pdf-matematicas-comipems-aprendo-con-la-guiapdf_compress - Sonia Flores

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M L MM L M
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
COMIPEMSCOMIPEMS
    
G IG I
MMLL    MM
EDITOREDITOR20182018
  
M L MM L M
  
M L MM L M
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
COMIPEMSCOMIPEMS
    
G IG I
MMLL    MM
EDITOREDITOR20182018
  
Primera edición, 2018Primera edición, 2018
©2018©2018   MMLL    MM
Matamoros s/nMatamoros s/nPrimera SecciónPrimera Sección
Xadani, OaxacaXadani, Oaxaca
C.P. 70125C.P. 70125
MéxicoMéxico
Información para catalogación bibliográca:Información para catalogación bibliográca:
López Mateos, Manuel.López Mateos, Manuel.
Matemáticas Comipems, aprendo con la Guía InteractivaMatemáticas Comipems, aprendo con la Guía Interactiva    Manuel Manuel
López Mateos — 1a ed.López Mateos — 1a ed.
viii–47 p. cm.viii–47 p. cm.
1. Matemáticas 2. Resolución de problemas 3. Comipems 4. Examen in-1. Matemáticas 2. Resolución de problemas 3. Comipems 4. Examen in-greso 5. Bachillerato 6. Secundaria 8. Habilidades I. López Mateos, Ma-greso 5. Bachillerato 6. Secundaria 8. Habilidades I. López Mateos, Ma-
nnueuel, l, 19194545- - IIII. . TTítítululo.o.
Todos los derechos reservados. Queda prohibido reproducir o transmitirTodos los derechos reservados. Queda prohibido reproducir o transmitir
todo o parte de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, elec-todo o parte de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, elec-
trónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabado o cualquier sistema detrónico o mecánico, incluyendo fotocopia, grabado o cualquier sistema de
almacenamiento y recuperación de información, sin permiso de Malmacenamiento y recuperación de información, sin permiso de M
L M.L M.
Producido en MéxicoProducido en México
MM
LL
   MM
EDITOREDITOR
https://aprendomate.mi-libro.clubhttps://aprendomate.mi-libro.club
https://aprendomate.mi-libro.club/
  
Índice generalÍndice general
IntroducciónIntroducción    vivi
1 1 FFactactoreores s y y proproducductos tos notanotablebless    11
2 2 NNúmeúmero ro más más cecercrcanoano    44
3 3 ÁngÁngululos os y y tritriánángulgulosos    77
4 4 ComComprpra a y y cacambimbioo    1010
5 5 MulMultiptipliclicaciación ón de de binbinomiomiosos    1212
6 6 MMooddaa    1313
7 7 ExExpoponenentnteses    1515
8 8 JuJuego ego ininvvententadadoo    1616
9 9 FFactactorizoriza a la la exprexpresiesiónón    1818
10 Desarrolla10 Desarrolla    2020
11 Anillo11 Anillo    2222
12 Viaje en globo12 Viaje en globo    2424
BibliografíaBibliografía    2727
Índice alfabéticoÍndice alfabético    2828
vv
  
IntroducciónIntroducción
El Concurso de Asignación a la Educación Media SuperiorEl Concurso de Asignación a la Educación Media Superior
(CAEMS) lo organiza la Comisión Metropolitana de Institu-(CAEMS) lo organiza la Comisión Metropolitana de Institu-
ciones Públicas de Educación Media Superior (COMIPEMS)ciones Públicas de Educación Media Superior (COMIPEMS)
en el área conurbada de la ciudad de México.en el área conurbada de la ciudad de México.
En la parte de Contenido de laEn la parte de Contenido de la Guía Interactiva 2018  Guía Interactiva 2018 [[22] del] del
Concurso de asignación, disponible para descargar e instalarConcurso de asignación, disponible para descargar e instalar
en la página web del en la página web del 11, se menciona que «El examen, se menciona que «El examen
de la Comipems evalúa sólo los conocimientos y habilidadesde la Comipems evalúa sólo los conocimientos y habilidades
indispensables para que ingreses a la educación media supe-indispensables para que ingreses a la educación media supe-
rior, y que debes haber aprendido gracias al trabajo regular enrior, y que debes haber aprendido gracias al trabajo regular en
la escuela la escuela secundaria»secundaria»..
Abarca dos áreas: habilidades intelectuales y conocimien-Abarca dos áreas: habilidades intelectuales y conocimien-totoss didiscscipiplilinanaririosos.. LaLass hahabibililidadadedess sosonn dede rrazazononamamieientntoo vvererbaball
yy rarazonzonamiamiententoo matmatemáemátictico.o. LosLos conconociocimiemientntosos corcorresresponpondenden
al plan de estudios de las asignaturas de biología, español, fí-al plan de estudios de las asignaturas de biología, español, fí-
sica, formación cívica y sica, formación cívica y ética, geografía, historia, matemáticasética, geografía, historia, matemáticas
y química.y química.
11 VVerer   https://www.comipems.org.mx/  https://www.comipems.org.mx/
vivi
https://www.comipems.org.mx/
  
IntroducciónIntroducción
Capacitarse para hacer un buen papel en las matemáti-Capacitarse para hacer un buen papel en las matemáti-
cas exigidas no es difícil, se requieren dos cosas, la pri-cas exigidas no es difícil, se requieren dos cosas, la pri-
mera es de carácter técnico: hay que manejar las opera-mera es de carácter técnico: hay que manejar las opera-
ciones elementales, es decir la suma, resta, multiplica-ciones elementales, es decir la suma, resta, multiplica-
ción y división de enteros, quebrados y decimales, y lación y división de enteros, quebrados y decimales, y la
segunda es de actitud: abrir la mente, darse a entendersegunda es de actitud: abrir la mente, darse a entender
y entender al otro, escuchar la crítica y saber opinar dey entender al otro, escuchar la crítica y saber opinar de
manera crítica. Con estas dos condiciones estaremos enmanera crítica. Con estas dos condiciones estaremos en
capacidad de comprender lo que signica resolver uncapacidad de comprender lo que signica resolver un
problema. Ahora bien, problema. Ahora bien, hahay una y una tercera condición, comotercera condición, como
en toda actividad, para dominarla hay que practicar.en toda actividad, para dominarla hay que practicar.
En este folleto explicamos los problemas de matemáticasEn este folleto explicamos los problemas de matemáticas
propuestos por el  en lapropuestos por el  en la Guía I Guía Interactivanteractiva, presentando, presentando
así un abanico de métodos que cubren buena parte del mate-así un abanico de métodos que cubren buena parte del mate-
rial requerido.rial requerido.
¿Qu¿Quéé sigsigninicaca resresololvverer unun proproblemblema?a? SegSegúnún GG PP,,
“resolver un problema signica hallar una manera de superar“resolver un problema signica hallar una manera de superar
una dicultad, o rodear un obstáculo, para lograr un objetivouna dicultad, o rodear un obstáculo, para lograr un objetivo
que no podía obtenerse de inmediato”que no podía obtenerse de inmediato”22 [[66].].
¿C¿Cómómoo reresosolvlverer prprobloblememasas?? EnEn susu popopupulalarr obobrara How How toto Sol-Sol-
veitveit (Có(Cómomo resresolvolvererlo)lo) [[55],], GG PP prpropopononee unun mémétotododo,,
llamadollamado de los cuatro pasos de los cuatro pasos de Pólya para resolver problemas: de Pólya para resolver problemas:
1.1.  Comprender el problema Comprender el problema: ¿Qué nos están preguntan-: ¿Qué nos están preguntan-
do?, ¿Cuál es la incógnita? ¿A qué pregunta debemosdo?, ¿Cuál es la incógnita? ¿A qué pregunta debemos
responder? ¿Podemos expresar el problema con nues-responder? ¿Podemos expresar el problema con nues-
tras propias palabras?tras propias palabras?
2.2.  Trazar un plan Trazar un plan: Escoger una estrategia, hay multitud:: Escoger una estrategia, hay multitud:
Buscar un patrón, resolver una ecuación, trazar un dia-Buscar un patrón, resolver una ecuación, trazar un dia-
grama, hacer una tabla o una lista, analizar un caso másgrama, hacer una tabla o una lista, analizar un caso más
22 Pólya, G.Pólya, G. Mathematical Discovery, Combined Edition Mathematical Discovery, Combined Edition. New York.. New York. John John
Wiley & Sons, Inc.Wiley & Sons, Inc.,, 1981. p.  1981. p. 
viivii
http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.htmlhttp://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.html
http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.html
  
II
sencillo, hacer un modelo sencillo, hacer un modelo algebralgebraico, proponer y aico, proponer y recti-recti-
carcar (ir atinándole (ir atinándole), o ), o alguna otra.alguna otra.
3.3.    LLlleevvaarr aa ccaabobo eell ppllaann:: UUnana vvezez dedecicidididada lala esestrtratategegiaia hahayy
que realizarla, que llevarla a cabo, es importante actuarque realizarla, que llevarla a cabo, es importante actuar
conforme lo hayamos planeado.conforme lo hayamos planeado.
4.4.    ReRevivisasarr elel reresusultaltadodo:¿Seguimoselplan,realizamosbien:¿Seguimoselplan,realizamosbien
las cuentas?, ¿La respuesta es sensata, cumple todas laslas cuentas?, ¿La respuesta es sensata, cumple todas las
condiciones solicitadas?, ¿No hay otros resultados po-condiciones solicitadas?, ¿No hay otros resultados po-
sibles?, ¿El método de solución se aplica a otros casossibles?, ¿El método de solución se aplica a otros casos
parecidos o más parecidos o más genergenerales?ales?
HaHayy mumuchchasas rerecocomemendndacacioioneness aa papartrtirir dede loloss fafamomosososs cucua-a-
trtroo papasosos.s. UUnana rerecocopipilalaciciónón imimporportatantntee lala pupuededenen enencocontntrararr enen
[[11,, p. 4] p. 4]33..
La obra de PLa obra de P How to Solve It How to Solve It (Cómo resolverlo), con el (Cómo resolverlo), con el
títulotítulo Cómo plantear y resolver problemas Cómo plantear y resolver problemas  [[44] fue publicada en] fue publicada en
México por la México por la Editorial TEditorial Trillas en 1989.rillas en 1989.
M L MM L Mmanuel@cedmat.netmanuel@cedmat.net
https://cedmat.nethttps://cedmat.net
10 de diciembre de 201810 de diciembre de 2018
19:4019:40
33
Billstein, R. Shlomo, L., Lott, J. W.Billstein, R. Shlomo, L., Lott, J. W. MATEMÁTICAS: Un enfoque de re- MATEMÁTICAS: Un enfoque de re-solución de problemas para maestros de educación básicasolución de problemas para maestros de educación básica. México.. México. López López
Mateos EditoresMateos Editores,, 2012. p. 4. 2012. p. 4.
viiiviii
http://mailto:manuel@cedmat.net/
http://cedmat.net/
https://lopez-mateos.com/
https://lopez-mateos.com/
https://lopez-mateos.com/
  
11    FFactores actores y y productosproductos
notablesnotables
Relaciona los factores con los productos notables.Relaciona los factores con los productos notables.
FFaaccttoor r PPrroodduuccttoo
11..    ((2a2a ++ 33)()(2a2a −− 33))    a.a.    4a4a22 ++ 4a 4a −− 1515
2.2.    ((2a2a ++ 55)()(2a2a −− 33))    b.b.    8a8a33 −− 11
3.3.    ((2a2a −− 33)()(2a2a −− 33))    c.c.    4a4a22 −− 99
4.4.    ((2a2a −− 11)()( 4a 4a22 ++ 2a2a ++ 11))    d.d.    4a4a22 −− 12a12a ++ 99
    A)A)   1d,2b,3c,4a  1d,2b,3c,4a
    B)B)   1b,2d,3a,4c  1b,2d,3a,4c
    C)C)   1c,2a,3d,4b  1c,2a,3d,4b
    D)D)   1c,2d,3b,4a  1c,2d,3b,4a
Lo primero que debemos hacer esLo primero que debemos hacer es comprender  comprender  el problema. el problema.
¿Qué nos preguntan? ¿Qué nos preguntan? 
Vemos el formato del cuestionario. En el primer párrafo se ha-Vemos el formato del cuestionario. En el primer párrafo se ha-
ce una pregunta y en ce una pregunta y en el segundo se colocan cuatro propuestasel segundo se colocan cuatro propuestas
de respuesta. Se trata de elegir de respuesta. Se trata de elegir la propuesta correcta.la propuesta correcta.
11
  
1. F   1. F   
Se pide relacionar los factores con losSe pide relacionar los factores con los productos notables productos notables11 yy
se presentan dos columnas, a la izquierda factores o produc-se presentan dos columnas, a la izquierda factores o produc-
tos de expresiones algebraicas, y a la derecha una columna tos de expresiones algebraicas, y a la derecha una columna dede
resultados.resultados.
En el En el segundo párrafo hasegundo párrafo hay cuatro propuestas para y cuatro propuestas para relacio-relacio-
nar los factores con las columnas.nar los factores con las columnas.
¿Cuál es nuestro plan? ¿Cuál es nuestro plan? 
Comenzando por el primer factor localizamos a qué produc-Comenzando por el primer factor localizamos a qué produc-
to corresponde, vemos qué respuesta contiene esa to corresponde, vemos qué respuesta contiene esa asociación,asociación,
si nada más es una, ¡esa es la respuesta! Si hay dos o más res-si nada más es una, ¡esa es la respuesta! Si hay dos o más res-
pupuesestatass ququee cocontntenengganan esesaa asasocociaiaciciónón,, cocontntininuauamomoss coconn elel fafac-c-
tor siguiente, hastator siguiente, hasta aislar aislar la  la respuesta correcta.respuesta correcta.
El primer factor esEl primer factor es ( (2a2a++33)()(2a2a−−33)). Se trata de un producto. Se trata de un productodede binomios conjugados binomios conjugados, sólo dieren en el signo. El resultado, sólo dieren en el signo. El resultado
de este producto es lade este producto es la diferencia de cuadrados diferencia de cuadrados22 ((2a2a))22 −−3322 que esque es
igual aigual a 4a 4a22 −−99, que corresponde al producto, que corresponde al producto c c. Así, la primera. Así, la primera
relación esrelación es 1c 1c..
Vemos que las respuestasVemos que las respuestas   C)C)  yy   D)D) contienen esa relación, contienen esa relación,
así que una de ellas es la correcta.así que una de ellas es la correcta.
Seguimos con el segundo factor,Seguimos con el segundo factor, ( (2a2a ++ 55)()(2a2a −− 33)). Se trata. Se trata
de un producto de dosde un producto de dos binomios con un término común binomios con un término común, a saber, a saber
2a2a, su producto es «, su producto es «el primero al cuadrado más la suma de los dosel primero al cuadrado más la suma de los dos
 productos cruzados  productos cruzados más el pmás el producto de los roducto de los segundossegundos», es decir», es decir
((2a2a ++ 55)()(2a2a −− 33))    == ( (2a2a))22 ++ ((10a10a −− 6a6a)) ++ ((55)()(−−33))
== 4a 4a22 ++ 4a 4a −− 15.15.
11 VVerer   https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables  https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
22 Si quieres, puedes efectuar el producto de los dos binomios:Si quieres, puedes efectuar el producto de los dos binomios:
((2a2a ++ 33)()(2a2a −− 33))    == 2a 2a((2a2a −− 33)) ++ 33((2a2a −− 33))
== 4a 4a22 −− 6a6a ++ 6a6a −− 99
== 4a 4a
22
−− 9.9.
22
https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
  
Es el producto marcado con la letraEs el producto marcado con la letra   aa, luego la segunda rela-, luego la segunda rela-
ción esción es 2a 2a..
De las respuestasDe las respuestas    C)C)  yy   D)D) que son las que contienen a la que son las que contienen a la
primera relaciónprimera relación   1c1c,, sólo sólo  lala   C)C) contiene además a la relación contiene además a la relación
2a2a, luego, luego C) C) es l es la respuesta correcta.a respuesta correcta.
Ya sabemos la respuesta, esYa sabemos la respuesta, es C) C), y la marcamos en el círculo, y la marcamos en el círculo
contiguo.contiguo.    ☺☺
¡Momento, momento! ¿Y qué pasa con los ¡Momento, momento! ¿Y qué pasa con los productosproductos 3 3 y y 4 4, no, no
vamos a efectuarlos?vamos a efectuarlos?
Bueno, la preguntaBueno, la pregunta no no es que es que efectuemos efectuemos los productos sino los productos sino
que losque los relacionemos relacionemos con su resultado. Para hallar la respuesta con su resultado. Para hallar la respuesta
 bastó calcular los  bastó calcular los dos dos primeros, pero primeros, pero podemos continuar podemos continuar yy, , aa
manera de vericación, calcular los manera de vericación, calcular los restantes.restantes.El factorEl factor 3 3 es es ( (2a2a −− 33)()(2a2a −− 33)). Se trata de un binomio mul-. Se trata de un binomio mul-
tiplicado por sí mismo, es decir untiplicado por sí mismo, es decir un  binomio al cuadrado binomio al cuadrado, para, para
efectuar ese producto, en la escuela aprendemosuna tonadi-efectuar ese producto, en la escuela aprendemos una tonadi-
ta: «ta: «El primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundoEl primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo
más el segundo al cuadradomás el segundo al cuadrado»; así, el resultado es»; así, el resultado es
((2a2a −− 33)()(2a2a −− 33))    == ( (2a2a))22 ++ 22((2a2a)()(−−33)) ++ ((−−33))22
== 4a 4a22 −− 12a12a ++ 9,9,
marcado conmarcado con d d, luego la relación es, luego la relación es 3d 3d, que, en , que, en efecto, apareceefecto, aparece
a continuación en la propuestaa continuación en la propuesta C) C)..
Finalmente, para el factorFinalmente, para el factor    44,,   ((2a2a   −− 1 1)()( 4a 4a22 ++ 2a 2a   ++  11)), sólo, sólo
queda el productoqueda el producto   bb,,   8a8a33 −− 1 1 que se trata de una que se trata de una diferencia de diferencia de
cuboscubos (re(recuecuerdrdaa queque 1133 == 1 1).). LaLa rerelalaciciónón cocorrrresespopondndieientntee eses 4b4b,,
la última en la respuestala última en la respuesta C) C)..
VVeriericacamosmos queque laslas relrelaciacioneoness 3d3d yy 4b4b esestátánn enen lala rerespspueuesstata
que elegimos,que elegimos, C) C)..
Observamos que para ubicar la respuesta correcta bastóObservamos que para ubicar la respuesta correcta bastó
calcular sólo los dos primeros factores.calcular sólo los dos primeros factores.    ☺☺
33
  
22    NNúmero úmero más más cercanocercano
¿Cuál es el número más cercano a¿Cuál es el número más cercano a  1.3 1.3 −− 88??
    A)A)    −−77
    B)B)    −−55
    C)C)    ++77
    D)D)    ++55
La pregunta es acerca de un número expresado como el re-La pregunta es acerca de un número expresado como el re-
sultado de una operación. En el segundo párrafo hay cuatrosultado de una operación. En el segundo párrafo hay cuatro
propuestas de respuesta, debemos escoger la propuestas de respuesta, debemos escoger la correcta.correcta.
Primerohayqueaveriguarcuáleselnúmero,despuéscom-Primerohayqueaveriguarcuáleselnúmero,despuéscom-
paramos la distancia deparamos la distancia de ese ese número a los números propuestos número a los números propuestos
como respuesta y escogemos la menor de como respuesta y escogemos la menor de esas distancias.esas distancias.
También podemos ubicar el número en cuestión y los can-También podemos ubicar el número en cuestión y los can-
dididadatotoss aa rerespspueuesstata enen lala recta numéricarecta numérica [[33,, p.p. 7]7],, yy vivisusualalmementntee
ubicar al más cercano (si ubicar al más cercano (si no hay confusión).no hay confusión).
Comencemos con averiguar cuál es el númeroComencemos con averiguar cuál es el número   1.31.3 − −  8 8. . SeSe
ttrraatata dede uunnaa opopereracacióiónn ddee susummaa ddee ddosos núnúmemeroross cconon sisiggnono ddisis--
tinto,tinto, 1.3 1.3++((−−88)). Hay una receta que nos enseñan en la . Hay una receta que nos enseñan en la escuela:escuela:
««se restan los números y se pone el sse restan los números y se pone el signo del mayorigno del mayor», es una receta,», es una receta,nnoo exexplpliicaca grgraann ccososa;a; lala aaplpliicacammosos yy efefeectctuuaammosos lala rresestata 88−−1.31.3,,
44
  
el resultado esel resultado es   6.76.7, ahora el signo,, ahora el signo,   88 es mayor que es mayor que   1.31.3 y tiene y tiene
signo negativsigno negativo, luego o, luego el resultado de el resultado de la operación esla operación es
1.31.3 −− 88    == − −6.7.6.7.
Quizás es más claro si vemos la operación en la recta nu-Quizás es más claro si vemos la operación en la recta nu-
mémériricaca,, ububicicamamosos elel 1.31.3 yy elel −−88.Haydosmanerasdeefectuarla.Haydosmanerasdeefectuarla
opeoperaracióciónn [[33,, pppp.. 1100––1166]],, uunnaa eess uubbiiccaarr eell nnúúmmeerroo 1.31.3 yy moversemoverse
88 unidades hacia la izquierda unidades hacia la izquierda o, de manera equivalente, ubicar el o, de manera equivalente, ubicar el
númeronúmero −−88 yy moversemoverse 1 1 unidad y unidad y 3 3 décimas a la  décimas a la derechaderecha.Enambos.Enambos
casos obtenemos el númerocasos obtenemos el número − −6.76.7..
−−88
−−6.76.7
−−77    −−55
1.31.3
55    7700    11    RR
Fig 2.1Fig 2.1  ¿Quién está más cerca de ¿Quién está más cerca de    −−6.76.7
AhAhororaa bibienen,, ¿c¿cuáuáll núnúmemeroro,, dede loloss prpropopueuessttosos:: −−77,, −−55,, 55 óó −−77
está más cerca deestá más cerca de  − −6.76.7??
En la FiguraEn la Figura 2.1 2.1 vemos que de los números propuestos, es vemos que de los números propuestos, es
−−77 el más cercano a el más cercano a − −6.76.7, luego la respuesta es, luego la respuesta es  A) A)..    ☺☺
La elección del númeroLa elección del número −−77 como el más cercano se pudo  como el más cercano se pudo reali-reali-
zar fácilmente observando la gura, de no ser así, habría quezar fácilmente observando la gura, de no ser así, habría que
calcular lacalcular la distancia distancia de de −−6.76.7 a cada uno de los  a cada uno de los candidatos y ele-candidatos y ele-
ggirir lala mmenenoror ddee elellalas.s. SiSi rereprpreesesentntamamosos oo denotamosdenotamos lala disdistantanciacia
de un númerode un número  aa a un número a un número b b como como d d((a,a, bb)), y la denimos, y la denimos
comocomo
Distancia deDistancia de a a a a b b    == d d((a,a, bb))    ==  aa −− bb,,
DondeDonde  xx denota al denota al valor absoluto valor absoluto del número del número x x, que se dene, que se dene
comocomo
xx    ==


−−x,x,    sisi x x    << 0, 0,
x,x,    sisi x ≥ 0. x ≥ 0.
55
  
2. N  2. N  
Respecto al valor absoluto de un número, si el número esRespecto al valor absoluto de un número, si el número es
negativo su valor absoluto esnegativo su valor absoluto es menos menos el número (su recíproco el número (su recíproco
aditivo), si el número es positivo (o cero), su valor absolutoaditivo), si el número es positivo (o cero), su valor absoluto
es el mismo número. Así,es el mismo número. Así,   −− 33    == − −((−−33))    == 3 3 y y  33    == 3 3..
Usando el valor absoluto, la Usando el valor absoluto, la distancia dedistancia de −−33 a a 5 5 es es d d((3,3, 55))    ==
33 −− 55    ==  33 −− ((−−55))    ==  88    == 8 8..
Volviendo a nuestro problema, calculamos la distancia deVolviendo a nuestro problema, calculamos la distancia de
6.76.7 a cada candidato a cada candidato
dd((−−6.7,6.7,−−77))    ==   −− 6.76.7 −− ((−−77))    ==   −− 6.76.7 ++ 77    ==  0.30.3    == 0.3, 0.3,
dd((−−6.7,6.7,−−55))    ==   −− 6.76.7 −− ((−−55))    ==   −− 6.76.7 ++ 55    ==   −− 1.71.7    == 1.7, 1.7,
dd((−−6.7,56.7,5))    ==   −− 6.76.7 −− 55    ==   −− 11.711.7    == 11.7, 11.7,
dd((−−6.7,76.7,7))    ==   −− 6.76.7 −− 77    ==   −− 13.713.7    == 13.7. 13.7.
ElEl conjunto conjunto D D de las distancias de de las distancias de − −6.76.7 a cada  a cada candidatcandidato eso es
DD    == { {0.0.3,3, 1.1.7,7, 1111.7.7,, 1313.7.7}}..
Vemos que laVemos que la menor menor de esas  de esas distancias esdistancias es 0.3 0.3, que corresponde, que corresponde
a la distancia dea la distancia de  − −6.76.7 a a − −77, por lo cual la respuesta es, por lo cual la respuesta es A) A)..    ☺☺
66
  
33    Ángulos Ángulos y y triángulostriángulos
Si el ánguloSi el ángulo a a mide mide 60 60○○, el ángulo, el ángulo b b mide mide 40 40○○, y las rectas, y las rectas L L y y
MM son paralelas, ¿cuánto mide el ángulo son paralelas, ¿cuánto mide el ángulo c c??
LL
MM
aa
cc
bb
    A)A)    2020○○
    B)B)    8080○○
    C)C)    9090○○
    D)D)    100100○○
En este problema se dan unas hipótesis sobre varias compo-En este problema se dan unas hipótesis sobre varias compo-
nentes de la gura y se pide identicar el valor del ángulonentes de la gura y se pide identicar el valor del ángulo c c..
Si examinamos la gura vemos que el ánguloSi examinamos la gura vemos que el ángulo   cc es ligera- es ligera-
mente mayor que unángulo recto es decir, es un poco mayormente mayor que un ángulo recto es decir, es un poco mayor
queque 90 90○○..
77
  
3. Á  3. Á  
Ahora examinamos las propuestas de respuesta y vemosAhora examinamos las propuestas de respuesta y vemos
que sóloque sólo   D)D) presenta un valor presenta un valor mayor mayor  queque  9090○○, luego esa, luego esa tiene tiene
que ser la que ser la respuesta correcta!!respuesta correcta!!    ☺☺
NNototaa ququee enen rrealealididadad nono aavvererigiguauamomoss cucuálál eses elel vvalaloror dedell ánángugulolo
cc, sino que al examinar la gura y las propuestas de respues-, sino que al examinar la gura y las propuestas de respues-
ta concluimos que la correcta erata concluimos que la correcta era    D)D). Hallamos un. Hallamos un atajo atajo  y y lolo
usamos.usamos.
AA mamanenerara dede cocommprprobobacacióión,n, obobtetenenemomoss elel vvalaloror dedell ánángugulolo
cc por medios  por medios “legales”!!!“legales”!!!
Examinamos de nuevo la gura y señalamos además losExaminamos de nuevo la gura y señalamos además los
ángulosángulos d d y y e e para ilustrar el razonamiento. para ilustrar el razonamiento.
LL
MM
aa
cc
bb
dd
ee
LaLa sisitutuacacióiónn enen lala ggururaa eses dede dodoss rerectctasas paparralalelelasas crcruzuzadadasas
por dos secantes, por dos secantes, formando vaformando varios ángulosrios ángulos11..
Los ángulosLos ángulos   bb  yy   dd son son  alternos internos alternos internos y por lo tanto son y por lo tanto son
congruentescongruentes, es decir, es decir,, tienetienen el mismo vn el mismo valoralor (mid(miden lo mismo)en lo mismo)..
En la parte superior de la gura vemos formado unEn la parte superior de la gura vemos formado un trián- trián-
 gulo gulo con con ángulos ángulos a a,, d d y y e e. Recuerda que la. Recuerda que la suma suma de los valores de los valores
de los ángulos interiores de un triángulo esde los ángulos interiores de un triángulo es  180 180○○, es decir, es decir
aa ++dd ++ee    == 180 180○○..
11 VVerer https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_entre_paralelashttps://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_entre_paralelas
88
https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_entre_paralelas
  
ComoComo bb    == dd    == 40 40○○ yy aa    == 60 60○○, tenemos que, tenemos que
aa ++dd ++ee    == 180 180○○
6060○○ ++ 40 40○○ ++ee    == 180 180○○
100100○○ ++ee    == 180 180○○
por lo tantopor lo tanto
ee    == 180 180○○ −− 100100○○
ee    == 80 80○○..
Tenemos entonces que el ánguloTenemos entonces que el ángulo e e mide mide 80 80○○..
Ahora bien, los ángulosAhora bien, los ángulos e e y y c c son son ángulos suplementarios ángulos suplementarios, es, es
decir, la suma de sus valores es dedecir, la suma de sus valores es de  180 180○○, o dicho de otra mane-, o dicho de otra mane-
ra, sonra, son ángulos contiguos ángulos contiguos que forman un que forman un ángulo llano ángulo llano, pero ya, pero yaobtuvimos que el ánguloobtuvimos que el ángulo e e mide mide 80 80○○. En . En términos algebraicos,términos algebraicos,
cc ++ee    == 180 180○○
cc ++ 8080○○ == 180 180○○
cc    == 180 180○○ −− 8080○○
cc    == 100 100○○..
Concluimos que el ánguloConcluimos que el ángulo  cc mide mide 1 10000○○ por lo cual, la res-por lo cual, la res-
puesta correcta espuesta correcta es D) D)..    ☺☺
 Nota Nota: Se recomienda el libro: Se recomienda el libro MATEMÁTICAS: Un enfoque de MATEMÁTICAS: Un enfoque de
resolución de problemas para maestros de educación básicaresolución de problemas para maestros de educación básica, en la, en la
sección11.3,páginas710–726,[sección11.3,páginas710–726,[11]] paparraa rerepapasasarr esestatass cucuesestitiononeses
elementales de elementales de geometríageometría..
99
  
44    ComprCompra a y y cambiocambio
El señor Ramírez realizó la compra deEl señor Ramírez realizó la compra de   44 productos, productos,   33 de los de los
cuales costaroncuales costaron   $12$12  cada uno y el otro cada uno y el otro   $10$10. Si pagó con un. Si pagó con un
 billete de billete de $100 $100, ¿cuál fue el , ¿cuál fue el monto devuelto por el cajero de lamonto devuelto por el cajero de la
tienda?tienda?
    A)A)    $22$22
    B)B)    $46$46
    C)C)    $54$54
    D)D)    $78$78
Una persona realiza una compra, paga con un billete y nosUna persona realiza una compra, paga con un billete y nos
preguntan cuál es el cambio recibido.preguntan cuál es el cambio recibido.
En primer lugar hay que obtener el monto de la compra,En primer lugar hay que obtener el monto de la compra,
después, al valor del billete usado para pagar hay que restardespués, al valor del billete usado para pagar hay que restar
el monto de el monto de la compra para obtener el cambio devuelto.la compra para obtener el cambio devuelto.
LaLa cocommprpraa coconsnsisistitióó enen 4 4 prprododucuctotos.s. PPararaa cacalclculularar elel momontntoo
de la compra hay que sumar el valor de cada producto. Perode la compra hay que sumar el valor de cada producto. Pero
33 productos costaron productos costaron $12 $12 cada uno, es decir, el monto de esos cada uno, es decir, el monto de esos
tres productos estres productos es 3 3 ×× $$1122    == $36 $36. Ahora sumamos el precio del. Ahora sumamos el precio del
cuarto producto,cuarto producto, $36 $36 ++ $10$10    == $46 $46..
El monto de la compra es deEl monto de la compra es de $46 $46..
1010
  
Se pagó la compra con un billete deSe pagó la compra con un billete de  $100 $100, el empleado co-, el empleado co-
 bró de ahí bró de ahí $46 $46 y devolvió y devolvió $100 $100 −− $46$46    == $54 $54..
El monto devuelto (el cambio) es deEl monto devuelto (el cambio) es de $54 $54..
La propuestaLa propuesta C) C) es l es la respuesta correcta.a respuesta correcta.    ☺☺
En los casos de pagos y cambios, se trata de calcular primeroEn los casos de pagos y cambios, se trata de calcular primero
el monto de la compra, que es la suma de los precios de losel monto de la compra, que es la suma de los precios de los
productos adquiridos. Después, al valor del billete con el queproductos adquiridos. Después, al valor del billete con el que
sese papaggaa hahayy ququee reresstatarr elel mmononttoo ddee lala ccomomprpra,a, asasíí obobtetennddreremmosos
el monto el monto devuelto.devuelto.
CambioCambio    == Valor del billete de pago Valor del billete de pago −−Monto de la Monto de la comprcompraa..
☺☺
1111
  
55    Multiplicación Multiplicación dede
 binomios binomios
El resultado de la multiplicación deEl resultado de la multiplicación de ( (2x2x −− 33)()(2x2x ++ 33)) es: es:
    A)A)    4x4x −− 99
    B)B)    4x4x22 −− 12x12x −− 99
    C)C)    4x4x22 −− 99
    D)D)    4x4x22 −− 12x12x ++ 99
Nos piden ubicar, en el segundo párrafo de propuestas, el re-Nos piden ubicar, en el segundo párrafo de propuestas, el re-
sultado de una operación algebraica, en este caso la multipli-sultado de una operación algebraica, en este caso la multipli-
cación de dos binomios.cación de dos binomios.
Se trata de una multiplicación deSe trata de una multiplicación de binomios conjugados binomios conjugados, sólo, sólo
dieren en el signo. El resultado de esta multiplicación es ladieren en el signo. El resultado de esta multiplicación es la
diferencia de cuadradosdiferencia de cuadrados   ((2x2x))22 −−  3322 que es igual aque es igual a   4x4x22 −− 9 9, que, que
corresponde a la propuestacorresponde a la propuesta C) C)..    ☺☺
Si olvidas laSi olvidas la receta receta, simplemente puedes efectuar el producto, simplemente puedes efectuar el producto
de los dos binomios:de los dos binomios:
((2x2x −− 33)()(2x2x ++ 33))    == 2x 2x((2x2x ++ 33)) −− 33((2x2x ++ 33))
== 4x 4x22 ++ 6x6x −− 6x6x −− 99
== 4x 4x22 −− 9.9.    ☺☺
1212
  
66   Moda  Moda
De acuerdo con la siguiente gráca, ¿cuál es laDe acuerdo con la siguiente gráca, ¿cuál es la moda moda de pasa- de pasa-
 jeros en el número de  jeros en el número de vuelos?vuelos?00
55
1010
1515
2020
NúmeroNúmero
de vuelosde vuelos
11000 0 11110 0 11220 0 11330 0 11440 0 115500
Pasajeros por vueloPasajeros por vuelo
    A)A)    150150
    B)B)    110110
    C)C)    120120
    D)D)    140140
Muestran una gráca que compara datos de número de pasa-Muestran una gráca que compara datos de número de pasa-
 jeros que abordan un vuelo contra las v jeros que abordan un vuelo contra las veces que se ha presen-eces que se ha presen-
tado dicha situación. Nos piden que ubiquemos el dato quetado dicha situación. Nos piden que ubiquemos el dato quecorresponde a un corresponde a un conceptconcepto de o de estadísestadística.tica.
1313
  
6. M6. M
Primero haPrimero hay que entender el signicado de ly que entender el signicado de la gráca. Des-a gráca. Des-
pupuésés hahayy ququee vverer lala dedennicicióiónn dedell coconcncepeptoto modamoda,, yy nanalmlmeentntee
ubicar en las propuestas del segundo párrafo, el dato que co-ubicar en las propuestas del segundo párrafo, el dato que co-
rresponda al concepto requerido.rresponda al concepto requerido.
En el eje horizontal de la gráca se ven los númerosEn el eje horizontal de la gráca se ven los números   100100,,
110110,,   120120,,   130130,,   140140   yy   150150, con el letrero “, con el letrero “Pasajeros por númeroPasajeros por número
de vuelode vuelo”, eso signica que arriba de cada número se señalará”, eso signica que arriba de cada número se señalará
las veces que ha habido vuelos con ese número de pasajeros,las veces que ha habido vuelos con ese número de pasajeros,
por ejemplo en la gráca vemos quepor ejemplo en la gráca vemos que 7 7 vuelos  vuelos han llevadohan llevado 130 130
pasajeros y quepasajeros y que 12 12 vuelos han  vuelos han llevallevadodo 100 100 pasajeros. pasajeros.
LaLa modamoda ddee uunn ccononjjuunnttoo ddee ddaattooss eess eell rreessuultltaaddoo qquuee ssee pprree--
senta con más senta con más frecuencia, o más veces.frecuencia, o más veces.
Por ejemplo, tenemos tres niñas,Por ejemplo, tenemos tres niñas,
 Ana Ana
,,
 Beatriz Beatriz
 y y
 Carla Carla
, y dos, y dosniños,niños, Adrián Adrián y y Jorge Jorge, y las letras del alfabeto. Los datos son, a, y las letras del alfabeto. Los datos son, a
cada letra del alfabeto (eje horizontal) cada letra del alfabeto (eje horizontal) decir cuántas personasdecir cuántas personas
ttieienenenn nonommbrbree ququee ininiiciciee enen esesaa leletrtra.a. VVememosos ququee cconon AA ininiiciciaann
22 nombres, con B inicia nombres, con B inicia 1 1 nombre, con C inicia nombre, con C inicia 1 1 nombre, con J nombre, con J
iniciainicia 11 nonommbrbree yy coconn lalass ddememásás lelettrraass ininiciciaiann 00 nomnombrebres.s. ¿Co¿Conn
cuál letra inician más nombres? Vemos que con A, así, lacuál letra inician más nombres? Vemos que con A, así, la moda moda
es A.es A.
De manera análoga con el número de De manera análoga con el número de pasajeros en un vue-pasajeros en un vue-
lo, vemos quelo, vemos que   1919 vuelos han llevado vuelos han llevado   110110 pasajeros, ese es el pasajeros, ese es el
mamayyoror núnúmemeroro dede vuvuelelosos ququee hahann lllleevvadadoo unun dedetetermrmininadadoo núnú--
mero de pasajeros, en este casomero de pasajeros, en este caso   110110, luego la, luego la moda es moda es  110110 y  y lala
respuesta esrespuesta es B) B)..    ☺☺
1414
  
77   Exponentes  Exponentes
El resultado de la siguiente operaciónEl resultado de la siguiente operación 5x 5x33((−−2x2x22)) es: es:
    A)A)    10x10x66
    B)B)    −−10x10x55
    C)C)    −−10x10x
    D)D)    3x3x
SSee plplananteteaa uunana opopereraaciciónón aalglgebebrraaicicaa,, enen esesttee ccasasoo dede ddosos mono-mono-
miosmios. Se pide identicar el resultado entre las propuestas del. Se pide identicar el resultado entre las propuestas del
segundo párrafo.segundo párrafo.
En este caso los monomios tienen signo distinto, lo cualEn este caso los monomios tienen signo distinto, lo cual
signica que el producto tiene signosignica que el producto tiene signo menos menos ( (−−), después mul-), después mul-
tiplicamos los coecientes,tiplicamos los coecientes, 5 ×  5 × 22   == 10 10 y nos queda multiplicar y nos queda multiplicar
las expresiones con exponentes:las expresiones con exponentes:
5x5x33((−−2x2x22))   == − −((5x5x33)()(2x2x22))   == − −1010((xx33xx22))..
Recuerda queRecuerda que x x33 == x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x

tres vecestres veces
, y que, y que    xx22 ==    xx ⋅⋅ xx

dos vecesdos veces
, así,, así,
xx33xx22 == x ⋅ x ⋅ x x ⋅ x ⋅ x

tres vecestres veces
⋅ ⋅ x ⋅x ⋅ xx

dos vecesdos veces
==   x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x  x ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ x

cinco vecescinco veces
== x x((33++22)) == x x55..
LuegoLuego
5x5x33((−−2x2x22))   == − −10x10x55..
La respuesta esLa respuesta es B) B) ☺☺
1515
  
88    JueJuego go invinventaentadodo
Alejandro y Roberto inventaron un juego en que se ganan yAlejandro y Roberto inventaron un juego en que se ganan y
pierden puntos al tirar dados. El ganador es quien obtiene elpierden puntos al tirar dados. El ganador es quien obtiene el
mayor puntaje. La siguiente tabla muestra los puntos que ob-mayor puntaje. La siguiente tabla muestra los puntos que ob-
tuvieron en cada uno de lostuvieron en cada uno de los  55 turnos del juego, los números turnos del juego, los números
negativos son puntos perdidos y los positivos son puntos ga-negativos son puntos perdidos y los positivos son puntos ga-
nados.nados.
TurnoTurno   1   1 2 2 3 3 4 4 55
AlejandroAlejandro    55    −− 4  4 22 − −3 3 44
RobertoRoberto    −−3 6 5 03 6 5 0    −−22
¿Cuántos puntos le faltan al que perdió el juego para obte-¿Cuántos puntos le faltan al que perdió el juego para obte-ner el puntaje del ner el puntaje del ganador?ganador?
    A)A)    55
    B)B)    22
    C)C)    33
    D)D)    44
SSee prpreseseentntaa uunnaa sisitutuaaciciónón,, sese jujueeggaa uunn jujueegogo,, hhaayy uunana tatablblaa ququee
muestrmuestra varios resultados. a varios resultados. TTe preguntan e preguntan acerca de acerca de los los puntospuntos
obtenidos por los obtenidos por los jugadoresjugadores..
1616
  
Realmente no importa cuál es el juego, ni siquiera se des-Realmente no importa cuál es el juego, ni siquiera se des-
crcribibe.e. LoLo imimpoportrtanantete eses ququee AlAlejejanandrdroo yy RRobobererttoo jujuggararonon cicincncoo
turnos cada uno y obtuvo los resultados colocados en la turnos cada uno y obtuvo los resultados colocados en la tabla.tabla.
En la pregunta se pide comparar los puntos del perdedorEn la pregunta se pide comparar los puntos del perdedor
con los del ganador.con los del ganador.
Para comparar esos puntos debemos saber cuántos puntosPara comparar esos puntos debemos saber cuántos puntos
obtuvo cada jugador.obtuvo cada jugador.
Sumamos los puntos obtenidos Sumamos los puntos obtenidos y vemos quey vemos que
Alejandro obtuvoAlejandro obtuvo    55 ++ ((−− 4 4)) ++ 22 ++ ((−−33)) ++ 4 4   == 4 4 puntos puntos,,
Roberto obtuvoRoberto obtuvo    ((−−33)) ++ 66 ++ 55 ++ 00 ++ ((−−22))   == 6 6 puntos puntos..
Te piden que digas cuántos puntos le faltaron a quien per-Te piden que digas cuántos puntos le faltaron a quien per-
dió, para alcanzar el puntaje de dió, para alcanzar el puntaje de quien ganó.quien ganó.
Vemos que a Alejandro (que obtuvoVemos que a Alejandro (que obtuvo 4 4 puntos) le faltaron puntos) le faltaron
22 puntos para obtener el  puntos para obtener el puntaje de Roberto.puntaje de Roberto.
Así, la respuesta esAsí, la respuesta es B) B)..    ☺☺
1717
  
99    FFactoriza actoriza la la expresiexpresiónón
FFactoriza la actoriza la siguiente expresiónsiguiente expresión
aa22 ++ abab −− abab −− bb22
    A)A)    ((aa ++ bb)()(aa −− bb))
    B)B)    ((aa −− 2b2b))22
C)C)    ((2a2a ++ bb))22
    D)D)    ((2a2a ++ bb)()(aa −− 2b2b))
Se presenta una expresión algebraica y se pide expresarla co-Se presenta una expresión algebraica y se pide expresarla co-
mo producto de dos binomios e identicar el resultado en lasmo producto de dos binomios e identicar el resultado en las
respuestas propuestas en el respuestas propuestas en el segundo párrafo.segundo párrafo.
EnEn prprimimerer lulugagarr dedebebemomoss sisimmplpliicacarr lala exexprpresesióiónn alalggebebrarai-i-
ca presentada, vemos que el segundo y tercer término son re-ca presentada, vemos que el segundo y tercer término son re-
cíprocos aditivos, es decircíprocos aditivos, es decir, al , al sumarsumarlos se los se obtieneobtiene 0 0,,
aa22 ++ abab −− abab −− bb22 == a a22 ++ ((abab −− abab)) −− bb22
== a a
22
++ 00 −− bb
22
== a a22 −− bb22..
1818
  
LaLa exexprpresesióiónn alalggebebrraiaicaca prpresesenentatadada sese rereduducece aa aa22−−bb22,que,que
se trata de uno de los llamadosse trata de uno de los llamados productos notables productos notables11,, la la diferencia diferencia
de cuadradosde cuadrados, que se, que se factoriza factoriza como como
aa22 −− bb22 == ( (aa ++ bb)()(aa −− bb))..
LuLuego la ego la respuesta correcta esrespuesta correcta es A) A)..    ☺☺
Sinorecuerdaslosproductosnotablespuedesefectuarlasope-Sinorecuerdaslosproductosnotablespuedesefectuarlasope-
raciones en cada una de las respuestas propuestas hasta en-raciones en cada una de las respuestas propuestas hasta en-
contrar la expresión que de como resultadocontrar la expresión que de como resultado a a22 −− bb22..
Veamos la primera,Veamos la primera, A) A)    ((aa ++ bb)()(aa −− bb)),,
((aa ++ bb)()(aa −− bb))   == a a((aa −− bb)) ++ bb((aa −− bb))
== a a22 −− abab ++ baba −− bb22
== a a22 ++ abab −− abab −− bb22..
¡Sorpresa! al efectuar el producto¡Sorpresa! al efectuar el producto ( (aa++bb)()(aa−−bb)) obtenemos obtenemos
lala exexprpresesióiónn ininiciciaial,l, ininclclususoo anantetess dede sisimmplpliicacarrlala.. BiBienen,, hehemomoss
hallado que la respuesta correcta eshallado que la respuesta correcta es A) A) y nos hemos ahorrado y nos hemos ahorrado
el cálculo de los productos restantes.el cálculo de los productos restantes.    ☺☺
11 VVerer   https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables  https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
1919
https://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
  
1010   Desarrolla  Desarrolla
Desarrolla la expresiónDesarrolla la expresión
(( 4m  4m −−nn))
22
    A)A)    4m 4m 22 −− 8mn8mn −−nn22
    B)B)    4m 4m 22 −− 8mn8mn ++nn22
    C)C)    16m 16m 22 −− 8mn8mn ++ nn22
    D)D)    16m 16m 22 ++ 8mn8mn −− nn22
El términoEl término Desarrollar Desarrollar, referido a una expresión algebraica se, referido a una expresión algebraica se
reere a efectuar todas las operaciones señaladas. Te piden lo-reere a efectuar todas las operaciones señaladas. Te piden lo-calizar la respuesta en las calizar la respuesta en las propuestas del segundo párrafo.propuestas del segundo párrafo.
En este caso la operación esEn este caso la operación es elevar al cuadrado elevar al cuadrado un binomio. un binomio.
Hay unaHay una tonadita tonadita que nos enseñan en la secundaria para que nos enseñan en la secundaria para
elevelevar un ar un binomio al binomio al cuadracuadrado,do,
El primero al cuadrado, más dos veces el primeroEl primero al cuadrado, más dos veces el primero
por el segundo, más el segundo al cuadrado.por el segundo, más el segundo al cuadrado.
Procedamos, el primer término del binomio esProcedamos, el primer término del binomio es 4m  4m  y el se- y el se-
gundogundo11 eses − −nn..
11 PuesPues 4m  4m −−nn    == 4m  4m ++ ((−−nn))..
2020
  
El primero al El primero al cuadrcuadrado,ado, ( ( 4m  4m ))22 == 16m  16m 22;;
Dos veces el primero por el segundo,Dos veces el primero por el segundo, 2 2(( 4m  4m )()(−−nn))   == − −8mn8mn;;
El segundo al El segundo al cuadradcuadrado,o, ( (−−nn))22 == n n22..
La suma de los términos es el resultado de elevar al cua-La suma de los términos es el resultado de elevar al cua-
drado el binomio,drado el binomio,
(( 4m  4m −− nn))22 == 16m  16m 22 −− 8mn8mn ++nn22..
LaLa prpropopueueststaa dedell sesegugundndoo pápárrrrafafoo cocorrrresespopondndieientntee aa lala reres-s-
puesta espuesta es C) C)..    ☺☺
Pero si no recuerdas o no sabes la tonadita, puedes efectuarPero si no recuerdas o no sabes la tonadita, puedes efectuar
directamente la operación pedida,directamente la operación pedida,
(( 4m  4m −−nn))22 == ( ( 4m  4m −− nn)()( 4m  4m −−nn))
== 4m  4m (( 4m  4m −−nn)) −− nn(( 4m  4m −− nn))
== ( ( 4m  4m ))22 −− 4mn 4mn −− 4mn 4mn ++ ((−−nn))22
== 16m  16m 22 −− 8mn8mn ++nn22..
Y obtienes el mismo resultado.Y obtienes el mismo resultado.    ☺☺
2121
  
1111   Anillo  Anillo
¿Cuál planteamiento algebraico permite conocer solo el costo¿Cuál planteamiento algebraico permite conocer solo el costo
del anillo?del anillo?
EEnn uunana titienendada dede bibisusuttereríaía,, uunana pupulslsereraa yy unun aaninilllloo cucuesestatann
$300$300. La pulsera cuesta. La pulsera cuesta $60 $60 más que el anillo. más que el anillo.
 A)A)
   xx ++ y y   == 300 300
xx   == y y ++ 6060
B)B)
   xx ++ y y   == 300 300
xx   == y y −− 6060
C)C)
   xx −− y y   == 300 300
xx
  ==
 y y ++ 6060
D)D)
   xx −− y y   == 300 300
xx   == 60 60 −− y y
Vemos el enunciado de un problema y varias propuestas deVemos el enunciado de un problema y varias propuestas de
respuesta. La pregunta es acerca del planteamiento del pro-respuesta. La pregunta es acerca del planteamiento del pro-
 blema,  blema, te te piden piden que que digas digas cuál cuál es es el el planteamiento planteamiento correctocorrecto
para resolver el problema.para resolver el problema.
En el problema dicen cuál es el En el problema dicen cuál es el precio deprecio de dos dos artículos, una artículos, una
pulsera y un anillo. Y dicen cuánto cuesta la pulsera respectopulsera y un anillo. Y dicen cuánto cuesta la pulsera respecto
al precio del anillo.al precio del anillo.
2222
  
Aquí conviene hacer unAquí conviene hacer un modelo matemático modelo matemático de la situación. de la situación.
Para traducir la situación a un lenguaje matemático, denote-Para traducir la situación a un lenguaje matemático, denote-
mos conmos con x x a la pulsera y con a la pulsera y con y y al anillo. al anillo.
La frase “una pulsera y un La frase “una pulsera y un anillo cuestananillo cuestan $300 $300” se traduce” se traduce
comocomo x x ++ y y   == $300 $300..
LaLa frfrasasee “l“laa pupulslsereraa cucuesestata $60$60 másqueelanillo”setraducemásqueelanillo”setraduce
comocomo x x   == y y ++ $60$60..
Así, el Así, el planteamiento algebrplanteamiento algebraico del problema aico del problema eses
xx ++ y y   == 300 300
xx   == y y ++ 60,60,
que corresponde a la propuestaque corresponde a la propuesta A) A)..    ☺☺
El modelo obtenido es unEl modelo obtenido es un sistema de sistema de dos dos ecuaciones ecuaciones lineales; en lineales; en
lala prprimimereraa ececuauaciciónón susubsbstititutuimimosos elel vvalaloror dede xx exexprpresesadadoo enen lala
segunda ecuación, obtenemossegunda ecuación, obtenemos
(( y y ++ 6060)) ++ y y   == 300 300
2y2y   == 300 300 −− 6060
 y y   ==
240240
22
 y y   == 120. 120.
Al substituir este valor deAl substituir este valor de  y y en la segunda ecuación, obte- en la segunda ecuación, obte-
nemos el valor denemos el valor de x x,,
xx   == y y ++ 6060
== 120 120 ++ 6060
== 180. 180.
VVememosos enentotoncnceses ququee lala pupulslsereraa cucuesestata $180$180 yy eell aanniilllloo ccuueess--
tata $120 $120, precios que cumplen con las condiciones del proble-, precios que cumplen con las condiciones del proble-
ma. ¿Quién nos preguntó ésto? ¡Nadie! Lo resolvimos comoma. ¿Quién nos preguntó ésto? ¡Nadie! Lo resolvimos como
pilón.pilón.    ☺☺
2323
  
1212  Viaje en globo Viaje en globo
Una persona queviaja en un globo aerostático aUna persona que viaja en un globo aerostático a   700700 m de al-m de al-
tura, distingtura, distingue un pueblo ue un pueblo con un ángulo de con un ángulo de depresión dedepresión de 16 16○○..
¿A cuántos metros se encuentra el ¿A cuántos metros se encuentra el pueblo?pueblo?
Considera:Considera:
senoseno 1616○○ == 0.2756 0.2756;coseno;coseno 1616○○ == 0.9613 0.9613;; tantangegentente1616○○ == 0.2867 0.2867..
    A)A)    201201
    B)B)    728728
    C)C)   2,442  2,442
    D)D)   2,540  2,540
TTee dedescscrribibenen ununaa sisittuauaccióiónn ddee uunana pepersrsononaa ququee vvee unun pupuebeblolo yy
te preguntan a qué distancia está el pueblo. Además te dante preguntan a qué distancia está el pueblo. Además te dan
unos datos deunos datos de  funciones trigonométricas funciones trigonométricas  de un ángulo. Final- de un ángulo. Final-
mente hay que ubicar la respuesta correcta entre las propues-mente hay que ubicar la respuesta correcta entre las propues-
tas debajo de la raya horizontal.tas debajo de la raya horizontal.
Es necesario comprender la pregunta, por ejemplo, ¿quéEs necesario comprender la pregunta, por ejemplo, ¿qué
signicasignica ángulo de depresión ángulo de depresión??
Cuandoparadosenlacallevemosaloaltodeunedicio,elCuandoparadosenlacallevemosaloaltodeunedicio,elánguloformadoporlalíneadelacalleylalíneadeladirecciónánguloformadoporlalíneadelacalleylalíneadeladirección
2424
  
denuestramiradaesundenuestramiradaesun ángángululoo dede elelevevaciaciónón,elevamoslamirada,elevamoslamirada
para vpara ver a lo er a lo alto del edicio.alto del edicio.
SíSí esestatammosos paparraadodoss enen lolo alalttoo ddee lala pipirrámámididee dedell sosol,l, eenn TTeoeo--
tihuacán, y vemos a las personas que están abajo de la pirámi-tihuacán, y vemos a las personas que están abajo de la pirámi-
de, el ángulo que forma nuestra vista hacia el horionte con lade, el ángulo que forma nuestra vista hacia el horionte con la
vista hacia abajo de la pirámide, es unvista hacia abajo de la pirámide, es un ángulo de depresión ángulo de depresión, ba-, ba-
 jamos la mirada para v jamos la mirada para ver hacia abajo.er hacia abajo.
Así, nos dicen que una persona en un globo aAsí, nos dicen que una persona en un globo a   700700 m, alm, al
 bajar bajar 16 16○○ la mirada, distingue un pueblo. Tracemos una gurala mirada, distingue un pueblo. Tracemos una gura
para ilustrar la situación.para ilustrar la situación.
GloboGlobo
PuebloPueblo
700700 mm
1616○○
dd    == distancia al pueblo distancia al pueblo
aa
Desde el Globo aDesde el Globo a 700 700 m de altura, con un ángulo de depre-m de altura, con un ángulo de depre-
sión desión de 16 16○○ se distinguse distingue un Pueblo. Hae un Pueblo. Hayy que hallar la dique hallar la distanciastancia
dd al Pueblo. al Pueblo.
¿Estás de acuerdo en que el ángulo de depresión de¿Estás de acuerdo en que el ángulo de depresión de
  1616○○
desde el Globo, mide lo mismo que el ángulo de elevacióndesde el Globo, mide lo mismo que el ángulo de elevación   aa
desde el Pueblo?desde el Pueblo?
¡Claro pues esos ángulos son¡Claro pues esos ángulos son alternos internos alternos internos!!11..
Por lo tanto, la tangente dePor lo tanto, la tangente de   1616○○ es igual a la tangente dees igual a la tangente de
aa  que es, según los datos dados al principio del problema, que es, según los datos dados al principio del problema,
0.28670.2867. Recordamos, de las. Recordamos, de las relaciones trigonométricas relaciones trigonométricas denidas denidas
en unen un triángulo rectángulo triángulo rectángulo22, que la tangente de un ángulo es la, que la tangente de un ángulo es la
razón del cateto opuesto al razón del cateto opuesto al cateto adyacecateto adyacente.nte.
11
VVer er MAMATEMTEMÁÁTICTICAS:AS: UnUn enfenfoqoqueue dede reresolusolucióciónn dede proprobleblemasmas parparaa maesmaestrtrososde educación básicade educación básica, sección 11.3, páginas 710–726., sección 11.3, páginas 710–726.
22 https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo ..
2525
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo
https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulo
  
12. V  12. V  
Así,Así,
tangentetangente 1616○○ ==
700700
dd
   ..
De la fórmula anterior despejamosDe la fórmula anterior despejamos d d y obtenemos y obtenemos
dd   ==
700700
tangentetangente 1616○○
==
700700
0.28670.2867
== 2442. 2442.
Es decir que la distancia al pueblo es deEs decir que la distancia al pueblo es de  2,442 2,442 m, y la res-m, y la res-
puesta espuesta es C) C)..    ☺☺
2626
  
BibliografíaBibliografía
[1] [1] RicRick Bk B, S, Shlomhlomo Lo L y John y Johnnny Wy W. L. L.. MATE- MATE-
 MÁT MÁTICAS: UICAS: Un enfn enfoque de oque de resolución resolución de problemade problemas para s para maestros maestros dede
educación básicaeducación básica. Tr. Trad. por Manuel ad. por Manuel L M. México: Ló-L M. México: Ló-
pez Mateos Editores, 2012. : 978-6079558321. :pez Mateos Editores, 2012. : 978-6079558321. :  https: https:
//lopez-mateos.com//lopez-mateos.com..
[2][2]    Guía Guía InteractivInteractiva a 2018 2018 . . 2018. :. . 2018. :   http://bit.ly/ http://bit.ly/
2PngcJs2PngcJs..
[3] [3] ManManuel uel LL  MM.. Matemáticas básicas Matemáticas básicas. 2018. :. 2018. :  https: https:
//matbas.mi-libro.club///matbas.mi-libro.club/ ..
[4] [4] GeoGeorgrge e PP.. Cómo plantear y resolver problemas Cómo plantear y resolver problemas. México: Edi-. México: Edi-
torial Trillas, 1989. : 978-9682400643. :torial Trillas, 1989. : 978-9682400643. :   http://www. http://www.
etrillas.com.mx/detalle.php?isbn=9789682400643&estiloetrillas.com.mx/detalle.php?isbn=9789682400643&estilo ==
&tema=17&tema=17..
[5[5] ] GeGeororggee PP.. How t How to Solo Solve Itve It.. PrPrinincecetoton,n, NJNJ:: PrPrinincecetotonn UUninivverer--
sity Press, 1945. :sity Press, 1945. :  https://press.princeton.edu/titles/  https://press.princeton.edu/titles/
669.html669.html..
[6] [6] GeoGeorgrge e PP.. Mathematical Discovery, Combined Edition Mathematical Discovery, Combined Edition. New. New
YYork: John Wiley & Sonsork: John Wiley & Sons, Inc., , Inc., 1981. :1981. :   https://www.wilhttps://www.wiley.ey.
com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.htmlcom/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.html ..
2727
https://lopez-mateos.com/
https://lopez-mateos.com/
https://lopez-mateos.com/
http://bit.ly/2PngcJs
http://bit.ly/2PngcJs
http://bit.ly/2PngcJs
https://matbas.mi-libro.club/
https://matbas.mi-libro.club/
https://matbas.mi-libro.club/
http://www.etrillas.com.mx/detalle.php?isbn=9789682400643&estilo=&tema=17
http://www.etrillas.com.mx/detalle.php?isbn=9789682400643&estilo=&tema=17
http://www.etrillas.com.mx/detalle.php?isbn=9789682400643&estilo=&tema=17
http://www.etrillas.com.mx/detalle.php?isbn=9789682400643&estilo=&tema=17
https://press.princeton.edu/titles/669.html
https://press.princeton.edu/titles/669.html
https://press.princeton.edu/titles/669.html
https://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.html
https://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471089753.html
  
Índice alfabéticoÍndice alfabético
AA
aditivoaditivorecíproco,recíproco, 18 18
aislar,aislar, 2 2
algebraicaalgebraica
expresión,expresión, 18 18
ánguloángulo
de depresión,de depresión, 24 24
de elevación,de elevación, 25 25
llano,llano, 9 9
ángulos,ángulos, 7 7alternos internos,alternos internos, 8 8,, 25 25
congruentes,congruentes, 8 8
contiguos,contiguos, 9 9
suplementarios,suplementarios, 9 9
anillo,anillo, 22 22
BB
 billete, billete, 10 10
 binomio binomio
al cuadrado,al cuadrado, 3 3
 binomios binomios
con un término común,con un término común,
22
conjugados,conjugados, 2 2,, 1212
multiplicación de,multiplicación de, 12 12
producto de dos,producto de dos, 18 18
CC
cambio,cambio, 10 10
compra,compra, 10 10
conjunto,conjunto, 6 6
cuadradoscuadrados
diferencdiferencia ia de,de, 2 2,, 12 12,, 19 19
DD
dato,dato, 13 13
desarrolladesarrolla
expresión,expresión, 20 20
distancia,distancia, 5 5
EE
ecuacionesecuaciones
sistema de,sistema de, 23 23
ejeeje
2828
  
Índice alfabéticoÍndice alfabético
horiontal,horiontal, 14 14
elevarelevar
al cuadrado,al cuadrado, 20 20
estadística,estadística, 13 13
FF
factores,factores, 1 1
factoriza,factoriza, 18 18
GG
gráca,gráca, 13 13
II
introducción,introducción, vi vi
 J J
 juego, juego, 16 16
MM
moda,moda, 13 13,, 14 14
modelomodelo
matemático,matemático, 23 23
monomios,monomios, 15 15
montomonto
de compra,de compra, 11 11
devuelto,devuelto, 10 10
multilicaciónmultilicación
de binomios,de binomios, 12 12
NN
número,número, 4 4
OO
operaciónoperación
algebraica,algebraica, 12 12,, 15 15
PP
pago,pago, 10 10
paralelas,paralelas, 7 7
P, G.,P, G., vii vii
precio,precio, 11 11
productos notables,productos notables, 1 1,, 2 2,, 19 19
RR
recta numérica,recta numérica, 5 5
SS
secantes,secantes, 8 8
TT
triángulo,triángulo, 8 8
triángulotriángulo
rectángulo,rectángulo, 25 25
trigonométricastrigonométricas
funciones,funciones, 24 24
VV
valor absoluto,valor absoluto, 5 5
viajeviaje
en globo,en globo, 24 24
2929
  
M L M inició su activi-M L M inició su activi-
dad docente en 1967 en la Facultad dedad docente en 1967 en la Facultad de
Ciencias de la . Ha impartido cur-Ciencias de la . Ha impartido cur-sososs dede CáCálclcululoo didiffererenencicialal ee inintetegrgralal,, AnAná-á-
lilisisiss mamatetemámátiticoco,, ÁlÁlggebebrara lilinenealal yy TTopopoloolo--
gía diferencial, entre gía diferencial, entre otros. En otros. En particularparticular,,
enen elel añañoo ddee 19197272,, imimpapartrtióió,, enen elel enenttononcceses
CeCentntroro dede DiDidádáctcticicaa dede lala UNUNAMAM,, CuCursrsosos
de capacitación para la primera generación de profesores dede capacitación para la primera generación de profesores de
matemáticas del Colegio de Ciencias y Humanidades ()matemáticas del Colegio de Ciencias y Humanidades ()
de la . Ha traducido más dede la . Ha traducido más de 15 15 importantes libros de tex- importantes libros de tex-
to de matemáticas. En el año de 2003, fue el to de matemáticas. En el año de 2003, fue el director fundaddirector fundadoror
dede lala FFacaculultatadd dede CiCienenciciasas dede lala UUninivverersisidadadd AAututónónomomaa BeBeninitoto
 Juárez de Oaxaca. Juárez de Oaxaca.
El Concurso de Asignación a la Educación Media SuperiorEl Concurso de Asignación a la Educación Media Superior
(CAEMS) lo organiza la Comisión Metropolitana de Institu-(CAEMS) lo organiza la Comisión Metropolitana de Institu-
ciones Públicas de Educación Media Superior (COMIPEMS)ciones Públicas de Educación Media Superior (COMIPEMS)
en el área conurbada de la ciudad de México.en el área conurbada de la ciudad de México.En este folleto explicamos los problemas de matemáticasEn este folleto explicamos los problemas de matemáticas
propuestos por el  en lapropuestos por el  en la Guía I Guía Interactivanteractiva, presentando, presentando
así un abanico de métodos que cubren buena parte del mate-así un abanico de métodos que cubren buena parte del mate-
rial requerido.rial requerido.
MMLL    MM
EDITOREDITOR
https://aprendomate.mi-libro.clubhttps://aprendomate.mi-libro.club
https://aprendomate.mi-libro.club/