Introduccion a la Estatica y Resistencia de Materiales Cesar Raffo Cap2 - Inés Martínez Mendoza

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CAPÍTULO li 
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA 
L 'Representación gráfica de las -fuerzas. - Toda fuerza queda 
determinada cuando se conozca (fig. 4) : \' a) su recta de acción o direct:J¡iz: a. 
EF= lt !cm 
Fig. 4 
b) su magnitud o intensidad AB, que 
tL se aprecia en kilogramos (kg) o • tonela­
das (t) . 
e) su sentido, p u e s t o en evidencia 
por una flecha. 
d) su punto de aplicación : A. 
Para representar gráficamente una 
fuerza es necesario utilizar una 'escala de 
fuerzas, abreviadamente expresada con la 
escritura : EF. Se entiend_e por escala de 
fuerzas una rélación entre la intensidad 
P de la fuerza (kg ó t) y una longitud (cm) que sirve para represen­
tarla en el papel. Así : 
EF = 
500 kg 
1 cm 
significa que cada centímetro del dibujo representa 500 kg. Conviene, 
para facilitar los cálculos, poner en el denominador la unidad. 
Supongamos que en la escala de fuerzas indicada, se quiera repre­
sentar una fuerza de P = 1300 kg. Tendrá que ser: 
de donde 
x cm · = 
500 kg 
1 cm 
1300 kg 
x cm 
-1300 kg . 1 cm 
. = 2,6 cm : 500 kg 
que es el segmento rept:e�nta.tivo de la fuerza dada. 
Inversamente -:r con la misma escala, para determinar la intensi­
dad P de f�erza c�rrespondiente a un segmento del dibujo igual a 2,5 
cm, escribírl¡!mos : · 
' 500 kg p kg 
= 
1 cm 2,5 cm 
OPERACIONES FUNDAMENT ALES DE LA ESTATICA 5 
de donde : 
p kg = 
500 kg 2,5 cm 
= 1250 kg . 
1 cm 
2. Elementos fundamentales de la estática. - Si una fuerza actúa 
110bre un cuerpo rígido M, puede manifestar su acción mediante tres 
efectos : 
a) un desplazamiento del cuerpo, siempre que éste se encuentre en 
reposo y :!lO trabado en su movimiento. 
b) un cambio de velocidad, si M ya está en movimiento. 
e) una deformación del cuerpo. 
El primer efecto, que hace referencia a la propiedad cinemática de 
toda fuerza de producir desplazamientos, es tema propio de la Está­
tica. 
El segundo, que implica vincular fuerzas y aceleraciones (variacio-. 
nes de velocidad) , pertenece a la Dinámica. 
Por último el e), que estable­
ce relaciones entre fuerzas y de­
formaciones, es estudiado por la 
Resistencia de materiales. 
Sea una chapa plana e infi­
nitamente delgada materializando 
así cualquier superficie plana (fig. 
5a) . Supongamos que está someti- a) 
da a la acción de una fuerza P de 
su plano, aplicada en A. Si la cha- Fig. 5 
pa no se encuentra impedida en su 
movim�.:nto, la fuerza P origina una traslación de la chapa en el sen­
tido y dirección de la fuerza actuante. 
Por tanto el efecto cinemático de una fuerza es produci1· una tras­
lación. 
En cambio si la chapa está empernada en O (fig. 5b) y sometida 
a la acción conj'unta de dos fuerzas de igual intensidad P, opuestas y 
actuando en dos rectas de acción paralelas, b, e, la chapa e gira en 
torno de su único punto fijo O, en el sentido de la flecha curvilínea. 
El conjun,' de dos fuerzas como las indicadas, se denomina cupla 
o par de fuerzas. Por tanto el efecto cinemático de una cupla es pro­
·ducir una rotación. 
La rotación se mide por el momento del par que es el producto d( 
la intensidad común P, por la distancia a entre las líneas de acción b, 
e; distancia denominada brazo de palanca de la cupla. Este producto 
está afectado del signo más o del menos, según que la rotación se rea­
lice en el sentido del movimiento de las agujas del reloj o en sentido 
contrario. 
Su unidad de medida en las aplicaciones técnicas es el kilográme­
. tro (kgm) o tonelámetro (tm) . 
La Estática se propone contrarrestar los efectos cinemáticos : tras­
lación y rotación, que las fuerzas y cuplas originan con el propósito de 
alcanzar un estado de reposo o sea de equilibrio estático. 
6 RAFFO, C. M. - ESTA1'. Y Jü)>:>1.:3,'ENC!tl DE MA TERIALES 
Como todos los desplazamientos planos sie.mpre se reducen a tras­
laciones o rotaciones, la Estática se construye partiendo de fuerz(J;S y 
de .;uplas. Éstos son los únicos elementos que necesita, como conceptos 
de base ; son, además, irreductibles en el sentido que no pueden llevarse 
a otros más simples . 
3. Sistemas de fuer;¡;as. - Aparte la escala de fuerzas, en la Es­
tática se necesita una escala de dibujo o escala lineal, para representar 
el esquema acotado de la estructura, que fija las posiciones relativas /de 
las fuerzas actuantes, entre sí y con aquélla. Lo denominaremos esquema 
posicional o plano de posición. 
Una escala lineal, abreviadamente EL, expresa la relación entre las 
magnitudes lineales reales de una estructura (generalmente medidas en 
metros) y la· longitud que la representa en el dibujo (cm) . Así : 
2 m 
1 cm 
EL = 
significa que 1 cm del dibujo representa 2 m de la magnitud real. Tam­
bi'�n en el caso de la escala lineal, conviene eolocar en el denominador 
la unidad de longitud (centímetro ) . 
l 
Fig. 6 
éL=� !cm 
r 
k 
P, 
a 
EL= tr.m !cm 
Fig. 7 
La_ fig. 6 es el esquema posicional según escala. correspondiente a 
un soporte sometido a un sistema de fuerzas concurrentes, en O, y co­
planareso 
Análogamente, el esquema posicional de la figo 7, representa una 
armadura mansarda ABC, sobre la cual inciden las fuerzas P11 o o o' P5, 
que forman un sistema de fuerzas no concurrentes, coplanareso 
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTATICA 7 
Por último en la fig. 8 se tiene el esquema posicional de una viga 
solicitada por fuerzas verticales Pl> P2, P3 que forman un sistema de 
fuer :as paralelas. 
4. Transformación de sistemas de fuerzas. - Transformar un 
sistema de fuerzas quiere decir sustituirlo por otro sistema que pro­
duzca el mismo efecto cinemática que e) primero. Se dice entonces que 
los dos sistemas son estáticamente equivalentes. 
Generalmente la transformación de un sistema de fuerzas se pro­
pone encontrar un sistema más sencillo que el primitivo ; en otros casos 
se trata de obtener sistemas equivalentes que cumplan condiciones par­
ticulares prefijadas. 
5. Las cuatro operaciones fundamentales de la Estática. - La ex­
periencia asegura que las cuatro operaciones siguientes permiten pasar 
de un sistema de fuerzas, a otro, estáticamente equivalente. 
lf!. operación: Traslación de una fuerza. 
No se altera el esiuerzo cinemático producido por una fuerza 
a,plicada en un punto de un sólido rígido, trasladando su punto 
de aplicación a otTo punto cualquiera de su Tecta de acción. 
Por ejemplo, en una barra (fig. 9 ) supuesta rígida, y sometida a 
la acción dt la fuerza P aplicada en A, es indiferente suponerla apli­
cada en A1, siempre que este punto pertenezca a la línea de acción de P. 
P, 
A 
t a, 
1 1 
az aJ 
l 
EL=� tcm 
Fi�. 8 
w�R. 
A B 
..::::.. 
1 a, p 
A 
p 
Fig. 9 
La operación deja de ser válida, al suponer que la barra es defor­
mable por la presencia de la f1:1.erza P; pues si ésta actúa en A la barra 
se deforma en toda su longitud, mientras que aplicada en A1 sólo expe­
rimenta deformación, el trozo de barra comprendido entre A1 y B. 
En la Estática de los cuerpos rígidos, que estamós considerando, 
será pues indif�::rente la posición del punto de aplicación de cada fuerza 
pudiendo prescindirse de él y por tanto las fuerzas quedan identificadas 
conociendo tres parámetros : 
1 - Recta de acción. 
2- Sentido. 
3 - Intensidad. 
8 RAFFO, C. M. - E'sTAT. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES 
2f! operación: Sustitución de dos fuerzas por una. 
No se altera el efecto cinetnático de dos fuerzas concurrentes­
al sustituirlas por una sola, según la diagonal del pamlelograma 
construído con ellas. 
Esta operación se conoce también con el nombre de principio del 
paralelogramo. 
Sean las fuerzas P 1 y P 2 actuando en las líneas de acción 1 y 2 
sobre la chapa C (fig. lOa) . En virtud de la primera operación, pode­
mos aplicar las dos fuerzas al punto A, intersección de 1 y 2. 
e) b) 
-e· �-�--e - • o .,., e / ' ' / 2 A 
Fig. 10 
d) 
Elegido un punto O (fig. lOb) del plano de dibuJ'o, se traza a par­
tir del origen O un vector representativo de la fuerza P 1 según la escala 
de fuerzasadoptada ; y también por O otro vector que representa la 
fuerza P2• Completado el paralelograma como indica la figura, el vec­
tor representado por la diagonal OC, en el sentido de la flecha, apre­
ciada su magnitud según la escala de fuerzas, representa la fuerza única 
R que sustituye a las dos fuerzas Ph P2• La línea de acción de R es 
la paralela a OC pasante por el f:Jnto A del esquema posicional (fig. 
lOa) . · 
Como ya se ha dicho, la experiencia comprueba que los sistemas de 
fuerias a) y e) de fig. 10 son estt.iticamente equivalentes. La fig. lOb 
se denomina paralelogramo de las fuerzas. 
1En la práctica la construcción de paralelogramo se limita al trazado 
de uno solo de los dos triángulos que aparecen en la fig. lOb. Así re­
sulta el diagrama de fig. lOd, denominado polígono vectorial de las 
fuerzas P1 y P2, o brevemente vectorial. 
El punto O es el origen del vectorial; C su extremo ; la fuerza R 
se denomina resultante de las fuerzas P1, P2; éstas son las componentes 
de ·R según las direcciones 1 y· 2. 
El vectorial de la fig. lOd se denomina vectoria! abierto porque los 
sentidos de las componentes . se dirigen al extremo C del vector de la 
resultante R. 
La operación descripta se denomina composición de fuerzas o deter­
minación 4e la reBultante y es aplicable a toda clase de cuerpos : sólidos 
rigidos o deformables, líquidos y gases. 
· 
Oi'E'RACIONES f'UNDAMEN1'ALES DE LA E$TA TICA 9 
En resumen : el vectorial trazado, según la escala de fuerzas, a par­
tir de cualquier punto O del plano, sirve para obtener : la dirección s de 
1" resultante R, su intensidad (segmento OC) y su sentido que se dirige 
clt•l origen O hacia el extremo C. Para ubicar la resultante R en su ver­
clllll ra posición es necesario acudir al esquema posicional, trazañdo por 
una paralela a OC que fija la recta de acción de R, siendo su sentido 
cl,del vector OC. 
La operación inversa de la composición se denomina descomposi­
rión de fum·zas o determinación de componentes y su enunciado es el 
Kiguiente : una fuerza es estáticamente equivalente a otras dos fuerzas 
11cgún direcciones previamente fijadas. 
Sean : P la fuerza; 1 y 2 las direcciones fijadas a las dos fuerzas 
státicamente equivalentes de la P (fig. lla) . Trazado por O (fig. llb) 
a) b) EL=am (jf; e) !cm éF =Tcííl 
1 
o � 
(j)P-
p P, 
Fig. 11 
el vector· OB representativo dé lli. fuerza P, según escala de fuerzas, · 
por el extremo B la recta BC paralela a una de las direcciones fijadas, 
digamos a la 1, y por el origen O una paralela a la otra ·dirección 2, 
se obtien(. el triángulo OBC. Orientando los segmentos OC y CB como 
indica la fig. llb, resulta un poiígono vectorial abierto análogo al· de 
la fig. lOd. 
·Los vectores P1 y P2 señalan el sentido y la mag�itud, ésta apre­
ciada en la correspondiente escala de fuerzas, de las dos fuerzas equi­
'V.alentes a la P, que estarán aplicadas en un punto A de la recta de . 
acción de P. Los sistemas e) de fig. 11 son pues estáticamente equiva­
lentes. 
En consecuencia : 
No se altera el efecto cinemática de una fuerza al sustitu·irlo 
por dos fuerzas de direcciones arbitrarias, pero concurrentes 
co,r. la lí11Jea de acción de aquélla. 
9f!. operación : Introducción o supresión de bifuerzas. 
Supuesto que en el sistema de fuerzas de la fig. 12, las fuerzas 
P1 y P8 son iguales y opuestas, la 21!- operación de la Estática asegura 
que su resultante es nula ; luego podrán suprimirse. Los sistemas a) y 
b) de fig. 12 son pues estáticamente equivalentes. 
10 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESISTENCIA DE MA TERIALES 
= 
Fig. 12 
En consecuencia : 
Inv-ersamente, si en 
el sistema de fig. 12b :¡e 
introducen d o s fuerzas 
iguales y opuestas ac­
tqando en una misma rec­
ta de acción , el nuevo 
sistema sigue s i e n d o 
equivalente ,al primero. 
Se denÓmina bifuer­
za al con j u nto de dos 
fuerzas de igual intensi­
dad y sentidos opuestos 
actuando en una misma 
recta de acción. 
No se altem el efecto cinemática de las fuerzas existentes en 
un sólido rígido, introduciendo o suprimiendo bifuerzas. 
Se constata experimentalmente que esta operación sólo puede. apli­
carse a los cuerpos rígidos. Pierde su validez en los cuerpos deforma­
bies, por ejemplo en un elástico, en la goma, etc. 
4t:L operación: Desplazamiento paralelo de una fuerza. 
Sea una fuerza P actuando en cualquier dirección, por ejemplo se­
gún la ver t i c a l por A (fig. 
13a) . Si su recta de acción se '
d e s p l a z a paralelamente a sí 
d) 
misma hasta el punto B del 
cuerpo e, el sistema obtenido 
( fig. 13b) no es equivalente 
al a) . Pero procedamos en la 
siguiente, forma; manteniendo 
la fuerza P en su posición da­
da, apliquemos en el punto B 
una bifuerza (fig. 13c), el sis­
tema resultante, por la 3� ope­
ración, es equivalente al a) o 
El nuevo sistema de fuer­
zas (fig. 13c) está constituído 
por una fuerza P, en B, diri­
gida hacia abajo y por una 
cupla (fuerzas P en A y P en 
cp= =Gf p p 
Fig. 13 
B, ésta hacia arriba) de momento M=- Pa (fig. 13d) que es equi­
valente al a ) . 
Por consiguiente : 
No se altera el efecto cinemática de una fuerza P, desplazán­
dola paralelamente a su línea de acción, a la distancia a, siem­
pre que se agregue uM cupla de momento Pa. 
La inversa de esta operación se 
_
estudiará en página 32. 
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTA TICA 11 
Las cuatro operaciones establecidas permiten pasar, por aplicacio­
nes sucesivas, de un sistéma de fuerzas a otro sistema estáticamente 
quivalente, vale decir· de igual efecto cinemática qÚe el primero. -El 
problema primor
.
dial de la Estática consiste en la aplicación metódica 
de aquellas operaciones elementales, hasta obtener un sistema de fuer­
zas, conforme a los propósitos que se tengan en vista. 
!J 6. Representación ana­Utica de f u euas. - El 
procedimiento más sencillo 
es referir la fuerza P a un 
par de ejes ortogonales xOy 
(fig. 14) . P. �����===��� 1 1 ----- p .¡ 1 
1 lb 1 1 1 1 
1 1 1 1 1 1 
Analíticamente la fuer­
za P, supuesta aplicada en 
O, se determina por su in­
tensidad P y el áng u l o a 
que forma la dirección posi­
tiva del .eje x con la fuer­
za. Proyectada é s ta sobre 
los e j e s, resultan las dos 
componentes ortogonales de 
P: 
l fr 1 l ,q. ��_.��--�--���--_._x 
-+- P., = P cos a 
cuyo signo depende del ángulo a. 
a 
Fig. 14 
± Pu = P sen a ; 
Si la fuerza está aplicada en A, será necesario fijar las coorde­
nadas a, b de este punto. 
Inversamente : conocida las dos componentes ortogonales Pz y P11, 
de una fuerza P, ésta queda' determinada en ppsición, sentido y mag­
nitud por las igualdades : 
PJI 
tg a = -+- P z 
P = yP/ + Pl. 
De todo . lo anterior se deduce que las operaciones a 'realizar con las 
fuerzas, podrán efectuarse gráficamente mediante escalas adecuad1¡1s de 
fuerzas o analíticamente con ·ayuda de un par de ejes coordenados, ·ele­
gido según convenga. Se aplicará uno u otro procedimiento a voluntad; 
en muchos casos ambos métodos para controlar los resultados. 
EJEMPLO l. - Determinar la resultante de las fuerzas :', y P, (fig. 15) , 
gráfica y analíticamente. 
El procedimiento gráfico consiste en la construcción de un polígono yec­
torial (fig. 15b) . El vector de origen O extremo C, apreciado en la �a d� 
fuerzas, fija la intensidad de R que resulta R = 3,2 t. 
Su recta de acción es la paralela por A a la directriz OC j<Íel vectorial 
y su sentido el ya indicado. 
Para resolver analíticamente el problema, refiramos el vectorial de las 
fuerzas P, ; P, (fig. 15c) a un par de ejes ortogonales ¡t;, y cuyo origen con­
venimos en hacerlo coincidir con el origen del. vectoriaL 
12 RAFFO, C. M. - ESTA T. Y RESiSTENCIA DE MA TERIALES 
a) 
P,= J,5t 
b) 
e 
o 
EF=_!i_ !cm lj 
Fig. 15 
Proyectemos éste sobre los ejes x e y : { - P1 cos a, ..,.. P. cos a, = Pa 
- P1 sen a, + P. sen "" = P, 
Sustituyendo valores : 
Resultando : 
{ - 3,5 cos 30o + 5 cos 70o = P. 
- 3,5 sen 300 + 5 sen 700 = P, 
{ P� = - 1320 kg 
P, = + 2945 kgcomo componentes ortogonales de la resultante R. 
P=IJOO.'rg 
a) b) 
EF= J[}[}kg /cm 
Fig. 16 
e) .!/ 
!1 
/ 
/ 
/ X 
OPERACIONES FUNDAMENTALES DE LA ESTA TICA 13 
1!: 1 ángulo a . vale : 
2945 -tg a = 
1320 
- 2,23 
Lu magnitud de R es : 
R = y 13202 + 29452 = 3227 kg 
E:.JEMPLO 2. - Dada la fuerza P = 1,5 t determinar sus dos comtJOnen­
'K ortogonales según la·s direcciones x, y (fig. 16a) . 
La solución gráfica está dada en la fig. 16b. 
Analíticamente, se proyecta la fuerza P/ (fig. 16c) sobre un par de ejes 
Jlll rnlelos a las direcciÓnes ortogonales x e y,' resultando : 
P. 1500 cos 40o == 1149 kg , 
P. = 1500 sen 4QO == ......, 964 kg 
CAPiTULO III 
COMPOSICióN GRAFICA DE FUERZAS 
Los dos problemas fundamentales de la Estática son los .siguientes : 
1 ) Composición o reducción de fuerzas (Determinación de · resul­
tantes) . 
2 ) Descomposición de fu&rzas (Determinación de componentes) . 
El 'procedimiento para resolver los problemas enunciados, consiste 
en aplicar las operaciones elementales estudiadas en el capítulo an­
terior. 
. 7. Composición de fuerzas concurrentes. - La fig. 17a es el es­
qÚema posicional de un sistema de fuerzas concurrentes en M, que va­
mos a componer. 
a) 
Fig. 17 
E F =!!:.!!!:._ !cm 
Ordenadas previamente las fuerzas, por ejemplo, a partir de la di­
rección vertical descendente, se numeran sucesivamente en el sentido 
de la flecha curvilínea : P1 ; P2 ; P3 ; -P4 (este ordenamiento puede ser 
cualquiera) . 
Elegida una escala de fuerzas;_ se dibuja el vectorial de las fuerzas 
dadas : a partir de un origen O, cualquiera (fig. 17c) , un vector OA 
representativo. de la fuerza P1-; por el extremo A de P1 un vector AB 
representativo de la P 2 ; por el extremo B de P 2 un vector BC repre­
sentativo de la P3; y por C un vector Cl) representativo de la P4 • 
COMPOSICION GR-:AFICA DE LAS FUERZAS 16 
El punto final D se llama extremo del vectorial. Uniendo su origen 
O con su é�remo D, el segmento dirigido de O hacia D determina, .según 
la escala de �uerzas, la intensidad de la resultante R; la recta OD su di­
rección y la flecha (hacia D) su sentido. En cuanto a su línea de ac­
ción debe pasar por M y ser paralela a la recta OD. 
La construcción efectuada se explica en la fig. 17b : R1 es la re­
aultante parcial de las fuerzas P1 y P2, obtenida según la segunda ope­
ración elemental de la Estática. Luego el sistema dado de fuerzas (fig. 
18a) resulta estáticamente equivalente al de fig_ 18b. 
A su vez la fuerza R2 (fig. 17b) es resultante de R1 (que susti­
tuye a las P1 y P2) y la fuerza P3 • J;_,uego reemplaza a R1 y P3 ; y el 
sistema de fig. 18b es equivalente estáticamente al de fig. 18c. 
a) 
Fig. 18 
Por último, siempre según la segunda operación elemental, las fuer­
zas R2 y P4 pueden sustituirse por la resultante R, con lo cual el sis­
tema inicial (fig. 18a) es equivalente al de fi,g. 18d. 
En la práctica no se dibujan las resultantes parciales, bastando 
trazar el vectorial de fig. 17c. 
-
Las fuerzas P 1, • • • , P 4 son las componentes de la fuerza R. Reco­
rriendo el .vectorial a partir de su origen, siguiendo el sentido de sus 
componentes se alcanza el punto D, extremo del vectorial, no siendo 
posible proseguir hacia el origen O porque el sentido de la fuerza R lo 
impide : es pues un vectorial abierto. 
De acuerdo con ello podrá decirse : 
Si un sistema de/ fuerzas concurrentes origina un vectorial 
abierto, el sistema admite resultante ; 
o sea existe una traslación del cuerpo según la dirección y el sentido 
de aquella resultante. 
8. Composición de fuerzas no concurrentes. - Sea el sistema de 
fuerzas no concurrentes P1P2P8 (fig. 19a) . Construido (fig. 19b) el 
vectorial OABC de las fuerzas dadas y descompuesta la fuerza P1 en