26495_EJERCICIOS_RESUELTOS_VARIAS_VARIABLES_MAT62200

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Prof.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS II MAT62200
CÁLCULO DIFERENCIAL
DERIVADAS PARCIALES
1.- Sea . Determine todas las derivadas de 1 orden.0ÐBß CÑ œ /  /B C BC
# # er
Solución: `0 `0`B `CÐBß CÑ œ #BC ÐBß CÑ œ B/  C / à /  #BC/
B C BC B C BC# # # ## # .
2.- Sea , determine y .0ÐBß CÑ œ  ÐBß CÑ ÐBß CÑBC B `B `C
C `0 `0#
# 
Solución:Sea . Luego 0ÐBß CÑ œ BC B
C#
# œ B C  CB
# " #
Si Si`0 `0`B `C
`0 C
`B C B
B `0
`C C B
B "
ÐBß CÑ ÐBß CÑ
ÐBß CÑ  ÐBß CÑ 
œ # œ 
Ê œ Ê œ 
BC  #CB B C  B" $ # # #
#
$
#
# #
 
3.- Dadas las funciones Determine y . 0ÐBß CÑ œ $B C& `0 `0
$B(C `B `C
&
È Þ 
Solución: `0`B
"&B C $B(CÐ$B C&Ñ
Ð $B(C Ñ
`0
`C
$B $B(CÐ$B C&Ñ
Ð $B(C Ñ
ÐBß CÑ
ÐBß CÑ
œ
œ
% &
#
& &
#
È
È
È
È
$
# $B(C
(
# $B(C
 
 
È
È
4.- Dada la función 0ÐBß CÑ œ B C  $C$ # #ß verifique que:
` 0 ` 0 ` 0
`B`C`B `B `C `C`B
$ $ $
# #ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ.
Solución: Si Si0ÐBß CÑ B C  $C 0ÐBß CÑ B C  $C
ÐBß CÑ B C ÐBß CÑ B C  'C
ÐBß CÑ B C
ÐBß CÑ
ÐBß C
œ œ
Ê œ $ Ê œ #
Ê œ '
Ê œ "#BC
Ê
$ # # $ # #
# # $
#
`0 `0
`B `C
` 0
`C`B
` 0
`B`C`B
` 0
`B`C
#
$
#
Ñ B C
ÐBß CÑ
œ '
Ê œ "#BC
#
` 0
`B `C
$
#
2
Si 0ÐBß CÑ B C  $C
ÐBß CÑ B C
ÐBß CÑ BC
ÐBß CÑ
œ
Ê œ $
Ê œ '
Ê œ "#BC
$ # #
# #
#
`0
`B
` 0
`B
` 0
`C`B
#
#
$
#
luego ` 0 ` 0 ` 0`B`C`B `B `C `C`B
$ $ $
# #ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ.
5.- Si 0ÐBß CÑ œ 68ÐB  BC  C Ñ B# # . Verifique que `0 `0`B `CÐBß CÑ  C ÐBß CÑ œ # .
Solución: , luego`0 `0`B `CÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ
#BC B#C
B BCC B BCC# # # #
B œ B † †
œ
œ
œ #
`0 `0
`B `CÐBß CÑ  C ÐBß CÑ  C
#BC B#C
B BCC B BCC
#B BCCB#C
B BCC
#ÐB BCC Ñ
B BCC
# # # #
# #
# #
# #
# #
.
6.- es homogénea de grado , si y sólo siUna función 0 À 8‘ Ò ‘#
0Ð Bß CÑ œ 0ÐBß CÑ  !- - - -8 , con . Demuestre que la función de producción Cobb-
Douglas
UÐOßPÑ œ EO P
! "
es una función homogénea de grado y que! "
O ÐOßPÑ P ÐOßPÑ œ Ð  ÑUÐOßPÑ
`U `U
`O `P ! " .
Solución: UÐ Oß PÑ E O P
E O P
EO P
UÐOßPÑ
- - - -
- -
-
-
œ
œ
œ
œ
Š ‹ Š ‹! "
! ! " "
! " ! "
! "


luego la función de producción Cobb-Douglas es unaUÐOßPÑ œ EO P
! "
 
función homogénea de grado .! "
Ademas
3
O ÐOßPÑ P ÐOßPÑ OEÐ O ÑP PEO Ð P Ñ
EO P  EO P
Ð  ÑEO P
Ð  ÑUÐOßPÑ
`U `U
`O `P œ
œ
œ
œ
! "
! "
! "
! "
! " ! "
! " ! "
! "
" "
7.- Determine para .O.P P O œ Y Y !   "
" ""
! !, donde y son constantes y ." "
Solución:1ª Forma,
Si P O Y
Ê P O P O
Ê P O P O
Ê
" "
" " " "
" " " "
" "
" "
"
" " 
 " "
" "

œ
œ
œ
œ
! Î 
.
.P
.O
.P
.O
.P
.O
.P
" "
" "
 Ð" Ñ
Ð"  Ñ
!


"
"
P O
Ð" ÑP O
por lo que ..O.P œ 
"
"
O
Ð" ÑP
2º Forma: Si 0ÐPßOÑ œ P O Y
" ""
!, entonces 
.O
.P œ 
`0
`P
`0
`O
 .O.P
.O
.P
.O
.P
œ
œ
œ



`0
`P
`0
`O
Ê
Ê
"
"
"
"
P O
Ð" ÑP O
O
Ð" ÑP
" "
" "
" "

8.- Determine la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel-54, de la función
0ÐPßOÑ œ P O Ð"'ß )"Ñ
" $
% % , en el punto .
Solución: Efectivamente el punto Ð"'ß )"Ñ pertenece a la curva de nivel-54, de la
función 0ÐPßOÑ œ 0Ð"'ß )"Ñ œ &%P O
" $
% % , ya que . De esta manera la
pendiente solicitada ( ) se obtiene haciendo uso de la respuesta de la7
pregunta anterior, con , y P œ "' O œ )" " œ "% ; es decir:
7œ œ 
"
%
$
%
†)"
†"' "'
#( .
4
9.- Sean Determine el valor de QÐBß CÑ œ /  #B RÐBß CÑ œ E/  /  " E
B B B
C C C
 y talBC
que: `Q `R`C `BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ.
Solución: Si
.
`Q `R
`C `BÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
œ
œ
œ
œ
œ
Ê  / /  /  /
Ê /  /
Ê /
Ê
Ê
B E " B
C C C C
E "
C C
"
C
# #
B B B B
C C C C
B B
C C
B
C
!
ÐE "Ñ !
E " !
E "
10.- Determine para C $w B C  &# $ / œ %$BC .
Solución: Haciendo uso de derivadas parciales, donde 0ÐBß CÑ œ $B C  &# $ /  %$BC
Si C œ 
C œ 
C œ
w
w
w
`0
`B
`0
`C
Ê
Ê
 
'
'
BC "&C/
*B C "&B/
"&C/  BC
*B C "&B/
$ $BC
# # $BC
$BC $
# # $BC
11.- Se dice que dos bienes son complementarios si la demanda del primeroU
"
decrece cuando el precio del segundo crece y si la demanda del segundo: U
# #
decrece cuando el precio del primero crece Si dos bienes son complementarios,:
"
Þ
¿qué condiciones deben cumplir las derivadas parciales 
`U `U
`: `:
" #
# "
 y ?
Si las funciones de demandas de dos bienes son:
U œ #Þ!!!   &!: U œ #Þ!!!  &!: 
" # # #
%!! &!!
:  $ :  %
" "
 à ,
¿son complementarios?
Solución: Las condiciones que deben cumplir 
`U `U `U `U
`: `: `: `:
" # " #
# #" "
 y son: y . !  !
En el caso indicado y , por lo que los
`U `U
`: `: Ð:  %Ñ
&!!" #
# " "
#œ &!  ! œ   ! 
bienes son complementarios.
12.- Dada . Utilizando L'Hôspital, calcular .0ÐBß CÑ œ B C  $BC  C# 637
BÄ_
0ÐBß$Ñ
ÐBßCÑ
`0
`C
5
Solución: ;0ÐBß $Ñ œ $B  *B $ ÐBß CÑ œ B  $B "# #`0`C
637
BÄ_
0ÐBß$Ñ
ÐBßCÑ
$B *B$
B $B"
'B*
#B$
'
#
`0
`C
œ
œ
œ
œ $
637
637
637
BÄ_
BÄ_
BÄ_
#
# ;
;
.
Forma 
Forma 
_
_
_
_
APROXIMACION
1.- Si un fabricante emplea B C horas de mano de obra calificada e horas de mano de
obra no-calificada, puede producir unidades. Actualmente usa 30UÐBß CÑ œ "!B CÈ
horas de mano de obra calificada y 36 horas de mano de obra no-calificada y planea
utilizar una hora adicional de mano de obra calificada. Aplicar el cálculo de
aproximaciones para estimar la variación correspondiente que se requiere en el nivel
de mano de obra no-calificada para que la producción se mantenga igual.
Solución: ? ? ?U ¸ B C`U `U`B `CÐBß CÑ ÐBß CÑ
donde , , , y ??B œ $! C œ $' B œ  " U œ ! C œ? ? ?
`U `U
`B `B
`U `U
`C `C
&B
C
ÐBß CÑ Ð$!ß $'Ñ
ÐBß CÑ Ð$!ß $'Ñ
œ Ê œ '!
œ Ê œ #&
"! CÈ
È
¾ Ê! ¸ " C C ¸  #ß % #ß %'! † #& †? ? , es decir; hay que disminuir en 
horas, aproximadamente, la mano de obra no calificada para que la
producción se mantenga igual.
EXTREMOS
1.- Hallar los puntos críticos de y utilice el Hessiano para0ÐBß CÑ œ BC  % #B C
 
clasificar la naturaleza de estos.
Solución: `0 `0`B `C
` 0 ` 0 ` 0
`B `C`B`C
ÐBß CÑ œ C  ÐBß CÑ œ B
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ œ "à ÐBß CÑ œ
% #
B C
) %
B C
# #
$ $
 
 
# # #
# #à
6
Para determinar el punto crítico resolvemos el sistema C 
B
%
B
#
C
#
#
 œ
œ
!
!
 
y obtenemos como punto crítico. AdemásÐ#ß "Ñ 
L 
$
 !
Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñ † Ð#ß "Ñ Ð#ß "Ñœ
œ
` 0 ` 0 ` 0
`B `C `B`C
# # #
# # ” •
#
y
` 0
`B
#
# Ð#ß "Ñ œ "  !
por lo que tiene un mínimo local en 0 Ð#ß "Ñ.
2.- Hallar los puntos críticos de y utilice el0ÐBß CÑ œ B  C  %BC  "(B "!C  #Þ!!*$ # 
Hessiano para clasificar la naturaleza de estos.
Solución: `0 `0`B `C
` 0 ` 0 ` 0
`B `C`B`C
ÐBß CÑ œ $B  %C  "( ÐBß CÑ œ #C  %B "!
ÐBß CÑ œ 'B ÐBß CÑ œ  %à ÐBß CÑ œ #
# 
# # #
# #à
Para determinar el punto crítico resolvemos el sistema
$B  %C  "(
#C  %B "!
# œ
œ
!
!
y obtenemos y como puntos críticos. Ademásà Ð$ß ""Ñ  ß Š ‹" "$$ $
L 
#!
 !
Ð$ß ""Ñ Ð$ß ""Ñ † Ð$ß ""Ñ Ð$ß ""Ñœ
œ
` 0 ` 0 ` 0
`B `C `B`C
# # #
# # ” •
#
y
` 0
`B
#
# Ð$ß ""Ñ œ ")  !
 por lo que tiene un mínimo local en 0 Ð$ß ""Ñ.
L 
#!
 !
Š ‹ ß  ß †  ß  ß" "$ " "$ " "$ " "$$ $ $ $ $ $ $ $œ
œ 
` 0 ` 0 ` 0
`B `C `B`C
# # #
# #Š ‹ Š ‹ Š ‹” •#
7
por lo que tiene un punto de silla en .0 Š ‹ ß" "$$ $
3.- Determinar los extremos relativos de la función 0ÐBß CÑ œ %C  B  "#C  $'C  #$ # # .
Solución: `0 `0`B `C
` 0 ` 0 ` 0
`B `C`B`C
ÐBß CÑ œ #B ÐBß CÑ œ "#C  #%C  $'
ÐBß CÑ œ # ÐBß CÑ œ !à ÐBß CÑ œ #%C  #%
 #
# # #
# #à
Para determinar el punto crítico resolvemos el sistema
#B
"#C  #%C  $'
œ
œ
!
!#
y obtenemos y como puntos críticos. AdemásÐ!ß  "Ñ Ð!ß $Ñ 
L 
*'
 !
Ð!ß $Ñ Ð!ß $Ñ † Ð!ß $Ñ Ð!ß $Ñœ
œ
` 0 ` 0 ` 0
`B `C `B`C
# # #
# # ” •
#
y
` 0
`B
#
# Ð!ß $Ñ œ #  !
 por lo que tiene un mínimo local en 0 Ð!ß $Ñ.
L 
*'
 !
Ð!ß  "Ñ Ð!ß  "Ñ † Ð!ß  "Ñ Ð!ß  "Ñœ
œ
` 0 ` 0 `0
`B `C `B`C
# # #
# # ” •
#
por lo que tiene un punto de silla en 0 Ð!ß  "Ñ.
4.- Una empresa importa dos marcas de ron , una de Cuba y la otra de Venezuela. El
ron cubano cuesta 4 dólares la botella, mientras que el ron venezolano se puede
comprar a 3 dólares la botella. Se ha estimado que el ron cubano se vende al detalle
a dólares la botella, y el venezolano a dólares la botella; entonces se venderán: ;
#Þ!!!  "&!:  "!!;
botellas del ron cubano y
"Þ!!!  )!:  "#!;
botellas del ron venezolano cada semana. Determine el precio unitario de cada marca
que permite a la empresa importadora obtener la máxima ganancia semanal posible.
Solución: La función ganancia semanal está dada por:Y
8
YÐ:ß ;Ñ œ Ð:  %ÑÐ#Þ!!!  "&!:  "!!;Ñ  Ð;  $ÑÐ"Þ!!!  )!:  "#!;Ñ
œ  "&!:  "#!;  ")!:;  #Þ$'!:  *'!;  ""Þ!!!# # .
Para determinar el(los) punto(s) crítico(s) y su naturaleza, calcularemos sus
derivadas parciales:
`Y
`:
`Y
`;
` Y
`:
` Y
`;
` Y
`:`;
Ð:ß ;Ñ œ  $!!:  ")!;  #Þ$'!
Ð:ß ;Ñ œ
Ð:ß ;Ñ œ
Ð:ß ;Ñ œ
Ð:ß ;Ñ œ
 #%!;  ")!:  *'!
 $!!
 #%!
")!
.
#
#
#
#
#
Resolvemos el sistema:
$!!:  ")!;  #Þ$'! œ !
œ #%!;  ")!:  *'! !
cuya solución es el punto Š ‹&'$ ß ") . Además
L 
 Ð
Š ‹ Š ‹ Š ‹ Š ‹
Š ‹
&' &' &' &'
$ $ $ $
&'
$
ß ") œ ß ") ß ") ß ")
œ †
œ
ß ") œ
` Y ` Y ` Y
`: `; `:`;
` Y
`:
# # #
# #
#
#
. ” •
#
#$!!  #%! ")!Ñ
$*Þ'!!  !
 $!!  !
 y
.
por lo que en el punto Š ‹&'$ ß ") Y, la función tiene un máximo. Luego el
precio unitario, que permite a la empresa importadora obtener la máxima
ganancia semanal posible, es de dólares para el ron cubano y de ")ß '( ")
dólares para el ron venezolano.
5.- El ingreso total semanal (en dólares) de Country Workshop por la producción y
venta de sus escritorios está dado por
MÐBß CÑ œ  !ß #B  !ß #&C  !ß #BC  #!!B "'!C# #
donde denota la cantidad de unidades acabadas, e las unidades no acabadas,B C
fabricadas y vendidas por semana. El gasto total semanal relativo a la fabricación de
estos escritorios está dado por dólares. ¿CuántasGÐBß CÑ œ "!!B (!C  %!!!
unidades acabadas y no acabadas debe fabricar la compañía cada semana para
maximizar su ganancia?¿Cuál es la máxima ganancia? Recuerde que .Y œ M G
9
Solución: La función ganancia semanal está dada por:Y
YÐBß CÑ œ
œ
Ð !ß #B  !ß #&C  !ß #BC  #!!B "'!CÑ  Ð"!!B (!C  %!!!Ñ
 !ß #B  !ß #&C  !ß #BC  "!!B *!C  %!!!
# #
# # .
Para determinar el(los) punto(s) crítico(s) y su naturaleza, calcularemos sus
derivadas parciales:
`Y
`B
`Y
`C
` Y
`B
` Y
`C
` Y
`B`C
Ð:ß ;Ñ œ  !ß %B !ß #C  "!!
Ð:ß ;Ñ œ
Ð:ß ;Ñ œ
Ð:ß ;Ñ œ
Ð:ß ;Ñ œ
 !ß &C  !ß #B  *!
 !ß %
 !ß &
 !ß #
#
#
#
#
#
.
Resolvemos el sistema:
!ß %B !ß #C  "!! œ !
œ !ß &C  !ß #B  *! !
cuya solución es el punto Ð"!!ß #!!Ñ. Además
L 
 Ð
Ð"!!ß #!!Ñ œ Ð"!!ß #!!Ñ Ð"!!ß #!!Ñ Ð"!!ß #!!Ñ
œ †
œ
Ð"!!ß #!!Ñ œ
` Y ` Y ` Y
`B `C `B`C
` Y
`B
# # #
# #
#
#
. ” •
#
#!ß %  !ß &  !ß #Ñ
"ß *'  !
 !ß %  !
 y
.
por lo que en el punto Ð"!!ß #!!Ñ Y, la función tiene un máximo. Luego la
compañía debe fabricar 100 unidades acabadas y 200 no acabadas para
maximizar su ganancia, que permite obtener una utilidad de
YÐ"!!ß #!!Ñ œ 10.500 dólares.
6.- Una empresa constructora levanta casas del tipo E y tipo A en cantidades
B C(cientos) e (cientos), respectivamente. Suponiendo que el precio de las casas de
tipo E es ; y las del tipo A . Suponiendo que :ÐBÑ œ #!  &B ;ÐBÑ œ % #C GÐBß CÑ œ
#BC  % es la función de costo conjunto de los dos tipos de casas, determine ¿cuáles
son los valores de e para maximizar las utilidades?B C
Solución: La función utilidad está dada por:Y
10
YÐBß CÑ œ MÐBß CÑ GÐBß CÑ
œ
œ
ˆ ‰B:ÐBÑ  C;ÐCÑ  Ð Ñ
#!B &B  %C  #C  #BC  %
#BC  %
# #
Para determinar el(los) punto(s) crítico(s) y su naturaleza, calcularemos sus
derivadas parciales:
`Y
`B
`Y
`C
` Y
`B
` Y
`C
` Y
`B`C
ÐBß CÑ œ
ÐBß CÑ œ
ÐBß CÑ œ
ÐBß CÑ œ
ÐBß CÑ œ
#!  "!B #C
%  %C  #B
#
#
#
#
#
"!
 %
 #.
Resolvemos el sistema:
#!  "!B #C
%  %C  #B
œ !
œ !
cuya solución es el punto Ð#ß !Ñ. Además
L 
 Ð
 
y
.
Ð#ß !Ñ œ Ð#ß !Ñ Ð#ß !Ñ Ð#ß !Ñ
œ †
œ
œ
Ð#ß !Ñ œ
` Y ` Y ` Y
`B `C `B`C
` Y
`B
# # #
# #
#
#
. ” •
#
#"!  %  #Ñ
$'  !
 "!  !
 
por lo que en el punto Ð#ß !Ñ Y, la función tiene un máximo. Luego se tienen
200 casas del tipo E y ninguna del tipo A para obtener la máxima utilidad.
7.- Determine el mínimo de la función , sujeta a la restricción0ÐBß CÑ œ B  C# #
BC œ %.
Solución: Sean y ; para determinar el mínimo de la0ÐBß CÑ œ B  C 1ÐBß CÑ œ BC# #
función sujeta a la restricción hay que resolver el sistema:
`0 `1
`B `B
`0 `1
`C `C
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
1ÐBß CÑ œ 5
-
-
es decir:
11
#B œ C
#C œ B
œ %
-
-
BC
al despejar de la 1ª y 2ª ecuación, se tiene que:-
B œ C# #,
por lo que
B œ C B œ  C o 
pero no puede cumplirse porque la 3ª ecuación quedaría ,B œ  C B œ  %#
luego hay que resolver el sistema:
B œ C
œ %BC
que tiene como solución los puntos y . En ambos puntos laÐ#ß #Ñ Ð  #ß  #Ñ
función tiene un mínimo igual a .0Ð#ß #Ñ œ 0Ð  #ß  #Ñ œ )
8.- Determine el valor mínimo de la expresión , sujeta a la restricción ,B  C BC œ +# #
donde es un número real positivo (generalización del problema anterior).+
Solución: Sean y ; para determinar el mínimo0ÐBß CÑ œ B  C 1ÐBß CÑ œ BC# #
de la función sujeta a la restricción hay que resolver el sistema:
`0 `1
`B `B
`0 `1
`C `C
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
1ÐBß CÑ œ 5
-
-
es decir:
#B œ C
#C œ B
œ +
-
-
BC
al despejar de la 1ª y 2ª ecuación, se tiene que:-
B œ C# #.
Por lo que hay que resolver el sistema:
B œ C
œ +
# #
BC
Que tiene como solución los puntos y (no seŠ ‹ Š ‹È È È È+ß +  +ß  + 
considera el caso que , pues y B œ  C B œ  +# + es un número real
positivo) el valor mínimo de la expresión , sujeta a la. Luego B  C# #
restricción , donde es un número real positivo es BC œ + + igual a
0 +ß + œ #+Š ‹È È .
9.- Determine el valor mínimo de la expresión , sujeta a la restricciónB  C# #
+B ,C œ " + ,, donde y son números reales positivos.
12
Solución: Sean y ; para determinar el mínimo de la0ÐBß CÑ œ B  C 1ÐBß CÑ œ +B ,C# #
función sujeta a la restricción hay que resolver el sistema:
`0 `1
`B `B
`0 `1
`C `C
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ
1ÐBß CÑ œ 5
-
-
es decir:
#B œ +
#C œ ,
œ "
-
-
+B ,C
al despejar de la 1ª y 2ª ecuación, se tiene que:-
,B œ +C.
Por lo que hay que resolver el sistema:
,B  +C œ !
œ "+B ,C
Que tiene como solución el punto . Luego Š ‹+ ,+ , + ,# # # #ß el valor mínimo de
la expresión , sujeta a la restricción , donde y sonB  C +B ,C œ " + ,# #
números reales positivos es igual a 0 ß œŠ ‹+ , + ,+ , + , Ð+ , Ñ# # # #
# #
# # #
; es decir:
"
+ ,# # .
10.- Hallar el(los) punto(s) crítico(s) de la función 0ÐBß CÑ œ B  C# # sujeta a la
restricción .$B #C œ '
Solución: 1ª Forma: Usando Multiplicadores de Lagrange.
Sean , y . Para determinar 0ÐBß CÑ œ B  C 1ÐBß CÑ œ $B #C 5 œ '# # el(los)
punto(s) crítico(s) resolvemos el sistema
`0 `1
`B `B
`0 `1
`C `C
ÐBß CÑ ÐBß CÑ B $ C B
ÐBß CÑ ÐBß CÑ
1ÐBß CÑ
#C #
œ ¾ # œ ¾ œ
œ
œ 5
œ
$B #C œ '
$B #C œ '
- -
-
-
† †
†
#
$
y obtenemos como punto crítico.Š ‹") "#"$ "$ß 
13
2ª Forma: Despejando una de las dos variables de la restricción y
sustituyéndola en 0ÐBß CÑ, reduciendo de esa manera a un problema de
extremos relativos de una variable.
Sea B œ ¾ 0ÐBß CÑ œ 0ÐCÑ œ  C œ'#C '#C $'#%C"$C$ $ *Š ‹
#
#
#
 Si 0ÐCÑ à H970 œ
0 ÐCÑ à H970 œ
0 ÐCÑ à H970 œ
œ
Ê œ
Ê œ
$'#%C"$C
*
#'C#%
*
#'
*
#
‘
‘
‘
w w
ww ww
Si es el punto crítico. Además0 ÐCÑ ! œ ! C œw œ Ê Ê#'C#%* "$
"#
 
0 œ  ! 0 C œwwŠ ‹"# #' "#"$ * "$ por lo que tiene un mínimo local en . Luego
reemplazando en , se obtiene y de esa manera el C œ B œ B œ"# ")"$ $ "$
'#C
punto crítico es un mínimo de Š ‹") "#"$ "$ß 0ÐBß CÑ œ B  C# # sujeta a la
restricción.$B #C œ '
11.- Hallar el valor mínimo de la función sujeta a la restricción0ÐBß CÑ œ B  #C  BC# #
#B C œ ##.
Solución: 1ª Forma: Usando Multiplicadores de Lagrange.
Sean , y . Para determinar0ÐBß CÑ œ 1ÐBß CÑ œ 5 œ ##B  #C  BC #B C# #
el(los) punto(s) crítico(s) resolvemos el sistema
`0 `1 BC
`B `B
`0 `1
`C `C
ÐBß CÑ ÐBß CÑ B  C # %C  B
ÐBß CÑ ÐBß CÑ
1ÐBß CÑ
%C  B "
#B C
#B C
œ ¾ # œ ¾ œ
œ
œ 5
œ
œ ##
œ ##
- -
-
-
†
†
#
#
y obtenemos como punto crítico.Ð*ß %Ñ 
2ª Forma: Despejando una de las dos variables de la restricción y
sustituyéndola en 0ÐBß CÑ, reduciendo de esa manera a un problema de
extremos relativos de una variable.
Sea C œ ##  #B ¾ 0ÐBß CÑ œ 0ÐBÑ œ B  #Ð##  #BÑ  BÐ##  #BÑ# #
 Si 0ÐBÑ à H970 œ
0 ÐBÑ à H970 œ
0 ÐBÑ à H970 œ
œ ""
Ê œ ##
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B  "*)B *')
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14
Si es el punto crítico. Además0 ÐBÑ ! œ ! B œ *w œ Ê ## ÊB "*) 
0 œ ##  ! 0 B œ *wwÐ*Ñ por lo que tiene un mínimo local en . Luego
reemplazando en , se obtiene y de esa manera el B œ * C œ ## #B C œ %
punto crítico es un mínimo de Ð*ß %Ñ 0ÐBß CÑ œ B  #C  BC# # sujeta a la
restricción .#B C œ ##
Cualquier error que detecte en las soluciones, hágala saber a su profesor. Se lo
agradecerá por los siglos de los siglos.