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35707_VariablesaleatoriasDrWeb
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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
UNIDAD : Variables Aleatorias PROFESOR HUGO GONZÁLEZ A.
Página Nº 1
VARIABLES ALEATORIAS
A.- INTRODUCCIÓN
La naturaleza de un experimento aleatorio puede ser de cualquier índole y de
acuerdo a esta también sus resultados, en la practica esto tiene como consecuencia que los
resultados de un experimento aleatorio no necesariamente son numéricos, lo que en la
mayoría de las veces dificulta el análisis, ya sea por que se requiere del uso de notaciones
engorrosas y/o por la poca operatividad de elementos no numéricos. Esta situación se
simplifica cuando se encuentra el medio para relacionar cualquier resultado de un
experimento aleatorio con una medida cuantitativa expresada a través de un numero real,
este medio es lo que se denomina variable aleatoria.
B.- EL CONCEPTO DE VARIABLE ALEATORIA:
Sea Ω el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ε, una variable
aleatoria es una función definida de Ω en ℝ que transforma los resultados de ε en puntos
sobre la recta real.
x)(X
:X
=ωω
Ω R
Gráficamente:
Obs:
Ω
x
X (ω) = x ℝ
ω
El concepto formal de variable aleatoria, expresado como función puede resultar
contradictorio, por que además es una variable. Sin embargo éste sólo se utiliza para dejar
establecido que la asignación hecha sobre cada punto muestral es única.
Si en algunas situaciones particulares, se tiene que los resultados del experimento
aleatorio son numéricos, entonces la variable aleatoria “trivial” esta dada por la función
identidad.
X(ω) = ω
Para un mismo experimento aleatorio se pueden definir distintas variables aleatorias,
dependiendo esto sólo de las situaciones que se quieran modelar.
NOTA: En adelante para referirnos a una variable aleatoria usaremos la abreviatura v.a.
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DEFINICIÓN:
Si X es una v.a. definida de Ω en ℝ, su recorrido es el subconjunto de todos los
números reales que son imagen de algún punto muestral, el que denotaremos por ℝx y que
formalmente podemos escribir como:
ℝx ={x ∈ ℝ/x = X(ω) ; ω ∈ Ω}
Ejemplo 1
Para cada uno de los experimentos aleatorios dados a continuación y sus
correspondientes espacios muestrales, pueden considerar entre otras las siguientes variables
aleatorias:
1. : Lanzar una moneda al aire. 1ε
Su correspondiente espacio muestral es Ω = { c , s }
Una v.a. en este caso puede ser:
caraaparecemonedalaensi0
selloaparecemonedalaensi1
x =
{ })s,s,s(,)c,s,s(,)s,c,s(,),s,s,c(,)c,c,s(,)c,s,c(,)s,c,c(,)c,c,c(=Ω
y su recorrido dado implícitamente en la definición de x es ℝx { }1,0=
2. : Tres lanzamientos de una moneda. 2ε
Su correspondiente espacio muestral es :
a) si definimos la v.a. x como:
X = “Nº de caras obtenidas”
entonces su recorrido es ℝx { }3,2,1,0=
b) otra v.a. para este espacio puede ser:
odistesresultadounmenosalsi
igualessonresultadoslostodos
x
int
=
0
1
3. : Realizar una inversión en la bolsa de valores. 3ε
Su correspondiente espacio muestral es:
{ }mantener,perder,ganar=Ω
Una variable aleatoria para esta situación podemos definirla como:
ganasi1
mantienesi0
pierdesi1
x
−
=
donde ℝx { }1,0,1−=
IMPORTANTE:
Debemos tener presente que una v.a. puede tener un carácter numérico
propiamente tal ( la idea intuitiva de valor asociada a un guarismo) o simplemente un
carácter de indicador (pseudo numérico), es decir, la utilización de un número para
identificar las distintas categorías de una variable, así en el ejemplo anterior, podemos
observar que en los casos 1), 2-a) y 3) la v.a definida tiene el carácter de indicador,
mientras que en el caso 2-b) la variables es numérica propiamente tal.
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Obs.:
el recorrido de una variable aleatoria lo podemos considerar como un espacio
muestral. Este nuevo espacio carece de una ley de probabilidad propia, puesto que sus
elementos no siempre son resultados directos del experimento aleatorio, sin embargo, la
misma v.a. que lo genera, induce en él una ley de probabilidades a partir de la ley de
probabilidades en Ω , donde Ω si posee una ley de probabilidades propia, la que es
consecuencia del experimento mismo.
Al considerar a ℝx como un espacio muestral, entonces cualquier subconjunto de él,
puede considerarse como un suceso.
Para construir la ley de probabilidades en ℝx a partir de la ley de probabilidad en Ω,
necesitamos de un concepto adicional, el que analizaremos a continuación:
C.- SUCESOS EQUIVALENTES:
Sean A ⊆Ω y B ⊆ ℝx dos sucesos; A y B son sucesos equivalentes, si y solo si:
A = {ω ∈ Ω / Χ (Ω) ∈ Β}
Ejemplo 2:
a) de acuerdo al ejemplo 1 a)
Si B = {X = 1} ⊆ ℝx, el suceso equivalente en Ω es A = {s}
b) De acuerdo al ejemplo 1 b)
Si para la v.a. X = “Nº de caras” , consideramos el suceso:
B = {X = 1} ⊆ ℝx, el suceso equivalente en Ω es A = {(c,s,s) , (s,c,s) , (s,s,c)}
Proposición:
Si A ⊆ Ω y B ⊆ ℝx son sucesos equivalentes, entonces P(B) = P(A)
Ejemplo 3:
Para el experimento ε2: 3 lanzamientos de una moneda.
Supongamos que la moneda esta sesgada de manera que aparece cara tres veces más
seguido que sello, los resultados posibles del experimento y sus correspondientes
probabilidades los podemos representar a través del siguiente árbol.
ε →
3/4
c
s
1/4
1/4
s
c
3/4
1/4
s
c
3/4
1/4
c
s
1/4
3/4
c
s
1/4
3/4
c
s
1/4
3/4
c
s
3/4
(s, s, s) x = 0 P(s, s, s) = 1/64
(s, s, c) x = 1 P(s, s, c) = 3/64
(s, c, s) x = 1 P(s, c, s) = 3/64
(s, c, c) x = 2 P(s, c, c) = 9/64
(c, s, s) x = 1 P(c, s, s) = 3/64
(c, s, c) x = 2 P(c, s, c) = 9/64
(c, c, s) x = 2 P(c, c, s) = 9/64
(c, c, c) x = 3 P(c, c, c) = 27/64
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Si la variable aleatoria es la definida en los casos anteriores, es decir:
X = “N° de caras obtenidas”
Entonces:
a) La probabilidad de obtener a lo menos una cara es:
P(X≥1) = P(X=1 ∨ X=2 ∨ X=3)
= P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
= P{(c,s,s) , (s,c,s) , (s,s,c)} + P{(c,c,s) , (c,s,c) , (s,c,c)} + P{(c,c,c)}
=
64
27
64
27
64
9
++
=
64
63
b) La probabilidad de obtener resultados iguales es:
P(X=0 ∨ X=3) = P{(s,s,s)} + P{(c,c,c)}
=
64
27
64
1
+
=
64
28
Obs:
• Los conceptos dados hasta el momento, constituyen la base formal para el
desarrollo de los conceptos probabilísticas. Sin embargo, vale la pena destacar que
existen muchos experimentos aleatorios cuyos resultados se pueden considerar
directamente como variables aleatorias, por ejemplo:
a) N° de artículos defectuosos en una línea de producción.
b) Tiempo de vida útil de un artículo.
c) Consumo de energía eléctrica por familia.
d) N° de defectos por pieza de tela.
e) Contenido de cloro en el agua.
Por lo que establecer posiciones probabilísticas respectode ellas, resulta evidente.
D.- Clasificación de Variables – Características:
Las variables aleatorias se clasifican de acuerdo al “tamaño” de su recorrido. Bajo este
criterio una v.a. puede ser discreta o continua.
Definición:
Una v.a. definida de Ω en ℝ es una variable aleatoria discreta, si y sólo si, su recorrido es
un conjunto finito o a lo más infinito numerable.
Ejemplo 4:
X = “N° de artículos defectuosos en una línea de producción”.
X = “N° de defectos en una pieza de tela”.
Y = “N° de ventas realizadas en un día”.
Z = “N° de accidentes de tránsito ocurridos diariamente en la carretera 5 Sur”.
Obs:
• De acuerdo a los ejemplos, podemos observar que las variables aleatorias discretas
están asociadas al proceso de conteo.
• Lo que caracteriza una v.a. discreta es el que entre valores consecutivos, no existen
valores intermedios.
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• Un conjunto infinito se dice numerable, si y sólo si, es posible establecer una
correspondencia uno a uno entre los elementos de dicho conjunto y los números
naturales.
Definición:
Sea X una v.a. discreta, se define la función de cuantía (fdp) de X como:
f : ℝx ℝ
x f(x) = P(X = x)
La que satisface:
i) f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R
ii) 1)x(f
1i
i =∑
∞
=
Ejemplo 5:
a) Para la v.a. X = “N° de caras obtenidas en 3 lanzamientos de una moneda sesgada
en el que aparece cara tres veces mas seguido que sello”, su fdp está dado por:
f(x) =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
casootroen0
3,2xsi
64
27
1xsi
64
9
0xsi
64
1
b) Si consideramos una moneda normal, entonces para la misma v.a., su fdp es de la
forma:
f(x) =
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
casootroen0
2,1xsi
8
3
3,0xsi
8
1
Definición:
Una v.a. definida de Ω en ℝ, es una v.a. continua, sí y sólo sí, su recorrido es un conjunto
infinito no numerable.
x
f(x)
27/64
1/64
9/64
0 1 2 3
x
f(x)
3/8
1/8
0 1 2 3
Ejemplo 6:
X = “Tiempo de vida útil de un artículo”.
X = “Velocidad máxima desarrollada por un móvil”.
X = “Ingresos brutos por trabajador”.
X = “Desviación entre el contenido real y lo estipulado en la etiqueta de un
envase”
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Obs:
• De acuerdo a los ejemplos podemos establecer que las v.a. continuas están asociadas al
proceso de medición.
• La continuidad nos permite deducir que entre dos valores distintos de la variable, es
posible obtener a lo menos uno más (densidad de los números reales).
Definición:
Sea X una v.a. continua, se define la función de densidad (fdp) de X, como:
f : ℝx ℝ
x f(x) , tal que:
( ) ∫=≤≤
b
a
dx)x(fbXaP
1dx)x(f =∫
∞
∞−
La que satisface:
i) f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ R
ii)
Obs:
• De acuerdo a la definición de fdp en el caso continuo, se establece que una
proposición probabilística para una variable continua no se expresa en términos de
valores puntuales de ésta, sino sobre intervalos. Lo anterior se puede justificar de
alguna forma, considerando la naturaleza misma de las v.a. continuas, éstas
provienen básicamente del proceso de medición y las mediciones nunca son exactas,
puesto que en ella influye tanto la calibración del instrumento como la agudeza
misma del ojo humano, por lo que generalmente, lo que obtenemos son cotas o
aproximaciones para dichas mediciones.
• Nótese además que para ser una fdp debe satisfacer las mismas condiciones que la
función de cuantía en el caso discreto, pero en el contexto que le corresponde.
Ejemplo 7:
Supongamos que el tiempo de vida útil (en hrs.) de una pila alcalina se considera como una
variable aleatoria continua, cuya función de densidad está dada por:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≥=
−
casootroen0
0xsiek)x(f
x04,0
a) Determine el valor de k de manera que f(x) quede bien definida.
b) ¿Cuál es la proporción de pilas cuya vida útil:
i) Se encuentra entre 20 y 28 horas?.
ii) Es superior a 30 horas?.
iii) Es inferior a 32 horas, si ésta supera las 21 horas?.
Solución:
a) Para que f(x) está bien definida, ésta debe satisfacer las condiciones de no
negatividad y el que el área bajo la curva debe ser 1.
En cuanto a la primera condición, ésta resulta obvia si k > 0
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Para la segunda condición debemos evaluar la integral, de esta manera se obtiene:
04,0k
1
04,0
ek
1dxek
1dx)x(fdx)x(fdx)x(f
0
x04,0
0
x04,0
0
0
=→
=
−
→
∫ =→
∫ ∫ ∫ =+=
∞−
∞ −
∞
∞− ∞−
∞
Por lo tanto, la función de probabilidades y su respectiva representación gráfica es:
∴
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≥=
−
casootroen0
0xsie04,0)x(f
x04,0
i) P(20 < X < 28)
∴ La proporción de pilas cuya vida útil se encuentra entre 20 y 28 horas es del 12,3%.
ii) P(X > 30) = 1 – P(X < 30)
123,0
)e(e
|e
dxe04,
20*04,028*04,0
28
20
x04,0
28
20
x04,0
=
−−−=
−=
−−
−
−
( )
3012,0
|11
04,01
2,1
30
0
04,0
30
0
04,0
==
−−=
−
−
−
−∫
e
e
dxe
x
x
∴ Un 30,12% de las pilas tiene una vida útil superior a 30 horas.
iii) p(X < 32 / X > 21)
∴ El 35,6% de las pilas cuya vida útil es superior a las 21 horas, tiene una vida útil que no
supera a las 32 horas.
Definición:
Sea X una v.a. con fdp f(x), se define la función de distribución (fda) de X como:
F(x) = P(X ≤ x)
La que está dada por:
0∫=
=
356,0
4317,0
1537,0
|)(
)(
84,0
28,184,0
21
04,0
|04,0
21
32
21
32
21
==
−
=
−
−
= −
−−
∞
−
−
∞
∫
∫
e
ee
e
e
dxxf
dxxf
x
x
x
f(x)
0,04
=
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∫=
∑=
∞−
=
x
k
1i
ik
.continua.a.vunaesxsidt)t(f)x(F
.discreta.a.vunaesxsi)x(f)x(F
Obs:
• De acuerdo a su definición, podemos establecer que la función de distribución es la
función que acumula probabilidades. Y sus características son las siguientes:
1.- F(x) es una función monótona creciente, es decir; si xi < xj entonces F(xi ) ≤ F(xj ).
2.-
0)(lim1)(lim == ∞−∞ xFxF xx
Esta característica expresada verbalmente establece “A mayor valor de la variable, mayor es
la probabilidad que se acumula (se aproxima a 1)” y análogamente “A menor valor de la
variable, menor es la probabilidad que se acumula (se aproxima a 0)”.
3.- Si X es una v.a. continua, se tiene que:
i) F`(x) = f(x)
ii) P(a ≤ x ≤ b) = F(b) – F(a)
4.- Si X es una v.a. discreta, se tiene que:
f(a) = )x(Flim)x(F axa −+ −limx
Ejemplo 8:
Para las v.a. de los ejemplos 5 y 7, construir las funciones de distribución y representarlas
gráficamente:
a) Para el ejemplo 5: la v.a. definida es X = ”N° de caras obtenidas en tres
lanzamientos de una moneda sesgada en la que aparece cara tres veces mas seguido
que sello” , luego su función de distribuciónes:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<≤
<≤
<≤
<
=
3xsi1
3x2si
64
37
2x1si
64
10
1x0si
64
1
0xsi0
)x(F
0 1 2 3 x
1/64
10/64
1
27/64
F(x)
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b) Para el ejemplo 7: La v.a. definida es X = “Tiempo (en horas) de vida útil de una
pila alcalina”, su función de distribución es:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥−
<
=
−=−=∫=
−
−−−
0xsie1
0xsi0
)x(F
e1|edte04,0)x(F
x04,0
x04,0x
0
t04,0x
0
t04,0
1
F(x)
Obs:
• Debe tenerse presente que el conocer la función de distribución de una v.a. continua,
facilita la solución de situaciones problemáticas relativas a su comportamiento, puesto
que en ésta la integral ya está resuelta, luego en una proposición probabilística basta
con evaluarla (Característica 3 de F(x) y corresponde a lo establecido en el Teorema
Fundamental del Cálculo Integral).
• De acuerdo a esto y considerando la parte b) i) del ejemplo 7 tenemos que:
P(20 < x < 28) = F(28) - F(20)
= [1 – e-0,04 * 28] - [1 – e-0,04 * 20]
= e-0,8 – e-1,12
Definición:
Sea X una v.a. con fdp f(x), se define la esperanza o valor esperado de X como:
.)c.a.vunaesxsi(dx)x(fx)X(E
.)d.a.vunaesxsi()x(fx)X(E
1i
ii
∫=
∑=
∞
∞−
∞
=
Obs:
• El valor esperado de una variable aleatoria no es otra cosa más que el valor medio de
ésta. Este tiene la connotación de media poblacional, puesto que su determinación
implica conocer el comportamiento probabilístico de la v.a., o sea, conocer la
población que se modela a través de ésta.
Notación:
E(X) = µ
Ejemplo 9:
Obtener la media para las v.a. de los ejemplos 5 y 7:
a) Para el ejemplo 5: la v.a. X = “N° de caras obtenidas en tres lanzamientos de una
moneda en la que aparece cara 3 veces más seguido que sello”, su valor esperado es:
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25
04,0
104,0)()(
:
,")("..:7)
25,2
64
27*3
64
27*2
64
9*1
64
1*0)()(
0
04,0
1
====
=
=+++==
∫∫
∑
∞
−
∞
∞−
∞
=
dxexdxxfxXE
esesperadovalorsu
alcalinapilaunadeútilvidadehorasenTiempoXavLaejemploelParab
xfxXE
x
i
ii
PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO:
P.1.- E(k) = k ; k = cte.
P.2.- E(k + x) = k + E(x) ; k = cte.
P.3.- E(k * x) = k * E(x) ; k = cte.
P.4.- E(x - µ) = 0
P.5.- E(x – a)2 es mínima si a = µ
Definición:
Sea X una v.a. con fdp f(X), se define la varianza de X como:
V(X) = E[ (X - µ)2 ]
Obs:
• La varianza de una variable aleatoria tiene carácter de varianza poblacional
(situación análoga a la media).
Notación:
V(X) = σ2
Obs:
• La obtención de la varianza por medio de la definición resulta bastante engorrosa, por
lo que al operacionalizar la definición, se obtiene la siguiente expresión:
V(X) = E( X2 ) – E( X )2
Ejemplo 10:
Para las v.a. de los ejemplos 5 y 7 determine la varianza.
a) Para X = “N° de caras en tres lanzamientos de una moneda sesgada en la que
aparece cara tres veces más seguido que sello”
E(X2) = 625,5
64
360
64
27*3
64
27*2
64
9*1
64
1*0)x(fx
n
1i
2222
i
2
i ==∑ +++=
=
Luego
V(X) = E(X2) – E(X)2 = 5,625 – 2,252 = 0,5625
b) Para la v.a. X = “Tiempo (en horas) de vida útil de las pilas alcalinas”, se tiene:
E(X2) = ∫ ==∫ =
∞ −∞
∞− 0
2
x04,022 1250
04,0
2dxex04,0dx)x(fx
Luego
V(X) = E(X2) – E(X)2 = 1250 – 252 = 625
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PROPIEDADES DE LA VARIANZA
P.1.- V(X) ≥ 0
P.2.- V(k) = 0 k = cte.
P.3.- V(k + X) = V(X) k = cte.
P.4.- V(k * X) = k2V(X) k = cte.
P.5.- V(X ± Y) = V(X) + V(Y) ± 2 Cov (X,Y)
Pero, si X e Y son v.a. independientes, entonces Cov (X, Y) = 0
Obs:
• La varianza presenta un problema práctico que dificulta su interpretación, la causa de
esta dificultad radica en el hecho de que la varianza cambia la dimensión de la variable,
haciendo que ésta carezca de sentido, en el ejemplo 10 a) la varianza 0,5625 posee la
dimensión (caras)2 y en el ejemplo 10 b) la varianza 625 posee la dimensión (horas)2;
obviamente ninguna de estas dimensiones tiene sentido práctico.
• Lo anterior se soluciona definiendo otra medida de variabilidad a partir de la varianza,
ésta es la desviación estándar.
Definición:
Sea X una v.a. con fdp f(X) y varianza σ2, se define la desviación estándar como la raíz
positiva de la varianza, es decir:
)X(Vσ = +
Obs:
• Esta medida resuelve el problema práctico asociado al varianza.
• Esta medida se interpreta como la media de las desviaciones respecto de la media.
• Esta medida como su nombre lo indica se utiliza para determinar niveles de
variabilidad (homogeneidad, heterogeneidad según corresponda).
• A menor desviación estándar, mayor grado de homogeneidad.
Ejemplo 11:
De acuerdo a los resultados del ejemplo 10 tenemos:
a) σ = 0,75 (caras)
b) σ = 25 (horas)
Definición:
Sea X una v.a. con media µ y varianza σ2, se define el coeficiente de variación como la
razón entre la desviación estándar y la media, es decir:
CV(X) =
µ
σ
Obs:
• El coeficiente de variación relaciona la desviación estándar con la media,
proporcionando el porcentaje medio de variabilidad.
• Nótese que el coeficiente de variación se utiliza como una medida para establecer la
representatividad de la media. Para esto se considera el coeficiente de una distribución
normal, el que alcanza al 24% aproximadamente.
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Ejemplo 12:
Usando las variables de los ejemplos anteriores tenemos:
a) CV =
25,2
75,0
b) CV =
25
25
DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV
Esta desigualdad nos permite relacionar la media y la desviación estándar a través de la
proposición probabilística siguiente:
P( ⎜X – c ⎜≤ ε ) ≥ 1 - 2
2)cX(E
ε
−
Si en esta proposición hacemos c = µ y ε = kσ, entonces la expresión queda:
P( ⎜X - µ ⎜≤ kσ ) ≥ 1 - 2k
1
Obs:
• Esta proposición sólo tiene sentido para k > 1.
• La proposición anterior establece que la proporción de observaciones que se alejan de
la media en a lo más k desviaciones estándar es a lo menos (1 – k-2)
• Una forma equivalente de expresar esta proposición es:
P( ⎜X - µ ⎜≥ kσ ) ≤ k-2
E.- FUNCIÓN GENERATRIZ DE MOMENTOS:
Definición:
Sea X una v.a. con fdp dada por f(x), se define el momento de orden “r” respecto del origen
como:
µr = E(Xr)
y el momento de orden “r” respecto de la media como:
µ (r) = E( (X - µ)r )
Obs:
• De acuerdo a la definición, podemos establecer que los momentos son medias de
potencias de la variable (en el caso de momentos respecto del origen) o medias de
potencias de desviaciones respecto de la media (momentos respecto de la media).
• Nótese que la media (µ) corresponde al momento de orden 1 respecto del origen y que
la varianza es el momento de orden 2 respecto de la media.
PROPIEDADES DE LOS MOMENTOS:µ0 = 1 µ (0) = 1
µ1 = µ µ (1) = 0
µ2 = E(X2) µ (2) = µ2 - µ2 = σ2
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Proposición:
Todo momento de orden r respecto de la media puede ser expresado en base a los
momentos respecto del origen.
En efecto
[ ] ( )
( )
( ) krkr
0k
r
k
r
0k
krkr
k
krkr
0k
r
k
r
**
*)x(E*
*x*E)X(E
−
=
=
−
−
=
µµ∑=
∑ µ=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
µ∑=µ−
Donde µk es el momento de orden K respecto del origen y µr-k corresponde a la potencia de
orden (r – k) del momento de orden 1 respecto del origen (media).
Definición:
Sea X una v.a. con fdp dada por f(X), se define la función generatriz de momentos (fgm) de
X, como:
Mx(t) = E(etx)
Así esta expresión queda:
∫=
∑=
∞
∞−
∞
=
.)c.a.vunaesxsi(dx)x(fe)t(M
.)d.a.vunaesxsi()x(f*e)t(M
tx
x
1i
ii
tx
x
Obs:
• La fgm es una función que depende del parámetro real t.
• Considerando que la definición de fgm está dada como una serie infinita o una integral
impropia según sea el caso, esta podría no existir (converger) para todos los valores de
t, por lo tanto, nos preocupamos sólo de aquellos valores del parámetro t, para los
cuales esta función existe.
• Nótese que la fmg siempre existe para t = 0.
¿ Por qué Mx (t) se denomina fgm ?
De acuerdo a lo establecido en el análisis matemático
la función ex, puede desarrollarse como una serie de Maclaurin quedando:
........
!n
x.........
!3
x
!2
xx1e
n32
x ++++++=
serie que converge ∀ x. Luego para la función etx se tiene:
........
!n
)tx(.........
!3
)tx(
!2
)tx(xt1e
n32
tx ++++++=
Lo que permite escribir la fgm como:
Mx(t) = E ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++++++= .......
!n
)tx(.........
!3
)tx(
!2
)tx(tx1E)e(
n32
tx
Usando la propiedad aditiva del valor esperado tenemos que:
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..........
!n
)X(Et.............
!2
)X(Et)X(tE1)t(M
nn22
x +++++=
es decir:
Mx(t) = µ0 + tµ1 + t2µ2/2! +.……….+ tn µn/n! +...........
Lo anterior permite establecer la siguiente proposición:
La n-ésima derivada de la fgm
evaluada en t = 0, es el momento de orden n respecto del origen, es decir:
Mx(n) (0) = E(Xn) = µn
Algunas propiedades de la fgm: Prop. 1.- Si Y = a + bx , entonces My(t) = ebt * Mx(t)
Prop. 2.- Si X e Y son dos variables aleatorias, tal que Mx(t) = My(t), entonces X e Y son
variables aleatorias idénticamente distribuidas.
Prop. 3.- Si X e Y son dos variables aleatorias independientes, entonces:
M(X + Y)(t) = MX(t) * MY(t)
APLICACIONES
1.- Para medir la efectividad de un Nuevo fertilizante un laboratorio ha diseñado un
experimento, el cual consiste en depositar tal producto en un metro cuadrado de terreno. Si
el nuevo producto no entrega los resultados deseados, el experimento se repetirá hasta
observar un resultado satisfactorio para el laboratorio. Si esto no ocurre en 5 ensayos, el
experimento se detiene y se prepara otro fertilizante. Suponga que se tiene una probabilidad
de 0,9 de que el nuevo fertilizante de los resultados esperados y que los ensayos sucesivos
son independientes.
a) Defina la variable aleatoria adecuada e indique su recorrido.
b) Construya la función de cuantía para esta variable y represéntela gráficamente.
c) Construya la función de distribución (acumulativa) y represéntela gráficamente.
d) Determine el numero esperado de intentos fallidos.
e) ¿Cuál es el porcentaje medio de variabilidad para el numero de intentos fallidos?
f) Usando la función generatriz de momentos, obtenga la media y la desviación
estándar de la distribución.
g) Suponga que el costo del primer ensayo es de U$300 mientras que los posteriores
cuestan U$100. cada vez que se observe un resultado exitoso, se obtiene una
ganancia de U$600. en base a esta información obtenga la utilidad neta esperada y
su desviación estándar.
Solución:
a) Definición de la variable aleatoria
X = “ Número de veces que se fracasa en la realización del experimento “.
Cuyo recorrido es Rx = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
b) Construcción de la función de cuantía:
f(0) = P(X = 0) = 0,9 [ se logró el éxito en el primer intento].
f(1) = P(X = 1) = 0,1*0,9 = 0,09 [ observar sólo un fracaso, significa que en el segundo
intento se logró el éxito].
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f(2) = P(X = 2) = 0,12 * 0,9 = 0,009
f(3) = P(X = 3) = 0,13 * 0,9 = 0,0009
f(4) = P(X = 4) = 0,14 * 0,9 = 0,00009
f(5) = P(X = 5) = 0,15 = 0,00001 [Esta es la situación extrema, no se logró éxito en
ninguna de las realizaciones].
Debemos considerar en este caso la importancia que tiene la condición de independencia
entre los distintos ensayos. Por ejemplo si definimos los sucesos:
Fi = En el i-ésimo ensayo se fracasa, entonces la probabilidad de tener 4 fracasos es:
P(X = 4) = P(F1 ∩ F2 ∩ F3 ∩ F4 ∩ '5F )
= P(F1) * P(F2) * P(F3 ) * P(F4) * P( ) = 0,1'5F
4 * 0,9 = 0,00009
La función de probabilidades anterior puede escribirse formalmente como:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
=
.casootroen0
5xsi1,0
4,3,2,1,0xsi9,0*1,0
)x(f 5
x
La que gráficamente está dada por:
0 1 2 3 4 5 x
0,9
0,09
0,009
0,0009
0,00009
0,00001
f(x)
c) Construcción de la función de distribución:
∑ ≤=≤= xxcon)x(f)xX(P)x(F ii
Luego, evaluando para cada valor particular de x se tiene:
F(0) = P(X ≤ 0) = P(X = 0) = 0,9
F(1) = P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,99
F(2) = P(X ≤ 2) = F(1) + f(2) = 0,999
F(3) = P(X ≤ 3) = F(2) + f(3) = 0,9999
F(4) = P(X ≤ 4) = F(3) + f(4) = 0,99999
F(5) = P(X ≤ 5) = F(4) + f(5) = 1
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Función que normalmente se escribe:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<≤
<≤
<≤
<≤
<≤
<
=
5xsi1
5x4si99999,0
4x3si9999,0
3x2si999,0
2x1si99,0
1x0si9,0
0xsi0
)x(F
La que gráficamente queda:
1
0,99999
0,9999
0,999
0,99
0,9
0 1 2 3 4 5 x
d) Determinación del valor esperado
Por definición:
∑=
∞
=1i
ii )x(f*x)X(E
la que en nuestro caso se reduce a:
11111,0
00001,0*500009,0*40009,0*3009,0*209,0*19,0*0
)5(f*5...........)2(f*2)1(f*1)0(f*0)x(f*x)X(E
5
0x
=
+++++=
++++=∑=
=
El resultado anterior nos indica que si se realiza este tipo de experimento un gran numero
de veces, entonces la media de ensayos fracasados es de 0,11111.
e) Para la obtención del coeficiente de variación que es la medida de dispersión
relativa, necesitamos previamente obtener la desviación estándar y para ésta se
necesita la varianza. Así
V(X) = E(X2) - [ E(X)]2
Donde E(X2) = Σx2 * f(x)
= 02 * 0,9 + 12 * 0,09 + 22 * 0,009 + 32 * 0,00009 + 52 * 0,00001
= 0,13579
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Luego V(X) = 0,13579 – 0,111112 = 0,123445 → σ = 0,3513
∴ CV(X) =
µ
σ = 1622,3
11111,0
35134,0
=
De acuerdo a los resultados podemos establecer que la variable presenta un nivel
de variabilidad altamente significativo (316,22%).
f) Construcción de la fgm.
t5t4t3t2t
t5t4t3t2tt0
tx
x
e00001,0e00009,0e0009,0e009,0e09,09,0
)5(f*e)4(f*e)3(f*e)2(f*e)1(f*e)0(f*e
)x(f*e)t(M
+++++=
+++++=
∑=
t5t4t3t2t'
x
'
t5t4t3t2t'
x
e00025,0e00144,0e0081,0e036,0e09,0)t(M
e00005,0e00036,0e0027,0e018,0e09,0)t(M
++++=
++++=
Cuya primera y segunda derivada son:
Evaluando estas derivadas en t = 0
µ = ) = 0,09 + 0,018 + 0,0027 + 0,00036 + 0,00005 = 0,11111 0(M'x
µ2 = = 0,09 + 0,036 + 0,0081 + 0,00144 + 0,00025 = 0,13579 )0(M 'x
'
∴ V(X) = σ2 = µ2 - µ2 = 0,13579 – 0,111112 = 0,12344
Nótese que la función generadora de momentos nos conduce a los mismos resultados que la
definición de esperanzas y varianza.
g) Resulta evidente que la utilidad asociada al experimento depende fundamentalmente
de cuantas veces éste se realice, o sea del numero de fracasos, así entonces:
U(0) = 600 – 300 = 300
U(1) = 600 – 300 – 100 = 200
U(2) = 600 – 300 – 200 = 100
U(3) = 600 – 300 – 300 = 0
U(4) = 600 – 300 – 400 = -100
U(5) = -300 – 400 = -700
Esta función puede escribirse formalmente como:
⎩
⎨
⎧
=−
=−
=
5Xsi700
4,3,2,1,0XsiX100300
)X(U
luego:
µ[ U(X) ] = 300 * 0,9 + 200 * 0,09 + 100 * 0,009 + 0 * 0,0009 –
100 * 0,00009 – 700 * 0,00001 = 288,884
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E{U(X)2 }= 3002 * 0,9 + 2002 * 0,09 + 1002 * 0,009 + 0 * 0,0009 + 1002 * 0,00009 +
7002 * 0,00001 = 84695,8
De aquí:
V[U(X)] = E{U(X)2 } - {E[U(X)] }2 = 84695,8 – 288,8842 = 1241,83454
∴ σU(X) = 35,2397
De lo anterior podemos establecer que la utilidad neta esperada del experimento es de
US$ 288,884 con una desviación estándar de US$ 35,24. Es decir si se realiza un gran
número de veces este experimento tenemos que la utilidad neta media es de US$ 288,884 ;
mientras que las desviaciones respecto de este valor tiene una media de US$ 35,24.
2.- Se sabe que el tiempo en minutos que requieren los operarios para elaborar una
determinada pieza se distribuye de acuerdo a la siguiente función:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
<≤
<≤−
=
.casootroen0
100x90si)x1,010(k
90x80sik
80x70si)7x1,0(k
)x(f
a) Determine el valor de la constante k de manera tal que la función que de bien
definida. Represéntela gráficamente.
b) Construya la función de distribución (acumulativa) para la variable en estudio y
construya la ojiva.
c) Determine (usando la definición) la proporción de operarios que para elaborar dicha
pieza requieren:
i) Más de 85 minutos.
ii) Menos de 78 minutos.
iii) Entre 76 y 94 minutos.
iv) Un tiempo que desvíe de la media en más de 1,4 desviaciones estándar.
v) Menos de 92 minutos si este demora a lo menos 78 minutos.
d) Compruebe los resultados obtenidos en ítem c) utilizando la función de distribución.
e) La gerencia de la empresa ha establecido para efectos de incentivar a sus trabajadores
la siguiente tabla de remuneraciones por pieza producida en función de tiempo
requerido:
350 um si el tiempo es inferior a 80 minutos.
200 um si el tiempo va de 80 a 90 minutos.
150 um si el tiempo es superior a 90 minutos.
¿Cuál es el pago medio a los operarios por pieza producida?
f) De acuerdo a lo anterior y suponiendo que loa etapa de producción de la empresa es
de 10 horas diarias y que en la elaboración de esta pieza trabajan 120 operarios
¿Cuál es la cantidad de dinero que debe presupuestar la gerencia para cancelar los
salarios mensuales de éstos?
Solución:
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a) Para que una función esté bien definida, es decir, para que ésta sea una función de
densidad debe satisfacer dos condiciones, éstas son:
f(x) ≥ 0 ∀ x
∫ =
∞
∞−
1dx)x(f
Para la primera condición podemos establecer por simple inspección que esta función es no
negativa para k > 0. Por otro lado la consideración de la segunda condición nos permitirá
evaluar la constante involucrada en la función. Así entonces:
∫ =+∫+∫ ∫+∫+∫=
∞∞
∞− ∞− 100
100
90
90
80
80
70
70
1dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Donde la primera y la última de las integrales son nulas, puesto que la función así lo
establece, luego:
( ) ( ){ } { } ( ) ( ){ }[ ]
1k20
190*05,090*10100*05,0100*10809070*770*05,080*780*05,0k
1|
2
x1,0x10|x|x7
2
x1,0k
1dx)x1,010(kdxkdx)7x1,0(kdx)x(f
2222
100
90
290
80
80
70
2
100
90
90
80
80
70
=→
=−−−+−+−−−→
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−++⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
=∫ −+∫ ∫+∫ −=
∞
∞−
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤−
<≤
<≤−
=
.casootroen0
100x90si)x1,010(05,0
90x80si05,0
80x70si)7x1,0(05,0
)x(f
∴k = 0,05
Luego la función queda formalmente como:
y su representación gráfica es:
x
0,05
f(x)
70 80 90 100
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b) La función de distribución es la función que acumula probabilidades, ésta esta dada
por:
∫=≤=
∞−
x
dt)t(f)xX(P)x(F
Para construir esta función debemos considerar a la variable en cada uno de los rangos
establecidos en el dominio de f(x).
i) Si 70 ≤ x < 80, entonces:
25,12x35,0)x05,0(|)t7t05,0(05,0dt)7t1,0(05,0
dt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F
2x
70
2x
70
x
70
70x
+−=−=∫ −=
∫+∫=∫=
∞−∞−
75,3X05,0
80*05,0x05,05|t05,0|)t7t05,0(05,0dt05,0dt)7t1,0(05,0
dt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F
x
80
80
70
2x
80
80
70
x
80
80
70
70
−=
−+=+−=∫+∫ −=
∫+∫+∫=
∞−
ii) Si 80 ≤ x < 90, entonces:
iii) Si 90 ≤ x < 100, entonces:
75,9)x05,0(x5,0
75,24)x05,0(x5,015|)t05,0t10(05,05,025,0
dt)t1,010(05,0dt)t(fdt)t(f
dt)t(fdt)t(fdt)t(f)x(F
2
2x
90
2
x
90
90
80
80
70
x
90
90
80
80
70
−−=
−−+=−++=
∫ −+∫+∫=
∫+∫+∫=
Función que formalmente se escribe:
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⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥−−
<≤−
<≤+−
<
=
100xsi75,9
400
xx5,0
90x80si75,3x05,0
80x70si25,12x35,0
400
x
70xsi0
)x(F
2
2
16,0|)x7x05,0(05,0dx)7x1,0(05,0
78
70
278
70
=−=∫ −
5,025,025,0
dx)x1,010(05,0dx05,0
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
100
90
90
85
100
90
90
8585
=+=
∫ −∫ +=
∫+∫=∫
∞
y su representación gráfica (ojiva) es:
70 80 90 100 x
0,25
0,75
1
F(x)
c) Cálculo de probabilidades:
i) P(X > 85) =
∴ El 50% de los trabajadores requiere más de 85 minutos para la elaboración de la pieza.
ii) P(X > 78) =
∴ El 16% de los operarios requiere menos de 78 minutos en la manufactura de la pieza.
iii) P(76 < X < 94) =
82,016,05,016,0
dx)x1,010(05,0dx05,0dx)7x1,0(05,0
dx)x(fdx)x(fdx)x(f
dx)x(f
94
90
90
80
80
76
94
90
90
80
80
76
94
76
=++=
∫ −+∫+∫ −=
∫+∫+∫=
∫∴ El 82% de los trabajadores requiere entre 76 y 94 minutos para la fabricación de una
pieza.
iv) Para modelar esta proposición se requiere disponer de la media y desviación estándar,
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∫==µ
∞
∞−
dx)x(fx)X(E
85
3
x005,0
2
x5,0
2
x05,0
2
x35,0
3
x005,0
dx)x1,010(x05,0dxx05,0dx)7x1,0(x05,0
dx)x(fxdx)x(fxdx)x(fxdx)x(fxdx)x(fx
100
90
3290
80
280
70
23
100
90
90
80
80
70
100
100
90
90
80
80
70
70
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
∫ −+∫+∫ −=
∫+∫+∫+∫+∫=µ
∞
∞−
∫=
∞
∴ µ =85
El tiempo medio por trabajador para la elaboración de la pieza es de 85 minutos.
Otro elemento que se necesita para evaluar la proposición es la desviación estándar, para la
cual obtendremos previamente la varianza de la variable en estudio, dada por:
V(X) =E(X2) - [E(X)]2
Con
∞−
dx)x(fx)X(E 22
67,7266)X(E
417,45955
4
x005,0
3
x5,0
3
x05,0
3
x35,0
4
x005,0
dx)x1,010(x05,0dxx05,0dx)7x1,0(x05,0
dx)x(fxdx)x(fxdx)x(fxdx)x(fxdx)x(fx)X(E
2
100
90
4390
80
380
70
34
100
90
290
80
280
70
2
100
2100
90
290
80
280
70
270 22
=∴
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
∫ −+∫+∫ −=
∫+∫+∫+∫+∫=
∞
∞−
Luego:
V(X) = 7266,67 – 852 = 41,67
⇒ σ = 6,455
Evaluando la proposición original queda:
P(| X - µ | > 1,4 σ) = P( X - µ > 1,4 σ ∨ X - µ < -1,4 σ)
= P( X - µ > 1,4 σ) + P( X - µ < -1,4 σ)
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= P( X > µ + 1,4 σ) + P( X < µ - 1,4 σ)
= P( X > 94,037) + P( X < 75,963)
=
= 0,0889 + 0,0889
= 0,1778
∴ El 17,78% de los operarios requiere un tiempo para elaborar la pieza que se desvía del
tiempo esperado en más 1,4 desviaciones estándar.
Obs:
Debemos notar que la distribución en estudio es simétrica, por lo que la probabilidad pedida es
el doble de la probabilidad pedida es el doble de la probabilidad asociada a una de las colas de
la distribución, es decir:
P(|X - µ| > 1,4 σ) = 2 * P(X - µ > 1,4 σ) = 2 * P(X - µ < -1,4 σ)
v) Esta proposición corresponde a una probabilidad condicional, la que se expresa como:
8095,0
84,0
68,0
dx)7x1,0(05,01
dx)x1,010(05,0dx05,0dx)7x1,0(05,0
)78x(P1
)92x78(P
)78x(P
)92x78(P)78x/92x(P
78
70
92
90
90
80
80
78
==
∫ −−
∫ −+∫+∫ −
=
<−
<≤
=
≥
<≤
=≥<
∴ El 80,95% de los operarios que requieren a lo menos 78 minutos para elaborar una pieza,
demoran menos de 92 minutos en el proceso.
d) Considerando que la función de distribución contiene a la integral, el cálculo de
probabilidades se puede hacer directamente a través de ella, es decir, evaluando
directamente dicha función, evaluando directamente dicha función, así en las
proposiciones anteriores tenemos:
i) P(X > 85) = 1 – P(X ≤ 85) = 1 – F(85) = 1 – (0,05 * 85 – 3,75 = 0,5
ii) P(X < 78) = F(78) = 16,025,1278*35,0
400
782
=+−
iii) P(76 < X < 94) = F(94) – F(76)
= (0,5 * 94 - 82,009,091,0)25,1276*35,0
400
76()24
400
94 22
=−=+−−−
∫ ∫ −+−
963,
70
100
037,94
dx)x1,010(05,0dx)7x1,0(05,0
75
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iv) P( |X - µ| > 1,4 σ) = F(75,963) + (1 – F(94,037))
1778,09111,010889,0
24
400
037,94037,94*5,0125,12963,75*35,0
400
963,75 22
=−+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤≤
<
=
90xsi150
90x80si200
80xsi350
)x(C
Como podemos observar de estas verificaciones, el uso de la función de distribución facilita
significativamente la evaluación de proposiciones probabilísticas.
e) Sea C(x) la función de remuneraciones, ésta esta dada por:
Además:
P(C = 350) = P(x < 80) = 0,25
P(C = 200) = P(80 ≤ x ≤ 90) = 0,5
P(C = 150) = P(X > 90) = 0,25
Luego:
E[C(X)] = 350 * 0,25 + 200 * 0,5 + 150 * 0,25 = 225
∴ El pago medio por unidad producida es de 225 um.
f) Para estimar el presupuesto de la empresa para efecto del pago de sueldos por
concepto de producción de este tipo de piezas, se debe considerar el supuesto de
uniformidad en el tiempo requerido por pieza elaborada, bajo esta condición
tenemos que:
G(y) = n * p * y * c
Donde: G es la función de costo
n = número de trabajadores
p = número de días en el periodo de producción
y = número de unidades producidas por trabajador a diario.
c = costo por unidad producida
∴ E[G(y)]= E[n * p * y * c] = n * p * y *E(c)
Con
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06,7
85
600
unidadporesperadoTiempo
disponibletotalTiempoy ==
∴ La suma de dinero esperada que debe presupuestar la empresa para efecto de pago de
salarios es de $4956120 mensuales.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- Para medir la efectividad de un Nuevo fertilizante un laboratorio ha diseñado un
experimento, el cual consiste en depositar tal producto en un metro cuadrado de terreno. Si
el nuevo producto no entrega los resultados deseados, el experimento se repetirá hasta
observar un resultado satisfactorio para el laboratorio. Si esto no ocurre en 5 ensayos, el
experimento se detiene y se prepara otro fertilizante. Suponga que se tiene una probabilidad
de 0,9 de que el nuevo fertilizante de los resultados esperados y que los ensayos sucesivos
son independientes.
h) Defina la variable aleatoria adecuada e indique su recorrido.
i) Construya la función de cuantía para esta variable y represéntela gráficamente.
j) Construya la función de distribución (acumulativa) y represéntela gráficamente.
k) Determine el numero esperado de intentos fallidos.
l) ¿Cuál es el porcentaje medio de variabilidad para el numero de intentos fallidos?
m) Usando la función generatriz de momentos, obtenga la media y la desviación
estándar de la distribución.
n) Suponga que el costo del primer ensayo es de U$300 mientras que los posteriores
cuestan U$100. cada vez que se observe un resultado exitoso, se obtiene una
ganancia de U$600. en base a esta información obtenga la utilidad neta esperada y
su desviación estándar.
2.- La viada útil de una maquinaria (en años) se puede modelar mediante la siguiente
función de densidad:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≤≤−
=
.casootroen0
5x0
25
x2
5
2
)x(f
a) ¿Qué probabilidad tiene una máquina de tener una vida útil superior a los 2 años?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la maquinaria dure menos de 4 años y medio, si ésta
ha durado más de 6 meses?
c) Según estudios de mercado se ha establecido que si la maquinaria tiene una vida útil
inferior al año su precio de venta será de U$1200. Si la vida útil se encuentra entre
uno y cuatro años su precio de venta es de U$1600. En caso contrario su precio es
de U$2000. Determine el precio de venta esperado y su desviación estándar.
d) Suponga que en el 5% de las veces una maquinaria es clasificada como poco
eficiente por tener una vida útil inferior a lo presupuestado.De acuerdo a este
criterio de clasificación, determine la duración mínima para que una maquinaria no
sea clasificada como poco eficiente.
e) Un empresario compra 3 de estas máquinas y suponiendo que la vida útil de cada
una de ellas es independiente ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una de
ellas dure más de lo esperado?
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f) Suponga que se realiza una clasificación de estas máquinas según su vida útil. Una
maquinaria es de tipo A si ella tiene una duración inferior a 3 años y tipo B en caso
contrario. Según esta diferenciación ¿Cuál es la vida útil esperada y la desviación
estándar de las maquinas tipo A y B?
g) En base a la función de distribución acumulada, determine e interprete:
• F(2,75)
• 1 – F(3,25)
• F(3,25) – F(1,5)
•
)2(F1
)2(F)4(F
−
−
3.- Al realizar un experimento aleatorio, la probabilidad de que cualquiera de los ensayos
sea exitoso es 0,2, además los ensayos aislados son independientes entre sí.
3.1.- Si se realizan 5 ensayos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos sean exitosos?
b) ¿Cuál es el número esperado de éxitos?
c) ¿Cuál es la desviación estándar del N° de éxitos?
3.2.- Si el experimento se repite hasta que ocurra un éxito:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el éxito ocurra en la décima repetición?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer éxito ocurra después del tercer ensayo?
c) ¿Cuál es el número esperado de ensayos hasta obtener el primer éxito?
4.- En una caja hay 6 fichas azules, 4 fichas negras y 2 fichas blancas. Se extrae
aleatoriamente una ficha y se define el suceso A = “La ficha no es negra”. Considerando
esta situación:
a) Defina la v.a. adecuada y obtenga su fdp.
b) Determine la media y la varianza para la v.a. definida.
5.- El tiempo (en minutos) durante el cual un dispositivo eléctrico se utiliza a su máxima
carga es una v.a. X cuya función de densidad está dada por:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤<
−
≤≤
=
.casootroen0
3000x1500si
1500
x3000
1500x0si
1500
x
)x(f 2
2
a) Verificar si f(x) está bien definida.
b) Construya la función de distribución de x.
c) ¿Cuál es el tiempo de utilización a máxima carga esperado?.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de utilización a máxima carga difiera del
esperado en más de 1,8 desviaciones estándar?
e) Obtenga e interprete las siguientes probabilidades:
i) P(1000 ≤ x ≤ 2000)
ii) P(x ≥ 1900)
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iii) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ≤≤≤≤ 2500x
300
1600x500
6.- La demanda diaria de un artículo (en N° de unidades) es una v.a., cuya función de
cuantía está dada por:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
.casootroen0
5,4,3,2,1xsi
!x
2*k
)x(f
x
a) Evalúe la constante k de manera tal que f(x) quede bien definida. b) ¿Cuál es la proporción de días en los que la demanda supera a 2 artículos?
c) ¿Cuál es la demanda esperada diariamente?
d) Determine la desviación estándar para el número de unidades vendidas diariamente.
7.- De los 100 vendedores de una compañía 15 no cumplen con las metas mínimas, 55
cumplen con las metas mínimas y 30 las sobrepasan. Si se selecciona en forma aleatoria 10
vendedores para cubrir un nuevo sector:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de ellos cumplan con las metas mínimas?
b) ¿Cuál es la proporción de muestra en las que 2 no cumplen con las metas mínimas y
4 las sobrepasan?
c) ¿Cuál es la proporción de muestras en las que el número de vendedores que
sobrepasan las metas mínimas superan el esperado en más de 1,5 desviaciones
estándar?
8.- Un usuario debe decidir entre dos marcas de pilas A y B: Sean las variables aleatorias X
e Y dadas por:
X = “ Tiempo de vida útil en horas de las pilas A”
Y = “ Tiempo de vida útil en horas de las pilas B”
Ambas con distribución de la forma:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ ≥=
−
.casootroen0
0xsie*a)x(f
ax
En base a los antecedentes proporcionados al SERNAC por los usuarios, se ha establecido
que:
P(X < 10) = 0,3 P(Y > 20) = 0,4
¿Cuál de las 2 marcas de pilas debería utilizar?, justifique.
9.- Sea X la v.a. que cuenta los éxitos en n repeticiones independientes de un experimento
cuya probabilidad de éxito para cada repetición es p y cuya función de cuantía es de la
forma:
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ =−=
−
.casootroen0
n........,,2,1,0xsi)p1(*p*)x(f
xnxn
x
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tal que µ = 7 y σ2 = 4,55; determine la probabilidad de obtener a lo más 5 éxitos.
10 .- La demanda de un determinado artículo es una variable aleatoria con función de
probabilidad dada por:
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<≤
−
<≤
−
=
.c.o.t;0
8,0x775,0si;
k
x8,0
775,0x75,0si;
k
75,0x
)x(f
a) Determine la constante k.
b) Obtenga la demanda esperada para este artículo.
c) Obtenga la probabilidad de que la demanda supere a la esperada.
11.- Un artículo de temporada tiene 90% de probabilidad de ser vendido, dejando una
utilidad de $1500. Si no se vende en la temporada debe ser desechado generando una
pérdida de $350. Si en una temporada se pone a la venta 200 artículos. ¿Cuál es la utilidad
esperada?.
12.- En un análisis de inversión de capital, se estudian dos funciones que dan cuenta de la
posible utilidad obtenida, la cual se estima que puede oscilar entre 5 y 10 millones de pesos.
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ <<−
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧ <<
=
.c.o.t0
10x5;)5x(
125
3
)x(f
.c.o.tsi;0
10x5si;
5
1
)x(f
2
¿Con cuál de las dos funciones se obtiene una utilidad esperada mayor?. Determine sus
montos y compárelos.
¿Con cuál de estas dos funciones se obtienen utilidades más homogéneas?
En ambos casos determine el valor máximo de la diferencia entre la utilidad y su media que
se observa en a lo menos el 69,14% de las veces.
13.- El número de accidentes en una planta industrial durante un día de trabajo son: 0, 1, 2
y 3 con probabilidad 0,24; 0,43; 0,27 y 0,06 respectivamente. Encontrar el valor del número
de accidentes esperados durante un día cualesquiera.
14.- Sea X una v.a. continua tal que su función de distribución está dada por:
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⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<≤−−
<<
≤
=
2xsi1
2x
3
1si2,0)x4(x9,0
3
1x0si
2
x9
0xsi0
)x(F
2
a) Determine la proporción de veces en la que la variable se desvía de su media en
menos de 1,5 desviaciones estándar.
b) P( x >
6
1 / x ≤ 1 ) Interprete el resultado.
15.- Un archivador contiene 4 facturas y 6 boletas. Se extraen 2 de estos documentos al
azar sin reemplazo. Sea X el número de boletas extraídas. Encontrar las probabilidades
siguientes:
P( x = 0 ) P( x = 1 ) P( x = 2 ) P( 1 < x < 2 )
P( x ≤ 1 ) P( x ≥ 1 ) P( x > 1 ) P( 0,5 < x < 10 ).
16.- La función de probabilidades f(a) de una variable aleatoria A es nula excepto en los
puntos A = 0, 1, 2. en ellos toma los valores:
P(0) = 3c3
P(1) = 4c – 10c2
P(2) = 5c – 1
Para un cierto c > 0.
a) Determinar el valor c.
b) Calcular las probabilidades:P( A < 1 )
P( A < 2 )
P( 1 < A ≤ 2 )
P( 0 < A < 3 )
En cada caso interprete el resultado.
c) Describir y representar la función de distribución F.
d) Encontrar el mayor valor de t tal que F(t) < .
2
1
e) Encontrar el menor valor de t tal que F(t) > .
3
1
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BIBLIOGRAFÍA
• Canavos, George Probabilidad y estadística; aplicaciones y métodos.
Ed. McGraw – Hill.
• González, Hugo Apuntes personales.
• Harnett, Donald y
Murphy, James
Introducción al análisis estadístico.
Ed. Addison – Wesley Iberoamericana.
• Levin, Richard Estadística para administradores.
Ed. Prentice – Hall Hispanoamericana S.A.
• Mendenhall, William Introducción a la probabilidad y la estadística.
Ed. Grupo Editorial Iberoamerica.
• Meyer, Paul Probabilidad y aplicaciones estadísticas.
Ed. Addison – Wesley Iberoamericana.
VARIABLES ALEATORIAS
A.- INTRODUCCIÓN
X = “Velocidad máxima desarrollada por un móvil”.
PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO:
EJERCICIOS PROPUESTOS
BIBLIOGRAFÍA
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