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TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Nota Estos apuntes están basados fundamentalmente en el libro Ingeniería de Control Moderna, 4ta edición, 2003 
Pearson Educación S.A. del autor Katsuhiko Ogata y están destinados como material de apoyo a los alumnos 
de la asignatura Sistemas de Control. 
INTRODUCCIÓN 
La transformada de Laplace es un método operativo que permite resolver ecuaciones diferenciales 
lineales en un dominio distinto al original. Este nuevo dominio se conoce como dominio complejo o 
plano s. Este método permite transformar una ecuación diferencial lineal en una ecuación algebraica en 
el dominio complejo. Las operaciones de diferenciación e integración se sustituyen por una operación 
algebraica en el plano complejo. 
La solución de una ecuación diferencial se encuentra mediante una tabla de transformadas de Laplace 
o aplicando técnicas de desarrollo en fracciones parciales. 
Algunas ventajas de la transformada de Laplace son: se puede predecir el comportamiento del sistema 
utilizando técnicas gráficas sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferencial; la solución 
permite obtener la componente transitoria y estacionaria de la respuesta. 
VARIABLE COMPLEJA 
Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, siendo ambas constantes. Si la parte 
real y/o la imaginaria son variables, el número complejo se denomina variable compleja. En la 
transformada de Laplace, se emplea el símbolo s como variable compleja, es decir: 
ωσ js += (1)
donde σ es la parte real y ωj la parte imaginaria. 
FUNCIÓN COMPLEJA 
Una función compleja )(sG es una función de s que tiene una parte real y una imaginaria, es decir: 
Yx jGGsG +=)( (2)
donde xG y yG son cantidades reales. 
La magnitud de )(sG es 22 yx GG + y el ángulo es ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
x
y
G
G
artg . 
Las funciones complejas que se utilizan normalmente en el análisis de los sistemas de control lineal 
son univalentes en s y se determinan en forma única. 
TEOREMA DE EULER 
El desarrollo en series de potencias de θcos y θsen son, respectivamente: 
L+−+−=
!6!4!2
1cos
642 θθθθ (3)
L+−+−=
!7!5!3
sen
753 θθθθθ (4)
por lo que se puede escribir, 
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 2
( ) ( ) ( ) ( ) L+++++=+
!4!3!2
1sencos
432 θθθθθθ jjjjj (5)
 
Por otra parte, se tiene: 
L+++++=
!4!3!2
1
432 xxxxex (6)
 
Comparando las expresiones (5) y (6), se puede escribir: 
θθθ jej =+ sencos (7)
Donde la expresión (7) se conoce como el teorema de Euler. 
Este teorema permite expresar el seno y coseno en términos de una función exponencial. Teniendo 
presente que el complejo conjugado de θje es θje− , se puede escribir las siguientes igualdades: 
θθ
θθ
θ
θ
sencos
sencos
je
je
j
j
−=
+=
−
 (8)
 
De la expresión (8) se puede despejar: 
( )
( )θθ
θθ
θ
θ
jj
jj
ee
j
ee
−
−
−=
+=
2
1sen
2
1cos
 (9)
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
La transformada de la Laplace se define mediante la integral: 
[ ] ∫
∞
−==
0
)()()(£ dtetfsFtf st (10)
donde )(tf es una función del tiempo tal que 0)( =tf para t < 0, s una variable compleja, £ un 
símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de 
Laplace y )(sF la transformada de Laplace de )(tf . 
En la Tabla 1 se entrega la transformada de Laplace de funciones usuales utilizadas en el análisis de 
sistemas de control. 
EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
La transformada de Laplace de una función )(tf existe si la integral de Laplace converge. La integral 
converge si )(tf es continua a tramos en cada intervalo finito en el rango 0>t y si es de orden 
exponencial cuando tiende a infinito. Se dice que una función )(tf es de orden exponencial si existe 
una constante real positiva σ tal que: 
)(tfe tσ− (11)
tienda a cero cuando t tienda a infinito. 
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 3
Si el límite de la función )(tfe tσ− tiende a cero para σ mayor que Cσ y el límite tiende a infinito para 
σ menor que Cσ , el valor de Cσ se denomina abscisa de convergencia. 
 
Tabla 1. Transformada de Laplace. 
)(tf )(sF 
Impulso unitario )(tδ 1 
Escalón unitario )(1 t 
s
1
 
t 2
1
s
 
)!1(
1
−
−
n
t n
 ns
1
 
nt 1
!
+ns
n
 
ate− 
as +
1
 
atet − 
2)(
1
as +
 
atn et
n
−−
−
1
)!1(
1
 nas )(
1
+
 
atn et − 1)(
!
++ nas
n
 
tnse ω 
22 ω
ω
+s
 
tsco ω 
22 ω+s
s
 
tnsee at ω− 22)( ω
ω
++ as
 
tscoe at ω− 22)( ω++
+
as
as
 
tnsee n
tn n 2
2
1
1
ξω
ξ
ω ξω −
−
− 
22
2
2 ωξω
ω
++ ss n
n 
( )ate
a
−−11 ( )ass +
1
 
( )btat ee
ab
−− −
−
1
 ( ) ( )bsas ++
1
 
( )atbt aebe
ab
−− −
−
1
 ( ) ( )bsas
s
++
 
 
 
 
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 4
PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
• Si una función )(tf tiene transformada de Laplace, la transformada de la función )(tfA , donde A 
es una constante, se puede determinar como: 
[ ] [ ])(£)(£ tfAtfA = (12)
 
• Si las funciones )(1 tf y )(2 tf tienen transformada de Laplace, la transformada de la función 
)()( 21 tftf + se pude determinar como: 
[ ] [ ] [ ])(£)(£)()(£ 2121 tftftftf +=+ (13)
 
TEOREMAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
• Teorema de diferenciación real. La transformada de Laplace de la derivada de orden n de una 
función )(tf esta dada por: 
0
1
1
0
2
2
0
21 )0()()(£
=
−
−
=
−
−
=
−− −−−−−=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
t
n
n
t
n
n
t
nnn
n
n
dt
fd
dt
fds
dt
dfsfssFstf
dt
d
L (14)
 
• Teorema de diferenciación compleja. Si )(tf es transformable por Laplace, entonces, excepto en 
los polos de )(sF , se tiene en general, 
[ ] )()1()(£ sF
ds
dtft n
n
nn −= (15)
 
• Teorema de integración real. Si )(tf es de orden exponencial, entonces existe la transformada de 
∫ dttf )( y está dada por: 
s
f
s
sFdttf )0()()(£
1−
+=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡∫ (16)
donde ∫=− dttff )()0(1 evaluadas en t = 0. 
Si )0()0( 11 −≠+ −− ff , la transformada de la integral se determina según: 
s
f
s
sFdttf
s
f
s
sFdttf
)0()()(£
)0()()(£
1
1
−
+=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−
−
−
+
∫
∫
 (17)
 
• Integral de convolución. Considere la transformada de Laplace de τττ dftf
t
)()(
0
21∫ − la que a 
menudo se expresa como )(*)( 21 tftf operación matemática que se conoce con el nombre de 
convolución. Entonces si )(1 tf y )(2 tf tienen transformada de Laplace: 
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 5
)()()()(£ 2121 sFsFdftf
t
o
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −∫ τττ (18)
 
• Teorema del valor final. Relaciona el comportamiento en estado estacionario de )(tf con el de 
)(ssF en la vecindad de 0=s . Este se puede enunciar de la siguiente manera, si )(tf y dttdf /)( 
son transformables por Laplace, si )(sF es la transformada de Laplace de )(tf y si existe )(lim tf
t ∞→
, 
entonces: 
)(lim)(lim
0
ssFtf
st →∞→
= (19)
 
El )(lim tf
t ∞→
 existe si y sólo si todos los polos de )(ssF se encuentran en el semiplano izquierdo del 
plano s . 
Si )(ssF tiene polos en el eje imaginario o en el semiplano derecho del plano s , )(tf contendrá 
funciones oscilantes o exponencialmente creciente en el tiempo respectivamente y el )(lim tf
t ∞→
 no 
existirá. 
• Teorema del valor inicial. Es la contraparte del teorema del valor final. Utilizando este teorema se 
puede determinar el valor de )(tf en += 0t directamente de la transformada de Laplace de )(tf . 
Este teorema no da el valor de )(tf exactamente en t = 0, sino en un tiempo ligeramente mayor. 
El teorema pude enunciarse como sigue, si )(tf y dttdf /)( son transformables por Laplace, y si 
existe )(lim ssF
s ∞→
, entonces: 
)(lim)0( ssFf
s ∞→
=+ (20)
 
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 
El proceso inverso de encontrar la función )(tf a partir de la transformada de Laplace )(sF se 
denomina transformada inversa de Laplace y se denota como: 
[ ] )()(£ 1 tfsF =− (21)
 
Matemáticamente la función )(tf se obtiene a partir de la función )(sF con la integral de inversión: 
∫
∞+
∞−
>=
jc
jc
st tdsesFj
tf )0()(
2
1)(
π
 (22)
donde c es la abscisa de convergencia, es una constante real y elegida mayor que las partes reales de 
todos los puntos singulares de )(sF . Así, el camino de integración es paralelo al eje ωj y está 
desplazado una distancia c. Este camino de integración está a la derecha de todos los puntos 
singulares. 
En problemas de análisis de control, la función )(sF tiene frecuentemente la forma: 
)(
)()(
sA
sBsF = (23)
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 6
donde )(sA y )(sB son polinomios de s, siendo mayor el grado de )(sA . Si )(sF se descompone, 
)()()()( 21 sFsFsFsF n+++= L (24)
y si las transformadas inversas de Laplace de )(1 sF , )(2 sF ,..., )(sFn son obtenibles fácilmente, 
entonces: 
[ ] [ ] [ ] [ ]
)()()()(
)(£)(£)(£)(£
21
1
2
1
1
11
tftftftf
sFsFsFsF
n
n
+++=
+++= −−−−
L
L
 (25)
 
La transformada inversa así obtenida es única, excepto posiblemente en los puntos en donde la función 
de tiempo es discontinua. Toda vez que la función de tiempo sea continua, las funciones del tiempo 
)(tf y sus transformadas de Laplace )(sF tiene una correspondencia unívoca. 
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES – F(S) CONTIENE POLOS DISTINTOS 
Si )(sF se escribe en forma factorizada: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) nmpspsps
zszszsK
sA
sBsF
n
m <
+++
+++
==
L
L
21
21
)(
)()( (26)
donde ip− son los polos y iz− los ceros de la función )(sF . Estas cantidades pueden ser reales o 
complejas. Si todos los polos son distintos, entonces )(sF se puede expandir como una suma de 
fracciones: 
n
n
ps
a
ps
a
ps
a
sA
sBsF
+
++
+
+
+
== L
2
2
1
1
)(
)()( (27)
donde ia son constantes denominadas residuos en los polos ips −= . El valor de ka se determina 
multiplicando ambos miembros de la expresión (27) por ( )kps + y suponiendo que kps −= , es decir: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kk ps
k
n
n
k
k
k
kk
ps
k psps
a
ps
ps
a
ps
ps
aps
ps
a
sA
sBps
−=−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
+++
+
+++
+
++
+
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+ LL
2
2
1
1
)(
)(
 (28)
 
Se puede ver que todos los términos del lado derecho de la expresión (28) se cancelan, con excepción 
de ka , por lo tanto: 
( )
kps
kk sA
sBpsa
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
)(
)(
 (29)
 
Considerando que: 
tp
k
k
k kea
ps
a −− =⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
1£ (30)
se tiene entonces que: 
[ ] 0)(£)( 21 211 ≥+++== −−−− teaeaeasFtf tpntptp nL (31)
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 7
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES – F(S) CONTIENE POLOS MÚLTIPLES 
Para explicar este procedimiento es más efectivo utilizar un ejemplo concreto. Sea la función )(sF 
siguiente: 
( )3
2
1
32)(
+
++
=
s
sssF (32)
 
Expandiendo en fracciones parciales, se tiene: 
( ) ( ) ( )3
3
2
21
111)(
)()(
+
+
+
+
+
==
s
b
s
b
s
b
sA
sBsF (33)
 
Las constantes 321 y, bbb se determinan según el siguiente procedimiento: 
• Se multiplica ambos miembros de la ecuación (33) por ( )31+s : 
( ) ( ) ( )21233 11)(
)(1 ++++=+ sbsbb
sA
sBs (34)
y evaluando en 1−=s , se obtiene: 
( )
1
3
3 )(
)(1
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
ssA
sBsb (35)
 
• Se deriva ambos miembros de la ecuación (34) con respecto a s: 
( ) ( )12
)(
)(1 12
3 ++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ sbb
sA
sBs
ds
d
 (36)
y evaluando en 1−=s , se obtiene: 
( )
1
3
2 )(
)(1
−=⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
s
sA
sBs
ds
db (37)
 
• Se diferencia ambos miembros de la ecuación (36) con respecto a s: 
( ) 132
2
2
)(
)(1 b
sA
sBs
ds
d
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+ (38)
y evaluando en 1−=s , se obtiene: 
( )
1
3
2
2
1 )(
)(1
2
1
−=⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
s
sA
sBs
ds
db (39)
 
El procedimiento para obtener las constantes ib se puede sistematizar del siguiente modo: 
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 8
( )
( )
( )
1
3
2
2
1
1
3
2
1
3
3
)(
)(1
!2
1
)(
)(1
)(
)(1
−=
−=
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
s
s
s
sA
sBs
ds
db
sA
sBs
ds
db
sA
sBsb
 (40)
 
Para el caso particular de la función (32), se obtiene: 3,0,1 321 === bbb . Luego la función en el 
tiempo que representa (32) es: 
( ) 01)( 2 ≥+= − tettf t (41)
 
DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES – UTILIZANDO MATLAB® 
Para trabajar con Matlab® la función de transferencia )(sF se debe escribir como un polinomio en s: 
n
nn
n
nn
asas
bsbsb
sA
sBsF
+++
+++
== −
−
L
L
1
1
1
10
)(
)()( (42)
donde ia y ib pueden ser cero y se debe definir dos vectores que contengan los coeficientes del 
numerador y denominador respectivamente: 
[ ]
[ ]n
n
aa
bbb
K
K
1
10
1den
num
=
=
 (43)
 
Así, el comando: 
 [r,p,k]=residue(num,den) 
determina los residuos (r), los polos (p) y los términos directos (k) permitiendo escribir la función (42) 
según el siguiente desarrollo en fracciones parciales: 
)(
)(
)(
)2(
)2(
)1(
)1(
)(
)( sk
nps
nr
ps
r
ps
r
sA
sB
+
−
++
−
+
−
= L (44)
 
La función residue permite determinar también, mediante el siguiente comando, los polinomios del 
numerador y denominador en el caso que se conozcan los residuos, polos y término directo: 
 [num,den]=residue(r,p,k) 
 
DETERMINACIÓN DE CEROS, POLOS Y GANANCIA – UTILIZANDO MATLAB® 
En el caso de tener una función de transferencia factorizada como la expresión (26), el comando 
Matlab®: 
 [z,p,K]=tf2zp(num,den) 
permite determinar los ceros (z), los polos (p) y la ganancia K de la función de transferencia. 
 
 Sistemas de Control – Transformada de Laplace 9
Si los ceros, polos y ganancia se conocen, el siguiente comando Matlab® permite determinar los 
polinomios correspondientes al numerador y denominador de la función de transferencia y escribir ésta 
de la forma (42). 
 [num,den]=zp2tf(z,p,k) 
IMPRESIÓN DE RESULTADOS – UTILIZANDO MATLAB® 
El comando: 
 printsys(num,den,’s’) 
imprime la función )(sF de forma polinomial en s. 
 
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 
El método de la transformada de Laplace permite obtener la solución completa (solución particular, 
más la complementaria) de las ecuaciones diferenciales ordinarias invariantes en el tiempo. Con este 
método no es necesario calcular las constantes de integración a partir de las condiciones iniciales, ya 
que éstas quedan incorporadas automáticamente en la transformada de Laplace de la ecuación 
diferencial. 
Si todas las condiciones iniciales son cero, la transformada de Laplace se obtiene sustituyendo 
simplemente dt
d por s , 2
2
dt
d por 2s , etc. Al resolver ecuaciones diferenciales invariantes en el 
tiempo, por medio de la transformada de Laplace, se deben efectuar dos pasos: 
 Determinar la transformada de Laplace de cada término de la ecuación diferencial, convertir ésta 
en una ecuación algebraica en s y reordenándola obtener la expresión de la transformada de 
Laplace de la variable dependiente. 
 La solución en función del tiempo se obtiene utilizando la transformada inversa de Laplace de la 
variable dependiente.