Maldonado-Chio-capitulo3

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CAPÍTULO 3 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES 
 GRADOS DE LIBERTAD 
________________________________________________________________________________ 
 
Página 
 
3.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 111 
 
3.2. SISTEMA CON VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA 114 
3.2.1. FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN 114 
3.2.2. PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS NORMALES 116 
3.2.3. CALCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS NORMALES UTILIZANDO 
 EL MÉTODO DE JACOBI 116 
 
3.3. MOVIMIENTO FORZADO 117 
3.3.1. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL 117 
 
3.4. RESPUESTA AL MOVIMIENTO DE LA BASE 120 
3.4.1. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL A LO LARGO DEL TIEMPO 120 
3.4.2. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 125 
3.4.3. MÉTODO DE COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA MODAL 127 
3.4.4. MOVIMIENTO AMORTIGUADO 128 
 
3.5. REDUCCIÓN DE MATRICES DINÁMICAS 128 
3.5.1. CONDENSACIÓN ESTÁTICA 128 
 
3.6. RESUMEN: SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 130 
 
3.7. EJERCICIOS RESUELTOS 132 
 
3.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 161 
116 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 117 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES 
 GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
n aquellos casos donde el modelo matemático de un solo grado de libertad no provee la 
respuesta dinámica exacta, pues la estructura no puede asumir, durante su movimiento, una 
forma única de desplazamiento, se tiene que considerar el modelo como un sistema de 
varios grados de libertad. 
En este capítulo se estudia la respuesta dinámica de estos sistemas utilizando la solución modal 
o el método directo, bien sea cronológico o espectral. Se debe tener en cuenta que la solución 
modal, es aplicable, en general, sólo a sistemas que permanecen en el rango lineal de respuesta; en 
el caso contrario (rango inelástico de respuesta) se debe usar el método de integración de las 
ecuaciones de equilibrio dinámico. 
 
 
3.1. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO 
 
Al plantear la ecuación de movimiento de un sistema de múltiples grados de libertad, es importante 
hablar del modelo estructural. Luego, un edificio se puede modelar como un sistema conformado por 
pórticos planos con una losa de entrepiso idealizado como un cuerpo infinitamente rígido para 
desplazamiento en su propio plano. Es decir, que la posición horizontal de cualquier punto dentro de 
la losa o diafragma es posible describirlo a partir de los desplazamientos ortogonales X, Y y un giro 
alrededor de un eje perpendicular al plano del diafragma, Z. Por consiguiente cada pórtico plano, a su 
vez, se puede modelar como una estructura con un solo grado de libertad horizontal por piso como se 
muestra en la Figura 3-1(b). 
 
Para este fin la estructura se debe suponer bajo estas condiciones: 
 
 1. La masa de la estructura está concentrada al nivel de los pisos. 
 2. Las vigas en los pisos no tienen deformaciones axiales debido a la rigidez infinita del 
diafragma; y por ello en cada piso existe un solo grado de libertad horizontal. 
 3. Se desprecia la deformación axial de las columnas, siempre y cuando la estructura sea poco 
esbelta, baja y larga. 
 
Bajo las anteriores condiciones al concentrar las masas a nivel de los pisos, el problema se 
transforma en uno de igual número de grados de libertad cuantas masas concentradas existan. Por 
ejemplo, un edificio de 3 pisos, tiene 3 grados de libertad, es decir, tres desplazamientos 
horizontales, uno a nivel de cada uno los pisos, ver Figura 3-1(a) y (b). El considerar las vigas 
rígidas, introduce el requisito de que las uniones entre las vigas y las columnas están fijas sin 
rotación. Bajo la tercera condición se garantiza que las vigas permanecen horizontales durante el 
movimiento de la estructura. 
 
Además, el edificio puede tener cualquier número de vanos y de igual manera se puede modelar 
como uno de un sólo vano; idealizando las columnas como una sola, con masas concentradas a la 
altura de los pisos, como se muestra en la Figura 3-1. 
E 
118 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
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(a) Estructura con cuatro vanos (b) Grados de
masas concentradas
(c) Idealización con
m
horizontales y tres pisos
rigideces equivalentes
(d) Idealización con
libertad
a nivel de cada piso por piso
3
m2
m1
1
2
k
k
k3
 
 
Figura 3-1. Idealización del pórtico con masas concentradas a nivel de los pisos 
 
 
La masa mi corresponde a la masa concentrada del piso i. A su vez, recordando que el coeficiente de 
rigidez es la fuerza requerida para producir un desplazamiento relativo de magnitud unitaria entre dos 
pisos adyacentes. La rigidez para el modelo estructural corresponde a la rigidez equivalente por piso, 
es así como Ki es la rigidez equivalente del piso i. 
 
 
 
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 119 
(a) Estructura de varios
grados de libertad
k
k
k
k
k
k
m
m
k
k
k
k
m
m
(b) Variables involucradas (c) Idealización
Estructural
(d) Diagrama de 
cuerpo libre
(d) Diagrama de 
cuerpo libreEstructural
(c) Idealización(b) Variables involucradas(a) Estructura de varios
grados de libertad
I. Pórtico de un solo vano
II. Pórtico de varios vanos
m u1 1
m u 2 2
12 2k (u - u )
k u1 1
F (t)2
F (t)1
2u
1u
m2
m1
2F (t)
1F (t)
2k
1k
m2
m1
2F (t)
1F (t)
2F (t)
F (t)
2k
1k
1m
1u
2m
2u
F (t)2
m u 2 2
m u1 1
1k u1
k (u - u )2 2 1
F (t)11
F (t)2
1F (t)
 
Figura 3-2. Sistemas de dos grados de libertad 
 
Luego, observando los sistemas estructurales, de dos pisos, mostrados en la Figura 3-2 analizamos 
sus diagramas de cuerpo libre y planteamos la ecuación de equilibrio para cada excitación arbitraria 
Fi(t), de la siguiente manera: 
 
Primer piso 
 0 = (t)F - )u - u( k - u k + u m 11221111  (3-1) 
0 = (t)F - u k - u )k + k( + u m 12212111  (3-1a) 
Segundo piso 
 0 = (t)F - )u - u( k + u m 212222  (3-2) 
0 = (t)F - u k + u k - u m 2221222  (3-2a) 
120 
 
 
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Ecuaciones que pueden escribirse usando matrices como: 
 
} F { = } U{ [K] + } U { [M]  (3-3) 
 
Es decir, 






=












−
−+
+












(t)F
(t)F
u
u
kk
kkk
u
u
m0
0m
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1


 (3-3a) 
 
Es de resaltar como la matriz de masa es una matriz diagonal. 
 
 
3.2. SISTEMA CON VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA 
 
Es necesario e importante realizar el estudio de una edificación en vibración libre (aún cuando en muy 
pocas circunstancias este bajo esta condición) porque de esta forma se pueden determinar las 
propiedades dinámicas más importantes de la estructura, que son la frecuencia natural o período y los 
correspondientes modos de vibración. 
 
 
3.2.1. FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN 
 
Contamos, para vibración libre no amortiguada, con el siguiente sistema de ecuaciones de equilibrio: 
 
donde, las matrices [M] y [K] son las matrices de masa y rigidez respectivamente. 
 
Siendo la solución del sistema anterior de ecuaciones diferenciales simultáneas de la forma: 
donde: 
 ai = amplitud del movimiento de la coordenada i 
 n = número de grados de libertad 
 
 
 
 
 0 = {U} [K] + }U{ [M]  (3-4) 
 
n 1,2,3,..., = i α) -t (ωsen a = u ii (3-5) 
 
expresado en forma matricial: 
 
α) -t (ωsen {a} = {U} (3-6) 
 
 
 
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 121 
Reemplazando la solución en la ecuación 3-4 tenemos: 
Eliminando sen (t - ) y reordenando términos tenemos: 
Como podemos ver estas ecuaciones de movimiento no dependen del tiempo, y corresponden a un 
sistema algebraico de n ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, amplitudes ai, y 2 por 
determinar. La solución a esta formulación matemática conocidacomo problema característico, 
requiere que el determinante de la matriz del factor de {a} sea igual a cero, es decir, para que el 
sistema de ecuaciones simultáneas homogéneo (ecuación 3-7a) tenga solución no trivial, el 
determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero: 
Donde: 
 : se denomina determinante característico del sistema de ecuaciones diferenciales simultáneas. 
 
Determinante que al resolver resulta ser una ecuación algebraica de grado n de la incógnita 2, que se 
satisface para n valores de 2. Esta ecuación corresponde a la ecuación característica del sistema o 
ecuación de frecuencias. Las n raíces de esta ecuación se denominan valores característicos o valores 
propios o eigenvalores. Estas son siempre reales y positivas, y su raíz cuadrada corresponde a las 
frecuencias naturales del sistema, en radianes por segundo. A la frecuencia más pequeña, se le denota 
por 1 y se le denomina frecuencia fundamental. 
Luego, con cada valor de p2 que satisface la ecuación característica del sistema, se reemplaza en la 
ecuación 3-7a y se obtiene un sistema de n ecuaciones del tipo: 
Resolviendo cada ecuación se obtiene para cada p2 un vector {a}p llamado vector característico, o 
modo de vibración o eigenvector; en términos de una constante de proporcionalidad arbitraria. Es 
decir, que los valores {a1, a2, a3… an}p son reales, pero no tienen un valor determinado, pues 
cualquier escalar p, i{a}p también es una solución del sistema de ecuaciones 3-9. Por lo tanto, 
para cada frecuencia p se tiene un vector {a}p que cuenta con una forma definida pero una 
amplitud arbitraria. 
 
 
 
 
 
 
 0 = α) -t (ωsen {a} [K] + α) -t (ωsen {a} [M] ω - 2 (3-6a) 
 
 0 = {a} [M] ω - {a} [K] 2 (3-7) 
o 
0 = {a} ] [M] ω - [k] [ 2 (3-7a) 
 
 0 = | [M] ω - [K] |Δ 2= (3-8) 
 
         n3...2,1,p0aMωK p2p ==− (3-9) 
122 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
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3.2.2. PROPIEDAD DE ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS NORMALES 
 
Las amplitudes de vibración {a} o desplazamientos en un modo normal de vibración corresponden 
solamente a valores relativos, como se mencionó anteriormente, que pueden determinarse asignando 
un valor de 1 a uno de los elementos del vector {a}p y definiendo los restantes n-1 términos en función 
de dicho valor, en forma única. Este proceso es llamado normalización y los vectores resultantes se 
denominan modos normales. Este no es el único proceso de normalización de los modos, en algunos 
casos es conveniente normalizar los modos con respecto a la masa del sistema: 
siendo φ la componente normalizada i del vector modal j. 
 
Con base en lo anterior la condición de ortogonalidad está dada, en general, por: 
siendo [ I ] la matriz identidad. 
 
Otra forma de expresar la ortogonalidad es: 
 
 
3.2.3. CÁLCULO DE FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS NORMALES 
UTILIZANDO EL MÉTODO DE JACOBI 
 
Para un sistema con muchos grados de libertad, los cálculos numéricos requeridos por el método 
anteriormente expuesto (método directo) se vuelven inmanejables. Para esto existen métodos 
numéricos como el método de Jacobi, el cual calcula los valores característicos y los correspondientes 
vectores característicos de un sistema (García, 1998). 
 
a m 
a
 = Φ
2
 jk k
n
1=k
j i
j i

 (3-10) 
 
 
 1 = } { [M] } {
 ji donde 0 = } { [M] } {
i
T
i
j
T
i


 
  ]I[ = ][ [M] T  (3-11) 
 
 
 ω = } Φ { [K] } Φ {
 ji donde 0 = } Φ { [K] } Φ {
2
i
T
i
j
T
i

 
][ω = ][Φ [K] ][Φ 
2T
 (3-12) 
 
 
 
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 123 
 
El método básico de Jacobi fue desarrollado para la solución del problema característico "estándar", 
esto es: 
 
 
3.3. MOVIMIENTO FORZADO 
 
En este numeral se estudiara el movimiento forzado en función de los modos normales de vibración, y 
su respuesta total mediante la superposición de las soluciones modales independientes, reduciendo el 
problema de encontrar la respuesta de un sistema con múltiples grados de libertad a la determinación 
de las respuestas de sistemas con un solo grado de libertad. 
 
 
3.3.1. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL 
 
Partiendo de las ecuaciones de equilibrio para el caso particular de un edificio con n niveles, 
modelado con n grados de libertad, como se muestra en la Figura 3-3, tenemos: 
 
 
(a) Edificio (c) Desplazamientos(b) Masas por piso
1m
mn-1
2m
nm
22m u 
u
1
k (u - u )
1k u
22
1
us
11m u
1
cuerpo libre
(d) Diagrama de 
k (u - u )
k (u - u )
k (u - u )
3 3
n-1n-1
n
u2
un-1
nu
2
n-2
n-1n-1m (u )
n n-1
nm (u )n
F (t)n
F (t)n-1
F (t)2
F (t)1
F (t)n
n-1F (t)
2F (t)
1F (t)
 
 
Figura 3-3. Sistema de n grados de libertad 
 
 
 
 } 0 { = } Φ { ] ω ]I[ - [K] [ 2 (3-13) 
 
124 
 
 
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Ecuaciones que expresadas en forma matricial corresponden a: 
es decir: 
Este sistema de ecuaciones dependientes (sistema acoplado) ecuaciones 3-3 se transforma en un 
sistema de ecuaciones independientes (sistema desacoplado), es decir, en un sistema en que cada 
ecuación contiene una sola incógnita en función del tiempo. Para ello es necesario expresar los 
desplazamientos u en función de cada modo de la siguiente manera: 
siendo: 
{U} = la respuesta dinámica de la estructura en desplazamientos. 
{z} = coeficientes que determinan la contribución de cada modo, los cuales corresponden a funciones 
generales del tiempo o a coordenadas generalizadas. 
[φ] =matriz modal del sistema. 
 
Introduciendo la anterior transformación de coordenadas en la ecuación de movimiento se obtiene: 
 
 (t)F )u - u( k - u k + u m 11221111 = (3-14) 
(t)F)u - (u k - )u - (uk + u m 223312222 = (3-15) 
(t)F )u - (uk + u m
 
n1-nnnnn =

 (3-16) 
 
Reordenando: 
(t)Fuk - u)k k( + u m 22 112111 =+ (3-14a) 
(t)Fuk - u )k(k + u k - u m 2332321222 =+ (3-15a) 
(t)F uku k - u m
 
nnn1-nnnn =+

 (3-16a) 
 














=


























−
−
+−
−+
+


























(t)F
(t)F
(t)F
u
u
u
kk0
k
kkk
kkk
u
u
u
m0
m0
00m
n
2
1
n
2
1
nn
n
322
221
n
2
1
n
2
1








 (3-17) 
 
 } F(t) { = } U{ [K] + } U { [M]  (3-3) 
 
     ZΦU = (3-18) 
 
          F(t)ZΦKZΦM =+ (3-19) 
 
 
 
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 125 
 
Multiplicando lo anterior por el vector modal i transpuesto, [φ]Ti y aplicando las relaciones de 
ortogonalidad que dicen: 
Se obtiene: 
 
Tanto [ I ] como [ 2 ] son matrices diagonales, y por esto el sistema se desacopla, lo cual indica que 
se ha pasado de un sistema de n ecuaciones simultáneas a n ecuaciones independientes de un grado de 
libertad, del tipo: 
 
        F(t)Φzωz T2 =+ (3-23) 
 
 
Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento pueden ser escritas por n ecuaciones desacopladas de la 
forma: 
 
donde: 
 
siendo n el número de grados de libertad. 
 
La ecuación 3-24 se soluciona aplicando metodologías como la expuesta en el capítulo 2 como la 
integral de Duhamel. 
 
Una vez se obtiene la respuesta a lo largo del tiempo de los grados de libertad generalizados, zi, la 
respuesta total es la superposición de la contribución de cada uno de los modos: 
 
       IΦM i
T
i = (3-20) 
 
       i2i
T
i ωΦKΦ = (3-21) 
                F(t)ΦZΦKΦZΦMΦ Ti
T
i
T
i =+
 (3-22) 
 
 [ I ] [ 2 ] 
 n),1,2,3,.... = (i (t)P = z ω + z ii
2
ii (3-24) 
 (t)F + ... + (t)F + (t)F = (t)P nni22i11ii  (3-25) 
 
=
==
n
1i
ii )(t)z}{Φ({z}][Φ{u}(3-26) 
 
126 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
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3.4. RESPUESTA AL MOVIMIENTO DE LA BASE 
 
Un sistema puede estar sometido a un movimiento en la base, como es el caso de una edificación 
bajo la acción de un sismo. En dichas circunstancias, la respuesta del sistema puede evaluarse 
representando la acción por medio de un acelerograma, o mediante un espectro de respuesta. En la 
primera opción la respuesta se podrá evaluar a lo largo del tiempo, pero en la segunda, la respuesta 
corresponderá a los valores máximos. A continuación se expone en detalle cada una de estas 
opciones. 
 
3.4.1. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL A LO LARGO DEL TIEMPO 
 
Un edificio, modelado como una estructura simple, de n pisos excitado en su base se representa como 
se muestra en la Figura 3-4: 
 
(c) Desplazamientos
us
(a) Edificio
k2
k1
m1
(b) Idealización
Estructural
kn
n-1k
m2
mn-1
nm
22u
m u 
1
k (u - u )
1
22
1
k u
us
(d) Diagrama de 
cuerpo libre
11
1
m u
k (u - u )
k (u - u )
k (u - u )
33
n-1n-1
n
u2
un-1
un
2
n-2
n-1n-1
n-1n
nnm (u )
m (u )
 
 Figura 3-4. Sistema de múltiples grados de libertad sometido a un movimiento en la base 
 
Las ecuaciones de equilibrio sin tener en cuenta el amortiguamiento son: 
 Piso 
 
(n) 0 = )u - u( k + u m
. . . 
. . . 
(2) 0 = )u - u( k - )u - u( k + u m
 
(1) 0 = )u - u( k - )u - u( k + u m
1-nnnnn
23312222
122s1111



 (3-27) 
 
 
 
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ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 127 
Reemplazando los desplazamientos por expresiones en función del desplazamiento del suelo us 
tenemos: 
donde y corresponde al desplazamiento relativo a la base de la estructura. 
 
Luego, introduciendo la ecuación 3-28 en 3-27 se obtiene: 
 
Las anteriores ecuaciones pueden ser escritas en la forma: 
 
siendo: 
{} = matriz cuyo tamaño depende de las componentes del acelerograma, (t)us ; es decir si este tiene 
2 componentes (x,y) el vector  tendrá un tamaño de 2xn, siendo n los grados de libertad de la 
estructura. En otras palabras, sus términos son iguales a 1 si la aceleración del terreno es colineal 
con la aceleración del grado de libertad que representa la matriz. Si no es colineal se coloca 0 a 
la componente correspondiente. 
(t)us = aceleración aplicada a la fundación del edificio, representada por un acelerograma. 
 
Determinando la matriz modal [φ] de la solución del problema característico: 
 
Introduciendo la transformación: 
y derivando dos veces contra el tiempo: 
 
 n) 3... 2, 1,=i (siendo u - u = y sii (3-28) 
 
u + y = u sii (3-29) 
 Piso 
 
(n) u m - = )y - y( k + y m 
. . . 
. . . 
(2) u m - = )y - y( k - )y - y( k + y m
 
(1) u m - = )y - y( k - y k + y m
sn1-nnnnn
s223312222
s11221111



 (3-30) 
 
 (t)u } γ{ [M] - = }y { [K] + } y { [M] s (3-31) 
 } 0 { = }y { |[M] ω - [K] | 2 (3-32) 
 
     zΦy = (3-33) 
 
128 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
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Reemplazando las ecuaciones 3-33 y 3-34 en las ecuaciones diferenciales 3-30 y multiplicando por 
[]iT, se llega a: 
Aplicando la propiedad de ortogonalidad de los modos normales, obtenemos: 
 
donde  corresponde a los factores de participación o coeficientes de participación. 
 
Por consiguiente, se obtienen n ecuaciones independientes de un grado de libertad del tipo: 
donde i es el factor de participación del modo i, y corresponde a la fila i de la matriz [  ] obtenida, 
como se mencionó anteriormente por medio de: 
 
La solución de las ecuaciones 3-36 se realiza por medio de la integral de Duhamel o por métodos 
numéricos (Garcia, 1998; Oller, 1997). Una vez se obtienen los valores de zi, para cualquier tiempo t, 
se pueden obtener los desplazamientos de la estructura para ese instante. Luego la respuesta total es la 
superposición de las respuestas individuales de cada uno de los modos: 
Las fuerzas dinámicas inerciales que se producen en la estructura, en cada modo de vibración, pueden 
obtenerse multiplicando los desplazamientos de cada modo por la matriz de rigidez de la estructura: 
 
Luego, para el modo i las fuerzas en la estructura corresponden a la indicada en la Figura 3-5a. 
 
     zΦy  = (3-34) 
 
      (t)u } γ{ [M] Φ - = } {Z ][Φ [K] Φ + } Z {][Φ [M] Φ s
T
i
T
i
T
i 
 (3-35) 
 
      (t)u } γ{ [M] Φ - = } {Z ][Φ [K] Φ + } Z {][Φ [M] Φ s
T
i
T
i
T
i 
 (3-35a) 
 
 [I] [2] [] 
 n)1,2,...., = (i (t)u Γ = z ω + z sii
2
ii  (3-36) 
     γMΦΓ T−= (3-37) 
 
   (t)z}{φ{z}Φ{y}
n
1i
ii
=
== (3-38) 
 
   ii {y}k{F} = (3-39) 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 129 
(b) Cortante basal y
Fn i
n-1F i
3F i
2F i
1F i
momento de vuelco
(a) Fuerzas dinámicas
2 i
F
inerciales
1 i
F
n-1F
3 i
F
i
nF i
u2
u1
n-1u
u
un
3
h
h
h
h
h
n
n-1
3
2
1
 
 
Figura 3-5. Fuerzas del modo i 
 
Con las fuerzas dinámicas inerciales se define el cortante basal del modo i en el instante ti como: 
Ahora si se retoma el concepto de coeficiente de participación {} y si lo multiplicamos por []T se 
obtiene: 
Aplicando el principio de ( [A] [B] )T = [B]T [A]T a []T [M], se obtiene [M]T [] = [M] [], dado 
que [M] es simétrica, con lo cual la ecuación 3-42 se puede expresar como: 
 
=
=
n
1j
ii FjV (3-40) 
y el momento de vuelco 
 
=
=
n
1j
jji FhM (3-41) 
 
           γMΦΦΓΦ TTT = (3-42) 
 
130 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
 
A su vez, la masa total de la estructura esta dada por la contribución de cada masa individual: 
 
Nuevamente, aplicando el principio de ( [A] [B] )T = [B]T [A]T 
 
Entonces, la masa total en cada dirección principal corresponde a la suma de los cuadrados de los 
coeficientes de participación modal, i, en esa dirección. El valor de 2 de cada modo es llamada la 
masa efectiva modal y puede entenderse como la fracción de la masa total que se activa en ese modo 
al vibrar debido a la excitación en la base. 
 
En los casos donde los modos de vibración no son ortogonales, los coeficientes de participación se 
definen de la siguiente manera: 
 
Y la masa efectiva modal en este caso se obtiene, para cada modo, por medio de: 
            γγΦMΦΓΦ TT == (3-43) 
 
 [I] 
 
       γMγM TTOTAL= (3-44) 
 
y reemplazando [] en la ecuación anterior, se obtiene: 
      ( )     ΓΦMΓΦM TTTTOTAL= (3-45) 
          ΓΦMΦΓM TTTOTAL= (3-46) 
 
 [I] 
Luego 
         == 2iTTOTAL ΓΓIΓM (3-47) 
 
    
   


=
=
=−=
n
1j
2i
jj
n
1j
j
i
j
ii
Ti
i
)(Φm
)m(Φ
ΦMΦ
γMΦ
Γ (3-48) 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 131 
El concepto de masa efectiva modal se utiliza para definir el número mínimo de modos necesarios 
para describir la respuesta, ya que en los casos donde la estructura cuente con muchos grados de 
libertad los modos superiores se hacen muy pequeños y poco aportan a la respuesta. 
 
 
3.4.2. MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL 
 
De acuerdo a lo visto anteriormente, las ecuaciones de movimiento para un sistema sometido a una 
excitación en su base se expresan mediante: 
Dado que se pueden definir los modos y frecuencias de la estructura, con base en sus propiedades para 
vibración libre, la solución de las ecuaciones diferenciales simultáneas se obtiene desacoplando el 
sistema mediante la utilización de la siguiente transformación de coordenadas: 
 
y derivando dosveces contra el tiempo: 
 
Reemplazando las ecuaciones 3-33 y 3-34 en 3-50 y premultiplicando por []iT, se obtiene: 
 
Dado que [I] y [2] son matrices diagonales el sistema se desacopla, lo cual indica que se tienen n 
ecuaciones independientes de un solo grado de libertad del tipo: 
 
    ( )
   


=
=






=−=
n
1j
2i
jj
2
n
1j
j
i
j
ii
2Ti
iefec
)(Φm
)m(Φ
ΦMΦ
γMΦ
m (3-49) 
 
          (t)sUγMyKyM  −=+ (3-50) 
 
     zΦy = (3-33) 
 
     zΦy  = (3-34) 
 
       (t)u } γ{ [M] Φ - = } {Z ][Φ [K] Φ + } Z {][Φ [M] Φ s
TTT
 (3-35a) 
 
 [I] [2] [] 
 n)1,2,...., = (i (t)u Γ = z ω + z sii
2
ii  (3-36) 
132 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
La solución de estas ecuaciones se puede realizar por medio de las metodologías propuestas para 
sistemas de un grado de libertad. Obtenidos los valores de {z(t)} se pueden calcular los 
desplazamientos a lo largo del tiempo. 
Luego, la diferencia entre el análisis modal a lo largo del tiempo y el análisis modal espectral se 
establece a partir de la definición de la acción sísmica. En un análisis a lo largo del tiempo la acción 
está representada por el acelerograma o registro del movimiento en aceleración a lo largo del tiempo, 
y en un análisis espectral la acción esta representada por un espectro de respuesta bien sea de 
desplazamiento o aceleración. 
De esta forma, como su mismo nombre lo dice, un análisis a lo largo del tiempo, presenta sus 
resultados cronológicamente, pero en un análisis espectral los resultados obtenidos se reducen a los 
máximos. 
Por consiguiente, el valor máximo que puede alcanzar el desplazamiento relativo y, entre la base 
y la masa de un sistema de un grado de libertad sometido a un acelerograma en su base (t)us , es el 
valor que se lee del espectro de desplazamiento Sd(T,), calculado para el mismo acelerograma. 
Por ello, el máximo valor que puede tener zi corresponde al valor leído del espectro de 
desplazamientos de la excitación amplificado por el coeficiente de participación i, luego: 
En los casos que se disponga de un espectro de aceleraciones el zi máx es igual a: 
 
Luego los desplazamientos dinámicos modales máximos correspondientes al modo i, pueden 
obtenerse mediante: 
 
A su vez, las fuerzas dinámicas inerciales modales máximas que se presenta en la estructura se pueden 
obtener multiplicando la matriz de rigidez de la estructura por el vector de desplazamientos máximos 
del modo correspondiente: 
 
 
Estas fuerzas pueden utilizarse como fuerzas estáticas y mediante un análisis estático tradicional, se 
pueden encontrar las fuerzas internas causadas por el modo i en cada uno de los elementos. 
 
 
   )ξ,(TSΓz iiidimáxi = (3-51) 
  
2
i
iiia
imáxi
ω
)ξ,(TS
Γz = (3-52) 
 
        )ξ,(TSΓΦzΦy iiidiimáxiii == (3-53) 
     ii yKF = (3-54) 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 133 
3.4.3. MÉTODO DE COMBINACIÓN DE LA RESPUESTA MODAL 
 
Una vez se han calculado las respuestas máximas, para cada modo, bien sea por el método espectral, 
se observa que éstas no ocurren al mismo tiempo. Luego para determinar la respuesta máxima 
tomando la contribución de todos los modos existen varios métodos, a continuación, se presentan dos 
de ellos (asumiendo un sistema de dos grados de libertad): 
 
1. Sumando los valores absolutos de las contribuciones modales máximas 
Como se mencionó anteriormente, generalmente cuando la respuesta de un modo llega a su máximo, 
las otras respuestas modales, en ese instante, no están en su máximo valor. Luego, es obvio, que este 
método de combinación ofrece el límite superior de respuesta. 
 
2. Por medio de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las contribuciones modales (RCSC) 
Los anteriores métodos de combinación modal pueden ser aplicados para calcular no solamente la 
respuesta máxima, sino también, para determinar la respuesta en un instante de tiempo determinado 
cuando el análisis se ha realizado a lo largo del tiempo: por ejemplo para calcular el desplazamiento 
del grado de libertad i en el instante t. 
 

=
=
n
1j
jiji (t)zΦ(t)U (3-55a) 
o 
( )
=
=
n
1j
2
jiji (tzΦ(t)U (3-36a) 
 
Estos métodos de combinación modal son aplicables para calcular cualquier tipo de respuesta, bien 
sea velocidad, aceleración o fuerzas. 
 
Existe otro método que toma en consideración la correlación que existe entre los diferentes 
modos y es el método de combinación cuadrática completa (CCC) (Rosenblueth y Elorduy, 1969). 
 
 
 
 
 
| z φ | + | z φ | = u
 
| z φ | + | z φ | = u
max 222max 121max 2
max 212max 111max 1
 (3-55) 
 
 
)z φ( + )z φ( = u
 
)z φ( + )z φ( = u
2
max 222
2
max 121max 2
2
max 212
2
max 111max 1
 (3-56) 
 
134 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
3.4.4. MOVIMIENTO AMORTIGUADO 
 
Cuando un sistema es amortiguado el procedimiento para desacoplar las ecuaciones diferenciales no 
es tan sencillo como hasta el momento se ha planteado, la amortiguación que existe generalmente en 
una estructura es muy pequeña, razón por la cual es la mayoría de los casos no es tenida en cuenta ni 
para el cálculo de las frecuencias y los modos, ni para el resto del planteamiento, reduciendo el 
problema al de una estructura sin amortiguamiento. Sin embargo en casos que sea conocido las 
ecuaciones de movimiento serán: 
 
 
3.5. REDUCCIÓN DE MATRICES DINÁMICAS 
 
En sistema donde se cuenta con un gran número de grados de libertad, las matrices de masa y rigidez 
saldrán de grandes dimensiones dificultando los procesos necesarios para llegar a la respuesta. En 
estos casos, es recomendable utilizar un procedimiento que reduce el tamaño de las matrices llamado 
condensación. Uno de los métodos sencillos utilizado en problemas dinámicos es la condensación 
estática, aunque es sólo una metodología aproximada. 
 
 
3.5.1. CONDENSACIÓN ESTÁTICA 
 
El método para reducir la matriz de rigidez parte de definir los grados de libertad que se desean 
condensar (dependientes o secundarios) y de expresarlos en función de los grados de libertad 
definidos como independientes o primarios. Quedando la matriz de rigidez dentro de la relación 
fuerza-desplazamiento, de la siguiente forma: 
Donde el subíndice s indica grados secundarios por reducir y el subíndice p designa los grados 
primarios. Es de mencionar que en la anterior ecuación se ha supuesto que no existen fuerzas externas 
aplicadas a los grados de libertad secundarios. 
Expandiendo las anteriores ecuaciones tenemos: 
De esta última relación (3-61) obtenemos: 
 (t)u Γ = z ω + z ω ξ 2 + z sii
2
iiii  (3-57) 
[F] = [U] [K] (3-58) 
 
   
   
 
 
 
 





=












0
F
U
U
KK
KK P
S
P
SSSP
PSPP
 (3-59) 
 
 } F { = } U { ]K[ + } U { ]K[ PSPSPPP (3-60) 
 
} 0 { = } U { ]K[ + } U { ]K[ SSSPSP (3-61) 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 135 
y reemplazando en (3-60)tenemos: 
Luego, la matriz de rigidez reducida o condensada será igual a: 
 } U { ]K[ ]K[ - = } U { PSP
-1
SSS (3-62) 
 
][K
 
} F { = } U { ] ]K[ ]K[ ]K[ - ]K[ [
 
} F { = } U { ]K[ ]K[ ]K[ - } U { ]K[
condensada
PPSP
1-
SSPSPP
PPSP
-1
SSPSPPP
 (3-63) 
 
 ]K[ ]K[ ]K[ - ]K[ = ][K SP
-1
SSPSPP
c
 (3-63a) 
 
136 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
 
3.6. RESUMEN: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD 
 
A continuación se presenta un resumen de la definición de la respuesta dinámica de una estructura de 
múltiples grados de libertad bajo la acción sísmica. 
us
 
Figura 3-6. Sistema sometido a una acción sísmicaSiendo la ecuación de movimiento: 
y si determinamos una matriz [] tal que cumpla lo siguiente: 
Podemos plantear la siguiente transformación de coordenadas: 
La cual reemplazando en la ecuación de movimiento: 
 } u { } γ{ [M] - = }y { [K] + } y { [M] s (3-31) 
       IΦM i
T
i = (3-11) 
 
       i2i
T
i ωΦKΦ = (3-12) 
  } {z = }y {  (3-33) 
 
  } z{ = } y {   (3-33a) 
 
  } z { = } y {   (3-34) 
 
   }u{ }{γ [M] - = {z} ][Φ [K] + }z{Φ [M] s (3-64) 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 137 
 
Premultiplicando por []T: 
la cual se reduce a: 
De aquí tenemos n ecuaciones independientes de la forma: 
Ecuaciones que incorporándoles los efectos del amortiguamiento quedan: 
El valor de zi se puede obtener por los métodos mencionados en el capítulo 2, pero al máximo valor se 
puede leer en el espectro de respuesta del sismo. 
donde Sd(Ti,i) es el valor del espectro de desplazamientos para un período Ti y un amortiguamiento i. 
 
Siendo la respuesta para cualquier tiempo: 
y la máxima respuesta: 
}u{ }{γ [M] ][ - = {z} ][ [K] ][ + }z { ][ [M] ][ s
TTT
  (3-35a) 
 
 [I] [2] 
 }u{ }{γ [M] ][Φ - = {z} ]ω[ + }z{ [I] s
T2  (3-35b) 
 
 [i] 
 u Γ = z ω + z sii
2
i  (3-36) 
 u Γ = z ω + z ω ξ 2 + z sii
2
ii  (3-65) 
 )ξ , T( S | Γ | = )z( iidimaxi (3-51) 
 (t)z | Γ | }{φ = {y(t)} iii
n
1=i
 (3-66) 
 
 )ξ , T( S | Γ | }{φ = }{y iidii
n
=1i
max  (3-67) 
ó 
] )ξ , T( S | Γ | }{φ [ = }{y
2
iidii
n
1=i
max  (3-67a) 
138 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
 
3.7. EJERCICIOS RESUELTOS 
 
En este numeral se analizará un edificio de dos niveles modelándolo como un pórtico plano, donde 
primero se trabaja con la masa y rigidez equivalente de dicho pórtico y segundo con la rigidez 
condensada. 
 
 
3.7.1. Ejemplo N° 1 
 
La estructura mostrada en la Figura 3-7 corresponde a una edificación apóticada construida en hormigón 
armado. Las vigas de la edificación tienen 0.35 m de altura por 0.30 m de ancho y, las columnas son 
cuadradas de 0.35 m de lado. 
Las masas de la estructura se estiman en 200 kg/m2 en la placa del primer nivel y de 100 kg/m2 
en la cubierta. La estructura cuenta con un módulo de elasticidad E = 20000 MPa. Es de interés 
determinar las frecuencias, los modos de vibración del edificio y la respuesta dinámica de la estructura 
cuando vibra libremente en la dirección X. 
 
Y
X
6.00 m
6.00 m
3.00 m
4.00 m
4.00 m 4.00 mZ
su
 
 
Figura 3-7. Estructura conformada por pórticos simétricos 
 
Solución. 
 
Para la determinación de las frecuencias y los modos de vibración se estudiará la estructura en la 
dirección X solamente, para ello se desarrollaron los siguientes pasos: 
 
 
 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 139 
1. IDEALIZACIÓN ESTRUCTURAL 
 
Debido a la uniformidad de las propiedades estructurales a lo largo del edificio y a que un mismo 
pórtico se repite cada 6 metros en la dirección X, el análisis de un pórtico interior puede representar la 
respuesta para todo el edificio. 
 
Luego, la estructura la podemos modelar como un edificio simple, es decir, suponemos las siguientes 
condiciones: 1) Toda la masa de la estructura se concentra a nivel de los pisos, 2) Las vigas en los 
pisos son infinitamente rígidas respecto a las columnas y 3) La deformación de la estructura es 
independiente de las fuerzas axiales en las columnas, ver Figura 3-8. 
 
2
Horizontales
(a) Pórtico con 2 vanos
ba
e
k
k
k
dk
u1
2u
m
22m u 
cuerpo libre
(c) Diagrama de 
1
(b) Idealización
Estructural
c
f
k
k
1m
u
1k
2k
m1
k u1 1
12 2k (u - u )
11m u 
u
m2
2
 
Figura 3-8. Fuerzas involucradas e idealización de la estructura 
 
Por lo tanto, la estructura puede representarse por un sistema de masas y resortes: 
 
u21u
2k1k
k u1 1
k (u - u )2 2 1
22m u m u1 1
m1 m2
 
 
Figura 3-9. Representación de la estructura como un sistema masa - resorte 
 
 
 
140 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
2. DETERMINACIÓN DE LA MASA 
 
Conocidas las masas distribuidas en el área de la placa intermedia y de la cubierta, se determinan los 
valores correspondientes al pórtico interior: 
 
m1 = 200x8x6 = 9600 kg = 9.60 Mg1 
m2 = 100x8x6 = 4800 kg = 4.8 Mg 
 
3. DETERMINACIÓN DE LA RIGIDEZ DEL SISTEMA 
 
Al suponer las vigas rígidas, la rigidez de las columnas entre pisos estará dada por 12EI/L3, luego 
asumiendo un módulo de elasticidad del hormigón E = 20000 MPa. 
 
4. PLANTEAMIENTO DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO 
 
Planteando la ecuación de movimiento de cada masa en vibración libre: 
Ordenando en forma matricial las ecuaciones de movimiento se obtiene: 
Siendo la respuesta para este sistema de ecuaciones la siguiente: 
 
 
1 Un megagramo (Mg) es igual a 1000 kg 
 
( )
( )
( )
( ) m
KN
33347.22
m3.00
m0.35
12
1
m
N2x1012
(3)k
m
KN
14068.36
m4.00
m0.35
12
1
m
N2x1012
(3)k
33
44
2
10
2
33
44
2
10
1
=






=
=






=
 
 
Primer piso 
 
0 = u k - u )k + k( + u m 
 0 = )u - u( k - u k + u m
2212111
1221111


 (1) 
Segundo piso 
 
0 = u k + u k - u m 
 0 = )u - u( k + u m
221222
12212


 (2) 
 






=












−
−+
+












0
0
u
u
kk
kkk
u
u
m0
0m
2
1
22
221
2
1
2
1


 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 141 
 
Derivando dos veces se obtiene: 
Reemplazando la respuesta en las ecuaciones de equilibrio se obtiene: 
 
 
Reordenando en forma matricial: 
 
Correspondiendo a un sistema algebraico de n ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, y 
amplitudes ai y 2 por determinar. Para una solución no trivial de estas ecuaciones, se requiere que el 
determinante de la matriz de coeficientes sea igual a cero, esto corresponde a la ecuación característica 
del sistema. Para cada valor de 2 que satisface la ecuación característica del sistema, podemos 
 
α) - t (ωsen a = u 
 α) - t (ωsen a = u
22
11
 
 
α) - t (ωsen ω a - = u 
 α) - t (ωsen ω a - = u
2
22
2
11


 
Primer piso 
 0 = α) - t (ωsen a k - α) - t (ωsen a )k+ k( + α) - t (ωsen ω a m - 22121
2
11 
 0 = a k - a )k+ k( + ω a m - 22121
2
11 
 0 = a k - a )]k+ k( + ω m [- 22121
2
1 (3) 
Segundo piso 
 0 = α) - t (ωsen a k+ α) - t (ωsen a k - α) - t (ωsen ω a m - 2212
2
22 
 0 = akak ω a m - 2212
2
12 +− 
 0 = a )k + ω m (- + a k - 22
2
212 (4) 
 
       0aMωK 
0
0
a
a
m0
0m
ω
kk
kkk
0
0
a
a
kωmk
k)k(kωm
2
2
1
2
12
22
221
2
1
2
2
22
221
2
1
=−






=


















−





−
−+






=












+−−
−++−
 
 
142 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
resolver la ecuación de movimiento para a1, a2 en términos de una constante de proporcionalidad 
arbitraria. 
 
5. DETERMINACIÓN DE LAS FRECUENCIAS DE VIBRACIÓN 
 
Las frecuencias se pueden obtener haciendo que el determinante de la matriz del factor {a} sea igual a 
cero, es decir: 
Reemplazando los valores de masas y de coeficientes de rigidez respectivos tenemos: 
Las raíces de la ecuación cuadrática son: 
Por lo tanto las frecuencias naturales de la estructura son: 
 1 = 30.48 rad/seg (modo 1) 
 2 = 104.68 rad/seg (modo 2) 
 
y en ciclos por segundo: 
 f1 = 1/2 = 4.85 cps (modo 1) 
 f2 = 2/2 = 16.66 cps (modo 2) 
 
y los períodos naturales: 
 T1 = 1/f1 = 0.206 seg (modo 1) 
 
0 = k k + ω ]m )k + k( - k m [- + ω m m 
 
 0 = k k - k k + k k + ωk m - ωm )k + k( - ω m m 
 
 0 = )}k (- ) k {(- - ]} k + ω m [- )] k + k( + ω m {[(- 
 
0 
k + ω m-k-
k-)k + k( + ω m-
21
2
22121
4
21
222221
2
21
2
221
4
21
222
2
221
2
1
2
2
22
221
2
1
=
 
 
 0 = 469140696 + ω 547728.10 - ω 46.08
24
 
 
10957.31 = ω
 
 929.15 = ω
 
 
46.08*2
469140696*46.08*4 - 10)(547728. 547728.10+
 = ω
2
2
2
1
2
2
1,2

 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 143 
 T2 = 1/f2 = 0.060 seg (modo 2) 
 
6. DETERMINACIÓN DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN 
 
Con las frecuencias 1 y 2 se vuelve a la ecuación (3) o (4) y se determinan los valores de a1 y a2. 2 
 
Para la primera frecuencia natural, reemplazando 1 en (3) obtenemos: 
 
 38496.89 a11 - 33347.22 a21 = 0 
 
Para la segunda frecuencia natural, reemplazando 2 en (3) obtenemos: 
 
 -57780.28 a12 - 33347.22 a22 = 0 
 
Siendo aij el valor de a en el grado de libertad i y en el modo de vibración j. 
 
Las ecuaciones anteriores solo pueden resolversen para valores relativos de a11 y a21 ó a12 y a22. 
Luego, se acostumbra asignar un valor definido a uno de ellos, por ejemplo a11=1, y se determina a21. 
Haciéndose el mismo procedimiento para los valores del modo 2. Es así, como: 
 
Para el primer modo: 
 a11 = 1 
 a21 = 1.15 
 
Para el segundo modo: 
 a12 = 1 
 a22 = -1.73 
 
Los modos obtenidos son: 
 
 
 
2 En este caso se reemplaza la frecuencia 1 en la ecuación (3), pero se hubiese podido reemplazar en la 
ecuación (4). 
1Para
a = 111 a = 112
2Para 
a = -1.73a = 1.1521 22
(a) Primer modo o
Modo Fundamental Modo Armónico
(b) Segundo Modo o
 
Figura 3-10. Formas modales para la estructura 
144 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
 
Por consiguiente, el movimiento total es la superposición de los modos: 
donde C1`, C2` y α1, α2 son constantes de integración, que se determinan de condiciones iniciales de 
movimiento, tales como: 
 
3.7.2. Ejemplo N° 2 
 
En el edificio anteriormente trabajado, dar la respuesta de los modos en forma normalizada y verificar 
la condición de ortogonalidad. 
 
Solución. 
 
Definiendo los modos normalizados como: 
 
Los factores normalizadores son: 
 
Luego, los modos normalizados son: 
 
Primer piso 
Segundo piso 
)α - t ω(sen a C + )α - t ω(sen a C = (t)u
 
 )α - t ω(sen a C + )α - t ω(sen a C = (t)u
2222
‘
21121
‘
12
2212
‘
21111
‘
11
 
 
 
u = (0)u u = (0)u
u = (0)u u = (0)u
022022
011011


 
 
 
a m 
a
 = 
} a { [M] } a {
a
 = φ
2
kjk
n
1=k
ij
j
T
j
ij
ij

 
 
 
4.895 = )3(4.8)(-1.7 + )(9.6)(1.0 :2Modo
3.994 = )(4.8)(1.15 + )(9.6)(1.0 :1Modo
22
22
 
 
 
0.3534- = 
4.895
1.73-
 = 0.2879 = 
3.994
1.15
 = 
0.2043 = 
4.895
1
 = 0.2504 = 
3.994
1
 = 
2221
1211


 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 145 
 
Siendo, la matriz modal del sistema: 
 
Verificando la ortogonalidad: 
 
 
 
   
















0.3534-0.2879
0.20430.2504
 = =
2221
1211
 
 
 
























10
01
 = 
0.3534-0.2879
0.20430.2504
 
4.80
09.6
 
0.3534-0.2043
0.28790.2504
 
[I] =][Φ [M] ][Φ
T
 
 
 
























10957.310
0929.15
 = 
0.3534-0.2879
0.20430.2504
 
33347.220
014068.36
 
0.3534-0.2043
0.28790.2504
 
][ω =][Φ [K] ][Φ
2T
 
 
146 
 
 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
MALDONADO & CHIO 
 
3.7.3. Ejemplo N° 3. 
 
Encontrar la respuesta dinámica en la 
dirección X, al sistema apórticado ilustrado 
en la Figura 3-11 si se asume como acción 
sísmica el espectro de respuesta propuesto 
para el territorio colombiano (NSR-98). La 
edificación se encuentra en la ciudad de 
Bucaramanga (zona de riesgo sísmico alto). 
Es una edificación normal, con un coeficiente 
de amortiguamiento con respecto al crítico 
igual a 5%. 
 
Figura 3-11. Estructura tipo Pórtico simétrica
 
Solución. 
 
Las unidades utilizadas en la realización de este problema son: para la masa el kg (kilogramo), para 
las fuerzas el N (Newton) y para las distancias el m (metro). 
 
Cada pórtico en la dirección X cuenta con las siguientes dimensiones, Ver Figura 3-12. 
 
 
 
 
 
La estructura cuenta con una masa de: 
✓ Cubierta = 550 kg/m2 
✓ Piso intermedio = 750 kg/m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3-12. Dimensiones pórtico interior en la dirección X 
 
3.00 m
3.00 m
4.00 m
0.3 m
0.3 m
0.25 m
0.3 m
0.3 m
0.3 m
0.3 m
0.25 m
X
Y
4.00 m
5.00 m
5.00 m
3.00 m
3.00 m
Z
X
Y
A
B
C
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 147 
1. IDEALIZACIÓN ESTRUCTURAL 
 
▪ El estudio o análisis del pórtico interior puede 
ser representativo para estudiar la respuesta 
en todo un edificio, esto debido a la 
uniformidad de las propiedades estructurales 
a lo largo de la edificación. 
 
 
[K]PORTICO * 3 = [K]ESTRUCTURA 
 
 
▪ Se asume la losa infinitamente rígida en su 
propio plano, esto hace a las vigas infinitamente rígidas axialmente. Luego, el modelo de 12 
grados de libertad se reduce a uno de 10. 
[K]
12x12
[K]
10x10
(b) Modelo de 10 GDL(a) Modelo de 12 GDL
 
Figura 3-14. Eliminación de los grados de libertad horizontales 
 
▪ Al no tener gran altura la edificación con respecto a su ancho, es decir, tener poca esbeltez, se 
pueden despreciar las deformaciones axiales en las columnas, reduciendo el modelo a uno de 6 
grados de libertad. 
[K]
6x6
(b) Modelo de 6 GDL
10x10
[K]
(a) Modelo de 10 GDL
 
Figura 3-15. Eliminación de los grados de libertad verticales 
(b) Grados de libertad(a) Modelo
del modelo
12 Grados
de libertad
 
Figura 3-13. Pórtico en la dirección X h 
148 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
▪ Al no existir cargas aplicadas en los grados de libertad rotacionales estos grados se pueden 
condensar. Por consiguiente, la matriz de rigidez de la estructura pasa de 6x6 a una condensada 
de 2x2. 
[K]6 X 6 → [K]C2 X 2 
 
 
2. DETERMINACIÓN DE LAS MASAS 
 
Trabajando con masas traslacionales tenemos: 
▪ Cubierta: m = área x masa = (4)(10) m2 (550) kg/m2 = 22000 kg 
▪ Entrepiso: m = área x masa = (4)(10) m2 (750) kg/m2 = 30000 kg 
 
Expresando en forma matricial: 
 
  kg
300000
022000
m0
0m
M
1
2






=





= 
 
Siendo: m2 = masa del nivel superior 
 m1 = masa del nivel inferior 
 
 
3. DETERMINACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ 
 
Para determinar la matriz de rigidez de toda la estructura se calcula la matriz de rigidez para un 
pórtico y luego se multiplica por el número de pórticos en la dirección de interés (en este caso X). 
 
Para determinar la matriz de rigidez de un pórtico tenemos: 
 
3.1 Numeración de nodos y elementos 
 
 
 
 
Dimensiones de las vigas 0.25x0.30 m 
 
Dimensiones de las columnas 0.30x0.30 m 
 
Módulo de elasticidad del concreto 20000 
MPa 
 
 
 
 
Figura 3-16. Numeración de nodos y elementos 
 
 
3.00 m
3.00 m
4.00 m
2
1
3
5 6
4
1 2
43
65
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 149 
3.2 Determinación de la matriz de rigidez de los elementos horizontales en coordenadas globales 
(elementos 1,2): 
 
Inercia = (1/12)(0.25)(0.30)3 = 5.625x10-4 m4 
Area = (0.25)(0.30) = 0.075 m2 
Longitud = 4 m 
 
m
N
1125000042187500562500042187500
421875021093750421875021093750
0037500000000375000000
5625000421875001125000042187500
421875021093750421875021093750
0037500000000375000000




















−
−−−
−
−
−
−
 
 
 
 
3.3 Determinación de la matriz de rigidez de los elementos verticales en coordenadas globales 
(elementos 3,4,5,6): 
 
Inercia = (1/12)(0.30)4 = 6.75x10-4m4 
Area = (0.30)(0.30) = 0.090 m2 
Longitud = 3 m 
 
m
N
1800000009000000900000009000000
0600000000006000000000
900000006000000900000006000000
9000000090000001800000009000000
0600000000006000000000
900000006000000900000006000000




















−
−
−−−
−
−
−
 
 
 
 
 
3.4 Ensamble de la matriz de rigidez de la estructura (Pórtico) 
 
Primero partimos de las expresiones de las matrices de cada elemento en función de sus 
submatrices: 
150 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
 
 
Elemento 1: 
6x62221
1211
kk
kk






 
 
Elemento 2: 
6x64443
3433
kk
kk






 
 
Elemento 3: 
6x63331
1311
kk
kk






 
 
Elemento 4: 
6x64442
2422
kk
kk






 
 
Elemento 5: 
6x65553
3533
kk
kk






 
 
Elemento 6: 
6x66664
4644
kk
kk






 
 
 
 
Luego, ensamblando las anteriores submatrices tenemos: (el exponente indica a cual elemento se 
refiere) 
 
m
N
k0k000
0k0k00
k0kkkkk0
0kkkkk0k
00k0kkk
000kkkk
66
6
64
6
55
5
53
5
46
6
44
6
44
4
44
2
43
2
42
4
35
5
34
2
33
5
33
3
33
2
31
3
24
4
22
4
22
1
21
1
13
3
12
1
11
3
11
1




















++
++
+
+
 
 
 
 
Reemplazando los valores de las submatrices, e introduciendo las condiciones de borde, la matriz de 
rigidez es: 
Estas submatrices son función de la numeración de 
los nodos i y j del elemento 
 
21
5 6
3
5
3
2
4
4
6
1
 Figura 3-17. Numeración de nodos y elementos 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 151 
 
152 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
3.5 Planteamiento de las ecuaciones de ligadura 
 
En la Figura 3-18 se representa el pórtico con todos los grados de libertad yij, correspondiendo i al 
nodo y j a la dirección del grado de libertad. Estos 12 grados de libertad se deben reducir a seis, dos 
horizontales (uno por nivel) y cuatro rotaciones. Para esto, se aplican las siguientes ecuaciones de 
ligadura: 
 
 
➢ Para las vigas: 
y11 = y21 
y31 = y41 
 
➢ Para las columnas: 
y12 = y22 = y32 = y42 = 0 
 
De las ecuaciones de ligadura definimos unos grados de 
libertad como independientes y otros como 
dependientes: 
▪ Grados de libertad independientes: y11 , y31 
▪ Grados de libertad dependientes : y21 , y41 
 
 
Figura 3-18. Pórtico con todos sus grados de libertad 
 
Para indicar lo anterior en la matriz de rigidez total, se suma la fila y luego la columna del grado de 
libertad dependiente en el independiente. Para el caso de los grados de libertad iguales a cero, 
sencillamente se anulan su fila y columna correspondiente. 
 
Finalmente el pórtico se reduce a: 
Figura 3-19. Pórtico con los grados de libertad reducidos 
 
A continuación se aplican las ecuaciones de ligadura, en la forma anteriormente expuesta: 
 ➢ 
y21
22y
y23
12y
y11
y13
32y
y31
y33
42y
y41
y43
y
y
y
31y
33
11y
13y
43
23
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 153 
Sumando las filas y21 a y1-1 y y41 a y31; después de haber eliminado las respectivas filas y columnas 
y12 , y22 , y32 , y42 se obtiene: 
 
m
N
y
y
y
y
y
y
472500000562500009000000900000000
562500004725000000090000009000000
0120000000120000009000000600000090000006000000
900000090000000029250000900000056250000
009000000900000056250000292500009000000
90000006000000900000060000009000000600000090000006000000
yyyyyyyy
43
33
31
23
13
11
4341333123211311




















−−−−
−
−
−−
 
 
 
Sumando las columnas y21 a y11 y y41 a y31, se reduce la matriz a: 
 
m
N
y
y
y
y
y
y
4725000056250000900000009000000
5625000472500000090000009000000
00240000009000000900000012000000
9000000090000002925000056250009000000
0900000090000005625000292500009000000
90000009000000120000009000000900000012000000
yyyyyy
43
33
31
23
13
11
433331231311




















−−−
−
−
−
 
 
 
 
Reordenando se obtiene la matriz correspondiente al sistema mostrado en la Figura 3-19: 
 
m
N
y
y
y
y
y
y
4725000056250009000000009000000
5625000472500000900000009000000
9000000029250000562500090000009000000
0900000056250002925000090000009000000
00900000090000002400000012000000
90000009000000900000090000001200000012000000
yyyyyy
43
33
23
13
31
11
433323133111




















−
−
−−−
−
 
 
154 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
 
3.6 Condensación de la matriz de rigidez para un pórtico. 
 
La anterior matriz la podemos nomenclar de la siguiente forma: 
 
 
 
   
   
 
 











=






S
P
4x4SS4x2SP
2x4PS2x2PPP
y
y
KK
KK
0
F
 
 
Despejando: 
 
{yS} = - [KSS]-1 [KSP] {yP} 
 
Y retomando el concepto de matriz de rigidez condensada: 
 
[K]C = [KPP] – [KPS] [KSS]-1 [KSP] 
 
Se desarrollan los pasos necesarios para su cálculo: 
 
 
m
N
2.29809x103.19951x107.53920x102.4343x10
3.19951x102.29809x102.4343x107.53920x10
7.53920x102.4343x103.80594x108.06812x10
2.4343x107.53920x108.06812x103.80594x10
K
8999
9899
9989
9998
1
SS














−−
−−
−−
−−
=
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
−
 
 
   
m
N
57430.0459440065110.13208901
57430.0459440065110.13208901
3740.2699210379970.22397702
3740.2699210379970.22397702
KK SP
1
SS












−−
−−
−
−
=−
−
 
 
    
m
N
7324858578.603954031586.50
3954031586.501146409188.80
KKK SP
1
SSPS 





−
−
=−
−
 
 
 
m
N
92719141421.36057968413.49
6057968413.498865590811.19
K PORTICO
C






−
−
= 
 
 
3.7 Determinación de la matriz condensada del sistema (matriz de rigidez de toda la estructura): 
 
De la matriz de rigidez condensada del pórtico llagamos a la matriz de rigidez de toda la estructura 
multiplicando por tres (3) la del pórtico. 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 155 
 
m
N
78157424264.188223905240.4
88223905240.496616772433.5
K ESTRUCTURA
C






−
−
= 
 
4. DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO 
 
Siendo la ecuación de movimiento de un sistema igual a: 
 
         s(t)UγMyKyM  −=+ 
 
Reemplazando los valores de masa y rigidez calculados, la ecuación de movimiento se expresa 
como: 
 
s(t)U
1
1
300000
022000
y
y
78157424264.188223905240.4
88223905240.496616772433.5
y
y
300000
022000
1
2
1
2 














−=












−
−
+












 
Siendo: 
311311
112112
yyyy
yyyy
==
==


 
 
5. DETERMINACIÓN DE LOS MODOS Y LAS FRECUENCIAS 
 
5.1. Determinación de las frecuencias de vibración 
 
Haciendo el determinante de la ecuación característica igual a cero, obtenemos las frecuencias. 
 
   
0885x105.71460522
ω660000000ω196x101.26333381ω005031730080988x109.63144657
0
ω30000857424264.1923905240.4
923905240.4ω22000016772433.6
0
300000
022000
ω
78157424264.188223905240.4
88223905240.496616772433.5
0MωK
14
4212214
2
2
2
2
=−
+−−
=
−−
−−
=





−





−
−
=−
 
 
Ordenando: 
010x103.91684135ω996x101.76650681ω660000000 142124 =+− 
 
Cuyas raíces son: 
156 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
rad/s2432.5599ω
rad/s243.9655ω
2
2
2
1
=
=
 
 
de donde las frecuencias y los periodos son iguales a: 
 
Modo 2  (rad/s) f (Hertz) T (s) 
1 243.97 15.62 2.49 0.40 
2 2432.55 49.32 7.85 0.13 
 
Siendo: 
f = /2 
T = 2/ 
 
 
5.2. Determinación de los modos de vibración 
 
Reemplazando los valores de 2 en la ecuación característica,hallamos los modos de vibración: 
 
       






=












−−
−−
=−
0
0
a
a
ω30000857424264.1923905240.4
923905240.4ω2200060167724.33.
0aMωK
1
2
2
2
2
 
 
 
✓ Para el modo 1: 
0a850105164.1a923905240.4
o
0a923905240.4a11405093.6
1121
1121
=+−
=−
 
 
 
Haciendo a21=1 y reemplazando en cualquiera de las dos expresiones tenemos: 
a21 = 1 
a11 = 0.4771 
 
✓ Para el modo 2: 
0a215552535.8a923905240.4
o
0a923905240.4a36743886.4
1222
1222
=−−
=−−
 
 
Haciendo a21=1 y reemplazando en cualquiera de las dos expresiones tenemos: 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 157 
a21 = 1 
a11 = -1.5371 
 
Por lo tanto los vectores de las amplitudes de vibración son: 
 
✓ Modo 1:  






=
0.4771
1
a 1 
 
✓ Modo 2:  






−
=
1.5371
1
a 2 
 
Siendo las formas de vibración para cada modo las indicadas en la Figura 3-20. 
 
(a) MODO 1 (b) MODO 2
 
 
Figura 3-20. Formas de vibración para cada modo 
 
5.3. Normalización de los modos 
 
Sabiendo que  es igual a: 

=
=
n
jK
2
KJK
ij
ij
am
a
Φ 
 
Se calculan los denominadores: 
✓ Modo 1: ( ) ( ) 169.790.477130000122000amam 22111
2
212 =+=+ 
✓ Modo 2: ( ) ( ) 304.761.537130000122000amam 22121
2
222 =−+=+ 
158 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
Luego: 
21 = 1/169.79 = 0.0058896 
11 = 0.4771/169.79 = 0.0028099 
 
22 = 1/304.76 = 0.0032813 
12 = -1.5371/304.76 = -0.0050436 
 
En forma vectorial los modos de vibración son: 
 
   






−
=






=
0.0050436
0.0032813
Φ
0.0028099
0.0058896
Φ 21 
 
Y en forma matricial éstos quedan: 
 
 
Piso1
Piso2
ΦΦ
ΦΦ
Φ
2Modo1Modo
er
do
1211
2221






=
 
Piso1
Piso2
0.00504360.0028099
0.00328130.0058896
2Modo1Modo
er
do






−
=
 
 
 
Siendo ij el valor modal en el grado de libertad i y en el modo j. 
 
 
 
6. DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DESACOPLADAS 
 
Vamos a transformar éste sistema de ecuaciones dependientes (sistema acoplado) en un sistema de 
ecuaciones independientes (sistema desacoplado), es decir, que cada ecuación contenga una sola 
incógnita en función del tiempo. Para esto, partimos de la siguiente transformación de coordenadas: 
 
 
 z][Φ }y{
z][Φ {y}
 =
=
 
 
Donde: {z} = coeficientes que determinan la contribución de cada modo 
 
Reemplazando en la ecuación de movimiento: 
 
           s(t)U1MZΦKZΦM  −=+ 
 
Multiplicando por []T: 
 
                s(t)U1MΦZΦKΦZΦMΦ TTT  −=+ 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 159 
 
 
Donde de acuerdo con las propiedades de ortogonalidad: 
 
      
      2T
T
ω
2432.550
0243.97
ΦKΦ
I
10
01
ΦMΦ
=





=
=





=
 
A su vez, de la ecuación de movimiento se determinan los coeficientes de participación modal de la 
siguiente forma: 
 
     
2Modo
1Modo
79.1194
213.8682
1
1
MΦ
T





−
=






−= 
 
y con ellos se calculan las masas modales efectivas como 2 
 
Modo i 

i 
2 % Masa total 
% Masa total 
(acumulada) 
1 - 213.8682 45739.61 87.961 87.961 
2 79.1194 6259.88 12.038 99.999 
 
 
Por lo tanto las ecuaciones desacopladas quedan de la forma: 
 
       
2)(Modos(t)U0.791194z2432.56z
1)(Modos(t)U213.8682z243.97z
s(t)U
79.1194
213.8682
z
z
2432.550
0243.97
z
z
s(t)UΓZωZI
22
11
2
1
2
1
2






=+
−=+





−
=












+






=+
 
 
donde s(t)U es el registro del acelerograma. 
 
Introduciendo el amortiguamiento en el análisis como: 
 
M
C
ωξ2 = 
 
160 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
Para el caso particular de una edificación, donde  = 5% los valores (2  ) son: 
 
( )( )
( )( ) 4.9320892432.560.052:2Modo
1.561954243.970.052:1Modo
=
=
 
 
Por lo tanto las ecuaciones quedan: 
 
s(t)U79.1194z2432.55z4.932089z
s(t)U213.8682z243.97z1.561964z
222
111


=++
−=++
 
 
Si la acción sísmica se representa con un acelerograma, la respuesta dinámica se determina a través 
de la solución de las anteriores ecuaciones, y esta puede evaluarse a lo largo del tiempo. En aquellos 
casos que se desea conocer las respuestas máximas, se puede utilizar como acción sísmica el 
espectro de respuesta y la forma de evaluarlas es la siguiente: 
 
 
7. DETERMINACIÓN DE LOS MÁXIMOS VALORES DE zi 
 
El valor máximo de zi para cada ecuación se puede obtener del espectro de desplazamiento, en 
función de cada frecuencia, siendo: 
 
 {y} = [] {z} 
 
donde: {y} = respuesta 
 [] = modos de vibración 
 {z} = es el valor leído del espectro de desplazamiento o del de aceleraciones por el coeficiente de 
participación, dicho de otra forma: 
 
( )
( )
i2
i
iia
máxiiiidmáxi
r*
ω
ξ,TS
zorξ,TSz == 
 
donde Sd corresponde al valor espectral de desplazamiento para el período Ti y el amortiguamiento 
i. 
 
Tomando el espectro elástico de aceleraciones, para un coeficiente de amortiguamiento crítico del 
5% dado por la NSR-98 (Norma Sismo Resistente de 1998), ver Figura 3-21, y de acuerdo con los 
siguientes parámetros: 
 
▪ Zona de riesgo sísmico alto (Bucaramanga) 
  Aa = 0.25 (Aa = aceleración pico efectiva para diseño) 
▪ Perfil del suelo sobre el cual se apoya la edificación S2 
  S = 1.20 (S = coeficiente de sitio) 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 161 
▪ Edificación de ocupación normal 
  I = 1.0 (I = coeficiente de importancia) 
 
T = 0.3 s
en cada dirección principal en planta
Para análisis dinámico, solo
modos diferentes al fundamental
0 Lc
aS = A I(1.0+5.0T)a
T = 0.48 S
igual al 5 por ciento del crítico
un coeficiente de amortiguamiento
Nota:
Este espectro está definido para
T = 2.4 S
T (s)
S =
T
S = 2.5 A I
S = A I
(g)
2
A I
S =
1.2 A S I
a
a
a
a
a a
aS
a a
 
Figura 3-21. Espectro elástico de Diseño NSR-98 
 
 
donde: 
 
L
a
a
LC
a
a
Caa
TTpara
2
IA
S
TTTpara
T
ISA1.2
S
TTparaIA2.5S
=
=
=
 
 
Además, para T menores a To en modos diferentes al fundamental 
Sa = Aa I (1.0 + 5.0 T) 
 
▪ Determinación de los periodos corto y largo 
 TC = 0.48 S = 0.48 (1.20) = 0.576 s 
 TL = 2.40 S = 2.40 (1.20) = 2.88 s 
 
162 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
✓ Para el modo 1 (Fundamental) 
12 = 243.97 rad2/s2 → T = 0.40 s < TC → Sa = 2.5 Aa I = 2.5(0.25)(1) = 0.625 (g) 
Sa1 = Sa x (g) = 0.625 (10) = 6.25 m/s2 
Sd1 = Sa1/12 = (6.25 m/s2) / (243.97 rad2/s2) = 0.025618 m 
 
✓ Para el modo 2 (Armónico) 
22 = 2432.55 rad2/s2 → T = 0.13s < TC → Sa = Aa I(1+5T) = (0.25)(1)[1+5(0.13)]= 0.4125 (g) 
Sa2 = Sa x (g) = 0.4125 (10) = 4.125 m/s2 
Sd2 = Sa2/22 = (4.125 m/s2) / (2432.55 rad2/s2) = 0.001696 m 
 
Luego, los valores máximos de zi son: 
 
zi máx = Sdi ri 
 
✓ Para el modo 1 (Fundamental) 
 z1 máx = (0.025618 m) (213.8682) = 5.47888 m 
 
✓ Para el modo 2 (Armónico) 
 z2 máx = (0.001696 m) (79.1194) = 0.13417 m 
 
 
8.DETERMINACIÓN DE LOS DESPLAZAMIENTOS MÁXIMOS DE LA ESTRUCTURA PARA 
CADA MODO 
 
Los desplazamientos máximos se determinan en función de zi máx, determinando primero los 
primarios o transnacionales y con ellos los secundarios o rotacionales. 
 
▪ Desplazamientos traslacionales 
 
    máxiiiP zΦy = 
 
✓ Para el modo 1 (Fundamental) 
 
( ) m
0.015395
0.032268
m5.47888
0.0028099
0.0058896
y
y
31
11






=






=






 
 
✓ Para el modo 2 (Armónico) 
 
( ) m
0.0006767
0.0004403
m0.13417
0.0050436
0.0032813
y
y
31
11






−
=






−
=





MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 163 
▪ Desplazamientos rotacionales o giros (desplazamientos condensados) 
 
      PSP
1
SSS yKKy
−
−= 
 
✓ Para el modo 1 (Fundamental) 
 
rad
4.9696x10
4.9696x10
3.0719x10
3.0719x10
0.015395
0.032268
57430.0459440065110.13208901
57430.0459440065110.13208901
3740.2699210379970.22397702
3740.2699210379970.22397702
y
y
y
y
3
3
3
3
*43
33
23
13














−
−
−
−
=


















−−
−−
−
−
=














−
−
−
−
 
 
(*) expresado en los grados de libertad 
 
 
✓ Para el modo 2 (Armónico) 
 
rad
2.7068x10
2.7068x10
2.8127x10
2.8127x10
0.0006767
0.0004403
57430.0459440065110.13208901
57430.0459440065110.13208901
3740.2699210379970.22397702
3740.2699210379970.22397702
y
y
y
y
5
5
4
4
*43
33
23
13














−
−
−
−
=






−












−−
−−
−
−
=














−
−
−
−
 
 
(*) expresado en los grados de libertad 
 
▪ Los desplazamientos totales son: 
 
 






=
S
P
y
y
y 
 
✓ Para el modo 1 (Fundamental) 
 
rad
rad
rad
rad
m
m
4.9696x10
4.9696x10
3.0719x10
3.0719x10
0.015395
0.032268
y
y
y
y
y
y
3
3
3
3
43
33
23
13
31
11




















−
−
−
−
=




















−
−
−
−
 
 
164 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
✓ Para el modo 2 (Armónico) 
 
rad
rad
rad
rad
m
m
2.7068x10
2.7068x10
2.8127x10
2.8127x10
0.0006767
0.0004403
y
y
y
y
y
y
5
5
4
4
43
33
23
13
31
11




















−
−
−
−
−
=




















−
−
−
−
 
 
 
En la Figura 3-22 podemos ver la deformada de la estructura para cada uno de los modos de 
vibración: 
 
(a) MODO 1
(Fundamental) (Armónico)
(b) MODO 2
 
 
Figura 3-22. Deformaciones totales de la estructura para cada modo 
 
 
9. DETERMINACIÓN DE LAS FUERZAS INTERNAS POR ELEMENTO 
 
Con los desplazamientos totales del pórtico calculados, se pueden calcular las fuerzas en el pórtico 
de la siguiente manera: 
 
    yKF = 
 
Y si se desean calcular las fuerzas internas por elemento: 
 
     
eee
yKF = 
 
 
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 165 
Por ejemplo, para el elemento 1 se procederá a calcular sus fuerzas internas: 
 
 
✓ Para el modo 1 (Fundamental) 
 
23
22
21
13
12
11
3
3
16
15
14
13
12
11
y
y
y
y
y
y
3.0719X10
0
0.032268
3.0719X10
0
0.032268
1125000042187500562500042187500
421875021093750421875021093750
0037500000000375000000
5625000421875001125000042187500
421875021093750421875021093750
0037500000000375000000
F
F
F
F
F
F




















−
−




















−
−−−
−
−
−
−
=




















−
−
 
 
mN
N
N
mN
N
N
51838.31
25919.16
0
51838.31
25919.16
0
F
F
F
F
F
F
16
15
14
13
12
11






















−
−
−
=




















 
 
1
25919.16 N
2
25919.16 N
51838.31 N m 51838.31 N m
 
Figura 3-23. Fuerzas internas del elemento 1 para el modo 1 
 
 
✓ Para el modo 2 (Armónico) 
 
23
22
21
13
12
11
4
4
16
15
14
13
12
11
y
y
y
y
y
y
2.8127x10
0
0.0004403
2.8127x10
0
0.0004403
1125000042187500562500042187500
421875021093750421875021093750
0037500000000375000000
5625000421875001125000042187500
421875021093750421875021093750
0037500000000375000000
F
F
F
F
F
F




















−
−




















−
−−−
−
−
−
−
=




















−
−
 
 
166 
 
 
MALDONADO & CHIO 
ESTRUCTURAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD 
mN
N
N
mN
N
N
4746.43
2373.22
0
4746.43
2373.22
0
F
F
F
F
F
F
16
15
14
13
12
11






















−
−
−
=




















 
 
4746.43 N m4746.43 N m
2373.22 N
1
2373.22 N
2
 
Figura 3-24. Fuerzas internas del elemento 1 para el modo 2 
Las fuerzas elásticas de diseño son las que consideran la contribución de todos los modos y se 
calculan de la siguiente manera: 
 
( )
=
=
n
1j
2
ijiT
FF 
 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
mN
N
N
mN
N
N
52054.67
26027.39
0
52054.67
26027.39
0
4746.4351837.82
2373.2225918.97
00
4746.4351837.82
2373.2225918.97
00
F
F
F
F
F
F
22
2
2
22
22
22
22
16
15
14
13
12
11






















=






















−+−
+
+
−+−
−+−
+
=




















 
 
Para determinar las fuerzas internas en todos los otros elementos, se debe realizar iterativamente lo 
planteado en el paso 9 de este ejercicio.
 
 
MALDONADO & CHIO Capitulo3 – v1 13/08/2020 10:21 
ANÁLISIS SÍSMICO DE EDIFICACIONES 167 
 
3.8. EJERCICIOS PROPUESTOS 
 
La estructura consiste en pórticos no arriostrados de concreto reforzado, con placas aligeradas y 
armadas en dirección Z. La estructura está construida con un concreto cuyo módulo de elasticidad es 
EC = 20000 Mpa. Las dimensiones de las vigas y columnas son: 
 Viga 1 : 0.30x0.45 m 
 Viga 2 : 0.40x0.45 m 
 Columna :0. 90x0.45 m 
 Carga en los pisos : 1000 kg/m2 
 Carga en la cubierta : 700 kg/m2 
 
Z
5.00 m
4.00 m
3.00 m
5.00 m
X
6.00 m
Y
3.00 m
6.00 m
6.00 m
6.00 m
Vi
ga
 1
C
o
lu
m
n
a
Vi
ga
 2
 
 
Figura 3-25. Pórtico simétrico de concreto reforzado 
 
 
 
Determine: 
1) Las propiedades dinámicas de la edificación 
2) Las fuerzas sísmicas y el correspondiente efecto en cada elemento de la estructura