Simulacion-numerica-de-un-flujo-alrededor-de-un-perfil-NACA-simetrico

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA 
DE MÉXICO 
 
 
 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
 
 
 
 
 
“SIMULACIÓN NUMÉRICA DE UN FLUJO 
ALREDEDOR DE UN PERFIL NACA 
SIMÉTRICO” 
 
 
 
 
T E S I S 
Q U E P A R A O B T E N E R E L T Í T U L O D E 
I N G E N I E R O M E C Á N I C O 
 
 
P R E S E N T A: 
 
 
JORDÁN PÉREZ SÁNCHEZ 
 
 
 
DIRECTOR DE TESIS: DR. MARTÍN SALINAS VÁZQUEZ 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉXICO, D.F. CD. UNIVERSITARIA 2009 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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El perfeccionamiento traza caminos rectos; 
pero los torcidos y sin perfeccionar son los del genio. 
William Blake 
Altius, citius, fortius Initium sapientiae timor Domini 
 
Agradecimientos: 
 
A la Universidad Nacional Autónoma de México y a la Facultad de Ingeniería por 
permitirme realizar mis estudios de Licenciatura, pues ha sido importante en mi formación 
profesional. 
 
Al Instituto de Ingeniería por abrirme sus puertas para la realización de esta tesis, paso 
importante para la culminación de un sueño. 
 
Al Dr. Martín Salinas Vázquez por haberme dado la valiosa oportunidad de formar parte 
de este trabajo; por su tiempo, paciencia, dedicación y consejos para la realización de esta 
tesis, así como su amistad incondicional. 
 
Al Dr. William Vicente Rodríguez por su apoyo, y también a cada uno de mis 
compañeros del Instituto de Ingeniería por su amistad y alegría. 
A mis amigos y compañeros de la Facultad de Ingeniería que se desarrollaron a la par 
conmigo, a aquellos profesores que sembraron el interés de siempre saber más y de romper los 
paradigmas en los que vivimos, a aquellos que hoy represento gallardamente con mi 
temperamento. 
A aquellos que me brindaron desinteresadamente su amistad y porque no; a aquellos 
que dudaron de mi capacidad, ya que sin ellos no habría valido la pena degustar esta pequeña 
victoria. 
A la columna vertebral de mi formación y de mis orígenes. A aquellos que de niño se 
preocuparon por explicarme algo o trasladarme hasta otro lugar para poder obtener una 
percepción diferente de los límites que se tienen cuando se es pequeño. 
Y a todos aquellos que directa e indirectamente han contribuido al desarrollo de esta 
meta. 
ÍNDICE 
 
Prefacio……………………………..................................................................... I 
 
CAPÍTULO I. INTRODUCCIÓN. 
 
 I.1 Presentación del tema...................................................................... 1 
 I.2 Justificación....................................................................................... 2 
 I.3 Objetivos............................................................................................ 3 
 
CAPITULO II. MARCO TEÓRICO 
 II.1 Ley de Bernoulli............................................................................... 5 
 II.2 Continuidad……............................................................................... 7 
 II.3 Capa limite……................................................................................ 9 
 II.4 Fuerzas debidas al flujo del fluido.................................................... 11 
 II.4.1 Coeficiente de sustentación CL…....................................... 12 
 II.4.2 Coeficiente de arrastre CD.................................................. 13 
 II.5 Número de Strouhal......................................................................... 14 
 II.6 Circulación………............................................................................. 15 
 II.7 Familias de Perfiles.......................................................................... 18 
 II.8 Nomenclatura de los perfiles............................................................ 20 
 II.9 Ecuaciones de un perfil de 4 dígitos……......................................... 21 
 II.10 Fuerzas de un perfil alar……......................................................... 22 
 
CAPÍTULO III. ECUACIONES DE GOBIERNO 
 III.1 Ecuaciones de gobierno del fenómeno........................................... 25 
 III.2 Esquema numérico y modelo de turbulencia.................................. 26 
 III.2.1 Simulación de grandes escalas......................................... 26 
 III.2.2 Esquema numérico............................................................ 33 
 III.3 Condiciones iníciales....................................................................... 35 
 III.4 Fronteras inmersas…………………………..................................... 35 
 
CAPÍTULO IV. CONDICIONES DE FRONTERA. 
 
 IV.1. Condiciones de frontera.……........................................................ 39 
 IV.1.1 Características de las CF de las ecuaciones de NS......... 40 
 IV.1.2 Entrada subsónica............................................................. 44 
 IV.1.3 Flujo de salida subsónico no reflejante............................. 46 
 IV.1.4Pared adiabática deslizante............................................... 48 
 IV.2 Características del dominio computacional.................................... 49 
 
CAPÍTULO V. RESULTADOS 
 V.1 Coeficientes aerodinámicos CD-CL.................................................. 52 
 V.2 Variables promedio……………….................................................... 58 
 V.2.1 Velocidad……………………………………………………… 59 
 V.2.1.1 Componente u......................................................... 59 
 V.2.1.2 Componente v......................................................... 61 
 V.3 Esfuerzos de Reynolds (RMS)........................................................ 63 
 V.3.1 Esfuerzos Normales……………………………….……........ 64 
 V.3.1.1 URMS................................................................... 64 
 V.3.1.2 VRMS……..…………………………………………. 65 
 V.3.2 Esfuerzos Tangenciales.………………………….……........ 64 
 V.3.2.1 UV......................................................................... 66 
 V.4 Presión…………………………........................................................ 68 
 V.5 Estructuras turbulentas………..…………….………………………… 70 
 V.6 Simulación a mayor velocidad y diferente ángulo de ataque…....... 71 
 
CONCLUSIONES............................................................................................. 76 
 
GLOSARIO....................................................................................................... 78 
 
BIBLIOGRAFÍA................................................................................................ 82 
 
 
 
 
 
 
 
I 
 
PREFACIO 
 
La moderna mecánica de fluidos nace con Ludwing Prandtl, quien en 1904 
elaboró la síntesis entre la hidráulica práctica y la hidrodinámica teórica al 
introducir la teoría de capa límite, gracias a esta teoría se ha logrado 
comprender y estudiar con éxito muchos fenómenos sobre flujos que pasan 
alrededor de algún cuerpo. 
 
Varios matemáticos geniales del siglo XVIII; Bernoulli, Clairaut, D'Alembert, 
Lagrange y Eulerhabían elaborado, con la ayuda del cálculo diferencial e 
integral, una síntesis hidrodinámica perfecta; pero no habían obtenido 
resultados prácticos ni explicado ciertos fenómenos observados en la realidad. 
Por otro lado, su camino aún no termina y mucho menos esta menguando, 
siempre el conocimiento engendrado genera mas incertidumbres que hacen 
que siga viva y que hacen vivir a quienes se dedican a estudiarla y una parte 
de él se encuentra en el tema que aquí se presenta. El presente trabajo 
intentará cubrir algunos puntos con el fin de lograr que el tema se desarrollé de 
una manera satisfactoria. 
 
Apoyándose en investigaciones realizadas en los últimos años alrededor del 
mundo que han generado un conocimiento, este trabajo de investigación tendrá 
su punto de partida, sin ser su intención tan arriesgada ni tan ambiciosa. En él 
se intenta simular, explicar y corroborar los resultados y teorías ya conocidas 
por la mecánica de fluidos en investigaciones previas acerca del fenómeno bajo 
estudio a determinadas condiciones. Sirviendo de esta manera como un apoyo 
a futuras investigaciones al respecto de un modo más profundo o simplemente 
como parte de un tema mucho más completo del que este trabajo solo tendrá 
cabida en una fracción mínima del mismo. Además de que se pretende utilizar 
este método como una herramienta practica en investigaciones futuras ya sea 
como alternativa o como apoyo en la veracidad de otros experimentos o 
cálculos. 
Capítulo I Introducción 
 
1 
CAPÍTULO I 
 
I.-INTRODUCCIÓN. 
I.1.- PRESENTACIÓN DEL TEMA. 
ste trabajo de tesis se enfocará básicamente en la simulación de 
un flujo subsónico con un Re=3500 que pasa a través de un 
perfil NACA de 4 dígitos simétrico, el cual se creará mediante 
una malla cartesiana la cual será deformada de manera que adopte la 
geometría del perfil y se resolverá por el método de fronteras inmersas Para 
ello se utilizará el denominado método de simulación a Grandes escalas (LES), 
desarrollando las ecuaciones necesarias para calcular el campo de velocidades 
sobre el perfil, estudiando a partir del mismo otras magnitudes relacionadas, 
para después ingresar las condiciones de frontera y comenzar con el cálculo. 
Con el fin de analizar algunas de sus características. De manera que el tema 
sea claro y conciso estará dividido en 5 capítulos. 
 
Para la exposición del tema se presentarán los antecedentes sobre el 
fenómeno en estudio en el que se explicarán en el Capitulo II, concisamente 
algunas características y conceptos sobre los perfiles NACA, con la finalidad de 
que el lector descubra más sobre este tema. En el Capítulo III se explicarán las 
ecuaciones que gobiernan dicho fenómeno, formulándolas en sus expresiones 
más adecuadas para ser utilizadas en la solución numérica y en el modelo de 
turbulencia, así como las condiciones iniciales del flujo. En el Capítulo IV se 
establecerán las características de la simulación en las que se incluyen las 
condiciones de frontera que resultan cruciales para definir el problema, las 
características del dominio computacional, además se explicarán los distintos 
métodos y modelos empleados para llevar a cabo la simulación numérica. 
Finalizando con el Capitulo V donde se encontrar los resultados y algunas 
gráficas referentes a nuestro cálculo. 
 
 
E 
Capítulo I Introducción 
 
2 
I.2.- JUSTIFICACIÓN DEL TEMA 
El flujo de los fluidos es constante en la vida de todos los seres vivos. Desde la 
sangre que corre por nuestras venas hasta los vehículos que se mueven por 
todo el planeta ya que son sometidos a flujos inestables pues se mueven a 
través de lagos, océanos y aire. Inevitablemente como dice la Ley de Newton 
“a cada acción corresponde una reacción”, en este caso; al movernos dentro un 
fluido generamos vórtices, arrastre o sustentación dependiendo el caso, en la 
actualidad es difícil encontrar a alguien cuya vida no haya sido afectada de una 
u otra forma por el arrastre. Por ello es de gran importancia estudiar los flujos 
alrededor de los cuerpos. 
Esto se ha estudiado extensivamente en cuerpos cilíndricos, cuadrados, pero 
resulta necesario extenderlos a otro tipo de geometrías que la ingeniería ha 
desarrollado, tales como los perfiles aerodinámicos, estos tienen un papel 
importante en nuestra vida, ya que se utilizan en el diseño barcos, submarinos, 
aviones, en puentes y hasta en edificios modernos. Como ejemplo en un 
aeropuerto el conocer como se comporta el fluido detrás de las alas de un 
avión condiciona la frecuencia entre los despegues y aterrizajes de los mismos. 
 
El estudio de cuerpos aerodinámicos es importante ya que dependiendo de 
nuestras necesidades podemos modificar su geometría (diseño), de modo que 
su gradiente de presión, sustentación y arrastre varíen dependiendo nuestras 
necesidades. 
El flujo de un fluido se puede describir en forma aproximada mediante un 
conjunto de ecuaciones matemáticas de la dinámica de fluidos que describen el 
balance de masa, balance de cantidad de movimiento (ecuaciones de Navier 
Stokes) y balance de energía bajo la hipótesis de medio continuo, las cuales se 
conocen desde el siglo pasado, sin embargo no ha sido posible resolverlas 
analíticamente. El crecimiento exponencial de la tecnología en los últimos 100 
años ha ayudado a resolver estas ecuaciones mediante el empleo de métodos 
numéricos para obtener soluciones numéricas aproximadas y poder simular el 
flujo de fluidos en una computadora, se sabe que se ha logrado conocer los 
torbellinos o estelas tras las alas de un avión mediante aproximaciones 
numéricas. 
Capítulo I Introducción 
 
3 
 
I.3.- OBJETIVOS 
De acuerdo con los alcances establecidos para este trabajo de investigación 
que abarcan la comprensión y comprobación de los resultados obtenidos en 
investigaciones previas acerca del flujo alrededor de una sección transversal de 
un perfil NACA de 4 dígitos simétrico se tienen los siguientes objetivos: 
 
1.- Realizar satisfactoriamente la simulación numérica de un flujo subsónico 
alrededor de un perfil NACA de 4 dígitos simétrico lo suficientemente largo para 
despreciar efectos laterales. 
 
2.- Elaborar distintas gráficas concernientes a las variables bajo estudio con la 
información obtenida de la simulación, con el fin de observar las características 
del fenómeno y comprobar, mediante algunas de ellas, ciertos datos presentes 
en investigaciones previas referentes al tema. 
 
3.- Visualizar los contornos y las estructuras turbulentas para una mejor 
apreciación del fenómeno, y dar así una explicación conjunta con los datos 
obtenidos en la simulación. 
 
4.- Verificar el método de fronteras inmersas con una malla cartesiana 
deformada para este cuerpo en particular puede ser una alternativa para 
cálculos posteriores. 
 
 
Capítulo II Marco Teórico 
 
4 
CAPÍTULO II 
n ala es una superficie diseñada para proporcionar sustentación. 
Su sección vertical en la dirección del avance del avión se 
denomina perfil alar. Los perfiles se pueden clasificar en 
simétricos o asimétricos. Los perfiles simétricos tienen idénticas superficies 
tanto en la parte superior (extradós) como en la parte inferior (intradós). Estos 
satisfacen normalmente los requerimientos por ejemplo de un helicóptero 
debido a que su centro de presión no varía. En general existen cuatro fuerzas 
que actúan sobre un perfil: sustentación, propulsión, peso y arrastre o 
resistencia aerodinámica. Concretamente esta tesis estudiara las fuerzas de 
sustentación y de arrastre de un perfil simétrico. Antes de entrar en detalles 
debemos conocer los principios básicos en el estudio de perfiles que serán 
presentados en este capítulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
U 
Fuerza de Arrastre 
Fuerza de sustentación 
Capítulo II Marco Teórico 
 
5 
II.- MARCO TEÓRICO 
II.1.- Ley deBernoulli (Teorema de Bernoulli) 
En 1738 el físico suizo Daniel Bernoulli descubrió que en un fluído ideal se 
podía establecer una relación muy simple entre la energía potencial Ep y la 
energía cinética Ec. La Ep está representada por la presión p y la Ec por el 
producto de la densidad del fluído  y por el cuadrado de la velocidad v . 
Bernoulli descubrió que, en una línea de corriente, la suma de estas dos 
energías es una cantidad constante, llamada energía mecánica. 
 
Se define la energía potencial de un fluído como: 
hgpEp  
 Ecuación II - 1 
Se define la energía cinética de un fluido como: 
2
2
1
vEc   Ecuación II - 2 
g : Aceleración de la gravedad 9.81 [m/s2]. 
h : Altura de la superficie respecto al plano de referencia [m]. 
 
 
 
 
Esta presión es la debida a la velocidad del fluido en su movimiento. 
constante
2
1 2
 Hvhgp 
 
Ecuación II - 3 
Para mostrar esta ley tomaremos como ejemplo un tubo de corriente que pasa 
por dos líneas cerradas C1 y C2 (Figura II -1). 
 
Figura II – 1 Tubo de corriente que pasa por dos líneas cerradas 
Capítulo II Marco Teórico 
 
6 
En la superficie formada por el plano que contiene la línea cerrada y que corta 
al tubo de corriente, se considera que la velocidad, la presión y la altura 
respecto a un plano de referencia son constantes. 
Esto significa que: 
2
2
221
2
11
2
1
2
1
hgvphgvp  
 
Ecuación II – 4 
 
En la aerodinámica este resultado permite calcular la presión que se ejerce 
sobre un cuerpo una vez que se conoce la velocidad en las líneas de corriente 
que rodean el cuerpo. De la relación anterior se deduce que cuando la 
velocidad es alta, la presión se reduce y cuando la velocidad es baja, la presión 
debe aumentar. La Ecuación II-3 induce fácilmente que la presión de 
estancamiento es la constante H. 
El teorema de Bernoulli es válido para todo fluido estacionario ( 0v ), no 
viscoso e incompresible a través de un tubo de corriente. 
El teorema se aplica al flujo sobre superficies, como las alas de un avión o las 
hélices de un barco. Las alas están perfiladas para que obliguen al aire a fluir 
con mayor velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo 
que la presión sobre esta última es mayor que sobre la superior. Esta diferencia 
de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en 
vuelo como se muestra en la Figura II-2. 
 
Figura II-2 Presiones en un perfil alar 
 
Capítulo II Marco Teórico 
 
7 
II.2.- CONTINUIDAD 
Este principio expresa, en general, el hecho de que el fluido ni se crea ni se 
transforma [4]. En la Figura II-3 consideremos un fluido, que atraviesa dos 
superficies S1 y S2, las cuales, son perpendiculares a las direcciones de las 
líneas de corriente del fluido. Como entre ambas superficies no existe ninguna 
fuente ni sumidero de fluido, la masa que entra por la superficie 1 será igual a 
la masa m que sale por la superficie 2, por tanto: 
21 mm  Ecuación II-5 
 
Figura II-3 Flujo uniforme de un fluido a través de un cuerpo angosto 
 
La masa de fluido en movimiento que atraviesa una superficie, es igual: 
vSm 
 Ecuación II-6 
 sKgm / masico Flujo: 
 3/ fluido del Densidad: mKg 
 2 Área: mS 
 smv / fluido del Velocidad: 
21 mm  
2211 vSvS   Ecuación II-7 
 
Si consideramos que la densidad del fluido no varía entre las dos superficies, 
tenemos: 
 
2211 vSvS  Ecuación II-8 
dContinuida deEcuación de Constante:vS 
Capítulo II Marco Teórico 
 
8 
Para una mejor representación tomaremos un perfil aerodinámico como 
ejemplo. 
 
Figura II-4 Perfil aerodinámico que representa un ala con ángulo de ataque 
En la Figura II-4 se representa el perfil del ala de un avión, con un determinado 
ángulo de ataque, dentro de un flujo de corriente de aire laminar. 
Aplicando de una manera cualitativa la ecuación de continuidad y el teorema 
de Bernoulli. 
 La máxima deformación de las líneas de corriente se produce en la zona 
superior del borde de ataque, por lo tanto hay un aumento de velocidad 
del fluido, consecuentemente, esto lleva implícito una disminución de 
presión, muy marcada en el borde de ataque, disminuyendo hacia el 
borde de fuga. 
 Justo por debajo del borde de ataque se aprecia una zona que no hay 
líneas de corriente (4), la velocidad del fluido en esta zona es nula, es la 
denominada zona de remanso (punto de estancamiento). Por el teorema 
de Bernoulli que a continuación se explica, la presión aumentará en el 
borde de ataque, encontrando una zona de sobrepresión, disminuyendo 
conforme se entra en el perfil hacia el borde de fuga. 
 Finalmente por debajo del perfil y cerca del borde de fuga, se produce un 
pequeño aumento de la velocidad y por lo tanto una pequeña depresión, 
que compensará en parte, la producida en la misma zona por encima del 
perfil. 
Como la ecuación de continuidad señala, la velocidad de entrada debe ser la 
misma que la velocidad de salida. 
Capítulo II Marco Teórico 
 
9 
II.3.- CAPA LÍMITE 
Un fluído ideal no tiene viscosidad y por tanto, no tiene capacidad de resistir a 
la deformación producida por una fuerza cortante. Como la viscosidad es la 
propiedad de un fluído que tiende a evitar el movimiento de una parte del fluído 
con respecto a la otra, se deduce que todo fluído real, y por tanto viscoso, se 
resistirá al paso de un cuerpo sumergido en él. La viscosidad puede ser 
entendida pensando en la diferencia entre el aceite y el agua; el aceite es 
considerablemente más viscoso que el agua. 
 
Los efectos de la viscosidad se pueden ver fácilmente si se considera una 
placa fina y plana sumergida en un fluído móvil. Un fluído ideal se deslizaría por 
encima de la superficie libremente. Sin embargo, todo fluído real tiene una 
cierta viscosidad que le hará adherirse a la superficie de la placa. Por tanto, la 
capa de partículas de fluído más cercana a la placa se quedará en reposo. La 
siguiente capa de partículas se verá frenada, pero no se detendrá. La Figura II-
5 nos muestra este efecto. En la superficie de la placa la velocidad del fluído es 
nula. A una pequeña pero mensurable distancia de la superficie el fluído se 
mueve a la velocidad de la corriente libre. Esta capa de fluído, dentro de la cual 
la viscosidad causa una variación de la velocidad, recibe el nombre de capa 
límite. Como habitualmente es muy delgada con respecto al espesor del perfil 
alar, no invalida los cálculos anteriores respecto a la sustentación. El espesor 
de la capa límite normal en un avión varía desde pequeñas fracciones de [cm] 
en el borde de ataque del ala hasta un espesor de 30 [cm] en el borde de salida 
de un avión grande como el Boeing 747. Este concepto de la capa límite fue 
introducido por el profesor e ingeniero alemán Ludwig Prandtl (1975-1929). 
 
Figura II-5 Capa limite sobre una capa plana 
Hay dos tipos diferentes de flujo en la capa límite: laminar y turbulento (Figura 
II-6). La capa límite laminar tiene un flujo muy uniforme, mientras que la capa 
límite turbulenta contiene remolinos o torbellinos. El ingeniero y físico inglés 
Capítulo II Marco Teórico 
 
10 
Osborne Reynolds (1842-1929) desarrolló las relaciones básicas que nos 
permiten calcular qué tipo de capa límite existe en un flujo determinado. Sus 
teorías y experimentos le llevaron al descubrimiento de un número 
adimensional, denominado "número de Reynolds", que representa una relación 
constante en cada caso, y que sirve para determinar la naturaleza del flujo a lo 
largo de las superficies y alrededor de los cuerpos. El número de Reynolds seexpresa por la Ecuación II-9: 

 lv 
Re Ecuación II-9 
 
donde: ][Kg/m
3 fluido del Densidad 
][m/sv 2 libre corriente de Velocidad 
[m]l ticacaracterís Longitud 
 22/ fluido del d viscosidade eCoeficientsm
 
 
El análisis de las características del flujo indica que la transición del flujo 
laminar al turbulento a lo largo de una superficie depende del número de 
Reynolds. Como vemos en la Figura II-6 el flujo laminar se rompe al llegar a un 
valor límite del número de Reynolds y se convierte turbulento. El punto de 
transición depende de la aspereza de la superficie y del grado de turbulencia 
en la corriente libre, así como de los términos que forman el número de 
Reynolds. 
 
Figura II-6 Transición de flujo laminar a flujo turbulento en un perfil 
 
Los valores del número de Reynolds para los aviones normales pueden variar 
desde 
6103x en un avión ligero hasta 
81001x en el C-5A en ciertas condiciones 
de vuelo. 
Capítulo II Marco Teórico 
 
11 
Otro fenómeno asociado con el flujo viscoso es la separación. Se dice que 
tiene lugar la separación cuando el flujo se aparta bruscamente del cuerpo. 
Este fenómeno es particularmente predominante en perfiles alares a grandes 
ángulos de ataque; la separación en el borde de ataque o en el borde de salida 
causa una elevada resistencia aerodinámica y una reducción de la 
sustentación. Cuando ha ocurrido la pérdida, un aumento posterior en el ángulo 
de ataque no produce un aumento sino una disminución de la sustentación y un 
rápido aumento de la resistencia aerodinámica. 
Es importante recordar que la pérdida depende principalmente del ángulo de 
ataque. 
II.4.- FUERZAS DEBIDAS AL FLUJO DEL FLUÍDO 
Jean le Rond D'Alembert (1717 -1783), matemático y enciclopedista francés, 
fue el descubridor de la denominada "paradoja de D'Alambert", al estudiar las 
fuerzas que un fluído ideal ejercía sobre cuerpos sólidos. Sus cálculos 
demostraban que el fluído no ejercía ninguna fuerza sobre el cuerpo al pasar 
alrededor del mismo. Por ejemplo, según los cálculos matemáticos, el flujo de 
aire alrededor de un cilindro de infinita longitud, como el representado en la 
Figura II-7, no ejercía ninguna fuerza sobre el cilindro. D'Alambert comprendía 
que tal conclusión era falsa, porque los experimentos demostraban claramente 
que se ejercía una fuerza; pero nunca fue capaz de corregir sus cálculos 
 
Figura II-7 Flujo alredor de un perfil circular 
 
En el siglo XIX Lord Rayleigh (1842-1919), tratando de explicar la trayectoria 
sesgada de una pelota de tenis cuando se la golpea de determinada forma, 
estudió el flujo alrededor de un cilindro rotatorio, como el representado en la 
Figura II-8. Reconoció que el fluído real, que es viscoso, quedaría adherido al 
cilindro. Por tanto, la rotación añade un componente circulatorio a la velocidad 
en la superficie del cilindro. En comparación con la circulación en la Figura II-7, 
hay un aumento de velocidad en la superficie superior del cilindro y una 
Capítulo II Marco Teórico 
 
12 
disminución en la superficie inferior. La ley de Bernoulli demuestra que hay una 
disminución de la presión en la superficie superior y un aumento en la inferior, 
lo que produce una fuerza F por unidad de longitud del cilindro perpendicular a 
la dirección del flujo. 
Un ejemplo de flujo similar, aunque más complicado, es el producido por el 
movimiento de rotación de una pelota de tenis o de golf; las fuerzas producidas 
por el giro no están equilibradas y hacen que la trayectoria de la pelota sea una 
curva. 
 
Figura II-8 Flujo uniforme alrededor de un cilindro en rotación 
Este giro, hace que arrastre una parte del fluido que hay a su alrededor. Así, la 
velocidad en el punto 3 de la figura será mayor que la existente en el punto 2. 
23 VV  
Por lo tanto al aplicar el teorema de Bernoulli las fuerzas debidas a la presión 
no son iguales: 
'FF  
Por lo tanto aparece una fuerza aerodinámica neta, que tiende a desplazar la 
esfera en la dirección F. Esto se conoce con el nombre de efecto Magnus1. 
 
 
 
 
1
 Denominado así en honor al físico y químico alemán Heinrich Gustav Magnus (1802-1870) 
Capítulo II Marco Teórico 
 
13 
II.4.1- COEFICIENTE DE SUSTENTACIÓN 
En la física de fluidos sustentación es el fenómeno que representa a una fuerza 
que se opone a que los cuerpos más densos en el medio caigan bajo la acción 
solamente del campo gravitacional y las fuerzas de arrastre. La fuerza de 
sustentación puede superar a estas fuerzas haciendo que los cuerpos puedan 
elevarse en un medio menos denso. 
 
La sustentación producida en un ala o superficie aerodinámica es directamente 
proporcional al área total expuesta al flujo de aire y al cuadrado de la velocidad 
con que ese flujo incide en el ala (Ecuación II-10). También es proporcional, 
para valores medios, a la inclinación del ángulo de ataque del eje de la 
superficie de sustentación respecto al de la corriente de aire. Para ángulos 
superiores a 14 grados, la sustentación cambia con rapidez hasta llegar a la 
pérdida total cuando, por efecto de esos valores, el aire se mueve produciendo 
torbellinos en la superficie de las alas. En esta situación se dice que el perfil 
aerodinámico ha entrado en pérdida. 



Av
F
C LL
2
2
1

 Ecuación II-10 
II.4.2.- COEFICIENTE DE ARRASTRE 
Los mismos factores que contribuyen al vuelo producen efectos no deseables, 
como la resistencia, la fuerza que tiende a retardar el movimiento del avión en 
el aire. Un tipo de resistencia es la aerodinámica, producida por la fricción que 
se opone a que los objetos se muevan en el aire. Depende de la forma del 
objeto y de la rugosidad de su superficie (Ecuación II-11). Se puede reducir 
mediante perfiles muy aerodinámicos del fuselaje y alas del avión. Hay diseños 
que incorporan elementos para reducir la fricción, consiguiendo que el aire que 
fluye en contacto con las alas mantenga el llamado flujo laminar cuando se 
desliza sobre ellas sin producir torbellinos. 
Av
F
C DD


2
2
1

 Ecuación II-11 
Capítulo II Marco Teórico 
 
14 
Otro tipo de resistencia, llamada resistencia inducida, es el resultado directo de 
la sustentación producida por las alas. Se manifiesta en forma de torbellinos o 
vórtices en la parte posterior de los slats2 y especialmente del extremo de las 
alas, y en algunos aviones se coloca una aleta pequeña denominada winglet3, 
que reduce notablemente su efecto. 
Se llama resistencia total a la suma de ambas resistencias. La ingeniería 
aeronáutica trata de conseguir que la relación entre la sustentación y la 
resistencia total sea lo más alta posible, lo que se obtiene teóricamente al 
igualar la resistencia aerodinámica con la inducida, pero dicha relación en la 
práctica está limitada por factores como la velocidad y el peso admisible de la 
célula del avión. En el avión de transporte subsónico su valor puede llegar a 
veinte; en los de altas características se duplica ese valor, mientras que el 
incremento de la resistencia, cuando se vuela a velocidades supersónicas, lo 
reduce a menos de diez. 
II.5.- NUMERO DE STROUHAL 
El Número de Strouhal (St) es un número adimensional que se utiliza en el 
estudio de las vibraciones de un cuerpo cuando pasa por un caudal de fluido; 
en mecánica de fluidos, relaciona la oscilación de un flujo con su velocidad 
media. Se escribe: 
U
L
St



 Ecuación II-12 
En donde: 
 U la velocidad relativa del flujo. 
 L una longitud característica. 
 ω la frecuencia angular del flujo. 
Surge de procesos en los que un flujo se ve interrumpido por un objeto sólido, 
de forma que, al no ser el fluido totalmente capaz de rodearlo, la capa límitese 
 
2
 Son superficies flexibles aerodinámicas auxiliares situadas en el borde delantero o de ataque del ala, que 
funcionan automáticamente en algunos aviones o controlados por el piloto en otros. La función de los 
slats, es alterar momentáneamente la forma del ala durante el despegue y el aterrizaje para aumentar la 
sustentación, además de facilitar el control del movimiento lateral del avión. 
3
 incorporan en la punta de las alas una extensión doblada hacia arriba, casi de forma vertical, cuya 
función es disminuir la turbulencia que se forma en ese lugar durante el vuelo, con lo cual se mejora el 
rendimiento aerodinámico 
Capítulo II Marco Teórico 
 
15 
despega de éste con una estela de forma frecuencial. También se conoce 
como frecuencia reducida. 
Es fundamental considerarlo de cara a la construcción de edificios y 
estructuras, pues de no hacerlo, podría ocurrir como en el caso del puente de 
Tacoma, en el que la estructura entró en resonancia con el viento, el caudal del 
río, etc., y el puente colapsó. 
II.6.- CIRCULACIÓN 
Los científicos comprendieron rápidamente que el movimiento circulatorio 
causado por la rotación del cilindro de Rayleigh era un ingrediente que había 
sido ignorado en los modelos matemáticos teóricos. Así lo demostraron el 
ingeniero inglés Frederick W. Lanchester (1876-1946) a finales del siglo XIX; y 
a principios del siglo XX el matemático alemán Wilhelm Kutta (1867-1944) y el 
matemático y profesor de mecánica ruso Nicolás E. Joukowski. Sin esta 
corriente circular, el flujo alrededor de un perfil alar sería el que vemos en la 
Figura II-9; no se ejercen fuerzas sobre este perfil. De todos modos, la 
velocidad en el borde de salida es infinita, al obligar al flujo a dar la vuelta a una 
esquina en pico. 
 
Figura II-9 Flujo uniforme alrededor de un perfil de ala sin circulación. 
 
Kutta y Joukowski proponían que se debía añadir a este modelo teórico una 
circulación suficiente para corregir las condiciones del borde de salida. De este 
modo, mientras que se incrementa la velocidad media en la superficie superior 
del perfil, disminuye la velocidad en la superficie inferior, y el flujo en el borde 
de salida es gradual, como vemos en la Figura II-10. En el caso del cilindro de 
Rayleigh el aumento relativo de la velocidad en la parte superior está 
acompañado por una reducción de la presión; la disminución relativa de la 
velod 
Capítulo II Marco Teórico 
 
16 
 
Figura II-10 Flujo alrededor de un perfil de ala con circulación 
velocidad en la superficie inferior causa un aumento de la presión y ambas 
originan una fuerza F cuyo valor por unidad de longitud del ala se puede 
calcular, Joukowski fue capaz de demostrar posteriormente una relación 
bastante simple entre la circulación alrededor de un cuerpo bidimensional y la 
fuerza aerodinámica por unidad de longitud ejercida sobre él: 
 vF  Ecuación II - 13 
donde:  Densidad del fluido 
v Velocidad a la que el cuerpo se mueve dentro del fluído 
 Circulación 
Esta relación es muy útil porque permite calcular directamente las fuerzas 
aerodinámicas conociendo la circulación, en lugar de tener que sumar las 
presiones diferenciales en la superficie del cuerpo. 
 
Circulación observada. Es interesante observar que un modelo práctico es una 
justificación muy real para la adición de circulación al modelo teórico. La 
representación del fluido en la Figura II-10 está muy de acuerdo con las 
observaciones experimentales, al igual que la fuerza calculada. 
 
En un fluido real la circulación es inducida por las fuerzas de la viscosidad que 
actúan junto a la superficie del perfil alar. 
 
No tenemos que imprimir al perfil un movimiento de rotación, como pasaba en 
el cilindro, pues la forma del perfil alar es tal que basta con la circulación lineal. 
De todas formas, hay una evidencia experimental directa de que la circulación, 
o movimiento rotatorio, se produce alrededor de un perfil alar al moverlo a 
través de un fluido, en la Figura II-11 vemos dos imágenes de un perfil alar que 
Capítulo II Marco Teórico 
 
17 
 
Figura II-11 Flujo laminar. Aparición del vórtice de un torbellino. Fotografías del flujo de agua alrededor 
de un perfil alar. Arriba: la cámara se mueve con el perfil. Abajo: la cámara en reposo con respecto al 
fluido sin perturbar. (De Aerodynamics de T. Von Karman, Cornell University Press, Ithaca, N. Y., 1954) 
 
abandona su estado de reposo en el agua. En ambas imágenes se observa un 
remolino del agua, denominado vórtice, que se difunde desde el borde posterior 
del perfil. Este vórtice causa rotación o circulación en el agua detrás del perfil. 
Theodore Von Karman4 ha relacionado con gran claridad este flujo con la 
sustentación generada por un perfil alar: “Ahora debemos recordar que, de 
acuerdo con un principio fundamental de la Mecánica, una rotación, o más 
exactamente, un momento de cantidad de movimiento, no puede ser creado en 
un sistema sin que aparezca una reacción. Por ejemplo, si tratamos de hacer 
girar un cuerpo, como una rueda, experimentamos una reacción que tiende a 
hacemos rotar a nosotros en dirección contraria. Del mismo modo, si el proceso 
de poner en movimiento una sección de ala crea un vórtice, es decir, una 
rotación de parte del fluído, en el resto del fluído se crea una rotación en 
sentido contrario. 
 
4
 Theodore Von Karman, Aerodynamics, Cornell University Press, Ithaca, N. Y. 1954. 
Capítulo II Marco Teórico 
 
18 
Este movimiento rotatorio del fluído se manifiesta conforme a la circulación 
alrededor de la sección del ala. De un modo análogo a como se vería en una la 
pelota de tenis, la circulación crea mayor velocidad (menor presión) en la 
superficie superior (extradós) y menor velocidad (mayor presión) en la 
superficie inferior (intradós). De esta manera se produce una sustentación 
positiva." Esto describe el principio básico de la forma en que la circulación 
producida por la vorticidad contribuye a la sustentación. 
II.7.- FAMILIAS DE PERFILES 
Un perfil alar es un sólido como el que mostramos en la Figura II-12. 
Existiendo una enorme cantidad de formas de perfiles alares fue necesario 
establecer una codificación sobre la base de sus características. Inicialmente 
las características que se tomaron en consideración fueron: la cuerda, que es 
la distancia entre el borde de ataque y el borde de fuga; la línea media, que 
corresponde a la línea formada por los puntos equidistantes a las superficies 
superior e inferior del perfil; y la comba, definida como la máxima separación 
entre la línea media y la cuerda, y se mide en porcientos de la magnitud de la 
cuerda. Uno de los primeros métodos de codificación fue establecido por el 
National Advisory Committee for Aeronautics (NACA) alrededor de 1930, la 
cual es antecesora de la National Aeronautics and Space Administration 
(NASA). 
 
 
Figura II-12 Perfil Alar 
Múltiples experimentos en túneles de viento determinaron que las 
características fundamentales de un perfil eran la magnitud de la comba, la 
posición de la comba y el grosor del perfil. El primer código tuvo cuatro cifras. 
 
Capítulo II Marco Teórico 
 
19 
NACA-Cuatro cifras (2415) 
La primera familia de las superficies de sustentación diseñadas usando este 
acercamiento se conocía como la serie de Cuatro-Dígitos de NACA. Que más 
adelante se presentara a detalle. 
NACA-Cinco cifras (23012) 
La primera cifra indica el valor del coeficiente de sustentación ideal de la 
curvatura del perfil multiplicado por 20 y dividido por 3. Las dos siguientes 
indican el doble de la posición de la máxima flecha de la línea media 
(curvatura) en %de la cuerda. Las dos últimas el espesor igual que en el caso 
del perfile NACA-cuatro cifras.El espesor es el mismo que para el perfil NACA-
Cuatro cifras. 
La curvatura se obtiene mediante una parábola cúbica empalmada a una línea 
recta que llega hasta el borde de salida. 
NACA-Seis cifras (641-212) 
Los NACA serie 6 (seis dígitos) toman en cuenta la sustentación y la presión 
mínima sobre el perfil alar. Un avance notable en la codificación surgió hacia 
fines de los años 1960 cuando Richard Whitcomb, ingeniero de la NASA diseñó 
el perfil alar supercrítico para velocidades cercanas a Mach 1. Con esta 
metodología se diseñaron perfiles subsónicos codificados en la serie (GAW) 
(General Aviation Whitcomb). Estos perfiles se diseñaron computacionalmente 
usando como datos iniciales las características que se deseaban en 
contraposición a la usada anterior donde primero venía el diseño y luego se 
metía en un túnel de viento para estudiar sus propiedades. Estos perfiles 
poseen una gran concavidad en la superficie inferior de su popa. 
Otros perfiles NACA 
Existen otras tabulaciones realizadas por NACA (NACA-1, NACA-7, NACA-8) 
en las que la distribución de espesores aparece en forma tabulada y la línea 
media del perfil (curvatura) del perfil da una distribución especial de coeficiente 
local de sustentación. 
 
 
Capítulo II Marco Teórico 
 
20 
II.8.- NOMENCLATURA DE LOS PERFILES. 
En la Figura II-13 se muestra la terminología utilizada en la teoría de perfiles 
 
Figura II-13 Nomenclatura de un perfil 
1- La línea de cuerda es una línea recta que une el borde de ataque y el borde 
de fuga del perfil. 
2- La cuerda es la longitud de la línea anterior. Todas las dimensiones de los 
perfiles se miden en términos de la cuerda. 
3- La línea de curvatura media es la línea media entre el extradós y el intradós. 
4- Curvatura máxima es la distancia máxima entre la línea de curvatura media y 
la línea de cuerda. La posición de la curvatura máxima es importante en la 
determinación de las características aerodinámicas de un perfil. 
5- Espesor máximo es la distancia máxima entre la superficie superior e inferior 
(extradós e intradós). La localización del espesor máximo también es 
importante. 
6- Radio del borde de ataque es una medida del afilamiento del borde de 
ataque. Puede variar desde 0, para perfiles supersónicos afilados, hasta un 2% 
(de la cuerda) para perfiles más redondeados. 
Capítulo II Marco Teórico 
 
21 
III.9.- ECUACIONES DE UN PERFIL DE 4 DÍGITOS 
 
Figura II-14 Perfil de un ala subsónica asimétrica. En el perfil de ala simétrico coinciden la cuerda y la 
cuerda media aerodinámica. Las medidas de los perfiles del ala se realizan con referencia fracciones de 
la longitud de la cuerda. La curvatura positiva del extradós y la negativa de intradós se pueden medir 
como distancias perpendiculares desde el extradós o el intradós a la cuerda del ala. 
 
En la Figura II-14 se aprecian las expresiones para los un perfil NACA de 
cuatro dígitos. 
 (m) El primer especifica la línea media 1/100*c: Expresa la curvatura 
máxima en porcentaje de la cuerda. Curvatura máxima es la distancia máxima 
entre la línea de curvatura media (mean line) y la línea de cuerda (chord line). 
 (p) El segundo dígito 1/10*c: nos indica la posición en la que ocurre la 
curvatura máxima expresada en décimas de la cuerda medidas desde el borde 
de ataque. 
 (t) El tercero indica el grueso máximo 1/100*c: expresa el máximo 
espesor (máxima distancia entre extradós e intradós), expresado en porcentaje 
de la cuerda de la superficie de sustentación. 
 (c) El cuarto indica la longitud de la cuerda 
c
x
 ; x Ecuación II-14 
Para conocer la forma en que se genera un perfil de 4 dígitos, a continuación 
se muestran las ecuaciones para la obtención esta geometría. 
 
1.- Determinar la línea de curvatura media. Esto se logra mediante una 
función a trozos o por partes: 
 
 2
2
2 xxp
p
m
yc  0  x  p Ecuación II-15 
 
  2
2
221
1
xxpp
p
m
yc 

 p < x  1 Ecuación II-16 
Capítulo II Marco Teórico 
 
22 
 
Nota: x varía entre 0 y 1, dado q se considera la cuerda como c=1, luego se 
puede escalar los datos a cualquier medida. 
 
2.- Determinar la distribución de espesor del perfil. Se calcula la distribución 
sobre (“+” extradós) y debajo (“-” intradós) de la línea media. 
 
  432 1015.02843.03516.01260.02969.0
2.0
xxxxx
t
yt  Ecuación II-17 
 
3.- Determinar el ángulo  que forman las tangentes a la línea de curvatura 
media con la línea de cuerda para cada punto. 
 
Donde  xyc  /arctan Ecuación II-18 
 













 xp
p
m
x
yc
2
2arctanarctan 0  x  p Ecuación II-19 
 
 



















 xp
p
m
x
yc
2
1
2
arctanarctan p < x  1 Ecuación II-20 
4. Se determinan las coordenadas finales para la superficie superior de la 
superficie de sustentación (XU, YU) y una superficie más baja (XL, YL) usando 
las relaciones siguientes. 
senyxX tU  Ecuación II-21 
cos tcU yyY 
senyxX tL  Ecuación II-22 
cos tcL yyY 
Estos coordenadas de puntos estarán referidos a la base canoníca de 2R 
(plano XY) y se obtendrá el perfil deseado. 
II.10.- FUERZAS EN EL PERFIL ALAR 
La nomenclatura y la notación normalizada que aparece en la Figura II-15. La 
cuerda geométrica c, también llamada simplemente cuerda, es un eje de 
referencia habitual. El ángulo de ataque  , es el ángulo que forma la cuerda 
con el viento relativo V . Las fuerzas aerodinámicas que actúan sobre el perfil 
alar se pueden considerar como una fuerza F resultado de todas las presiones 
estáticas que actúan en una superficie aerodinámica, multiplicado por el área 
Capítulo II Marco Teórico 
 
23 
CP 
CP = Centro de presión 
afectada por las presiones, actuando en un punto y un momento M respecto a 
un punto denominado centro de presión CP. 
Por el teorema de protección la fuerza F se representa en dos componentes: la 
sustentación L (Lift) que actúa perpendicularmente al viento relativo y la 
resistencia aerodinámica D (Draft), que actúa en paralelo al viento relativo. Por 
tanto, la fuerza aerodinámica F calculada por Rayleigh, Kutta y Joukowski es 
sustentación pura. 
Figura II-15 El origen de la resistencia aerodinámica inducida. 
 
Se observarse que las fuerzas que actúan sobre una superficie alar, o sobre 
una superficie aerodinámica, lo hacen dentro de un sistema de coordenadas 
rectangulares (espacio 2R ). Uno de estos sistemas podría definirse por los 
ejes longitudinal y vertical del avión. Otro puede ser el formado por diferentes 
bases de dicho espacio (ejes paralelos y perpendiculares a la superficie 
terrestre), y un tercer sistema de coordenadas viene definido por la dirección 
del viento relativo y un eje perpendicular al mismo. Este último sistema es el 
que se elige para definir las fuerzas de sustentación y resistencia 
aerodinámica. 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
24 
CAPÍTULO III 
 
n el presente capitulo modelaremos las ecuaciones que 
representan al sistema así como el esquema numérico a utilizar 
ya que son primordiales para el cálculo computacional, también 
se presenta la geometría en estudio sometida al mallado mediante el método 
de fronteras inmersa, el esquema numérico y las condiciones iniciales, dichas 
condiciones nos ayudan a definir de mejor manera la solución del sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
25 
III.-ECUACIONES DE GOBIERNO 
III.1 Ecuaciones de gobierno del fenómeno. 
En un marco de referencia cartesiano x, y, z las ecuaciones de flujo 
compresible deNavier – Stokes pueden ser escritas de la forma: 
 
i
it x
U F
S Ecuación III - 1 
 
Donde U es un vector de cinco componentes definido por 
 
),3,2,1,( euuuU T Ecuación III - 2 
 
Se considera además que 1 2 3u u uu , , es el vector velocidad, es la 
densidad. También el vector velocidad se escribe como u v wu , , . La 
ecuación III-1 representa la evolución de la densidad (ecuación de continuidad), 
cantidad de movimiento y energía total definida para un gas ideal como 
 
2 2 21
1 2 32
ve C T u u u Ecuación III - 3 
 
Fi son flujos donde 1 2 3i , , , y para un fluido Newtoniano esta dado por, 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2
2
2
2
i
i i i
i i i
i
i i i
i j i j
i
u
u u p S
u u p S
u u p S
T
e p u u S k
x
F Ecuación III - 4 
pk C es la conductividad térmica, la difusividad térmica, i j es la delta de 
Kronecker y ijS es el componente divergencia del tensor deformación. 
Despreciando la viscosidad, ijS se escribe, 
 
1 2
2 3
i j
i j i j
j i
u u
S u
x x
 Ecuación III - 5 
 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
26 
La viscosidad molecular se establece a través de la ley empírica Sutherland, 
 
1
2
1
1
re f
re f
re f
S
T T
T T
ST
T
 Ecuación III - 6 
 
Donde S , Tref y (Tref) son funciones del gas. La conductividad k T se obtiene 
asumiendo que el número molecular de Prandtl es, 
 
pC Tv
Pr
k k T
 Ecuación III - 7 
 
Para este análisis se considera de 0.7. La ecuación de estado para gas ideal 
referente a la presión estática p, la temperatura T, y la densidad , 
 
p R T Ecuación III - 8 
 
concadena el sistema, con p vR C C . También se debe recordar que 
p
v
C
C
 
es constante. 
 
Debe observarse que el término forzado es equivalente a la imposición de un 
gradiente de presión de un flujo medio y constituye un camino conveniente y 
convencional para alcanzar de manera numérica la homogeneidad en la 
dirección del flujo. 
III.2 Esquema numérico y modelo de turbulencia. 
III.2.1 Simulación de Grandes Escalas (LES) [9] 
 
La técnica LES (Large-eddy simulation) consiste en hacer pruebas para simular 
únicamente las grandes escalas del flujo; las pequeñas escalas son filtradas 
hacia fuera, pero estadísticamente influye en el movimiento la escala grande. 
Las ecuaciones de LES son encontradas por la aplicación de un filtro espacial 
de bajo transcurso G x de tamaño en las ecuaciones de Navier – Stokes. 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
27 
Esto elimina las escalas más pequeñas que el filtro de tamaño llamado 
escala sub – malla. Matemáticamente, la operación de filtrado corresponde a la 
integral de convolución de alguna cantidad f x t, del flujo por la función filtro 
G x , en la forma, 
 
x, y, x y yf t f t G d Ecuación III - 9 
 
La parte submalla es la desviación del flujo actual con respecto al campo 
filtrado. 
 
'f f f Ecuación III - 10 
 
La aplicación del filtro a las ecuaciones compresibles de Navier – Stokes 
desarrollan el modelo matemático de la siguiente manera: 
 
1 2 3
1 2 3
0
U F F F
,
t x x x
 Ecuación III - 11 
con 
2 2 21
1 2 32
,ve C T u u u Ecuación III - 12 
Y 
.RT Ecuación III - 13 
Para derivar un formalismo tan cercano como sea posible al formalismo 
incompresible, es común en modelos de turbulencia estadística y en LES 
introducir el promedio de Favre. Se denota por f el peso – densidad filtrado de 
f , definido como: 
f
f
f
 Ecuación III - 14 
 
Entonces se tiene que, 
 
1 2 3
T
U u u u e   
´
, , , , Ecuación III - 15 
 
y la energía total resuelta se escribe, 
 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
28 
2 2 21
1 2 32v
e e C T u u u Ecuación III - 16 
 
Los flujos resueltos Fi son, 

1 1 1
2 2 2
3 3 3
2
2
2
2
F
i
i i i
i i i
i
i i i
i j i j
i
u
u u p S
u u p S
u u p S
T
e p u u S k
x
 Ecuación III - 17 
 
con la ecuación filtrada de estado, 
 
p RT Ecuación III - 18 
 
Se introduce el tensor esfuerzo – submalla T con componentes, 
 
ij i j i j
u u u u  ,T Ecuación III - 19 
el cual se divide en sus partes isotrópica y desviador, la siguiente ecuación lo 
denota: 
 
1 1
3 3,
,
i j ij ll ij ll ij
i j

T T T T Ecuación III - 20 
Entonces, las ecuaciones (III-17) y (III-18) pueden ser escritas como, 
 
1
1 1
1 13
1
2 2
1 2 23
1
3 3
1 3 33
2
2
2
2
i
i i
i ll i
i i
ll i
i
i i
ll i
i j i j
i
u
u u p S
u u p S
u u p S
T
e p u u S k
x

 
 
 
F
T
T
T
 Ecuación III - 21 
y 
 
2 2 21 1
1 2 32 2v ll
e C T u u u     T Ecuación III - 22 
 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
29 
Una formulación elegante fue propuesta por Comte & Lesieur (1997), a través 
de la introducción de una macro – presión y una macro – temperatura definida 
como, 
 
1
3 ll
p T Ecuación III - 23 
y la macro – temperatura, 
 
1
2
ll
v
T
C
 T Ecuación III - 24 
 
La ecuación filtrada de estado (III-18) puede ser escrita como, 
 
3 5
6
ll
R T Ecuación III - 25 
 
La ventaja principal de esta ecuación es que podemos derivar un sistema 
cerrado de ecuaciones en las cuales el desconocido 
ll
T del tensor submalla no 
aparece explícitamente más extenso. De hecho, puede ser demostrado que la 
energía total resuelta se escribe, 
 
  2 2 21
1 2 32
ve C u u u Ecuación III - 26 
 
Además, para 1 4. , fue demostrado por Comte y Lesieur (1997) que se 
justifica completamente despreciar el segundo término del lado derecho de la 
ecuación (III-25). Podemos entonces escribir, 
 
R Ecuación III - 27 
 
Esto hace que sea calculable si y son conocidas. 
 
Necesitamos introducir después el vector de flujo de calor, denotado por Q , 
con componentes, 
 
Q
i i i
e p u e u Ecuación III - 28 
 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
30 
La expresión exacta para los flujos filtrados entonces se convierte en, 
 
1 1 1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
2
2
2
( ) 2
i
i i i i
i i i i
i
i i i i
i i j i j
i
u
u u S
u u S
F u u S
T
e u Q u S k
x

 
 
 
 
Ecuación III - 29 
 
El sistema descrito arriba se puede hacer compatible haciendo uso de los 
modelos submalla comunes basados en una viscosidad turbulenta, 
i j t i jv S
 Ecuación III - 30 
 
Pr
t
i p
t i
v
Q C
x
 Ecuación III - 31 
 
Los términos restantes no calculables son los términos de viscosidad molecular 
y difusivo, que se pueden considerar de menor importancia cuando el número 
de Reynolds es suficientemente grande. Por lo tanto simplemente 
reemplazamos (III-29) por: 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
2( )
2( )
2( )
( ) 2( )
Pr
i
i i t i
i i t i
i
i i t i
t
i t i j j p
t i
u
u u v S
u u v S
F u u v S
v
e u v S u k C
x

 
 
 
  
Ecuación III - 32 
 
En donde y k son ligadas con a través de la relación de Sutherland (III.6), 
un número de Prandtl molecular constante es asumido 0 7.pPr C
k
. 
Obsérvese que uno de los aspectos notables de esta formulación es que el 
sistema LES se puede deducir fácilmente de las ecuaciones compresibles de 
Navier – Stokes originales con los cambios siguientes: 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno31 
 
t
t
ptii
v
CkkveepTuu
Pr
,,~,,,,~ 
 
Esto proporciona al código numérico un fácil uso para el LES sin 
modificaciones severas. 
 
Las expresiones para 
t
v y 
t
Pr utilizadas en las siguientes simulaciones 
compresibles corresponden a los modelos incompresibles descritos en Métais y 
Lesieur (1996), la única diferencia es que aquí se utiliza un promedio de Favre, 
antes descrito. Nuestro modelo submalla es el modelo selectivo de la función 
de la estructura propuesto por David (1993), la viscosidad local del remolino, 
esta dado por, 
2( , , ) ( , , )t ssfv x t C F x t
 Ecuación III - 33 
 
Donde ss fC puede ser expresado como función de la constante de Kolmogorov 
3
2:K ss f KfC C C . ss fC toma el valor de 0.104 para 1.4KC . se toma 
igual a 
1
3x y z , donde x , y y z , son los tamaños de la malla locales en 
las tres direcciones espaciales ( 3R ). 
 
),,(
~
2 txF es la función de estructura de segundo orden de la velocidad 
construida con el campo u . 2
~
F calculado en la coordenada x con un promedio 
estadístico local de las diferencias de la velocidad de cuadro de los seis puntos 
más cercanos que rodean al punto x en la malla computacional. La 
interpolación se basó sobre la ley de 
2
3
 de Kolmogorov que se usa para la 
función estructura de la velocidad. 
 
Según lo propuesto por David (1993) [12], la viscosidad turbulenta se anula 
cuando la turbulencia no es lo suficientemente tridimensional. El criterio para 
tres dimensiones es definido como sigue: considérese en un momento dado 
que el ángulo entre el vector de vorticidad en un punto dado de la malla y su 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
32 
medio aritmético de los seis puntos vecinos más cercanos. La viscosidad 
turbulenta se cancela en los puntos donde este ángulo es más pequeño que 
20°. Finalmente, el número de Prandtl turbulento se toma igual a 0.7, con lo 
que enlaza la ecuación de la energía. 
 
El código numérico usa coordenadas generalizadas. La adaptación a las 
coordenadas generalizadas se realiza introduciendo una matriz Jacobiana que 
transforma una geometría compleja de malla no uniforme o geometría 
curvilínea, en un sistema de coordenadas Cartesiano x y z, , , dentro de una 
geometría ortogonal simple con malla uniforme en el sistema de coordenadas 
generalizadas 1 2 3( , , ) donde las ecuaciones se pueden resolver más 
fácilmente. Para este caso, simplemente consiste en una transformación de 
una malla no uniforme en el espacio físico x y z, , dentro de una malla 
uniforme en el espacio computacional 1 2 3( , , ) . Cada término en la matriz 
Jacobiana inversa 1J se expresa como funciones analíticas de las medidas 
i
j
x
. Las medidas son introducidas y calculadas por el esquema interno de 
primer orden, entonces la matriz J es calculada directamente de 1J . 
 
La ecuación (III-1) se representa como, 
 
1 2 3t
ˆˆ ˆ ˆU F G H
Ŝ Ecuación III - 34 
Con 
 
1 1 1
1 2 3
2 2 2
1 2 3
3 3 3
1 2 3
1
1
1
1
J
J x x x
J x x x
J x x x
J
U
Û ,
F̂ F G H ,
Ĝ F G H ,
Ĥ F G H ,
Ŝ S .
 Ecuación III - 35 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
33 
 
J es el determinante de la matriz J y U es función de las coordenadas 
cartesianas y del tiempo. 
 
 
III.2.2 Esquema Numérico 
 
El sistema en coordenadas generalizadas se resuelve por medio de una 
extensión del completo esquema explicito McCormack, de segundo orden en el 
tiempo y cuarto orden en el espacio, desarrollado por Gottlieb & Turkel (1976). 
Debe observarse que cuando se usa U tiende a ser reemplazada por 
U definida por la ecuación (III-16) cuando la técnica LES es considerada. El 
esquema numérico es un esquema corrector – predictor definido en una 
dimensión por, 
 
 
Predictor 
 
1 1
2 16
8 7
n n n n n
j j j j j j
U U f f f t S , Ecuación III - 36 
Corrector 
 
1 1 1 1 1 11 1 1
2 12 12 2
7 8
n n
j j j j j j j
U U U f f f t S . Ecuación III - 37 
 
 
Los índices 1 1n n y, simbolizan respectivamente para los valores de la 
función al tiempo t , tiempo t t y al paso – sub – tiempo. Obsérvese que las 
discretizaciones espaciales intermedias son esquemas no centrados de primer 
orden con un predictor adelantado (upwind) y un corrector atrasado 
(downwind). Como se especifica arriba el esquema resultante es de cuarto 
orden en el espacio. 
 
 
 
 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
34 
La formulación generalizada en tres dimensiones ( 3R ) se escribe, 
 
Predictor 
1 7 1
1 2 16 6
1
7 1
1 2 16 6
2
7 1
1 2 16 6
3
n P n n n n
i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k
n n n n
i j k i j k i j k i j k
n n n n
i j k i j k i j k i j k
t
U U J
t
t
, , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆF F F F
ˆ ˆ ˆ ˆG G G G
ˆ ˆ ˆ ˆG G G G
 Ecuación III - 38 
 
Corrector 
1 1 1 1 1 171 1 1
1 1 22 2 6 6
1
1 1 1 17 1
1 1 26 6
2
1 1 17 1
1 1 26 6
3
n n C
i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k i j k
i j k i j k i j k i j k
i j k i j k i j k i
t
U U U J
t
t
, , , , , , , , , , , , , , , ,
, , , , , , , ,
, , , , , , ,
ˆ ˆ ˆ ˆF F F F
ˆ ˆ ˆ ˆG G G G
ˆ ˆ ˆ ˆG G G G
1
j k,
 
Ecuación III - 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
35 
III.3.- Condiciones iniciales. 
Para iniciar la simulación numérica es necesario definir las características del 
fenómeno estableciendo las condiciones iniciales y de frontera con el fin de 
resolver adecuadamente las ecuaciones de gobierno. 
 
La velocidad del flujo cuyas componentes son u, v, w fueron dadas para las 
condiciones iniciales como 
 
u = 1 
v = 0 
w = 0 
 
donde u es considerada la velocidad de referencia en todo el dominio. Del 
mismo modo la presión P y la temperatura T también fueron consideradas con 
el valor adimensional. 
 
Conforme transcurre el tiempo de cómputo los valores de tales variables se ven 
modificados hasta que converjan a un valor y se estabilicen. 
III.4.- Fronteras inmersas [11]. 
 
Figura III.1 Perfil NACA sometido a fronteras inmersas 
 
La aproximación de mallado convencional para simular flujos con fronteras 
inmersas complejas es usado para discretizar las ecuaciones de gobierno en 
una malla curvilínea que conforma a las fronteras. La imposición de 
condiciones de frontera es en gran medida simplificada y resuelta, logrando ser 
fácilmente diseñada para mantener precisión adecuada y conservación de 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
36 
propiedades. Sin embargo, dependiendo de la complejidad geométrica de las 
fronteras inmersas, la generación de la malla y la calidad de la misma, estas 
condiciones se pueden complicar. 
 
Una aproximación diferente consiste en usar simples mallas cartesianas, las 
cuáles simplifican en gran medida la generación de la malla y además tienen 
grandes ventajas con respecto al método convencional de cuerpo-ajustado en 
simulación de flujos con fronteras en movimiento, formas complicadas o 
cambios topológicos. De esta manera las fronteras inmersas pueden cortar a 
través de la malla de una manera arbitraria. El principal desafío es tratar a la 
frontera en una forma que no impacte desfavorablemente la precisión y la 
conservación de propiedades y la solución fundamental. Esto es especialmente 
crítico para flujos viscosos donde una inadecuada resolución de las capas 
límite pueden reducir la fidelidad de la solución numérica. 
 
El método de fronteras inmersas (IBM)5 recientemente ha ganado popularidad 
para simulación de flujos con geometrías complejas y esta diseñado para 
simular una gran variedad de flujos. 
 
La geometría de la frontera inmersa es definida por unos puntos marcadores. 
Las celdas cuyo centro yace dentro del cuerpo inmerso y tiene al menos una 
celda vecina cuyo centro de celda se encuentra fuera del cuerpo, es marcadacomo “celda fantasma”. El resto de las celdas con centros dentro del cuerpo, 
los cuáles no están adyacentes a la frontera inmersa, son marcadas como 
celdas “sólidas” (Figura III.2). 
 
Figura III.2 Se muestran en una malla cartesiana los puntos marcadores, 
los nodos de flujo, los nodos fantasma y los nodos sólidos. 
 
5
 Por sus siglas en inglés Immersed Boundary Method 
Capítulo III Ecuaciones de gobierno 
 
37 
La idea básica en este método consiste en calcular de manera computacional 
las variables del flujo para las celdas fantasma, tales que las condiciones de 
frontera en las cercanías de las estas celdas sean satisfechas. Para calcular el 
valor en el centro de las celdas fantasma una “sonda normal” es extendida de 
este nodo a las fronteras inmersas (a un punto llamado punto “frontera-
interceptada”) y es llevado hasta un punto del fluido. De esta manera cuatro 
centros de celdas que rodean la punta de prueba son identificados para 
después emplear una interpolación bilineal en el dominio computacional y, de 
esta manera, calcular los valores en la punta de prueba. Las variables en el 
correspondiente nodo fantasma son subsecuentemente calculados 
extrapolándolos tal que satisfagan apropiadamente las condiciones de frontera. 
 
Para el caso tratado en este trabajo en el cuerpo simulado, no existieron las 
celdas fantasma pues no había celdas que estuvieran dentro y fuera de la 
frontera sumergida (recuérdese que es un perfil NACA de cuatro dígitos 
simétrico) por lo que tampoco la técnica de la interpolación fue necesaria. El 
método de fronteras sumergidas sirvió para crear una frontera dentro del 
dominio que sería considerada como el cuerpo de interés. 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
 
38 
CAPÍTULO IV 
 
n el presente capitulo expondremos las condiciones de frontera 
(entrada, salida y pared deslizante) que son necesarias para llevar 
acabo la simulación numérica, además de que conoceremos las 
características del domino computacional y sus parámetros los cuales nos 
ayudaran a que los efectos de la simulación no varíen demasiado y no 
encontremos resultados alejados a los ya conocidos para la geometría en 
estudio (perfil de cuatro dígitos simétrico). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
39 
IV.- CONDICIONES DE FRONTERA. 
IV.1.- CONDICIONES DE FRONTERA. 
Para llevar a cabo una simulación numérica la definición de las condiciones de 
frontera es una parte crucial en el trabajo. En este caso se utilizó el método 
conocido como NSCBC (Navier-Stokes Characteristic Boundary Conditions) y 
muy particularmente las condiciones de frontera elaboradas por Poinsot y Lele, 
las cuáles son válidas tanto para las ecuaciones de Euler como para las 
ecuaciones de Navier-Stokes. El método NSCBC parte de las ecuaciones de 
Euler para después hacer extensivo el análisis a las ecuaciones de Navier-
Stokes, es decir, el método reduce a las condiciones de frontera de Euler 
cuando el término viscoso desaparece. 
 
La idea principal al utilizar este método consiste en que una vez cerca de la 
frontera las ecuaciones no sean resueltas como en el resto del dominio sino de 
una manera distinta basándose en la propagación en forma de ondas de las 
variables. Esto puede modelarse matemáticamente al descomponer una 
ecuación hiperbólica, como la ecuación compresible de Navier-Stokes, en 
ondas acústicas (Thompson, 1990) por medio de las cuales se propagan las 
variables. Dichas ondas, las cuáles corresponden en número a la cantidad de 
variables resueltas, poseen ciertas velocidades características asociadas a las 
amplitudes de las ondas. Estas velocidades son desde el punto de vista 
matemático los valores característicos locales del sistema hiperbólico. Las 
cinco velocidades características están dadas por u+c, u-c y tres de ellas con 
velocidad u, donde c corresponde a la velocidad local del sonido y u a la 
velocidad local del flujo. Esto significa que tres variables viajan a una misma 
velocidad u mientras que otra lo hace a una velocidad mayor (dada por la 
cantidad c) pero anticipándose a las otras y “recabando” información sobre las 
condiciones del dominio de “adelante”. La última variable, la cuál viaja a una 
velocidad u-c, lo hace en dirección contraria. Dicha variable es muchas 
ocasiones la más difícil de determinar. 
 
Para resolver las ecuaciones de onda para las condiciones del flujo que es 
subsónico y compresible, el método propone que tanto las velocidades como la 
temperatura se conozcan. De esta manera se tiene cuatro condiciones de 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
 
40 
frontera físicas (para 1 2, 3,u u u y T) y otra conocida como condición de frontera 
“suave” a resolver que corresponde a la variable  necesaria para el método 
numérico. Es necesario para aventajar la solución en el tiempo determinar las 
amplitudes L de las diferentes ondas que cruzan las fronteras, cuyo desarrollo 
aparece en el siguiente apartado. 
 
IV.1.1 CARACTERÍSTICAS DE LAS CONDICIONES DE FRONTERA 
DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES 
Para un flujo viscoso compresible las ecuaciones de dinámica de fluidos en 
coordenadas cartesianas son: 
( ) 0i
i
m
t x
 
 
 
 Ecuación IV-1 
 
    ii j ij
i i i
qE
E p u u
t x x x

 
  
        
 Ecuación IV-2 
 
( )
iji
i j
i i j
m p
m u
t x x x
  
  
   
 Ecuación IV-3 
Donde 
1
2 1
k k
p
E u u 

 

 Ecuación IV-4 
 
i im u Ecuación IV-5 
 
2
3
ji k
ij ij
j i k
uu u
x x x
  
  
       
 Ecuación IV-6 
Aquí, p es la presión termodinámica, mi es la cantidad de movimiento iu en la 
dirección xi, E es la energía total (cinética e interna). El flujo de calor a lo 
largo de xi llamado qi esta dado por 
 
i
i
T
q
x




 Ecuación IV-7 
 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
41 
La conductividad térmica es obtenida del coeficiente de viscosidad  
conforme a 
p
r
C
P
  Ecuación IV-8 
donde Pr es el número de Prandtl. 
 
Figura IV-1 Ondas acústicas entrando y saliendo del dominio computacional 
a través del plano de entrada (x1=0) y el plano de salida (x1=L) [10] 
 
Se considera ahora una frontera localizada en x1 = L (figura IV-1) Usando el 
análisis para modificar los térmicos hiperbólicos (convectivos) en las fronteras 
el sistema se reescribe: 
 
1 2 3
2 3
( ) ( ) 0d m m
t x x
  
   
  
 Ecuación IV-9 
 
     
 
2
1 1 3 2 4 3 5 2 3
2 3
1
2 1
k k
i
j ij
i i
dE
u u d m d m d m d E p u E p u
t x x
q
u
x x

 


  
                 

 
 
 
 
i
i
ijj
i x
q
u
x 




  Ecuación IV-10 
 
  11 1 1 3 1 2 1 3
2 3
( )
j
j
m
u d d m u m u
t x x x


  
    
   
 Ecuación IV-11 
 
  22 2 1 4 2 2 2 3
2 3 2
( )
j
j
m p
u d d m u m u
t x x x x


   
     
    
 Ecuación IV-12 
 
  33 3 1 5 3 2 3 3
2 3 3
( )
j
j
m p
u d d m u m u
t x x x x


   
     
    
 Ecuación IV-13 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
 
42 
 
Los términos diferentes entre los sistema de ecuaciones (IV-9 – IV-13) se 
modelan a partir de una descomposición local de las ecuaciones de Navier-
Stokes en ecuaciones de onda. El vector d esta dado por el análisis de 
características (Thompson) y puede ser expresado como: 
 
d
1
1
2 5 1 22
1
1
1 1
2 5 1
1
13
1 1
5 14
2
15
3 1
4 3
1
11 1
( )
( )2
(1 )
1
( )
12
1
( )
2
m
x
c m pc
d
x x
d
u p
ud d
x x
d
c u
ud
x
u
u
x
 


 
                  
          
       
     
              
    
 
  
L L L
L L
L L
L
L
 Ecuación IV-14 
Donde las L i son las amplitudes de las ondas características asociadas con 
cada velocidad característica i . Estas velocidades están dadas por: 
 
1 1u c   Ecuación IV-15 
 
5 ,iu c   Ecuación IV-16 
 
2 3 4 1,u     Ecuación IV-17 
Donde c es la velocidad del sonido para un gas ideal: 
2 pc


 Ecuación IV-18 
1 y 5 son las velocidades de ondas acústicas moviéndose en el dominio en la 
dirección x1; u es la velocidad convectiva (la velocidad a la cuál el fluido 
localmente viajará en la dirección x1) donde 2 es la velocidad de convección 
de la entropía y 3 y 4 son las velocidades de convección 2u y 3u 
respectivamente. 
 
Las L i están dadas por: 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
43 
1
1 1
1 1
up
c
x x
 
 
  
  
L Ecuación IV-19 
 
2
2 2
1 1
p
c
x x


  
  
  
L Ecuación IV-20 
 
2
3 3
1
u
x

 
  
 
L Ecuación IV-21 
3
4 4
1
u
x

 
  
 
L Ecuación IV-22 
1
5 5
1 1
up
c
x x
 
 
  
  
L Ecuación IV-23 
Una simple interpretación física de las L i puede ser dado como la linealización 
de las ecuaciones de Navier-Stokes para ondas acústicas no viscosas 
unidimensionales. Consideremos ondas propagándose a la velocidad 1 .u c   
Si py u son las perturbaciones de presión y de velocidad, las amplitudes de 
onda 1A p cu  se conservan a lo largo de la línea característica 
1x t const  , así que: 
1 1
1
1
0
A A
t x

 
 
 
 ó 1 1 0
A
t

 

L . 
En una localización dada (-L 1) representa la variación en el tiempo de la 
amplitud de onda A1. Por analogía, llamaremos a las L ‘’s la variación de 
amplitud de las ondas características cruzando la frontera. Esta relación entre 
las L y la amplitud de ondas cruzando las fronteras es la mayor ventaja de los 
modelos de ecuaciones de conservación. 
 
La aproximación usada en la técnica NSCBC es para inferir valores para la 
variación de la amplitud de las ondas en casos multidimensionales viscosos 
examinando un problema no viscoso unidimensional (LODI por sus siglas en 
inglés) asociado localmente. 
 
En cada punto de la frontera se pueden obtener tales sistemas LODI 
considerando el sistema de ecuaciones (IV.9 – IV.13) y omitiendo el término 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
 
44 
viscoso transversal. Las ecuaciones resultantes son fáciles de interpretar y nos 
permiten inferir valores para las variaciones de amplitud de onda considerando 
el flujo localmente como no viscoso y unidimensional. 
 
El sistema LODI puede ser lanzado en muchas diferentes formas dependiendo 
de la elección de las variables. En términos de variables primitivas, el sistema 
LODI es 
2 5 12
1 1
( ) 0
2t c
  
      
L L L Ecuación IV-24 
 
0)(
2
1
15 


LL
t
p
 Ecuación IV-25 
1
5 1
1
( ) 0
2
u
t c

  

L L Ecuación IV-26 
2
3 0
u
t

 

L Ecuación IV-27 
3
4 0
u
t

 

L Ecuación IV-28 
IV.1.2 Entrada subsónica 
 
Figura IV.2 Malla del dominio computacional a través del plano de entrada (x1=0) 
 
Muchas condiciones de frontera físicas existen para entradas subsónicas. Aquí 
describimos un caso donde todas las componentes de velocidad 1 2, 3,u u u así 
como la temperatura T son definidas. Estas cantidades pueden cambiar con el 
tiempo y son funciones de la localización espacial en el plano de entrada x1=0. 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
45 
La densidad (o presión) se debe resolver a partir de las condiciones de 
frontera 
1 2 3 2 3(0, , , ) ( , , )u x x t U x x t 
2 2 3 2 3(0, , , ) ( , , )u x x t V x x t 
3 2 3 2 3(0, , , ) ( , , )u x x t W x x t 
2 3 2 3(0, , , ) ( , , ).T x x t T x x t 
 
Este caso es típico de simulación directa de flujos turbulentos donde deseamos 
el control del cortante de entrada y perturbaciones del flujo introducido. Para un 
flujo subsónico tridimensional, cuatro ondas características están entrando al 
dominio: L 2, L 3, L 4, y L 5, mientras que una de ellas (L 1) esta saliendo del 
dominio a una velocidad 1 1 .u c   Tenemos cuatro condiciones de frontera 
físicas para 1 2, 3,u u u y T, y una condición de frontera suave para  . La relación 
no viscosa es necesaria para este caso. Para avanzar la solución en el tiempo 
en la frontera, necesitamos determinar las amplitudes L i de las diferentes 
ondas cruzando la frontera. Solo una de estas ondas (L 1) puede ser obtenida 
de puntos interiores. Las otras están dadas por el procedimiento siguiente. 
 
Paso 1. Las velocidades de entrada 1 2, 3,u u u son impuestas, por lo tanto, las 
ecuaciones (IV-11), (IV-12), (IV-13) no son necesarias. La temperatura de 
entrada es impuesta y la ecuación de la energía (IV-10) tampoco es necesaria. 
 
Paso 2. Como la velocidad de entrada 1u es impuesta, la relación sugiere la 
siguiente expresión para L 1: 
 
5 1 2
dU
c
dt
 L L Ecuación IV-29 
Como la temperatura en la entrada es dada, la relación LODI da una 
estimación de la amplitud de onda de la entropía L 2: 
 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
 
46 
2
2 5 1
1
( 1)( )
2
c dT
T dt

   L L L 
 
Las relaciones de LODI (IV.27) y (IV.28) muestran que 3 /dV dt L y 
4 / .dW dt L 
 
Paso 3. La densidad  puede obtenerse usando la ecuación (IV.9), 
 
1 2
2
( ) 0d u
t x


 
  
 
 Ecuación IV-9 
Donde d1 esta dado por la ecuación (IV.14). 
 
1 2 5 12
1 1
( )
2
d
c
 
   
 
L L L 
 
L 1 es resuelta de puntos interiores usando la ecuación IV-19. L 2 y L 5 han sido 
determinadas del paso 2. En este caso L 3, L 4 no son necesarias. 
IV.1.3 Flujo de salida subsónico no reflejante. 
 
Figura IV.3 Malla del dominio computacional a través del plano de salida (x1=L) 
Como salida del dominio se tiene una condición de flujo subsónico no 
reflejante, esto con el fin de evitar un conjunto de ondas reflejadas dentro del 
dominio que propicien ruido. Es imposible generar una condición de frontera 
100% reflejante pero esto a su vez resulta conveniente dado que las pocas 
Capítulo IV Condiciones de Frontera 
 
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ondas que resulten reflejadas al interior del dominio puedan proporcionar 
información de las condiciones que se tienen al final. 
 
Si consideramos una salida subsónica donde queremos implementar una 
condición de frontera no reflejante, nosotros vemos que cuatro longitudes de 
onda, L 2, L 3, L 4 y L 5 salen del dominio mientras una de ellas (L 1) está 
entrando a una velocidad .11 cu  Considerando una condición de frontera 
no viscosa para las variables primitivas se generarán ondas reflejadas. Por 
ejemplo, si se coloca la presión estática en la salida 
 pp conducirá a un 
problema bien definido, sin embargo, creará ondas reflejantes. Se necesita 
añadir información física en la presión estática media 
p para que el conjunto 
de condiciones de frontera se mantenga bien definido. Con esto la presión 
media en el dominio es cercana a 
p . Un atractivo pero costoso camino