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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación: Artículo 1.- Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) deben comportarse fraternalmente los unos con los otros. Artículo 2.- Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de cuya jurisdicción dependa una persona (...). Artículo 3.- Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su persona. Artículo 4.- Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de esclavos están prohibidas en todas sus formas. Artículo 5.- Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. Artículo 6.- Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su personalidad jurídica. Artículo 7.- Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación que infrinja esta Declaración (...). Artículo 8.- Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos fundamentales (...). Artículo 9.- Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado. Artículo 10.- Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier acusación contra ella en materia penal. Artículo 11.- 1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia mientras no se pruebe su culpabilidad (...). 2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de la comisión del delito. Artículo 12.- Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques. Artículo 13.- 1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia en el territorio de un Estado. 2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y a regresar a su país. Artículo 14.- 1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a disfrutar de él, en cualquier país. 2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 15.- 1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad. 2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a cambiar de nacionalidad. Artículo 16.- 1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y fundar una familia (...). 2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá contraerse el matrimonio. 3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho a la protección de la sociedad y del Estado. Artículo 17.- 1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente. 2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad. Artículo 18.- Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de religión (...). Artículo 19.- Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...). Artículo 20.- 1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas. 2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación. Artículo 21.- 1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, directamente o por medio de representantes libremente escogidos. 2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las funciones públicas de su país. 3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto. Artículo 22.- Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al libre desarrollo de su personalidad. Artículo 23.- 1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el desempleo. 2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por trabajo igual. 3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por cualesquiera otros medios de protección social. 4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa de sus intereses. Artículo 24.- Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas pagadas. Artículo 25.- 1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad. 2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho a igual protección social. Artículo 26.- 1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual para todos, en función de los méritos respectivos. 2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento de la paz. 3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que habrá de darse a sus hijos. Artículo 27.- 1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y en los beneficios que de él resulten. 2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas, literarias o artísticas de que sea autora. Artículo 28.- Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan plenamente efectivos. Artículo 29.- 1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...). 2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden público y del bienestar general en una sociedad democrática. 3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas. Artículo 30.- Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los derechos y libertades proclamados en esta Declaración. 2 secundaria Nombres: _________________________________________________ _________________________________________________________ Apellidos: _________________________________________________ _________________________________________________________ DNI: ____________________________________________________ Domicilio: _________________________________________________ __________________________________________________________ Institución educativa: _________________________________________ __________________________________________________________ Correo electrónico: __________________________________________ _________________________________________________________ Razonamiento matemÁtico Matemática Impreso en el perÚ / prInted In peru La Editorial se hace responsable por el rigor académico del contenido del texto de acuerdo con los principios de la Ley General de Educación. título de la obra ® matemátIca delta 2, secundaria razonamiento matemático © derechos de autor reservados y registrados mauro enrIque matto muzante © derechos de edición, arte y diagramación reservados y registrados conforme a ley delta edItores s.a.c. edIcIón, 2020 coordinador de área: Mauro Enrique Matto Muzante diseño, diagramación y corrección: Delta Editores s.A.C. Ilustración general: Banco de imágenes Delta Editores s.A.C. delta edItores s.a.c. Jr. Pomabamba 325, Breña Tels. 332 6314 332 6667 Correo electrónico: informes@eactiva.pe www.eactiva.pe Tiraje: 4500 ejemplares Impresión: FINIshING s.A.C. Jr. La Maquinaria 160, Chorrillos Lima - Perú Tels. 265 3974 251 7191 IsBn n.o 978-612-4354-37-3 proyecto editorial n.o 31501051900810 ley n.o 28086 Hecho el depósito legal en la Biblioteca nacional del perú n.o 2019-10452 proHIBIda la reproduccIón total o parcIal leY de lucHa contra la pIraterÍa leY 28289 puBlIcada el 20 de JulIo de 2004 tÍtulo vII delItos contra los derecHos Intelectuales capÍtulo I delItos contra los derecHos de autor Y conexos Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la autorización del autor. artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa, el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y escrita del autor o titular de los derechos: a. La modifique total o parcialmente. b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público. c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho. d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el autorizado por escrito. La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior importe cada uno. Conoce tu libro En esta sección se encuentra la teoría del tema a desarrollar. Tema 29 MateMática Delta 2 - RazonaMi ento MateM ático 4 Recu e rda Cuadrados mágicos Definición Es una distribución numérica de forma cuadrada en la que los números ubicad os en la misma fila, columna o diagonal principa l suman lo mismo. La suma que se rep ite en todas las dire cciones se le conoc e como constante m ágica. 1 3 2 1 15 15 15 15 15 15 15 15 2 7 6 9 5 1 4 3 8 Métodos de resoluc ión Para aquellos cua drados mágicos qu e son llenados co n números que es tán en progresión aritmétic a existen métodos p rácticos para soluci onarlos. Cuadrado mágico d e 3 × 3 Para resolver un cu adrado mágico de 3 × 3 con números e n progresión aritmé tica, por ejemplo los número s del 1 al 9, lo prim ero que se debe ha cer es colocar un c uadrado más en la parte exte rior y central de cad a uno de sus lados. Ahora se empezará a llenar en direcció n diagonal comenz ando por cualquiera de los cuadrados agregad os. En este caso se em pezará por llenar de sde el cuadrado ubi cado en la parte izq uierda y se completará en fo rma diagonal hacia arriba ( ). * Los número s que están en progresión aritmética se reconocen porque tienen una razón aritmética constante (r). Por ejemplo: 7; 11; 15; 19; ... 31; 38; 45; 52; ... * El término enésimo (Tn) de una progresión aritmética se halla con la fórmula: Tn = T1 + r( n – 1) * Un conjunto de números consecutivos están en progresión aritmética cuya razón es 1. 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ... * Las diagon ales truncas son aquellas que se encuentran partidas en la distribución. 4 7 4 7 4 7 9 + 7 + 8 3 + 1 + 2 1 + 7 + 4 9 + 3 + 6 2 7 6 9 5 1 4 3 8 +1 +1 +1 92 Ejercicios resueltos La edad que tenía Roxana hace 17 años era 15 años. ¿Cuántos años tiene Roxana? Solución: pasado presentex – 17 x Hace 17 años x – 17 = 15 x = 15 + 17 x = 32 Rpta. Roxana tiene 32 años. Rpta. Óscar tenía 14 años. Rpta. Lourdes tiene 46 años. La edad que tendrá Óscar dentro de 9 años será 36 años. ¿Cuál era la edad de Óscar hace 13 años? presente futuro x x + 9 dentro de 9 años x + 9 = 36 x = 36 – 9 x = 27 Hace 13 años: 27 – 13 = 14 Sara dice: «Dentro de 25 años mi edad será 6 veces la edad que tenía hace 15 años». Si la edad de Lourdes es el doble de la edad de Sara, ¿cuántos años tiene Lourdes? Solución: pasado presente futuro x – 15 x x + 25 –15 x + 25 = 6(x – 15) x + 25 = 6x – 90 115 = 5x x = 23 Lourdes = 23(2) = 46 años +25 La edad que tendrá Luis dentro de 28 años será el triple de la edad que tenía hace 20 años. ¿Qué edad tendrá Luis dentro de 6 años? Solución: pasado presente futuro x – 20 x x + 28 –20 x + 28 = 3(x – 20)x + 28 = 3x – 60 88 = 2x x = 44Dentro de 6 años = 44 + 6 = 50 +28 Hace 12 años Alejandra tenía la cuarta parte de la edad que tendrá dentro de 27 años. ¿Cuántos años tenía Alejandra hace 9 años? pasado presente futuro x – 12 x x + 27 –12 x – 12 = x + 27 4 4x – 48 = x + 27 3x = 75 x = 25Hace9 años = 25 – 9 = 16 +27 Hace 8 años Maruja tenía 35 de la edad que tendrá dentro de 12 años. ¿Cuántos años faltan para que Maruja tenga el doble de la edad que tuvo hace 10 años? pasado presente futuro x – 8 x x + 12 –8 +12 x – 8 = 35 (x + 12) 5x – 40 = 3x + 36 2x = 76 x = 38El doble de hace 10 años = 2(28) = 56 Falta: 56 – 38 = 18 Solución: Solución: Solución: Rpta. Luis tendrá 50 años. Rpta. Alejandra tenía 16 años. Rpta. Le faltan 18 años. 1 4 2 3 5 6 Para una mejor organización, se ha enumerado cada tema. Enunciado del problema Título del tema Comentarios que refuerzan el desarrollo del tema. Algoritmo de resolución Folio Ejemplos desarrollados, en los que se explica didácticamente los pasos a ejecutar para hallar la respuesta. Contenido teórico Ejercicios resueltos Conoce tu libro Aquí encontrarás ejercicios planteados, los cuales resolverás en los espacios señalados siguiendo las indicaciones del docente. 25 MateMática Delta 2 - RazonaMien to MateMátic o 1 2 4 3 6 5 Ejercicios de aplicac ión halla el número de triángulos en la si guiente figura. Encuentra el número de triángulos en la si guiente figura. Calcula el número de cuadriláteros en la si guiente figura. Indica el número de cuadriláteros en la si guiente figura. Determina el núme ro de cuadriláteros en la siguiente figura. halla el número de segmentos en la sig uiente figura. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 44 Practica y demuestra Encuentra el valor de x en la analogía. 2 (17) 3 5 (141) 4 6 (x) 7 Halla el valor de x en la analogía. 80 (23) 34 68 (29) 10 14 (x) 6 Calcula el valor de x en la analogía. 124 (38) 56 27 (18) 41 87 (x) 26 Determina el valor de x en la analogía. 89 (75) 31 45 (27) 17 62 (x) 76 Halla el valor de x en la analogía. 81 (45) 25 64 (80) 100 121 (x) 9 Calcula el valor de x en la analogía. 4 (256) 4 5 (25) 2 7 (x) 3 Determina el valor de x en la distribución. 48 8 4 x 14 9 72 11 7 Encuentra el valor de x en la distribución. 7 8 5 2 3 10 2 22 9 4 6 15 x 3 20 Halla el valor de x en la distribución. Encuentra el valor de x en la distribución.8 4 3 2 32 19 21 8 16 x 13 6 3 1 45 8 16 12 20 x 10 17 11 Calcula el valor de x en la distribución. Determina el valor de x en la distribución. 100 2 5 4 x 2 10 5 216 3 2 6 Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. 2 5 11 383 191 95 x 23 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 Enunciado del problema Espacio para resolver el problema En este espacio se ha planteado algunos problemas, los mismos que tendrás que resolver considerando el proceso seguido anteriormente. Ejercicios de aplicación Practica y demuestra Nombre de la sección Nombre de la sección Índice 1 n.o de tema 3 2 4 5 7 6 8 9 11 10 12 resuelve problemas de cantidad resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio resuelve problemas de movimiento, forma y localización resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre orden de información I 6 - Ordenamiento lineal - Tipos de ordenamiento lineal Conteo de figuras 21 - Conteo simple - Conteo inductivo Fracciones 45 - Definiciones - Operaciones con fracciones orden de información II y III 13 - Ordenamiento circular - Test de decisiones analogías y distribuciones numéricas 37 - Analogías numéricas - Distribuciones numéricas cuadrados mágicos 29 - Definición - Métodos de resolución ecuaciones de primer y segundo grado 52 - Ecuación y solución de una ecuación - Ecuaciones de primer grado - Ecuaciones de segundo grado sucesiones 67 - sucesiones numéricas - sucesiones literales (alfabéticas) operaciones matemáticas 82 - Operador matemático - Operaciones matemáticas arbitrarias planteo de ecuaciones 60 - Enunciado y ecuación - Ejemplos de planteo de ecuación series notables 74 - serie - series y sumas notables problemas sobre edades 90 - Problemas con un solo sujeto - Problemas con dos o más sujetos competencias contenido pedagógico 6 Tema Orden de información I 1 Ordenamiento lineal Este ordenamiento se aplica en situaciones en que el problema presenta una característica en común de un grupo de objetos, animales o personas. Dicha característica común puede hacer referencia a la edad, estatura, posición que ocupan los elementos, antigüedad de los objetos, entre otras. El objetivo es ordenarlos en función de la información que se dé en el enunciado. Los tipos de ordenamiento lineales son tres: Ordenamiento lineal comparativo, ordenamiento lineal por posición fija y ordenamiento lineal por planteamiento. Ordenamiento lineal comparativo Los datos se basan en la comparación de los elementos según una de sus características. Ejemplo: José, Liam, César y Elio son alumnos del 2.° B de secundaria. Si se sabe que José es más bajo que Elio, César es más alto que Liam y José es más alto que César, indica quién es el más bajo de ellos. Ordenamiento lineal por posición fija Los datos, en este tipo de ordenamiento, se basan en la posición de los elementos y la comparación del mismo tomando un punto de referencia. Este ordenamiento puede ser horizontal o vertical. Al tener el esquema principal, se puede responder la pregunta planteada. Rpta. El más bajo de ellos es Liam. Horizontal Se produce cuando el conjunto de elementos se ubican uno al lado del otro. Ejemplo: Pilar, Emma, Cielo y Ana se ubican en cuatro sillas contiguas. Si Pilar está junto a Cielo y Ana, Emma se sienta al extremo derecho y Cielo está a la derecha de Ana, ¿quién se sienta en el tercer asiento contando desde la izquierda? Resolución: Después de leer los datos, se hace la representación gráfica. Dato 1: Cielo y Ana pueden cambiar de lugar Cielo Pilar Ana IzquIErDA ↔ DErEChA Izquierda ↔ Derecha Siniestra ↔ Diestra Oeste ↔ Este ricardo Sandra → I nt e rp ret a ción de dato s Jorge está junto y a la derecha de Carlos. Juan está a la derecha de raúl. Mario está junto a Nancy y Óscar. * * * Miguel está entre Nelly y Pablo. * ricardo está a la izquierda inmediata de Sandra. * Luis se encuentra en un lugar equidistante de Pedro y Hugo. * Nancy M Óscar Pedro ... Luis ... hugo x x Nelly ... Miguel ... Pablo Recu e rda Carlos raúl Juan Jorge Resolución: Después de leer los datos, se procede a representar la información de la siguiente forma: Luego, se une toda la información en un solo esquema el que será el esquema principal. Altura + – Altura + – Dato 1 José Elio Dato 2 Liam César Dato 3 César José Elio César José Liam 7MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático I nt e rp ret a ción de dato s Vertical Se produce cuando los elementos están ubicados uno encima o debajo de otro. Por ejemplo: En un edificio de 5 pisos, Paolo vive en un piso adyacente al de Claudio y Miguel, y Juan vive cuatro pisos arriba de Agustín; determina cuántos ordenamientos se pueden generar. Resolución: Dato 2: Dato 3: Ana Cielo Luego, unimos toda la información en un solo esquema. Finalmente, se da respuesta a la pregunta planteada. Rpta. En el tercer asiento, contando desde la izquierda, está sentada Cielo. CieloPilarAna Emma Emma Beatriz no es mayor que Camilo. David no llegó antes que Elena. Mauricio está dos lugares a la derecha de Milagros. Geraldine está tres lugares a la izquierda de Elizabeth. Roberto es mayor que Juan y Alex. quiere decir que Beatriz es menor o igual que Camilo. quiere decir que David llegó después o al mismo tiempo que Elena. * * * * * Camilo Beatriz (=) Elena David (=) Milagros Mauricio 1 2 Geraldine Elizabeth 32 1 roberto Juan Alex Dato 1: Claudio y Miguel pueden cambiar de lugar. Claudio Paolo Miguel Dato 2: La única forma que se cumpla esta condición es que Juan viva en el 5.° piso y Agustín en el 1.°. Finalmente, observaremos que de acuerdo al gráfico, se pueden generar dos ordenamientos. Claudio y Miguel pueden cambiar de lugar. Juan Claudio Paolo Miguel Agustín Al unir toda la información lograremos formar el esquema principal. Ordenamiento lineal por planteamiento Los datos se basan en la comparación precisa entre los elementos del problema. Ejemplo: En un salón de clases se distribuyeron a los alumnos en cuatro grupos diferentes, llamados A, B, C y D. Con respecto a los grupos, se sabe lo siguiente: • El grupo A tiene dos integrantes más que el grupo B, pero uno menos que el grupo C. (DATO 1) • El grupo D tiene tres integrantes más que el grupo C. (DATO 2) Ordena los grupos de manera decreciente tomando en cuenta el número de sus integrantes. A: «X» integrantes B: «X – 2» integrantes C: «X + 1» integrantes C: «X + 1» integrantes D: «X + 4» integrantes Resolución: Luego de la lectura de los datos, se procede a representar la información de la siguiente manera: Teniendo en cuenta el planteamiento realizado se puede proceder a responder la pregunta del problema. Rpta. Ordenados de manera decreciente: D – C – A – B. Dato 1: Dato 2: +1 +3+2 8 4 5 6 2 3 Ejercicios resueltos 1 En cierto examen Milagros obtuvo menos puntaje que Elizabeth, rosario menos que Geraldine, Maira el mismo puntaje que Carmen; Milagros más que Consuelo; rosario el mismo puntaje que Elizabeth, y Maira más que Geraldine. ¿Quién obtuvo menos puntaje? Se tiene una casa de cuatro pisos, y en cada piso vive una familia; la familia Díaz vive un piso más arriba que la familia Moyano. La familia Noriega habita más arriba que la familia García y la familia Díaz más abajo que la familia García. ¿En qué piso viven los Díaz? 6 mujeres participaron en una carrera, obteniéndose los siguientes resultados: • Alicia no llegó en un lugar impar. • Kathy llegó equidistante a Fabiola y a Betty, quien llegó en último lugar. • Elsa deberá entrenar más si desea obtener el primer puesto. ¿En qué puestos llegaron Dora y Fabiola, respectivamente? 5 amigos viven en un edificio de 5 pisos, cada uno de ellos es un piso diferente. • Juan vive un piso arriba de Mateo. • Joel vive muy distanciado de Pedro. • Joel no puede subir por las escaleras, debido a esto vive en el primer piso. • Lucas quisiera vivir en el cuarto piso. Indica qué afirmaciones son ciertas. I. Pedro vive en el cuarto piso. II. Lucas vive en el segundo piso. III. Juan y Lucas viven en pisos contiguos. Javier tiene menos dinero que Mirta y esta menos que Elías. Dora tiene más dinero que Javier pero menos que Elías. Paolo y Liz tienen la misma cantidad de dinero, y ambos menos que Dora. Determina qué afirmaciones son verdaderas. I. Elías tiene más dinero que Paolo. II. Javier tiene más dinero que Elías. III. Liz tiene más dinero que Dora. De 6 amigas de un grupo de baile, se conoce que Isabel es menor que Giovanna y Fiorella, Soledad es menor que Romina. Soledad no es la menor e Isabel es mayor que Rocío y Romina. Señala el valor de verdad de cada afirmación. I. Isabel es menor que Soledad. II. Giovanna es mayor que Rocío. III. Fiorella no es mayor que Soledad. Rpta. Consuelo obtuvo menos puntaje. Maira = Carmen Geraldine Elizabeth = rosario Milagros Consuelo Rpta. Los Díaz viven en el 2.° piso. Rpta. I. Falso II. Verdadero III. Falso 4.° Noriega 3.er García 2.° Díaz 1.er Moyano Rpta. 1.° y 4.° Rpta. Solo la segunda afirmación es cierta. Giovanna Fiorella Isabel romina Soledad rocío Elías Mirta Dora Javier Paolo = Liz I. Verdadero II. Falso III. Falso Rpta. Solo la primera afirmación es verdadera. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: I. Falso II. Verdadero III. Falso 5.° Pedro 4.° Juan 3.° Mateo 2.° Lucas 1.° Joel Dora Alicia Elsa Fabiola Kathy Betty 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 9MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 7 10 11 12 8 9 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Luis : x → 17 Enrique : x + 1 → 18 Esteban : x + 2 → 19 José : x + 3 → 20 Roberto : x – 2 → 15 Sobre las edades de cinco primos, se sabe que: • Luis tiene un año menos que Enrique. • Enrique tiene un año menos que Esteban. • José tiene dos años más que Enrique. • Luis tiene dos años más que Roberto. Si se sabe que Enrique acaba de cumplir la mayoría de edad. ¿Cuáles de los cinco primos son menores de edad? Sobre una mesa hay una cartuchera, un canguro y una mochila. Si sabemos que: • A la izquierda del canguro hay una cartuchera. • A la derecha de la mochila está el artículo de color azul. • A la izquierda del que es de color azul está el verde. • A la derecha del artículo rojo hay una mochila. ¿Qué objeto está a la derecha de todos? En una fila de 7 asientos, se sientan 5 amigos, pero no se sientan juntos dos del mismo género. Luana se sienta en uno de los extremos de la fila, entre Vania y Elsa hay un asiento vacío, Adán está cuatro asientos a la derecha de Luis. Los asientos vacíos están separados por dos asientos. Si contamos de izquierda a derecha, ¿en qué asiento se encuentra Vania? un choque en cadena de 6 carros es originado por una imprudente parada de Susana quien tiene carro azul. El auto blanco de Paola está adyacente al de Carla y Bárbara. Vanessa no tiene carro azul y chocó a Carla. Un carro rojo chocó a Vanessa. Se sabe que hay 2 carros rojos, 2 azules, uno blanco y uno verde, y que 2 autos del mismo color no chocaron. ¿De qué color es el tercer auto que choca y cómo se llama la persona que lo maneja? Cinco personas rinden un examen. Se sabe que: • Beatriz obtuvo un punto más que Dana. • Dana obtuvo un punto más que Carmela. • Estela obtuvo dos puntos menos que Dana. • Beatriz obtuvo dos puntos menos que Alondra. Ordénalos en forma creciente, según las notas que obtuvieron en el examen: En una carrera participan 6 personas, obteniéndose los siguientes resultados: • Aarón no llegó en un lugar impar. • Carlos llegó equidistante a Enrique y a Bruno, quien llegó en último lugar. • Juan no pudo obtener el primer puesto. ¿En qué puestos llegaron Kevin y Enrique, respectivamente? Rpta. Roberto y Luis son menores de edad. Edad Beatriz : x + 1 Dana : x Carmela : x – 1 Estela : x – 2 Alondra : x + 3 Rpta. De manera creciente: Estela, Carmela, Dana, Beatriz y Alondra. Rpta. Kevin llegó 1.° y Enrique llegó 4.°. Rpta. A la derecha de todos está el canguro. Rpta. Vania se encuentra en el tercer asiento. cartuchera mochila canguro roja verde azul Rpta. El tercer auto que choca es el de Carla y es azul. Kevin 1.° Juan 3.° Carlos 5.° Bruno 6.° Enrique 4.° Aarón 2.° Susana Bárbara Paola Carla Vanessa azul rojo blanco azul verde rojo 1.° 2.° 3.° 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6.° 7.° Va cí o Lu is Va ni a Va cí o E ls a A dá n Lu an a 10 Rpta. Rpta. 1 4 2 3 5 6 Ejercicios de aplicación Rpta. En un grupo de 4 amigas, Beatriz es más alta que Rosemary, Amanda es más baja que Gladys y Beatriz es más baja que Amanda. ¿Quién es la más alta? Julio tiene 4 hijos; de ellos, se sabe que Luis es menor que Edgar pero mayor que Gabriel y Javier. Si Javier es menor que Gabriel, ¿quién es el mayor de los hijos de Julio? En un grupo de 5 primos, Juan es menor que Sheylla y Erick mayor que Guillermo. Además, Alex es mayor Erick y Guillermo mayor que Sheylla. Según esta información, indica quién es el mayor de todos los primos, y quién el menor. En un edificio viven 4 amigos enpisos diferentes. Se sabe que: • Jorge vive un piso debajo de Héctor. • Luis utiliza silla de ruedas, por eso está contento viviendo en el primer piso. • Carlos vive un piso abajo de Jorge. ¿Quién vive en el segundo piso y quién en el tercero? En una evaluación, Ericka obtuvo más puntos que Flavia; Ana el mismo puntaje que Lidia; Brenda el mismo puntaje que Flavia y María más que Ana. Además, Brenda obtuvo más que María y Zara más que Ericka. ¿Quién obtuvo el mayor puntaje? Rpta. Rpta. Juana, Noemí y Pilar viven en un edificio de 5 pisos. Sabiendo que Juana vive más arriba que Pilar y que Noemí, y adyacente a los dos pisos vacíos, ¿qué afirmación es correcta? I. Juana vive en el tercer piso. II. Pilar vive en el primer piso. III. El cuarto piso está vacío. IV. Noemí vive más arriba que Pilar. V. Juana vive en el cuarto piso. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 11MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático De las profesoras de Matemática, se sabe que Paola es mayor que Julia, pero menor que Linda, Rocío es menor que Paola, pero mayor que Teresa, Juana es mayor que Paola y Linda es mayor que María. ¿Qué afirmación es correcta? a) No es cierto que Juana sea mayor que Teresa. b) Juana es mayor que Linda. c) Linda es mayor que Teresa. d) rocío es menor que Julia. e) Más de una es correcta. En una evaluación, Luz obtuvo el mismo puntaje que Cecilia, Andrea más que Celia, rita obtuvo menos puntaje que Cecilia y más que Justa. Si Luz obtuvo menos que Celia y Andrea el mismo que Sofía, ¿quién obtuvo el menor puntaje? Seis amigos asistieron a un teatro y se sentaron en una fila de asientos; se sabe que Ada está a la derecha de Nilda, entre Ezio y Sara; Nilda está junto y a la izquierda de Dora y a la derecha de Ezio, y Sara está junto y a la izquierda de Luis. ¿Quién está en el extremo izquierdo? Cinco amigos van al circo y se sientan en 7 asientos contiguos. Se observa que Rubén está entre Juan y Liz, Juan es esposo de Sonia y está sentado junto y a la derecha de Félix, Sonia está sentada en el extremo derecho. Si se sabe que Rubén está junto a los dos lugares vacíos y los esposos se sientan juntos, indica quién se sienta en el extremo izquierdo. Al terminar un examen, 5 jóvenes compararon el puntaje obtenido; Berta obtuvo un punto más que Dina, quien obtuvo un punto más que hernán. Si Manuel obtuvo dos puntos menos que Dina y Dina tres puntos menos que Inés, ¿quién obtuvo el mayor puntaje? Sobre las edades de cinco amigas, Flavia tiene dos años más que Delia, Rita tiene dos años más que Lía, Delia tiene un año menos que Ruth y Rita tiene un año menos que Delia. Si se sabe que Ruth acaba de cumplir la mayoría de edad, indica cuáles de ellas son menores de edad. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 7 10 11 12 8 9 12 Practica y demuestra 1 6 7 8 10 9 2 3 4 De cinco jóvenes, se sabe que Pablo es mayor que hernán, pero menor que Luz, Luisa es menor que Fanny y esta menor que Hernán. ¿Quién es el mayor de ellos? Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. La ciudad de Junín está ubicada al este de Ica. Cerro de Pasco al oeste de Pucallpa. Ica a su vez está ubicado al oeste de Cerro de Pasco. ¿Cuál es la ciudad ubicada al oeste de las demás? Seis amigos viven en un edificio, cada uno en un piso diferente. Carlos vive más abajo que Bica, pero más arriba que David. Franco vive tres pisos más abajo que Carlos. Andrés vive dos pisos más arriba que Carlos y a cuatro pisos de Enzo. ¿Quién vive en el tercer piso? En un edificio de 5 pisos, viven 5 amigas en pisos diferentes. Nora vive arriba de Mayra y Noemí, pero debajo de Gina, y Dora vive un piso arriba de Gina, que vive en el cuarto piso. Si Noemí vive a dos pisos de Nora, indica quién vive en el segundo piso. El colegio Sigma realiza 5 actividades (G, H, I, J y K) por motivo de su aniversario, una por día. Si H se realiza después de J, I se realiza 2 días después de G y J se realiza jueves o viernes. Sabiendo que dichas actividades se realizan de lunes a viernes, ¿qué actividad se realiza el martes? En una carrera participan 6 autos de distintos colores. El auto azul llegó antes que el blanco, pero dos puestos después que el auto negro. El auto verde llegó inmediatamente después que el blanco, pero antes que el morado. Si se sabe que el otro auto es rojo, ¿qué auto llegó en primer lugar? En una carrera de natación, al término de la misma, Adán no llegó antes que Bruno, Carlos llegó en tercer lugar y Daniel llegó antes que Bruno, pero después que Enrique. Si se sabe que no hubo empates, ¿quiénes llegaron en primer y cuarto puesto, respectivamente? En el momento de la llegada del Grand Prix, un reportero anotó los siguientes resultados: • Toyota llegó antes que Mazda y después que renault. • Renault llegó después de Ferrari y este después de Ford. • Mercedes llegó antes que Ferrari. ¿Qué autos pudieron llegar primero? Cinco primos: Francisco, Sebastián, Adrián, Sandra y Kiara se sientan en una misma fila de seis butacas juntas de un cine. Se sabe que: • Sebastián no se sienta junto a Sandra, pero hay una persona sentada en cada uno de sus lados. • Kiara, se sienta en uno de los extremos de la fila. • Adrián se sienta 3 butacas a la izquierda de Kiara. • Hay dos butacas entre Francisco y la butaca vacía. • Sandra se sienta al extremo opuesto de donde está sentada Kiara. ¿Qué asiento, a partir de donde está Kiara, está vacío? Cinco personas: Javier, Braulio, René, Lisa y Ana trabajan en un edificio de 6 pisos cada uno en un piso diferente. Se sabe que: • Javier trabaja un piso adyacente al que trabajan Braulio y René. • Lisa trabaja en el quinto piso. • Adyacente y debajo de Braulio hay un piso vacío. ¿Quiénes trabajan en el cuarto y sexto piso, respectivamente? Rpta. 5 Tema 13MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 2 Ordenamiento circular Es aquel tipo de ordenamiento que se aplica en aquellas situaciones en las cuales el problema presenta un conjunto de objetos, animales o personas que se ubican alrededor de otra, siendo el caso más común un grupo de personas alrededor de una mesa. Test de decisiones Este tipo de problemas se caracteriza porque se brinda una serie de datos relacionados entre sí cada uno con otro. Para resolverlos es recomendable construir una tabla en la cual se relacionen los datos proporcionados marcando las relaciones correctas. Cabe recordar que a veces no es necesario llenar toda la tabla para responder ciertas preguntas. Ejemplo: Tres amigas, Juana, Luisa y Carla, comentan sobre el color del polo que lleva puesto cada una de ellas. - Juana dice: «Mi polo no es rojo ni azul como los de ustedes». - Carla dice: «Me gustaría tener un polo verde como el tuyo». - Luisa dice: «Me gusta mi polo rojo». Al tener estas distribuciones se logra visualizar unas flechas rojas en aquellas situaciones en la que la cantidad de elementos a distribuir sea par. Estas flechas indican que un elemento se encuentra frente a otro, es decir, diametralmente opuesto a otro. Al momento de trabajar un ordenamiento circular se debe tomar en cuenta lo siguiente: • ¿Qué letra está junto y a la derecha de H? C • ¿Qué letra está a la izquierda inmediata de D? A • ¿Qué letras están a la derecha de F? A, D y E • ¿Qué letras están a la izquierda de B? G, E y D • ¿Qué letras están adyacentes a E? G y D • ¿Qué letra es adyacente común a F y D? A • ¿Qué letra está diametralmente opuesta a H? D • ¿Qué letra está frente a C? E Distribución simétrica A todos los elementos les toca el mismo espacio para ubicarse. Dos lugares Tres lugares Seis lugares Ocho lugares Cuatro lugares Cinco lugares A F CD hE BG De re ch aIzquierda * Simétricamente distribuidos: igual espacio para todos los lugares. * Diametralmente opuesto: al frente.* Para resolver los problemas de ordenamiento circular: 1. Siempre debes empezar con aquel dato que te dé la mayor cantidad de información o con el que te dé la posición fija de uno o más elementos del ordenamiento: Ejemplos: • Jorge está a la derecha de Luís. û • Mario está tres lugares a la izquierda de ricardo. ü • Alberto está junto con Manuel. û • Jean está junto a Carlos y David. ü 2. Jamás debes empezar por un dato que tenga una negación: Ejemplo: • Raúl no está sentado junto a Sara. û Este tipo de dato se deja para completar al final. a) b) Orden de información II y III Recu e rda 14 * Al momento de colocar los datos no interesa el orden en que se colocan. * Al colocar un √ (check) en cualquier recuadro se debe llenar el resto de su fila y su columna con x (aspa). * Existen dos tipos de datos. a) Datos directos: • Gael es ingeniero. • A Daniela le gusta el color rojo. b) Datos para descartar: • Jorge es hermano del ingeniero. (Por tanto él no es ingeniero) • A Franco no le gusta el color rojo. * Al momento de llenar la tabla se debe empezar con los datos directos, luego de agotar este tipo de datos recién se empieza a trabajar con los datos para descartar. COLOr N O M B r E S NOMBRES C O L O r Recu e rda Resolución: Primero construimos un cuadro con todas las posibilidades. Primer dato: Como Juana no usa polo rojo ni azul, entonces usa polo verde. Tercer dato: Luisa tiene polo rojo. Por lo tanto: Juana → Verde Luisa → rojo Carla → Azul Para resolver este tipo de problemas se debe tomar en cuenta lo siguiente: • La información que se brinda en el problema no se va a encontrar ordenada necesariamente, es por esto que se debe leer muy bien cada uno de los datos que den y saber elegir el dato que se utilizará al inicio. • Los criterios que se debe considerar al momento de elegir el dato con el cual se va a empezar son dos, en primer lugar la cantidad de información que brinda ese dato y en segundo lugar la precisión que pueda dar con respecto a la posición de uno o más elementos a considerar en el ordenamiento. • Es muy útil que se utilice un esquema para la resolución de este tipo de problemas, reconociendo que existen distintos tipos de esquemas y se debe aprender a reconocer los diferentes planteamientos según la naturaleza del problema. • Luego de plantear el esquema es importante que se verifique que todo lo planteado cumple con las condiciones que dieron en el problema. Azul rojo Verde Juana Luisa Carla Azul rojo Verde Juana X X ü Luisa X Carla X Azul rojo Verde Juana X X ü Luisa X ü X Carla ü X X ¿Qué color de polo tiene cada una? 15MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 5 6 Cuatro amigos: Ángel, Franco, Jean y Guillermo se sientan alrededor de una mesa circular. Franco está sentado frente a Jean; Ángel está a la izquierda de Jean. ¿Quiénes se sientan junto a Guillermo? Seis amigos se sientan, simétricamente, alrededor de una mesa redonda. Pedro no está sentado al lado de Elena ni de Lupe, Fanny no está al lado de Juan ni de Elena, y Jasón está junto y a la derecha de Elena. Indica quién está sentado junto y a la izquierda de Juan, si se sabe que no está al lado de Elena ni de Lupe. Tres niños y tres niñas se sientan alrededor de una mesa hexagonal, de tal manera que dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Sara no se sienta frente a Ada. II. Eva no se sienta frente a Elías. III. Carlos no se sienta frente a Bruno. Resolución: Alrededor de una mesa redonda se sientan simétricamente 8 amigos; tal que, Elio está opuesto diametralmente a Arturo y junto a Bill y Fabio. Camilo está junto y a la izquierda de Arturo y diametralmente opuesto a Fabio. Bill está frente a Leo, quien a su vez está junto y a la izquierda de Sam. ¿Quién está frente a Dan? Cuatro niñas están jugando con sus juguetes preferidos alrededor de una mesa cuadrada. Si Denis tiene la muñeca, Cintia está a la derecha de la que tiene la pelota, Lili está frente a María; el rompecabezas está a la izquierda del peluche, María no tiene la pelota. Señala la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: I. María tiene el rompecabezas. II. Denis tiene el peluche. III. Lili tiene la pelota. Seis amigos: Augusto, Bruno, Carlos, Dante, Eugenio y Fausto se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: • Augusto se sienta a la derecha inmediata de Bruno y diametralmente opuesto a Carlos. • Dante no se sienta junto a Bruno. • Eugenio no se sienta junto a Carlos. ¿Junto a quiénes se sienta Fausto? Rpta. Franco y Jean se sientan junto a Guillermo. Rpta. Jasón está sentado junto y a la izquierda de Juan. Rpta. Frente a Dan se encuentra Sam.Rpta. Fausto está junto a Carlos y Bruno. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Rpta. I. F II. F III. V Franco Ángel Guillermo Jean Cintia (rompecabezas) (peluche) María Denis (muñeca) Lili (pelota) C B DF E A Fanny Elena Pedro Jasón JuanLupe h h M M hM Sam Fabio Arturo Elio Camilo Bill Leo Dan Ejercicios resueltos 2 3 1 4 Rpta. Son verdaderas I y III 16 7 9 10 8 Cuatro amigas: Sandra, Lucía, Patricia y Carmen salen de compras, y se sabe que cada una quiere comprar una prenda distinta: un par de zapatos, una blusa, un vestido y un par de guantes. Además se tiene la información de que: • Sandra no necesita zapatos, por lo cual no los compra. • Lucía comprará un vestido nuevo. • Patricia le aconseja a Carmen sobre el color de guantes que se va a comprar. ¿Quién comprará los zapatos? Mi abuelita tiene tres mascotas: un perro, una paloma y una tortuga, cada mascota tiene nombre: Hugo, Paco y Luis, no necesariamente en ese orden. Si se sabe que a Hugo le gusta el alpiste y que Luis no ladra, indica el nombre del perro. • A Hugo le gusta el alpiste. ∴ Australia – Informática por Literatura • Luis no ladra. Roberto, Javier, Pedro y Beto tienen diferentes ocupaciones y se sabe que: • Roberto y el gasfitero son amigos del mecánico. • El comerciante es familia de Beto. • El pintor es muy amigo de Pedro y del mecánico. • Roberto es comerciante. ¿Cuál es la ocupación de Javier? Mary, Lucía y Sofía viven en tres países diferentes: Italia, Colombia y Australia; cada una estudia una carrera distinta: Veterinaria, Literatura e Informática. Si se sabe que: • Mary no es americana. • A Lucía le gustaría conocer la tierra de los canguros. • La colombiana no estudia Literatura. • La que vive en Australia estudia Informática. • Sofía no es italiana y estudia Veterinaria. ¿En qué país vive Lucía y qué estudia? Rpta. Patricia comprará los zapatos. Rpta. El nombre del perro es Paco. zapatos blusa vestido guantes Sandra X ü X X Lucía X X ü X Patricia ü X X X Carmen X X X ü Rpta. Javier es mecánico. Rpta. Lucía vive en Italia y estudia Literatura. gasfitero mecánico comerciante pintor roberto X X ü X Javier X ü X X Pedro ü X X X Beto X X X ü perro paloma tortuga hugo X ü X Paco X Luis X Mary Sofía Lucía Australia Colombia Italia Informática Veterinaria Literatura perro paloma tortuga hugo X ü X Paco ü X X Luis X X ü Resolución: Resolución: Resolución: Beto es familiar de Roberto, por lo tanto no lo hace su amigo y eso lo deja como pintor, de acuerdo a la información dada. 17MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático Ejercicios de aplicación 1 3 4 2 Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas simétricamente. Si se sabe que: • Pablo no se sienta junto a Manuel. • Víctor está entretenido viendo como los otros dos discuten con Julio. Según esto, ¿qué afirmación es correcta? • Víctor y Julio se sientan juntos. • Manuel y Víctor no se sientan juntos. • No es cierto que Víctor y Julio no sesientan juntos. • Pablo se sienta junto y a la derecha de Víctor. • Pablo se sienta entre Víctor y Julio. Rpta. Ocho amigos: Fabiola, Gino, Henry, Jorge, Carla, Luis, Martín y Nora, juegan cartas alrededor de una mesa circular. • Las ocho sillas se encuentran igualmente espaciadas alrededor de la mesa. • Carla está sentada exactamente al frente de Martín. • Martín está sentado a la izquierda de Fabiola y junto a ella. • Gino está sentado junto a Luis. • Henry está sentado al frente exactamente de Jorge. • Martín se encuentra sentado junto a Henry. ¿Quiénes están sentados junto a Nora? Rpta. Seis amigos se sientan alrededor de una mesa circular con ocho sillas distribuidas simétricamente.Se sabe que: • Flavio está sentado a la izquierda de Humberto y junto a él. • Kevin está sentado al frente de Gustavo y a la izquierda de Javier. • Gustavo está sentado a dos asientos de Flavio. • Javier está sentado diametralmente opuesto de Humberto y este está sentado a la izquierda de Kevin. • Ignacio conversa amenamente con todos. ¿Cuántos posibles ordenamientos hay? Rpta. Rpta. Cuatro hermanos: Pedro, Hugo, Carlos y Jorge se sientan alrededor de una mesa circular. hugo no está sentado frente a Carlos; Pedro está a la izquierda de Carlos. Por lo tanto se puede afirmar que: • Jorge está frente a Carlos. • Hugo no está frente a Pedro. • Carlos está a la derecha de Hugo. • Jorge y Hugo no están juntos. • Más de una afirmación es correcta. Resolución: Resolución: Resolución:Resolución: 18 6 7 9 8Lourdes, Sara y Giovanna son tres amigas que viven en diferentes distritos: La Molina, Comas y San Miguel. Si se sabe lo siguiente: • Giovanna no vive en San Miguel. • Lourdes no vive en Comas ni en San Miguel. ¿En qué distrito vive Sara? Cuatro amigos estudian desde el 1.° grado hasta el 4.° grado. Gabriel no estudia en 4.° grado, y en 2.° grado estudian Víctor o Javier. Si Braulio no estudia en 1.° ni en 4.° grado y Javier no estudia en 4.° grado, determina en qué grado estudia Víctor. Cuatro personas tienen ocupaciones distintas. De ellas, se sabe que Antonio es hermano del transportista, el carpintero se reunió con Luis para conversar acerca de un trabajo, y Alan y el transportista son clientes del gasfitero. Si Juan se dedica a construir roperos desde muy joven y uno de ellos es vendedor de celulares, ¿qué ocupación tiene Alan? Rpta. Rpta. Rpta. Cinco personas entran a una tienda con el propósito de adquirir un artículo determinado cada uno. Los nombres de ellos son: Andrea, Jaime, Mónica, David y Lucas. Los artículos que compraron son: pantalón, chompa, blusa, zapatos y cartera. Se sabe que: • Ni Jaime ni Mónica compraron chompa. • Andrea no encontró zapatos que hagan juego con la cartera que le regalaron por sus cumpleaños y por eso compró una blusa. • David compró un par de zapatos. • Jaime no compró una cartera. ¿Qué artículos compraron Jaime y Lucas, respectivamente? Rpta. Tres personas: Andrés, Benito y Carlos tienen diferentes aficiones: fútbol, baloncesto y vóley y gustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco. Si se sabe que: • Benito no practica vóley. • Al basquetbolista no le gusta el color rojo. • Andrés no practica baloncesto. • El que practica vóley gusta del color blanco. • A Benito no le gusta el color azul. ¿Qué afición tiene Andrés y qué color le gusta a Carlos? Rpta. 5 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 19MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático Practica y demuestra 1 2 3 6 5 4 Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: • A se sienta junto y a la izquierda de B y diametralmente opuesto a C. • D no se sienta junto a B. • E no se sienta junto a C. ¿Dónde se sienta F? ¿Cuántos ordenamientos se originan? ¿Quién se sienta frente a Diego? Se deduce como verdad que: I. Blanca está junto a Flora. II. Celinda está adyacente a Blanca y Emilio. III. Diego no está frente a Celinda. Luis, Fabio, Claudio y Adriano se sientan simétricamente alrededor de una mesa circular. Si se sabe que Fabio no está frente a Claudio y Luis está a la izquierda de Claudio, ¿qué afirmación es cierta? En una mesa con ocho asientos distribuidos simétricamente se sientan seis amigos: Alfredo, Blanca, Celinda, Diego, Emilio y Flora. Se sabe que: • Alfredo no se sienta frente a Diego. • Diego no se sienta al frente de Flora. • Blanca se sienta tres lugares a la derecha de Diego, quien está adyacente a los lugares vacíos. • Emilio no se sienta junto a un lugar vacío ni a Blanca. A Entre C y E B Frente a C C Entre B y C D Frente a B E Entre A y B A Solo I B Solo II C Solo III D Solo I y II E Solo II y III A Frente a B B Entre B y E C Frente a F D Entre A y C E Frente a E Seis amigos: A, B, C, D, E y F se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Si se sabe que: • A se sienta frente a B. • C está junto y a la izquierda de A. • D no está frente a C ni a E. ¿Dónde se sienta D? A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A Fabio está frente a Adriano. B Adriano está frente a Claudio. C Adriano y Fabio no están juntos. D Claudio está a la derecha de Fabio. E Más de una afirmación es cierta. A Alfredo B Blanca C Emilio D Celinda E Flora 20 8 9 Milagros, Paula, Carla y María tienen diferentes ocupaciones y viven en distintos distritos. Si sabemos lo siguiente: • María vive en Surquillo. • Una de ellas es abogada y no es Paula. • La ingeniera vive en Miraflores. • Carla no vive en Breña ni en Miraflores. • La comerciante trabaja en Chorrillos. • María es enfermera. ¿Qué ocupación tiene Milagros? Sally, Luna, Grecia y Mariana, son amigas que practican un juego diferente cada una. Se sabe que: • Sally quisiera jugar ajedrez en lugar de damas. • Luna le pide prestada sus fichas de ludo a Mariana porque quisiera aprender a jugar ese juego. • Grecia no sabe jugar dominó. ¿Quién practica ajedrez y qué juego practica Luna? En una reunión se observan a los profesores de Inglés, Historia, Matemática y Biología; los nombres son: Carlos, Bruno, Alan y Héctor, aunque no necesariamente en ese orden. Si se sabe que Carlos y el que enseña Historia no se llevan bien, Alan es amigo del profesor de Biología, Bruno es primo del matemático y este, amigo de Héctor. El que enseña Inglés es muy amigo de Héctor y del profesor de Biología. ¿Quién enseña Matemática? Guillermo, Carlos, Moisés, Jorge y Ernesto estudiaron carreras diferentes: historia, Literatura, Física, Química y Matemática. Cada uno tiene un hijo que no quiere ni va a seguir la carrera de su padre ni coincidirá con ninguno de los otros hijos. Se sabe que: • El matemático es Moisés y el hijo de Guillermo quiere ser químico. • El hijo de Jorge quiere estudiar Historia aunque su padre sea literato. • Carlos es físico y su hijo no es matemático. ¿Qué carreras han estudiado Ernesto y su hijo, respectivamente? Carlos Víctor y José estudian en Piura, Trujillo y Lima, siguiendo las carreras de Arquitectura, Biología y Comunicación. • Carlos estudia en Piura. • José no estudia en Trujillo. • El que estudia en Trujillo no estudia Biología. • El que estudia en Piura no estudia Arquitectura. • José estudia Comunicación. ¿Qué estudia Víctor y en qué ciudad? Ana, Pilar y Brenda llevan tres objetos distintos en las manos: reloj, llavero y chompa. Se sabe que Pilar siempre lleva una prenda para abrigarse; en cambio, el objeto que tiene Ana podría malograrse de un golpe y ya no podría saber la hora. Indica qué relación es correcta. A Enfermera B Abogada C Ingeniera D Comerciante E Faltan datos A Literatura – química B Física – historia C Matem. – Literatura D historia – Física E química – Matemática A Mariana – ludo B Luna – ludo C Sally– ajedrez D Grecia – dominó E Grecia – damas A Adrián B héctor C Carlos D Alan E Bruno A Ingeniería – Lima B Arquitectura – Piura C Biología – Trujillo D Arquitectura – Trujillo E Comunicación – Lima A Pilar – llavero B Ana – reloj C Brenda – reloj D Brenda – chompa E Ana – llavero 7 10 11 12 Tema 21MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 3 Para poder desarrollar este capítulo de manera ordenada se clasificará la forma de contar distintas figuras de dos maneras distintas: el conteo simple y el conteo inductivo. Conteo simple Es aquel tipo de conteo que se caracteriza por ir contando de uno en uno el tipo de figura pedido en el problema. Resolución: Se empieza colocando números distintos en los triángulos que se encuentren a primera vista. Resolución: Colocamos números distintos en los cuadriláteros que observemos a primera vista; después, colocamos letras en las zonas que no sean cuadriláteros. Luego, contaremos los triángulos formados por una cantidad de distintas zonas codificadas. • Formados por una zona: 1; 2; 3 y 4 → 4 • Formados por dos zonas: 1 con 2 y 2 con 3 → 2 • Formados por tres zonas: 1 con 2 y con 3 → 1 • Formados por cuatro zonas: 1 con 2, con 3 y con 4 → 1 Finalmente, sumamos los resultados parciales. Número total de triángulos: 4 + 2 + 1 + 1 = 8 Por lo tanto, esta figura tiene 8 triángulos. Luego, contaremos los cuadriláteros formados por una cantidad de distintas zonas codificadas. • Formados por una zona: 1; 2; a → 3 • Formados por dos zonas: 1a, 1c y 2b → 3 • Formados por tres zonas: a1c y 1c2 → 2 • Formados por cuatro zonas: no hay → 0 • Formado por cinco zonas: 12abc → 1 Finalmente, sumamos los resultados parciales. Número total de cuadriláteros: 3 + 3 + 2 + 0 + 1 = 9 Por lo tanto, esta figura tiene 9 cuadriláteros. Ejemplo 1: halla el número de triángulos en la siguiente figura: Ejemplo 2: halla el número de cuadriláteros en la siguiente figura: 1 3 2 4 2 1 a b c Conteo de figuras * La Geometría (medición de la Tierra) se inició, como ciencia, en el antiguo Egipto y en Babilonia por la necesidad de realizar mediciones terrestres. * La palabra polígono proviene de dos voces griegas: Poli, que significa muchos y gono que significa ángulo. * recuerda que existe una terminología para los polígonos, basada en la cantidad de lados del mismo: n.º de lados Nombre 3 triángulo 4 cuadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 10 decágono 11 undecágono 12 dodecágono 15 pentadecágono 20 icoságono ¿Sa bía s qu e.. . ? 22 B) Triángulos Por lo tanto, la figura tiene 45 segmentos. Otras aplicaciones: A) Cuadriláteros Luego de la inducción anterior, el número total de segmentos en la figura será: Luego, se induce desde los casos más simples hasta los más complejos: Resolución: Se empieza colocando números en los segmentos simples que forman esta figura. Conteo inductivo Para este tipo de conteo utilizaremos el método inductivo para llegar a la fórmula que se aplicará en los problemas que se asemejen al modelo. Ejemplo 1: halla el número de segmentos en la siguiente figura: 1 1 2 1 2 3 1 = 1 = 1 × (1 + 1) 2 2 × (2 + 1) 23 = 1 + 2 = 6 = 1 + 2 + 3 = 3 × (3 + 1) 2 9 × (9 + 1) 2 = 9 × 10 2 = 90 2 = 45 4 × (4 + 1) 2 = 10 3 × (3 + 1) 2 = 6 1 2 3 ... n n(n + 1) 2 1 2 3 ... n n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 1 2 3 n ... En una cuadrícula: Al final se suman las cantidades obtenidas en las multiplicaciones: 18 + 10 + 4 = 32 b) Número de cuadrados: Para calcular el total de cuadriláteros multiplicamos ambas cantidades: 10 × 6 = 60 a) Número de cuadriláteros: Para calcular el número de cuadriláteros se debe considerar que esta figura proviene de la unión de estas. 1 2 3 2 3 4 5 6 6 × 3 = 18 5 × 2 = 10 4 × 1 = 4 1 2 3 4 Número de cuadriláteros 1 2 3 Número de cuadriláteros C) Sectores circulares 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 * La inducción que lleva al n(n + 1)2 también puede ser aplicada para el conteo de ángulos: * Los números triangulares tienen la forma n(n + 1)2 . Número de ángulos: n(n + 1) 2 * Los números rectangulares tienen la forma n(n + 1). * Al momento de resolver un problema de conteo de figuras por inducción debes estar muy atento para que tomes en cuenta el elemento que se está enumerando: 1 2 3 n ... 1 3 6 10 1 × 2 2 2 × 3 2 3 × 4 2 4 × 5 2 2 6 12 20 1 × 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 Segmentos Puntos Recu e rda 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático Ejercicios resueltos 1 3 2 4 halla el número de triángulos en la siguiente figura. Resolución: 5 4 6 a 2 1 1 sector : 1; 2; 3; 4; 5; 6 → 6 2 sectores: 12; 3a; 4a; 45; 56 → 5 3 sectores: 3a6 → 1 4 sectores: 124a; 126a → 2 6 sectores: 12456a → 1 Determina el número de cuadriláteros en la siguiente figura. Resolución: 1 2 3 4 5 6 7 Aplicando la fórmula: 7(8) 2 = 28 Rpta. Hay 15 triángulos Rpta. 28 Encuentra el número de cuadriláteros en la siguiente figura. 1 sector: 1; 2 2 sectores: 1c, 2g; 1e; 2h 3 sectores: 2bh; h2g; c1e; 1ef; 1cd; a2g, 2ae, h1d 4 sectores: bh2g; 2efg; bhc1; 12he; cd1e; 1def; a2gh; bh2a; c1ef 5 sectores: a2gef; bcdh1 10 sectores: 12abcdefgh Resolución: h b c 1 d a 2 e g f Rpta. Total = 26 Calcula el número de ángulos en la siguiente figura. Resolución: 1 2 3 4 5 Aplicando la fórmula: 5(6) 2 = 15 Rpta. 15 3 n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 = = 24 5 halla el número de cuadriláteros en la siguiente figura. 1 2 3 13 14 15 Resolución: 1 2 3 13 14 15 Aplicando la fórmula: 15(16) 2 = 120 Calcula el número de triángulos en la siguiente figura. Resolución: 4(5) 2 = 10 10 × 5 = 50 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Determina el número de triángulos en la siguiente figura. Resolución: 1 2(3) 2 3(4) 2 = 6 5(6) 2 = 15 4(5) 2 = 10 5(6) 2 = 15 Total: 15 + 10 + 6 + 3 + 1 + 15 Rpta. 120 Rpta. 50 Rpta. 160Rpta. 50 Encuentra el número de cuadriláteros irregulares en la siguiente figura. Resolución Cuadriláteros irregulares: cuadriláteros que no son cuadrados. cuadriláteros = 6(7) 2 × 4(5) 2 = 210 cuadrados = 6 × 4 + 5 × 3 + 4 × 2 + 3 × 1 = 50 210 – 50 = 160 1 2 3 4 5 6 2 3 4 n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 = = = 3 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 4 5 3 3 3 4 4 5 4 cm 6 cm 6 7 8 25MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 1 2 4 3 6 5 Ejercicios de aplicación halla el número de triángulos en la siguiente figura. Encuentra el número de triángulos en la siguiente figura. Calcula el número de cuadriláteros en la siguiente figura. Indica el número de cuadriláteros en la siguiente figura. Determina el número de cuadriláteros en la siguiente figura. halla el número de segmentos en la siguiente figura. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 1 2 3 4 1 2 3 4 5 26 halla el número de triángulos en la siguiente figura. Calcula el número de triángulos en la siguiente figura. Encuentra el número de triángulos en la siguiente figura. Indica el número de triángulos en la siguiente figura. Determina el número de sectores circulares en la siguiente figura. halla el número de triángulos en la siguiente figura. 7 10 11 12 8 9 Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 27MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático Determina el número de cuadriláteros en la siguiente figura. halla el número de cuadrados en la siguiente figura. Indica el número de triángulos en la siguiente figura. Calcula el número de cuadriláteros irregulares en la siguiente figura. Indica el número de cuadriláteros en la siguiente figura. Encuentra el número de cuadriláteros irregulares en la siguiente figura. 13 16 17 18 14 15 Rpta.Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 28 Practica y demuestra 1 7 8 10 9 6 5 11 2 3 4 halla el número de segmentos en la siguiente figura. Calcula el número de triángulos en la siguiente figura. Encuentra el número de cuadriláteros en la siguiente figura. Determina el número de triángulos en la siguiente figura. halla el número de triángulos en la siguiente figura. Calcula el número de triángulos en la siguiente figura. Encuentra el número de cuadriláteros en la siguiente figura. Determina el número de cuadrados en la siguiente figura. halla el número de cuadriláteros irregulares en la siguiente figura. Calcula el número de triángulos en la siguiente figura. Encuentra el número de triángulos en la siguiente figura. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. E S T u D I A r Rpta. Rpta. Tema 29MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 4 Recu e rda Cuadrados mágicos Definición Es una distribución numérica de forma cuadrada en la que los números ubicados en la misma fila, columna o diagonal principal sumen lo mismo. La suma que se repite en todas las direcciones se le conoce como constante mágica. 1 3 2 1 15 15 15 15 1515 15 15 2 7 6 9 5 1 4 3 8 Métodos de resolución Para aquellos cuadrados mágicos que son llenados con números que están en progresión aritmética existen métodos prácticos para solucionarlos. Cuadrado mágico de 3 × 3 Para resolver un cuadrado mágico de 3 × 3 con números en progresión aritmética, por ejemplo los números del 1 al 9, lo primero que se debe hacer es colocar un cuadrado más en la parte exterior y central de cada uno de sus lados. Ahora se empezará a llenar en dirección diagonal comenzando por cualquiera de los cuadrados agregados. En este caso se empezará por llenar desde el cuadrado ubicado en la parte izquierda y se completará en forma diagonal hacia arriba (). * Los números que están en progresión aritmética se reconocen porque tienen una razón aritmética constante (r). Por ejemplo: 7; 11; 15; 19; ... 31; 38; 45; 52; ... * El término enésimo (Tn) de una progresión aritmética se halla con la fórmula: Tn = T1 + r(n – 1) * Un conjunto de números consecutivos están en progresión aritmética cuya razón es 1. 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; ... * Las diagonales truncas son aquellas que se encuentran partidas en la distribución. 4 7 4 7 4 7 9 + 7 + 8 3 + 1 + 2 1 + 7 + 4 9 + 3 + 6 2 7 6 9 5 1 4 3 8 +1 +1 +1 30 ¿Sa bía s qu e.. .? 15 15 15 15 15 15 15 15 2 7 6 9 5 1 4 3 8 3 2 6 1 5 4 3 2 6 1 5 9 4 8 7 3 2 7 6 1 9 5 1 9 4 3 8 7 3 2 6 1 5 1 9 4 3 8 7 3 2 7 6 1 9 5 9 4 8 7 Al terminar de completar la primera diagonal se debe seguir en el mismo sentido con las otras diagonales. Ahora se debe colocar los números que están en los recuadros exteriores en aquellos que se encuentran vacíos en la parte interior, cada uno en el que está al frente de él. Por último, se borran los recuadros de la parte exterior y se tendrá como resultado un cuadrado mágico. * Un cuadrado latino es aquella distribución de forma cuadrada donde las filas y las columnas tienen la misma suma, pero esta no aparece en las diagonales principales. * El tablero conocido como sudoku es un ejemplo de cuadrado latino. * Un cuadrado diabólico es aquella distribución de forma cuadrada donde las filas, columnas, diagonales principales y diagonales truncas tienen la misma suma. Diagonales truncas 5 + 14 + 12 + 3 = 34 4 + 7 + 13 + 10 = 34 1 + 11 + 16 + 6 = 34 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 15 10 3 6 1 2 3 2 3 1 3 1 2 9 34 34 6 34 34 34 34 34 34 34 34 6 6 6 6 6 6 31MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático ¿Sa bía s qu e.. .? Cuadrado mágico de 4 × 4 Para resolver un cuadrado mágico de 4 × 4 con números en progresión aritmética, por ejemplo los números del 1 al 16, lo primero que se debe hacer es ubicar todos los números de forma ordenada desde cualquiera de los cuatro recuadros que se encuentran en las esquinas y en cualquiera de las dos direcciones (horizontal o vertical). 4 3 2 1 1 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 16 12 8 4 15 11 7 3 14 10 6 2 13 9 5 1 1 12 8 13 15 6 10 3 14 7 11 2 4 9 5 16 En este caso se va a empezar a llenar el cuadrado desde el recuadro ubicado en la esquina inferior derecha, y se hará en el sentido de abajo hacia arriba. ( ) Ahora se traza las diagonales principales y se cambia de lugar a los números que se ubican simétricamente distanciados de la intersección de las diagonales. 34 34 34 34 34 343434 34 34 * Un cuadrado mágico multiplicativo es aquella distribución de forma cuadrada en la cual el producto de los números ubicados en la misma fila, columna o diagonal principal es el mismo. * En el cuadro Melancolía I, grabado en 1524 por Alberto Durero, aparece un cuadrado mágico de 4 × 4 en la esquina superior derecha. 5 100 2 4 10 25 50 1 20 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 32 14 11 6 13 8 12 10 8 12 7 14 9 6 Ejercicios resueltos 1 4 5 6 2 3 Rpta. S = 9 (–5) + (–3) + (–1) + 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 3S 27 = 3S 9 = S 35 25 33 11 15 29 21 39 13 31 23 37 41 19 27 17 14 15 4 12 7 6 5 13 2 A 14 15 4 12 7 6 B C D E 5 13 F 2 G Halla el valor de la constante mágica en el siguiente cuadrado. Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los números pares desde el 10 hasta el 26. Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los números impares del 11 al 41. Encuentra el valor de la constante mágica de un cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los números: –5; –3; –1; 1; 3; 5; 7; 9; 11. Completa el siguiente cuadrado mágico. Completa el siguiente cuadrado mágico. En todas las direcciones debe sumar 30: Rpta. 33 Rpta. Rpta. Rpta. A = 6; B = 12; C = 8; D = 7; E = 14 y F = 9 Rpta. A = 0; B = 8; C = 8; D = 10; E = 10; F = 2 y G = 16 9 19 5 7 11 15 17 3 13 11 A 13 B 10 C D E F Resolución: Se suman tres números en cualquier dirección. 9 + 19 + 5 = 33 A + 14 + 15 + 4 = A + 12 + C + 13 C = 8 12 + 7 + 6 + B = 4 + B + 5 + G G = 16 13 + F + 2 + G = F + D + 7 + 14 D = 10 Constante mágica = 13 + D + 6 + 4 = 33 A = 0; B = 8; E = 10; F = 2 Resolución: La suma de todos los números es igual a 3 veces el valor de la constante mágica. 11 + A + 13 = 30 A = 6 A + 10 + E = 30 E = 14 11 + B + D = 30 D = 7 13 + C + F = 30 F = 9 13 + C + F = 30 13 + C + 9 = 30 C = 8 Resolución: Números: 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24 y 26 (P.A.) Resolución: Números: 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39 y 41 (P.A.) 20 10 24 22 18 14 12 26 16 26 20 24 14 18 22 12 16 10 INICIO 17 25 33 41 15 23 31 39 13 21 29 37 11 19 27 35 INICIO S S S Resolución: Resolución: 30 33MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 7 10 11 8 9 Halla el valor de la constante mágica de un cuadrado de 4 × 4 en el que se distribuyen los números enteros desde el –4 hasta el 11. Completa el siguiente cuadrado mágico latino, si el valor de su constante es 20 unidades. Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 9 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es –4n + 7. Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los 16 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es 2n + 5. Completa el siguiente cuadrado mágico con los números 4; 10; 12; 14; 16 y 24. Rpta. S = 14 Rpta. Rpta. Resolución: Los números a distribuir son: {–4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} Resolución: tn = 2n + 5 t1 = 2(1) + 5 = 7 Los 16 primeros términos serán: 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37. Resolución: Para calcular el valor de laconstante mágica sumamos todos los números del cuadrado. 3S = 4 + 10 + 12 + 14 + 16 + 24 + 8 + 18 + 20 3S = 126 S = 42 Ahora hallamos cada número: Ahora los distribuimos: Resolución: 4S = suma de todos los números 4S = 56 S = 564 = 14 Resolución: Los números son: t1 = –4(1) + 7 = 3 t2 = –4(2) + 7 = –1 t3 = –4(3) + 7 = –5 t4 = –4(4) + 7 = –9 t5 = –4(5) + 7 = –13 t6 = –4(6) + 7 = –17 t7 = –4(7) + 7 = –21 t8 = –4(8) + 7 = –25 t9 = –4(9) + 7 = –29 Al distribuirlos: • 3 + 11 + F = 20 F = 6 • 9 + C + F = 20 C = 5 • 9 + D + 3 = 20 D = 8 • C + D + E = 20 E = 7 • B + E + 3 = 20 B = 10 • 9 + A + B = 20 A = 1 • 8 + A + 18 = 42 A = 16 • 18 + D + 20 = 42 D = 4 • 8 + C + 20 = 42 C = 14 • 18 + C + E = 42 E = 10 • 8 + B + E = 42 B = 24 • E + F + 20 = 42 F = 12 9 11 3 8 18 20 –17 –21 –1 3 –13 –29 –25 –5 –9 –5 –17 –1 –29 –13 3 –25 –9 –21 INICIO 9 A B C D E F 11 3 8 A 18 B C D E F 20 Rpta. A = 1; B = 10; C = 5; D = 8; E = 7 y F = 6. 13 11 9 7 21 19 17 15 29 27 25 23 37 35 33 31 31 11 9 37 21 25 27 15 29 17 19 23 7 35 33 13 INICIO 2 2 2 2 34 Ejercicios de aplicación 1 2 3 20 23 16 21 Completa el siguiente cuadrado mágico. 8 50 80 38 20 44 14 26 98 Completa el siguiente cuadrado mágico. 12 15 13 Completa el siguiente cuadrado mágico. 26 5 20 11 17 23 14 29 8 Halla el valor de la constante mágica en el siguiente cuadrado. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los números pares del 2 al 32. Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los números impares del 1 al 17. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: 4 5 6 Resolución: 35MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático 7 8 9 10 11 12 Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución: Halla el valor de la constante mágica de un cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los números: –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5. Determina el valor de la constante mágica de un cuadrado de 4 × 4 en el que se distribuyen los números naturales desde el 10 hasta el 25. 16 1 7 Completa el siguiente cuadrado mágico, si el valor de su constante es 12 unidades. Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 9 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es 4n + 1 e indica la constante mágica. 10 9 4 Completa el siguiente cuadrado mágico con los números 2; 5; 6; 7; 8 y 12. Luego, halla el valor de la constante mágica. Calcula el valor de la constante mágica de 4 × 4 con los 16 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es –2n + 3. 36 Practica y demuestra 1 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5 6 11 12 5 10 49 33 30 71 52 27 Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los 9 primeros números enteros positivos. Completa el siguiente cuadrado mágico, si el valor de su constante es 24 unidades. Completa el siguiente cuadrado mágico. Construye un cuadrado mágico de 4 × 4 con los 16 mayores números enteros negativos. ¿Cuánto es el valor de la constante mágica de un cuadrado de 3 × 3, sabiendo que sus números están en progresión cuyo término enésimo es 3n + 5? ¿Cuánto es el valor de la constante mágica de un cuadrado de 4 × 4, sabiendo que sus números están en progresión cuyo término enésimo es –n + 1? 31 29 13 15 25 11 5 27 Completa el siguiente cuadrado mágico. 1 29 17 7 –9 7 12 6 11 17 Completa el siguiente cuadrado mágico con los números: 3; 9; 13; 15 y 23. Halla el valor de la constante mágica de un cuadrado de 3 × 3 en el que se distribuyen los 9 primeros términos de la sucesión: 5; 8; 11; 14;... Completa el siguiente cuadrado mágico. Completa el siguiente cuadrado mágico con los números –4; –1; 2; 5; 8; 14 y 20, si además se sabe que la constante mágica es 24 unidades. ¿Cuánto es el valor de la constante mágica de 3 × 3, si se sabe que los números que se van a distribuir son los 9 primeros términos de la sucesión cuyo término enésimo es 4n ‒ 9? Rpta. Rpta. Rpta. Rpta. Tema 37MateMática Delta 2 - RazonaMiento MateMático Analogías y distribuciones numéricas 5 Existen diferentes tipos de ordenamientos, principalmente numéricos. En algunos casos intervienen letras, las mismas que representarán a un valor numérico. Analogías numéricas Las analogías numéricas son ejercicios de percepción, así como de relación o ley de formación que sirven para desarrollar el dominio de las operaciones matemáticas básicas, tales como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, tanto de manera independiente como combinadas. Ejemplo: Analogía Donde se cumple: 3 (16) 7 16 = 32 + 7 4 (25) 9 25 = 42 + 9 12 (155) 11 155 = 122 + 11 Análisis y resolución de analogías numéricas Para poder resolver problemas de analogías numéricas debemos de considerar lo siguiente: 1) Se debe realizar la misma operación en el mismo orden con todos los casos planteados por el problema. Es decir, si en la primera fila aplicaste una multiplicación, la misma operación se debe utilizar en todas las otras filas. Ejemplo: 5 (40) 8 40 = 5 × 8 2 (4) 2 4 = 2 × 2 y no podría ser 4 = 2 + 2 7 (x) 3 x = 7 × 3 2) Se debe respetar el orden de los operandos en todos los casos planteados por el problema. Es decir, si estamos realizando una sustracción donde el número de la segunda columna es el minuendo y el de la primera es el sustraendo, eso debe cumplirse para todas las otras filas. Ejemplo: Solución 1 Solución 2 9 (16) 5 16 = (9 – 5)2 16 = (5 – 9)2 12 (36) 6 36 = (12 – 6)2 36 = (6 – 12)2 14 (x) 4 x = (14 – 4)2 x = (4 – 14)2 3) Es muy importante que tengas un completo dominio de las tablas de multiplicación, así como del valor de los números cuadrados perfectos y cubos perfectos, puesto que estas operaciones son muy utilizadas en la resolución de los problemas. Ejemplo: 27 (54) 24 54 = (2 + 7) × (2 + 4) 10 (5) 14 5 = (1 + 0) × (1 + 4) 17 (x) 44 x = (1 + 7) × (4 + 4) En esta ocasión se trabaja con el producto de la suma de cifras de los números que están a los lados. Recu e rda Para poder resolver los problemas de analogías numéricas es importante que domines todas las operaciones matemáticas como adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación. * La propiedad conmutativa se cumple en la adición y en la multiplicación, pero no en la sustracción. Ejemplo: 7 + 4 = 4 + 7 (V) 10 × 8 = 8 × 10 (V) 15 – 7 = 7 – 15 (F) * 120 = 23 × 3 × 5 3600 = 24 × 32 × 52 Para calcular la raíz cuadrada de un número puedes recurrir a la descomposición canónica. * a + b 2 La semisuma de dos números es la mitad de la suma de ellos. * a – b 2 La semidiferencia de dos números es la mitad de la diferencia de ellos. * a × b 2 El semiproducto de dos números es la mitad del producto de ellos. * 38 No o lv id e s Distribuciones numéricas Las distribuciones numéricas son figuras en las que se encuentran distintos números ubicados de tal manera que se deben trabajar como una analogía; es decir, identificar la relación entre ellos para calcular el valor desconocido. Estas figuras pueden tener cualquier forma y se deben respetar las reglas establecidas en la parte de Analogías numéricas, al momento de resolverlas. Ejemplo 1: Calcula el valor de x en la distribución: Resolución: En este caso como la incógnita se encuentra en la parte interior de la figura, se debe buscar la relación de los otros números con esta cantidad. Al jugar con algunas operaciones se puede deducir que se debe trabajar con la suma de los productos de los números que están ubicados en las esquinas opuestas. 4 × 4 + 2 × 5 = 26 6 × 3 + 5 × 5 = 43 8 × 9 + 3 × 3 = x x = 72 + 9 = 81 Ejemplo 2: Calcula el valor de x en la distribución: Resolución:
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