teorema 4 y 5 justificado del libro curso de analisisi matematico II

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Corolario. Si f : U → Rn es diferenciable en el punto a y f ′(a) es uno a uno
entonces hay una bola B con centro a tal que x enB, x ̸= a ⇒ f(x) ̸= f(a).
Con respecto al Teorema 3, surge la pregunta: suponiendo que f ′(a) es uni-
direccional, existe alguna bola B con centro a, lal que |f(y)− f(x)| ≥ c|y − x|,
cualquier x, y ∈ B o al menos que la restricción f | B es inyectiva? También
está la pregunta: suponiendo f ′(a) sobreyectiva, ¿podemos concluir que f(a)
pertenece al interior de la imagen f(U) ?
Sin suposiciones adicionales, la respuesta a estas preguntas es la misma: no.
Ya sab́ıamos por el Volumen 1 (consulte el Ejemplo 12, página 266) que una
función f : R → R puede ser diferenciable, con f ′(a) neq0 [esto es lo que sig-
nifica que f ′(a) sea inyectivo - o sobreyectivo, no importa - en la dimensión 1]
sin que f sea inyectivo en ningún entorno de a . Pero en ese ejemplo (como
en cualquier otro que se busque en la dimensión 1), el punto f(a) pertenece al
interior de f(I), cualquiera que sea el intervalo abierto I con centro a.
El siguiente ejemplo muestra una aplicación f : R2 → R2, diferenciable en
el origen 0 ∈ R2, con f ′(0) = identidad: R2 → R2, pero f no es inyectiva en
ningún entorno de 0 ni f(0) pertenece al interior de f(U), independientemente
de que la U abierta contenga 0 .
Ejemplo 9. Definimos f : R2 → R2 poniendo f(x, y) = (x, y), excepto
cuando x > 0 y 0 < y < x2, en cuyo caso pondremos f(x, y) =
(
x, x2
)
. La
aplicación f es, ciertamente, discontinua en los puntos (x, 0), con x > 0, pero
es continua en los demás puntos, incluido el origen 0 = (0, 0), siendo incluso
diferenciable alĺı, con f ′(0) =identity. Para verificar este hecho, observe que
se puede escribir, para todo v = (x, y) ∈ R2, f(v) − f(0) = v + r(v), donde
r(v) =
(
0, x2 − y
)
si x > 0 y 0 < y < x2, y r(v) = 0 en otros casos. Entonces, la
segunda coordenada de r(v) siempre está entre 0 y x2. Como el primero siempre
es cero, resulta que limv→0 r(v)/|v| = lim r(v)/
√
x2 + y2 = 0. Cualquier abierto
que contenga cero contiene un segmento de recta vertical con extremos (x, 0) y(
x, x2
)
, con x > 0, que se transforma en f en un solo punto
(
x, x2
)
. Entonces
f no es inyectiva en ninguna vecindad de 0 . Además, dado que ningún punto
(x, y), con x > 0 y 0 < y < x2, pertenece a la imagen de f , vemos que f(0) = 0
no está dentro de ninguna imagen
Nota: No seŕıa dif́ıcil modificar un poco el ejemplo anterior, para obtener
una aplicación continua f : R2 → R2, diferenciable en el origen, con f ′(0) =
identidad, tal que en ninguna bola con centro 0f es inyectiva. Sin embargo,
mostraremos en el ejemplo 36, §10 del Caṕıtulo VII, con la ayuda de la teoŕıa
de grados, que si f : U → Rm es continua en el abierto U ⊂ Rm y tiene, en el
punto a y U , una derivada f ′(a) : Rm → Rm que es un isomorfismo, entonces
f(a) ∈ int f(U). Esto muestra que la discontinuidad de f en el Ejemplo 9 es
esencial para tener f(a) /∈ int(U).
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Una aplicación f : U → Rn, definida en el abierto U ⊂ Rm, se llama
fuertemente diferenciable en el punto a ∈ U cuando existe una transformación
lineal T : Rm → Rn tal que, para x, y ∈ U es f(x) − f(y) = T · (x − y) +
ρa(x, y)|x− y|, donde lim (x, y) → (a, a)ρa(x, y) = 0.
Tomando y = a, vemos que todo mapa fuertemente diferenciable en el punto a
es diferenciable en ese punto, con T = f ′(a). Entonces la condición anterior se
convierte en:
f(x)− f(y) = f ′(a) · (x− y) + ρa(x, y)|x− y|
donde ρa(x, y) cumple la siguiente condición: dado cualquier ε > 0, uno puede
encontrar δ > 0 tal que x, y ∈ B(a, delta) ⇒ |ρa(x, y)| < ε.
Cuando m = n = 1, una función f : I → R, definida en el intervalo I ⊂ R,
es fuertemente diferenciable en el punto a ∈ I cuando , dado x ̸= y en I, la
secante de la gráfica de f que pasa por los puntos (x, f(x)) y (y, f(y)) tiende a
la tangente en el punto (a, f(a)) cuando x → a y y → a. A definición usual de
derivada, el punto a se mantiene fijo: tomar la secante a la gráfica que pasa por
los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)) y hacer x rightarrowa .
De la definición se deduce que si f : U → Rn es fuertemente diferenciable
en el punto a entonces para todo ε > 0 se puede obtener δ > 0 tales que, para
x, y ∈ B(a; δ), f satisface la condición de Lipschitz
|f(x)− f(y)| ≤ (|f ′(a)|+ ε) |x− y|.
De hecho, dado ε > 0, hay δ > 0 tal que
cx, y ∈ B(a; δ) ⇒ |f(x)−f(y)| ≤ |f ′(a)|·|x−y|+ε|x−y| = = (|f ′(a)|+ ε) |x−y|
En particular, f es continua en todos los puntos de una bola con centro a.
Otra consecuencia de la definición es la
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