66054_26494_EJERCICIOSMAT62200

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Coord.:luis orozcofuenzalida
EJERCICIOS PROPUESTOS DE MATEMÁTICAS II MAT62200
1.- Use la siguiente tabla
B  "!  "!  "! ! "! "! "!
b
# $ & % # "
=/8Ð#BÑ
=/8Ð&BÑ /
para "adivinar" el valor exacto de . Recuerde usar su calculadora en mode rad.637
BÄ!
=/8Ð#BÑ
=/8Ð&BÑ
2.- Ahora haga lo mismo que en el ejemplo anterior para y .637 637
BÄ" BÄ_
ÈÈB"B" %B (B%!%#B$
#
# 
3.- Calcule (si existe) , para las y indicados:637 0ÐBÑ 0ÐBÑ -
BÄ-
„
„
 a) , b) , c) ,0ÐBÑ œ &B  (B % - œ  # 0ÐBÑ œ - œ & 0ÐBÑ œ - œ %# B $B"!B& B%
B## È
 d) , e) , f) ,0ÐBÑ œ - œ $ 0ÐBÑ œ - œ ! 0ÐBÑ œ - œ !B#B * #B =/8Ð%BÑ
"-9=Ð%BÑ >+8Ð$BÑ
# #
 
 g) h) 0ÐBÑ œ - œ  " 0ÐBÑ œ - œ  "B   " B   "
B  $ B    " B  $ B    "
 B " B "B" B"
# #
si si
si si
 
 # #
 
 i)0ÐBÑ œ - œ _ 0ÐBÑ œ - œ _Š ‹B$ (B &B"!B %$B
#B
, j) , 
# "!!!
#
4.- El costo (en dólares) de eliminar % de la polución del agua en cierto riachuelo está dado porB
GÐBÑ œ ! Ÿ B  "!!(&Þ!!!B"!!B para 
 a) Hallar el costo de eliminar la mitad de la polución
 b) ¿Qué porcentaje de la polución puede eliminarse con US$20.000?
 c) Evaluar . Interprete el resultado.637 GÐBÑ
BÄ"!!

5.- Determinar las asíntotas verticales y horizontales (si existen) de la gráfica de y luego0ÐBÑ
esbozar un gráfico.
a) b) 0ÐBÑ œ 0ÐBÑ œB B B#B " B %
# #
# # 
2
6.- El costo, en miles de dólares, de producir unidades de un artículo es . TrazarB GÐBÑ œ %B &(
la gráfica de y la función de costo medio para . ¿Qué le sucede aGÐBÑ EÐBÑ œ B  !GÐBÑB 
EÐBÑ B _ cuando ?Ò
7.- Hallar el valor de la constante tal que la funciónE
 0ÐBÑ œ B   "
EB B $ B    "
 B "B"
#
si 
 # si
sea continua para todos los valores de .B
8.- Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los dominios indicados.
 a) b) 0ÐBÑ œ 0ÐBÑ œ B − !ß %B  " B  $
#B % B   $œ  ‘
# si
si
, 
 
 
ÈB#
B%
 c) 0ÐBÑ œ B − !ß %
B œ %
Ú
ÛÜ
 ÈB#
B%
"
%
si
si
 
 
9.- Una gráfica continua es aquella que puede dibujarse sin "levantar el lápiz de la hoja". Por lo tanto,
si una gráfica continua está por encima del eje en un punto y debajo en otro, es razonable que\
debe cortar el eje al menos en un lugar situado entre los dos puntos. Esta observación puede
formalizarse en el Teorema del Valor Intermedio (T.V.I.): "Si es continua en el intervalo 0 +ß , ‘ y
si y tienen signos opuestos, entonces para al menos un número entre 0Ð+Ñ 0Ð,Ñ 0Ð-Ñ œ ! - +
y . Use el T.V.I. para los siguientes problemas.,
 a) Tomasito pesa 52 kg a los 14 años y cuando nació pesó 3,5 kg . Demuestra que en algún 
 momento de su vida pesó exactamente 17 kg.
 b) Demostrar que la ecuación debe tener al menos una solución en el È$ B œ B  #B "#
 intervalo . ‘!ß "
10.- Usando la definición, calcula la derivada de la función dada y halla la ecuación de la recta
tangente a la gráfica para cada valor especificado de .B
!
a) ; b) ; .0ÐBÑ œ B œ  0ÐBÑ œ & B B œ "'% "B ## ! !È
11.- Un fabricante puede producir grabadoras a un costo de US$ por unidad. Se estima que si las#!
grabadoras se venden a dólares la unidad, los consumidores comprarán de éstas cadaB "#!  B
mes. Utilizar el cálculo para determinar el precio al cual la utilidad del fabricante será máxima.
3
12.- Sea .0ÐBÑ œ B$
 a) Calcular la pendiente de la recta secante que une los puntos en la gráfica de cuyas 0 
 coordenadas son y .B B œ " B œ "ß "
 b) Emplear el cálculo para hallar la pendiente de la recta tangente a la gráfica de cuando 0
 y comparar esta pendiente con la respuesta de a).B œ "
13.- Explicar por qué la gráfica de una función crece en un intervalo 0ÐBÑ +ß , 0 ÐBÑ  !  ‘ si enw
dicho intervalo. ¿Qué puede decirse acerca de la gráfica, si en el intervalo ?0 wÐBÑ  ! +ß , ‘
14.- Trazar una gráfica de una función que tenga todas las propiedades dadas por:0
 a) cuando y cuando b) cuando0 ÐBÑ  ! B  " B  & 0 ÐBÑ  ! "  B  &w w 
 c) .0 Ð"Ñ œ ! 0 Ð&Ñ !w w =
15.- Usa calculadora y la siguiente tabla para adivinar la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en el punto . Usa 7 decimales.0ÐBÑ œ %$  B B œ %È$ #
!
?
?
?
B  !ß "  !ß !"  !ß !!" Ä ! Ã !ß !!" !ß !" !ß "
B  B %
0ÐB Ñ $ $ $ $ $ $ $
0ÐB  BÑ %
b
!
!
!
! !
0Ð  BÑ0Ð Ñ
B
B B?
?
/
16.- Usa técnicas de derivación para derivar las funciónes dadas. Haz de memoria la mayor cantidad
de cálculos que sea posible y simplifica las respuestas.
 a) b) c)0ÐBÑ œ B    "#"  C œ / Ð>  $>  %&Ñ 0ÐBÑ œ# % B B ) BB "" #$B B "$
% # $
%
"
&
&
$È È > #
 d) e) f) g) .C œ 0ÐBÑ œ C œ B68ÐBÑ 0ÐBÑ œ=/8ÐBÑ / =/8ÐBÑ"  -9=ÐBÑ =/8ÐBÑ
)
B B"
B
%
17.- ¿Para qué números las funciones dadas en 8.- no son derivables?
18.- En cada una de las funciones dadas en 8.- hallar la ecuacion de la recta tangente a la gráfica de
cada función en los números que se indican:
 a) b) c) d) e) f) g) B œ " > œ ! B œ ! B œ ! B œ B œ " B œ #1#
19.- Halla las ecuaciones de todas las tangentes a la gráfica de la función 0ÐBÑ œ B  %B #&#
que pasan por .Ð!ß !Ñ
4
20.- La demanda de consumo de cierto artículo es unidades por mesHÐ:Ñ œ  #!!:  "#!!!
cuando el precio del mercado es dólares por unidad.:
 a) Expresar el gasto total mensual de los consumidores del artículo como una función de y :
 didujar la gráfica.
 b) Emplea el cálculo para determinar el precio del mercado para el cual el gasto del consumo
 es mayor.
21.-Complete el siguiente cuadro:
0ÐBÑ &B % B &B/ 68
0 ÐBÑ
0 Ð!Ñ
0 Ð  "Ñ
0 Ð  #Ñ
0 Ð$BÑ
0 Ð"  B Ñ
0 ÐBÑ
È Š ‹ Š ‹& & +B,B "B BB " +:: #B #B 68Ð-9=Ð#BÑ68Ð=/8Ð$BÑ% $$ #8 #B
w
w
w
w
w
w #
ww
22.- Se estima que dentro de años la población de cierta comuna será>
T Ð>Ñ œ >  #!!>  "!!!!# Þ
 a) Expresar la razón de cambio porcentual de la población como una función de ; simplificar >
 esta función en forma algebraica y trazar la gráfica.
 b) ¿Qué sucederá con la razón de cambio porcentual de la población a largo plazo?
23.- Suponer que el costo de fabricación en determinada fábrica es una función de la cantidad G ;
de unidades producidas, que a su vez es una función de la cantidad de horas durante la cual la>
fábrica ha estado operando.
 a) ¿Qué cantidad representa la derivada ?¿En qué unidades se mide esta cantidad?.G.;
 b) ¿Qué cantidad representa la derivada ?¿En qué unidades se mide esta cantidad?.;.>
 c) ¿Qué cantidad representa la derivada ?¿En qué unidades se mide esta cantidad?.G.>
24.- En determinada fábrica, la producción es unidades, donde representa laU œ '!!O P O
" "
# $
inversión de cápital y el tamaño de la fuerza laboral. Calcular, aproximadamente, el incrementoP
porcentual que se generará en la producción a partir de un aumento de 2% en el tamaño de la
fuerza laboral, si la inversión de capital no cambia.
25.- es el costo total de producir unidades de un determinado artículo yGÐBÑ œ B  %B &( B"&
#
:ÐBÑ œ Ð$'  BÑ B"% es el precio al cual se venderán las unidades.
 a) Hallar el costo y el ingreso marginales.
 b) Utilizar el costo marginal para calcular el costo de producir la cuarta unidad.
 c) Encontrar el costo real de producirla cuarta unidad.
 d) Emplear el ingreso marginal para calcular el ingreso obtenido de la venta de la cuarta 
 unidad.
 e) Encontrar el ingreso real obtenido de la venta de la cuarta unidad.
5
26.- Cuando un determinado artículo se venda a dólares por unidad, los consumidores comprarán:
HÐ:Ñ œ >%!!!!: unidades al mes. Se estima que dentro de meses el precio del artículo será
:Ð>Ñ œ !ß %>  'ß )
$
# dólares por unidad. ¿A qué razón porcentual cambiará la demanda mensual del
artículo conrespecto al tiempo dentro de 4 meses?
27.- Hallar mediante derivaciónimplícita:.C.B
 a) b) c) Š ‹$B  C œ &B# # " "B #C BC B  C œ $ C /8Ð Ñ œ /È = # #
28.- Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en el (los) punto(s)Š ‹$B  C œ &B# #
donde .B œ &
29.- Cuando el precio de cierto artículo es dólares por unidad, los consumidores compran : B
cientos de unidades del artículo, donde . ¿Con qué rapidez cambia la demandaB  $:B : œ (*# #
B con respecto al tiempo cuando el precio es US$5 por unidad y disminuye a la tasa de US$0.30 por
mes?
30.- Se proyecta que dentro de meses el precio medio por unidad de artículos en un determinado>
sector de la economía será dólares.TÐ>Ñ œ  >  (>  #!!>  $!!$ #
 a)¿A qué tasa se incrementará el precio por unidad con respecto al tiempo dentro de 5
 meses?
 b)¿A qué tasa cambiará el incremento de la tasa de precios con respecto al tiempo dentro de
 5 meses?
 c) Utilizar el cálculo para estimar el cambio en el incremento de la tasa de precios durante la
 primera mitad del sexto mes.
 d) Calcular el cambio real en el incremento de la tasa de precios durante la primera mitad del
 sexto mes.
31.- Para un monopolista, el costo total de producir unidades de cierto artículo esB
GÐBÑ œ #B  $B &#
y el ingreso total es , donde es el precio al que se venderán las VÐBÑ œ B:ÐBÑ :ÐBÑ œ & #B B
unidades. Hallar la función de utilidad y trazar la gráfica. ¿En qué nivel deTÐBÑ œ VÐBÑ GÐBÑ
producción se obtiene la utilidad máxima?
32.- En los siguientes problemas, determinar dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y
cóncava hacia abajo la función dada. Hallar los extremos relativos y los puntos de inflexión, y trazar
la gráfica.
a) b) 0ÐBÑ œ B  $B  $B " 0ÐBÑ œ B  &B$ # &
c) d) 0ÐBÑ œ ÐB "Ñ 0ÐBÑ œ
%
$
#Š ‹B"B
6
33.- Una compañía estima que cuando se gasten miles de dólares en marketing de determinadoB
artículo, se venderán unidades del producto, dondeUÐBÑ
UÐBÑ œ  %B  #&#B  $Þ#!!B "(Þ!!! "! Ÿ B Ÿ %!$ # ; 
Trazar la gráfica de para . ¿Dónde tiene la gráfica un punto de inflexión?¿Cuál esUÐBÑ "! Ÿ B Ÿ %!
el significado de los gastos de marketing que corresponden a este punto?
34.- Trazar la gráfica de una función que cumpla simultáneamente las siguientes propiedades:
 a) La gráfica tiene discontinuidades en y en .B œ  " B œ $
 b) para , y para , 0 ÐBÑ  ! B  " B Á  " 0 ÐBÑ  ! B  " B Á $w w
 c) para y y para 0 ÐBÑ  ! B   " B  $ 0 ÐBÑ  !  "  B  $ww ww
 d) , 0Ð!Ñ œ ! œ 0Ð#Ñ 0Ð"Ñ œ $
35.- En los siguientes problemas, encontrar el máximo y mínimo absolutos (si existen) de la función
dada en el intervalo especificado.
 a) , b) 0ÐBÑ œ B  &B  " B − !ß & 0ÐBÑ œ B B − ß $& %  ‘  ‘"B , "$
 c) d) 0Ð>Ñ œ > −  #ß  0ÐBÑ œ B − ß _> ">" ÐB"Ñ
#
#, ,  ‘  " "$ $
36.- ¿En qué punto la tangente a la curva tiene la pendiente másC œ #B  $B  'B$ #
pequeña?¿Cuál es la pendiente de la tangente en este punto?
37.- Se estima que el costo de construcción de un edificio de oficinas que tiene pisos de altura es8
GÐ8Ñ œ #8  &!!8 '!!# miles de dólares. ¿Cuántos pisos debería tener el edificio para minimizar
el costo medio por piso?
38.- Para cada uno de las funciones siguientes, calcular las derivadas parciales de primer y segundo
orden
a) b) c) 0ÐBß CÑ œ B C  $B C  0ÐBß CÑ œ 68 0ÐBß CÑ œ /# # % C BCB B&C
B $C
#
# #Š ‹
39.- Suponer que la producción está dada por la función de Cobb-Douglas ,U UÐOßPÑ œ EO P
! !"
donde y son constantes positivas y . Demostrar que si y se multiplican por elE !   " O P! !
mismo número positivo , la producción se multiplicará también por . Es decir, demostrar que7 U 7
UÐ7Oß7PÑ œ 7UÐOßPÑ.
7
40.- La utilidad diaria que un almacenero obtiene por la venta de dos marcas de jugo de naranja es
 YÐBß CÑ œ ÐB $!ÑÐ(!  &B %CÑ  ÐC  %!ÑÐ)!  'B (CÑ
centavos, donde es el precio de la lata de la primera marca e es el precio de la segunda. En laB C
actualidad, la primera marca se vende a centavos la unidad y la segunda a centavos la unidad.&! &#
Aplicar el análisis marginal para calcular la variación resultante en la utilidad diaria si el comerciante
aumenta en un centavo por lata el precio de la segunda marca, pero no cambia el precio de la
primera marca.
41.- Hallar la pendiente de la curva de nivel indicada para el valor específicado de y la0ÐBß CÑ œ - B
función dada .0ÐBß CÑ
a) , ,0ÐBß CÑ œ B  C - œ " B œ $ 0ÐBß CÑ œ ÐB  CÑ - œ ) B œ  "# $ # $, , b) 
c) 0ÐBß CÑ œ - œ # B œ/B
C
, , "#
42.- La utilidad diaria que un almacenero obtiene por la venta de dos marcas de jugo de naranja es
YÐBß CÑ œ ÐB $!ÑÐ(!  &B %CÑ  ÐC  %!ÑÐ)!  'B (CÑ
centavos, donde es el precio de la lata de la primera marca e es el precio de la segunda. En laB C
actualidad, la primera marca se vende a centavos la unidad y la segunda a centavos la unidad.&! &#
Emplear la diferencial total de para estimar la variación resultante en la utilidad diaria si elY
comerciante aumenta en un centavo por lata el precio de la primera marca y el de la segunda marca
aumenta en centavos por lata.#
43.- Hallar los puntos críticos de la función dada y clasificarlos como máximos relativos, mínimos
relativos o puntos de ensilladura.
a) b) c) 0ÐBß CÑ œ B  #C  BC  "%C 0ÐBß CÑ œ BC   0ÐBß CÑ œ B  %BC  C# # $ $) )B C 
44.- Un fabricante planea vender un nuevo producto a 350 dólares la unidad y estima que si se
invierten miles de dólares en desarrollo e miles de dólares en promoción, los consumidoresB C
comprarán unidades del producto, aproximadamente. Si los costos de fabricación de#&!CC# B&
"!!B 
este producto son 150 dólares por unidad, ¿cuánto debería invertir el fabricante en desarrollo y
cuánto en promoción para generar la máxima utilidad posible, si dispone de fondos ilimitados?
45.- Suponer que el fabricante del problema anterior tiene sólo 11.000 dólares para invertir en
desarrollo y la promoción del nuevo producto. ¿Cómo debería distribuirse este dinero para generar la
máxima utilidad posible?
8
46.- Si el fabricante del problema anterior decide invertir 12.000 dólares , en lugar de los 11.000
dólares en el desarrollo y la promoción del nuevo producto, emplear Multiplicadores de Lagrange para
estimar de qué manera afectará este cambio la máxima utilidad posible.
47.-Complete los siguientes cuadros:
0ÐBÑ B  )
(
B &
=/8ÐBÑ
B %/& B È&' 0ÐBÑ.B
0ÐBÑ $B # B Ð&B  "Ñ Ð(  $BÑÐ%  &BÑÈ$ %/  B
0ÐBÑ.B
B &È' 
+B,B
B
#
B Ð"  $BÑ # #
48.- Hallar una función cuya tangente tiene una pendiente para cada valor de , cuya$B  'B & B#
gráfica pasa por el punto .Ð!ß  #Ñ
49.- Hallar una función cuya gráfica tiene un mínimo relativo en y un máximo relativo enB œ &
B œ $.
50.- Hallar la solución general de la Ecuación Diferencial dada. Su respuesta puede expresarla en
forma implícita
 a) b) .C .C.B .Bœ &C œ $B &
 c) d) .C C .C.B B .Bœ œ /
BC
51.- Hallar la solución particular de la Ecuación Diferencial dada que satisface la condición dada
 a) ; cuando b) ; cuando .C .C.B .Bœ %B C C œ # B œ " œ / C œ ! B œ !
$ # BC
52.- Un fabricante de bicicletas espera que dentro de meses los consumidores comprenB
0ÐBÑ œ &Þ!!!  '! B T ÐBÑ œ )!  $ BÈ È bicicletas por mes a un precio de dólares por bicicleta.
¿Cuál es el ingreso total que el fabricante puede esperar de la venta de bicicletas en los próximos "'
meses?
53.- Un fabricante estima que el costo marginal es dólares por unidad cuando se han';  "
producido unidades. Si el costo total (incluidos los costos fijos o indirectos) de producción de la;
primera unidad es US$130, ¿cuál es el costo total de producción de las 10 primeras unidades?
9
54.- Un fabricante estima que el ingreso marginal es dólares por unidad cuando el nivel de"!!;
"#
producción es unidades, y el costo marginal correspondiente es dólares por unidad. Si la; !ß %;
utilidad del fabricante es US$520 cuando el nivel de producción son 16 unidades, ¿cuál es la utilidaddel fabricante cuando el nivel de producción son 25 unidades?
55.-Use integración por sustitución para completar los siguientes cuadros:
0ÐBÑ =/8Ð$BÑ-9=Ð$BÑ #B B  "È # 7 B
Ð+,BÑ B "
=/8Ð#BÑ
-9=Ð#BÑÈ È  ‘& (#
$
% #' 0ÐBÑ.B
0ÐBÑ -9=Ð$BÑ B
B"
B "68ÐBÑ
B68ÐBÑ
$ #È È 
ˆ ‰68ÐBÑ
B / +
/
7
#B
#B #B/' 0ÐBÑ.B
56.-Use integración por partes para completar el siguiente cuadro:
0ÐBÑ B=/8Ð#BÑ B/ B 68ÐBÑß 8 Á  " B / / -9=Ð&BÑB 8 # +B B ' 0ÐBÑ.B
57.-Complete el siguiente cuadro:
0ÐBÑ B B /
+  # " ! " ! "
, $ # "
B&
+
,
È& #" $ 'B
Ð"$BÑ B "È È( $#
%
&
# $B
#
$
(& "
% ##
ˆ ‰68ÐBÑ
B
' 0ÐBÑ.B
58.- El valor de reventa de deteminada maquinaria industrial decrece a una razón dependiente de su
edad. Cuando la maquinaria tiene años, la razón a la que cambia su valor es dólares por>  *'!/
>&
año.
 a) Expresar el valor de la maquinaria en términos de su edad y valor inicial.
 b) Si la maquinaria originalmente costó US$5.200, ¿cuál será su valor cuando tenga 10 años?
59.- En los siguientes problemas utilizar el cálculo para hallar el área de la región .V
 a) es el triángulo limitado por la recta y los ejes coordenados.V C œ % $B
 b) es el triángulo de vértices .V Ð %ß !Ñ Ð#ß "Ñ Ð#ß 'Ñ, y 
 c) es la región limitada por la curva y las rectas .V C œ C œ B )C œ B"B# y
10
60.- Después de horas en el trabajo, un obrero de una fábrica puede producir unidades> "!!/
!Þ&>
por hora. ¿Cuántas unidades produce un trabajador entre la 10:00 a.m. y el mediodía, si llega al
trabajo a las 8:00 a.m.?
61.- Supóngase que dentro de años un plan de inversión generará utilidades a la razón deB
V ÐBÑ œ '!/"
!ß"#B
 dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de
V ÐBÑ œ /# "'!
!ß!)B
dólares por año.
 a) ¿Durante cuántos años será mas rentable el segundo plan?
 b) ¿Cuánto exceso de utilidad se obtendrá si se invierte en el segundo plan, en lugar del 
 primero, durante el período señalado en a).
 c) Interpretar el exceso de utilidad de b) representado por el área entre dos curvas.
62.- Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es WÐ;Ñ œ %!!!ß&; #
dólares por unidad.
 a) Hallar la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para
 obtener unidades del artículo."#
 b) Trazar la curva de demanda e interpretar el área que representa la disposición a gastar de
 los consumidores en a).
63.- Los repuestos para una pieza de maquinaria pesada los vende el fabricante en unidades de mil.
El precio en dólares por unidad está dado por , y el costo total de producción de tales; : œ ""!  ;
; GÐ;Ñ œ ;  #&;  #;  $Þ!!! unidades es .$ #
 a) ¿Para qué valor de se maximizan las utilidades del fabricante?;
 b) Hallar el excedente de los consumidores cuando el precio corresponde a la utilidad máxima.
64.- Sea el precio de determinado artículo y y las funciones de oferta y demanda de: SÐ:Ñ HÐ:Ñ
dicho artículo, respectivamente. (El equilibrio de mercado se presenta en el precio al cual la demanda
es igual a la oferta ). El modelo de ajuste de precios de Evans es un modelo dinámico en el que
el precio , la oferta y la demanda están todos relacionados como una función del tiempo . Se: S H >
supone que la razón de cambio del precio en el tiempo sea proporcional a la escasez , es decirHS
.:
.> œ Ñ 55ÐHS , donde es una constante positiva.
Suponga que y son las funciones de demanda y oferta deH SÐ:Ñ œ %#  &: Ð:Ñ œ # $:
determinado artículo,respectivamente.
 a) Si el precio es US$ cuando y US$ cuando , hallar .) > œ ! ' > œ % :Ð>Ñ 
 b) Determine que le pasa a a largo plazo (cuando tiende al infinito y mas allá).:Ð>Ñ >
11
65.- Sea una función continua (o con un número finito de discontinuidades finitas) en .0 +ß _ 
 La integral definida por: , se llama integral impropia.' '
+ +
_ R
RÄ_
0ÐBÑ.B 637 0ÐBÑ.Bœ
Si el límite que define la integral impropia es un número finito, se dice que la integral converge; de lo
contrario, se dice que la integral diverge. Otra integral impropia está definida como:
' ' '
_ R !
_ ! R
RÄ_ RÄ_
0ÐBÑ.B œ 637 0ÐBÑ.B 637 0ÐBÑ.B
donde 0 es función continua(o con un número finito de discontinuidades finitas) en .‘ _ß _
Si ambos límites existen y son finitos, se dice que la integral impropia converge a su suma; de lo
contrario, se dice que la integral diverge.
Calcule las integrales impropias dadas en el siguiente cuadro:
0ÐBÑ B B /
  !
!  !
+ " $# _ _ ! /
, _ _ _ _ _ _
"
B%
È œ& si 
si
#
"
Ð"BÑ # B'B
%B "
# %
&
"
B68ÐBÑ
'
+
,
0ÐBÑ.B
66.- La mayoría de los ejercicios han sido seleccionados del texto guía "Cálculo para Administración,
Economía y Ciencias Sociales. Sexta Edición, de los autores Laurence D. Hoffmann y Gerald L.
Bradley" por lo que al estudiante entusiasta le sugerimos complementar esta modesta guía con los
ejercicios propuestos en el libro u otro.