Frecuencia-y-asimetra-en-el-desplazamiento-de-interfases-fluidas

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA
DE MÉXICO
FACULTAD DE QUÍMICA
FRECUENCIA Y ASIMETRÍA EN EL
DESPLAZAMIENTO DE INTERFASES
FLUIDAS
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE:
I N G E N I E R O Q U Í M I C O
P R E S E N T A:
GABRIEL GALLEGOS DIÉZ BARROSO
MÉXICO, D.F. 2010
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
JURADO ASIGNADO
PRESIDENTE Profesor: Jesús Gracia Fadrique
VOCAL Profesor: Maŕıa Eugenia Herminia Costas Baśın
SECRETARIO Profesor: Eugenia Corvera Poiré
1o SUPLENTE Profesor: Ma. Guadalupe Lemus Barajas
2o SUPLENTE Profesor: Gerardo Omar Hernández Segura
Este trabajo fue desarrollado en:
Departamento de F́ısica y Qúımica Teórica. Facultad de Qúımica.
ASESOR DEL TEMA: Eugenia Corvera Poiré
SUSTENTANTE: Gabriel Gallegos Diez Barroso
AGRADECIMIENTOS
Agradezco a la Dra. Eugenia Corvera Poiré por invitarme a su grupo de trabajo y haber
invertido tanto tiempo en mi formación académica y personal a lo largo de la licenciatura.
Por ser una gran maestra de vida.
Agradezco a CONACYT, proyecto 83149, por la beca de tesis de licenciatura.
Agradezco a DGAPA por la beca otorgada a través del proyecto DGAPA IN 101907.
Agradezco a la División de Fluidos y Plasmas de la Sociedad Mexicana de F́ısica por las
facilidades para acudir a los Seminarios Enzo Levi 2008, 2009 y 2010.
2
Gracias
A mis padres, Yolanda y Jesús que han sido amor, enseñanza, apoyo incondicional, com-
pañ́ıa y todo aquello que un hijo desea. Por andar el camino juntos...
A mis hermanos Constanza, Octavio, Juan Carlos, Mariana, Mónica, Jorge, Edgar, Ale-
jandro por compartir la vida en todo momento.
A mi familia, a los primos, los t́ıos, los abuelos por siempre estar al pendiente del otro y
hacer de alguna manera posible la convivencia entre todos.
A todos en Teórica: Rodrigo, Joaqúın, Aimee, Marcos, Marquillo, Luis, Jesús, por tener
siempre disposición a cualquier llamado de auxilio en los vericuetos computacionales. Ai-
mee, gracias por tener paciencia y aguantar desvelos para lograr esta tesis.
A Arlen por ser compañera de vida, por las cosas que hemos compartido y las que nos
quedan por compartir, por la paciencia y la furia de todos los dias.
A la vida.
3
ÍNDICE GENERAL
1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1. Dedos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Formulación macroscópica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1. Problema de fronteras libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3. Análisis de estabilidad lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Modelos mesoscópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. Inestabilidades laterales de los dedos viscosos . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.1. Perturbaciones temporales variando la frecuencia incidente, estu-
dios numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2. Perturbaciones temporales variando la frecuencia incidente, estu-
dios experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.3. Perturbaciones temporales variando el grado de asimetŕıa, estudios
numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3. Modelo mesoscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1. Análisis de frecuencia de las inestabilidades laterales . . . . . . . . . . . . 42
4.2. Ancho promedio del dedo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2.1. Ancho promedio del dedo como función de la frecuencia incidente 57
4.2.2. Ancho promedio del dedo como función del parámetro del grado
de asimetŕıa de la señal incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4
A. Selección de frecuencias dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5
ÍNDICE DE FIGURAS
1.1. Patrones en la naturaleza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Patrones de dedos viscosos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1. Esquema de la celda de Hele-Shaw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Etapas de formación del dedo de Saffman-Taylor. . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Relación de dispersión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4. Diferentes curvas para la relación de dispersión. . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5. Condición dinámica de frontera y dedo con inestabilidades laterales. . . . . 25
2.6. Frecuencia de respuesta cerca de la punta del dedo. . . . . . . . . . . . . . 26
2.7. Análisis de frecuencia de ωL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.8. Gradientes de presión experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9. Análisis de frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.10. Análisis del ancho promedio del dedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11. Condiciones dinámicas de frontera asimétricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.12. Frecuencias de respuesta vs T1
TTotal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.13. Ancho del dedo promedio v.s T1
TTotal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Perfil de equilibrio del parámetro de orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Configuración inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1. Frecuencia de respuesta medida lejos de la punta del dedo, ωL2 , como fun-
ción del parámetro del grado de asimetŕıa, T1
TTotal
, y de la frecuencia incidente
en la condición dinámica de frontera ωo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2. Frecuencias de respuesta dominantes, como función de la frecuencia incidente. 45
4.3. Distribución de frecuencias en la zona de selección. . . . . . . . . . . . . . 46
4.4. Moda, promedio y desviación estándar v.s. T1
TTotal
en la zona lejana a la
punta del dedo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5. Frecuencia de respuesta con dos zonas de transición. . . . . . . . . . . . . . 48
6
4.6. Selección de modos para la respuesta con dos zonas de transición. . . . . . 49
4.7. Frecuencia de respuesta medida cerca de la punta del dedo, ωL1, como
función del parámetro del grado de asimetŕıa, T1
TTotal
, y de la frecuencia
incidente ωo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.8. Frecuencia de respuesta, ωL1, como función de la frecuencia incidente, ωo. . 51
4.9. Frecuencias de respuesta para diferentes valores del grado de asimetŕıa. . . 52
4.10. Distribución de frecuencias de respuesta de la zona lineal v.s. T1
TTotal
. . . . . 53
4.11. Distribución de frecuencias de respuesta en la zona de selección. . . . . . . 54
4.12. Moda, promedio y desviación estándar como función del parámetro que
mide el grado de asimetŕıa en la zona cercana a la punta del dedo. . .. . . 55
4.13. λL1(ωo,
T1
TTotal
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.14. λL2(ω0,
T1
TTotal
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.15. Ancho promedio, λL1, como función de la frecuencia incidente, ωo. . . . . . 58
4.16. Ancho promedio del dedo, λL2, como función de la frecuencia incidente, ωo. 59
4.17. Ancho promedio del dedo λL2 como función de la frecuencia incidente ωo
en la zona de selección. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.18. Ancho promedio del dedo como función de T1
TTotal
a bajas frecuencias. . . . . 61
4.19. Ancho promedio del dedo como función del parámetro del grado de asi-
metŕıa en la zona de selección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.20. Promedio y desviación estándar de λ en la zona de selección. . . . . . . . . 63
4.21. Incremento porcentual de λ como función de T1
TTotal
. . . . . . . . . . . . . . 64
A.1. Señal incidente de la condición dinámica de frontera . . . . . . . . . . . . . 67
A.2. Respuesta temporal del ancho medido cerca de la punta del dedo . . . . . . 68
A.3. Respuesta temporal del ancho medido lejos de la punta del dedo . . . . . . 68
7
1
INTRODUCCIÓN
La formación de patrones en la naturaleza es un fenómeno que podemos observar en las
figuras formadas por nubes en el cielo, rayas en la piel de las cebras, copos de nieve,
corales, las dunas de los desiertos, etc. Los ejemplos antes mencionados tienen su oŕıgen
en distintos fenómenos, sin embargo, todos ellos involucran una interfase cuya dinámica
ha determinado la forma que podemos observar [1]. En la (fig. 1.1) se muestran ejemplos
de formación de patrones en la naturaleza.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 1.1: Patrones en la naturaleza.
Los ejemplos en estas cuatro imágenes tienen su oŕıgen en diferentes fenómenos.(a) Las
ĺıneas de una cebra tienen su oŕıgen en la inestabilidad de Turing.(b) Los patrones que
se encuentran en las dunas de los desiertos se deben a un fenómeno complejo de
transporte de sedimentos [2] .(c) La forma de los copos de nieve esta gobernada por
fenómenos de difusión. (d) Las inestabilidades de Kelvin-Helmholtz se forman a causa de
la vorticidad ocasionada por la diferencia de velocidades en el viento a diferentes alturas
en la atmósfera.
8
El estudio de estas formas lo lleva a cabo una rama de la ciencia llamada morfogénesis y
su objetivo es entender los fenómenos que determinan los patrones que se encuentran en
la naturaleza.
En este trabajo se ha estudiado un fenómeno f́ısico que se presenta cuando dos fluidos
inmiscibles y de viscosidades muy diferentes son puestos en movimiento en un medio
confinado. Cuando el fluido poco viscoso desplaza al fluido viscoso se forman estructuras
conocidas como dedos viscosos. Dependiendo de la geometŕıa del sistema, este fenómeno
dará lugar a diferentes patrones (fig.1.2).
(a) (b)
Figura 1.2: Patrones de dedos viscosos.
(a) Formación de dedos viscosos en una geometŕıa circular, tomada de [3]. Para tener
esta geometŕıa el fluido poco viscoso se debe inyectar perpendicularmente a las placas
que confinan el fluido viscoso. (b) Dedo viscoso formado cuando el aire es inyectado
desde un costado del canal que confina al fluido viscoso, tomada de [4].
Si se desplaza un fluido de alta viscosidad con uno de baja viscosidad en una celda de
Hele-Shaw rectangular1, inyectando el fluido de baja viscosidad desde un extremo de la
1La celda de Hele-Shaw rectangular consiste en un par de placas paralelas que forman un canal cuasi
bidimensional.
9
celda, que ha sido llenada previamente con el fluido de alta viscosidad, las estructuras
que se forman inicialmente son dedos que compiten. Eventualmente se alcanza un estado
estacionario que se caracteriza por tener un ancho que ocupa una fracción superior a la
mitad del ancho del canal. A la forma de este estado estacionario se le conoce como dedo
de Saffman-Taylor.
Los dedos de Saffman-Taylor se pueden estudiar mediante las ecuaciones de Navier-Stokes,
que gobiernan la dinámica de fluidos desde una perspectiva macroscópica. Esta v́ıa de es-
tudio involucra problemas numéricos para el rastreo de la interfase debido a que es un
problema de fronteras libres. Una alternativa al uso de ecuaciones macroscópicas son los
modelos mesoscópicos llamados modelos de campo2 cuyas ecuaciones son consistentes con
las de la hidrodinámica.
La importancia de conocer la dinámica de los dedos viscosos radica no sólo en que ma-
temáticamente es un arquetipo en el área de morfogénesis, sino en sus innumerables apli-
caciones a problemas reales, notablemente al desplazamiento de fluidos en medios porosos
[5]. Durante la recuperación secundaria de petroleo, se inyecta un fluido como gas o agua
para que la presión ejercida por estos fluidos lleve el crudo a la superficie. El desplaza-
miento de petróleo por otro fluido dentro de los yacimientos da lugar a la formación de
dedos viscosos. Además las ecuaciones que describen el problema del dedo de Saffman
Taylor son muy similares a las que describen el desplazamiento de fluidos en medios po-
rosos, razón por la cual, el entendimiento del problema de Saffman Taylor puede tener
2Del inglés phase field model. Estos modelos no solamente son consistentes con las ecuaciones de la hidro-
dinámica, funcionan para modelar cualquier cambio de fase. Esto involucra un parámetro de orden ya
sea, densidad, viscosidad, temperatura, etc. que vaŕıa de forma continua a través del espacio, eliminando
condiciones a la frontera abruptas en las interfases
10
aplicaciones a muchos problemas reales. La cantidad de fluido viscoso desplazado en el
problema de Saffman-Taylor es mayor cuanto mayor sea el ancho del dedo viscoso forma-
do. Para aumentar la candidad desplazada de fluido viscoso, seŕıa necesario aumentar el
ancho del dedo. En este marco se sitúa el presente trabajo.
Se sabe que los dedos de Saffman-Taylor presentan una inestabilidad lateral cuando un
gradiente de presión constante es sustituido por una señal periódica. En este sentido se
han hecho estudios tanto numéricos [6, 7] como experimentales [8]. La inestabilidad late-
ral causa fluctuaciones laterales en el ancho del dedo que pueden también generarse con
ruido estático3. Esto ha sido estudiado tanto numérica [9] como experimentalmente [10].
Los resultados de los trabajos realizados con anterioridad demuestran que una manera de
obtener dedos más anchos es generar inestabilidades laterales.
Para generar las inestabilidades laterales de una manera controlada en los trabajos mencio-
nados, se introdujeron perturbaciones dinámicas en el gradiente de presión. Los trabajos
numéricos impusieron oscilaciones alrededor de un valor promedio. En [6] se trabajó con
dos tipos de variaciones en la señal de presión. La primera fue una señal cosenoidal, la
segunda, ruido temporal, ambas alrededor del mismo valor de presión. Las inestabilidades
laterales generadas en ambos casos fueron de amplitud y número de onda pequeños. La
señal cosenoidal da lugar a inestabilidades estrictamente periódicas que sufren un proce-
so de selección a medida que se propagan lejos de la punta del dedo. El ruido temporal
da lugar a fluctuaciones laterales no periódicas, a pesar de ésto, también se observó el
proceso de selección como en el caso periódico4. En el trabajo experimental [8], en el que
3Este tipo de ruido se logra poniendo obstáculos o surcos en la celda.
4El proceso de selección se lleva a cabo en la frecuencia de estas oscilaciones laterales. El dedo de Saffman-
11
se introdujo una señal periódica en el gradiente de presión para generar la inestabilidad
lateral, las fluctuaciones obtenidas, al igual que en los estudios numéricos, son de longi-
tud de onda larga y de amplitud pequeña. A frecuencias bajas la frecuencia de respuesta
de las inestabilidades crece conformela frecuencia incidente crece. A frecuencias altas
la respuesta del sistema es casi independiente de la frecuencia incidente. Los resultados
del estudio experimental coinciden en buena medida con los resultados observados en el
trabajo numérico. Ninguno de los dos trabajos mencionados, reporta un incremento sig-
nificativo en el ancho del dedo de Saffman-Taylor.
Recientemente se realizó un estudio numérico [7] que impone una señal asimétrica en el
gradiente de presión con la forma de una función escalón, que mantiene fija la frecuencia
incidente y modifica el grado de asimetŕıa de la señal. La asimetŕıa temporal en la señal
incidente permite obtener un aumento significativo en el ancho del dedo conforme el grado
de asimetŕıa crece.
Los resultados obtenidos en el trabajo con funciones asimétricas, sientan las bases para
el presente estudio numérico, en el que se explora el sistema variando tanto la frecuencia
incidente como el grado de asimetŕıa de la señal. La forma del gradiente de presión inci-
dente es también una función escalón. El trabajo se realiza mediante el uso de un modelo
de campo.
Para explicar en detalle el problema de Saffman-Taylor, en el segundo caṕıtulo se habla
acerca de los dedos viscosos en la sección 2.1, en la sección 2.2 se expone la formulación
Taylor es un amplificador selectivo de ruido.
12
macroscópica y se hace patente el problema de fronteras libres, en la sección 2.3 se ha-
bla brevemente del análisis de estabilidad lineal que muestra el origen f́ısico de los dedos
viscosos. En la sección 2.4 se hace una breve introducción a los modelos mesoscópicos.
Finalmente, en la seccion 2.5 se hace un recuento de algunos resultados de las inestabili-
dades laterales que se han obtenido con anterioridad.
El tercer caṕıtulo expone el modelo de campo que se utilizó en este trabajo para anali-
zar la respuesta de un dedo de Saffman-Taylor ante un gradiente de presión oscilatorio y
asimétrico.
En el cuarto caṕıtulo se exponen los resultados de la integración numérica del modelo
mesoscópico. La presentación de los resultados se divide en dos, en la sección 4.1 se hace
un análisis de frecuencias en las dos coordenadas de estudio ωo y T1. En la sección 4.2 se
analizan los anchos promedio del dedo debidos a las inestabilidades laterales.
Finalmente en el quinto caṕıtulo se exponen las conclusiones de este trabajo.
13
2
ANTECEDENTES
2.1. Dedos viscosos
Los dedos viscosos son estructuras que se forman cuando un par de fluidos inmiscibles
y de viscosidades diferentes son puestos en movimiento en una celda de Hele-Shaw. La
celda es un canal cuasibidimensional formado por un par de placas paralelas de largo L y
ancho W separadas entre śı por un espacio b. El espacio de separación b es mucho menor
que sus dimensiones L y W (fig.2.1).
Figura 2.1: Esquema de la celda de Hele-Shaw.
Para generar la inestabilidad deseada, el fluido viscoso A debe ser desplazado por el
fluido poco viscoso B. La dirección del flujo está indicada por la flecha en el plano de la
cara superior de la celda de Hele-Shaw.
14
La celda se llena con un fluido viscoso, el cual se desplaza con un fluido de menor visco-
sidad. La interfase plana fluido-fluido es inestable. Esto significa que pequeñas perturba-
ciones crecen en el tiempo sin que la tensión superficial sea suficiente para restablecer la
forma plana. Los modos1 que componen a la interfase perturbada compiten entre śı (fig.
2.2a). El fluido poco viscoso penetra al fluido viscoso y se forman varios dedos viscosos,
que también compiten entre śı (fig. 2.2b). La etapa de competencia entre dedos finaliza
cuando un solo dedo alcanza el estado estacionario. Éste se llama dedo de Safman-Taylor.
Está caracterizado por tener una velocidad en la punta U y un ancho de dedo λW cons-
tantes (fig. 2.2c). λ es una fracción del ancho del canal W .
(a) Competencia de modos. (b) Competencia de dedos.
(c) Dedo en estado estacionario.
Figura 2.2: Etapas de formación del dedo de Saffman-Taylor. Tomada de [5]
1El modo, se refiere en este texto a la longitud de onda de las perturbaciones que desestabilizan a la
interfase.
15
2.2. Formulación macroscópica
El fenómeno de los dedos viscosos se puede estudiar utilizando la formulación macroscópi-
ca mediante las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan la dinámica de los fluidos. A
continuación se plantean las ecuaciones de Navier-Stokes para el problema de dedos vis-
cosos en una celda de Hele-Shaw. Debido a la geometŕıa cuasi-bidimensional del problema
se acostumbra promediar las ecuaciones resultantes en la sección transversal a la dirección
del flujo.
La ecuación de la hidrodinámica para el balance de momento de un fluido viscoso bajo el
régimen de flujo laminar en estado estacionario se puede escribir como
dp
dx
= η
d2vx
dz2
, (2.1)
en donde p es la presión, η la viscosidad y vx es la velocidad del flujo en dirección x que
depende únicamente de la coordenada z, perpendicular a las placas. Para resolver esta
ecuación se establecen dos condiciones de frontera en las paredes de la celda.
vx(z = 0) = 0
vx(z = b) = 0.
La ecuación resultante es conocida como el perfil de Poiseuille
vx(z) =
1
η
dp
dz
z
(
z
2
− b
2
)
.
Si promediamos el perfil en el área de la sección transversal se obtiene
16
〈vx〉 =
∫ b
0
vx(z)dz = −
b2
12η
dp
dx
.
Este resultado podŕıa obtenerse para cualquier dirección arbitraria de flujo en el plano xy
por lo que podemos escribir
〈~v〉 = −K∇p, (2.2)
en donde K = b
2
12η
. Este término es conocido como permeabilidad del sistema y es una
medida de la facilidad con la que pueden desplazarse los fluidos en la celda. La ecuación 2.2
es conocida como la Ley de Darcy que establece que la velocidad del flujo es proporcional
al gradiente de presión. Si el fluido en cuestión es incompresible la ecuación de continuidad
es
∇ · ~v = 0. (2.3)
Si el lado izquierdo de la ecuación 2.3 se promedia en la dirección z, tenemos,
〈∇ · ~v〉 = 1
b
∫ b
0
∇ · ~vdz = ∂
∂x
[
1
b
∫ b
0
vx(z)dz
]
+ ∂
∂y
[
1
b
∫ b
0
vy(z)dz
]
= ∂〈vx〉
∂x
+ ∂〈vy〉
∂y
= ∇ · 〈~v〉
(2.4)
Por lo que la ecuación 2.3 promediada en la dirección z es
∇ · 〈~v〉 = 0 (2.5)
De las ecuaciones 2.2 y 2.5 se puede obtener fácilmente la ecuación de Laplace para la
presión. Esta ecuación gobierna la dinámica en el seno de cada una de las fases
17
∇2p = 0. (2.6)
Para completar el sistema de ecuaciones hay que considerar las condiciones de frontera
entre los fluidos. La primera es una condición de equilibrio termodinámico local,
∆p = −γκ, (2.7)
en donde γ es la tensión interfacial fluido-fluido y κ es la curvatura local de la interfase,
∆p = p2 − p1 es la cáıda de presión en la interfase. La segunda es una condición de
continuidad, ésta se establece igualando las velocidades normales a la interfase
~v1 · n̂|int = ~v2 · n̂|int = vn (2.8)
en donde v1 y v2 son las velocidades de los fluidos en la interfase, n̂|int es el vector unita-
rio normal a la interfase y vn es la velocidad de la ĺınea matemática que forma la interfase.
La formación de los dedos de Saffman-Taylor ocurre en un régimen de alto contraste de
viscosidades, esto ocurre cuando η2 >> η1; donde el fluido 1 (poco viscoso), desplaza al
fluido 2 (viscoso). En este régimen la ecuación 2.2 para el fluido 1 es ∇p1 = 0, esto nos
dice que en cualquier punto de la región ocupada por el fluido poco viscoso la presión
será la misma. La ecuación 2.8 se reduce en este caso a
v2 · n̂|int = vn (2.9)
Por lo que las ecuaciones que gobiernan la dinámica del fluido viscoso son 2.6, 2.7 y 2.9.
18
2.2.1. Problema de fronteras libres
En la sección anterior se planteó el problema de los dedos viscosos en una celda de Hele-
Shaw utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes. Para conocer la forma de los dedos
viscosos se debe conocer la dinámica de la interfase fluido-fluido. Para esto,se debe re-
solver la ecuación 2.6, que gobierna la dinámica de bulto del fluido viscoso sujeta a las
condiciones de frontera 2.7 y 2.9. La condición de frontera de equilibrio termodinámico
local (2.7) está escrita en términos de la curvatura de la interfase, esto supone conocer la
forma de la interfase para poder establecer la condición de frontera que es necesaria para
determinar la posición de la misma. Esto es conocido como problema de fronteras libres.
Esta es la razón por la cual, la posición de la interfase no puede ser conocida a cualquier
tiempo de manera anaĺıtica.
2.3. Análisis de estabilidad lineal
La dinámica de la interfase a tiempos cortos se puede conocer haciendo un análisis de
estabilidad lineal. En este análisis la forma inicial de la interfase es conocida y a partir de
ésta se puede seguir la interfase a lo largo del tiempo.
Este análisis fue hecho por primera vez por Mullins y Sekerka [11]. Como resultado del
mismo se obtiene la relación de dispersión.
La relación de dispersión es una ecuación que relaciona la rapidez de crecimiento de una
perturbación con su longitud de onda. Uno puede perturbar la interfase plana con un
coseno de modo que la interfase a tiempos cortos tenga la siguiente forma
19
y(t) = y0 + δ0e
ωtcos(kx),
en donde δ0e
ωt es la amplitud del coseno y k es el número de onda. Si ω tiene signo
positivo la amplitud crecerá. Por el contrario, si es de signo negativo la amplitud de la
perturbación decrecerá conforme pasa el tiempo. Para obtener la relación de dispersión
se resuelven las ecuaciones de movimiento para una interfase plana. Después se introduce
la perturbación y se escriben las condiciones de frontera para la interfase perturbada. Al
hacer esto se obtiene un sistema de ecuaciones que al resolverse da como resultado la
relación de dispersión.
Para el caso de una interfase formada por un par de fluidos inmiscibles con alto contraste
de viscosidades la relación de dispersión tiene la siguiente forma:
ω(k) = v0k −
b2
12η
γk3 (2.10)
En la ecuación 2.10 se puede observar que existen efectos que compiten. La velocidad
tiene un efecto de desestabilización, mientras que la tensión interfacial uno de estabilizar
a la interfase.
20
 0
ω
(k
)
k
kmax kn
ωmax
Figura 2.3: Relación de dispersión.
En la figura 2.3 se presenta una gráfica t́ıpica de la relación de dispersión. Donde kmax =
√
4voη
γb2
es el modo que crece más rápidamente; kn =
√
12voη
γb2
es el modo de estabilidad
neutra, a la derecha de este valor se puede observar que ω(k) es negativa y a la izquierda
de kn, ω(k) es positiva. De esta manera, dadas la velocidad, la tensión interfacial, la
viscosidad y las dimensiones de la celda, se puede conocer la razón de crecimiento para
cualquier número de onda k. A saber, existen tres posibles respuestas del sistema:
a. Caso de estabilidad neutra, para el que la perturbación inicial es constante en el
tiempo.
b. Modo inestable, con k < kn, para el que la amplitud del modo crece en el tiempo.
c. Modo estable, con k > kn, para el que la amplitud del modo decrece en el tiempo.
A continuación presentamos la gráfica (fig. 2.4) en donde se muestra cómo al variar la
velocidad y la tensión interfacial, se puede variar la zona de modos estables e inestables.
21
 0
ω
(k
)
k
Figura 2.4: Diferentes curvas para la relación de dispersión.
En esta gráfica se varian parámetros de velocidad y de tensión interfacial. La curva con
la ĺınea continua es la referencia ω(k) = vok − b
2γ
12η
k3. La curva con ćırculos tiene vo
mayor que la referencia, por otro lado la curva con triángulos invertidos tiene b
2γ
12η
mayor
que la curva de referencia.
2.4. Modelos mesoscópicos
Los modelos mesoscópicos han surgido como una alternativa al problema de fronteras li-
bres. En la formulación macroscópica la interfase fluido-fluido es concebida como un ĺımite
infinitamente pequeño. Los modelos mesoscópicos definen a la interfase como una región
continua definida por un parámetro de orden. El parámetro de orden es una cantidad que
vaŕıa continuamente en el espacio con dos valores bien definidos para los bultos de las
fases y la transición entre una fase y otra es suave en el espacio.
La ecuación de movimiento del modelo mesoscópico se escribe a partir de un funcional de
enerǵıa libre para el parámetro de orden. En general, esta ecuación está acoplada a un
potencial dinámico y de ah́ı se obtienen un par de ecuaciones diferenciales que se pueden
integrar en el tiempo. Esta ecuación se conoce como ecuación de Ginzburg-Landau de-
pendiente del tiempo.
22
En la literatura existe un modelo mesoscópico para el desplazamiento de fluidos con vis-
cosidades arbitrarias [12, 13] y un modelo espećıficamente desarrollado para el régimen
de alto contraste de viscosidades [14]. Éste último consiste en una ecuación diferencial
escrita para un parámetro de orden, con una condición de frontera para el parámetro de
orden que mantiene al sistema fuera de equilibrio.
Para validar el modelo se hace un desarrollo asintótico en el ĺımite cuando ǫ tiende a
cero. De este desarrollo se obtienen identificaciones entre los parámetros mesoscópicos y
los macroscópicos.
2.5. Inestabilidades laterales de los dedos viscosos
Los dedos de Saffman-Taylor presentan inestabilidades laterales si se altera al sistema con
perturbaciones estáticas o dinámicas. Las perturbaciones estáticas son aquellas intŕınsecas
al canal de flujo como surcos, obstáculos o algún tipo de patrón o grabado en las paredes
de la celda de Hele-Shaw. Las perturbaciones dinámicas son aquellas que vaŕıan en el
tiempo, por ejemplo, un gradiente de presión dependiente del tiempo. Estas inestabilida-
des laterales han sido analizadas numérica [6] y experimentalmente [8]. La concordancia
de los resultados ha validado el modelo de campo utilizado en los estudios numéricos.
Para describir de una mejor manera los resultados tanto numéricos como experimentales
hablaremos de dos cantidades con unidades de frecuencia, que son caracteŕısticas del
dedo de Saffman-Taylor en estado estacionario. La primera de ellas está determinada por
23
la velocidad lejos de la punta del dedo y el ancho del canal,
ν∞ =
V∞
W
,
la segunda de ellas está definida como
νdedo =
U
λW
=
V∞
λ2W
,
en donde U es la velocidad en la punta del dedo y λW es el ancho del dedo. La segunda
igualdad se obtiene por conservación de masa ya que λU = V∞.
Al variar el gradiente de presión se generan inestabilidades laterales, entonces λ deja de
tener un valor constante en el tiempo. En este caso, no se puede hablar de un solo valor
de νdedo sino de un rango de valores para la frecuencia caracteŕıstica del dedo.
2.5.1. Perturbaciones temporales variando la frecuencia incidente, estudios
numéricos
Las perturbaciones temporales que se han estudiado en trabajos numéricos [6, 15] susti-
tuyen el gradiente de presión constante por uno que vaŕıa en el tiempo.
El primer estudio numérico [15] propone un gradiente de presión de la forma p(t) =
po + δcos(ωt) que oscila alrededor de po. En éste se hizo un barrido en la frecuencia inci-
dente para la condición de frontera en el parámetro de orden. Las inestabilidades laterales
24
se midieron cerca y lejos de la punta del dedo. En (fig.2.5a) se muestra la variación de la
condición de frontera para el parámetro de orden como función del tiempo y en (fig. 2.5b)
se muestra el dedo de Saffman-Taylor con las inestabilidades laterales generadas por la
variación de φB(t).
-0.6
φ B
(t
)
t
(a) Condición de frontera oscilatoria para
el parámetro de orden.
x
y
(b) Inestabilidades laterales en el dedo
viscoso.
Figura 2.5: Condición dinámica de frontera y dedo con inestabilidades laterales.
Al analizar las inestabilidades laterales cerca de la punta del dedo se observa que tienen
una frecuencia de respuesta ωL1 igual a lafrecuencia incidente ωo (fig. 2.6).
25
Figura 2.6: Frecuencia de respuesta cerca de la punta del dedo. Tomada de [15]
La frecuencia de respuesta en la zona cercana a la punta es igual a la frecuencia
incidente. La ĺınea continua en la gráfica tiene pendiente m = 1. Los valores obtenidos
de la integración numérica se muestran con ćırculos abiertos.
El análisis de la frecuencia de respuesta medida lejos de la punta del dedo ωL2, muestra
que existen tres zonas claramente diferenciables (fig. 2.7). La primera es la zona lineal
en donde ωL2 = ωo, la segunda es llamada zona de transición, en donde la frecuencia
de respuesta es la mitad de la frecuencia incidente, ωL2 =
1
2
ωo y la tercera es la zona
de selección. En ésta última, la frecuencia de respuesta es independiente de la frecuen-
cia incidente. Cada una de las zonas tiene un rango de frecuencias incidentes bien definido.
También se analizó el ancho promedio del dedo, λL1 , medido cerca de la punta y el ancho
promedio del dedo, λL2 , medido lejos de la punta como función de la frecuencia incidente.
Las variaciones en ambos casos respecto al valor del ancho del dedo en estado estacionario,
son tan pequeñas, que no se puede distinguir si son debidas al efecto de la frecuencia o a
la precisión del método numérico [15].
26
(a) ωL2 en todo el barrido de frecuencias.
(b) Detalle de las zonas lineal y de transi-
ción.
Figura 2.7: Análisis de frecuencia de ωL2 . Tomada de [15]
(a) La respuesta del sistema medida lejos de la punta del dedo depende de la frecuencia
incidente. A bajas frecuencias el sistema responde con la misma frecuencia de la señal
incidente, conforme la frecuencia aumenta, la respuesta del sistema decae a la mitad de
la frecuencia incidente, finalmente hay una zona donde la frecuencia de respuesta es
independiente de la frecuencia incidente, a ésta última se le llama frecuencia de selección.
(b) Para mostrar que en la zona de transición la frecuencia de respuesta es la mitad de
la frecuencia incidente se grafica con cruces el doble de la frecuencia de respuesta en esta
zona y se observa que en todos los casos cae en la ĺınea continua con pendiente m = 1.
En ambas gráficas se marcan con un triángulo y un cuadrado en negro las frecuencias
caracteŕısticas ω∞ y ωdedo respectivamente sobre el eje de las abscisas. En el eje de las
ordenadas el valor de la frecuencia de selección está indicado por un ćırculo negro.
2.5.2. Perturbaciones temporales variando la frecuencia incidente, estudios
experimentales
Los estudios experimentales fueron realizados en una celda de Hele-Shaw variando la
frecuencia de un gradiente de presión oscilatorio en el tiempo. El experimento consiste
en llenar la celda con aceite para posteriormente desplazarlo con aire. La variación del
27
gradiente de presión fue creada mediante una bomba2 diseñada para producir una señal
periódica (fig. 2.8).
Figura 2.8: Gradientes de presión experimentales. Tomada de [8]
En la gráfica de abajo se muestra la señal de presión de aire a la entrada de la celda. La
señal de la presión es periódica que se aproxima a una señal sinusoidal. La gráfica de en
medio muestra la presión a la salida de la celda, se puede ver que esta señal también es
periódica. La gráfica de arriba muestra la señal a la salida de la celda en un rango de
tiempo mayor.
Al igual que en los estudios hechos con el modelo de campo, se hizo un análisis de fre-
cuencia (fig. 2.9). Los resultados muestran dos zonas de respuesta. A bajas frecuencias
incidentes, la frecuencia de respuesta aumenta monótonamente conforme aumenta la fre-
cuencia incidente. A diferencia de los resultados en los estudios numéricos únicamente a
muy bajas frecuencias incidentes, νin, la frecuencia de respuesta, νout, el igual a νin. Con-
forme νin crece la frecuencia de respuesta se desv́ıa de una respuesta lineal y la pendiente
2La bomba consiste en un pistón cuya frecuencia se puede ajustar en el rango 0-1 Hz.
28
Figura 2.9: Análisis de frecuencia. Tomada de [8]
Las dos ĺıneas punteadas se grafican como referencia y corresponden a νout = νin y
νout =
1
2
νin. Los valores en barras grises corresponden al rango de frecuencias
caracteŕısticas del dedo ∆νfing y las dos ĺıneas grises corresponden a ν∞.
de la frecuencia de respuesta decae monótonamente. Para frecuencias incidentes mayores
al rango de valores de la frecuencia caracteŕıstica del dedo, la frecuencia de respuesta es
prácticamente independiente de νin.(fig. 2.9), lo que indica que experimentalmente tam-
bién se encuentra una zona de selección.
El ancho promedio del dedo también se estudió como función de la frecuencia incidente
del gradiente de presión, νin. Se calculó el ancho promedio del dedo λ para cada frecuencia
incidente aśı como su desviación estándar δλ (fig. 2.10). Se observó que tanto λ como δλ
tienen una relación no monótona como función de νin. La desviación estándar presenta
un máximo en νin = ν∞. En la zona de selección (νin > νfing) la desviación estándar es
pequeña y se acerca a una constante conforme la frecuencia incidente crece (fig. 2.10).
29
Figura 2.10: Análisis del ancho promedio del dedo. Tomada de [8]
En la gráfica de arriba los puntos marcados con los śımbolos en ▽ y © son los valores
máximos y mı́nimos del ancho del dedo respectivamente, los cuadrados sólidos indican el
valor promedio del ancho del dedo. ν∞ y ∆νfing se colocaron como referencia. En la
gráfica de abajo se muestran las fluctuaciones del ancho del dedo. En la zona de bajas
frecuencias (νin < νfing) las fluctuaciones tienen un comportamiento no monótono con
un máximo alrededor de ν∞. En la zona de selección las fluctuaciones son pequeñas y
casi independientes de la frecuencia incidente.
2.5.3. Perturbaciones temporales variando el grado de asimetŕıa, estudios
numéricos
Un segundo estudio numérico [7] propone un gradiente de presión periódico con forma
de una función escalón. Dicha función es asimétrica y su valor oscila alrededor de un
valor promedio, que es el mismo que para la perturbación cosenoidal. En este trabajo la
frecuencia se fijó en ω = 0.01 y se modificó el parámetro del grado de asimetŕıa3.
Es sabido que las asimetŕıas exaltan las no linealidades de las ecuaciones. Nuestro pro-
blema contiene no linealidades de una forma que no es evidente a primera vista de las
3El parámetro del grado de asimetŕıa, es el tiempo que la función pasa por encima del valor promedio. A
este valor se le denomina T1. Cuando
T1
TT otal
= 0.5 la señal es simétrica.
30
ecuaciones de la formulación macroscópica. Para el estado estacionario, las ecuaciones
de la formulación macroscópica, pueden ser transformadas mediante técnicas de mapeo
conforme a dos ecuaciones integrodiferenciales, no lineales, acopladas, para la forma del
dedo y la velocidad del mismo. La solución de estas ecuaciones establece una relación no
lineal entre el ancho del dedo y la velocidad lejos de la punta, en el bulto del fluido viscoso
[7]. Dado que la velocidad en el bulto del fluido viscoso es directamente proporcional al
gradiente de presión, se puede concluir que existe una relación no lineal entre el ancho del
dedo y el gradiente de presión que mueve al sistema.
Al introducir una función asimétrica de φB(t) como condición dinámica de frontera, se
espera que la respuesta en las inestabilidades laterales sea diferente a aquella de cuando
se impone una forma simétrica de φB(t) como condición de frontera.
El rango de variación del parámetro de asimetŕıa, T1, está limitado por la estabilidad
numérica del modelo4. Para que el valor promedio de la función escalón se mantenga, el
área bajo la curva por encima del valor promedio de φB, A = T1φB1, debe ser igual al
área por debajo del mismo A = T ′1φB2 (fig. 2.11). El periodo T = T1 + T
′
1 se mantiene
constante. El valor de φB1 se mantiene constante para toda T1por lo que φB2 depende de
T1 como φB2 =
T1
T−T1
φB1.
4Para que la integración numérica sea estable el parámetro de orden en la frontera debe mantenerse en el
siguiente rango −0.5 ≥ φB(t) ≥ −1.
31
-0.6
φ B
(t
)
 
 
φB1
φB2(T1)
φB2(T’1)
T1 T’1 T
t
 
T1 T’1
Figura 2.11: Condiciones dinámicas de frontera asimétricas.
El periodo T tanto en la ĺınea punteada como en la ĺınea continua es el mismo. La ĺınea
continua tiene un periodo T1 menor que la ĺınea punteada T
′
1.
Las frecuencias de la inestabilidad lateral medidas en la zona cercana ωL1 y lejana ωL2 a
la punta del dedo fueron analizadas variando el parámetro del grado de asimetŕıa, T1.
En el análisis de frecuencias se utilizó la transformada de Fourier del ancho del dedo como
función del tiempo para encontrar la frecuencia de respuesta dominante para cada valor
de T1. Se encontró que en la zona cercana a la punta del dedo, la frecuencia de respuesta
del sistema es igual a la frecuencia incidente para fracciones T1
TTotal
menores de 0.5538 (fig.
2.12). Para este valor existe una biestabilidad de frecuencias, esto sucede cuando la magni-
tud de los picos encontrados en el dominio de Fourier tienen prácticamente el mismo valor.
La frecuencia de respuesta es igual a la frecuencia incidente para valores pequeños de T1,
para valores grandes de T1 la frecuencia de respuesta es mucho menor. Lejos de la punta
del dedo la frecuencia de respuesta es casi independiente a T1 (fig. 2.12)
32
 0.002
 0.003
 0.004
 0.005
 0.006
 0.007
 0.008
 0.009
 0.01
 0.011
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
ω
λ
T1/Ttotal
L300
L40
ωsys
Figura 2.12: Frecuencias de respuesta vs T1
TTotal
Tomada de [7]
La ĺınea constante ωλ1 = 0.003 es la frecuencia caracteŕıstica del sistema lejos de la
punta del dedo, ω∞. Los cuadros son las frecuencias de respuesta de la inestabilidad
lateral lejos de la punta del dedo y los valores en ćırculos son las frecuencias de
respuesta medidos cerca de la punta del dedo.
33
El resultado más importante de este trabajo fue el obtenido para el ancho promedio del
dedo tanto cerca de la punta del dedo λL1 como lejos de la misma λL2. En ambos casos
se observó que el ancho promedio del dedo crece conforme T1 crece. El ancho promedio
máximo fue de 4.1 % por encima del ancho obtenido con la señal simétrica y de 4.6 %
mayor que el ancho del dedo estacionario (fig. 2.13).
 0.52
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
λ
T1/TTotal
λL1 λL2
Figura 2.13: Ancho del dedo promedio v.s. T1
TTotal
. Tomada de [7]
El ancho promedio en el cuerpo del dedo λL2 en todos los casos es más grande que en la
zona cercana a la punta del dedo λL1 . El ancho promedio máximo se obtiene para el
valor más alto de T1 explorado. La ĺınea continua es el valor del ancho del estado
estacionario. La ĺınea punteada indica el valor del ancho promedio del dedo obtenido con
la perturbación simétrica cosenoidal.
34
3
MODELO MESOSCÓPICO
El modelo de campo que se utilizó en este trabajo está compuesto por una ecuación de
movimiento escrita para un parámetro de orden, φ, conocida como Modelo B según la
clasificación de Halperin y Hohenberg [16], más una condición dinámica que mantiene al
sistema fuera de equilibrio y en un estado no estacionario. La ecuación que gobierna la
dinámica de la interfase es:
∂φ
∂t
= ∇ · M∇µ(φ) (3.1)
en donde M es un parámetro relacionado con la permeabilidad del sistema y µ(φ) es el
potencial qúımico que tiene la forma:
µ(φ) = µB(φ) − ǫ2∇2φ (3.2)
con
µB(φ) =
1
φ2eq
φ3 − φ. (3.3)
El parámetro ǫ en la ecuación 3.2 está relacionado con el ancho de la interfase. En la
ecuación 3.2 µB(φ) es el potencial qúımico en el bulto de las fases y φeq es el valor de
equilibrio del parámetro de orden.
En equilibrio, una solución a la ecuación 3.1 es la siguiente expresión,
35
φ = φeq tanh
(
y√
2ǫ
)
. (3.4)
Esta expresión da un perfil del parámetro de orden que se muestra en la gráfica (fig.3.1).
En esta ecuación los valores de y = ±∞ corrresponden a los valores de equilibrio en el
bulto de las fases, φ = ±φeq. Para esta solución µ(φ) = 0.
y
Fluido viscoso
Fluido invíscido
φeq
−φeq
0
φ
Figura 3.1: Perfil de equilibrio del parámetro de orden.
El parámetro de orden vaŕıa suavemente entre una fase y otra, la interfase del sistema se
fija arbitrariamente en φ = 0, para toda φ > 0 se tiene el fluido inv́ıscido, de viscosidad
nula, y para toda φ < 0 el fluido viscoso.
La legitimidad del modelo se establece al recuperar las ecuaciones macroscópicas de la
ecuación 3.1, ésto se logra por medio de un desarrollo asintótico en el ĺımite en que ǫ → 0.
Recordemos que este parámetro es proporcional al ancho de la interfase, si éste tiende
a cero, entonces la interfase corresponde a una interfase bien definida. En ese caso la
ecuación de movimiento en la región de transición debe reducirse a las condiciones de
36
frontera macroscópicas en la interfase fluido-fluido ecuaciones 2.7 y 2.9. En las regiones
de bulto de los fluidos, donde φ = ±φeq, la ecuación 3.1 debe reducirse a la ecuación 2.6.
Esto se logra haciendo las siguientes identificaciones entre los parámetros mesoscópicos y
macroscópicos:
p = φeqµ1 (3.5)
K = − M2
2φ2eq
(3.6)
γ =
γ′
2φeq
(3.7)
donde µ1 es el potencial qúımico, M2 es un parámetro proporcional a la permeabilidad
del fluido viscoso y γ′ es un parámetro relacionado con el ancho de la interfase dado por
γ′ =
∫ ∞
−∞
(
∂φo
∂ω
)2
dω,
p es la presión, K es la permeabilidad del sistema y γ es la tensión interfacial entre los
dos fluidos. Es importante apuntar que es en el régimen de alto contraste viscoso donde
se obtienen estos resultados.
La ecuación 3.5 relaciona la presión con el parámetro de orden, φ, mediante el potencial
qúımico, µ(φ). De esta relación se puede concluir que imponer una condición de frontera
que tenga variaciones espaciales en el parámetro de orden, lo cual implica un gradiente
en el potencial qúımico, equivale a imponer un gradiente de presión.
37
Para introducir la dinámica al sistema se establece una condición de frontera al fijar el
valor del parámetro de orden en el bulto del fluido viscoso
φ = φB(t); (x, y) ∈ B (3.8)
en donde la región B corresponde a la región de bulto del fluido viscoso.
La integración numérica de la ecuación 3.1 se lleva a cabo partiendo de una configuración
de φ que describe una interfase perturbada en un sistema de dimensiones nx × ny. La
condición inicial se impone conforme las siguientes ecuaciones:
φ = φeq si





1 ≤ x ≤ nx,
yp ≤ y ≤ ny
φ =
φBo+φeq
y∗p−yp−∆y
(y − yp + 1) − φeq si





1 ≤ x ≤ nx,
y∗p − ∆y − 1 ≤ y ≤ yp − 1
φ = φBo si





1 ≤ x ≤ nx,
1 ≤ y ≤ y∗p − ∆y − 1
(3.9)
38
donde y∗P es la posición más avanzada de la interfase perturbada, φBo es el valor del
parámetro de orden en el seno de la fase viscosa que mantiene al sistema fuera de equilibrio.
∆y es una distancia arbitraria, a partir de la cual se impone el valor φBo . Esta condición
inicial, define el campo del parámetro de orden con dos fases, una positiva, correspondiente
al fluido inv́ıscido y otra negativa, que corresponde al fluido viscoso.
 
 y 
yp
*
x
B
yp
*
-∆y
φ = φB
Figura 3.2: Configuración inicial.
La ĺınea curva corresponde a la interfase incial perturbada, yp, la ĺınea punteada
corresponde a la posición más avanzada de la interfase, y∗p. La ĺınea recta continua,
y∗p − ∆y, marca el ĺımite donde el parámetro de orden toma un valor constante φ = φB,
que es toda la región a la izquierda de esa ĺınea, en este trabajo la denominamos región
B.
A lo largo de la integración, se determina la posición de la interfase, se encuentra el punto
más avanzado de la misma y∗kP , se redefine la región B y el valor del parámetro de orden
en esta región.Se avanza un paso de tiempo en la integración y se calcula y∗k+1P . Confor-
me la interfase avanza, la región B también se desplaza, manteniendo el sistema fuera de
equilibrio.
39
Para imponer un gradiente dinámico en el modelo, la condición dinámica de frontera
debe contener un término constante para llegar a la formación de un dedo en estado
estacionario, una vez logrado dicho estado, se le superpone una dinámica a través de una
dependencia temporal h(t). La condición dinámica de frontera se impone en la región B
como sigue:
φB(t) =





φBo si t ≤ tee
φBo + h(t) si t > tee
(3.10)
en donde tee es el tiempo al cual el dedo ha alcanzado el estado estacionario
40
4
RESULTADOS
En este caṕıtulo se presentan los resultados obtenidos en este trabajo, producto de inte-
graciones numéricas del Modelo B con condiciones dinámicas de frontera en el parámetro
de orden. Las condiciones de frontera fueron establecidas como consecuencia de los resul-
tados de los trabajos expuestos en la sección 2.5.3. La forma de la condición de frontera
dependiente del tiempo φB(t) es la función escalón utilizada en [7]. En este trabajo además
de variar el parámetro del grado de asimetŕıa T1
TTotal
, se hizo un barrido en la frecuencia
incidente ωo.
Para seguir la evolución de las inestabilidades estudiadas se midió el ancho del dedo como
función del tiempo a dos distancias de la punta. La distancia L1 cerca de la punta se
fijó en cuarenta unidades de red, ya que ésta es la menor distancia a la que se puede
medir el ancho sin tener efectos de la curvatura de la punta del dedo. La distancia L2,
lejos de la punta, se fijó en trescientas unidades de red donde el periodo de la inestabilidad
lateral hubo alcanzado un valor constante. El ancho del dedo, λW , se reporta como una
fracción del ancho del canal W . Al medir el ancho del dedo como función del tiempo a
las distancias L1 y L2 se obtuvieron dos señales de respuesta del sistema λL1(t), λL2(t).
El estudio de la inestabilidad lateral se hizo mediante estas señales.
41
Se encontró que la saturación en frecuencia de la inestabilidad lateral depende de las ca-
racteŕısticas de la condidion dinámica de frontera ωo y
T1
TTotal
.
Los resultados de la frecuencia de respuesta del sistema se presentan en la sección 4.1, los
resultados del ancho promedio del dedo se presentan en la sección 4.2 que se divide en
la respuesta del ancho promedio como función de la frecuencia incidente en 4.2.1 y como
función del parámetro del grado de asimetŕıa en la sección 4.2.2
4.1. Análisis de frecuencia de las inestabilidades laterales
En esta sección se analiza cómo cambia la frecuencia de respuesta de las oscilaciones la-
terales en las dos coordenadas de estudio; como función de la frecuencia y del grado de
asimetŕıa de la señal incidente.
Para cada par (ωo,
T1
TTotal
) en la condición dinámica de frontera el sistema responde con
periodos y amplitudes distintos en la señal del ancho del dedo λ(t). La oscilación lateral
del dedo está compuesta de varias frecuencias. Con el fin de estudiar las frecuencias de
respuesta, la señal temporal del ancho del dedo se pasó al dominio de frecuencias median-
te la transformada de Fourier. Una vez en el dominio de frecuencias es muy fácil saber
qué frecuencias participan en λ(t) y cuál es la frecuencia de respuesta dominante1. En
aquellos casos donde la señal tiene una frecuencia de respuesta dominante evidente, ésta
fue calculada con el inverso del periodo de la oscilación lateral. En el apéndice A se mues-
tra en detalle cómo se escogen las frecuencias de respuesta dominantes en este trabajo.
1En el dominio de Fourier la señal transformada presenta una serie de picos en los valores de las frecuencias
que componen la señal temporal.
42
El análisis presentado se divide en dos zonas, primero se presentan las frecuencias de res-
puesta dominantes medidas lejos de la punta del dedo y posteriormente las medidas cerca
de la punta del dedo.
a. Zona lejana a la punta del dedo
 
 0.4
 0.45
 0.5
 0.55
 0.6
 0.65
 0.7
 0.75
 0.8
T1/TTotal
 0 0.01
 0.02 0.03
 0.04 0.05
 0.06 0.07
ω
o
 0
 0.001
 0.002
 0.003
 0.004
 0.005
 0.006
 0.007
ωL2
Figura 4.1: Frecuencia de respuesta medida lejos de la punta del dedo, ωL2, como función
del parámetro del grado de asimetŕıa, T1
TTotal
, y de la frecuencia incidente en la condición
dinámica de frontera ωo.
La figura 4.1 presenta el comportamiento global de la frecuencia de respuesta do-
minante del sistema medida lejos de la punta del dedo como función de los dos
parámetros que se vaŕıan en este trabajo. En la gráfica se puede apreciar que a
bajas frecuencias incidentes, ωo, la frecuencia de respuesta del sistema, ωL2 , crece
43
linealmente con la frecuencia incidente, ωo, y que a altas frecuencias incidentes, ωo,
la frecuencia de respuesta, ωL2, es prácticamente independiente de la frecuencia inci-
dente. Por otro lado, puede observarse que este comportamiento es cualitativamente
el mismo para casi todos los valores estudiados del parámetro del grado de asimetŕıa.
Se hizo un análisis de frecuencia en la zona lejana a la punta, que se basa en las fre-
cuencias dominantes como función de ωo y
T1
TTotal
. En la gráfica (fig. 4.2) se muestra
la frecuencia de respuesta del sistema como función de la frecuencia incidente para
los diferentes valores del parámetro del grado de asimetŕıa. Se encontró que al igual
que en [6], lejos de la punta del dedo existen tres zonas de respuesta del sistema bien
definidas, la zona lineal, la zona de transición y la zona de selección. Además, los do-
minios de las tres zonas prácticamente no cambian con los distintos valores de T1
TTotal
.
44
 0
 0.002
 0.004
 0.006
 0.008
 0.01
 0.012
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
2
ωo∆ωdedo
∆
ω d
ed
o
T1/Ttotal=0.7830
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4074
m=1
m=0.5
Figura 4.2: Frecuencias de respuesta dominantes, como función de la frecuencia incidente.
Las tres zonas se pueden observar con claridad. La zona de respuesta lineal se ubica en
el rango donde ωL2 = ωo, en la zona de transición ωL2 =
1
2
ωo y la zona de selección se
encuentra a frecuencias mayores que la franja ∆ωdedo.
El análisis de frecuencias en la zona de selección consistió en hacer una distribución
de frecuencias de respuesta, ωL2 , para cada valor de
T1
TTotal
. En la gráfica (fig. 4.3) se
presentan estas distribuciones.
45
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045
f ω
L
2
ωL2
T1/Ttotal=0.4074
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7830
Figura 4.3: Distribución de frecuencias en la zona de selección.
La distribución de frecuencias en esta gráfica está normalizada, fωL2 =
Ni
NTotal
.
La moda de las distinas distribuciones, ωmaxL2 , presenta un máximo cuando no hay
asimetŕıa
(
T1
TTotal
= 0.5
)
y tiende a disminuir conforme T1
TTotal
aumenta, mientras la
dispersión de los datos decrece. Para apreciar mejor esta información se presentan las
tendencias tanto del promedio como de la moda de las distintas distribuciones como
función del parámetro del grado de asimetŕıa. La desviación estándar se calculó, en
cada caso, para saber que tan precisa es la selección de frecuencia (fig. 4.4).
46
 5e-05
 0.0002
 0.00035
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
σ ω
L
2
T1/TTotal
 0.00315
 0.0033
 0.00345
 0.0036
 0.00375
 0.0039
 0.00405
 0.0042
 0.00435
 0.0045
— ω
L
2
ω
m
ax
L
2
—ωL2
ω
maxL2
Figura 4.4: Moda, promedio y desviaciónestándar como función del parámetro que mide
el grado de asimetŕıa, en la zona lejana a la punta del dedo. Arriba comparación de la
moda, ωmaxL2 , y del promedio, ωL2 , como función de
T1
TTotal
en la zona de selección.
Abajo la desviación estándar como función del parámetro del grado de asimetŕıa.
Para el valor más alto del parámetro del grado de asimetŕıa se encontró que existe
una segunda zona de transición en donde la frecuencia de respuesta del sistema es
un tercio de la frecuencia incidente de φB(t) (fig. 4.5). La dos zonas de transición se
pueden explicar mediante argumentos de estabilidad en los que la tensión superficial
tiende a suprimir modos de longitud de onda pequeños.
47
 0
 0.001
 0.002
 0.003
 0.004
 0.005
 0.006
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
2
ωo
T1/TTotal=0.7830
m=1
m=1/2
m=1/3
Figura 4.5: Frecuencia de respuesta con dos zonas de transición.
En esta gráfica se muestra que para cierto valor del grado de asimetŕıa se tiene la zona
de respuesta lineal en donde ωL2 = ωo, dos zonas de transición; la primera con
ωL2 =
1
2
ωo, la segunda con ωL2 =
1
3
ωo y la zona de selección.
En la gráfica (fig.4.6) se muestra la manera en que la inestabilidad lateral se pro-
paga a lo largo del dedo para dar la respuesta lineal ωL2 = ωo en (fig.4.6a), en la
gráfica (fig.4.6b) se presenta la evolución en la primera zona de transición en donde
ωL2 =
1
2
ωo y por último en la gráfica (fig.4.6c) se da cuenta de la segunda zona
de transición ωL2 =
1
3
ωo, esta última gráfica no es tan ilustrativa debido a que el
sistema suprime un modo muy cerca de la punta del dedo, esto no permite ver con
claridad las dos etapas de supresión.
48
 22
 22.5
 23
 23.5
 24
 24.5
 740 760 780 800 820 840 860 880
x
y
(a) Respuesta lineal ωL2 = ω0
 22
 22.5
 23
 23.5
 24
 840 860 880 900 920 940 960 980
x
y
(b) Respuesta de la primera zona de
transición ωL2 =
1
2
ωo
 22
 22.5
 23
 23.5
 24
 840 860 880 900 920 940 960
x
y
(c) Respuesta de la segunda zona de
transición ωL2 =
1
3
ωo
Figura 4.6: Selección de modos para la respuesta con dos zonas de transición.
En todas las gráficas la interfase inicial está marcada en ĺınea punteada mientras que la
interfase final esta marcada con una ĺınea continua más gruesa. Las ĺıneas continuas
delgadas son los pasos intermedios. (a) Respuesta lineal con pendiente m = 1, el sistema
no suprime ninguna de las fluctuaciones que se generan en la punta del dedo.(b) Se
puede observar con claridad como el sistema suprime uno de cada dos modos, juntando
un par de máximos. (c) Respuesta en donde el sistema suprime dos de cada tres
modulaciones, una de las fluctuaciones suprimidas es evidente mientras que la otra no se
puede apreciar con claridad debido a que esta supresión tiene lugar en un máximo de la
inestabilidad lateral. Las flechas indican dónde se suprimen las modulaciones.
49
b. Zona cercana a la punta del dedo.
 0.4
 0.45
 0.5
 0.55
 0.6
 0.65
 0.7
 0.75
 0.8
T1/TTotal
 0 0.01
 0.02 0.03
 0.04 0.05
 0.06 0.07
ω
o
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
ωL1
Figura 4.7: Frecuencia de respuesta medida cerca de la punta del dedo, ωL1, como función
del parámetro del grado de asimetŕıa, T1
TTotal
, y de la frecuencia incidente ωo.
La figura 4.7 presenta el comportamiento global de la frecuencia de respuesta co-
mo función de las dos coordenadas de estudio. Se observa que al igual que en la
frecuencia de respuesta medida lejos de la punta del dedo (figura 4.1), existe una
dependencia lineal con la frecuencia incidente, ωo, a valores bajos de la frecuencia
incidente. Por otro lado para valores del parámetro del grado de asimetŕıa mayores
a 0.5 existe una zona de selección a valores altos de la frecuencia incidente. A valores
bajos del parámetro T1
TTotal
parecen coexistir la respuesta lineal y la zona de selección
para valores altos de la frecuencia incidente.
50
En la zona cercana a la punta del dedo, la frecuencia de respuesta dominante de la
inestabilidad lateral se divide fundamentalmente en respuesta lineal, ωL1 = ωo y en
una zona de selección en donde la frecuencia de respuesta es independiente de la
frecuencia incidente. La gráfica (fig. 4.8) muestra todas las curvas de frecuencia de
respuesta dominantes, ωL1, como función de la señal incidente.
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0.07
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/Ttotal=0.7830
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4074
m=1
m=0.5
Figura 4.8: Frecuencia de respuesta, ωL1, como función de la frecuencia incidente, ωo.
Se presentan todas las frecuencias de respuesta para los distintos valores de T1
TTotal
. En
esta gráfica se pueden apreciar tanto respuesta lineal como la zona de selección.
La respuesta lineal de la inestabilidad lateral tiende a disminuir conforme T1
TTotal
au-
menta. Para mostrar esta tendencia se presentan las gráficas (fig. 4.9) de las curvas
de la frecuencia de respuesta para diferentes valores del parámetro del grado de
asimetŕıa.
51
(a)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.4074
(b)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.4392
(c)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.4774
(d)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.5
(e)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.5156
(f)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.5538
(g)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.5920
(h)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.6302
(i)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.6684
(j)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.7066
(k)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.7448
(l)
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ω
L
1
ωo
T1/TTotal=0.7830
Figura 4.9: Frecuencias de respuesta para diferentes valores del grado de asimetŕıa.
En esta gráfica se observa que la cantidad de frecuencias de respuesta que caen en la
ĺınea recta con pendiente m = 1 disminuye conforme aumenta T1
TTotal
. En la zona de
selección se puede observar que conforme aumenta el valor del parámetro del grado de
asimetŕıa las respuestas que coinciden con los armónicos de la frecuencia de selección
aumentan, además la dispersión de los datos decrece conforme el parámetro del grado de
asimetŕıa aumenta.
52
Para cuantificar la atenuación de la respuesta lineal, con el aumento del parámetro
del grado de asimetŕıa, T1
TTotal
, se hizo una distribución de las frecuencias de respuesta
lineal (fig. 4.10).
 0.1
 0.15
 0.2
 0.25
 0.3
 0.35
 0.4
 0.45
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
N
li
n
ea
le
s/
N
T1/TTotal
Figura 4.10: Distribución de frecuencias de respuesta de la zona lineal v.s. T1
TTotal
.
Los casos de respuesta lineal de ωL1 decrecen conforme
T1
TTotal
aumenta, con un máximo
en T1
TTotal
= 0.4392. Donde Nlineales/N es la relación de el número de casos con respuesta
lineal m = 1 sobre el número de casos totales.
Para comprender el comportamiento de la zonade selección de ωL1 se hizo una
distribución de los valores de frecuencia de respuesta y se obtuvo el promedio para
cada T1
TTotal
para aśı poder determinar con mayor presición el valor de la frecuencia de
selección. La desviación estándar se calculó para conocer la dispersión de los datos.
53
 0
 0.1
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 1
 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 0.0055 0.006
f ω
L
1
ωL1
T1/Ttotal=0.4074
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7830
Figura 4.11: Distribución de frecuencias de respuesta en la zona de selección.
La distribución de frecuencias en esta gráfica está normalizada, fωL1 =
Ni
NTotal
.
En la gráfica (fig.4.11) se aprecia que conforme T1
TTotal
aumenta, la moda de cada dis-
tribución disminuye. Se hizo el promedio numérico de las frecuencias de respuesta
en la zona de selección para cada T1
TTotal
y coincide a grosso modo con la moda de
cada distribución. La desviación estándar presenta un máximo, pero para la mayor
parte de los valores de T1
TTotal
disminuye conforme crece el grado de asimetŕıa y se
mantiene uniforme a partir de T1
TTotal
= 0.5538 (fig. 4.12).
54
 0.0008
 0.0028
 0.0048
 0.0068
 0.0088
 0.0108
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
σ ω
L
1
T1/TTotal
 0.003
 0.0033
 0.0036
 0.0039
 0.0042
 0.0045
 0.0048
 0.0051
 0.0054
 0.0057
 0.006
 0.0063
 0.0066
 0.0069
— ω
L
1
ω
m
ax
L
1
 
—ωL1
ω
maxL1
Figura 4.12: Moda, promedio y desviación estándar como función del parámetro que
mide el grado de asimetŕıa en la zona cercana a la punta del dedo. Arriba se encuentra
la comparación de la moda, ωmaxL1 , y del promedio, ωL1 , como función de
T1
TTotal
en la
zona de selección. Abajo la desviación estándar como función del parámetro del grado
de asimetŕıa.
4.2. Ancho promedio del dedo
Con el fin de tener el valor del ancho promedio del dedo para cada ωo y
T1
TTotal
, se calculó el
promedio temporal de las señales λL1(t) y λL2(t). Estos promedios se reportan como λL1
y λL2 . A continuación se presentan un par de gráficas que describen el comportamiento
global de la inestabilidad lateral del dedo. El ancho promedio del dedo, tanto cerca como
lejos de la punta, se presenta como una fracción del ancho del canal.
La figura 4.13 muestra el ancho promedio del dedo cerca de la punta, λL1 . De la figura se
observa que para cualquier valor de la frecuencia incidente, el ancho promedio del dedo
aumenta conforme el parámetro del grado de asimetŕıa, T1
TTotal
, crece. Por otro lado, para
55
cada valor del parámetro del grado de asimetŕıa, el ancho promedio del dedo a frecuencias
altas es casi independiente de la frecuencia incidente.
 0
 0.01
 0.02
 0.03
 0.04
 0.05
 0.06ωo 0.4
 0.45
 0.5
 0.55
 0.6
 0.65
 0.7
 0.75
 0.8
T1/TTotal
 0.52
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.555
λ L
1
Figura 4.13: λL1(ωo,
T1
TTotal
)
Ancho promedio del dedo como función de la señal incidente y del parámetro del grado
de asimetŕıa medido cerca de la punta del dedo.
La figura 4.14 muestra el ancho promedio del dedo medido lejos de la punta. Éste tiende
a crecer conforme el parámetro del grado de asimetŕıa crece. A frecuencias altas, el ancho
promedio del dedo es casi independiente del valor de la frecuencia incidente, ωo. Se puede
observar que para valores de frecuencia incidente bajos y valores del parámetro del grado
de asimetŕıa altos, existe un comportamiento anómalo del ancho promedio del dedo, en
donde el valor de λL2 es mucho más pequeño que para el resto del espectro de parámetros
estudiado.
56
λ
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
ωo 0.4 0.45
 0.5 0.55
 0.6 0.65
 0.7 0.75
 0.8
T1/TTotal
 0.46
 0.48
 0.5
 0.52
 0.54
 0.56
λ L
2
Figura 4.14: λL2(ω0,
T1
TTotal
)
Ancho promedio del dedo como función de la señal incidente y del parámetro del grado
de asimetŕıa medido en el cuerpo del dedo.
4.2.1. Ancho promedio del dedo como función de la frecuencia incidente
a. Cerca de la punta del dedo
El ancho promedio del dedo λL1 tiene una variación importante en las zonas lineal y
de transición2. Las fluctuaciónes de los valores del ancho promedio están asociadas
al cambio en la condición dinámica de frontera en el parámetro de orden. En la
gráfica (fig. 4.15) se puede observar que al aumentar T1
TTotal
las fluctuaciones en estas
zonas son cada vez mayores. En la zona de selección el ancho promedio del dedo es
2Las zonas mencionadas fueron definidas en el análisis de frecuencias. La delimitación de las zonas está dada
por la respuesta ωL2(ωo).
57
prácticamente independiente de la frecuencia incidente. Además es evidente que el
ancho del dedo crece conforme aumenta el valor del parámetro de asimetŕıa.
 0.52
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.555
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
λ L
1
ωo
T1/Ttotal=0.4074
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7830
Figura 4.15: Ancho promedio, λL1 , como función de la frecuencia incidente, ωo.
El ancho promedio del dedo aumenta conforme aumenta el parámetro del grado de
asimetŕıa T1
TTotal
. Se puede observar con claridad cómo las curvas correspondientes a T1
TTotal
más grande tienen un valor mayor de λL1. La ĺınea continua es el valor del ancho del
dedo en estado estacionario.
b. Zona lejana a la punta del dedo.
La gráfica (fig. 4.16) muestra que al igual que en la zona cercana a la punta, el ancho
promedio medido lejos de la punta del dedo, λL2 , tiene fluctuaciones importantes
tanto en la zona lineal como en la de transición, una vez en la zona de selección se
presentan valores prácticamente constantes de λL2 para los diferentes valores de la
frecuencia incidente. El ancho promedio del dedo crece con el aumento del valor de
T1
TTotal
.
58
 0.45
 0.46
 0.47
 0.48
 0.49
 0.5
 0.51
 0.52
 0.53
 0.54
 0.55
 0.56
 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
λ L
2
ωo
T1/Ttotal=0.4074
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7830
Figura 4.16: Ancho promedio del dedo, λL2 , como función de la frecuencia incidente, ωo.
El ancho promedio del dedo aumenta conforme aumenta el parámetro del grado de
asimetŕıa T1
TTotal
. La ĺınea continua es el valor del ancho del dedo en estado estacionario.
El mı́nimo que se observa en la curva T1
TTotal
= 0.7830 a frecuencias bajas en la gráfica
(fig.4.16) evita que se pueda apreciar el efecto del aumento del parámetro del grado
de asimetŕıa en el ancho promedio del dedo. Con el propósito de percibir dicho efecto
se presenta la gráfica (fig. 4.17) donde sólo se considera la zona de selección.
59
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.555
 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06
λ L
2
ωo
T1/Ttotal=0.4074
T1/Ttotal=0.4392
T1/Ttotal=0.4774
T1/Ttotal = 0.5
T1/Ttotal=0.5156
T1/Ttotal=0.5538
T1/Ttotal=0.5920
T1/Ttotal=0.6302
T1/Ttotal=0.6684
T1/Ttotal=0.7066
T1/Ttotal=0.7448
T1/Ttotal=0.7830
Figura 4.17: Ancho promedio del dedo λL2 como función de la frecuencia incidente ωo en
la zona de selección.
4.2.2. Ancho promedio del dedo como función del parámetro del grado de
asimetŕıa de la señal incidente
El aumento en el ancho promedio del dedo es más significativo cuando vaŕıa el paráme-
tro del grado de asmetŕıa. Los resultados del ancho promedio del dedo se presentan por
separado para altas y bajas frecuencias incidentes3.
En la zona de bajas frecuencias existe un crecimiento en el ancho promedio del dedo
conforme T1
TTotalaumenta. La siguiente gráfica (fig.4.18) presenta la respuesta del ancho
promedio como función del parámetro del grado de asimetŕıa.
3La zona de bajas frecuencias corresponde tanto a la zona de respuesta lineal como a la de transición en
el análisis de la frecuencia de respuesta ωL2 , mientras que la zona de frecuencias altas corresponde a la
de selección.
60
 0.52
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.555
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
λ L
1
T1/Ttotal
ωo=0.001 ωo=0.003 ωo=0.006 ωo=0.005 ωo=0.008 ωo=0.01
(a) λL1 v.s.
T1
TT otal
 0.46
 0.48
 0.5
 0.52
 0.54
 0.56
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
λ L
2
T1/Ttotal
ωo=0.001 ωo=0.003 ωo=0.006 ωo=0.005 ωo=0.008 ωo=0.01
(b) λL2 v.s.
T1
TT otal
Figura 4.18: Ancho promedio del dedo como función de T1
TTotal
a bajas frecuencias.
(a) Se puede observar que, en general, cerca de la punta del dedo, el valor del ancho
promedio crece conforme aumenta T1
TTotal
, excepto para ωo = 0.001. En (b) se presenta el
comportamiento del ancho promedio del dedo en la zona lejana a la punta, λL2 . En esta
zona también hay un aumento de λL2 conforme
T1
TTotal
crece y existe un máximo absoluto
para el ancho que corresponde al valor de ωo = 0.001 y
T1
TTotal
= 0.7448. La ĺınea continua
señala el valor del ancho del dedo en estado estacionario.
En la zona de frecuencias altas existe una relación de crecimiento tanto en λL1 (fig. 4.19a),
como en λL2 (fig. 4.19b), con respecto al parámetro del grado de asimetŕıa. Es importante
señalar que el ancho del dedo en esta zona ya no depende en gran medida de la frecuencia
incidente. La variación de λL1 y λL2 depende principalmente del valor del parámetro del
grado de asimetŕıa.
61
 0.52
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
λ L
1
T1/Ttotal
ωo=0.01 ωo=0.02 ωo=0.03 ωo=0.04 ωo=0.05 ωo=0.06
(a)
 0.52
 0.525
 0.53
 0.535
 0.54
 0.545
 0.55
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
λ L
2
T1/Ttotal
ωo=0.01 ωo=0.02 ωo=0.03 ωo=0.04 ωo=0.05 ωo=0.06
(b)
Figura 4.19: Ancho promedio del dedo como función del parámetro del grado de
asimetŕıa en la zona de selección. (a) λL1 como función de
T1
TTotal
. (b) λL2 como función
de T1
TTotal
. Debido a que el comportamiento del ancho promedio del dedo en la zona de
selección casi no cambia, sólo se incluyeron las curvas correspondientes a algunos valores
de la frecuencia incidente. La ĺınea continua es el valor del ancho del dedo en estado
estacionario.
Se calculó el promedio en frecuencia, λ, y la desviación estandar de los valores del ancho
promedio para cada T1
TTotal
. λ es el promedio en frecuencia de la zona de selección para
cada valor del parámetro del grado de asimetŕıa, i.e.,
λL1,L2 = 〈λL1,L2〉ωo ,
en donde λL1,L2 es el promedio de la señal temporal, en donde λL1 se refiere a ancho cerca
de la punta del dedo y λL2 se refiere a ancho lejos de la punta del dedo. El rango de
las frecuencias consideradas en este promedio es 0.01 < ωo ≤ 0.06, es decir, la zona de
selección.
62
Se confirmó que el ancho promedio en la zona de selección crece conforme la asimetŕıa
del parámetro de orden aumenta. Este resultado se observa tanto en la zona cercana a la
punta del dedo como en la lejana. (fig. 4.20).
 4e-05
 0.00024
 0.00044
 0.00064
 0.00084
 0.00104
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
σ— λ
T1/TTotal
σ—λL1σ—λL2
 0.52
 0.53
 0.54
 0.55
 0.56
— λ
—λL1
—λL2
Figura 4.20: Promedio y desviación estándar de λ en la zona de selección.
Arriba se muestra el comportamiento general del ancho promedio del dedo en la zona de
selección. Abajo se grafica la desviación estandar de los anchos promedio de la zona de
selección. La ĺınea continua es el valor del ancho del dedo en estado estacionario.
En la gráfica (fig. 4.20) se puede observar que en la zona de selección el ancho promedio
del dedo aumenta en las dos distancias de medición L1 y L2. La desviación estándar del
ancho promedio, cerca y lejos de la punta del dedo incrementa notablemente conforme
T1
TTotal
aumenta.
En la zona de selección el ancho promedio del dedo aumenta de manera monótona tanto
en la zona cercana como en la zona lejana a la punta del dedo. En la gráfica (fig. 4.21) se
63
muestra el incremento porcentual del ancho promedio del dedo con respecto al valor de
estado estacionario para cada valor del parámetro del grado de asimetŕıa, esto es,
I( %) =
λ − λE.E
λE.E
,
en donde I( %) es el incremento porcentual del ancho del dedo, λE.E es el ancho del dedo
en estado estacionario y λ es el promedio en frecuencia en la zona de selección.
 0.5
 1
 1.5
 2
 2.5
 3
 3.5
 4
 4.5
 5
 5.5
 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8
In
cr
em
en
to
 p
o
rc
en
tu
al
 d
e 
— λ
T1/TTotal
—λL1 
—λL2 
Figura 4.21: Incremento porcentual de λ como función de T1
TTotal
.
64
5
CONCLUSIONES
La frecuencia de respuesta medida lejos de la punta del dedo presenta, al igual que en
el caso de la señal oscilatoria senosoidal [15], tres zonas de respuesta como función de la
frecuencia incidente, ωo: zona lineal, zona de transición y zona de selección. Los domi-
nios de estas zonas son invariantes ante el valor del parámetro del grado de asimetŕıa T1
TTotal
.
La frecuencia de respuesta medida en la zona cercana a la punta del dedo, a diferencia
de [15], tiene dos comportamientos como función de la frecuencia incidente; una zona de
respuesta lineal a frecuencias bajas y una zona de selección a frecuencias altas. Conforme
el parámetro del grado de asimetŕıa aumenta, la cantidad de frecuencias de respuesta
lineales disminuye.
A frecuencias bajas, se encontró un máximo en el ancho promedio del cuerpo del dedo con
un valor de λL2 = 0.5583 con ωo = 0.001 y
T1
TTotal
= 0.7448. Esto representa un aumento
de 6.48 % con respecto al valor de estado estacionario. Este resultado es significativo ya
que el ancho del dedo está reportado como una fracción del ancho del canal. Debido a que
la cantidad del fluido desplazado está ı́ntimamente ligada al ancho del dedo en un medio
confinado, esto también significa un mayor porcentaje de volumen desplazado y por tanto
un mejor vaciado del canal.
65
También, a bajas frecuencias, se encontró un mı́nimo en el ancho promedio del dedo para
T1
TTotal
= 0.7830 . Este valor es incluso menor al ancho del dedo en estado estacionario.
Para efectos del desplazamiento de crudo, este resultado es importante ya que se encuen-
tran condiciones del gradiente de presión para los cuales el efecto de la señal oscilatoria y
asimétrica no es el deseado.
Se encontró que, de manera general, el ancho promedio en el cuerpo del dedo crece al im-
poner un gradiente de presión asimétrico. Además, en la zona de selección, que es la zona
de altas frecuencias, este incremento es mayor conforme aumenta el grado de asimetŕıa
del gradiente de presión.
La relación entre el valor del ancho promedio del dedo y el parámetro del grado de asi-
metŕıa en la zona de selección es prácticamente independiente de la frecuencia incidente,
es decir, un gradiente de presión con el menor valor de ωo de la zona de selección dará lu-
gar a un dedo con el mismo ancho promedio que aquél con un mayor valor de ωo. La
implicación tecnológica de este resultado es que al elegir el menor valor de ωo que cae en
esta zona se tendrá un ahorro en el costo energético del desplazamiento del fluido viscoso.
66
A
SELECCIÓN DE FRECUENCIAS DOMINANTES
El estudio de frecuencias en este trabajo se hizo mediante la transformada de Fourier. La
señal de la condición dinámica de frontera en φB(t) se transformó al espacio de frecuen-
cias, en la gráfica (fig.A.1) se muestra la señal temporal y la transformada de la misma.
-0.75
-0.7
-0.65
-0.6
-0.55
-0.5
 22000 24000 26000 28000 30000 32000 34000
φ B
(t
)
t
(a)