Resumen Trazas de Bode y Criterio de estabilidad de Nyquist - mario ernesto reyes cruz

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Resumen Trazas de Bode y Criterio de estabilidad de Nyquist 
Reyes Cruz Mario Ernesto 
 
 
Trazas de Bode 
Consisten en dos graficas: una de la magnitud graficada contra la frecuencia y una 
del ángulo de fase graficada contra la frecuencia. La magnitud y la frecuencia se 
grafican usando escalas logarítmicas. 
Un ejemplo, es si se quisiera obtener la traza de Bode para: 
 
Se podrían graficar por separado las gráficas logarítmicas para las magnitudes de 
los elementos 5, (1+jw) y 1/(2+jw) y solo sumarlas para obtener la traza para 𝐺(𝑗𝑤). 
Las magnitudes comúnmente se expresan en decibeles (dB) 
𝑀𝑎𝑔𝑛𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑒𝑛 𝑑𝐵 = 20𝑙𝑜𝑔 𝐺(𝑗𝑤) 
Cuando existen varios elementos, la traza de fase es solo la suma de las fases de 
los elementos por separado (ecuación anterior). La escala de frecuencia que se usa 
para ambas trazas, magnitud y fase es logarítmica. Esto permite a la gráfica cubrir 
un gran intervalo de frecuencia. 
Es útil considerar las trazas para los elementos que por lo común se encuentran en 
las funciones de transferencia. Con estos elementos se pueden formar con rapidez 
las trazas de Bode para una amplia variedad de sistemas, los elementos que se 
consideran son 
Ganancia constante 
Donde 𝐺(𝑠) − 𝐾 
Y así: 𝐺(𝑗𝑤) = 𝐾 
Para este sistema la magnitud en decibles es 
𝐺(𝑗𝑤) = 20𝑙𝑜𝑔𝐾 
Siendo la fase cero. Las trazas de Bode son: 
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Un polo en el origen 
Este es donde 
𝐺(𝑠) =
1
𝑠
 
Y, de esta manera 
𝐺(𝑗𝑤) =
1
𝑗𝑤
= −
𝑗
𝑤
 
Para este sistema la magnitud en decibles es 
𝐺(𝑗𝑤) = 20 log (
1
𝑤
) = −20𝑙𝑜𝑔𝑤 
La traza de Bode en magnitud es, una línea recta de pendiente -20dB por década 
de frecuencia, la cual pasa por 0dB en w=1 rad/s como se muestra en la figura 11.6. 
Y la fase de dicho sistema está dada por: 
𝑡𝑎𝑛𝜙 = −
1
𝑤
0
= −∞ 
 
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Un cero en el origen 
Este es donde: 
𝐺(𝑠) − 𝑠 
Y así: 
𝐺(𝑗𝑤) = 𝑗𝑤 
La magnitud en decibeles es de 20𝑙𝑜𝑔𝑤. La traza de Bode en magnitud es una línea 
recta de pendiente +20dB por década de frecuencia, la cual pasa por 0dB en w=1 
rad/s como se muestra en la figura: 
 
Donde la fase está dada por: 
𝑡𝑎𝑛𝜙 =
𝑤
0
= +∞ 
Un polo real 
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Esto es un sistema con un retraso de primer orden, donde: 
𝐺(𝑠) =
1
𝜏𝑠 + 1
 
Y de esta manera: 
𝐺(𝑗𝑤) =
1
𝑗𝑤𝜏 + 1
=
1 − 𝑗𝑤𝜏
1 + 𝑤2𝜏2
 
La magnitud en decibeles es: 
20log (
1
√1+𝑤2𝜏2
) 
La magnitud se convierte en (para frecuencias altas, cuando 𝑤 ≫ 1/𝜏) : 
20 log (
1
𝑤𝜏
) = −20𝑙𝑜𝑔𝑤𝜏 
Que es una línea recta de pendiente -20dB por década de frecuencia, en la figura 
se muestra las trazas correspondientes: 
 
Un cero real 
Esto es un sistema de primer orden que es un adelantado donde 
𝐺(𝑠) = 1 + 𝜏𝑠 
Y así: 
𝐺(𝑗𝑤) = 1 + 𝑗𝑤𝜏 
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La magnitud en decibeles es: 
20𝑙𝑜𝑔√1 − 𝑤2𝜏2 
Y la fase: 
𝑡𝑎𝑛𝜙 = 𝑤𝜏 
Las trazas de Bode para un cero real es la siguiente: 
 
Un par de polos complejos 
Esto es donde 
 
Y de este modo 
 
 
 
Y la magnitud en decibeles es: 
 
La fase es: 
𝑡𝑎𝑛𝜙 = −
2𝜁(
𝑤
𝑤𝑛)
1 − (
𝑤
𝑤𝑛)
2
 
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Y las trazas para un par de polos complejos son las siguientes: 
 
Un par de ceros complejos 
Este es donde: 
De este modo 
 
 
La magnitud en decibeles está dada por: 
 
La fase por 
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𝑡𝑎𝑛𝜙 = −
2𝜁(
𝑤
𝑤𝑛)
1 − (
𝑤
𝑤𝑛)
2
 
Criterio de estabilidad de Nyquist 
Cuando a un sistema se aplica una entrada senoidal la salida de ese sistema es 
senoidal con la misma frecuencia angular, pero puede tener una amplitud que difiere 
de la de la entrada y mostrar una diferencia de fase. El cociente de las amplitudes 
de salida y de entrada es la magnitud G(jw). Para que la inestabilidad se presente 
cuando la entrada al sistema es senoidal, la magnitud en lazo abierto debe ser 
mayor que 1 si el atraso de fase en lazo abierto es 180°. Si la amplitud es menor 
que la de la señal de entrada, se puede alcanzar una condición estable, pero si la 
amplitud es mayor, la señal a través del sistema crecerá de manera continua. 
La figura 11.24 muestra el criterio de estabilidad en relación con el diagrama de 
Nyquist para un sistema en lazo abierto.