Razonamiento Matemático 3

Vista previa del material en texto

DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
3
Nombres: _________________________________________________
_________________________________________________________
Apellidos: _________________________________________________
_________________________________________________________
DNI: ____________________________________________________
Domicilio: _________________________________________________
__________________________________________________________
Institución educativa: _________________________________________
__________________________________________________________
Correo electrónico: __________________________________________
_________________________________________________________
Razonamiento matemÁtico
Matemática
Impreso en el perÚ / prInted In peru
La Editorial se hace responsable por el rigor 
académico del contenido del texto de acuerdo con 
los principios de la Ley General de Educación.
 título de la obra 
® matemátIca delta 3, secundaria
 razonamiento matemático
© derechos de autor reservados y registrados
 mauro enrIque matto muzante
© derechos de edición, arte y diagramación
 reservados y registrados conforme a ley
 delta edItores s.a.c.
 edIcIón, 2020
 coordinador de área:
 Mauro Enrique Matto Muzante
 diseño, diagramación y corrección: 
 Delta Editores s.A.C.
 Ilustración general:
 Banco de imágenes Delta Editores s.A.C.
 delta edItores s.a.c.
 Jr. Pomabamba 325, Breña
 Tels. 332 6314 332 6667 
 Correo electrónico: informes@eactiva.pe 
 www.eactiva.pe
 Tiraje: 4500 ejemplares
 Impresión:
 FINIshING s.A.C.
 Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos 
 Lima - Perú
 Tels. 265 3974 251 7191
 IsBn n.o 978-612-4354-42-7
 proyecto editorial n.o 31501051900810
 ley n.o 28086
 Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú 
 n.o 2019-10460
proHIBIda
la reproduccIón total o parcIal
leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289
puBlIcada el 20 de JulIo de 2004
tÍtulo vII
delItos contra los derecHos Intelectuales
capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor 
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
autorización del autor. 
 
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no 
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, 
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Conoce tu libro
En esta sección 
se encuentra la 
teoría del tema 
a desarrollar.
52
Tema Fracciones
7
El complemento 
de una fracción es 
la cantidad que le 
falta para llegar a la
 
unidad.
Cuando el valor de 
la fracción es meno
r 
que 1 se llama 
fracción propia y 
cuando es mayor qu
e 
1 se llama fracción 
impropia.
Fracciones 
homogéneas son 
aquellas que tienen
 el 
mismo denominado
r.
 18
; 38
; 78
; 138
 
Fracciones 
heterogéneas son 
aquellas que tienen
 
distinto denominado
r.
 710
; 58
; 811
; 1323
Una fracción es 
irreductible cuando 
sus términos son 
primos entre sí (PES
I). 
Fracción
1
2
1
3
2
5
4
7
Complemento
1 − 12
 = 12
 
1 − 13
 = 23
1 − 25
 = 35
1 − 47
 = 37
2
7
PESI
4
9
PESI
11
19
PESI
Operaciones con fr
acciones
Adición y sustracci
ón de fracciones ho
mogéneas
Se suman o se rest
an los numeradores
 y se deja el mismo
 denominador. Se s
implifica 
(reduce) si es posib
le.
Ejemplos:
Adición y sustracci
ón de fracciones he
terogéneas
Se deben homogen
eizar las fracciones
; luego, se suman o
 se restan los nume
radores 
y se deja el mismo 
denominador. Se ex
presa el resultado c
omo fracción irredu
ctible. 
Ejemplos:
Multiplicación de fr
acciones
Para multiplicar frac
ciones, se debe mu
ltiplicar los numerad
ores y los denomina
dores 
de manera separad
a.
Ejemplos:
 Fracción de un
 número
 Para calcular la
 fracción de un núm
ero se debe multipli
car a la fracción por
 el número.
 Ejemplos:
3
5
4
7
5
2
3
5
3
4
11
12
7
10
3 × 75
5
4 × 3 × 280
7 × 4
5 × 11 × 7 × 2400
2 × 12 × 10
3360
28
924 000
240
225
5× =
=
=
=
=
= 120
= 3850
= =
de 75
de
de de
de 280
de 2400
75
45
•
•
•
3
7
2
5
4
5
7
11
3 × 4
7 × 5
5
12
12
35
2 × 7 × 5
5 × 11 × 12
70
660
7
66
×
×
=
×
=
= =
=
•
•
3
5
3
4
1
2
1
5
6
10
3
20
5
10
15
20
11
10
4
20
16
20
4
5
3
20
+
+
=
−
+
=
=
+ = =−
•
•
8
11
2
15
3
15
1
15
4
15
2 + 3 − 1
15
2
11
8 + 2
11
10
11+
+ − =
=
= =•
•
=
Una fracción es una
 parte tomada de la
 unidad que ha sido
 dividida en partes i
guales.
24
Ejercicios resueltos
 Dentro de una urna se colocan 12 esferas rojas, 
15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes. 
¿Cuántas esferas tenemos que sacar como 
mínimo y al azar para estar seguro de haber 
extraído 14 de uno de los colores?
 Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo), 
¿cuántas cartas hay que extraer como mínimo 
para estar seguros de haber obtenido una carta 
con numeración impar y de color rojo? 
 Gabriel tiene en una urna veinte fichas numeradas 
del 1 al 20. ¿Cuánto es el mínimo número de 
fichas que ha de extraer para que tenga la certeza 
de haber obtenido 4 fichas numeradas de manera 
consecutiva?
 Si se tiene 180 fichas numeradas del 1 al 180, 
¿cuántas fichas se deben extraer al azar para tener 
la certeza de haber obtenido 2 fichas cuyos valores 
sean mayores que 20 pero menores que 40? 
 En una bolsa hay 19 bolas blancas, 28 bolas rojas, 
y 32 bolas azules. ¿Cuántas bolas como mínimo 
se deben extraer al azar para tener la certeza de 
haber obtenido 8 bolas del mismo color? 
 Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 
17 blancas. ¿Cuántas bolas se debe sacar al 
azar y como mínimo para obtener al menos una 
de cada color?
 Rpta. Tenemos que sacar 65 esferas.
 Rpta. Tenemos que extraer 39 cartas.
 Rpta. Gabriel tendrá que extraer 16 fichas.
 Rpta. Se debe extraer 22 bolas.
 Rpta. Se tiene que extraer 163 fichas.
 Rpta. Se debe sacar 36 bolas.
14 de unode los colores: 
12r + 13b + 13n + 13a + 13v + 1 = 65
Una carta impar y roja:
26 negras + 12 rojas pares + 1 = 39
Una de cada color:
18N + 17B + 1R = 36
Total
52 cartas
rojas
26
negras
26
♥ 1; 2; 3; ...; 13
♦ 1; 2; 3; ...; 13
♠ 1; 2; 3; ...; 13
♣ 1; 2; 3; ...; 13
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
8 bolas del mismo color:
 7B + 7R + 7A + 1 = 22
Quiero : 21; 22; 23; ...; 39 → 19 fichasNo quiero: 180 – 19 = 161 fichas 161 fichas + 2 = 163
1
+ 1
9
17
2
10
18
3
11
19
4
12
20
5
13
6
14
7
15
8
16 ??
No
sirve
Uno menos de los que se quiere
Los dos grupos con mayor cantidad de bolas
Una menos de las que se quiere
Lo que no
quiero
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
1
4
2
3
5
6
Para una mejor 
organización, 
se ha enumerado 
cada tema.
Enunciado
del problema
Título del tema 
Comentarios 
que refuerzan el 
desarrollo del tema.
Algoritmo de resolución
Folio 
Ejemplos desarrollados, 
en los que se explica 
didácticamente los 
pasos a ejecutar para 
hallar la respuesta.
Contenido teórico
Ejercicios resueltos
Conoce tu libro
Aquí encontrarás 
ejercicios planteados, 
los cuales resolverás en 
los espacios señalados 
siguiendo las indicaciones 
del docente.
41
MateMática Delta 3 
- RazonaMiento MateM
ático
1
2
3
4
5
6
Ejercicios de aplicaci
ón
 Calcula el valor d
e un número sabiend
o que su 
cuadrado, disminuido 
en 119 es igual a 10 v
eces 
el exceso del número 
con respecto a 8.
 En un banquete,
 habían sentados 8 
invitados 
en cada mesa, luego 
se trajeron 4 mesas m
ás y 
entonces se sentaron 
6 invitados en cada m
esa. 
¿Cuántos invitados ha
bían en total?
 Maritza recibió 4 s
oles de propina y tuvo 
entonces 
4 veces lo que hubier
a tenido si hubiera ga
stado 
2 soles de lo que ten
ía. ¿Cuánto dinero ten
ía al 
principio?
 En un corral se 
observa 3 gallinas p
or cada 
5 patos y 4 conejos
 por cada 3 patos. S
i en 
total se cuentan 176
 cabezas. ¿Cuánto e
s el 
número total de pata
s?
 Se compra cierto 
número de relojes por
 S/ 5625, 
sabiendo que el núm
ero de relojes compr
ados 
es numéricamente igu
al al precio de un relo
j en 
soles. ¿Cuántos reloje
s se compraron?
 Los ahorros de un
 niño constan de (2p + 
4), (p + 2) 
y (4p) monedas de 1; 2
 y 5 soles respectivame
nte. 
¿A cuánto asciende s
us ahorros, si al camb
iarlo 
en billetes de 20 so
les, el número de bi
lletes 
obtenidos es uno m
enos que el número
 de 
monedas de 2 soles?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
66
 A 16 B 17 C 18 D 19 E 20
Practica y demuestra
 En una sucesión lineal el tercer término es 10 y el 
décimo término es 45. Calcula el valor del término 
de lugar 22.
Determina el valor del primer término negativo de 
la sucesión.
671 ; 665 ; 659 ; ...
¿Cuántos números pares hay desde 56 hasta 238?
 Determina el valor del vigésimo término en:
 
39 ; 56 ; 73 ; 90 ; …
 Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente 
sucesión: 
1 ; 5 ; 11 ; 19 ; … ; 379
En una progresión geométrica el término de sexto 
lugar es 972 y el primer término es 4. Halla el valor 
de la razón de la progresión.
 De las sucesiones: 
	 •	 27 ; 25 ; 23 ; 21 ; ... • –6 ; –5 ; –4 ; –3 ; ... Se sabe que tienen la misma cantidad de términos 
y además sus últimos términos son iguales. Calcula 
la diferencia de sus penúltimos términos.
 Si x – 3; x + 1; x + 13; ... son los tres primeros 
términos de una P.G. Determina el valor del 
decimotercer término de dicha progresión. 
 Halla el valor del trigésimo término de la sucesión:
 
4 ; 8 ; 14 ; 22 ; …
 Calcula x – y en la siguiente progresión aritmética:x
3
;17; y2 ; 33
 A 95 B 100 C 105 D 110 E 115
 A 340 B 362 C 370 D 382 E 390
 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
 A 3 × 210 B 3 × 212 C 2 × 133 D 2 × 312 E 13 × 22
 A 20 B 22 C 24 D 26 E 28
 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
 A –6 B –5 C –3 D –2 E –1
 A 184 B 182 C 102 D 92 E 82
 A 932 B 902 C 892 D 874 E 836
1
6
2
7
3 8
4
9
5
10
Enunciado 
del problema
Espacio para resolver 
el problema
En este espacio se ha 
planteado algunos 
problemas, los mismos 
que tendrás que resolver 
considerando el proceso 
seguido anteriormente.
Ejercicios de aplicación
Practica y demuestra
Nombre de 
la sección
Nombre de 
la sección
Índice
1
3
2
4
5
7
6
8
9
11
10
12
resuelve 
problemas de 
cantidad
resuelve 
problemas de 
regularidad, 
equivalencia 
y cambio
resuelve 
problemas de 
movimiento, 
forma y 
localización
resuelve 
problemas 
de gestión 
de datos e 
incertidumbre
análisis psicotécnico 6
- Series de figuras y término excluido
- Analogías gráficas y aptitud espacial
certezas 23
- Nociones previas: certeza y azar
- Estrategias a utilizar
edades 44
- Problema con un sujeto
- Problema con dos o más sujetos
series 67
- series notables
- series de orden superior
principios fundamentales de conteo 85
- Principio aditivo
- Principio multiplicativo
orden de información 13
- Ordenamiento lineal
- Ordenamiento circular
- Test de decisiones
planteo de ecuaciones 37
- Enunciado
- Ecuación
sucesiones 59
- sucesión aritmética y sucesión geométrica
- sucesión de segundo grado
métodos operativos 29
- Método de las operaciones inversas
- Regla de tres simple
- Regla conjunta
Fracciones 52
- Operaciones con fracciones
- Fracción de un número
- Reducción a la unidad de tiempo
operaciones matemáticas 74
- Operador matemático
- Propiedades de las operaciones matemáticas
Factorial de un número 91
- Definición
- Propiedad
n.o de tema competencias contenido pedagógico
6
Tema
Análisis piscotécnico
En este tema se plantean ejercicios que sirven para desarrollar el proceso del pensamiento 
lógico y aptitudes que se requieren para enfrentar situaciones problemáticas. 
A continuación, dividiremos el tema en cuatro subtemas y explicaremos cada uno de 
ellos.
•	 Series	de	figuras
•	 Término excluido
•	 Analogías	gráficas
•	 Aptitud espacial
A continuación se desarrollará cada uno de estos puntos.
1
Los test 
psicotécnicos son 
un ejemplo de las 
nuevas técnicas 
de selección a 
las que recurren 
responsables de 
recursos humanos.
Los test 
psicotécnicos 
evalúan las 
capacidades 
y aptitudes 
intelectuales del 
postulante en 
relación con el 
puesto que se 
oferta. En general, 
el seleccionador 
pretende conocer el 
grado de memoria, 
atención, destreza 
lingüística, numérica 
y administrativa, 
percepción, la 
habilidad para 
razonar y además 
características del 
postulante.
Para resolver los 
problemas de 
secuencias	gráficas,	
lo mejor que puedes 
hacer es trabajar 
los elementos de la 
figura	por	separado.
Considera el giro en 
sentido horario ( ) y 
el antihorario ( ).
Según el movimiento 
de las manecillas de 
un reloj. 
Recu e rda
 Series de figuras
 Este tipo de series evalúan la inteligencia general y la capacidad de abstracción, que es 
la base de todo el proceso mental.
 Las series de figuras ponen en evidencia la capacidad para deducir los principios lógicos 
en base a unas figuras que siguen un orden lógico, es decir, que forman una verdadera 
serie, ya que van modificándose en determinado sentido.
 Se debe descubrir la relación que existe entre todas las figuras de la serie para así 
deducir la que continúa.
 Las series de figuras forman parte de las pruebas no-verbales, puesto que no contienen 
palabras. Por eso mismo, se les denomina libres de cultura, ya que, para responder a 
sus preguntas no se requiere saber leer ni escribir.
 Ejemplo:
 Señala la figura que continúa la serie gráfica:
 Término excluido
 En este tipo de ejercicios el alumno debe descubrir la característica en común que 
tienen los elementos de la serie a excepción de uno de ellos, el cual deberá ser excluido.
 Ejemplo:
1 2 3 4
?
A B C D E
La figura 3 esla que continúa la serie gráfica, ya que el número de lados de cada 
polígono aumenta en 1.
La figura B es el término excluido de la serie porque todas las demás tienen un círculo 
pintado cerca al borde del círculo blanco, excepto la figura B.
7MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Obse rva
 Analogías gráficas
 Una analogía es una relación de semejanza entre cosas distintas. El concepto permite 
referirse al razonamiento que se basa en la detección de atributos semejantes en seres 
o cosas diferentes. 
 Una analogía, por lo tanto, es una comparación entre objetos, conceptos o experiencias. 
Al establecer una analogía, se indican características particulares y generales y se 
establecen las semejanzas y diferencias entre los elementos contrastados.
 Lo que se debe hacer es descubrir la relación existente en la primera pareja de figuras, 
tomando como referencia siempre a la primera de ellas y aplicar la misma regla a una 
tercera figura para llegar a la respuesta.
 Ejemplo:
 Aptitud espacial
 Las pruebas psicotécnicas de aptitud espacial evalúan la capacidad de concebir, 
relacionar e imaginar figuras en el espacio.
 Lo que debe hacer el alumno es armar un sólido que le presentan de manera desarrollada 
(desarmada), esto lo podrá hacer descartando claves o armando físicamente dicho 
sólido.
 Otro tipo de problema que se puede presentar es el de conteo de caras de un sólido, en 
el cual el alumno solo debe determinar el número total de caras del sólido en sus vistas 
(frontal, lateral izquierda, lateral derecha, posterior, superior e inferior).
 Ejemplo:
 Señala el sólido que corresponde al siguiente desarrollo:
?
B C DA
En la primera pareja de figuras, la figura 1 gira 90° e invierte la zona de sombreado. Por 
lo tanto, la respuesta es la figura C .
B C DA
Al armar el cubo, notaremos que el sólido B es el correcto.
Para visualizar 
un sólido puedes 
hacerlo en tu 
borrador de goma.
Las vistas de un 
sólido:
superior
inferior
posterior
frontal
lateral
izquierdo
lateral
derecho
Las preguntas de 
término excluido 
sirven para discernir 
la mejor opción que 
no cumple con las 
características de las 
demás.
Las pruebas 
psicométricas con 
problema de análisis 
psicotécnico sirven 
para estimular su 
cerebro y mejorar 
su	IQ	(coeficiente	
intelectual).
 Si deseas seguir 
practicando 
puedes encontrar 
varios tipos de 
prueba de este 
tema en internet, 
solo tienes que 
buscarlo por su 
nombre: Pruebas 
psicotécnicas.
8
Ejercicios resueltos
 Halla la figura que cumple con la analogía. 
(1) (2) (3) (4)
 Resolución:
Se observa que los círculos rotan en sentido 
horario.
 ¿Qué ficha continúa en la siguiente secuencia?
?
 Resolución:
La cantidad de puntos de cada ficha representa 
un número primo.
 Encuentra la figura que falta en el siguiente 
arreglo.
Rpta. B 
Rpta. C 
 ¿Qué figura continúa? 
 Resolución:
La bolita va bajando una casilla más de figura a 
figura.
?
3 4 5 6
 En cada fila aparece una vez cada una de las 
características que van combinadas en el muñeco 
(tipo de pelo, brazos y pie), ahora en la tercera fila:
Falta
 Resolución:
Rpta. C
2 5 7 113
Rpta. E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
A B C D E
1
4
2
3
9MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
A B D EC
a) La cara superior debería ser
b) La cara de y no son adyacentes
c) La cara del debe girar 90°
d) La cara de y no son adyacentes
Por descarte:
 Halla el total de caras del sólido.
 Resolución:
Vista frontal : 4
Vista posterior : 1
Vista superior : 3
Vista inferior : 1
Vista lateral derecha : 3
Vista lateral izquierda : 1
13
13Rpta. 
 Resolución:
Hay un bloque grande de 6 cuadrados de ancho, 
3 de alto y 2 de profundidad.
En la parte superior hay un bloque de 3 cuadrados 
de largo, 1 de alto y 2 de profundidad.
Total = 36 + 6 = 42
3 × 1 × 2 = 6
6 × 3 × 2 = 36
Rpta. 42
 Encuentra el mínimo número total de cubitos en la 
siguiente figura.
 Indica la figura que no guarda relación con las 
demás.
Rpta.
 Resolución:
Todas son la misma figura que va girando en 
sentido antihorario, excepto la alternativa C.
 Resolución:
 ¿Qué cubo corresponde al desarrollo de la figura 
adjunta?
A B C D E
 ¿Qué números serán visibles en el cuarto dado 
según la siguiente rotación de los 3 primeros?
 Resolución:
La figura va en el eje vertical hacia la derecha
 y al número 2 se le opone el número 5, por 
lo tanto quedaría:
Rpta. 1; 4; 5
Rpta. E
A 3; 2; 6
B 1; 4; 5
C 3; 2; 5
D 3; 1; 5
E 3; 1; 2
B
5
6
7
8
9
10
Ejercicios de aplicación
 ¿Qué figura completa la siguiente analogía? ¿Qué elemento sigue la secuencia? 
 Halla la figura que cumple con la analogía.
(1) (3) (4)
? ?
(2)
(1) (2) (3) (4)
?
 Encuentra la figura que continúa la secuencia.
 ¿Qué figura completa el arreglo? 
?
A B C D E
A B C D EA B D EC
A B C D E
BA C
D E
 Determina la figura que falta en el recuadro 
sombreado.
A B C D E
1
2
4
3
6
5
11MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
 ¿Qué ficha continúa la secuencia? 
?
?
 Determina el mínimo número total de cubitos en la 
siguiente figura.
 Indica la figura que no guarda relación con las 
demás.
 ¿Qué números serán visibles en el cuarto dado 
según la siguiente rotación de los 3 primeros?
 Halla la figura que sigue.
 Encuentra la figura que cumple con la analogía.
(1) (2) (3)
A B C D E
A B C D E
A
A
B C
C
D
D
E
E
A B C D E
A 3; 2; 6
B 1; 4; 5
C 3; 2; 5
D 1; 2; 4
E 3; 1; 2
10
11
9
12
8
7
31 30 35
33 29
B
12
Practica y demuestra
 Encuentra el total de caras del sólido.
 Halla el mínimo número de cubos.
 ¿Qué cubo corresponde al desarrollo de la figura 
adjunta?
 A 12 
 B 15 
 C 13
 D 14 
 E 16
 Halla el total de caras del sólido. 
 A 13 
 B 12 
 C 11
 D 10 
 E 9
 ¿Qué figura sigue? 
 ¿Qué figura continúa? 
 Señala la figura que debe ir en el recuadro 
sombreado.
 A 20
 B 22
 C 23
 D 24
 E 19
 Determina la figura que cumple la secuencia.
?
 Encuentra la figura que cumple con la analogía.
: :: :
(1) (3) (4)(2)
 ¿Qué figura no tiene relación con las demás?
A B D EC
A B D EC
EA B C ED
DC EA B
A B C D
1 6
2 7
3
8
4
10
9
5
A B D EC
A B D EC
Tema
13MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
2
Orden de información
 Ordenamiento lineal
Este tipo de ordenamiento se aplica en aquellas situaciones en las cuales el problema 
presenta una característica común de un grupo de objetos, animales o personas. 
Esta característica común puede hacer referencia a la edad, estatura, posición que 
ocupan los elementos, antigüedad de los objetos, entre otras, y lo que se debe lograr 
es ordenarlos en función a toda la información que se presente en el problema.
Según	 la	 naturaleza	 del	 problema,	 se	 clasifican	 los	 ordenamientos	 de	 la	 siguiente	
manera:
En este capítulo se desarrollará situaciones relacionadas al Ordenamiento lineal, 
Ordenamiento circular y Test de decisiones, sabiendo que todas ellas tienen en común 
que la información brindada en el problema no se encuentra necesariamente ordenada 
y se debe tener la capacidad de saber disgregar y empezar con aquel dato que brinde 
una mayor cantidad de información o de mejor calidad que el del resto de ellos.
 Ordenamiento lineal comparativo
 Este primer tipo de problema se caracteriza porque los datos se basan en la comparación 
de los elementos según la característica que se plantea. 
Ejemplo:
De un grupo de seis amigos se sabe que:
•		César	es	mayor	que	Bruno.
•		Edgar	es	menor	que	David.
•		Bruno	es	mayor	que	Fernando	y	David.
•		Ángel	es	mayor	que	Bruno.
•		Edgar	no	es	el	menor.
¿Quién es el menor de todos?
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente 
manera:
 (primer dato) (segundo dato) (tercer dato) (cuarto dato)
Mayor									César																			David																										BrunoÁngel
Menor Bruno Edgar Fernando David Bruno
Teniendo el esquema principal se puede responder la pregunta planteada en el 
problema.
Rpta. El menor de todos es Fernando.
(porque Edgar no es el menor).
Bruno
Ángel César
Fernando
David
Edgar
Mayor
Menor
Como siguiente paso, se busca unir toda la información en un solo esquema, al cual 
llamaremos esquema principal:
Izquierda ↔ Derecha
Siniestra ↔ Diestra
Oeste ↔ Este
Q P
R S
Q → P
I nt e rp ret a ción 
de dato s
P está junto y a la 
derecha de Q.
P está a la derecha 
de Q.
M está junto a N y O.
M está entre N y O.
R está a la izquierda 
inmediata de S.
M se encuentra en 
un lugar equidistante 
de P y Q.
N M O
N ... M ... O
P ... M ... Q
x x
Recu e rda
14
Ordenamiento lineal por posición fija
Este segundo tipo de ordenamiento se caracteriza porque los datos se basan en la 
posición de los elementos y la comparación de la misma tomando en cuenta un punto 
de referencia. Este ordenamiento a su vez puede ser horizontal o vertical, según la 
situación planteada.
Horizontal 
Se produce cuando los elementos se ubican uno al lado del otro.
Ejemplo:
Seis amigos: Alberto, Bruno, César, Daniel, Edmundo y Fabián se ubican juntos en una 
hilera de seis asientos de un teatro. Si se sabe que:
•		Alberto	está	junto	y	a	la	izquierda	de	Bruno.
•		César	está	a	la	derecha	de	Alberto,	entre	Fabián	y	Daniel.
•		Daniel	está	junto	y	a	la	izquierda	de	Edmundo.
•		Fabián	está	a	la	izquierda	de	Alberto.
¿Quién ocupa el cuarto asiento si los contamos de izquierda a derecha?
Vertical 
Se produce cuando los elementos se ubican uno arriba del otro.
Ejemplo:
En un edificio de 5 pisos viven las familias Bardales, Jiménez, Escobar, Acosta y 
Romaní, cada una de ellas en pisos diferentes.
•	 Uno	de	los	integrantes	de	la	familia	Escobar	no	puede	subir	las	escaleras,	motivo	por	
el cual han decidido vivir en el primer piso.
•		La	familia	Bardales	vive	lo	más	alejado	posible	de	los	Escobar.
•		A	la	familia	Acosta	le	hubiera	gustado	vivir	en	el	cuarto	piso.
•		La	familia	Romaní	vive	un	piso	encima	de	los	Jiménez.
¿En qué piso vive la familia Romaní?
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente 
manera:
Izquierda Derecha
Como siguiente paso, se busca unir toda la información en un solo esquema, al cual 
llamaremos esquema principal:
Rpta. En el cuarto asiento contando desde la izquierda se ubica César.
Datos:
A B
D E
• A → C
• F ← A
• F C D
 F A B C D E
1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.°
Izquierda Derecha
I nt e rp ret a ción 
de dato s
B no es mayor que C.
D no llegó antes que 
E.
M está dos lugares a 
la derecha de N.
X está tres lugares a 
la izquierda de Y.
M es mayor que P y 
Q.
Quiere decir que B es 
menor o igual que C.
Quiere decir que D 
llegó después o al 
mismo tiempo que E.
C
B
(=)
E D
(=)
N M
1 2
X Y
3 2 1
M
P Q
15MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ordenamiento circular
Se aplica en aquellas situaciones en las que presentan un conjunto de objetos, animales 
o personas que se ubican alrededor de otra, siendo el caso más común un grupo de 
personas alrededor de una mesa. 
Distribución simétrica
A todos los elementos les corresponde espacios iguales para ubicarse.
Al	 tener	 estas	 distribuciones	 se	 logra	 visualizar	 unas	 flechas	 rojas	 en	 aquellas	
situaciones	en	la	que	la	cantidad	de	elementos	sea	par.	Estas	flechas	indican	que	un	
elemento se encuentra frente a otro, es decir, diametralmente opuesto.
Resolución:
Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente 
manera:
Bardales
Escobar
Bardales
EscobarEscobar
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
Primer dato Segundo dato Tercer dato
Acosta
Acosta
Escobar
Cuarto dato
Acosta
Jiménez
Romaní
Bardales
Este último esquema tiene todos los datos 
ordenados y lo llamaremos esquema principal.
Rpta. La familia Romaní vive en el cuarto piso.
dos lugares
cinco lugares
tres lugares
seis lugares
cuatro lugares
ocho lugares
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
5.°
4.°
3.°
2.°
1.°
Simétricamente 
distribuidos: igual 
espacio para todos 
los lugares.
Diametralmente 
opuesto: al frente.
Para resolver los 
problemas de 
ordenamiento 
circular:
1. Siempre debes 
empezar con aquel 
dato que te dé la 
mayor cantidad 
de información o 
con el que te dé la 
posición	fija	de	uno	
o más elementos 
del ordenamiento:
 Ejemplos:
•	 Juan	está	a	la	
derecha de 
Raúl. û
•	 Juan	está	tres	
lugares a la 
izquierda de 
Irene. ü
•	 Pedro	está	
junto con 
Miguel. û
•	 Raúl	está	
junto a Carlos 
y David. ü
2. Jamás debes 
empezar por un 
dato que tenga una 
negación:
 Ejemplo:
 •	Ricardo	no	
 está sentado 
 junto a Nora. û
Este tipo de dato se 
deja para completar 
al	final.
Recu e rda
a)
b)
16
HA
BF
CE
DG
•	 ¿Qué	letra	está	junto	y	a	la	derecha	de	H?
•	 ¿Qué	letra	está	a	la	izquierda	inmediata	de	D?
•	 ¿Qué	letras	están	a	la	derecha	de	F?
•	 ¿Qué	letras	están	a	la	izquierda	de	B?
•	 ¿Qué	letras	están	adyacentes	a	E?
•	 ¿Qué	letra	es	adyacente	común	a	F	y	D?
•	 ¿Qué	letra	está	diametralmente	opuesta	a	H?
•	 ¿Qué	letra	está	frente	a	C?
Test de decisiones
Se caracteriza por brindar una serie de datos relacionados entre sí cada uno con otro.
Para resolver este tipo de problemas es recomendable construir una tabla de doble 
entrada en la cual se relacionen los datos proporcionados marcando las relaciones 
correctas.
Ejemplo:
Juan, Luis, Eduardo y Rodolfo son cuatro hermanos y cada uno practica un deporte 
diferente al otro. Los deportes que practican son: karate, natación, equitación y ajedrez, 
aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que:
- Rodolfo no practica ajedrez. 
- Eduardo no practica karate ni ajedrez.
- Luis practica equitación. 
- ¿Qué deporte practica Rodolfo?
Resolución:
karate natación equitación ajedrez
Juan
Luis
Eduardo
Rodolfo û
karate natación equitación ajedrez
Juan
Luis
Eduardo û û
Rodolfo û
Primer dato Segundo dato
karate natación equitación ajedrez
Juan û
Luis û û ü û
Eduardo û û û
Rodolfo û û
karate natación equitación ajedrez
Juan û û û ü
Luis û û ü û
Eduardo û ü û û
Rodolfo ü û û û
Tercer dato Esquema principal
Rpta. Rodolfo practica karate.
Al momento de trabajar un ordenamiento circular se debe tomar en cuenta lo siguiente:
Al momento de 
colocar las dos 
entradas en la tarea, 
no interesa el orden 
en que se colocan.
Al colocar un ü 
(check) en cualquier 
recuadro se debe 
llenar el resto de su 
fila	y	su	columna	con	
û (aspa).
Existen dos tipos de 
datos:
a) Datos directos:
•	 Juan	es	
ingeniero.
•	 A	Pedro	le	gusta	
el color rojo.
b) Datos para
 descartar:
•	 Juan	es	
hermano del 
ingeniero (por 
tanto él no es 
ingeniero).
•	 A	Pedro	no	le	
gusta el color 
rojo.
Al momento de llenar 
la tabla se debe 
empezar con los 
datos directos, luego 
de agotar este tipo 
de datos recién se 
comienza a trabajar 
con los datos para 
descartar.
COLOR
N
O
M
B
R
E
S
NOMBRES
C
O
L
O
R
Recu e rda
17MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
 Cinco amigos van al cine y ocupan una fila 
de 7 asientos; se sientan juntos siempre que no 
sean del mismo género, en ese caso, se deja un 
asiento vacío entre ellos. Una persona observa 
que:
•	 Mayra	 está	 sentada	 junto	 al	 pasillo	 en	 el	
extremo derecho.
•	 Víctor	está	entre	Alfonso	y	Milagros.
•	 Alfonso	es	esposo	de	Mayra	y	está	sentado	a	la	
derecha de Alexis.
•	 Los	esposos	se	sientan	juntos.
•	 Víctor	está	adyacente	a	los	dos	lugares	vacíos.
 ¿Quién ocupa la cuarta posición contando desde 
la izquierda?
Rpta. Fernando se sienta junto a Charles y Benito.Rpta. Bryan e Iván llegaron 1.° y 4.°, respectivamente.
 En una carrera participan 6 personas, obteniéndose 
los siguientesresultados: 
•	 César	no	llegó	en	un	lugar	impar.	
•	 Mariano	 llegó	 equidistante	 a	 Iván	 y	 a	 Felipe,	
quien llegó en último lugar. 
•	 Jhon	deberá	entrenar	más	si	desea	obtener	el	
título. 
 ¿En qué puestos llegaron Bryan e Iván, 
respectivamente? 
 Seis amigos: Arturo, Benito, Charles, Diego, 
Evaristo y Fernando se sientan alrededor de 
una mesa circular con seis asientos distribuidos 
simétricamente. Si se sabe que:
•	 Diego	no	se	sienta	junto	a	Benito.
•	 Evaristo	no	se	sienta	junto	a	Charles.
•	 Arturo	 se	 sienta	 a	 la	 derecha	 inmediata	 de	
Benito y diametralmente opuesto a Charles.
 ¿Junto a quiénes se sienta Fernando?
Bryan
1.°
Jhon
3.°
César
2.°
Iván
4.°
Felipe
6.°
Mariano
5.°
•		Iván
• Jhon no llegó en 1.er lugar.
Mariano Felipe
•		César:	lugar	par	(2.° ; 4.° o 6.°) 
Rpta. Víctor se sienta en la cuarta posición.
•		Alfonso
• Alexis Alfonso
Víctor Milagros
• φ φVíctor
Víctor Alfonsoφ φ MayraMilagros Alexis
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. Se pueden generar dos ordenamientos.
 Julio invita a cenar a sus amigos: Violeta, Mónica, 
César, Freddy y Alberto; pero este último no pudo 
asistir. Los asistentes se sientan alrededor de 
una mesa circular con seis asientos distribuidos 
simétricamente. Julio se sienta junto a Freddy y 
César. Frente a Freddy se sienta Violeta. Junto 
a un hombre no se encuentra el asiento vacío. 
¿Cuántos ordenamientos se pueden generar?
ø
VioletaMónica
Freddy
Julio
César
ø
MónicaVioleta
César
Julio
Freddy
Resolución:
Diego
EvaristoCharles
Fernando
Benito
Arturo
Primer dato utilizado
1 3
2 4
18
 Paul, Jacinto, Pedro y Mauro tienen diferentes 
ocupaciones y se sabe que: 
	 •	Paul	y	el	futbolista	son	amigos	del	mesero.	
	 •	Jacinto	es	amigo	del	mesero.	
	 •	El	vendedor	es	familia	de	Mauro.	
	 •	El	carpintero	es	muy	amigo	de	Pedro	y	del	mesero.	
	 •	Paul	es	vendedor.	
 ¿Qué ocupación tiene Jacinto? 
 En una mesa circular hay 6 asientos 
simétricamente colocados en los cuales están 
sentados 6 amigos que juegan bingo. Si Luis no 
está sentado al lado de Antonio ni de Rosa, Lidia 
no está al lado de Carlos ni de Rosa, Antonio no 
está al lado de Carlos ni de Lidia, Andrea está 
junto y a la derecha de Antonio. ¿Quién está 
sentado junto y a la izquierda de Lidia?
 Cuatro amigas: Sabrina, Lourdes, Pamela y Sara 
salen de compras, y se sabe que cada una quiere 
comprar una prenda distinta: un par de zapatos, 
una blusa, un vestido y un par de guantes. 
 Además, se tiene que: 
•	 Sabrina	no	necesita	zapatos,	por	lo	cual	no	los	
compra. 
•	 Lourdes	comprará	un	vestido	nuevo.	
•	 Pamela	 le	 aconseja	 a	 Sara	 sobre	 el	 color	 de	
guantes que se va a comprar.
¿Quién comprará los zapatos? 
 Stephanie, Giovanna y Milagros viven en 
tres ciudades distintas: Lima, Cusco y Piura, 
estudiando una carrera diferente: Medicina, 
Derecho y Contabilidad. Si se sabe que:
	 •		Stephanie	no	vive	en	Cusco.
	 •		Giovanna	no	vive	en	Piura.
	 •		La	que	vive	en	Cusco	no	estudia	Derecho.
	 •		Giovanna	no	estudia	Medicina.
	 •		La	que	vive	en	Piura	estudia	Contabilidad.
	 •		Milagros	no	vive	en	Lima.
 ¿Dónde vive y qué estudia Giovanna?
•	 Piura - Contabilidad
•	 Como la que vive en Cusco no estudia Derecho, 
entonces estudia Medicina.
zapatos blusa vestido guantes
Sabrina û ü û û
Lourdes û û ü û
Pamela ü û û û
Sara û û û ü
futbolista mesero vendedor carpintero
Paul û û ü û
Jacinto û û û ü
Pedro ü û û û
Mauro û ü û ü
Stephanie Milagros Giovanna
Piura Cusco Lima
Contabilidad Medicina Derecho
Milagros
Rpta. Andrea está junto y a la izquierda de Lidia.
Rpta. Pamela comprará los zapatos. Rpta. Jacinto es el carpintero.
Rpta. Giovanna vive en Lima y estudia Derecho.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Luis
LidiaCarlos
Rosa
Antonio
Andrea
û Luis
û Lidia
û Lidia
û Carlos
û Luis
û Lidia
primer dato
Luis ≠ Antonio
Luis ≠ Rosa
Lidia ≠ Carlos
Lidia ≠ Rosa
Antonio ≠ Lidia
Antonio ≠ Carlos
descarte
5 7
6
8
19MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios de aplicación
 Se sabe que Miguel es mayor que Pepe, Manuel 
es menor que Eric y que Pepe no es menor que 
Eric. ¿Quién de ellos es el menor de todos? 
 En cierta prueba, Luisa obtuvo menos puntos 
que Fátima; Mariela, menos puntos que Ariana; 
Gabriela, el mismo puntaje que Ximena; Luisa, 
más puntaje que Sofía; Mariela, el mismo que 
Fátima y Gabriela, más que Ariana. ¿Quién obtuvo 
el menor puntaje? 
 De los profesores de matemática se sabe que: 
•	 Víctor	 es	 mayor	 que	 Felipe,	 pero	 menor	 que	
Adrián. 
•	 Manuel	es	menor	que	Víctor	y	mayor	que	Beto.	
•	 Jorge	es	mayor	que	Víctor.	
•	 Adrián	es	mayor	que	Elizabeth.	
Podemos afirmar con certeza:
 a) Jorge es mayor que Adrián. 
 b) Manuel es menor que Felipe. 
 c) No es cierto que Jorge sea mayor que Beto. 
 d) Adrián es mayor que Beto. 
 e) Más de una es correcta. 
 Cinco alumnos rinden un examen, obteniéndose 
los siguientes resultados: 
	 •		David	obtuvo	dos	puntos	menos	que	Renzo.	
	 •		Renzo	obtuvo	dos	puntos	menos	que	Juan.	
	 •		Rodrigo	obtuvo	un	punto	más	que	Renzo.	
	 •		Renzo	obtuvo	un	punto	más	que	Alonso.	
 ¿Quién obtuvo el mayor puntaje? 
 En un edificio de 5 pisos viven las familias López, 
Novoa, Bazán, Echevarría, Sandoval, cada una 
de ellas en pisos diferentes.
•	 Al	señor	Echevarría	le	hubiera	gustado	vivir	en	
el segundo piso.
•	 La	familia	Sandoval	vive	un	piso	encima	de	los	
Novoa.
•	 La	familia	López	vive	lo	más	alejado	posible	de	
los Bazán.
•	 Uno	de	los	integrantes	de	la	familia	Bazán	no	
puede subir las escaleras, motivo por el cual 
han decidido vivir en el primer piso.
 ¿Qué familia vive en el tercer piso?
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 En un edificio de 4 pisos viven 4 amigos cada 
uno en un piso diferente, bajo las siguientes 
condiciones: 
•	 Jaime	no	puede	subir	las	escaleras	por	razones	
de salud, por eso vive en el primer piso.
•	 Paulo	vive	en	el	piso	inmediato	superior	al	piso	
donde vive Flavio, quien vive arriba de Carlos.
 ¿Cuáles de los siguientes enunciados son 
siempre verdaderos?
 I. Carlos vive en el segundo piso. 
 II. Carlos vive en el cuarto piso. 
 III. Flavio vive en el tercer piso.
1
2
4
3
6
5
20
Seis amigos: Manuel, Norberto, Óscar, Piero, 
Daniel y Renzo se sientan alrededor de una 
mesa circular con seis asientos distribuidos 
simétricamente. 
Además: 
•	 Piero	no	se	sienta	junto	a	Norberto.	
•	 Manuel	 se	 sienta	 junto	 y	 a	 la	 derecha	 de	
Norberto y frente a Óscar.
•	 Daniel	no	se	sienta	junto	a	Óscar.	
¿Quién se sienta junto y a la izquierda de Renzo?
En una mesa circular hay seis asientos 
simétricamente colocados, ante la cual se sientan 
seis amigas a jugar monopolio. Si Valeria no está 
sentada al lado de Fernanda ni de Carolina. María 
no está al lado de Guadalupe ni de Carolina, 
Fernanda no está al lado de Guadalupe ni de María, 
Irene está junto y a la derecha de Fernanda. ¿Quién 
está sentada junto y a la izquierda de María?
Seis amigos se sientan alrededor de una mesa 
circular con ocho sillas distribuidas simétricamente, 
y se sabe que:
•	 Flavio	está	sentado	a	la	izquierda	de	Humberto	
y junto a él.
•	 Kevin	está	sentado	al	frente	de	Gustavo	y	a	la	
izquierda de Javier.
•	 Gustavo	está	sentado	a	dos	asientos	de	Flavio.
•	 Javier	está	sentado	diametralmente	opuesto	de	
Humberto y este está sentado a la izquierda de 
Kevin.
•	 Ignacio	conversa	amenamente	con	todos.
¿Cuántos posibles ordenamientos hay?
Cinco amigos: Alex, Benito, Charlie, David y 
Eduardo se sientan alrededor de una mesa 
circular con cinco sillas y se sabe que: 
•	 Las	 cinco	 sillas	 se	 encuentran	 distribuidas	
simétricamente. 
•		Alex	se	sienta	junto	a	Benito.	
•		David	no	se	sienta	junto	a	Charlie.	
Podemos afirmar con certeza que: 
I. David se sienta junto a Alex. 
II. Eduardo se sienta junto a Charlie. 
III. Benito se sienta junto a David. 
En una mesa circular de 7 sillasse sientan a 
discutir	 cuatro	 hombres:	 Kevin,	 Bryan,	 Juan	 y	
Felipe y tres mujeres: Araceli, Miriam, Sofía.
Sabiendo que: 
•	 Dos	mujeres	no	pueden	estar	juntas.	
•	 Araceli	no	se	sienta	junto	a	Felipe.
•	 Bryan	se	sienta	junto	y	a	la	derecha	de	Felipe,	
pero Sofía no se sienta junto a ellos. 
¿Cuántos ordenamientos se pueden generar?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Ocho amigos se sientan alrededor de una 
mesa circular con ocho asientos distribuidos 
simétricamente. Se sabe que:
•	 Fernando	y	Glenda	se	sientan	juntos.
•	 Daniel	 no	 se	 sienta	 junto	 a	 Beatriz	 ni	 a	 su	
izquierda.
•	 Ana	 se	 sienta	 a	 la	 derecha	 de	Beatriz	 y	 a	 la	
izquierda de Elsa.
•		Carlos	no	se	sienta	junto	a	Elsa	ni	a	Glenda
•		Héctor	llegó	un	poco	retrasado	a	la	reunión.
•		Amigos	del	mismo	género	no	se	sientan	juntos.
¿Quiénes se pueden sentar frente a Daniel?
Rpta.
Rpta.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
8
11
9
12
107
21MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
 A un concierto de rock acuden Hugo, Paco y Luis 
acompañados de sus enamoradas Patty, Janet y 
María, aunque no necesariamente en ese orden. 
Además, se sabe que:
•	 Paco	deja	a	su	pareja	un	momento	y	acompaña	
a María a comprar una gaseosa.
•	 Luis	está	celoso	ya	que	Paco	y	María	demoran	
mucho tiempo y ella es su enamorada.
•	 Patty	y	Hugo	son	muy	buenos	amigos.
 ¿Quién es la enamorada de Paco?
Rpta.
Alfredo, Beto, Carlos y Diego son: mecánico, 
electricista, soldador y carpintero; llevan uniforme 
blanco, amarillo, rojo y azul. Además, se sabe que:
•	 El	mecánico	derrotó	a	Beto	en	sapo.
•	 Carlos	y	el	soldador	juegan	a	menudo	el	bingo	
con los hombres de rojo y azul.
•	 Alfredo	y	el	carpintero	tienen	envidia	del	hombre	
de uniforme azul, quien no es electricista.
•	 El	electricista	usa	uniforme	blanco.
¿Qué oficio tiene Carlos?
Rpta.
 En un concurso de belleza se presentan 
representantes de Chile, Argentina, Colombia y 
Perú. Ellas estudian las siguientes profesiones: 
Secretariado bilingüe, Contabilidad, Medicina y 
Educación, aunque no necesariamente en ese 
orden. Además, se sabe que:
•	 La	 representante	 de	 Chile	 no	 tiene	 la	 mínima	
noción de taquigrafía, por lo que no es Secretaria. 
•	 Las	representantes	de	Colombia	y	de	Argentina	
no tienen paciencia con los niños, por lo que no 
trabajan educando. 
•	 En	un	accidente	la	representante	del	Perú	atendió	
un parto.
•	 La	 representante	 de	 Argentina	 solo	 habla	
castellano.
 ¿Quién estudia Contabilidad? 
Rpta.
 En un nuevo evento internacional, Nora presenta 
a Gerardo cuatro participantes: un colombiano, un 
chileno, un paraguayo y un venezolano, que trabajan 
en Educación, Marketing, Teatro y Cine, aunque 
no necesariamente en ese orden. Como Gerardo 
quiere saber a qué se dedica cada uno, Nora le dice: 
•	 El	chileno	preguntó	al	que	trabaja	en	Teatro	sobre	
la posibilidad de colaborar en una obra.
•	 El	 colombiano	 conoció	 al	 educador	 al	 inicio	 del	
evento.
•	 El	 que	 trabaja	 en	Cine	 y	 el	 chileno	 son	amigos	
pero nunca han trabajado juntos.
•	 Ni	 el	 paraguayo	 ni	 el	 que	 trabaja	 en	 el	 Cine	
conocían al venezolano.
¿En qué trabajan el colombiano y el chileno, 
respectivamente?
Rpta.
 Tres jugadores: Armando, Bruno y Coco 
pertenecen a uno de los siguientes equipos: AL, 
U, SC. Cada uno lleva un número diferente en su 
camiseta: 1; 2 o 3 y juega en un puesto diferente: 
defensa, volante o delantero; y además:
	 •	 Armando	no	es	defensa	y	lleva	el	número	2.
	 •		Bruno	juega	en	SC	y	no	lleva	el	número	3.
	 •		El	delantero	lleva	el	número	3	y	es	amigo	del		
 que juega en AL.
 ¿Cuál es el equipo y número de Armando?
Rpta.
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
 Santiago, Luis, Gael y Marco, son cuatro amigos 
que practican un juego diferente cada uno. Si se 
sabe que:
•	 Santiago	 quisiera	 jugar	 ajedrez	 en	 lugar	 de	
damas.
•	 Luis	le	pide	prestadas	sus	fichas	de	ludo	a	Marco	
porque quisiera aprender a jugar ese juego. 
•	 Gael	no	sabe	jugar	dominó.
 ¿Quién practica ajedrez y qué juego practica Luis?
Rpta.
Resolución:
17
13
15
18
16
14
22
Practica y demuestra
La ciudad de Huancayo está ubicada al este de 
Lima. Cerro de Pasco al oeste de Pucallpa. Lima, 
a su vez, está ubicada al oeste de Cerro de Pasco. 
¿Cuál es la ciudad ubicada al oeste de las demás?
Rpta.
 Cinco personas: Javier, Braulio, René, Lisa y Ana 
trabajan en un edificio de 6 pisos cada uno en un 
piso diferente, si se sabe que: Javier trabaja un 
piso adyacente al que trabajan Braulio y René; Lisa 
trabaja en el quinto piso. Adyacente y debajo de 
Braulio hay un piso vacío.
 ¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso, 
respectivamente?
Rpta.
 A María tiene el rompecabezas. 
 B Diana tiene el peluche. 
 C Luisa tiene la pelota.
 D Carla tiene la muñeca. 
 E Diana está a la derecha de Luisa.
Cuatro niñas están jugando con sus juguetes 
preferidos alrededor de una mesa circular con 
cuatro sillas ubicadas simétricamente. Se sabe 
que Diana tiene la muñeca, Carla está a la 
derecha de la dueña de la pelota, Luisa está 
frente a María; la dueña del rompecabezas está a 
la izquierda de la del peluche, María no es dueña 
de la pelota. De lo anterior, se puede afirmar:
 Seis amigos (A, B, C, D, E y F) se sientan en
 6 asientos contiguos en el cine. Si se sabe que:
	•		A	se	sienta	junto	y	a	la	izquierda	de	B.
	•		C	está	a	la	derecha	de	A,	y	entre	F	y	D.
	•		D	está	junto	y	a	la	izquierda	de	E.
	•		F	está	a	la	izquierda	de	B.
 ¿Quién ocupa el segundo asiento si contamos de 
izquierda a derecha?
Rpta.
 Cuatro amigos: Abel, Bernardo, César y Diego se 
sientan alrededor de una mesa circular con cuatro 
asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe 
que Bernardo no está sentado frente a César; 
Abel está a la izquierda de César, ¿cuál de las 
siguientes afirmaciones es cierta?
 A Diego está frente a César.
 B Bernardo está frente a César.
 C César está a la derecha de Bernardo.
 D Diego y Bernardo no están juntos.
 E Más de una afirmación es correcta. En el primer día del campeonato mundial femenino de vóley van a jugarse 4 partidos entre 
los equipos de Bolivia, Corea, Egipto, Perú, Italia, 
Japón, Rusia y China. Los periodistas preguntaron 
a tres aficionados su punto de vista con respecto 
a los ganadores de la primera fecha, a lo que ellos 
contestaron:
•	 Aficionado	1:	Bolivia,	Corea,	Japón,	Perú.
•	 Aficionado	2:	Perú,	Rusia,	China,	Japón.
•	 Aficionado	3:	Japón,	Corea,	Egipto,	China.
Según estos datos, ¿contra qué equipo jugó 
Japón?
Rpta.
 Piero, Alberto, Raúl y Alex son primos y cada uno 
practica un deporte diferente al otro. Los deportes 
que practican son: fútbol, baloncesto, tenis y golf, 
aunque no necesariamente en ese orden.
 Si se sabe lo siguiente:
	 •		Alex	no	practica	golf.
	 •		Raúl	no	practica	fútbol	ni	golf.
	 •		Alberto	practica	tenis.
 ¿Qué deporte practica Raúl?
Rpta.
 El señor Blanco, el señor Rojo y el señor Marrón, 
almorzaban juntos. Uno llevaba camisa blanca, 
otro roja y el último, marrón, pero ninguno de 
sus apellidos coincide con el color de la camisa 
que llevaban. Si el señor Rojo no llevaba camisa 
blanca, ¿de qué color era la camisa del señor 
Marrón?
Rpta.
Seis alumnos: Armando, Lourdes, Úrsula, Martha, 
Nora y Óscar, se sientan alrededor de una mesa 
circular con seis sillas distribuidas simétricamente. 
Se sabe que:
•	 Armando	 se	 sienta	 diametralmente	 opuesto	 a	
Lourdes.
•	 Úrsula	no	se	sienta	junto	a	Martha	ni	a	Óscar.
•	 Óscar	se	sienta	junto	y	a	la	derecha	de	Lourdes.
Podemos afirmar:
I. Martha se sienta junto a Óscar.
II. Martha se sienta junto a Armando.
III. Úrsula se sienta junto a Nora.
Rpta.
1 6
2
3
7
4
8
5
9
Tema
23MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
3
Certezas
Los	 problemas	 sobre	 certezas	 se	 refieren	 a	 extracciones	 de	 objetos	 que	 tengan	 la	
misma forma y tamaño. 
Nociones previas
Certeza
La	palabra	certeza	significa	«conocimiento	seguro	y	claro	que	se	 tienede	algo»,	es	
decir, tener la certeza de algo es estar completamente seguro que eso va a suceder.
Azar
La	palabra	azar	significa	«causa	o	fuerza	que	supuestamente	determina	que	los	hechos	
y circunstancias imprevisibles o no intencionados se desarrollen de una manera o de 
otra»,	es	decir,	hacer	algo	al	azar	quiere	decir	que	el	resultado	será	aleatorio,	producto	
de la suerte, sin tener ningún tipo de conocimiento de la forma en la cual se puede 
volver a obtener.
Estrategia a utilizar
Si	tenemos	una	bolsa	con	4	fichas	rojas	y	4	negras,	todas	ellas	iguales.
Al extraer una ficha sin ver el interior de la bolsa, ¿estaremos seguros que la ficha 
extraída será negra? No, porque al no poder ver las fichas y al ser todas iguales, no 
habrá forma de saber el color de la ficha que se está sacando hasta que esté fuera de 
la bolsa.
Entonces, ¿cómo hacemos para tener la certeza de que la ficha que vamos a extraer 
sea negra? Para estar completamente seguros de ello retiraremos todas las fichas de 
otro color, es decir, todas las fichas rojas, de tal manera que al quedarme solo fichas 
negras en la bolsa, la siguiente que saque será necesariamente de ese color.
? ? ?
Por lo tanto, si queremos estar completamente seguros de extraer una ficha de un tipo 
específico, lo que haremos es extraer todo aquello que no buscamos, de tal manera 
que solo queden lo que necesitamos.
¡Es negra!
Tener certeza, es 
estar seguro de algo y 
para que eso suceda 
hay que considerar 
las situaciones más 
críticas, es decir, que 
debemos ponernos 
en el peor de los 
casos, para estar 
seguros que ese 
evento suceda.
Los juegos de naipes 
o juegos de cartas 
se juegan con unas 
cartulinas, llamadas 
naipes o cartas, 
que forman una 
baraja y que deben 
mezclarse (barajarse) 
antes de jugar. 
En determinados 
juegos se usan 
complementos para 
realizar apuestas o 
llevar puntuaciones. 
Los juegos de naipes 
estarían incluidos en 
la familia de juegos 
de mesa. Hay varios 
tipos de baraja 
(conjunto de naipes 
o cartas), como la 
baraja española o la 
francesa. 
Para los problemas 
de certezas se 
trabajará con la 
baraja francesa 
que está formado 
por 52 unidades 
repartidas en cuatro 
palos: corazones, 
diamantes, tréboles 
y picas (espadas). 
Donde en todos los 
palos están las cartas 
enumeradas del uno 
al trece.
♠♥
♦♣
24
Ejercicios resueltos
 Dentro de una urna se colocan 12 esferas rojas, 
15 blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes. 
¿Cuántas esferas tenemos que sacar como 
mínimo y al azar para estar seguro de haber 
extraído 14 de uno de los colores?
 Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo), 
¿cuántas cartas hay que extraer como mínimo 
para estar seguros de haber obtenido una carta 
con numeración impar y de color rojo? 
 Gabriel tiene en una urna veinte fichas numeradas 
del 1 al 20. ¿Cuánto es el mínimo número de 
fichas que ha de extraer para que tenga la certeza 
de haber obtenido 4 fichas numeradas de manera 
consecutiva?
 Si se tiene 180 fichas numeradas del 1 al 180, 
¿cuántas fichas se deben extraer al azar para tener 
la certeza de haber obtenido 2 fichas cuyos valores 
sean mayores que 20 pero menores que 40? 
 En una bolsa hay 19 bolas blancas, 28 bolas rojas, 
y 32 bolas azules. ¿Cuántas bolas como mínimo 
se deben extraer al azar para tener la certeza de 
haber obtenido 8 bolas del mismo color? 
 Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 
17 blancas. ¿Cuántas bolas se debe sacar al 
azar y como mínimo para obtener al menos una 
de cada color?
 Rpta. Tenemos que sacar 65 esferas.
 Rpta. Tenemos que extraer 39 cartas.
 Rpta. Gabriel tendrá que extraer 16 fichas.
 Rpta. Se debe extraer 22 bolas. Rpta. Se tiene que extraer 163 fichas.
 Rpta. Se debe sacar 36 bolas.
14 de uno de los colores:
 
12r + 13b + 13n + 13a + 13v + 1 = 65
Una carta impar y roja:
26 negras + 12 rojas pares + 1 = 39
Una de cada color:
18N + 17B + 1R = 36
Total
52 cartas
rojas
26
negras
26
♥ 1; 2; 3; ...; 13
♦ 1; 2; 3; ...; 13
♠ 1; 2; 3; ...; 13
♣ 1; 2; 3; ...; 13
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
I = 7
P = 6
8 bolas del mismo color:
 7B + 7R + 7A + 1 = 22
Quiero					:	21;	22;	23;	...;	39	→	19	fichas
No	quiero:	180	–	19	=	161	fichas
															161	fichas	+	2	=	163
1
+ 19
17
2
10
18
3
11
19
4
12
20
5
13
6
14
7
15
8
16 ??
No
sirve
Uno menos de los que se 
quiere
Los dos grupos 
con mayor cantidad 
de bolas
Una menos de las 
que se quiere Lo que no
quiero
 Resolución:
 Resolución: Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
1 4
2
3
5
6
25MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
 En una urna hay fichas rojas, blancas y azules. Si 
las rojas son 51 y estas son 17 veces las blancas, 
siendo las azules a las blancas como 5 es a 1, 
¿cuántas fichas habrá que extraer al azar y como 
mínimo para obtener un color por completo?
 En una urna hay 200 bolas, por cada 12 bolas 
blancas hay 5 negras y 3 rojas. ¿Cuántas bolas 
se deben extraer al azar y como mínimo para 
tener la certeza de haber obtenido dos negras y 
tres rojas? 
 ¿Cuántas personas deben haber como mínimo 
en una habitación para tener la certeza que hay 
cuatro personas que nacieron el mismo día de la 
semana?
 Una bolsa contiene caramelos: 30 de limón, 12 de 
naranja, 28 de manzana y 42 de piña. ¿Cuántos 
caramelos hay que extraer al azar y como mínimo 
para tener la seguridad de obtener 3 caramelos de 
sabores diferentes?
 ¿Cuántas personas deben haber como mínimo 
en una habitación para tener la certeza que dos 
personas han nacido el mismo mes?
 Rpta. Habrá que extraer 67 fichas.
 Rpta. Se debe extraer 173 bolas.
 Rpta. Debe haber 13 personas como mínimo.
 Rpta. 22 personas como mínimo. Rpta. Hay que extraer 73 caramelos.
 rojas: 51
blancas: 5117 = 3
 azules: 15
blancas:		12k	→	120
negras:						5k	→	50
rojas:									3k	→	30
 20k = 200
 k = 10
2 negras y 3 rojas:
120 blancas + 50 negras + 3 rojas = 173
Número de meses: 12
Dos personas que hayan nacido el mismo mes:
 12 meses + 1 = 13
Número de días de semana: 7
Cuatro personas que hayan nacido el mismo día 
de la semana santa.
3 lunes + 3 martes + ... + 3 domingo + 1 
 3(7) + 1 = 22
Un color por completo:
50 rojas + 2 blancas + 14 azules + 1 = 67
42 piña + 30 limón + 1 = 73
Los dos grupos con 
más elementos
3 en
cada día
Todos diferentes
 Resolución: Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
azules
blancas = 
5
1 = 
15
3 
× 3
× 3
 Dentro de una caja depositamos 120 bolas 
numeradas del 1 al 120. ¿Cuántas hay que 
extraer al azar y como mínimo para obtener 1 bola 
con numeración par y múltiplo de 3, comprendida 
entre 60 y 80? 
 Rpta. Se deben extraer 118 bolas.
1 bola 6° = 6x
 60 < 6x < 80
 {66; 72; 78}
casos a favor: 3
casos en contra: 120 – 3 = 117
No quiero + 1 
117 + 1 = 118
 Resolución:
2°par	→		
3°
3 caramelos de sabores diferentes:
7 10
8
9
11
12
26
Ejercicios de aplicación
 En una caja hay 100 bolas numeradas del 1 al 
100. ¿Cuántas bolas se deben extraer al azar y 
como mínimo para tener la certeza de obtener 
 8 bolas con numeración par?
 Se tiene una bolsa con canicas, donde hay 
 6 canicas negras, 4 azules y 5 verdes. ¿Cuántas 
bolitas como mínimo se tendrán que extraer al 
azar para tener la certeza de haber extraído una 
bolita negra?
 Se tiene fichas numeradas del 1 al 26. ¿Cuánta es 
la menor cantidad de fichas que se deben extraer 
al azar para tener la certeza de que la suma de los 
números de todas las fichas extraídas sea par?
 Hay 6 candados (A, B, C, D, E, F) y 4 llaves (W, X, 
Y, Z), si cada llave abre solo un candado. ¿Cuánto 
es el número mínimo de veces que debe utilizarse 
las llaves para poder determinar con seguridad la 
correspondencia a cada uno de los candados?
 Se tiene una bolsa negra con 8 caramelos de 
limón, 6 de naranja, 10 de manzana y 9 decoco. 
¿Cuánto es el mínimo número de caramelos que 
hay que extraer al azar para tener la seguridad de 
haber extraído 3 caramelos de coco?
 En una urna se tiene 18 pares de guantes azules 
y 22 pares negros. ¿Cuántos guantes se deben 
extraer al azar y como mínimo para tener la 
certeza de haber obtenido 2 guantes negros?
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
1
2
4
3 6
5
27MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
 En una caja se encuentran 12 conejos blancos, 
 4 conejos negros y 8 conejos marrones. ¿Cuánto 
es el mínimo número de conejos que se deben 
extraer al azar para tener la seguridad de haber 
obtenido 2 conejos marrones y 4 conejos blancos?
 De una baraja de 52 naipes que hay en una bolsa. 
¿Cuántos naipes debo extraer como mínimo 
para tener la seguridad de obtener un naipe de 
corazones y cuyo número sea par?
 Un estudiante tiene en una caja grande 8 pares de 
zapatos negros y 10 pares de zapatos marrones, 
todos ellos del mismo modelo. ¿Cuántos 
zapatos se tendrán que extraer al azar y como 
mínimo para tener la certeza de que se obtendrá 
 dos pares útiles del mismo color?
 Hugo tiene en una urna quince fichas numeradas 
del 1 al 15, ¿cuál es el mínimo número de fichas 
que ha de extraer para tener la certeza de 
haber obtenido 3 fichas numeradas de manera 
consecutiva?
 En una urna hay 160 bolas, por cada 3 bolas 
blancas hay 20 negras y 17 rojas. ¿Cuántas bolas 
se deben extraer al azar y como mínimo para 
tener la certeza de haber obtenido dos negras y 
tres rojas?
 ¿Cuántas personas deben haber como mínimo en 
una habitación para tener la certeza de que haya 
dos personas que nacieron el mismo día de la 
semana?
Rpta. Rpta.
Rpta.Rpta.
Rpta. Rpta.
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
8 11
9 12
107
28
 De un grupo de 80 caramelos de chicha y 20 de 
limón que están en una bolsa oscura, ¿cuántos se 
deben sacar al azar y como mínimo para invitarle 
a una amiga un caramelo de limón?
 En una rifa se han hecho 500 tickets, todos con 
números diferentes y hay 30 premios en sorteo. 
¿Cuántos tickets se deben comprar como mínimo 
para tener la certeza de obtener un premio?
 Se tiene en una urna fichas numeradas del 1 al 23. 
¿Cuántas fichas debemos extraer como mínimo y 
sin ver, para estar seguros de haber extraído una 
ficha cuya numeración sea mayor o igual que 7?
	 Se	tiene	50	bolos	numerados	desde	‒14	hasta	35.	
¿Cuántos bolos, como mínimo, se deben extraer 
al azar, para que el producto de las numeraciones 
obtenidas sea un número no positivo?
 Se tiene 15 fichas verdes, 20 blancas y 28 amarillas, 
todas de la misma forma y peso, mezcladas en 
una caja. ¿Cuántas fichas se tendrán que sacar al 
azar como mínimo para tener la certeza de poseer 
4 fichas blancas y 8 fichas verdes?
 Se tiene una bolsa con 18 caramelos de limón, 
20 de naranja, 15 de manzana y 21 de coco. 
¿Cuánto es el mínimo número de caramelos que 
hay que extraer para tener la seguridad de haber 
obtenido 8 caramelos de limón y 10 de manzana?
 ¿Cuántas cartas tendrán que extraerse al azar y 
como mínimo de una baraja de 52 cartas, para 
obtener con certeza 5 cartas de trébol y 9 de 
espadas?
 En una urna se tiene 20 pares de guantes de color 
azul y 18 pares de color negro. ¿Cuántos guantes 
tenemos que sacar como mínimo para obtener
 2 pares de guantes negros utilizables?
 ¿Cuántas personas deben haber como mínimo en 
una habitación para tener la certeza de que hayan 
cinco que nacieron el mismo mes?
 En una urna se tienen 10 bolas verdes, 8 azules,
 6 celestes y 4 blancas. ¿Cuántas debemos extraer 
como mínimo y al azar para haber obtenido con 
seguridad 3 bolas de cada color?
 A 100 B 90 C 81
 D 80 E 79 A 79 B 75 C 74
 D 69 E 64
 A 26 B 48 C 50
 D 51 E 52
 A 38 B 40 C 60
 D 68 E 72
 A 12 B 13 C 14
 D 28 E 49
 A 27 B 28 C 29
 D 30 E 31
 A 531 B 499 C 479
 D 471 E 469
 A 11 B 10 C 9
 D 8 E 7
 A 50 B 36 C 35
 D 30 E 14
 A 56 B 58 C 60
 D 62 E 63
Practica y demuestra
1 6
2
7
8
3
9
4
5 10
Tema
29MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
4
Métodos operativos
Las cuatro operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división), son el 
instrumento matemático más antiguo utilizado por el hombre para resolver problemas 
de carácter comercial y de la vida diaria.
Con el desarrollo de este tema se busca adquirir la capacidad de resolver problemas 
en este tipo de situaciones cotidianas. Para esto, se explicarán tres métodos distintos: 
Método de las operaciones inversas, Regla de tres simple y Regla conjunta. 
Método de las operaciones inversas
Se utiliza en aquellas situaciones en donde se conoce un conjunto de operaciones 
sucesivas y el valor del resultado.
Ejemplo:
A cierto número se le multiplica por 3, al producto se le agregan 5 unidades y luego se le 
divide entre 5, obteniendo como resultado final 7. ¿Cuánto es el valor de dicho número? 
Planteo:
Regla de tres simple
Es un procedimiento que sirve para resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, 
tanto directa como inversa. En este caso, solo desarrollaremos la regla de tres que 
aplica a situaciones de magnitudes directamente proporcionales.
Para hacer una regla de tres simple se necesita tres datos: dos magnitudes 
proporcionales entre sí, y una tercera magnitud. A partir de estos, se podrá calcular el 
valor del cuarto término de la proporcionalidad. 
Se le llama el método de las operaciones inversas porque ahora, para calcular el 
resultado del número inicial se irá de atrás hacia adelante, aplicando la operación 
inversa a la que aparece en el planteo inicial y que se indica en el problema.
Por lo tanto, el valor del número es 10.
× 3
× 3
× 5
× 5
÷ 5
÷ 5
÷ 3
÷ 3
+ 5
+ 5
− 5
− 5
7
7
730 3510
Los problemas que se 
resuelven por estos 
métodos también se 
pueden resolver por 
procedimientos 
algebraicos; 
sin embargo, se 
trata de dejar de 
lado el álgebra y sus 
ecuaciones, que son 
poderosas 
herramientas del 
trabajo matemático, 
para dar paso al 
raciocinio puro con los 
datos numéricos que 
ofrecen los 
problemas.
El método de 
las operaciones 
inversas se aplica 
a problemas que 
mencionan 
operaciones 
sucesivas, de las 
cuales se conoce 
el resultado final y 
se pide averiguar 
el valor inicial; el 
procedimiento para 
resolverlo es ir del 
final hacia el inicio, 
es decir, ir hacia 
atrás, por esto se 
denomina «método del 
cangrejo», y en cada 
paso se efectúa la 
operación inversa a la 
indicada.
Not a
30
Ejemplo:
En 2 kg de limones hay 35 unidades. ¿Cuántos limones habrán en 12 kg, si estos 
limones son del mismo tamaño que los del primer grupo?
Planteo:
 Número de limones Peso (kg)
 35 2
 m 12
 35m = 
2
12 
 35 × 12 = 2 × m
 210 = m 
Por lo tanto, habrá 210 limones en 12 kilogramos.
Regla conjunta
Es un método que permite determinar la equivalencia de dos elementos, cuando dan 
un conjunto de equivalencias. La forma de resolver este tipo de situaciones es la 
siguiente:
1. Se colocan las equivalencias formando dos columnas.
2. Se debe procurar que en cada columna no se repitan los elementos; si se repiten 
cambiar el sentido de la equivalencia.
3. Ahora se multiplican los elementos de cada columna.
4. Por último, se despeja el valor de la incógnita.
Ejemplo:
Se sabe que en una casa de cambio el valor de 10 yenes equivale al de 7 bolívares; por 
2 euros dan 5 soles; por 21 bolívares dan 4 euros. ¿Cuántos soles equivalen al valor 
de 81 yenes?
Planteo:
 10 yenes < > 7 bolívares
 2 euros < > 5 soles
 21 bolívares < > 4 euros
 x soles < > 81 yenes
 (10)(2)(21)x = (7)(5)(4)(81)
 x = 27
Por lo tanto, 27 soles equivalen a 81 yenes.
(×) Al multiplicar columna por columna, las 
unidades se van aeliminar.
En la regla de tres 
simple se establece 
la relación de 
proporcionalidad entre 
dos valores conocidos 
A y B, y conociendo 
un tercer valor C, 
se calcula un cuarto 
valor D.
Dicha relación de 
proporcionalidad 
existente entre A y B 
puede ser directa o 
inversa.
Será directa cuando a 
un mayor valor de A le 
corresponda también 
un mayor valor de B 
(o a un menor valor de 
A le corresponda un 
menor valor de B), y 
será inversa, cuando 
a un mayor valor de 
A le corresponda un 
menor valor de B (o a 
un menor valor de A le 
corresponda un mayor 
valor de B).
En la resolución de 
los problemas de este 
capítulo se pueden 
utilizar otros métodos 
como:
• Método de las 
diferencias
• Método del rombo
• Método de la falsa 
suposición
Para resolver este tipo de problemas se debe tomar en cuenta los siguientes pasos:
1. Se colocan los datos en dos columnas, una para cada magnitud.
2. Se debe dividir los números que aparecen en cada columna, tomando en cuenta que 
uno de estos valores es todavía desconocido.
3. Por último, se despeja el valor de la incógnita.
Recu e rda
31MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
Ejercicios resueltos
 Un número se divide entre 2, el resultado se eleva 
al cuadrado, luego se divide entre 4 y por último 
se le extrae la raíz cuadrada, obteniendo 5. ¿Cuál 
es el valor del número inicial?
 En un pueblo existe un santo que hace el milagro 
de duplicar el dinero que uno tiene, pero por cada 
milagro que hace se le debe dejar una limosna de 
16 soles. Si luego de hacerle 3 milagros seguidos 
a un devoto este salió de la iglesia sin un centavo. 
¿Cuánto tenía al entrar?
 A un cierto número lo multiplicamos por 2, al 
resultado le añadimos 6 y a dicha suma la dividimos 
entre 4, obteniendo finalmente 2. ¿Cuánto es el 
valor de dicho número?
 Un día domingo Juan Ramón salió de compras con 
sus 4 amigas. Gastó en pasajes de ida S/ 8, con 
la mitad del resto compró 2 regalos para Evelyn 
y Magaly; para Silvia le compró un regalo de 
S/ 80. Con la mitad del nuevo resto y S/ 40 más 
compró una cartera para Lourdes. Cuando él quiso 
comprarse una billetera observó que le faltaba 
dinero, por lo que Evelyn le prestó, duplicándole el 
dinero que le había quedado, con lo cual se compró 
una billetera de S/ 100 y se quedó solamente con 
S/ 8 para el pasaje de vuelta. ¿Cuánto dinero tenía 
Juan Ramón al inicio?
 Manuel compró un cuaderno. Cada día escribe 
en la mitad de las hojas en blanco más 5 hojas, 
si después de 3 días observa que solamente 
le queda 5 hojas. ¿Cuántas hojas tenía dicho 
cuaderno?
 Tres jugadores: Armando, Braulio y Charlie juegan 
unas partidas de dominó y convienen que el que 
pierda triplicará el dinero de los otros dos. Se sabe 
que pierden en el orden indicado y al final cada 
uno queda con S/ 81. ¿Con cuánto dinero empezó 
Armando?
20
14
110
1
100
8
20
5
8
10
12
50
2
25
0
Armando Braulio Charlie
 165 57 21 = 243
 9 171 63 = 243
 27 27 189 = 243
 81 81 81 = 243
2
5
÷ 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
+16
+ 5
+16
+5
+16
+5
−16
−5
−16
−5
−16
−5
÷ 2
÷ 4
÷ 4
× 4
× 4
( )2
( )2
× 2
× 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
÷ 2
× 2
+ 6 − 6
 Rpta. El número inicial es 20.
 Rpta. Tenía S/ 14.
 Rpta. El cuaderno tenía 110 hojas.
 Rpta. Empezó con S/ 165. Rpta. Juan Ramón tenía S/ 544.
 Rpta. El número inicial es 1.
−8
+ 8 + 80 + 40 + 100
× 3
× 3 × 3
× 3
× 3× 3
× 2 ÷ 2× 2
÷ 2 ÷ 2− 80 −40 −100× 2
544 536 268 188 94 54 108 8
8
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
1
2
3
4
5
6
32
 Por la compra de 240 libros se paga en impuestos 
el valor de un libro más 6 soles. Por 180 libros, el 
impuesto es el valor de un libro menos 4 soles. 
¿Cuánto cuesta cada libro?
 Cuando se hizo la conducción de agua a cierto 
pueblo, correspondió a cada habitante 60 litros por 
día. En la actualidad el pueblo tiene 40 habitantes 
más por lo que corresponde a cada uno 2 litros 
menos. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo?
 Un albañil tenía pensado hacer un muro en 
12 días, pero tardó 4 días más por trabajar dos 
horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó 
diariamente?
 Un obrero demora 8 horas en construir un cubo 
compacto de 5 cm de arista. ¿Qué parte de un 
cubo de 15 cm de arista habrá construido luego de 
108 horas de trabajo?
 En una librería, el precio de 4 lapiceros equivale al 
de 10 reglas, 9 reglas equivalen a 3 crayolas. Del 
mismo modo que 8 crayolas es a 6 cuadernos. Si 
se sabe que por S/ 160 dan 4 cuadernos, ¿cuántos 
lapiceros dan por S/ 150?
 En un mercado, en el que se trabaja a partir del 
trueque, se sabe que por 3 kg de arroz dan 5 kg 
de azúcar, de la misma manera por 8 kg de azúcar 
dan 4 kg de frijoles, por 10 kg de frijoles dan 2 kg 
de carne de res. ¿Cuántos kilogramos de carne 
de res nos darán por 30 kg de arroz?
 4 lapiceros < > 10 reglas
 9 reglas < > 3 crayolas
 8 crayolas < > 6 cuadernos
 4 cuadernos < > 160 soles
 150 soles < > x lapiceros
 (4)(9)(8)(4)(150) = x(10)(3)(6)(160)
 x = 6
 3 kg arroz < > 5 kg azúcar
 8 kg azúcar < > 4 kg frijoles
 10 kg frijoles < > 2 kg carne
 x kg carne < > 30 kg arroz
 (3)(8)(10) x = (5)(4)(2)(30) 
 x = 5
240 libros
180 libros
240
180
L + 6
L − 4
1 libro + S/ 6
1 libro − S/ 4
1687,5
3375
1
2=
< >
< >
impuesto
=
 4(L − 4) = 3(L + 6)
 4L − 16 = 3L + 18
 L = 34
antes actualidad
n.° de habitantes x x + 40
agua × habitantes 60 L 58 L
 60x = 58(x + 40)
 60x = 58x + (58)(40)
 2x = (58) × (40)
 x = 1160
x + 40 = 1200
 día × horas = constante
 (12 días)(x horas) = (16 días)(x – 2) horas
 12x = 16x − 32
 4x = 32
 x = 8
 8 horas < > 125 cm3
108 horas < > x 
x = 1687,5 cm3
 volumen = 153 cm3 = 3375 cm3
×
 Rpta. Cada libro cuesta S/ 34.
 Rpta. Habrá construido la mitad.
 Rpta. Por S/ 150 dan 6 lapiceros.
 Rpta. Nos darán 5 kg de carne de res. Rpta. Trabajó 8 horas diarias.
 Rpta. El pueblo tiene 1200 habitantes.
 Resolución: Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
×
7 10
8
9
11
12
33MateMática Delta 3 - RazonaMiento MateMático
 A cierto número se le eleva al cuadrado, a este 
resultado se le resta 7, a este nuevo resultado se le 
multiplica por 7, luego le agregamos 2; finalmente 
le extraemos la raíz cuadrada, obteniendo como 
resultado final 4. ¿Cuánto es el valor de dicho 
número?
 A cierto número lo dividimos entre 3, al resultado 
hallado le sumamos 4, a este resultado lo 
multiplicamos por 2, al producto le restamos 2, 
a esta diferencia le extraemos la raíz cuadrada, 
obteniendo como resultado final 6. ¿Cuánto es el 
valor de dicho número?
 Multiplicamos un número por 4, producto al 
que luego restamos 12 dividiendo enseguida el 
resultado entre 3, para volver a multiplicar por 
6 añadiendo luego 3 al resultado, dividiendo 
finalmente entre 3 resulta 89. ¿Cuánto es el valor 
del número inicial?
 Resolución:
 Resolución:
 Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
 Juan compró un cuaderno y cada día escribe 
en la mitad de las hojas en blanco más 4 hojas, 
si después de 3 días observa que solamente le 
quedan 2 hojas. ¿Cuántas hojas tenía dicho 
cuaderno?
 Resolución:
Rpta.
 Se tiene 3 recipientes conteniendo cierto número 
de litros de agua cada uno. Del primero se 
echa, a los otros dos, tantos litros como había 
de agua en cada uno de ellos, en seguida se 
hace la misma operación con el contenido del 
segundo y finalmente se hace igual operación 
con el contenido del tercero. De esta manera los 
 3 recipientes quedaron con 16 litros de agua cada 
uno. ¿Cuál era el contenido del primer recipiente?
 Resolución:
Rpta.
 Se tiene