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25/10/2022

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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA
Y TECNOLOGÍA AVANZADA, UNIDAD ALTAMIRA

“Estimación del Espectro
Direccional del Oleaje en Playa
Miramar, Tamaulipas”

TESIS

Para obtener el grado de

Maestro en Tecnología Avanzada

Presenta

Héctor Arnulfo Marcelino Hernández

Director de Tesis

Dr. Marco Julio Ulloa Torres

Mayo de 2012

Dedicatoria

A mis papas Javier y Leticia, por su amor y gran corazón, pero sobre
todo por enseñarme a ser responsable. A mi hermano Javier por ser el
ejemplo de un hermano mayor; a mi hermana menor, Fátima por su
honestidad y tenacidad; a mi sobrino Keneth por alegrarme la vida; a
mi cuñada Jenni por que siempre está al pendiente de mis logros. A
mis abuelos, que donde quiera que se encuentren están al cuidado de
mí.
Agradecimientos

Agradecimientos

Quiero agradecer a los miembros de mi comisión revisora Dr. Jorge Lois, Dr. Orzo
Sánchez, Dr. Marco Ulloa, Dr. David Rivas, Dr. Luis Vicent, Dr. Eugenio Rodríguez,
Dr. Felipe Caballero y Dr. Rogelio Ortega por todos sus comentarios y sugerencias
que ayudaron a enriquecer mi tesis.

Al Instituto Politécnico Nacional-Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y
Tecnología Avanzada (CICATA Unidad Altamira) por haberme brindado un lugar de
trabajo y la infraestructura necesaria para llevar a cabo esta investigación. Al
Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y al Programa Institucional
de Formación de Investigación (PIFI) por las becas otorgadas durante este tiempo.

No puedo olvidar a mis compañeros y amigos de la Maestría con los cuales he
compartido incontables horas de trabajo. Gracias por los buenos y malos momentos.
A todos aquellos que de alguna manera u otro forma ayudaron a la elaboración de
esta tesis por muy mínimo que sea.

Resumen

iii

Resumen

La dirección de las olas es un parámetro difícil de medir en la costa ya que el
proceso de transformación del oleaje puede redistribuir la energía en direcciones
muy diferentes de aquellas del oleaje incidente desde mar abierto. Una manera
práctica de estimar la dirección del oleaje es a través de la técnica numérica del
método inverso, que consiste en el trazo inverso de rayos (refracción inversa), la
obtención de la función inversa de dirección y la estimación del espectro direccional
refractado del oleaje en un sitio específico ubicado en aguas someras. El método
inverso se utilizó para estimar las direcciones del oleaje distante que potencialmente
pueden incidir con mayor energía en la importante zona turística de Playa Miramar,
Tamaulipas, caracterizando el oleaje de acuerdo a las condiciones del viento
clasificadas como de calma, promedio, frente frío y de tormenta. En éste trabajo, la
convención que se sigue para las direcciones, es que indican el azimut de donde
vienen las olas.

En general, a partir de los espectros direccionales del oleaje calculados, se sugiere
que las direcciones con mayor energía del oleaje que provienen de mar abierto se
encuentran entre un rango de 110° a 160° (cuadrante ENE-SSE aproximadamente) e
inciden en Playa Miramar entre las direcciones de 108° y 130°.

Adicionalmente, el intervalo de direcciones obtenido numéricamente para Playa
Miramar y el intervalo de frecuencias considerado se comparó con los
correspondientes a boyas virtuales que representan resultados numéricos del modelo
de propagación del oleaje WAVEWATCH-III. Los resultados de esta comparación
son que el intervalo de direcciones obtenido (15° – 130°) se encuentra dentro del
correspondiente a las boyas virtuales (0° – 174°), en tanto que el intervalo de
frecuencias considerado se encuentra fuera del de las boyas (0.097 Hz – 0.380 Hz)
para frecuencias bajas.

Palabras claves: Olas, refracción inversa, rayos, espectro direccional, oleaje distante.
Abstract

Abstract

The direction of the sea waves is a difficult parameter to measure on the coast
because the wave transformation process can redistribute the energy in very different
directions with respect to the incident waves from deep waters. A practical way to
estimate the wave direction is using numeric techniques i.e. the inverse method,
which consists in backward ray tracing (inverse refraction), obtaining the inverse
direction function and the swell’s refracted wave directional spectrum a fixed point in
shallow water to deep water. The inverse method was used to estimate the wave
directions of distant swell that can potentially arrive with high energy to the important
touristic zone of Playa Miramar, Tamaulipas, characterizing the swell according to
wind conditions, such as, calm, average, cold front and storm. In this work, the
convention used for directions, is that indicating the azimuth from the incoming
waves.

In general, the calculated directional swell spectra, it can be suggested that the
directions with high wave energy that approximate from sea range between from
100° to 160° (quadrant ENE-SSE approximately) and arrive to Playa Miramar
between 108° and 130°.

Additionally, the range of the numerically directions obtained for Playa Miramar, as
well as the range of discussed frequencies were compared with the corresponding
from virtual buoys that represent numeric results from the WAVEWATCH-III model of
wave propagation. The results from these comparisons are that the interval of
directions obtained (15° – 130°) is localized within the corresponding to virtual buoys
(0° – 174°), while that range frequencies considerate are localized outside of the
buoys (0.097 Hz – 0.380 Hz) for low frequencies.

Keywords: Waves, inverse refraction, ray, directional spectrum, distant swell.

Lista de Figuras

Figura 1. Zona de estudio localizada en la costa Sur de Tamaulipas (Playa Miramar).
.......................................................................................................................... 4
Figura 2. Esquema que muestra la trayectoria de un frente de onda ( ) (modificado
de Griswold, 1963). ......................................................................................... 16
Figura 3. Sistema de coordenadas que emplea el método numérico (modificado de
Griswold, 1963 y de Ulloa, 1989). ................................................................... 19
Figura 4. Boyas oceanográficas (NDBC), ubicadas frente a la costa Norte de
Tamaulipas. .................................................................................................... 27
Figura 5. Localización de las boyas virtuales (Buoyweather) a lo largo de la costa de
Tamaulipas. .................................................................................................... 29
Figura 6. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para el
procesamiento de las mediciones del viento hechas por la boyas
oceanográficas que administra la NDBC frente a la costa de Tamaulipas. .... 32
Figura 7. Diagrama de flujo para la obtención de los datos de las boyas virtuales de
interés y del programa desarrollado en MATLAB. .......................................... 34
Figura 8. Diagrama de flujo que indica el programa desarrollado en MATLAB para la
digitalización de la costa Sur de Tamaulipas. ................................................. 36
Figura 9. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para obtener la
función inversa de dirección. .......................................................................... 38
Figura 10. Diagrama de flujo del programa desarrollado para la estimación del
espectro direccional del oleaje refractado normalizado. ................................. 40
Figura 11. Los paneles de (a)-(c) muestran los histogramas de frecuencia parala
rapidez del viento en cada boya NDBC. Las curvas continuas representan
ajustes, con 95% de confidencia, a las funciones de distribución de
probabilidad de Weibull (rojo) y Rayleigh (azul). ............................................. 43
Figura 12. Rosas del viento para las boyas 42002A (período de 1972-2007), 42002B
(período de 2007-2010) y 42055 (período de 2005-2010). Los valores entre
paréntesis indican la cantidad de datos empleados. ...................................... 45
Lista de Figuras

Figura 13. Los paneles muestran las rosas del viento para las boyas señaladas en
condición de (a) tormenta (b) frente frío y (c) calma. Los valores entre
paréntesis indican la cantidad de datos empleados. ...................................... 46
Figura 14. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz , para los valores de
la mediana de la rapidez del viento obtenidos en la boya 42002A y las
condiciones de calma, frente frío y tormenta. ................................................. 49
Figura 15. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz , para el valor del
25% máximo de la rapidez del viento para la condición de frente frío y
tormenta. ......................................................................................................... 50
Figura 16. Espectro en frecuencia de JONSWAP , para los valores de la
mediana de la rapidez del viento obtenidos en la boya 42002A y las
condiciones de calma, frente frío y tormenta. ................................................. 51
Figura 17. Espectro en frecuencia de JONSWAP , para el valor del 25%
máximo de la rapidez del viento para la condición de frente frío y tormenta.
........................................................................................................................ 52
Figura 18. Batimetría de la zona de estudio comprendida entre las latitudes Norte
22.5° y 24.0° y entre las longitudes Oeste 96.8° y 98.0° con una discretización
espacial (111, 102) m. Los símbolos en la forma de cruces muestran la
distribución de las mediciones de profundidad (puntos batimétricos) empleada
para generar las isobatas. Los contornos representan las profundidades del
fondo del mar (m). .......................................................................................... 57
Figura 19. Área de la batimetría de la costa Sur de Tamaulipas comprendida entre
las latitudes Norte 22.2° y 22.6° y entre las longitudes Oeste 97.1° y 97.5° en
una malla con resolución de (a) (1110 m, 1020 m) y (b) (111, 102) m. .......... 59
Figura 20. Comparación de los errores relativos de cuatro soluciones de la relación
de dispersión. ................................................................................................. 60
Figura 21. Batimetría de la zona de estudio con una resolución de (111, 102) m. Las
zonas en color magenta indican dónde no se satisface el criterio de refracción
( ) para T= 4 s y T= 30 s. Las isobatas de 10 m y 700 m
indican el inicio de la refracción para olas con un período de 3.6 s y 30 s,
Lista de Figuras

vii

respectivamente. Los contornos representan las profundidades del fondo del
mar (m). .......................................................................................................... 62
Figura 22. Batimetría de la zona de estudio con una discretización espacial (111,
102) m. Las zonas sombreadas color magenta nos indican las zonas donde no
se satisface el criterio de refracción ( ) para un período de
ola de (T= 4 s y T= 30 s). ................................................................................ 63
Figura 23. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y un período de ola de T= 30.3 s. El intervalo de
frecuencias considerados (0.033 Hz - 0.273 Hz) varía 0.01 Hz y con 0.5° de
resolución angular. ......................................................................................... 67
Figura 24. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y para un período de ola de T= 15.8 s. ....................... 68
Figura 25. Trayectoria inversa de los rayos ubicados desde Playa Miramar a una
profundidad de 9.1 m y para un período de ola de T= 3.6 s. El intervalo de
frecuencias considerados (0.033 Hz - 0.273 Hz) varía 0.01 Hz y con 0.5° de
resolución angular. ......................................................................................... 70
Figura 26. Función inversa de dirección en el área de estudio (los contornos indican
las direcciones del oleaje de aguas profundas), con un incremento en
dirección de 0.5° y en frecuencia de 0.01 Hz. En (a), olas con = 0.173 Hz y
= 100° arriban a la playa con = 116°; en (b), para ésta misma frecuencia
olas con = 73° llegan con = 77°; en (c), oleaje con = 0.093 Hz y = 70°
puede arribar con las direcciones respectivas de : 58°, 62°, 82° y 103°. Los
puntos color magenta indican la zona de sombra. .......................................... 72
Figura 27. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz con un valor de la
mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color
magenta indican la zona de sombra. .............................................................. 76
Figura 28. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP con un valor de la mediana
Lista de Figuras

viii

de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra. ............................................................................. 77
Figura 29. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz con un valor de la
mediana de la rapidez del viento de 4 ms-1 (calma). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra. ............................................................................. 79
Figura 30. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP con un valor de la mediana
de la rapidez del viento de 4 ms-1 (calma). Los puntos color magenta indican la
zona de sombra. ............................................................................................. 80
Figura 31. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz con un valor del
25% máximo de la rapidez del viento 18 ms-1 (frente frío). Los puntos color
magenta indican la zona de sombra. .............................................................. 82
Figura 32. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP con un valor del 25% máximo
de la rapidez del viento 18 ms-1 (frente frío). Los puntos color magenta indican
la zona de sombra. ......................................................................................... 83
Figura 33. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz con un valor del
25% máximo de la rapidez del viento 19 ms-1 (tormenta).Los puntos color
magenta indican la zona de sombra. .............................................................. 84
Figura 34. Espectro direccional de energía del oleaje refractado en Playa Miramar
(los contornos representan la densidad espectral del oleaje en m2/Hz/grado)
para el espectro en frecuencia de JONSWAP con un valor del 25%
Lista de Figuras

máximo de la rapidez del viento 19 ms-1 (tormenta). Los puntos color magenta
indican la zona de sombra. ............................................................................. 85
Figura 35. Rosas del oleaje en las boyas virtuales (Buoyweather) ubicadas en la
costa de Tamaulipas (Boya virtual 14-16), para los parámetros de dirección (°)
y período del oleaje (T). .................................................................................. 87
Figura 36. Direcciones y frecuencias obtenidas de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar (los contornos representan la densidad espectral
del oleaje en m2/Hz) para el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz
con un valor de la mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms
-1
(42002A). Los puntos color magenta indican la zona de sombra. .................. 89
Figura 37. Direcciones y frecuencias obtenidas de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar (los contornos representan la densidad espectral
del oleaje en m2/Hz) para el espectro en frecuencia de JONSWAP con
un valor de la mediana de la rapidez del viento de 6.2 ms-1 (42002A). Los
puntos color magenta indican la zona de sombra. .......................................... 90
Lista de Tablas

Lista de Tablas

Tabla 1. Condiciones que establece Wilson (1966) para calcular el diferencial .
Donde es la longitud de la onda en aguas profundas y es el factor de
escala. ............................................................................................................ 20
Tabla 2. Parámetros que miden las boyas oceanográficas NDBC en aguas
profundas. ....................................................................................................... 26
Tabla 3. Información de las tres boyas oceanográficas de la NDBC ubicadas frente a
la costa de Tamaulipas. .................................................................................. 28
Tabla 4. Parámetros que registran las boyas virtuales (Buoyweather) distribuidas a lo
largo de la costa de Tamaulipas. .................................................................... 29
Tabla 5. Intervalos de direcciones e intensidades de las condiciones de calma, frente
frío y tormenta (convención meteorológica, de donde proviene el viento a partir
del norte verdadero 0° N). ............................................................................... 33
Tabla 6. Valores máximos, mediana y promedios de los histogramas y sus
respectivos porcentajes de ocurrencia, para cada una de las boyas
oceanográficas (NDBC). ................................................................................. 44
Tabla 7. Valores de intensidad del viento máximo y los correspondientes a la
mediana para las diferentes condiciones del viento en los tres sitios ubicados
frente a la costa de Tamaulipas. ..................................................................... 47
Tabla 8. Para valores de la mediana y 25% máximos de la rapidez del viento se
indican algunos parámetros obtenidos de los espectros de frecuencia teóricos.
........................................................................................................................ 54
Tabla 9. Intervalos de frecuencias obtenidos de las boyas oceanográficas (NDBC)
ubicadas frente a la costa de Tamaulipas. ...................................................... 55
Tabla 10. Parámetros del oleaje obtenidos de las boyas virtuales (Buoyweather)
cercanas a Playa Miramar. ............................................................................. 88

Glosario

Aguas profundas: Zona del océano donde el oleaje no es afectado por el gradiente
de profundidad ( ).

Aguas someras: Zona de la costa donde la profundidad del agua es muy pequeña
en comparación con la longitud de onda ( ).

Bajo submarino: Es una montaña que surge desde el fondo del mar hasta cerca de
la superficie.

Difracción: Variación de la amplitud a lo largo de un tren de olas causada por
obstáculos naturales o artificiales.

Disipación: Pérdida de energía de la ola por el rompimiento parcial o total durante su
propagación.

Dispersión: Expresión matemática que indica la dependencia funcional de la
frecuencia en radianes con respecto al número de onda. Las olas con longitud de
onda relativamente corta, viajan con una rapidez de fase menor que aquéllas con
una longitud de onda relativamente larga, por lo que ocurre una separación en
distancia (dispersión) a lo largo de su dirección de propagación.

Espectro de energía: Representación gráfica de la distribución de la energía del
oleaje, que puede ser expresada en función de la frecuencia o en función de la
frecuencia y dirección de propagación.

Estimador de máxima verosimilitud: Método para estimar parámetros estadísticos
entre los límites máximos y mínimos de confiabilidad.

Glosario

xii

Fetch: Se refiere a una distancia o a una superficie sobre el mar donde el viento no
presenta un cambio significativo en dirección.

Flujo irrotacional: Cuando el rotacional del campo de velocidad es nulo y por
consiguiente el campo de flujo sigue una trayectoria circular.

Olas: Ondas generadas por el viento o a causa de perturbaciones atmosféricas como
son las tormentas tropicales y los huracanes.

Oleaje distante: Término que se utiliza para denotar al oleaje que ha salido de la
zona de generación y ya no es afectado por el forzamiento del viento. Tiene períodos
característicos entre 5 s y 30 s (0.200 Hz – 0.033 Hz).

Oleaje local: Se refiere a las olas que se encuentran bajo el forzamiento del viento.
Los períodos típicos son entre 0.2 s y 9 s (5.0 Hz – 0.111Hz).

Oleaje completamente desarrollado: Cuando en el proceso de generación del
oleaje, se alcanza un equilibrio entre la energía que proporciona el viento para el
crecimiento de las olas y la energía disipada por la rotura de éstas.

Ortogonal: Es una línea perpendicular al frente de onda en cualquier punto del
frente. En el oleaje, la dirección de la velocidad de grupo coincide con la dirección de
la ortogonal.

Rayo: Es una línea que tiene como tangente a la velocidad de grupo en cualquier
punto de la curva y representa la trayectoria a lo largo de la cual viaja la energía de la
onda.

Reflexión: Regreso de las olas cuando chocan con una barrera natural o artificial.

Glosario

xiii

Refracción: Cambio en la dirección de propagación del oleaje debido a una variación
en la velocidad causada por una profundidad variable.

Refracción inversa: Método que consiste en el trazo de rayos desde un punto fijo
ubicado en aguas someras hacia aguas profundas.

Simulación numérica: Implementación de un modelo matemático para simular
fenómenos físicos.

Someramiento: Cambio en el perfil de la ola, causado por la disminución en su
velocidad al pasar de aguas profundas a aguas someras.

Transformación del oleaje: Modificaciones en los parámetros que definen al oleaje
durante su propagación a causa de la refracción, difracción, reflexión y disipación de
energía con el fondo y en la superficie del agua.

Tren o frente de onda: Curva con fase constante.

Zona de sombra: Zona donde no se propaga el oleaje en ciertas frecuencias debido
a la presencia de rasgos batimétricos como bajos submarinos que impiden su paso.

Contenido

Página

Dedicatoria ....................................................................................................................i
Agradecimientos ........................................................................................................... ii
Resumen ..................................................................................................................... iii
Abstract ....................................................................................................................... iv
Lista de Figuras ............................................................................................................ v
Lista de Tablas ............................................................................................................. x
Glosario ....................................................................................................................... xi
Introducción ................................................................................................................. 1
1. Antecedentes .......................................................................................................... 1
1.1. Planteamiento del Problema ............................................................................. 2
1.2. Descripción del Área de Estudio ....................................................................... 3
2. Marco Teórico ......................................................................................................... 6
2.1. Funciones de Distribución para Datos Medidos ................................................ 8
2.1.1. Distribución de probabilidad de Weibull. ..................................................... 8
2.1.2. Distribución de probabilidad de Rayleigh. ................................................... 9
2.2. Refracción del Oleaje ........................................................................................ 9
2.2.1. Relación de dispersión. ............................................................................. 10
2.2.2. Solución numérica de la relación de dispersión. ....................................... 12
2.2.3. Criterio de refracción. ................................................................................ 14
2.2.4. Ecuaciones para la trayectoria de rayos. .................................................. 15
Contenido

2.3. Método Numérico para el Trazo de Rayos ...................................................... 18
2.3.1. Trazo inverso de rayos. ............................................................................ 20
2.4. Espectro de Energía del Oleaje ...................................................................... 21
2.4.1. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz. ........................................ 21
2.4.2. Espectro en frecuencia de JONSWAP. ..................................................... 23
2.4.3. Espectro direccional de energía del oleaje refractado. ............................. 24
3. Observaciones Disponibles ................................................................................... 26
3.1. Boyas Oceanográficas .................................................................................... 26
3.2. Boyas Virtuales ............................................................................................... 28
3.3. Cartas Náuticas Digitales ................................................................................ 30
4. Metodología ........................................................................................................... 31
4.1. Procesamiento de Datos de Boyas Oceanográficas ....................................... 31
4.2. Procesamiento de Datos de Boyas Virtuales .................................................. 33
4.3. Digitalización de la Carta Náutica para la Costa Sur de Tamaulipas .............. 35
4.4. Trazo Inverso de Rayos .................................................................................. 37
4.5. Función Inversa de Dirección .......................................................................... 37
4.6. Espectro Direccional de Energía ..................................................................... 39
5. Resultados y Discusiones ..................................................................................... 41
5.1. El Estado del Mar Frente a la Costa de Tamaulipas ....................................... 41
5.1.1. Histogramas. ............................................................................................. 41
5.1.2. Rosas del viento. ...................................................................................... 44
5.1.3. Espectros de energía en frecuencia. ........................................................ 48
5.1.4. Sumario. ................................................................................................... 55
Contenido

5.2. Batimetría y Criterio de Refracción ................................................................. 55
5.2.1. Criterios utilizados para elegir el tamaño de malla. ................................... 55
5.2.2. Método numérico para estimar la rapidez de fase del oleaje. ................... 60
5.2.3. Batimetría de prueba. ............................................................................... 61
5.2.4. Sumario. ................................................................................................... 65
5.3. Estudio Numérico de la Refracción Inversa del Oleaje ................................... 65
5.3.1. Trazo inverso de rayos en Playa Miramar. ............................................... 65
5.3.2. Función inversa de dirección. ................................................................... 71
5.3.3. Sumario. ................................................................................................... 74
5.4. Espectro Direccional de Energía del Oleaje Refractado ................................. 74
5.4.1. Espectro direccional en condiciones promedio. ........................................ 75
5.4.2. Espectro direccional en condiciones de calma. ........................................ 78
5.4.3. Espectro direccional en condiciones de frente frío y tormenta. ................. 81
5.4.4. Acotamiento para boyas virtuales. ............................................................ 86
5.4.5. Sumario. ................................................................................................... 91
5.5. Aplicación del Método Inverso en Playa Miramar ........................................... 92
6. Conclusiones ......................................................................................................... 95
7. Perspectivas .......................................................................................................... 97
Bibliografía ................................................................................................................ 98
Anexos .................................................................................................................... 108

Introducción

1
Introducción
1. Antecedentes

La primera metodología para estudiar la transformación del oleaje se desarrolló
durante la Segunda Guerra Mundial. El método se conoce como refracción hacia
delante o refracción tradicional y consiste en el trazo de ortogonales para un frente
de onda que se propaga desde mar abierto hasta la zona de rompiente, con base al
conocimiento adecuado de la batimetría de la zona de estudio. Una ortogonal es una
línea perpendicular al frente de onda que indica la dirección en la cual se propaga.

En el caso del oleaje, la dirección de la velocidad de grupo coincide con la dirección
de propagación de la ola y por ello la ortogonal representa la trayectoria a lo largo de
la cual viaja la energía del oleaje. Para realizar cálculos de la amplitud de la ola se
hace la suposición que el flujo de energía se conserva entre ortogonales adyacentes
(Dean y Dalrymple, 1992). En el uso de la refracción tradicionalse tiene la
desventaja de calcular amplitudes excesivamente altas en zonas donde ortogonales
adyacentes convergen; y en zonas donde ortogonales adyacentes divergen, deja
amplias zonas sin que se pueda evaluar adecuadamente la energía del oleaje. Esta
desventaja se soluciona mediante la refracción inversa, que consiste en trazar
ortogonales o rayos en varias direcciones, desde un punto fijo en aguas someras
hasta aguas profundas. El cruzamiento de rayos adyacentes en la refracción inversa
está asociado a diferentes ángulos de incidencia del oleaje en aguas profundas y no
a una dirección particular como ocurre con la refracción tradicional. Es por ello que
en la refracción inversa se evitan los problemas asociados al cálculo de amplitudes
infinitas por el entrecruzamiento de rayos.

Por otra parte, la utilización de la refracción inversa es importante porque permite
estimar el espectro direccional del oleaje en un sitio o punto fijo. Esto se logra a
través del trazo inverso de rayos (refracción inversa) con lo cual se obtiene la función
inversa de dirección, y la utilización posterior de un espectro de frecuencias en mar
abierto en conjunto con la función inversa de dirección permite estimar el espectro
Introducción

2
direccional de energía. La refracción inversa del oleaje es una técnica muy adecuada
para conocer la energía del oleaje en sitios específicos que carecen de mediciones
sistemáticas del mismo. Podemos decir entonces, que la transformación del espectro
de frecuencias vía la función inversa de dirección, permite estimar el espectro
direccional de energía del oleaje refractado. En general, el estudio de la refracción
del oleaje en un sitio dado basado en el concepto de la refracción espectral se
considera más robusto que con la refracción tradicional (O’Reilly y Guza, 1991).

1.1. Planteamiento del Problema

En tiempos recientes en la costa tamaulipeca se ha estado construyendo
infraestructura costera como puertos y desarrollos turísticos e inmobiliarios. Para una
planificación adecuada de tal infraestructura se necesita conocer las condiciones del
oleaje que arriba con mayor energía al sitio de interés. El conocimiento del campo del
oleaje es útil para optimizar el manejo de los recursos costeros, lo cual beneficia a
toda la comunidad que realiza actividades económicas o recreativas propias de esas
regiones.

En Playa Miramar se conocen poco las características del oleaje que inciden con
mayor energía, al menos en cuanto a artículos científicos publicados. Dada la gran
importancia turística de Playa Miramar, surge la motivación de investigar de manera
puntual cuáles son las condiciones del oleaje que prevalecen en la zona de playa. En
éste trabajo de investigación, se realizó un estudio numérico de la transformación del
oleaje para caracterizarlo, utilizando el método inverso.

En contraposición a la solución numérica de la ecuación para el balance espectral de
energía, la ejecución del método inverso consume poco tiempo computacional y no
requiere demasiada memoria para dominios con escalas espaciales finas. Las playas
son en general vulnerables al oleaje distante y para cuantificar la energía con que el
oleaje puede incidir en Playa Miramar, resulta entonces adecuado utilizar el trazo
inverso de rayos ya que permitirá estimar el espectro direccional. La aplicación de
Introducción

3
esta técnica constituye una primera aproximación al estudio de la transformación
espectral del oleaje en Playa Miramar porque únicamente se considera el efecto de
refracción. Este trabajo es novedoso al no haberse aplicado con anterioridad el
método inverso al estudio de la transformación del oleaje en la costa del Sur de
Tamaulipas.

El objetivo del trabajo es estimar el espectro direccional del oleaje mediante el
método inverso (refracción inversa más el espectro direccional de energía) para
conocer las direcciones con las cuales el oleaje distante puede incidir con mayor
energía en Playa Miramar.

1.2. Descripción del Área de Estudio

Playa Miramar se localiza en la costa Sur del estado de Tamaulipas, entre las
latitudes Norte 22.25° y 22.28° y entre las longitudes Oeste 97.78° y 97.80° (Figura
1). La playa se extiende por diez kilómetros hacia el norte de la desembocadura del
río Pánuco, aunque la porción ocupada por la infraestructura turística se extiende por
cerca de cuatro kilómetros; el ancho de la playa es de casi 135 metros. En el área de
estudio la configuración batimétrica es irregular. Los rasgos sobresalientes son una
serie de bajos submarinos reportados por la Secretaría de Marina Armada de México
(SEMAR) en los años 1923 y 1926, y la National Oceanic and Atmospheric
Administration (NOAA) en 1928 y 1926.

Introducción

Figura 1. Zona de estudio localizada en la costa Sur de Tamaulipas (Playa Miramar).

Playa Miramar es un sitio con una afluencia turística del orden de 10,000 visitantes
durante la temporada alta. Además, es una zona bien conocida por sus recursos
costeros y en donde se pueden practicar actividades recreativas propias de la región.

A pesar de su gran importancia económica y social, se desconocen las
características del oleaje que inciden con mayor energía, al parecer no existen
mediciones del oleaje estadísticamente robustas, o los datos no son asequibles y
probablemente insuficientes. Entonces, es necesario realizar un estudio numérico de
la transformación del oleaje para caracterizarlo, a fin de contribuir al conocimiento de
las condiciones del oleaje que incide en Playa Miramar y también para coadyuvar al
proceso de certificación y desarrollo sustentable de la misma.

El único trabajo sobre el oleaje que al parecer se ha efectuado, corresponde a
Ramírez (2007), quien realizó un estudio numérico del oleaje en seis localidades de
la costa de Tamaulipas entre las cuales se encuentra Ciudad Madero, utilizando el
Introducción

5
modelo numérico de simulación del oleaje Wave Model (WAM). Para ejecutar el
programa implementó la batimetría de la base de datos global ETOPO2 y treinta
años de mediciones de viento obtenidos de las boyas meteorológicas del National
Center for Enviromental Prediction (NCEP), con resolución temporal de datos de seis
horas. Ramírez (2007) determinó que Playa Miramar es la región que presenta el
oleaje de menor energía, con una altura máxima promedio de 2.8 m. Además,
encontró que la energía del oleaje con mayor altura es proporcionada por los frentes
fríos y no por los huracanes y tormentas tropicales. Ramírez (2007) no proporcionó
información detallada acerca de lo valores de las direcciones y períodos del oleaje, a
pesar de que estos dos parámetros son variables muy importantes en los estudios de
propagación del oleaje.

Marco Teórico

6
2. Marco Teórico

Las características del oleaje generado por alguna tormenta lejana se modifican
conforme se propaga, desde la zona de generación hasta su disipación en la línea de
rompiente. El estado del arte en la transformación espectral del oleaje está dado por
la siguiente ecuación para el balance espectral de energía (Booij et al., 1999; Liu y
Xie, 2009),

(1)

donde es la densidad de acción del oleaje , es el espectro
de energía del oleaje, es la dirección de la ola con respecto al eje de referencia ,
es la frecuencia del oleaje, , , y son componentes de la velocidad de
propagación en los espacios , , y respectivamente, y es un término fuente
que representa los efectos de generación, disipación e interacciones alineales entre
olas. Existen varios programas y algoritmos diferentes para la solución numérica de
(1), por ejemplo, United Kingdom Model (UKMO) (Holt, 1994; Li y Holt,2009),
Simulating Waves Nearshore (SWAN) (Booij et al., 1999) y WAVEWATCH-III
(Tolman et al., 2002).

Es aquí conveniente introducir el concepto de oleaje local y oleaje distante. El oleaje
local es la parte del estado del mar que se encuentra bajo el forzamiento del viento y
su energía es contenida en bajos períodos (0.25 s y 9 s), en tanto que en el oleaje
distante su energía se ubica en altos períodos (5 s y 30 s) y corresponde a la región
del mar en donde las olas salieron de la zona de generación y ya no son afectadas
por el forzamiento del viento. El oleaje distante es cuasilineal, es decir, la longitud de
onda es lo suficientemente grande para que prácticamente no haya disipación de
energía, lo cual permite a las olas viajar grandes distancias, del orden de una cuenca
oceánica.

Marco Teórico

7
La ecuación (1) permite la simulación numérica del oleaje local y distante. Así, la
evolución del espectro de energía a causa de la refracción, someramiento, difracción
y reflexión del oleaje distante se puede modelar considerando en (1). A pesar
que la ecuación (1) lleva unos 15 años de amplio uso, todavía no hay consenso
respecto al entendimiento de la física de interacciones alineales, disipación y
especificación del campo de viento que se requieren para ejecutar tales modelos
(Cavaleri et al., 2007; Janssen, 2008).

La transformación espectral del oleaje distante se ha estimado de manera clásica
mediante el método inverso, es decir, mediante la refracción inversa y la utilización
de una función de transferencia con la cual es posible estimar el espectro direccional
refractado (LeMéhauté y Wang, 1982; O’Reilly y Guza, 1991, 1993 y 1998). El
método inverso es muy eficiente para un sistema estacionario porque habitualmente
no produce errores relacionados con una resolución espectral o geográfica
inadecuadas, ni con errores numéricos asociados a la truncación de términos en la
discretización de (1). Es por ello que los problemas relacionados con la exactitud
numérica son mínimos y la utilización de la refracción inversa es ideal para estudiar
la propagación del oleaje distante en distancias relativamente grandes (Cavaleri et
al., 2007), en la presencia de islas (Pawka et al., 1984; Ulloa, 1989), en
profundidades cercanas a la línea de rompiente (Frielich et al., 1990) y en la
presencia de corrientes de marea de baja intensidad (O’Reilly y Guza, 1993). Una
ventaja adicional es que tanto para batimetrías sencillas como complicadas la
refracción inversa provee resultados que se comparan razonablemente bien con
mediciones de campo (p.ej., Alves y Melo, 2001; Ray, 2003; Peak, 2004).

La utilización del trazo inverso de rayos es particularmente adecuado en regiones
costeras relativamente pequeñas donde la reflexión y la generación y disipación de
energía no son significativas, y también cuando se busca conocer la contribución del
oleaje distante al espectro direccional total a través de un esquema de propagación
exacto. No obstante, el trazo inverso de rayos también ha dado buenos resultados en
plataformas continentales amplias. Utilizando observaciones y un modelo de
Marco Teórico

8
refracción espectral, Hendrickson (1996) encontró que el oleaje distante de baja
energía, con una amplitud relativamente pequeña, no es amortiguado
significativamente en la ancha plataforma de Carolina del Norte. Las consideraciones
anteriores indican que es pertinente utilizar el método inverso como una primera
aproximación para estimar el espectro direccional del oleaje en una playa turística
económicamente importante, como es el caso de Playa Miramar, Tamaulipas.

2.1. Funciones de Distribución para Datos Medidos

2.1.1. Distribución de probabilidad de Weibull.

La distribución de frecuencia de la rapidez del viento ha sido representada por varias
funciones de densidad de probabilidad tales como gamma, lognormal, distribuciones
de Rayleigh y Weibull. Sin embargo, en los últimos años la distribución de Weibull ha
sido una de las más utilizadas para expresar la distribución de frecuencia de la
rapidez del viento (Akdag y Dinler, 2009). La función de densidad de probabilidad de
Weibull está dada por (Celik, 2003),

(2)

donde es la función de densidad de probabilidad de Weibull, es la
rapidez del viento medida a una altura de 10 m arriba del nivel del mar (ms-1), es
un factor de forma adimensional y es un parámetro de escala en unidades de la
rapidez del viento (ms-1).

Para estimar los parámetros de forma y escala de la distribución de Weibull se utiliza
el método de máxima verosimilitud, el cual es un método que se utiliza para
aproximar los parámetros estimados en estadística. Los parámetros son estimados
por estas dos ecuaciones (Akdag y Dinler, 2009; Seguro y Lambert, 2000),

Marco Teórico

(3)

(4)

donde es la cantidad total de mediciones de la rapidez del viento. La ecuación (3)
requiere extensivos cálculos iterativos (suposición inicial del parámetro de forma
), mientras que la ecuación (4) puede ser resuelta explícitamente.

2.1.2. Distribución de probabilidad de Rayleigh.

El modelo de Rayleigh es un caso especial y simplificado de la distribución de
Weibull. Este se obtiene cuando el factor de forma del modelo de Weibull se hace
la suposición de que es igual a 2. La distribución de probabilidad de Rayleigh
se expresa como (Celik, 2003):

(5)

donde es la rapidez promedio del viento medida a una altura de 10 m arriba del
nivel del mar (ms-1).

2.2. Refracción del Oleaje

La propagación del oleaje es importante porque determina procesos litorales tales
como la erosión, acreción y el transporte de sedimentos en una dirección normal y
paralela a la playa. Además, influye decisivamente en la construcción de estructuras
costeras, puertos y en la planeación de canales de navegación. Las olas que entran
a una región somera desde el océano profundo, cambian su velocidad de fase, su
amplitud y su longitud de onda; su frecuencia se considera constante (Dean y
Dalrymple, 1992). Asimismo, la dirección de propagación del oleaje se modifica
Marco Teórico

10
gradualmente de manera que cuando se encuentra cerca de la línea de playa, un
tren de olas es casi paralelo a los contornos de profundidad.

El cambio en la dirección de propagación del oleaje es ocasionado por cambios de
profundidad y se conoce como refracción (Dean y Dalrymple, 1992). La refracción del
oleaje y los cambios en la altura de las olas son muy importantes porque influyen en
la cantidad de energía disponible para impulsar el movimiento de sedimentos a lo
largo de las playas y en la generación de corrientes de retorno.

La rapidez de fase de una ola cambia al variar la profundidad del medio donde se
propaga; ésta decrece al disminuir la profundidad y se incrementa cuando la
profundidad aumenta. La refracción es un proceso físico que cambia las
características del oleaje, es decir cuando el oleaje se propaga desde el océano
profundo hacia la costa, la interacción del oleaje con el fondo causa una disminución
en su rapidez de fase y como consecuencia su longitud de onda disminuye y su
altura aumenta, cuando éste pasa de un medio a otro de profundidad diferente. El
resultado es un cambio en la dirección de propagación del oleaje ocasionado por
cambios de profundidad. Tal cambio en la dirección, que se produce al pasar de
aguas profundas a aguas someras, puede variar entre 1° y 35° aproximadamente(Pierson et al., 1955).

2.2.1. Relación de dispersión.

La relación de dispersión es dada por la teoría lineal del oleaje y se obtiene bajo las
consideraciones de un flujo irrotacional, ondas lineales, profundidad constante y que
no hay corrientes (Dean y Dalrymple, 1992). La relación de dispersión expresa la
dependencia entre , la frecuencia angular de la ola ( ), y , el número de
onda ( ),

(6)

Marco Teórico

11
donde es el período de la onda, es la longitud de onda, es la profundidad y es
la aceleración de la gravedad.

La relación de dispersión implica que las olas se separan en distancia conforme se
propagan hacia la costa. Las olas con longitudes largas viajan más rápido que las
olas con longitudes más cortas. Entonces, si tenemos un grupo de olas de diferentes
longitudes propagándose fuera de la zona de generación, éstas tenderán a
separarse de acuerdo a sus diferentes longitudes, ya que irán viajando a diferentes
velocidades. Por lo cual las olas más largas llegarán primero a la costa (éstas
alcanzan y rebasan a las ondas que se generaron primero), seguidas por las olas
más pequeñas. Entonces, las ondas cuya frecuencia es función del número de onda
se conocen como ondas dispersivas.

De la ecuación (6) se pueden obtener dos casos límite. Uno de ellos se conoce como
aproximación de ondas cortas y es cuando . En este caso, y la
ecuación (6) se simplifica a:

(7)

Esta aproximación es válida cuando la profundidad del agua es mucho mayor que la
longitud de onda; y como implica que el fondo no afecta la propagación de las olas, la
zona del océano donde se propagan estas ondas se conoce como aguas profundas,
por ejemplo cuando . Entonces, de aquí se puede considerar que la
profundidad a la cual el oleaje empieza a ser afectado por la pendiente del fondo
ocurre aproximadamente cuando . Otra consideración importante es que en
los estudios del oleaje la profundidad del agua se define en términos de la longitud
de onda, esto es en términos de una profundidad relativa , y por ello la zona de
aguas profundas será diferente para olas con longitudes de onda diferentes.

El segundo caso límite se conoce como aproximación de ondas largas y es cuando
. En este caso, y la ecuación (6) puede representarse como
Marco Teórico

(8)

es decir, , donde C es la rapidez de fase y por tanto las ondas son no
dispersivas. La región del océano donde se propagan estas ondas se conoce como
aguas someras e implica que la profundidad del agua es muy pequeña en
comparación con la longitud de onda (en la práctica ).

2.2.2. Solución numérica de la relación de dispersión.

El caso general es dado por ecuación (6) y dado que es una ecuación transcendente,
ésta se resuelve por métodos iterativos. Entre los métodos que mejores resultados
han dado se tienen las soluciones numéricas propuestas por Hunt (1979), Chen y
Thompson (1985), You (2008) y Soulsby (2006), los cuales expresan (6) de la
siguiente manera:

(9)

donde y
son respectivamente, el número de onda y la
longitud de onda en aguas profundas.

El método de Hunt (1979) se basa en aproximaciones de series de Padé y es dado
por,

(10)

donde los seis coeficientes son: , ,
, , , .

Marco Teórico

13
Chen y Thompson (1985) refinaron la solución explicita de Hunt (1979) corrigiendo
los coeficientes como, , , , , y
.

El método de You (2008) se basa en el método de Newton-Raphson y resuelve la
relación de dispersión como:

(11)

donde es la aproximación inicial dada por,

(12)

El método de Soulsby (2006) también se basa en el método de Newton-Raphson y
utiliza las expresiones siguientes,

(13)

donde

(14)

(15)

(16)

El programa de cómputo para resolver (6) utilizando el método de Soulsby (2006) se
describe en Wiberg y Sherwood (2008).
Marco Teórico

2.2.3. Criterio de refracción.

La teoría lineal del oleaje es válida cuando el fondo del mar es plano y para poder
utilizarla en una costa con fondo variable, es necesario suponer que los cambios en
la pendiente del fondo son lo suficientemente pequeños para considerarla como si
fuera plana. Para representar matemáticamente lo anterior, se ha definido un criterio
intuitivo que físicamente nos indica cuando se puede utilizar la teoría lineal del oleaje,
por ejemplo (Svendsen y Jonsson, 1982)

(17)

donde está implícito que la propagación del oleaje ocurre principalmente a lo largo
del eje .

Formalmente, es posible obtener analíticamente un criterio de validez para la
refracción del oleaje a partir de la Ecuación de la Pendiente Suave, que describe los
efectos combinados de la refracción y difracción del oleaje (Berkhoff, 1972; Radder,
1979),

(18)

donde y son la rapidez de fase y la velocidad de grupo de la ola, es
la amplitud compleja de la superficie libre y es el operador
gradiente en la horizontal.

Sea una solución de la forma , donde es la amplitud física (la
mitad de la altura de la onda), es el número de onda y la
función de fase, ambos reales. El ángulo de fase es , también real. Entonces,
Marco Teórico

15
realizando el álgebra correspondiente (Véase el Anexo A), se puede demostrar que
tal solución es válida cuando se satisface,

(19)

donde es la pendiente local del fondo máxima y es la pendiente local
máxima de la amplitud. La condición (19) implica una restricción sobre la pendiente
del fondo y sobre la pendiente de la amplitud de la onda (Jonsson, 1979; Skovgaard
y Jonsson, 1981). En la refracción inversa del oleaje no es de interés estimar la altura
de las olas a partir de la distancia de separación entre ortogonales adyacentes, y por
ello se puede considerar el criterio de refracción como

(20)

La condición (20) considera que las variaciones espaciales del campo de
profundidades son pequeñas en comparación con las escalas de la ola
(Brampton, 1977; Graber et al., 1990). Para satisfacer (20) es necesario conocer la
batimetría y estimar ; lo último se basa en la solución numérica de la relación de
dispersión.

2.2.4. Ecuaciones para la trayectoria de rayos.

La trayectoria de un tren de ondas viajando sobre un fondo con profundidad variable
se rige por las ecuaciones de los rayos que a su vez provienen de una aproximación
de la óptica geométrica que resulta de la física de ondas cortas.

Marco Teórico

Figura 2. Esquema que muestra la trayectoria de un frente deonda ( ) (modificado
de Griswold, 1963).

Considera la propagación de un frente de onda en la dirección de los rayos y
(Figura 2). Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria de los rayos con un ángulo
respecto al eje es (Griswold, 1963),

(21a)

(21b)

donde es una distancia infinitesimal a lo largo del rayo. La distancia que recorre el
frente de onda a una rapidez de fase en un incremento de tiempo es,

(22)

Marco Teórico

17
Si en el mismo intervalo de tiempo aumenta una cantidad en un frente de onda
, tenemos de la Figura 2 que:

(23)

Para incrementos muy pequeños en y tomando el límite cuando tiende a cero,
podemos expresar (23) como

(24)

Ya que es una variable dependiente, es un diferencial total. Al
substituir (22) en (24) se obtiene una derivada total ya que y ,

(25)

la cual es la ecuación para la curvatura del rayo. La ecuación (25) describe la
curvatura del rayo; su dirección cambiará hacia la región de velocidad baja o,
equivalentemente, hacia profundidades menores. Desarrollando la derivada total
para obtenemos,

(26)

donde y (Figura 2) de modo que (25) se convierte
en:

(27)

Para propósitos prácticos, (27) se calcula de acuerdo a Harrison y Wilson (1964),

Marco Teórico

(28)

en la cual,

Utilizando (6), la rapidez de fase es dada por

(29)

La ecuación (29) nos indica que la rapidez de fase varía con la profundidad y la
longitud de onda.

2.3. Método Numérico para el Trazo de Rayos

El algoritmo numérico de Wilson (1966) se basa en el método desarrollado por
Griswold (1963). La información de entrada que se requiere para ejecutar el
algoritmo numérico es la batimetría del área de estudio, una frecuencia inicial y la
posición inicial del rayo que se puede expresar como .

La siguiente posición del rayo, , se calcula como (Figura 3):

(30)

(31)

donde es constante e igual a la mitad del intervalo de malla de la batimetría
(Griswold, 1963).
Marco Teórico

Figura 3. Sistema de coordenadas que emplea el método numérico (modificado de
Griswold, 1963 y de Ulloa, 1989).

Además,

(32)

(33)

donde

es la curvatura del rayo que se calcula de (28). Un ángulo nuevo se
obtiene simplemente como .

En el algoritmo numérico de Wilson (1966), se calcula mediante las condiciones
mostradas en la Tabla 1, la cual fue obtenida por Ulloa (1989) al analizar
directamente el programa de cómputo de Wilson (1966).
Marco Teórico

El incremento depende de un factor de escala ( ), el cual es una distancia de una
unidad de la malla. Conforme el rayo se aleja de la costa, aumenta, hasta media
unidad de la malla en donde no ocurre refracción.

Tabla 1. Condiciones que establece Wilson (1966) para calcular el diferencial .
Donde es la longitud de la onda en aguas profundas y es el factor de escala.
ZONA CONDICIÓN
Aguas profundas

El lector interesado, puede encontrar más detalle del algoritmo numérico de Wilson
(1966) en el trabajo de Ulloa (1989).

2.3.1. Trazo inverso de rayos.

Para conocer los ángulos de aproximación del oleaje a un punto fijo ubicado en
aguas someras se utiliza la refracción inversa, que consiste en trazar rayos en varios
ángulos, desde un punto fijo en aguas someras hasta mar abierto. El principio en que
se basa el trazo inverso de rayos se conoce como el principio de la reversibilidad de
la trayectoria de los rayos: la trayectoria inversa de un rayo, opuesta al ángulo de
aproximación de la ola, es idéntica a la trayectoria del rayo hacia adelante, es decir,
en el ángulo de aproximación de la misma ola (de aguas profundas a aguas
someras).

Los diagramas de refracción que se obtienen del trazo inverso de rayos se conocen
como diagrama en abanico. Estos proporcionan un rango de ángulos de incidencia
del oleaje que provienen de mar abierto, a partir de un conjunto de ángulos posibles
en aguas someras y del intervalo de frecuencia considerado. Con un conjunto de
diagramas en abanico se puede encontrar una representación gráfica de los
Marco Teórico

21
contornos de las direcciones de propagación del oleaje de aguas profundas que
arriban en aguas someras en función de la frecuencia. Para ello, sólo se requiere
convertir los ángulos de aproximación, para la ejecución del algoritmo numérico, en
direcciones acimutales.

2.4. Espectro de Energía del Oleaje

Las ondas oceánicas son aleatorias y se representan como la superposición de un
número infinito de ondas regulares (Pierson et al., 1955). Cada tren de ondas
presenta una frecuencia, amplitud y dirección de propagación diferente. La amplitud
de cada tren infinito de ondas es infinitesimalmente pequeña y la energía total del
oleaje es finita en proporción con la altura al cuadrado (Goda, 1997). La distribución
de energía de las ondas generadas por el viento (olas) se conoce como función de
densidad espectral direccional o simplemente espectro direccional del oleaje. Es
costumbre expresarla como para indicar su dependencia de la frecuencia ( )
y dirección de propagación ( ).

2.4.1. Espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz.

Pierson y Moskowitz (1964) estudiaron los espectros de oleaje del Atlántico del Norte
y propusieron una expresión del espectro de energía que representa el estado del
mar en aguas profundas para un oleaje completamente desarrollado, basado en la
expresión obtenida por Kitaigorodskii a partir del análisis dimensional y en medidas
directas del oleaje. Es decir, su modelo depende únicamente de la intensidad del
viento. La descripción de un estado del mar con un oleaje completamente
desarrollado es dada por el espectro en frecuencia de Pierson-Moskowitz (Pierson y
Moskowitz, 1964; Fréchot, 2006),

(34)

Marco Teórico

22
donde es el espectro de energía del oleaje en frecuencia o espectro del
oleaje, es la constante de Philips con un valor numérico de 0.0081, y se
denomina máximo de la frecuencia espectral y se obtiene de,

(35)

donde es la rapidez del viento (ms
-1), medida a una altura de 10 m arriba del nivel
del mar. En la ecuación (34) se considera que el viento ha soplado durante varias
horas sobre un área relativamente grande sin cambio alguno y que el crecimiento del
oleaje es prácticamentenulo.

Las unidades del espectro de energía en la ecuación (34) son m2s o m2/Hz. Es
pertinente preguntarse por qué el espectro de energía no tiene unidades de energía.
La respuesta es un abuso en el lenguaje oceanográfico. Una breve explicación se da
a continuación. En la teoría lineal del oleaje, la varianza de la elevación de la
superficie libre es proporcional a la altura de la ola al cuadrado: ; la
densidad espectral de la varianza representa la distribución de la varianza sobre
intervalos de frecuencia y sus unidades son precisamente m2s o m2/Hz. Es
conceptualmente más adecuado expresar las unidades de la densidad espectral de
la varianza como m2/Hz porque se hace referencia a la frecuencia de la ola en lugar
de un intervalo de tiempo (Holthuijsen, 2007). Entonces, la ecuación (34) es en
realidad la densidad espectral de la varianza. Ahora bien, la densidad espectral de
energía o espectro de energía del oleaje, es estrictamente la densidad espectral de
la varianza multiplicada por el factor , de tal manera que las unidades son J/m2Hz,
es decir, energía por área unitaria por frecuencia. El abuso del lenguaje está en
nombrar la densidad espectral de la varianza como densidad espectral de energía,
pero ¿a qué se debe esto? En la teoría del oleaje, la energía total de la ola es la
suma de la energía potencial y la energía cinética: , y se acostumbra
denominarla densidad total de energía o simplemente densidad de energía. Dado
que, como se mencionó anteriormente, la varianza es proporcional a la altura de la
ola al cuadrado, entonces la densidad de energía es proporcional a la varianza:
Marco Teórico

23
, y las unidades son J/m2, es decir, energía por área unitaria. Aquí es
importante resaltar que en Oceanografía, la energía se trabaja por área unitaria, es
algo que se da por enterado y coloquialmente no se menciona. El abuso del lenguaje
consiste en que al ser la densidad espectral de la varianza y la densidad de energía
ambas proporcionales a la altura al cuadrado, se llame entonces a la densidad
espectral de la varianza como densidad espectral de energía, espectro de energía
del oleaje o simplemente espectro del oleaje.

2.4.2. Espectro en frecuencia de JONSWAP.

Para un mar con alcance limitado en donde el crecimiento del oleaje es continuo
(mares con un alcance del viento menor), la descripción adecuada es dada por el
espectro de JONSWAP (Hasselmannet al., 1973),

(36)

El término representa un factor de aumento del máximo espectral
que puede variar entre 1 y 7, y para ,

–

(37)

donde el parámetro controla la amplitud del máximo espectral de acuerdo a,

si
si
(38)

y en donde los parámetros típicos para calcular son los siguientes: en lugar de
la constante en (34) se utiliza,

(39)
Marco Teórico

y en lugar de en (35) se usa,

(40)

En las ecuaciones (39) y (40), es el alcance limitado del viento en metros. Notar
que en el espectro de Pierson-Moskowitz depende únicamente de , mientras
que en el espectro JONSWAP es función de y de . Para propósitos
comparativos entre estos dos espectros, en el trabajo presente se igualan las
ecuaciones (35) y (40) de manera que el alcance del viento que se utiliza para el
espectro JONSWAP es,

(41)

con lo cual es posible comparar los espectros de Pierson-Moskowitz y JONSWAP
con la misma .

2.4.3. Espectro direccional de energía del oleaje refractado.

Los espectros direccionales del oleaje refractado proveen la descripción completa de
un determinado estado del mar y además son útiles para los cálculos de la
transformación del oleaje cuando éste se propaga hacia la costa. El espectro
direccional del oleaje refractado en un sitio ubicado en aguas someras se puede
estimar como (LeMéhauté y Wang, 1982)

(42)

En la ecuación (42) las variables con subíndice indican una evaluación en aguas
someras mientras que las variables con subíndice consideran una evaluación en
Marco Teórico

25
aguas profundas; donde es la velocidad de grupo y es la función inversa
de dirección. La ecuación (42) transforma un espectro de energía en el dominio de
las frecuencias para aguas profundas , en un espectro direccional en aguas
someras a través de la función inversa de dirección que se
obtiene del trazo inverso de rayos. Un resumen del fundamento físico de (42) es
dado en el Anexo B.

El factor constante , se puede expresar de la siguiente manera

(43)

En (42), el término se puede descomponer como,

(44)

donde se normaliza de manera que,

(45)

El espectro direccional del oleaje representa la distribución de la varianza sobre
bandas de frecuencia y de dirección. Las unidades de las bandas de frecuencia son
Hz y las bandas de dirección, aunque son adimensionales, sus unidades son
radianes o grados (Holthuijsen, 2007). Entonces, las unidades del espectro
direccional del oleaje son: m2/Hz/grado. Abusando del lenguaje, en Oceanografía se
acostumbra nombrar al espectro direccional del oleaje indistintamente como espectro
direccional de energía.
Observaciones Disponibles

26
3. Observaciones Disponibles

3.1. Boyas Oceanográficas

Las boyas que mantiene el programa estadounidense National Data Buoy Center
(NDBC) tienen la capacidad de realizar una gran variedad de mediciones
meteorológicas y oceanográficas (Tabla 2), las cuales son de acceso público
(http://www.ndbc.noaa.gov). Las boyas utilizan anemómetros para registrar cada
hora los parámetros del viento; estos son las mediciones más importantes realizadas
por las boyas NDBC, porque son esenciales para los pronósticos del tiempo marino
(NDBC, 2009).

Tabla 2. Parámetros que miden las boyas oceanográficas NDBC en aguas
profundas.
Parámetro Identificador Descripción
Presión
atmosférica
BARO
Su variabilidad en tiempo y espacio es de gran
importancia en el análisis de las cartas
sinópticas meteorológicas y de predicción.
Dirección del
viento
WDIR
Es la dirección de la cual proviene el viento a
partir del norte verdadero (0° N).
Rapidez del viento WSPD Es un valor escalar promedio en (ms-1).
Máxima rapidez del
viento
GUST
Es el valor máximo de la rapidez del viento
(ms-1).
Temperatura del
aire y agua
ATMP-WTMP
Son las mediciones de la temperatura en
grados Celsius (°).
Período de la ola
promedio
AVGPD
Corresponde al cociente entre la frecuencia de
la ola y el espectro del oleaje en área iguales
(ms-1).
Período dominante
de la ola
DOMPD
Es el período que corresponde a la máxima
frecuencia espectral (s).
Altura significante
de la ola
WVHGT
Es determinada de la varianza del
desplazamiento del espectro (m).
Dirección del
oleaje
MWDIR
Es la dirección de la cual proviene el oleaje en
el período dominante a partir del norte
verdadero (0° N).
Nivel del agua TIDE
Es el promedio de la altura mínima de la marea
en bajamar observada durante el día ( ).

En la Figura 4 se observa la ubicación de las tres boyas oceanográficasque
mantiene la NDBC frente a la costa de Tamaulipas. En donde se utilizó la
http://www.ndbc.noaa.gov/
Observaciones Disponibles

27
información del viento (rapidez y dirección), más de treinta años de mediciones para
la boya 42002A (1972-2007) que se encuentra frente a la costa Norte de Tamaulipas;
la estación 42002B (2008-2010) fue reinstalada en el año 2008, y cinco años de la
boya 42055 (2005-2010) ya que ésta última no cuenta con mayor información, la cual
se encuentra aproximadamente frente a la costa Sur de Tamaulipas.

Figura 4. Boyas oceanográficas (NDBC), ubicadas frente a la costa Norte de
Tamaulipas.

La Tabla 3 presenta información concerniente a los tres sitios de interés: la ubicación
y el número total de registros de los parámetros de viento en los períodos referidos
anteriormente.

Observaciones Disponibles

28
Tabla 3. Información de las tres boyas oceanográficas de la NDBC ubicadas frente a
la costa de Tamaulipas.
Boyas
Total de
registros
Profundidad
del fondo (m)
Posición
National
Data Buoy
Center
42002A 257888 3315 25.16° N 94.41° O
42002B 21210 3566 25.78° N 93.65° O
42055 41442 3380 22.01° N 94.33° O

3.2. Boyas Virtuales

Las boyas virtuales son resultados del modelo numérico WAVEWATCH-III
(desarrollado por la NOAA) para una latitud y longitud dadas
(http://buoyweather.com). La información que proporcionan las boyas virtuales que
se encuentran distribuidas a lo largo de la costa de Tamaulipas se describen en la
Tabla 4. Dicha información no es gratuita.

Para obtener resultados confiables de los estudios de refracción se necesita contar
con al menos un año de mediciones continuas en una posición fija, por lo cual se
realizó el pago de ésta información para tener acceso al archivo histórico de datos. El
archivo histórico proporciona información cada tres horas desde el año de 1997
hasta la actualidad. En este trabajo sólo se han analizado los primeros dos años de
los datos de tres boyas virtuales (BV 14-16) que se encuentran más cercanas a
Playa Miramar (Figura 5). De acuerdo al manual de WAVEWATCH-III, la dirección
del máximo espectral se define como la dirección promedio de la ola, la cual sigue la
convención meteorológica, es decir, la dirección de donde vienen las olas.

http://buoyweather.com/
Observaciones Disponibles

29
Tabla 4. Parámetros que registran las boyas virtuales (Buoyweather) distribuidas a lo
largo de la costa de Tamaulipas.
Parámetro Descripción
Altura
significante de la
ola
El valor promedio del tercio de mayor altura de la
distribución de las olas ( ).
Período del
máximo espectral
de la ola
El intervalo de tiempo en trasladarse las crestas de las
olas por un punto fijo ( ).
Dirección del
máximo espectral
de la ola
La dirección del oleaje con la máxima densidad espectral
( , convención meteorológica, es decir, de donde vienen
las olas.)
Rapidez del
viento
Es el valor máximo de la rapidez del viento ( ).
Dirección del
viento
Es la dirección de la cual proviene el viento medida en
relación al norte verdadero (0° N).

Figura 5. Localización de las boyas virtuales (Buoyweather) a lo largo de la costa de
Tamaulipas.

Observaciones Disponibles

30
3.3. Cartas Náuticas Digitales

La batimetría de la zona de estudio se obtuvo a partir de las cartas náuticas que
elabora la SEMAR (SM-700 y SM-722) y las correspondientes digitales en formato
TIF (28320 y 28330) que elabora la NOAA. Las cartas náuticas son útiles para
verificar el cumplimiento del criterio de refracción, además que la batimetría se
requiere como información de entrada para efectuar la refracción inversa del oleaje.
Las cartas de la NOAA muestran profundidades que varían desde 2 m hasta 3000 m.
Los rasgos sobresalientes son tres bajos submarinos con profundidades de 47 m, 10
m y 25 m, respectivamente. Tales bajos se han etiquetado como Bajo 1, Bajo 2 y
Bajo 3; los dos primeros fueron reportados en 1928 y 1926 frente a Playa Miramar
(véase Figura 18).

Las cartas náuticas de la SEMAR muestran profundidades mínimas de 5 m y las
máximas de 700 m, aproximadamente. Estas cartas son útiles para verificar los bajos
que se reportaron en las cartas de la NOAA, los cuales fueron registrados por la
SEMAR en los años 1923 (47 m) y 1926 (9 m). En el presente trabajo se han
utilizado las cartas de la NOAA debido a que proporcionan la información batimétrica
digital más reciente de la costa Sur de Tamaulipas.
Metodología

31
4. Metodología

4.1. Procesamiento de Datos de Boyas Oceanográficas

En la Figura 6 se observa el diagrama de flujo que esquematiza el programa
desarrollado en MATLAB para el tratamiento de los parámetros del viento (rapidez y
dirección), obtenidos de la información registrada por los tres sitios de interés (boyas
NDBC), ubicados frente a la costa de Tamaulipas.

El procedimiento consiste primero en realizar una lectura de las variables de
dirección y rapidez del viento (convención meteorológica) de la base de datos original
de cada boya a través de un programa desarrollado en MATLAB. Luego el programa
identifica valores que se consideran como poco confiables (99 en rapidez y 999
dirección del viento), es decir, períodos donde no se realizaron mediciones de
algunos de los parámetros de interés, posiblemente por mantenimiento de las boyas
oceanográficas, por lo que se realiza una depuración de estos valores poco
confiables. Se eliminó un 3% del total de datos de rapidez y dirección del viento de la
base de datos original de la boya 42002A, y casi un 50% en la boya 42055, mientras
que la boya 42002B generó el 100% de valores confiables, por lo cual se empleó en
su totalidad los datos de estas variables del viento.

Metodología

Figura 6. Diagrama de flujo del programa desarrollado en MATLAB para el
procesamiento de las mediciones del viento hechas por la boyas oceanográficas que
administra la NDBC frente a la costa de Tamaulipas.

Posteriormente, se utilizan los datos depurados de la rapidez y dirección del viento
de las tres boyas oceanográficas y se aplican a cada boya los criterios de los
intervalos de direcciones e intensidades para las condiciones de calma, frente frío y
tormenta (Tabla 5). Finalmente, se visualizan a través de las rosas del viento.

Metodología

33
Tabla 5. Intervalos de direcciones e intensidades de las condiciones de calma, frente
frío y tormenta (convención meteorológica, de donde proviene el viento a partir del
norte verdadero 0° N).
CONDICIÓN

Calma
Frente frío
Tormenta

La clasificación de los intervalos de intensidades y direcciones del viento que se usan
para las tres condiciones (calma, frente frío y tormenta,) se basa en la información
proporcionada en dos diferentes portales Web: http://smn.cna.gob para frentes fríos;
y http://weather.unisys.com para depresiones, tormentas tropicales y huracanes. En
éste trabajo se englobó en condiciones de tormenta a las correspondientes para
depresiones tropicales, tormentas tropicales y huracanes.

Por otro lado, los valores de la rapidez del viento de las tres boyas también se
visualizan por medio de histogramas de frecuencia, a los cuales se les ajusta las
curvas de distribución de probabilidad de Weibull y Rayleigh. El ajuste se obtiene a
través de funciones intrínsecas de MATLAB, las cuales consideran estimadores de
máxima verosimilitud con un intervalo de confianza del 95% para los parámetros que
definen ambas distribuciones.

4.2. Procesamiento de Datos de Boyas Virtuales

La Figura 7 ilustra la metodología a seguir para la obtención de la información de las
boyas virtuales (Buoyweather). La Figura 7 también muestra el diagrama de flujo a