(DESARROLLO GUIA N2

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DESARROLLO GUIA N° 2 
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD 
 
1. Un instrumento de masa m es embalado soportado por un resorte de rigidez k. Se supone 
que el paquete en su transporte podría caer de una altura h. Asuma que el paquete cuando 
choca con el suelo queda en reposo instantáneamente. Si m= 15 Kg., h= 5 m y k=0.5 MN/m. 
Determine: 
a) Amplitud de las vibraciones de m. 
b) Máxima fuerza a la cual queda sometido el resorte. 
c) Máxima aceleración del instrumento. 
 
 
a) 
Desde que choca se tiene que: 
 
m
&&
x + kx = 0 x(t) = 
xoSen(ωnt +ϕ) 
2 
 
 = x2 + x&0 
 X o o ωn 
xo 
tangϕ=ωn 
x&0 
Como las condiciones iniciales son las siguientes: 
x(0) = xo = 0 
 
 x
&
(0) = x
&
o = 2gh 
Entonces: 
 ; ωn = m 
k 
m 
x 
= 0.054m = 5.4cm 
→
 Amplitud de las vibraciones de m 
 
b) 
 Fk = k ⋅ Xo = 0.5×106 ⋅0.054 = 27000N 
Fk = 27kN 
→
 Máxima fuerza a la cual queda sometido el resorte 
 
xo 
c) tangϕ=ωn = o ϕ= 0 
x&0 
 
 x(t) = 2mghkSen mk t 
 
&&
x(t) = − 
2mgh k 
Sen m
k 
t Para hacer x positivo se aumenta la fase, tal 
que: k m 
 
&&
x(t) = 2mgh k Sen mk t 
+π k m
 
 
 
&&
x(t) 
= 
2⋅15⋅10 6⋅5 ⋅ 0.5×106 =1800
m 
2 
 0.5×10 15 s 
 
n 
o 
gh 
X 
ω 
2 
= 
k 
h g m 
X o 
2 ⋅ ⋅ ⋅ 
= 
&&
x(t) =1800
m 
2 =183.7g 
→
 Máxima aceleración del instrumento 
s 
 
2. Disco de radio r y masa m unido en el punto medio de un eje de acero de masa 
despreciable y largo L, el cual está empotrado en sus extremos. Determine la máxima 
amplitud de giro en torsión si se le comunica al disco una velocidad tangencial v. 
 
 
 
 M t L GJ GJ 
 θ= ⇒ M t = θ⇒ T = θ 
 GJ L l 
2 
∑M0 = I0θ&& 
− 2T = I0θ
&&⇒ I0θ
&&
+ 4GJθ= 0 
→
 Ecuación del movimiento del sistema 
 
4GJ 
Frecuencia natural del sistema: ωn = 
I 0l 
θ0 = θ( )o 2 + θω&( )0n 2 
Condiciones iniciales: θ(0)= 0 ; θ&( )0 = v 
 
r 
θ0 = 
→
 Máxima amplitud de giro 
 
3. Si m= 12 (lb), k= 6 (lb/pulg), Fo= 2 (lb), c= 0.43 (lb/pulg/s). Determine: 
a) Frecuencia natural. 
b) Amplitud para Ω=
ω
n y amplitud de resonancia. 
c) Desfase entre desplazamiento y fuerza en la resonancia. 
d) Frecuencia de resonancia (correspondiente al peak de amplitudes). 
e) Velocidad y aceleración máxima. 
 
La ecuación del movimiento está dada por: 
 m
&&
x + cx
& 
+ kx = FoSenΩt X(t) 
Ahora si se convierte el valor de la aceleración de la gravedad al sistema de 
pulgadas, se tiene que: 
 m pulg 
 g = 9.8 2 = 
385.8 2 s
 s 
Por lo tanto el valor de k es: 
lb 
k = 2314.8 2 
s 
a) Frecuencia natural: 
 n k 2314.8 
rad
 
 ω = = =13.9 
 m 12 
s
 
 
 
m 
l I 
GJ 
r 
v 
l I 
GJ 
r 
v 
0 0 
2 
4 
= 
b) Amplitud para Ω=
ω
n y amplitud de resonancia: 
 cc = 2mωn = 2⋅12⋅13.9 = 333.6
lb 
 
s 
 c = 0.43 
lb 
⋅385.8 
pulg 
2 =165.9
lb
 
 pulg s s 
s 
⇒ξ= c = 165.9 = 0.5 cc
 333.6 
 ωd =ωn 1−ξ2 =13.9 1−0.52 =12.04rad 
s 
 
 Si Ω =ωn X omáx = 
 = 0,33pulg 2ξ 
2⋅0.5 
Si: 
 
 
c) Desfase entre desplazamiento y fuerza en la 
resonancia:(Ω=
ω
n) 
 2 ⇒ϕ= 90° 
 1−1 
1− 
 n 
 
6 
2 
k 
F o 
= 
d ω = Ω 
( ) 
lg , 0 39 
.9 13 
.04 12 0.5 2 
.9 13 
.04 12 1 
6 
2 
2 
1 
2 2 
2 2 2 2 
pu X 
n n 
k 
F 
o 
o 
= 
 
 
 
 
 
 ⋅ ⋅ 
+ 
 
 
 
− 
= 
 
 
 
 
 
 Ω 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω − 
= 
ω 
ξ 
ω 
 
∞ = → 
⋅ ⋅ 
= 
Ω 
Ω 
= 
1 0.5 2 
2 
n 
tang 
ω 
ω 
ξ 
ϕ 
 
d) Frecuencia de resonancia: 
 Ω =ωn = 1− 2ξ2 =13,9 1− 2(0,5)2 = 9,83rad s 
 
e) Velocidad y aceleración máxima: 
La ecuación diferencial que da solución a este sistema es: 
x(t) = XoSen(Ωt −φ) (respuesta estacionaria) 
x
&
(t) = 3,8 
pulg
 → Velocidad 
máxima 
 
&&
x(t) = 37,52 
→
 Aceleración máxima 
 
4. Determine las frecuencias naturales de vibrar en torsión y axialmente del rotor de la figura de 
radio r y masa M. La masa de los ejes es despreciable. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.. 
 GJ GJ 
k = 1 + 2 
 L L 
π(2D)4 π(D)4 
J = 
J1 = 32 
2 32 
→ 
17GπD4 
k = 
 
s 
lg 
s 
pu 
 −T1 −T2 = Iθ I 
=Mr 2 T =kθ 
 
 ωn = 
 
→
 Frecuencia Natural de 
Vibrar en Torsión. 
 
Axialmente: 
 
 
 
x 
F1 = A1E 
 F ∆l L 
σ= = Eε= E 
 A l0 x 
F2 = A2 E 
L 
M x.. + E(A1 
+ A2 ) x = 0 L 
 E(A1 + A2 ) =(2D)2 =πD2 
 ωn = A1 
LM 
 A2 = D2 
32L 
 
1 2 .. 17GπD4 
 Mr θ+ θ= 0 
2 32L 
r 4 
; D4 = 
16 
 
2 
4 
2 
4 
16 
17 
2 
1 
32 
17 
MLr 
D G 
Mr 
L 
D G 
π 
π 
= 
F 2 F 1 
 EπD2 (54) ; ωn = 5πED2 → Frecuencia Natural de Vibrar Axial 
ωn = 
 LM 4 LM 
 
5. Un motor eléctrico de masa 40 Kg. Se monta en una viga en voladizo como lo indica la 
figura, sobre dos tacos de goma. Cada taco tiene un factor de pérdida del material de 0.3. 
La deflexión estática de los tacos bajo el peso del motor es 4 mm. Para determinar la rigidez 
de la viga se le puso un peso de 20 Kg. en el lugar del motor deflectándose 2.5 mm. Para 
determinar el amortiguamiento de la viga se le hizo un test de vibraciones libres. Un 
desplazamiento inicial de 10 mm dado a la viga disminuyó a 1.5 mm en 3 ciclos. El rotor 
del motor tiene una masa de 15 Kg. y un desbalanceamiento de 2×
10−3
 Kg.m. 
Masa de la viga despreciable. 
a) Determine la amplitud de las vibraciones estacionarias del motor girando a 980 cpm. 
b) Si los tacos de goma se retiran y el motor se monta directamente en la viga, determine la 
amplitud de las vibraciones estacionarias del motor girando a 980 cpm. 
 
 
2kt∆est = Mg 
 kt = 2Mg∆est 
→
 Rigidez de los tacos de goma 
kv 
→
 Rigidez de la viga 
 1 = 1 + 1 ⇒ keq = 43600 
N
 Rigidez equivalente del sistema 
keq 2kt kv m 
 
 2πn 
rad
 
 Ω =
 =102,6 
 60 
s
 
Fo = 2×10−3 ⋅102,62 = 21N ⇒ Fuerza de desbalanceamiento 
keqη 43600⋅0.3 
El amortiguamiento equivalente de los tacos es: ceqt = = =127.5 Ω
 102.6 
El amortiguamiento equivalente total del sistema es: 
1 1 1 1 1 1 
 = + = + = 
ceq ceqt cv 127,5 375,9 95,2 
 ⇒ ceq = 95,2 
 
 1 x 
δ= ln( o 
 N xN 
 1 10 
) = ln( ) = 0,949 2
 1,5 
M 
s 
m 
N 
, 0 15 
1 
2 
2 = 
 
− 
= v ξ 
ξ 
πξ 
δ ; 
s 
m 
N km c cv 2506 20 78480 2 2 = ⋅ = = = v c ,9 375 2506 0 , 15 = ⋅ = cv v c ξ 
s 
m 
N 
m
&&
x + cx
& 
+ kx = FoSenΩt 
⇒ 
40
&&
x +95,2x + 43600x = 21sen102,6t 
 
a) Amplitud de las vibraciones: 
43600 
ωn == 33 
40 
 ceq 95,2 
 cc = 2mωn = 2640 ξeq = = = 0,036 
 c 2640 
Luego utilizando la siguiente ecuación se logra obtener la amplitud de las vibraciones: 
 
X o 
 Xo = 5.5x10−5m = 55um 
→
 Amplitud Motor girando a 980cpm 
 
b) 
 
 
X o = 6,1x10−5m = 61um 
→
 Amplitud Motor girando a 980cpm sin los tacos de goma 
 
6. Un motor de combustión interna de cuatro tiempos se monta como indica la figura. El 
motor está montado en dos soportes tal que es capaz de oscilar respecto al eje x-x. Resortes 
2 2 2 2 2 2 
33 
,6 102 036 , 0 2 
33 
,6 102 1 
43600 
21 
2 
1 
 
 
 ⋅ ⋅ + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 
= 
 
 
 
 
 
 Ω 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω − 
= 
n 
eq 
n 
eq 
o 
k 
F 
ω 
ξ 
ω 
 
 
s 
rad 
n .3 44 
40 
78480 
= = ω 
2 2 2 2 2 2 
,3 44 
,6 102 0 , 1 2 
,3 44 
,6 102 1 
78480 
21 
2 
1 
 
 
 ⋅ ⋅ + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 
= 
 
 
 
 Ω 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω − 
= 
n 
v 
n 
v 
o 
o 
k 
F 
X 
ω 
ξ 
ω 
s 
rad 
s 
m 
N 
de hoja conectan el block del motor y la base. ¿Cuál debería ser la rigidez EI de dos resortes 
para que la amplificación dinámica (xo/xo estático) a la frecuencia más baja de excitación 
del motor girando a 1200 r.p.m. sea de 0.25? Determine la sección transversalde la hoja de 
resorte si la razón espesor/ancho es 0.1. 
Momento de inercia de la masa del motor respecto a x-x es 2.1 Kg.m². 
Longitud l de la hoja de resorte es 0.1 m. 
Distancia L entre x-x y la fijación motor-hoja es 0.17m. 
 
 
 
 
2πn 
rad 
 n 
= 1200 rpm Ω = =125.6 
 60 
s
 
X o = 0.25 ; Iθ&&+ 2kL2θ= 0 
X est 
 
θ 
L 
kL θ 
θ 
→
 ωn = 
Considerando ahora que el valor del factor de amortiguamiento es 0, se tiene entonces que: 
Fo 
 X o = X est = 
k 
 
Considerando sólo la raíz negativa se tiene que: 
X o = 
1 
2 n 
rad
 
 = 0,25 ω = 56,17 
X est Ω s 
− 1− ωn 
 ωn2I 
= 
56,172 ⋅2.12
 =114630 N 
k = 2 
 2L 2⋅0,17 m 
 
⇒ EI = 3EI 
0,13 ⋅114630 = 38,2Nm2 
k = 3 
 L 3 
 
7. La figura representa un vehículo que se mueve por un pavimento senoidal. Si m= 2000 
Kg., ξ= 0.4, v= 72 Km/hr. K determinado de un ensayo mostró que una fuerza de 50 Kg 
sobre el vehículo producía una deformación de 2.0 mm. Determine la amplitud de las 
vibraciones estacionarias. 
 
I 
kL 
2 
2 
2 
2 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω − 
n 
o 
k 
F 
ω 
 
 
De la figura se puede apreciar que los resortes se encuentran en paralelo, luego el 
 k k 
valor de la constante elástica se determina de: keq = + = k , luego de los datos 
 2 2 
entregados de la aplicación experimental de una fuerza, que produce una deformación se 
puede determinar el valor de la rigidez del resorte, el cual será el valor del equivalente, 
según se ha mostrado anteriormente: 
 F 50⋅9,8 N 
 k = = = 
245000 δ 0,002 m 
 km m 
v = 72 = 20 h
 s 
T = 0,6 s ⇒ Ω = 
2π 
=10,5
rad 
 
 T s 
 n k 245000 rad 
 ω = = =11,07 
 m 2000 
s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 m 
3 cm 
m 
Por lo tanto se consideran Vibraciones Forzadas por Movimiento de la base 
 
 
Donde: X b = X oSenΩt = 0,03Sen10,5t 
 
→
 − 
k(x − 
xb ) −c(x
& 
− x
&
b ) = m
&&
x m
&&
x +cx
& 
+ kx = f 
(t) ; f (t) = cx
&
b + kxb 
 
 
⇒ X o = Xb 1+ 2ξΩ2 ωn 2 
 
1− Ω n 2 + 
2ξΩωn 2 ω 
 
Evaluando esta expresión con los términos conocidos y los que aquí hemos obtenido, se 
tiene que: 
 
 
 
X o = 0,0493m = 4,93cm 
→
 Amplitud de las vibraciones 
 
2 2 2 
2 
,07 11 
,5 10 0 , 4 2 
,07 11 
,5 10 1 
,07 11 
,5 10 4 0 , 2 1 
0.03 
 
 
 
 ⋅ ⋅ + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 
 
 
 
 
 ⋅ ⋅ + 
= o X 
 
M 
k 
c x 
X b 
8. La figura representa esquemáticamente un mecanismo de leva. La leva rota a 500 cpm, 
k= 20 KN/m, M= 20 Kg, c= 0, masa del seguidor = 0. El desarrollo en serie de Fourier del 
levantamiento que indica el gráfico es (observe que y(t)= 0 para ángulos de rotación de la 
leva entre 120° y 360°): 
y(t)= 1.8 + 3.3Cos(2π/T+20°) + 1.5Cos (4π/T-70°) + 0.3Cos(6π/T+50°) + 
0.1Cos(8π/T+120°) mm. 
a) Dibuje el espectro (en frecuencias) del levantamiento. 
b) Determine el máximo desplazamiento (estacionario) de la masa M. 
 
 
 
Rotación de la Leva (0) 
 
Ω = 500cpm = 52,36
rad 
 ⇒ f = 
52,36 
= 
8,34 HZ s 2π 
Por lo tanto el espectro tiene la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 30 60 90 120 
 
Este espectro se da a partir de los siguientes valores: 
X bo =1.8 
X b1 = 3.3Cos(2πft + 20) = 3.3 
X b2 =1.5Cos(4πft −70) =1.5 X b3 
= 0.3Cos(6πft +50) = 0.3 
X b4 = 0.1Cos(8πft +120) = 0.1 
 
a) X o = Xb 1+ 2ξΩ2 ωn 2 ; c = 0 ⇒ ξ=0. 
1− Ω n 2 + 
2ξΩωn 2 ω 
 
 
 X o = X b 
 
→
 Xb = Xb1 + Xb2 + Xb3 + Xb4 = 1.8 + 3.3 + 1.5 + 0.3 + 0.1 = 7 mm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Y(t) 
f cpm 
1.8 
3.3 
1.5 
0.3 
0.1 
 0 500 1000 1500 2000 
2 
2 
,62 31 
,36 52 1 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 
X o = 7⋅0,054 = 4,02mm 
→
 Máximo desplazamiento de la masa m 
 
9. Despreciando la masa del eje, determine la primera velocidad crítica utilizando el 
método de Rayleigh. 
8 " 
 10 " 
 
E = 30⋅106 psi 
πD 4 4 J 
pulg 
 
 
La deflexión de la viga en su longitud x está dada por la siguiente ecuación con funciones 
de singularidad (obtenida del libro "Diseño de Máquinas" de Robert L. Norton, 1999, 
Prentice Hall): 
y = F b−a x 3 + a x −b 3 − x −a 3 + b (a −b)x + b3 −a3 − 9 ab2 +3a 2b 
 2EJ b b 4 4 4 
 1' x 10 100 7 [ ] −3 
y = = ⋅10 500+ 0−0−500+ 2000−1000−9000+ 6000 = −2,12⋅10 pulg 
 
 
 
 
 
 
" 2 
10 " 
W 1 =100 lb 
W 2 =50 lb 
Actuando sólo W 1 : 
 
 
 
 
 
a 
W1 
b 
x 
9,42 
' 100 [ ]
 −3 
y2 x 28 
= 
7 10976+ 256−5832−1400+ 2000−1000−9000+ 6000 = 2,12⋅10 pulg 
 = ⋅10 
9,42 
 
 
La deflexión de la viga en su longitud x está dada por la siguiente ecuación con funciones 
de singularidad (obtenida del libro "Diseño de Máquinas" de Robert L. Norton, 1999, 
Prentice Hall): 
 F b − a 3 a 3 3 (a −b)x 
y = b x + b x −b − x − a +b 
6EJ 
 
'' 50 [ ] −4 
y1 x 10 
= 
8 −400+0−0+1600 = 2,12⋅
10 
pulg 
 = ⋅10 
2,826 
 
'' 50 [ ] −4 
y2 x 
= 
8 −8780,8+716,8−0+ 4480 = −6,34⋅
10 
pulg 
 =28 2,826⋅10 
Actuando sólo W 2 : 
 
 
 
 
 
b 
x 
a 
W2 
 
y pulg 
 y 10pulg 
 
Deformación de la viga: 
 
 
 g(W1 y1 +W2 y2 ) 386(100⋅1,91⋅10−3 +50⋅1,5⋅10−3 ) rad 
→
 ω= 2 2 = ( 3 )2 ( 3 )2 ≈ 464 
 W1 y1 +W2 y2 1001,91⋅10− +501,5⋅10− s 
 
10. Una máquina rotatoria de masa 650 Kg, opera a 1500 cpm y tiene un 
desbalanceamiento de 0,12 Kgm. Si el amortiguamiento en los aisladores es ξ =0,08. 
a) Determine la rigidez de los aisladores tal que la transmisibilidad a la velocidad de 
operación sea menor o igual a 0,15. 
b) Determine la magnitud de la fuerza transmitida. 
 
a) 
Ω =1500cpm =157rad 
s 
Se considera que la transmisibilidad es igual o inferior a 0,15. 
 
Ω Ω 
, 3 2 = = 
m 
k n ω 
 Este valor es obtenido del gráfico para 08 , 0 = ξ 
 
m 
N m 
k 
6 
2 
2 
2 
10 56 , 1 
,24 10 
650 157 
3 , 2 
× = 
⋅ 
= 
Ω 
= 
 
m 
MN k 56 1 , = Rigidez de los aisladores 
 b) 
Fto = moroΩ2 = 0,12⋅1572 = 2958N Tr = Donde: Fo 
Fo 
 Fto = 0,15⋅2958 
Fto = 443,8N 
→
 Magnitud de la fuerza transmitida 
 
11 Para el sistema mostrado en la figura: 
a) Determine las ecuaciones del movimiento. 
b) Si m = 100kg, C = 400 Nseg/m, k = 104N/m, X2 = 10-3m, w = 10rad/s. Determine el valor 
máximo de la fuerza estacionaria en el resorte. 
 
a) 
 
k(x2 − x1 )−cx1 = mx1 
 
 ¨ · 
mx1 +cx1 + kx1 = kx2 
 ¨ · 
⇒ mx1 +cx1 + kx1 = kx2 senωt 
→
 Ecuación de movimiento 
 
 
 
 
¨ · 
 ¨ · 
100x1 + 400x1 +1×104 x1 = (1×104 )(1×10−3 )sen10t 
b) 
 ¨ · 
100x1 + 400x1 +1×104 x1 =10sen10t 
cc = 2 km cc = 2 1×104 ⋅100 = 2000 
 c 400 
ξ= = = 0.2 
 cc 2000 Ω =ωn 
 k x2( )t 
=103sen10t 
ωn = =10 m 
 
 
 
xr (t)= x2 (t)− x1 (t) 
 2 2 
x2 − x1 = (2,5×10−3 ) 
+(1×10) = 2,7mm 
Fmax = k ⋅2,7×10−3 = 27N 
→
 Fuerza estacionaria máxima 
 
0 4 , 
001 , 0 
10 
10 0 , 2 2 
10 
10 
1 
10 1 
10 
2 2 2 
4 
0 = 
 
 
 
 
 
 ⋅ ⋅ 
+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 
 
 
 
 
 
 
× 
= X ; 
3 
0 10 5 , 2 
− 
× = X Amplitud máxima 
∞ = 
 
 
 
 
 
 Ω 
− 
⋅ ⋅ ⋅ 
= 
n ω 
φ 
1 
10 10 2 , 0 2 
tan º 90 = φ 
12. La figura muestra un marco rígido formado por 3 barras de largo l y masa despreciable 
que tiene soldadas cuatro masas m puntuales. El conjunto está montado sobre resortes de 
rigidez k. En el punto medio de la barra inferior se le aplica una cupla de momento Mo 
sen Ωt. 
a) Utilizando la segunda ley de Newton, determine las ecuaciones del movimiento. 
Explique con ecuaciones fundadamente, porque el sistema tiene 1 grado de 
libertad. 
b) Si 
Ω= k /m
 determine la fuerzamáxima sobre cada resorte 
 
 m0+ m0+ ml + ml l l 
x = = ; x1 = x1 = senθ 
4m 2 2 ml + m0+ m0+ ml l y = = 
 4m 2 
z 
 
l 
z senθ 
 
1
 ¨ l 2 
2ml θ+ k θ= M 0 senΩt 
→
 Ecuación de movimiento 2 
 
: CM 
2 
2 = 
∑M G = Iα 2 
 l 2 
4m
 
= 2ml l l ¨ ; I = 
sen G 2 M 0 
ξ= 0 
b) θ0 = ; 
Ω = 
 ωn = 0
θ0 = ; 
ωn = 
⇒θ0 = 2M20 
3kl 
X 0 =θl ⇒ X 0 = 2M20 l = M 0 
 2 3kl 2 3kl 
M 0 
→
 Fuerza máxima sobre cada resorte 
∴Fmax = 
3l 
2 
2 
2 
* 
* 
0 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ω − 
n 
k 
F 
ω 
m 
k 
m 
k 
ml 
kl 
m 
k 
2 
1 
2 2 
2 
2 
* 
* 
⋅ 
= 
2 
2 
2 
2 
1 
1 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
− 
m 
k 
m 
k 
kl 
M