cap_2 analisis_sistemas_dinamicos_2008

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Capítulo 2 
Sistemas de N grados de libertad 
 
 
2.1.- Ecuaciones del movimiento 
 
 Los sistemas de N grados de libertad pueden escribirse en forma matricial. 
 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
{ } entodesplazamiVectorx
externasfuerzasVectorf
rigidezdeMatrizK
ovisientoamortiguamdeMatrizC
masasdeMatrizM
FxKxCxM
:
:
:
cos:
:
=++ &&&
 
 
 
Ejemplo: 
 
 
 
( ) ( )
( )tfkxkxxcxcxm
tfkxkxxcxccxm
22112222
121221211 2
=+−−+
=−+−++
&&&&
&&&&
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
)(
)(2
0
0
2
1
2
1
2
1
22
221
2
1
tf
tf
x
x
kk
kk
x
x
cc
ccc
x
x
m
m
&
&
&&
&&
 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 2
2.2.- Vibraciones libres no amortiguadas 
 
[ ]{ } [ ]{ } 0=+ xKxM && 
 
 Las soluciones son de la forma: 
( ) rtii eXtx = (2-1) 
 
( ){ } { } rtrt
nn
eXtxe
X
X
X
tx
tx
tx
=⇒
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
...
)(
...
)(
)(
2
1
2
1
 (2-2) 
 
 
Ecuación (2-2) en (2-1): 
 
[ ]{ } 02 =+ XKMr (2-3) 
 
La solución no trivial de este sistema de ecuaciones se obtiene para los valores de r que 
satisfagan la ecuación característica: 
 
[ ] 0det 2 =+ KMr (2-4) 
 
Ejemplo: 
 
0
2
det 2
2
=
+−
−+
kmrk
kkmr
 
 
( )( )
03
02
2
2
24
2222
=++
=−++
m
kr
m
kr
kkmrkmr
 
 
jj
m
krm
kr
jj
m
krm
kr
22
2
2
11
2
1
618,1618,2
618,0382,0
ω
ω
±=±=→−=
±=±=→−=
 
 
21 , rr = valores propios, eingenvalores 
21,ωω = frecuencias naturales de vibrar 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 3
2.2.1.- Modos de vibrar o vectores propios 
 
Son los vectores determinados por la ecuación (2-3) que corresponden a cada 
valor propio. 
 
Ejemplo: 
1221
21
2
1
618,10618,0
0618,1
:382,0
xxxkx
kxkx
m
krpara
=⇒=+−
=−
−=
 
 
1221
21
2
2
618.00618,1
0618,0
:618,2
xxkxkx
kxkx
m
krpara
−=⇒=−−
=−−
−=
 
 
 
Normalización de los modos: Los valores xi obtenidos no son independientes. Si hay xi 
valores, existen i-1 ecuaciones independientes. Para determinar un valor hay que 
agregar una nueva ecuación, lo que se llama normalización. 
 
1.- Hacer una de las componentes igual a 1. 
 
:jiX Amplitud de masa i cuando vibra con el modo j. 
 
2.- Hacer su longitud igual a uno. 
 
{ } { }
( ) { }
( ) { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=→=−+→
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→=+→=+
=→=++=
526,0
851,0
1618,0
851,0
526,0
1618,11
0,10,1...
222
1
2
1
121
1
1
1
2
2
2
1
22
2
2
1
XXX
XXXXX
XXXXXX Tn
 
 
 
{ }
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⇒=
618,0
1
618,1
1
1
2
2
2
12
1
2
1
11
1
X
X
X
X
X
XxSi
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 4
3.- Hacer el producto XTMX =1,0. 
 
{ } 0,12
2
2
2
2
1
2
1
21 =+=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
mxmx
x
x
m
m
xx 
( ) { }
{ } 212
2
111
2
22
1
2
1
465,0
753,0
648,0
40,0160,00,1618,12
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=→=→=+
mX
mX
m
xxmmx
 
 
 
2.2.2.- Ecuaciones del movimiento 
 
Si el sistema vibrara sólo con el modo ( ),ssrr ωω == entonces de ecuación (2-
2): 
( ){ } ( ){ }ssssss XtcosBtsenAtx ωω += (2-5) 
 
En el caso general: El sistema vibra con una combinación lineal de los modos: 
 
 ( ){ } ( ){ } ( ){ }∑∑
==
+==
N
s
s
ssss
N
s
s XtcosBtsenAtxtx
11
ωω 
 
La solución para el caso i, será: 
 
( ) ( )∑
=
+=
N
s
s
issssi XtcosBtsenAtx
1
ωω (2-6) 
 
para sistemas amortiguados: 
 
( ) ( )∑
=
− +=
N
s
s
idssdss
t
i XtcosBtsenAetx ss
1
ωωωξ (2-7) 
 
 
Ejemplo: Determinar x1(t) y x2(t) Si: 
( )
( ) ( ) ( ) 0000
0
212
101
===
=
xxx
xx
&&
 
 
 
Se había determinado : { } { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
618,0
1
;
618,1
1
2
2
1
22
2
1
1
11
X
X
X
X
X
X 
 
Aplicando ecuación (2-6): 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 2222221211112
2
12222
1
111111
XtcosBtsenAXtcosBtsenAtx
XtcosBtsenAXtcosBtsenAtx
ωωωω
ωωωω
+++=
+++=
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 5
Usando las condiciones iniciales: 
 
( )
( )
( )
( ) 22112
22111
212
2110101
618,0618,1000
000
618,0618,1000
0
ωω
ωω
AAx
AAx
BBx
BBxxx
−=→=
+=→=
−=→=
+=→=
&
&
0
724,0
276,0
21
102
101
==→
=→
=→
AA
xB
xB
 
 
 
( ) ( )
( ) ( )tcostcosXtx
tcostcosxtx
21102
21101
446,0446,0
724,0276,0
ωω
ωω
−=
+=
 
 
( ){ } ( )( ) { } { }
2
210
1
110
2
1 724,0276,0 XtcosxXtcosx
tx
tx
tx ωω +=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= 
 
⇒ El sistema vibra con una combinación (ponderada) de sus modos de vibrar 
 
 
 
 
⇒ El modo que más participa en la vibración será el que es preponderante en la 
deformación inicial. Si la deformación inicial es la forma de un modo el sistema vibrará 
sólo con ese modo (“condiciones apropiadas”). 
 
 
Deformación inicial 
Modo {X1} 
0,276 x10 {X1} 
Modo {X2} 
0,724 x10 {X2} = 
+ 
+ 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 6
2.3.- Vibraciones forzadas sin amortiguamiento 
 
2.3.1.- Método directo 
 
Para excitaciones armónicas, la respuesta estacionaria puede ser determinada 
usando el álgebra compleja. 
 
 Para esto hay que reemplazar en las ecuaciones del movimiento: 
( )
( )
( )
( )
tj
ii
tj
ii
tj
ii
tj
ii
eXtx
ejXtx
eXtx
eFtf
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω−=
Ω=
=
=
2
&&
&
 
 
y resolver el sistema de ecuaciones resultantes. 
 
Ejemplo: Determinar x1(t) y x2 (t) estacionarios 
Reemplazando: 
 
( )
( ) tjii
tj
ii
tj
eXtx
eXtx
eFtsenF
Ω
Ω
Ω
Ω−=
=
=Ω
2
00
&&
 
 
( )
( ) 0
2
2
2
1
02
2
1
=Ω−+−
=−+Ω−
XmkKX
FkXkmX
 
 
 
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−Ω
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−Ω
Ω−
=
∆
Ω−
−
=⇒
4342143421
2
2
2
1
618,2382,0
0
222
2
0
2
0
1
ωω
m
k
m
km
mkFmk
kF
X
 
 
tsenFtF Ω= 01 )(
m
k
m
k
618,1
618,0
2
1
=
=
ω
ω
0
2
212
0211
=+−
Ω=−+
kxkxxm
tsenFkxkxxm
&&
&&
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 7
( )( )2222122
0
0
2
2
0
2
ωω −Ω−Ω
−
=
∆
−
Ω−
=
m
kFk
Fmk
X 
 
 
( )( )
( )( )mkmkm
m
k
m
km
kmkmk
mkk
kmk
618,2382,0
3
2
2
222
2
2
242
222
2
2
−Ω−Ω=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+Ω−Ω=
−Ω−Ω−=
Ω−−
−Ω−
=∆
 
 
( ) ( )( )( ) tsenm
mkF
tx Ω
−Ω−Ω
Ω−
= 2
2
22
1
22
2
0
1 ωω
 
 
 
 
- Sistema de N=2 grados de libertad tiene N=2 frecuencias naturales. 
- Cuando la frecuencia de la excitación Ω coincide aproximadamente con cualquiera de 
las iω se generan grandes amplitudes de vibración → Resonancia. 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 8
2.3.2- Método modal 
 
Las coordenadas x1, x2 elegidas para definir el movimiento del sistema están 
acopladas, en el sentido en que ambas coordenadas aparecen en cada ecuación y por lo 
tanto si varía x1, varía también x2. 
 
Sin embargo, siempre es posible en un sistema no - amortiguado encontrar un 
sistema de coordenadas, qi, sin ningún tipo de acoplamiento o desacopladas, llamadas 
coordenadas principales. 
 
Propiedades de ortogonalidad de los vectores propios: 
 
Consideremos dos modos cualesquiera i y j. De ecuación (2-3) 
 
[ ]{ } [ ]{ }XXK 2Ω−= ; 22 ii r−=ω 
 
(2-a) [ ]{ } [ ]{ }iii XMXK 2ω= 
 
(2-b) [ ]{ } [ ]{ }jjj XMXK 2ω= 
 
(2-c) { } [ ]{ } { } [ ]{ }iTjiiTj XMXXKX 2ω= Premultiplicando ec.(2-a) por { }TjX 
 
(2-d) { } [ ] { } [ ]MXKX TjiTj 2ω= Transpuesta de ecuación (2-b) 
 
(2-e) { } [ ]{ } { } [ ]{ }iTjiiTj XMXXKX 2ω= Postmulplicando ec.(2-d) por { }iX 
 
( ){ } [ ]{ } 022 =−⇒ iTjji XMXωω Ecuación (2-c) - (2-e) 
 
- Para i ≠ j, si ji ωω ≠ : 
{ } [ ]{ } 0=iTi XMX Relaciones de Ortogonalidad (2-8) 
{ } [ ]{ } 0=iTj XKX i, j = 1,2,...N 
 
es decir, los vectores propios son ortogonales respecto a las matrices [ ] [ ]KyM 
 
 
 
 
0
02
212
211
=+−
=−+
kxkxxm
kxkxxm
&&
&&
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 9
- Para i = j: 
 
{ } [ ]{ }
{ } [ ]{ } iiiTi
ii
iTi
XKX
XMX
γ
µ
=
=
 (2-9) 
 
=iiµ Masa modal correspondiente al modo i. 
iiγ = Rigidez modal correspondiente al modo i. 
 
Nota: iiii γµ , son constantesque dependen de cómo fue normalizado el vector 
propio { }iX . 
 
Para eficiencia operacional se define la matriz modal [ ]X , como la matriz cuyas 
columnas son los vectores propios de los diferentes modos, o sea como: 
 
[ ] [ ]NXXXX −−−= 21 (2-10) 
 
 Se puede demostrar que [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]XKXyXMX TT son matrices diagonales. 
Como ejemplo consideremos un sistema con dos grados de libertad: 
 
[ ] [ ][ ] { }{ } [ ] { }{ }[ ]
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }
{ } [ ]{ } { } [ ]{ }⎥⎥⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
2212
2111
21
2
1
XMXXMX
XMXXMXXXM
X
XXMX TT
TT
T
T
T 
 
[ ] [ ][ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
11
µο
οµ
XMX T 
 
 
Ecuaciones del movimiento en coordenadas principales. 
 
 Introduciendo la siguiente transformación lineal de coordenadas: 
 
( ){ } [ ] ( ){ }tqXtX = (2-11) 
 
 en las ecuaciones del movimiento y premultiplicando por [ ]TX , se obtiene: 
 
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { }
[ ]{ } [ ]{ } { }Pqq
fXqXKXqXMX TTT
=+
=+
→
←
→
← γµ &&
&& (2-12) 
 
 
 Las coordenadas qi (t), se llaman coordenadas principales y generalmente no 
tienen significado físico. Es una herramienta de cálculo para desacoplar las ecuaciones 
del movimiento. El sistema de ecuación (2-12) son N ecuaciones desacopladas: 
 
)(tPqq iiiiiii =+ γµ && (2-13) 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 10
[ ] { }fXtP Ti =)( (2-14) 
 
Cuando los modos son normalizados respecto a la matriz de masa, a veces se 
llaman modos normales : { }iNX y las matrices de (2-12) se transforman en : 
[ ] [ ][ ] [ ]
[ ] [ ][ ] [ ]→←
→
←
=
=
2
1
iN
T
N
N
T
N
XKX
XMX
ω
 (2-15) 
 
 
Ejemplo: Resolver por el método modal ( ) ( )txtx 21 , 
( ) ( ) ( ) ( ) 0000;0 212101 ==== xxxxxsi && 
{ } { } mkmkXX 382,0;618,2;618,0
1
;
618,1
1 2
2
2
1
21 ==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= ωω 
 
- Desacoplando las ecuaciones del movimiento: 
 
{ } [ ]{ } { } m
m
m
XMX T 618,3
618,1
1
618,111111 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==µ 
 
{ } m
m
m
382,1
618,0
1
618,0122 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=µ 
 
{ }
{ } k
kk
kk
k
kk
kk
618,3
618,0
12
618,01
382,1
618,1
12
618,11
22
11
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
γ
γ
 
 
Comprobación de relaciones de ortogonalidad (verificar si fueron bien 
calculados los { }iX ): 
 
{ } 0;0
618,0
1
618,11 1212 ==−=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
= γµ idemmm
m
m
 
 
0
2
2
1
2
1 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x
x
kk
kk
x
x
m
m
&&
&&
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 11
Verificación de las frecuencias naturales (las frecuencias naturales son 
independientes del sistema de coordenadas elegido): 
 
3,618 m 0382,1 11 =+ qkq&& 
1,382 m 0618,3 22 =+ qkq&& 
 
Ecuación del movimiento en coordenadas principales (ecuaciones del movimiento 
desacopladas): 
 
m
k
m
k 382,0
618,3
382,1
11
112
1 === µ
γ
ω ; 
m
k
m
k 618,2
382,1
618,3
22
222
2 === µ
γ
ω 
 
Solución de cada ecuación: 
 
( ) ( ) tsenqtcosqtq i
i
i
iii ωωω
)0(0 &+= 
 
Cálculo de las condiciones iniciales en coordenadas ( ) ( )( )0,0 iii qqq & , usando 
ecuación (2-11): 
 
( ){ } [ ] ( ){ }tqXtx = 
 
( )
( )
( )
( )⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
tq
tq
tx
tx
2
1
2
1
618,0618,1
11
 
 
 
( ) ( ) ( ) 101211 276,00447,0)(276,0 xqtxtxtq =⇒+=⇒ 
( ) ( ) ( ) 102212 724,00447.0)(724,0 xqtxtxtq =−= 
 
Luego 
( )
( ) tcosxtq
tcosxtq
2102
1101
724,0
276,0
ω
ω
=
=
 Solución en coordenadas qi (t). 
 
 
La solución en coordenadas xi (t): 
 
tcosxtcosxtx
tcosxtcosxtx
2101102
2101101
447,0447,0)(
724,0276,0)(
ωω
ωω
+=
+=
 
 
Verificación para t = 0 : 
( )
( ) 0447,0447,00
724,0276,00
10102
1010101
=−=
=+=
xxx
xxxx
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 12
Ejemplo: Determine las respuestas estacionarias x1 (t), x2 (t) usando método modal. 
 
De ecuación (2-14): ( ){ } [ ] { }fXtP Ti = 
Por lo tanto las ecuaciones desacopladas del movimiento de acuerdo a ecuación 
(2-13) son: 
tsenFqkqm
tsenFqkqm
Ω=+
Ω=+
022
011
618,3382,1
382,1618,3
&&
&&
 
 
Cuyas soluciones para el movimiento estacionario son: 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) tsenm
F
tq
tsen
m
F
tq
tsen
F
tsen
F
tq
iiii
ii
i
Ω
Ω−
=
Ω
Ω−
=
Ω
Ω−
=Ω
Ω−
=
22
2
0
2
22
1
0
1
22
0
2
0
382,1
618,3
/1
/
ω
ω
ωµω
γ
 
 
Luego: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
Ω−
+
Ω−
Ω=+= 22
2
22
1
0
211 382,1
1
618,3
1
ωω mm
tsen
m
F
tqtqtx 
 
( ) ( )( )( ) tsenXtsenm
mkF
tx Ω=Ω
Ω−Ω−
Ω−
= 122
2
21
1
2
2
0
1 ωω
 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) tsenXtsenm
kF
tx
tqtqtx
Ω=Ω
Ω−Ω−
−
=
−=
222
2
22
1
2
0
2
212 618,0618,1
ωω
 
 
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
Ω
Ω
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ Ω
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
tsenF
tsenFtsenF
tPi
0
00
0618,01
618,11
)(
tsenF Ω0
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 13
Análisis de la participación de los modos de vibrar 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
444 3444 21444 3444 21
oiónparticipactqoeriónparticipactq
m
tF
m
tF
tqtqtx
mod2
22
2
0
mod1
22
1
0
211
21
382,1
sen
618,3
sen
°==
Ω−
Ω
+
Ω−
Ω
=+=
ωω
 
 
Notas: 
 
1.- Para Ω cercanas a iω la respuesta es aproximadamente la del modo i. 
2.- Para un sistema de N grados, en la respuesta a una excitación a Ω , los 
modos predominantes son aquéllos (dos o tres) con iω cercanos a Ω . Es decir, un 
sistema de N grados de libertad puede ser analizado en ese caso como un sistema de dos 
o tres grados de libertad. 
 
 
 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 14
 
 
2.3.4.- Absorbedor de vibraciones 
 
 Al igual que para los sistemas de un grado de libertad cuando se produce un 
problema de resonancia se puede evitar: 
1.- Eliminando la fuente excitadora. 
2.- Cambiar la masa y/o rigidez. 
3.- Amortiguar el sistema. 
 
Sin embargo, hay situaciones donde no es factible o es muy caro estas 
soluciones . 
 
En un sistema con varias excitaciones iΩ y varias iω cercanas, cambiar k o m 
para variar un iω que coincidía con un iΩ puede hacer coincidir otro jΩ con otro iω . 
 
 
Otra alternativa para solucionar un problema de altas vibraciones, es utilizar un 
absorbedor dinámico de vibraciones. Supongamos que la máquina tiene altas 
vibraciones (por ejemplo porque la excitación Ω está cerca de un iω ). A este sistema lo 
llamaremos el sistema primario. 
 
 
 
 
( )
0221222
02212111
=+−
Ω=−++
xkxkxm
tsenFxkxkkxm
&&
&&
 
 
 
tsenF Ω0
tsenF Ω0
Sistema 
Primario 
Sistema 
Primario 
 + 
absorbedor 
tsenF Ω0
tsenF Ω0
1
12
1 m
k=ω
2
22
2 m
k=ω
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 15
tj
tj
tj
eFtsenF
eXtsenXx
eXtsenXx
Ω
Ω
Ω
=Ω
=Ω=
=Ω=
00
222
111
 
 
( )
( ) 0222212
022121
2
1
=Ω−+−
=−++Ω−
XmkXk
FkXXkkm
 
 
( )
( )( )
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
0
2
2
2
22
2
121
2
220
1
11
1
k
k
wk
k
wk
F
kmkmkk
mkF
X
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω−+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω−
=
−Ω−Ω−+
Ω−
=
ω
 
(2-*) 
( )( )
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
0
2
2
2
22
2
121
2.0
2
11 k
k
wk
k
k
F
kmkmkk
kF
X
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω−+
=
−Ω−Ω−+
=
ω
 
(2-**) 
De la ecuación (2-*), si ;012 =⇒=Ω Xω Es decir, el sistema primario 
(máquina) queda detenido (no vibra) si se hace que la frecuencia natural del sistema 
absorbedor Ω= . 
Un caso importante de altas vibraciones es debido a la resonancia: Para este caso 
.1ω=Ω 
 
El adsorbedor a agregar para eliminar las vibraciones debe tener según la 
ecuación (2-*): 
Ω=2ω 
1
2
1
2
1
1
2
2
12:seao k
k
m
m
m
k
m
k
==⇒=⇒==Ω µωω 
 
De ecuación (2-**): ( ) ( )º180
2
0
2
0
2
2
0
2 +Ω=Ω−=⇒−= tsenk
F
tsen
k
F
tx
k
F
X 
es decir, el absorbedor vibra en contrafase con tsenF Ω0 . 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 16
 
⎯ : Respuesta del sistema primario (estaba en resonancia: ).21 ωω ==Ω 
 
− − : Respuesta con absorbedor (para )0: 121 ===Ω Xωω . 
De la figura se observa que el absorbedor no será efectivo si Ω no es constante. 
 
 
En el caso de que exista amortiguamiento no se tendráamplitudes →∞ en las 
resonancias ni amplitud = 0 en la antiresonancia. 
 
 
 
2.3.5.- Funciones respuestas para sistemas de N grados de libertad 
 
( ) jiij FXfH /= 
 
- Funciones respuestas directas o puntuales ( point ) si i = j. 
- Funciones respuestas de transferencia: si i≠ j. 
 
 
Frecuencias de antiresonancias (o ceros): Son las frecuencias para las cuales las 
amplitudes de la respuesta de un sistema no-amortiguado son cero. Las funciones 
respuestas directas presentan siempre (n-1) antiresonancias, mientras que las de 
transferencias raramente la presentan. 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 17
 
2.3.6.- Movimientos de cuerpo Rígido 
 
Los sistemas no restringidos a moverse, presentan movimientos de cuerpo rígido 
(el sistema se mueve sin deformarse). Ellos están caracterizados por 0=iω . 
 
Ejemplo: Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar del sistema. 
 
 
020 242
2
2
=+==
+−
−+
kmrrm
kmrk
kkmr
 
m
kr
r
2
0
2
2
2
1
−
=
=⇒
 
 
Para ( ) :0;0 121 == ωr 
 
0
2
1
2
2
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−
−+
x
x
kmrk
kkmr
 { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
==⇒
1
11
21 XXX . 
 
Es decir, si la masa 1 se desplaza 1, la masa 2 también se desplaza 1, o sea el 
sistema se mueve sin deformarse, o sea como cuerpo rígido. 
 
Para :2;2 2
2
2 ⎟⎠
⎞⎜
⎝
⎛ =−= m
k
m
kr ω 
 
02
2
2
1 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+−−
−+−
x
x
kmm
kk
kkmm
k
 { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=−=⇒
1
12
21 XXX 
 
 
2.4.- Vibraciones amortiguadas 
 
Generalmente el amortiguamiento se puede ignorar en las zonas alejadas de las 
resonancias o antiresonancias, pero no así en estas zonas (es de importancia 
fundamental). 
 
 
2.4.1.- Vibraciones libres 
 
 
La solución del movimiento en vibraciones libres: 
0
0
122
211
=−+
=−+
kxkxxm
kxkxxm
&&
&&
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 18
 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } 0=++ xKxCxM &&& (2-16) 
 
Son de la forma: { } { } teXx Ω= (2-17) 
 
(2-17) en (2-16): [ ]{ } 02 =++ XKCrMr (2-18) 
 
para que exista solución [ ] 0det 2 =++ KCrMr (2-19) 
 
 
Para que exista vibración los valores propios (r) deben ser complejos 
conjugados, es decir 
 
21 iiidi
iii
iii jr
ξωωβ
ωξα
βα
−==
=
±−=
 (2-20) 
 
 
Nota: iα debe ser negativo para que el sistema sea estable. 
 
Reemplazando (2-20) en (2-18) se obtienen los modos de vibrar. Estos vectores propios 
serán complejos. Físicamente significa que las diferentes masas no llegan a sus 
posiciones extremas al mismo tiempo, sino que desfasadas (por lo tanto ya no se puede 
hablar de la deformada o forma de vibrar). 
 
 
2.4.2.- Amortiguamiento proporcional 
 
Se llama al amortiguamiento que es proporcional a la matriz de masa y/o matriz 
de rigidez, es decir: 
 
[ ] [ ] [ ]KbMaC += a, b = constantes (2-21) 
 
Cuando el amortiguamiento es proporcional: 
 
1.- Los modos de vibrar son reales, iguales al sistema conservativo asociado. 
2.- Se pueden desacoplar las ecuaciones del movimiento. En efecto: 
 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }FxKxCxM =++ &&& (2-22) 
 
 
Con la transformación: { } [ ]{ }qXx = y premulplicando por [ ]TX : 
 
[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { }qXqXKXqXCXqXMX TTTT =++ &&& (2-23) 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 19
si [ ] [ ] [ ]KbMaC += 
 
[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] DiagonalXKXbXMXaXCX
Diagonal
T
Diagonal
TT ⇒+=
4847648476
 
 
 
y la ecuación (2-12) queda desacoplada: 
 
 
[ ]{ } [ ][ ] [ ]{ } { }Pqqqi =++ →←→←→← γϕµ &&& (2-24) 
 
 
Donde: 
{ } [ ]{ }iTiii XCX=ϕ (2-25) 
 
 
 
Ejemplo: 
 
a) Con amortiguamiento proporcional 
 
kmcc 2,021 == 
 
0
2
2,02,0
2,04,0
2
1
2
1
2
1 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x
x
kk
kk
x
x
kmkm
kmkm
x
x
m
m
&
&
&&
&&
 
 
Observe: [ ]C proporcional a [ ]K 
 
[ ]
041,004,36,0
0
2,02,0
2,024,0
0
2
2
234
2
2
2
=++++
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−−
−−++
=++
m
k
m
k
m
k
m
krkmrr
krkmmrkkm
kkmkrkmmrdet
KCrMrdet
 
 
222
111
)5967,12618,0(
)6168,003819,0(
βα
βα
j
m
kjr
j
m
kjr
±=±−=
±=±−=
⇒ 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 20
 
Usando ecuación (2-20): 
 
1618,0;618,1;5967,1
0618,0;618,0;6168,0
22
11
2
1
===
===
ξωω
ξωω
m
k
m
k
m
k
m
k
d
d
 
 
 
Usando ecuación (2-18): 
[ ]{ } 02 =++ XKCrMr 
 
para ( )21121 βα jr ±= { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
618,1
0,11X 
para ( )22222 βα jr ±= { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
618,0
0,12X 
 
 
 
Nota: Se observa que los modos de vibrar son reales e idénticos a los modos sin 
amortiguamiento. 
 
 
b) Con amortiguamiento no – proporcional 
 
kmc
kmc
2,0
4,0
2
1
=
=
 
 
 
0
2
2,02,0
2,06,0
2
1
2
1
2
1 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x
x
kk
kk
x
x
kmkm
kmkm
x
x
m
m
&
&
&&
&&
 
 
 
det [ ] 02 =++ KCrMr 
jr
jr
58,13341,0
6156,00659,0
2
1
±−=
±−=⇒
 
 
 
 
Usando ecuación (2-20): 1064,0;619,0;6156,0 111 === ξωω d 
207,0;615,1;58,1 212 === ξωω d 
 
 
 
Usando ecuación (2-18): [ ]{ } 02 =++ XKCrMr 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 21
 
para :111 βα jr ±= { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
±
= ± º2,3
1
621,1
1
09017,0618,1
1
ej
X 
 
para :222 βα jr ±= { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
±
= ± º3.8
2
6045,0
1
08714,05982,0
1
ej
X 
 
 
 
2.4.3.- Método pseudo modal 
 
1.- Si el sistema tiene N grados de libertad se usa un sistema sólo de n grados de 
libertad de modo que: 
máxΩ < ni )(ω 
 
(máxima frecuencia de excitación)< (frecuencia natural del modo n). 
 
Para lo cual es necesario determinar 
n
n
XXX ...,
...,
21
21 ωωω
 
 
2.- Se resuelve el sistema: 
[ ]{ } { } [ ]
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
++ →
←
→
←
)(
:
)(
)(
:
3
2
1
2
1
tP
tP
tP
q
q
q
qCXXq
n
T γµ &&& 
 
Si el amortiguamiento es no-proporcional y pequeño, se puede aproximar la 
solución no considerando los términos diagonales de matriz CXX T (Hipótesis de 
Basile) y desacoplando el sistema de ecuaciones. 
 
 
2.4.4- Método de resolución de valores y vectores propios 
 
 Cuando el amortiguamiento [C] no es proporcional, es inapropiado usar un 
método de resolución de valores propios estándar en las ecuaciones: 
 
[ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } 0=++ xKxCxM &&& (2-16) 
 
 Para transformar (2-16) a un problema estándar, se le suma la ecuación (2-26): 
 
[ ]{ } [ ]{ } 0=− xKxK && (2-26) 
 
obteniendo después de ordenar 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 22
0
00
0
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
− x
x
K
KC
x
x
K
M &
&
&& (2-27) 
 
 llamando 
 
[ ] [ ] { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
x
x
y
K
KC
B
K
M
A
&
;
0
;
0
0
 (2-28) 
 
 se obtiene 
 
[ ]{ } [ ]{ } 0)()( =+ tyBtyA & (2-29) 
 
 las soluciones son de la forma: { } { } teYty Ω=)( (2-30) 
 
[ ] [ ]{ } { }
[ ]{ } { }YYA
YrYBA
λ=
−=−
`
1
 Forma estándar (2-31) 
 
Ejemplo: 
 Resolver por Matlab los ωi y Xi. 
a.- Si kmckmc 2,0,4,0 21 == 
 
0
11
12
2,02,0
2,06,0
10
01
2
1
2
1
2
1 =
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
x
x
x
x
x
x
&
&
&&
&&
 
 
[ ] alproporcionnoientoAmortiguamC :⇒ 
 
Programa Matlab para resolver el ejemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
» A 
 
A = 
 
 1 0 0 0 
 0 1 0 0 
 0 0 -2 1 
 0 0 1 -1 
 
» B 
 
B = 
 
 0.6000 -0.2000 2.0000 -1.0000 
 -0.2000 0.2000 -1.0000 1.0000 
 2.0000 -1.0000 0 0 
 -1.0000 1.0000 0 0 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matriz E = Matriz Modal del vector 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
4
3
2
1
x
x
x
x
&
&
&
&
 
Matriz EE = Matriz de valores propios λi 
 
Observe que ri = -λi 
 
 
3341,0;5802,15802,13341,00659,0;6156,06156,00659,0
22222
11111
==→−=−=
==→−=−=
ωξωλ
ωξωλ
d
d
ir
ir
m
m
 
Para r1 
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
±−
±−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= °−°−
°−
2,37,58
5,55
2
1
1
1
1
621,1
1
72358,0
44641,0
6184,03757,0
3681,02527,0
ee
e
i
i
X
X
X
 
Para r2 
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
±−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
= °°−
°−
3,87,58
3,19
2
2
1
2
2
6044,0
1
27231,0
450518,0
0520,02673,0
1489,04252,0
ee
e
i
i
X
X
X
m
 
b.- Si kmckmc 2,0,2,0 21 == [ ] alproporcionientoAmortiguamC :⇒ 
 
» [E,EE]=eig(inv(A)*B) 
 
E = 
 
 -0.3774 - 0.6221i -0.3774 + 0.6221i 0.2433 + 0.1313i 0.2433 - 0.1313i 
 0.1715 + 0.4050i 0.1715 - 0.4050i 0.4055 + 0.1905i 0.4055 - 0.1905i 
 0.4252 - 0.1489i 0.4252 + 0.1489i -0.2527 + 0.3681i -0.2527 - 0.3681i 
 -0.2673 + 0.0520i -0.2673 - 0.0520i -0.3757 + 0.6184i -0.3757 - 0.6184i 
 
 
EE = 
 
 0.3341 + 1.5802i 0 0 0 
 0 0.3341 - 1.5802i 0 0 
 0 0 0.0659 + 0.6156i 0 
 0 0 0 0.0659 - 0.6156i 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 24
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
2,02,0
2,04,0
C 
 
Luego por Matlab 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ir
ir
5967,12618,0
6169,00382,0
22
11
m
m
−=−=
−=−=
λ
λ
 
 
Para r1 
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
°
°
618,1
1
72357,0
4472,0
1680,07038,0
1038,04350,0
58,166
58,166
2
1
1
1
1
e
e
i
i
X
X
X
m
m
 
Para r2 
{ }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
±
=
°−
°−
618,0
1
27641,0
4472,0
0459,02726,0
0742,04410,0
55,189
55,9
2
e
e
i
i
X
m
 
 
 
Modos reales e iguales a los del sistema conservativo asociado.
» [E,EE]=eig(inv(A)*B) 
 
E = 
 
 0.0030 - 0.7236i 0.0030 + 0.7236i -0.0474 + 0.2723i -0.0474 - 0.2723i 
 -0.0019 + 0.4472i -0.0019 - 0.4472i -0.0767 + 0.4406i -0.0767 - 0.4406i 
 0.4410 + 0.0742i 0.4410 - 0.0742i -0.4350 - 0.1038i -0.4350 + 0.1038i 
 -0.2726 - 0.0459i -0.2726 + 0.0459i -0.7038 - 0.1680i -0.7038 + 0.1680i 
 
 
EE = 
 
 0.2618 + 1.5967i 0 0 0 
 0 0.2618 - 1.5967i 0 0 
 0 0 0.0382 + 0.6169i 0 
 0 0 0 0.0382 - 0.6169i 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 25
2.5.- Vibraciones de sistemas continuos 
 
Hasta ahora hemos visto sistemas discretos, donde la masa, rigidez y 
amortiguamiento estaban concentrados en algunos elementos. Ahora consideremos el 
caso donde estas propiedades están distribuidas continuamente a lo largo del sistema. 
 
2.5.1.- Vibraciones longitudinales libres en una barra. Cuerda vibrando 
transversalmente 
 
 
i.- Supongamos una barra fija longitudinalmente en ambos extremos, a la cual se 
le da una perturbación axial inicial. Se quiere determinar la ecuación del movimiento 
de la barra en vibraciones libres axiales. Consideremos que la barra es homogénea, 
isotrópica y que sigue la Ley de Hooke. 
 
 
( ) =txu , Desplazamiento axial de la 
sección transversal en x. 
Suponemos que la sección 
transversal permanece plana (propagación 
de ondas planas). Esto es efectivo si las 
dimensiones de la sección transversal son 
pequeñas respecto a su largo. 
 
( )
2
2 ,
t
txuAdxNdx
x
NN
xmFx
∂
∂
=−
∂
∂
+
=∑
ρ
&&
 (2-32) 
2
2 ),(
),(
x
txuEA
x
N
x
txuEANE
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=⇒= εσ
 (2-33) 
 
(2-33) en (2-32): 
 
( )
2
2
2
2 ,1),(
t
txu
cx
txu
∂
∂
=
∂
∂ Ecuación de la onda en una dirección. (2-34) 
 
 
c = ρ/Ε = Velocidad de propagación de la onda longitudinal o del sonido en el 
material. 
 
 
ii.- Supongamos una cuerda fija en sus extremos, a la que se le dá una 
perturbación inicial. Describir su movimiento. 
 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 26
Si la deflexión transversal de la 
cuerda es pequeña, el cambio de la tracción 
de la cuerda con la deflexión puede 
ignorarse. 
 
 
 
2
2
t
ydxTdx
x
T
ymFy
∂
∂
=−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
=∑
ρθθθ
&&
 
 
 
2
2
t
y
Tx ∂
∂
=
∂
∂ ρθ
 
 
Como 
x
y
∂
∂
=θ 2
2
22
2 1
t
y
cx
y
∂
∂
=
∂
∂
⇒ (2-35) 
 
ρ/tc = = Velocidad de propagación de las ondas a lo largo de la cuerda. 
 
La solución general de la ecuación (2-34) o (2-35) es de la forma: 
 
( ) )()(, 21 ctxfctxftxu ++−= (2-36) 
 
Donde f1(x) y f2(x) son funciones arbitrarias (verificar que satisfacen la ecuación 
diferencial) cuyas formas deben satisfacer las condiciones iniciales y de borde. 
 
 Físicamente el primer término de la ecución (2-36) representa una onda de forma 
f1(x) viajando en la dirección positiva de x con velocidad c y el segundo término una 
onda de forma f2(x) viajando en la dirección negativa de x con velocidad c. 
 
 Aunque la solución (2-36) es útil para estudiar el movimiento transiente (onda 
progresiva), cuando se forma la onda estacionaria es más práctico utilizar el método de 
separación de variables para resolver las ecuaciones (2-34) o (2-35). 
 
 
 La solución de la ecuación (2-35) se puede expresar: 
 
)()(),( tfxYtxy ⋅= (2-37) 
 
Reemplazando en (2-35): 
 
( ) )(1 2
2
22
2
xY
dt
fd
c
tfdx
Yd ⋅=⋅ 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 27
2
2
2
2
22 )(
)(
1)(
)(
ω−=== cte
dt
tfd
tfdx
xYd
xY
c
tdefunciónSóloxdefunciónSólo
44344214434421
 (2-38) 
 
( )
( ) tcosCtsenCtff
dt
fd
x
c
cosCx
c
senCxY
cdx
yd
ωωω
ωωω
43
2
2
2
212
2
2
2
0
0
+=→=+
+=→=+
 (2-39) 
( ) )cossen()cossen(,
)(
43
)(
21 4444 34444 21
4444 34444 21 tf
xY
tCtCx
c
Cx
c
Ctxy ωωωω ++=→ (2-40) 
 
 
1.- Las constantes C1 y C2 y las frecuencias naturales ω son determinadas de las 
condiciones de borde: 
 
Si 
⎩
⎨
⎧
=
=
0),(
0),0(
tLy
ty
 
00
0
1
2
=→=→
=→
c
Lsen
c
LsenC
C
ωω 
 
 
c
xsenCxY
L
ci
i
ii
i
ω
πω
=
=
)(
 i =1,2,3 ...∞ (2-41) 
 
 La solución general de una ecuación diferencial es la suma de todas sus 
soluciones independientes: 
 
( )∑
∞
=
+=
1
43),(
i
ii
i
i tcosCtsenCc
xsenCtxy ωωω (2-42) 
 
 
2.- Las constantes C3 y C4 son determinadas de las condiciones iniciales. 
 
- Note que la ecuación (2-41) representa las frecuencias naturales y modos de vibrar. 
 
 
i=1 - Primer modo de vibrar 
L
xsenc
xsenxY
L
c
πω
πω
==
=
1
1
1
)(
 
 
(normalizando a Ci=1). 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 28
 
 
i=2 - Segundo modo de vibrar 
L
cπω 22 = 
L
xsenxY π2)(2 = 
 
 
2.- Para las vibraciones longitudinales de una barra, se pueden tener otras condiciones 
de borde: 
Extremo libre en x=L 0)( =lN 
 xuEAN ∂∂= / 0),( =→ tL
dx
du 
 
 
 
 
2.5.2.- Vibraciones torsionales libres de ejes circulares 
 
 
Para un eje circular Ix= J ρ dx 
J= Momento de Inercia polar sección trasversal 
 
 
2
2
.
t
J
x
T
∂
∂
=
∂
∂
→
θρ 
 
De 2
2
x
GJT
x
GJ
L
GJT
∂
∂
=
∂
∂
→
∂
∂
==
θ
θ
θθ (2-45) 
 
(2-45) en (2-44): 
2
2
22
2 1
tcx ∂
∂
=
∂
∂ θθ (2-46) 
 
c = =ρ/G Velocidad de propagación de la onda torsional. 
 
 
2
2
t
ITdx
x
TT
IM
x
xx
∂
∂
⋅=−
∂
∂
+
=∑
θ
θ&&
 (2-44) 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 29
2.5.3.- Vibraciones transversales (en flexión) de barras prismáticas 
 
i.- La ecuación o viga de Euler- Bernoulli desprecia: 
 
- Las deformaciones por esfuerzo de corte. 
- Las inercias a la rotación 
( ) 0)(2,
0
2
=∂
∂+−++⋅
=∑
x
MMVdxMdxtxp
M z
 
Vx
M =∂
∂ (2-48) 
 
(2-48) en (2-47): 
 
2
2
2
2
2
2
),(
x
yEIM
txpt
yAx
M
∂
∂=
=
∂
∂+
∂
∂ ρ
 
 
 
Si EI es constante 
),(2
2
4
4
txp
t
yA
x
yEI =
∂
∂
+
∂
∂ ρ (2-49) 
 
 
 
ii.- La ecuación o viga de Timoshenko toma en cuenta tanto la deformación por 
corte como la inercia a la rotación.Suponiendo que la sección transversal se mantiene 
plana, se obtiene: 
 
 
 
),(4
4
2
2
2
2
22
4
22
4
2
2
4
4
txp
t
y
kAG
J
t
p
kAG
J
x
p
kAG
EI
tx
y
kAG
EI
tx
yJ
t
yA
x
yEI
rotaciónlaainerciae
cortedelcombinadoEfecto
m
corteporangularnDeformació
m
rotación
laaInerciaEulervigaSolución
=
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂∂
∂
−
∂∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
444 3444 214444 34444 2143421444 3444 21
ρ
 
 
( ) ( )
2
2
2
2
),(
,
t
yAtxpx
V
t
yAdxdVVVtxp
∂
∂−=∂
∂
∂
∂=+−+
ρ
ρ
∑ = ymFy &&
(2-47) 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 30
 
2.5.3.1.- Vibraciones libres de vigas de Euler 
 
La solución de (2-49) utilizando separación de variables es: 
 
( ) ( ) ( )tfxYtxy =, 
 
2
2
2
4
4 )(
)(
1)(
)(
1 ω
ρ
==−= cte
dt
tfd
tfdx
xYd
xYA
EI (2-50) 
 
0
0
2
4
4
2
2
2
=−
=+
Y
EI
A
dx
Yd
f
dt
fd
ωρ
ω
 
EIASi
tcosBtsenAtf
/
)(
24 ωρβ
ωω
=→
+=→
 (2-51) 
 
La ecuación auxiliar será: 
 
044 =− βr 
β
β
β
β
jr
jr
r
r
−=
=
−=
=
4
3
2
1
 
 
 
xjxjxx eCeCeCeCxY ββββ −− ′+′+′+′=→ 4321)( 
xcoshCxsenhCxcosCxsenCxY ββββ 4321)( +++= 
 
))(()()(),( 4321 tcosBtsenAxcoshCxsenhCxcosCxsenCtfxYtxy ωωββββ ++++==
 (2-52) 
 
 
Las constantes C1, C2, C3, C4 y los iω son determinadas de las condiciones de borde 
 
( ) 0,0
0),(0
33
22
=∂∂→=
=∂∂→=
⎭
⎬
⎫
= xtLyV
xtLyM
Lxen
libreExtremo
 
 
 
( ) 0,0
0),(0 22
=→=
=∂∂→=
⎭
⎬
⎫
= tLyy
xtLyM
Lxen
apoyadoExtremo
 
 
 
( ) 0,
0),(0
=∂∂
=→=
⎭
⎬
⎫
= xtLy
tLyy
Lxen
empotradoExtremo
 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 31
 
Ejemplo: Determinar las frecuencias naturales y modos de vibrar en flexión de una viga 
simplemente apoyada. 
 
00)0000(
0),0(
00000
0),0(
424321
2
2
2
4321
==⇒=++−−⇒
∂
=∂
=+++⇒
=
CCcoshCsenhCcosCsenC
x
ty
coshCsenhCcosCsenC
ty
β
 
 
 
( )
( ) ( ) 00,
00,
31
2
2
2
31
=+−⇒=
∂
∂
=+⇒=
lsenhClsenCtl
x
y
lsenhClsenCtly
βββ
ββ
 
πββ
β
illsenC
ClsenhC
i =⇒=
=⇒=
0
00
1
33 
 
 
A
EI
l
i
EI
A
i
i
i ρ
πω
ωρ
β 2
22
4
2
=⇒=⇒ 
 
l
xisenCxY i
π
=)( 
 
 
 
 
 
Nota: Para el caso de una viga empotrada en un extremo. 
A
EIpara
A
EIpara
ρ
πω
ρ
πω
2
2
2
2
2
1
4
l
l
=
=
l
xsenxY π=)(1
l
xsenxY π2)(2 =
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 32
 
0)(0),0(
00),0(
31
42
=+⇒=
∂
∂
=+⇒=
CC
x
ty
CCty
β
 
 
00),(
00),(
43213
3
43212
2
=++−−⇒=
∂
∂
=++−−⇒=
∂
∂
llll
l
llll
l
ββββ
ββββ
senhCcoshCsenCcosC
x
ty
coshCsenhCcosCsenC
x
ty
 
Sistema de ecuación homogénea cuya solución es el determinante de los 
coeficientes = 0 
 01 =+⇒ ll ββ coshcos 
 
Cuyas soluciones β i son : 
l
l
l
/8543,7
/6936,4
/8751,1
3
2
1
=
=
=
β
β
β
 
A
EIi
i ρ
β
ω
4
2 =⇒ 
 
Con C1=1 se puede determinar para cada βi ( iω ) el modo de vibrar del sistema 
de ecuaciones. 
 
Nota: Al igual que para las vibraciones longitudinales de las barras, las constantes A y 
B son determinadas de las condiciones iniciales. 
 
 
 
 
 
 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 33
 
 
2.6.- Métodos aproximados de cálculo 
 
2.6.1- Método de los elementos finitos 
 
Rigidez de una viga en flexión 
 
La estructura se modela por un sistema de elementos separados que son unidos 
por un número finito de nodos. 
 
Los desplazamientos de estos modos son las coordenadas generalizadas. 
 
{ } { }4321 ,,, yyyyq T = 
 
 
 
Para determinar la rigidez de la barra debemos darnos una forma de deformación 
cualquiera que satisfaga las condiciones de continuidad interna y nodal. Si se utilizan 
las verdaderas funciones de forma o interpolación )(xiϕ se obtienen las rigideces 
verdaderas. 
 
Si las cargas en la viga son fuerzas y momentos. 
 
iii MxFxMdx
ydEI +== )(2
2
 
 
La elástica es una cúbica (obtenida al integrar). 
 
La presencia de estos términos asegura: 
 
{ { { {
3
3
2
2
32)(
dx
ydEIVde
iaConvergenc
dx
ydEIMde
iaConvergenc
dx
dyde
iaConvergenc
yde
iaConvergenc
dxcxbxaxy
==
+++= 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 34
Podemos expresar a, b, c, y d en función de los desplazamientos en los nodos. 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −=
=
=
ll
24
2
13
2
1
23 yy
yy
c
yb
ya
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −= 2
24
3
312
l
yyyy
d
l
 
 
4
)(
2
3
)(
32
2
)(
2
1
)(
32
4
3
2
1
1231231)( y
l
x
l
xy
l
x
l
xy
l
xxy
l
x
l
xxy
xxxx
43421444 3444 2143421444 3444 21
ψψψψ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
 
Los )(xiψ son funciones de ponderación o interpolación. Se ve de la ecuación 
anterior que es igual a y(x) cuando yi=1 y todos los otros y son cero. 
 
 
 
 
 
Recordando que: 
 
kij = Fuerza sostenedora en i para producir desplazamiento unitario en j. Estas fuerzas 
pueden ser determinadas por el principio de los trabajos virtuales. 
 
 
Consideremos por ejemplo k12 (fuerza sostenedora en 1 para obtener un desplazamiento 
unitario en 2), y consideremos el desplazamiento virtual indicado. 
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 35
 
112 . ykWE δ= 
 
WI = Trabajo de los momentos interiores asociados a y2=1, actuando sobre las 
curvaturas virtuales. 
 
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
== ∫∫
LL
dxdxydxMdxdxydEIU
0
22
0
222 /)(
2
1/
2
1 
 
 
[ ] ∫∫ ⋅=∂
∂
=
L
i
L
I dxyxxxEIdxxyx
xMW
0
12
0
2
2
)(")(")()()( δψψδ 
WE = WI 
ji
L
jiij
L
kdxxxxEIk
dxxxxEIk
==
=
∫
∫
0
0
2112
)(")(")(
)(")(")(
ψψ
ψψ
 
 
De esta forma se puede determinar la matriz de rigidez en flexión [ ]K para un elemento 
de eje en flexión, como: 
 
Procedimiento de ensamble 
 
Cuando se tienen varios elementos, la matriz global de rigidez del sistema se 
determina con el procedimiento de ensamble siguiente ilustrado para 2 elementos: 
 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
4
3
2
1
22
22
3
4
3
2
1
4626
612612
2646
612612
y
y
y
y
lll
l
lEI
F
F
F
F
l
l
lll
ll
l
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 36
 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−−−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−++−
−+−+−−
−
−
=
22
222
22
3
22
2222
22
3
462600
61261200
268026
612024612
002646
00612612
4626
612612
26446626
612661212612
2646
612612
llll
ll
lllll
ll
llll
ll
l
EI
llll
ll
llllllll
llll
llll
ll
l
EIK
 
 
Matriz de masas concentradas 
 
Consiste en suponer que toda la masa está concentrada en los puntos nodales 
como masas puntuales, es decir, se desprecia la inercia a rotación. Si se consideran 
grados de libertad de rotación, existirán términos diagonales nulos. 
 
 
 
Ejemplo: Para una viga simplemente apoyada y tomando 2 elementos finitos: 
 a.- Determine la deflexión en su punto medio cuando allí actúa una fuerza F0. 
 b.- Determine la primera frecuencia natural de vibrar en flexión de la viga. 
c.- Si en su punto medio actúa F0 tsenΩ , determine la amplitud estacionaria en su 
punto medio. F0= 1000 N; Ω=500 rad/s. 
 
 
[ ]{ }
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
6
5
4
3
2
1
0
2
0
0
2
y
y
y
y
y
y
m
m
m
yM
&&
&&
&&
&&
&&
&&
&&
m = 2,0 Kilógramos 
)/(000.200/
1
3 mNEI
m
=
=
l
l
 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 37
 
a.- 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−
−
−−−
−
−
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−
=
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
6
5
4
3
2
1
22
222
22
3
0
6
5
4
3
2
1
)0(
)0(
462600
61261200
268026
612024612
002646
00612612
0
0
0
y
y
y
y
y
y
llll
ll
lllll
ll
llll
ll
EI
R
F
R
F
F
F
F
F
F
B
A
l
 
 
6
2
4
2
3
6
2
4
2
2
2
6320
3
4
2
32
2
4260
2820
6246
2640
yyy
yyy
yyyF
EI
b
yyy
lll
lll
ll
lll
++=
++=
++−=
−
+−=
⇒ 
 
EI
LF
EI
lF
y
486
3
0
3
0
3
−
=
−
=⇒ 
 
b.- 
0
4260
2802
60246
0264
000.2000
0
2
0
6
4
3
2
6
4
3
2
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
y
y
y
y
y
y
y
y
&&
&&
&&
&&
 
 
 
det [ ] →= 0M problemas para obtener M-1. 
 
Condensación estática de Guyan: Eliminar los grados de libertad de rotación q0, 
expresándolos en función de los grados de traslación qt que son los que interesan. 
 
0426
0282
0264
643
642
432
=++
=++
=+−
yyy
yyy
yyy
 ( )*
5,1
0
5,1
36
4
32
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
−=
=
=
⇒
yy
y
yy
 
 
 
Reemplazando (*) en: 
 
2 3y&& + 200.000(-6y2 +24y3 +6y6)=0 
 
2 y&& 3 + 1.200.000 y3 = 0 
 
)/(6,774
2
000.200.1
1 srad==⇒ω 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 38
 
Comparando el valor de 1ω obtenido, con el valor exacto obtenido anteriormente: 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛===
s
rad
A
EI
L
2,780
2/4
000.200
22
2
2
2
1
π
ρ
πω 
 
⇒ Error cometido = 0,7 % 
 
El procedimiento anterior se puede generalizar utilizando matrices. 
 
qt = grados de traslación 
 
qθ= grados de rotación a eliminar. 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
0θθθθθ
θ
F
F
q
q
kk
kk tt
t
ttt (Inercia a la rotación = 0 ) 
 
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
θθθθ
θ
q
q
kk
kk
y
y
y
y t
t
ttt
6
4
2
3
4206
2820
0246
60624
 
 
0=+
=+
θθθθ
θθ
qkqk
Fqkqk
tt
ttttt tt qkkq θθθθ
1−−=→ 
 
[ ]{ } { }
[ ]{ } { }ttt
tttttt
Fqk
Fqkkkk
=
=−⇒ − θθθθ
1
 
c.- 
tsenyy 500000.1000.200.12 33 =+&& 
 
)(43,1
)6,774/500(1
000.200.1/000.1
23 mmy =−
= 
 
 
De(*), si y2=1,0 
 y3=0,666 
 y4=0 
 y6=-1,0 
Análisis de Sistemas Dinámicos 
 39
Rigidez de una viga en movimiento axial 
 
Elemento con dos nodos 
 
( )
( ) l
l
/
/
1212
211
uuEAFF
uuEAF
−=−=
−=
 
 
 
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
11
11
11
11
2
1
2
1
ll
EAK
u
uEA
F
F
 
 
 
Rigidez de un eje circular en torsión 
 
Elementos con dos nodos 
 
( )
( ) l
l
/
/
1212
211
θθ
θθ
−=−=
−=
GJTT
GJT
 
 
 
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⇒
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
11
11
11
11
2
1
2
1
ll
GJKGJ
T
T
θ
θ