Estabilidad-de-vigas-durante-la-aplicacion-de-presfuerzo

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO 
 
 
FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN 
 
 
ESTABILIDAD DE VIGAS DURANTE LA APLICACIÓN DE 
PRESFUERZO 
 
 
 
Tesis que para obtener el grado de Ingeniero Civil 
presenta 
 
 
CRUZ VARGAS JOSÉ GIOVANNI 
 
 
 
 
Director de tesis: Dr. ROBERTO GÓMEZ MARTÍNEZ 
 
 
 
 
México D.F., mayo de 2015
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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II 
 
RESUMEN 
 
Es bien sabído que la técnica del presfuerzo de vigas crece día a día en el ámbito de la 
ingeniería civil, debido a las ventajas que ofrece, es por ello que en esta tesis se estudian los 
fundamentos de la estabilidad lateral de vigas durante la aplicación de presfuerzo mediante 
la teoría clásica de estabilidad. 
En el capítulo primero se trata sobre los fundamentos del presfuerzo, las características 
principales y los tipos de presfuerzo que existen en vigas. Todo esto con el propósito de dar 
al lector una visión fundamental sobre la técnica del presfuerzo en vigas. 
El capítulo segundo muestra los materiales que se usan en la técnica del presfuerzo, así 
como, sus características, propiedades y su comportamiento. 
En el capítulo tercero trata el tópico de las pérdidas de fuerza de presfuerzo, presentando 
dos ejemplos que corresponden a pérdidas por fricción y por deslizamiento del anclaje, en 
vigas postensadas. 
En el capítulo cuarto de presentan los esfuerzos permisibles en vigas presforzadas que 
recomiendan los reglamentos ACI (American Concrete Institute), AASHTO (American 
Association of State Highway and Transportation Officials) y RCDF (Reglamento de 
Construcciones del Distrito Federal). 
El capítulo quinto trata los tipos de estabilidad que deben de garantizarse durante la 
aplicación de presfuerzo en vigas: 
 
1. Estabilidad por pandeo lateral 
2. Estabilidad en los tendones 
3. Estabilidad de esfuerzos en el concreto 
 
Las posibles causas de pérdida de estabilidad y las investigaciones realizadas en este 
campo. 
En el capítulo sexto se presenta el ejemplo de la aplicación de las ecuaciones clásicas de 
Euler para el estudio de la estabilidad de una viga postensada. 
 
 
 
 
 
 
III 
 
ABSTRACT 
 
It is well known that the technique of prestressed beams is growing every day in the field of 
civil engineering, because of the advantages it offers, which is why in this thesis the 
foundations of the lateral stability of beams are studied for the implementation of 
prestressed by the classical theory of stability. 
 
The first chapter deals with the basics of prestressing, the main characteristics and types 
that exist in prestressed beams. All this in order to give the reader a fundamental view on 
the technique of prestressed beams. 
 
The second chapter shows the materials used in the technique of prestressing, as well as 
their characteristics, properties and behavior. 
 
The third chapter deals with the topic of prestressing force losses, with two examples 
corresponding to friction losses and sliding anchorage in post-tensioned beams. 
 
The fourth chapter presents the allowable stresses in prestressed beams recommended by 
ACI (American Concrete Institute), AASHTO (American Association of State Highway 
and Transportation Officials) and RCDF (Building Code of the Federal District) 
regulations. 
 
The fifth chapter discusses the types of stability must be ensured for the application of 
prestressed beams: 
 
1. Stability of buckling 
2. Stability in tendons 
3. Stability of stresses on the concrete 
 
The imperfections , like cause of loss of stability and research in this field. 
Example of applying the classical Euler equations to study the stability of a post-tensioned 
beam is presented in chapter six. 
 
 
 
 
 
IV 
 
DEDICATORIA 
 
 
 
Para mis sobrinas: Vania, Naomi y Danaé. 
 
 
“La vida es felicidad. Por definición nuestra vida debe ser la consecución de la felicidad. 
No hay disculpa para no intentarla y no lograrla” 
“La vida es amor. Cierto que hay dolor, pero cuánto más tolerable es contemplarlo cuando 
lo miramos con compasión. Imposible alcanzar la felicidad si la buscamos, pero aquí está 
a nuestro alcance si procuramos lograr la felicidad de los demás seres y ¿no es eso amor? 
Cierto que nuestros móviles suelen ser económicos (“mío, mío” dice el niño) pero 
desaparece la fuente de conflicto si nos despojamos de nuestra ambición personal y 
buscamos el bienestar de los demás seres: si nos comportamos amándolos. Cierto que todo 
proviene del azar pero ¿y qué? Ello no importa mientras nos amamos. ” 
“La vida es juego. ¿A qué tanta seriedad? ¿Es que nos consta que haya un “para que”? Y 
si no nos es impuesto ¿No podemos nosotros elegirlo, fijar nuestras reglas del juego 
respetando hasta donde se pueda las reglas ajenas? Resulta innecesario tanto valle de 
lágrimas, tanta queja si solo estamos jugando. ¿En qué otra forma seremos simpáticos ante 
nuestros propios ojos? Y qué feo vivir en otra forma. Si jugamos a vivir, adiós problemas.” 
 
 
 
 
Carta de Emilio Rosenblueth a su hijo Javier. 
 
 
 
 
 
 
 
V 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
 
Agradezco profundamente a mi mamá, mi mentora, mi maestra, mi coach, mi ídolo, mi 
héroe, la líder de mi familia, mi mejor amiga y por mucho, la persona más increíble que he 
conocido en mi vida. 
Un agradecimiento especial para el Dr. Roberto Gómez Martínez, ya que desde la primera 
vez que me presenté en su oficina aceptó dirigir mi tesis. Haber tenido la oportunidad de 
tenerlo como tutor ha sido para mí un honor académico no merecido pero que agradezco 
infinitamente. Gracias por sus comentarios y correcciones, por el material brindado y la 
asignación del lugar de trabajo en donde tuve la oportunidad de trabajar entre personas que 
me brindaron gran apoyo en la resolución de dudas que surgían durante la realización de 
esta tesis. 
La realización de esta tesis fue en alto grado gracias a la ayuda de las siguientes personas: 
Maestro Rigoberto Flores Mendoza por la introducción que me dio acerca del problema de 
estabilidad en vigas presforzadas, misma que me incitó a estudiar el tema y por sus valiosas 
propuestas para esta tesis, Dr. Adrián Pozos por sus comentarios matemáticos acerca de las 
formulaciones presentadas y por las revisiones de la presentación que en todo momento 
estuvo dispuesto a realizar, Ing. Juan Carlos Torres Hernández por las valiosas 
recomendaciones y comentarios prácticos que me compartió, Dr. Héctor Sánchez Sánchez 
por las dudas resueltas con respecto a la teoría de estabilidad de barras y al Maestro Neftalí 
Rodríguez Cuevas por la valiosa charla que me regalo para revisar esta tesis, los 
comentarios que me realizó marcaron significativamente el curso de esta tesis. 
Gracias a mis amigos por la incesante energía emocional que me regalan, siempre me he 
sentido honrado por tenerlos a mi lado. 
Muchas gracias a todas estas personas, gracias por compartir parte de su tiempo conmigo. 
Sin duda, aunque el término de esta tesis es un gran logro, de ninguna manera es 
comparable con el logro de tener amigos y familia que desinteresadamente comparten su 
tiempo conmigo. El único y verdadero logro que vale la pena, es brindar y recibir amor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
VI 
 
CONTENIDO 
RESUMEN ...........................................................................................................................II 
ABSTRACT ........................................................................................................................III 
DEDICATORIA ................................................................................................................. IV 
AGRADECIMIENTOS ...................................................................................................... V 
CONTENIDO ..................................................................................................................... VI 
CAPÍTULO 1. CONCEPTOS BÁSICOS DEL PRESFUERZO ..................................... 1 
1.1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................ 1 
1.2 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL CONCRETO PRESFORZADO ..................... 3 
1.3 PRETENSADO ......................................................................................... ……………4 
1.4 POSTENSADO ............................................................................................................. 5 
 1.4.1 Zonas de anclaje .................................................................................................. 6 
 1.4.2 Anclajes y aclopadores para postensado ............................................................. 7 
 1.4.3 Ductos para postensado ....................................................................................... 7 
 1.4.4 Lechada para tendones adheridos ........................................................................ 7 
 1.4.5 Protección de tendones de presfuerzo ................................................................. 8 
1.5 DIEZ PRINCIPIOS ....................................................................................................... 8 
CAPÍTULO 2. MATERIALES ......................................................................................... 10 
2.1 CARACTERÍSTICAS DEL CONCRETO PARA PRESFUERZO ............................ 10 
 2.1.1 Contracción del concreto ................................................................................... 10 
 2.1.2 Comportamiento elástico ................................................................................... 10 
 2.1.3 Flujo plástico ..................................................................................................... 11 
2.2 CARACTERÍSTICAS DEL ACERO PARA PRESFUERZO .................................... 11 
 2.2.1 Tipos de acero de presfuerzo ............................................................................. 11 
 2.2.1.1 Alambres .................................................................................................. 11 
 2.2.1.2 Torón ........................................................................................................ 12 
 2.2.1.3 Varillas de aleación .................................................................................. 12 
 2.2.2 Características esfuerzo-deformación del acero para presfuerzo ...................... 12 
 2.2.3 Relajación del acero de presfuerzo .................................................................... 13 
 2.2.4 Acero de refuerzo .............................................................................................. 13 
 2.2.4.1 Acero estructural ...................................................................................... 14 
 2.2.4.2 Malla electrosoldada ................................................................................ 14 
CAPÍTULO 3. PÉRDIDAS DE FUERZA PRESFORZANTE ...................................... 15 
3.1 PÉRDIDAS INSTANTANEAS O INMEDIATAS .................................................... 16 
 3.1.1 Deslizamiento del anclaje .................................................................................. 16 
 3.1.2 Fricción .............................................................................................................. 17 
 3.1.2.1 Ejemplo de cálculo de pérdidas por fricción............................................. 18 
 
 
VII 
 
 3.1.3 Desviación de torones ........................................................................................ 21 
 3.1.4 Acortamiento elástico ........................................................................................ 22 
 3.1.5 Relajación instantánea ....................................................................................... 22 
3.2 PÉRDIDAS DIFERIDAS O A LARGO PLAZO ....................................................... 23 
 3.2.1 Contracción del concreto ................................................................................... 23 
 3.2.2 Flujo plastico ..................................................................................................... 24 
 3.2.3 Relajación diferida ............................................................................................. 24 
3.3 DIAGRAMA DE FUERZA EFECTIVA DE PRESFUERZO ................................... 24 
 3.3.1 Ejemplo de trazo de diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo ....................... 28 
 
CAPÍTULO 4. ESFUERZOS PERMISIBLES ................................................................ 35 
4.1 REGLAMENTO ACI .................................................................................................. 35 
 4.1.1 Esfuerzos admisibles en el concreto para elementos sometidos a flexión ........ 35 
 4.1.2 Esfuerzos admisibles en el acero de presfuerzo ................................................ 36 
4.2 REGLAMENTO AASHTO ........................................................................................ 36 
 4.2.1 Esfuerzos admisibles en el concreto para elementos sometidos a flexión ........ 36 
 4.2.2 Esfuerzos admisibles en el acero de presfuerzo ................................................ 38 
4.3 RCDF ........................................................................................................................... 38 
 4.3.1 Esfuerzos admisibles en el concreto para elementos sometidos a flexión ........ 38 
 4.3.2 Esfuerzos admisibles en el acero de presfuerzo ................................................ 39 
 
CAPÍTULO 5. ESTABILIDAD ........................................................................................ 41 
5.1 ESTABILIDAD POR PANDEO ................................................................................. 41 
 5.1.1 Aspectos generales ............................................................................................ 41 
 5.1.2 Imperfecciones como causa de pandeo ............................................................. 41 
 5.1.3 Carga crítica de Euler ........................................................................................ 44 
 5.1.4 Incremento del desplazamiento lateral .............................................................. 48 
 5.1.5 Esfuerzos máximos debidos al pandeo .............................................................. 51 
 5.1.5 El caso especial de las vigas presforzadas ......................................................... 52 
5.2 ESTABILIDAD DE ESFUERZOS EN EL CONCRETO .......................................... 64 
 5.2.1 Análisis elastico del esfuerzo ........................................................................... 64 
 5.2.1.1 Método convencional ................................................................................ 64 
 5.2.1.2 Método del par interno .............................................................................. 64 
 5.2.1.3 Método de la carga equivalente ................................................................67 
5.3 TÉCNICAS PARA EVITAR EL PANDEO LATERAL EN VIGAS ........................ 70 
 
CAPÍTULO 6. APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE “LA SECANTE” PARA EL 
ESTUDIO DE ESTABILIDAD DE UNA VIGA TIPO AASHTO VI 
POSTENSADA, CONSIDERANDO UNA EXCENTRICIDAD DE 1 CM EN LA 
APLICACIÓN DE LA CARGA ........................................................................................ 73 
6.1 ESTABILIDAD DE ESFUERZOS EN EL TENDÓN .............................................. 75 
6.2 ESTUDIO DE LOS EFECTOS DEL PRESFUERZO ............................................... 77 
6.3 ESTUDIO DE LOS EFECTOS PRODUCIDOS POR EL PANDEO LATERAL .... 81 
 
VIII 
 
 6.3.1 Carga crítica de Euler ....................................................................................... 82 
 6.3.2 Desplazamiento lateral ..................................................................................... 82 
6.4 ESTUDIO DE LOS ESFUERZOS FINALES ............................................................ 85 
CONCLUSIONES .............................................................................................................. 91 
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA .................................................................................. 92 
 
1 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
CONCEPTOS BÁSICOS DEL PRESFUERZO 
 
1.1 INTRODUCCIÓN 
 
El presfuerzo puede definirse como la imposición de esfuerzos internos a una estructura. 
Estos esfuerzos son de carácter opuesto a los causados por las cargas de servicio o de 
trabajo. 
Un método bastante común para describir el presfuerzo se muestra en la figura 1, donde una 
hilera de libros es sujetada (apretada) por una persona. La “viga” resultante puede soportar 
una carga hacia abajo, siempre que el esfuerzo de compresión en el fondo de la “viga” 
debido a la presión sea mayor que el esfuerza de tensión en ese lugar debido al momento 
producido por el peso de los libros y de las cargas superpuestas. Dicha “viga” así, no tiene 
resistencia a la tensión y por ello ninguna resistencia al momento mientras no esté sujeta 
(apretada) o presforzada. Trate de imaginar una hilera que consiste en una hilera de bloques 
de concreto sujetos por presión y luego una viga de concreto simple con resistencia 
insignificante a la tensión, similarmente presforzada. 
 
Figura 1. Principio del presfuerzo 
La teoría del presfuerzo es bastante simple y se ha usado durante muchos años en muchos 
tipos de estructuras. Por ejemplo, los barriles de madera se construyen con cinchos 
metálicos, que comprimen las dovelas entre sí, formando un recipiente hermético con 
resistencia a las presiones de los líquidos contenidos. El presfuerzo se usa principalmente 
en las vigas de concreto para contrarrestar los esfuerzos de tensión causados por el peso 
propio del miembro y la carga superpuesta. Si estas cargas causan un momento positivo en 
una viga, es posible presforzarla para introducir un momento negativo que contrarreste en 
parte o totalmente el momento positivo. Una viga ordinaria debe tener la suficiente 
 
2 
 
resistencia para soportarse tanto a sí misma como a otras cargas; es posible producir una 
carga negativa con el presfuerzo que elimine el efecto del peso de la viga, generando así 
una “viga sin peso propio”. 
Del análisis anterior es fácil ver por qué el presfuerzo se ha adueñado de la imaginación de 
tantos ingenieros y por qué tiene tanto tipo de posibilidades de utilización tanto ahora como 
en el futuro. 
Para ilustrar en forma más detallada el presfuerzo, nos referiremos a la figura 1.2. 
Se supone que se han tomado los siguientes pasos con respecto a esta viga. 
1.- Los cables de acero (representados por las líneas interrumpidas) se colocaron en la parte 
inferior de la cimbra de la viga. 
2.- Los cables se tensionaron a un esfuerzo muy alto. 
3.- El concreto se colocó en la cimbra y se permitió que alcanzara la suficiente resistencia 
para poder cortar los cables del presfuerzo. 
4.- Se cortaron los cables. 
 
 
Figura 1.2. Etapas en el presforzado de una trabe 
 
3 
 
Los cables cortados tienden a retomar su longitud original, comprimiendo así la parte 
inferior de la viga y generando un momento negativo. El momento positivo causado por el 
peso de la viga y cualquier carga de gravedad superpuesta se opone directamente al 
momento negativo. Otra manera de explicar esto, es decir que se ha producido en el fondo 
de la viga un esfuerzo de compresión opuesto al esfuerzo de tensión causado ahí por las 
cargas de trabajo. 
1.2 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL CONCRETO PRESFORZADO 
Como se indicó en la sección anterior, con el presfuerzo es posible utilizar toda la 
capacidad de un elemento estructural para resistir las cargas. Así, pueden usarse miembros 
más pequeños para soportar las mismas cargas o miembros del mismo tamaño para claros 
más grandes. Esto representa una ventaja importante, ya que el peso de los miembros 
representa una parte considerable de las cargas totales de diseño en las estructuras de 
concreto. 
Los miembros presforzados se agrietan menos bajo cargas de trabajo y por ello tienen 
mejor aspecto y son más impermeables, lo que implica una mejor protección contra la 
corrosión del acero. Además, los miembros presforzados sin grietas requieren menos 
mantenimiento y duran más que los miembros de concreto reforzado agrietados. Por tanto, 
para un gran número de estructuras, el concreto presforzado es la mejor alternativa con 
respecto al costo inicial y costo de mantenimiento requerido; el concreto presforzado 
proporciona el costo global más bajo en muchos casos. 
Los momentos negativos causados por el presfuerzo producen combadura en los miembros 
y en consecuencia las deflexiones totales resultan menores. Otras ventajas del concreto 
presforzado son las siguientes: una reducción de los esfuerzos de tensión diagonal, 
secciones más rígidas bajo carga de trabajo; y mayor resistencia a la fatiga y al impacto, en 
comparación con estructuras comunes de concreto reforzado. 
Por otro lado, el concreto presforzado requiere del uso de concretos y aceros de alta 
resistencia, así como de cimbras más complicadas, con un mayor costo de mano de obra. 
Otras desventajas son: 
1.- Se requiere un control más estricto en la fabricación. 
2.- Pérdidas en las fuerzas de presfuerzo inicial. Cuando se aplican las fuerzas de 
compresión al concreto debido al presfuerzo, se presenta un cierto acortamiento que relaja 
parcialmente los cables de acero. Como resultado, se genera una cierta reducción en la 
tensión en los cables con una pérdida de las fuerzas del presfuerzo. 
3.- En el diseño deben revisarse condiciones adicionales del esfuerzo, tales como los 
esfuerzos que se presentan cuando se aplican las fuerzas iniciales de presfuerzo y 
posteriormente se generan las pérdidas del presfuerzo, así como los esfuerzos que se 
presentas por las diferentes condiciones de carga. 
4.- El costo de los dispositivos de anclaje terminales y las placas que se requieren. 
 
 
 
4 
 
1.3 PRETENSADO 
El término pretensado se usa para describir el método de presfuerzo en el cual los tendones 
se tensan antes de colar el concreto (Figura 1.3). Se requiere de moldes o muertos (bloques 
de concreto enterrados en el suelo) que sean capaces de soportar el total de la fuerza de 
presfuerzo durante el colado y curado del concreto, antes de cortar los tendones, y que la 
fuerza pueda ser transmitida al elemento. La mayoría de los elementos presforzados se 
fabrican en serie dentro de plantas con instalaciones adecuadas, donde se logra la 
reutilización de moldes metálicos o de concreto y se pueden presforzar en una sola 
operación varios elementos. Los elementos pretensados más comunes son viguetas, trabes, 
losas y gradas. 
 
En algunos casos el curado de los elementos se realiza con vapor de agua cubriéndolos con 
lonas. La acción del presfuerzo en el concreto es interna, ya que el anclaje se da por 
adherencia. Las trayectorias del presfuerzoson siempre rectas y en moldes modificados es 
posible hacer desvíos para no provocar esfuerzos excesivos en los extremos (Figura 1.3b). 
En aquellas secciones donde el presfuerzo resulte excesivo, como en los extremos de vigas 
simplemente apoyadas sin desvío de torones, se debe disminuir la fuerza del presfuerzo 
encamisando algunos de ellos. En la Figura 1.3 se muestran las posibles trayectorias de 
estos tendones así como un ejemplo de la producción en serie en mesas de gran tamaño, en 
muchos casos mayores de 80 m de longitud. 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
Figura 1.3. Fabricación de un elemento pretensado. 
 
 
1.4 POSTENSADO 
 
El postensado es el método de presfuerzo que consiste en tensar los tendones y anclarlos en 
los extremos de los elementos después de que el concreto ha fraguado y alcanzado su 
resistencia necesaria. 
Previamente al colado del concreto, se dejan ductos perfectamente fijos con la trayectoria 
deseada, lo que permite variar la excentricidad dentro del elemento a lo largo del mismo 
para lograr las flechas y esfuerzos deseados. Los ductos serán rellenados con mortero o 
lechada una vez que el acero de presfuerzo haya sido tensado y anclado. Las funciones 
primordiales del mortero son las de proteger al presfuerzo de la corrosión y evitar 
movimientos relativos entre los torones durante cargas dinámicas. En el postensado la 
acción del presfuerzo se ejerce externamente y los tendones se anclan al concreto con 
dispositivos mecánicos especiales (anclajes), generalmente colocados en los extremos del 
tendón. 
 
Este postensado puede emplearse tanto para elementos fabricados en planta, a pie de obra o 
colados en sitio. Las aplicaciones más usuales son para vigas de grandes dimensiones, 
dovelas para puentes, losas con presfuerzo bidireccional, diafragmas de puentes, vigas 
hiperestáticas, cascarones y tanques de agua, entre otros. 
 
Las trayectorias del presfuerzo pueden ser curvas, lo que permite diseñar con mayor 
eficiencia elementos hiperestáticos y evitar esfuerzos en los extremos del elemento (Figura 
1.4). 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4. Trayectorias típicas de tendones en vigas postensadas 
1.4.1 Zonas de anclaje 
 
En vigas con tendones postensados deben utilizarse bloques extremos a fin de distribuir las 
fuerzas concentradas del presfuerzo en el anclaje. Estos bloques deben tener suficiente 
espacio para permitir la colocación del acero de presfuerzo y alojar los dispositivos de 
 
7 
 
anclaje, y deben ser diseñados para resistir tanto la fuerza máxima de tensado como la 
fuerza última de diseño de los tendones. 
 
Para resistir el esfuerzo de ruptura y evitar el agrietamiento y el desprendimiento del 
recubrimiento, debe colocarse refuerzo en los miembros postensados con la separación y 
cantidad recomendadas por el fabricante del anclaje. Cuando las recomendaciones del 
fabricante no sean aplicables, el armado debe constar, como mínimo, de barras del número 
3 colocadas cada 8 cm en cada dirección. Esta parrilla se colocará a no más de 4 cm de la 
cara interna de la placa de apoyo de anclaje. 
1.4.2 Anclajes y aclopadores para postensado 
 
Los anclajes y acopladores para tendones adheridos o no adheridos deben desarrollar, por lo 
menos, el 95 por ciento de la resistencia máxima de los tendones cuando se prueben bajo 
condición de no adherencia, sin que se excedan los corrimientos previstos. Sin embargo, 
para tendones adheridos dichos anclajes y acopladores deben ser ubicados para poder 
desarrollar el 100 por ciento de la resistencia a la ruptura de los tendones en las secciones 
críticas una vez producida la adherencia al elemento. 
 
Los acopladores deben colocarse en zonas aprobadas por el supervisor y guardados en 
dispositivos lo suficientemente largos para permitir los movimientos necesarios. 
 
En elementos sometidos a cargas cíclicas se debe atender la posibilidad de fatiga en los 
anclajes y acopladores. 
 
Los dispositivos de anclaje y acopladores en los extremos deben protegerse 
permanentemente contra la corrosión. 
 
1.4.3 Ductos para postensado 
 
Los ductos para tendones que se inyectarán con lechada deben ser herméticos a ella y no 
deberán reaccionar con los tendones, ni con el concreto ni con la lechada de relleno. 
 
Los ductos para tendones o para alambres individuales que se vayan a inyectar con lechada 
deberán tener un diámetro interior por lo menos 10 mm mayor que el diámetro del tendón o 
alambre. Los ductos para grupos de alambres o tendones deberán tener un área transversal 
interna no menor que dos veces el área transversal neta de los alambres o tendones. 
 
1.4.4 Lechada para tendones adheridos 
 
La lechada para inyección debe ser de cemento Portland y agua, o de cemento Portland, 
arena y agua; estos materiales deben cumplir con los requisitos especificados en las Normas 
Oficiales Mexicanas (NOM C 1, NOM C 2, NOM C III, NOM C 122 y NOM C 255). Para 
mejorar la manejabilidad y reducir el sangrado y la contracción, pueden usarse aditivos que 
no sean dañinos ni a la lechada ni al acero ni al concreto, y no debe utilizarse cloruro de 
calcio. 
 
8 
 
El proporcionamiento de la lechada debe basarse en: a) resultados de ensayes sobre lechada 
fresca y lechada endurecida realizados antes de iniciar las operaciones de inyección o, b) 
experiencia previa documentada, con materiales y equipo semejante y en condiciones de 
campo comparables. 
 
El contenido del agua será el mínimo necesario para que la lechada pueda bombearse 
adecuadamente, pero la relación agua-cemento en peso no será mayor que 0.45. No se 
podrá emplear agua para incrementar la fluidez de la lechada si aquella fue disminuida por 
retraso en su colocación. 
 
La lechada debe inyectarse con equipo mecánico de mezclado y agitación continua que dé 
lugar a una distribución uniforme de los materiales; asimismo, debe bombearse de modo 
que llene completamente los ductos de los tendones. 
 
La temperatura del elemento presforzado, cuando se inyecta la lechada, debe ser mayor que 
2° C, y debe mantenerse por encima de este valor hasta que la resistencia de cubos de 5 cm, 
fabricados con la lechada y curados en la obra, lleguen a una resistencia mínima a la 
compresión de 55 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Durante el mezclado y el bombeo, la temperatura de la lechada no 
debe exceder de 30° C. 
 
1.4.5 Protección de tendones de presfuerzo 
 
Las operaciones con soplete y las de soldadura en la proximidad del acero de presfuerzo 
deben realizarse de modo que éste no quede sujeto a altas temperaturas, chispas de 
soldadura, o corrientes eléctricas a tierra. 
 
Los tendones no adheridos deberán estar completamente cubiertos con material adecuado 
para asegurar la protección contra la corrosión. 
 
El recubrimiento de los tendones deberá ser continuo en toda su longitud no adherida, y 
deberá prevenirse que se introduzca lechada o la pérdida del material de recubrimiento 
durante la colocación del concreto. 
 
1.5 DIEZ PRINCIPIOS 
 
Los siguientes diez principios según Abeles y Bardhan (Referencia 7) son aplicables no 
solo al concreto presforzado sino también a cualquier encomienda a que un ingeniero 
dedique su tiempo: 
 
1. No se puede tener todo (Cada solución tiene ventajas y desventajas que tienen que 
ser analizadas unas con respecto a las otras). 
 
2. No se puede tener algo por nada (Uno tiene que pagar de una forma u otra a lo 
que es ofertado como un “regalo” en la negociación). 
 
 
9 
 
 
3. Nunca es demasiado tarde (Para alterar un diseño, para reforzar una estructura 
antes de que esta colapse, o incluso para cambiar los principios anteriormente 
empleados en orden de incrementar el conocimiento y la experiencia). 
 
4. No hay progreso sin considerar un riesgo (Así como es importante asegurar 
seguridad suficiente, ser demasiado conservadores puede conducir a un 
estancamiento, en el hecho de que no se genera desarrollo en estructuras nuevas). 
 
 
5. Para saber a qué sabe el pastel hay que probarlo (Esto alucea una directa 
relación con el principio anterior, indicando la necesidad de probar ideas nuevas). 
 
6. La simplicidad es siempre una ventaja, pero hay que ser cuidadosos de no caer 
en simplicidades (Estas últimas pueden conducir a cálculos teóricos que no siempre 
son correctos en la práctica, o a fallas por no cubrir todas las condiciones del 
problema). 
 
7. No generalizar, sino considerar las circunstancias específicas (Serias 
incertidumbres pueden ser causadas por no tomar en cuenta las condiciones 
específicas del problema). 
 
8. La pregunta importante es ¿Qué tan bueno es?, no ¿Qué tan barato es? un 
servicio (Un costo barato ofertado por alguien que no tiene experiencia a menudo 
resulta en trabajos malos). 
 
9. Vivimos y aprendemos (Siempre es posible incrementar nuestro conocimiento y 
experiencia). 
 
10. No hay nada completamente nuevo (Nada es logrado instantáneamente, solo 
mediante un desarrollo pasa a paso). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
CAPÍTULO 2 
 
MATERIALES 
 
2.1 CARACTERÍSTICAS DEL CONCRETO PARA PRESFUERZO 
El concreto que se usa para presforzar se caracteriza por tener una mayor calidad y 
resistencia con respecto al utilizado en construcciones ordinarias. Los valores comunes de 
𝑓´
𝑐
 oscilan entre 350 y 500 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, siendo el valor estándar 350 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Se requiere esta 
resistencia para poder hacer la transferencia del presfuerzo cuando el concreto haya 
alcanzado una resistencia de 𝑓´
𝑐
 igual a 280 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 . La gran calidad y resistencia 
generalmente conduce a costos totales menores, ya que permite la reducción de las 
dimensiones de la sección de los miembros utilizados. Con ello, se logran ahorros 
significativos en peso propio, y los grandes claros resultan técnica y económicamente 
posibles. 
Las especificaciones AASHTO en su artículo 9.2 establecen que el esfuerzo a compresión 
del concreto, de cada parte de la estructura, debe estar especificado en los planos. 
2.1.1 Contracción del concreto 
 
Las mezclas de concreto contienen una mayor cantidad de agua que la requerida para la 
hidratación del cemento. Esta agua libre se evapora con el tiempo. La velocidad y 
terminación del fraguado dependen de la humedad, la temperatura ambiente y del tamaño y 
forma del elemento. Uno de los efectos del fraguado del concreto es la disminución del 
volumen del mismo, lo que provoca pérdidas considerables de la fuerza de presfuerzo. 
Asimismo, la contracción provoca grietas que deben evitarse con acero de refuerzo y en 
algunos casos con fibras y aditivos. 
 
La contracción del concreto es proporcional a la cantidad de agua empleada en la mezcla; si 
se requieren contracciones mínimas, la relación agua-cemento a utilizarse deberá ser la 
mínima, con revenimientos no mayores que 10 cm. La calidad de los agregados es otro 
factor que influye en la contracción por secado. Agregados duros y densos, de baja 
absorción y módulo de elasticidad de valor alto provocarán una contracción menor. 
 
La magnitud de la deformación unitaria por contracción, 𝜀𝑐, varía desde cero, si el concreto 
es almacenado bajo el agua o en condiciones muy húmedas, hasta 0.001 en ambientes muy 
secos. Con propósitos de diseño, un valor promedio de deformación por contracción será de 
0.0002 a 0.0006 para las mezclas usuales de concreto empleadas en elementos 
presforzados. Las NTC-C establecen un valor de 𝜀𝑐 = 0.001. 
 
2.1.2 Comportamiento elástico 
 
Convencionalmente y por razones prácticas, podemos considerar que la parte ascendente de 
la gráfica esfuerzo-deformación del concreto exhibe un comportamiento elástico, aunque se 
sabe que no siempre estas deformaciones son recuperables y la gráfica no es una línea recta 
 
11 
 
perfecta. Esta consideración nos permite hacer diseños elásticos y fijar un módulo de 
elasticidad en función de la resistencia del concreto. 
 
La NTC-C establece para concretos tipo I, que es el empleado en concreto presforzado, el 
siguiente valor de módulo de elasticidad, 𝐸𝑐, en 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 : 
 
 
 𝐸𝑐 = 14000√𝑓´𝑐 (2.1) 
 
Al igual que ocurre con otros materiales elásticos, cuando el concreto se comprime en una 
dirección se expande en la dirección transversal a la del esfuerzo aplicado. La relación entre 
la deformación transversal y la longitudinal se conoce como relación de “Poisson” y su 
valor varía de 0.15 a 0.20. Este efecto puede modificar sensiblemente el presfuerzo en 
elementos con presfuerzo biaxial. 
 
2.1.3 Flujo plástico 
 
Debido a la presencia de esfuerzos permanentes, las partículas que forman el concreto 
experimentan un reacomodo que modifica las dimensiones de los elementos. Este 
fenómeno es conocido como flujo plástico. El flujo plástico en el concreto depende de la 
magnitud de las cargas permanentes, de las proporciones de la mezcla, de la humedad, de 
las condiciones del curado y de la edad del concreto a la cual comienza a ser cargado. La 
deformación de compresión ocasionada por el flujo plástico tiene un efecto importante en el 
presfuerzo provocando una disminución o pérdida de la fuerza efectiva. 
 
Las NTC-C proponen la siguiente ecuación para obtener el coeficiente de deformación 
axial diferido final, 𝐶𝑓: 
 
 𝐶𝑓 =
𝛿𝑓−𝛿𝑖
𝛿𝑖
 (2.2) 
 
En donde 𝛿𝑓 y 𝛿𝑖 son las deformaciones final e inicial, respectivamente. Cuando no se 
conocen los valores de 𝛿𝑓 y 𝛿𝑖 se supondrá 𝐶𝑓 =2.4. 
 
2.2 CARACTERÍSTICAS DEL ACERO PARA PRESFUERZO 
El acero de presfuerzo es el material que va a provocar de manera activa momentos y 
esfuerzos que contrarresten a los causados por las cargas. Existen tres formas comunes de 
emplear el acero de presfuerzo: alambres, torón y varillas de acero de aleación. 
2.2.1 Tipos de acero de presfuerzo 
 
2.2.1.1 Alambres 
 
Los alambres individuales se fabrican laminando en caliente lingotes de acero hasta obtener 
alambres redondos, los que después del enfriamiento pasan a través de troqueles para 
reducir su diámetro hasta su tamaño requerido. El proceso de estirado, se ejecuta en frío lo 
 
12 
 
que modifica notablemente sus propiedades mecánicas e incrementa su resistencia. 
Posteriormente se les libera de esfuerzos residuales mediante un tratamiento continuo de 
calentamiento hasta obtener las propiedades mecánicas prescritas. Los alambres se fabrican 
en diámetros de 3, 4, 5, 6, 7, 9.4 y 10 mm y las resistencias varían desde 16,000 hasta 
19,000 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Los alambres de 5, 6 y 7 mm pueden tener acabado liso, dentado y tridentado. 
 
2.2.1.2 Torón 
 
El torón se fabrica con siete alambres firmemente torcidos cuyas características se 
mencionaron en el párrafo anterior; sin embargo, las propiedades mecánicas comparadas 
con las de los alambres mejoran notablemente, sobre todo la adherencia. El paso de la 
espiral o hélice de torcido es de 12 a 16 veces el diámetro nominal del cable. La resistencia 
a la ruptura, 𝑓𝑠𝑟, es de 19,000 
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 para el grado 270K (270,000 𝑙𝑏
𝑝𝑢𝑙𝑔2
), que es el más 
utilizado actualmente. Los torones pueden obtenerse entre un rango de tamaños que va 
desde 3
8
 hasta 0.6 pulgadas de diámetro, siendo los más comunes los de 3
8
’’ y de 1
2
” con áreas 
nominales de 54.8 y 98.7 𝑚𝑚2, respectivamente. 
 
2.2.1.3 Varillas de aleación 
 
La alta resistencia en varillas de acero se obtiene mediante la introducción de algunos 
minerales de ligazón durante su fabricación. Adicionalmente se efectúa trabajo en frío en 
las varillas para incrementar aún más su resistencia. Después de estirarlas en frío se les 
libera de esfuerzos para obtener las propiedades requeridas. Las varillas de acero de 
aleación se producen en diámetros que varían de 1
2
" hasta 13
8
”. 
 
2.2.2 Características esfuerzo-deformación del acero para presfuerzo 
 
En la Figura 2.1 se muestra una gráfica resistencia-deformación para torones condistinto 
diámetro; para el torón de 1
2
" esta gráfica también es de esfuerzo-deformación porque el 
área del torón es 0.987, casi uno. Se observa que el acero de presfuerzo no presenta un 
esfuerzo de fluencia definido. Usualmente este esfuerzo se calcula como el correspondiente 
a una deformación 
unitaria de 1.0 por ciento; en la gráfica se observa que el esfuerzo correspondiente a esa 
deformación es 17,000 y 17,500 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 para los aceros normal y de bajo relajamiento, 
respectivamente. Para alambres redondos lisos el módulo de elasticidad es semejante al del 
refuerzo ordinario, esto es, alrededor de 2’000,000 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Para torón y para varillas de 
aleación el módulo de elasticidad está entre 1’900,000 y 1’960,000 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Después del inicio 
de la fluencia del acero, los alambres muestran una fluencia gradual y la curva continúa 
creciendo hasta la falla. Las varillas de aleación tienen características similares a aquellas 
de los alambres redondos o de los torones, pero sus límites proporcionales y resistencias 
son de 30 a 40 por ciento menores. Como se verá más adelante, el esfuerzo máximo al que 
se tensan los torones es 0.8𝑓𝑠𝑟, el que como se aprecia en la Figura 2.1, es un esfuerzo de 
 
13 
 
15,200 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, para un torón de 1
2
’’y está debajo del esfuerzo de fluencia. El esfuerzo de 
servicio final, una vez que se han presentado todas las pérdidas, será entre 15 y 30 por 
ciento menor que el esfuerzo de tensado. 
 
 
 
Figura 2.1. Curva fuerza-deformación para tres torones de distinto diámetro 
 
2.2.3 Relajación del acero de presfuerzo 
 
Cuando al acero de presfuerzo se le mantiene en tensión experimenta un reacomodo y 
rompimiento interno de partículas conocido como relajación. Esta relajación debe tomarse 
en cuenta en el diseño, ya que produce una pérdida significativa de la fuerza presforzante. 
Actualmente, la mayoría de los aceros son de baja relajación y son conocidos como Acero 
de Baja Relajación o LO-LAX, y deben de preferirse sobre los otros para evitar pérdidas 
excesivas. 
 
2.2.4 Acero de refuerzo 
 
El uso del acero de refuerzo ordinario es común en elementos de concreto presforzado. La 
resistencia nominal a la fluencia de este acero es 𝑓𝑦 = 4,200
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Este acero es muy útil para: 
 
1. Aumentar la ductilidad. 
2. Aumentar la resistencia. 
3. Resistir los esfuerzos de tensión y compresión. 
4. Resistir el cortante y la torsión. 
5. Restringir el agrietamiento por maniobras y cambios de temperatura. 
6. Reducir las deformaciones a largo plazo. 
7. Confinar el concreto. 
 
 
14 
 
 
2.2.4.1 Acero estructural 
 
En muchos elementos prefabricados es común el uso de placas, ángulos y perfiles 
estructurales de acero. Éstos son empleados en conexiones, apoyos y como protección. El 
esfuerzo nominal de fluencia de este acero es de 2,530 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. 
 
2.2.4.2 Malla electrosoldada 
 
Por su fácil colocación, las retículas de alambre o mallas electrosoldadas se emplean 
comúnmente en aletas de trabes cajón, doble “te” y similares. El esfuerzo nominal de 
fluencia es de 5,000 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. La nominación más común de los distintos tipos de malla es como 
sigue: 
 
𝑆𝐿 𝑥 𝑆𝑇 − 
𝐶𝑀𝐿
𝐶𝑀𝑇
 
donde: 
 
 𝑆 es la separación en pulgadas. 
𝐶𝑀 es el calibre. 
𝐿 es la dirección longitudinal. 
𝑇 es la dirección transversal. 
 
La malla más comúnmente utilizada es la 6 𝑥 6 − 6
6
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
CAPÍTULO 3 
 
PÉRDIDAS DE FUERZA PRESFORZANTE 
 
Existen varias razones por las que la fuerza de presfuerzo efectiva que actúa en un elemento 
es menor que la fuerza aplicada por el gato. Esta reducción de la fuerza efectiva, llamada 
pérdida, puede llegar a ser mayor que el 30 % en los elementos comúnmente empleados. 
Por ello, estimar las pérdidas asignando un porcentaje como lo permiten las normas 
vigentes para el Distrito Federal puede resultar en un diseño poco conservador, y las 
consecuencias se reflejarán a largo plazo una vez que todas las pérdidas se presenten. 
Subestimar o sobrestimar las pérdidas implica errar en la estimación de los esfuerzos y 
deformaciones en las distintas etapas de servicio del elemento; sin embargo, para la etapa 
última cuando se evalúa la resistencia del elemento, las pérdidas no influyen debido a que 
esta resistencia es función del equilibrio interno de fuerzas y deformaciones. 
 
Las pérdidas totales, 𝛥𝑃𝑇, están dadas por la suma de las pérdidas iniciales, 𝛥𝑃𝑇𝑖, más las 
diferidas, 𝛥𝑃𝑇𝑑. 
 
𝛥𝑃𝑇 = 𝛥𝑃𝑇𝑖 + 𝛥𝑃𝑇𝑑 
 
Las pérdidas más comunes en elementos presforzados son: 
 
𝛥𝑃𝑇𝑖 = 𝛥𝐹𝑅 + 𝛥𝐷𝐴 + 𝛥𝐴𝐸 + 𝛥𝐷𝑇 + 𝛥𝑅𝐸𝑖. 
𝛥𝑃𝑇𝑑 = 𝛥𝐶𝐶 + 𝛥𝐹𝑃 + 𝛥𝑅𝐸𝑑 . 
donde: 
𝛥𝐹𝑅= pérdida por fricción. 
𝛥𝐷𝐴= pérdida por deslizamiento del anclaje. 
𝛥𝐴𝐸= pérdida debida al acortamiento elástico. 
𝛥𝐷𝑇= pérdida debida al desvío de los torones. 
𝛥𝑅𝐸𝑖= pérdida debida a la relajación del acero inicial. 
𝛥𝐶𝐶= pérdida debida a la contracción del concreto. 
𝛥𝐹𝑃= pérdida debida al flujo plástico del concreto. 
𝛥𝑅𝐸𝑑= pérdida debida a la relajación del acero. 
 
 
 
 
 
 
16 
 
3.1 PÉRDIDAS INSTANTANEAS O INMEDIATAS 
 
3.1.1 Deslizamiento del anclaje 
 
En los miembros postensados la fuerza del gato se libera transfiriéndose al concreto por 
medio de dispositivos de anclaje. Existe inevitablemente un deslizamiento entre estos 
dispositivos y el acero de presfuerzo a medida que las cuñas realizan el anclaje mecánico de 
los tendones, o a medida que se deforma el anclaje. Lo mismo sucede en los elementos 
pretensados al momento en que la fuerza presforzante se transfiere de los gatos a los 
anclajes colocados en los muertos, aunque en general esta pérdida se desprecia debido a la 
eficiencia de los equipos utilizados en pretensado. La pérdida por deslizamiento del anclaje 
se calculará utilizando la siguiente expresión: 
 
𝛥𝐷𝐴 = 𝑒 𝐸𝑠𝑝 =
𝑑𝑙
𝐿
𝐸𝑠𝑝 (3.1) 
 
donde L es la longitud del tendón, 𝐸𝑠𝑝 el módulo de elasticidad del acero de presfuerzo y 𝑑𝑙 
es el deslizamiento. 𝑑𝑙 es proporcionado por el fabricante y debe estar claramente 
especificado, pudiendo variar de 1 a 10 mm. La ecuación 3.1 se basa en la suposición de 
que el deslizamiento se encuentra uniformemente distribuido a lo largo de la longitud del 
tendón. Lo anterior puede no suceder en elementos postensados con pérdidas por fricción, 
ya que las pérdidas por deslizamiento se concentrarán en los extremos disminuyendo 
proporcionalmente con la fricción (Huang T., 1969). Esto se visualiza con un diagrama de 
fuerza efectiva como el de la Figura 3.1, considerando la fuerza efectiva en cada sección 
como la suma del deslizamiento y la fricción. En caso de no existir fricción, la pérdida por 
deslizamiento se reflejará a todo lo largo del elemento. 
 
 
Figura 3.1 Pérdida de la fuerza efectiva de presfuerzo debida al deslizamiento de los 
anclajes y a la fricción 
 
 
 
17 
 
3.1.2 Fricción 
Esta pérdida se presenta sólo en elementos postensados. Durante el proceso de tensado, a 
medida que el acero se desliza a través del ducto, se desarrolla la resistencia friccionante y 
la tensión en el extremo anclado es menor que la tensión en el gato. Las pérdidas debido a 
la fricción entre el tendón de presfuerzo y los ductos deberán tomarse como: 
 
𝛥𝐹𝑅 = 𝑓𝑝𝑗(1 − 𝑒
−(𝐾𝑥 + 𝜇𝛼)) (3.2) 
 
donde: 𝑓𝑝𝑗 = Esfuerzo en el acero al tensado (
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
). 
 𝑥 = Distancia desde el anclaje hasta el punto en consideración (m). 
 𝐾 = Coeficiente de fricción secundario o de deformación no intencional ( 1
𝑚
). 
 𝜇 = Coeficiente de fricción primario por curvatura intencional ( 1
𝑟𝑎𝑑
). 
 𝛼 = Suma total de los valores absolutos del cambio angular de la trayectoria del 
 presfuerzo desde el anclaje hasta el puntoen consideración (rad). 
 
La ecuación anterior se basa en considerar a la pérdida total por fricción como la suma de la 
fricción primaria debida a la curvatura intencional del tendón que está dada por el factor 𝜇𝛼 
y por la fricción secundaria debida a la deformación no intencional del ducto dada por 𝐾𝑥. 
Si la curvatura intencional es nula (𝛼=0), no existe pérdida por este concepto; a medida que 
se suman las distintas curvaturas impuestas al ducto, ésta pérdida aumenta también de 
valor. Por otro lado, la pérdida no intencional es directamente proporcional a la distancia 𝑥; 
por ello, cuando las pérdidas por fricción sean muy grandes, se deberá tensar por ambos 
lados del elemento. Los valores de los coeficientes de fricción 𝐾 y 𝜇 se muestran en la 
Tabla 3.1, y deben quedar claramente especificados en los planos. 
 
Tabla 3.1 Coeficientes de fricción para tendones de postensado. 
Cables dentro de una camisa metálica inyectada con lechada, 
formados por: 𝐾 (
1
𝑚
) 𝜇 (
1
𝑟𝑎𝑑
) 
Alambres 0.003 a 0.005 0.15 a 0.25 
Barras de alta resistencia 0.0003 a 0.002 0.08 a 0.30 
Torones de siete alambres 0.00015 a 0.0065 0.15 a 0.25 
Alambres y torones de siete alambres no adheridos cubiertos con resina 0.0010 a 0.0020 0.05 a 0.15 
Alambres y torones de siete alambres no adheridos prengrasados 0.0003 a 0.0020 0.05 a 0.15 
 
La figura 3.2 muestra la variación de la fuerza de presfuerzo después del estiramiento de los 
tendones. El lado izquierdo es el extremo que se estira y el lado derecho es el extremo 
anclado. Se puede apreciar que conforme la longitud de contacto cable-ducto es mayor la 
fuerza de presfuerzo presentada en el cable disminuye ya que la fricción que se genera en la 
longitud del cable también toma esfuerzos, por lo tanto podemos decir que las pérdidas por 
fricción de fuerza presforzante es proporcional a la distancia medida desde el extremo de 
aplicación de la misma. 
 
18 
 
 
Figura 3.2 Distribución de la fuerza de presfuerzo afectada por las pérdidas debidas a 
la fricción a lo largo de la longitud de la viga 
3.1.2.1 Ejemplo de cálculo de pérdidas por fricción 
 
Una viga postensada de 10 cm x 30 cm (b * h) con claro de 10 m es presforzada por medio 
de tres cables anclados A, B, y C respectivamente como muestra la Figura 3.3. Si los cables 
son tensados de un lado, manteniendo el otro anclado, estimar el porcentaje de pérdidas en 
cada cable debido a la fricción en el lado anclado. Asumir 𝜇 =0.35 1
𝑟𝑎𝑑
 y 𝐾 =0.0015 1
𝑚
. 
 
 
 
Figura 3.3 Viga postensada 
 
SOLUCIÓN 
Para saber el valor de α(L), necesitamos el perfil de la ecuación de una parábola (Figura 
3.4). 
 
 
 
 
19 
 
 
Figura 3.4 Perfil de la ecuación de la parábola 
Con la ayuda de la Figura 3.4 podemos plantear la pendiente (𝑑𝑦
𝑑𝑥
) del perfil de una parábola 
con la siguiente ecuación: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4 ym
𝐿2
(𝐿 − 2𝑥) (3.3) 
 
 
donde: 𝑦𝑚 = Desplazamiento del CGS al centro de la viga desde los extremos. 
 
 𝐿 = Longitud de la viga. 
 
 𝑥 = Distancia desde los extremos anclados. 
 
 𝑦 = Desplazamiento del CGS a la distancia x desde los extremos. 
 
Una expresión de α(x) puede ser derivada del cambio de pendiente (ecuación 3.3), donde: 
 
En x=0, la pendiente 𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
4 𝑦𝑚
𝐿
 . El cambio de pendiente α(x) es proporcional a x. 
La expresión de α(x) puede ser escrita en términos de x como α(x)=θ x, donde: θ = 8 𝑦𝑚
𝐿2
 . 
La variación se muestra en la Figura 3.5. 
 
 
20 
 
 
Figura 3.5 Valores de α(x) en función de x 
La fuerza de presfuerzo a una distancia x está dada por (Ecuación 3.2): 
 
𝛥𝐹𝑅 = 𝑓𝑝𝑗(1 − 𝑒
−(𝐾𝑥 + 𝜇𝛼)) 
 
La ecuación 3.2 nos da la fuerza de presfuerzo en una viga descontando las pérdidas por 
fricción, sin embargo en este ejemplo solamente queremos saber el porcentaje que cada 
cable aporta al total de este tipo de pérdidas. Para ello tomaremos solamente la parte de la 
ecuación que corresponde a la fuerza presforzante disipada mediante la fricción del cable 
con la superficie del ducto: 
 
1 − 𝑒−(𝐾𝑥 + 𝜇𝛼) (3.4) 
 
Para el cable A tenemos: 
 
𝜇 =0.35 1
𝑟𝑎𝑑
 y 𝐾 =0.0015 1
𝑚
 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = 1 − 𝑒
−(𝐾𝑥 + 𝜇𝛼) 
 
 
𝛼(𝑥) = 𝜃𝑥 
 
𝜃 =
8 ∗ 𝑦𝑚
𝐿2
 
 
𝜃 =
8∗(0.1 𝑚)
(10 𝑚)2
= 0.008 Figura 3.6 Desplazamiento 𝒚𝒎 del cable A 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = 1 − 𝑒
−(0.0015𝑥 + 0.35(0.008𝑥)) 
 
 
21 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = 1 − 𝑒
−(0.0015𝑥 + 0.0028𝑥) 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = 1 − 𝑒
−(0.0043𝑥) 
 
donde: x = 10 m, ya que queremos conocer las pérdidas por fricción en toda la 
 longitud del cable 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = 1 − 𝑒
−(0.0043(10)) 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = (1 − 𝑒
−(0.0043(10))) ∗ 100 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐴 = 4.21 % Porcentaje de pérdidas en el cable A 
 
Esto quiere decir que de la fuerza que se aplique al cable A, 4.21% se va a perder por la 
disipación de energía entre en cable y el ducto. 
 
Procediendo de forma análoga para los cables B y C tenemos: 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐵 = 2.9 % 
 
%𝛥𝐹𝑅𝑐𝑎𝑏𝑙𝑒 𝐶 = 1.5 % 
 
Conclusiones del ejemplo 
 
Como se puede apreciar en los cálculos, mientras más grande sea la altura de la parábola se 
podrán esperar mayores pérdidas por fricción, ya que la curvatura se incrementa. Esto se 
puede ver fácilmente en el porcentaje de pérdidas del cable A y el cable C en donde, las 
pérdidas presentadas en el cable A (con una altura mayor de la parábola de su trayectoria) 
son mayores que en el cable B (con altura cero, es decir, cable recto). Esto se puede 
explicar debido a las fuerzas tangenciales que se generan en el cable al ser tensado en una 
trayectoria parabólica con las curvaturas que eso implica, mismas que no se presentan en 
una trayectoria recta. 
Como se puede apreciar, este tipo de pérdida solo se presenta en elementos postensados en 
el momento de la aplicación del presfuerzo, ya que en las siguientes etapas de la vida útil de 
las vigas este tipo de pérdidas son cero, ya que tan pronto como se termina el proceso de 
presforzado se inyectan los ductos con lechada, la cual al endurecer crea un ambiente 
monolítico para la transferencia de esfuerzos. 
 
3.1.3 Desviación de torones 
 
Similar a las pérdidas por fricción en elementos postensados, los mecanismos de desvío de 
torones, que se utilizan con la finalidad de mejorar el comportamiento del elemento ante 
cargas de servicio, pueden inducir pérdidas significativas en elementos pretensados. El 
valor de estas pérdidas dependerá de las características de los dispositivos empleados y es 
responsabilidad del fabricante cuantificar las mismas. 
 
22 
 
 
3.1.4 Acortamiento elástico 
 
Cuando la fuerza presforzante se transfiere a un miembro, existirá un acortamiento elástico 
en el concreto debido a la compresión axial. Este puede determinarse fácilmente a partir de 
la relación esfuerzo-deformación del concreto. Para elementos pretensados, está pérdida 
está dada por: 
 
 𝛥𝐴𝐸 = 𝐸𝑠𝑝
𝐸𝑐𝑖
𝑓𝑐𝑔𝑝 (3.3) 
 
donde 𝑓𝑐𝑔𝑝 es la suma de los esfuerzos en el centro de gravedad de los tendones debidos al 
peso propio del miembro y a la fuerza de presfuerzo inmediatamente después de la 
transferencia en las secciones de momento máximo, tomando en cuenta las pérdidas 
inmediatas que ya se presentaron en el torón como relajación instantánea, fricción, 
deslizamiento y acortamiento elástico; como esta pérdida aún no se conoce, el PCI permite 
estimar 𝑓𝑐𝑔𝑝 con el 90 por ciento del valor obtenido sin haberla tomado en cuenta. 𝐸𝑐𝑖 es el 
módulo de elasticidad del concreto en la transferencia considerando 𝑓´
𝑐𝑖
, la resistencia del 
concreto en ese instante. 
 
𝐸𝑐𝑖 =
𝛶𝑐
3
2
7.3
√𝑓´𝑐𝑖(3.4) 
 
Para miembros postensados, en caso en que se utilicen tendones múltiples y que éstos se 
tensen siguiendo una secuencia, las pérdidas se calcularán, según los reglamentos 
AASHTO, como: 
 
 
𝛥𝐴𝐸 =
𝑁−1
2𝑁
𝐸𝑠𝑝
𝐸𝑐𝑖
𝑓𝑐𝑔𝑝 (3.5) 
Donde 𝑁 es el número de veces que se tensa, de manera que si se tensan todos los tendones 
simultáneamente, 𝑁 =1 y por lo tanto 𝛥𝐴𝐸 =0. Cuando 𝑁 es muy grande el factor 𝑁−1
2𝑁
 
tiende a 1
2
, por lo que es usual así considerarlo. 
 
3.1.5 Relajación instantánea 
 
Cuando al acero del presfuerzo se tensa hasta los niveles usuales experimenta relajamiento. 
El relajamiento se define como la pérdida de esfuerzo en un material esforzado mantenido 
con longitud constante. Existen dos etapas para el cálculo de esta pérdida: la que 
corresponde al momento de hacer el tensado, y la que se presenta a lo largo del tiempo. La 
primera es una pérdida instantánea y en miembros pretensados, inicialmente tensado arriba 
de 0.5 𝑓𝑠𝑟, puede tomarse como (AASHTO, LRFD): 
 
𝛥𝑅𝐸𝑖 =
log (𝑡)
10
(
𝑓𝑝𝑗
𝑓𝑝𝑦
− 0.55) 𝑓𝑝𝑗 (3.6) 
 
 
23 
 
donde 𝑡 es el tiempo estimado en horas desde el tensado hasta la transferencia, 𝑓𝑝𝑗 es el 
esfuerzo en el tendón al final del tensado y 𝑓𝑝𝑦 es el esfuerzo de fluencia del acero de 
presfuerzo. Este esfuerzo es proporcionado por el fabricante o puede calcularse como 
𝑓𝑝𝑦=0.85𝑓𝑠𝑟, para torones aliviados de esfuerzo y 𝑓𝑝𝑦=0.9𝑓𝑠𝑟 , para torones de baja 
relajación. Para torones de baja relajación, 𝛥𝑅𝐸𝑖 debe dividirse entre 4. 
 
3.2 PÉRDIDAS DIFERIDAS O A LARGO PLAZO 
 
3.2.1 Contracción del concreto 
 
La contracción por secado del concreto provoca una reducción en la deformación del acero 
del presfuerzo igual a la deformación que produce esa contracción. Lo anterior se refleja en 
una disminución del esfuerzo en el acero y constituye un componente importante de la 
pérdida del presfuerzo para todos los tipos de vigas de concreto presforzado. Esta pérdida 
puede tomarse considerando que la deformación del concreto por este concepto es 
𝜀𝑐=0.001 indicado en las NTC-C. 
 
𝛥𝐶𝐶 = 𝜀𝑐 𝐸𝑝 ( 3.7) 
 
o aplicando las siguiente expresiones contenidas en el AASHTO estándar (1996). 
𝛥𝐶𝐶 = 1193 − 10.5𝐻 ( 3.8a) 
 
𝛥𝐶𝐶 = 954 − 8.4𝐻 ( 3.8b) 
 
donde 𝐻 es la humedad relativa anual promedio en porcentaje; de no conocerse la humedad 
del sitio donde se construirá la obra, puede considerarse como lo indica la Tabla 3.2. Las 
ecuaciones 3.8a y 3.8b son válidas para elementos pretensados y postensados, 
respectivamente. Para elementos postensados, la pérdida debida a la contracción es menor a 
la que se presenta en elementos pretensados, debido a que gran parte de la contracción ya se 
ha presentado antes del momento de postensar. 
 
Tabla 3.2. Porcentaje de humedad, 𝐻, según el tipo de clima. 
Tipo de clima Porcentaje de humedad (%) 
Muy húmedo 90 
Humedad intermedia 70 
Seco 40 
 
Alternativamente a las ecuaciones 3.7 y 3.8, el manual PCI contiene otra expresión en la 
que no sólo se toma en cuenta la humedad relativa sino también la relación volumen-
superficie del elemento y el valor de deformación del concreto: 
 
𝛥𝐶𝐶 = 8.2𝑥10−6𝐾𝑆𝐻𝐸𝑠𝑝 (1 − 0.024
𝑉
𝑆
) (100 − 𝐻) (3.9) 
 
donde: 𝐸𝑠𝑝 = Módulo de elasticidad del acero de presfuerzo. 
 𝑉
𝑆
 = Relación volumen sobre superficie. 
 𝐻 = Humedad relativa (%). 
 
24 
 
 𝐾𝑆𝐻 = Para elementos pretensados igual a 1.0, para elementos postensados ver Tabla 
 3.3. 
 
Tabla 3.3. Valores de 𝑲𝑺𝑯 para miembros postensados en función del tiempo desde el 
término del curado hasta la aplicación del presfuerzo. 
Días 1 3 5 7 10 20 30 60 
𝑲𝑺𝑯 0.92 0.85 0.80 0.77 0.73 0.64 0.58 0.45 
 
3.2.2 Flujo plástico 
 
Esta pérdida se presenta por la deformación del concreto ante la acción de cargas sostenidas 
como son la carga muerta y el presfuerzo. El manual AASHTO contiene la siguiente 
expresión: 
 
𝛥𝐹𝑃 = 12𝑓𝑐𝑔𝑝 − 7𝑓𝑐𝑑𝑠 ≥ 0 (3.10a) 
 
donde 𝑓𝑐𝑔𝑝 es el esfuerzo de compresión neto en el concreto en el centro de gravedad de los 
tendones inmediatamente después de aplicar el presfuerzo al concreto y 𝑓𝑐𝑑𝑠 es el esfuerzo 
en la sección a la altura del centro de gravedad de los torones debido a cargas muertas en 
(
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
) aplicadas después del tensado. Los valores de 𝑓𝑐𝑑𝑠 deberán calcularse en la misma 
sección o secciones para las cuales 𝑓𝑐𝑔𝑝 es calculada. El comité del ACI-ASCE (PCI, 1994) 
propone la siguiente expresión para la evaluación de las pérdidas por flujo plástico: 
 
𝛥𝐹𝑃 = 𝑛 𝐾𝐶𝑅(𝑓𝑐𝑔𝑝 − 𝑓𝑐𝑑𝑠) (3.10b) 
 
 
donde: 𝑛 = relación modular. 
 𝐾𝐶𝑅 = 2.0 para concreto normal y 1.60 para ligero. 
 
3.2.3 Relajación diferida 
 
Las pérdidas por relajación después de la transferencia pueden tomarse como: 
 
𝛥𝑅𝐸𝑑 = 1406 − 0.4𝛥𝐴𝐸 − 0.2(𝛥𝐶𝐶 + 𝛥𝐹𝑃) (3.11) 
 
 
𝛥𝑅𝐸𝑑 = 1406 − 0.3𝛥𝐹𝑅 − 0.4𝛥𝐴𝐸 − 0.2(𝛥𝐶𝐶 + 𝛥𝐹𝑃) (3.12) 
 
Las ecuaciones 3.11 y 3.12 son válidas para pretensados y postensados, respectivamente. 
Para aceros de baja relajación se deberá usar el 25 por ciento de 𝛥𝑅𝐸𝑑. 
 
3.3 DIAGRAMA DE FUERZA EFECTIVA DE PRESFUERZO 
 
En la sección 3.1.1 se presentó el diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo (DFEP), sin 
embargo, en esta sección se presentará información importante acerca de este, así como 
también, un ejemplo de su construcción en el presforzado de una viga postensada. 
 
25 
 
 
La variación de la fuerza de presfuerzo varía a lo largo de la longitud de una viga 
postensada debido a las perdidas por fricción y corrimiento de o de los anclajes. 
Considerando el efecto de fricción, la magnitud de la fuerza de presfuerzo a una distancia x 
desde el extremo en que se encuentra el gato aplicando la fuerza está dada por: 
 
𝐹𝑅 = 𝑓𝑝𝑗 𝑒
−𝑛𝑥 (3.13) 
 
donde: 𝐹𝑅 = fuerza de presfuerzo después de descontar las perdidas por fricción. 
 𝑛𝑥 = 𝐾𝑥 + 𝜇𝛼, denota los efectos totales por fricción y curvatura. 
 
La grafica de 𝐹𝑅 proporciona el diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo. La parte inicial 
del diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo (Figura 3.1), parte ascendiente en 𝐿1 es 
influenciada por el corrimiento del anclaje. En este caso la pérdida de presfuerzo en el 
extremo en que se aplica la fuerza es Δ𝑓 (Figura 3.1). Para determinar Δ𝑓 y 𝐿1 es necesario 
graficar el DFEP incluyendo el efecto del corrimiento del anclaje. 
 
Considerando la caída de fuerza de presfuerzo y el efecto reversible de fricción, la 
magnitud de la fuerza de presfuerzo a una distancia x medida desde el extremo en el cual se 
aplica el presfuerzo está dada por: 
 
𝐹𝑅′ = (𝑓𝑝𝑗 − Δ𝑓) 𝑒
𝑛′𝑥 (3.14) 
 
donde: 𝑓𝑝𝑗 = esfuerzo en el acero al tensado (
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
). 
 Δ𝑓 = caída de presfuerzo debido al acomodo del anclaje. 
 𝑛′ = para fricción reversible es análoga a 𝑛 para fricción y curvatura. 
 𝐹𝑅′ = 𝐹𝑅, fuerza de presfuerzo después de descontar las perdidas por fricción. 
 
Igualando las expresiones para 𝐹𝑅 y 𝐹𝑅′ con 𝑥 = 𝐿1 encontraremos el valor de Δ𝑓 (pérdida 
de presfuerzo debida al corrimiento del anclaje). 
 
Como es difícil la medición de 𝑛′ por separado, 𝑛′ se toma igual a 𝑛. 
 
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅′ 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑒
−𝑛𝑥 = (𝑓𝑝𝑗 − Δ𝑓) 𝑒
𝑛′𝑥 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑒
−𝑛𝐿1 = (𝑓𝑝𝑗 − Δ𝑓) 𝑒
𝑛′𝐿1 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑒
−( 𝑛+𝑛′ )𝐿1 = 𝑓𝑝𝑗 − Δ𝑓 
 
𝑓𝑝𝑗[1 − (𝑛 + 𝑛′)𝐿
1] = 𝑓𝑝𝑗 − Δ𝑓 
 
Δ𝑓 = 𝑓𝑝𝑗(𝑛 + 𝑛′)𝐿1 = 𝑓𝑝𝑗 𝑛 𝐿
1 (1 +
𝑛′
𝑛
) 
 
26 
 
 
Δ𝑓 = 2 𝑓𝑝𝑗 𝑛 𝐿
1 
 
La siguiente ecuación relaciona 𝐿1 con el deslizamiento del anclaje 𝑑𝑙 
 
𝑑𝑙 =
1
2
Δ𝑓
𝐴𝑝𝐸𝑝
𝐿1 
 
𝑑𝑙 =
1
2
𝐿1
𝐴𝑝𝐸𝑝
𝑓𝑝𝑗 𝑛 𝐿
1 (1 +
𝑛′
𝑛
 ) 
 
Transponiendo términos tenemos: 
 
𝐿1
2
= 𝑑𝑙
2𝐴𝑝𝐸𝑝
𝑓𝑝𝑗 𝑛 (1 +
𝑛′
𝑛 )
 
 
 𝐿12 = 𝑑𝑙𝐴𝑝𝐸𝑝
𝑓𝑝𝑗 𝑛 
 para 𝑛′ = 𝑛 
 
 
Finalmente la ecuación se reduce a: 
 
 𝐿1 = √
𝑑𝑙𝐴𝑝𝐸𝑝
𝑓𝑝𝑗 𝑛 
 (3.20) 
 
donde: 𝑓𝑝𝑗 𝑛 = las pérdidas de presfuerzo por unidad de longitud debidas a la fricción. 
 
El diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo es usado cuando el tensado es aplicado por 
ambos extremos. Los tendones son presforzados a un nivel más alto que el de proyecto para 
contrarrestar la caída de presfuerzo debido al corrimiento del anclaje. El tensado por ambos 
extremos puede ser simultaneo o en etapas. 
 
La figura 3.7 muestra el cambio en el DFEP debido al tensado por ambos extremos en 
etapas. 
 
27 
 
 
Figura 3.7 Diagramas de variación de fuerza de presfuerzo para el tensado por ambos 
extremos en etapas 
A continuación se harán algunos comentarios importantes de la figura 3.7 
 
a) El tensado aplicado en el lado derecho es mayor, esto para compensar las pérdidas 
por el corrimiento del anclaje al momento de retirar el gato que aplica la fuerza 
presforzante. El DFEP en esta etapa es lineal. 
 
b) Después del corrimiento del anclaje en el extremo derecho, hay una caída en el 
DFEP que inicia a una longitud 𝐿 − 𝐿1 
 
c) El DFEP es lineal ascendente hasta la mitad del claro de la viga. 
 
 
28 
 
d) Después de corrimiento del anclaje en el extremo izquierdo, hay una caída en el 
DFEP que inicia a una distancia 𝐿1 medida desde el extremo izquierdo. 
 
3.3.1 Ejemplo de trazo de diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo (Figura 3.1) 
 
La viga de un puente tiene 4 claros (Figura 3.8) y es postensada por medio de un tendón 
que consiste de 20 cables con 𝑓𝑠𝑟 = 19000
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. La mitad de la viga se muestra en la figura 
3.8. El tendón simétrico es simultáneamente presforzado a 75% 𝑓𝑠𝑟 de ambos extremos y 
después anclados. Las características del tendón son: 𝐴𝑝 = 28 𝑐𝑚2, 𝐸𝑝 = 2000000
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
, 
𝜇 = 0.20 (
1
𝑟𝑎𝑑
), 𝐾 = 0.0020 ( 1
𝑚
) y el corrimiento del anclaje es 𝛥𝑠 = 6 𝑚𝑚. 
 
Calcular los diagramas de fuerza efectiva de presfuerzo antes y después del corrimiento del 
anclaje. 
 
 
 
Figura 3.8 Viga con presfuerzo continuo 
 
SOLUCIÓN 
 
Fuerza inicial en el extremo que aplica el tensado: 
 
0.75𝑓𝑠𝑟 = 14250
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 
 
𝑓𝑝𝑗 = 0.75𝑓𝑠𝑟𝐴𝑝 
 
𝑓𝑝𝑗 = 0.75 ∗ 19000
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
∗ 28 𝑐𝑚2 
 
𝑓𝑝𝑗 = 399000 𝑘𝑔 
 
𝑓𝑝𝑗 = 399 𝑇𝑜𝑛 
 
29 
 
 
El tendón continuo es analizado en segmentos de parábola. Los segmentos identificados 
entre los puntos de máxima excentricidad y puntos de inflexión. Los puntos de inflexión se 
presentan donde la pendiente del tendón cambia de signo. Los segmentos que se tienen son: 
1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7 y 7-8 (Figura 3.9) 
 
 
 
Figura 3.9 Segmentos que se consideran en el ejemplo 
Debido a que la trayectoria del tendón es parabólica, ocuparemos las propiedades de la 
parábola (Figura 3.10). 
 
 
 
Figura 3.10 Excentricidad en función de la longitud de segmento en un tramo 
parabólico 
El cambio de pendiente desde el origen hasta el final de la parábola es el mismo que al final 
del tendón, el cual es: 
 
𝛼 =
2 𝑒
𝐿
 (3.20) 
 
donde: 𝐿 = longitud del segmento. 
 𝑒 = desplazamiento vertical desde el origen. 
 
 
30 
 
Para los segmentos 2-3, 3-4 y los subsecuentes pares de segmentos se utilizan las 
propiedades mostradas en la Figura 3.11 
 
 
Figura 3.11 Propiedades en un segmento de tendón parabólico 
Para dos segmentos parabólicos que comparten un punto de inflexión como se muestra en 
la figura 3.11. La pendiente en el punto de inflexión es: 
 
𝛼 =
2 (𝑒1+𝑒2)
𝜆𝐿
 (3.21) 
 
donde: 𝑒1 𝑦 𝑒2 = excentricidades del CGS. 
 𝐿 = longitud del claro. 
 𝜆 = fracción de longitud entre los puntos de máxima excentricidad. 
 
El cambio de pendiente entre un punto máximo de excentricidad y un punto de inflexión es 
igual a 𝛼. 
El cambio en pendiente 𝛼 para cada segmento del tendón es calculado usando las 
expresiones 3.20 y 3.21. Más adelante, el valor de 𝐾𝑥 + 𝜇𝛼 para cada segmento es 
calculado usando los valores dados de 𝜇, 𝐾 y x (longitud horizontal del segmento). 
Como las pérdidas de presfuerzo ocurren con cada segmento, la fuerza en un segmento está 
dada por: 
 
𝑓𝑥 = 𝑓𝑝𝑗𝑒
−𝛴(𝐾𝑥 + 𝜇𝛼 ) (3.22) 
 
La sumatoria 𝛴, es para segmentos desde donde se aplica el presfuerzo hasta el punto en el 
segmento en consideración. Sin embargo, el valor 𝛴(𝐾𝑥 + 𝜇𝛼 ) al final de cada segmento 
es calculado para evaluar la fuerza de presfuerzo en ese punto (𝑓𝑥, donde x denota el punto 
en estudio). 
 
 
 
31 
 
 
 
 
 
Figura 3.12 Calculo de fuerza efectiva de presfuerzo 𝒇𝒙 a lo largo de la viga 
El diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo (DFEP) antes del corrimiento del anclaje 
puede ser graficado con los valores que se obtuvieron en el cálculo de 𝑓𝑥 (Figura 3.12). Se 
puede asumir una variación lineal de la fuerza de presfuerzo en cada segmento. Debido a 
que el tensado es hecho por ambos extremos simultáneamente, el diagrama será simétrico 
con respecto al CL (centro del claro). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.13 Diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo (DFEP) antes del corrimiento 
del anclaje 
Despues del anclaje, el corrimiento del mismo produce una caída en la fuerza efectiva de 
presfuerzo que empieza en el extremo de la viga e incremente de manera lineal a lo largo de 
una distancia 𝐿1. El valor de 𝐿1 para un corrimiento de 6 mm es encontrado por la ecuación 
3.23 y se calcula a continuación: 
 
 𝐿1 = √
𝑑𝑙𝐴𝑝𝐸𝑝
𝑓𝑝𝑗 𝑛 
 
 
Comenzaremos por calcular el término 𝑓𝑝𝑗 𝑛. Como se dijo en la sección 3.3 esta ecuación 
corresponde a las pérdidas de presfuerzo a lo largo de la longitud debidas a la fricción, por 
lo tanto se necesita calcular esta variación en el primer segmento: 
 
 
 
 
270
290
310
330
350
370
390
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Fu
e
rz
a 
d
e
 p
re
sf
u
e
rz
o
 (
To
n
)
Longitud medida del extremo izquierdo al centro del claro (m)
DFEP antes del corrimiento del anclaje
 
33 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑛 =
𝑓𝑥1 − 𝑓𝑥2
𝐿
 
 
donde: 𝑓𝑥1 𝑦 𝑓𝑥2 = fuerza efectiva en el extremo izquierdo y derecho respectivamente del 
 primer segmento. 
 𝐿 = longitud del segmento. 
 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑛 =
399 𝑇𝑜𝑛 − 379.8 𝑇𝑜𝑛
13.7 𝑚
 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑛 = 1.401 
𝑇𝑜𝑛
𝑚
 
 
𝑓𝑝𝑗 𝑛 = 14.01 
𝑘𝑔
𝑐𝑚
 
 
Por lo tanto la longitud 𝐿1 es: 
 
 𝐿1 = √
0.6 𝑐𝑚 ∗ 28 𝑐𝑚2 ∗ 2000000
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
14.01 
𝑘𝑔
𝑐𝑚
 
 
 𝐿1 = 1548.64 𝑐𝑚 
 
 𝐿1 = 15.486 𝑚 
 
Como se aprecia, 𝐿1 excede los 13.7 𝑚, de los que consta el primer segmento. Debido a 
esto, el valor de 𝑓𝑝𝑗 𝑛 tendría que ser recalculado, sin embargo, debido a que la variación 
sería muy pequeña y por lo tanto el cambio en la longitud de 𝐿1 , esta será despreciada. 
 
La caída en la fuerza de presfuerzo (𝛥𝑓) a cada extremo se calcula con la ecuación (3.23) 
 
𝛥𝑓 = 2 𝑓𝑝𝑗 𝑛 𝐿
1 (3.23) 
 
El valor de 𝑓𝑝𝑗 𝑛 fue calculado previamente obteniendo 𝑓𝑝𝑗 𝑛 = 1.401 
𝑇𝑜𝑛
𝑚
 
 
𝛥𝑓 = 2 (1.401 
𝑇𝑜𝑛
𝑚
) (15.486 𝑚) 
 
𝛥𝑓 = 43.392 𝑇𝑜𝑛 
 
 
 
 
34 
 
Por lo tanto el valor inicial y final en el DFEP (que corresponden al valor de la fuerza 
efectiva de presfuerzo en los extremos de la viga respectivamente) es: 399 𝑇𝑜𝑛 −
43.392𝑇𝑜𝑛 = 355.608 𝑇𝑜𝑛. 
 
Como se puede apreciar, las pérdidas por el corrimiento del anclaje corresponden al 
10.875% de la fuerza a la cual se ancla el tendón, lo cual, se tiene que tomar en cuenta antes 
de realizar el tensado, aumentando este porcentaje en el presfuerzo aplicado en cada 
extremo de la viga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.14 Diagrama de fuerza efectiva de presfuerzo (DFEP) después del 
corrimiento del anclaje 
Como se puede apreciar en la figura 3.14, las caídas de fuerza de presfuerzo por unidad de 
longitud son importantes en los apoyos, esto debido al cambio de la curvatura del tendón en 
una longitud pequeña comparada con el cambio de curvatura entre los segmentos. 
 
 
 
270
290
310
330
350
370
390
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Fu
e
rz
a 
d
e
 p
re
sf
u
e
rz
o
 (
To
n
)
Longitud medida del extremo izquierdo al centro del claro (m)
DFEP antes del corrimiento del anclaje DFEP después del corrimiento del anclaje
 
35 
 
CAPÍTULO 4 
 
ESFUERZOS PERMISIBLES 
 
4.1 REGLAMENTO ACI 
 
4.1.1 Esfuerzos admisibles en el concreto para elementos sometidos a flexión 
 
1.- Los esfuerzos posteriores a la transferencia del presfuerzo (antes de las pérdidas que 
dependen del tiempo) no excederán los siguientes valores**. 
 
a) Esfuerzo a compresión en la fibra extrema 𝑓𝑐𝑖 = 0.6 𝑓′𝑐𝑖 ( 4.1a) 
 
b) Esfuerzo a tensión en la fibra extrema, a excepción de lo permitido en el siguiente 
inciso: 
 𝑓𝑡𝑖 = 0.8 √𝑓′𝑐𝑖 (4.1b) 
 
c) Esfuerzo a tensión en la fibra extrema de los elementos simplemente apoyados: 
 
 𝑓𝑡𝑖 = 1.6 √𝑓′𝑐𝑖 (4.1c) 
 
Cuando los esfuerzos calculados a tensión excedan a estos valores, se proporcionará en la 
zona de tensión un refuerzo adherido auxiliar (con o sin presfuerzo), para resistir la fuerza 
total de tensión en el concreto, suponiendo que se trata de una sección no agrietada. 
 
2.- Los esfuerzos bajo las cargas de servicio (después de permitir todas las pérdidas de 
presfuerzo) no excederán los siguientes valores: 
 
a) Esfuerzo a compresión en la fibra extrema 𝑓𝑐𝑠 = 0.45 𝑓′𝑐 ( 4.2a) 
 
b) Esfuerzo a tensión en la fibra extrema, en la zona a tensión, con una 
compactación previa** 
 𝑓𝑡𝑠 = 1.6 √𝑓′𝑐 (4.2b) 
 
c) Esfuerzo a tensión en la fibra extrema, en la zona a tensión con la aplicación de 
una fuerza de compresión previa de los elementos (excepto para los sistemas 
de losas reforzadas en dos direciones), donde los análisis basados en las secciones 
agrietadas transformadas, y en las relaciones bilineales de momento y deflexión, 
muestran que las deflexiones inmediatas y a largo plazo, cumplen con los requisitos 
de deflexión del reglamento*** 
 𝑓𝑡𝑠 = 3.2 √𝑓′𝑐 (4.2c) 
 
3.- Los esfuerzos admisibles que se mencionaron anteriormente podrán excederse, si se 
demuestra por medio de pruebas o de análisis, que no se alterará el comportamiento. 
 
 
36 
 
* Todos los valores de los esfuerzos admisibles (𝑓𝑐𝑖 , 𝑓𝑡𝑖 , 𝑓𝑐𝑠, 𝑓𝑡𝑠) y las resistencias del 
concreto ( 𝑓′𝑐𝑖, 𝑓′𝑐), se expresan en (
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
). 
 
**Se aplican inmediatamente después de la transferencia del presfuerzo al concreto, 
después de que haya ocurrido el acortamiento elástico, y una vez que se hayan presentado 
las pérdidas debidas al deslizamiento y a la fricción del anclaje. 
 
***La zona a tensión, con la aplicación de una fuerza de compresión previa, se refiere a 
aquellas partes del elemento en las cuales se presenta la tensión a flexión, bajo las cargas 
muertas y las cargas vivas. 
 
4.1.2 Esfuerzos admisibles en el acero de presfuerzo*. 
 
El esfuerzo a tensión en los tendones de presfuerzo no deberá exceder los siguientes 
valores: 
 
a) Debido a la fuerza del gato sobre el tendón** 
 
 𝑓𝑝𝑗 = 0.80 𝑓𝑝𝑢 o 0.94 𝑓𝑝𝑦 (4.3a) 
 
Cualquiera que sea menor, pero no mayor que el valor máximo recomendado por el 
fabricante de los tendones o de los anclajes de presfuerzo. 
 
b) Tendones de pretensado, posteriores a la transferencia del presfuerzo 
 
 𝑓𝑝𝑖 = 0.70 𝑓𝑝𝑢 (4.3b) 
 
c) Tendones de postensado, posteriores al anclaje del tendón 
 
 𝑓𝑝𝑖 = 0.70 𝑓𝑝𝑢 (4.3c) 
 
* Estos esfuerzos admisibles en el acero se refieren a la etapa de aplicación de la fuerza por 
medio del gato y a la etapa posterior a la transferencia del presfuerzo. No es necesario 
establecer ningún límite sobre el esfuerzo del acero después de las perdidas, ya que los 
esfuerzos serán menores en esta etapa. 
 
** Este esfuerzo admisible en el acero se basa en la resistencia última de éste o en su 
resistencia especificada de la fluencia. 
 
4.2 REGLAMENTO AASHTO 
 
4.2. 1 Esfuerzos admisibles en el concreto para elementos sometidos a flexión*. 
 
El diseño de los elementos prefabricados y presforzados, normalmente, se basa en un valor 
de 𝑓′𝑐 = 350
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
. Se permite el aumento a 420 𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 cuando, a juicio del ingeniero, sea 
razonable esperar la obtención de esta resistencia. También se podrán considerar 
 
37 
 
resistencias aún más altas, en el caso de que se tome como base un área individual. Cuando 
esto ocurra, el ingeniero debe quedar completamente satisfecho, en cuanto a que los 
controles de los materiales y los procedimientos de fabricación proporcionarán las 
resistencias requeridas. 
 
1.- Esfuerzos temporales anteriores a las pérdidas, debidas a la fluencia y a la contracción: 
 
Compresión 
 
 Elementos pretensados 𝑓𝑐𝑖 = 0.6 𝑓′𝑐𝑖 (4.4a) 
 Elementos postensados 𝑓𝑐𝑖 = 0.55 𝑓′𝑐𝑖 (4.4b) 
 
Tensión 
 
Zona sometida a tensión con la aplicación de una fuerza de compresión previa. No se 
especifican los esfuerzos temporales admisibles. 
 
Otras áreas 
 
En áreas a tensión sin refuerzo adherido 𝑓𝑡𝑖 = 14.1
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
 𝑜 0.8 √𝑓′𝑐𝑖 (4.5) 
 
Cuando el esfuerzo a tensión calculado excede este valor, se proporcionará un refuerzo 
adherido para resistir la fuerza total a tensión calculada en el concreto, suponiendo que se 
trata de una sección no agrietada. El esfuerzo de tensión máximo no excederá: 
 
𝑓𝑡𝑖 = 2 √𝑓′𝑐𝑖 
 
2.- Esfuerzo bajo la carga de servicio, una vez que se han presentado las pérdidas: 
 
Compresión 𝑓𝑐𝑠 = 0.40 𝑓′𝑐 (4.6) 
 
Tensión con la aplicación de una fuerza de compresión previa en el área a tensión 
 
a) Para elementos con refuerzo adherido 𝑓𝑡𝑠 = 1.6 √𝑓′𝑐 ( 4.7a) 
 
Para los lugares donde los elementos están expuestos a la acción corrosiva, 
como lo son las costas 
 
 𝑓𝑡𝑠 = 0.8 √𝑓′𝑐 (4.7b) 
 
b) Para elementos sin refuerzo adherido 0 (cero) 
 
* Todos los valores de los esfuerzos