Estudio-experimental-de-cada-de-presion-total-y-extra-de-fluidos-viscoelasticos-a-traves-de-una-contraccion-expansion-rectangular

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
FACULTAD DE QUÍMICA 
 
 
 
ESTUDIO EXPERIMENTAL DE CAÍDA DE 
PRESIÓN TOTAL Y EXTRA DE FLUIDOS 
VISCOELÁSTICOS A TRAVÉS DE UNA 
CONTRACCIÓN-EXPANSIÓN RECTANGULAR 
 
 
 
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE 
INGENIERA QUÍMICA PRESENTA: 
 
JAQUELINE TREJO MÉNDEZ 
 
 
 
MÉXICO, D.F. 2014 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
Restricciones de uso 
 
DERECHOS RESERVADOS © 
PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL 
 
Todo el material contenido en esta tesis esta protegido por la Ley Federal 
del Derecho de Autor (LFDA) de los Estados Unidos Mexicanos (México). 
El uso de imágenes, fragmentos de videos, y demás material que sea 
objeto de protección de los derechos de autor, será exclusivamente para 
fines educativos e informativos y deberá citar la fuente donde la obtuvo 
mencionando el autor o autores. Cualquier uso distinto como el lucro, 
reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
 
JURADO ASIGNADO: 
 
Presidente 
Vocal 
Secretario 
1er. Suplente 
2do. Suplente 
 
Antonio Valiente Barderas 
Lucila Cecilia Méndez Chávez 
Mariano Pérez Camacho 
Genovevo Silva Pichardo 
Blanca Estela García Rojas
 
 
SITIO DONDE SE DESARROLLÓ EL TEMA: 
 
Laboratorio de Ingeniería Química, Facultad de Química 
 
ASESOR DEL TEMA: 
 
M.I. Mariano Pérez Camacho 
 
SUSTENTANTE: 
Jaqueline Trejo Méndez 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 3 
 
 
ÍNDICE 
 
CAPÍTULO 1 
ANTECEDENTES Y FUNDAMENTOS TEORICOS 
 
1.1.Antecedentes ............................................................................................. 11 
1.2.FundamentosTeóricos ................................................................................ 13 
1.2.1.Flujo Cortante Simple .............................................................................. 13 
1.2.2. Flujo ExtensionalUniaxial ....................................................................... 14 
1.2.3. Contracción Simple y Contracción-Expansión. ....................................... 16 
1.2.4. Emulsiones asociativas alcalinas-solubles hidrofóbicamente modificadas 
(HASE). ............................................................................................................ 17 
1.2.5. Ecuación de Hagen – Poseuille para geometrías rectangulares. ........... 19 
1.2.6. Ecuación de Weissenberg-Rabinowich .................................................. 23 
1.2.7. Ecuación para el cálculo de la rapidez corte en las paredes de un tubo 
rectangular. ...................................................................................................... 25 
1.2.8. Modelo Bautista-Manero-Puig. ............................................................... 26 
 
CAPÍTULO 2 
DINAMICA DEL COMPORTAMIENTO DE FLUIDOS NO NEWTONIANOS EN 
CONTRACCIÓN 
 
2.1. Dinámica del comportamiento de un fluido no newtoniano viscoelástico en 
una contracción axisimétrica. ........................................................................... 28 
2.1.2. Formación del flujo mixto en contracciones axisimétricas para fluidos no 
newtonianos. .................................................................................................... 35 
2.2. Dinámica del comportamiento de un fluido no newtoniano viscoelástico en 
una contracción rectangular. ............................................................................ 40 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 4 
 
2.2.1. Caída de presión total a través de una contracción-expansión rectangular44 
 
CAPÍTULO 3 
DESARROLLO EXPERIMENTAL 
 
3.1. Equipo y Desarrollo Experimental ............................................................. 48 
3.1.1. Descripción del equipo. .......................................................................... 50 
3.2. Preparación de Soluciones ........................................................................ 54 
3.2.1. Solución de Hase al 2.5%. ..................................................................... 54 
3.2.2. Solución de Boger. ................................................................................. 55 
3.3. Estudios de Caída de Presión. .................................................................. 57 
3.3.1. Calibración de Sensores ........................................................................ 57 
3.4. Visualización de Vortices........................................................................... 59 
 
CAPÍTULO 4 
ANALISIS DE RESULTADOS EXPERIMENTALES 
 
4.1. Fluido de Boger en Contracción-Expansión Rectangular 2:1:2. ................ 62 
4.2. Fluido de Hase en Contracción-Expansión Rectangular 2:1:2. ..................... 
4.3. Contracción – Expansión Axisimétrica y Rectangular 2:1:2 ...................... 65 
4.4. Fluido de Boger en Contracción-Expansión Rectangular 4:1:4. ................ 70 
4.5. Fluido de Hase en Contracción-Expansión Rectangular 4:1:4...................74 
4.6. Contracción – Expansión Axisimétrica y Rectangular 4:1:4 ...................... 73 
4.7. Fluido de Boger en Contracción-Expansión Rectangular 6:1:6. ................ 78 
4.8. Fluido de Hase en Contracción-Expansión Rectangular 6:1:6. ..................... 
4.6. Contracción – Expansión Axisimétrica y Rectangular 6:1:6 ...................... 81 
4.10. Fluido de Boger en Contracción-Expansión Rectangular 8:1:8. .............. 84 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 5 
 
4.11. Fluido de Hase en Contracción-Expansión Rectangular 8:1:8..................... 
4.12. Contracción – Expansión Axisimétrica y Rectangular 8:1:8 .................... 87 
 
CAPÍTULO 5 
5. CONCLUSIONES…………………………………………………………………93 
 
ANEXO 
 
A.Algoritmo de cálculo para el tratamiento de datos experimentales. .............. 94 
B. Datos de calibración de los sensores de presión. ........................................ 99 
C. Datos experimentales del fluido de Boger en contracción-expansión 
rectangular 2:1:2. ........................................................................................... 100 
D. Datos experimentales del fluido de Hase en contracción-expansión 
rectangular 2:1:2. ........................................................................................... 101 
E. Datos experimentales del fluido de Boger en contracción-expansión 
rectangular 4:1:4. ........................................................................................... 102 
F. Datos experimentales del fluido de Hase en contracción-expansión 
rectangular 4:1:4. ........................................................................................... 103 
G. Datos experimentales del fluido de Boger en contracción-expansión 
rectangular 6:1:6. ........................................................................................... 104 
H. Datos experimentales del fluido de Hase en contracción-expansión 
rectangular 6:1:6. ........................................................................................... 105 
I. Datos experimentales del fluido de Boger en contracción-expansión 
Rectangular 8:1:8. .......................................................................................... 106 
J. Datos experimentales del fluido de Hase en contracción-expansión 
Rectangular 8:1:8. .......................................................................................... 107 
 
BIBLIOGRAFÍA 
Bibliografía…………………………………………………………………………111 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 6 
 
ÍNDICE DE FIGURAS Y TABLAS 
 
CAPÍTULO 1 
 
Figura 1. 1. Formación del perfil de velocidad en estado estacionario para un 
fluido contenido entre dos láminas. ....................................................................... 13 
Figura 1. 2. Flujo extensional uniaxial. ................................................................. 16 
Figura 1. 3. Esquema de una contracción simple (a) y de una contracción-
expansión (b). ........................................................................................................17 
Figura 1. 4. Estructura del HASE. ......................................................................... 18 
Figura 1. 5. Esquema de una rendija. ................................................................... 20 
 
CAPÍTULO 2 
 
Figura 2. 1. Esquema de un flujo axisimétrico en contracción simple. ................. 28 
Figura 2. 2. Distribución de energía en un flujo en contracción simple 
axisimétrica. .......................................................................................................... 29 
Figura 2. 3. Esquema de un tubo. ........................................................................ 31 
Figura 2. 4. Distribución de la caída de presión total en una contracción-
expansión axisimétrica. ......................................................................................... 32 
Figura 2. 5. Representación de las longitudes empleadas en la contracción-
expansión axisimétrica. ......................................................................................... 33 
Figura 2. 6. Diferentes zonas en donde se desarrolla un flujo mixto al paso de 
un fluido a través de una contracción. ................................................................... 36 
Figura 2. 7. Interacción de la primera diferencia de esfuerzos normales con los 
esfuerzos mixtos a lo largo del radio de la contracción. ........................................ 38 
Figura 2. 8. Desarrollo preferencial del flujo extensional en el desarrollo de un 
flujo mixto .............................................................................................................. 40 
Figura 2. 9. Esquema de un flujo rectangular en contracción simple. .................. 41 
Figura 2. 10. Dinámica del fluido Newtoniano a través de una contracción 
rectangular. ........................................................................................................... 42 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 7 
 
Figura 2. 11. a) Patrón de la divergencia del flujo del fluido de Boger en 
pequeños relaciones de contracción. b) Divergencia del fluido de Boger 
observada por Sousa (2) en pequeñas relaciones de contracción. ....................... 43 
Figura 2. 12. Esquema de las caídas de presión para la contracción-expansión 
rectangular. ........................................................................................................... 44 
Figura 2. 13. El esquema muestra las variables empleadas en la contracción-
expansión rectangular ........................................................................................... 46 
Figura 2. 14. Ecuaciones empleadas para una geometría axisimétrica y 
rectangular ............................................................................................................ 47 
 
CAPÍTULO 3 
Figura 3. 1. Equipo para experimentación con geometría rectangular. ............... 49 
Figura 3. 2. Etapas del trabajo de experimentación. ........................................... 49 
Figura 3. 3. Esquema del equipo experimental empleado con geometría 
rectangular. ........................................................................................................... 50 
Figura 3. 4. Tabla con características de las geometrías empleadas. ................. 52 
Figura 3. 5. Placas de contracción-expansión rectangular. ................................. 52 
Figura 3. 6. Zona de control electrónico. ............................................................. 53 
Figura 3. 7. Reología comparativa entre la solución de Hase al 2.5% y un 
fluido de Boger. ..................................................................................................... 56 
Figura 3. 8. Montaje experimental para la calibración de los sensores de 
presión. ................................................................................................................. 57 
Figura 3. 9. Curvas de Calibración de los sensores. ........................................... 58 
Figura 3. 10. Montaje de una cámara oscura para la visualización de vórtices. .. 59 
 
CAPÍTULO 4 
Figura 4. 1. Esquema de los dados empleados en la contracción-expansión 
rectangular. ........................................................................................................... 60 
Figura 4. 2. Tabla de Variables empleadas en el fluido de Boger en la 
Contracción-expansión 2:1:2, 4:1:4, 6:1:6 y 8:1:8. .................................................... 
Figura 4. 4. Caída de Presión Total vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 2:1:2 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 63 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 8 
 
Figura 4. 5. Caída de Presión Extra vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 2:1:2 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 64 
Figura 4. 6. Fotografía de corrientes de flujo en una contracción-expansión 
axisimétrica 2:1:2 para a) Boger y b) Hase. ......................................................... 68 
Figura 4. 9. Caída de Presión Total vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 4:1:4 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 71 
Figura 4. 10. Caída de Presión Extra vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 4:1:4 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 72 
Figura 4. 11. Fotografía de corrientes de flujo en una contracción-expansión 
axisimétrica 4:1:4 para a) Boger y b) Hase. .......................................................... 76 
Figura 4. 14. Caída de Presión Total vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 6:1:6 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 79 
Figura 4. 15. Caída de Presión Extra vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 6:1:6 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 80 
Figura 4. 16. Fotografía de corrientes de flujo en una contracción-expansión 
axisimétrica 6:1:6 para a) Boger y b) Hase. .......................................................... 83 
Figura 4. 19. Caída de Presión Total vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 8:1:8 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 85 
Figura 4. 20. Caída de Presión Extra vs Rapidez de Corte en la contracción-
expansión 8:1:8 en una geometría a) Rectangular y b) Axisimétrica. ................... 86 
Figura 4. 21. Fotografía de corrientes de flujo en una contracción-expansión 
axisimétrica 6:1:6 para a) Boger y b) Hase. .......................................................... 89 
 
ANEXO 
 
Figura A. 1. Variables importantes para el algoritmo de cálculo. .......................... 94 
Figura B. 1. Datos experimentales para la calibración de los sensores de 
presión .................................................................................................................. 99 
Figura C. 1. Corrida experimental para el Boger al 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 2:1:2. ................................................................. 100 
Figura D. 1. Corrida experimental para el Hase al 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 2:1:2. ................................................................. 101 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 9 
 
Figura E. 1. Corrida experimental para el Boger al 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 4:1:4. ................................................................. 102 
Figura F. 1. Corrida experimental para el Hase al 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 4:1:4. ................................................................. 103 
Figura G. 1. Corrida experimental para el Bogeral 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 6:1:6. ................................................................. 104 
Figura H. 1. Corrida experimental para el Haseal 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 6:1:6. ................................................................. 105 
Figura I. 1. Corrida experimental parael Boger al 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 8:1:8. ................................................................. 106 
Figura J. 1. Corrida experimental para el Hase al 2.5%. CONTRACCIÓN-
EXPANSIÓN RECTANGULAR 8:1:8. ................................................................. 107 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 10 
 
INTRODUCCIÓN 
El desarrollo de este trabajo tiene como principal objetivo, el estudio de la 
dinámica del comportamiento de un fluido no newtoniano viscoelástico en una 
contracción-expansión rectangular, a través del estudio de caídas de presión 
extra. 
 
La experimentación consiste en la medición de caídas de presión total, de a 
través de sensores de voltaje, incrustados en un tubo de geometría rectangular, 
los fluidos utilizados para esta experimentación son Hase y de Boger. El fluido 
entra por la parte superior del tubo, pasa a través de una contracción, para 
posteriormente expandirse nuevamente. Las relaciones de contracción-
expansión empleadas son 2:1:2, 4:1:4, 6:1:6 y 8:1:8. 
 
Se presume que para valores más altos de caída de presión extra, se presenta 
un mayor desarrollo del flujo extensional, sin embargo este se inhibe, por 
efectos elásticos dados en el fluido. 
 
Para realizar el análisis de los datos obtenidos se emplea la ecuación de 
Hagen-Poseuille para la determinar las diferentes caídas de presión presentes 
en la experimentación, al igual que la ecuación de Weisenberg y Rabinowich 
para el cálculo de la rapidez de corte en la contracción de una geometría 
rectangular; de igual forma se emplea el modelo Bautista-Manero-Puig, para la 
obtención de la viscosidad cortante adelgazante del fluido Hase. 
A partir de los resultados obtenidos, se analiza el efecto de la caída de presión 
extra en función de la rapidez de corte. Por último, en este trabajo se 
comparara los valores obtenidos de la caída de presión extra para una 
contracción-expansión con geometría rectangular contra los datos obtenidos 
para en una geometría axisimétrica, los valores de caída de presión extra para 
la geometría axisimétrica, son proporcionados por el Ing. Mariano Pérez 
Camacho (12), obtenidos de la experimentación para su trabajo de Doctorado. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 11 
 
CAPITULO 1 
1. ANTECEDENTES Y FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
1.1. Antecedentes 
 
El flujo de fluidos viscoelásticos a través de contracciones – expansiones, es un 
flujo que ha llamado la atención desde los últimos treinta años, es un flujo 
importante en el procesamiento industrial de polímeros, se presenta durante el 
procesamiento de los mismos mediante extrusión, recubrimientos, inyección, 
entre otros. (8). 
P.C. Sousa (13) investigo el flujo de fluidos newtonianos y el fluido de Boger 
(fluido viscoelástico de viscosidad constante) a través de contracciones 
rectangulares, visualizó el patrón de flujo empleando velocimetria de partículas; 
realizó mediciones de caídas de presión extra en diferentes relaciones de 
contracción. Para fluidos viscoelásticos encontró que el fluido sufre una 
recirculación antes de entrar en la contracción provocando la formación de 
flujos complejos, que depende del tamaño de la contracción y del número de 
Deborah. Explicó que la caída de presión extra, que es consecuencia del flujo 
extensional en la contracción y la cual está asociada con la presencia de 
vórtices, puede obtenerse a partir de la caída de presión total. 
Rohstein y McKinley (14) estudiaron un fluido de Boger a través de una 
contracción-expansión axisimétrica, a través de varias relaciones de 
contracción y rangos de números de Deborah; encontraron que el incremento 
de la caída de presión total para un fluido newtoniano es independiente del 
radio de contracción, estudiaron el efecto del tamaño de la contracción en la 
caída de presión extra concluyendo que en ausencia de elasticidad la caída de 
presión extra debería ser similar para diferentes tamaños de contracción-
expansión. 
S. Nigen y K. Walters (15) estudiaron dos polímeros de viscosidad constante 
(fluidos de Boger) en contracción axisimétrica y planar para analizar el efecto 
de la elasticidad; gracias a este experimento encontraron que los fluidos 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 12 
 
Newtonianos y los de Boger presentan el mismo esfuerzo cortante, además de 
que en contracciones axisimétricas los resultados muestran que solo hay 
presencia de vórtices en el fluido de Boger, debido a la elasticidad del fluido lo 
cual está asociado a la caída de presión; en el caso de la contracción planar no 
se encontraron la presencia de vórtices. 
K. Walters (17) estudió el comportamiento de fluidos de alta viscosidad 
constante, fluidos con el mismo esfuerzo cortante y con diferencia de esfuerzos 
normales en corte diferentes, en el que para ellos los fenómenos más 
importantes eran el flujo en la contracción axisimétrica y el ensanchamiento del 
fluido, observó que en presencia de una viscosidad extensional alta el flujo 
fluye lentamente mientras que para el fluido con la diferencia de esfuerzos 
normales ocurre el fenómeno contrario. 
Desde los años de 1800 investigadores como Hagenback, Boussinesq y Coutte 
investigaron la caída de presión en fluidos que pasan por contracciones 
axisimétricas (6). 
D. V. Boger (6) encontró que dependiendo del número de Reynolds y del tipo 
de fluido se pueden presentar vórtices en el contorno de la contracción, 
menciona que las características de los vórtices son de particular interés 
durante el diseño de procesos de extracción. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 13 
 
1.2. Fundamentos Teóricos 
1.2.1. Flujo Cortante Simple 
 
Para explicar el flujo cortante simple se considera un fluido (liquido o gas) 
contenido entre dos grandes laminas planas y paralelas, de área A, separadas 
entre sí por una distancia muy pequeña Y. Supongamos que el sistema esta 
inicialmente en reposo t = 0, pero al cabo del tiempo t>0, la lámina inferior se 
pone en movimiento en la dirección del eje x, con una velocidad constante V. A 
medida que transcurre el tiempo el fluido gana cantidad de movimiento, 
conforme transcurre un tiempo se establece el perfil de velocidades en régimen 
estacionario, como se muestra en la figura 1.1. Una vez alcanzado dicho 
estado estacionario de movimiento, es preciso aplicar una fuerza constante F 
para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza viene dada por 
la siguiente expresión (suponiendo un flujo laminar) (3): 
𝐹
𝐴
= 𝜇
𝑉
𝑌
…………………………....1.1 
 
Figura 1. 1. Formación del perfil de velocidad en estado estacionario para un fluido 
contenido entre dos láminas. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 14 
 
Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de 
la velocidad con la distancia Y. La constante de proporcionalidad 𝜇 se 
denomina viscosidad del fluido. Con lo anterior el esfuerzo cortante que se 
ejerce en la superficie del fluido en la dirección x, aplicado a una distancia 
constante y, por el fluido existente en la región donde Y es menor, se designa 
por 𝜏𝑦𝑥, y el componente x del vector de velocidad del fluido, por 𝑣𝑥, por lo que 
la ecuación 1.2. queda expresada de la siguiente forma (3): 
 
𝜏𝑦𝑥 = −𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
……………………………1.2 
 
Es decir que la fuerza que se aplica por unidad de área es proporcional al 
gradiente negativo de la velocidad. Esta es la ley de newton de la viscosidad, y 
los fluidos que la cumplen se denominan fluidos newtonianos, todos los fluidos 
que no obedecen a esta ley (esencialmente pastas, suspensiones y polímeros 
de elevado peso molecular) se conocen como fluidos no newtonianos. (3) 
1.2.2. Flujo Extensional Uniaxial 
 
Un flujo extensional ocurre cuando el gradiente de velocidad está en la misma 
dirección del flujo (Figura 1.2) donde las flechas indican la dirección en la que 
se deforma el flujo, mientras un flujo cortantese da cuando el gradiente de 
velocidad es perpendicular al flujo, se puede explicar de mejor manera la 
diferencia entre cada tipo de flujo, por ejemplo, en el flujo cortante el fluido gira 
y se deforma ligeramente, mientras que en un extensional el fluido sufre un 
estiramiento hasta formar un filamento, a partir del tensor gradiente de 
velocidades, que en forma general se expresa como (11): 
 
𝐿𝑖𝑗 = 𝐷𝑖𝑗 + 𝑊𝑖𝑗……………………………1.3 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 15 
 
Donde: 
𝐿𝑖𝑗= Componentes i, j, den tensor gradiente de velocidades. 
𝐷𝑖𝑗= Componentes i, j del tensor rapidez de deformación. 
𝑊𝑖𝑗= Componentes i, j del tensor vorticidad 
 
O también: 
 
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
=
1
2
(
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
) +
1
2
(
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
)…………………………….1.4 
 
O en notación matricial en coordenadas rectangulares. 
 
[
 
 
 
 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 ]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
)
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
1
2
(
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
)
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 ]
 
 
 
 
+
[
 
 
 
 
−
0
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
) −
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
)
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
) 0
1
2
(
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
−
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
)
1
2
(
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
−
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
) −
1
2
(
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
−
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
) 0 ]
 
 
 
 
.1.5 
 
En la matriz de la figura 1.5, el valor de la diagonal igual a cero, equivale a una 
condición de incompresibilidad del fluido, cada una de las componentes de esta 
matriz corresponden a diferencias de esfuerzos normales en corte. 
Durante la extensión de un fluido no se presenta vorticidad, en un flujo 
extensional uniaxial, los gradientes de velocidad donde se observa la matriz 
son solo función del eje cartesiano donde se desarrolla la velocidad, por lo que 
la ecuación 1.5 se reduce a (11): 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 16 
 
𝐿 = ∇𝑣 =
[
 
 
 
 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 ]
 
 
 
 
=
[
 
 
 
 
𝜕𝑣𝑥
𝜕𝑥
0 0
0
𝜕𝑣𝑦
𝜕𝑦
0
0 0
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧 ]
 
 
 
 
……………………………1.6 
 
 
Figura 1. 2. Flujo extensional uniaxial. 
1.2.3. Contracción Simple y Contracción-Expansión. 
 
En la figura 1.3, se muestra el esquema de una contracción simple (Figura 
1.3.a) y de una contracción-expansión (Figura 1.3.b). En ambos tipos de 
contracción el fluido entra por la parte superior y fluye en el tubo de un radio R 
a un radio de contracción Rc, en la contracción simple el fluido permanece en 
contracción hasta que se libera la suficiente energía para lograr nuevamente el 
estado estacionario, pero con un contenido energético menor a la de su 
posición original, mientras que en la contracción-expansión, el fluido se contrae 
y se expande para volver a las condiciones iníciales de flujo antes de la 
contracción. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 17 
 
Figura 1. 3. Esquema de una contracción simple (a) y de una contracción-expansión (b). 
1.2.4. Emulsiones asociativas alcalinas-solubles 
hidrofóbicamente modificadas (HASE). 
 
Este tipo de emulsiones modernas son llamadas asociativas, se componen de 
un polímero sintético hidrofílico de estructura lineal o ramificada soluble en 
agua con una cantidad definida de ramificaciones que terminan con un grupo 
hidrofóbico, son empleadas como base para la fabricación de pinturas. 
El esquema de una emulsión asociativa podría ser: 
 
 
 
Las emulsiones asociativas alcalinas-solubles hidrofóbicamente modificadas 
conocidas como (HASE) se caracteriza por tener un cuerpo polimérico acrílico 
del tipo de las emulsiones acrílicas estándar llamadas ASE 
(alkaliswellableemulsions o emulsión alcalinosoluble) copolimerizado, con 
monómeros especiales de cortas cadenas laterales con grupos hidrofóbicos 
para desempeñar el efecto asociativo (16). 
a) b) 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 18 
 
Su mecanismo de espesamiento consiste en el aumento del volumen efectivo 
producido por hidratación y consiguiente estiramiento y entrecruzamiento de las 
cadenas de polímero, además de su propiedad viscoelástica adelgazante Sin 
embargo, el espesamiento principal se produce por interacción entre los grupos 
hidrófobos y entre los hidrofílicos, produciéndose puentes entre micelas. 
Este tipo de emulsión es sensible al pH, por lo que debe estar perfectamente 
controlado y mantenerse, normalmente, entre 8 y 10 (10). 
La estructura del Hase puede observarse en la figura 1.4, consiste en una 
cadena hidrofílica de ácido metacrílico soluble en agua, unida por un extremo a 
una molécula de acrilato de etilo, mientras que por el otro lado se encuentra 
una molécula con grupos hidrofóbicos insolubles en agua. 
 
 
Figura 1. 4. Estructura del HASE. 
 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 19 
 
1.2.5. Ecuación de Hagen – Poseuille para geometrías 
rectangulares. 
 
Para describir el comportamiento de un fluido newtoniano, viscoelástico con 
viscosidad constante (Boger) y viscoelástico adelgazante (Hase), cuando fluyen 
en una geometría rectangular con diferentes tamaños de contracción, se 
requiere del uso de la ecuación de Hagen-Poseuille para cuantificar la caída de 
presión en las diferentes puntos del sistema, por ejemplo a la entrada y salida 
de la contracción, en la entrada a la contracción, durante la contracción y la 
caída de presión total generada en el equipo. 
Las suposiciones requeridas para el modelo de Hagen-Poseuille son las 
siguientes: 
- El flujo es laminar. 
- La densidad (ρ) es constante. 
- El flujo es independiente del tiempo. 
- El fluido es newtoniano. 
- Los efectos finales son despreciables. 
- El fluido se comporta como un medio continuo. 
- No hay deslizamiento en la pared. 
 
A continuación se muestra la deducción detallada de la ecuación de Hagen-
Poseuille para una geometría rectangular. La figura 1.5 muestra el esquema de 
una rendija para identificar las variables empleadas. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 20 
 
 
 
Figura 1. 5. Esquema de una rendija. 
 
Para la deducción de la ecuación de Hagen-Poseuille partimos de la ecuación 
de movimiento en coordenadas rectangulares en función de los gradientes de 
velocidad en la dirección z, con una densidad (ρ) y viscosidad (μ) constante. 
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑥
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑥
+ 𝑣𝑦
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑦
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2
+
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑦2
+
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔𝑧…………1.7 
 
La ecuación 1.7 se simplifica en la ecuación 1.8 debido a que el sistema está 
en estado estacionario y la velocidad se da en la dirección z. 
 
𝜌 (𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2
] + 𝜌𝑔𝑧……….………….……….1.8 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 21 
 
La ecuación puede simplificarse aún más, ya que 𝑣𝑧(𝑥), por lo tanto: 
 
−
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2
] + 𝜌𝑔𝑧 = 0 ………………………….1.9 
 
La ecuación 1.9 se reacomoda de la siguiente manera: 
 
−𝜇 [
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2
] = −
𝜕
𝜕𝑧
(𝑝 + 𝜌𝑔𝑧𝑧)………………………….1.10 
 
Donde 𝑃 = −(𝑝 + 𝜌𝑔𝑧𝑧), por lo que−
𝜕
𝜕𝑧
(𝑝 + 𝜌𝑔𝑧𝑧) =
𝜕
𝜕𝑧
𝑃 
 
Por lo que la ecuación 1.10 puede escribirse así: 
 
−𝜇 [
𝜕2𝑣𝑧
𝜕𝑥2
] = (
𝑃𝐿−𝑃𝑂
𝐿
)………………………….1.11 
 
La ecuación 1.11 depende de una solo variable, por lo que se requiere el uso 
de derivadas ordinarias: 
 
−𝜇 [
𝑑2𝑣𝑧
𝑑𝑥2
] = (
𝑃𝐿−𝑃𝑂
𝐿
)…………………………..1.12 
 
Se resuelve la ecuación 1.12: 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 22 
 
𝑣𝑧 = −(
𝑃𝐿−𝑃𝑂
2𝜇𝐿
) 𝑥2 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2…………………………..1.13 
 
Las condiciones de frontera del sistema son: 
 
𝑥 = 𝐵𝑣𝑧 = 0 𝑦𝑥 = −𝐵𝑣𝑧 = 0…………….…………….1.14 
Donde, 
 
𝑐1 = 0 𝑦𝑐2 = 𝐴𝐵
2…………………………..1.15Por lo que el perfil de velocidad en una geometría rectangular se define con la 
siguiente ecuación: 
 
𝑣𝑧 = (
𝑃𝐿−𝑃𝑂
2𝜇𝐿
)𝐵2 + (1 − (
𝑥
𝐵
)
2
)………………………….1.16 
 
La velocidad promedio se define como: 
 
< 𝑣𝑧 >=
∫ ∫ 𝑣𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐵
0
𝑤
0
∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐵
0
𝑤
0
…............................1.17 
 
Al sustituir la ecuación 1.16 en la ecuación 1.17, se obtiene la ecuación que 
permite calcular la velocidad promedio en un perfil rectangular: 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 23 
 
< 𝑣𝑧 >= (
𝑃𝐿−𝑃𝑂
3𝜇𝐿
)𝐵2………………………..1.18 
 
En una geometría rectangular el área se define como: 
 
𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦
𝐵
0
𝑤
0
= 𝐴𝐵𝑤…………………………1.19 
 
Por lo tanto el flujo volumétrico se define como: 
 
𝑄 =
2∆𝑃𝐵3𝑤
3𝜇𝐿
…..……………………..1.20 
 
De la ecuación 1.20 puede despejarse la caída de presión, como se muestra en 
la ecuación 1.21, esta es la ecuación de Hagen-Poseuille y juega un papel muy 
importante a lo largo de este trabajo de tesis. 
 
∆𝑃 =
3𝑄𝜇𝐿
2𝐵3𝑤
…………………………1.21 
 
1.2.6. Ecuación de Weissenberg-Rabinowich 
 
La ecuación de Weissenberg-Rabinowich, permite conocer el valor de la 
rapidez de corte para un fluido que fluye a través de un ducto circular, y está 
dada por la ecuación 1.22 (5), 
 
−(
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑟
)
𝜏𝑤
= �̇�𝑤 = �̇�𝑎𝑤 (
3
4
+
1
4
𝑑𝑙𝑛𝑄
𝑑𝑙𝑛𝜏𝑤
)…………….……………1.22 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 24 
 
Dónde: 
�̇�𝑤 = Rapidez de corte en la pared del tubo 
�̇�𝑎𝑤= Rapidez de corte aparente en la pared del tubo = 
4𝑄
𝜋𝑅3
 
𝑄 = Flujo volumétrico 
𝜏𝑤= Esfuerzo en la pared del tubo =(
𝑅
2
)
∆𝑃
𝐿
 
El termino en paréntesis de la ecuación 1.22, corresponde al valor de pendiente 
de la grafica lnQ vs ln𝜏𝑤, que en la mayoría de los casos es cercana a uno, por 
lo que la ecuación se puede simplificar en la ecuación 1.23. 
 
−(
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑟
)
𝜏𝑤
= �̇�𝑤 =
4𝑄
𝜋𝑅3
………………………….1.23 
 
Por lo que la rapidez de corte de un fluido puede saberse si conoce sabe el 
valor del flujo volumétrico (Q) y el radio del tubo (R). 
Si el fluido sigue la ley de potencia, la rapidez de corte se puede estimar 
mediante la siguiente relación 1.24. 
 
−(
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑟
)
𝜏𝑤
= �̇�𝑎𝑤 (
3𝑛+1
4𝑛
)………………………….1.24 
 
Conociendo el esfuerzo en la pared del tubo 𝜏𝑤 y la rapidez de corte del 
tubo𝛾�̇�es posible calcular la viscosidad cortante de un fluido complejo que 
sigue la ley de la potencia, empleando la siguiente ecuación 1.25. 
 
ƞ =
𝜏𝑤
𝛾�̇�
=
𝜋𝑅4𝛥𝑃
2𝑄𝐿
(
𝑛
3𝑛+1
)…………………………1.25 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 25 
 
Para fluidos newtonianos se sabe que n=1 (ecuación 1.25). 
 
ƞ =
𝜏𝑤
𝛾�̇�
=
𝜋𝑅4𝛥𝑃
8𝑄𝐿
 …………………………1.26 
 
1.2.7. Ecuación para el cálculo de la rapidez corte en las 
paredes de un tubo rectangular. 
 
La ecuación 1.26, permite calcular la rapidez de corte en la pared del tubo en 
geometrías axisimétricas, puede deducirse una ecuación similar para obtener la 
rapidez de corte aparente en un geometría rectangular, es importante esta 
ecuación, ya que el análisis de los datos obtenidos, está en función de la 
rapidez de corte que se da en las paredes del tubo de la contracción. 
Integrando una vez la ecuación 1.12, se obtiene la ecuación 1.27, 
 
−(
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑥
) =
∆𝑃
𝜇𝐿
𝑥 − 𝑐1……………………………1.27 
 
Al obtener los valores de las constantes en la sección 1.2.5, se conoce el valor 
de 𝑐1 = 0 (ecuación 1.15), por lo que la ecuación 1.12 se simplifica en la 
ecuación 1.28, se considera que 𝑥 = 𝐵, debido al esquema de la figura 1.5, 
donde se consideran las variables empleadas en un rendija. 
−(
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑥
) =
∆𝑃
𝜇𝐿
𝐵……………………………1.28 
 
Sustituyendo la ecuación 1.21 en la ecuación 1.28, se obtiene la ecuación 1.29, 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 26 
 
−(
𝑑𝑣𝑧
𝑑𝑥
) = �̇�𝑎 =
3
2
𝑄
𝐵2𝑤
…………………………….1.29 
 
Por lo tanto esta ecuación permite calcular la rapidez de corte en las paredes 
del tubo con una geometría rectangular. 
1.2.8. Modelo Bautista-Manero-Puig. 
 
El modelo BMP (Bautista-Manero-Puig) permite predecir el comportamiento 
reológico de fluidos complejos, en los que debido a un flujo externo su 
estructura interna es modificada (7). Para realizar el estudio de los fluidos 
empleados (Hase y Boger) es necesario el uso de una ecuación constitutiva 
dada por el modelo BMP, para predecir el comportamiento de la viscosidad con 
la rapidez de corte, considerando las modificaciones dentro del fluido debido a 
gasto aplicado. 
El modelo está basado en la fluidez o inverso de la viscosidad propuesto por 
Frederickson (1). 
 
𝜕𝜑
𝜕𝑡
=
𝜕𝜂−1
𝜕𝑡
=
𝜑𝑜−𝜑
𝜆
+ 𝐾(𝜑∞ − 𝜑)𝜏 : 𝐷……………..…………..1.30 
 
Dónde: 
𝜑 = 𝜂−1 = Fluidez o inverso de la viscosidad del fluido. 
𝜑𝑜 = Fluidez a cero rapideces de deformación. 
𝜑∞ = Fluidez a muy altos valores de rapidez de deformación. 
𝜆 = Tiempo de relajamiento asociado a algún cambio de estructura. 
𝐾 = Constante cinética asociada al rompimiento o cambio de estructura. 
𝜏 : 𝐷 = Disipación viscosa asociada al rompimiento o cambio de estructura. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 27 
 
Y el modelo de Oldroy B. 
 
𝜏 +
𝜂
𝐺𝑜
𝜏∆ = 2𝜂(𝐷 + 𝜆𝐽𝐷
∆)………………………….1.31 
Dónde: 
𝜆𝐽 = Tiempo de retardación. 
𝐺𝑜 = Módulo elástico. 
𝜏∆ = Derivada convectiva superior del tensor de esfuerzos. 
 
Para flujo cortante simple en estado estacionario se han reportado las 
siguientes ecuaciones: 
 
𝜕𝜑
𝜕𝑡
=
𝜕𝜂−1
𝜕𝑡
=
𝜑𝑜−𝜑
𝜆
+ 𝐾(𝜑∞ − 𝜑)𝜏12𝛾..………………………...1.32 
 
𝜏12 +
1
𝐺𝑜𝜑
𝑑𝜏12
𝑑𝑡
−
𝜏22
𝐺𝑜𝜑
=
𝛾
𝜑
………………………….1.33
 
 
Se puede obtener una ecuación para la fluidez si se combinan la ecuación 1.32 
y 1.33 (4) bajo condiciones estacionarias haciendo sus respectivas derivadas 
temporales iguales a cero. 
𝜑𝑠𝑠 =
1
2
[−(𝐾𝑖𝜆𝑖𝛾
2 − 𝜑𝑜)+ ((𝐾𝑖𝜆𝑖𝛾
2 − 𝜑𝑜)
2 + 4𝐾𝑖𝜆𝑖𝛾
2𝜑∞)
1
2)………..1.34
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 28 
 
CAPITULO 2 
2. DINAMICA DEL COMPORTAMIENTO DE FLUIDOS NO 
NEWTONIANOS EN UNA CONTRACCIÓN 
2.1. Dinámica del comportamiento de un fluido no newtoniano 
viscoelástico en una contracción axisimétrica. 
 
En una contracción axisimétrica el fluido que proviene del tubo con radio R, y el 
fluido que pasa a través del tubo de radio de contracción Rc, comparten el 
mismo eje de coordenadas, tal como se muestra en la figura 1, donde Le se 
define como la distancia que se requiere para que el sistema alcance 
nuevamente el estado estacionario (figura 2.1). 
 
Figura 2. 1. Esquema de un flujo axisimétrico en contracción simple. 
 
ΔP 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 29 
 
Durante el paso del fluido a través del tubo con una presión 1 a una presión 2, 
el fluido posee un contenido energético asociado a cada uno de los puntos del 
sistema como se muestra en la figura 2.1 el paso del fluido a través de la 
contracción de radio Rc, provoca la liberación de energía debido al rozamiento 
del fluido con las paredes de la contracción. 
El contenido energético con el cual fluye el fluido desde la parte superior del 
tubo a la contracción es de tipo cinética, potencial y de presión, en la figura 2.2 
se muestra los diferentes tipos de energía asociadas al sistema. 
 
Figura 2. 2. Distribución de energía en un flujo en contracción simple axisimétrica. 
 
La energía liberada durante la contracción es gastada por medio de la 
disipación viscoelástica del fluido, debido al rozamiento del fluido con la pared, 
y se define como el producto de la caída de presión por el flujo volumétrico y se 
puede calcular por medio de la ecuación 2.1, este medio de consumo de 
energía, no depende de las propiedades físicas con la que se comporte el flujo, 
si no de la cantidad de gasto volumétrico que se suministre al sistema. 
 
𝜏:𝐷 = ∆𝑃 ∗ 𝑄………………………….2.1 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 30 
 
Debido a la naturaleza elástica del fluido, cuando no toda la energía logra 
consumirse como disipación viscosa, la restante se emplea en laformación y 
crecimiento de vórtices. 
Binding (2) propone la existencia de dos tipos de mecanismos para el 
comportamiento de fluidos no newtonianos viscoelásticos a través de una 
contracción axisimétrica, encontró que a una rapidez de corte muy baja el fluido 
se comporta como un flujo quasi-radial, mientras que para una rapidez de corte 
alta se presenta un flujo tipo embudo. 
Sin embargo en la explicación dada por Binding (2) no se toma en cuenta la 
reología del fluido, es decir si se trata de un fluido adelgazante o engrosante, al 
igual que no se considera la influencia del tamaño de la contracción empleada. 
Basado en los hallazgos de Binding (2) se propone una dinámica sobre el 
comportamiento del fluido no newtoniano viscoelástico a través de una 
contracción axisimétrica. 
Inicialmente a una rapidez de corte muy baja, domina el flujo extensional, 
ocasionando que las líneas de flujo sean arrojadas hacia las paredes de la 
contracción. 
Cuando se da un incremento en la rapidez de corte, el flujo cortante comienza 
a desarrollarse, debido a la respuesta elástica del fluido; las líneas de flujo que 
inicialmente estaban en las paredes comienzan a expandirse en la dirección 
perpendicular al flujo principal, desde la pared al centro de la tubería, formando 
un flujo quasi-radial, con una componente axial y otra radial, dando lugar a la 
primera diferencia de esfuerzos normales (𝑁1 = 𝜎𝑥𝑥 − 𝜎𝑟𝑟). 
Cuando se da un incremento en la rapidez de corte, lo suficientemente grande 
como para que el esfuerzo extensional inhiba la primera diferencia de 
esfuerzos normales, nuevamente se favorece el desarrollo del flujo extensional, 
ocasionando la formación de un flujo tipo embudo, en el que todas las líneas de 
corriente pasan a través de la línea central. 
En un flujo quasi-radial debido a la elasticidad del fluido se forman vórtices en 
las esquinas de la contracción, mientras que en el flujo tipo embudo se forman 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 31 
 
vórtices en el contorno de la contracción, favorecidos por el desarrollo del flujo 
extensional. 
 
2.1.1. Caída de presión total a través de una contracción-
expansión axisimétrica. 
 
Es posible calcular la caída de presión que se genera durante el paso del fluido 
por el tubo, mediante el uso de la ecuación de Hagen-Poseuille (Ecuación 2.2). 
 
∆𝑃 =
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
𝐿…………………………….2.2 
 
 
Figura 2. 3. Esquema de un tubo. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 32 
 
En la figura 2.3, se pueden visualizar las variables requeridas por la ecuación 
2.2. 
Durante el paso del fluido en un tubo circular con una geometría axisimétrica se 
generan varios tipos de caída de presión según sea la posición por la que el 
fluido pase, inicialmente entra por la parte superior del equipo, donde se genera 
una caída de presión antes de entrar a la contracción, en seguida se genera 
una caída de presión al entrar por la contracción, después durante el paso por 
la contracción se presenta una caída de presión debido al recorrido del fluido 
por Lc (Longitud de la contracción) y para finalizar se tiene una caída de 
presión a la salida de la contracción, es decir en la expansión. La caída de 
presión en el ducto inferior, en el superior y durante la contracción son de 
naturaleza viscosa y ocurren debido a la interacción del fluido con las paredes 
del tubo, mientras que la caída de presión generada extra es producto de la 
dificultad que presenta el fluido para entrar a la contracción, en la figura 2.4 se 
identifican los diferentes tipos de presión implicados. 
 
Figura 2. 4. Distribución de la caída de presión total en una contracción-expansión 
axisimétrica. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 33 
 
La presión total del fluido es resultado de las diferentes caídas de presión 
generadas en el sistema: 
 
∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = ∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 + ∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 + ∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 ………………………2.3 
 
En la figura 2.5, se muestran las longitudes requeridas para la obtención de los 
diferentes tipos de caída de presión presentes en el sistema. 
 
 
Figura 2. 5. Representación de las longitudes empleadas en la contracción-expansión 
axisimétrica. 
 
 La caída de presión en los tubos se define como la suma de caídas de 
presión antes y después de la contracción. 
∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 =
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓)…………………………..2.4 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 34 
 
 Caída de presión en la contracción, es la caída de presión que se da en 
la pared de la contracción. 
∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 =
8𝑄𝜇
𝑅𝑐
4𝜋
(𝐿𝑐)…………………………..2.5 
 La caída de presión extra, es la caída de presión que se genera durante 
la entrada del fluido a la contracción, y fue estudiada inicialmente por 
Sampson (12) para fluidos newtonianos. 
Para definir esta caída de presión extra, se supone un espesor infinitamente 
pequeño en la entrada de la contracción (𝐿𝑓), y se define la relación de 
apariencia L´, dada ecuación por la ecuación 2.6. 
𝐿´ =
𝐿𝑓
𝑅𝑐
………………………….2.6 
La relación de apariencia (ecuación 2.6) se sustituye en la ecuación 2.7. 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 =
8𝑄𝜇
𝑅𝑐
4𝜋
𝐿𝑓………………………….2.7 
Al realizar un acomodo de variables la caída de presión extra se define ahora 
como: 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 = 𝑚
𝑄𝜇
𝑅𝑐
3 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑚 =
8𝐿´
𝜋
…………………………..2.8 
Por lo tanto: 
 
∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 =
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓) +
8𝑄𝜇
𝑅𝑐
4𝜋
(𝐿𝑐) + 𝑚
𝑄𝜇
𝑅𝑐
3………………………2.9 
Sampson (12) encontró que la relación 𝑚 =
8𝐿´
𝜋
 para fluidos newtonianos tiene 
un valor constante de 3. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 35 
 
2.1.2. Formación del flujo mixto en contracciones axisimétricas 
para fluidos no newtonianos. 
 
Durante el paso del fluido a través del sistema contracción-expansión se 
genera un gradiente de presión total a través de la contracción, en el que se 
presenta la existencia de dos tipos de flujo. El primero es el flujo cortante, el 
cual se desarrolla con mayor intensidad cerca de la pared de contracción como 
se indica en la zona 1 de la figura 2.6. 
 
El comportamiento del flujo cortante está determinado por la interacción del 
fluido con la pared del tubo, presenta un campo de velocidades, las 
propiedades del flujo como caída de presión o viscosidad cortante pueden ser 
calculadas mediante el uso de la ecuación de Hagen y Poseuille. Si el flujo 
durante la contracción fuera exclusivamente cortante, el perfil de esfuerzos de 
desarrollaría a partir del centro, donde se encuentra la línea central, con un 
valor de cero, hasta un valor máximo ubicado sobre la pared de la contracción 
al final de su longitud aguas abajo, este tipo de perfil se muestra en la figura 2. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 36 
 
 
 
Figura 2. 6. Diferentes zonas en donde se desarrolla un flujo mixto al paso de un fluido a 
través de una contracción. 
 
El segundo flujo que participa durante la contracción del fluido, es el flujo 
extensional y surge como consecuencia del intento del fluido proveniente de la 
parte superior, de fluir a través de la contracción, tal como lo indica Binding (2), 
las corrientes del flujo antes de que ocurra la contracción, se orientan formando 
una especie de cono, en donde solo la pequeña porción que esta sobre la línea 
central entra a la contracción libremente, formando un flujo extensional uniaxial 
puro, en la zona 3 de la figura 2.6, se aprecia este tipo de flujo. 
 
Las líneas de corriente muy cercanas a la línea central conservan, en su mayor 
parte, las características del flujo extensional uniaxial, pero deben coexistir con 
otras líneas de corriente, que han entrado por la contracción y que han 
interactuado con las paredes de la contracción por lo que poseen propiedades 
del flujo cortante. Esta coexistencia se muestra en la zona 2 de la figura 2.6 y 
corresponde a la transición de flujo cortante a extensional uniaxial, las 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 37 
 
propiedades de esta combinación de flujos son inciertas,sin embargo el campo 
de velocidades puede ser representado como una combinación de ambos tipos 
de flujo como se muestra en la figura 2.6. 
 
El flujo a través de la contracción es consecuencia del gradiente de presión 
generado, la longitud radial donde se desarrolla cada una de estas tres zonas 
no está definida con claridad, excepto en la pared de la contracción y en la 
línea central, ya que en estos puntos se desarrolla un flujo cortante puro o 
extensional uniaxial puro. 
 
Al conjunto de flujos involucrados en estas tres zonas se les conoce como flujo 
mixto y las características que posee están en función de la rapidez de corte, 
ya que a una rapidez de corte baja, predominará en la contracción un flujo 
mixto de características cortantes, mientras que a rapidez de corte altas y a 
relaciones altas de contracción, predominarán características del tipo 
extensional uniaxial. 
 
El flujo de un fluido viscoelástico a través de una contracción puede presentar 
variantes de velocidad y de esfuerzos que aún no han sido explicados con la 
teoría del flujo mixto, debido a que este tipo de fluidos a ciertos tipos de rapidez 
corte comienzan a manifestar efectos elásticos, que en muchos casos puede 
llegar a imponer las características del flujo. 
 
Si en el sistema existen las condiciones que favorezcan el desarrollo de la 
elasticidad del fluido, la primera diferencia de esfuerzos normales debe 
desempeñar un papel dominante en el desarrollo del flujo, dando como 
consecuencia del desarrollo del flujo cortante, como lo muestra la figura 2.7, su 
componente radial 𝜏𝑟𝑟 crece desde la pared de la contracción hacia el centro, 
permitiendo la interacción con los esfuerzos mixtos de la zona 1 y 2, incluyendo 
a los de naturaleza extensional que se desarrollan sobre la línea central. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 38 
 
 
 
Figura 2. 7. Interacción de la primera diferencia de esfuerzos normales con los esfuerzos 
mixtos a lo largo del radio de la contracción. 
 
Sin embargo, a medida que la diferencia de esfuerzos normales se acerca a la 
línea central, y debido a la naturaleza del flujo mixto, esta tiende a perder 
dependencia del flujo cortante para adquirir dependencia del tipo extensional 
uniaxial, como consecuencia el componente 𝜏𝑧𝑧 comienza a crecer de manera 
exponencial, adquiriendo su valor más alto sobre la línea central. 
 
En un principio, la primera diferencia de esfuerzos normales N de 
características viscoelásticas, pierde paulatinamente su influencia del flujo 
cortante a medida que crece radialmente hacia la línea central, para adquirir 
finalmente características viscosas que permiten definir a la viscosidad 
extensional uniaxial en la ecuación 2.9. 
 
 
ɳ
𝐸
=
𝜏𝑧𝑧−𝜏𝑟𝑟
𝜀
…………………………2.9 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 39 
 
Binding (2) propuso que la respuesta elástica dada por el crecimiento de la 
primera diferencia de esfuerzos normales asociada al flujo cortante y el 
desarrollo de la viscosidad extensional en las cercanías de la línea central son 
opuestas, y repercuten en la caída de presión total que presentan los fluidos 
viscoelásticos a rapidez de corte baja, en relación a fluidos newtonianos con la 
misma viscosidad cortante. 
 
Binding (2) indico que los “Efectos Elásticos” tiene el efecto de reducir la caída 
de presión extra, debido a que en medida que se desarrolla la primera 
diferencia de esfuerzos normales e interactúa con las líneas de corriente del 
flujo mixto, incluyendo aquellas que se desarrollan sobre la línea central, evita 
que el flujo extensional uniaxial se desarrolle, ocasionando una caída de 
presión menor a la que se presenta en un fluido newtoniano con la misma 
viscosidad cortante. 
 
Podría concluirse que a valores de caída de presión menores a las del fluido 
newtoniano, el flujo cortante impondrá las condiciones de flujo en la 
contracción, las cuales serán del tipo elástica. 
 
Sin embargo, al incrementar la rapidez de corte en el sistema, el flujo 
extensional comenzara a dominar y desarrollara valores de esfuerzos 
extensional 𝜏𝑧𝑧 cada vez más grandes, y para superar en gran medida los 
valores de 𝜏𝑟𝑟 , creciendo de manera radial hacia las paredes, para desplazar a 
las líneas de corriente generadas por el flujo cortante hacia la pared de la 
contracción, como se muestra en la figura2.8. 
 
El dominio del flujo extensional se reflejara en los valores de caída de presión, 
ya que se mostrará un incremento, inclusive en varios órdenes de magnitud a 
la caída de presión que se da en un fluido newtoniano con la misma viscosidad 
cortante. 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 40 
 
 
 
Figura 2. 8. Desarrollo preferencial del flujo extensional en el desarrollo de un flujo 
mixto 
 
2.2. Dinámica del comportamiento de un fluido no newtoniano 
viscoelástico en una contracción rectangular. 
 
En este tipo de contracción, el fluido proveniente de la parte superior, fluye a 
través de un tubo de geometría rectangular de lado W hacia una contracción 
rectangular con lado Wc, como se muestra en la figura 2.9. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 41 
 
 
Figura 2. 9. Esquema de un flujo rectangular en contracción simple. 
 
Durante el paso del fluido a través del tubo rectangular de una presión 1 a una 
presión 2, el fluido posee un contenido energético asociado a cada uno de los 
puntos del sistema como se muestra en la figura 2.9, el paso del fluido a través 
de la contracción rectangular de lado Wc requiere un menor requerimiento 
energético, por lo que se debe liberar energía a fin de llegar a un estado 
estacionario, debido a la naturaleza elástica del fluido la energía liberada se 
emplea en la recirculación del fluido, formación y crecimiento de vórtices. 
Se han realizado múltiples investigaciones acerca de la dinámica del 
comportamiento de fluidos a través de contracciones rectangulares, por 
ejemplo Sousa (13) en su artículo “Three-dimensional flow of Newtonian and 
Boger fluids in square-squarecontractions”, propone un análisis de una 
contracción rectangular para fluidos newtonianos y Boger en 3D. 
Para fluidos newtonianos en una contracción rectangular, Sousa (13) encontró 
que a números de Reynolds bajos, el fluido avanza inicialmente hacia el plano 
diagonal (ABCD), entra hacia la esquina, para luego girar y dirigirse hacia el 
plano central (EFGH), y después regresa hacia la esquina, para finalmente 
pasar a través de la contracción rectangular, como se muestra en la figura 2.10, 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 42 
 
también encontró que el fluido se acelera en medida que se acerca a la 
contracción, mientras que cuando está cercano a la pared tiende a disminuir su 
velocidad. 
 
Figura 2. 10. Dinámica del fluido Newtoniano a través de una contracción rectangular 
(13). 
 
Mientras que para fluidos de Boger, a bajos números de Reynolds y bajos 
valores de números de Deborah, tienden a dominar los efectos viscosos y el 
fluido se comporta como un fluido Newtoniano. 
Cuando el fluido de Boger fluye a números de Reynolds altos y a una rapidez 
de corte alta, el fluido comienza recircular en la dirección opuesta a la que gira 
en una rapidez de corte baja. 
Sousa (13) concluye que el comportamiento adelgazante del fluido no 
necesariamente es el causante de la inversión del flujo, sino más bien es 
consecuencia de los fuertes efectos elásticos y de los altos valores de 
viscosidad extensional. 
Sousa (13) encontró que solo para fluidos viscoelásticos y debido al 
comportamiento extensional del mismo, en pequeños relaciones de 
contracción, un incremento en la rapidez de corte causa la divergencia del flujo 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 43 
 
antes de la contracción, acompañado con el incremento del tamaño del vórtice, 
la divergencia se puede visualizar con las líneas de patrón de flujo, se observa 
como si fuera un codo flexionado, y se puede traducir como un obstáculo delfluido para pasar a través de la contracción, el cual es invisible. En la figura 
2.11, se muestra la divergencia del fluido de Boger a bajos relaciones de 
contracción. 
Para relaciones grandes de contracción no se presenta el fenómeno de 
divergencia, en este caso se da la formación de vórtices en el contorno de la 
contracción. 
a) 
b) 
Figura 2. 11. A) Patrón de la divergencia del flujo del fluido de Boger en pequeños 
relaciones de contracción. B) Divergencia del fluido de Boger observada por Sousa (13) 
en pequeñas relaciones de contracción. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 44 
 
2.2.1. Caída de presión total a través de una contracción-
expansión rectangular 
 
La presión total ejercida en este sistema (contracción-expansión rectangular) 
es resultado de diferentes caídas de presión generadas: 
∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = ∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 + ∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 + ∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴…………………….2.10 
Donde: 
∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 = 𝐶𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑠 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 = 𝐶𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 = 𝐶𝑎í𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 
En la figura 2.12 se muestra los diferentes tipos de presión que se presentan a 
lo largo de la experimentación. 
 
Figura 2. 12. Esquema de las caídas de presión para la contracción-expansión 
rectangular. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 45 
 
 Caída de presión en los tubos 
 
∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 =
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓)….................................2.11 
 
 Caída de presión en la contracción 
 
∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 =
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑐)…………………………2.12 
 
 Caída de presión extra, el valor de la constante de Sampson para fluidos 
no newtonianos no se conoce por lo que la obtención de este dato es de 
manera experimental a partir de la caída de presión total como se 
muestra en la ecuación 2.13. 
 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 = ∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 − ∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 − ∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁………………….2.13 
 
En la ecuación 2.14 se sustituyen las variables que se emplean para el cálculo 
de la caída de presión extra, según la ecuación 2.13 
 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 = ∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 − [
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓) +
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑐)]………………2.14 
 
La figura 2.13, muestra las variables empleadas para en los diferentes tipos de 
caída de presión que se dan durante la experimentación. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 46 
 
 
Figura 2. 13. El esquema muestra las variables empleadas en la contracción-expansión 
rectangular. 
 
A continuación se muestra un cuadro comparativo (tabla 2.14) de las 
ecuaciones empleadas en la geometría axisimétrica y rectangular. 
En el anexo de este trabajo de tesis se muestra el algoritmo de cálculo 
empleado para la obtención de la caída de presión total y extra de cada 
contracción-expansión rectangular empleada para el fluido de Boger y Hase, 
los cálculos se realizaron con ayuda del programa MathCad®. 
 
 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 47 
 
Figura 2. 14. Tabla de ecuaciones empleadas para una geometría axisimétrica y rectangular. 
 
Ecuación 
Geometría 
Axisimétrica Rectangular 
Hagen-Poseuille ∆𝑃 =
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
𝐿 ∆𝑃 =
3𝑄𝜇𝐿
2𝐵3𝑤
 
Tubos ∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 =
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓) ∆𝑃𝑇𝑈𝐵𝑂𝑆 =
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓) 
Contracción ∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 =
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
(𝐿𝑐) ∆𝑃𝐶𝑂𝑁𝑇𝑅𝐴𝐶𝐶𝐼Ó𝑁 =
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑐) 
 
Total 
 
Valor obtenido mediante experimentación Valor obtenido mediante experimentación 
Extra 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 = ∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
− [
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓)
+
8𝑄𝜇
𝑅4𝜋
(𝐿𝑐)] 
∆𝑃𝐸𝑋𝑇𝑅𝐴 = ∆𝑃𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿
− [
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑠𝑢𝑝 + 𝐿𝑖𝑛𝑓)
+
3𝑄𝜇
2𝐵3𝑤
(𝐿𝑐)] 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 48 
 
CAPITULO 3 
3. DESARROLLO EXPERIMENTAL 
 
OBJETIVO DE LA TESIS 
 
“Estudiar la dinámica del comportamiento de un fluido no newtoniano 
viscoelástico en una contracción-expansión rectangular, analizando los valores 
experimentales de caída de presión extra en cuatro diferentes relaciones de 
contracción, y después comparar el comportamiento de los fluidos analizados 
contra datos obtenidos para una contracción-expansión con geometría 
axisimétrica.” 
3.1. Equipo y Desarrollo Experimental 
 
En este trabajo de tesis se empleó un equipo (figura 3.1) que permite realizar 
mediciones de caída de presión en una contracción-expansión con geometría 
axisimétrica, en el cual es posible intercambiar diversas relaciones de 
contracción con diferentes geometrías para analizar el efecto de la contracción 
en un fluido Hase (elástico de viscosidad adelgazante) y Boger (elástico de 
viscosidad constante), en este equipo es posible manejar flujos de 
alimentación en diversos intervalos lo cual permite obtener valores de caída 
presión en función del gasto para números de Reynolds bajos. 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 49 
 
 
 
Figura 3. 1. Equipo para experimentación con geometría rectangular. 
Por lo que la experimentación se realizó en función de las siguientes etapas, 
tal como se muestra en la figura 3.2: 
 
Figura 3. 2. Etapas del trabajo de experimentación. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 50 
 
3.1.1. Descripción del equipo. 
 
El equipo experimental empleado para este trabajo de tesis se presenta en la 
figura 3.3, hay que acentuar que la figura muestra la contracción-expansión 
rectangular con la que se trabajará. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. 3. Esquema del equipo experimental empleado con geometría rectangular. 
 
Inicialmente el fluido es empujado por un pistón accionado por un motor de 
velocidad constante. Antes de que el fluido entre al tubo rectangular pasa por 
un cambiador de calor para asegurar que el fluido entre a temperatura 
constante ya que el cambio puede afectar la viscosidad y la velocidad del 
fluido. 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 51 
 
Este equipo se encuentra divido en cuatro secciones: 
 
a) Zona de suministro del fluido 
 
En esta zona el fluido es suministrado por un pistón con un motor trifásico de 
1/12 HP de velocidad variable marca Baldor; al cual se le adaptó un reductor de 
velocidad para lograr gastos de flujo muy pequeños, con valores de hasta 0.01 
mL/s. 
El embolo del pistón es de aluminio pulido de 3 cm de diámetro, el cual tiene 
colocado dos estabilizadores para garantizar el desplazamiento ininterrumpido 
a lo largo de la trayectoria requerida. El pistón se encuentra dentro de un tubo 
de aluminio de 70 cm de longitud y 3.1 cm de diámetro. 
 
b) Zona de prueba 
 
Esta zona está dividida en dos secciones, la primera se compone de un 
intercambiador de calor de tubos concéntricos con baño térmico, que 
proporciona agua a temperatura constante, el tubo interno tiene una longitud de 
65 cm con un diámetro interno de 5.2 cm y para el tubo externo un diámetro de 
6.27 cm. 
La segunda sección comprende un tubo recto de acrílico de 5.2 cm de diámetro 
interno y una longitud de 55.5 cm que coincide con un tubo interno del 
cambiador de calor, en esta zona hay un disco de Nylamid removible que 
permite tener las diferentes relaciones de contracción/expansión requeridas 
para la experimentación. 
Los dados empleados en la contracción/expansión rectangular presentan las 
siguientes características: 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 52 
 
Figura 3. 4. Tabla con características de las geometrías empleadas. 
Relación 
Contracción/Expansión 
Lado del 
dado 
(Wc) 
Lado del 
 dado 
(Bc) 
Espesor 
 de la 
contracción 
Lc(cm) 
2:1:2 2.250 1.125 0.6 
4:1:4 1.125 0.563 0.6 
6:1:6 0.750 0.375 0.6 
8:1:8 0.562 0.281 0.6 
 
 
 
Figura 3. 5. Placas de contracción-expansión rectangular. 
 
c) Zona de control electrónico 
 
En esta zona se ubican los sensores que permitirán obtener valores de presión 
de manera indirecta, estos se ubican 7 cm por encima y por debajo de la placade contracción, esta distancia permitirá que la formación de vórtices pueda 
interferir con la señal. 
En la figura 3.6 se muestra la zona de control electrónico. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 53 
 
 
Figura 3. 6. Zona de control electrónico. 
La señal en forma de voltaje proveniente de los transductores se recibe en un 
equipo de adquisición de datos, que envía la señal en forma de voltaje a una 
computadora durante toda la experimentación. 
Se maneja un fluido de prueba para regular el movimiento de los engranes, una 
vez que el pistón impulsa el émbolo, se midió el tiempo que tarda el pistón en 
trasladarse, conociendo el área transversal del pistón y la longitud de 
desplazamiento del embolo puede estimarse el flujo volumétrico del fluido. 
Antes de comenzar con la experimentación los transductores de presión deben 
marcar voltajes igual a cero, el voltaje cero corresponde a la presión 
atmosférica. Para lograrlo el equipo tiene adaptado una fuente de poder para 
suministrar voltajes mínimos de 0.0001 Volts. 
 
d) Zona de recolección del fluido 
 
El fluido que proviene de la parte inferior de la zona de prueba, no debe ser 
descargado directamente a la presión atmosférica, ya que el efecto de la 
gravedad interfiere en el flujo impuesto en el regulador de voltaje, para eliminar 
este efecto se adaptó un tubo paralelo de acero inoxidable, estos dos tubos 
permiten regular la salida del flujo en ausencia de la gravedad, lo que ocasiona 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 54 
 
que el fluido se descargue por la parte superior del equipo, por lo que se colocó 
un tercer tubo para poder descargar el fluido a un tanque recolector. 
3.2. Preparación de Soluciones 
3.2.1. Solución de Hase al 2.5%. 
 
1. Se prepararon 500 mL de una solución de 0.1 m del agente 
neutralizante, 2 amino-2-metil-1 propanol (AMP) y se dejó reposar durante 24 
horas a temperatura ambiente. 
 
2. Se prepararon 10 L de solución de Hase al 2.5%, para lo que empleó 
Acrysol TT-935 9 suministrado por Rohm and Hass (Suspensión lechosa de 
Hase disuelta en agua en una concentración al 30% peso). 
 
2.1. Para la preparación de esta solución se requiere adicionar 
lentamente 833.33 mL de la suspensión a 9.166 L de agua destilada 
con agitación continua durante 20 minutos y un tiempo de reposo de 
72 hrs. 
2.2. Pasadas las 72 horas se fue agregando lentamente 10 mL de AMP 
en un periodo de 15 minutos entre adición y adición con agitación 
constante de 150 rpm. Antes de cada adición se midió el pH hasta 
alcanzar un valor final de 9.5. 
2.3. La solución final tuvo un tiempo de reposo de 2 semanas antes de 
medir la viscosidad, debido a que durante este periodo la viscosidad 
de la solución es cambiante, posteriormente la solución se guarda 
en recipientes debidamente sellados. 
 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 55 
 
3.2.2. Solución de Boger. 
 
La solución de Boger se forma de glucosa de maíz con adiciones en pequeñas 
cantidades de una solución de poliacrilamida disuelta en agua (0.1% peso de 
poliacrilamida). 
1. Se prepararon 10 L de solución de glucosa y agua batiéndolas manualmente 
hasta alcanzar una viscosidad aproximada a la solución de Hase al 2.5%. 
2. Se añadió a la solución de glucosa pequeñas cantidades de 5 mL de la 
solución de poliacrilamida al 0.1%, para ajustar la diferencia de esfuerzos 
normales con la solución de Hase al 2.5%. 
La viscosidad y diferencia de esfuerzos normales se ajustó a prueba y error en 
un reómetro de esfuerzo controlado marca TA Instruments modelo G” usando 
un usillo tipo cono-plato de 40 mm de diámetro con un ángulo de 1º. 
En la figura 3.7 se presenta la gráfica de viscosidad cortante y diferencia de 
esfuerzos normales vs rapidez de deformación de las 2 soluciones empleadas. 
En la figura 3.7, se muestra como el fluido de Boger presenta viscosidad 
constante a lo largo de todo el intervalo de rapidez de corte, mientras que en el 
fluido Hase aparece su propiedad adelgazante, es decir comienza a disminuir 
la viscosidad en una rapidez de corte de 4 1/𝑠. Se aprecia que para el fluido de 
Boger la elasticidad aparece en 2 1/𝑠 y para el Hase en 0.61/𝑠, por lo que el 
fluido Hase es mucho más elástico que el fluido de Boger. 
 
 
 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 56 
 
 
Figura 3. 7. Reología comparativa entre la solución de Hase al 2.5% y un fluido de Boger.
1
10
100
1000
10000
1.00E-02 1.00E-01 1.00E+00 1.00E+01 1.00E+02 1.00E+03
V
IS
C
O
S
ID
A
D
 C
O
R
T
A
N
T
E
 (
P
a
 s
) 
d
if
e
re
n
c
ia
 d
e
 e
s
fu
e
rz
o
s
 n
o
rm
a
le
s
 
(P
a
)
RAPIDEZ DE CORTE (1/S)
COMPARACIÓN DE LA REOLOGIA CORTANTE
FLUIDO DE BOGER Y HASE 2.5%
HASE 2.5%
N1 (2.5%)
FLUIDO DE BOGER
N1 ( FLUIDO DE BOGER)
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 57 
 
3.3. Medición de Caída de Presión. 
3.3.1. Calibración de Sensores 
 
Se construyó un dispositivo para calibrar los sensores de presión el cual consiste 
de un tubo de vidrio de 1 cm de diámetro por 40 cm de longitud, en la parte lateral 
se colocó una hoja milimétrica, en la parte inferior hay un soporte de Naylamid en 
el que puede enroscarse los dos sensores de presión. 
La calibración se lleva acabo agregando con una jeringa pequeñas cantidades de 
mercurio hasta una altura medible en la regleta, el mercurio ejerce una presión 
hidrostática dada por la siguiente relación: 
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ……………………………….3.1 
La presión hidrostatica es directamente proporcional al voltaje producido en cada 
sensor, al graficar los datos, la pendiente dará la calibración del sensor, el valor se 
corroboró cada que se cambió la placa de contracción en el equipo. 
 
Figura 3. 8. Montaje experimental para la calibración de los sensores de presión. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 58 
 
En la tabla B.1, ubicada en el anexo se muestran los valores experimentales 
obtenidos, con lo que se pudieron definir las ecuaciones para cambiar de datos de 
voltaje a presión: 
𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 1 𝑃1 = 11,770 𝐸1 = 𝑃𝑎…..………………………….3.2 
𝑆𝑒𝑛𝑠𝑜𝑟 2 𝑃2 = 11,615 𝐸2 = 𝑃𝑎………………………………3.3 
Donde E1 y E2 = Volts 
 
 
 
Figura 3. 9. Curvas de Calibración de los sensores. 
 
 
 
0.000
2000.000
4000.000
6000.000
8000.000
10000.000
12000.000
14000.000
16000.000
18000.000
20000.000
0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.000 1.200 1.400 1.600
P
re
si
ó
n
 (
P
a)
Voltaje (mV)
Sensor 1
Sensor 2
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 59 
 
3.4. Visualización de Vórtices 
 
Para tomar fotografías y mostrar el crecimiento y desarrollo de los vórtices tanto 
de la solución de Hase como la de Boger, se montó una cámara oscura 45cm x 45 
cm x 40 cm alrededor de la zona de contracción-expansión como se muestra en la 
figura 3.10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3. 10. Montaje de una cámara oscura para la visualización de vórtices. 
Las imágenes fotográficas se tomaron con una cámara fotográfica tipo 59éflex 
marca Nikon modelo D5000, la cual se fijó para que en todo momento estuviera en 
la misma posición, el tiempo de obturación fue de 35 segundos, para obtener una 
adecuada fotografía a gastos pequeños y altos. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 60 
 
CAPITULO 4 
4. ANÁLISIS DE RESULTADOS EXPERIMENTALES 
 
En este capítulo se muestran los resultados obtenidos para los dos fluidos Hase y 
Boger empleado en la experimentación con las diferentes contracciones-
expansiones rectangulares: 2:1:2, 4:1:4, 6:1:6 y 8:1:8. 
Los resultados de voltaje obtenidos se expresan por medio de la constante de 
calibración del equipo en términos de presión, por lo que se muestran gráficas de 
caída de presión total y caída de presión extra en función de la rapidez de corte. 
En la figura 4.1 se muestra el esquema de los dados empleados en la 
contracción-expansión, con la finalidad de identificar las variables empleadas. 
 
Figura 4. 1. Esquema de los dados empleados en la contracción-expansión rectangular. 
En el anexo de este trabajo de tesis, se encuentranlos datos experimentales 
obtenidos, en esta sección solo se muestran los datos de caída de presión total y 
presión extra graficados en función de la rapidez de corte. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 61 
 
Los datos empleados para la contracción-expansión rectangular, fueron obtenidos del trabajo experimental del M.I. 
Mariano Pérez Camacho “Estudio experimental de fluidos complejos en flujo contracción:expansión” (12) para obtener el 
grado de Doctorado del M.I. Mariano Pérez Camacho. 
La tabla 4.2 muestra las variables empleadas y sus valores para cada una de las relaciones de contracción-expansión 
empleadas. 
Figura 4. 2. Tabla de Variables empleadas en la contracción-expansión rectangular 2:1:2, 4:1:4, 6:1:6 y 8:1:8. 
 
Variables Símbolo 
Contracción 
- 
Expansión 
2:1:2 
Contracción 
- 
Expansión 
4:1:4 
Contracción 
- 
Expansión 
6:1:6 
Contracción 
- 
Expansión 
8:1:8 
Ancho de la rendija mayor 2B=X 4.5 cm 4.5 cm 4.5 cm 4.5 cm 
Profundidad de la rendija mayor W 4.5 cm 4.5 cm 4.5 cm 4.5 cm 
Altura de la contracción Lc 0.6 cm 0.6 cm 0.6 cm 0.6 cm 
Ancho de la contracción 2Bc=Xc 2.25 cm 1.125 cm 0.75 cm 0.5625 cm 
Profundidad de la contracción Wc 2.25 cm 1.125 cm 0.75 cm 0.5625 cm 
Longitud del dado al sensor 1 L1 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 
Longitud del dado al sensor 2 L2 7 cm 7 cm 7 cm 7 cm 
Viscosidad inicial del Boger y Hase ƞ 13.5 Pa*s 13.5 Pa*s 13.5 Pa*s 13.5 Pa*s 
Densidad del Hase y Boger ρ 1.1 g/cm^3 1.1 g/cm^3 1.1 g/cm^3 1.1 g/cm^3 
 
 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 62 
 
4.1. Contracción-Expansión Rectangular 2:1:2. 
 
 
La figura 4.2.a muestra la caída de presión total en función de la rapidez de corte 
para la contracción-expansión rectangular 4:1:4. 
La figura 4.2.b muestra la caída de presión total en función de la rapidez de corte 
para la contracción-expansión axisimétrica 4:1:4. 
La figura 4.3.a muestra la caída de presión extra en función de la rapidez de corte 
para la contracción-expansión rectangular 4:1:4. 
La figura 4.3.b muestra la caída de presión extra en función de la rapidez de corte 
para la contracción-expansión axisimétrica 4:1:4. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 63 
 
CAÍDA DE PRESIÓN TOTAL VS RAPIDEZ DE CORTE EN LA CONTRACCIÓN 
CONTRACCIÓN/EXPANSIÓN AXISIMÉTRICA 2-1-2
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
RAPIDEZ DE CORTE (1/s)
C
A
ÍD
A
 D
E
 P
R
E
S
IÓ
N
 T
O
T
A
L
 (
P
a
)
 
 
 
 
 
HASE 2.5%
FLUIDO NEWTONIANO
FLUIDO DE BOGER
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
160.0
0 0.2 0.4 0.6
C
ai
d
a 
d
e 
P
re
si
ó
n
 T
o
ta
l (
P
a)
Rapidez de corte (1/s)
Caída de Presión Total en la Contracción-
Expansión 2:1:2 Rectangular
Hase Rectangular 2-1-2
Boger Rectangular 2-1-2
Newtoniano Rectangular 2-1-2
 
 
 
Figura 4. 2. Caída de Presión Total vs Rapidez de Corte en la contracción-expansión 2:1:2 en una geometría a) Rectangular y b) 
Axisimétrica. 
 
a) b) 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 64 
 
CAÍDA DE PRESIÓN EXTRA VS RAPIDEZ DE CORTE EN LA CONTRACCIÓN 
CONTRACCIÓN/EXPANSIÓN AXISIMÉTRICA 2-1-2
0
20
40
60
80
100
120
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
RAPIDEZ DE CORTE (1/s)
C
A
ÍD
A
 D
E
 P
R
E
S
IÓ
N
 E
X
T
R
A
 (
P
a
)
HASE 2.5
FLUIDO NEWTONIANO
FLUIDO DE BOGER
0.0
20.0
40.0
60.0
80.0
100.0
120.0
140.0
0.0 0.2 0.4 0.6
C
ai
d
a 
d
e 
P
re
si
ó
n
 E
xt
ra
 (
P
a)
Rapidez de corte (1/s)
Caída de Presión Extra en la Contracción-
Expansión 2:1:2 Rectangular
Hase Rectangular 2-1-2
Boger Rectangular 2-1-2
Newtoniano Rectangular 2-1-2
 
 
 
Figura 4. 3. Caída de Presión Extra vs Rapidez de Corte en la contracción-expansión 2:1:2 en una geometría a) Rectangular y b) 
Axisimétrica. 
a) b) 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 65 
 
Es importante mencionar, antes del análisis de resultados, que los valores de 
rapidez de corte que arrojan los datos del reómetro (figura 3.7) son comparables 
con los valores de rapidez de corte dados por la ecuación 1.23 y 1.29 (Ecuación 
de Weissenberg y Rabinowich), para la geometría axisimétrica y rectangular. 
 
 
4.3. Contracción – Expansión Axisimétrica y Rectangular 2:1:2 
 
En la figura 4.2.b, para la caída de presión total en la contracción-expansión 2:1:2 
axisimétrica, se aprecia que el fluido de Boger, presenta la mayor caída de presión 
total, siguiendo el fluido Hase y en último lugar el Newtoniano, mientras que en la 
contracción expansión 2:1:2 rectangular de igual forma a la axisimétrica el fluido 
de Boger genera la mayor caída de presión total, y al contrario de la geometría 
axisimétrica, el fluido Newtoniano presenta mayor caída de presión total que el 
Hase. 
La mayor caída de presión total para el fluido de Boger en ambas geometrías se 
debe al desarrollo de la primera diferencia de esfuerzos en extensión, lo cual 
favorece el desarrollo del flujo extensional. 
En la contracción-expansión axisimétrica 2:1:2, el fluido Newtoniano se encuentra 
por debajo del Boger y del Hase, debido a que no posee diferencia de esfuerzos 
normales, es decir no es elástico. 
Mientras que el Hase en la figura 4.2.b para la contracción-expansión axisimétrica 
2:1:2, se encuentra por encima del Newtoniano, debido a que desarrolla primeras 
diferencias de esfuerzos en extensión, pero de menor intensidad que el Boger, ya 
que el Hase es mucho más elástico que el Boger. Para este rango de rapidez de 
corte manejados, en base a la figura 3.7, el fluido Boger no ha desarrollado 
efectos elásticos, mientras que en el Hase aparece la primera diferencia de 
esfuerzos normales en 0.6
1
𝑠
, abatiendo como lo indica Binding (2) el desarrollo del 
flujo extensional, y por lo tanto el crecimiento de la caída de presión total. 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 66 
 
Debido a que el fluido Newtoniano no es elástico, la caída de presión total, se 
compone principalmente de la caída de presión en los tubos, y en la contracción, 
la diferencia de esfuerzos en extensión para este fluido es prácticamente 
despreciable, por lo que se considera que el fluido Newtoniano tiene un 
comportamiento de flujo cortante puro. 
Para la contracción-expansión rectangular 2:1:2 (figura 4.2.a), en el intervalo de 
0 𝑎 0.3
1
𝑠
, se aprecia que el Hase presenta valores muy similares de caída de 
presión total al Newtoniano, por lo que el Hase tiene un comportamiento con un 
flujo del tipo cortante, al incrementar la rapidez de corte mayor a 0.3
1
𝑠
, y según la 
figura 3.7, en este valor se manifiesta la primera diferencia de esfuerzos normales, 
abatiendo el desarrollo del flujo extensional y el comportamiento como flujo 
cortante. 
En la figura 4.3.b, se aprecia los datos obtenidos de caída de presión extra en la 
contracción-expansión axisimétrica 2:1:2. El fluido de Boger presenta los valores 
más altos de caída presión extra, siguiendo el fluido Hase y en último lugar el 
fluido Newtoniano, los tres fluidos incrementan su caída de presión en función del 
aumento de la rapidez de corte. 
Mientras que en el figura 4.3.a, donde se muestran los valores de caída de 
presión extra en función de la rapidez de corte para la contracción-expansión 
rectangular 2:1:2, se aprecia que inicialmente el fluido de Boger, Hase y 
Newtoniano tienen los mismos valores de caída de presión extra en el intervalo de 
0 𝑎 0.8
1
𝑠
, además de que en los datos graficados del Boger se aprecia una 
curvatura como si fuera una especie de depresión, una vez que se da un 
incremento en la rapidez de corte el fluido de Boger aumenta en valores muy altos 
la caída de presión extra respecto al Hase y Newtoniano, al contrario de la 
contracción-expansión axisimétrica se aprecia que en pequeños valores de 
rapidez de corte el Hase está muy cercano al Newtoniano, pero al incrementar 
 
 
Jaqueline Trejo Méndez 67 
 
ligeramente la rapidez de corte, el Hase tiende a estar muy por debajo del 
Newtoniano. 
Al analizar la figura 3.7, que muestra la reología de los fluidos, se aprecia que