Análisis Combinatorio Técnicas de Conteo) - Letras Nocturnas

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Universidad de Sonora 
 
Probabilidad y estadística 
 
 
Análisis Combinatorio (Técnicas de Conteo). 
1. PRINCIPIO MULTIPLICATIVO. 
Supongamos que un experimento 𝜺𝟏 se puede realizar de 𝒏𝟏maneras. Supongamos que un 
segundo un experimento 𝜺𝟐se puede realizar de 𝒏𝟐maneras. Supongamos también que cada 
una de las maneras de realizar 𝜺𝟏puede ser seguida por cualquiera de las maneras de efectuar 
𝜺𝟐. Entonces el procedimiento 𝜺 que consta de 𝜺𝟏 seguido de𝜺𝟐, 𝜺: 𝜺𝟏 → 𝜺𝟐, se puede 
hacer de (𝒏𝟏)( 𝒏𝟐) maneras. 
Además, 
𝜺: 𝜺𝟏 𝒚 𝜺𝟐 
Ω = {(𝑥1, 𝑥2) 𝑥1⁄ 𝜖Ω1, 𝑥2𝜖Ω2} y 
#(Ω) = #(Ω1)#(Ω2) = (𝒏𝟏) ∗ (𝒏𝟐) 
 
 
 
2. PRINCIPIO DE ADICIÓN. 
Supongamos que un experimento 𝜺𝟏 se puede realizar de 𝒏𝟏maneras. Supongamos que un 
segundo un experimento 𝜺𝟐se puede realizar de 𝒏𝟐maneras. Entonces el procedimiento 𝜺 
que consta de 𝜺𝟏 ó de 𝜺𝟐, se puede hacer de (𝒏𝟏) + ( 𝒏𝟐) maneras. 
Además, 
Ω = {𝑥 𝑥⁄ 𝜖Ω1 ó 𝑥𝜖Ω2} y 
#(Ω) = #(Ω1) + #(Ω2) = (𝒏𝟏) + (𝒏𝟐) 
 
 
3. FACTORIAL DE UN NUMERO. 
Si n es un entero positivo, definimos el factorial de n , que denotamos n !, como el producto 
de los primeros n números, es decir, n != ( n )( n -1)( n -2).....(2)(1). 
 
𝑛! = (1)(2)(3) … … … (𝑛 − 2)(𝑛 − 1)(𝑛) 
Además, 0! = 1. 
Ejemplos en Clase. 
5! = (1)(2)(3)(4)(5) = (5)(4)(3)(2)(1)= 120 
5! = (5)(4!) = (5)(4)(3!) 
 
n ! = ( n )( n -1)( n -2).....(3) (2)(1) =( n )( n -1)( n -2).....( n -k+2) ( n -k+1) ( n -k)! 
Como observación, podemos decir que: 
( )
( )( )( ) ( )1......21
!
!
+−−−=
−
knnnn
kn
n
 
 
4. PRUEBAS ORDENADAS CON REPETICION. 
Supongamos que se tienes n objetos. Supóngase además que se eligen k objetos ( k n ) 
de uno por uno y con sustitución. Definimos las PRUEBAS ORDENADAS CON 
SUSTITUCIÓN de n en k , que denotamos 
n
kR , como el conjunto de todos los grupos 
ordenados, con k componentes, que se pueden formar con los n objetos. Además 
( ) objetossonxxxxxx kk ,...,,/,....,, 2121= y 
( ) kn=# 
Justificación. 
 
 
1 :” Seleccionar el primer objeto con sustitución” => ( )1#  =n 
2 :” Seleccionar el segundo objeto con sustitución” => ( )2#  =n 
. 
. 
k :” Seleccionar el k-ésimo objeto con sustitución” => ( )k# =n 
 
Por lo que, dado que ( ) objetossonxxxxxx kk ,...,,/,....,, 2121= , con base a lo 
establecido en el Principio Multiplicativo, podemos expresar de la cardinalidad, es decir, el 
número total de posibles resultados en  , de la siguiente manera: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) == k......#### 21 (n)(n)….(n) = (n)
k 
 
 
5. PRUEBAS ORDENADAS SIN REPETICION (ORDENACIONES). 
 Supongamos que se tienes n objetos. Supóngase además que se eligen k objetos ( k n ) 
de uno por uno y sin sustitución. Definimos las ORDENACIONES de n en k , que 
denotamos 
n
k
O , como el conjunto de todos los grupos ordenados, con k componentes, que 
se pueden formar con los n objetos. Además 
( ) objetossonxxxxxx kk ,...,,/,....,, 2121= y 
( ) =#
( )!
!
kn
n
Onk
−
= 
(a, b) ≠ (b, a) 
 
 
 
k −−−= .....21
k −−−= .....21
1 :” Seleccionar el primer objeto sin sustitución” => ( )1#  =n 
2 :” Seleccionar el segundo objeto sin sustitución” => ( )2#  =n-1 
3 :” Seleccionar el tercer objeto sin sustitución” => ( )3#  =n-2 
4 :” Seleccionar el cuarto objeto sin sustitución” => ( )4#  =n-3 
. 
.. 
2−k :” Seleccionar el (k-2)-ésimo objeto sin sustitución” => ( )2# −k =[n-(k-3)] 
1−k :” Seleccionar el (k-1)-ésimo objeto si sustitución” => #( 𝑘−1) = [𝑛 − (𝑘 − 2)] 
k :” Seleccionar el k-ésimo objeto sin sustitución” => ( )k# = [n-(k-1)] 
 
Por lo que, dado que ( ) objetossonxxxxxx kk ,...,,/,....,, 2121= , con base a lo 
establecido en el Principio Multiplicativo, podemos expresar de la cardinalidad, es decir, el 
número total de posibles resultados en  , de la siguiente manera: 
( ) ( ) ( ) ( ) == k......#### 21 (n)(n-1)(n-2)…… [n-(k-3)][n-(k-2)][n-(k-1)] 
( )=# (n)(n-1)(n-2)…… (n-k+3)(n-k+2)(n-k+1) 
 
Por lo tanto, aplicando la propiedad del Factorial de un Número, vista previamente, 
concluimos que: 
( )( )( ) ( )
( )!
!
1......21
kn
n
knnnn
−
=+−−− =
n
kO = ( )# 
 
6. PRUEBAS NO ORDENADAS (COMBINACIONES). 
Supongamos que se tienes n objetos. Supóngase además que se eligen k objetos ( k n ). 
Definimos las COMBINACIONES de n en k , que denotamos 
n
k
C , como el conjunto de 
todos los grupos no ordenados, con k componentes, que se pueden formar con los n 
objetos. Además 
  objetossonxxxxxx kk ,...,,/,....,, 2121= y 
{a, b} = {b, a} 
 
( ) =#
( )
( )
!
!
!
!!
!
k
kn
n
kkn
n
C nk
−
=
−
= 
 
#(𝛀) = 
𝑶𝒌
𝒏
𝒌!
= 𝑪𝒌
𝒏 
Justificación. 
El experimento que se realiza en este caso, no es posible expresarlo como los dos casos anteriores 
ya que no importa el orden en que se seleccionan los objetos, es decir, los resultados del experimento 
serán diferentes siempre y cuando al menos uno de los elementos que los componen, es distinto. 
Como ejemplo, consideremos los objetos, {a, b, c} y veamos que sucede cuando 
seleccionamos los objetos considerando una prueba: 
Prueba Ordenada sin sustitución Prueba NO Ordenada sin sustitución 
(a, b, c) 
(a, c, b) 
(b, a, c) 
(b, c, a) 
(c, a, b) 
(c, b, a) 
{a, b, c} = {{a, c, b} = ….={c, b, a} 
6= (3)*(2)*(1) = 3! 1= 6/3! 
Existen (3)(2)(1) =3! resultados distintos, 
debido a que la posición que guarda las 
componentes del resultado es diferente 
Existen 1
!3
!3
= resultado solamente, debido 
a que la posición que guarda las 
componentes del resultado no importa. 
 
 
Problema 9. Al marcar un número telefónico, una persona se olvida de las tres últimas cifras y recordando que 
estas son diferentes las marcó al azar. Determinar la probabilidad de que se hallan marcado las cifras necesarias. 
ℇ: "𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎𝑟 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑔í𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠" 578 vs 785 son resultados diferentes 
Ω = { (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∕ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 𝑠𝑜𝑛 𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠} 575 
➔ Prueba Ordenada Sin Sustitución 
#(Ω) = 𝑂3
10 = (10)(9)(8) 
A= {Marcar las cifras necesarias} = {(x1,x2,x3)/ x1,x2,x3 son las cifras necesarias} 6623358__ __ __ 
#(A) = (1)(1)(1) = 𝑂1
1𝑂1
1𝑂1
1 
 
𝑃(𝐴) = 
#(A)
 #(Ω)
= 
𝑂1
1𝑂1
1𝑂1
1
𝑂3
10 =
(1)(1)(1)
(10)(9)(8)
= 
1
720
 
OBSERVACIÓN 
𝑷(𝑨) = (
𝟏
𝟏𝟎
) (
𝟏
𝟗
) (
𝟏
𝟖
) 
 
Problema 10. Un número telefónico consta de seis cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que en él 
ℇ: "𝑀𝑎𝑟𝑐𝑎𝑟 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑒𝑙𝑒𝑓ó𝑛𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑖𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠" 
Ω = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6) ∕ 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4, 𝑥5, 𝑥6 𝑠𝑜𝑛 𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠} 552365 
➔ Prueba Ordenada con sustitución 
#(Ω) = 106 = (10)(10)(10)10)(10)(10) 
 
a. Todas las cifras sean diferentes? 
F = {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) / x1, x2, x3, x4, x5, x6 son dígitos diferentes} Prueba Ordenada SIN sustitución 
#(F) = 𝑂6
10 = (10)(9)(8)(7)(6)(5) 
𝑃(𝐹) = 
#(F)
 #(Ω)
=
𝑂6
10
106
 𝑃(𝐹) = 
#(F)
 #(Ω)
= 
(10)(9)(8)(7)(6)(5)
(10)(10)(10)10)(10)(10)
 
 
OBSERVACIÓN 
𝑃(𝐹) = 
𝑂6
10
106
=
(10)(9)(8)(7)(6)(5)
(10)(10)(10)(10)(10)(10)
= (
10
10
) (
9
10
) (
8
10
) (
7
10
) (
6
10
) (
5
10
) 
 
b. Todas las cifras sean impares? 
R= {(x1, x2, x3, x4, x5, x6) / x1, x2, x3, x4, x5, x6 son dígitos impares} 
Prueba Ordenada con sustitución 
#(R)= )5)(5)(5)(5)(5)(5(5
6 = 
𝑃(𝑅) = 
56
106
 
 
OBSERVACIÓN 
𝑃(𝑅) = 
56
106
= (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) (
5
10
) = (
5
10
)
6
 
 
 
 
Problema 12. Si se seleccionan tres bolas al azar de una caja que contiene 5 bolas rojas, 8 azules y 12 blancas, 
¿cuál es la probabilidad de que se seleccionen: 
 : “Seleccionar tres bolas, al azar” ➔ Prueba No es ordenada {a3, b5, a2 } = { b5, a3, a2} 
 = {{x1, x2, x3} / x1, x2, x3 son bolas} 
( )# = 253C 
a. Puras bolas rojas? 
M= {{x1, x2, x3} / x1, x2, x3 son bolas ROJAS} 
#(M)= 53C 
( ) 25
3
5
3
#
)(#
)(C
CM
MP =

= 
b. Bolas del mismo color 
N= {{x1, x2, x3} / x1, x2, x3 son bolas del mismo color} 
 3r ó 3a ó 3b 
#(N)= 53C +
8
3C +
12
3C ➔ ( ) 25
3
12
3
8
3
5
3
#
)(#
)(
C
CCCN
NP
++
=

= 
c. una roja? 
F= {{x1, x2, x3} / x1, x2, x3 una bola es roja} 
1r y 2rC 
#(F)= 202
5
1 *CC 
( ) 25
3
20
2
5
1
#
)(#
)(
C
CCF
FP =

= 
Problema 13. Si se seleccionan tres bolas de una por una y sin sustitución, de una caja que contiene 5 
bolas rojas, 8 azules y 12 blancas, ¿cuál es la probabilidad de que se seleccionen: 
 : “Seleccionar tres bolas, de una por una y sin sustitución” ➔ Prueba ordenada sin 
sustitución 
 = {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 son bolas} (a3, b5, a2 ) ≠ (b5, a3, a2) 
( )# = 253O =(25)(24)(23) 
 
a. Puras bolas rojas? 
 
M= {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 son bolas ROJAS} 
#(M)= )3)(4)(5(53 =O 
( ) )23)(24)(25(
)3)(4)(5(
#
)(#
)(
25
3
5
3 ==

=
O
OM
MP 
OBSERVACIÓN 
( )


















=

=
23
3
*
24
4
*
25
5
#
)(#
)(
M
MP 
b. Bolas del mismo color 
N= {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 son bolas del mismo color} 
 3r ó 3a ó 3b 
#(N)= 53O +
8
3O +
12
3O 
( ) 25
3
12
3
8
3
5
3
#
)(#
)(
O
OOON
NP
++
=

= 
OBSERVACIÓN 
 






+





+





=
++
=
23
10
*
24
11
*
25
12
23
6
*
24
7
*
25
8
23
3
*
24
4
*
25
5
23*24*25
10*11*126*7*83*4*5
)(NP 
𝑃(𝑎, 𝑏, 𝑎) = (
8
25
∗
12
24
∗
7
23
) 
 
 
c. una roja? 
 
F= {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 una bola es roja} 
1r y 2rC ➔ (r, rC, rC) ó (rC, r, rC) ó (rC, rC, r), cada posibilidad de éstas tiene 202
5
1 *OO 
#(F)= 202
5
1 *OO +
20
2
5
1 *OO +
20
2
5
1 *OO = 3
20
2
5
1 *OO = 
20
2
5
1
3
1 *OOC 
( ) 25
3
20
2
5
1
3
1 *
#
)(#
)(
O
OOCF
FP =

= 
 
Problema 14. Si se seleccionan tres bolas de una por una y con sustitución, de una caja que contiene 5 bolas 
rojas, 8 azules y 12 blancas, ¿cuál es la probabilidad de que se seleccionen: 
 : “Seleccionar tres bolas, de una por una y con sustitución” ➔ Prueba ordenada con sustitución 
 = {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 son bolas} (a3, b5, a2 ) ≠ (b5, a3, a2) 
( )# = ( )325 = (25)(25)(25) 
 
a. Puras bolas rojas? 
 
M= {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 son bolas ROJAS} 
#(M)= )5)(5)(5()5( 3 = 
( )
( )
( ) )25)(25)(25(
)5)(5)(5(
25
5
#
)(#
)(
3
3
==

=
M
MP 
OBSERVACIÓN 
( )


















=

=
25
5
*
25
5
*
25
5
#
)(#
)(
M
MP =(
5
25
)
3
 
 
b. Bolas del mismo color 
N= {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 son bolas del mismo color} 
 3r ó 3a ó 3b 
#(N)= 333 1285 ++ 
( ) 3
333
25
1285
#
)(#
)(
++
=

=
N
NP 
OBSERVACIÓN 
333
25
12
25
8
25
5
)( 





+





+





==NP 
c. una roja? 
 
F= {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 una bola es roja} 
 1r y 2rC ➔ (r, rC, rC) ó (rC, r, rC) ó (rC, rC, r), cada posibilidad de éstas tiene 21 20*5 
#(F)= 21 20*5 + 21 20*5 + 21 20*5 = 3 21 20*5 = 2131 20*5C 
 
( ) 3
213
1
25
20*5
#
)(#
)(
CF
FP =

= 
Problema 17. Se lanza un dado ocho veces consecutivas. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga: 
 : “Lanzar un dado en ocho ocasiones” 
Este experimento, se considera como una prueba ordenada con repetición, por lo que: 
Ω = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥8) 𝑥𝑖 = 1, 2, 3,4, 5, 6 𝑦 𝑖 = 1, 8̅̅ ̅̅̅ ⁄ } 
#(Ω) = 68 
a. ¿Puros números pares? 
 
A = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . , 𝑥8) 𝑥𝑖 = 2,4, 6 𝑦 𝑖 = 1, 8̅̅ ̅̅̅ ⁄ } 
#(𝐴) = 38 ➔ 𝑃(𝐴) =
#(𝐴)
#(Ω)
=
38
68
 
 
OBSERVACIÓN 
𝑃(𝐴) =
#(𝐴)
#(Ω)
=
38
68
= (
3
6
)
8
 
 
b. un cuatro? 
 
T = {Obtener un cuatro} 
(4, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶) , donde 4𝐶: {1, 2, 3, 5, 6} E = {4} y F = {1, 2, 3, 5, 6} 
(4𝐶, 4, , 4𝐶, 4𝐶 , 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶) ó ………ó (4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4) 
 
 1-4 y 7-4𝐶 
#(𝑇) = 𝐶1
8(1)1(5)7 ➔ 𝑃(𝑇) =
#(𝑇)
#(Ω)
=
𝐶1
8(1)1(5)7
68
 
 
Observación: 𝑃(𝑇) =
#(𝑇)
#(Ω)
=
𝐶1
8(1)1(5)7
68
= 𝐶1
8 (
1
6
)
1
(
5
6
)
7
 
 
 
c. dos cuatros? 
 
W = {Obtener dos cuatros} (4, 4, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶, 4𝐶) , donde 4𝐶: {1, 2, 3, 5, 6} 
 
 2-4 y 6-4𝐶 
#(𝑊) = 𝐶2
8(1)2(5)6 ➔ 𝑃(𝑊) =
#(𝑊)
#(Ω)
=
𝐶2
8(1)2(5)6
68
 
Observación: 𝑃(𝑊) =
#(𝑊)
#(Ω)
=
𝐶2
8(1)2(5)6
68
= 𝐶2
8 (
1
6
)
2
(
5
6
)
6
 
 
 
 
d. tres cuatros? 
 
S = {Obtener tres cuatros} 
 3-4 y 5-4𝐶 
#(𝑆) = 𝐶3
8(1)3(5)5 
 
𝑃(𝑆) =
#(𝑆)
#(Ω)
=
𝐶3
8(1)3(5)5
68
 
 
Observación: 𝑃(𝑆) =
#(𝑆)
#(Ω)
=
𝐶3
8(1)3(5)5
68
= 𝐶3
8 (
1
6
)
3
(
5
6
)
5
 
 
e. ¿Al menos dos cuatro? 
 
D = {Obtener al menos dos cuatros} 
2-4 y 6-4C ó 3-4 y 5-4C ó 4-4 y 4-4C ó 5-4 y 2-4C ó 6-4 y 2-4C ó 7-4 y 1-4C ó 8-4 y 0-4C 
#(D) =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )088
8
178
7
268
6
358
5
448
4
538
3
628
2
51515151515151 CCCCCCC ++++++
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
088
8
178
7
268
6
358
5
448
4
538
3
628
2
6
51515151515151
)(#
)(#
)(
CCCCCCCD
DP
++++++
=

=
 
 
f. ¿Un número mayor que dos? ➔ E= {3, 4, 5, 6} y F= {1, 2} 
 
F = {Obtener UN número mayor que 2} 
(𝐸, 𝐸𝐶, 𝐸𝐶, 𝐸𝐶, 𝐸𝐶, 𝐸𝐶, 𝐸𝐶, 𝐸𝐶, ) 
 1-E y 7-𝐹𝐶 
#(𝐹) = 𝐶1
8(4)1(2)7 ➔ 𝑃(𝐹) =
#(𝐹)
#(Ω)
=
𝐶1
8(4)1(2)7
68
 
 
Observación: 𝑃(𝐹) =
#(𝐹)
#(Ω)
=
𝐶1
8(4)1(2)7
68
= 𝐶1
8 (
4
6
)
1
(
2
6
)
7