Aritmética 1-1

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
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AritméticA
Matemática
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 aritmética
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Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
MateMática Delta 1 - aritMética 3
Presentación
Estimado estudiante, en esta nueva etapa en tu vida escolar, seguiremos siendo tu apoyo 
académico, continuaremos por el mismo camino y en la misma dirección. Si bien es cierto, esta 
etapa es diferente; sin embargo, nuestra forma de trabajar no ha cambiado.
Esta nueva colección permitirá desarrollar, aún más, las competencias matemáticas, afianzar la 
forma de resolver problemas empleando, en muchos casos, estrategias nuevas, utilizando siempre 
el razonamiento lógico y en base a situaciones de la vida real o simuladas, con el único objetivo de 
que estas sean aplicadas cuando las requieras.
Todo el contenido teórico que debes conocer para fortalecer tus capacidades y competencias han 
sido distribuidos en estos libros: Aritmética, Álgebra, Geometría, Trigonometría y Razonamiento 
Matemático; en ellos encontrarás los estándares de aprendizaje que el Ministerio de Educación 
ha designado para este nivel.
Al mismo tiempo, complementamos lo planteado con algunos ejercicios que han sido tomados de 
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés preparado 
desde ahora.
Comencemos este año escolar con la mejor disposición para adquirir nuevos conocimientos y 
mantengamos el mismo espíritu durante todo el año.
Delta Editores
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
26
Tema
Multiplicación y división 
de números naturales
Leyes de la multiplicación
Multiplicación en 
La multiplicación, así como la adición, es una de las principales operaciones que 
se realiza en Matemática. Está muy relacionada con la adición, porque si sumas 
7 + 7 + 7 + 7, es lo mismo que 4 veces 7 o 4 por 7.
La multiplicación consiste en que dados dos números naturales «A» y «B» llamados 
multiplicando y multiplicador, respectivamente, relacionados a través de esta operación, 
se obtiene un resultado «P» denominado producto, que resulta de sumar el mismo 
sumando «A» el cual aparece «B» veces. 
6 × 5 × 8 = (6 × 5) × 8
 = 30 × 8
 = 240
6 × 5 × 8 = 6 × (5 × 8)
 = 6 × 40 
 = 240
6 × 5 × 8 = (6 × 8) × 5
 = 48 × 5
 = 240
Clausura
El producto que resulta de multiplicar dos 
números naturales, es también un número 
natural.
∀ a, b ∈ , (a × b) ∈ 
Ejemplo:
6 y 13 ∈ ⇒ 6 × 13 = 78 ∈ 
Conmutativa
En una multiplicación de dos números 
naturales, el orden de los factores no 
altera el producto.
 a × b = b × a
Ejemplo:
7 y 12 ∈ 
Entonces: 7 × 12 = 12 × 7
 84 = 84
Asociativa
La forma cómo asociemos los factores de 
la multiplicación, no altera el producto. 
∀ a, b, c ∈ , se cumple que:
a × b × c = a × (b × c) 
a × b × c = (a × b) × c
a × b × c = (a × c) × b
Ejemplo:
6; 5 y 8 ∈ 
Entonces:
Donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
A y B también se denominan factores
 ∀ A, B ∈ 
A + A + A + ... + A = P
«B» sumandos
a = b A × B = P
Elemento neutro
En la multiplicación, el número 1 es el 
elemento neutro. La multiplicación de 
cualquier número natural por 1, da como 
resultado el mismo número natural.
∀ a ∈ 
Se cumple que: a × 1 = 1 × a = a
Ejemplos:
● 2358 × 1 = 1 × 2358 = 2358
● 1469 × 1 = 1 × 1469 = 1469
2
Import a nt e
La multiplicación se 
representa con una 
aspa (×) o un punto 
(●). Sin embargo, 
usar el aspa(x) 
no es aconsejable 
porque crea una 
confusión innecesaria 
con la letra que 
normalmente se 
asigna a una incógnita 
en una ecuación.
Título del tema
Para una mejor 
organización, 
los temas están 
numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
4
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
Síntesis
Contenido 
del tema, que 
incluye teoremas, 
postulados, 
fórmulas, 
propiedades, 
leyes, etc., 
resumido en 
organizadores 
gráficos para tener 
un panorama 
general del 
contenido.
Modela y 
resuelve
Los problemas 
con numeración 
impar serán 
resueltos por el 
docente, mientras 
que los pares 
serán resueltos 
por el estudiante 
siguiendo la 
secuencia 
realizada por el 
educador.
51MateMática Delta 1 - aritMética
2 Un buzo que se encontraba a 15 metros bajo el nivel del mar decide bajar unos 8 
metros logrando atrapar un pez corvina. Luego, al subir 6 metros, el pez da un fuerte 
coletazo y escapa. Determina a qué distancia sobre el nivel del mar se encuentra el 
buzo. Ilustra la situación.
Resolución:
Se encuentra a 17 m bajo el nivel 
del mar.
Para saber exactamente dónde se 
encuentra el buzo, efectuamos la 
operación:
(–15) + (–8) + (+6)
 (–23) + (+6)
 –17
–15
–8
+6
nivel del mar
3
Resolución:
Rpta. Al efectuar obtenemos 11 454.
{(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19] } (4 – 3 × 9)
{ (+1992) + (+30) [(–12) + 6 (–15) + 19] } (4 – 27)
 { 1992 + 30 [(–12) + (–90) + 19] } (–23)
 { 1992 + 30 [–83] } (–23)
 { 1992 + (–2490) } (–23)
 {–498} (–23)
 +11 454
Efectúa.
{(–83)(–24) + (–5)(–6) [(–12) + 6(–3)(+5) + 19]} (4 – 3 × 9)
Sea x un número entero mayor que –3, pero menor que 4; determina cuántos valores 
puede tomar x.
–3 < x < 4
Resolución:
Matematizando tendremos:
En la recta numérica:
Rpta. x toma 6 valores.
x = –2; –1; 0; 1; 2; 3
... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ...
1
Se denomina nivel 
del mar al que sirve 
como referencia 
para ubicar la altitud 
de las localidades 
y accidentes 
geográficos, excepto 
los accidentes 
submarinos que 
se miden por su 
profundidad.
La unidad de medida 
en que suele medirse 
la altura sobre el nivel 
del mar es el metro. 
Se habla, pues, de 
metros sobre el nivel 
del mar, abreviado: 
m s.n.m.
También se habla 
de metros bajo el 
nivel del mar, cuya 
abreviación es 
m b.n.m. 
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
Rpta. Se encuentra a 17 m bajo el nivel del mar.
79MateMática Delta 1 - aritMética
2 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor 
de a3 + b2 sabiendo que: 
A = {7a + 6; 2} , B = {26 – 3b; 41}.
Resolución:
1 Si los conjuntos A y B son iguales, calcula el valor 
de a2 + b3 sabiendo que: 
A = {12a – 7; –2} 
B = {28 – 5b; 53}.
Resolución:
Rpta.Rpta.
Conjuntos La palabra «conjunto» indica una colección de objetos reales o 
abstractos que están bien definidos y que se llaman elementos.
Determinación Relación de pertenencia
Relaciones
Conjunto - Conjunto
Conjunto potencia
Conjuntos especiales
Operaciones entre conjuntos
Cardinal
Por extensión 
Cuando sus elementos están 
escritos uno a uno.
Ejemplo: 
B = {2; 3; 4; 5; 6; ...}
Por comprensión 
Cuando se define la o las 
características que poseen los 
elementos del conjunto.
Ejemplo: 
T = {2x – 1 / x ∈ ; 5 < x < 9}
Número de elementos del 
conjunto. 
Ejemplo: Sea M = {8; 6; 8; 8}
# M = n(M) = 2
Entre un elemento y 
un conjunto.
• Unitario
• Vacío
• Universal
Unión
A B
A – B
A B
A B
Intersección
Diferencia
Diferencia 
simétrica
Complemento
Inclusión
Ejemplo:
A = {2; 3; 6; 8; 9}
B = {3; 6; 8}
Entonces: B ⊂ A
Conjuntos iguales
A = {5; 8; 3}
B = {8; 5; 3}
Entonces A = B
Formado por todos los 
subconjuntos.
Ejemplo: A = {2; 3}
P(A) = {∅; {2}; {3}; {2; 3}}
n[P(A)] = 2n = 22 = 4
A B
B
B
B
A
A
A
A
Síntesis
Modela y resuelve 
Nombre de la 
sección
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o 
simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de 
la situación 
planteada.
Espacio para 
resolver 
el problema.
Nombre de la 
sección
Nombre 
de la sección
5MateMática Delta 1 - aritMética
Practica y 
demuestra
se plantean 
preguntas 
que han sido 
organizadas 
por niveles de 
complejidad y de 
elección múltiple, 
en las cuales 
el estudiante 
demostrará lo 
aprendido durante 
la sesión.
Test
Esta 
evaluación 
incluye 
preguntas 
del contenido 
de los temas 
desarrollados 
en la unidad 
y son de 
elección 
múltiple.
6
Nombre de la 
sección
Número de test
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
Alternativas
Espacio para 
realizar anotaciones 
de resolución
Alternativas
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas 
de acuerdo a la unidad.
105MateMática Delta 1 - aritMética
 Calcula el numerador de una fracción equivalente 
a 3
5
, sabiendo que la diferencia de los cuadrados 
de sus términos es 1024.
1
 Encuentra una fracción equivalente a 126
336
, tal que 
la suma de sus términos esté comprendida entre 
199 y 219. Dar como respuesta la diferencia de 
sus términos.
2
 Halla la suma de los numeradores de aquellas 
fracciones de la forma n
24
, la cual es una fracción 
propia e irreductible mayor que 3
7 
 .
3
A 16 B 24 C 32
D 56 E 42
A 97 B 76 C 95
D 100 E 90
A 60 B 72 C 70
D 66 E 83
 En un instituto hay 690 alumnos. Si dos quintas 
partes de ellos han participado en el concurso 
de fotografía y un tercio del resto en el de dibujo, 
¿cuántos alumnos no han participado en ninguno 
de los dos concursos?
4
 A un congreso de Medicina han acudido 125 
pediatras, 100 dermatólogos, 200 neurólogos 
y m cirujanos. Si los cirujanos y dermatólogos 
representan los siete veinteavos del total de 
asistentes al congreso, ¿qué fracción del total 
representan los cirujanos?
5
Un libro tiene cierta cantidad de páginas. El primer 
día leemos 1
4
; el segundo, 2
5
 y el tercero, 4
7
 del 
resto de hojas. Si aún quedan 12 páginas por leer, 
¿cuántas páginas leímos el tercer día? 
6
A 7
24
 B 3
20
 C 5
24
D 9
20
 E 7
20
A 12 B 14 C 16
D 18 E 20
A 284 B 272 C 276
D 268 E 288
Nivel I
Practica y demuestra
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
175MateMática Delta 1 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Un comerciante desea poner en cajas
12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo 
que cada caja contenga el mismo número de 
manzanas o naranjas y, además, sea la mayor 
cantidad posible. Halla el número de frutas que 
debe contener cada caja.
6
Si el número 25aa9 es divisible por 7 y a2an es 
divisible por 4. Calcula la suma de los valores 
correspondientes de a × n.
3
56A
72
64B
80DC
Si el número a8a3aa es divisible por 3, encuentra 
los valores que puede tomar a. Da como 
respuesta la suma de dichos valores.
2
11A
13
12B
14DC
Determina qué valores puede tomar a para que 
el número ab52a sea divisible por 4. Da como 
respuesta la suma de dichos valores.
1
12A
15
14B
16DC
4 Si el número a4a3a8 es divisible por 11; abbabb 
es divisible por 9 y 6cabn es divisible por 4. 
Determina los valores correspondientes de b × n. 
Da como respuesta la suma de dichos valores.
18A
24C
20
28D
B
5 Un faro se enciende cada 36 segundos, otro 
cada 48 segundos y un tercero cada minuto; si a 
las 6:10 p. m. los tres coinciden, calcula cuántas 
veces volverán a coincidir hasta las 7:00 p. m.
3 vecesA
5 veces
4 vecesB
6 vecesDC
230A
124
160B
62DC
 
7MateMática Delta 1 - aritMética
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
ca
nt
id
ad
Traduce 
cantidades a 
expresiones 
numéricas.
los números naturales10
Números naturales
Relación de orden
Operaciones con números naturales
multiplicación y división de números naturales 26
Multiplicación en 
División en 
los números enteros 45
Relación de orden
Operaciones con números enteros
signos de agrupación y prioridad de las operaciones
teoría de conjuntos 66
Definiciones
Determinación de un conjunto
Operaciones entre conjuntos
Fracciones 91
Números fraccionarios
Clasificación de las fracciones
Operaciones con fracciones
números decimales 109
Definiciones
Clasificación de los números decimales
Operaciones con números decimales
Aproximación con decimales
divisibilidad 131
Divisores y múltiplos de un número
Criterios de divisibilidad
máximo común divisor y mínimo común múltiplo 145
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
razones 161
Definiciones
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre los 
números y las 
operaciones.
Usa estrategias 
y procedimientos 
de estimación y 
cálculo.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre las 
relaciones 
numéricas y las 
operaciones.
Índice
Al hablar de «Teoría de conjuntos», es inevitable mencionar a Georg Ferdinand Ludwig Philipp 
Cantor, o simplemente Georg Cantor, un matemático cuyo origen se remonta al antiguo imperio 
ruso. Este hombre, nacido en San Petersburgo el año 1845, estudió en la Universidad de Zúrich 
y, tras la muerte de su padre, se trasladó a la Universidad de Berlín donde concluyó su carrera 
especializándose en Matemática, Física y Filosofía. Años después de hacer su doctorado en 
1867, comenzó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. Es ahí donde realiza 
varios estudios, entre ellos, su trabajo en la teoría de conjuntos que fue publicado en 1874, 
lo cual lo hizo conocido en el ambiente académico; en él, habla acerca del tamaño de los 
conjuntos infinitos.
Cuando Cantor dio a conocer sus estudios sobre los infinitos, pocas fueron las personas que 
vieron con buenos ojos aquellos trabajos; una de las personas a las que no le agradaran estos 
fue a Leopold Kronecker, quien anteriormente había sido su mentor en la Universidad de Berlín, y 
luego pasó a considerarlo como un carbunclo matemático. Kronecker sostenía que desconocía 
qué predominaba en la teoría de Cantor, si la filosofía o la teología, pero que estaba seguro 
que lo que ahí no había era matemática. En cierto sentido, Kronecker tenía razón, las ideas 
de Cantor coqueteaban con la filosofía y ponía en cuestionamiento los fundamentos de las 
matemáticas.
La carrera de Cantor no fue reconocida sino hasta principios del siglo XX, cuando fue galardonado 
con una medalla de la Sociedad Real de Londres. Este ilustre matemático falleció de un ataque 
al corazón el 6 de enero de 1918 en una clínica psiquiátrica.
Georg Cantor:
Teoría
de
conjuntos
8
Muchas personas creen que Cantor fue un adelantado 
a su época. Durante los años en que realizó sus trabajos 
de investigación, nos dejó también algunas frases con 
las que defendía dichos estudios:
El miedo al infinito es una forma de miopía que 
destruye la posibilidad de ver el infinito real, a pesar 
de que en su forma más elevada nos ha creado y 
sostenido.
Mi teoría se mantiene tan firme como una roca; cada 
flecha dirigida contra ella regresará rápidamente a su 
arquero.
La visión –del infinito– que considero la única correcta 
y compartida por pocos. Aunque posiblemente 
yo sea el primero en la historia en tomar esta 
posición explícitamente, ¡estoy seguro de que no 
seré el último! 
Fuente:
www.bbc.com
Actualmente se considera a Cantor como padre de la teoría de conjuntos.
En un chiste de matemáticos, un profesor le pregunta a la clase cuál es el número más grande. 
«Un trillón de billones», responde Jorge. «¿Y si es un trillón de billones y uno?», replica el profesor. 
«Bueno, estaba cerca», dice Jorge.
Los números no tienen fin. Dame un número y te daré uno más grande. De ahí partimos para 
conocer la infinidad de los números.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y las transforma a expresiones numéricas que incluyen las cuatro 
operaciones básicas con números enteros, fracciones o decimales.
• Comprueba si el modelo planteado representó las condiciones del problema: datos, acciones y 
condiciones.
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico, su comprensión del valor posicional de 
las cifras de un número, de la fracción, del significado de los signos de los números enteros, de las 
propiedades de las operaciones con números enteros y expresiones decimales para interpretar un 
problema según su contexto.
• Selecciona y emplea estrategias de cálculo, estimación y procedimientos para realizar operaciones 
con los datos indicados anteriormente.
• Plantea afirmaciones sobre las propiedades de los números y de las operaciones con números enteros 
y expresiones decimales, y sobre las relaciones inversas entre las operaciones. Las justifica o sustenta 
con ejemplos y propiedades de los números y de las operaciones. Infiere relaciones entre estas. 
Reconoce errores en sus justificaciones y en las de otros, y las corrige.
9MateMática Delta 1 - aritMética
10
Tema
Los números en la historia
Los números naturales
Relación de orden
Todos los números naturales (en la recta 
numérica) escritos a la derecha del 0 
(cero) cumplen lo siguiente:
«Aquel número natural que esté más 
cercano del 0, será de menor valor que 
aquel que está más alejado del 0». 
Los elementos del conjunto pueden 
representarse en la recta numérica como 
la que aparece en la siguiente figura.
En la recta numérica se elige un punto 
cualquiera sobre ella y se le llama 0 (cero). 
Enseguida, se selecciona otro punto a la 
derecha del 0 y se le llama 1. La distancia 
que hay entre 0 y 1 nos da una unidad de 
medida que se utilizará para localizar los 
otros puntos que se llamarán 2; 3; 4; ...; y 
así sucesivamente.
Números naturales
Un número natural es cualquiera de 
los números que se usa para contar y 
determinar la ausencia o presencia de 
los objetos. Al conjunto de los números 
naturales los representaremos con el 
símbolo .
 = {0; 1; 2; 3; 4; 5; ...}
 0 1 2 3 4 5 6 
Recta numérica
El símbolo 
proviene del latín 
Numerus, para ello se 
tomó la primera letra 
de esta palabra. 
El término Numerus 
se refiere a un signo 
o conjunto de signos.
... + ∞
Ejemplo:
El número 4 es menor que el número 6, 
frase que escribiremos como:
Del mismo modo, decir que 4 es menor 
que 6, implica decir que 6 es mayor que 4, 
frase última que escribiremos como:
El símbolo < se lee: es menor que.
a = b 4 < 6
El símbolo > se lee: es mayor que.
a = b 6 > 4
Algunos símbolos 
matemáticos son:
∀	 :	 para todo
˅	 :	 o
˄	 :	 y
⇔	 :	 si y solo si
⇒	 :	 entonces
∴	 :	 por lo tanto
Recu e rda
1
¿Sa bía s qu e.. .?
11MateMática Delta 1 - aritMética
Operaciones con números naturales
Adición en 
La adición es la operación matemática que 
consiste en reunir o agrupar dos números 
naturales para convertirlos en uno solo 
que llamaremos suma.
Donde:
a y b son sumandos y 
S es la suma.
Ejemplo:
24 + 16 = 40
• 24 y 16 son los sumandos.
• 40 es la suma.
∀	a, b ∈ 
a + b = S
Los axiomas de 
Peano son:
1. El 0 es un número 
natural.
2. Si «n» es un 
número natural 
su sucesor será 
«n + 1» y también 
es natural.
3. El 0 no es sucesor 
de ningún número 
natural.
4. Si hay dos 
números naturales 
con el mismo 
sucesor, entonces 
ambos son el 
mismo número 
natural.
5. Si 0 pertenece 
a un conjunto A; 
además, dado un 
número natural 
cualquiera (a) y 
el sucesor de ese 
número (a + 1), 
que también 
pertenece al 
conjunto A, 
entonces todos 
los elementos de 
dicho conjunto 
pertenecen a .
Import a nt e
Leyes de la adición
Clausura
La suma de dos números naturales es 
también un número natural.
∀	a, b ∈ (a + b) ∈ 
Ejemplo: 
7 y 13 ∈ ⇒	 7 + 13 = 20 ⇒	 20 ∈ 
Conmutativa
El orden de los sumandos no altera el 
valor de la suma.
∀	a, b ∈ a + b = b + a
Ejemplo:
16 + 7 = 7 + 16 ⇒ 23= 23
Asociativa
La forma cómo se agrupan los sumandos, 
no altera la suma.
∀	a, b, c ∈ 
a + b + c = (a + b) + c 
 = a + (b + c) = (a + c) + b
Ejemplo:
9 + 12 + 21
(9 + 12) + 21 = 9 + (12 + 21) = (9 + 21) + 12
 21 + 21 = 9 + 33 = 30 + 12
 42 = 42 = 42
Elemento neutro
Cuando a un número natural le adicionamos 
el 0, se obtiene como resultado el mismo 
número natural. El 0 es el elemento neutro 
en la adición.
∀	a ∈ 
a + 0 = 0 + a = a
Ejemplo:
34 + 0 = 0 + 34 = 34
Uniformidad
Si sumamos los primeros miembros de 
dos igualdades, y luego los segundos 
miembros, se obtiene otra igualdad.
∀	a, b, c, d ∈ 
Si a + b = c y d = d
Entonces: a + b + d = c + d
Ejemplo:
Se tienen: 6 + 9 = 15 y 7 = 4 + 3
Entonces: 6 + 9 + 7 = 15 + 4 + 3
 22 = 22
Cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad 
se tiene el mismo sumando, entonces 
podemos cancelar este sumando luego 
del cual obtendremos otra igualdad.
∀	a, b, c, d ∈ 
Si a + b + d = c + d
Entonces: a + b + d = c + d (cancela d)
Se obtiene: a + b = c
Ejemplo:
5 + 12 + 9 = 17 + 9
5 + 12 + 9 = 17 + 9 (cancela 9)
 5 + 12 = 17
Sustracción en 
La sustracción es una operación en la que 
dada la suma de dos números naturales y 
uno de los sumandos, debemos calcular 
el otro sumando. De allí decimos que la 
sustracción es la operación inversa de 
la adición. A la sustracción también se le 
conoce como resta.
Si S + D = M, entonces: 
Ahora partimos de la sustracción:
M – S = D
es la sustracción
Siempre y 
cuandoa = b M – S = D a = b S + D = M
12
Teniendo en cuenta los datos del cuadro, contesta:
(a) Utilizando el símbolo < ordena los sueldos de los cuatro presidentes 
latinoamericanos que ganan menos, indicando el país al que pertenecen.
País Presidente Sueldo mensual
Uruguay José Mujica $ 12 500
$ 10 000
$ 15 042
$ 2842
$ 5500
$ 18 000
$ 10 000
$ 20 409
$ 8587
$ 7000
$ 6188
$ 11 764
$ 4400
Cristina Fernández
Michelle Bachelet
Evo Morales
Ollanta Humala
Otto Pérez Molina
Juan Manuel Santos
Enrique Peña Nieto
Horacio Cortés
Rafael Correa
Nicolás Maduro
Dilma Rousseff
Juan Orlando Hernández
Argentina
Chile
Bolivia
Perú
Guatemala
Colombia
México
Paraguay
Ecuador
Venezuela
Brasil
Honduras
SUELdOS mENSUALES RECibidOS pOR LOS pRESidENtES 
LAtiNOAmERiCANOS (EN dóLARES)
A pesar de ser países vecinos, el sueldo mensual de los presidentes de las 
naciones latinoamericanas oscila considerablemente. El cuadro siguiente muestra 
cuáles fueron estos sueldos en el año 2015.
2
Al comparar números naturales con los símbolos < o > en cada pareja de números 
que se presenta, justifica tu respuesta.
Todo número natural que tenga más cifras que otro, 
siempre será mayor que este otro.
(a) 3001 > 234 ...
(b) 672 < 682 .... Ambos tienen igual cantidad de cifras y también al 6 
como primera cifra. Ahora, para determinar quién es 
mayor o menor suprimimos la cifra 6 (672 y 682) y 
comparamos los números que aún quedan. 
Como observamos, 72 < 82 corresponde el signo <.
(c) 1234 < 1243 .... Ambos tienen igual cantidad de cifras; tienen 
también al 12 como sus dos primeras cifras. Ahora, 
para determinar quién es mayor o menor suprimimos 
12 (1234 y 1243) y comparamos los números que 
quedan. Como observamos, 34 < 43 corresponde el 
signo <.
1
Import a nt e
La sustracción
(M – S) en los 
números naturales 
solo es posible 
cuando el minuendo 
M es mayor que el 
sustraendo S, y la 
diferencia D.
Es decir:
M – S = D
Solo es posible en el 
caso que M S.
Además:
M : minuendo
S : sustraendo
D : diferencia de 
 M y S
La historia del cero 
no es sencilla. Los 
antiguos griegos y 
romanos, no lograron 
dar un nombre a 
«la nada». Ellos no 
contaban «nada».
El sistema de 
numeración hindú-
arábigo que incluyó el 
cero, fue promulgado 
en occidente por 
Fibonacci en su 
Liber-Abaci (libro del 
ábaco), publicado 
en 1202.
¿Sa bía s qu e.. .?
Ejercicios resueltos
13MateMática Delta 1 - aritMética
La palabra minuendo 
proviene del latín 
MINUENDUS 
(disminuir) 
y la palabra 
sustraendo, del latín 
SUBSTRAHENDUS 
(sustraer).
Resolución:
Bolivia Honduras Perú Venezuela
$ 2842 < $ 4400 < $ 5500 < $ 6188
Resolución:
Resolución:
Sobre la recta numérica, primero ubicamos a los valores extremos 5400 y 9800.
(b) Ordenando de mayor a menor, escribe los sueldos de los cuatro presidentes 
latinoamericanos que más ganan, indicando el país al que pertenecen.
(c) Sobre la recta numérica, ubica los sueldos de los presidentes latinoamericanos 
que estén comprendidos entre $ 5400 y $ 9800.
México Guatemala Chile Uruguay
$ 20 409 > $ 18 000 > $ 15 042 > $ 12 500
0 5400 5500 6188 7000 8587 9800
Perú Venezuela Ecuador Paraguay
Rolando gastó S/ 98 en comprar un libro de Comunicación, S/ 24 más que el 
precio anterior en un libro de Matemática y S/ 75 en un libro de Inglés. Por otro 
lado, Miguel gastó S/ 104 en comprar un libro de Ciencia y Ambiente, S/ 38 menos 
en un libro de Personal Social y S/ 84 en un buzo escolar. Determina quién gastó 
más, y cuánto más.
 Resolución:
Como son dos personas que gastan dinero, entonces calcularemos cuánto 
gastaron en total cada uno. Organizamos los datos en cuadros de doble entrada.
Como 295 > 254, decimos que Rolando tiene un mayor gasto que Miguel. Para 
determinar cuánto má s gastó, restamos el menor del mayor 295 – 254 = 41.
Rpta. Rolando gastó S/ 41 más que Miguel.
Gasto de Rolando = 98 + 122 + 75
 = 295
Gasto de Miguel = 104 + 66 + 84
 = 254
Rolando
Artículo Precio (S/)
98
98 + 24
75
L. Comunicación
L. Matemática
L. Inglés
Miguel
Artículo Precio (S/)
104
104 – 38
84
L. Ciencia
L. Personal Social
Buzo escolar
3
¿Sa bía s qu e.. .?
14
El dólar 
estadounidense es 
la moneda oficial de 
Estados Unidos. 
El dólar es una 
moneda fiduciaria 
ya que su valor 
está respaldado 
únicamente por la 
confianza que le 
otorga los usuarios.
El Euro es una 
moneda de la Unión 
Europea.
 Thomas Alva Edison nació el mismo año que Alexander Graham Bell, y murió 9 años 
más tarde que Bell, quién inventó el teléfono en 1876, con 29 años de edad y murió 
46 años más tarde. ¿En qué año nació y murió Edison?
4
 Los tres últimos movimientos de la cuenta bancaria de mi madre han sido: S/ 72, 
la factura de energía eléctrica; S/ 33; la del servicio de agua potable y S/ 1300, su 
pago de haberes. Si finalmente quedó un total de S/ 18 227 en su cuenta bancaria, 
¿cuánto dinero tenía inicialmente?
5
 Roentgen descubrió los rayos X en 1895 cuando tenía 50 años y 28 años más tarde, 
murió. ¿En qué año nació y en qué año murió?
6
Resolución:
• Bell tenía 29 años en 1876:
1876 – 29 = 1847 → año en que nació Bell y Alva.
• Bell murió 46 años después de 1876:
1876 + 46 = 1922 → año en que murió Bell.
• Alva murió 9 años después del fallecimiento de Bell.
1922 + 9 = 1931 
Resolución:
• La cantidad de dínero que tenía inicialmente es desconocida: x
• S/ 72 es el pago de la factura de energía eléctrica; por lo tanto, se resta 
de la cantidad inicial.
• S/ 33 es el pago de la factura del servicio de agua potable; también se 
resta del monto inicial. 
• S/ 1300 es un ingreso de su sueldo; este monto se suma a la cantidad 
inicial.
• S/ 18 227 es la cantidad final.
x – 72 – 33 + 1300 = 18 227
 x + 1195 = 18 227
 x = 17032
Resolución:
• Roentgen tenía 50 años en 1895, entonces:
1895 – 50 = 1845 → año de nacimiento. 
• Se sabe que Roentgen falleció 28 años después de 1895, entonces: 
1895 + 28 = 1923 → año en que murió. 
Rpta. Concluimos que mi madre tenía inicialmente S/ 17 032.
Rpta. Por lo tanto, Thomas Alva Edison nació en 1847 y falleció en 1931.
Rpta. Por lo tanto, Roentgen nació en 1845 y falleció en 1923.
¿Sa bía s qu e.. .?
15MateMática Delta 1 - aritMética
Para señalar la 
desigualdado igualdad 
de dos números se 
recurre a los siguientes 
signos.
> : Mayor que
< : Menor que
= : Igual a
≥ : Mayor o igual a
≤ : Menor o igual a
≠ : Desigual o diferente
 Determina el valor de a2 + c2 + b2, sabiendo que abc + abc + ab = 888.8
 Adela tenía en su cuenta bancaria S/ 1187, pero ha pagado con la tarjeta S/ 385 por 
la compra de un abrigo y S/ 163, por un vestido. ¿Cuánto le queda en su cuenta?
7
 En una empresa de 50 trabajadores, se han obtenido los siguientes datos de una 
encuesta:
� 22 juegan lotería, 25 son aficionados al fútbol y 28 están casados.
� 11 son aficionados al fútbol y además juegan lotería, 12 son casados y juegan 
lotería, y 14 son casados y aficionados al fútbol.
� 7 son casados, aficionados al fútbol y juegan lotería.
¿Cuántos solteros, no son aficionados al fútbol y no juegan lotería? 
9
1187 = 385 + 163 + x
1187 – 385 – 163 = x 
639 = x
2a = 8 → a = 4
2b + a = 8 → b = 2 
2c + b = 8 → c = 3
6 + 4 + 7 + 7 + 7 + 5 + 9 + x = 50 
 x = 50 – 45
 x = 5
2 2 2 2 2 2∴	a + b + c = (4) + (2) + (3)
 = 16 + 4 + 9 
 = 29
Rpta. Por lo tanto, concluimos que a Adela le queda S/ 639 en su cuenta bancaria.
Rpta. El valor de a2 + b2 + c2 es 29.
Rpta. 5 trabajadores son solteros no aficionados al fútbol y tampoco juegan lotería.
a b c
a b c 
+ a b
8 8 8
74
7
75
6
9
Tenía = S/ 1187
Abrigo = S/ 385 Vestido = S/ 163 Queda = x
x
L (22) F (25)
U = 50
C (28)
¿Sa bía s qu e.. .?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
16
1
1 2En la batalla de Ayacucho, ocurrida el 9 de 
diciembre de 1824, se enfrentó el ejército libertador 
que contaba con 6000 soldados y el ejército 
realista con 9320 hombres. Luego de la batalla, 
el primer ejército quedó con 5630 soldados y el 
segundo con 7520. ¿Cuántos soldados murieron 
en total?
Resolución:
En la batalla de Junín, ocurrida el 6 de agosto 
de 1824, se enfrentó el ejército libertador que 
contaba con 7900 soldados de infantería y 1000 de 
caballería, mientras que el ejército realista contaba 
con 1300 jinetes y 7000 infantes. Luego de la 
batalla, el primer ejército quedó con 8752 soldados 
y el segundo con 8046. ¿Cuántos soldados 
murieron en total?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Sustracción
Sea:
a1 + a2 + a3 + ... + an = S
Se tiene que:
a1; a2; a3; ... ; an son sumandos y S es la suma.
Propiedades
- Clausura : 7 y 13 ∈ ⇒ 7 + 13 = 20 ∈ 
- Conmutativa : 16 + 7 = 7 + 16 ⇒ 23 = 23
- Asociativa : (9 + 12) + 21 = 9 + (12 + 21)
- Elemento neutro : 34 + 0 = 34
- Uniformidad : 6 + 9 = 15 ∧ 7 = 4 + 3 ⇒ 6 + 9 + 7 = 15 + 4 + 3
- Cancelativa : 5 + 12 + 9 = 17 + 9 ⇒ 5 + 12 = 17
Sea:
M – S = D
Se tiene que:
•	 M es minuendo
•	 S es sustraendo
•	 D es diferencia
Además:
S + D = M
Adición
Síntesis
Modela y resuelve 
17MateMática Delta 1 - aritMética
Rpta. 
5 6Sofía compró un teléfono celular en S/ 257 y lo 
vendió en S/ 239. ¿Cuánto ganó o perdió en esta 
transacción comercial?
Resolución:
Mayra compró un equipo de sonido en S/ 345 y lo 
vendió en S/ 381. ¿Cuánto ganó o perdió en esta 
transacción comercial?
Resolución:
Recuerda
• Cuando se compra un objeto y se vende, 
luego, a un valor menor que el valor de 
compra, se perderá dinero. O también:
 Si Valor de venta < Valor de compra
 entonces se perderá.
Recuerda
• Cuando se compra un objeto y se vende, 
luego, a un valor mayor que el valor de 
compra, se ganará dinero. Es decir:
 Si Valor de venta > Valor de compra 
 entonces se ganará.
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
3 4Sergio tiene ahorrado S/ 2567 y le falta S/ 433 
para comprar una cama de dos plazas en madera 
tornillo. Si dentro de dos días recibirá S/ 269 
como parte de su sueldo, y su hermano Javier ha 
prometido prestarle lo que falta; ¿cuánto cuesta 
la cama? ¿Cuánto deberá prestarle su hermano 
Javier?
Resolución:
Rodrigo tiene ahorrado S/ 2784 y le falta 
S/ 578 para comprar un TV LED de 58 pulgadas. 
Si dentro de dos días recibirá S/ 345 como 
parte de su sueldo, y su hermano Miguel ha 
prometido prestarle lo que falta; ¿cuánto cuesta 
la TV LED?¿Cuánto deberá prestarle su hermano 
Miguel?
Resolución:
18
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
7 8Un tráiler proveniente de la sierra central llega con 
un cargamento de papa para ser distribuido en 
cuatro puestos del mercado central. En el puesto 
de Ana dejó 4840 kg, en el puesto de Beatriz 
dejó 748 kg más que en el puesto anterior; en el 
tercer puesto (Carmen) dejó tanto como en los 
dos puestos anteriores, y en el puesto de Domitila 
dejó 10 026 kg menos de lo que descargó en los 
puestos de Ana y Carmen juntos; terminando así 
con toda la carga. ¿Cuántos kilogramos de papa 
descargó el tráiler?
Resolución:
Un tráiler distribuyó su mercadería en cuatro 
puestos. En el puesto de Adriana dejó
5240 kg, en el puesto de Vilma dejó 824 kg más que 
en el puesto anterior, en el tercer puesto (Camila) 
dejó tanto como en los otros dos puestos anteriores, 
y en el puesto de Dora dejó 10 428 kg menos de lo 
que descargó en los puestos de Adriana y Camila 
juntas; terminando así con toda la carga. ¿Cuántos 
kilogramos de mercadería descargó el tráiler?
Resolución:
9 10Sabiendo que he comprado un televisor LED 
de 42 pulgadas a un precio de S/ 2458 y una 
computadora por S/ 1746; determina si gané o 
perdí al vender la computadora en S/ 1957 y el 
televisor en S/ 2396.
Resolución:
Sabiendo que he comprado un televisor LED 
de 50 pulgadas a un precio de S/ 2584 y una 
computadora por S/ 1849; determina si gané o 
perdí al vender la computadora en S/ 2015 y el 
televisor en S/ 2487.
Resolución:
19MateMática Delta 1 - aritMética
11 12La suma de los términos de una sustracción es 
1524. Si el sustraendo es 343, calcula el valor de 
la diferencia.
Resolución:
La suma de los términos de una sustracción es 
1628. Si el sustraendo es 547, calcula el valor de 
la diferencia.
Resolución:
13 14Encuentra el valor de bac + bca + acb, sabiendo 
que abc + cab + cba = 2b5a. 
Resolución:
Sabiendo que abc + cab + cba = 1c7a, 
encuentra el valor de bac + bca + cab.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
20
15 16Calcula el valor de cba + bac + bca, sabiendo que 
a + b + c = 16 y abc + cba + acb = 2046.
Resolución:
Calcula el valor de bac + cba + bca, sabiendo que
a + b + c = 19 y abc + cba + acb = 1839.
Resolución:
17 18En una sustracción, si el minuendo aumenta en 
87 unidades, halla en cuánto debe aumentar el 
sustraendo para que la diferencia disminuya en 
59 unidades.
Resolución:
En una sustracción, si el minuendo aumenta en 
128 unidades, halla en cuánto debe aumentar el 
sustraendo para que la diferencia disminuya en 67 
unidades.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
21MateMática Delta 1 - aritMética
19 20
21 22
En una sustracción de un número de tres cifras 
abc con otro que se obtiene de invertir el orden de 
sus cifras cba se cumple que al sumar las cifras 
extremas de la diferencia se obtiene 9, y la cifra 
central de la diferencia es 9, ejemplos:
En una sustracción de un número de tres cifras 
abc con otro que se obtiene de invertir el orden de 
sus cifras cba se cumple que al sumar las cifras 
extremas de la diferencia se obtiene 9, y la cifra 
central de la diferencia es 9, ejemplos:
Calcula el mayor valor de a2 + b2 + m2, sabiendo 
que abc + cba = xm74 y abc – cba = xy8.
Calcula el valor de a2 + c2 + m2, sabiendo que 
abc + cba = b1my y abc – cba = 4nx.
Resolución: Resolución:
En una sustracción el sustraendo es el triple de 
la diferencia. Si la suma de sus tres términos es 
1576, encuentra el valor del sustraendo.
Resolución:
En una sustracción el sustraendo es el cuádruple 
de la diferencia. Si la suma de sus tres términos 
es 1690, encuentra el valor del sustraendo.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
652 
256
396
582 
285
297
921 
129
792
721 
127
594580 
085
495
610 
016
594
– – – –– –
22
 A S/ 15 B S/ 14
 C S/ 12 D S/ 13
 E S/ 16
 A S/ 6185 B S/ 6183
 C S/ 6187 D S/ 6193
 E S/ 6173
 A S/ 72 y S/ 36 B S/ 56 y S/ 28
 C S/ 72 y S/ 12 D S/ 72 y S/ 28
 E S/ 76 y S/ 14
 A 205 y 343 B 250 y 334
 C 215 y 323 D 215 y 423
 E 205 y 433
 A Les falta S/ 1 B Les sobra S/ 3
 C Les sobra S/ 1 D Les falta S/ 2
 E Les sobra S/ 2
 Ana le ha prestado a su hermano Javier S/ 16 
que le faltaban para comprarse un patinete y le 
ha quedado a ella S/ 56. Si Ana tiene después 
del préstamo tiene el doble de dinero que Javier, 
¿cuánto dinero tenía cada uno?
1
 En una granja había 630 animales entre gallinas, 
patos y pavos. El número de gallinas era 250 y el 
de patos, 75 unidades menos que el de gallinas. 
¿Cuántos pavos había en la granja? ¿Cuántos 
animales quedaron en la granja si se vendieron 
100 gallinas, 32 patos y 65 pavos?
2
 Juan tiene S/ 25; su hermano Luis, S/ 12 más 
que Juan, y su hermana Lucía, S/ 8 menos que 
Luis. Entre los tres quieren comprar un regalo a 
sus padres que cuesta S/ 90. ¿Tienen suficiente 
dinero? En caso afirmativo, calcula cuánto les 
sobra y en caso negativo, cuánto les falta.
3
 Tres amigos han juntado S/ 40 para comprar un 
regalo a otro amigo. El primero puso S/ 12 y el 
segundo, S/ 3 más que el primero. ¿Cuánto puso 
el tercero?
4
 Un trabajador autónomo ganó, en enero, S/ 2056; 
en febrero, S/ 136 menos, y en marzo, S/ 287 más 
que en febrero. ¿Cuánto ganó el primer trimestre 
del año?
5
 A S/ 6980 B S/ 6860
 C S/ 6940 D S/ 7120
 E S/ 6920
 Un contador ha anotado las operaciones que 
realizó en un día.
¿De cuánto es el saldo a favor?
- Primero, recibió depósitos de Juan por S/ 1970; 
de Pedro, S/ 2480; de José, S/ 470, y de Jazmín, 
S/ 2010.
- Segundo, tuvo que pagar los montos de 
 S/ 1640 y S/ 380.
- Por último, recibió un depósito de Rosa por 
 S/ 2030.
6
Practica y demuestra
Nivel I
23MateMática Delta 1 - aritMética
 A 3880 g B 3895 g
 C 3925 g D 3455 g
 E 3960 g
 Un pepinillo mediano pesa 850 g más que uno 
pequeño y 1155 g menos que uno grande. Cuánto 
pesan los tres, si el mediano con el grande pesan 
3255 g.
11
 Si se sabe que aa + bb + 443 = aba, calcula el 
valor de a2 + b2.
7
 Encuentra el valor de (a × c + b2), sabiendo que 
ab + bc + dd = (c – 1)dd .
9
Nivel II
A 65 B 85 C 73
D 74 E 80
A 10 B 12 C 56
D 66 E 72
 En una maratón internacional se han inscrito 
187 corredores europeos, 145 americanos 
y 158 asiáticos. El resto, hasta un total de 
612 participantes, son africanos. ¿Cuántos 
participantes son africanos?
12
A 125 B 135 C 118
D 108 E 122
 Sabiendo que a8a + 5bb + 64c = 165a, halla el 
valor de a × b + c. 
8
A 34 B 20 C 26
D 38 E 16
 Determina el valor de a2 + c × b, sabiendo que 
 4b7 + 8bc + a5a = 1b6a.
10
A 31 B 23 C 28
D 19 E 35
24
 De tres números se sabe que: 
 � Su suma es 100. 
 � El primero es 10 unidades mayor que el segundo. 
� El segundo es 15 unidades más que el tercero. 
 Calcula el número mayor.
13
A 50 B 65 C 35
D 45 E 55
 Luis se compró una bicicleta por S/ 318 y la pagó 
en tres cuotas mensuales de igual valor. Por pagar 
en cuotas le recargaron S/ 21 al valor original de la 
bicicleta. ¿Cuánto pagó en cada cuota?
14
A S/ 113 B S/ 120 C S/ 106
D S/ 127 E S/ 119
 Para comprar un televisor de S/ 540 me faltan 
S/ 156. ¿Cuánto dinero tengo?
15
A S/ 384 B S/ 618 C S/ 648
D S/ 658 E S/ 696
 A 1564 y 1632 B 1574 y 1648
 C 1573 y 1632 D 1564 y 1642
 E 1573 y 1642
 Kepler nació 7 años más tarde que Galileo y murió 
12 años antes. Si Kepler murió con 59 años en 1630, 
¿en qué año nació y en qué año murió Galileo?
16
 A S/ 6680 B S/ 6930
 C S/ 6870 D S/ 7170
 E S/ 6810
 Tres hermanos: Alex, Carlos y Enrique, recibieron 
una herencia de S/ 19 250. Según el testamento, 
Carlos recibiría S/ 1770 más que Alex y Enrique, 
S/ 1280 más que Alex. ¿Cuánto recibió Carlos?
18
 Mi madre tiene 6 años menos que mi padre y 
22 años más que yo. ¿Cuántos años tiene mi 
madre, si la suma de nuestras edades es 89 años?
 A 31 años B 32 años
 C 33 años D 34 años
 E 35 años
17
25MateMática Delta 1 - aritMética
 Sabiendo que abe + ace + ade = 2011, encuentra 
el valor de (a × e + b + c + d).
20
A 58 B 61 C 73
D 47 E 63
 Un comerciante compró dos bicicletas gastando 
en total S/ 278. La primera bicicleta le costó S/ 58 
más que la segunda. Si la primera la vendió en 
S/ 201, ¿a cuánto debe vender la segunda para 
ganar en total S/ 102? 
19
A S/ 183 B S/ 197 C S/ 179
D S/ 181 E S/ 191
Nivel III
 Calcula el valor de (ac + db), sabiendo que 
aab + ccb + ddb = acdb y b ≠ 5.
21
A 69 B 98 C 78
D 99 E 87
 Sabiendo que aaa + aaa + b = cba, halla el valor 
de (c × b + a2).
22
A 51 B 57 C 44
D 58 E 49
 Determina el valor de (bc + ad), sabiendo que 
abcd + bcd + cd + d = dcc8; además d < 7.
23
 Encuentra el valor de (a × b + n × c), sabiendo 
que 97na + 692 + aaaa = nabc2.
24
A 63 B 87 C 94
D 79 E 83
A 21 B 27 C 48
D 51 E 270
26
Tema
Multiplicación y división 
de números naturales
Leyes de la multiplicación
multiplicación en 
La multiplicación, así como la adición, es una de las principales operaciones que 
se realiza en Matemática. Está muy relacionada con la adición, porque si sumas 
7 + 7 + 7 + 7, es lo mismo que 4 veces 7 o 4 por 7.
La multiplicación consiste en que dados dos números naturales «A» y «B» llamados 
multiplicando y multiplicador, respectivamente, relacionados a través de esta operación, 
se obtiene un resultado «P» denominado producto, que resulta de sumar el mismo 
sumando «A» el cual aparece «B» veces. 
6 × 5 × 8 = (6 ×	5) ×	8
 = 30 ×	8
 = 240
6 × 5 × 8 = 6 × (5 × 8)
 = 6 ×	40 
 = 240
6 × 5 × 8 = (6 × 8) × 5
 = 48 × 5
 = 240
Clausura
El producto que resulta de multiplicar dos 
números naturales, es también un número 
natural.
∀	a, b ∈ , (a × b) ∈ 
Ejemplo:
6 y 13 ∈ ⇒ 6 × 13 = 78 ∈ 
Conmutativa
En una multiplicación de dos números 
naturales, el orden de los factores no 
altera el producto.
 a × b = b × a
Ejemplo:
7 y 12 ∈ 
Entonces: 7 × 12 = 12 × 7
 84 = 84
Asociativa
La forma cómo asociemos los factores de 
la multiplicación, no altera el producto. 
∀ a, b, c ∈	 , se cumple que:
a ×	b ×	c = a ×	(b ×	c) 
a ×	b ×	c = (a ×	b) ×	c
a ×	b ×	c = (a ×	c) ×	b
Ejemplo:
6; 5 y 8 ∈ 
Entonces:
Donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
A y B también se denominan factores
								∀ A, B ∈		
A + A + A + ... + A = P
«B» sumandos
a = b A × B = P
Elemento neutro
En la multiplicación, el número 1 es el 
elemento neutro. La multiplicación de 
cualquier número natural por 1, da como 
resultado el mismo número natural.
∀ a ∈	
Se cumple que: a × 1 = 1 × a = a
Ejemplos:
● 2358 × 1 = 1 × 2358 = 2358
● 1469 × 1 = 1 × 1469 = 1469
2
Import a nt e
La multiplicación se 
representa con una 
aspa (×) o un punto 
(●). Sin embargo, 
usar el aspa (x) 
no es aconsejable 
porque crea una 
confusión innecesaria 
con la letra que 
normalmente se 
asigna a una incógnita 
en una ecuación.
27MateMática Delta 1 - aritMética
distributiva
Con respecto a la adición
El producto de un número natural por una 
adición, es igual a sumar el producto de 
este número natural con cada uno de los 
sumandos de dicha adición.
∀ a, b, c ∈	 , se cumple que:
a ×	(b + c) = a × b + a × c
Ejemplo:
9 × (5 + 8) = 9 × 5 + 9 × 8
9 × 13 = 45 + 72
 117 = 117
Con respecto a la sustracción
El producto de un número natural por una 
sustracción, es igual a restar el producto 
de este número natural con el minuendo 
menos el producto del mismo número 
natural con el sustraendo.
∀ a, b, c ∈	 , se cumple que: 
a ×	(b – c) = a × b – a × c 
Ejemplo:
8 × (8 – 3) = 8 × 8 – 8 × 3
 8 × 5 = 64 – 24
 40 = 40
Uniformidad
Si multiplicamoslos primeros miembros 
de dos igualdades y luego los segundos 
miembros, se obtiene otra igualdad.
∀ a, b, c, d ∈	 , 
si a = b y c = d ⇒ a × c = b × d
Ejemplo:
Si 6 + 8 = 14 y 5 = 3 + 2
Entonces: (6 + 8) ×	5 = 14 × (3 + 2)
				 	 										14 × 5 = 14 × 5
 70 = 70
Elemento absorbente
El 0 es el elemento absorbente de la 
multiplicación de cualquier número natural 
por 0, da como resultado 0.
Ejemplo:
∀ a ∈	 , se cumple que:
a ×	0 = 0 × a = 0
1359 × 0 = 0 × 1359 = 0
Cancelativa
Si en ambos miembros de una igualdad 
aparece un mismo factor, diferente de 
0, entonces este mismo factor puede 
cancelarse.
∀ a, b, c ∈	 , c ≠ 0
Si a × c = b × c
Ejemplo:
Entonces: a × c = b × c
 a = b
Si 6 × 9 × 8 = 2 × 8 × 27
 6 × 9 × 8 = 2 × 8 × 27
 6 × 9 = 2 × 27
 54 = 54
división en 
La división es la operación inversa de 
la multiplicación. La división es una 
operación en la que dado un producto 
de dos números naturales y uno de los 
factores, debemos hallar el otro factor.
Sea P = a × b y conociendo «a», definimos 
la división como: P ÷ a = b.
Sea ahora la división:
Generalmente, la división la escribiremos 
usando los siguientes símbolos:
Donde:
D es el dividendo
d es el divisor
q es el cociente
÷ es el símbolo que identifica a la división
cumpliéndose que
P ÷ a = b, debe cumplirse que a × b = P.
Formas de expresar la división exacta
Cualquiera sea la forma de expresar la 
división exacta, debe cumplirse que:
a = b D ÷ d = q
D
d = q
D d
0 q
q 
D d
 0
a = b D ÷ d = q
a = b d × q = D
a = b d × q = D
Usando la ley 
asociativa podemos 
apresurar nuestros 
cálculos, sobre todo 
cuando multiplicamos 
un número que 
termina en cifra 5 con 
un número par.
A = 6 × 8 × 15 × 15
 = (6 × 15)(8 × 15)
 = 90 × 120
 = 10 800
B = 14 × 12 × 5 × 15
 = (14 × 15)(12 × 5)
 = 210 × 60
 = 12 600
Recu e rda
Un error frecuente 
que se comete 
al usar la ley 
cancelativa ocurre 
cuando algunas 
personas creen que 
en una igualdad se 
puede cancelar el 
cero llegándose a 
absurdos.
6 × 0 = 7 × 0
6 × 0 = 7 × 0
cancelan el cero 
y obtienen que
6 = 7
¡Absurdo!
5 × (3 × 2 – 6) = 
8 (5 × 3 – 15)
5 × 0 = 8 × 0
5 × 0 = 8 × 0
Cancelan el cero 
¡Absurdo!
¡No o lv id e s 
qu e.. .!
28
A una fiesta asistieron 18 niños y 14 niñas; al finalizar la fiesta, los niños recibieron 
en su caja de sorpresas 15 caramelos, 4 chocolates y 3 cajitas de refresco. Por 
otra parte, las niñas recibieron 6 caramelos, 12 chocolates y 2 cajitas de refresco. 
Determina cuántos caramelos, chocolates y cajitas de refresco se repartieron en 
total.
Organizamos los datos en un cuadro de doble entrada.
Rpta. Se repartieron 354 caramelos, 240 chocolates y 82 cajitas de refresco.
Resolución:
18 niños 18 × 15 = 270 18 × 4 = 72 18 × 3 = 54
14 × 6 = 84 14 × 12 = 168 14 × 2 = 28
 354 240 82
14 niñas
total
n.° de caramelos 
repartidos
n.° de chocolates 
repartidos
n.° de cajitas 
de refresco
1
Un comerciante compró 78 polos a S/ 13 cada uno, y 56 pantalones a S/ 24 por 
unidad. Si luego logra vender 64 polos a S/ 18 cada uno, y 48 pantalones a S/ 31 por 
unidad; determina si con los ingresos por ventas ¿ganó o perdió? y ¿cuánto?
Para determinar si ganó o perdió, calculamos la suma de todos los gastos realizados 
al comprar, y después sumamos todos los ingresos que obtuvo al vender; para 
finalmente comparar ambas sumas.
Observamos que Gasto total < Ingreso total, por consiguiente ganó.
Su ganancia se calcula restando: 2640 – 2358 = 282
Rpta. En esta operación comercial ganó S/ 282.
Resolución:
polo 78
56
2358
S/ 13 78 ×	13 = 1014
56 ×	24 = 1344S/ 24pantalón
Gasto total
Artículo Cantidad
Compra
precio unit. Gasto
polo 64
48
2640
S/ 18
S/ 31
64 ×	18 = 1152
48 ×	31 = 1488pantalón
Ingreso total
Artículo Cantidad
Venta
precio unit. ingreso
2358 2640<
2
Para resolver 
ejercicios de 
multiplicación 
debemos tener 
presente las 
siguientes leyes:
• Clausura
• Conmutativa
• Asociativa
• Elemento neutro
• Distributiva
• Elemento 
absorbente
• Uniformidad
• Cancelativa
Recu e rda
Ejercicios resueltos
29MateMática Delta 1 - aritMética
Se ha determinado que trabajando con 
24 personas se puede asfaltar una calle en cierto 
plazo, si trabajasen 8 horas al día. ¿Cuántas 
personas serán necesarias para asfaltar la 
misma calle, si la jornada de trabajo diario se 
aumentara en 4 horas y se pretende terminar en 
el mismo plazo?
Resolución:
Rpta. Serán necesarias 16 personas.
3
•		Como cada una de las personas debería trabajar 8 horas diarias, entonces podemos 
determinar el número total de «horas diarias» que se debería trabajar para asfaltar 
la calle en el plazo fijado.
 24 personas, c/u trabajando 8 horas diarias:
 24 × 8 = 192 «horas diarias» son necesarias.
•		Finalmente, se decidió trabajar 12 horas diarias (4 horas más) por persona. Para 
saber cuántas personas deben trabajar dividiremos:
personas que trabajarán 12 horas diarias cada una.
Un anciano dejó al morir S/ 684 para cada uno 
de sus hijos. Pero días antes del reparto fallece 
uno de ellos, y la herencia de este se repartió 
entre los demás, recibiendo entonces cada uno 
S/ 912. ¿Cuánto dejó de herencia el anciano?
Resolución:
Rpta. La herencia fue S/ 2736.
4
Para resolver este problema, bastará calcular el número de hijos.
Llamaremos n al número de hijos beneficiados.
• Son n hijos, cada uno recibirá S/ 684, entonces:
 684 × n = herencia
• Fallece uno de ellos, ahora son (n – 1) beneficiados, cada uno recibirá S/ 912.
 Entonces:
 912 × (n – 1) = herencia
• Ahora, igualamos:
 684 × n = 912(n – 1)
 684 × n = 912 × n – 912
 912 = 228 × n
 4 = n
• Finalmente la herencia que dejó el anciano se calcula como: 4 hijos, cada uno 
recibirá S/ 684; entonces: 4 × 684 = 2736
192 12
 72
 0
16
30
5 Dos secretarias tienen que copiar y pegar 540 
cartas cada una. La primera copia y pega 15 
cartas por minuto y la segunda, 12 cartas. 
Cuando una de ellas haya terminado su tarea, 
¿cuántas cartas le faltará copiar y pegar a la 
otra?
Resolución:
Rpta. Le faltará copiar y pegar 108 cartas.
Fotografía de dos 
secretarias
La primera persona copia y pega más cartas por hora. Calcularemos entonces cuánto 
tiempo emplea.
540 cartas
15 cartas/minuto
 = 36 minutos
Ahora, calculamos cuántas cartas copia y pega la segunda en 36 minutos.
12 cartas/minuto × 36 minutos = 432 cartas
Entonces, le faltarán 540 – 432 = 108
6 En un supermercado se ofrece la oferta 
compre 3 y pague 2. Marcia decide 
comprar los siguientes productos: 8 bolsas 
de pañales cuyo precio es de S/ 24 por 
bolsa, 3 six packs de leche que está a
S/ 15 cada paquete y 7 botellas de yogur de 
dos litros que cuestan S/ 8 cada una. Calcula 
cuánto paga Marcia.
Resolución:
Rpta. Marcia paga S/ 214.
Fotografía de oferta 3 x 2
o de supermercado
Elaboramos un cuadro para mostrar los precios y las cantidades que lleva.
Cantidad Artículo Precio Oferta
8 bolsas pañal S/ 24 2
3 six packs leche S/ 15 1
7 bot. (2 L) yogur S/ 8 2
El pago a realizar es: 144 + 30 + 40 = 214
Calculamos el pago que debe realizar.
•		 En pañales hay 2 ofertas, quedan 2 bolsas.
• En leche hay una oferta.
• En yogur hay dos ofertas, queda una botella.
Artículo Precio Pago
pañal S/ 24 2 × (2 × 24) + 2 × 24 = 144
 llevo 3, pago 2
leche S/ 15 1 × (2 × 15) = 30
 llevo 3, pago 2
yogur S/ 8 2 × (2 × 8) + 1 × 8 = 40
 llevo 3, pago 2
31MateMática Delta 1 - aritMética
7
8
Un parque de diversiones recibe, en promedio, 
1560 personas al día en primavera, 2580 en 
verano, 1120 en otoño y 345 en invierno. 
Calcula cuántos visitantes se espera tener en 
un año. 
Resolución:
Sumando tenemos 504 450 v.
Rpta. Se espera tener 504 450 visitantes en un año. 
Fotografía de parque de 
diversiones
El dueño de una pollería pagó el mes pasado 
a su proveedor S/ 11 664 poruna compra de 
1296 kilogramos de carne de pollo. Si este 
mes, que termina hoy, ha pagado S/ 10 116, 
determina cuántos kilogramos menos de 
carne pidió este mes que el anterior.
Resolución:
Rpta. El dueño pidió 172 kg menos que el mes anterior.
Calcularemos cuál es el pago que realiza por cada kg de carne de pollo.
 Ahora que sabemos el precio por kg, calculamos cuántos kg de carne de pollo se compró 
este mes.
Este mes se compró menos carne que el mes anterior:
1296 – 1124 = 172
S/ 11 664
1296 kg
 = S/ 9
S/ 10 116
S/ 9
 = 1124 kg
(Considera que cada estación dura 90 días)
En primavera: 1560 × 90 d = 140 400 vv
d
En verano: 2580 × 90 d = 232 200 vv
d
En otoño: 1120 × 90 d = 100 800 vv
d
En invierno: 345 × 90 d = 31 050 vv
d
32
En un salón que tiene matriculados a 24 estudiantes, el profesor planeó entregar 
15 chocolates a cada estudiante para darles la bienvenida. Ese día faltaron 
6 estudiantes. Determina cuántos chocolates más recibió cada estudiante, si todos 
recibieron por igual.
•		 En primer lugar, calculamos el número total de chocolates que había planeado.
•		 Luego, repartimos (dividimos) equitativamente los 360 chocolates entre los 
18 estudiantes, pues faltaron 6.
•		 Si hubieran asistido todos, cada uno hubiera recibido 15 chocolates. Pero como 
algunos faltaron, recibieron 20 chocolates.
Resolución:
24 estudiantes a 15 chocolates cada uno se expresa: 24 × 15 = 360 chocolates
20 chocolates para cada uno.
Rpta. Cada estudiante recibió 5 chocolates más de lo planeado.
360 18
 0 20
9
El dueño de un restaurante pagó el mes pasado a su proveedor S/ 1776 por una 
compra de 148 kilogramos de carne de res. Si este mes, que termina hoy, ha pagado 
S/ 2196, determina cuántos kilogramos de carne pidió este mes más que el anterior.
Resolución:
10
Albert Einstein
Se cuenta que cuando Albert Einstein empezaba a ser conocido por su 
Teoría de la Relatividad era muy solicitado para dar conferencias.
Después de muchas conferencias Einstein le comentó a su chofer lo aburrido 
que era repetir lo mismo una y otra vez.
«Si quiere, –le dijo su chofer– lo puedo sustituir por una noche. He oído su 
conferencia tantas veces que la puedo recitar palabra por palabra».
Einstein estuvo de acuerdo y antes de llegar al lugar de la siguiente 
conferencia intercambiaron sus ropas. Afortunadamente, ningún presente 
conocía a Einstein y el chofer expuso la conferencia.
Al final, un profesor de la audencia le hizo una pregunta. El chofer no tenía 
ni idea de cuál podía ser la respuesta y le contestó: «La pregunta que me 
hace es tan sencilla que dejaré que mi chofer que se encuentra al final de la 
sala se la responda». 
Dato histórico
• Calcularemos cuál es el pago que realiza por cada kg de carne.
Rpta. El dueño del restaurante pidió 35 kg más que el mes anterior.
•		 Ahora que sabemos el precio por kg, calculamos cuántos kg de carne se compró 
este mes.
Este mes se compró más carne que el mes anterior: 
 183 – 148 = 35
S/ 1776
148 kg
 = S/ 12
S/ 2196
S/ 12
 = 183 kg
La división puede ser 
exacta o inexacta.
División exacta
Cuando el residuo es 
cero.
Recu e rda
15 5
0 3
15 = 5 × 3 
División inexacta
Cuando el residuo es 
mayor que cero.
17 5
 2 3
17 = 5 × 3 + 2 
En general:
D d
r q
D = d × q + r 
D es el dividendo
d es el divisor
q es el cociente
r es el residuo
 3 
15 5
 0
 3 
17 5
 2
q 
D d
r
o
o
o
33MateMática Delta 1 - aritMética
 A × B = P
donde:
A es el multiplicando
B es el multiplicador
P es el producto
Se lee:
B veces A es igual a P.
Ejemplo:
98 × 99 = 9702
Se lee 99 veces 98 es igual a 9702.
multiplicación división
A
de
m
ás
•	 Exacta
 D = d . q
 donde:
 D es el dividendo
 d es el divisor
 q es el cociente
•	 Inexacta
 D = d × q + r
 donde:
 r es el residuo
r < d
rmáx = d – 1
1 2Un agricultor sembró y cosechó tomates que 
transportó al mercado mayorista para venderlos. 
Los tomates llegaron en 184 cajas, cada caja con 
248 tomates; luego de descargar se observó que 
había 8 tomates malogrados por caja, los cuales 
fueron retirados. ¿Cuántas cajas con tomate se 
podrá vender, si los compradores exigen que cada 
caja contenga 230 tomates en buen estado?
Resolución:
Un agricultor sembró y cosechó manzanas que 
transportó al mercado mayorista para venderlos. 
Las manzanas llegaron en 192 cajas, cada 
caja con 236 manzanas; luego de descargar se 
observó que había 7 manzanas malogradas por 
caja, las cuales son retiradas. ¿Cuántas cajas con 
manzanas se podrá vender, si los compradores 
exigen que cada caja contenga 229 manzanas en 
buen estado?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Síntesis
Modela y resuelve 
34
3 4Entre 12 personas deben juntar S/ 3888 aportando 
por igual. Pero resulta que 4 de ellas solo pueden 
aportar la tercera parte de lo que les corresponde, 
obligando de esta manera a que cada uno de los 
restantes aporte cierta cantidad adicional. ¿Cuánto 
será el aporte de cada uno de los restantes?
Resolución:
Entre 16 personas deben juntar S/ 5088 aportando 
por igual. Pero resulta que 6 de ellas solo pueden 
aportar la tercera parte de lo que les corresponde, 
obligando de esta manera a que cada uno de los 
restantes aporte cierta cantidad adicional. Calcula 
de cuánto será el aporte de cada uno de los 
restantes.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
5 6Al multiplicar dos números se obtiene cierto 
producto; pero al aumentar 18 unidades al 
multiplicador, el nuevo producto difiere del anterior 
en 954 unidades. Halla el valor del multiplicando.
Resolución:
Al multiplicar dos números se obtiene cierto 
producto; pero al aumentar 23 unidades al 
multiplicador, el nuevo producto difiere del anterior 
en 2047 unidades. Halla el valor del multiplicando.
Resolución:
 
Rpta. Rpta. 
35MateMática Delta 1 - aritMética
7 8El producto de un número de cuatro cifras por 
el mayor número de tres cifras termina en 2013. 
Determina la suma de cifras del producto.
Resolución:
El producto de un número de tres cifras por el 
mayor número de dos cifras termina en 053. 
Determina la suma de cifras del producto.
Resolución:
 
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
9 10Sabiendo que al multiplicar un número de tres 
cifras por 87, se obtiene en el producto como sus 
tres últimas cifras a 639. Encuentra el producto de 
las cifras del número de tres cifras.
Resolución:
Sabiendo que al multiplicar un número de tres 
cifras por 97, se obtiene en el producto como sus 
tres últimas cifras a 099. Encuentra el valor de la 
suma de cifras del producto.
Resolución:
 
 
36
11 12Para una instalación de luz en un edificio, 
un electricista pidió S/ 35 por cada punto de 
luz, incluyendo el material y la mano de obra, 
calculando ganar S/ 345; pero por tratarse de 
su compadre hizo una rebaja de S/ 14 por cada 
punto de luz y no ganó más que S/ 79. Calcula 
cuánto es el costo del material eléctrico.
Resolución:
Para una instalación de luz en un edificio, 
un electricista pidió S/ 28 por cada punto de 
luz, incluyendo el material y la mano de obra, 
calculando ganar S/ 288; pero por tratarse de su 
compadre hizo una rebaja de S/ 9 por cada punto 
de luz y no ganó más que S/ 63. ¿Cuánto es el 
costo del material eléctrico?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
13 14Al multiplicar 384 × 456 se obtiene cierto producto. 
Pero si disminuimos 12 unidades al multiplicador 
y aumentamos 12 unidades al multiplicando, 
encuentra el aumento o disminución del nuevo 
producto con respecto al producto original.
Resolución:
Al multiplicar 359 × 494, se obtiene cierto producto. 
Pero si disminuimos 13 unidades al multiplicador 
y aumentamos 13 unidades al multiplicando, 
encuentra el aumento o disminución del nuevo 
producto con respecto al producto original.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
37MateMática Delta 1 - aritMética
15 16Un ganadero tiene 420 ovejas que las puede 
alimentar durante60 días. Luego quiere que los 
alimentos duren 12 días más sin acortar la ración 
diaria. ¿Cuántas ovejas debe vender, si cada 
animal consume una ración de alimentación por 
día?
Resolución:
Un ganadero tiene 380 ovejas que las puede 
alimentar durante 45 días. Luego quiere que los 
alimentos duren 15 días más sin acortar la ración 
diaria. ¿Cuántas ovejas debe vender, si cada 
animal consume una ración de alimentación por 
día?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
17
Rpta. Rpta. 
18Un parque de diversiones recibe, en promedio, 
1560 personas al día en primavera; 2580, en 
verano; 1120, en otoño y 345, en invierno. Calcula 
cuántos visitantes se espera tener en un año.
(Considera que cada estación dura 90 días)
Resolución:
Un zoológico recibe, en promedio, 1280 personas 
en el primer trimestre del año; 1970, en el segundo; 
1040, en el tercero y 1690, en el cuarto trimestre. 
Calcula cuántos visitantes se espera recibir en un 
año. (Considera que cada trimestre dura 90 días)
Resolución:
38
19 20Antonio y Arturo están encargados de recoger 
los huevos de gallina en la granja. Hoy, Antonio 
ha recogido 17 bandejas con huevos y Arturo, 
7 bandejas más que Antonio. Si en una bandeja 
entran dos docenas y media de huevos, ¿cuántos 
huevos han recogido entre los dos?
Resolución:
Cristina y Mariana están encargadas de recoger 
los huevos de gallina en la granja. Hoy, Cristina 
ha recogido 27 bandejas con huevos y Mariana, 
8 bandejas menos que Cristina. Si en una bandeja 
entran dos docenas y media de huevos, ¿cuántos 
huevos han recogido entre las dos?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
21 22Un comerciante mayorista compró 80 cajas de 
naranjas de 25 kg cada caja, pagando S/ 4000. El 
transporte le significa un gasto de S/ 120. Luego 
las selecciona y envasa en bolsas de 5 kg. En la 
selección de las naranjas, desecha unos 40 kg. 
Halla a cómo debe vender cada bolsa, si desea 
ganar en total S/ 584.
Resolución:
Un comerciante mayorista compró 95 cajas de 
manzanas de 30 kg cada caja, pagando S/ 5100. 
El transporte le significa un gasto de S/ 160. Luego 
las selecciona y envasa en bolsas de 6 kg. En la 
selección de las manzanas, desecha unos 60 kg. 
Halla a cómo debe vender cada bolsa, si desea 
ganar en total S/ 785.
Resolución:
MateMática Delta 1 - aritMética 39
 Un apicultor tiene 187 colmenas con una 
producción de dos cosechas al año, a razón de 
9 litros de miel por colmena en cada cosecha. 
La miel se envasa en tarros de medio litro y se 
comercializa en cajas de seis tarros que se venden 
a S/ 18 la caja. ¿Qué ingreso anual produce el 
colmenar?
Nivel I
 Cada uno de los 28 alumnos de 1.º A han traído 
dos paquetes con seis dulces cada uno para el 
desayuno de Navidad, y los 21 alumnos de 1.º G, 
tres bolsas de siete dulces cada una. ¿Cuántos 
dulces menos que 1.º G ha traído 1.º A?
1
 Las galletas de una determinada marca se 
envasan en paquetes de 6 unidades que luego se 
empaquetan en cajas que contienen 30 paquetes 
cada una. Un supermercado hizo un pedido de 
15 cajas. ¿Cuántas docenas de galletas pidió en 
total?
2
A 115 B 105 C 102
D 112 E 124
A S/ 34,30 B S/ 34,36 C S/ 33,76
D S/ 35,20 E S/ 34,40
A 200 B 180 C 240
D 225 E 275
 Un librero compró dos docenas y media de libros 
a S/ 24 cada libro. Luego, vendió 19 libros a S/ 18 
cada uno. ¿A cuánto tiene que vender cada uno 
de los libros restantes para no perder dinero ni 
ganar?
4
 A S/ 40 392 B S/ 30 294
 C S/ 25 245 D S/ 45 441
 E S/ 20 196
 Se desea plantar árboles, con una separación 
de 24 metros, a lo largo de un sendero que tiene 
una longitud de dos kilómetros con 40 metros. 
¿Cuántos árboles se necesitan?
5
6
A 80 B 82 C 84
D 88 E 86
Practica y demuestra
 Pablo ha comprado 13 cuadernos que le han 
costado S/ 4 cada uno, 9 bolígrafos de S/ 2 y 
una caja de colores por S/ 17. Ha pagado con un 
billete de S/ 100. ¿Cuánto recibirá de vuelto?
3
A S/ 17 B S/ 13 C S/ 19
D S/ 23 E S/ 11
40
Nivel II
 Al multiplicar dos números naturales se obtiene 
2368, pero al aumentar 24 unidades al multiplicador, 
entonces el nuevo producto difiere del anterior 
en 888 unidades. Calcula la suma del doble del 
multiplicando con el triple del multiplicador. 
9
A 236 B 266 C 242
D 272 E 282
 Al multiplicar un número de tres cifras por 99 el 
producto tiene como sus tres últimas cifras a 355. 
Halla la suma de las cifras del producto.
10
A 18 B 19 C 20
D 21 E 22
 En un partido de baloncesto, un jugador de 2,05 m 
de altura, encestó 12 canastas de dos puntos y 5 
de tres puntos. ¿Cuántos puntos anotó?
12
A 29 B 34 C 39
D 51 E 85
El padre de Alicia tiene 8 gallinas. Durante toda la 
semana pasada recogió huevos que ha puesto en 
tres cartones de 2 docenas cada uno. Si todas las 
gallinas han puesto el mismo número de huevos, 
¿cuántos habría puesto cada una de ellas la 
semana pasada?
11
A 5 B 6 C 7
D 8 E 9
 El señor García ha comprado 570 latas de atún 
a S/ 2 cada lata y las quiere vender a S/ 3,50 
cada una. Como no las vende según lo planeado, 
decide ofertar 3 latas por S/ 8. ¿Cuánto dinero 
dejaría de ganar de cumplir la oferta? 
7
A S/ 475 B S/ 495 C S/ 375
D S/ 525 E S/ 425
 Un turista camina a un ritmo de 72 pasos por 
minuto y avanza 85 cm en cada paso. ¿Qué 
distancia, en metros, recorre en una hora? 
 A 9420 m B 1570 m
 C 4320 m D 5872 m
 E 3672 m
8
41MateMática Delta 1 - aritMética
 A S/ 10 554 B S/ 11 027
 C S/ 12 351 D S/ 12 313
 E S/ 11 473
 A S/ 3420 B S/ 2835
 C S/ 6255 D S/ 4380
 E S/ 4545
Un barco pesquero ha conseguido S/ 9268 por la 
captura de 1324 kg de merluza. ¿Cuánto obtendrá 
otro barco que entra en puerto con 1759 kg de 
merluza de la misma calidad?
13
Un comerciante compra enciclopedias en CD-R a 
S/ 63 y las vende a S/ 76 cada una. Si compra 
600 CD-R, vende 555 y regala el resto, ¿cuánto 
gana?
14
Un albañil y su ayudante cobraron S/ 1620 por 
10 días de trabajo. Si el albañil le diera S/ 300, 
entonces ambos tendrían cantidades iguales. 
¿Cuánto gana por día el ayudante?
15
A S/ 80 B S/ 51 C S/ 25
D S/ 45 E S/ 57
 A S/ 120 B S/ 180
 C S/ 210 D S/ 144
 E S/ 108
Diez amigos tienen que pagar en partes iguales 
una deuda de S/ 960. Si 4 de ellos solo pueden 
pagar la cuarta parte de su cuota, determina 
cuánto pagaron cada uno de los amigos restantes 
para cubrir la deuda. 
18
 Un comerciante compra libros a S/ 53 cada uno. 
Por cada docena que compra le obsequian un libro, 
llevándose en total 780 libros. Si decide regalar 
30 libros, calcula a qué precio debe vender cada 
libro para ganar S/ 6090.
16
A S/ 63 B S/ 61 C S/ 59
D S/ 57 E S/ 65
 Un depósito lleno de gasolina cuesta S/ 4250. 
Luego de vender 72 galones, cuesta S/ 1224 
menos. ¿Cuántos galones de gasolina contenía el 
depósito?
 A 148 B 173
 C 216 D 250
 E 236
17
42
 Un comerciante compra cierta cantidad de 
pantalones a S/ 64 cada uno, pagando S/ 6656. Si 
pierde una docena de los pantalones comprados, 
halla a qué precio debe vender los restantes para 
ganar S/ 1164 en total. 
 A S/ 87 B S/ 85
 C S/ 83 D S/ 80
 E S/ 78
19
Nivel III
 Un avión lleva 275 pasajeros. En primera clase 
viajan 80 personas y cada una pagó S/ 250; en 
segunda clase viajaron 125 personas y cada una 
pagó S/ 210. ¿Cuánto pagó cada persona que 
viajó en tercera clase, si la recaudación total fue 
S/ 58 850? 
20
 A S/ 190 B S/ 180
 C S/ 200 D S/ 160
 E S/ 150
 En una feria se oferta regalar dos libros por cada 
docena comprada; el dueño de una librería pagó 
por una remesa de 48 libros a S/ 18,00 cada uno. 
¿Cuánto gana por la venta de los libros, si vende 
todos los libros que llevó a S/ 17,50 cada uno?
21
 A S/ 72 B S/ 106
 C S/ 92 D S/ 142
 E S/ 116
 A S/ 16 B S/ 17
 C S/ 18 D S/ 20
 E S/ 24
 Compré cierto número de libros por S/ 600. Vendí 
40 y recibí S/ 320, perdiendo S/ 2 en cada libro 
vendido.