Calculo II

Vista previa del material en texto

Cálculo II
Tijani Pakhrou
Índice general
1. Nociones topológicas en Rn 1
1.1. Distancia y norma eucĺıdea en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Bolas abiertas y cerradas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3. Clasificación de los puntos de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4. Conjuntos abiertos y cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Conjuntos acotados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Funciones de Rn en Rm 9
2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Álgebra de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3. Ĺımite de una función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3.1. Ĺımite de una función vectorial en un punto . . . . . . . . . . 12
2.3.2. Condición necesaria y suficiente de existencia del ĺımite . . . . 13
2.3.3. Propiedades de los ĺımites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Ĺımite de funciones f : Rn −→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1. Ĺımite finito en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.2. Ĺımite infinito en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.3. Ĺımite finito en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.4. Ĺımite infinito en el infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.5. Propiedades de ordenación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5. Métodos operativos para el cálculo de ĺımites . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.1. Sustitución directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5.2. Cálculo del ĺımite de una función a través del de otra función . 16
2.5.3. Cambio a coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.5.4. Técnicas de acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.5. Uso de Ĺımites iterados, reiterados o sucesivos . . . . . . . . . 19
2.5.6. Uso de ĺımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.7. Uso de curvas continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.8. Uso de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
iii
3. Continuidad 27
3.1. Definición de función continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Continuidad en conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Derivadas direccionales y parciales 41
4.1. Derivadas direccionales de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2. Derivadas parciales de funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.3. ¿Existe alguna relación entre derivadas parciales, direccionales y con-
tinuidad en un punto? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1. Función continua en un punto y existiendo las derivadas parciales 44
4.3.2. Función continua en un punto sin derivadas parciales en dicho
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.3. Función discontinua en un punto y con derivadas parciales en
el punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3.4. Función discontinua en un punto sin derivadas en el mismo
punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4. Derivadas parciales y direccionales de funciones vectoriales . . . . . . 48
4.4.1. Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2. Vector gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6. Matriz hessiana y determinante hessiano . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Funciones diferenciables 55
5.1. Función diferenciable en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2. Diferencial en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.3. Interpretación geométrica de la diferencial . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.4. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.5. Reglas de diferenciación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.6. Diferenciales sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6.1. Diferencial segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.6.2. Diferencial segunda de una función escalar . . . . . . . . . . . 70
5.6.3. Diferencial k-ésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6. Integral de Riemann en Rn 73
6.1. Intervalo n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2. Suma superior e inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.3. Integral de Riemann sobre intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.6. Integral sobre un recinto acotado de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.6.1. Teorema de Fubini en recintos estándar de R2 . . . . . . . . . 81
6.6.2. Teorema de Fubini en recintos estándar de R3 . . . . . . . . . 83
6.7. Teorema del cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.7.2. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.7.3. Coordenadas ciĺındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Caṕıtulo 1
Nociones topológicas en Rn
Consideremos el espacio vectorial (Rn,+, ·) sobre el cuerpo de los números reales
R, que es de dimensión n, (n ≥ 1) finita.
1.1. Distancia y norma eucĺıdea en Rn
Definición 1.1.1. Sean ~x = (x1, x2, . . . , xn) e ~y = (y1, y2, . . . , yn) puntos de Rn. La
aplicación definida de la forma
d : Rn × Rn −→ R+ ∪ {0}
(~x, ~y ) −→
(
n∑
i=1
(xi − yi)2
) 1
2
es una distancia, denominada distancia eucĺıdea, al verificar:
1) d(~x, ~y ) = 0 ⇐⇒ ~x = ~y
2) d(~x, ~y ) = d(~y, ~x ) para todo ~x, ~y ∈ Rn. (Propiedad simétrica).
3) Dados ~x, ~y, ~z ∈ Rn,
d(~x, ~z ) ≤ d(~x, ~y ) + d(~y, ~z ).
(Desigualdad triangular).
Definición 1.1.2. Sea ~x = (x1, x2, . . . , xn) un punto en Rn. La aplicación definida
de la forma
‖ · ‖ : Rn −→ R+
~x −→
(
n∑
i=1
x2i
) 1
2
1
2
es una norma, denominada norma eucĺıdea, al verificar:
1) ‖~x‖ = 0 ⇐⇒ ~x = 0
2) ‖λ~x‖ = |λ| · ‖~x‖ para todo ~x ∈ Rn y para todo λ ∈ R.
3) Dados ~x, ~y ∈ Rn, ‖~x+ ~y ‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y ‖ (Desigualdad triangular).
Observación 1.1.3. Dados ~x, ~y ∈ Rn, se verifica
d(~x, ~y ) = ‖~x− ~y‖
Terminoloǵıa 1.
• El par (Rn, d) se llama espacio métrico eucĺıdeo.
• El par (Rn, ‖ · ‖) se llama espacio normado eucĺıdeo.
Definición 1.1.4. En el espacio vectorial Rn se define el producto escalar eu-
cĺıdeo de dos vectores ~x = (x1, . . . , xn) e ~y = (y1, . . . , yn) en Rn como
< ~x, ~y >=
n∑
i=1
xiyi
Geométricamente, este número corresponde al coseno del ángulo α que forman
los vectores ~x e ~y multiplicado por el producto de las longitudes de dichos vectores,
es decir:
< ~x, ~y >= cos(α) · ‖~x‖‖~y‖.
Observación 1.1.5. Para cada ~x ∈ Rn, se tiene que
‖~x‖ =
√
< ~x, ~x > =
( n∑
i=1
x2i
) 1
2
= d(~x,~0)
Proposición 1.1.6. Para cada ~x, ~y, ~z ∈ Rn, λ ∈ R tenemos que
1) < ~x, ~x >≥ 0, y además < ~x, ~x >= 0 si y sólo si ~x = 0
2) < ~x, ~y >=< ~y, ~x >
3) < λ~x, ~y >= λ < ~x, ~y >
4) < ~x+ ~y, ~z >=< ~x, ~z > + < ~y, ~z >
3
1.2. Bolas abiertas y cerradas en Rn
Definición 1.2.1 (Bola abierta). Sea ~a ∈ Rn y r > 0. La bola abierta de
centro ~a y radio r, que se denota B(~a, r), es el conjunto
B(~a, r) =
{
~x ∈ Rn : ‖~x− ~a‖ < r
}
.
Ejemplo 1.2.2. Si n = 2 y ~a = (0, 0), B(~a, 1) es el interior del ćırculo centrado en
el origen de coordenadas y radio 1.
Definición 1.2.3 (Entorno de un punto). Sea ~a ∈ Rn. Un subconjunto A ⊂ Rn
es un entorno de ~a si existe una bola B abierta de centro ~a tal queB ⊆ A.
Nota 1.2.4. En la práctica se suele trabajar con bolas abiertas ya que todo entorno
contiene alguna bola abierta.
Definición 1.2.5 (Bola cerrada). Sea ~a ∈ Rn y r > 0. La bola cerrada de
centro ~a y radio r, que se denota B(~a, r), es el conjunto
B(~a, r) =
{
~x ∈ Rn : ‖~x− ~a‖ ≤ r
}
.
Ejemplo 1.2.6. Si n = 2 y ~a = (0, 0), B(~a, 1) es el interior del ćırculo de centro
(0, 0) y radio 1 junto con la circunferencia contorno.
1.3. Clasificación de los puntos de un conjunto
Definición 1.3.1 (Punto interior. Interior de un conjunto). Sea A ⊂ Rn,
~a ∈ Rn, se dice que el punto ~a es interior al conjunto A si existe r > 0 tal que
B(~a, r) ⊂ A.
(Un punto interior de A está “completamente rodeado” de puntos de A).
El conjunto de todos los puntos interiores a A se llama interior de A y se
representa por Int(A) o por
◦
A
Definición 1.3.2 (Punto exterior. Exterior de conjunto). Un punto ~a ∈ Rn
es exterior al conjunto A ⊂ Rn si existe r > 0 tal que
B(~a, r) ⊂ Ac, o lo que es lo mismo, B(~a, r) ∩ A = ∅.(
Un punto exterior de A está “completamente rodeado” de puntos de Ac, donde
Ac = {~x ∈ Rn : ~x /∈ A} = Rn − A (conjunto complementario de A)
)
.
El conjunto de todos los puntos exteriores a A se llama exterior de A y se
representa por Ext(A).
4
Definición 1.3.3 (Punto frontera. Frontera de un conjunto). El punto ~a ∈ Rn
es un punto frontera del conjunto A ⊂ Rn si para todo r > 0,
B(~a, r) ∩ A 6= ∅ y B(~a, r) ∩ Ac 6= ∅.
Es decir, un punto es frontera de A si no es ni interior ni exterior a A. Un punto
punto frontera está rodeado de puntos de A y de Ac.
Se llama frontera de un conjunto al conjunto de todos sus puntos frontera,
denotándose Fr(A).
Proposición 1.3.4. Sea A ⊂ Rn un conjunto, se verifica que
• Rn = Int(A) ∪ Ext(A) ∪ Fr(A),
• Los conjuntos Int(A),Ext(A),Fr(A), son disjuntos dos a dos, es decir sin pun-
tos comunes.
• Ext(A) = Int(Rn − A).
Ejemplo 1.3.5. El subconjunto de R2, A = [1, 2] × (1, 2) es un cuadrado, dos de
cuyos lados pertenecen al conjunto A.
Su interior es
Int(A) = (1, 2)× (1, 2),
su exterior es
Ext(A) = Int
(
R2 − [1, 2]× (1, 2)
)
= R2 − [1, 2]× [1, 2]
y su frontera Fr(A) está formada por los cuatro lados del cuadrado.
Definición 1.3.6 (Punto adherente. Adherencia de un conjunto). Un punto
~a ∈ Rn es adherente (o infinitamente próximo) a un conjunto A ⊂ Rn si para todo
r > 0 se tiene
B(~a, r) ∩ A 6= ∅.
El conjunto de todos los puntos adherentes a un conjunto A se llama adheren-
cia, (cierre o clausura), de A y se designa por A o Cl(A)
Observación 1.3.7. Sea A ⊂ Rn, se tiene que
◦
A⊂ A ⊂ A.
Definición 1.3.8 (Punto de acumulación. Conjunto derivado). Un punto
~a ∈ Rn es de acumulación de A ⊂ Rn si para todo r > 0 se tiene[
B(~a, r)− {~a}
]
∩ A 6= ∅.
El conjunto de todos los puntos de acumulación de A se llama conjunto deriva-
do de A y se designa por A′ o por Ac(A).
5
Nota 1.3.9.
• Un punto ~a ∈ Rn es de acumulación de A ⊂ Rn si hay infinitos puntos de A,
distintos del propio ~a, tan próximos como se quiera a dicho punto.
• Un punto de acumulación de A no tiene por qué pertenecer al conjunto A.
• Un conjunto finito, A, no puede tener puntos de acumulación, mientras que
los conjuntos infinitos pueden tenerlos o no.
Proposición 1.3.10. Para cada conjunto B ⊂ Rn se verifica que
B = B ∪ Ac(B) y B =
◦
B ∪ Fr(B)
Definición 1.3.11 (Punto aislado). Un punto ~a ∈ Rn es punto aislado de A ⊂
Rn si existe r > 0 tal que
B(~a, r) ∩ A = {~a}.
Ejemplo 1.3.12. Sea A = (1, 5) ∪ {6, 7, 8}, tenemos
• A = [1, 5] ∪ {6, 7, 8}
• Ac(A) = [1, 5]
• Los puntos 6, 7, 8 son aislados.
Ejemplo 1.3.13. Sea A = (1, 2)× (1, 2) ∪ {(3, 3)}, tenemos
• A = [1, 2]× [1, 2] ∪ {(3, 3)}
• Ac(A) = [1, 2]× [1, 2]
• El punto (3, 3) se aislado de A.
1.4. Conjuntos abiertos y cerrados
Definición 1.4.1 (conjunto abierto). Se dice que un conjunto A ⊂ Rn es abier-
ta, si para cada ~a ∈ A existe δ > 0 tal que
B(~a, δ) ⊂ A.
Ejemplo 1.4.2. Las bolas abiertas son conjuntos abiertos pero no todo conjunto
abierta es una bola.
El conjunto (1, 2)× (1, 2) es abierto en R2 pero no es una bola.
Proposición 1.4.3. Los conjuntos abiertos verifican las siguientes
propiedades:
6
1) ∅ y Rn son conjuntos abiertos.
2) La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3) La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos es un con-
junto abierto.
Observación 1.4.4. La intersección de una colección infinita de abiertos no tiene
por qué ser un conjunto abierto, como puede verse en el siguiente ejemplo:⋂
n∈N
(
1− 1
n
, 3 +
1
n
)
= [1, 3]
Definición 1.4.5 (Conjuntos cerrado). Un conjunto A ⊂ Rn es cerrado si su
complementario Ac = Rn − A es abierto.
Ejemplo 1.4.6. Las bolas cerradas son conjuntos cerrados pero hay conjuntos cer-
rados que no son bolas cerradas.
El conjunto [3, 4]× [1, 2] es cerrado en R2 pero no es una bola.
Proposición 1.4.7. Los conjuntos cerrados verifican las siguientes
propiedades:
1) ∅ y Rn son conjuntos cerrados.
2) La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es un conjunto
cerrado.
3) La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto
cerrado.
Observación 1.4.8. La unión infinita de conjuntos cerrados no tiene por qué ser
un conjunto cerrado, como puede verse en el siguiente ejemplo:⋃
n∈N
[
1 +
1
n
, 5− 1
n
]
= (1, 5)
Proposición 1.4.9. Para cada A ⊂ Rn.
1) Los conjuntos Int(A) y Ext(A) son abiertos y el conjunto Fr(A) es cerrado.
2) El conjunto A es el menor cerrado que contiene a A.
3) A es cerrado si y sólo si A = A
4) A es abierto si y sólo si
◦
A= A
5) A es cerrado si y sólo si Ac(A) ⊂ A
7
1.5. Conjuntos acotados y compactos
Definición 1.5.1 (Conjunto acotado). Un conjunto A ⊂ Rn es acotado si y
sólo si existe M > 0 tal que ‖~x‖ ≤M para todo ~x ∈ A.
Definición 1.5.2 (Conjunto compacto). Un subconjunto A de Rn es compacto
si es cerrado y acotado.
Teorema 1.5.3 (Bolzano-Weierstrass). Todo conjunto acotado A ⊂ Rn con in-
finitos puntos posee al menos un punto de acumulación.
Ejemplo 1.5.4. Sea A =
{(
1
n
, 1
n
)
: n ∈ N
}
⊂ R2 (acotado con infinitos puntos). El
punto (0, 0) es punto de acumulación de A.
Teorema 1.5.5. Cualquier subconjunto cerrado de un conjunto compacto es com-
pacto.
8
Caṕıtulo 2
Funciones de Rn en Rm
2.1. Definiciones
Definición 2.1.1. Una correspondencia de un conjunto A en un conjunto B es
un subconjunto arbitrario del conjunto producto cartesiano
A×B = {(x, y) : x ∈ A e y ∈ B}.
Definición 2.1.2. Llamaremos función de un subconjunto X ⊂ Rn en Rm (n,m ≥
1) a cualquier correspondencia f ⊂ X × Rm, tal que
∀ ~x1, ~x2 ∈ X, ~x1 = ~x2 =⇒ f( ~x1) = f( ~x2).
(A cada punto de X una función le asocia como imagen un único punto perteneciente
a Rm).
Ejemplo 2.1.3.
f : R −→ R
x −→ sin(x)
Ejemplo 2.1.4.
g : R2 −→ R
(x, y) −→ x2
x2+y2
Ejemplo 2.1.5.
h : R2 −→ R3
(x, y) −→
(
x+ y, x2 + 1, cos(xy)
)
9
10
Ejemplo 2.1.6.
k : R3 −→ R2
(x, y, z) −→
(
1+x
y
,
√
z
)
Definición 2.1.7. Sea f : X ⊂ Rn −→ Rm una función.
1) El dominio de definición de f está formado por todos aquellos puntos
~x ∈ X para los cuales la expresión f(~x) tiene sentido y lo denotaremos por:
D(f) =
{
~x ∈ X tal que, existe f(~x)
}
.
2) El recorrido, rango o imagen de f está formado por todos todos aque-
llos puntos de Rm que poseen algún antecedente mediante la función f y lo
denotaremos por:
Im(f) = f(X) =
{
f(~x) ∈ Rm : ~x ∈ X
}
.
Ejemplo 2.1.8. Sea
f : R3 −→ R2
(x, y, z) −→
(
1+x
y
,
√
z
)
tenemos que
D(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : y 6= 0, z ≥ 0} = R×
(
R− {0}
)
× [0,+∞)
Im(f) = {(x′, y′) ∈ R2 : x′ ∈ R, y′ ≥ 0} = R× [0,+∞)
Definición 2.1.9. Sea f : X ⊂ Rn −→ Rm una función con n,m ≥ 1.
1) Si m = 1, la función f se llama función real
1.1) Si m = n = 1, la función f se llama función real de una variable
real
f : X ⊂ R −→ R
x −→ y = f(x)
1.2) Si m = 1 y n > 1, la función f se llama función real de varias
variables reales
f : X ⊂ Rn −→ R
~x = (x1, x2, . .. , xn) −→ y = f(~x) = f(x1, x2, . . . , xn)
11
2) Si m > 1, la función f se llama función vectorial
f : X ⊂ Rn −→ Rm
~x = (x1, x2, . . . , xn) −→ ~y = f(~x) =
(
f1(~x), . . . , fm(~x)
)
Las funciones reales f1(~x), . . . , fm(~x) representan las coordenadas respecto de
la base canónica de Rm de la imagen del punto ~x y se denominan compo-
nentes de la función vectorial f .
Ejemplo 2.1.10. Algunos ejemplos de funciones reales de una variable real son los
siguientes:
1) f(x) = 3x+ 1
2) f(x) = 2x2 + 3
3) f(x) = sin(x)
4) f(x) =
1
x
5) f(x) =
√
x+ 1
Ejemplo 2.1.11. Algunos ejemplos de funciones reales de varias variables reales
son los siguientes:
1) f(x, y) = x+ y
2) f(x, y) =
x3
x2 + y2
3) f(x, y, z) =
yz
x2 + y2 + z2
4) f(x, y, z) =
{
x2 + y2 si x ≥ 0
x2 + z2 si x < 0
Ejemplo 2.1.12. Algunos ejemplos de funciones vectoriales son los siguientes:
1) f(x, y) =
(
x+ ey, cos(x) + y
)
2) f(x, y, z) =
(
sin(xy + z), yz + x2
)
3) f(x, y) =
(
ex+y, sin(x− y), x2
)
4) f(x, y, z) =
(
cos(yz), xyz,
1
z
)
2.2. Álgebra de funciones
Notación 1. Al conjunto de todas las funciones de un subconjunto
X ⊂ Rn en Rm lo denotaremos F(X,Rm).
12
Definición 2.2.1. Sean f, g ∈ F(X,Rm), entonces
f = g ⇐⇒ ∀ ~x ∈ X : f(~x) = g(~x).
Definición 2.2.2. En el conjunto F(X,Rm) podemos definir una ley de com-
posición interna (“+”suma de funciones) y una ley de composición externa
(“·”producto por escalares) de la siguiente manera:
∀ f, g ∈ F(X,Rm), ∀ α ∈ R : (f + g)(~x) = f(~x) + g(~x), ∀ ~x ∈ X
(αf)(~x) = α · f(~x), ∀ ~x ∈ X.
El conjunto F(X,Rm) dotado de estas dos leyes de composición tiene una estruc-
tura de espacio vectorial real.
Definición 2.2.3. Sean f : X ⊂ Rn −→ Rm, g : Y ⊂ Rm −→ Rp dos funciones. Se
define la composición de estas funciones, g ◦ f , de la siguiente forma:
∀ ~x ∈ X con f(~x) ∈ Y, (g ◦ f)(~x) = g
[
f(~x)
]
.
2.3. Ĺımite de una función vectorial
2.3.1. Ĺımite de una función vectorial en un punto
Definición 2.3.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm y ~a un punto de acumulación de A,
decimos que el ĺımite de f(~x), al tender ~x hacia ~a es ~b, y escribimos
ĺım
~x→~a
f(~x) = ~b
si
ĺım
‖~x−~a‖→0
‖f(~x)−~b‖ = 0
es decir, si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < ‖~x− ~a‖ < δ, entonces
∥∥f(~x)−~b∥∥ < ε
Ejemplo 2.3.2. Dada la función
f : R2 −→ R3
(x, y) −→ (x+ y, x2 + 1, y3 − 3)
se tiene que
ĺım
(x,y)→(1,1)
f(x, y) = (2, 2,−2)
13
Observación 2.3.3. En la definición de ĺımite no se necesita que f esté definida
en el punto ~a, sin embargo, se exige que ~a sea punto de acumulación de A, para
garantizar que existan puntos ~x ∈ A tan próximos al punto ~a como sea necesario.
Proposición 2.3.4 (Unicidad del ĺımite). Si existe ĺım
~x→~a
f(~x), éste es único.
Proposición 2.3.5. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm una función , ~a un punto de acumu-
lación de A. Entonces existe
ĺım
~x→~a
f(~x) = ~b
si y sólo si, para cada sucesión (~xk)k≥1 ⊂ A convergente al punto ~a en A (es decir,
∀ε > 0, ∃k0 > 0 : si k ≥ k0 entonces ‖~xk −~a‖ ≤ ε), la sucesión
(
f(~xk)
)
k≥1 converge
a ~b en Rm.
Observación 2.3.6. Esta Proposición resulta especialmente útil a la hora de probar
que un ĺımite no existe: bastará encontrar dos sucesiones convergentes al mismo
punto de modo que la función, a lo largo de estas sucesiones, converge a puntos
diferentes (o no converge). Por ejemplo, el ĺımite
ĺım
x→0
sin
(1
x
)
no existe, ya que si tomamos
f(x) = sin
(1
x
)
xk =
1
kπ
−−−−−−−→
k−→+∞
0
yk =
1
π
2
+ 2kπ
−−−−−−−→
k−→+∞
0
pero f(xk) converge a 0 mientras que f(yk) converge a 1.
2.3.2. Condición necesaria y suficiente de existencia del ĺımite
Proposición 2.3.7. Sea f : A ⊂ Rn −→ Rm, ~a un punto de acumulación de A, y
sea f(~x) =
(
f1(~x), f2(~x), . . . , fm(~x)
)
∈ Rm para cada ~x ∈ A.
Entonces, existe ĺım
~x→~a
f(~x) si y sólo si existen los ĺımites ĺım
~x→~a
fi(~x) para cada fun-
ción coordenada fi, donde i = 1, 2, . . . ,m.
Además en este caso,
ĺım
~x→~a
f(~x) =
(
ĺım
~x→~a
f1(~x), ĺım
~x→~a
f2(~x), . . . , ĺım
~x→~a
fm(~x)
)
.
14
2.3.3. Propiedades de los ĺımites
Proposición 2.3.8. Sean f, g : A ⊂ Rn −→ Rm, ~a punto de acumulación de A, y
sean
ĺım
~x→~a
f(~x) = ~b y ĺım
~x→~a
g(~x) = ~b′
entonces se verifican las siguientes propiedades:
1) ĺım
~x→~a
[
f(~x) + g(~x)
]
= ~b+~b′
2) ĺım
~x→~a
[
λf(~x)
]
= λ~b
3) Si m = 1, entonces ĺım
~x→~a
[
f(~x) · g(~x)
]
= b · b′
4) Si m = 1 y b′ 6= 0, entonces ĺım
~x→~a
f(~x)
g(~x)
= b
b′
Proposición 2.3.9. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm, g : Rm −→ Rp dos funciones y ~a
punto de acumulación de A.
Supongamos que existe ĺım
~x→~a
f(~x) = ~b y que existe ĺım
~y→~b
g(~y) = ~c. Entonces existe
ĺım
~x→~a
g
(
f(~x)
)
= ~c.
2.4. Ĺımite de funciones f : Rn −→ R
2.4.1. Ĺımite finito en un punto
Definición 2.4.1. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a punto de acumulación de A. Decimos
que,
ĺım
~x→~a
f(~x) = l
si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < ‖~x− ~a‖ < δ, entonces
∣∣f(~x)− l∣∣ < ε.
Ejemplo 2.4.2.
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
x2 + y4 + z3 = 0.
15
2.4.2. Ĺımite infinito en un punto
Definición 2.4.3. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a punto de acumulación de A. Decimos
que,
ĺım
~x→~a
f(~x) = +∞
si
∀ M > 0, ∃ δ > 0 : si ~x ∈ A y 0 < ‖~x− ~a‖ < δ, entonces f(~x) > M.
Análogo para ĺım
~x→~a
f(~x) = −∞.
Ejemplo 2.4.4.
ĺım
(x,y)→(0,0)
1
x2 + y2
= +∞.
2.4.3. Ĺımite finito en el infinito
Definición 2.4.5. Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Decimos que,
ĺım
‖~x‖→∞
f(~x) = l
si
∀ ε > 0, ∃ N > 0 : si ~x ∈ A y ‖~x‖ > N, entonces
∣∣f(~x)− l∣∣ < ε.
Ejemplo 2.4.6.
ĺım
‖(x,y)‖→∞
1
x2 + |y|
= 0.
2.4.4. Ĺımite infinito en el infinito
Definición 2.4.7. Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Decimos que,
ĺım
‖~x‖→∞
f(~x) = +∞
si
∀ M > 0, ∃ N > 0 : si ~x ∈ A y ‖~x‖ > N, entonces f(~x) > M.
Análogo para ĺım
‖~x‖→∞
f(~x) = −∞.
Ejemplo 2.4.8.
ĺım
‖(x,y,z)‖→∞
x2 + y2 + z2 = +∞.
16
2.4.5. Propiedades de ordenación
Proposición 2.4.9. Sean f1, f2, f3 : A ⊂ Rn −→ R y sea B ⊂ A un entorno de
~a ∈ R se tiene que:
1) Si f1(~x) ≤ f2(~x) en B − {~a}, entonces ĺım
~x→~a
f1(~x) ≤ ĺım
~x→~a
f2(~x)
(suponiendo que existan).
2) Si f1(~x) ≥ 0 en B − {~a} y ĺım
~x→~a
f1(~x) = l, entonces l ≥ 0.
3) Si f1(~x) ≤ f2(~x) ≤ f3(~x) en B − {~a} y ĺım
~x→~a
f1(~x) = ĺım
~x→~a
f3(~x) = l, entonces
ĺım
~x→~a
f2(~x) = l (regla de Sandwich).
Observación 2.4.10. ~a y l pueden ser finitos o infinitos.
2.5. Métodos operativos para el cálculo de ĺımites
2.5.1. Sustitución directa
Ejemplo 2.5.1. Calcular
ĺım
(x,y,z)→(1,2,0)
1 + exy+2z
x2 + y2 + z2
basta sustituir x por 1, y por 2 y z por 0, y se tiene el valor del ĺımite:
ĺım
(x,y,z)→(1,2,0)
1 + exy+2z
x2 + y2 + z2
=
1 + e1·2+2·0
12 + 22 + 02
=
1 + e2
5
.
2.5.2. Cálculo del ĺımite de una función a través del de otra
función
Ejemplo 2.5.2. Calcular
ĺım
(x,y)→(1,1)
x3y − xy3
x4 − y4
.
Se trata de un cociente de funciones, ambas con ĺımite cero en el punto (1, 1),
con lo cual el ĺımite se presenta en la forma indeterminada 0
0
. Se deshace la indeter-
minación fácilmente considerando que en puntos próximos a (1, 1), pero distintos a
él, se tiene que
x3y − xy3
x4 − y4
=
xy(x2 − y2)
(x2 − y2)(x2 + y2)
=
xy
x2 + y2
,
17
es decir, las funciones
f(x, y) =
x3y − xy3
x4 − y4
y g(x, y) =
xy
x2 + y2
toman los mismos valores en un entorno reducido del punto (1, 1).
Como
ĺım
(x,y)→(1,1)
g(x, y) = ĺım
(x,y)→(1,1)
xy
x2 + y2
=
1
2
,
se tiene que
ĺım
(x,y)→(1,1)
x3y − xy3
x4 − y4
= ĺım
(x,y)→(1,1)
xy
x2 + y2
=
1
2
.
2.5.3. Cambio a coordenadas polares
Suele ser útil cuando aparecen en el ĺımite expresiones de la forma x2 + y2, ya
que en este caso se tiene:{
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
=⇒ x2 + y2 = r2 cos2(θ) + r2 sin2(θ)
= r2
(
cos2(θ) + sin2(θ)
)
= r2,
y la tendencia de (x, y) a (0, 0) está determinada por la tendencia de r a cero.
Proposición 2.5.3. Sea f :⊂ R2 −→ R, se tiene que:
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = l,
si y sólo si
ĺım
r→0
f
(
r cos(θ), r sin(θ)
)
=l uniformemente en θ ∈ [0, 2π],
es decir, si y sólo si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si r ∈ (0, δ), entonces∣∣f(r cos(θ), r sin(θ))− l∣∣ ≤ ε ∀θ ∈ [0, 2π].
Corolario 2.5.4. Si ∣∣f(r cos(θ), r sin(θ))∣∣ ≤ g(r)h(θ),
donde ĺım
r→0
g(r) = 0 y h es una función acotada en [0, 2π], entonces
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
18
Ejemplo 2.5.5.
ĺım
(x,y)→(0,0)
x2y + xy2
x2 + y2
= ĺım
r→0
r2 cos2(θ) · r sin(θ) + r cos(θ) · r2 sin2(θ)
r2
= ĺım
r→0
r3
(
cos2(θ) · sin(θ) + cos(θ) · sin2(θ)
)
r2
= ĺım
r→0
r
(
cos2(θ) · sin(θ) + cos(θ) · sin2(θ)
)
= 0
Ejemplo 2.5.6.
ĺım
(x,y)→(0,0)
1− cos(x2 + y2)
x2 + y2
= ĺım
r→0
1− cos(r2)
r2
=
0
0
= ĺım
r→0
2r sin(r2)
2r
(regla de L’Hôpital)
= ĺım
r→0
sin(r2) = 0
Ejemplo 2.5.7. Sea
f(x, y) =
|x|+ |y|√
x2 + y2
Tenemos que
f
(
r cos(θ), r sin(θ)
)
=
∣∣ cos(θ)∣∣+ ∣∣ sin(θ)∣∣,
que depende claramente de θ, por tanto ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) no existe.
2.5.4. Técnicas de acotación
Ejemplo 2.5.8. Calcular ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y), donde
f(x, y) =

x+ y si x > y
x2 − y2 si x ≤ y
Entonces es claro que, para (x, y) con |x| < 1, |y| < 1, se tiene
|f(x, y)| ≤ |x|+ |y|,
y como ĺım
(x,y)→(0,0)
(
|x|+ |y|
)
= 0, se deduce que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Aqúı estamos haciendo uso de regla de Sandwich.
19
2.5.5. Uso de Ĺımites iterados, reiterados o sucesivos
Definición 2.5.9. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulación de
A. Los ĺımites iterados, reiterados o sucesivos de f en ~a se definen, si existen,
de la forma:
ĺım
x→x0
(
ĺım
y→y0
f(x, y)
)
y ĺım
y→y0
(
ĺım
x→x0
f(x, y)
)
.
Ejemplo 2.5.10. Los ĺımites iterados de f(x, y) = x
2+y3
x2+y2
en (0, 0) son
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
x2 + y3
x2 + y2
)
= ĺım
x→0
1 = 1 y ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
x2 + y3
x2 + y2
)
= ĺım
y→0
y = 0.
Proposición 2.5.11. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulación
de A.
1) Si existen los ĺımites iterados y son distintos, es decir,
ĺım
x→x0
(
ĺım
y→y0
f(x, y)
)
6= ĺım
y→y0
(
ĺım
x→x0
f(x, y)
)
entonces no puede existir
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
2) Si existe ĺım
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) y existen los dos ĺımites iterados
ĺım
x→x0
(
ĺım
y→y0
f(x, y)
)
y ĺım
y→y0
(
ĺım
x→x0
f(x, y)
)
,
entonces
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = ĺım
x→x0
(
ĺım
y→y0
f(x, y)
)
= ĺım
y→y0
(
ĺım
x→x0
f(x, y)
)
.
Ejemplo 2.5.12. Para calcular
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy − 2x+ y
x+ y
calculamos los ĺımites iterados
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
xy − 2x+ y
x+ y
)
= ĺım
x→0
−2x
x
= −2
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
xy − 2x+ y
x+ y
)
= ĺım
y→0
y
y
= 1.
Dado que los ĺımites iterados existen y no coinciden, el ĺımite no existe.
20
Ejemplo 2.5.13. Dada la función
f(x, y) =

x2−2y2
2x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Tenemos
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
f(x, y)
)
= ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
x2 − 2y2
2x2 + y2
)
= ĺım
x→0
x2
2x2
=
1
2
y
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
f(x, y)
)
= ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
x2 − 2y2
2x2 + y2
)
= ĺım
x→0
−2y2
y2
= −2.
Por tanto, como los ĺımites iterados son distintos, entonces no existe
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
Observación 2.5.14 (¡Atención!). El hecho de que los ĺımites iterados de una
función existan en un punto y sean todos iguales, no implica que la función tenga
ĺımite en ese punto.
Ejemplo 2.5.15. Dada la función
f(x, y) =

xy
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
Tenemos
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
f(x, y)
)
= ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
xy
x2 + y2
)
= ĺım
x→0
0
x2
= 0
y
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
f(x, y)
)
= ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
xy
x2 + y2
)
= ĺım
x→0
0
y2
= 0.
Sin embargo no existe ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) ya que el ĺımite en (0, 0) a lo largo del eje
y = 0 es
ĺım
(x,y)→(0,0)
y=0
f(x, y) = ĺım
x→0
x · 0
x2
= 0
mientras que el ĺımite en (0, 0) a lo largo de la recta y = x es
ĺım
(x,y)→(0,0)
y=x
f(x, y) = ĺım
x→0
x · x
x2 + y2
=
1
2
y los valores no coinciden.
21
Observación 2.5.16 (¡Atención!). Puede ocurrir que una función en punto tenga
ĺımite y alguno de los ĺımites iterados, o incluso ninguno de ellos exista.
Ejemplo 2.5.17. Dada la función
f(x, y) =

x2 sin
(
1
y
)
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
se tiene que ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0. Mientras que analizando los ĺımites iterados se
tiene que:
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
f(x, y)
)
= ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
x2 sin
(1
y
))
no existe
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
f(x, y)
)
= ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
x2 sin
(1
y
))
= 0.
Ejemplo 2.5.18. La función
f(x, y) =

x2 sin
(
1
y
)
+ y2 sin
(
1
x
)
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
carece de ĺımites iterados ya que
ĺım
x→0
(
ĺım
y→0
[
x2 sin
(1
y
)
+ y2 sin
(1
x
)])
y
ĺım
y→0
(
ĺım
x→0
[
x2 sin
(1
y
)
+ y2 sin
(1
x
)])
no existen, mientras que ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
Resumen 2.5.19 (¡Atención!). Si los ĺımites iterados existen y no coinciden,
entonces el ĺımite no existe.
En cambio, si los ĺımites iterados existen y coinciden no podemos asegurar la
existencia de ĺımite, puesto que para ello debeŕıamos recurrir a la definición. Sólo
podemos afirmar que, si existe el ĺımite, tomará el mismo valor que los iterados.
22
2.5.6. Uso de ĺımites direccionales
Lema 2.5.20. La ecuación general de las rectas que pasan por el punto ~a = (x0, y0)
es
y − y0 = λ(x− x0),
donde λ ∈ R.
Definición 2.5.21. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulación de
A y sea λ ∈ R. Los ĺımites direccionales se definen de la forma:
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
y−y0=λ(x−x0)
f(x, y) = ĺım
x→x0
f
(
x, y0 + λ(x− x0)
)
.
Proposición 2.5.22. Sea f : A ⊂ R2 −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulación
de A.
1) Si existen λ1, λ2 ∈ R, con λ1 6= λ2, tales que los ĺımites direccionales existen y
son distintos, es decir,
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
y−y0=λ1(x−x0)
f(x, y) 6= ĺım
(x,y)→(x0,y0)
y−y0=λ2(x−x0)
f(x, y)
entonces no puede existir
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
2) Si
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = l,
entonces para todo λ ∈ R
ĺım
(x,y)→(x0,y0)
y−y0=λ(x−x0)
f(x, y) = l
Ejemplo 2.5.23.
ĺım
(x,y)→(0,0)
5x2 − 7y2
2x2 + 5y2
= ĺım
(x,y)→(0,0)
y=λx
5x2 − 7(λx)2
2x2 + 5(λx)2
= ĺım
(x,y)→(0,0)
y=λx
x2(5− 7λ2)
x2(2 + 5λ2)
= ĺım
(x,y)→(0,0)
y=λx
5− 7λ2
2 + 5λ2
=
5− 7λ2
2 + 5λ2
Como el ĺımite no es único, ya que depende del camino y = λx cuando acercamos
al punto (0, 0). Por tanto el ĺımite no existe.
23
Observación 2.5.24 (¡Atención!). Puede ocurrir que todos los ĺımites a lo largo
de rectas existan y sean iguales, y que sin embargo el ĺımite no exista.
En muchos de estos casos el aproximarnos por curvas continuas más generales
puede dar buen resultado para ver que no existe el ĺımite.
Ejemplo 2.5.25. Estudiamos la existencia de
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y6
.
Los ĺımites direccionales son todos 0, ya que si y = λx, con λ ∈ R, entonces
ĺım
(x,y)→(0,0)
y=λx
xy3
x2 + y6
= ĺım
x→0
xλ3x3
x2 + λ6x6
= ĺım
x→0
λ3x2
1 + λ6x4
= 0.
Pero calculando el ĺımite según la curva continua (x = y3, y) ⊂ R2 se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
x=y3
xy3
x2 + y6
= ĺım
x→0
y6
y6 + y6
=
1
2
.
Al haber encontrado dos formas de aproximar al punto (0, 0) con ĺımites distintos
no existe el ĺımite.
Resumen 2.5.26 (¡Atención!). Si alguno de los ĺımites anteriores es diferente de
los otros, podemos afirmar que la función no tiene ĺımite en el punto.
En cambio, si todos los ĺımites coinciden no podemos asegurar la existencia de
ĺımite, puesto que para ello debeŕıamos recurrir a la definición. Sólo podemos afirmar
que, si existe el ĺımite, tomará el mismo valor que los anteriores.
2.5.7. Uso de curvas continuas
Proposición 2.5.27. Sea f : A ⊂ Rn −→ R y ~a = (x0, y0) punto de acumulación
de A, se tiene que:
ĺım
~x→~a
f(x, y) = l,
si y sólo si, para cada curva (aplicación) continua γ : [0, 1] −→ A tal que γ(0) = ~a
se tiene que
ĺım
t→0+
f
(
γ(t)
)
= l.
Ejemplo 2.5.28. Sea
f(x, y) =
xy2
x2 + y4
24
Es fácil ver que los ĺımites iterados existen y son ambos cero, y también existen los
ĺımites a lo largo derectas y son todos iguales:
ĺım
x→0
f(x, λx) = 0.
Sin embargo el ĺımite de f en (0, 0) no puede existir, ya que si consideramos las
curvas continuas
γ : [0, 1] −→ R2
t −→ γ(t) = (t2, t)
β : [0, 1] −→ R2
t −→ β(t) = (0, t)
entonces tenemos que
γ(0) = β(0) = (0, 0)
sin embargo,
ĺım
t→0+
f
(
γ(t)
)
=
1
2
y
ĺım
t→0+
f
(
β(t)
)
= 0.
Ejemplo 2.5.29. Estudiamos la existencia de
ĺım
(x,y,z)→(0,0,0)
yz
x2 + y2 + z2
.
Si consideramos las curvas continuas
γ : [0, 1] −→ R3
t −→ γ(t) = (0, t, t)
β : [0, 1] −→ R2
t −→ β(t) = (t, 0, 0)
entonces tenemos que
γ(0) = β(0) = (0, 0, 0)
sin embargo,
ĺım
t→0+
f
(
γ(t)
)
= ĺım
t→0+
t2
2t2
= ĺım
t→0+
1
2
=
1
2
y
ĺım
t→0+
f
(
β(t)
)
= ĺım
t→0+
0
t2
= 0.
Al ser los ĺımites según las curvas γ y β distintos, no existe ĺımite.
25
2.5.8. Uso de sucesiones
El criterio que nunca falla a la hora de demostrar que un ĺımite no existe, y que
suele dar resultados más rápidos y por lo menos igual de efectivos que todos los
anteriores, es el de las sucesiones.
En virtud de la Proposición 2.3.5 basta encontrar dos sucesiones que converjan
al punto donde se toma el limite y a lo largo de las cuales la función converge a
puntos diferentes (o no converge).
Ejemplo 2.5.30. Sea
f : R2 −→ R
(x, y) −→ f(x, y) =
{
1 si x− y ∈ Q
0 en caso contrario
Si tomamos
(xn, yn) =
( 1
n
, 0
)
y (x′n, y
′
n) =
(√2
n
, 0
)
,
entonces es claro que
ĺım
n→∞
f(xn, yn) = ĺım
n→∞
f
( 1
n
, 0
)
= 1
y
ĺım
n→∞
f(x′n, y
′
n) = ĺım
n→∞
f
(√2
n
, 0
)
= 0.
Por tanto no existe
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y).
26
Caṕıtulo 3
Continuidad
3.1. Definición de función continua
Definición 3.1.1. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una función, (n,m ≥ 1) y
~a ∈ A un punto de acumulación de A. Se dice que f es continua en ~a ∈ A si se
verifican las tres condiciones siguientes:
1) Existe f(~a) ∈ Rm.
2) Existe ĺım
~x→~a
f(~x) = ~l ∈ Rm.
3) f(~a) = ~l.
Esto equivale a decir que
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ‖~x− ~a‖ < δ, entonces
∥∥f(~x)− f(~a)∥∥ < ε.
Ejemplo 3.1.2. La función
f : R2 −→ R
(x, y) −→ f(x, y) = x2y
es continua en (0, 0). En efecto:
Hay que demostrar que, para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que
si
‖(x, y)− (0, 0)‖ =
√
(x− 0)2 + (y − 0)2 < δ
27
28
entonces
|f(x, y)− f(0, 0)| = |x2y| < ε.
Como
|x| ≤
√
x2 + y2 y |y| ≤
√
x2 + y2
se tiene que
|x|2 ≤ x2 + y2 y |y| ≤
√
x2 + y2
Aśı que
|x|2|y| ≤
(
x2 + y2
) 1
2
+1
=
(
x2 + y2
) 3
2 =
(√
x2 + y2
)3
< δ3 = ε
Basta entonces escoger
δ = ε
1
3 .
Observación 3.1.3. Sólo tiene sentido discutir la continuidad de una función sobre
los puntos de acumulación que pertenecen su dominio de definición.
Ejemplo 3.1.4. Estudiar la continuidad de la función
f : R2 −→ R2
(x, y) −→ f(x, y) =
(
1
x−y , cos(xy)
)
en el punto (1, 1).
El dominio de la definición de f viene dado por la intersección de los dominios
de definición de sus dos componentes:
f1(x, y) =
1
x− y
y f2(x, y) = cos(xy),
es decir,
D(f) = D(f1) ∩D(f2) = {(x, y) ∈ R2 : x 6= y}.
Por tanto el punto (1, 1) no pertenece al dominio y no cabe estudiar la con-
tinuidad de la función sobre dicho punto.
Nota 3.1.5. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una función, (n,m ≥ 1) y ~a ∈ A
un punto de acumulación de A
29
1) Si existe ĺım
~x→~a
f(~x) = ~l ∈ Rm, pero no existe f(~a) , entonces se puede prolongar
f por continuidad a otra función f̃ continua en el punto ~a, definida de la forma
siguiente:
f̃(~x) =

f(~x) si ~x 6= ~a
ĺım
~x→~a
f(~x) si ~x = ~a.
2) Si existen ĺım
~x→~a
f(~x) = ~l ∈ Rm y el valor f(~a), pero no coinciden,
(
es decir,
ĺım
~x→~a
f(~x) = ~l 6= f(~a)
)
, entonces se puede definir otra función f̂ continua en
el punto ~a, de la forma siguiente:
f̂(~x) =

f(~x) si ~x 6= ~a
~l si ~x = ~a.
En estos dos casos [1), 2)] se dice que la continuidad es evitable.
3) Si no existe ĺım
~x→~a
f(~x) se dice que la discontinuidad es inevitable.
Observación 3.1.6. Sean A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una función, (n,m ≥ 1) y
~a ∈ A un punto aislado de A.
Por convenio, se establece que f es continua en ~a.
Ejemplo 3.1.7. La función
f : R2 − {(0, 0)} −→ R
(x, y) −→ x3+y3
x2+y2
puede prolongarse por continuidad en (0, 0) definido
f̃(x, y) =

f(x, y) si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
ya que, ∣∣∣f(r cos(θ), r sin(θ))∣∣∣ = ∣∣∣∣r3 cos3(θ) + r3 sin3(θ)r2
∣∣∣∣
= |r|
∣∣ cos3(θ) + sin3(θ)∣∣
≤ 2|r|
luego
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 = f̃(0, 0).
30
Proposición 3.1.8 (Condición necesaria y suficiente de continuidad). Sean
A ⊂ Rn, f : A ⊂ Rn −→ Rm una función, (n,m ≥ 1) y ~a ∈ A un punto de
acumulación de A. Sea f(~x) =
(
f1(~x), f2(~x), . . . , fm(~x)
)
∈ Rm para cada ~x ∈ A.
entonces:
f es continua en ~a ⇐⇒ fi es continua en ~a, ∀ i = 1, 2, . . . ,m.
Observación 3.1.9. La continuidad de la función implica la continuidad respecto de
cada una de la variables, pero el contrario no es cierto. Véase el ejemplo siguiente.
Ejemplo 3.1.10. La función de R2 en R dada por
f(x, y) =

xy
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0).
verifica que f(x, 0) = 0, ∀ x ∈ R y f(0, y) = 0, ∀ y ∈ R, por lo que
ĺım
x→0
f(x, 0) = 0 = f(0, 0) y ĺım
y→0
f(0, y) = 0 = f(0, 0),
es decir, es continua en (0, 0) respecto de cada una de las variables independiente.
Sin embargo no es continua en (0, 0) como función de dos variables, ya que si nos
acercamos al origen, tanto como queramos, con puntos de la forma (x, λx), siendo
λ, x 6= 0, se tiene que
ĺım
(x,y)→(0,0)
y=λx
λx2
x2 + λ2x2
=
λ
λ2 + 1
,
por tanto no existe
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y),
y f no es continua en (0, 0).
3.2. Propiedades de las funciones continuas
Proposición 3.2.1. Sean A ⊂ Rn, f, g : A ⊂ Rn −→ Rm, (n,m ≥ 1), dos función
continuas en ~a ∈ A, entonces se verifican las siguientes propiedades:
1) f + g es continua en ~a.
2) λf es continua en ~a, siendo λ ∈ R.
3) m = 1, entonces f · g es continua en ~a.
31
4) m = 1 y g(~a) 6= 0, entonces f
g
es continua en ~a.
Proposición 3.2.2. Una función f : Rn −→ Rm es continua en ~a ∈ Rn, si y sólo
si,
para cada sucesiones (~xn)n≥1 ⊂ Rn con
ĺım
n→+∞
‖~xn − ~a‖ = 0
se tiene que
ĺım
n→+∞
‖f(~xn)− f(~a)‖ = 0.
Proposición 3.2.3 (Continuidad de la función compuesta). Sean f : Rn −→
Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f) ⊂ D(g). Si f es continua en ~a y g es continua en
f(~a) entonces g ◦ f es continua en ~a.
Ejemplo 3.2.4. La función
h : R2 −→ R
(x, y) −→ sin(x2 + y2)
es una función continua en el punto (0, 0) al ser composición de las funciones con-
tinuas
f : R2 −→ R
(x, y) −→ x2 + y2
y
g : R −→ R
t −→ sin(t)
Ejemplo 3.2.5. La función
h : R3 −→ R3
(x, y, z) −→
(
3ex+y+z, sin(x2 + y2), 1 + x+ y + z
)
es una función continua en todo punto de R3 al ser composición de las funciones
continuas
f : R3 −→ R3
(x, y, z) −→
(
x+ y + z, x2 + y2, 1 + x+ y + z
)
y
g : R3 −→ R3
(x, y, z) −→
(
3ex, sin(y), 1 + z
)
32
Corolario 3.2.6. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f) ⊂ D(g) y
~a ∈ A un punto de acumulación de A.
Supongamos que ĺım
~x→~a
f(~x) = ~b ∈ Rm, y que g es continua en ~b ∈ Rm. Entonces,
existe
ĺım
~x→~a
g
(
f(~x)
)
= g
(
ĺım
~x→~a
f(~x)
)
.
Ejemplo 3.2.7. Calcular
ĺım
(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y7)
x2 + y7
Tenemos
h(x, y) =
sin(x2 + y7)
x2 + y7
= g ◦ f(x, y),
donde
f : R2 −→ R
(x, y) −→ x2 + y7
es una función continua en (0, 0),
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 = f(0, 0)
y la función
g : R −→ R
t −→
{
sin(t)
t
si t 6= 0
1 si t = 0.
es una función continua en 0,
ĺım
t→0
g(t) = 1 = g(0).
Por tanto,
ĺım
(x,y)→(0,0)
sin(x2 + y7)
x2 + y7
= ĺım
(x,y)→(0,0)
g
(
f(x, y)
)
= g
(
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y)
)
= g(0) = 1.
Observación 3.2.8. Si la función g no es continua en el valor del ĺımite de f , el
corolario anterior no es cierto en general. Véase el ejemplo siguiente.
33
Ejemplo 3.2.9. Sean
f : R −→ R
x −→ x
y
g : R −→ R
x −→
{
1 si x 6= 0
0 si x = 0.
Entonces
ĺım
x→0
g
(
f(x)
)
= ĺım
x→0
g(x) = ĺım
x→0
1 = 1,
mientras
g
(
ĺım
x→0
f(x)
)
= g(0) = 0.
Por tantoĺım
x→0
g
(
f(x)
)
6= g
(
ĺım
x→0
f(x)
)
.
En este caso el problema está en que, aunque g śı tiene ĺımite en 0, su valor no
coincide con el que toma g en 0.
Nota 3.2.10. Esta clase de dificultad tiene fácil arreglo: podŕıamos redefinir g en 0
como el valor del ĺımite de g en 0, es decir,
g̃(x) =
{
g(x) si x 6= 0
ĺım
x→0
g(x) si x = 0
y aśı estaŕıamos en condiciones de aplicar el resultado a la nueva función.
Este arreglo es el que proporciona el siguiente Corolario.
Corolario 3.2.11. Sean f : A ⊂ Rn −→ Rm y g : Rm −→ Rp con Im(f) ⊂ D(g) y
~a ∈ A un punto de acumulación de A.
Supongamos que ĺım
~x→~a
f(~x) = ~b ∈ Rm, y que existe ĺım
~y→~b
g(~y) = ~c ∈ Rm. Entonces,
existe
ĺım
~x→~a
g
(
f(~x)
)
= ~c.
34
3.3. Continuidad en conjuntos
Definición 3.3.1. Se dice que una función f : Rn −→ Rm es continua en un
subconjunto A de Rn si f es continua en ~a para cada ~a ∈ A. Si f : Rn −→ Rm es
continua en todo Rn, diremos simplemente que f es continua.
Observación 3.3.2. Es evidente que si f : Rn −→ Rm es continua en A ⊆ Rn,
entonces la función f restringida a A,
f |A : A −→ Rm
a −→ f |A(a) = f(a)
es también continua.
El rećıproco no es cierto en general, es decir, puede ocurrir perfectamente que
f |A sea continua sin que ello implique que f es continua en A
(
piénsese en el caso
en que A = {a} sea un punto y f discontinua en a, por ejemplo,
f : R −→ R
x −→
{
1 si x 6= 0
0 si x = 0
con A = {0}, la función
f |A : {0} −→ R
0 −→ f |A(0) = f(0) = 0
es continua en A = {0} ya que
ĺım
x→0
f |A(x) = ĺım
x→0
f(0) = 0 = f |A(0),
mientras la función f no es continua en A = {0} ya que
ĺım
x→0
f(x) = 1 6= 0 = f(0)
)
.
Sin embargo śı es cierto cuando A es abierto.
Proposición 3.3.3. Sean f : Rn −→ Rm una función, A un subconjunto abierto de
Rn, y supongamos que f |A : A −→ Rm es continua. Entonces f es continua en A.
Ejemplo 3.3.4. Consideremos la función
f : R2 −→ R
(x, y) −→
{
x cos
(
1
x2+y2
)
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
35
A = R2 − {(0, 0)}. Como A es abierto y
f |A(x, y) = x cos
( 1
x2 + y2
)
es continua al ser composición de funciones continuas, se tiene por la proposición
anterior que f es continua en A.
Además
|f(x, y)| ≤ |x| −−−−−→
x−→0
0 = f(0, 0),
aśı que
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 = f(0, 0)
luego f es continua en (0, 0) y por tanto f : R2 −→ R es continua.
Teorema 3.3.5. Sea f : Rn −→ Rm una función continua y sea K ⊂ Rn un
subconjunto compacto de Rn. Entonces f(K) es compacto en Rm.
Teorema 3.3.6 (Weierstrass). Sea f : Rn −→ R una función continua en un
conjunto compacto K ⊂ Rn. Entonces f alcanza un máximo y un mı́nimo absolutos
en K, es decir, existen ~a,~b ∈ K tales que
1) Para todo ~x ∈ K, f(~x) ≤ máx
~y∈K
f(~y) = f(~a)
2) Para todo ~x ∈ K, f(~b) = mı́n
~y∈K
f(~y) ≤ f(~x).
En particular f está acotada en K.
3.4. Continuidad uniforme
Definición 3.4.1. Sea f : Rn −→ Rm una función. Se dice que f es uniforme-
mente continua en A ⊆ Rn si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 : si ~x, ~y ∈ A y ‖~x− ~y‖ < δ
entonces
∥∥f(~x)− f(~y)∥∥ < ε.
Ejemplo 3.4.2. La función f(x) = x es uniformemente continua en R.
Nota 3.4.3. La diferencia entre continuidad y continuidad uniforme consiste en que
en la primera, dado un ε > 0 y un punto x0, se exige la existencia del δ = δ(x0, ε)
correspondiente, que dependerá del ε elegido y del punto x0 de que se trate; mientras
que la continuidad uniforme exige que dado un ε > 0 encontremos el δ = δ(ε)
correspondiente, que dependerá solamente de ε, válido para todos los puntos del
conjunto A.
36
Observación 3.4.4. Si f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en A ⊆ Rn,
entonces f |A : A −→ Rm es continua (lo cual, nótese bien, no quiere decir f :
Rn −→ Rm sea continua en A, como ya sabemos, Observación 3.3.2).
En particular si f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en Rn, entonces
f : Rn −→ Rm es continua. El rećıproco no es cierto como prueban los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 3.4.5. Las funciones
f : R −→ R y
x −→ x2
g : (0, 1) −→ R
x −→ 1
x
son continuas, pero no uniformemente continuas. En efecto:
Supongamos que f es uniformemente continua en todo R. Dado ε > 0, existe
δ > 0 tal que, |h| < δ, (h = y − x)
|(x+ h)2 − x2| = |2xh+ h2| < ε,
cualquiera que sea x ∈ R.
Considerando un x0 > 0 y h > 0 tendremos:
|2x0h+ h2| > 2x0h.
Si tomamos
h =
δ
2
y x0 >
ε
δ
resulta
|(x0 + h)2 − x20| > 2x0h > ε
con lo que llegamos a una contradicción.
De la misma forma se puede demostrar que la función g no es uniformemente en
(0, 1).
Proposición 3.4.6. Una función f : Rn −→ Rm es uniformemente continua en
Rn, si y sólo si,
para cada par de sucesiones (~xn)n≥1, (~yn)n≥1 ⊂ Rn con
ĺım
n→+∞
‖~xn − ~yn‖ = 0
se tiene que
ĺım
n→+∞
‖f(~xn)− f(~yn)‖ = 0.
37
Nota 3.4.7. Este resultado resulta especialmente indicado en la práctica para ver
que una determinada función no es uniformemente continua: basta encontrar dos
sucesiones tales que la distancia entre sus términos tiende a cero pero la distancia
entre los términos de sus sucesiones imágenes no tiende a cero.
En general puede parecer dif́ıcil determinar si una función es uniformemente con-
tinua, pero hay un criterio positivo que resulta enormemente efectivo en la práctica,
nos lo proporciona el siguiente teorema.
Ejemplo 3.4.8. La función
f : R −→ R
x −→ x2
no es uniformemente continua, ya que si tomamos xn = n+
1
n
y yn = n, tenemos
|xn − yn| =
1
n
−−−−−→
n−→+∞
0;
mientras
|f(xn)− f(yn)| = 2 +
1
n2
−−−−−→
n−→+∞
2 6= 0.
Ejemplo 3.4.9. La función
g : (0, 1) −→ R
x −→ 1
x
no es uniformemente continua, ya que si tomamos xn =
1
n+1
y yn =
1
n
, tenemos
|xn − yn| =
1
n(n+ 1)
−−−−−→
n−→+∞
0;
mientras
|g(xn)− g(yn)| = 1 −−−−−→
n−→+∞
1 6= 0.
Observación 3.4.10. Se f : A ⊂ Rn −→ Rm una función uniformemente continua
en A, si B ⊂ A, entonces f |B es uniformemente continua en B.
Teorema 3.4.11. Sea f : K ⊂ Rn −→ Rm una función continua, y supongamos
que K es compacto en Rn. Entonces f es uniformemente continua en K.
Observación 3.4.12. Aunque el dominio A de la función f continua no sea un
compacto, el Teorema 3.4.11 puede seguir siendo aplicable, ya que tal vez f pueda
extenderse con continuidad a una función f̃ definida sobre un compacto K que con-
tenga a A, con lo que f̃ será uniformemente continua en K y por tanto f̃ |A = f
también será uniformemente continua en A.
38
Ejemplo 3.4.13. I La función
g :
(
R− {0}
)
× R −→ R
(x, y) −→ y
x
sin(x2 + y2)
no tiene ĺımite en el origen. En efecto:
ĺım
(x,y)→(0,0)
y
x
sin(x2 + y2).
En efecto: Tenemos que
g
(
r cos(θ), r sin(θ)
)
= tg(θ) sin(r2), ∀ r > 0, ∀ θ ∈ [0, 2π]−
{π
2
,
3π
2
}
.
Sea (rn)n≥1 una sucesión de números positivos con
ĺım
n→+∞
rn = 0.
Como ĺım
θ→π
2
−
tg(θ) = +∞, entonces para cada n ≥ 1 podemos encontrar θn próximo
a π
2
,
(
θn <
π
2
)
de modo que
tg(θn) ≥
1
sin2(r2n)
entonces es evidente que
g
(
rn cos(θn), rn sin(θn)
)
= tg(θn) sin(r
2
n) ≥
1
sin(r2n)
−−−−−→
n−→+∞
+∞
Por otra lado, para θ = 0, es claro que
ĺım
r→0
f
(
r cos(θ), r sin(θ)
)
= ĺım
r→0
tg(θ) sin(r2) = 0.
Por consiguiente no puede existir
ĺım
r→0
g
(
r cos(θ), r sin(θ)
)
uniformemente en θ ∈ [0, 2π].
Luego no existe
ĺım
(x,y)→(0,0)
y
x
sin(x2 + y2).
En particular ni la función g ni ninguna extensión suya puede ser continua en
(0, 0), entendida como función de R2 en R.
39
I Consideremos la función
f : A −→ R
(x, y) −→ f(x, y) = y
x
sin(x2 + y2)
donde
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 < y < x < 1},
que es continua en el conjunto A que no es compacto.
I Podemos definir una extensión
f̃ : A −→ R
de f que es continua en
A = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ x ≤ 1} 3 (0, 0).
En efecto, si 0 ≤ y ≤ x ≤ 1 se tiene que∣∣∣ y
x
sin(x2 + y2)
∣∣∣ ≤ sin(x2 + y2) −−−−−−−→
(x,y)−→(0,0)
0
Por tanto:
ĺım
(x,y)→(0,0)
(x,y)∈A
y
x
sin(x2 + y2) = 0.
de modo que la función definida por
f̃ : A −→ R
(x, y) −→

y
x
sin(x2 + y2) si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
es continua A y por consiguiente, al serA compacto, f̃ es uniformemente continua
en A, y en particular f = f̃ |A es también uniformemente continua en A.
40
Caṕıtulo 4
Derivadas direccionales y
parciales
4.1. Derivadas direccionales de funciones reales
Definición 4.1.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a ∈ U , ~v ∈ Rn con ‖~v‖ = 1 y f : U ⊂
Rn −→ R una función.
La derivada direccional de f , en el punto ~a, según la dirección de ~v, denotada
por D~vf(~a), se define por
D~vf(~a) = ĺım
t→0
f(~a+ t~v)− f(~a)
t
,
cuando este ĺımite existe y es un número real.
Ejemplo 4.1.2. La derivada direccional de la función
f(x, y) =

x2y
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0) según la dirección ~v =
(
1√
2
, 1√
2
)
es:
D~vf(0, 0) = ĺım
t→0
f
(
(0, 0) + t~v
)
− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
f
( t√
2
,
t√
2
)
= ĺım
t→0
1
t
t2
2
t√
2
t2
2
+ t
2
2
= ĺım
t→0
t3
2
√
2t3
=
1
2
√
2
.
41
42
Ejemplo 4.1.3. Si f(x, y) =
√
|xy|, ~a = (0, 0) y ~v = (1, 1) se tiene que
ĺım
t→0
f
(
(0, 0) + t(1, 1)
)
− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
√
t2
t
= ĺım
t→0
|t|
t
.
Por tanto
D(1,1)f(0, 0)
no existe.
Observación 4.1.4. Si la función es de dos variables podemos representar el vector
~v como ~v =
(
cos(θ), sin(θ)
)
para algún θ ∈ [0, 2π), entonces
D~vf(~a) = D~vf(x0, y0) = Dθf(x0, y0)
= ĺım
t→0
f
(
x0 + t cos(θ), y0 + t sin(θ)
)
− f(x0, y0)
t
y se puede hablar de la derivada en la dirección θ.
Ejemplo 4.1.5. La derivada direccional de la función
f(x, y) =

x3+y3
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
en el punto (0, 0) según la dirección θ = π
4
es:
Dπ
4
f(0, 0) = ĺım
t→0
t3
(
cos(π
4
)
)3
+t3
(
sin(π
4
)
)3
t2
t
=
[
cos
(π
4
)]3
+
[
sin
(π
4
)]3
=
√
2
2
.
Nota 4.1.6. Si el vector ~v no es unitario se puede hablar de derivada en la dirección
de ~v refiriéndose a
D~u
donde ~u = ~v‖~v‖ .
4.2. Derivadas parciales de funciones reales
Definición 4.2.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→
R una función.
43
Se llama derivada parcial de primer orden de la función f , respecto de la
variable i-ésima, en el punto ~a, a la derivada direccional de f en el punto ~a según
el vector ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) correspondiente a esa variable y se denota fxi(~a),
Dxif(~a) o
∂f
∂xi
(~a), es decir
∂f
∂xi
(~a) = ĺım
t→0
f(~a+ t~ei)− f(~a)
t
= ĺım
t→0
f(a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an)− f(a1, . . . , an)
t
.
Ejemplo 4.2.2. Si f(x, y) = x2 + x+ 1 entonces
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f
(
(0, 0) + t(1, 0)
)
− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
t2 + t+ 1− 1
t
= 1,
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f
(
(0, 0) + t(0, 1)
)
− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1− 1
t
= 0.
Ejemplo 4.2.3. Analicemos la existencia de las derivadas parciales de primer orden
en el punto (0, 0) para la función
f(x, y) =

x2−y2
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Según la definición de derivadas parciales se tiene que
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
t2 − 02
t2 + 02
= ĺım
t→0
1
t
no existe.
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
02 − t2
02 + t2
= ĺım
t→0
−1
t
no existe.
Observación 4.2.4. Hallar ∂f
∂xi
no es otra cosa que derivar la expresión que define
la función f respecto de la variable xi solamente, considerando el resto de las xj ,
j 6= i, como constantes.
Ejemplo 4.2.5. La función de dos variables f(x, y) = 2x3y − 3y sin(x), tiene por
derivadas parciales de primer orden, en un punto genérico (x, y)
∂f
∂x
(x, y) = 6x2y − 3y cos(x),
∂f
∂y
(x, y) = 2x3 − 3 sin(x).
44
Ejemplo 4.2.6. La función de tres variables f(x, y, z) = x3y2z + xz, tiene por
derivadas parciales de primer orden a las funciones
∂f
∂x
(x, y, z) = 3x2y2z + z,
∂f
∂y
(x, y, z) = 2x3yz,
∂f
∂z
(x, y, z) = x3y2 + x.
Nota 4.2.7 (Interpretación geométrica). Sea f : U ⊆ R2 −→ R una función
real de dos variables y (x0, y0) ∈ U , entonces
∂f
∂x
(x0, y0) y
∂f
∂y
(x0, y0) son los valores de la pendiente de la tangente a la curva
que resulta al cortar la superficie
Gf =
{(
x, y, f(x, y)
)
: (x, y) ∈ U
}
,
con los planos y = y0 y x = x0 respectivamente.
4.3. ¿Existe alguna relación entre derivadas par-
ciales, direccionales y continuidad en un pun-
to?
Al contrario de lo que ocurre en las funciones de una variable, la existencia de
las derivadas parciales no garantiza la continuidad de la función en un punto.
4.3.1. Función continua en un punto y existiendo las derivadas
parciales
Ejemplo 4.3.1. La función
f(x, y) =

2x3
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
45
tiene derivadas parciales en el punto (0, 0), que son
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
2t3 − 0
t2 + 0
= ĺım
t→0
2t3
t3
= 2,
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
0− 0
0 + t2
= ĺım
t→0
0
t3
= 0.
Para estudiar la continuidad en (0, 0) calculamos el ĺımite en (0, 0), pasando a
coordenadas polares x = r cos(θ), y = r sin(θ)
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
r→0
2r3 cos3(θ)
r2
= ĺım
r→0
2r cos3(θ) = 2 · 0 = 0 = f(0, 0),
por lo que es continua.
4.3.2. Función continua en un punto sin derivadas parciales
en dicho punto
Ejemplo 4.3.2. La función
f(x, y) =

x sin
(
1
x2+y2
)
+ y sin
(
1
x2+y2
)
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0),
es continua en (0, 0), pues
ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = ĺım
(x,y)→(0,0)
x sin
( 1
x2 + y2
)
+ ĺım
(x,y)→(0,0)
y sin
( 1
x2 + y2
)
= 0 + 0 = 0.
La derivada parcial respecto de x
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
(
t sin
( 1
t2 + 0
)
+ 0 sin
( 1
t2 + 0
))
= ĺım
t→0
1
t
t sin
( 1
t2
)
= ĺım
t→0
sin
( 1
t2
)
no existe.
46
Análogamente
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
(
0 sin
( 1
0 + t2
)
+ t sin
( 1
0 + t2
))
= ĺım
t→0
1
t
t sin
( 1
t2
)
= ĺım
t→0
sin
( 1
t2
)
no existe.
Por tanto no existe ninguna de las derivadas parciales de primer orden en el
punto (0, 0).
4.3.3. Función discontinua en un punto y con derivadas par-
ciales en el punto
Ejemplo 4.3.3. La función
f(x, y) =

xy
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
Del Ejemplo 3.1.10 del caṕıtulo anterior, Sabemos que no es continua en (0, 0).
Sus derivadas parciales en (0, 0), siguiendo la definición, son
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
( 0
t2 + 0
− 0
)
= ĺım
t→0
1
t
· 0 = 0,
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
( 0
0 + t2
− 0
)
= ĺım
t→0
1
t
· 0 = 0.
Es decir, esta función tiene derivadas parciales en (0, 0) y sin embargo no es
continua en ese punto.
4.3.4. Función discontinua en un punto sin derivadas en el
mismo punto
Ejemplo 4.3.4. La función
f(x, y) =

x2−y2
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
47
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
t2 − 02
t2 + 02
= ĺım
t→0
1
t
no existe.
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
02 − t2
02 + t2
= ĺım
t→0
−1
t
no existe.
Por otra parte, como
ĺım
(x,y)→(0,0)
y=0
f(x, y) = ĺım
x→0
x2 − 0
x2 + 0
= 1
y
ĺım
(x,y)→(0,0)
x=0
f(x, y) = ĺım
x→0
0− y2
0 + y2
= −1,
no existe ĺım
(x,y)→(0,0)
f(x, y) y por tanto f es discontinua en (0, 0).
48
4.4. Derivadas parciales y direccionales de fun-
ciones vectoriales
Proposición 4.4.1. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂
Rn −→ Rm una función con f(~a) =
(
f1(~a), f2(~a), . . . , fm(~a)
)
.
La función f tiene derivadas parciales (o direccionales) en el punto ~a si y sólo
si cada función componente fi, donde i = 1, 2, . . . ,m tiene derivadas parciales (o
direccionales) en dicho punto ~a.
Nota 4.4.2. El estudio de derivadas parciales (o direccionales) de funciones vecto-
riales se reduce a analizar las funciones componentes. Aśı
∂f
∂xi
(~a) =
(
∂f1
∂xi
(~a),
∂f2
∂xi
(~a), . . . ,
∂fm
∂xi
(~a)
)
para cada i = 1, 2, . . . , n;
D~vf(~a) =
(
D~vf1(~a), D~vf2(~a), . . . , D~vfm(~a))
.
4.4.1. Matriz jacobiana
Definición 4.4.3. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂ Rn −→
Rm una función con f(~a) =
(
f1(~a), f2(~a), . . . , fm(~a)
)
. Supongamos que existen todos
las derivadas parciales.
Se define la matriz jacobiana de f en el punto ~a, y se denota por Jf(~a), como
Jf(~a) =

∂f1
∂x1
(~a) ∂f1
∂x2
(~a) . . . ∂f1
∂xn
(~a)
∂f2
∂x1
(~a) ∂f2
∂x2
(~a) . . . ∂f2
∂xn
(~a)
...
...
. . .
...
∂fm
∂x1
(~a) ∂fm
∂x2
(~a) . . . ∂fm
∂xn
(~a)

.
Ejemplo 4.4.4. Calcular la matriz jacobiana de la función
f(x, y) = (ex+y + y, yx2).
Sea f1(x, y) = e
x+y + y, f2(x, y) = yx
2 y
Jf(x, y) =
 ∂f1∂x (x, y) ∂f1∂y (x, y)
∂f2
∂x
(x, y) ∂f2
∂y
(x, y)
 ,
49
entonces se tiene que:
Jf(x, y) =
 ex+y ex+y + 1
2xy x2
 .
Ejemplo 4.4.5. Calcular la matriz jacobiana de la función
f(x, y, z) = (zex,−yez).
Sea f1(x, y, z) = ze
x, f2(x, y, z) = −yez y
Jf(x, y, z) =
 ∂f1∂x (x, y, z) ∂f1∂y (x, y, z) ∂f1∂z (x, y, z)
∂f2
∂x
(x, y, z) ∂f2
∂y
(x, y, z) ∂f2
∂z
(x, y, z)
 ,
entonces se tiene que:
Jf(x, y, z) =
 zex 0 ex
0 −ez −yez
 .
4.4.2. Vector gradiente
Definición 4.4.6. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a = (a1, a2, . . . , an) ∈ U , y f : U ⊂
Rn −→ R una función, se denomina vector gradiente de f en ~a y se denota por
grad(f)(~a) o ∇f(~a) al vector que tiene por componentes las derivadas parciales de
f en ~a, es decir
∇f(~a) =
(
∂f
∂x1
(~a),
∂f
∂x2
(~a), . . . ,
∂f
∂xn
(~a)
)
.
Ejemplo 4.4.7. Calcular el vector gradiente de la función
f(x, y, z) = ez cos(y) sin(x)
en un punto genérico (x, y, z).
La función f admite derivadas parciales en todo (x, y, z) ∈ R3, entonces
∇f(x, y, z) =
(
ez cos(y) cos(x),−ez sin(y) sin(x), ez cos(y) sin(x)
)
.
50
4.5. Derivadas parciales de orden superior
Definición 4.5.1. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una función. Supongamos que la derivada
parcial ∂f
∂xi
existe en U . Si la función
∂f
∂xi
: U −→ R
admite derivada parcial j-ésima en ~x ∈ U , se dice que f tiene derivada parcial
segunda en ~x y se denota
∂2f
∂xi∂xj
(~x) =
∂
∂xi
(
∂f
∂xj
(~x)
)
.
Ejemplo 4.5.2. Calcular las segundas derivadas parciales de
f(x, y) = xy + (x+ 2y)2.
Tenemos que
∂f
∂x
(x, y) = y + 2(x+ 2y),
∂f
∂y
(x, y) = x+ 4(x+ 2y),
∂2f
∂x2
(x, y) = 2,
∂2f
∂y2
(x, y) = 8,
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
(x, y)
)
= 5,
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
(x, y)
)
= 5.
Proposición 4.5.3. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm una función. La derivada parcial de
f = (f1, . . . , fm)
∂2f
∂xi∂xj
existe si y sólo si existen las derivadas parciales
∂2fk
∂xi∂xj
para todo k = 1, . . . ,m, y en este caso se tiene la igualdad
∂2f
∂xi∂xj
=
(
∂2f1
∂xi∂xj
, . . . ,
∂2fm
∂xi∂xj
)
.
51
Teorema 4.5.4 (Schwarz: igualdad de derivadas cruzadas). Sea f : U ⊆
Rn −→ Rm tal que las derivadas parciales ∂2f
∂xi∂xj
, ∂
2f
∂xj∂xi
existen y son continuas en
U . Entonces
∂2f
∂xi∂xj
=
∂2f
∂xj∂xi
.
Ejemplo 4.5.5. Verificar la igualdad de las segundas derivadas parciales cruzadas
para la función
f(x, y) = xey + yx2.
Tenemos que
∂f
∂x
(x, y) = ey + 2xy,
∂f
∂y
(x, y) = xey + x2,
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
(x, y)
)
= ey + 2x, función continua
∂2f
∂y∂x
(x, y) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
(x, y)
)
= ey + 2x, función continua.
Por lo tanto
∂2f
∂x∂y
(x, y) =
∂2f
∂y∂x
(x, y) = ey + 2x.
Ejemplo 4.5.6. La función
f(x, y) =

xy(x2−y2)
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es continua en (0, 0). Además
∂f
∂x
(0, y) = −y, ∂f
∂y
(x, 0) = x,
por tanto
∂2f
∂x∂y
(0, 0) =
∂
∂x
(
∂f
∂y
(0, 0)
)
= 1,
∂2f
∂y∂x
(0, 0) =
∂
∂y
(
∂f
∂x
(0, 0)
)
= −1.
Entonces la función f no verifica la igualdad de derivadas cruzadas.
Obviamente las funciones ∂
2f
∂x∂y
y ∂
2f
∂y∂x
no pueden ser continuas en el punto (0, 0).
52
Definición 4.5.7. Sean U ⊆ Rn abierto, ~a ∈ U , f : U ⊂ Rn −→ Rm una función y
p ∈ N.
Se definen las derivadas parciales de orden p en ~a de la forma siguiente:
∂pf
∂xi1∂xi2 · · · ∂xip
(~a) =
∂
∂xi1
(
∂
∂xi2
(
∂
∂xi3
(
· · ·
(
∂f
∂xip
(~a)
))
.
Ejemplo 4.5.8. Calcular las derivadas parciales ∂
3f
∂x∂y∂z
y ∂
3f
∂x∂z∂y
de la función
f(x, y) = xy + x2y2z.
Tenemos que
∂3f
∂x∂y∂z
(x, y, z) =
∂
∂x
(
∂
∂y
(
∂f
∂z
(x, y, z)
))
=
∂
∂x
(
∂
∂y
x2y2
)
=
∂
∂x
2yx2 = 4xy.
∂3f
∂x∂z∂y
(x, y, z) =
∂
∂x
(
∂
∂z
(
∂f
∂y
(x, y, z)
))
=
∂
∂x
(
∂
∂z
(x+ 2zx2)
)
=
∂
∂x
2x2 = 4x.
Nota 4.5.9. Una función real de tres variables f(x, y, z) puede tener 3p derivadas
parciales de orden p.
Definición 4.5.10. Sean f : U ⊆ Rn −→ Rm una función y p ≥ 1. Diremos que f
es de clase Cp en U , y se denota f ∈ Cp(U,Rm), si las derivadas parciales de orden
p,
∂pf
∂xi1∂xi2 · · · ∂xip
(~x)
existen para cada ~x ∈ U , y las aplicaciones
∂pf
∂xi1∂xi2 ···∂xip
: U −→ Rm
~x −→ ∂pf
∂xi1∂xi2 ···∂xip
(~x)
son continuas en U , para todos i1, i2, . . . , ip ∈ {1, 2, ..., n}.
Diremos que f es de clase C∞ en U , y escribiremos f ∈ C∞(U,Rm), si f es de
clase Cp para todo p ∈ N.
Por último, C0(U,Rm) denotará el espacio de las funciones continuas de U en
Rm.
53
Proposición 4.5.11. Para todo p ≥ 1 se tiene que
Cp(U,Rm) ⊂ Cp−1(U,Rm);
y en particular
C∞(U,Rm) ⊂ Cp(U,Rm) para todo p ≥ 1.
Teorema 4.5.12. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm de clase Cp con p ≥ 2. Sean i1, . . . , iq ∈
{1, . . . , n}, con q ≤ p. Entonces, para toda permutación {i′1, . . . , i′q} de {i1, . . . , iq}
se tiene
∂qf
∂xi′1∂xi′2 · · · ∂xi′p
(~x) =
∂qf
∂xi1∂xi2 · · · ∂xip
(~x)
para todo ~x ∈ U .
4.6. Matriz hessiana y determinante hessiano
Definición 4.6.1. Sea f : U ⊆ Rn −→ R una función cuyas derivadas parciales
segundas existen y son continuas en un entorno del punto ~a ∈ U , se llama matriz
hessiana de f en el punto ~a a la matriz n× n siguiente
Hf(~a) =

∂2f
∂x1∂x1
(~a) ∂
2f
∂x2∂x1
(~a) . . . ∂
2f
∂xn∂x1
(~a)
∂2f
∂x1∂x2
(~a) ∂
2f
∂x2∂x2
(~a) . . . ∂
2f
∂xn∂x2
(~a)
...
...
. . .
...
∂2f
∂x1∂xn
(~a) ∂
2f
∂x2∂xn
(~a) . . . ∂
2f
∂xn∂xn
(~a)

.
formada con las derivadas parciales segundas, y se llama hessiano al determinante
de la matriz hessiana y representándose por∣∣Hf(~a)∣∣.
Ejemplo 4.6.2. Calcular la matriz hessiana de la función
f(x, y) = x2y + exy.
54
La matriz hessiana pedida es:
Hf(x, y) =
 ∂
2f
∂x2
(x, y) ∂
2f
∂y∂x
(x, y)
∂2f
∂x∂y
(x, y) ∂
2f
∂y2
(x, y)

=
 2y + y2exy 2x+ (1 + xy)exy
2x+ (1 + xy)exy x2exy
 .
Observación 4.6.3. En caso de una función de R3 en R, su matriz hessiana es:
Hf(x, y, z) =

∂2f
∂x2
(x, y, z) ∂
2f
∂y∂x
(x, y, z) ∂
2f
∂z∂x
(x, y, z)
∂2f
∂x∂y
(x, y, z) ∂
2f
∂y2
(x, y, z) ∂
2f
∂z∂y
(x, y, z)
∂2f
∂x∂z
(x, y, z) ∂
2f
∂y∂z
(x, y, z) ∂
2f
∂z2
(x, y, z)
 .
Caṕıtulo 5
Funciones diferenciables
5.1. Función diferenciable en un punto
Definición 5.1.1. Sean U un abierto de Rn, f : U ⊆ Rn −→ Rm y ~x0 ∈ U . Se dice
que la función f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicación lineal
L : Rn −→ Rm
tal que
ĺım
~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖
= ~0.
Si existe una aplicación lineal L con estas caracteŕısticas, es única.
Proposición 5.1.2. La definición de función diferenciable en ~x0 se puede dar de
modo equivalente de alguna de las siguientes formas:
1) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicación lineal L : Rn → Rm tal que
ĺım
~h→~0
∥∥f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)∥∥
‖~h‖
= 0.
2) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicación lineal L : Rn → Rm tal que
ĺım
~x→~x0
f(~x)− f(~x0)− L(~x− ~x0)
‖~x− ~x0‖
= ~0.
55
56
3) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicación lineal L : Rn → Rm tal que
ĺım
~x→~x0
∥∥f(~x)− f(~x0)− L(~x− ~x0)∥∥
‖~x− ~x0‖
= 0.
4) f es diferenciable en ~x0 si existe una aplicación lineal L : Rn → Rm y una
función R : Rn → Rm tal que en un entorno de ~x0 se tiene
f(~x) = f(~x0) + L(~x− ~x0) +R(~x− ~x0)
con
ĺım
~x→~x0
∥∥R(~x− ~x0)∥∥
‖~x− ~x0‖
= 0.
Proposición 5.1.3. Sea U un abierto de Rn y ~x0 ∈ U . Una función f : U −→ Rm
es diferenciable en ~x0 si y sólo si lo soncada una de sus funciones componentes
f1, . . . , fm.
Observación 5.1.4. Se puede estudiar la diferenciabilidad de una función f en un
punto ~x0 o bien directamente o bien a través de sus componentes.
Definición 5.1.5. Una función se dice que es diferenciable en un abierto U si es
diferenciable en todos los puntos de U .
5.2. Diferencial en un punto
Definición 5.2.1. Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ Rm una función
diferenciable en ~x0 ∈ U , se llama diferencial de f en ~x0, y se denota por Df(~x0)
o f ′(~x0) a la única aplicación lineal L : Rn −→ Rm que satisface
ĺım
~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖
= ~0.
Aśı se tiene que
Df(~x0)(~h) = f
′(~x0)(~h) = L(~h) = D~hf(~x0)
= ĺım
t→0
f(~x0 + t~h)− f(~x0)
t
para todo ~h ∈ Rn.
57
Proposición 5.2.2. Supongamos que f es diferenciable en ~x0, siendo L : Rn −→
Rm una aplicación lineal que satisface la definición anterior. Entonces:
1) L es la única aplicación lineal con esta propiedad.
2) Para cada ~h ∈ Rn existe D~hf(~x0), derivada direccional de f en ~x0 según el
vector ~h, y
D~hf(~x0) = ĺımt→0
f(~x0 + t~h)− f(~x0)
t
= L(~h) =
n∑
i=1
∂f
∂xi
(~x0) · hi.
Ejemplo 5.2.3. Sea f(x, y) = x2 +y3 +2x−y+5. Demostrar que f es diferenciable
en (0, 0) y calcular Df(0, 0).
Calculemos el ĺımite:
ĺım
t→0
f
(
(0, 0) + t(h1, h2)
)
− f(0, 0)
t
.
Tenemos
ĺım
t→0
f
(
(0, 0) + t(h1, h2)
)
− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
t2h21 + t
3h32 + 2th1 − th2
t
= 2h1 − h2.
Como
ĺım
(h1,h2)→(0,0)
f
(
(0, 0) + (h1, h2)
)
− f(0, 0)− L(h1, h2)
‖(h1, h2)‖
= 0,
donde
L(h1, h2) = 2h1 − h2
es un aplicación lineal de R2 en R, se tiene que la función f es diferenciable en (0, 0)
y
Df(0, 0) : R2 −→ R
(h1, h2) −→ Df(0, 0)(h1, h2) = 2h1 − h2.
Ejemplo 5.2.4. Estudiar si la función
f(x, y) =

x3−y3
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es diferenciable en el punto (0, 0).
58
Las derivadas parciales vienen dadas por
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
t3 − 03
t2 + 02
= ĺım
t→0
1 = 1
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
1
t
03 − t3
02 + t2
= ĺım
t→0
−1 = −1.
Para ver si es diferenciable calcularemos
ĺım
~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖
= ĺım
(h1,h2)→(0,0)
f
(
(0, 0) + (h1, h2)
)
− f(0, 0)− h1 ∂f∂x(0, 0)− h2
∂f
∂y
(0, 0)√
h21 + h
2
2
= ĺım
(h1,h2)→(0,0)
h31−h32
h21+h
2
2
− h1 + h2√
h21 + h
2
2
= ĺım
(h1,h2)→(0,0)
h21h2 − h1h22(
h21 + h
2
2
) 3
2
.
El ĺımite anterior no existe. En efecto
ĺım
(h1,h2)→(0,0)
h2=−h1
h21h2 − h1h22(
h21 + h
2
2
) 3
2
= ĺım
h1→0
−2h31(
2h21
) 3
2
= − 1√
2
ĺım
(h1,h2)→(0,0)
h2=h1
h21h2 − h1h22(
h21 + h
2
2
) 3
2
= ĺım
h1→0
h31 − h31(
2h21
) 3
2
= 0.
Entonces el ĺımite no existe, ya que los ĺımites según dos direcciones son distintos.
Por tanto la función no es diferenciable.
59
5.3. Interpretación geométrica de la diferencial
Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ R una función diferenciable en un
punto ~x0 ∈ U .
Si bien para n ≥ 2 no tiene sentido la pregunta de cuál es la recta tangente a la
gráfica
Gf =
{(
~x, f(~x)
)
: ~x ∈ U
}
⊂ Rn × R = Rn+1
de la función f , que puede visualizarse como una superficie de dimensión n en Rn+1.
Aśı que, podemos preguntarnos cuál es el subespacio af́ın de dimensión n que
mejor aproxima la gráfica de f en un punto (~x0, f(~x0)).
Para fijar ideas supongamos que, dada f : R2 −→ R, deseamos hallar el plano
tangente a la gráfica de f en un punto
(
x0, y0, f(x0, y0)
)
.
Entonces la ecuación del plano tangente a la superficie Gf ⊂ R3 en el punto(
x0, y0, f(x0, y0)
)
que buscamos es
z − f(x0, y0) =
∂f
∂x
(x0, y0) · (x− x0) +
∂f
∂y
(x0, y0) · (y − y0).
Es decir
z − f(x0, y0) = Df(x0, y0)
(
x− x0
y − y0
)
=
(
∂f
∂x
(x0, y0),
∂f
∂y
(x0, y0)
)
·
(
x− x0
y − y0
)
.
Aśı pues la diferencial proporciona la ecuación del plano tangente a la superficie.
Ejemplo 5.3.1. El plano tangente a la superficie dada por la función
f(x, y) = x2 + y2
en el punto (1, 1, f(1, 1)) = (1, 1, 2) tiene por ecuación
z − 2 = 2(x− 1) + 2(y − 1),
es decir, 2x+ 2y − z − 2 = 0.
Nota 5.3.2. El plano tangente contiene a todas las rectas tangentes a las curvas
contenidas en la superficie Gf que pasan por
(
x0, y0, f(x0, y0)
)
.
60
5.4. Propiedades de las funciones diferenciables
Sea U un abierto de Rn y f : U ⊆ Rn −→ Rm una función. Se pueden establecer
los siguientes resultados:
Proposición 5.4.1. Si la función f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces
existen todas las derivadas parciales de primer orden de f en ~x0, siendo
D~eif(~x0) =
∂f
∂xi
(~x0) = Df(~x0)(~ei),
donde ~ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0).
Proposición 5.4.2. Si f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces la matriz
asociada a la diferencial Df(~x0) como aplicación lineal
Df(~x0) : Rn −→ Rm
respecto de las bases canónicas de Rn y Rm, es la matriz jacobiana de f en ~x0, es
decir
Df(~x0)(~h) = Jf(~x0) · ~h, ∀ ~h ∈ Rn,
siendo
Jf(~x0) =

∂f1
∂x1
(~x0)
∂f1
∂x2
(~x0) . . .
∂f1
∂xn
(~x0)
∂f2
∂x1
(~x0)
∂f2
∂x2
(~x0) . . .
∂f2
∂xn
(~x0)
...
...
. . .
...
∂fm
∂x1
(~x0)
∂fm
∂x2
(~x0) . . .
∂fm
∂xn
(~x0)

.
Observación 5.4.3. Si f : U ⊆ Rn −→ R es una función diferenciable en ~x0 ∈ U ,
su diferenciable será una aplicación
Df(~x0) : Rn −→ R
~h −→ Df(~x0)(~h),
61
donde
Df(~x0)(~h) =
(
∂f
∂x1
(~x0),
∂f
∂x2
(~x0), . . . ,
∂f
∂xn
(~x0)
)
·

h1
h2
...
hn

= ∇f(~x0) ·

h1
h2
...
hn

=
n∑
i=1
∂f
∂xi
(~x0) · hi.
Proposición 5.4.4. La función f = (f1, . . . , fm) es diferenciable en ~x0 ∈ U si y
sólo si fi es diferenciable en a para cada i = 1, 2, . . . ,m, y en este caso
Df(~x0)(~h) =
(
Df1(~x0)(~h), Df2(~x0)(~h), . . . , Dfm(~x0)(~h)
)
.
para todo ~h ∈ Rn.
Teorema 5.4.5 (Relación entre diferenciabilidad y continuidad). Si la fun-
ción f es diferenciable en el punto ~x0 ∈ U , entonces f es continua en ~x0.
Observación 5.4.6. El rećıproco del Teorema 5.4.5 no es cierto véase el ejemplo
siguiente.
Ejemplo 5.4.7. La función
f(x, y) =

xy√
x2+y2
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es continua en el punto (0, 0), pero no es diferenciable en dicho punto.
Teorema 5.4.8 (Condición suficiente de diferenciabilidad). Supongamos que
todas las derivadas parciales
∂fj
∂xi
: U −→ R, j = 1, . . . ,m, i = 1, . . . , n,
existen en un entorno de un punto ~x0 y que son continuas en ~x0. Entonces f es
diferenciable en ~x0.
62
Nota 5.4.9. La condición enunciada es muy útil desde el punto de vista práctico,
dado que probar la diferenciabilidad de una función en un punto según la definición
es un asunto incómodo.
Ejemplo 5.4.10. Sea f : R3 −→ R2 una función definida por
f(x, y, z) =
(
x2 + sin(xy), xy cos(z)
)
.
Las derivadas parciales de f = (f1, f2) son:
∂f
∂x
(x, y, z) =
(
2x+ y cos(xy), y cos(z)
)
∂f
∂y
(x, y, z) =
(
x cos(xy), x cos(z)
)
∂f
∂z
(x, y, z) =
(
0, −xy sin(z)
)
.
Aśı que las funciones
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
: R3 −→ R2
son continuas en R3 ya que sus funciones componentes son continuas.
Por tanto la función f es diferenciable en todos puntos de R3 y
Df(x, y, z) = Jf(x, y, z) =
 ∂f1∂x (x, y, z) ∂f1∂y (x, y, z) ∂f1∂z (x, y, z)
∂f2
∂x
(x, y, z) ∂f2
∂y
(x, y, z) ∂f2
∂z
(x, y, z)

=
 2x+ y cos(xy) x cos(xy) 0
y cos(z) x cos(z) −xy sin(z)
 .
Observación 5.4.11. La condición de diferenciabilidad del Teorema 5.4.8 no es
necesaria.
Existen funciones diferenciables en un punto aunque sus derivadas parciales no
son continuas. véase el ejemplo siguiente.
Ejemplo 5.4.12. La función
f(x, y) =

(x2 + y2) sin
(
1√
x2+y2
)
si (x, y) 6= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0).
es diferenciables en (0, 0) sin embargo sus derivadas parciales no son continuas en
dicho punto. En efecto:
63
Las derivadas parciales vienen dadas por
∂f
∂x
(0, 0) = ĺım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0
t2 sin
(
1
t
)
− 0
t
= ĺım
t→0
t sin
(1
t
)
= 0
∂f
∂y
(0, 0) = ĺım
t→0
f(0, t)− f(0, 0)
t
= ĺım
t→0t2 sin
(
1
t
)
− 0
t
= ĺım
t→0
t sin
(1
t
)
= 0.
En este caso
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
= f
(
(0, 0) + (h1, h2)
)
− f(0, 0)− h1
∂f
∂x
(0, 0)− h2
∂f
∂y
(0, 0)
se convierte en
(h21 + h
2
2) sin
(
1√
h21 + h
2
2
)
.
Por tanto
ĺım
~h→~0
f(~x0 + ~h)− f(~x0)− L(~h)
‖~h‖
= ĺım
(h1,h2)→(0,0)
√
h21 + h
2
2 sin
(
1√
h21 + h
2
2
)
= 0.
Luego f es diferenciable en (0, 0).
Veremos la continuidad de las derivadas parciales. Si (x, y) 6= (0, 0) se tiene
∂f
∂x
(x, y) = 2x sin
(
1√
x2 + y2
)
− x√
x2 + y2
cos
(
1√
x2 + y2
)
∂f
∂y
(x, y) = 2y sin
(
1√
x2 + y2
)
− y√
x2 + y2
cos
(
1√
x2 + y2
)
.
No existe
ĺım
(x,y)→(0,0)
∂f
∂x
(x, y) ni ĺım
(x,y)→(0,0)
∂f
∂y
(x, y),
64
ya que no existen
ĺım
(x,y)→(0,0)
x√
x2 + y2
cos
(
1√
x2 + y2
)
ni
ĺım
(x,y)→(0,0)
y√
x2 + y2
cos
(
1√
x2 + y2
)
.
En consecuencia las funciones ∂f
∂x
y ∂f
∂y
no son continuas en (0, 0).
Corolario 5.4.13. Sea f : U ⊆ Rn −→ Rm. Consideremos las siguientes condi-
ciones.
1) f tiene derivadas parciales en todos los puntos de U y son todas ellas continuas
en U .
2) f es diferenciable en U .
3) f tiene derivadas parciales en todos los puntos de U .
Entonces se tiene que
1) =⇒ 2) =⇒ 3),
pero los conversos son en general falsos.
Definición 5.4.14. Se dice que f : U ⊂ Rn −→ Rm es de clase C1 en U si todas
las derivadas parciales de f existen y son continuas en U .
Proposición 5.4.15. Si f : U ⊆ Rn −→ Rm es de clase C1 en U , entonces f es
diferenciable en U .
Nota 5.4.16. Recordemos que una función diferenciable no tiene por qué ser de
clase C1.
Proposición 5.4.17. Sea U un abierto de Rn, y sea f : U −→ Rm. Las siguientes
afirmaciones son equivalentes.
1) Todas las derivadas parciales de primer orden f existen y son continuas en U .
2) f es diferenciable en U , y la aplicación
Df : U −→ L(Rn,Rm)
~x −→ Df(~x)
es continua.
Donde L(Rn,Rm) es el espacio vectorial de las aplicaciones lineales entre Rn y Rm.
65
5.5. Reglas de diferenciación
Proposición 5.5.1. Sean f, g : U ⊆ Rn −→ Rm funciones diferenciables en un
punto ~a ∈ U . Entonces:
1) f ± g es diferenciable en ~a y D(f ± g)(~a) = Df(~a)±Dg(~a).
2) Para todo λ ∈ R, λf es diferenciable en ~a y D(λf)(~a) = λDf(~a).
Proposición 5.5.2. Sean f, g : U ⊆ Rn −→ R funciones diferenciables en un punto
~a ∈ U . Entonces:
1) fg es diferenciable en ~a, y D(fg)(~a) = Df(~a)g(~a) + f(~a)Dg(~a).
2) Si g(~a) 6= 0, entonces f
g
es diferenciable en ~a y
D
(f
g
)
(~a) =
g(~a)Df(~a)− f(~a)Dg(~a)
g(~a)2
.
Teorema 5.5.3 (Regla de la cadena). Sean U y V abiertos de Rn y Rm re-
spectivamente, y f : U ⊆ Rn −→ Rm, g : V −→ Rp aplicaciones, con f(U) ⊆ V
. Supongamos que f es diferenciable en ~a, y que g es diferenciable en ~b = f(~a).
Entonces g ◦ f : U ⊆ Rn −→ Rp es diferenciable en ~a, y además
D(g ◦ f)(~a) = Dg
(
f(~a)
)
◦Df(~a).
Observación 5.5.4. Teniendo en cuenta que la operación de composición de aplica-
ciones lineales se traduce en multiplicación de sus matrices, la igualdad D(g◦f)(~a) =
Dg
(
f(~a)
)
◦Df(~a) significa que
J(g ◦ f)(~a) = Jg
(
f(~a)
)
· Jf(~a),
66
es decir,
J(g ◦ f)(~a) =

∂(g◦f)1
∂x1
(~a) ∂(g◦f)1
∂x2
(~a) . . . ∂(g◦f)1
∂xn
(~a)
∂(g◦f)2
∂x1
(~a) ∂(g◦f)2
∂x2
(~a) . . . ∂(g◦f)2
∂xn
(~a)
...
...
. . .
...
∂(g◦f)p
∂x1
(~a) ∂(g◦f)p
∂x2
(~a) . . . ∂(g◦f)p
∂xn
(~a)

=

∂g1
∂y1
(
f(~a)
)
∂g1
∂y2
(
f(~a)
)
. . . ∂g1
∂ym
(
f(~a)
)
∂g2
∂y1
(~a) ∂g2
∂y2
(
f(~a)
)
. . . ∂g2
∂ym
(
f(~a)
)
...
...
. . .
...
∂gm
∂y1
(
f(~a)
) ∂gp
∂y2
(
f(~a)
)
. . . ∂gp
∂ym
(
f(~a)
)

·

∂f1
∂x1
(~a) ∂f1
∂x2
(~a) . . . ∂f1
∂xn
(~a)
∂f2
∂x1
(~a) ∂f2
∂x2
(~a) . . . ∂f2
∂xn
(~a)
...
...
. . .
...
∂fm
∂x1
(~a) ∂fm
∂x2
(~a) . . . ∂fm
∂xn
(~a)

,
o de manera más compacta,
∂(g ◦ f)j
∂xi
(~a) =
m∑
k=1
∂gj
∂yk
(
f(~a)
)∂fk
∂xi
(~a)
para todo i = 1, 2, . . . , n y j = 1, 2, . . . , p.
Ejemplo 5.5.5. Sean las funciones diferenciables f : R2 −→ R3
y g : R3 −→ R4, definidas respectivamente por
f(x1, x2) = (x
2
1x2, x1 + x2, x1x2) y
g(y1, y2, y3) = (y1y
2
2, y2y3, e
y1y2y3 , y1 + y2 + y3).
67
Calculemos la matriz jacobiana de la función compuesta g ◦ f en el punto (1, 1) y la
expresión de la diferencial en ese punto.
Como es f : R2 −→ R3, su matriz jacobiana es de orden 3× 2 y está dada por
Jf(~x) =

∂f1
∂x1
(~x) ∂f1
∂x2
(~x)
∂f2
∂x1
(~x) ∂f2
∂x2
(~x)
∂f3
∂x1
(~x) ∂f3
∂x2
(~x)
 =

2x1x2 x
2
1
1 1
x2 x1
 .
Para la función g : R3 −→ R4 la matriz jacobiana es de orden 4× 3 y su expresión
es
Jg(~y) =

∂g1
∂y1
(~y) ∂g1
∂y2
(~y) ∂g1
∂y3
(~y)
∂g2
∂y1
(~y) ∂g2
∂y2
(~y) ∂g2
∂y3
(~y)
∂g3
∂y1
(~y) ∂g3
∂y2
(~y) ∂g3
∂y3
(~y)
∂g4
∂y1
(~y) ∂g4
∂y2
(~y) ∂g4
∂y3
(~y)

=

y22 2y1y2 0
0 y3 y2
y2y3e
y1y2y3 y1y3e
y1y2y3 y1y2e
y1y2y3
1 1 1

.
Como la función compuesta es g ◦ f : R2 −→ R4, su matriz jacobiana es de orden
68
4× 2 y teniendo en cuenta el resultado del teorema anterior resulta
J(g ◦ f)(1, 1) = Jg
(
f(1, 1)
)
· Jf(1, 1) = Jg(1, 2, 1) · Jf(1, 1)
=

4 4 0
0 1 2
2e2 e2 2e2
1 1 1

·

2 1
1 1
1 1

=

12 8
3 3
7e2 5e2
4 3

.
Conocida la matriz de las derivadas parciales podemos escribir la diferencial de g ◦f
en el punto (1, 1) como la aplicación
D(g ◦ f)(1, 1) : R2 −→ R4
definida por
D(g ◦ f)(1, 1)(h1, h2) = J(g ◦ f)(1, 1) ·
 h1
h2

=

12 8
3 3
7e2 5e2
4 3

·
 h1
h2
 =

12h1 + 8h2
3h1 + 3h2
7e2h1 + 5e
2h2
4h1 + 3h2

.
69
5.6. Diferenciales sucesivas
5.6.1. Diferencial segunda
Definición 5.6.1 (Diferencial segunda). Sea U un abierto de Rn y f : U −→ Rm
una función diferenciable en U . Se llama diferencial segunda de f en ~a, y se
denota
D2f(~a) = D(Df)(~a),
a la diferencial de la función
Df : U −→ L(Rn,Rm)
en el punto ~a. Es decir,
D2f : U −→ L
(
Rn,L(Rn,Rm)
)
~a −→ D2f(~a) : Rn −→ L(Rn,Rm)
~h −→ D2f(~a)(~h).
Nota 5.6.2.
1) El espacio vectorial L(Rn,Rm), se puede identificar a Rn+m asociando a cada
aplicación lineal la matriz correspondiente, es decir:
L(Rn,Rm) = Rn+m.
2) Dado ~h ∈ Rn, D2f(~a)(~h) ∈ L(Rn,Rm). Por tanto D2f(~a)(~h) se puede aplicar
a otro elemento ~k ∈ Rn, y se puede escribir
D2f(~a)(~h,~k)
en lugar de D2f(~a)(~h)(~k).
Aśı D2f(~a) se puede ver como una aplicación bilineal de Rn×Rn en Rm. Por
tanto podemos escribir:
L
(
Rn,L(Rn,Rm)
)
= L2(Rn,Rm),
donde, L2(Rn,Rm) = {las aplicaciones B : Rn × Rn −→ Rm tales que ~x 7−→
B(~x, ~y) es lineal de Rn en Rm para cada ~y ∈ Rn y ~y 7−→ B(~x, ~y) es también
lineal para cada ~x ∈ Rn}.
70
5.6.2. Diferencial segunda de una función escalar
Sea f : U −→ R una función dos veces diferenciable en ~a. Nos preguntamos
ahora cuál será la matriz de la forma bilineal D2f(~a) respecto de la base canónica
de Rn. Puesto que
Df(~x) =
(
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
)
(~x)
=
(
∂f
∂x1
(~x),
∂f
∂x2
(~x), . . . ,
∂f
∂xn
(~x)
)
=
(
∂f
∂x1
(~x)(~e1),
∂f
∂x2
(~x)(~e2), . . . ,
∂f
∂xn
(~x)(~en)
)
,
derivando otra vez tendremos que
D2f(~a) = D(Df)(~a) = D
((
∂f
∂x1
,
∂f
∂x2
, . . . ,
∂f
∂xn
))
(~a),
luego
D(Df)(~a)(~ei) =
(
∂2f
∂xi∂x1
(~a),
∂2f
∂xi∂x2
(~a), . . . ,
∂2f
∂xi∂xn
(~a)
)
,
y aśı
D2f(~a)(~ei, ~ej) = D(Df)(~a)(~ei)(~ej) =
∂2f
∂xi∂xj
(~a),
es decir, la matriz de D2f(~a) es
Hf(~a) =

∂2f
∂x1∂x1
(~a) ∂
2f
∂x2∂x1
(~a) . . . ∂
2f
∂xn∂x1
(~a)
∂2f
∂x1∂x2
(~a) ∂
2f
∂x2∂x2
(~a) . . . ∂
2f
∂xn∂x2
(~a)
...
...
. . .
...
∂2f
∂x1∂xn
(~a) ∂
2f
∂x2∂xn
(~a) . . . ∂
2f
∂xn∂xn
(~a)

,
y tenemos que
D2f(~a) =
n∑
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(~a) ~e
∗
i ⊗ ~e
∗
j ,
71
donde ~e
∗
i ⊗ ~e
∗
j es la forma bilineal de L2(Rn,R) definida por(
~e
∗
i ⊗ ~e
∗
j
)
(~h,~k) = ~e
∗
i (
~h)~e
∗
j (
~k) = hikj.
Por tanto
D2f(~a)(~h,~k) =
n∑
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj
(~a) hikj.
Resumen 5.6.3.
D2f(~a)