Probabilidad clasica - Carlos Tomas Santana Colin

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3.2 Probabilidad clásica 
3.2.1 Introducción 
El término probabilidad es un concepto vago que se usa en la vida diaria para 
indicar que tanto es posible que se presente u ocurra un evento en el futuro. 
Conocer “algo” o “mucho” del futuro nos ayuda a tomar decisiones. Por ello es 
importante estudiar la aplicación de la probabilidad y como medirla, lo mismo que 
como emplearla. 
Nadie puede predecir con certeza que cara de una moneda no manipulada 
quedará hacia arriba cuando caiga al suelo. Aunque la moneda acabe de caer diez 
veces seguidas en cara, eso no mejorará ni un poco nuestra capacidad de 
predecir con certeza la siguiente tirada. Sin embargo, si podemos predecir con 
certeza que, si se tira la moneda 10 millones de veces, prácticamente la mitad de 
las tiradas serán caras y la otra mitad serán cruces. 
Hay dos enfoques para asignar probabilidades: el enfoque objetivo y el subjetivo. 
Se llama enfoque objetivo, porque detrás de él existen fundamentos matemáticos 
(teóricos) para determinar la probabilidad de un evento. En contraparte, el enfoque 
subjetivo se basa en la experiencia o conocimiento del investigador. 
El enfoque objetivo se divide a su vez en probabilidad clásica y probabilidad 
empírica. El enfoque clásico se basa en la idea de que los resultados de un 
experimento son igualmente posibles. Se calcula de la manera siguiente: 
Probabilidad de un evento = casos favorables / casos totales 
3.2.2 Conjuntos: teoría y operaciones 
Los conjuntos son un agregado o colección de objetos de cualquier naturaleza con 
características bien definidas de manera que se puedan distinguir todos sus 
elementos, por ejemplo: el conjunto de días de la semana, el conjunto de las 
vocales, el conjunto de los números reales, el conjunto de valores que se pueden 
obtener al lanzar un dado, etc. 
Tomando el ejemplo del lanzamiento de un dado, se tiene que este caso es un 
experimento que tiene como resultado los valores: 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si quisiéramos 
saber cuál es la posibilidad de que aparezca un 1 o un 6 en el dado, estaríamos 
empleando la probabilidad a este conjunto o experimento. Es por ello, que la teoría 
de conjuntos es aplicada a la probabilidad. 
Los objetos o personas que constituyen un conjunto se llaman elementos o 
miembros del conjunto. 
Hay tres formas de describir o definir un conjunto: 
a) Por enumeración: cuando se escribe o elabora una lista de los elementos 
que constituyen el conjunto. 
b) Por comprensión: cuando se proporciona una regla con la que se identifican 
los elementos del conjunto. 
c) Por diagrama de Venn: es un método gráfico para representar conjuntos y 
sus relaciones. Consta de un rectángulo para representar el conjunto 
universo (adelante definimos este concepto), dentro del cual se trazan 
círculos para representar los conjuntos. 
Se utilizan letras mayúsculas para denotar a un conjunto. 
Ejemplo: Define los conjuntos siguientes por enumeración, por comprensión y 
mediante un diagrama de Venn: 
a. Los días de la semana. 
b. Los números múltiplos de 6 entre 10 y 30, inclusive. 
 
 
 
 
 
 
 
Se llama conjunto universal o simplemente conjunto universo el conjunto que 
contiene todos los elementos que interesan en una situación determinada. Se 
acostumbra denotarlo con una U. 
En diagramas de Venn se utiliza un rectángulo para representar el conjunto 
universal; dentro de él se dibujan los conjuntos que lo forman, como se muestra en 
la siguiente figura. 
 
 
Ejemplo: Supón que tenemos los dos conjuntos siguientes: 
A = {1, 3, 5, 7, 9} y B = {2, 4, 6, 8, 10} 
Entonces, para este caso, el conjunto universo es: 
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 
En diagrama de Venn: 
 
 
 
 
 
Sean dos conjuntos, A y B. Cuando todos los elementos de A están contenidos o 
pertenecen al conjunto B se dice que A es subconjunto de B. En notación 
matemática esto se representa con A ⊆ B. 
Se dice que A es subconjunto propio de B, A ⊂ B, si B tiene por lo menos un 
elemento más que A 
 
Ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4}. Como todos los 
elementos de B pertenecen a A (de hecho, A tiene más elementos que B), 
entonces B es un subconjunto propio de A, esto es, B ⊂ A. El diagrama de Venn 
queda de la manera siguiente: 
 
 
 
Unión 
Sean dos conjuntos A y B cualesquiera. La unión de los conjuntos A y B es el 
conjunto de todos los elementos que están en A, en B o en ambos. Se simboliza 
con A ∪ B. En diagrama de Venn se ve como se muestra en la figura a. 
Intersección 
Sean dos conjuntos A y B cualesquiera. La intersección, de los conjuntos A y B A 
∩ B, es el conjunto de los elementos que están en A y también en B. En la figura b 
se muestra el diagrama de Venn para representar gráficamente la intersección de 
conjuntos. 
 
Fig a. Unión de los conjuntos A y B (A ∪ B). Fig b. Intersección de los conjuntos A y B (A ∩ B). 
Ejemplo: Sean los conjuntos U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}, A = {a, b, c, d, e} y 
B = {e, f, g, h}. Determina los conjuntos: a) A ∪ B; b) A ∩ B; luego represéntalos 
tanto en lista como en diagrama de Venn. 
 
 
 
 Por tanto, #(A ∪ B) = 8 
 A ∪ B = {a,b,c,d,e,f,g,h} 
 
 
 
 
 Por tanto, #(A ∩ B) = 1 
 A ∪ B = {e} 
 
Ejercicios: 
1. Sean los conjuntos A = {r, s, t , u , v ,w}, B = {u , v ,w , x , y ,z}, C = {s, u , y ,z}, 
determine: 
a) AUB 
b) AB 
c) AUC 
d) AC 
e) BC 
 
2. Determine AUB y AB para los conjuntos A y B. 
 A = {1, 1/2, 1/3, 1/4}; B={2, 1/2, 2/3} 
 
 
3.2.3 Probabilidad de un evento 
Un evento es cualquier recopilación (subconjunto) de resultados contenidos en el 
espacio muestral S. Un evento es simple si consiste en exactamente un resultado 
y compuesto si consiste en más de un resultado. 
Cuando se realiza un experimento, se dice que ocurre un evento particular A si el 
resultado experimental obtenido está contenido en A. En general, ocurrirá 
exactamente un evento simple, pero muchos eventos compuestos ocurrirán al 
mismo tiempo. 
Ejemplo: Considérese un experimento en el cual cada uno de tres vehículos que 
toman una salida de una autopista particular vira a la izquierda (L) o la derecha (R) 
al final de la rampa de salida. Los ocho posibles resultados que constituyen el 
espacio muestral son LLL, RLL, LRL, LLR, LRR, RLR, RRL y RRR. Así pues, 
existen ocho eventos simples, entre los cuales están E1 = {LLL} y E5 = {LRR}. 
Algunos eventos compuestos incluyen 
A = {RLL, LRL, LLR} = el evento en que exactamente uno de los tres vehículos 
vire a la derecha. 
B = {LLL, RLL, LRL, LLR} = el evento en que cuando mucho uno de los vehículos 
vire a la derecha. 
C = {LLL, RRR} = el evento en que los tres vehículos viren en la misma dirección. 
Suponga que cuando se realiza el experimento, el resultado es LLL. Entonces ha 
ocurrido el evento simple E1 y por lo tanto también comprende los eventos B y C 
(pero no A). 
La probabilidad de un evento A es una medida de nuestra creencia de que el 
evento A ocurrirá (llamada también probabilidad de éxito p). Una manera práctica 
de interpretar esta medida es con el concepto de frecuencia relativa. Recuerde la 
unidad 1, que, si un experimento se realiza n veces, entonces la frecuencia 
relativa de un suceso particular, por ejemplo, A, es 
 
donde la frecuencia es el número deveces que ocurrió el evento A. Si hacemos 
que el número n de repeticiones del experimento se haga cada vez más grande 
(n→∞), en última instancia se genera toda la población. En ésta, la frecuencia 
relativa del evento A se define como la probabilidad del evento A; esto es, 
 
Como P(A) se comporta como una frecuencia relativa, P(A) debe ser una 
proporción que se encuentre entre 0 y 1; P(A) = 0 si el evento A nunca ocurre 
(llamada probabilidad de fracaso q), y P(A) = 1 si el evento A siempre ocurre. 
Cuanto más cercano sea P(A) a 1, es más probable que A ocurra. 
Supongamos que un suceso E, tiene h posibilidades de ocurrir de entre un total de 
n, cada una de las cuales tiene la misma oportunidad de ocurrir que las demás, 
entonces la probabilidad de que ocurra E (o, sea un éxito) se denota por: 
𝑃 = 𝑃𝑟 {
ℎ
𝑛
} 𝑃 = 𝑃𝑟{𝐸} = 
ℎ
𝑛
 
Donde P es la probabilidad de que ocurra el evento 
La probabilidad de que no ocurra E (o, sea un fracaso), se denota por: 
𝑞 = 𝑁𝑜 𝑃𝑟{𝐸} = 1 − 𝑝 = 1 − 
ℎ
𝑛
 donde q es la no probabilidad 
 
REQUISITOS PARA PROBABILIDADES DE UN EVENTO SIMPLE 
 • Cada probabilidad debe estar entre 0 y 1. 
 • La suma de las probabilidades de todos los eventos sencillos en S igual a 1. 
Cuando es posible escribir los eventos sencillos asociados con un experimento y 
determinar sus probabilidades respectivas, podemos hallar la probabilidad de un 
evento A si sumamos las probabilidades de todos los eventos sencillos contenidos 
en el evento A. 
Por ejemplo, si se lanza al aire un dado balanceado de seis caras una sola vez, 
determine la probabilidad de éxito y de error, de que salga un 3 o un 4 
𝑝 = 𝑃𝑟{3 𝑜 4} = 
2
6
= 1/3 
𝑞 = 𝑁𝑜 𝑃𝑟{3 𝑜 4} = 1 − 1/3 = 
2
3
 
 
3.2.4 Probabilidad de dos o más eventos 
Si E1 y E2 son dos sucesos, la probabilidad de que E2 ocurra dado que haya 
ocurrido E1, se denota por Pr{E2|E1}, o Pr{E2 dado E1}, y se llama probabilidad 
condicional de E2 dado E1. 
Si la ocurrencia o no de E1 no afecta para nada la probabilidad de ocurrencia de 
E2, entonces Pr{E2|E1} = Pr{E2}, y diremos que E1 y E2 son sucesos 
independientes; en caso contrario se dirá que son sucesos dependientes. 
Si denotamos por E1E2 el suceso de que “ambos E1 y E2 ocurran”, llamado un 
suceso compuesto, entonces: 
Pr{E1E2} = Pr{E1} Pr{E2|E1} 
En particular 
Pr{E1E2} = Pr{E1} Pr{E2} para sucesos independientes 
Para tres sucesos E1, E2 y E3, tenemos: 
Pr{E1E2E3} = Pr{E1} Pr{E2|E1} Pr{E3|E1E2} 
Esto es, la probabilidad de que ocurran E1, E2 y E3 es igual a (la probabilidad de 
E1) x (la probabilidad de E2 dado E1) x (la probabilidad de E3 dados E1 y E2). En 
particular: 
Pr{E1E2E3} = Pr{E1} Pr{E2} Pr{E3} para sucesos independientes 
Ejemplo: Sean E1 y E2 los sucesos “cara en el quinto lanzamiento” y “cara en el 
sexto lanzamiento” de una moneda, respectivamente. Entonces E1 y E2 son 
sucesos independientes y, por tanto, la probabilidad de que salga cara en ambos 
intentos es: 
𝑃𝑟{𝐸1𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐸1} 𝑃𝑟{𝐸2} =
1
2
∗
1
2
= 
1
4
 
Ejemplo: Si las probabilidades de A y B de estar vivos dentro de 20 años son 0.7 
y 0.5, respectivamente, entonces determine la probabilidad de que ambos lo 
estén. 
𝑃𝑟{𝐸1𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐴} 𝑃𝑟{𝐵} = (0.7) ∗ (0.5) = 0.35 = 35% 
Ejemplo: Una caja contiene 3 bolas blancas y 2 bolas negras. Sea E1 el suceso 
“la primera bola extraída es negra” y E2 el suceso “la segunda bola extraída es 
negra”. Las bolas extraídas no se devuelven a la caja. E1 y E2 son sucesos 
dependientes. 
La probabilidad de que la primera bola sea negra es 𝑃𝑟{𝐸1} =
2
3+2
=
2
5
 
La probabilidad de que la segunda sea negra, dado que ya lo haya sido la primera 
es: 
𝑃𝑟{𝐸2|𝐸1} =
1
3 + 1
=
1
4
 
Por lo tanto, la probabilidad de que ambas sean negras es: 
𝑃𝑟{𝐸1𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐸1} 𝑃𝑟{𝐸2|𝐸1} =
2
5
∗
1
4
 =
1
10
= 10% 
Dos o más sucesos se llaman sucesos mutuamente excluyentes si la ocurrencia 
de cualquiera de ellos excluye la de los otros. De modo que, si E1 y E2 son 
sucesos mutuamente excluyentes, entonces Pr{E1E2} = 0. 
Si E1+E2 denota el suceso de que “ocurra E1 o bien E2 o ambos a la vez”, 
entonces: 
Pr{E1 + E2} = Pr{E1} + Pr{E2} - Pr{E1E2} 
En particular, 
Pr{E1 + E2} = Pr{E1} + Pr{E2} para sucesos mutuamente excluyentes 
Ejemplo. Sean E1 el suceso “sacar un as de una baraja francesa” y E2 “sacar un 
rey”. Determine la probabilidad de sacar un as o un rey en un solo ensayo. 
La probabilidad de sacar un as es: 
𝑃𝑟{𝐸1} = 𝑃𝑟{𝐴𝑠} = 
4
52
=
1
13
 
La probabilidad de sacar un rey es: 
𝑃𝑟{𝐸2} = 𝑃𝑟{𝑅𝑒𝑦} = 
4
52
=
1
13
 
Por lo tanto, la probabilidad de sacar o un as o un rey en un solo ensayo es: 
𝑃𝑟{𝐸1+𝐸2} = 𝑃𝑟{𝐴𝑠} + 𝑃𝑟{𝑅𝑒𝑦} =
1
13
+
1
13
=
2
13
 
* La baraja francesa es un conjunto de naipes o cartas, formado por 52 unidades repartidas 
en cuatro palos: corazones, rombos, tréboles y picas.