Sistemas de control - Parámetros influyentes en el comportamiento de un sistema, criterio de estabilidad de bode y Nyquis

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA GRAN MARISCAL DE AYACUCHO 
FACULTAD DE INGENIERÍA 
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS 
NÚCLEO BARCELONA 
 
 
 
 
UNIDAD IV ACTIVIDAD 1 
 
 
Docente: Realizado por: 
Ing. Vicenzo Mascia Ismael Párica, V- 27.652.264 
 
 
 
Noviembre de 2021 
ÍNDICE 
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 3 
CONTENIDO ................................................................................................................... 4 
Criterio de estabilidad de Bode ...................................................................................... 4 
Factores básicos de G(jω)H(jω) ........................................................................... 5 
Criterio de Nyquist ....................................................................................................... 21 
CONCLUSIÓN ................................................................................................................ 28 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................ 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
Los sistemas de control necesitan operar a largo plazo de manera confiable, 
razón por la cual se hacen estudios de la estabilidad de los sistemas dadas 
diferentes condiciones. No es posible predecir cada condición del ambiente que 
encontrará el sistema, a pesar de esto se puede evaluar el grado de robustez del 
sistema de control dadas condiciones que los dejen libres de perturbaciones 
extremas. Entre los métodos considerados se encuentran el diagrama de Bode y 
el criterio de estabilidad de Nyquist, de los cuales ambos evalúan la estabilidad del 
sistema de control dada su función de transferencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONTENIDO 
Criterio de estabilidad de Bode 
Un diagrama de Bode está formado por dos gráficas: una es la gráfica del 
logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal, y la otra es la 
gráfica del ángulo de fase; ambas se dibujan contra la frecuencia en escala 
logarítmica. 
La representación común de la magnitud logarítmica de es 
 
Donde la base del logaritmo es 10. La unidad utilizada en esta representación 
para la magnitud es el decibelio, por lo general abreviado dB. En la representación 
logarítmica, se dibujan las curvas sobre papel semi-logarítmico, con la escala 
logarítmica para la frecuencia y la escala lineal para cualquier magnitud (en 
decibelios) o el ángulo de fase (en grados). El rango de frecuencia de interés 
determina el número de ciclos logarítmicos que se requieren en la abscisa. 
 
La ventaja principal de utilizar el diagrama de Bode es que la multiplicación de 
magnitudes se convierte en suma. Además, cuenta con un método simple para 
dibujar una curva aproximada de magnitud logarítmica. Se basa en 
aproximaciones asintóticas. Esta aproximación, mediante asíntotas (líneas rectas), 
es suficiente si sólo se necesita información general sobre la característica de la 
respuesta en frecuencia. 
 Si se desea obtener curvas exactas, es fácil corregir las curvas asintóticas. Es 
muy útil ampliar el rango de bajas frecuencias mediante el uso de una escala 
logarítmica, debido a que las características de las bajas frecuencias son las más 
importantes en los sistemas prácticos. 
Factores básicos de G(jω)H(jω) 
1. La ganancia K 
Un número mayor que la unidad tiene un valor positivo en decibelios, 
mientras que un número menor que la unidad tiene un valor negativo. La curva de 
magnitud logarítmica para una ganancia constante K es una recta horizontal cuya 
magnitud es de 
 
Decibelios. El ángulo de fase de la ganancia K es cero. El efecto de variar la 
ganancia K en la función de transferencia es que sube o baja la curva de magnitud 
logarítmica de la función de transferencia en la cantidad constante 
correspondiente, pero no afecta a la curva de fase. 
La siguiente figura contiene una línea de conversión de números a decibelios: 
 
El valor en decibelios de cualquier número se obtiene a partir de esta línea. A 
medida que un número aumenta en un factor de 10, el valor correspondiente en 
decibelios aumenta en un factor de 20. Esto se observa a partir de lo siguiente: 
 
Análogamente, 
 
Cuando se expresa en decibelios, el recíproco de un número difiere de su valor 
sólo en el signo; es decir, para el número K, 
 
 
2. Factores integrales y derivativos (jω)^±1 
La magnitud logarítmica de 1/jω en decibelios es: 
 
El ángulo de fase de 1/jω es constante e igual a -90°. En los diagramas de 
Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octavas o décadas. 
Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2ω1, donde ω1 es cualquier 
frecuencia. Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10 ω1, donde ω1 es 
cualquier frecuencia. En la escala logarítmica del papel semi-logarítmico, cualquier 
razón de frecuencia determinada se representa mediante la misma distancia 
horizontal. 
Si se dibuja la magnitud logarítmica de 
 
Con respecto a ω en una escala logarítmica, se obtiene una recta. Para trazar 
esta recta, se necesita localizar un punto (0 dB, ω=1) en ella. Como 
 
La pendiente de la recta es 
 
De la misma manera, la magnitud logarítmica de jω en decibelios es 
 
El ángulo de fase jω es constante e igual a 90°. La curva de magnitud logarítmica 
es una recta con una pendiente de 20 dB/década. Véase la siguiente figura con 
curvas de respuesta en frecuencia para 1/jω y jω respectivamente: 
 
Las diferencias en las respuestas de frecuencias se encuentran en los signos de 
las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica y en los signos de los 
ángulos de fase. Ambas magnitudes llegan a ser iguales a 0 dB en ω=1. 
Si la función de transferencia contiene el factor (1/jω)^n o (jω)^n, la magnitud 
logarítmica se convierte, respectivamente, en: 
 
O bien 
 
 Por tanto, las pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los 
factores (1/jω)^n y (jω)^n son 
 
Respectivamente. El ángulo de fase de (1/jω)^n es igual a -90° * n durante todo el 
rango de frecuencia, mientras que el de (jω)^n es igual a 90° * n en todo el rango 
de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 dB, ω=1). 
 
 
3. Factores de primer orden (1+ jωT)^±1 
La magnitud logarítmica del factor de primer orden 1/(1+ jωT) es: 
 
Para bajas frecuencias, tales que ω ≤ 1/T la magnitud logarítmica se aproxima 
mediante 
 
Por tanto, la curva de magnitud logarítmica para bajas frecuencias es la línea 0 dB 
constante. Para altas frecuencias, tales que ω ≥ 1/T 
 
 Esta es una expresión aproximada para el rango de altas frecuencias. En ω= 
1/T, la magnitud logarítmica es igual a 0 dB; en ω=10/T, la magnitud es de -20 dB. 
Por tanto, el valor de 
 
 Disminuye en 20 dB para todas las décadas de ω. Para ω ≥ 1/T. La curva de 
magnitud logarítmica es una línea recta con pendiente de -20 dB/década. 
 Este análisis muestra que la representación logarítmica de la curva de 
respuesta en frecuencia del factor 1/ (1+jωT) se aproxima mediante dos asíntotas 
(líneas rectas), una de las cuales es una recta de 0 dB para el rango de frecuencia 
 
Y la otra es una recta con pendiente de -20 dB/década para el rango 
 
 La frecuencia en la que las dos asíntotas se encuentran se denomina 
frecuencia esquina. Esta divide la curva de respuesta en frecuencia de dos 
regiones, una curva para la región de baja frecuencia y una curva para la región 
de alta frecuencia. La frecuencia esquina es muy importante cuando se dibujan 
curvas logarítmicas de frecuencia en respuesta. 
 El ángulo de fase exacto del factor 1/ (1+jωT) es 
 
 En una frecuencia cero, el ángulo de fase es 0°. En la frecuencia esquina, el 
ángulo de fase es 
 
 En el infinito, el ángulo de fase se convierte en 90°. Debido a que elángulo de 
fase se obtiene mediante una función de tangente inversa, el ángulo de fase tiene 
una pendiente simétrica con respecto al punto de inflexión en θ = -45°. 
 
 La curva de magnitud logarítmica exacta, las asíntotas y la curva de ángulo de 
fase exacta se muestran en la siguiente figura: 
 
 
4. Factores cuadráticos 
Los sistemas de control suelen tener factores cuadráticos de la forma: 
 
Si ζ >1, este factor cuadrático se expresa como un producto de dos factores de 
primer orden con polos reales. Si 0 < ζ < 1, el factor el producto de dos factores 
complejos conjugados. Las aproximaciones asintóticas para las curvas de 
respuesta en frecuencia no son precisas para un factor con valores bajos de ζ. 
Esto se debe a que la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la 
frecuencia esquina y del factor de amortiguamiento relativo. 
 
 La curva asintótica de respuesta en frecuencia se obtiene del modo siguiente. 
Como: 
 
Para bajas frecuencias, la magnitud resulta 
 
 Por tanto, la asíntota de baja frecuencia es una recta horizontal en 0 dB. Para 
altas frecuencias, la magnitud es 
 
 La ecuación para la asíntota de alta frecuencia es una recta con pendiente de -
40 dB/década. La asíntota de alta frecuencia corta a la de baja frecuencia en ω = 
ωn debido a que en esta frecuencia 
 
 Esta frecuencia, ωn, es la frecuencia esquina del factor cuadrático considerado. 
El ángulo de fase del factor cuadrático es: 
 
 El cual es una función de ω y ζ. En ω=0, el ángulo de fase es igual a cero. En 
la frecuencia esquina ω=ωn, el ángulo de fase es -90° sin considerar ζ, debido que 
 
 En ω=∞, el ángulo de fase se convierte en -180°. La curva del ángulo de fase 
tiene una pendiente simétrica respecto del punto de inflexión, punto en el que θ=-
90°. 
 
 La siguiente figura muestra las curvas exactas de magnitud logarítmica junto 
con las asíntotas y curvas de ángulos de fase para el factor cuadrático, dados 
varios valores de ζ. 
 
 
5. Frecuencia de resonancia ωr y pico de resonancia Mr. 
La magnitud de 
 
Es 
 
Si |G(jω)| tiene un valor pico en alguna frecuencia, esta se denomina frecuencia 
de resonancia. Como el numerador de |G(jω)| es constante, se tendrá un valor 
pico de |G(jω)| cuando 
 
Sea mínima. Esta ecuación se reescribe como 
 
El valor mínimo de g(ω) ocurre cuando 
 
Por tanto, la frecuencia de resonancia ωr es 
 
A medida que ζ tiende a cero, la frecuencia de resonancia tiende a ωn. Para 0 ≤ 
ζ ≤ 0.707, ωr es menor que la frecuencia natural amortiguada 
 
Lo cual se observa en la respuesta transitoria. La magnitud |G(jω)| disminuye 
de forma monotónica cuando ω aumenta. 
Para 0 ≤ ζ ≤ 0.707, la magnitud del pico de resonancia Mr es 
 
Para ζ > 0.707 
 
A medida que ζ tiende a cero, Mr tiende a infinito. Esto significa que, si el 
sistema no amortiguado se excita en su frecuencia natural, la magnitud de G(jω) 
llega a ser infinito. La relación entre ζ y Mr se ve en la siguiente figura: 
 
 
Ejemplo 
Considere el sistema de la siguiente figura: 
 
Dibuje el diagrama de Bode usando MATLAB. 
Solución 
MATLAB determina automáticamente el rango de frecuencia del gráfico resultante 
entre 0.1 y 10 rad/seg. Aplicamos, entonces, los siguientes comandos en MATLAB: 
 
Vemos la gráfica resultante: 
 
 
 
Criterio de Nyquist 
 Este representa un método para determinar la localización de las raíces de la 
ecuación característica con respecto a los semiplanos izquierdo y derecho del 
plano s. A diferencia del método del lugar de las raíces, el criterio de Nyquist no da 
la localización exacta de las raíces de la ecuación característica. 
 Considere que la función de transferencia en lazo cerrado de un sistema es 
 
 En donde G(s)H(s) puede tomar la siguiente forma: 
 
 En donde las Ts son coeficientes reales o complejos conjugados y Td es un 
tiempo de retardo real. Ya que la ecuación característica se obtiene al hacer que el 
polinomio denominador de M(s) sea cero, las raíces de la ecuación característica 
son también los ceros de 1 +G(s)H(s). O, las raíces de la ecuación característica 
deben satisfacer 
 
 En general, para un sistema con lazo múltiples, el denominador de M(s) se 
puede escribir como 
 
En donde L(s) es la función de transferencia de lazo. 
 Encierro: Un punto o una región en un plan de una función compleja se dice 
encerrado por una trayectoria cerrada si está dentro de la trayectoria. 
 
 Inclusión: Un punto o región se dice incluido por una trayectoria cerrada si 
está encerrado en la dirección SCMR (sentido contrario a manecillas del 
reloj), o en el punto o región que está a la izquierda de la trayectoria cuando 
ésta se recorre en la dirección prescrita. 
 
 Cuando un punto está encerrado por una trayectoria cerrada T, un número N 
se puede asignar al número de veces que está encerrado. La magnitud de N se 
puede determinar al dibujar una flecha desde un punto a cualquier punto arbitrario 
s1 sobre la trayectoria cerrada T y entonces hacer que s1 siga la trayectoria en la 
dirección prescrita hasta que regrese al punto inicial. El número neto de vueltas 
atravesadas por esta flecha es N, o el ángulo neto es 2πN radianes. Por definición. 
N es positivo para encierros en el SCMR y negativo para rodeos en el SMR. 
 
 Sea ∆(s), tenga una función univaluada que tiene un número finito de polo en el 
plano s. Suponga que una trayectoria arbitraria cerrada Ts, se escoge en el plano 
s, de tal forma que la trayectoria no atraviese ninguno de los polos o ceros de ∆(s); 
el lugar geométrico correspondiente de T∆ mapeado en el plano ∆(s) encerrará al 
origen tantas veces como la diferencia entre el número de ceros y polos de ∆(s) 
que están rodeados por el lugar geométrico Ts en el plano s. 
Como una ecuación, el argumento se enuncia como 
 
Donde: 
 N = número de encierros del origen hechos por el lugar geométrico T∆ en el 
plano ∆(s). 
 Z = número de ceros de ∆(s) encerrados por el lugar geométrico Ts en el 
plano s. 
 P = número de polos de ∆(s) encerrados por el lugar geométrico Ts en el 
plano s. 
 
A su vez, se tienen los siguientes casos: 
1. N>0 (Z>P). Si el lugar geométrico en el plano s encierra más ceros que 
polos de ∆(s) en cierta dirección prescrita, N es un entero positivo. En este 
caso el lugar T∆ en el plano ∆(s) encerrará al origen del plano ∆(s) N veces 
en la misma dirección que Ts. 
 
2. N = 0 (Z = P). Si el lugar geométrico en el plano s encierra tantos polos 
como ceros, o ningún polo o cero de ∆(s), el lugar geométrico T∆ en el 
plano ∆(s) no rodeará al origen del plano ∆(s). 
 
3. N < 0 (Z < P).Si el lugar geométrico en el plano s encierra más polos que 
ceros de ∆(s) en cierta dirección, N es un entero negativo. En este caso, el 
lugar geométrico T∆ en el plano ∆(s) encerrará al origen N veces en la 
dirección opuesta a la de Ts. 
 
 Para la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, Z debe ser igual a cero. Por 
otro lado, la estabilidad de un sistema de lazo abierto, P debe ser igual a cero. 
Por tanto, la condición de estabilidad de acuerdo al criterio de Nyquist se 
establece como: 
 
Esto es, 
 “Para que un sistema en lazo cerrado sea estable, la traza de L(s) debe 
encerrar al punto (-1,j0) un número de veces igual al número de polos de L(s) que 
están en el semiplano derecho del plano s, y los encierros, si los hay, deben ser 
hechos en dirección siguiendo las manecillas del reloj (si Ts está definido en 
sentido SCMR).” 
 
Análisis de estabilidad usando el criterio de Nyquist 
Para los siguientes casos, el criterio establece las siguientes condiciones de 
estabilidad: 
1. El punto -1 +j0 no está rodeado, lo que implica que el sistema es estable 
si no hay polos en el semiplano derecho de s. En caso contrario el sistema 
es inestable. 
 
2. El punto -1 + j0 es rodeado una ovarias veces en sentido contrario a 
las agujas del reloj. El sistema es estable si el número de rodeos es igual 
a número de polos en el semiplano derecho de s; en caso contrario el 
sistema es inestable. 
 
3. El punto −1 + 0J queda rodeado en una o varias veces en sentido de 
las agujas del reloj. Se dice que el sistema es inestable. 
 
 
Ejemplo 
Dada la siguiente función de transferencia 
 
Determine el diagrama de Nyquist mediante MATLAB. 
Solución 
Ingresamos los siguientes comandos en MATLAB: 
 
Vemos la gráfica resultante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCLUSIÓN 
Los diagramas de Bode y criterios de Nyquist son empleados constantemente 
para determinar la estabilidad de las funciones de transferencia de los sistemas de 
control. La presencia del dibujo asistido por computadora es de gran utilidad para 
obtener las gráficas de cada diagrama e interpretar la información con rapidez. 
Particularmente se refiere a MATLAB y a Simulink como alternativas modernas, 
las cuales reciben soporte continuo, facilitando el estudio de los varios parámetros 
de los sistemas de control. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 [31-10-2021; 10:40 a.m.] Hernández, R (2010). Introducción a los sistemas 
de control [Archivo PDF]. Recuperado de: https://drive.google.com/file/d/1jq-
Bbx84Pm3mjDNfH4f3LYl6wey5XWwU/view?usp=drive_web&authuser=0 
 
 [31-10-2021; 11:01 a.m.] Ogata, K (2010). Ingeniería de control moderna 
[Archivo PDF]. Recuperado de: 
https://drive.google.com/file/d/17jOukc8uwfgSTbcXimRCrT06ABm44rnQ/vie
w?usp=drive_web&authuser=0 
 
 [31-10-2021; 9:50 a.m.] Kuo, B. Sistemas de control automáticos [Archivo 
PDF]. Recuperado de: 
https://dademuchconnection.files.wordpress.com/2017/07/sistemas-de-
control-automatico-benjamin-c-kuo.pdf 
 
 [31-10-2021, 1:21 p.m.] Carillo, A (2011). Sistemas Automáticos de Control 
Fundamentos Básicos de Análisis y Modelado. [Archivo PDF]. Recuperado 
de: 
http://150.185.9.18/fondo_editorial/images/PDF/CUPUL/SISTEMA%20DE%
20CONTROL%20%201.pdf 
 
https://drive.google.com/file/d/1jq-Bbx84Pm3mjDNfH4f3LYl6wey5XWwU/view?usp=drive_web&authuser=0
https://drive.google.com/file/d/1jq-Bbx84Pm3mjDNfH4f3LYl6wey5XWwU/view?usp=drive_web&authuser=0
https://drive.google.com/file/d/17jOukc8uwfgSTbcXimRCrT06ABm44rnQ/view?usp=drive_web&authuser=0
https://drive.google.com/file/d/17jOukc8uwfgSTbcXimRCrT06ABm44rnQ/view?usp=drive_web&authuser=0
https://dademuchconnection.files.wordpress.com/2017/07/sistemas-de-control-automatico-benjamin-c-kuo.pdf
https://dademuchconnection.files.wordpress.com/2017/07/sistemas-de-control-automatico-benjamin-c-kuo.pdf
http://150.185.9.18/fondo_editorial/images/PDF/CUPUL/SISTEMA%20DE%20CONTROL%20%201.pdf
http://150.185.9.18/fondo_editorial/images/PDF/CUPUL/SISTEMA%20DE%20CONTROL%20%201.pdf
 [31-10-2021 1:47 p.m.] Alberto,M. Perez, A. Elisa, Bioing (2008). 
INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL Y MODELO 
MATEMÁTICO PARA SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL 
TIEMPO [archivo PDF]. Recuperado de: 
http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/unidad1y2.pdf 
 
 [31-10-2021 2:23 p.m.] Gil, J. Díaz-Cordovés,A. (Agosto, 15 de 
2010).FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMATICO DE SISTEMAS 
CONTINUOS Y MUESTREADOS [Archivo PDF]. Recuperado de: 
https://core.ac.uk/download/pdf/83559623.pdf 
 
 [31-10-2021 3:16 p.m.] (s.f.) Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. 
Diseño y métodos y estrategias de control [Archivo PDF]. Recuperado de: 
http://www.ieec.uned.es/investigacion/Dipseil/PAC/archivos/Informacion_de_
referencia_ISE7_1_2.pdf 
 
 [31-10-2021 11:35 a.m.] Olivas, E. Campos, G. (2002). Diseño de sistemas 
de control usando MATLAB-SIMULINK. [Archivo PDF]. Recuperado de: 
https://isp.uv.es/courses/manuals/02_ApuntesCursoControlCheste2002_sec
ure.pdf 
 
http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/unidad1y2.pdf
https://core.ac.uk/download/pdf/83559623.pdf
http://www.ieec.uned.es/investigacion/Dipseil/PAC/archivos/Informacion_de_referencia_ISE7_1_2.pdf
http://www.ieec.uned.es/investigacion/Dipseil/PAC/archivos/Informacion_de_referencia_ISE7_1_2.pdf
https://isp.uv.es/courses/manuals/02_ApuntesCursoControlCheste2002_secure.pdf
https://isp.uv.es/courses/manuals/02_ApuntesCursoControlCheste2002_secure.pdf
 [31-10-2021 2:44 p.m.] (s.f) Controlador PID [Archivo PDF]. Recuperado de: 
https://www.acomee.com.mx/clasificaciones/CONTROLADOR%20PID.pdf 
 
 [31-10-2021 11:16 a.m.] Robayo, R (05-1994), ANÁLISIS SIMULACIÓN Y 
DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL ASISTIDO POR COMPUTADOR 
[Archivo PDF]. Recuperado de: 
https://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/11604/1/T93.pdf 
 
 
ENLACES PARA EL VIDEO 
Parte 1 
https://drive.google.com/file/d/1583-
ntd4MO6GShOjF7RlP5c56FJJrfTA/view?usp=sharing 
 
Parte 2 
https://drive.google.com/file/d/1Cj38pgFwsGKoYWDz6SLJUkCRWsoHT-
oK/view?usp=sharing 
 
https://www.acomee.com.mx/clasificaciones/CONTROLADOR%20PID.pdf
https://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/11604/1/T93.pdf
https://drive.google.com/file/d/1583-ntd4MO6GShOjF7RlP5c56FJJrfTA/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1583-ntd4MO6GShOjF7RlP5c56FJJrfTA/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1Cj38pgFwsGKoYWDz6SLJUkCRWsoHT-oK/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1Cj38pgFwsGKoYWDz6SLJUkCRWsoHT-oK/view?usp=sharing