Libro de Nivelación

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Nivelación
Matemática
Copyright © 2020 Duoc UC
PROGRAMA DE MATEMÁTICA DUOC UC
DUOC.CL
Segunda edición, Marzo 2020
CONTENIDOS: Paulina Ciudad Nieva, Carolina De Vico Berner, Tania Gonzalez Araneda, Patricio Gonzalez
Rodriguez, Leandro Gutiérrez Abarca, Gustavo Hernandez Cárcamo, José Loyola Loyola, Álvaro Mattus Donaire,
Rodrigo Miño Cerda, Josselin Obal Contreras, Max Romero Colillanca, Claudio Zamorano Sanchez.
COLABORADORES: Carolina De Vico Berner, Alexander Frank Marambio, Leandro Gutiérrez Abarca, Álvaro
Mattus Donaire, Ricardo Leal Lleuvul, Josselin Obal Contreras.
EDICIÓN Y GRÁFICAS: Alexander Frank Marambio, Leandro Gutiérrez Abarca y Álvaro Mattus Donaire.
Mecanografiado en LATEX. usando como base la plantilla The Legrand Orange Book de Mathias Legrand, licencia
Creative Commons: CC BY-NC-SA 3.0
Prefacio
Estimado(a) estudiante:
Este libro constituye la principal herramienta de la asignatura Nivelación Matemática cuyo
objetivo fundamental es reforzar aquellos contenidos y habilidades matemáticas que son
indispensables en toda persona que termina su formación secundaria e inicia su formación
profesional.
La habilidad más relevante que se aborda en esta asignatura es la de Resolución de Problemas,
y para contribuir a su desarrollo se han dispuesto en este libro actividades y problemas
desafiantes que además guiarán las clases y el trabajo autónomo de cada estudiante.
Este texto está dividido en tres unidades: (1) Los números en la vida, (2) Aplicaciones numéricas
en la resolución de problemas y (3) El lenguaje de las matemáticas, en las que encontrarás
explicaciones de los contenidos, variados ejemplos, actividades para el aprendizaje y guı́as
de ejercicios y problemas. Además cuenta con espacios para escribir el desarrollo de las
soluciones de algunos problemas y para tomar apuntes durante las clases.
¡Te invitamos a ser el protagonista de tu aprendizaje!
Programa de Matemática
Dirección de Formación General
Duoc UC
Índice General
I Los números en la vida
1 Operatoria con números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Origen de la matemática 3
1.2 Concepto de Número 3
1.3 Números enteros 5
1.4 Números reales y su representación decimal 7
1.5 Aproximaciones 8
1.6 Números decimales en la vida cotidiana 10
Guı́a 1 11
Problemas de la Sección 15
2 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Un todo y sus partes 29
2.2 Uso de la calculadora 31
2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles 32
2.4 Un número más 33
2.5 ¿Partes de cuál todo? 34
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes 35
Guı́a 2 37
Problemas de la Sección 50
3 Repaso de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Guı́a Resumen Unidad I 60
3.1 Soluciones guı́a repaso 1 66
II Aplicaciones numéricas en la resolución de problemas
4 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Concepto de razón 69
4.2 Escalas 71
4.3 Proporción 73
4.4 Regla de las proporciones 74
4.5 Cambio de unidades 75
Guı́a 3 76
Problemas de la sección 82
4.6 Porcentajes 90
4.7 Variaciones porcentuales 92
4.8 Puntos porcentuales 93
Guı́a 4 94
Problemas de la sección 100
5 Potencias y raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Potencias 107
5.2 Aplicaciones de potencias 109
5.3 Raı́ces 110
5.4 Aplicaciones de raı́ces 111
Guı́a 5 112
Problemas de la sección 117
III El lenguaje de las matemáticas
6 Lenguaje algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.1 Lenguaje algebraico: un antes y un después 125
6.2 Generalizaciones 126
6.3 Del lenguaje natural al algebraico 127
6.4 Fórmulas 130
Guı́a 6 132
Problemas de la Sección 138
6.5 Expresiones Algebraicas 145
6.6 Operaciones de Expresiones Algebraicas 145
6.7 Simplificación de expresiones algebraicas 149
Guı́a 7 151
Problemas de la Sección 161
7 Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.1 Ecuaciones 169
7.2 Ecuaciones de primer grado de una variable 170
Guı́a 8 172
Problemas de la sección 179
7.3 Plantear y resolver ecuaciones 185
Guı́a 9 189
Problemas de la sección 195
Guı́a resumen Unidades I y II 200
Soluciones Guı́a Resumen Unidades I y II 204
I
1 Operatoria con números . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Origen de la matemática
1.2 Concepto de Número
1.3 Números enteros
1.4 Números reales y su representación decimal
1.5 Aproximaciones
1.6 Números decimales en la vida cotidiana
Guı́a 1
Problemas de la Sección
2 Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1 Un todo y sus partes
2.2 Uso de la calculadora
2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles
2.4 Un número más
2.5 ¿Partes de cuál todo?
2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes
Guı́a 2
Problemas de la Sección
3 Repaso de la Unidad . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Guı́a Resumen Unidad I
3.1 Soluciones guı́a repaso 1
Los números en la vida
1. Operatoria con números
1.1 Origen de la matemática
¿Cierto o Falso?
El origen de la forma de los
números coincide con la cantidad
de ángulos que poseen.
1
1 1
2
2
3
1 1 1
2 2 23
3 34
4
4
5 56
Una sucesión singular
1 12
1+3 22
1+3+5 32
1+3+5+7 42
1+3+5+7+9 52
1+3+5+7+9+11 62
Matemática o Matemáticas, es el estudio de las relaciones entre cantidades, magni-
tudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades,
magnitudes y propiedades desconocidas.
En el pasado la matemática era considerada como la ciencia de la cantidad, referida a
las magnitudes (como en la geometrı́a), a los números (como en la aritmética), o a la
generalización de ambos (como en el álgebra).
En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: en los diseños
prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres se pueden encontrar
evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas.
Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados en el uso de los dedos de una o dos
manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que
las bases son los números 5 y 10.
1.2 Concepto de Número
Seguramente habrás escuchado, o incluso trabajado, con distintos tipos de números;
como por ejemplo 2,−5 ó 1/3, todas estas expresiones son parte de diferentes conjuntos,
los que llamamos conjuntos numéricos.
Estos conjuntos de números han ido apareciendo a medida que la humanidad se ha
visto en la necesidad de solucionar problemas y retos cada vez más complejos y más
profundos.
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4 Capı́tulo 1. Operatoria con números
El siguiente recuadro muestra una clasificación de los números reales, que son todos
aquellos que la humanidad ha utilizado para hacer mediciones.
Desaf́ıo: Completa la
secuencia
12 = 1
112 = 121
1112 = 12321
11112 = 1234321
111112 = 123454321
1111112 = 12345654321
11111112 = 1234567654321
111111112 = 123456787654321
Desaf́ıo ¿Cuál es el valor
que falta?
3?3 = 54
4?2 = 48
5?1 = 30
6?2 =??
(No es 72)
Clasificación de los números reales
Reales R

Racionales Q

Enteros Z

Naturales N

Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
No enteros
{
Fracciones propias
Fracciones impropias
Irracionales I
{
Irracionales algebraicos
Irracionales trascendentes
Actividad 1.1 Observe y analice el esquema anterior de la clasificación de los
númerosreales. Con este esquema y toda la ayuda que quiera (internet, calculadora,
etc.), complete la siguiente tabla:
Números Definición o caracterı́sticas
Naturales
Enteros
Racionales
Irracionales
Reales
Busca el valor aproximado con 15 decimales de:
π ≈
e≈
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1.3 Números enteros 5
1.3 Números enteros
Los números naturales nacen por la necesidad de contar y es desde ese entonces que
la humanidad comienza el descubrimiento de las matemáticas, sin embargo, desde los
problemas de contar pasaron milenios hasta que los matemáticos quisieran enfrentar
ecuaciones del tipo x+2 = 1 y, por extensión, a la necesidad de los números negativos
(también del cero), y no es hasta el año 628, en la obra de Brahmagupta, en que aparece
sistematizada la aritmética de los números enteros.
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
enteros negativos enteros positivos
¿Sabı́as que?
Las propiedades completas de
las operaciones con los negativos
y el cero las dio Brahmagupta
(598–670) en el siglo VII después
de Cristo. Brahmagupta explica
todas las reglas en términos de
deudas y fortunas, incluso re-
firiéndose al cero, por ejemplo, si
de cero se resta una fortuna queda
una deuda, es decir, 0− (+5) =
−5 o, al contrario, si de cero se
resta una deuda da una fortuna
0− (−5) = 5.
La suma y la resta de estos números no presentan grandes problemas, es intuitivo al
considerarlos como fortunas y deudas o al representar las operaciones como desplaza-
mientos en la recta númerica.
Ejemplos: aritmética de fortunas y deudas
5−3 es equivalente a pensar que tengo 5 y adeudo 3, por lo tanto mi fortuna es 2
3− 5 es equivalente a pensar que tengo 3 y adeudo 5, por lo tanto me queda una
deuda igual a 2
−3−5 es una deuda de 3 y una deuda de 5, por lo que mi deuda total es 8
Ejemplos: aritmética en la recta numérica
5−3 = 2:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−3
3−5 =−2:
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
−5
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6 Capı́tulo 1. Operatoria con números
Actividad 1.2 Reescriba las siguientes operaciones en términos de fortunas y
deudas y además esboce su representación en la recta numérica
a) −7+2 =
b) 2−7 =
c) −7− (−2) =
d) 7− (−2) =
e) 10+70− (−20) =
Con calculadora
DEL9
ENG
87
4 5 6
321
0 Ans
AC
STO M+
OPTN CALC
lnlog
sin cos tan
QR SOLVE
( ( S D
( )
2
-1
CONST CONV RESET INS OFF
nPr nCr
Pol Rec
%Rnd Ran#
RECALL Abs
FACT sin cos tan-1 -1 -1log
M
3
10
3
UNDO
M
FEDCBA
DEC HEX BIN OCT
Ranlnt
i
Σ
d
d
SHIFT ALPHA MENU SETUP ON
x
x x
e
x
x°,,,
abc
d
cx y,
x!
x
eπ
10x
Presione p7+2=
Los signos en la multiplicación
Todos hemos escuchado (o recitado) en algún momento de nuestra vida escolar la letanı́a
”más por más, más; más por menos, menos. . . ”, es decir, todos hemos escuchado la
regla de los signos. Pero más allá de escucharla, ¿de dónde sale?
La regla de los signos para
la multiplicación
Al multiplicar números del mismo
signo el resultado es positivo.
Al multiplicar números de distinto
signo el resultado es negativo.
Además aplica de manera
análoga para la división.
Podemos entender que multiplicar dos números positivos dé como resultado otro
positivo, pues es lo que hemos venido haciendo desde siempre. Multiplicar un negativo
por un positivo da negativo pues no es más que
−a ·b =−a−a−·· ·−a︸ ︷︷ ︸
b veces
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1.4 Números reales y su representación decimal 7
Menos intuitivo es por qué multiplicar dos números negativos dé un positivo.
Un intento de justificación, debido al gran matemático Laplace, podrı́a ser el siguiente:
la multiplicación de un número por 0 es siempre 0. Es decir, el producto
−a · (−b+b) = 0
pues −b+b es nulo. Pero esto no es más que
−a · (−b+b) = 0
−a ·−b−a ·b = 0
(−a ·−b)−ab = 0
−a ·−b = ab
Al ser la diferencia cero
las expresiones son iguales
Esta es una de las posibles justificaciones, de origen algebraico, de esta parte de la
regla de los signos. Teniendo cierta justificación para su uso, podemos ver que esta
regla aplica también a la suma y resta. Ası́, para responder la pregunta “¿cuánto vale
5−−3?”, podemos interpretar la operación como
5−−3 = 5 − − 3 = 5(−·−)3 = 5+3 = 8
Otra forma de interpretarlo podrı́a ser una metáfora de movimiento: si sumo un número,
me muevo a la derecha tantas unidades como el número; si resto un número, me muevo
hacia la izquierda. Entonces, restar un negativo es moverme hacia la izquierda en
sentido contrario, es decir, a la derecha. El siguiente gráfico explica la idea.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−3 −−3
1.4 Números reales y su representación decimal
Los números enteros no son suficientes para hacer mediciones. Por ejemplo, si dos
personas de diferente estatura miden entre 180 y 181 centı́metros, ¿cómo ser más
precisos para saber quién es más alto? O en una carrera de 100 metros planos, ¿cómo
diferenciar los tiempos del primer lugar y el segundo lugar si ambos se demoran entre 9
y 10 segundos?
Tipos de números decimales
Hay decimales finitos e infini-
tos. Los decimales infinitos, a
su vez, los podemos clasificar en
periódicos, semiperiódicos y no
periódicos.
Ejemplos:
Decimal finito
DECI 6,37
Decimal infinito periódico
DECI 2,41 = 2,414141 . . .
Decimal infinito semiperiódico
DECI 5,043 = 5,043333 . . .
Decimal infinito no periódico
DECI π = 3,1415926 . . .
Para esto, existen números entre los enteros. De hecho, entre cada entero hay infinitos
números. Algunos de estos números nacen como resultado de división de dos números
enteros, por lo que son conocidos como racionales. Observa que un número entero
también es racional, pues puede expresarse como su división por 1. Otros de estos
números no pueden escribirse como una fracción, por lo que se les llama irracionales.
El conjunto total de los números, racionales con irracionales, forma los números reales.
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8 Capı́tulo 1. Operatoria con números
En general, un número real puede representarse de distintas maneras, por ejemplo,
algunos pueden como fracción, puede asignarsele sı́mbolos (como π , e, φ ), operaciones
(
√
2, 32), pero la manera más común es su representación decimal.
Al representar un número como decimal, éste tiene dos partes, la parte entera y la parte
decimal, ambas conectadas por un separador decimal. En Chile usamos la coma pero
hay paı́ses en los que se usa el punto y otros donde se usa el apóstrofe.
Al igual que al escribir un número entero, la posición de cada dı́gito dentro de la parte
decimal tiene un significado. Cada posición de la parte decimal representa el número
de potencias de 10 correspondientes. Por ejemplo, en 7,64 el 6 representa 6 partes de
10 en que se divide la unidad, mientras que el 4 representa 4 partes de 100 en que se
divide la unidad.
Ejemplo: Número 7,64
7,64
Parte entera Coma Parte decimal
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 7,1 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,8 7,9 8
7,6 7,61 7,62 7,63 7,64 7,65 7,66 7,67 7,68 7,69 7,7
7,64 está entre el 7 y el 8.
7,64 está entre el 7,6 y el 7,7.
1.5 Aproximaciones
Hay dos procedimientos para aproximar un número, el redondeo y el truncamiento.
Redondeo Se considera la cifra a la cual se quiere aproximar el número. Si el dı́gito
que sigue a la derecha es mayor o igual que 5, se aumenta la cifra en uno y se
reemplazan por ceros todos a su derecha.
¿Sabı́as que?
No es necesario escribir los ceros
a la derecha en la parte decimal.
Por ejemplo,
12,345000 = 12,345
Truncamiento Se considera la cifra a la cual que se quiere aproximar el número. Todas
las cifras que siguen a la derecha se reemplazan por ceros.
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1.5 Aproximaciones 9
Ejemplo: Procedimientos para aproximar
Aproximaciones de 145,58713
Redondeo Truncamiento
a la milésima 145,587 a la milésima145,587
a la centésima 145,59 a la centésima 145,58
a la décima 145,6 a la décima 145,5
a la unidad 146 a la unidad 145
a la decena 150 a la decena 140
a la centena 100 a la centena 100
Si el valor total de tu cuenta termina:
De $1 a $5 se redondeará para abajo
$785 = $780
De $6 a $9 se redondeará para arriba
$786 = $790
Figura 1.1: Afiche informativo de
la “Ley del Redondeo”.
Actividad 1.3 En la verdulerı́a de Don Roberto se comenzó a aplicar la “Ley de
Redondeo” (ver Figura 1.1).
Complete la siguiente tabla, que considera las primeras ventas (con pago en efectivo)
de Don Roberto una vez aplicada la ley. Recuerde que el precio en pantalla es
redondeado a la unidad automáticamente por la balanza electrónica, y por lo tanto
no debe tener cifras decimales.
Detalle Valor por
kilogramo
Peso en pantalla (kg) Precio en
pantalla
Monto
a pagar
Zanahorias $ 450 1,250
Tomates $ 800 2,685
Manzanas $ 530 1,855
Papas $ 480 5,760
Limones $ 300 1,475
Plátanos $ 650 3,150
Naranjas $ 500 2,050
a) ¿Cuánto dinero ganó o perdió Don Roberto considerando los montos que
hubiera cobrado antes de la ley?
b) ¿Cuán diferentes serı́an los montos si Don Roberto aplicara la aproximación
por redondeo, en lugar de la “ Ley del Redondeo”?
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10 Capı́tulo 1. Operatoria con números
1.6 Números decimales en la vida cotidiana
Los números reales aparecen en distintos contextos cotidianos, desde tus notas hasta
la cantidad de pan que compras (¿compras por kilogramo o por unidad? En ambos
casos es un número real). Como vimos anteriormente, una de las representaciones
más comunes es la decimal, por lo que trabajaremos con ésta antes de pasar a otras
representaciones, como las fracciones.
Centésimas de segundo
Para registrar tiempos en algunas
competencias, fue necesario di-
vidir el segundo en 100 partes,
llamadas centésimas de segundo.
Ejemplo: 83,94 segundos significa
83 segundos con 94 centésimas de
segundo.
Actividad 1.4 La siguiente tabla muestra los récords mundiales de 100 metros
planos masculinos:
Evolución del récord mundial en 100 metros planos
varonil, por debajo de la lı́nea de los 10 segundos
9,95 Jim Hines EU 14/10/68 Ciudad de México
9,93 Calvin Smith EU 02/07/83 Colorado Springs
9,92 Carl Lewis EU 24/09/88 Seúl
9,90 Leroy Burrell EU 14/06/91 Nueva York
9,86 Carl Lewis EU 25/08/91 Tokio
9,85 Leroy Burrell EU 06/07/94 Lausana
9,84 Donovan Bailey Canadá 27/07/96 Atlanta
9,79 Maurice Greene EU 16/06/99 Atenas
9,77 Asafa Powell Jamaica 14/06/05 Atenas
9,77 Asafa Powell Jamaica 11/06/06 Gateshead
9,77 Asafa Powell Jamaica 18/08/07 Zurich
9,74 Asafa Powell Jamaica 09/09/07 Rieti
9,72 Usain Bolt Jamaica 31/05/08 Nueva York
9,69 Usain Bolt Jamaica 16/08/08 Pekı́n
9,58 Usain Bolt Jamaica 16/08/09 Berlı́n
a) ¿En qué fecha se logró batir el record con una mayor diferencia de tiempo al
record anterior? ¿a cuánto tiempo corresponde esa diferencia?
b) ¿Quién mantuvo por mayor tiempo el record mundial? ¿a cuántos dı́as corres-
ponde?
c) Si Usain Bolt y Jim Hines compitieran juntos en la misma carrera (mante-
niendo los tiempos indicados en la tabla) ¿Cuántos metros separarı́a a Bolt
(2009) de Jim Hines, cuando el primero llegue a la meta?
d) ¿Por qué crees que Jamaica lidera por tantos años en este último periodo?
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Gúıa 1
P1. Una empresa dedicada al rubro de alimentación de animales tiene un total de 7.250 kg de alimento para
perros, los cuales se envasan en bolsas de 4,5 kg. También tiene 5.408 kg de alimento para gato, los cuales
se envasan en bolsas de 2,5 kg, ¿Cuál es el mayor número de bolsas que se pueden envasar?
P2. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 °C por cada 200 m de altura. ¿A qué altura
habrá que ascender para alcanzar −15 °C, si el punto de partida está a una altura de 300 m y la temperatura
es de 5 °C?
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12 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P3. Hay que transportar 960 sacos de papas (cuyo peso es de 25 kg cada uno) desde una comuna a otra. Para
ello se cotizó con 3 transportistas, obteniendo la siguiente tabla:
Carga Máxima Camión Valor Viaje
Transportes A 3.500 kg $ 14.000
Transportes B 6.000 kg $ 20.000
Transportes C 7.500 kg $ 26.000
a) Si tuviera que contratar a un solo transportista, ¿cuál de ellos le conviene?
b) ¿Cuál es la mejor combinación que puede hacer para pagar menos?
c) Si por concepto de transporte se gastó $ 94.000, ¿cuál fue la opción que eligieron? ¿Cuántos sacos
adicionales pudieron haber transportado por ese mismo precio?
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Guı́a 1 13
P4. La temperatura a las 20:00 hrs. es de 10,4 °C y se sabe que la temperatura baja 0,26 °C cada 16 min. ¿Cuál
será la temperatura que se registra a las 23:00 hrs.?
P5. La siguiente tabla muestra la productividad de cuatro máquinas:
Máquina Productividad
Máquina 1 21 artı́culos en 7 h
Máquina 2 192 artı́culos en 2 dı́as seguidos
Máquina 3 36 artı́culos en 1.080 min
Máquina 4 78 artı́culos en 93.600 s
a) ¿Cuál es la más productiva?
b) Si se utilizan las 4 máquinas al mismo tiempo ¿Cuántos artı́culos producen en 2 horas?
c) Usando sólo 3 máquinas la misma cantidad de tiempo ¿es posible producir exactamente 27 artı́culos?
Explica.
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14 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P6. Roberto colocará baldosas en el patio de su casa. Las dimensiones del patio se describen en el siguiente
dibujo.
800 cm
700 cm
500 cm
400 cm
Se evalúan dos posibilidades: comprar baldosas grandes de 50cm× 50cm que vienen en cajas de 10
unidades o baldosas pequeñas de 25cm×25cm que vienen en cajas de 15 unidades. El costo está resumido
en la siguiente tabla:
Tipo baldosa Precio por caja
Grande $9.000
Pequeña $3.500
a) ¿Cuántas cajas de baldosas grandes se necesitarı́an para cubrir todo el patio?
b) ¿Cuántas cajas de baldosas pequeñas se necesitarı́an para cubrir todo el patio?
c) ¿Qué tipo de baldosa es más conveniente? ¿Cuánto deberá pagar Roberto por las baldosas?
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Problemas de la Sección
P1. En la siguiente tabla se muestran algunas afirmaciones que involucran números enteros. Complete la
siguiente tabla con el número entero que mejor represente la situación:
Afirmación Número
La temperatura ambiente es de 2 °C bajo cero −2
La temperatura ambiente es de 2 °C sobre cero 2
La ciudad se encuentra a 800 m sobre el nivel del mar
El buzo está nadando a 20 m de profundidad
Estamos justo al nivel del mar
El avión está volando a 9.500 m de altura
El saldo deudor de la cuenta corriente es de $12.356
Los termómetros marcaron una temperatura de 3 °C bajo cero
Latitud de la lı́nea del ecuador
La altura del monte Aconcagua es de 7.010 m
La profundidad de la fosa marina de Tonga es de 10.882 m
Maritza debe $11.650
Andrés tiene $3.580
El submarino está a 35 m bajo el nivel del mar.
P2. Siete amigos elaboran volantines para su venta, trabajando durante 6 horas seguidas cada dı́a. Completan
cajas con 35 volantines y las venden a $8.500 cada una. La cantidad de volantines que cada amigo elabora
en una hora se muestra en la siguiente tabla:
Amigo 1 2 3 4 5 6 7
Unidades por hora 5 6 4 8 9 6 7
a) ¿Cuántos volantines producen en un dı́a de trabajo?
b) ¿Cuántas cajas completas producen por dı́a?
c) Si trabajan durante 5 dı́as, ¿cuántas cajas pueden vender?
d) ¿Cuántos dı́as deben trabajar para completar un stock equivalente a 2 millones de pesos por concepto
de ventas?
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16 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P3. Cuatro amigas sacan dinero de 4 cajeros automáticos diferentes, cada cajero entrega el dinero usando solo
un tipo de billete,como se indica en la tabla:
Amiga Monto del giro Tipo de billete entregado
Javiera $200.000 $20.000
Marcela $100.000 $10.000
Tamara $50.000 $5.000
Andrea $30.000 $2.000
En un pub, deben cancelar en efectivo una cuenta de $80.000, que dividen en partes iguales. Asumiendo
que entre ellas se pueden intercambiar dinero, con el fin de tener billetes de distinto valor:
a) ¿Con cuántos billetes y de qué valores quedarı́a cada una, si pagaran esa cuenta sin esperar vuelto del
local?
b) Si antes de pagar el monto anterior, el local le aplica un descuento de 20%, ¿cómo se podrı́a distribuir
la cantidad de billetes con que paga cada una para que a ninguna se le quede debiendo?
c) ¿Hubiese sido posible pagar una cuenta de $68.000 con los criterios anteriores? Justifique.
P4. En un paseo de fin de año, un curso desea conocer la cantidad de buses que necesitan, junto al valor de una
cuota por familia para costear el traslado. Considere los siguientes datos:
• El curso es de 38 alumnos, de los cuales 5 no pueden ir al paseo.
• Cada alumno llevará a 2 personas como acompañantes. Además, asistirán 2 profesores del colegio, los
cuales no cancelan.
• La capacidad de cada bus es de 42 personas (fuera del chofer) y tiene un costo de $ 87.000.
a) ¿Cuántos buses se necesitan para el paseo?
b) ¿Cuál crees que fue el valor cuota que se le pidió a cada familia para financiar el transporte de dicho
paseo?
c) Uno de los padres propuso pagar $10.000 de bencina a cada familia que pueda ir en automóvil, con el
fin de contratar 1 bus menos. ¿Será conveniente esta idea? Justifique.
P5. En el fútbol, un equipo que gana un partido logra 3 puntos, si empata logra 1 punto, y si pierde, no obtiene
puntos. Complete la siguiente tabla, con los posibles resultados obtenidos por un determinado equipo:
Partidos jugados Puntos ¿Cómo lograrı́a esos puntos?
Equipo A 4 10
Equipo B 5 10
Equipo C 6 15
Equipo D 7 15
a) ¿Existe otra forma de que el Equipo A obtenga ese puntaje? Justifique.
b) ¿Y el Equipo D?
c) Si un equipo juega 6 partidos, ¿qué cantidad de puntos totales no podrá obtener? Busque varias
opciones.
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Problemas de la Sección 17
P6. El siguiente gráfico muestra la distribución de puntajes obtenidos por los alumnos de un determinado
colegio:
Distribución del puntaje PSU Matemática
20
40
60
80
100
2
12
33
53
79
69
34
14
4
31
3-
36
4
36
4-
41
5
41
5-
46
6
46
6-
51
7
51
7-
56
8
56
8-
61
9
61
9-
67
0
67
0-
72
1
72
1-
77
2
Rango Puntaje
N
◦
de
es
tu
di
an
te
s
a) ¿En qué rango se encuentran los 18 mejores puntajes?
b) ¿Cuántos alumnos del colegio rindieron la PSU ese año?
c) ¿Qué porcentaje de los alumnos obtuvo sobre 670 puntos?
P7. En la siguiente tabla se muestra la distribución del número de hijos de los trabajadores de una empresa, en
cada una de sus 2 sucursales.
Nro. de hijos Sucursal 1 Sucursal 2
0 15 12
1 32 45
2 17 21
3 11 14
4 2 6
5 3 2
a) ¿Cuántos trabajadores tiene cada sucursal?
b) Para el aniversario de la empresa se desea hacer un regalo a todos los hijos de sus funcionarios.
¿Cuántos regalos se deben considerar?
c) ¿Qué porcentaje de los trabajadores de la empresa no tiene hijos?
d) ¿Cuántos trabajadores tienen una cantidad de hijos mayor al promedio del número de hijos de los
trabajadores de la empresa?
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18 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P8. Una empresa chilena dedicada al procesamiento del salmón, cultiva en sus piscinas de crecimiento dos
tipos de salmón: Salmón Atlántico y Salmón Coho. En promedio el Salmón Atlántico pesa 2,4 kg y el
Salmón Coho pesa 2,8 kg. La empresa recibe un pedido de 82 unidades de Salmón Atlántico y 76 unidades
de Salmón Coho. Para poder despachar el pedido, se debe introducir el salmón en cajas especiales que
conservan en frı́o, las cuales tienen una capacidad de 15 kg cada una. ¿Cuántas cajas se deben despachar
para cumplir con el pedido, considerando que cada tipo de salmón va en cajas distintas? Los salmones deben
ir enteros.
P9. Siete hermanos compran una propiedad en $24.062.500 dividiendo su costo en partes iguales. A los 5 años,
venden la propiedad y cada uno de ellos recibe $5.055.000. ¿Cuánto ganó cada uno de ellos?
P10. Un comerciante solicita un presupuesto de un mismo producto a tres diferentes distribuidoras, la información
recibida se resume en la siguiente tabla:
Valor al
detalle
Valor al
por mayor
Distribuidora 1 $3.300 $2.750
Distribuidora 2 $2.900 $2.550
Distribuidora 3 $2.850 $2.800
Parte de la información recibida señala que en la primera distribuidora los valores al por mayor son aplicables
cuando se compran más de 20 unidades, en la segunda distribuidora cuando se compran más de 30 unidades
y en la tercera distribuidora cuando se compran más de 15 unidades. Si el comerciante desea comprar 25
unidades del producto:
a) ¿Qué valor unitario debe cancelar en cada distribuidora?
b) ¿Cuánto cancela en total por su pedido, si elige la opción más conveniente?
c) Si tuviera que comprar 35 unidades, ¿dónde le convendrı́a hacer la compra?
d) ¿Para qué número de productos le conviene la tercera distribuidora?
P11. Francisco necesita comprar 4 neumáticos para su camioneta. Cada uno le cuesta $52.500 y pagará en 8
cuotas iguales, con un interés total de $30.000. ¿Cuál es el valor de cada cuota?
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Problemas de la Sección 19
P12. El gráfico de la Figura 1.2 muestra 6 calificaciones obtenidas por tres amigos:
1
2
3
4
5
6
7
Camilo Andrea Francisco
Nota 1 Nota 2 Nota 3 Nota 4 Nota 5 Nota 6
2,1
2,1
3,1 3,4
3,5
3,1
3,1 3,6
5,3
6,7
4,4
5,9
3,7
5,6
4,7 4,7
6,8
3,7
Figura 1.2: Notas obtenidas por los tres amigos.
a) Si cada nota tiene la misma ponderación ¿Cuál es el promedio de cada estudiante?
b) ¿En cuál de las 6 evaluaciones el resultado fue mejor? Justifique.
P13. Andrés tiene una camioneta para hacer fletes en la región donde vive. Andrés no acepta traslados de más de
112,6 km de distancia y cobra $415 por cada kilómetro recorrido. Durante una semana realizó dos viajes
de 86,4 km y tres viajes de 108,52 km. Además decidió aceptar un traslado equivalente a 128,2 km, pero
le cobra a la persona $615 por cada kilómetro adicional. ¿Cuánto dinero en total recauda Andrés por esta
semana de trabajo?
P14. Desde enero a abril del año 2017, se inscribieron 102.086 vehı́culos livianos en el Registro Civil. Las 10
marcas más inscritas se detallan en la siguiente tabla:
Puesto Marca Unidades inscritas
1 CHEVROLET 10.014
2 HYUNDAI 9.140
3 KIA MOTORS 9.104
4 NISSAN 8.562
5 TOYOTA 7.763
6 SUZUKI 7.668
7 FORD 4.864
8 PEUGEOUT 4.862
9 MAZDA 4.244
10 MITSUBISHI 3.950
Con la información anterior, responda:
a) ¿Cuál es el total de unidades inscritas en ese periodo, considerando las 10 marcas que se exponen en la
tabla?
b) ¿Para cuáles marcas se puede decir que se inscribieron aproximadamente el doble de una marca que de
otra?
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20 Capı́tulo 1. Operatoria con números
P15. Sergio compró en la vega 8 cajas de tomates, 6 cajas de paltas, y 5 sacos de papas. Cada caja de tomates
pesa 8,6 kg, cada caja de paltas pesa 7,4 kg y cada saco de papas pesa 6,2 kg. El vehı́culo de Sergio sólo
puede transportar como máximo 250 kg en total. Si Sergio pesa 85,3 kg, ¿puede transportar en su vehı́culo
todo lo que compró? ¿Por qué?
P16. Los tiempos que demoraron 2 amigos en armar un cubo Rubik 5×5 se muestran en la siguiente tabla:
Amigo Mauricio Roberto
Tiempo 0,3 h 20 min
¿Cuál(es) de las siguientes opciones es(son) verdadera(s)?
a) El que demora menos es Roberto
b) Roberto demora 10 minutos menos que Mauricio
c) La diferencia de tiempos es de 120 segundos
d) Roberto es 2 minutos más rápido de Mauricio
P17. Rafael comenzará a correr todas lasmañanas, paro aún no decide a cuál de 4 parques asistirá. A continuación
se da una imagen referencial de cada parque, junto con información relevante.
Parque I Parque II Parque III Parque IV
– Los ángulos de todas las figuras son rectos.
– Todos los parques tienen el mismo largo y ancho.
– La cuarta parte de cada parque está destinada para plantar árboles.
a) ¿En cuál de los parques deberı́a haber una mayor cantidad de árboles plantados? Justifique.
b) Si Rafael quiere correr por el borde de un parque ¿en cuál de ellos logra una mayor distancia?
Justifique.
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Problemas de la Sección 21
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22 Capı́tulo 1. Operatoria con números
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28 Capı́tulo 1. Operatoria con números
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2. Fracciones
2.1 Un todo y sus partes
Origen de la palabra
Al momento de traducir los
textos en árabe del importante
matemático persa Al-Juarismi, se
eligió la palabra latina fractio
para referirse a los números “que-
brados” (al-Kasr) de los que se
hablaba en dichos textos.
Hemos usado los números para contar, pero hay algo que hemos dejado fuera. Por
ejemplo, supongamos que tenemos una barra de chocolate, pero sin poder reprimir la
tentación, nos comemos algunos pedacitos.
Claramente, la barra es más pequeña después de haber comido los pedacitos. En otras
palabras, la barra pequeña es una parte de la barra original. Podemos ir más lejos y ser
más precisos en qué parte queda de la barra original. Si nos fijamos, la barra original
tenı́a 10 cuadraditos iguales, mientras que después de comer quedan sólo 6, iguales a
los primeros.
Tenemos dos elementos dando vueltas aquı́ que son importantes:
• Una división de un total en pedacitos iguales,
• Un conteo del número de pedacitos que tenemos, queremos usar o, en general,
consideramos como una medida o un estándar.
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30 Capı́tulo 2. Fracciones
En nuestro caso, tenemos 6 pedacitos de 10. Para simbolizar, usaremos la notación
6
10
donde el número de arriba simboliza el número de pedacitos que quedan y el de abajo
el número de pedacitos que hace una barra completa.
Veamos otros casos donde podemos utilizar la misma idea. Por ejemplo, si tenemos
bolitas de colores, podemos ver que 3 son blancas y 5 son verdes.
Cómo leer una fracción
Veámoslo con algunos ejemplos:
1/2 se lee “un medio”
2/3 se lee “dos tercios”
¿Qué fracción de las bolitas son blancas? Para responder esta pregunta, debemos
considerar el total de bolitas, 8, y la parte que nos interesa, las 3 bolitas blancas. Por lo
tanto, 3/8 de las bolitas son blancas.
O podemos considerar un terreno que es dividido entre 4 hermanos. Si se divide entre
partes iguales, podemos ver que a cada hermano le corresponde una parte de las cuatro
en que se dividió el terreno
Con calculadora
Presione 5a4=
Si su calculadora no tiene como
opción natural display se verá ası́:
En todos estos casos estamos haciendo algo que es importante de comprender y manejar,
la idea de partes de un total. Esta idea es una de las bases del concepto de fracción.
Vamos a representar una fracción de la siguiente forma
a
b
Raya Enteros
O variaciones como a/b.
Numerador más grande
Si el numerador es más grande que
el denominador, la fracción repre-
senta una cantidad más grande que
el total.
Por ejemplo la fracción 7/3 dice
que el total se divide en tres partes
y se consideran 7 de ellas (!).
En la calculadora se puede ver que
7/3 = 2 1/3, es decir, tenemos el
doble del total más una tercera
parte.
El entero a se llama numerador y el entero b se llama denominador.
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2.2 Uso de la calculadora 31
Actividad 2.1 Complete la siguiente tabla:
Fracción Cómo se lee
5/4
Tres medios
Un séptimo
10/3
5/6
doce quinceavos
Si consideramos a las fracciones como partes de un total, el denominador cuenta el
número de partes en que se divide el total, mientras que el numerador cuenta el número
de partes que estamos considerando.
Actividad 2.2 Considerando a las fracciones como partes de un todo, ¿qué sig-
nifica la fracción −2/3? ¿Qué significa 0/3? ¿Qué significa 3/0?
2.2 Uso de la calculadora
¿y sin calculadora?
Un número mixto es de forma
Ab/c y corresponde a la abre-
viatura de A+b/c
Sin calculadora se trasforma a una
fracción con la fórmula
A · c+b
c
.
Ejemplo
51/4−→ 5 ·4+1
4
−→ 21
4
.
Actividad 2.3 En esta actividad usted experimentará con su calculadora. Complete
la siguiente tabla y comente con sus compañeros.
Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ejercicio 3
Ingrese a su calculadora 1/2 4/3 5 1/4
¿Cómo muestra el número su cal-
culadora?
Presione n
¿qué ocurre?
Presione q + n
¿qué ocurre?
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32 Capı́tulo 2. Fracciones
2.3 Fracciones equivalentes e irreducibles
Ocurre algo curioso en nuestro ejemplo de la barra de chocolate. Si recordamos,
tenı́amos 6 pedacitos de un total de 10 que contiene la barra. Podemos representarlo
como sigue
pero parece que podrı́amos representarlo también como
De hecho, no cuesta mucho darse cuenta que incluso en nuestro lenguaje cotidiano
tener 6 trozos de 10 es equivalente a tener 3 de 5.
En otras palabras, ocurre que cuando tenemos una fracción, tenemos muchas repre-
sentaciones distintas para la misma fracción. Es parecido a decir el número 5−2 o el
número 2+1, que no son más que formas distintas de decir 3.
De forma gráfica es fácil encontrar fracciones equivalentes, simplemente dividiendo en
más partes iguales. Por ejemplo
y de forma aritmética, basta con multiplicar o dividir ambas partes de la fracción por el
mismo número
3·2
5·2
=
6
10
6·2
10·2
=
12
20
3
5
=
6
10
=
12
20
Sin embargo, si hay tantas formas (de hecho, infinitas) de representar la misma fracción,
¿cuál es la correcta? Todas son correctas, pero hay una forma más económica, aquella
que tiene los menores numerador y denominador. Esta forma de la fracción se llama
fracción irreducible. Sabemos que tenemos una fracción irreducible cuando no puede
simplificarse más, es decir, no podemos dividir el numerador y el denominador por un
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2.4 Un número más 33
mismo número y que el resultado siga siendo entero. En nuestro ejemplo del chocolate,
la fracción irreducible es 3/5.
¿y sin calculadora?
Para encontrar la fracción irre-
ductible:
Dividir tanto el numerador como
el denominador por un número en-
tero, y repetir este proceso hasta
que ya no haya algún número dis-
tinto de uno que los divida a am-
bos.
Ejemplo:
28
42
÷2−→
÷2
14
21
÷7−→
÷7
2
3
Actividad 2.4 Usando la calculadora, determine si las siguientes afirmaciones
son verdaderas o falsas. Identifique además cuáles son las fracciones irreductibles.
a) Las fracciones 20/30, 4/6, 3/5 y 2/3 son todas equivalentes.
b) 2/5+ 3/6 = 27/30.
c) 4/3÷ 2/5 = 3/4× 2/5.
d) −10 3/4 = 43/4.
2.4 Un número más
Las fracciones están compuestas de dos números que “se juntan”, como vimos en
la sección anterior, comolas partes que consideramos (numerador) de un total de
partes (denominador) en que dividimos la unidad. Esta idea de la unidad nos permite
considerar una nueva forma de ver las fracciones, como un número.
Recordemos que podemos ordenar los números dentro de una recta numérica
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6
¿Qué tienen que ver las fracciones con este esquema? Resulta que podemos colocar
las fracciones dentro de la recta numérica, pues podemos entender una fracción como
un número. ¿Qué número? Recordemos que para ubicar un número dentro de la recta,
debemos empezar a contar desde 0. Por ejemplo, para ubicar nuestra fracción 3/5,
dividamos las unidades. El denominador 5 significa que la unidad está dividida en cinco
partes, y el numerador 3 que se consideran tres de ellas. Contando tres partes desde 0,
el resultado es el siguiente.
0 1
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
3
5
En otras palabras, las fracciones ocupan los espacios entre los enteros en la recta
numérica. Pero ya hemos visto otros números que ocupan los espacios entre los enteros,
los números decimales.
¿Pueden una fracción y un decimal ocupar el mismo lugar en la recta? ¡Por supuesto!
De hecho, una fracción no es más que otra forma de representar un número decimal.
¿Cómo podemos encontrar el decimal que representa una fracción? Dividiendo el
numerador por el denominador. En nuestro ejemplo, 3/5 es equivalente al decimal 0,6.
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34 Capı́tulo 2. Fracciones
0 1
3
5
0,6
2.5 ¿Partes de cuál todo?
Como hemos visto antes, las fracciones surgen como partes de un todo. Pero vale la
pena preguntarse, ¿de cuál todo? No es lo mismo que nos queden 3/5 de nuestra barrita
de chocolate a que nos queden 3/5 de una caja de bombones o tener 3/5 de $1.000.000
(lo que nos permite comprar muchos chocolates).
Vale decir, una fracción se entiende como un número de partes que consideramos de
un todo, pero ese todo puede ser distintas cosas. Eso no hace que cambie la fracción
que estamos usando, pero lo que sı́ es distinto es el resultado de aplicar la fracción a
nuestro todo.
Esto no es muy distinto, la verdad, de cosas que ya conocemos. No es lo mismo tener
una manzana que dos manzanas, por ejemplo, o tener 1,6 kilos de pan que 1,8 kilos
de pan. En cierto modo —y esto es una idea un poco rara al principio— podemos
entender un número como un multiplicador de cantidades. Tener dos manzanas es tener
2×manzana; tener 1,6 kilos de pan es tener 1,6×1kg de pan.
Esto se llama usar un número como operador, pero más allá del nombre, lo que importa
es cómo reconocerlo y qué uso le damos y, como las fracciones son números, también
aplica a ellas y quizás de una forma más explı́cita. Si nos fijamos en el primer párrafo,
siempre nos referimos a una fracción de una cierta cantidad (la barrita, la caja, el millón
de pesos). Esta construcción lingüı́stica se traduce directamente en matemática como
una multiplicación
3
5
de una barrita con 10 pedacitos =
3
5
·10
Pero, ¿cómo podemos multiplicar una fracción con un número entero, o decimal?
Muy sencillo: podemos entender una fracción como una multiplicación y división
simultáneas, pero que podemos aplicar en el orden que queramos. Ası́,
3
5
·10 = (3 ·10)/5 o bien 3 · (10/5) = 6
Entonces, si volvemos a nuestro ejemplo del terreno y suponemos que el terreno tiene
un área de 500 m2, a cada uno de los cuatro hermanos le tocarı́a
1
4
·500m2 = 1 ·500m2/4 = 125m2
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2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes 35
Actividad 2.5 Determine los siguientes valores:
a) 2/5 de 5.500
b) 9/5 de 8.000
c) 3 veces 16
d) 0,7 veces 10
e) 1,5 veces 3
2.6 Relación entre fracciones, decimales y porcentajes
Por lo que hemos visto usando la calculadora, podemos pasar de una fracción a un
decimal, y viceversa, de un decimal a una fracción.
Los porcentajes también representan una parte de un todo. En este caso el total siempre
se divide en 100 partes, y se consideran algunas de ellas.
Cuando, por ejemplo, se dice “ el 23% de las personas”, se quiere decir que el total de
las personas se dividió en 100 partes y se consideraron 23 de esas partes. Por lo tanto
23% es equivalente a la fracción 23/100.
Ejemplos de la relación porcentaje-fracción-decimal
Porcentaje Fracción Fracción Decimal
irreductible
10% 10/100 1/10 0,1
6% 6/100 3/50 0,06
40% 40/100 2/5 0,4
De decimales a porcentajes
Note que hay una relación directa
entre decimales y porcentajes:
0,4−→ 40%
0,3−→ 30%
Basta multiplicar por 100 el deci-
mal para visualizar el porcentaje.
7
12
= 0,583 ×100−−−→ 58,3%
Porcentajes más comunes
50% es
1/2 del total
25% es
1/4 del total
20% es
1/5 del total
10% es
1/10 del total
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36 Capı́tulo 2. Fracciones
Actividad 2.6 Del mismo modo que en el ejemplo anterior, complete la siguiente
tabla con sus equivalencias respectivas.
Fracción Fracción Decimal Porcentaje (%)
Irreductible
25/75
0,25
1/10
12,5%
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Gúıa 2
P1. Complete los datos que faltan en cada caso. La “I.” quiere decir “Irreductible”.
a)
Gráfico Fracción Decimal
b)
Fracción Gráfico Fracción I. Gráfico I. Decimal
9/12 GRAFICO GRAFICO GRAFICO GRAFICO
c)
Fracción Nro. Mixto Gráfico Decimal
13/4 GRAFICO GRAFICO
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38 Capı́tulo 2. Fracciones
P2. Considere los siguientes rectángulos de colores.
Comparando los largos de los rectángulos, conteste:
a) ¿Cuántos rectángulos amarillos caben en el azul?
b) ¿Cuántos rectángulos azules caben en el rosado?
c) ¿Qué fracción del rectángulo verde es el rectángulo amarillo?
d) ¿Qué fracción del rectángulo rojo es el azul?
e) ¿Qué fracción del rectángulo rosado es el rojo?
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Guı́a 2 39
P3. Complete la siguiente tabla:
Horas Minutos
Un cuarto de hora
Media hora
Tres cuartos de horas
Dos horas y cuarto
a) ¿Cómo realizó los cálculos en la tabla anterior?
b) ¿Qué fracciones hay involucradas en estos de ejercicios? ¿Qué operaciones matemáticas?
P4. Un curso está compuesto de 22 mujeres y 18 hombres.
a) Un cuarto del curso no rinde la PSU. ¿Cuántos estudiantes no rinde la PSU?
b) De los alumnos que no rinden la PSU, dos quintos no la inscribieron. ¿Cuántos estudiantes no la
inscribieron?
c) El 10% del curso no rinde la Evaluación Diagnóstico. ¿Cuántos estudiantes no rinden el Diagnóstico?
d) De los alumnos que rinden la Evaluación Diagnóstico, un cuarto es destacado. ¿Cuántos son destaca-
dos?
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40 Capı́tulo 2. Fracciones
P5. Javier, después de una operación, debe someterse a una dieta estricta. Tiene que distribuir los siguientes
alimentos en 4 comidas por dı́a.
Porción Calorı́as por Porciones por
porción dı́a
Huevo cocido 1 unidad 77 1/2
Pan Marraqueta 1 unidad 245 3/4
Pan molde Integral 2 rebanadas 152 2
Leche descremada 200 mL 64 2 1/5
Té 1 taza 2 3
Ensalada de Frutas 1 taza 108 2,5
Jamón de Pavo cocido 1 lámina 19 4
Pescado al vapor 100 g 128 2
Arroz blanco 1 taza 204 1 1/5
Agua 100 mL 0 Indefinida
a) ¿Cuántas calorı́as podrı́a consumir diariamente?
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Guı́a 2 41
b) La siguiente tabla indica la cantidad de alimentos consumidos en las primeras 3 comidas. ¿Qué
opciones tendrá para la cena?
Cantidad de porciones
Desayuno Almuerzo Colación Cena
Huevo cocido 1/2
Pan de marraqueta 1/2
Pan de molde integral 1
Leche descremada 1
Té 1 1
Ensalada de frutas 0,5 0,5
Jamón de pavo cocido 2
Pescado al vapor 1
Arroz blanco 0,5
Agua 1 2 1
P6. El sueldo lı́quido mensual de Marcela es $960.000, y lo repartió en el mes de noviembre de acuerdoal
siguiente gráfico circular:
Ahorro 40%
Alimento
Deudas
Transporte
a) Complete la siguiente tabla con la fracción (Fr.), fracción irreductible (Fr. I.), decimal (Dec.) y
porcentaje (%) que corresponda.
Representación numérica
de la parte del total
Fr. Fr. I. Dec. % Dinero utilizado
Ahorro
Transporte
Deudas
Alimento
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42 Capı́tulo 2. Fracciones
b) En diciembre, Marcela recibe un aguinaldo de $480.000. Su dinero total recibido lo distribuye de la
siguiente forma: vacaciones $540.000, transporte y deudas $360.000, vestuario $180.000, y lo restante
en alimentación y regalos.
Construya un gráfico circular con la distribución de dinero en el mes de diciembre, en fracción y
porcentajes.
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Guı́a 2 43
P7. Los siguientes gráficos muestran la distribución de los resultados finales de Nivelación Matemática en el
año 2012. Cada gráfico está dividido en partes iguales.
Distribución alumnos 2012 Distribución aprobados 2012
� Aprobados
� Reprobados
� Destacados
� No destacados
a) ¿Qué porcentaje de alumnos aprobó el curso?
b) ¿Qué fracción de los aprobados fueron destacados? ¿Qué porcentaje?
c) ¿Qué fracción del total del curso fueron destacados?
d) Si reprobaron 10 alumnos, ¿cuántos fueron destacados? Utilice al menos dos procedimientos distintos
para llegar a la respuesta.
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44 Capı́tulo 2. Fracciones
P8. La distribución de gastos de Ana durante el mes de marzo es la siguiente:
– Arriendo: 1/2 del sueldo mensual.
– Pago Universidad: 1/6 del sueldo mensual.
– Cuentas básicas: 1/9 del sueldo mensual.
– Alimentación: 2/9 del sueldo mensual.
El detalle de las cuentas básicas es el siguiente:
– Agua: 25% del gasto en cuentas básicas.
– Gas: 1/4 del gasto en cuentas básicas.
– Luz: 1/2 del gasto en cuentas básicas.
a) ¿Ana tendrá capacidad de ahorro?
b) Si el ingreso lı́quido en marzo fue $427.500, ¿cuánto pagó por arriendo y luz?
En el mes de mayo recibe un bono de gratificación, lo que implica que su sueldo lı́quido aumenta en 1/4 con
respecto a marzo.
Además, el arriendo, universidad, alimentación, y cuentas básicas no varı́an, es decir, debe pagar la misma
cantidad de dinero que en el mes de marzo por estos conceptos.
c) ¿Qué fracción del sueldo de mayo destinará al pago de arriendo, universidad, cuentas básicas y
alimentación?
d) ¿Le quedará dinero luego del pago de estas cuentas?
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Guı́a 2 45
P9. Ana recibe la visita de 5 niños y cuenta con cuatro barras de chocolate idénticas que repartirá en partes
iguales sin que sobre.
a) ¿Qué fracción del total de chocolate recibirá cada niño?
b) ¿Cómo repartirán las barras de chocolate? Indique al menos dos opciones.
c) Si los últimos dos niños son hermanos y se llevan lo que les corresponde a casa para compartirlos con
sus dos padres, ¿qué cantidad le corresponderá a cada uno en la casa, considerando que todos recibirán
la misma porción?
P10. Cuatro amigos ordenan tres pizzas (“napolitana”, “pepperoni” y “vegetariana”). Hay que ayudarles a
repartı́rselas, de modo que a cada uno le correspondan partes iguales de cada tipo de pizza.
a) ¿Qué fracción, de cada pizza, recibirá cada persona?
b) ¿Qué fracción del total de pizzas, recibirá cada amigo?
c) Después de cortadas y repartidas las pizzas, llegan dos invitados más. ¿Qué fracción de su porción
debe dar cada uno de los cuatro amigos, para que todos coman la misma cantidad de pizza?
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46 Capı́tulo 2. Fracciones
P11. Cinco equipos formados por niños, recolectaron manzanas en un campamento. La siguiente tabla contiene
el número de integrantes de cada equipo y la cantidad de manzanas recolectadas. Complete la columna que
falta, considerando que todas las manzanas se reparten de forma equitativa dentro de cada equipo, sin que
sobre.
Equipo Cantidad de Cantidad de Fracción de manzana
manzanas niños por niño
A 1 5
B 2 4
C 6 5
D 8 3
E 2 2
a) Un niño del equipo A se debe cambiar de equipo. ¿En cuál equipo comerı́a la mayor cantidad de
manzanas? ¿Cómo quedarı́an conformados los equipos después de este cambio?
b) Considerando la nueva conformación de los equipos, y la cantidad de manzanas que le tocó a cada niño
del equipo B. Para que a los integrantes de los otros equipos les hubiera tocado esa misma cantidad de
manzanas, ¿cuántas manzanas deberı́a haber recolectado cada uno de los otros equipos?
c) A partir de la nueva conformación de los equipos, ¿cuántos niños nuevos habrı́a que agregar a cada
equipo desde el B hasta el E, para que a todos les tocara la misma cantidad de manzanas que a los
integrantes del equipo A?
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Guı́a 2 47
P12. Un grifo llena un depósito en 5 horas y un segundo grifo lo llena en 3 horas.
a) ¿Qué fracción del depósito es llenado por el primer grifo en una hora?
b) ¿Qué fracción del depósito es llenado por el segundo grifo en una hora?
c) ¿Cuánto tiempo se empleará en llenar el depósito si se utilizan los dos grifos simultáneamente?
P13. Felipe realizó el recuento de las ventas en su negocio dándose cuenta que:
• en marzo vendió 6/5 del mes anterior
• en febrero vendió 5/4 del mes anterior
Si en enero vendió $4.500.000, ¿a cuánto ascendieron las ventas en el mes de marzo?
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48 Capı́tulo 2. Fracciones
P14. Se compra una camisa rebajada en 3/5 de su valor original. Si finalmente se paga $10.000, ¿cuánto costaba
la camisa originalmente? ¿Qué porcentaje de descuento tenı́a la camisa?
P15. Una joven muy ordenada ahorra al inicio de cada mes $12.000 de su mesada. Si lo que le resta corresponde
a 2/3 de su mesada, ¿a cuánto dinero asciende su mesada?
P16. En una ciudad de Chile hay 5.467 vehı́culos usados para la locomoción colectiva. Si éstos equivalen a 7/16
del parque automotriz de la ciudad, ¿cuántos vehı́culos hay en total en esta ciudad?
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Guı́a 2 49
P17. Luis tenı́a asegurada su camioneta y sufrió un accidente con pérdida total del vehı́culo. Por esta razón la
aseguradora le entrega $5.900.000, que corresponde a 5/8 del valor original de la camioneta. ¿Cuál era el
valor original de la camioneta?
P18. Ana quiere cambiar las cerámicas de su comedor, el cual tiene 8 m de largo por 5 m de ancho. Eligió
cerámicas cuadradas de 0,4 m de lado. Las cerámicas se venden en cajas de 10 unidades y el valor de cada
caja es de $5.800. Se le aceptó el siguiente plan de pago:
• 1/4 del total lo cancelará al contado.
• 1/6 de lo que queda lo cancelará con cheque a 30 dı́as.
• El resto lo cancelará con la tarjeta de una casa comercial
¿Cuánto dinero cancelará Ana con la tarjeta de la casa comercial?
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Problemas de la Sección
P1. Andrea recibe la cartola anual de su AFP, indicando que su ahorro asciende a $12.600.000 distribuidos entre
los fondos obligatorios y APV (Ahorro Previsional Voluntario).
El primer gráfico muestra la distribución de sus ahorros en la AFP y el segundo la cantidad de dinero que
puede retirar de los fondos voluntarios.
Gráfico 1 Gráfico 2
� Fondos Obligatorios
� APV (Ahorro Previsional Voluntario)
� Dinero que puede retirar
a) ¿Cuánto dinero puede retirar Andrea?
b) ¿Qué porcentaje de fondos corresponde a APV? ¿Qué fracción?
c) ¿Qué fracción del APV podrá retirar?
d) Del dinero ahorrado ¿qué porcentaje podrá retirar?
P2. En cada caso, indique si las expresiones (fracciones, decimales, representaciones gráficas, porcentajes, etc.)
son equivalentes entre sı́. En caso contrario, indiquepor qué no lo son.
a)
Fracción Porcentaje
1/2 50%
b)
Fracción Decimal Porcentaje
50/30 1,6 166,6
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Problemas de la Sección 51
c)
Nro. mixto Decimal Representación gráfica
2 1/4 2,25
d)
Fracción Decimal Porcentaje
6/20 0,3 30%
e)
Fracción Porcentaje Representación gráfica
20/24 83,3%
P3. Indique en cada caso si las expresiones significan lo mismo. De no ser ası́, indique en dónde está la diferencia
o error.
a)
Expresión 1 Expresión 2 Resultado
1/2 de 50.000 50% de 50.000 25.000
b)
Afirmación Representación gráfica
75% de los alumnos
aprueba la asignatura
Reprobados
Aprobados
c)
Indicación Expresión
Se distribuye
el dinero en 3 partes:
- Alimentos 1/5
- Celular 1/3
- Resto en locomoción
0,2 veces el dinero
30% veces el dinero
+ 7/15 veces el dinero
Total del dinero
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52 Capı́tulo 2. Fracciones
P4. Considere el siguiente ejemplo:
+ =
1
2
1
4
3
4
De este mismo modo, usando la representación gráfica, compruebe si las siguientes igualdades son correctas
o incorrectas (en algunos casos puede ser necesario subdividir la representación gráfica):
a)
1
3
+
1
3
=
2
6
b)
3
4
− 1
3
=
5
12
c)
3
2
+
1
3
=
11
6
P5. Un depósito contiene 320 L de agua, lo que corresponde a dos terceras partes de su capacidad total ¿Qué
capacidad tiene el depósito?
P6. Juan realizó una asesorı́a a una empresa de telecomunicaciones. Gastó 2/5 de lo que le pagaron y le quedaron
$392.520. ¿Cuánto dinero habı́a recibido Juan por su trabajo?
P7. Pablo gastó 5/8 del dinero que tenı́a y le quedaron $307.500. ¿Cuánto dinero tenı́a inicialmente?
P8. Andrea vende 3/5 de un terreno y se queda con 3.816 m2. ¿Cuántos m2 del terreno vendió?
P9. Juan vivió 60 años. ¿Qué fracción de un siglo vivió?
P10. Una empresa tiene un total de 256 trabajadores, de los cuales 96 pertenecen a Fonasa y el resto a Isapres.
¿Qué parte del total de los trabajadores representan los afiliados a Isapres?
P11. En una fiesta hay 8 personas y 14 pizzas. ¿Qué cantidad le toca a cada persona para que todos coman lo
mismo?
P12. Una piscina contiene 1.200 L cuando está hasta 1/4 de su capacidad.
a) ¿Cuál es la capacidad total de la piscina?
b) ¿Cuántos litros faltan para llenarla?
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Problemas de la Sección 53
P13. Julio ganó $550.000 en un concurso. Gastó la quinta parte para pagar sus estudios y la cuarta parte de lo
que le quedaba en reparar su auto. ¿Cuánto dinero le queda?
P14. La tı́a Juana compra cada domingo 8 manzanas que reparte de manera equitativa entre los sobrinos que la
visitan. El penúltimo domingo la visitaron 5 sobrinos y el último solo 4.
a) ¿Qué fracción de manzanas le tocó a cada sobrino el penúltimo domingo?
b) ¿Qué fracción el último domingo?
P15. Un grupo de amigos compró 4 pizzas y las dividieron en varios trozos. Cada trozo correspondı́a a 1/6 de
pizza. Si cada persona pudo comer un trozo, ¿cuántas personas habı́a en esa reunión?
P16. ¿Cuánto litros de agua contiene un depósito cuya capacidad total es de 400 litros y está ocupado en sus 3/5
partes?
P17. Un autobús transporta 36 viajeros. En la primera parada se baja 1/6 de los viajeros y suben 2 nuevos
pasajeros, en la segunda parada se baja 1/4 de los viajeros y suben 3 más, y en la tercera parada se bajan 2/3
de los viajeros. ¿Cuántos se bajarán en esta última parada?
P18. Raúl reparte $620.000 entre sus tres hermanos Felipe, Javiera y Pedro.
• Felipe recibe 2/5 del total.
• Javiera recibe 1/4 del resto.
• Pedro recibe lo que queda.
Si Pedro gastó 1/3 del dinero recibido, ¿con cuánto dinero se quedó?
P19. En un garaje están estacionados 48 vehı́culos, de los cuales la mitad son turı́sticos, 1/3 son furgonetas y el
resto son motocicletas. ¿Cuántos vehı́culos hay de cada tipo?
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54 Capı́tulo 2. Fracciones
Anotaciones:
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Problemas de la Sección 55
Anotaciones:
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56 Capı́tulo 2. Fracciones
Anotaciones:
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
Problemas de la Sección 57
Anotaciones:
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58 Capı́tulo 2. Fracciones
Anotaciones:
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3. Repaso de la Unidad
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Gúıa Resumen Unidad I
P1. Durante el ascenso a una montaña la temperatura va disminuyendo 1,5 °C por cada 150 m de altura. A 800
metros de altura hay 12 °C.
¿Hasta qué altura habrı́a que ascender para alcanzar los −15 °C?
a) 2.700 m
b) 3.500 m
c) 1.100 m
d) 1.900 m
P2. El la siguiente tabla se muestra la distribución de los trabajadores de una empresa según el número de hijos
y la sucursal en la que trabaja cada uno
Nº de hijos Sucursal 1 Sucursal 2 Sucursal 3
0 10 14 22
1 22 25 15
2 17 15 18
3 9 8 9
4 3 5 4
5 2 1 1
¿Cuál de las siguientes opciones es verdadera?
a) La sucursal 2 tiene mayor cantidad de trabajadores.
b) Entre las 3 sucursales hay 154 hijos de trabajadores.
c) El 46% del total de trabajadores no tiene hijos.
d) Un 25% del total de trabajadores tiene 2 hijos.
P3. El dueño de un negocio compra 136 kg de lentejas y las envasa en bolsas de 0,5 kg. Cada bolsa la venderá a
$1.250.
¿Cuánto recaudará el dueño del negocio con la venta de todas las bolsas de lentejas?
a) $85.000
b) $170.000
c) $170.625
d) $340.000
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Guı́a Resumen Unidad I 61
P4. Un plan de telefonı́a cobra $30 por minuto los primeros 15,6 minutos de una llamada. Si la llamada dura
más que eso, el valor por minuto extra es de $70. Un dı́a, un usuario de este plan realizó dos llamadas de
10,4 minutos, tres llamadas de 8,5 minutos y una llamada de 20,4 minutos.
¿Cuánto dinero en total debe pagar el usuario por estas llamadas?
a) $1.371
b) $1.995
c) $2.193
d) $2.817
P5. Se armarán 6 mesas y 9 sillas. Cada silla se arma con 8 tornillos y cada mesa, con 12 tornillos. Los tornillos
se venden en cajas de 14 unidades.
¿Cuántas cajas de tornillos como mı́nimo hay que comprar para armar las 6 mesas y las 9 sillas?
a) 10 cajas.
b) 11 cajas.
c) 12 cajas.
d) 14 cajas.
P6. Entre las 19:00 horas de un dı́a de invierno y las 7:00 am del dı́a siguiente, la temperatura disminuye 0,3 °C
cada 15 minutos. Si a las 19:00 horas la temperatura es de 14 °C, ¿qué temperatura habrá a las 7:00 am del
dı́a siguiente?
a) 10,4 °C
b) 2 °C
c) −14,4 °C
d) −0,4 °C
P7. La dueña de un viñedo cosecha 2 toneladas de uvas y las vende en envases de 500 gramos. El precio de cada
envase es $350.
¿Cuánto recaudará la dueña del viñedo con la venta de todos esos envases de uvas?
a) $350.000
b) $700.000
c) $1.400.000
d) $14.000.000
P8. Una lata de pintura para autos alcanza a cubrir 0,3 autos. En el taller de Gustavo hay que pintar 11 autos.
¿Cuál es el menor número de latas con que se pueden pintar los 11 autos?
a) 36 latas.
b) 4 latas.
c) 37 latas.
d) 40 latas.
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62 Capı́tulo 3. Repaso de la Unidad
P9. Alexis vende bolsitas de 500 g con una mezcla de frutos secos. La composición de las bolsitas es
Tipo Peso
Avellanas 1/8 kg
Almendras 1/6 kg
Nueces el resto
¿Cuántos gramos de nueces contiene cada bolsa?
a) 5/24 kg
b) 2/24 kg
c) 7/24 kg
d) 17/24 kg
P10. Luis recolecta aceite usado de restaurantes para reciclarlo. Su meta es lograr 4 25 litros cada dı́a. Si alcanza
justo su meta durante 4 dı́as seguidos, ¿Cuánto aceite recolectó?
a) 16,4 L
b) 17,6 L
c) 6,4 L
d) 32 L
P11. Francisco sale a comer con sus amigos Juan Pablo y Loreto. Loretopaga 2/7 de la cuenta, Juan Pablo paga
1/7 y Francisco el resto. Si la cuenta salió $24.500, ¿cuánto pagó Francisco?
a) $3.500
b) $7.000
c) $10.500
d) $14.000
P12. José se demora 1,2 horas de su casa al trabajo y 1 14 de vuelta. Si trabaja de lunes a viernes, ¿cuánto tiempo
destina a transporte semanalmente?
a) 12,25 h
b) 17,15 h
c) 11,75 h
d) 16,45 h
P13. En una empresa frutı́cola, cada persona que trabaja en la revisión de productos puede revisar 150 productos
por hora. Si cada persona trabaja 8 horas diarias, ¿cuántos dı́as se demorará una persona en revisar 10.800
productos?
a) 9 dı́as.
b) 18 dı́as.
c) 19 dı́as.
d) 36 dı́as.
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Guı́a Resumen Unidad I 63
P14. Los tipos de contrato de una compañı́a de telecomunicaciones se distribuyen como muestra el gráfico. Si
hay 1.000 contratos sólo de voz, ¿cuántos contratos para tablet hay?
Sólo voz
Sólo datos
Voz y datos
Distribución de contratos
Router
Tablet
Distribución de contratos
sólo de datos
a) 3.000
b) 600
c) 2.400
d) 1.000
P15. El precio de una chaqueta, con un descuento del 1/5 de su precio normal, es $25.000. ¿Cuál era el precio
original?
a) $20.000
b) $125.000
c) $31.250
d) $25.500
P16. Juana teje 3 calcetines por hora, mientras que Tamara teje 2 calcetines en 45 minutos. ¿Cuánto más demora
Tamara que Juana por cada calcetı́n?
a) 5/2 min
b) −5/2 min
c) 0,3 h
d) 1/180 h
P17. Una empresa tiene un total de 256 trabajadores de los que 96 pertenecen a Fonasa y el resto pertenece a
Isapres. ¿Qué parte del total de los trabajadores representa a los afiliados a Isapres?
a) 5/8
b) 3/8
c) 3/5
d) 3/11
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64 Capı́tulo 3. Repaso de la Unidad
P18. El siguiente gráfico muestra los gastos de Marcela en el mes de febrero
Alimentos
Arriendo
Deudas
Pasajes y
vestuario
Ahorros
Gastos en febrero
a) ¿Qué fracción del total de los gastos de Marcela corresponde a cada uno de los ı́tems?
Si el sueldo recibido por Marcela en el mes de febrero es de $960.000.
b) ¿Cuánto dinero gasta en alimento?
c) ¿Cuánto dinero gasta en pasajes y vestuario?
El desglose de los que gasta en alimentos se puede ver en el siguiente gráfico
Dulces y postres
Frutas y
verduras
Alimentos
envasados
Gasto en alimentos
d) ¿Cuánto dinero gasta en dulces y postres?
e) ¿Qué fracción del total de su sueldo gasta en dulces y postres?
P19. Rocı́o sale a caminar todas las mañanas. En 1/4 de hora recorre 1/5 del total de su recorrido, ¿cuántas horas
demora en el trayecto total?
P20. Julio ganó $550.000 en un concurso. Gastó la quinta parte para pagar sus estudios y la cuarta parte de lo
que le quedaba en reparar su auto. ¿Cuánto dinero le queda?
P21. En una ciudad de Chile hay 5.467 vehı́culos de locomoción colectiva, que equivalen a 7/16 del parque
automotriz en esa zona. ¿Cuál es el total de vehı́culos en la ciudad?
P22. En la casa de Laura se consumen 80 cm3 de gas por cada hora y en promedio lo utilizan por 4 horas diarias.
El costo de cada cm3 es de $3. Si lo que Laura cancela por el gas en un mes de 30 dı́as corresponde a 1/9 de
su ingreso total, ¿cuál es el ingreso que recibe mensualmente?
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Guı́a Resumen Unidad I 65
P23. Germán realizó una asesorı́a a una empresa de telecomunicaciones. Gastó 2/5 de
lo que le pagaron y le quedaron $392.520. ¿Cuánto dinero recibió Germán por
su trabajo?
http://youtu.be/Pm5iAlQ7ZOo
P24. Catalina vende 3/5 de su terreno, y le quedaron 5.724 m2 sin vender. ¿Cuántos
metros cuadrados tiene el terreno de Catalina?
http://youtu.be/dv_JPTUMF70
P25. Felipe realizó el recuento de las ventas en su negocio y se dio cuenta que en
el mes de marzo vendió 6/5 del mes anterior y en febrero vendió 5/4 del mes
anterior. Si en enero vendió $4.500.000, ¿a cuánto ascendieron las ventas en el
mes de marzo?
http://youtu.be/Pp-Wb6BLVsg
Programa de Matemática � Dirección de Formación General � Duoc UC
http://youtu.be/Pm5iAlQ7ZOo
http://youtu.be/dv_JPTUMF70
http://youtu.be/Pp-Wb6BLVsg
66 Capı́tulo 3. Repaso de la Unidad
3.1 Soluciones guı́a repaso 1
Pregunta Clave Pregunta Clave
1 B 10 B
2 D 11 D
3 D 12 A
4 C 13 A
5 B 14 B
6 D 15 C
7 D 16 A
8 C 17 A
9 A
18. a) Gastos según item
• Alimentos: 312 =
1
4
• Deudas: 112
• Ahorros: 112 =
1
6
• Arriendo: 212 =
1
6
• Pasajes y vestuario 412 =
1
3
b) En alimentos Marcela gasta $240.000.
c) En pasajes y vestuario gasta $320.000.
d) En dulces y postres gasta $48.000.
e) 1/20 del sueldo es dedicado al item dulces y postres.
19. Rocı́o demora 1,25 horas en completar su trayecto, equivalente a una hora y
cuarto.
20. A Julio le quedan $330.000.
21. El total de vehı́culos en la ciudad es 12.496.
22. El ingreso mensual de Laura es de $259.200.
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II
4 Razones y proporciones . . . . . . . . . . . . . 69
4.1 Concepto de razón
4.2 Escalas
4.3 Proporción
4.4 Regla de las proporciones
4.5 Cambio de unidades
Guı́a 3
Problemas de la sección
4.6 Porcentajes
4.7 Variaciones porcentuales
4.8 Puntos porcentuales
Guı́a 4
Problemas de la sección
5 Potencias y raı́ces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1 Potencias
5.2 Aplicaciones de potencias
5.3 Raı́ces
5.4 Aplicaciones de raı́ces
Guı́a 5
Problemas de la sección
Aplicaciones numéricas en la
resolución de problemas
4. Razones y proporciones
4.1 Concepto de razón
Actividad 4.1 Por cada una de las siguientes situaciones, indique dos nuevas
afirmaciones que se puedan deducir a partir de la información dada:
Situación 1: Por cada taza de arroz, se necesitan dos tazas de agua. (Con tazas de
igual capacidad)
1.
2.
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70 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Situación 2: El rendimiento de un motor de automóvil de ciudad es de 16 km por
litro de bencina
1.
2.
Situación 3: En un curso de 40 estudiantes, tres de cada cuatro estudiantes son
mujeres.
1.
2.
En cada situación de la actividad anterior, hemos aplicado lo que se conoce como el
concepto de razón.
Hay dos caracterı́sticas fundamentales de una razón:
1. Hay dos cantidades de diversa procedencia.
• Situación 1: cantidad de tazas de arroz y cantidad de tazas de agua.
• Situación 2: litros de bencina y kilómetros de distancia recorrida.
• Situación 3: número de mujeres y número de estudiantes.
2. Las cantidades se pueden comparar a través de un cociente.
• Situación 1: 1 taza cada 2 tazas, es decir una es 1/2 de la otra.
• Situación 2: 1 litro cada 16 kilómetros, es decir una es 1/16 de la otra.
• Situación 3: 3 mujeres cada 4 estudiantes, es decir una es 3/4 de la otra.
Escribir y leer una razón
La razón entre una cierta magni-
tud a y otra cierta magnitud b se
escribe
a : b ó
a
b
.
De modo técnico, se lee:
“ a es a b”.
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4.2 Escalas 71
Ejemplo
Situación Razón
El examen fue aprobado por dos
de cada tres estudiantes
La razón entre el número de aprobados y el
total de estudiantes es como 2:3
En otras palabras, por cada 2 estudiantes aprobados
hay 3 estudiantes en total.
El curso fue aprobado por 35 es-
tudiantes, de un total de 40.
La razón entre el número de aprobados y el
total de estudiantes es como 35:40 ó 7:8 (pues
35/40 = 7/8)
El rendimiento de un motor de
automóvil es de 33 km por cada
2 litros de bencina.
La razón entre el número de kilómetros que
puede recorrer y el número de litros de bencina
es como 33:2, ó 16,5 km/L (pues 33/2= 16,5).
Un paquete de 400 gramos de
spaghetti integrales rinde 5 por-
ciones.
La razón entre el número de gramos de es-
pagueti y el número de porciones que rinden
es como 400:5 ó 80:1 (pues 400/5 = 80/1)
4.2 Escalas
En dibujo técnico, la representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando
estos son muygrandes o muy pequeños por lo que se emplea una escala, también se
emplean escalas en las ampliaciones y reducciones de fotografı́as y fotocopias.
Se define la escala como la razón entre la dimensión dibujada y la dimensión real, esto
es:
Escala =
Dimensión en el dibujo
Dimensión en la realidad
= Dimensión en el dibujo : Dimensión en la realidad
Unidades en una escala
Las dimensiones que se comparan
a partir de una escala deben estar
en la misma unidad de medida.
Si el numerador de esta fracción es mayor que el denominador, se trata de una escala
de ampliación, y en caso contrario, se trata de una escala de reducción. La escala 1:1
corresponde a un objeto dibujado a su tamaño real (escala natural).
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72 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
Actividad 4.2 Responda en cada uno de los siguientes casos ¿qué tipo de escala
tiene el dibujo (ampliación, reducción)? ¿qué más se puede decir del tamaño del
dibujo, comparado con el tamaño real de lo que fue dibujado?
a) El dibujo está hecho con la escala de 1:2.
b) El dibujo está hecho con la escala de 4:1.
Ejemplo
Supongamos que un segmento de un objeto dibujado a escala mide 4 cm en el dibujo,
mientras que en la realidad mide 400 m. Entonces la escala con la que fue dibujado
es:
Escala =
4 cm
40.000 cm
=
4
40.000
=
1
10.000
A partir de la información que proporciona la escala también se puede afirmar
que 1 cm del dibujo corresponde a 10.000 cm en la realidad (o también, haciendo
conversiones de unidades, a 100 m o a 0,1 km en la realidad).
Otro Ejemplo
La versión real del automóvil de producción descontinuada, marca Volkswagen,
modelo Type 1 Beetle, mide 4,07 m de largo.
Hay una versión del Volkswagen Type 1 Beetle a escala para coleccionistas. La
escala del modelo en miniatura es de 1:22.
Esto se puede interpretar, en palabras, como: “un centı́metro de la miniatura repre-
senta a 22 centı́metros del modelo real”, o también: “22 centı́metros del modelo real
están representados en 1 centı́metro de la miniatura”.
Actividad 4.3 Considere el ejemplo anterior. ¿Cuántos centı́metros medirá el
largo del modelo en miniatura del Volkswagen?
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4.3 Proporción 73
4.3 Proporción
A la igualdad de dos razones se le llama proporción. Pero, ¿cuándo dos razones son
iguales?
Ejemplo
El 50% de un número es la mitad de ese número. Sabemos que 400 es la mitad de
800. Ası́ que la parte que es 50 de 100 es igual a la parte que es 400 de 800.
Lo anterior puede ser expresado a través de una proporción:
Parte que es
50 de 100
−→ 50
100
=
400
800
←− Parte que es
400 de 800
Por lo tanto, una proporción es una igualdad entre fracciones. Además, es una herra-
mienta matemática que ha mostrado ser muy útil.
Escribir y leer una
proporción
Como la proporción es una igual-
dad de razones, o simplemente de
fracciones, se puede escribir de
dos maneras
a : b = c : d ó
a
b
=
c
d
.
Esto, de manera técnica, se lee:
“a es a b como c es a d”.
Ejemplo: Un descuento (1ra. parte)
Se calculará el descuento del 20% sobre el precio de un producto que originalmente
vale $13.800.
Establecemos una razón entre los porcentajes involucrados y otra entre los precios
involucrados, porque la parte que es 20 de 100 equivale a la parte que es el descuento
de los $13.800.
Se pueden ordenar los datos en una tabla:
Porcentaje (%) Dinero ($)
20 Descuento (¿?)
100 13.800
La proporción debe plantearse como:
20
100
=
Descuento
13.800
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74 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
4.4 Regla de las proporciones
Cuando se tiene una proporción
a
b
=
x
d
,
donde se conocen solo tres términos (a, b y d), y el cuarto (x) es desconocido, entonces
el valor de x se puede determinar con la fórmula:
x =
a ·d
b
.
Note que:
La regla de las proporciones, en
todos los casos, se puede resumir
en dos pasos:
1ro “Multiplicar cruzado” los
valores conocidos.
2do Dividir por el valor cono-
cido que queda.
La parte desconocida de la proporción puede aparecer en otros lugares. Para cada caso
se puede encontrar una fórmula.
Proporción Valor de x
x
b
=
c
d
x =
b · c
d
a
x
=
c
d
x =
a ·d
c
a
b
=
c
x
x =
b · c
a
Ejemplo: Un descuento (continuación)
En el ejemplo anterior habı́amos planteado la proporción
20
100
=
Descuento
13.800
.
Ahora podemos resolverla:
20
100
=
Descuento
13.800
−→ Descuento = 20 ·13.800
100
= 2.760.
Por lo tanto el producto tiene un descuento de $2.760.
Actividad 4.4 Las ganancias que generó el negocio de Gabriel y Daniela serán
repartidas entre ellos según indica el gráfico
Daniela Gabriel
a) ¿Quién recibirá más dinero? ¿En qué razón están los dineros recibidos por
Gabriel y Daniela?
b) Si a Daniela le corresponden $1.200.000, ¿cuánto le corresponde a Gabriel?
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4.5 Cambio de unidades 75
4.5 Cambio de unidades
Un uso práctico muy amplio de las proporciones es el cambio de unidades. En efecto,
la mayorı́a de los cambios de unidades puede expresarse como proporciones.
¿Y la temperatura?
Los cambios entre unidades de
temperatura son la excepción:
siguen relaciones algebraicas dis-
tintas de una proporción. Por ejem-
plo, de Celsius a Fahrenheit
o F = (1,8× °C)+32
y de Fahrenheit a Celsius
°C =
o F−32
1,8
Unidades de longitud
1 kilómetro (km) 1.000 metros (m)
1 metro (m) 100 centı́metros (cm)
1 centı́metro (cm) 10 milı́metros (mm)
1 pulgada (′′) 2,54 centı́metros (cm)
1 pie (′) 30,48 centı́metros (cm)
Unidades de tiempo
1 dı́a 24 horas (h)
1 hora (h) 60 minutos (min)
1 minuto (min) 60 segundo (s)
Unidades de masa
1 kilogramo (kg) 1.000 gramos (g)
1 gramo (g) 1.000 miligramos (mg)
1 tonelada (t) 1.000 kilogramos (kg)
1 libra (lb) 0,454 kilogramos (kg)
1 kilogramo (kg) 2,205 libras (lb)
Unidades de superficie
1 kilómetro cuadrado (km2) 1.000.000 metros cuadrados (m2)
1 metro cuadrado (m2) 10.000 centimetros cuadrados (cm2)
1 hectárea (ha) 10.000 metros cuadrados (m2)
Unidades de volumen
1 metro cúbico (m3) 1.000.000 centı́metros cúbicos(cm3)
1 centı́metro cúbico (cm3) 1.000 milı́metros cúbicos (cm3)
1 kilómetro cúbico (km3) 1.000.000.000 metros cúbicos (m3)
1 litro (L) 1.000 centı́metros cúbicos (cm3)
1 litro (L) 1.000 mililitros (mL)
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Gúıa 3
P1. Complete cada tabla con la información solicitada. Usa regla de medir en caso de ser necesario.
a)
Escala 1:8
Largo de la
miniatura (cm) 53 cm
Largo real (cm)
Largo real (m)
b) ¿?
Escala 1:300
Altura en
el dibujo (cm)
Altura real (cm)
Altura real (m)
c) 5,5 cm
Escala
Altura en
el dibujo (cm)
Altura real (cm)
Altura real (m) 1,65 m
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Guı́a 3 77
P2. En un bosque al Sur de Chile hay dos tipos de árboles autóctonos: canelos y araucarias. La razón entre la
cantidad de canelos y la cantidad de araucarias es 8:9.
a) ¿Cuál de los dos tipos de árboles se encuentra en mayor cantidad?
b) Si hay 243 araucarias ¿cuántos canelos hay en el bosque?
c) Compruebe que el resultado de b) es correcto.
P3. Una empresa exporta tres tipos de frutos secos: almendras, nueces y pasas. Las cantidades de cajas
exportadas mensualmente se encuentran en la razón 5:7:8. Si en total se exportan 1.200 cajas, determine:
a) La cantidad de cajas de cada producto.
b) Si el valor de cada caja es de 20 dólares ¿cuál es el valor en pesos chilenos que recibe la empresa?
Considere el valor del dólar de hoy.
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78 Capı́tulo 4. Razones y proporciones
P4. Soledad y Jorge son dos socios que deben comprar un terreno, avaluado en $12.840.000, en forma propor-
cional al número de acciones que cada uno posee en su sociedad. Si Soledad tiene 140 acciones