en el 
caso de los sólidos 
 
Existen dos métodos para describir el movimiento de un fluido. 
- el método de Lagrange: se sigue cada una de las partículas del fluido y 
se describen las variaciones de ciertas cantidades físicas alrededor de 
cada una de ellas a lo largo de su trayectoria. 
 
- el método de Euler, se establecen posiciones fijas en el campo de flujo y se describen las variaciones 
de ciertas cantidades físicas en ellas, en función del tiempo. 
 
 
Adherencia del fluido 
Un hecho importante en el comportamiento de fluidos reales que escurren es su tendencia a adherirse 
a cualquier frontera sólida, por lo que no existe deslizamiento entre el fluido y la pared. Además la vis-
cosidad del fluido genera fuerzas viscosas que alteran el escurrimiento en el interior de la región adya-
cente a la pared. 
De este modo el escurrimiento queda dividido en dos zonas: 
-una en cuyo interior el efecto de la viscosidad es importante, conocida como capa límite. 
-fuera de esta, el efecto de la viscosidad se puede despreciar, con lo que el escurrimiento se aproxima 
al flujo de un fluido no viscoso. 
 
En la figura se muestra que en cuanto el fluido entra en contacto con una frontera sólida, debido a su 
viscosidad se adhiere a la pared y se originan fuerzas viscosas que crean una distribución o perfil de ve-
locidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 32 
La existencia de no deslizamiento entre un fluido y una frontera solida o interface con otro fluido, im-
pone condiciones de borde en la solución de las ecuaciones diferenciales que representan a muchos 
flujos viscosos. 
 
La condición de borde es que el fluido en contacto con una pared tiene la velocidad de ésta, 
 
 Velocidad fluido = velocidad pared 
 
En el caso de dos corrientes de fluidos diferentes y no miscibles entre sí, tampoco existirá desliza-
miento en la interface, sin embargo puede existir un cambio brusco del gradiente de la velocidad. 
 
 
Escurrimiento transiente y estacionario 
Puede ocurrir que las cantidades físicas asociadas al escurrimiento, como: velocidad, densidad, tempe-
ratura, etc. varíen tanto en el espacio como en el tiempo. 
 
En la mayoría de los escurrimientos, la velocidad de una partícula de fluido va cambiando a medida que 
ella cambia de posición, y si otra partícula que sigue el mismo recorrido tiene en cada posición la velo-
cidad de la anterior, el escurrimiento es estacionario. 
 
En la figura el caudal que entra al estanque es igual al caudal que sale, manteniéndose el nivel del agua 
invariable en el tiempo, con lo que el campo de velocidades no cambia respecto al tiempo, y el escurri-
miento se considera globalmente estacionario. 
 
Esto significa que las partículas de agua que pasan por “A” tienen la velocidad UA, y cuando pasan por 
“B” tienen la velocidad UB. y ellas no cambian en el tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escurrimiento globalmente transiente o inestacionario 
La figura representa el vaciado de un estanque con agua, cuyo nivel va disminuyendo en el tiempo. La 
velocidad de las partículas de fluido cambia tanto en el espacio, como en el tiempo. 
La velocidad con que una partícula de agua pasa por el punto “A” varía en el tiempo, y también cambia 
con la posición, cuando pasa por el punto “B” su velocidad es distinta a la que tiene en “A” 
 
 
 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escurrimiento en régimen laminar y turbulento 
Tomando como referencia un flujo estacionario, si la velocidad en cada punto tiene un valor y direc-
ción única en el tiempo, y si las partículas del fluido viscoso se mueven en forma de láminas, sin cruzar 
de una a otra, el escurrimiento ocurre en régimen “laminar”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El escurrimiento en régimen laminar es un flujo cinéticamente ordenado debido al equilibrio entre las 
fuerzas de inercia y viscosas. Para el flujo en tuberías (escurrimiento confinado por paredes solidas), a 
medida que aumenta el caudal que se hace circular por la tubería, la velocidad media también va au-
mentando, hasta que se alcanza una condición para la cual desaparece el movimiento ordenado y se 
pasa a otro régimen de flujo. 
 
Esta condición crítica se evalúa con un parámetro adimensional llamado número de Reynolds definido 
como: 
 
 
Donde  = densidad del fluido 
 U = velocidad media 
 Di = diámetro interior tubería 
 µ = viscosidad dinámica 
  = viscosidad cinemática 
 
Valores de referencia obtenidos en forma experimental que permiten identificar el límite inferior del 
flujo turbulento. 
- flujos externos: a lo largo de una superficie Re  500.000 
η
DU
μ
DUρ
Re ii 
 
 
 34 
- alrededor de un obstáculo Re  20.000 
- flujos internos Re  2.300 
 
En escurrimientos que se generan por circulación natural se emplea el número de Raleigh. 
 Ra  108 - 1010 
 
 
Escurrimiento en régimen turbulento 
El escurrimiento turbulento se caracteriza por ser localmente transiente, donde las variables asociadas 
al flujo varían en torno a un valor medio temporal. Además es un escurrimiento localmente irregular 
con presencia de torbellinos de diferentes tamaños. 
 
La figura siguiente muestra los valores de velocidad en un punto fijo del flujo, para dos sets de medicio-
nes realizados en dos periodos de tiempo, manteniendo las condiciones globales del flujo invariables. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La dispersión de los valores en torno a un valor medio y la amplitud de las variaciones que quedan den-
tro de una banda permiten postular el reemplazo de la variable temporal en función de un promedio 
temporal y de una desviación estándar. 
 
 
 
 
 
 
Las figuras siguientes muestran el registro de la velocidad en un punto para dos escurrimientos, ambos 
turbulentos. Se puede observar que las variaciones en torno al valor medio son diferentes en magni-
tud. Lo que se asocia con la intensidad de la turbulencia, la que se define como: 
 
Intensidad de la turbulencia I razón entre la perturbación de velocidad “c´” y la velocidad media tem-
poral “C”. 
 
     
  p´PPw´WWv́VVu´UUtU
tuuu´dttU
T
1
Uu(t)UtU 2rms
Tt
t

 

 222 wvu
3
1
c
C
c
I 


 
 
 35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según la intensidad de la turbulencia, los flujos se pueden clasificar como: 
- altamente turbulentos: son flujos con altas velocidades y geometrías complejas, por ejemplo el escu-
rrimiento lado coraza de un intercambiador de calor del tipo tubo y coraza, turbinas y compresorescon intensidades I = 5 a 20 % 
 
-medianamente turbulentos: escurrimientos de geometrías relativamente simples como ser en tube-
rías largas, ventilación y Re bajos I = 1 a 5 % 
 
- de baja turbulencia como ser fluido ambiente en reposo y luego perturbado por el paso de un auto, 
de un submarino, etc. con I < 1 % 
 
Para un escurrimiento que es globalmente estacionario, ósea, cuando no existe acumulación de masa y 
los caudales que entran y salen del volumen de control son iguales; la variación temporal local de cual-
quier variable ligada al flujo se puede representar por un valor medio temporal y una desviación están-
dar o valor rms, como sigue: 
 
 
 
 Aceleración de una partícula y gradiente de la velocidad 
 
Definida en función del campo de velocidades, la aceleración queda 
 
 
 
 
 
 
Donde: 
- el término entre paréntesis corresponde a la aceleración convectiva o de transporte, es la tasa tem-
poral de cambio de la velocidad asociada con el cambio de posición de la partícula 
- el término restante representa la tasa de cambio del campo de velocidad en el tiempo. 
En las expresiones anteriores aparece el gradiente de la velocidad, (C), tensor de 2º orden con nueve 
componentes y que pertenece a la parte no lineal de la aceleración. 
CC
t
C
z
C
w
y
C
v
x
C
u
t
C
a k̂wĵvîuC
t
z
w
t
y
v
t
x
u:con 
t
C
t
z
z
C
t
y
y
C
t
x
x
C
dt
t)z,y,(x,Cd
a




















































 
 
 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
El tensor gradiente velocidad se puede descomponer en dos tensores: 
- el tensor simétrico llamado "velocidad de deformación" y 
- el tensor anti-simétrico conocido como "rotacional o torbellinos", como sigue: 
 
 
 
C* es el tensor transpuesto, quedando el tensor gradiente de la velocidad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para estudiar el movimiento de un fluido se identificará un conjunto de partículas cuya forma original 
es un cuadrado en el plano (A,B,C,D) y un cubo en el espacio (A,A´; B,B´; C,C´; D,D´) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El conjunto de partículas de fluido, cuando se mueven, cambiando desde la posición “1” a la posición 
“2” pueden experimentar: traslación, elongación (contracción), deformación angular y rotación 
 
 
 
 
 
 
z
y
v
x
u



















w
y
w
x
w
z
v
x
v
z
u
y
u
C

   ** CC
2
1
CC
2
1
C


    

rotacionalotorbellinotensorndeformaciódevelocidadtensor
0
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
0
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
0
2
1
z
w
2
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
y
v
2
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
2
2
1
C
















































































































































































 
 
 37 
Tensor velocidad de deformación: indica con que velocidad se deforma angularmente un fluido y 
también la velocidad con que se contrae o dilata (velocidad de cambio del volumen) 
a) velocidades de deformación lineal: originan contracciones o dilataciones. En la figura se muestra a 
un conjunto de partículas de fluido de forma cúbica con aristas dx, dy, dz; debido a que las partículas se 
pueden mover con diferentes velocidades se producen cambios en las longitudes de los trazos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El trazo OA se deforma a OA´ ya que el punto O tiene una velocidad "u" y el A, una velocidad "u+ (u 
/x) dx. Después de un tiempo dt, la elongación del trazo, es la diferencia entre lo que avanza A y O 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando el mismo procedimiento en las otras direcciones: 
 
 
 
Sí el fluido es incompresible, el cambio neto de volumen debe ser cero, 
 
 
 
b) velocidad de deformación angular: Superponiendo la posiciones inicial y final, transcurrido el 
tiempo “dt”, ángulo recto AOB cambia a A´O B´ ya que el punto A avanza más que O, llegando hasta 
A´, lo mismo ocurre con B que se desplaza hasta B´ 
 
 
 
 
 
z
w
ε
y
v
ε
x
u
ε zzyyxx








 
x
u
dt
ε
εes.ndeformaciódevelocidadla
dt
x
u
dx
Δ
εeselongaciónla
dxdt
x
u
udtdtdx
x
u
uΔ
xx
xx
xx
xx
xx


















0








z
w
y
v
x
u
x
v
dt
dφ
φdt
x
v
dx
vdtdtdx
x
v
v
tgdφdφ
y
u
dt
dφ
φdt
y
u
dy
udtdtdy
y
u
u
tgdφdφ
2
222
1
111




































































x
w
z
u
φφ
y
w
z
v
φφ
y
u
x
v
φφ xzzxzyyzyxxy 
 
 
 38 
El tensor torbellinos o rotacional 
Los términos de este tensor, representan la rotación como cuerpo sólido de un elemento de fluido. Sí 
es nulo, entonces no existe rotación como sólido. Para el caso de un fluido, las velocidades de rotación 
se definen como el promedio de las velocidades angulares de dos segmentos perpendiculares. To-
mando como positivo el sentido de giro anti horario se tiene: 
El vector asociado al tensor rotacional o torbellino es el vector velocidad angular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relaciones entre los esfuerzos y las velocidades de deformación 
 
Cuando el escurrimiento es en régimen laminar la relación entre el esfuerzo y velocidad de deforma-
ción depende de una propiedad del fluido llamada viscosidad. 
El comportamiento del fluido frente a un esfuerzo depende del tipo de fluido, existiendo: 
 
a) fluidos newtonianos 
Todos los gases y la mayoría de los líquidos que tienen una formula molecular simple y bajo peso mole-
cular como: el agua, benceno, alcohol etílico, cloroformo, hexano, y la mayoría de las soluciones de 
moléculas simples, tienen una relación lineal entre el esfuerzo y la velocidad de deformación, (para ré-
gimen laminar de escurrimiento).Estos fluidos son conocidos como Newtonianos, y el coeficiente de 
proporcionalidad, corresponde a una propiedad del fluido, conocida como viscosidad dinámica. 
 
 
 
: Viscosidad dinámica (Pa- s) 
También se emplea la viscosidad cinemática, definida como la razón entre la viscosidad dinámica y la 
densidad del fluido, según se indica. 
 
 











































































y
u
x
v
2
1
ω
x
w
z
u
2
1
ω
z
v
y
w
2
1
ωk̂ωĵωîωω
y
u
x
v
k̂
x
w
z
u
ĵ
z
v
y
w
î
wvu
zyx
kji
VVrotor
zyxzyx


n)deformacióde(velocidadμτ 
/s)(mcinemáticaviscosidad
ρ
μ
γ 2
 
 
 39 
B) Fluidos no newtonianos 
En su mayoría son mezclas complejas, pastas, gel, polímeros, etc. clasificados como: 
- b1) plásticos de Bingham: resisten pequeños esfuerzos, pero luego fluyen si el esfuerzo aumenta ej: 
pasta dental, pulpas 
- b2) pseudo plásticos: la mayoría de los no-newtonianos pertenecen a este grupo, que se caracte-
riza porque la viscosidad decrece con el aumento del gradiente de la velocidad, ej: polímeros, san-
gre. 
- B3) fluidos dilatantes: la viscosidad aumenta con el aumento del gradiente de la velocidad, no son 
fluidos comunes, algunas suspensiones actúan así. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relación entre los esfuerzos tangenciales (cortadura) y la velocidad de deformación angular 
Un conjunto de partículasde un fluido newtoniano viscoso en movimiento, se deforma angularmente 
con una velocidad de deformación que es proporcional al esfuerzo de corte que actúa sobre ellas 
 
 
Relación entre los esfuerzos normales y la velocidad de deformación 
Los esfuerzos normales producen esfuerzos cortantes en planos a 45°, y éstos velocidad de deforma-
ción angular, como se expresa en las siguientes relaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si el fluido es incompresible la sumatoria de las velocidades de deformación lineales es cero 
 
 


































z
u
x
w
μττ
y
w
z
v
μττ
x
v
y
u
μτ xzzxzyyzyxxy






















































z
w
y
v
x
u
μ
3
2
z
w
2μpσ
z
w
y
v
x
u
μ
3
2
y
v
2μpσ
z
w
y
v
x
u
μ
3
2
x
u
2μpσ
zz
yy
xx
0
z
w
y
v
x
u














 
 
 40 
Mecánica de fluidos 2016 Prof. Claudio Saavedra Lectura 5: Conservación de la masa 
 
Definición de flujo másico: 
La cantidad de materia que por unidad de tiempo atraviesa una superficie S se llama flujo másico m . 
Se cuantifica considerando que durante el tiempo dt, la masa dm contenida en el volumen dV (de lon-
gitud L y sección transversal dS), cruzará la superficie dS. 
Si C es la velocidad local y  la densidad del fluido, y teniendo en cuenta que la superficie se representa 
por un vector perpendicular a ella, se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota 1: como C y S tienen signos opuestos, el flujo másico que entra al volumen de control es negativo, 
y él que sale es positivo. 
Nota 2: si el fluido tiene una distribución uniforme de densidad  en el área transversal S, se obtiene: 
 
 
Nota 3: usando la definición del valor medio, la velocidad media se define como: 
 
 
 
Nota 4: caudal volumétrico Q se define como el volumen de fluido que atraviesa el área de flujo por 
unidad de tiempo, obteniéndose en forma similar al flujo másico: 
 
 
 
El caudal se obtiene como el producto de una velocidad y un área de flujo perpendiculares entre sí. 
 
El principio de conservación de la masa indica que ésta no se crea ni se destruye, por lo que tomando 
como referencia un volumen de control V0 fijo en el espacio y que está encerrado por una superficie S0, 
se tiene que 
 
 
 
Lo anterior implica que la variación local respecto al tiempo, de la masa encerrada en V0, se debe a los 
flujos másicos que entran y salen atravesando la superficie S0, ósea: 
 
 
 
 S SdCρm




lares)perpendicu Sy (C SCρmSdC
S
1
C
S
  



QρmSCSdC
dt
dV
Q
S
   




  S SdCρmdm




0m
t
m
0S



 
0
Dt
Dm

 
 
 41 
Expresión integral del principio de conservación de la masa, sea el volumen de control que se muestra 
y que en un instante de tiempo dado contiene la masa “m (t)”, y entran y salen los flujos másicos que 
se indican. 
 
 
 
 
 
 
 
 
El balance de masa aplicando la ecuación anterior queda: 
 
 
 
La ecuación anterior se puede aplicar a los procesos de llenado y de vaciado de tanques y de tuberías 
que contienen fluidos. También puede ocurrir que el volumen de control V0 no cambie en el tiempo, o 
bien que aumente o disminuya. 
 
Caso en que V0 no cambia en el tiempo 
La figura muestra un cilindro que contiene 400 litros de oxígeno. La presión inicial 
en el tanque es de 200 bar abs. y la temperatura permanece invariable en 20ºC. Si 
el consumo es de 0.1 kg/s y se mantiene constante en el tiempo, calcule la masa y 
densidad del oxígeno en el estanque habiendo transcurridos 2 minutos de la con-
dición inicial. 
Aplicando 
 
Se obtiene: 
 
 
 
 
 
Similar al problema anterior, pero ahora, el caudal volumétrico que sale se mantiene fijo en 50 li-
tros/minuto mediante la válvula de control. 
Calcule la masa de oxígeno y la presión en el tanque, habiendo transcurrido 10 minutos. 
Nota: considere que para cada instante de tiempo, la densidad del oxígeno se 
mantiene uniforme en el tanque hasta antes de la válvula. 
Aplicando el principio de conservación de la masa al volumen de control (cilindro 
de oxígeno) se tiene: 
 
 
En cualquier instante de tiempo 
0m
t
m




 

 ρdVmcon 0mm
t
m
salenentran

3
0
5
0
0
0000
232.5kg/m
0.4
93
V
m
ρkg 93120*0.1105(2min) m
105.kg0.4
293*260
10*200
T*R
P
Vρmcon t*mmm(t)

 
0m
t
m




l/min50QconQρmyVρm o  
 
 
 42 
Remplazando se obtiene: 
 
 
 
 
 
 
 
 
La masa de oxígeno transcurridos 10 min es 
 
 
 
Caso en que Vo cambia en el tiempo 
 El tanque de agua tiene un diámetro de 2 m y una altura de 2 m respecto 
al eje de la tubería Calcule: 
a)- el tiempo que demora en llenarse si Q1= 40 l/min y Q2= 10 l/min. 
b)- el tiempo que demora en vaciarse si la tubería de descarga tiene un diá-
metro de 0.05 m y la velocidad depende de la altura del agua con Q1=0 
 
Considerando que la velocidad teórica con sale el agua depende de la al-
tura de la superficie libre del agua en el tanque respecto al eje del orificio de salida, esto es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso en los que el escurrimiento es estacionario 
 
Aplicando 
 
 
Pero como no existe cambio en el tiempo de la masa almacenada, se debe cumplir que los flujos mási-
cos que entran deben ser iguales a los flujos que salen. 
 
3
5
O2
1.25
i
i
i
1.25
iioi
75.22kg/m
20273*260
10*57.3
TR
p
ρ57.3bar0.2865*200pe
p
p
RT
p
RT
p
e
ρ
ρ
1.2510*
400
50
ρ
ρ
lnΔt*
V
Q
ρ
ρ
ln





















 





salenentransalenentran
mm0
t
m
con 0mm
t
m

  dt
V
Q
ρ
dρ
0Qρ
dt
dρ
V0QρVρ
t o
oo 


30.1kg0.4*75.22V*ρm o 
ghC 2
 
 
 43 
Aplicación flujo estacionario 
La figura muestra una tobera que se emplea para acelerar un 
flujo de aire (Ra=287, k=1.4).Calcule las velocidades, flujos mási-
cos y caudales volumétricos en la sección de entrada 1-1 y en la 
de salida 2-2. 
M representa el número de Mach definido como la razón entre 
la velocidad del fluido “U” y la velocidad con que propaga el so-
nido “a” en el fluido 
 
- En la entrada 
 
La velocidad es: 
 
 
 
El caudal es: 
 
 
 
El flujo másico es: 
 
 
 
 
Para proceso isentrópico 
 
 
 
 
 
En la salida aplicando la conservación de la masa 
 
 
El caudal y velocidad saliendo de la tobera son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresión diferencial del principio de conservación de la masa 
 
La relación general del principio de conservación de la masa es 
 
 



SCVC
SdcρρdV
tDt
Dm 


0.1
TkR
U
a
U
M
1a
1
1
1
1 
52m/s273)(400*287*1.40.1TkR*0.1U 1a1 
  /s0.408m0.1
4
π*52D
4
π*52A*UQ 3
22
1111 
 
kg/s0.9510.408*2.33mkg/m2.33
400273*287
10*4.5
TR
p
ρconQ*ρm 1
3
5
1a
1
1111 

 
kg/s0.951mm 12  
3
1.4
1
k
1
1
2
12 kg/m0.803
450000
101300
*2.33
p
p
*ρρ 












 
 
 44 
 
Con 
 
y aplicando el teorema de la divergencia para transformar la integral de superficie a una de volumen y 
considerando que el volumen Vo está fijo y no cambia en el tiempo, la expresión anterior queda: 
 
 
 
 
Expresión válida para cualquier Vo, luego el integrando debe ser cero, con lo que se obtiene la expre-
sión diferencial de la ecuación de continuidad 
 
 
 
Desarrollando el término de la divergencia, se obtiene la ecuación diferencial escalar: 
 
 
 
 
Algunos casos importantes son: 
 
a) para escurrimiento permanente compresible: 
 
 
 
b) para escurrimiento incompresible (la densidad no cambia con cambios de la presión) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
Dt
Dm

  






o
V
0dVcρ
t
ρ 
  0cρ
t
ρ


 
    0cρ
tD
ρD
ρc
t
ρ
tD
ρD
con0cρρc
t