26495_EJERCICIOS_RESUELTOS_APLICACIONES_DE_LA_DERIVADAS_MAT62200

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS II MAT62200
CÁLCULO DIFERENCIAL
REGLA DE BERNOULLI (EX L'HÔSPITAL)
1.- Calcular (si existe) 637
BÄ%
%  $
B  %
B% B%
.
Solución: Forma !! , por lo que hay que calcular :637BÄ%
Š ‹
ˆ ‰
%  $
B  %
B% B% w
w
 637 637
BÄ% BÄ%
Š ‹ Š ‹
ˆ ‰
%  $ % †68Ð%Ñ  $ †68Ð$Ñ
B  % "
%
$
B% B% B% B%w
w œ
œ
œ
68Ð%Ñ  68Ð$Ñ
68Ð Ñ.
por lo tanto 637
BÄ%
%  $ %
B  % $
B% B%
œ 68Ð Ñ.
2.- Calcular (si existe) 637
BÄ!
"  /
$B
B#
# .
Solución: Forma !! , por lo que hay que calcular :637BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
"  /
$B
B#
w
# w
 637 637
637
BÄ! BÄ!
BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
"  /
$B
#B/
'B
#/
'
"
$
B#
w
# w
B#
B#
œ
œ
œ  .
Por lo tanto 637 
BÄ!
"  / "
$B $
B#
# œ .
3.- Calcular 637
BÄ!
+  ,
B
B B
Solución: Forma !!
+  ,
B
, por lo que hay que calcular :637
BÄ!
ˆ ‰ˆ ‰
B B w
w
2
637 637
68Ð+Ñ  68Ð,Ñ
BÄ! BÄ!
ˆ ‰ˆ ‰+  ,B + 68Ð+Ñ  , 68Ð,Ñ"
B B w
w
B B
œ
œ
Por lo tanto 637 68Ð+Ñ  68Ð,Ñ
BÄ!
+  ,
B
B B
œ .
4.- Calcular (si existe) 637
BÄ!
/ =/8ÐBÑ  B
$B  B
B
# & .
Solución: Forma !! , por lo que hay que calcular :637BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
/ =/8ÐBÑ  B
$B  B
B w
# & w
 ;637 637
BÄ! BÄ!
/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  "
'B  &B
Š ‹
ˆ ‰
/ =/8ÐBÑ  B
$B  B
B w
# & w
œ
B B
% Forma 
!
!
luego hay que calcular 637
BÄ!
/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  "
'B  &B
Š ‹
ˆ ‰
B B w
% w
 
 
637 637
637
BÄ! BÄ!
/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  "
'B  &B
/ =/8ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  / -9=ÐBÑ  / =/8ÐBÑÑ
'  #!B
BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
B B w
% w
B B B B
$œ
œ
œ
#/ -9=ÐBÑ
'  #!B
"
$
B
$
.
por lo tanto 637
BÄ!
/ =/8ÐBÑ  B
$B  B $
"
B
# & œ .
5.- Calcular (si existe) 637
BÄ!
/  /  #
"  -9=Ð$BÑ
B B
.
Solución: Forma !! , por lo que hay que calcular :637BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
/  /  #
"  -9=Ð$BÑ
B B w
w
 ;637 637
BÄ! BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
/  /  #
"  -9=Ð$BÑ
/  /
$ =/8Ð$BÑ
B B w
w
B B
œ Forma !!
luego hay que calcular 637
BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
/  /
$ =/8Ð$BÑ
B B w
w
3
 
 
637 637
BÄ! BÄ!
Š ‹
ˆ ‰
/  /
$ =/8Ð$BÑ
/  /
* -9=Ð$BÑ
#
*
B B w
w
B B
œ
œ
por lo tanto 637
BÄ!
/  /  # #
"  -9=Ð$BÑ *
B B
œ .
6.- Calcular (si existe) 637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ
BÄ"
.
Solución: Forma ! † _, por lo que hay que "transformarlo" a la forma o ;! _! _ 
es decir:
 ; o 637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ 637
BÄ" BÄ"
œ
B  "
"
68ÐB  "Ñ 
Forma !!
 ; , 637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ 637
BÄ" BÄ"
œ
68ÐB  "Ñ 
"
B  " 
Forma __
el cual usaremos. Usted verifique que si elige la forma , esto conducirá a!!
algo no "muy agradable".
Luego hay que calcular 637
BÄ"
Š ‹
ˆ ‰
68ÐB  "Ñ 
w
"
B  "
w
 
 
 
637 637
637 ÐB  "Ñ
BÄ" BÄ"
BÄ"
Š ‹
ˆ ‰
68ÐB  "Ñ 
w
"
B  "
w
"
B  "
"
ÐB  "Ñ# 
 
 
œ
œ 
œ !.
por lo tanto .637 ÐB  "Ñ68ÐB  "Ñ 637
BÄ" BÄ"
œ !
68ÐB  "Ñ 
"
B  " 
œ 
7.- Calcular (si existe) 637
BÄ
#B
_
Š ‹$B  #$B  & .
Solución: Forma " ! † __, por lo que hay que "transformarlo" a la forma y luego a la
forma o ;! _! _ 
4
 
 ;
 ;
 637
BÄ
#B 637
637 #B
637
_
Š ‹$B  #$B  & 68
68
œ
œ
œ
/
/
/
 
 
 
BÄ
BÄ
BÄ
_
_
_
Š ‹
Š ‹
$B  #
$B  &
#B
$B  #
$B  &
68 $B  #$B  &
"
#B
Forma 
Forma 
! † _
Š ‹
!
!
Luego hay que calcular 637
BÄ_
’68Š ‹“
’ “
$B  #
$B  &
w
"
#B
w
 637 637
637
637
BÄ BÄ
BÄ
BÄ
 


_ _
_
_
’68
%#B
Ð$B  #ÑÐ$B  &Ñ
%#B
*B  *B "!
%#
*
"%
$
Š ‹“
’ “
$B  #
$B  &
w
"
#B
w
#"
Ð$B  #ÑÐ$B  &Ñ
"
#B#
#
#
#
œ
œ
œ
œ 
œ 
 
 
.
.
por lo tanto . 637
BÄ
#B 637
_
Š ‹$B  #$B  & œ / œ / BÄ_
68 $B  #$B  &
"
#B
"%
$
Š ‹

APLICACIONES
".- Determine el(los) punto(s) de la curva, de ecuación , dondeC œ B  $B  *B  %$ #
la recta tangente sea horizontal (es decir su pendiente es cero).
Solución: Sea 0ÐBÑ œ B  $B  *B  %$ # . Para que la recta tangente a la curva
C œ B  $B  *B  %$ #
tenga pendiente cero debe cumplirse que ; es decir:0 ÐBÑ œ !w
 Si
o
0 ÐBÑ œ !
Ê $B  'B  * œ
Ê B  #B  $ œ
Ê ÐB  $ÑÐB  "Ñ œ !
Ê B œ " B œ  $
w
#
#
" #
!
!
luego los puntos solicitados son Ð"ß 0Ð"ÑÑ Ð  $ß 0Ð  $ÑÑ Ð"ß  "Ñ y , es decir: y
Ð  $ß $"Ñ.
2.- Hallar la ecuación de la recta normal a cuando .B C  ' œ &C  B B œ ## $ $ 
5
Solución: Si B C  ' &C  B
#BC  B † $C "&C  "
$B C  "&C "  #BC
# $ $
$ # # #
# # # $
œ
Ê œ
Ê œ
Ê œ
‚ ..B
.C .C
.B .B
.C
.B
.C "  #BC
.B $B C  "&C
Š ‹
 
 
$
# # #
Además,
Si B #
# † C  ' &C  #
%C  ' &C  #
 C )
œ
Ê œ
Ê œ
Ê œ
Ê C œ  #
 # $ $
$ $
$
Luego es la pendiente de la recta tangente a la curva en.C.B %
""
Ð#ß  #Ñ œ  
el punto ; por lo tanto la pendiente de la normal es y la ecuaciónÐ#ß  #Ñ %""
de la normal es:
 o .C  # œ ÐB  #Ñ C œ B % % $!"" "" ""
3.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de .0ÐBÑ œ  B  #B  $% #
Solución: Si 0ÐBÑ H970 œ
Ê 0 ÐBÑ H970 œ
Ê 0 ÐBÑ
œ
œ
œ
 B  #B  $
 %B  %B
%BÐ"  B Ñ
% #
$
#
à
à
‘
‘w w
w
Si , son los números críticos.0 ÐBÑ œ ! B œ ! B œ „"w Ê
B  _ß  "  "  "ß ! ! !ß " " "ß  _
0ÐBÑ % $ %
0 ÐBÑ œ  %B  %B  !  !  ! 
‘  ‘  ‘  ‘ 
ß à ß à
w $
luego la función crece en y decrece en0  _ß  "  !ß " ‘ ‘  ‘ ‘   "ß !  "ß  _ .
4.- Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de .0ÐBÑ œ %B  %B#
Solución: Si 0ÐBÑ H970 œ  !
Ê 0 ÐBÑ H970 œ  !
œ
œ
%B  %
B
)  %B
B
#
$
à
à
‘
‘
˜ ™
˜ ™w w
6
Si . Además no está definida en 0 ÐBÑ ! œ ! B œ # B œ !w œ Ê )  %B Ê 0 ,
luego y son los puntos críticos.B œ ! B œ # 
B  _ß ! ! !ß # # #ß  _
0ÐBÑ Î "b
0 ÐBÑ  Î  ! b
‘  ‘  ‘ 
œ
œ
%B  %
B
)  %B
B
#
$
à ß à
w
luego crece en y decrece en .0 !ß #  _ß !  #ß  _‘ ‘ ‘   
5.- Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función
0ÐBÑ œ #B  'B  " 0$ . Determine también los extremos relativos de .
Solución: Si 0ÐBÑ H970 œ
Ê 0 ÐBÑ H970 œ
œ
œ
#B  'B  "
'B  '
$
#
à
à
‘
‘w w
Si y son los puntos críticos.0 ÐBÑ ! 'B  ' œ ! B œ  " B œ "w #œ Ê Ê 
B  _ß  "  "  "ß " " "ß  _
0ÐBÑ &  $
0 ÐBÑ 'B  '  !  ! 
‘  ‘  ‘ 
ß à ß
w #œ
luego decrece en y crece en .0  "ß "  _ß  "  "ß  _ ‘ ‘ ‘  
Además tiene un máximo local en y un mínimo local en .0 B œ  " B œ "
6.- Sea . Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento,0ÐBÑ œ B Ð&  BÑ# $
máximos y mínimos relativos (si existen).
Solución: Si 0ÐBÑ B Ð&  BÑ à H970 œ
0 ÐBÑ Ð&  BÑ  $B Ð&  BÑ à H970 œ
0 ÐBÑ BÐ&  BÑ Ð"!  &BÑ
œ
Ê œ #B
Ê œ
# $
w $ # # w
w #
‘
‘
Si , y son los0 ÐBÑ ! BÐ&  BÑ Ð"!  &BÑ œ ! B œ !w #œ Ê Ê B œ & B œ #
puntos críticos.
Para responder la pregunta hacemos el "cuairito":
B  _ß ! ! !ß # # #ß & & &ß  _
0ÐBÑ ! "!) !
0 ÐBÑ BÐ&  BÑ Ð"!  &BÑ  !  !  ! 
‘  ‘  ‘  ‘ 
à ß à à
w #œ
luego crece en y decrece en . Además tiene un0 !ß #  _ß !  #ß  _ 0 ‘ ‘ ‘   
máximo relativo en y un mínimo relativo en .B œ # B œ !
7
7.- Halle un polinomio 0ÐBÑ œ +B  ,B  -B  .$ # , sabiendo que se cumplen
simultáneamente las siguientes condiciones:
Tiene un máximo local en , un mínimo local en y su gráfica pasa porB œ ! B œ #
los puntos y .Ð!ß %Ñ Ð"ß !Ñ
Solución: Como 0ÐBÑ œ +B  ,B  -B  .$ # es un polinomio, entonces es diferenciable
para todo ‘ y
0 ÐBÑw œ $+B  #,B  -# .
Como tiene extremos locales en y .0 0 Ð!Ñ œ ! 0 Ð#Ñ œ ! y , B œ ! B œ # w w
Además como su gráfica pasa por los puntos y se tiene queÐ!ß %Ñ Ð"ß !Ñ
0Ð!Ñ œ % 0Ð"Ñ œ ! y . De esta manera todas las condiciones se pueden
resumir en:
0 Ð!Ñ
0 Ð#Ñ
0Ð!Ñ
0Ð"Ñ
w
w
œ ! Ê - œ !
œ ! Ê "#+  %,  - œ !
œ % Ê . œ %
œ ! Ê +  ,  -  . œ !
 
Resolviendo el sistema "#+  %, œ !
+  ,  % œ !
se tiene que: y , por lo que + œ # , œ  ' 0ÐBÑ œ #B  'B  %$ # .
8.- Hallar los extremos relativos de 0ÐBÑ œ #B  B# %.
Solución: Si 0ÐBÑ #B  B à H970 œ
0 ÐBÑ %B  %B à H970 œ
0 ÐBÑ %  "#B à H970 œ
œ
Ê œ
Ê œ
# %
w $ w
ww# ww
‘
‘
‘
Si o son los puntos críticos.0 ÐBÑ ! %B  %B œ ! B œ ! "w $œ Ê Ê B œ „ 
Además 0 Ð!Ñ œ %  ! 0 Ð "Ñ œ  )  ! 0ww ww y por lo que tiene un mínimo„ 
local en y un máximo local en .B œ ! B œ "„
9.- Hallar el(los) punto(s) de inflexión (si existen) de .0ÐBÑ œ #B  B# %
Solución: Si 0ÐBÑ #B  B à H970 œ
0 ÐBÑ %B  %B à H970 œ
0 ÐBÑ %  "#B à H970 œ
œ
Ê œ
Ê œ
# %
w $ w
ww # ww
‘
‘
‘
Si son los puntos críticos de0 wwÐBÑ ! %  "#B œ !œ Ê Ê B œ „# É "$
segundo orden.
8
B  _ß    ß ß  _
0ÐBÑ
ÐBÑ  !  ! 
— – — – — –É É É É" " " " " "$ $ $ $ $ $
& &
* *
É É
  
0 ww
luego los puntos de inflexión son „ ßÉ " &$ *
10.- Hallar (si existe) el punto de inflexión para 0ÐBÑ œ +B  $,B  -B  .$ # ,
donde y son números reales positivos.+ ,
Solución: Si 0ÐBÑ + H970 œ
Ê 0 ÐBÑ + H970 œ
Ê 0 ÐBÑ + H970 œ
œ
œ
œ
B  $,B  -B  . à
B  ',B  - à
B  ',à
$ #
#
‘
‘
‘
w w
ww ww
$
'
Si es el punto crítico de segundo0 +wwÐBÑ ! B  ', œ !œ Ê Ê B œ ' ,+
orden.
B  _ß    ß  _
0ÐBÑ 0 
ÐBÑ  ! 
— — –, , ,+ + +
,
+ 
0
Š ‹
ww
luego el punto de inflexión es   0 , ,+ +ß Š ‹
11.- Hallar los intervalos de concavidad y convexidad para la función
0ÐBÑ œ #B  'B  "$ . Determine también el(los) punto(s) de inflexión, si existen, de la
gráfica de .0
Solución: Si 0ÐBÑ H970 œ
Ê 0 ÐBÑ H970 œ
Ê 0 ÐBÑ H970 œ
œ
œ
œ
#B  'B  "
'B  '
"#B
$
#
à
à
à
‘
‘
‘
w w
ww ww
Si es punto crítico de 2º orden.0 wwÐBÑ ! "#B œ ! B œ !œ Ê Ê
B  _ß ! ! !ß  _
0ÐBÑ "
ÐBÑ  ! 
‘  ‘ 
 
0 ww
luego es cóncava en y convexa en .0  _ß ! !ß  _‘ ‘  
Además tiene un punto de inflexión, de coordenadas .0 Ð!ß "Ñ
9
12.- Una empresa vende todas las unidades que produce a 4 dólares cada una. El
costo total de la empresa G B por producicir unidades está dado en dólares por
G œ &!  "ß $B  !ß !!"B Y#. Escriba la expresión para la utilidad total como una
función de y determine el volumen de producción de modo que la utilidad seaB B Y
máxima. ¿Cuál es el valor de la utilidad máxima?
Solución: Sea el ingreso que se obtiene al vender unidades, luego .MÐBÑ B MÐBÑ œ %B 
Sea el costo total por producicir unidades. SiGÐBÑ œ &!  "ß $B  !ß !!"B B#
Y ÐBÑ Y ÐBÑ œ MÐBÑ  GÐBÑ representa la utilidad total, entonces ; es decir
Y ÐBÑ œ #ß (B  &!  !ß !!"B# .
Si Y ÐBÑ #ß (B  &!  !ß !!"Bœ
Ê œ
#à H97Y œ !ß  _
Y ÐBÑ #ß (  !ß !!#Bà H97Y œ !ß  _
 ‘ w w
Si es el punto crítico.Y ÐBÑ ! #ß (  !ß !!#B œ ! B œ "Þ$&!w œ Ê Ê 
B ! !ß "Þ$&! "Þ$&! "Þ$&!ß  _
"Þ((#ß &!
Y ÐBÑ Î  ! b
‘  ‘ 
Y ÐBÑ  &! ß à
w
Luego, el volumen de producción, de modo que la utilidad sea máxima esY
de unidades y la utilidad máxima será de dólares."Þ$&! "Þ((#ß &!
13.- El producto interno bruto (PIB) de un país en desarrollo, de 1988 a 1996, es
aproximado mediante la función KÐ>Ñ œ  !ß #>  #ß %>  '!$ # ( ) donde ! Ÿ > Ÿ ) KÐ>Ñ 
se mide en miles de millones de dólares y corresponde a al año 1988. Muestre> œ !
que la del PIB de ese país fue máxima en 1992.tasa de crecimiento
Solución: Sea X Ð>Ñ >
G
 la tasa de crecimiento del PIB en un instante . Si KÐ>Ñ representa
el producto interno bruto (PIB) de un país, entonces
X Ð>Ñ œ ! Ÿ > Ÿ )
G
K Ð>Ñ œ  !ß '>  %ß )>w # ;
(suponemos que la tasa de crecimiento en y en es ).> œ ! > œ ) ! 
Si X Ð>Ñ à H97X œ !ß )
X Ð>Ñ à H97X œ !ß )
G G
G G
œ
Ê œ
 !ß '>  %ß )>
 "ß #>  %ß )
#  ‘‘ w w
Si es el punto crítico.X Ð>Ñ ! œ ! > œ %
G
w œ Ê Ê "ß #>  %ß ) 
> ! !ß % % %ß ) )
X Ð>Ñ *ß ' !
X Ð>Ñ Î  !  Îb b
‘  ‘ 
G
G
! ß à
w
10
Luego, la tasa de crecimiento del PIB es máxima cuando ; es decir en el> œ %
año 1992.
14.- Demuestre que cuando el costo medio tiene un punto crítico de primer orden, el
costo medio es igual al costo marginal .
Solución: Si GÐBÑ G ÐBÑ es la función costo, entonces es la función costo marginalw
y GÐBÑ œ
GÐBÑ
B es la función costo medio. Si el costo medio tiene un punto
crítico de primer orden entonces
Ð œ
Ê œ
Ê œ !
Ê † B  œ !
Ê † B œ
Ê œ
Ê œ
G Ñ ÐBÑ !
ÐBÑ !
GÐBÑ
w
wŒGÐBÑB
G ÐBÑ GÐBÑ
B
GÐBÑ
B

w
#
†B 
G ÐBÑ GÐBÑ
G ÐBÑ GÐBÑ
G ÐBÑ
G ÐBÑ
w
w
w
w
Luego, si el costo medio tiene un punto crítico de primer orden, entonces el
costo medio es igual al costo marginal.
15.- La gerencia de cierta empresa estima que la ganacia (en dólares) que puede
lograr la compañía por la fabricación y venta de cierto artículo por semana es:
Y ÐBÑ œ (ß &B  &!  !ß !!"B Y$.Determine los intervalos donde la función ganancia es
creciente y donde es decreciente.
Solución: Sea Y ÐBÑ œ (ß &B  &!  !ß !!"B B !ß  _$ con .−  
Si Y ÐBÑ œ (ß &B  &!  !ß !!"B Y !ß  _
Ê Y œ Y !ß  _
$à H97 œ
ÐBÑ (ß &  !ß !!$B à H97 œ
 ‘ w # w
Si son losY œ Ê Ê Ê B œ „w # #ÐBÑ ! (ß &  !ß !!$B œ ! B œ #Þ&!! &! 
puntos críticos, pero , por lo que el único punto crítico esB œ  &!  H97Y
B œ &!.
B ! !ß &! &! &!ß  _
 &! #!!
ÐBÑ Î  ! b
‘  ‘ 
Y ÐBÑ
Y
ß à
w
luego crece en y decrece en .Y  ‘  !ß &! &!ß  _
16.- El costo total para un fabricante es GÐ;Ñ œ !ß ";  !ß &;  &!!;  #!!$ # dólares
cuando el nivel de producción es unidades. El nivel de producción actual es 10;
11
unidades y el fabricante planea incrementarlo en 5%. Calcular, aproximadamente, la
variación porcentual del costo total debido a este crecimiento.
Solución: % con , donde? ? ?G ¸ G ¸ G Ð;Ñ ;"!!† GGÐ;Ñ
? w
; œ "! ; œ  "!, ? † !ß !& œ !ß & GÐ"!Ñ œ &Þ#&! y 
G Ð;Ñ G Ð"!Ñw wœ Ê œ &#!!ß $;  ;  &!!#
¾ Ê? ? ? ?G ¸ G Ð"!Ñ ; G ¸ #'! G ¸ ¸ %ß *&w † , es decir: % ."!!†#'!&#&!
Por lo tanto el costo total se incrementará, aproximadamnete, en 4,95%.
17.- Una empresa inmobiliaria arrienda 100 departamentos de 1 ambiente. Las
ganancias mensuales obtenidas por la renta de B departamentos están dadas por
Y ÐBÑ œ "*#B  &Þ!!!  !ß !"B$ (UF). ¿Cuántas unidades se deben rentar para
maximizar las ganancias mensuales por concepto de renta? ¿Cuál es la maxima
ganancia mensual posible?
Solución: Como es continua y está definida enY ÐBÑ œ "*#B  &Þ!!!  !ß !"B$ ‘!ß "!! Y, el máximo para está en los extremos del intervalo o en los
puntos críticos.
Si
Si
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¾ para maximizar las ganacias se deben rentar 80 departamentos y con eso
se obtendrá una ganancia de 5.240 UF.
18.- El costo de fabricar botes a vela está dado por la funciónB
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 $! BÈ$ # dólares. Use el análisis marginal para estimar el costo de
fabricar la unidad Nº 65.
Solución: Para el costo de fabricar la unidad Nº 65 debemos calcular el costoestimar
marginal, , para .G ÐBÑ B œ '%w
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luego el costo de fabricar la unidad Nº 65 es de 37 dólares, aproximadamente.
19.- Suponga que el costo total de producción de artículos está dado por la funciónB
GÐBÑ œ $B  &B  %B  #Þ!!!% # . Estime el costo de producir la 11º unidad del artículo.
Solución: Para el costo de fabricar la unidad Nº 11 debemos calcular el costoestimar
marginal, , para .G ÐBÑ B œ "!w
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luego el costo de fabricar la unidad Nº 10 es de 11.904 dólares,
aproximadamente.
20.- Un fabricante estima que cuando se producen unidades de deteminado artículo,B
el costo total será dólares, y además que GÐBÑ œ  #B  % :ÐBÑ œ Ð"&  BÑB$
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dólares por unidad es el precio al cuál se venderan las unidades. Determine el costoB
marginal y el ingreso marginal obtenido de la venta de la septima unidad (utilice
cálculo diferencial).
Solución:El costo marginal es: G ÐBÑ œ  #w #B$ 
El ingreso es luego VÐBÑ œB:ÐBÑ œ BÐ"&  BÑ œ B  V ÐBÑ œ " "& B "& #B% % % % %
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El ingreso obtenido de la venta de la unidad séptima es
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21.-Un estudio de eficiencia del turno matinal en cierta fábrica revela que un
trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 AM habrá producido
UÐ>Ñ œ  >  )>  &> >$ # undades horas más tarde. Calcular la tasa se producción a
las 9:00 AM y el cambio de la tasa de producción a las 12:00 horas.
13
Solución: luego la tasa de producción a las 9:00 AM esU Ð>Ñ œ  $>  "'>  &w # ß
U Ð"Ñ œ  $ † "  "' † "  & œ ")w # (unidades por hora).
Además
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luego el cambio de la tasa de producción a las 12:00 AM es
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es decir, existe una disminución en la eficiencia de 8 unidades.
22.- El costo marginal por la fabricación de artículos es .; œ ;  &!;  '!!.G.;
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Determine los intervalos en los cuales el costo es creciente y para que cantidad de
artículos se obtiene el mínimo costo.
Solución: Si .G.; œ
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luego el costo aumenta en y el mínimo costo se obtiene‘  ‘ !ß #!  $!ß  _
al producir unidades.$!
Cualquier error que detecte en las soluciones, hágala saber a su profesor. Se lo
agradecerá por los siglos de los siglos.