Aproximación de distribuciones discretas a la Normal - Carlos Tomas Santana Colin

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Aproximación de distribuciones discretas a la Normal 
Supongamos una distribución binomial B(n,p) con un número muy grande de n; por 
ejemplo lanzamos un tiro libre 200 veces siendo la probabilidad de encestar del 
40%, es decir B(n=200,p=0,4). Si nos planteamos cual es la probabilidad de 
encestar más de 100 lanzamientos tendremos que calcular 100 términos, siendo 
aburrido y muy laborioso: 
P{x > 100} = p {x =100} + p {x = 101} + … + p{x = 199} + p{x = 200} 
Muchas veces podemos utilizar la distribución normal como una aproximación a 
distribuciones discretas, por ejemplo, a la distribución binomial, como es el caso 
mostrado anteriormente. Para que sea una muy buena aproximación se lleva a cabo 
una corrección por continuidad. Ello debido a que la distribución normal es continua 
y si ponemos rectángulos para calcular el área bajo la curva, quedan pequeños 
espacios que no se tienen en cuenta o que sobran, como se advierte en la figura 
siguiente: 
 
El Teorema de Movire-Laplace nos muestra que de forma aproximada podemos 
aproximar esta probabilidad utilizando la distribución normal. 
 
Resulta mucho más sencillo trabajar con la variable normal X’ que con la binomial 
X, pues recordemos que los valores de la normal están tabulados. 
Corrección de continuidad o de Yates: cuando aproximamos una distribución 
binomial mediante una normal, estamos convirtiendo una variable X discreta (toma 
un número determinado de valores) en una continua X’ (toma valores en un 
intervalo). 
Los valores de la probabilidad para valores fijos de la variable continua son cero (ya 
que sería el área de un punto), y necesitamos definir un intervalo. Para evitar este 
problema en la aproximación de los valores fijos estos se corrigen (corrección de 
continuidad o de Yates) sustituyéndolos por un intervalo centrado en el punto y de 
valor unidad. En el siguiente esquema se muestran todas las situaciones posibles: 
X = B(n,p) y X’ = N(n·p,√𝑛𝑝𝑞) 
• P(X = a) = P (a – 0.5 < X’ < a +0.5) 
• P(X < a) = P(X’ < a + 0,5) (para que contenga al punto a) a 
• P(X < a) = P(X’ < a – 0.5) (para que no contenga al punto a) a 
• P(X > a) = P(X’ > a + 0.5) (para que no contenga al punto a) a 
• P(X > a) = P(X’ > a – 0.5) (para que contenga al punto a) a 
• P(a < X < b) = P( a – 0.5 < X’ < b – 0.5) a b 
(para que contenga al punto a y no a b) 
Ejemplos 1. Se efectúan 15 lanzamientos de una moneda. Calcular la probabilidad 
de que ocurran los siguientes sucesos: 
a) Salgan entre 8 y 12 caras 
b) Salgan menos de 6 caras 
Solución 
𝜇 = 𝑛𝑝 = 15 ∗
1
2
= 7.5; 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = √(15) (
1
2
) (
1
2
) = √3.75 = 1.9365 
a) 8 < X < 12, por lo tanto 7.5 < X’ < 12.5 
Recordemos que z = (x - µ) / σ, por lo tanto: 
 
7.5−7.5
1.9365
≤ 𝑍 ≤
12.5−7.5
1.9365
 Es decir: 0 ≤ 𝑍 ≤ 2.58 
 
P{ 0 - 2.58 } = 0.4951 = 49.51% 
b) X < 6, por lo tanto, X’ < 5.5 
Recordemos que z = (x - µ) / σ, por lo tanto: 
 𝑍 ≤
5.5−7.5
1.9365
 Es decir: 𝑍 ≤ −1.03 (a la izquierda de -1.03) 
 
P{ a la izquierda de -1.03} = 0.5 - P{ 0 – 1.03 } = 0.5 - 0.3485 = 15.15% 
 
Ejercicio en clase. Un examen consta de 38 preguntas a contestar verdadero o 
falso, el examen se aprueba si contesta correctamente al menos 20 preguntas. Un 
alumno responde lanzando al aire una moneda y contestando verdadero si sale 
“sol” y falso si sale “águila”. Determine la probabilidad de que el alumno: 
a) Apruebe el examen 
b) Acierte más de 24 y menos de 31 
 
 
𝜇 = 𝑛𝑝 = 38 ∗
1
2
= 19; 𝜎 = √𝑛𝑝𝑞 = √(38) (
1
2
) (
1
2
) = √9.5 = 3.0822 
a) X > 20, por lo tanto, X’ > 19.5 
 𝑍 ≥
19.5−19
3.0822
 𝑍 ≥ 0.16 
 
 
 P{Z ≥ 0.16} = 0.5 - A{0 – 0.16} = 0.5 - 0.0636 = 0.4364 = 43.64 % 
 
 
 
b) 24 < X < 31, por lo tanto, 24.5 < X’ < 30.5 
24.5 −19
3.0822
≤ 𝑍 ≤
30.5−19
3.0822
 1.78 ≤ 𝑍 ≤ 3.73 
P{1.78 ≤ Z ≤ 3.73} = A (0 – 3.73) – A (0 – 1.78) = 0.4999 - 0.4625 = 3.74 %