35541_CORRECCION_TALLERN6_CLASE_AUX_MAT62300

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.: luis orozcofuenzalida
CORRECCIÓN TALLER Nº 6 CLASE AUXILIAR DE MATEMÁTICAS III MAT62300
(OTOÑO 2011)
1.- Determine si los siguientes sitemas de ecuaciones son consistentes; en caso que lo
sean, determine todas las soluciones.
a) b) #B  'C  $D œ % $B  'C  D  A œ #
 $B  $C  &D œ  $  B  C  #D  $A œ "
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c) d) B  $C  #D œ & B  #C  D  #A œ $
B  %C  D œ  "  #B  $C  &D  %A œ  %
#B  $C  "#D œ !
 $B  $C  &D œ  $
 
Solución:a)
” • ” •# ' % J  Ð"ÑJ  " $ " $  $  $  $  $  $
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luego y , por lo que el sistema es consistente.<1ÐEÑ œ # <1ÐEl,Ñ œ #
La matriz E œ – —" ! 
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 está en forma escalonada reducida por lo
que la variable libre o parámetro es . Si , se tiene que:D D œ 5"
"B  !C  5 œ
!B  "C  5 œ
"$ "
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por lo que,
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C C
D D
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5 ! "
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Ô × Ô × Ô ×Ö Ù Ö Ù Ö Ù
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luego y , por lo que el sistema es consistente.<1ÐEÑ œ $ <1ÐEl,Ñ œ $
La matriz E œ
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 está en forma escalonada reducida
por lo que la variable libre o parámetro es . Si , se tiene que:A A œ 5"
"B  !C  !D  5 œ
!B  "C  !D  5 œ 
!B  !C  "D  5 œ
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por lo que,
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µ
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luego y , por lo que el sistema es inconsistente.<1ÐEÑ œ $ <1ÐEl,Ñ œ %
d)
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µ
luego y , por lo que el sistema es consistente.<1ÐEÑ œ # <1ÐEl,Ñ œ #
4
La matriz E œ
" !  "$  "%  "
! " ( ) #” • está en forma escalonada reducida
por lo que las variables libres o parámetros son y . Si y seD A D œ 5 A œ 5" # 
tiene que:
"B  !C  "$5  "%5 œ  "
!B  "C  (5  )5 œ #
" #
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 ; con .‘
2.- Determinar para qué valores de , el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.5
B  C  D œ !
B  C  D œ !
5C  D œ !
Solución: Escribimos el sistema en forma de matriz ampliada 
Ô ×
Õ Ø
" " " !
"  " " !
! 5 " !
1 Forma.- Como el sistema es homogéneo y cuadrado, el sistema tienea
infinitas soluciones si y sólo si ./> œ !
" " "
"  " "
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Ô ×
Õ Ø
Si ./> œ !
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! 5 "
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Ô ×
Õ Ø
Ô ×
Õ Ø
"
5
luego no existen valores de , para el cual el sistema tenga infinitas5
soluciones.
2 Forma.- Procedemos a escalonar la matriz .a
Ô ×
Õ Ø
" " " !
"  " " !
! 5 " !
Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø
Ô ×
Õ Ø
Ô ×
Õ Ø
Ô ×
Õ Ø
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"  " " ! !  # ! !
! 5 " ! ! 5 " !
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$ #
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µ
µ
µ
µ
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el cual es un sistema que tiene solución única, la trivial. Luego, no existen
valores de , para el cual el sistema tenga infinitas soluciones.5
3.- Estudiar si existe algún valor de , para el cual el sistema es si es así,7 consistente;
resolver el sistema para ese valor de .7
B  7C  D œ "
7B  C  Ð7  "ÑD œ 7
B  C  D œ 7  "
Solución: 
Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø
" 7 " " J  Ð  7ÑJ
7 " 7  " 7 J  Ð  "ÑJ
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" 7 " "
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Si , la matriz ampliada es7 œ "
Ô ×
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donde y , por lo que el sistema es inconsistente.<1ÐEÑ œ # <1ÐEl,Ñ œ $
Si , el sistema es consistente y podemos seguir escalonando:7 Á "
6
Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø
Ô ×
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Õ Ø
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! "  7 ! 7 ! "  7  " !
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! "  7 ! 7
! !  "  7  7
J  Ð  ÑJ " ! " " 
! "  7 ! 7
! !  7  7
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#
$ #
#
" #
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µ
µ
µ
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#
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#
#
#
$
#
#
J  J
" ! ! "  7  7 
! "  7 ! 7
! !  7  7
J ƒ Ð"  7Ñ
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" ! ! "  7  7 
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! ! " 7  7
µ
µ
Ô ×Ö Ù
Õ Ø
Ô ×Ö Ù
Õ Ø
7
"  7
7
"  7
7
"  7
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#
 "
Por lo tanto la solución, única, está dada por:
Ô ×
Õ Ø
Ô ×Ö Ù
Õ Ø
B
C
D
œ
"  7  7 
7  7
#
#
7
"  7
7
"  7
#
4.- Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros y .+ ,
B  C  D œ +
B  C œ !
$B  C  ,D œ !
Solución: Escribimos el sistema en su forma de matriz ampliada y usamos
Gauss-Jordan.
Ô × Ô ×
Õ Ø Õ Ø
Ô ×
Õ Ø
"
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" " + J  Ð  "ÑJ " " " +
"  " ! ! J  Ð  $ÑJ !  "  +
$ " , ! !  # ,  $  $+
J  Ð  "ÑJ
" " " +
!  #  "  +
! ! ,  #  #+
# "
$ "
$ #
µ
µ
Luego, el sistema es compatible si y sólo si o, y ., Á # , œ # + œ ! 
7
5.- Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:
El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.
El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.
El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.
Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para formar
un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
Solución: Sean la parte del total que habrá de tomarse del primer lingote, la parteB B" #
del total que habrá de tomarse del segundo lingote y la parte del total queB$
habrá de tomarse del tercer lingote. Por lo tanto, el problema planteado se
puede modelar por el siguiente sistema de ecuaciones:
#!  $!  %! œ $%
$!  %!  &! œ %'
%!  &!  *! œ '(
B B B
B B B
B B B
" # $
" # $
" # $
cuya solución está dada por:
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Õ Ø
Ô ×Ö ÙÖ Ù
Õ Ø
B
B
B
"
#
$
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"&
$!
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Luego, como el primer lingote pesa 90 gramos, se deben tomar 45 gramos de
este; como el segundo lingote pesa 120 gramos, se deben tomar 48 gramos de
este y como el tercer lingote pesa 180 gramos, se deben tomar 54 gramos de
este.
6.- Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y maíz. Cada saco de trigo se
vende por $4.000, el de la cebada por $2.000 y el de maíz por $500.
Si se venden 100 sacos en total y se obtienen por la venta $100.000,¿cuántos sacos de
cada especie se venden?
Solución: Sean los sacos de trigo, los sacos de cebada y los sacos de maíz. PorB B B" # $
lo tanto, el problema planteado se puede modelar por el siguiente sistema de
ecuaciones:
%Þ!!!  #Þ!!!  &!! œ "!!Þ!!!
  œ "!!
B B B
B B B
" # $
" # $
cuya solución la obtendremos escalonando la matriz
” •%Þ!!! #Þ!!! &!! "!!Þ!!!" " " "!!
8
” • ” •
” •
” •
” •
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 está en forma escalonada reducida
por lo que la variable libre o parámetro es . Si , se tiene que:B B$ $ œ 5"
"  !  5 œ  &!
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por lo que,
\ œ œ
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Ô ×Ö Ù
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5 − ')ß (#ß ('ß )!ß )%" ˜ ™.
Por lo tanto, se pueden vender 1 saco de trigo, 31 sacos de cebada y 68 sacos
de maíz; o 4 sacos de trigo, 24 sacos de cebada y 72 sacos de maíz; o 7 sacos
de trigo, 17 sacos de cebada y 76 sacos de maíz; o 10 sacos de trigo, 10 sacos
de cebada y 80 sacos de maíz; o 13 sacos de trigo, 3 sacos de cebada y 84
sacos de maíz.
Cualquier error que detecte en las soluciones, hágala saber a su profesor. Se lo
agradecerá por los siglos de los siglos.