Teoremas Límites - Letras Nocturnas

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Universidad de Sonora 
 
Probabilidad y estadística 
 
 
 
TEOREMAS LIMITES 
 
6.1 DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV 
Sea X una variable aleatoria, discreta ó continua, con ( ) =XE y sea c u número 
real cualquiera. Entonces, si ( )2cXE − es finita y  >o, se tiene que: 
𝑃(𝐴) ≥ 1 − 𝑔 
  ( )
2
2
1


cXE
cXP
−
−− Cota inferior 
𝑃[|𝑋 − 𝑐| ≤ 𝜀] = 𝑃[−𝜀 ≤ 𝑋 − 𝑐 ≤ 𝜀] = 𝑃[𝑐 − 𝜀 ≤ 𝑋 ≤ 𝑐 + 𝜀] ≥ 1 −
𝐸(𝑋 − 𝑐)2
𝜀2
 
ó 
𝑃(𝐴𝐶) ≤ 𝑔 
 
  ( )
2
2


cXE
cXP
−
− Cota Superior 
𝑃[|𝑋 − 𝑐| ≥ 𝜀] = 𝑃[−𝜀 ≥ (𝑋 − 𝑐) ó (𝑋 − 𝑐) ≥ 𝜀] = 𝑃[𝑐 − 𝜀 ≥ 𝑋 ó 𝑋 ≥ 𝑐 + 𝜀] ≤
𝐸(𝑋 − 𝑐)2
𝜀2
 
Otras formas equivalentes de la desigualdad de Chebyshev: 
a) Si c =  , entonces se tiene que: 
𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 
 
2
2
1


 −−XP 
 ó 
 
2
2


 −XP 
b) Si c =  y  k= , entonces se tiene que: 
𝑉(𝑋) = 𝜎2 = 𝐸(𝑋 − 𝜇)2 y 𝜀2 = 𝑘2𝜎2 
 
 
2
1
1
k
kXP −−  
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 𝑘𝜎] = 𝑃[−𝑘𝜎 ≤ 𝑋 − 𝜇 ≤ 𝑘𝜎] = 𝑃[𝜇 − 𝑘𝜎 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 𝑘𝜎] ≥ 1 −
1
𝑘2
 
 
 ó 
 2 
 
2
1
k
kXP −  
 
Ejemplo: 
La casa de monedas de México produce monedas de 10 pesos con un diámetro promedio de 
0.5 pulgadas (𝜇) y una desviación estándar de 0.01 pulgadas (𝜎). Si seleccionamos un lote 
de 400 monedas, encuentre un límite inferior para la probabilidad de que el diámetro de estas 
monedas se encuentre entre 0.48 y 0.52 pulgadas? 
 𝑋: "𝐸𝑙 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑜𝑛𝑒𝑑𝑎𝑠" 
Con 𝜇 = 0.5 y 𝜎 = 0.01 
 
Límite inferior para 
𝑃[0.48 < 𝑋 < 0.52] = 𝑃[0.48 − 0.50 < 𝑋 − 𝜇 < 0.52 − 0.50] 
𝑃[0.48 < 𝑋 < 0.52] = 𝑃[−0.02 < 𝑋 − 𝜇 < 0.02] = 𝑃[|𝑋 − 𝜇| < 0.02] 
 𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 𝑘𝜎] 
𝑘𝜎 = 0.02 ➔𝑘 = 
0.02
𝜎
= 2 
 
𝑃[0.48 < 𝑋 < 0.52] ≥ 1 −
1
𝑘2
= 1 −
1
22
= 0.75 
𝑃[0.48 < 𝑋 < 0.52] ≥ 0.75 
 
Otro Ejemplo 
El número de licencias de matrimonio emitidas en cierta ciudad durante el mes de junio es 
una variable aleatoria con  =146 y  =7.5. 
a. ¿Qué nos dice el teorema de Chebyshev con k = 8 acerca del número de licencias de 
matrimonios que se emiten ahí durante un mes de junio? 
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 𝑘𝜎] ≥ 1 −
1
𝑘2
 
𝑃[|𝑋 − 146| ≤ (8)(7.5)] ≥ 1 −
1
82
 
𝑃[|𝑋 − 146| ≤ 60] ≥
63
64
= 0.9453 
𝑃[−60 ≤ 𝑋 − 146 ≤ 60] ≥ 0.9453 
𝑃[146 − 60 ≤ 𝑋 ≤ 146 + 60] ≥ 0.9453 
𝑃[86 ≤ 𝑋 ≤ 206] ≥ 0.9453 
La probabilidad de que en el mes de junio se emitan de 86 a 206 licencias de 
matrimonio es al menos 0.9453 
 
Ó 
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝑘𝜎] ≤
1
𝑘2
= 
1
64
 
𝑃[86 ≥ 𝑋 ó 𝑋 ≥ 206] ≥ 0.0547 
La probabilidad de que en el mes de junio se emitan da lo más 86 ó al menos 206 
licencias de matrimonio es a lo más 0.0547 
 
 3 
b. ¿Con qué probabilidad podemos afirmar que en esa ciudad se emitirán entre 71 y 221 
licencias de matrimonios durante el mes de junio? 
𝑃[71 < 𝑋 < 221] = 𝑃[71 − 146 < 𝑋 − 𝜇 < 221 − 146] 
𝑃[71 < 𝑋 < 221] = 𝑃[−75 < 𝑋 − 𝜇 < 75] = 𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 75] ≥ 1 −
1
𝑘2
= 1 −
1
102
 
𝑘𝜎 = 75 ➔𝑘 = 
75
7.5
= 10 
 
𝑃[71 < 𝑋 < 221] ≥ 0.99 
 
6.2 LEY DEBIL DE LOS GRANDES NUMEROS 
 
Sea X una variable aleatoria discreta cuya distribución es Binomial con parámetros n 
y p, ( )pnBX , y 0 . Si 
n
X
p =ˆ , (frecuencia relativa de éxito), entonces 
 
2
)1(
1ˆ


n
pp
ppP
−
−− 
Demostración aplicación de la Desigualdad de Chebyshev 
 
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝜎2
𝜀2
 
𝑆𝑖 �̂� = 
𝑋
𝑛
 𝑐𝑜𝑛 𝑋 ≅ 𝐵(𝑛, 𝑝), 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
𝐸[�̂�] = 𝐸 [ 
𝑋
𝑛
 ] = (
1
𝑛
) 𝐸(𝑋) = (
1
𝑛
) (𝑛 ∗ 𝑝) = 𝑝 
𝑉[�̂�] = 𝑉 [ 
𝑋
𝑛
 ] = (
1
𝑛
)
2
𝑉(𝑋) = (
1
𝑛2
) (𝑛)(𝑝)(1 − 𝑝) =
(𝑝)(1 − 𝑝)
𝑛
 
 
lim
𝑛→∞
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ lim
𝑛→∞
[1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜀2
] 
 
lim
𝑛→∞
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ 1 
 
lim
𝑛→∞
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] = 1 
 
 
2
)1(
ˆ


n
pp
ppP
−
− 
𝑃[|𝑋 − 𝜇| ≥ 𝜀] ≤
𝜎2
𝜀2
 
 
La LEY DEBIL DE LOS GRANDES NUMEROS nos permite determinar el tamaño de 
una muestra para garantizar que la frecuencia relativa 𝒇�̃� = �̂� esté muy próximo al valor de 
la probabilidad de éxito 𝑷(𝑬) = 𝒑 
 
 4 
Problema. El gerente de un supermercado desea recabar información sobre la proporción de clientes 
a los que no les agrada una nueva política respecto a la aceptación de cheques ( )P̂ . ¿Cuántos clientes 
tendría que incluir en una muestra, si desea que la fracción de la muestra se desvíe a lo más 0.15 de 
la verdadera fracción, con una probabilidad de al menos 0.98? 
 
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 0.15] ≥ 0.98 
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜀2
 
1 −
𝑝(1−𝑝)
𝑛𝜀2
= 0.98 ➔ 1 − 0.98 = 
𝑝(1−𝑝)
𝑛𝜀2
 ➔ 𝑛 ≥ 
𝑝(1−𝑝)
(1−0.98)𝜀2
 
Considerando 𝑝 = 1/2 tenemos 
𝑛 ≥ 
(0.5)(0.5)
(1 − 0.98)(0.15)2
= 555.55 
El gerente debe de incluir en la muestra, al menos 556 clientes. 
 
 
Problema. Una fábrica produce determinados artículos de tal manera que el 5% resulta defectuoso. 
Si se inspecciona un gran número de tales artículos, n, y se anota la frecuencia relativa de artículos 
defectuosos ( )P̂ , ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra a fin de que la probabilidad de que, P̂
difiera de 0.05 en menos de 0.02, sea al menos 0.99? 
 
𝑃[|�̂� − 𝑝| < 0.02] ≥ 0.99 
𝑃[|�̂� − 𝑝| ≤ 𝜀] ≥ 1 −
𝑝(1 − 𝑝)
𝑛𝜀2
 
𝑛 ≥ 
(0.05)(0.95)
(1 − 0.99)(0.02)2
= 11875 
 
Se requiere una muestra de al menos 11875 artículos 
 
 
6.3 TEOREMA DE LIMITE CENTRAL (TLC) 
6.3.1 Sean X1, X2, ....., Xn variables aleatorias independientes con E(Xi)= i y V(Xi)=
2
i , 
para i=1, 2, ...., n, y sea S= 
=
n
i
iX
1
, entonces bajo ciertas condiciones generales, se 
tiene que la variable aleatoria 
S
SSZ

−
= , posee una distribución normal estándar, 
es decir, N(0,1), donde 
=
=
n
1i
iS y 
=
=
n
1i
2
iS . 
Si ≅ 𝑁(𝜇, 𝜎2) , entonces su f.d. es ( )
2
2
1
2
1 



 −
−
= 


x
exf 
Si 𝑋 ≅ 𝑁(𝜇, 𝜎2) 𝑦 𝑠𝑖 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑍 = 𝑋−𝜇
𝜎
≅ 𝑁(𝜇𝑍, 𝜎𝑍
2) ≅ 𝑁(0, 1) 
𝜇𝑍 = 𝐸(𝑍) = 𝐸 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
) = (
1
𝜎
) 𝐸(𝑋 − 𝜇) = (
1
𝜎
) [𝐸(𝑋) − 𝐸(𝜇)] = (
1
𝜎
) [𝐸(𝑋) − 𝜇] = 0 
 5 
𝜎𝑍
2 = 𝑉(𝑍) = 𝑉 (
𝑋 − 𝜇
𝜎
) = (
1
𝜎
)
2
𝑉(𝑋 − 𝜇) = (
1
𝜎2
) [𝑉(𝑋) + 𝑉(𝜇)] = (
1
𝜎2
) [𝑉(𝑋) + 0] = 1 
 
 
6.3.1 Sean X1, X2, ....., Xn variables aleatorias independientes con E(Xi)= i y 
V(Xi)=
2
i , para i=1, 2, ...., n, y sea S= 
=
n
i
iX
1
, entonces 𝑆 ≅ 𝑁(𝜇𝑆, 𝜎𝑆
2), donde 

=
=
n
1i
iS y 
=
=
n
1i
2
iS . 
𝜇𝑆 = 𝐸[𝑆] = 𝐸 [∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
] = ∑ 𝐸[𝑋𝑖]
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝜇𝑖
𝑛
𝑖=1
 
𝜎𝑆
2 = 𝑉[𝑆] = 𝑉 [∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
] = ∑ 𝑉[𝑋𝑖]
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝜎𝑖
2
𝑛
𝑖=1
 
 
 
6.3.2 En particular si X1, X2, ....., Xn son independientes e idénticamente distribuidas, con 
E(Xi)= y V(Xi)=
2 , para i=1, 2, ...., n, entonces la variable aleatoria 
S
SSZ

−
= 
posee una distribución normal estándar, es decir, N(0,1), con = nS y = nS . 
 
En particular si X1, X2, ....., Xn son independientes e idénticamente distribuidas, con 
E(Xi)= y V(Xi)=
2 , para i=1, 2, ...., n, entonces la variable aleatoria 𝑆 ≅
𝑁(𝜇𝑆, 𝜎𝑆
2), donde con = nS y = nS 
𝑃(𝑆 < 𝑘) 
Problema. En la especificación de la capacidad de un elevador se consideró que las personas 
para las cuales está destinado se elegían aleatoriamente de una población con media  =70 
Kg. y varianza 
2 =81 kg2. ¿Cuál es la probabilidad de que 16 personas tengan un peso 
combinado que exceda la capacidad especificada de 1200 Kg? 
X1, X2, ....., X16 : Peso de la persona k ➔ 𝑆 = ∑ 𝑋𝑖
16
𝑖=1 ≅ 𝑁(𝜇𝑆, 𝜎𝑆
2) 
 
𝜇𝑆 = (16)(70) = 1120 y 𝜎𝑆 = √16 ∗ 9 = 36 
𝑃(𝑆 > 1200) = 0.01313 
 
 
Problema. Se conectan 35 focos de luz infrarroja en un invernadero, de tal manera que si 
falla un foco, otro se enciende inmediatamente, (se enciende un foco a la vez). Los focos 
funcionan independientemente, y cada uno tiene una vida media de 50 horas y una desviación 
estándarde 4 horas. Si no se inspecciona el invernadero durante 1800 horas después de 
encender el sistema de focos, ¿Cuál es la probabilidad de que un foco esté encendido al final 
del período de 1800 horas? 
 
𝑿𝒊 = 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢𝑟𝑎 𝑒𝑛𝑐𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑜 𝑓𝑜𝑐𝑜 con 𝑖 = 1, 2, … , 35 
 6 
𝑆 = ∑ 𝑋𝑖
35
𝑖=1 > 1800? ➔ 𝑃(𝑆 > 1800) = 0.01706 
 
𝜇𝑆 = (35)(50) = 1750 y 𝜎𝑆 = √35 ∗ 4 = 23.6 
 
 
6.3.3 Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población 
que tiene media  y varianza finita 2 , entonces la variable aleatoria 
X
X
X
Z

−
= , 
posee una distribución aproximadamente normal estándar, donde =
X
 y 
n
X

= . 
 
Si X es la media de una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población 
que tiene media  y varianza finita 2 , entonces la variable aleatoria �̅� ≅
𝑵(𝝁�̅�, 𝝈�̅�
𝟐 ), donde =X y 
n
X

= . 
 
6.4 TEOREMA DE D´MOIVRE-LAPLACE 
Sea X una variable aleatoria discreta cuya distribución es Binomial con parámetros n 
y p, X )P,n(B . Si n es suficientemente grande, entonces la función de distribución 
de probabilidades de X, se puede aproximar mediante una distribución Normal con 
parámetros np= y )p1(np
2 −= , esto es, 
 
𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏] = 𝑃 [
𝑎 − 𝜇 − 0.5
𝜎
≤
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
𝑏 − 𝜇 + 0.5
𝜎
] 
𝑃[𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏] = 𝑃 [
𝑎 − 𝜇 − 0.5
𝜎
≤ 𝑍 ≤
𝑏 − 𝜇 + 0.5
𝜎
] = ∅𝑍 (
𝑏 − 𝜇 + 0.5
𝜎
) − ∅𝑍 (
𝑎 − 𝜇 + 0.5
𝜎
) 
 
Criterios: 
• Si p es un valor cercano a 0.5 con n=10 la aproximación es buena. 
• Para otros valores de p, el valor de n debe de ser más grande. En general la 
experiencia indica que la aproximación es buena si 
 
np >5 para p 0.5 
n(1-p) >5 para p 0.5 
 
 7 
 
Problema. La supervivencia de muchos de los programas de la televisión depende del grado 
de popularidad. Una empresa que se dedica a medir la popularidad de los programas de 
televisión reportó que un determinado programa capta el 20% de los televidentes. Si se eligen 
1000 televidentes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que: 
𝑋 ≅ 𝐵(1000, 0.20) 
 𝜇 = 𝑛 ∗ 𝑝 = 1000 ∗ 0.20 = 200 y 𝜎 = √(𝑛)(𝑝)(1 − 𝑝) = √(1000)(0.20)(0.80) = √160 
 
a. Más de 184 vean este programa? 
𝑃(𝑋 > 184) = 𝑃(𝑋 ≥ 185) = 𝑃 [
𝑋 − 𝜇
𝜎
≥ 
185 − 200 − 0.5
√160
] = 𝑃 [𝑍 ≥ 
185 − 200 − 0.5
√160
] 
𝑃(𝑋 > 184) = 𝑃[𝑍 ≥ −1.22] = 0.88877 
 
b. Entre 100 y 230 vean el programa? 
 
𝑃(100 < 𝑋 < 230) = 𝑃(101 ≤ 𝑋 ≤ 229) = 𝑃 (
101 − 200 − 0.5
√160
≤
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
229 − 200 + 0.5
√160
) 
𝑃(100 < 𝑋 < 230) = 𝑃(−7.86 ≤ 𝑍 ≤ 2.33) = ∅𝑍(2.33) − ∅𝑍(−7.86) = 0.9901 − 0 = 0.9901 
 
 
Observación: 
𝑃(100 < 𝑋 < 230) = 𝑃 (
100 − 200 + 0.5
√160
≤
𝑋 − 𝜇
𝜎
≤
230 − 200 − 0.5
√160
) 
 
Problema. Se sabe que el 30% de todas las llamadas que llegan a una central son llamadas 
de larga distancia. Si llegan 200 llamadas a esta central telefónica, ¿Cuál es la probabilidad 
de que al menos 50 sean de larga distancia? 
𝑋 ≅ 𝐵(200, 0.30) 
 ➔ 𝜇 = 𝑛 ∗ 𝑝 = 200 ∗ 0.30 = 60 y 𝜎 = √𝑛 ∗ 𝑝(1 − 𝑝) = √(200)(0.30)(0.70) = √42 
𝑃(𝑋 ≥ 50) = 𝑃 [
𝑋 − 𝜇
𝜎
≥ 
50 − 60 − 0.5
√42
] = 𝑃[𝑍 ≥ −1.62] = 0.94738 
Con la Distribución Binomial tenemos: 
𝑃(𝑋 ≥ 50) = 0.94941