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NADINEOA INUINIC ESEIANA AMÉRICA _RAZONAMIENTO LOGICO-MATEMATICO twitter.com/calapenshko PRE SAN MARCOS AA UNMSM- Centro Preuniversitario _ RAZONAMIENTO LÓGICO - MATEMÁTICO 1ra. edición PRE SANMARCOS FONDO EDITORIAL UNMSM Centro Preuniversitario twitter.com/calapenshko Razonamiento Lógico-Matemático - 1ra. edición Lima,setiembre del 2010 92010 UNMSM-CEPRE — Fondo Editorial Jr. Torres Paz N* 1170 Santa Beatriz - Lima Reservados todos 1 derechos. Quedaprohibido reproducir ¡wwe alguna de esta publicación, cualquie. que sea el medio empleado, sin el permiso previo de joseditores. Correspondencia editorial cepreQunmsm.edu.pe O Este libro ha sido redactado por los profesores del curso de RazonamientoLógico-Matemático que hanejercido la docencia en el CEPREUNMSM: Comité editor: — Julio Flores Dionicio, Javier AylasOrejón, Elfren Chávez Machado, Jorge EstradaMenacho, Santiago Rojas Romero.Colaboradores: Javier Aytas Orejón, Luis CachiMonloya, Victor Calagua Porras, Raúl Castro Vidal,Gloria Castro León, Ellren Chávez Machado, HarveyChávez Távara, Jorge Estrada Menacho, Jesús FloresCruz, Julio Flores Dionicio, Humberto Gálvez Pérez, Editor General Raúl Moisés Izaguirre Maguiña Editor Asociado Julio Flores Dionicio Coordinador de la Serie Editorial Isaac Canales Quevedo Cuidado de la Edición Carlos Matta Rojas Maria Laura Carranza Montañez Diagramación, diseño y artes de carátula Estudio Alex Molina Jr. Humboldt 159 - Lima 13 Edgar Gómez Borja, Nolán Jara Jara, Luz MalásquezChamba, Johnny Malaver Ortega, Luis NúñezRamirez, Julio Olazo Carlos, Félix Pariona Vilca,Roland Peña Flores, Carlos Quicaño Barrientos,Teófanes Quispe Méndez, Santiago Rojas Romero,Victor Terazona Miranda, Amelia Villanueva Yaya.Victoriano Yauri Luque, Preparación de originales, archivos y registroPatricia E. Suárez Vilca Marjorie Cecilia Benites León Coordinación de preprensa Elard Huerta Producción Gráfica András Ruiz Reyes / Javier Rojas Honores Retoque de imágenes Elard Huerta Impresión y encuadernación Centro de Producción Editorial+ Imprenta de laUniversidad Nacional Mayor ul ¿5an Marcos Localprincipal: Je. Paruro 119, lima 1 Tell. 619-7000 anexo 6009/ Fr: 1004, 6018 Hecho el Depósito Legalen la Biblioteca Nacional del Perú N* 1501012002-4896 impreso en el Perú Printerin Perú UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS (Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA) RECTOR Dr. Luis Izquierdo Vásquez VICERRECTORADO ACADÉMICO Dr. Antonio Peña Rodríguez VICERRECTORADODEINVESTIGACIÓN Dra. Aurora Marrou Roldán CENTRO PREUNIVERSITARIO DIRECTOR EJECUTIVO Dr. Raúl Moisés Izaguirre Maguiña DIRECTOR ACADÉMICO Prof. Isaac Canales Quevedo DIRECTOR ADMINISTRATIVO CPC.Julio Palomino Silva twitter.com/calapenshko ÍNDICE Introducción CAPÍTULO! Deductivo Simple. Conjuntos. EcuacionesLineales con una Variable. Ángulos de un Triángulo CAPÍTULO! Deductivo Compuesto. Numeración. Sistema de Ecuaciones Lineales con dos Variables. Ángulos FormadosporLíneas Notables de un Triángulo. CAPÍTULO IM Verdadesy mentiras. Criptoaritmética. Inecuaciones Lineales con una Incógnita. Congruencia deTriángulos. CAPÍTULO IV Ordenamiento de Información. Cuatro Operaciones Aritméticas. Sistema de Inecuaciones Lineales en Dos Variables. Propiedades Fundamentales de la Bisectriz yde la Mediatriz. CAPÍTULO V Parentescos, Números primos y divisores de un Número. Ecuaciones de Segundo Grado. Desigualdades Geométricas y Base media de un Triángulo. 41 37 67 91 17 CAPÍTULO VI Traslados. Divisibilidad. Inecuaciones de Segundo Grado en una Variable. Propiedades Básicas enlos Paralelogramosy Trapecios. CAPÍTULOVII Arreglos Numéricos. Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo.Teoria de Exponentes. Proporcionalidad y Semejanza. CAPÍTULOVIH Inductivo Simple. Fracciones. Móviles. Relaciones Básicas en un Triángulo Rectángulo CAPÍTULO IX Elementos Recreativos. Porcentajes, Relojes. Los Puntos Cardinales. CAPÍTULO X Certezas. Sucesiones, Progresiones Aritméticas. Circunferencias. CAPÍTULO XI Pesadas y Balanzas. Sumas Notables, Progresiones Geométricas. Ruedas, Poleasy Engranajes CAPÍTULO XII Máximos y Minimos. Cuadrados y Cubos Perfectos. Productos Notables. Trazos de Figures. CAPÍTULO XIMI Cortes. Promedios. Máximos y Mínimos de Algunas Expresiones Algebraicas. Fórmulas Básicas para el Cálculo deÁreas. CAPÍTULO XIV Frecuencia de Sucesos. Razones y Proporciones, Factoriales. Propiedades Fundamentales para el Cálculo de Áreas. 137 159 195 227 251 289 325 347 369 CAPÍTULO XV Rotación y Traslación de Figuras. Proporcionalidad. Combinatoria. Áreas de Regiones Circulares. CAPÍTULO XVI Rutas y Trayectorias. Regla de Tres. Ecuaciones Exponenciales. Paralelepipedos. CAPITULO XVII Calendarios. Reparto Proporcional. Logaritmo. ÁreasLaterales y Totales. CAPÍTULO XVIII Otros temas de Razonamiento Lógico-Matemático. Mezclas. Operadores Matemáticos. Volúmenes. 397 433 461 493 INTRODUCCIÓN Razonamiento lógico-matemático es un manual que reúne un conjunto de procedimientosteóricos, útiles en la resolución de problemas-modelosen la formación preuniversitaria. Lacalidad de las explicacionesy la variedaddeejercicios resueltos y propuestos garantiza que este manualse convierta en la herramienta esencial del estudiante que deseeafianzar su competencia académica en este rubro crucial en los exámenes de selección y admisión a los centros universitarios. El razonamiento lógico-matemático necesario para dar solución a un problema, simple o complejo, exige un pensamiento analítico, exacto,riguroso, metódico,segúnel clásico enfoquecartesiano. Con másdequinientas páginas, este volumen cubre las necesidades básicas delestudiante preuniversitario y dael sello de garantía para un aprendizaje efectivo y eficiente, acorde con el desarrollo de los cursos propedeúticos de los centros académicos. El razonamiento lógico-matemático es un eje fundamental en la formación preuniversitaria, puesto que tiene que ver, centralmente, con el desarrollo de habilidades cognitivas esenciales en el pensamiento científico. La operación con números, con variables, con propiedades topológicas, enhebra los conocimientos básicos,pilares sólidos para las ciencias, humanidadese ingenierías. Por ello, el curso de razonamiento lógico-matemáticotiene peso gravitante en los exámenes, puesto que es un aspecto que evalúa una competencia de potencial académico. De modoquesi un estudiante obtiene un buen puntaje + área, ello es garantía de una buena performanceenlos estudios universitarios. Estelibro se componede problemaságiles, novedosos,redactados para motivar el desarrollo del pensamiento en los jóvenes estudiantes. Dadala presentación de situaciones amenaspropiasdela vida cotidiana, estamos segurosde que la lectura de estelibro será agradable y ejercerá un impacto positivo en elaprendizaje fluido de las rigurosas matemáticas.* Unobjetivo importante del razonamiento lógico-matemático en suaplicación ala ciencia y a la vida cotidianaes el métododejustificación de las inferencias. Es decir, se ocupa en gran parte de establecer técnicas para mostrar que un determinado enunciadose sigue deductivamente o no se sigue deductivamentede otro enunciado. Enesesentido, el razonamiento lógico matemático opera con axiomas,teoremas y corolarios en un juegode la menterigurosoy apasionante. os Eltexto está organizado en dieciocho capítulos que abordan temas de cuatro áreas: Lógico-matemática, Aritmética, Álgebra y Geometría. Cada uno delos capítulosestán ordenados de acuerdo a una secuencia lógica y se inicia con una exposición teórica sencilla y accesible de los temasa tratar. Estos a continuación se esclarecen con ejemplos resueltos en orden progresivo de dificultad y con ejercicios de reforzamiento, presentados también segúnsu gradodedificultad. Losautores 14. twitter.com/calapenshko CAPÍTULO | Deductivo Simple. Conjuntos. Ecuaciones Lineales con unaVariable. Ángulos de un Triángulo. DEDUCTIVO SIMPLEEn esta sección vemosla aplicación del proceso deductivo a situaciones notan compli- cadas y de mínima dificultad a lo cual denominamos "deductivo simple” porque se requieren pocasvariables proposicionales y un razonamiento directo; por supuesto que también requerimos un poco de creatividad de los estudiantes. 1.1.1. Proceso Deductivo Concepto. Elproceso deductivo consiste en analizar y relacionar un conjunto de enun- ciados tamados premisas, y a partir de ellos llegar a una conclusión. Nosolros aqui veremoscasos particulares de dedución en los cuales se usan básicamentela estructura *si.... entonces. ”, y de manera implica algunasleyes como la conmutatividad y asocialwidad de la conjunción de proposiciones Deducción inmediata. Llamamos asi al proceso medianteelcualla conclusión se ob- tiene de maneradirecta relacionando los datos o premisas. Ejemplo1 Sise tiene los siguientes enunciados: L En un determinado sorteo, los que tienen númerospares tienen posibilidades de ganaralgún premio. 1 Á Gaby y Kaly les dieron números impares. ll La suma delnúmero de Patty con el de Katty es un número impar, Entoncesse concluye que: A)Gabytiene posibilidadesde ganaralgún premio. B)Patty tiene posibilidades de ganar algún premio. 0) Gaby y Kattytienen posibilidades de ganaralgún premio. D) Kattytiene posibilidades de ganar algún premio. E) Gaby, Katty y Patty tienen posibilidades de ganar algún premio. hi Centro Preuniversitario UNMSS—_>——>—%%11010 Resolución Relacionando las premisas: 1”. Dell y lll, Patty tiene un númeropar, pues número par + número impar = númeroimpar, 2. Del y portener Pattyun número par, ela tiene posibilidades de ganar sigún premio.Conclusión: Paltytiene posibilidades de ganaralgun premio Clave: 8 Deducción con ayuda de diagramas, Se recomienda el uso de diagramas conjuntistaseuandolos enunciados incluyen cuantiicadores o palabras como todos”, “algunos”,“ninguno”.etc. A continuación, veamos como usarlos diagramas: 1. Todos los “A” son "B”, Indica quetodo elemento del conjunto A también es elementodelconjunto B. Por tanto: "A" se incluye en *B". 8 l. Algunos “A” son *B”. Indica que algunoselementos son comunesa los conjuntos A yB. Por tanto: “A” se interseca parcialmente con *B”. A U Il. Ningún “A” es “E”. Indica que ningun elemento es común a los conjuntos A y B.Portanto: "A" y "B" son disjuntos DO qA_=><A<>=>——APTITUD MATEMÁTICA Ejemplo 2 si 1 Ninguno de los que da monedas de S/. 1 de propina es profesional 11. Todos los que dan monedasde S). 5 de propina son profesionales. Se concluye quer A) Algunosde los que dan monedas de S/. 1 dan monedasde S/. 5 8) Ningunodelos profesionales da monedas de S/. 5. C) Todoslos que dan monedasde S/. 1 dan monedas deS/. 5. D) Algunos profesionales dan monedasde S/. 1 E) Ningunode los que da monedasde S/. 5 da monedas de SI. 1 Resolución 1. Denotamos: P = conjunto de profesionales, Q = conjunto de las personas que dan monedasde 5. 1 de propina, y R= conjunto de las personas que dan monedasde S/. 5 de propina Del, setiene: Q twil calá ho LR. Del, setiene: Q P 3. Delesquema anterior, es claro que R y Q son disjuntos, por ello Ningunode los que da monedas de S/. 5 da monedasdeS/.1 Clave: E Deducción simple e ingenio. Aqui vemos aquellos problemas cuya solución requiere además de un razonamiento lógico simple y rápido, un poco de nuestra creatividad eingenio. Ejemplo 3 Para satisfacer sus deseos de fumar, un mendigo recoge colillas, y con 4 de ellas hace un cigarrillo. Si ayer sólo pudo conseguir 25 colilas, ¿cuál es la máxima cantidad de cigarrilos que pudo fumar ayer? AJ9 B)8 c)7 D)6 E)5 14 Centro Preuniversitario UNMS» ———4+ Resolución L 2514_ forma (E) cigarrillos, los fuma: 15 Quedan6 colillas + 1 colilla = 7 colillas 1. 7 [4_ forma (A) cigarrillo, lo fuma: 31 queda 1 colilla + 3 colillas = 4 colillas Il, 4 L4_ forma (A) cigarrillo, lo fuma: 01 le queda unacolilla. +. Total de cigarrillos que pudo fumar ayer. 6+1+1=8, Clave: B 1.1.2. Problemas Resuehos Problema 1 Los hermanosAldo, Beto y Coqui tienen 5,3 y 2 caramelos, no necesariamente en eseorden.Beto le dice al que tiene 3 caramelos queel que tiene 2 caramelosestá aburrido,y el que tiene 3 caramelosle pregunta a Coquí por su estadode ánimo. ¿Cuántos cara.melostienen Beto y Aldo juntos? AJ3 B)5 C)7 D)8 E)10 Resolución Resolvemospor deducción inmediata. 1. ComoBetole habla al que tiene 3 caramelos y hablan del quetiene 2 caramelos,entonces: - Beto tiene 5 caramelos,y + Aldo y Coquitienen 2 y 3 caramelos, pero no necesariamente en ese orden. 2. Comoelquetiene 3 caramelos habla con Coqui, entonces: - Coquitiene 2 caramelos,y = Aldotiene 3 caramelos, Luego, Beto y Aldotienen juntos: 5 + 3 = 8 caramelos. Clave: D APTITUD MATEMÁTICA Problema 2 Si 1. Todasmisprimastienen más de 20 años, y Il. Algunas de mis primas son solteras. Entonces se concluye que A) Todas las mujeres solteras tienen másde 20 años. B) Ninguna mujer mayor de 20 es sollera. C) Algunasde mis primas tienen más de 20 años. D) Todas mis primasson solteras. E) Algunas mujeres mayores de 20 son solteras. Resolución Denotamos: M conjunto de mujeres que tienen más de 20 años, $ = conjunto de mujeres solteras. De |, se tiene: Dell, se presentan dos posibilidades: 1. | Perola primera no es posible porque estariamosafirmando quetodaslas solteras son mayoresde 20,lo cual es falso (por ejemplo,las niñas recién nacidas son obviamente solteras y menores de 20). Luego,el diagramacorrecto es el de la segunda posibilidad,y asi tenemos la conclusión: Algunas mujeres mayores de 20 son solteras. Glave: E hs 16 Centro Preuniversitario UNMS——_—_ Problema 3 Un anciano dejó a sus cuatro hijos una herencia que consiste de nco parcelascontiguas de forma cuadrada, como muestra la figura. Si todos los hijos recibieron terre-nosiguales,¿cuál es el perimetro de cada terreno? A) 152m B) 158 m C) 144 m D) 160m E) 176m 1 32mResolución 1 1. Puesto que 5 noesdivisible por 4, cada parcela debe ser dividida en 4 partes iguales,obteniéndose 20 partes en total. 2. Acada hijo le corresponde 5 de las partes obtenidas, 7 3. Comotodosrecibieron terrenos iguales, cada uno de ihijos debe haberrecibido un terreno de la forma1 32m Ll los HL 48m — cuyo perimatro es P=160m Clave: D Problema 4 Ayertenía 17 años y el próximo año tendré 18.Si mañanaserá mi cumpleaños, ¿en quéfecha naci? A) 30 de junio B) 28 de febrero C)31 de diciembreD) 01 de enero E) 29 de febrero Resolución 1. Como ayer tenia 17 años y mañana es mi cumpleaños: - Hoy aún tengo 17 años,y - Mañana cumpliré 18 años. próximo año 2. Comoel próximoañotendré 18: ana (cumpleaños) = El próximo añoocurre mañana,y 18— Hoy es31dediciembre, 31 dic. 01 ene. :¿ Mi cumpleañoses el 01 de enero. Clave: D 12 124. APTITUD MATEMÁTICA CONJUNTOS En esta sección utilizaremos la noción de conjunto en aplicaciones concretas. En la resolución de problemas se usa comoestrategia, las representaciones gráficas como. los diagramas de Venn-Euler y el de Lewis-Carrol. Determinación y representación gráfica de conjuntos Intuitivamente unconjunto es una colección de objetos con una caracteristica comun, a estos oojetos se les denomina elementos del conjunto. Los conjutos generalmente se denotan conletras mayúsculas,tal como. A,8, C.... X, Y, Z,y a sus elementosse deno- tan con letras minúsculastal como: a, b. €, ...X, Y, 2 Determinación de conjuntos. Un conjunto quedará bien deten mado s: se conocen todos suselementos ya sea explicita o implicitamente. Existen dos formas de determinar un conjunto,las cuales son + Por extensión. Consiste er: indicar explicitamente cada uno «, conjunto. Por ejemplo: Si A es un conjunto cuyos elementos entonces se denota comoA = (2, 5,8,a, d) los elementos de un som: 2, 5. 8, a, d, ele. « Por comprensión. Consiste en caracterizar todoslos elementos de un conjunto por una o más propiedades comunes. Por ejemplo: Si A es el sonjuntode los estudiantes del Centro Preuniversitario de la UNMSM, entonces A= (xix es un estudiante del Centro Preuniversitario us la UNMSM) Ejemplo1 El conjunto M está formadoporlos posibles resultados que se ublienen al lanzar dos monedas. Silos resultados para la primera moneda son (cara)y s (sello) y por cada uno de ellos se tiene las mismas posibilidades para la segunda, entonces: AJM =(x/x es unacara de la moneda) B)M = (x/x es un sello de la moneda) C) = (x /x es una cara o un sello de la moneda) D) = (es, cc, ss, se) E)M = (s, c) Resolución Los posibles resultados son: Moneda 1: c, C, S, 5 Moneda 2:s, €, s, € Luego el conjunto M= (cs, cc,ss, sc) Clave: D Representación gráfica de conjuntos. Para representar gráficamente a los conjuntos se utiliza figuras geométricas llamadas Diagramasde Venn-Euler. A B e hr Centro Preuniversitario UNMSM En algunos casos dondeexisten subconjuntos que son el resultado de la intersección de conjuntosseutiliza los diagramasde doble entrada. Hombres i Mujeres Asi tenemos: [O hombres que usanlentes (subconjuntode intersección del conjunto. hombres y el conjunto delos que usanlentes) BN mujeres que no usan lentes (subconjunto de intersección del conjunto mujeres y el conjunto de los que no usan lentes)Ejemplo 2 Eneldiagrama se muestran a los conjuntos M, N y P con sus respectivos elementos. ¿Quéafirmación es verdadera? M CO 18 Resolución Del gráfico se puede observar que: - 3 pertenece a My a Na la vez - M=(1,2,3,4,6,7) - N=(3,4, 5, 6) = 4 pertenece a My Na la vez - 2n0 pertenece a N Clave: E 1.2.2. Operaciones con conjuntos Unión: Dados dos conjuntos A y B, entonces AUB=|x/xeA vxe B)representa- do gráficamente porla región sombreada. A, A A B AuUB=A AuUB AUB ¡qx_I->AAA<A>APTIYUDMATEMÁTICA Intersección: Dadosdos conjuntos A y B, entonces AMGB=Íx/xeA nxeBl representado gráficamente porla región sombreada Dd) os Ar B=B AB | AGB=4 Diferencia: Dados dos conjuntos A y B, entonces A-Bek/xcA 2xeB) representado gráficamente porla región sombreada ho CampAnaNe de un conjunto: Dado unconjunto universal 1! y los vorjunics a y B tenemos: LAB Asa U/x=Baxe Aj representado gráficamente por la región sombreada. A Observación, Si B=U, entonces Y A=At=A =U-A= fx/x 0 ox) Centro Preuniversitario UNMSS — _<>—>—404%4%4 Ejemplo 3 Dados tres conjuntos A, B y C, tales que: Hallar: [(A UC) - (AU B) uy [Bn.c)- (Anc) A) (4, 5, 8) BI4,5,7) 018.57) — P)(3.5,8) En Resolución Utilizando el diagrama de Venn-Euler, tenemos: ([SQ Ni c Luego — [(AUC)-(AUB)=(1,2,3,4,5,7)-(0,1,2,3,4, 8) =(5,7) [6 .0)- (Anc) fa, 4)- (2, 3) = (4) de donde [(A UC) - (AB)u[E nc)- (an C)|= (4, 5,7) Clave: B| 1.2.3. Problemas resueltos Problema1 De un grupodeturistas que visitaron las ciudades de Cusco, Huaraz y Cajamarca, sesabe que: todos los que visitaron Cajamarca tambiénvisitaron Cusco, 22 visitaronCajamarca,34 visitaron Huaraz, pero no Cusco,110 visitaron Cusco o Huaraz, 12 visita-ron Cuscoy Huaraz, pero no Cajamarca, El número de turistas quevisitó sólo Cusco esel triple de los que visitó Cajamarca y Huaraz, ¿Cuántos visitaron Cajamarca y Cusco,pero no Huaraz? A)J5 B)6 C)7 D)8 E)9 22AFTIVUD MATEMÁTICA Resolución ) Sean: el número de turistas que visitaron Cajamarca y Cusco, pero no Huaraz 1) Sea x: el número de turistas que vistaron las tres ciudades. il) Llevandoa un diagramalosdatosdel problema, tenemos: a x+n=22, también 34 +12+22+3x= 110 3x=42 x=14 n=22-14 n=8 Cusco Huaraz, Luego tenemos: Clave: D Problema 2 En una encuesta realizada a una determinada cantidad de postulantes al Centromen Ñ . aPreuniversitario de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos se obtuvo el siguiente? resultado: + El 34% deltotal postulan a Medicina Humanao Enfermeria + Aenfermeria sólo postulan mujeres. + Treinta y seis postulantes lo hacen a Enfermeria + El número de mujeres que postulan sólo a Medicina es la mitad de las personas que postulan sólo a Enfermeria. + Catorce varones postulan a Medicina ¿Cuántos encuestados no postulan a Medicina ni a Enfermeria? A) 192 B) 132 C) 136 D) 145 E) 138 Resolución l) Sea T el númerototal de postulantes encuestados. 1), La x. el número de personas que no postulan a medicina ni a enfermeria. ll) Llevando a un diagrama los datos dei problema tenemos: ! MY] x ]ca Enfermería Varones ! Mujeres A IV) Del gráfico tenemos: 68+x=T luego: 34 100 =68 > T=200 V) Luego: x= 200 - 68 = 132 Clave: B Problema 3 De cierto número de mujeres; se sabe que: + Ungruposólotienen zapatos negros, otro grupo sólo zapatos azules y las restan-tes de otros colores. + El 33% de ellas tienen zapatos azules, pero notienen 20 años.+ El 9% no tienen zapatos negrosni azulesy son mayores de 23 años.+ El 16% no tienen zapatos negrosni azules y no son mayores de 23 años. ¿Qué porcentaje son de 20 años y tienen zapatos azules. s¡ ellas son la sexla parte de todasfas que tienen zapatos negros? A) 6% B) 5% 0) 4% D) 7% E) 8% Resolución |) Sea x: el número de mujeres que tienen 20 años y zapatos azules; luego las quetienen zapatos negros serán: 6x. 11) Ordenando los datos del problema en un diagrama tenernos: Zapalos negros 20 años No mayores de 23 años Mayores de 23 años 11) Del gráfico, obtenemos: Tx + 33% + 16% + 9% = 100% = 7x= 42% > x=6% Clave: A — ASTITUD MATEMATICA Probleina 4 De 192 pobladores de una asociación se determinó lo siguiente: 70 eran iqueños, 80 huanuqueños y 90 <1an músicos, de estos últimos 39 eran iqueños y 31 exarhusruqueños. ¿Cuántosdelos que no son huanugueñosno eran iqueños ni músicos? 1128 825 24 0922 EJ23 Rosolución 1) Seay el numerode pobladores que no son huanuqueñosni iqueñosni músicos, luegodel diagramatenemos: 92 - (70 + 20 + 80) 92-170 2 Hi) Graficando los dal ha Clave: D 1.3. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE Por medio de simbolos, el álgebra puede manejar toda clase de problema en un solo episodio de razonamiento. En el simbolismo radica parte de la nolable eficacia del álge- bra, Los procesosdel álgebra se puedenaplicar en forma directa al problema de encontrar cantidades desconocidas que se presenta en muchassituaciones. La Ecua- ción del Primer Grado o Lineal con una Variable es una de las ecuaciones más sencillas del álgebra. Nosotrosutilizaremos las ecuacionesálgebraicasen las aplicacionesdirectas. Para esto necesitamosrecordarlas estrategias de despejarla variable o incógnita de la ecuación. 1.3.1. Ecuaciones en resolución de problemas Concepto 1. Una ecuación algebraica es una igualdad de dos expresiones algebraicas. Las dos expresiones que conforman una ecuación se denominan lados o miembros, que se separan por un signode igualdad "=". Centro Preuniversitario UNS_> Concepto 2. Una ecuación lineal ena variable x es una ecuación que puede escribirseenla forma: ax+b=0, donde ayb soncostantes y a20 Estrategia. Para resolver una ecuación lineal se lleva a cabo una serie de operacioneshasta que se llega a una ecuación equivalente en el cual la variable se encuentra sola enun miembro. Ejemplo1 La suma delas edades de Juan, Pedro y Mario es 69 años. Sila edad de Juan es el dobleque la de Pedro y 6 años mayor que la de Mario, ¿qué edadtiene Mario? A) 24 años B) 15 años C) 30 años D) 25 años E) 18 años Resolución Del problema setiene que Edad de Juan: 23 Edad de Pedro: y Edad de Mario: 2J-6 Además, 2J+J+2J-6=69 25J=75 > J=15 Luego,la edad de Mario = 2 (15) - 6 =24 años. Clave: A Ejemplo 2 Carlos y Alberto empiezan a jugar teniendo Carlos el doble de dinero que Alberto. CuandoCarlos pierde S/. 400, entonces Alberto tiene el doble de lo que tiene Carlos. ¿Con cuántoempezó Carlos? A) S/. 900 B) S/. 600 €) S/, 1000 D)S/. 800 E) S/. 400 Resolución Delproblemase tiene que: Carlos tiene: 2x twitter.com/calapenshkoAlberto tiene: x Dela suposición tenemos que: x + 400 = 2(2x - 400) x+ 400 = 4x - 800 3x= 1200 x=400 Luego, Carlos liene 2x = 800. Clave: D APTITUDMATEMÁTICA1.3.2. Problemas Resueltos Problema1 Un obrero por cada semanaquetrabaja ahorra S/. 80, pero cuando deja solamente de trabajar un día por semanagastaS/. 40 de susahorros. Si durante 12 semanasahorró S/. 360, ¿en cuántas semanas no ahorró? Ay7 B)6 C)5 D)8 Er Resolución Número de semanasen el que no ahorro: x Número de semanasen el que ahorro: 12 -x Delenunciado tenemosque: 80 (12 - x) - 40x = 360 96 - 8x - 4x = 36 12x=60 x=5 Clave: € Problema 2 Se tienen dos grupos de monedas de pesosdiferentes. El primero consta de 44 mone- das de 8 g cada moneda,y el segundo consta de 40 monedas de 10 g cada moneda, R5 ¿Cuántas monedasdebemosde intercambiar de ambosgrupos para que adquieran igual pesolos dos gruposy no varie elnumero inicial de monedasde cada grupo? A)12 B)10 Cc) 18 D) 16 E)20 Resolución Número de monedas de 8g +n:44 -n Número de monedas de 109 -n:40% +n Número de monedas aintercambiar: n Del problemase tiene que: (44 - n) 8 + 10n = (40 - n)10 + 8n 176 - 4n + 5n = 200 - 5n + 4n 2n=24 n=12 Clave: A Problema 3 En una familia el padre gana 120 soles por hora y la madre gana 110soles por hora. Despuésde 25 días trabajados el padre recibió 14. 500 soles másque la madre, puesto queleboró 4 horas más pordía. ¿Cuántas horas trabajó diariamente la madre? Ay 10 B)8 Cc) 12 D)6 E)S Centro Preuniversitario. UNMS» — MI Resolución Númerode horas que trabajó pordía la madre: n y c/hora gana: 110 pesosNúmero de horas que trabajó por dia el padre: n + 4 y c/hora gana: 120 pesos Del problemase tiene que: 25 (n +4) 120 - 25 (n) 110= 14500 120n + 480 - 110n = 580 12n +48 - 11n =58 n=10 Clave: A Problema 4 Con eldinero que lengo puedo comprar 10tarjetas navideñas del mismo precio y me sobraSÍ, 5,pero para comprar 22 tarjetas me faltarian S/. 31. ¿Cuánto tengo? A) S/. 30 B)S/. 36 C)S/. 24 D) S/. 42 E) S/. 35 Resolución Costo de c/u de las tarjetas: n Dinero que tengo: 10n +5=22n-31 120 =36 n=3 Por lo tanto tengo S/. 35 Clave: E Problema 5 Todos mis pantalones son negros, menos cuatro;todos son azules, menos cuatro; todosson verdes, menos cuatro. ¿Cuántos pantalonestengo en total? AJS B)9 C)6 D)8 E)7 Resolución Número total de pantalones: n Negros Azules Verdes n= (n-4)+(n-4)+(n-4) 3n-12 Clave: C 1.4. ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO 1.41.Conceptos Básicos de Triángulos Elementosde un triángulo. Los elementos básicos deltriángulo ABC son: *Lados: AB, BC y AC B + Vértices: A, B y C + Angulosinteriores: XA, %B y <C (Y BAC, L ABCy 4 BCA) » Ángulo externo: $. (+JPTITUDMATEMATICA + Clasificación. Se puedenciasificar en relación a susladoso enrelaciónde sus ángulos, como se mencionan a continuación. a) Conrelación a sus lados: Equilátero Isósceles Escaleno b) Con relación a susángulos: AG Rectángulo | Acutángulo Obtusangulo ms. A=90* má A<90* mí A >90* mí 8 <90* ma C<90* Observaciones + La hase de un triángulo es uno (cualquiera) de sus lados. + Permetro de un triángulo es la sumade las longitudes de suslados + Lado opuestcalvértice de un triánguloesel lado donde no está dich vértice + Ángulus adyacentesa unlado de un triángulo sonaquellos ángulos =1109 vér ti Iremosde dicho segmento Ejemplo1 Enla figura adjunta, ¿qué afirmación es verdadera? A) % MNQesisósceles. B) 1 QNPes acutángulo. C) Y MNQ es rectángulo. D) 1 QNPes escaleno, E) A MNQ es obstusángulo. Centro Preuniversitario UNMS4 —_—_>—__ Resolución + Completamos la medida de todos los ángulos interiores en los triángulos MNQ y QNP. + AQNPes obtusángulo y la medida de sus ángu- los sondiferentes. > 4 QNPes escaleno. Clave: D 1.4.2, Relaciones Angulares de un Triángulo a)En todo triángulo la suma de las medidas desus tres ángulos interiores es igual a 180". a+p+0 b) Entodotriángulo la medida de un ángulo externoes igual a la sumade las medidasdelos ángulosinteriores no adyacentes. D o MÁ 3 P=a+0 e) En todo triángulo la sumade las medidas de sus tres ángulos externos no opuestosporel vértice es 380". x+y+z= 360% APTITUD MATEMÁTICA. Ejemplo 2 En la figura adjunta, f +0 = 60*. Calcular el valor de ($ - 9) A)35* 8) 40" 0) 45" D) 25" E) 50* Resolución + Enela AFE: a +$B=90". + Enel á ABF: Pa +0 (poránguloexterno) >0=P-0>en(1) P-0+P=90*=>2P-9=90"...... (2) + DatoB +0 =60* (3) + Sumando(2) y (3): 3$ = 150" => $ = 50" en (3) >9=10* Luego: P-8=40* (1) Clave: B 1.4.3. Problemas Resueltos Problema 1 En lafigura adjunta, a = 16” y AB = BD = DE = EF= FC.Calcularel valor de 6. A)48* 8) 50" c) 52" D) 54* E) 50" Resolución + Completamos la medida de todos los án- guiosinteriores en los triángulos EFC, DEF, BDE y ABD. + Enela ABD: 0+4a+40=180* >0,=180"-8u = 0=180*-8 (16% =20=52 Clave: C 30 Centro Preuniversitario UNMSM —- Problema 2 Enla figura mostrada, EBC es un triángulo equilátero y m 4 EDC = 70*. Calcuarel valor de x A)30* 8115" Cc)20* D)25* E) 35* Resolución + ABCDes isósceles > 22=80=2=40* + 4 DCEesisósceles x +z = y = 70" > x=30 Clave: A Problema 3 Enla figura adjunta, AB = BD = EC. Hallar el valor de x. A) 109 B) 20" c) 15 D) 129 E) 25% Resolución * ABDCes isósceles > 22 = 80" :> 2 = 40" * SEBDes isósceles = a + z= 70" =2=30* + ABEC > a+x= 50" >x=20* Clave: B 45. APTITUD MATEMATICA Problema 4 Dela ñígura adjunta, Resolucion Enel... EDS prolongamos EB para formar un ángulo extemo, +Ensl AABC:2x=y+z (por ángulo externo) PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1. A Carmen, Alicia,Betty y Diana se les asigna un sólo número entero del 5 al 8 a cada unade ellas. Si Alicia no tiene unnúmero par, pero si tiene un número mayor que el de Diana, y Betty y Diana tienen números pares, ¿cuánto suman los números asignados a Carmen y Betty? A)14 B) 12 01 D) 13 E)15 Problema 2. Si algunos estudiantes practican deportes, algunos estudiantes reciben S/. 30 de propina y todoslos que reciben S/. 30 de propina practican deportes, entonces: A) Ninguno que practica deportes recibe S/. 30 de propina 8) Algunos estudiantes que practian deportesreciben S/. 30 de propina (G)Todos los que practican deportes sonestudiantes. D) Ningún estudiante recibe S/. 30 de propina. E) Todos los quepractican deportes reciben S/. 30 de propina sonestudiantes 3 32 Centro Preuniversitario UNMS»—————— Problema 3. Un niño que está aprendiendo a caminar avanza 4 pasos y retrocede 2,yCada uno de sus pasos equivale a 30 cm. Sil niño repite esta peculiar forma de caminarhasta llegara un punto situado a 6 m de su punto de partida y todo su recorrido fue enlinea recta, ¿cuántos pasos habrá dado? A)52 B) 56 C) 54 D) 50 E) 60 Problema 4. Javier tiene 3 cajas iguales, en una de ellas coloca caramelos, en otraChocolates y en laúltima caramelos y chocolates, Luegolas cierra y empaqueta, pero almomento de rotularlas se equivoca en todas. ¿Quécaja debe abrir para rotularias.correctamente si sólo puedeextraer un dulce de dicha caja? A) La que dice “caramelos”. B) La que dice “chocolates” C) La que dice “chocolates y caramelos". D) La quedice "caramelos" o *chocolates”indistintamente. E) Cualquiera de las cajas. Problema 5. A Zelma le preguntaron: "¿Cuál es la fecha de tu cumpleaños”, y ellaContestó: "Anteayertenía 29 añosy el próximo año tendré 32 años”.¿Cuántos años tiene Zelma y en quéfechanació? A) 31 años y 31 de diciembre 8) 31 añosy 1 de enero. C) 30 años y 30 de diciembre. D) 30 años y 1 de enero. E) 30 añosy 31 de diciembre. Problema 6. De un grupo de 90 estudiantes se sabe que: 12 prefieren matemáticas, peronoliteratura; 27 prefieren literatura, pero no tienen 18 años; 18 que no prefieren literaturano prefieren matemáticas y tienen 18 años; 7 prefieren leralura y tienen 18 años, pero noPrefieren matemáticas,4 prefieren matemáticasy literatura y tienen 18 años. ¿Cuántosestudiantes que no tienen 18 años, no prefieren matemáticasni literatura? AJ22 B)24 C) 25 D) 21 E) 20 Problema7. De 250 personas que viven en una ciudad se tiene la siguienteinformación:75 eran ayacuchanos,92 eran huancaínos,105eranprofesionales, de estos últimos 40eran ayacuchanos y 36 huancalnos.¿Cuántas personasde los que no son ayacuchanosnoeran huancainos ni profesionales? AJ58 0 Bas C)54 D)55 E) 52 AAAAPTITUD MATEMÁTICA Problema 8.De los empleadosvarones de una empresa transnacional se sabe que: 60 eran peruanos,88 profesionales; de los peruanosel 75% usaban termoy la tercera parte de éstos eran profesionales. De cada 4 profesionales uno usaba terno. ¿Cuántos em- pleados que usaban ternonoeran peruanos niprofesionales, si en total 90 usaban terno? A)40 B)39 0) 42 D) 35 E) 38 Problema9. En una empresa ganadera donde hay 8400 cabezas de ganado ovino se sabe que de las hembraslas 3/8 son crias, los 2/5 del número total de hembrases igual al número de machosy 2/5 del número de hembras adultas están preñadas. ¿Cuántas hembrasadultas no están preñadas? A) 228. B) 2250 0) 2150 D) 2050 E) 2350 Problema10. En un centro superior tecnológico de computación estudian 67 alumnos entre ingresantesy regulares, de ellos 47 conocen Mallab, 35 Visual Basic y 23 Matlab y Visual Basic. ¿Cuántos estudiantes de este centro de estudios no conocen Matlab ni Visual Basic? A)8 B) 10 C)9 D)7 EJ12 Problema11. El valor de ciertolibro se duplica cada 10 años. Si el valor dellibro después de 40 añoses S/. 96, ¿cuálfue el valorinicial dellibro? A)S/. 3 B) S/. 6 CC) S/. 4 D)S/. 5 E) SI.7 Problema12. Marcos le pregunta a Carla; "¿Cuánto has gastado de los S/. 140 quete di?", y Carla le contesta: "He gastado las 3/4 partesde loque no he gastado”, ¿Cuánto gastó Carla? A)S/, 40 B) S/. 60 C) SI. 30 D) S/. 50 E) SI. 80 Problema 13. Una persona compró 132 vasosa razón de S/. 4 la docenaeneltransporte se rompieron 30. ¿A qué precio debe venderse cada unode los restantes para obtener na ganancia total de S/. 7? A) SI. 1,00 B)S/.0,50 C)S/.0,60 D)S/.0/65 E) S/. 0,70 Problema 14. Un padre va al cine con sus hijos y al querer sacar entradas de S/, 3 observa quele faltaría dinero para dosde ellos, y entoncestiene que sacarentradas de SI. 1,50 de tal modoque entran todosy le sobra S/. 3. ¿Cuántos eran sus hijos? AJ8 8)5 c)7 D)6 EJ9 Problema 15. Unheladero compra con S/. 4800 dos cajones conteniendo cada una 150 paquetes de barquillos, uno de estos cajones le ha costado S/. 600 más que el otro;si elheladero vendió 70 paquetes del cajón de mayor costo y 30 del otro, cobrando por todo S/, 2000. ¿ Cuánto ganó en la venta efectuada? A)SÍ, 440 B) S/. 420 C) S/. 320 D) S/.360 E) S/. 380 pa Centro Preuniversitario UNMSM Problema16.En la figura mostrada, AB = BC = BP. Calcularel valor de x. B A) 5* A B) 10" 0 0) 15* D) 20* E) 30" A E] ' c Problema17.En la figura adjunta, calcular el valor de x. Apis” B)20* 0) 40" D)30* E) 45" A) 36" 8) 40* c)20* D) 30* E) 32" Problema19, Enla figura mostrada, AB = BC = AD.Calcular el valor de x. B AJ8* B) 10" 0) 15" AG DC D) 18* E)5" 0 % APTITUD MATEMÁTICA Problema20. En la figura adjunta, AB + AD = BC. Calcularel valor de x. A) 20" 8) 12* c)15” D)16* E) 19" 1D 2.B 3A 4.0 Ss.E SA 7.0 8.E CLAVES 9 B 10.A 1.8 12.8 13.8 148 15.0 16.B 17D 18.D 19.B 20.A A) twitter.com/calapenshko 24. 211, CAPÍTULO II Deductivo Compuesto. Numeración. Sistema de Ecuaciones Lineales con DosVariables. Ángulos Formadospor Líneas Notables de un Triángulo. DEDUCTIVO COMPUESTO Enestá sección veremos problemas en los cuales debemosrelacionar la información dada; como nombresde personas con alguna actividad u oficio queellos realizan o el lugar de procedencia que nosotros llamaremos variables. La información que se recibe casi siempre está dada en forma desordenada, que aparenta no guardar ninguna rela- ción, pero haciendo uso del ingenio y de ta deducción lógica se podra obtenerla relación buscada a partir de dicha información. Deductivo Compuesto con Datos Explícitos Ejemplo 1 Cuatro amigos, Gustavo, Alberto, César y Roberto, practican cada uno un deporte diferente. (1) Gustavo quisiera jugartenis en lugar de fútbol. (1) Albertole pide prestadas las paletas de frontón a Roberto. (1), César nunca fue buen nadador. ¿Qué deporte practica César? A)tenis B)fútbol C) natación D)frontón E) básquet Resolución Primera forma 1. Se construye un cuadro de doble entrada, donde se coloca los nombres los deportes diferentes (de preferencia en la primera columna van los nombres). E 30 Centro Preuniversitario. UNMS-» ————_——- Tenis Fútbol Frontón Natáción Gustavo. Alberto César Roberto || 2. Luego se empiezaa llenar el cuadro de acuerdo ala información dada enel problema Dela información (1) se deduce queGustavopráctica fútbol, entonces entre Gustavo y fútbol escribimos *>" o la palabra “si”, de (II) es claro que Roberto practica frontón, entonces entre Roberto y frontón “3" o "si", luego se tiene: aportes] Tenis Fútbol Frontón Natación Nombres” | Gustavo X Y, xo x | Alberto Xx x Y] césar E Xx Roberto Xx E Z Xx 3. Dela información (lll) César no practica natación, porlo tanto se deduce que Alberto practica natación y César practica el tenis, entonces entre Alberto y natación, y entre César y tenis escribimos *3" 4. Los demás espaciosblancos de la tabla se llenan como consecuencia de los espacios ya marcados resumidos en la siguiente regla: “Para cada par de variables, tanto en la horizontal como en la vertical debe ir un solo “3” o la palabra “si” y el resto de los espacios completamos con *x” o con la palabra "no", luego se obtiene: Deportes] Tenis Fútbol Frontón Natación Nombres Gustavo Xx Y x ES Alberto Xx E Xx A César Y Xx Xx Xx Roberto E Xx 4 x Dela tabla se concluye: H Gustavopracticafútbol. H Alberto practica natación - César practica tenis. =Roberto practica frontón Clave: A —APTITUD MATEMATICA Segunda forma Delejemplo anterior. otra forma de relacionarlas dos variables (nombresy ueparie), es mediante el uso de las flechas. Veamos: 1. Construimos las dos columnas donde colocamos los nombresy deportes. "NOMBRES DEPORTE | Gustavo. 2. Lueyo de los datos mencionados setiene: De (1) Gustavo practica fútbol, que lo relacionamoscon una flecha De (11) Robertopractica frontón, quelo relacionamos con otra flecha De(111) César practica tenis, y en consecuencia Alberto practica natación. NOMBRES DEPORTE Gustavo Fútbol Albert Frontón César Tenis Roberto Tercera forma ña Otra forma de resolver este tipo de preblemases mediante un proceso “direct cual no es necesario hacer ningún tipo de cuadro adicional, sóto haciendo use vazonamiento lógico y a partir de ello deducir nuevas informaciones. enel de un Delejemplo 1 se »endria lo siguien fútbol, de (11) Roberto practica fronión, de (li!) César no :sar practica: tenis y se deduce que Alberto practica natación. Deinformación (+) Gustavopra es nadador, luego Hayproblemas donde hay información de personas convarias actividadesu oficios. En esa caso usaremosel cuadro de decisiones ampliado, como veremosen el siguiente ejemplo, Ejemplo 2 Tres amigas: Sandra, Blanca y Vanessa escogieron un distrito diferente para vivir y se movilizan usando un medio de transporte distinto;los distritos son: Lince, Jesús Maria, Rimacy los medios de transporte son:bicicleta, moto y microbús (1), Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto y se mudará al Rimac. (1!) Desde que Vanessa vive en Jesús Maria ya no tiene bicicleta. (La que vive en Lince toma dos microbuses. ¿En qué distrito vive Sandra y en qué medio de transporte se moviliza? A) Lince — bicicleta B) Rimac— bicicleta C) Jesús Maria — moto D) Lince - microbús D) Jesús Maria — bicicleta Centro Preuniversitario UNMS»— Resolución 1. Para relacionar las 3 variables, construimos un cuadro de doble entrada,y en uno delos lados se coloca 2 de las variables. Lince | Jesús María | Rimac | | Bicicleta Moto | Microbús Sandra Blanca Vanessa 2, Dela información obtenida se tiene: De (|) Blanca no se moviliza en moto ni vive en elRimac.Do (1) Vanessa vive en Jesús María y no se moviliza en bicicleta. Luego se tiene: Lince | Jesús Maria | Rímac | | Bicicleta Moto | Microbús Sandra Blanca X X Vanessa Xx X X 3. De (1) y (11) y observando !la tabla se sigue que Blanca vive en Lince y también observamos que Sandravive en el Rimac y llenamosel primer cuadro. Lince | Jesús Maria] Rímac | | Bicicleta | Moto Microbús Sandra Xx X Blanca Y. X X X Vanessa Xx X X 4. Deotrolado,del dato (11) se tiene que Blanca toma microbús y como consecuencia deello se puedellenar el segundo cuadro. Lince | Jesús Maria | Rimac | | Bicicleta Moto —| Microbús Sandra X X X XBlanca Xx X X Vanessa X Xx Xx Xx Porlo tanto: - Sandravive en el Rimac y se moviliza en Bicicleta. - Blanca vive en Lince y se moviliza en microbús. = Vanessavive en Jesús María y se moviliza en moto. Clave: B| Observación. Hay problemas en donde es dificil de llenar el cuadro con la informaciónobtenida; es decir, no podemos facilmente obtenerla respuesta deseada para el proble-ma,En esta situación se recomiendalo siguiente: Se cambia la posición en que estaba ubicada en la tabla, por ejemplo, los nombres(de personas) con una cualidad específica, esto es, si en la primera columna como _A _-APTITUD MATEMÁTICA usualmente es, va colocado los nombres, lo trasladamosa la primera fila, y la cualidad (o caracteristica) que estaba en la primera fila la trasladamos a la primera columna. Veamosel siguiente ejemplo. Ejemplo 3 Tres amigos de nombres,apellidos y ocupaciones diferentes, se reúnen en la casa de uno de ellos y tenemosla siguiente información (1), Samuel no apellida Mamani (11) Quispetrabaja de contador. (l) El actor sellama Hugo (1V) Elprofesor no apellida Condori. (V) Unode los amigos es Carlos ¿Cuáles la ocupación y el apellido de Samuel? A) profesor — Quispe B) profesor — Mamani C) contador - Quispe D)actor — Quispe E) actor - Condori Resolución 1. Construimos el cuadro ampliado y colocamos los nombres, los apellidos y las ocupaciones. Mamani Quis; Condori Contador Actor [Profesor Samuel Hugo la Carlos 2. Dela información que se tiene: de (1) (11), (11) y (1V) se tendria el siguiente cuadro: Mamani [Quispe Condori Contador Actor Profesor Samuel X Hugo. Xx y. X Carlos Xx Comoseve, hay dificultad para poderllenar el cuadro y así obtenerla respuesta deseada. 3. Luego,si construimosel cuadro de la siguiente forma Mamani Quispe Condori Samuel Hugo Carlos Contador Actor Profesor Dondese ha cambiado de posición la de los nombres porla de las ocupaciones(profe- siones) respectivas. 4. Dela información que setiene en (11, (1) y (1V): Mamani Quisy Condori Samuel Hugo Carlos Contador XxX Xx Actor X Xx Y. Xx X Profesor X X Centro Preuniversitario UNMS» ——__u—_ De (1) sabemos que Samuel no apellida Mamani, luego se deduce que Samuel es conta- dor, luegola tabla se llena como consecuencia de los datos ya marcados,luego tenemos el cuadro: H CondoriXx Carlos.Xx Xx Y, Quispe SamuelMamani o Contador Actor X Y X Profesor Xx X X Por tanto, Samueles Contador y su apellido es Quispe. lu Xx X Y. Xx Clave: C Otra forma Secuencia: 1, 2, 3, 4. Se observa que Samueles contador y su apellido es Quispe NOMBRES APELLIDOS OCUPACIÓN Samuel Carlos Hugo Ejemplo 4 Katy, Omar y Marilú estudian en tres universidades A, B y C, Ellos estudian Ingeniería,Periodismo y Turismo. Katy no está en A. Omar no está en B. El que está en B estudia Periodismo. El que está en A no estudia Ingeniería. Omar no estudia Turismo, ¿Quéestudia Marilú y en que universidad? A) turismo - 8 B) turismo — A C)periodismo - C D) ingieneria —A E) periodismo - B Resolución Katy_| Marilú [ Omar [Ingen. [Period-] Turis. Xx X Xx X Como Omar no estudia Turismo, entonces puedeser que estudie Ingenieria o Periodis- mo. Pero al no estar en la universidad B, no estudia Periodismo; con lo cual se deduce queestudía Ingenieria. ——— APTITUD MATEMÁTICA AA E Z Kaly Marilú [Omar ][ingen- [Period Turis Xx E L Porlo tanio, Marilú estudia Turismoen la Universidad A. Clave: B 2.1.2, Deductivo Compuesto con Datos Implicitos Son aqueilos problemas uondeluegode llenar el cuadro de aoble entrada Lonlus alos en forma direcia no se puede concluir. Es entonces que se busca un dato 1» más adicio- nales implícitos en los anteriores. Ejemplo$ Se sabe que las profesiones de Judith, Elba, Rosa y Queta son prolesora, nubticionista, abogada yocontóloga, aunque no necesariamente en ese orden St |) Judith está casada conel hermano dela nutricionista. II) Elba yla odontóloga van trabajar en la movilidad de la nutricionista II) Rosa y la profesora son solteras e hijas úl M Elbe y Queta son amigas de la abogada,l nicas. la cual está de novia. ¿Quién es la abogaday quién esla odontóloga? A) Rosa — Judith B) Rosa - D) Elba- Queta E) Queta — Resolución Elba C) Judith — Queta Rosa LES Comala ahogada está de novia, entonces Judith que es casada nu +s abogada. De donde se deduce que es odontóloga. Protencin. usreioriaós .Aógnda *x x x y E xo X X Y x X x Porlo tanto, la abogada es Rosa la odontóloga Judith. Clave: A Centro Preuniversitario UNMS» — _á>—_ 2.1.3. Problemas Resueltos Problema 1 Enuna sala de conferencias se encuentra un ingeniero, un contador, un abogadoy unmédico. Los nombres aunque no necesariamente en el orden de las profesiones sonPedro, Daniel, Juan y Luis. Si se sabe que: l) - Pedro y el contadorno sellevan bien.1) Juan selleva muy bien con el médico II), Daniel es pariente del abogadoy éste es amigo de Luis.M Elingeniero es muy amigo de Luis y del médico ¿Quién es el abogado? A) Pedro B) Juan C) Daniel D) Juan ó Daniel — — E)Luis Resolución al ión] Ingeniero | Contador | Abogado | Médico ¡nombres Pedro Xx Daniel x Xx Juan x x Luis x Y x x ComoPedro y el contador Luis no se llevan bien, y el abogado es amigo de Luis, enton-ces se deduce que Pedro no es abogado. ofesión] homes: Ingeniero | Contador | Abogado | Médico Pedro Xx X Danlel Xx XA Juan dE *x Y *x Luis Xx Z Xx +. Juan es abogado. Clave: B| Problema 2 Las señoritas Rocio, Carmen, Juana y María,tienen los apellidos Alva, Barreto, Calvo yDelgado, aunqueno necesariamente en ese orden. Si se sabe que:- Rocio y Delgadofueron a la casa de Calvo que vive en Comas.* Carmen, Alva y Barreto son secretarias de la PRE y la primera siempre llega tardeporque vive en Ancón. - Alva, Calvo y María los vienes se van a jugarbingo. ¿Cuáles el nombre de la señorita Alva? A) Maria B) Juana C) Carmen D) Rocio o Maria E) Rocio APTITUD MATEMÁTICA Resolución apellidos] Alva Barreto Calvo Delgadonombres" Rocio Xx X Carmen Xx Xx Juana Xx Xx María E Xx Como Calvo vive en Comas y Carmen vive en Ancón, entonces se deduce que Carmen nose apallida Calvo. Gpalidos| Alva Barreto Calvo Delgadonombres Rocio Y Xx x x Carmen x x XA Y Juana x Xx Y x Maria E Y Xx Xx +. La señoritaAlvatiene por nombre Rocio. Clave: E Problema 3 Rosa, Carmen y Alicia son amigas. Una es soltera, otra es casada y otra es viuda (aun- que no necesariamente en ese orden). Se sabe que: -Alicia no es casada - La viuda y Rosa son colegas. Entonces: A) Rosa esviuda 8) Rosa essoltera C) Alicia es casada D) Alicia es viuda. E) Carmen es viuda Resolución doLS viuda | Como Alicia no es casada, a % 7 x entonces Alicia no es viuda, por 953 lo tanto, Alicia es soltera. Carmen x x Y Luego, Carmen esviuda. Alicia Y x Xx Clave: E Problema 4 Ana,Bertha, Carlos y Diana,tienen diferentes ocupaciones: periodista, médico,kinesiólogo y matemática viven en las ciudades M,Y, Z y W. Se sabe que: - Carlos no vive en Mni en Y. - Ana vive en W. - Diana es kinesióloga. - El periodista nunca a emigrado de Z. - El médicovive en M, ¿Qué profesión tiene Ana? A) abogada 8) médico C)periodista D)kinesióloga E) matemática Centro Preuniversitario UNMSM — Resolución period.| méd. | kines. | mat. [m | y | z | w Ana | Xx Xx X|v Bertha Xx Xx Xx Carlos x XxX] vYpx Diana | x | x | v% | x Xx] Comoel periodista nunca a emigrado de Z y Carlos vive en Z, entonces Carlos es el periodista, El médicovive en M, y como Ana vive en W, entonces Ana no es médico. eriod.| méd. | kines. | mat. | m | Y | z [w Ana x Xx Xx Y |XIx|X|v Bertha] Xx Y x X |Y“[Xx|x]|x cart Y PX Lx [xxx ix Dianal X | x | Y | x |Xx[v[|xix Luego,Anatienela profesión de matemática. Clave: E 2.2. NUMERACIÓN Lossistemas de numeración son conjuntos de simbolos convencionales quesirven para Fepresentar (en forma correcta) y operar con los números. 2.2.1. Reglas 1. Se elige un número entero mayor que uno (x >1) como base del sistema de numeración. 2. Se usan los simbolos: O, 1, 2, ...; (x- 1) conocidos como cifras, dígitos o guarismos, hasta una unidadanterior a la base 3, Todo número puede ser obtenido por combinación de las cifras anteriores con potencias del número que representa la base delsistema de numeración de la siguiente manera: pea ataraa (1) Abreviadamente se escribe: 3, a, 3 222) ++ (2) escritura que recibe el nombre de numeral, donde: X-> base del sistema de numeración. Bd) 1 0.8, > cifras, 1,2, ....k > orden que ocupa cada cifra. 2 > APTITUD MATEMÁTICA Por ejemplo: Hallar la escritura de las siguiente expresiones Es3 0+4.6+5.0+2,6'+ 1 0+3 F=70+6,7:+1 Resolución Para la primera expresión: E = 345 213, donde se escriben sólo los coeficientes y la base es el número que se repite. Para la segunda expresión: Debemos completar las potencias que faltan con el coefi- ciente cero, F=7*+0.7+6.7+0,7+1 = 10.601), Observación - El sistema de numeración comúnesel sistema de numeración decimal (base 10). - Convencionalmentela base 10 no se escribe. Veamos un cuadro de diferentessistemas de numeración las cifras que pueden usarse. Base Nombre delSistema Cifras 2 Sistema de Numeración Binario 0,1 3 Sistema de Numeración Temario 0,1,2 4 __| Sistema de Numeración Cuaternario | 0, 1,2,3 10 Sistema de Numeración Decimal 0,1,2,3,.. 12 Sistema de Numeración Duodecimal 9,1,2,...,9, 10, 11 x__ Sistema de Numeración en BaseX 0,1,2,....(X-1) [Se denomina cifra no significativa al O Cifra significativa: 1,2, 2, 3,.....(x-1) Ademáspara cifras mayores que 9 a=10, P=11,y=12,5=13, e=14, 4=15, etc. twitter.com/calapenshko Centro Preuniversitario UNMSM: Siel valor es mayor, éste se encierra entre paréntesis, por ejemplo: cifra cuarenta = (40) cifra cincuenta y dos = (52) 2.2.2. Descomposición Polinómica La descomposición polinómica, no es sino el proceso contrario, es decir, de un numeral se puedeobtenerla combinación de lascifras por las potenciasde la base. Porejemplo: 54 06% 16% 36'+ 46* LE asuierecha hay O cifras a su derecha hay 1 cifra a su derecha hay 2 cifras a su derecha hay 3 cifras asu derecha hay 4 cifras Descomposición Polinómica en Bloques. Veamoslos siguientes casos que nos permitirán entendereste concepto. A) Primer caso: Cuando las cifras se repiten periódicamente. Por ejemplo: Si se tiene el numeral N = ababab(x) y vemos quese repite el periodo 35, se tiene: N = 2b0000(x) + abO0(x) + 2D(a) N= aba)(10000/4)) + aba) (100/49)+ 2B() N = 2b(x) (10000(,) + 100(y) + 1) N = aba) (10101(,))pita (a) Nota: Regla práctica para calcular (a) N=ababab yiiddd 010101pasos á APTITUDMATEMÁTICA Por ejemplo: Sea N=225022502250,, 225022502250 iisilJrilids N = 2250, 100010001, 000100010001 (se lee de derecha a izquierda) B) Segundocaso: Cuandolascifras no se repiten en formaperiódica. Cada bloque que se forma se considera comosi fuese una cifra y se aplica el criterio general. Veamos algunas formas de descomponer un numeral de 4 cifras N=medu=m.10%+ ¿du, 3cifras N=mcdu=m.103 +2d.101+ y 15Ía N=abed=3b.10?+ cd 2 dias E=abod=abc.10'+ u 1 día Por ejemplo: 25623 =25. 10? +623 73486 =734.. 10*+86 73486 =7348 ,10+6 Ejemplo 1 Jaimito dijo el día de ayer: “mi año de nacimiento es un número impar representado por 1935 y enel año 19 (a + 1) (b + 2) cumplía. b años. ¿Cuántos años tiene en el año 19 (a + b)(a + b) A)45 B) 35 Cc) 54 D) 34 E) 43 Resolución Edad = Año actual - Año nacimiento Barib:2-Bd-PbPÍ= Centro Preuniversitario UNMS» ——_—-___ Del año T8ab= impar > b es impar => b=3 >2=4 Entonces enel año TSTa+b)(8+b) = 1977 edad Jaimito = 1977 - 1943 = 34 años Clave: D 2.2.3. Observación Importante 1. Si bc Da<xib<x;o<x;O<a 2. Si 20) = MPa, >2a=m, b=n,c=p 3. Si abc(y = my > x<y “A mayornumeral menor base". 4, Representación en sistema decimal Si N tiene dos cifras => 10 SN < 10? Si N tiene tres cifras > 10% s N < 10% Si N tienek cifras: => 10%1s N < 10% Por ejemplo: 10* <20480<10* 5. Representación en base “x” N,= N en base x Si N, tiene dos cifras =x <N,<x? Si N,tiene tres cifras > 2 SN <x% SIN, tiene k cifras => xl SN <oxl Por ejemplo: 5% s 1234(5 < 5% [—_APTITUDMATEMÁTICA Ejemplo 2 Calquiar el valor de (m+n +p-a=x). si 2a8(6)= MNP4y)- A B)2 C)-7 D)-6 EJO Resolución A mayor numeral menor base. =>x<6 y x>4 =>x=5 Del numeral se tiene: aaa(e) = 2.111, =2(8? + 6 + 1) =43a Enlaigualdad 43a= MAPá(5) 43a= m5 +n.5' +p.5 +4 5 4a=5+4 y a<6 129=43(3)= 5 +4 Luego convirtiendoa base 5: = 393) = 1004, =m n=0 ,p=0 =men +p-a-x=1-3-5=-7 Clave: € Ejemplo 3 ¿En cuántos sistemas de numeración 3344 se denota contres cifras? A)43 8)41 0)42 D) 45 E) 44 Resolución Sea N, = 3394 como N, tiene tres cifras > 2 SN, <x% > six 5 3344 » 3344 <x2 15574 A x>14,7 > 147<x 5574 2 x=15,16,17,...,57 e Hi de sistemas = Clave: A Centro Preuniversitario. UNMS» — —_—A>=>———_ 2.2.4. Problemas Resueltos Problema 1 Hallarrepresentación decimal del numeral; (2 - 2) a (3 + 4), * AJOS B) 85 0)75 D) 80 E) 20 Resolución Se tiene que: y sl <8 Primerdígito Mayordigito mayor que menor que la cero base > a>2 y a<4 »a=3 luego: (a- 2) a (a+ 4)a =1374 =1x 87 +3x8+7 =64+24+7=95 Clave: A Problema 2 ¿En quésistema de numeración 481 se representa como abab ? Dar como respuesta (a + b) másla basedelsistema desconocido. Ay B)9 0) 15 D) 13 E) 14 Resolución Sea x= La base desconocida Tenemosque: 481=abab,, 481=101,,2D 37.13=(x +1Xax+b) x+1=372x=363x=6 >ax+b=13>6a+b=13 pa 21 17X >a+b+x=2+1+6=9 Clave: B APTITUD MATEMÁTICA Problema 3 ¿Cuántos numerales de tres cifras del sistema decimal se expresan en base 11 con tres cifras iguales? AA 8)5 0)6 D)7 EJ9 Resolución Para un númeral detres cifras en el sistema decimal se cumple 111 < abc <1000 ...(1) Por dato: 2bC=>0%19 =X:114,y abc = 133x Reemplazando en 1: 100 < 133x < 1000 0,74 < x<74 => x=1,2,3,4,5,6,7 = | Sonsiete numerales. Clave: D Problema 4 ¿En qué sistema de numeración existen 1485 números naturales que se representan bajo la forma a (a + b)b? AJbase52 B)base54 C)base55 D)baseG4 Ejbasec5 Resolución 28 + D) Bin, n = base buscada > a>0, O<a+b<n Dando valores tenemos: a=1=> b=0,1,2,...(n-2) => (n-1)valores a=2> b=0,1,2,...(n-3) = (n-2)valores a=3> b=0,1,2,...(n-4) = (n-3)valores > 2 valores > valor Cantidad total de números: (-9n 1+2+3+ ...+ > (n-1)=1485 > = 1485 = n*-n=2970 => ni-n-2970=0 > (n- 55) (n+54)=0 > n=55 Clave: C Centro Preuniversitario UNMSM 2.3. SISTEMA DE ECUACIONESLINEALES CON DOS VARIABLES 2.3.1.Definición Esun conjunto de dos ecuaciones lineales, cada una con dos incógnitas(x, y): ax+by=c Sa) E Donde a,b.c.d.e y f son númerosreales dados. Una solución delsistema (1) es un par de números, denotado por(x,y,), que satisfaceel sistema (1). Para que el sistema (1) tenga solución única debe cumplir que 1.t - 4.4 20. Para determinarla solución se puede emplear cualquiera de los métodos yaconocidos:adición,sustracción, sustitución, igualación, etc. Ejemplo 1 El precio de seis metrosde tela casimir es el mismo precio de 15 m de tela de lanilla. Si el precio de 10 m detela de lanilla es S/. 60, ¿cuánto cuesta el metro de casimir? A) S/. 14 B) S/. 15,5 C)S/. 13,5 D) S/. 15 E)S/. 13 Resolución Costo de cada metro de tela casimir: x Costo de cada metro de tela de lanilla: y Delproblema se tiene 5 MY DEN(1) 10y=60 => y=S/.6 5 En (1): x=>5(6)=15 Clave: D Ejemplo 2 Nelson lanzó “m" veces un dado. El máximo puntaje total que pudo haber obtenido es120, pero obtuvo 66 y sólo sacó puntaje par, Si 3 veces obtuvo el puntaje 6. ¿Cuántas veces obtuvo el puntaje 2? AJ10 B)6 Cc)4 D) 15 812 Resolución m: 44 delanzamientos . . ind de veces quesalió 4 . prat de veces quesalió 2 P- veces >APTITUD MATEMÁTICA Delproblema se tiene que: Puntaje máximo = 6 m=120 = m=20 n+p+3=20 > n+p=17 =n=17-p Ademásse sabe que: 3(8)+4n+2p=66=> 4n+2p=48=20+p=24 -..(2) (Den(2) : 217-p)+p=24 34-2p+p=24> p=10 Clave: A 2.3.2. Problemas Resueltos Problema 1 Unganadero estaba indeciso entre comprar 72 ovejas o por el mismo precio 9 vacas y 9 loros, entonces con el mismo dinero decide comprar el mismo número de animales de cada clase. ¿Cuántos animales compró? A)30 B)27 0)24 D)21 E)18 Resolución D' dinero quetiene 9 +9T 8: precio de cada oveja V: precio de cada vaca 2) D=x0+xV+xT T: precio de cadatoro De(1)y(2):720=x0+x(V+T)=x0+8x0 3) 720=(9x)0 x=8 3x=24 Clave: € Problema 2 La sumadelascifras de un número de dos digitos es 12. Si el orden de los digitos se invierte, el númeroresultante excedeal número original en 36, Hallar el númerooriginal. A)75 B)57 Cc) 48 D) 56 E)42 Resolución N= 36 atb=12= a=12-b... (1) ba - db =36 > 10b+a-102-b=36 00 -9a=36 Centro Preuniversitario. UNMS» —__—>z_———_J Simplificando: b-a54..... (2) (1) en (2): b-(12-b)=4 >2b=16>b=8 En(1) a=4 = N=48 Clave; B Problema 3 Se divide un mismo número entre 2 números consecutivos, obteniéndose en ambos casos45 de cociente. Silos 2 residuos suman73, unode ellos es A)12 B)14 Cc) 24 D) 28 E)45 Resolución Del problema setiene que: Además: N= q(4S) +r,=(q+1)45+r, r, +rRETS... (2) 45q+r,= 45q+45+r, De (1) y (2) se tiene que: 2r, =118 1,0595... (1) ar, =59 Luego 1, =14 Clave: B. Problema4 Cuando compro cuadernos, por cada decena me regalan dos, y cuando vendo, por cada docena regalo uno, ¿Cuántos cuadernos debo comprar para vender 432 de los mismos, si no me quedo con ninguno? A)780 B) 360 C) 390 D) 420 E)720 Resolución if decenas: x * docenas: y Compro Regalo Recibo 10% 2 12 Vendo Regalo Entrego 12 y 13y Recibo = Entrego x= 1 (1) vendo =12y=432 = y=36 En (1): 12x= 13(36) => x=39 compro: 10x = 390 Claw —— APTITUD MATEMÁTICA 2.4. ÁNGULOS FORMADOS POR LÍNEAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO 2.4.1. Propiedades Básicas a) Ángulo formadopordos bisectrices interiores En todotriángulo la mayor medida del ángulo formado porlas bisectrices de dos ángulosinterioreses igual a 90* más la mitad dela medidadeltercer ángulo interior. x= 90*-> b) Ángulo formadopordosbisectrices exteriores En todo triángulo la menor medida del ángulo formado por las bisectrices de dos ángulos exteriores es igual a 90* menosla mitad de la medida del tercer ángulo interior. x=00-2 2 c) Ánguloformadopor una bisectriz interior y otra bisectriz exterior En todo triángulo la menor medida del ángulo formado porla bisectriz de un ángulo interior y la bisectriz de un ángulo exterior es igual a la mitad de la medida deltercer ángulo interior. " n i o Centro Preuniversitario UNMSM a) Ángulo formado por una altura y unabisectriz Entodo triángulo la menor medida del ángulo formado por una altura y unabisectriz interior queparten de un mismovértice, es igual a la semidiferencia de las medidas de los otros dos ángulosinteriores. Si BH es altura del triángulo ABC y BD es bisectriz del ángulo ABC 8) Ángulo formadopor una altura y una mediana Entodotriángulo rectángulo la menor medida del ángulo formadoporuna altura y una mediana queparten delvértice del ángulo recto esiguala la diferencia de las medidas de los ángulos agudos. isc M Si BH es altura deltriángulo ABC E y M espunto medio de AC Ejemplo1 Enla figura adjunta, calcular m PRM. A)126* B)133* C)123* D)124* E) 125*Resolución= + MÍÁNP=00*- 2 = 68(propiedad b) seSn «mPRM=90 +=3 5128(propiedad a) 4 » Clave: € APTITUD MATEMÁTICA Ejemplo 2 En!la figura adjunta, BM es mediana del triángulo ABC.Calcularel valor de x. A)30* B)22*30" B C) 40*30" D) 32* > E) 25" Resolución A H D * Enel ABC: x= 50 - 3u => x= 2a * Enel 4 ABC: Sa + 30 = 90” > 2a = 22*30" => x= 22*30" Clave: B 2.4.2.Problemas Resueltos Problema 1 Enla figura adjunta, AB = BC = BD,calcularel valor de x. Ay12* B) 10" B D 5 c)6* D)9" 7 ene > e o AAResolución e + 4 ABD esisósceles + Enel 4 ADC: x «m2 (propiedad c) =m4D=2x + 4 BCD esisósceles = M4BCD= 2xta «Por ángulo externo en el A ABE y ela CDE: a+40'=a+4x=x=10* Clave: B Centro Preuniversitario UNMSM Problema 2 Ena figura mostrada,calcularel valor de (x - y). AJ15* B)16* Cc)17" D) 18* E) 14 Resolución 740 q53"propiedad b) * 0+P=90%> y =90*-x =37% *Enel A ABC: Xx =90* >x-y =16* Clave; B Problema 3 En|la figura adjunta, calcularel valor de x.. 8 DoA)40* B) 30* Cc) 20" D)15* Resolución AsLea E ce D F + Prolongamos BD y EF|hasta que se cortan en P 2x *Enel AABE: m £ DPF = Ze + ADFP: dx +4x+x=180%> x= 20" Clave: C 25. APTITUD MATEMÁTICA Problema 4 Enla figura mostrada, calcularel valor de (a + $ +0). A) 180* B) 360" c)270* D) 120* E) 90* Resolución “Enelá ABD: 0= 2 =0=y *Enela EBC: popa + Enel a sombreado x+ a +y= 180* > 0tr0+p=180* Clave: A PROBLEMAS PROPUESTOS Problema 1. Detres amigos, se sabe que: Juan no estudia en la Universidad Católica. David no está en la Universidad de San Mar- cos, el que está en la Universidad Católica no estudia Ingeniería Industrial, el que está en la Universidad de San Marcosestudia Ingenieria Mecánica. David no estudia Economia. Sila otra Universidad es la Técnica del Callao, ¿qué estudia Tomásy dónde? A) Economiaen la U. San Marcos. B) Economíaenla U.Técnica delCallao. C) Economía enla U. Católica. D)Ing. Mecánica enla U. Católica. E) Ing. Mecánica en la U. de San Marcos. Problema2. Cinco amigas buscarán trabajo, pero deciden hacerlo en cinco distritos diferentes: La Molina, SanIsidro, Pueblo Libre, Lima y Miraflores, Si se sabe que Elsairá a la Molina. Lassuegras de Carmen y Mirian viven en San Isidro, por lo cual deciden noir a este distrto - Mirian vive en Pueblo Libre. = Mónica vive en Lima y es la única que ha decidido buscar trabajo en el mismodistrito donde vive, -- ANancy le esindiferente el distrito donde trabajará. Centro Preuniversitario UNMS», —__u—=————_ Podemosafirmar: A) Mirian buscará trabajo en Pueblo Libre. B) Nancy buscará trabajo en Pueblo Libre. C) No es cierto que Carmen buscará trabajo en Pueblo Libre D) Nancybuscará trabajo en Lima. E) No es cierto que Nancy buscará trabajo en Miraflores. Problema 3. Alberto, Pedro, Jonathan y Jorge postularána las universidades UNI, U. deLima, U. de San Marcos y U. Vilarreal, ellos estudiarán matemática, arquitectura,ingenie-ría y periodismo Se sabe que: - Alberto no deseaVillarrealnila de Lima. - El que deseaestudiar en la UNI estudiará arquitectura. - El que postula a San Marcos no estudia ingenieria y aqui tiene auge el periodismo- Jonathan prefiere matemática que periodismo. - El que pretendela de Lima quiere ingenieria. - APedrole agrada arquitectura. ¿Quéy dónde estudiará Jorge? A)IngenieriaUNI B) Arquitectura — S. Marcos C) Matemática —U.de Lima D) Ingenieria —U, de Lima E) Periodismo = S. Marcos Problema 4. A, B,C y D practican los siguientes deportes: natación, atletismo,fútbolytenis, y viven en los distritos de Los Olivos, Breña, San Borja y Miraflores. Se sabe que: - Cno vive en los Olivosnien Breña - Elalleta vive en los Olivos - Aviveen Miraflores. - Desfutbolista. - Elnadador nunca a emigrado de San Borja. ¿Qué deporte práctica A? A)natación — B)atletismo C)futbol D) básquet E) tenis Problema5. A unafiesta asistieron 4 parejas que sólo bailaron entre ellos y al mismo tiempo,un rosk, un bolero,unasalsa y un vals. Al salir ellas comentaron: Natty: Disfrulé másbailando bolero con Raúl, que rock con Paul Patty : Mientras bailaba bolero con Dany, él me besó. Katty : Cuandobailaba salsa con Tony, nos tropezamos. Betty : Nunca más volveréa bailar salsa con Raúl. ¿Quiénes baiiaron vals con Katty y Bettyrespectivamente? A) Dany - Raúl 8) Paúl - Dany C) Paul - Raúl D) Dany - Paul E) Tony - Paul -—— APTITUD MATEMÁTICA Problema6. Calcularel valor de: (a+ b-+m+n), si: AS8im=DDSA(a y 202m) =Bb57(9 AJ21 B)22 C)23 D) 24 E)25 Problema7. ¿A quésistema corresponde 2244, si su equivalente en el sistema heptal es 114157 A)octal B) nonal C) décuplo D) undecimal E) duodecimal Problema 8. Se reparte S/. 616 entre cierto número de personas, correspondiéndoles respec: vamente a cada una de ellas: abs), abys) abi»)... abizo, Soles. Calcular el valor de (a+b). AJ3 B)5 C)4 D)J6 E)7 Problema9. El número de páginas que tiene un libro está comprendido entre 300 y 600. Se sabe que: ÍNDICE = a hojas, INTRODUCCIÓN= c hojas, TEORÍA = a0c hojas, PROBLEMAS = ab” hojas y TOTAL = abc] hojas. ¿Cuántas hojastiene el libro? A) 235 B) 255 C) 165 D) 265 E) 285 Problema10. Endossistemas de numeración de bases consecutivas, hay en una 520 numerales de tres cifras más que enel otro. Calcular la menordedichas bases. A) base 11 B) base 13 C) base 9 D) base 15 E) base 14 Problema11.En dossalones hay igual número de personas,por cada cinco personas quesalen delprimero, del segundosalón salen 3 paraentrar al primero y uno más se retira a su casa. Cuando hay 50 personasenel primero, en el segundo hay 20. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada salón? A) 100 B)90 C)85 D)8o E)75 Problema12. Sial doble del dinero de Gabyse le agrega eltriple del dinero de Sandra, resulta S/. 8 y si al séxtuple del dinero de Gabyse le resta el cuádruple del dinero de Sandra, resulta S/.11. ¿Cuánto dinerotienen entre ambas? A) S/, 1 B) S/. 3,5 C) S/. 2,5 D) Sy. 2 E) S/. 1,5 Problema13, En las aulas P. Q y R de un colegio se tiene que las aulas P y Q juntas tienen 85 alumnos; y las aulas Q y R juntastienen 75 alumnos;y las aulas P y R juntas tienen 80 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene el aula Q? A)35 B) 40 0)45 D) 50 E) 48 Centro Preuniversitario UNMS» —_<>—áw—2—2—%—02—2—24%4%420> Problema14. En unahacienda hayvacas, caballos y cerdos, Sin contar las vacas hay 24 animales; sin contar los caballos 36 animales; sin contar los cerdos 28 animales. ¿Cuáles el número de caballos en dicha hacienda? A)10 B)18 c)12 D)8 E)16 Problema 15. Gustavo tiene en total mn aves entre pollos, patos y pavos; todos sonpatos menos8 m; todos son pavos menos12 n y todos son pollos menos 6 m. ¿Cuántos pollos tiene Gustavo? A) 13 B)17 0)23 D) 24 E)18 Problema16. Enla figura adjunta, PM = MR.Calcularelvalor de *x”. A) 120" B) 130* C) 100" D) t10* E) 105* Problema 17. En la figura adjunta, a + $ +8+y= 150", Calcular *x" A) 100* B) 105" C) t10* D) 115* E) 120" Problema 18. En el gráfico mostrado, calcular el valor de *X'. A)70* B) 85* Cc) 120* D) 9s* E) 130* APTITUD MATEMÁTICA Problema 19. En la figura adjunta, calcularel valor de *x”. A) 40" B) 20* C) 10* D) 36* E) 18* A) 60* B) 40* C) 50" D) 70* E) 30* CLAVES 16 5.D 9.A 13.8 17.8 2E 6.E 10.8 14.D 18.E 3.D 7.D 1.D 15,0 +9.D 4E 8.C 12.8 16.A 20.4 twitter.com/calapenshko 34. EXEN CAPÍTULO Ill Verdades y Mentiras. Criptoaritmética. InecuacionesLineales con una Incógnita. Congruencia de Triángulos. VERDADES Y MENTIRAS Eltemade verdades y mentiras es una parte importante de la lógica matemática que permite descifrar acertjos sobre veracesy mentirosos, es deci,identificar a los personajes hipotéticos que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de lerceros. El temaencarna la idea esencial del famoso enunciado de Kurt Gódel (el lamado Segundo Teorema de Incompletituc) que afirmaque todo sistema matemático consistente con suficiente poderpara realizarlo que se conoce como arilmética elementaldebe padecerla sorprendente limitación de no poder nunca demostrar su propia consistencia Para identificar a los personajes hipotéticos utilizaremoslos razonamientos por casos, reduccón al absurdo, por analogíay otros. Estos razonamientos nos permitirá descartar un cierto número deposibilidades inconsistentesy tener sólo una posibiliciad consistente. Veraces y Mentirosos Concepto.Los veraces o caballeros son los personajes que siempre formulan o dicen enunciados verdaderos. Los mentirosos o bribones son los personajes que siempre formulan enunciados falsos. Cada personaje que participan en las acciones de los problemas o es un veras o unmentiroso, en algunos casos podrán ser veraces o mentirosos hasta un número limitado de afirmaciones. Ejemplo1 Supongamos que los casados siempre mienten y los solteros siempre dicen la verdad Félix dce: “Luis y yo somos solteros”, y Luis dice: "Félix es casado”. Si sólo unode ellos miente, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? l) Félixdijo la verdad 1) Félices casado y Luis es soltero, 111) Félixessoltero y Luis es casado. 14) Luis dijo la verdad. V) Félix es soltero y Luis miente. AJiy in B)Il y Iv C)l y V D) III y IV E) Ill y V pr Centro Preuniversitario UNMSS —_—z— Resolución Supongamos que Félix dijo la verdad, entonces Luis miente. Asi tenemos: Según Félix: Luis es soltero. Luis miente; Luis es casado. Este resultado es un absurdo, así esta posibilidad queda descartada. Luego tenemosla Única posibilidad consistente: Félix: miente y es casado. Luis: dice la verdad y es soltero. Clave: B| Ejemplo2 Supongamosque ofrezco a Lewis dos premios: Premio 1 y Premio 2, Tiene que formulartn enunciado.Sisel enunciado es verdadero, entonces debo darte uno de los dos premios(sin decir cuál de los dos). Si su enunciado es falso, entonces no gana ningún premio.SiLewis desea el Premio 1, ¿cuál de los siguientes enunciados podría formular para quelegarantice que ganará el Premio 17 1), Usted medará el Premio 2. 11) Usted no medará el Premio 1.111) Usted no medará el Premio 2. IV) Usted me dará el Premio 1.V) Usted me dará uno de los premios. Ay B)IV o! D)V En Resolución Supongamos que fórmula el enunciado (1). Si este enunciado es verdadero, tendría elPremio 2 y no tendria el Premio 1; sieel enunciado es falso, no tendría ningún premio. Esteenunciado no podría escoger. Supongamosqueformula el enunciado (11). Siéste es verdadero, tendria el Premio 2 ynoel Premio 1; si el enunciado esfalso, tendría el Premio 1 y no tendría ningún premio, es unabsurdo. Luego con este enunciado tendría siempre el Premio 2. Supongamosque formula el enunciado(II). Si el enunciado es: verdadero,tendria el Premio1; siel enunciado esfalso,tendría el Premio 2 y no tendría ningún premio,es un absurdo.Luegoconeste enunciado tendria siempre el Premio 1. Razonandoda forma análoga que para los enunciados (1y (11), descartamosla formulación delos enunciados (IV) y (V). Así, Lewis,si deseael Premio 1, tendrá queformular el enunciado(III). Clave: E APTITUD MATEMÁTICA 3.1.2.Problemas Resueltos Problema 1 Amelia llegó a la isla de los Caballeros y los Bribones a entrevistar solamente a los matrimonios. Los caballeros siempre formulan enunciados verdaderos,los bribones siempre formulan enunciados falsos, y cada habitante es un caballero o un bribón. Amelia llamó a una puerta, el marido le abrió a medias y sucedió elsiguiente diálogo: + Marido: "¿Qué desea?” + Amelia: “Hago un censo, y necesito información sobre usted y su esposa ¿Cuál, si alguno lo es, es un caballero,y cuál, si alguno lo es, es un bribón?" + Marido: “¡Ambos somos bribones!" ¿De qué clase es el marido y de quéclasees la mujer? A) Esposoes un caballero y esposa es una bribona B) Esposoes un bribón y esposa es un caballero CC) Ambosson bribones. D) Ambos son caballeros. E) No se puede determinar. Resolución Supongamosque el marido es un caballero, entonces su afirmación es verdadera,su mujer y él son bribones. Es decir, que el marido es caballero y bribón a la vez, esto es un absurdo. Descartada esta posibilidad. De lo anterior, el marido es un bribón. Así su afirmación es falsa, y su mujer es caballero. Si su mujer no fuese caballero, ambos serían bribonesy su enunciado sería verdadero, esto sería un absurdo. Porlo tanto: Esposo: bribón, Esposa: caballero. Clave: B Problema 2 En una cierta isla, los creyentesdel dios "Poder" siempre mienten y los no creyentes siempre dicen la verdad. Un extranjero llegó a la isla y se encuentra con cinco nativos del lugar, pregunta al primero deellos si es creyente del dios "Poder". Este responde a la pregunta; el segundo,eltercero el cuarto informan queel primero negó ser creyente; pero el quinto informa queel primero es realmente creyente. ¿Cuántos de los cinco nativos son creyentes del dios “Poder”? AJ1 B)3 C)5 D)4 E)2 Resolución Supongamos queel primero es creyente del dios "Poder". Entonces sus afirmaciones fueron: bo 70 Centro Preuniversitario UNMSM. 1%. nativo z no soy creyente(falso), 3", 4*.mativo —: primeronegósercreyente (verdadero), 5. nativo : pfimero es realmente creyente (verdadero). Deaqui, se tiene un creyente y cuatro nocreyentes. Supongamosqueel primero es no creyente del dios “Poder”. Entonces sus afirmaciones fueron: 1%nativo : nosoycreyente (verdadero), 2, 3%, 4%. nativo: primeronegó sercreyente (verdadero), 5* natwo primero es realmente creyente (falso) De aqui, se obtiene un creyente y cuatro no creyentes De ambos casos, siempre se tiene con respecto a los cinco nativosde lz eta Creyentes $ * Nocreyentes Clave: A Problema 3 En un concurso de Lógico Mátemiático se presentan cinco alumnos: Sofía, Rosa, Raúl,Carlos y Tania, los cuales responden verdadero (V) o falso (F) a una prueba de cinco preguntas, obteniéndoselos siguientes resultados: bomaiumos] Soria | Rosa ] mau | caros | Tania t v F F v F a F F F V v 3 V v F F v 4 F v v F v 5. v F ” v F Si uno deellos contestó todas correctamente, otro falló en todas y los otros tresfallaron respectivamente, en uno,en dosy en tres preguntas,¿quiénes ocuparonlos dosúltimos lugares? A) Sofía y Rosa B) Rosay Raúl C) Raúl y Tania D) Raúl y Carlos E) Sofía y Carlos Resolución Observando el cuadro de resultados,las respuestas de Rosa y Carlos son opuestas.Esto significa que unode ellos contestó todas correctamente y el otro falló en todas. Observando las respuestas de Rosa y Tania, no coinciden solamente en la segundapregunta, De aqui, deducimos que Rosa contestó correctamente todaslas preguntas yTania se equivocó solamente en una pregunta. Asisetiene Rosa i 1". lugar, Tania: 2% lugar, Carlos 5*, lugar. —————- APTITUD MATEMÁTICA Ahora comparando las respuestas correctas de Rosa conlas respuestas de Sofía y de Raúl deducimos: Sofía: 4*.lugar, Raúl 3% lugar. Asi, Sofía y Carlos ocuparon los dos últimoslugares. Clave: E Problema 4 Un juez estaba convencido que cuatro de los cinco sospechosos: Raúl, Martín, Javier, Manuel o Frank eran los asesinos de "Lolita". Cada sospechosohizo unaafirmaciós +Raúl : “Yonolamaté”. «Martín: *Raúl miente”. «Javier "Martin miente”. «Manuel : "Martiniamató”. «Frank “Manueldice la verdad”. Si solamente una de las afirmacioneses cierta, ¿quién no es el asesino? A) Raúl B) Frank C) Martin D) Manuel E) Javier Resolución Las afirmaciones dadas por los cinco sospechosos son equivalentes a decir m + Raúl 5 Nola maté. «Martin: Raúl la mató. sJavier Raúl no la mató. « Manuel Martin la mató. «Frank: Martín la mató. Supongamosquela afirmación de Raúl es verdadera, entonceslas de los demás son falsas. De la falsedaddela afirmación de Javier se deduce que Raúlia matóy esto es un absurdo conlaafirmación verdadera de Raúl. Así, esta posibilidad queda descartada. Supongamosque la afirmación de Martin es verdadera, entonces las de los demás son falsas. De estas falsedades deducimos: + SegúnRaúl —: Raúllamató + Según Martin —: Raúllamató + Según Javier: Raúllamató + Según Manuel: Martínnolamató + Según Frank : Martinnolamató De aqui,se tiene que Martín noes el asesino de “Lolita” y los otros cuatro sonlos asesinos. Siguiendo el razonamiento, en forma análogarealizado para Raúl, se descarta la veracidad de las afirmaciones de Javier, Manuely Frank, Clave: € 7 Centro Preuniversitario UNMSS —>”——__ 3,2. CRIPTOARITMÉTICA La criptoaritmética no es más que un juego. No se sabe en que época se creó, pero los aficionadosa las variedades comenzarona interesarse porellas en el primer congresointernacional de recreación matemática que se reunió en Bruselas en 1935. 3.2.1. Concepto de Criptoaritmética Es el proceso de encontrarelvalor de las cifras que están representadas porletras o porotros simbolos; los cuales intervienen en la formación de números, en las operacionesaritméticas y otros, teniendo en cuenta las propiedades de las mismas. 3.2.2. Caracteristicas a) A cada letra le corresponde unay solamente una cifra o viceversa.b) Aletras iguales le corresponden cifras iguales <) Silas cantidades vienen expresadas por otros simbolos que no sonletras, cada simbolo no equivale necesariamentea cifras diferentes. Observación. La letra "O" no representa necesariamente el cero, salvo indicación explicita, 3.23. Tipos 3.2.3.1. Criptoaritmética con Letras A) En la formación de números Sonexpresiones simples equivalentes a una cantidad determinada. El valor de cadaletra se halla igualando al número representado por su valor posicional. Ejemplo1 Si CEPUSM= 241896,calcular PEPE. A) 2828 B) 1414 C) 2626 D) 1515 E) 1717 Resolución CEPUSM = 241896 P=1 M=6 > PEPE=1414 >APTITUD MATEMÁTICA Ejemplo 2 SiTGNORANTES = 8531493206 Calcular: NO + TENER+GENTO A) 61756 8) 56 816 C) 61 526 D)70516 E)70716 Resolución IGNORANTES = 8531493206 Serealiza la equivalencia de valores: I 6 N 8 5 3 R A Se reemplazan dichosvalores y se obtiene: E. paNO+TENER+GENTO 1+20304+50381= 70716 Clave: E B)Enlas operacionesaritméticas Sepresentan como suma,resta, multiplicación, división, etc., o como una operación combinada. Método de Solución Cadauno de los problemasse analizan y resuelven en formaparticular ya que no existe un método definido. Ejemplo 3 Calcular P + R +E,si se cumple: PREF 2+4+6+...+42. AJí B) 14 0)12 D) 23 E) 18 Resolución Luego de efectuar la operación: 2+4+6+...+42=2(1+2+...+21) 21x 22 7 JF21x22=462 Centro Preuniversitario. UNMS» ——_—A>—————— Se tiene: PRE = 462 ! 11] SP+R+E=4+642=12 Clave: €Ejemplo4 Hallar el valor de "B"en: ABE + 33A = 800 AJ3 B)5 0)4 D)6 E)7 Resolución ABB+ Se expresa la suma en forma vertical: — 337. 800 De las unidades: Delas decenas: B+A=10 B+3+1=10 =>B=6>3A=4 466 + 74 Comprobación: 334 800 Clave: DEjemplo 5 Si: PRE x M = 3496 PRE x S = 2185 Hallar: PRE x SM A) 25 864 B) 36 545 0) 25346 D) 28 356 E) 65.467 Resolución Escribiendoverticalmente: Reemplazando: PREx PRE x SM SM PRExM 3496PRExS 2185 ABCDE 25346 Nota: PRE=437; 5M=58 Clave: € [AAPTITUD MATEMÁTICA 3.2.3.2. Criptoaritmética con otros Simbolos Ejemplo 6 Si se tiene la siguiente multiplicación, hallar la suma de las cifras que faltan (todos los asteriscosrepresentan a cifras diferentes). 5, 39 140 A)24 8) 36 C)27 D)28 E) 32 Resolución A cadafila de la multiplicación se le asigna con unaletra. 5x—e(A) 8) 39140 —»(0) La primera cifra del resultado (C) es "0" Pero ¿de dónde sale este "0"? Es elresultado de multiplicarla cifra (*) de (8) por la primera cifra de (A), es decir, (*) (5) que acaba en *0”,lo cual nos indica que: os (06-20 Entonces, necesariamente (*) = 4 para no caeren contradicción con el enunciado. Ahora porsimple inspección se calcula
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