Ecuaciones cuadráticas - Carlos Tomas Santana Colin

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4. Ecuaciones cuadráticas 
4.1 Ecuaciones de segundo grado con una variable 
Una ecuación de 2do grado es una que tiene forma de una suma algebraica de 
términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser 
representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. 
4.1.1 Formas de ecuación de segundo grado. 
La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable 
es: 
 ax2 + bx +c = 0 
Donde x representa la variable y a, b y c son constantes. Este polinomio se puede 
representar mediante una gráfica de una función cuadrática o parábola. Esta 
representación gráfica es útil, porque la intersección de esta grafica con el eje 
horizontal coincide con las soluciones de la ecuación. 
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre 
dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser 
reales o complejas. 
4.1.2. Métodos de solución: Factorización, completar el trinomio perfecto y 
formula general. 
Las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, se pueden resolver 
mediante factorización; las ecuaciones que no se pueden resolver con factorización, 
pueden solucionarse completando el cuadrado, o mediante la fórmula general. 
a) Factorización 
Para resolver una ecuación cuadrática, factorice completamente la ecuación e 
iguale los factores con cero y despeje la incógnita correspondiente, por ultimo 
compruebe sustituyendo a la ecuación original. 
a) x2 - x – 12 = 0 b) (x2 - 2x – 24) = 0 
 (x – 4) (x + 3) = 0 (x – 6) (x + 4) = 0 
x – 4 = 0 y x + 3 = 0 x -6 = 0 y x + 4 = 0 
x1 = 4 y x2 = -3 x1 = 6 y x2 = -4 
 
 
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b) Trinomio cuadrado perfecto: 
𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
 
Para resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado se hace lo 
siguiente: 
 Si es necesario, utilice la propiedad de la multiplicación o división de la igualdad 
para hacer que el coeficiente principal sea 1. 
2.- Rescribir la ecuación aislando la constante en el lado derecho. 
3.- Tome la mitad del coeficiente numérico del término del primer grado, eleva al 
cuadrado y sume la cantidad resultante en ambos lados de la ecuación. 
4.- Remplace el trinomio cuadrado perfecto por el cuadrado de un binomio. 
5.- Utilice la propiedad de la raíz cuadrada para tomar la raíz cuadrada en ambos 
lados de la ecuación. 
6.- Despeje la variable. 
7.- Compruebe sus soluciones en la ecuación original 
Ejemplos: 
𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 
𝑥2 + 6𝑥 + 32 = −5 + 32 
 (𝑥 + 3)2 = 4 𝑥 + 3 = ±√4 
𝑥 = ±2 − 3 𝑥1 = −1 𝑥2 = −5 
Ejercicios: 
4𝑎2 + 43𝑎 + 30 
𝑎1 = −
3
4
 𝑎2 = −10 
c) Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general. 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación cuadrática, de 
hecho es el método más útil y versátil para resolver ecuaciones cuadráticas. Para 
su eficiencia por lo regular se utiliza en lugar del método de completar el cuadrado. 
 
 
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La fórmula general de una ecuación cuadrática es 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde a es el 
coeficiente del termino cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es la 
constante. 
A continuación se deduce la formula general completando el cuadrado: 
𝑎
𝑥2
𝑎
+
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
=
0
𝑎
 
𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑐
𝑎
= 0 
𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
 𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
 
 
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= −
𝑐
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
 
√(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)2 =
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
𝑥 =
𝑏
2𝑎
= ±√
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Para una ecuación de segundo grado mediante la fórmula cuadrática: 
1.- Escriba la ecuación cuadrática en la formula general 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 y 
determine los valores numéricos de a, b y c. 
2.- Sustituya: a, b y c, con los valores correspondientes en la formula cuadrática y 
luego evalué la fórmula para obtener la solución. 
Ejercicios: 
1) 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 
𝑥1 = 6 𝑥2 = 3 
 
2) 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 
𝑥1 = 4 𝑥2 = 2 
 
 
 
25 
3) 3𝑥2 − 4𝑥 − 4 = 0 
𝑥1 = −
2
3
 𝑥2 = −2 
 
4) 𝑐2 + 𝑐 − 12 = 0 
𝑐1 = 3 𝑐2 = −4 
 
5) −
1
2
𝑝2 − 𝑝 +
3
2
= 0 
−
1
2
𝑝2−𝑝+
3
2
=0
1
2
 
𝑝2 − 2p =
6
2
 
𝑝2 − 2𝑝 + (−1)2 =
6
2
+ (−1)2 
√(𝑝 − 1)2 = ±√4 
𝑝 − 1 = ± 2 𝑝1 = 1 𝑝2 = −3 
 
4.2 Problemas de aplicación 
Problemas que involucren ecuaciones cuadráticas, se utiliza cualquiera de los 
métodos vistos anteriormente siendo la formula general el método más 
recomendable. 
Ejemplo: 
La cerox una compañía que inicia sus operaciones proyecta sus utilidades anuales, 
p(n) en miles de dólares, durante sus primeros 6 años de su operación, puede 
calcularse mediante la función: 
P(n)=1.2n2 + 4n − 8 
Donde n es el número de años en operación. 
Calcule: 
a) La utilidad o pérdida de la compañía después del primer año. 
b) La utilidad o pérdida de la compañía después de 6 años 
c) El tiempo necesario para que la compañía alcance el punto de equilibrio. 
a) 𝑝(1) = 1.2(1)2 + 4(1) − 8 
𝑝(1) = −2.8 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎) 
 
 
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b) 𝑝(6) = 1.2(6)2 + 4(6) − 8 
𝑝(6) = 59.2 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠 (𝑝é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎) 
c)𝑛1,2 =
−4±√(4)2−4(1.2)(−8)
2(1.2)
 
𝑛1 = 1.4 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑛2 = −4.7 𝑎ñ𝑜𝑠