National Council of Teachers of Mathematics traducción de Federico Velasco Coba - Temas de matemáticas Cuaderno 13_ Gráficas, relaciones y funciones-Trillas (1972) - Rodrigo Yañez

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Traducción: 
Federico Velasco Coba 
Coordinador del InstitUto 
de Geofísica 
Facultad de Ciencias 
Universidad Nacional Autónoma 
de México 
Revisión técn(ca: 
Emilio Lluis Riera 
Instituto de Matemáticas 
Facultad de Ciencias 
Universidad Nacional 'Autónoma 
de México 
Gráficas, 
relaciones 
y funciones 
National Council of 
Teachers 
of Mathematics 
U.S.A. 
Editorial Trillas rtl 
México, 1972 � 
Titulo tleesta obra en inglt<: 
Topics in Mothemali� /or Elementory School Teachtrs 
Booklet nu1flber 1.1. GropJu. Rdt�tions and FunclionJ 
C 1968, Thc Natie>11al Onmdl o/ T.achr71 óf Mathematics. btr. 
Wa1Mmrton. D. C.. U. S. A. 
Priwuraldici411 '" aPdO/, 1970 
R•i,.pr,.i6n, •n•ro1972 
Segunda reimpreeión, odubre 1972 
lA Pr<'$m/oci6n y dispasici6n e11 conjunto dt< 
Tt/ftor dr MattmtUicas. c,.a;lerno 13 
Gr4ficas, relacionu y {JJncionu, 
$On propitdod del tditor 
Der�chos ,.,.u�ados tn lengua tsPDRola 
O 1970 Edilorial Trillas, S. A. 
Av. 5 dt Maya 43-105, Mb.ico 1, D. F 
Mit1flbro d• la Cámi1To Nacional dt la 
Industria Editorial. Rt(l. nÑm. l.SR 
¡.,p,,so "' Mb.ico 
Prólogo 
Este cuaderno es uno de las diez nueyas unidades de una sene mtro­
ducida en 1964 por el Consejo Naciona) de Profesores de Matemáticas 
(N ational Council of Teachers of Mathematics: NCTM) . Como los ocho 
primeros cuadernos �ibieron tan buena acogida -ya se han reimpreso 
varias veces--, se pens6 que una exte�6n de los temas tratados sería 
conveniente. 
Como los primeros cuadernos (nú.ms. 1 al 8), las nuevas unidades se 
han escrito pensando más bien en los profesores de escuelas primarias que 
en sus alumnos. Cada cuaderno presenta la exposici6n de un tema básico 
de las matemáticas. Los temas escogidos están entre aquellos con los que 
deben familiarizarse los profesores de primaria para poder tratar con ver· 
dadera comprensión las matemáticas que por lo común se enseñan en la 
escuela primaria. Los cuadernos presentan una introducción al tema que 
enfocan, no un tratamiento exhaustivo de él; el lector interesado puede 
estudiar estos temas con mayor profundiqad en otras publicaciones. 
Los temas se han escogido especiahn�nte con el propósito de propor­
cionar material básico a los profesores que creen que las experiencias de 
aprendizaje que se proporcionan a los niños en sus primeros años escolares 
deben incluir una introducción sencilla a 'algunos de los conceptos unifica­
dores centrales de la matemática. Muchos,profesores se han encontrado con 
que su educación profesional no los prep;tró para la enseñanza de la arit­
mética de un modo acorde con este pun�o de vista. Los autores tienen la 
esperanza, al igu.,.l que la NCTM, de q\le esta nueva serie de cuadernos 
pueda ayudar eficazmente a los profesores� y también a otros, y ciertamente 
a todas aquellas personas interesadas en mejorar la enseñanza de las 
matemáticas. 
Los primeros títulos son los siguientes: 
Cuaderno 1: Conjuntos 
Cuaderno 2: Números enteros 
Cuaderno 3: Sistemas de num4raci6n para los números enteros 
Cuaderno 4: Algoritmos d4 las operaciones con números entero: 
S 
6 PROLOGO 
Cuaderno 5: Números y sus factores 
Cuaderno 6: Números racionales 
Cuaderno 7: Sistemas de numeración para los números racionales 
Cuaderno 8: Proposiciones numéricas 
Los nuevos títulos sop. los siguientes: 
Cuaderno 9 : El sistem:a de los enteros 
Cuaderno 10: El siste11'i;a de los números racionales 
Cuaderno 11: El sistema de los números reales 
Cuaderno 12: Lógica 
Cuaderno 13: Gráficas, relaciones y funciones 
Cuaderno 14: Geometría informal 
Cuaderno 15: Medida 
Cuaderno 16: Recopila�ión, organización e interpretación de datos 
Cuaderno 17: Sugerencias para la resolución de problemas 
Cuaderno 18: Simetrla, congruencia y semejanza 
Se sugiere que, de ordinatio, los cuadernos se lean en el orden de los 
números que se les han asignado, pues, hasta cierto punto, se ha seguido 
un proceso en espiral para abordar los distintos temas. 
Los nuevos cuadernos comenzaron a elaborarlos, en 1966, los miembros 
escritores de un grupo de verano. Los autores expresan aquí su más sincero 
agradecimiento a las siguient�s personas, por haber leído parte de los ma­
nuscritos, y por sus cambios qe impresiones con los auton;s durante la pre­
paración de estos cuadernos: a Joseph M. Trotter, director de la Escuela de 
San Luis Rey, y a Bonita Trotter, profesora de la Laurel School, ambos 
del Distrito Oceánico de la Vnion School; a John M. Hoffman, director 
de Ja Sección de Recursos .E�ucativos de la Comunidad del Departamen­
to de Educación del condad,o de San Diego ; y a James E. lnskeep, Jr., 
profesor de educación en el S'an Diego State College. Los autores se sienten 
en deuda, especialmente con Alice C. Beckenbach, por su amplia ayuda en 
la organización y edición del material para varios de los cuadernos. Expre­
san también su profundo a$radecimiento a Elaine Barth y a su selecto 
grupo de mecan6grafos por su excelente trabajo en la preparación del 
manuscrito. 
El nuevo proyecto, empn,mdido para proseguir el trabajo del primero, 
lo inicio y apadrinó el Co�ité de Publicaciones Suplementarias de la 
NCTM, bajo la presidencia de William Wooton. La NCTM, que propor­
cionó apoyo financiero, hace ahora público su agradecimiento al grupo de 
PRóLOGO 7 
autores de la presente extensión de la serie Temas. A continuación damos 
los nombres de ellos. 
George Arbogast 
Manuel P. Berri 
Marguerite Brydegaard 
Louis S. Cohen 
Helen L. Curran 
Pataicia Davidson 
Walter Fleming 
Joseph Hashisaki 
Lenore S. John 
David Johnson 
Robert H. Sorgenfrey 
J. Dean Swift 
Williám Wooton 
Edwin F. Beckenbach, coordinador 
lndice general 
PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE 11 
Proposiciones castellanas abiertas y sus valores de verdad 12 
Proposiciones matemáticos abierta$ 13 
Variables y conjuntos de reemplazamiento 14 
Proposiciones abiertas compuestas 15 
Notación constructivo 18 
Gráficos de proposiciones abierto$ en una variable 19 
PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES 22 
Pares ordenados 22 
Conjuntos de verdad finitos 23 
Conjuntos de verdad infinitos 25 
El método tabular 26 
Gráficas de pares ordenados 28 
Gráficas de proposiciones abiertas de dos variables 31 
Proposiciones compuestas en dos variables 36 
RELACIONES 41 
Definición de lo palabro "relación" 42 
Ejemplo de relaciones 44 
Gráficas de relaciones 46 
Gráficas de relaciones no numéricas 49 
Representación de relaciones mediante diagramas de flechas 50 
ConveJ�ción 54 
RELACIONES DE EQUIVALENCIA 55 
Definición de relaciones de equivó,lencia 56 
Propiedades de las relaciones 58 
Ejemplos de relaciones de equivalencia 61 
9 
10 
Clases de equivalencia 
Identificación 
INDICE GENERAl 
Dos relaciones especiales de equivalencia 
Implicaciones en las gráficas 
RELACIONES DE UN CONJUNTO EN OTRO 
FUNCIONES 
Definición de la palabra "función" 
Prueba de la vertical 
· 
Notación funcional 
Las funciones como "reglas" 
.. 
Los funciones como "transformaciones'' 
La "máquina función" 
PROBLEMAS EN QUE APARECEN FUNCIONES 
Problemas del tipo 1 
Problemas del tipo 2 
Problemas del tipo 3 
RESUMEN 
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS 
63 
67 
70 
7 1 
74 
76 
76 
82 
84 
S7 
90 
9 1 
92 
93 
95 
96 
10 1 
103 
Gráficas, relaciones y 
funciones 
CUADERNO TRECE 13 
fROPOS!CIONES A§IERTAS FN L !NA J(ARIABLt; 
En esta primera sección discutiremos v¡uias ideas de considerable impor­
tancia que serán usadas en el resto del cuaderno. La sección siguiente, 
"Proposiciones abiertas en dos variables", pensamos que será de gran utilidad 
para los prof�sores en los últimos años de enseñanza elemental. Estas dos 
secciones forman una extensión natural del material del cuaderno 8: 
Proposiaiones numéricas. Es posible que el lector quiera ver -o volver a 
ver- el cuaderno citado antes de comenzar el estudio de éste; pero no es 
indispensable que lo haga, puesto que comenzaremos repasando las ideas 
fundamentales que hay en él. 
Suponemos que el lector está familiarizado con laidea de recta numérica 
y tiene cierto conocimiento, aunque sea superficial, de alguno de los sistemas 
numéricos usados comúnmente. Los conjuntos de números que usaremos, 
al igual que sus nombres estándar, se mencionan luego para conveniencia 
del lector: 
N = el conjunto de los números naturales = { 1, 2, 3, ... ) ; 
W = el conjunto de los números plenos = {O, 1, 2, 3, • • . } ; 
] = el conjunto de los enteros = { . . . , -2, -1, O, 1, 2, ... }; 
R = el conjunto de los números reales. (Véase el cuaderno 11 : El siste­
ma de los números reales.) 
Usaremos también el símbolo de igualdad, "= ", el símbolo de no es 
igual a "#', y los símbolos de orden que aqw se enumeran junt� con sus 
significados: 
<significa "es menor que", 
> significa "es mayor que", 
::; significa "es menor o igual que", 
¿significa "es mayor o Igual que''· 
1\ 
12 PROPOSICIONES: ABIERTAS EN UNA VARIABLE 
�1=,��3i\W:jllenss pb¡ertgs x sus 
El lenguaje de las matemá�cas tiene una gramática, exactamente igual 
que la tiene el idioma castellano. Es cierto que a menudo se usan símbolos 
en lugar de palabras, pero �tos símbolos son partes m�temáticas del 
lenguaje -nombres, pronombres, verbos, etc.-, y podemos usarlos para 
formar oraciones tanto simples como compuestas. En matemáticas, como en 
castellano, hay oraciones que s.e denominan enunciativas. En esta sección, 
clasificamos las oraciones enun�ativas que tienen sentido en tres tipos. 
Observemos algunas oracio�es enunciativas en castellano. 
V {La ciudad de San Francisco está en Californla. La Tierra es mayor que la Luna. 
F {
Abraham Lincoln nació en Francia. 
Napoleón &nap*ne murió en 1962. 
A {tl fue un presidente de Estados Unidos. 
Ella es la mujer del prlncipe Felipe. 
Cada una de estas seis· oraciones enuncia algo acerca de algo y ·es, 
por tanto, enunciativa. Las que están en el grupo V son proposiciones ver­
daderas, mientras que las que están en el grupo F son falsas. Por tanto, 
dada una cualquiera de las ppmeras cuatro proposiciones, podemos asig­
narle lo que los lógicos llaman un valor de verdad; es decir, podemos 
decidir si es verdadera o es falsa. 
Pero, ¿qué puede decirse de. las proposiciones del grupo A? ¿Podemos de­
cir que la proposición: "Ella es la mujer del príncipe Felipe" es verdadera?, 
¿o que es falsa? Desde luego, el nombre de "Isabel Il" nos viene a la 
mente, y la proposición es seg.;¡ramente verdadera si éste es el nombre que 
usamos para reemplazar al sujeto -pronombre- de la oración. ¿Pero, y si 
el nombre con que reempl�emos al sujeto fuera "Brigitte Bardot"? La 
proposición seguiría teniendo sentido, pero en esta ocasión sería falsa. Dos 
cosas han surgido de esta discusión. Primera, que tan pronto como usamos 
el nombre de alguna mujer cualquiera para reemplazar al sujeto, entonces la 
proposición tfene un valor de verdad; es decir, o es verdadera o es falsa. 
Segunda, que si la sentencia es verdadera o falsa es un problema abierto 
en tanto no efectuemos cierto reemplazo. A una proposición de este tipo 
se le llama proposición abierta. Tenemos, pues, una clasíficaci6n de ora­
ciones enunciativas con sentido en tres tipos: verdaderas, falsas y abiertas. 
Las oraciones enunciativas sin �entido como, por ejemplo, .. El rey de Francia 
PROPOSICIONES MATEMÁTICAS ABIERTAS 13 
tiene el pelo rojo", no serán consideradas en este cuaderno (Véase el cua· 
demo 12! Lógica.) 
proposiciones motemgticas gbiertas = 
El método wado en el lenguaje cotidiano para la clasificación de las 
oraciones enunciativas con sentido en verdaderas, falsas o abiertas, también 
se emplea en el lenguaje matemático. La idea de proposici6n abierta resulta, 
sin embargo, de mucha más importancia en matemáticas que en el caste­
llano. En esta seccí6n discutiremos solamente proposiciones numérícar; es 
decir, proposiciones en que se afirma algo aJ.:erca de números. Las siguientes 
hacen precisamente eso: 
V {3 :S 7. 2 X 3+5. 
F {i+i= �· 5-2> 4. 
Cada una de estas cuatro proposiciones tiene un valor de verdad 
definido; esto es, en cada caso podemos decir si la proposición es verda­
dera o falsa. Las del grupo V, desde luego, son verdaderas, y las del grupo 
F, falsas. 
Ahora bien, ¿qué aspecto tiene en matemáticas una proposicl6n abierta? 
He aquí algunas: {2+0 = 7. 
A 3 X n< 12. 6- 1:!. = 2. X+ 2 > 5. 
En estos casos, no podemos decir si las afirmaciones son verdaderas o 
falsas hasta que hayamos reemplazado los símbolos O, n, 6. y x por núme­
ros. Por ejemplo, la proposici6n "2 + O = 7" se convierte en una proposi­
ci6n verdadera si O se reemplaza por 5; pero resulta una proposición falsa 
si O se reemplaza por 4:, 7 o, ciertamente� por cualquier numeral de un 
número cualquiera distinto del 5. (De aquí en adelante, para ahorramos 
palabras, omitiremos a menudo lo de etnumeral de un número". Este hábito 
popular da, en muy pocas ocasiones, lugar a error.) Análogamente, la 
proposición "3 X n < 12", se convierte en una proposici6n verdadera si 
reemplazamos n por 2, porque 3 X 2 = 6 y es verdad que 6 < 12. Pero 
tenemos una falsa si reemplazamos a n por 4:, porque 3 X 4 = 12, y es falso 
que 12 < 12. Desde luego estos no son los únicos números que hacen que 
la proposición "3 X n < 12" sea verdadera.o falsa. ¿Puede el lector encon· 
trar algunos más? 
14 PROPOSICIONES ASIERTAS EN UNA VARIABLE 
\lqcjgbl;s v Qi?Oiuntp� ge reemplazamiento 
Los símbolos O, n, 6 y :f, que aparecen en Los ejemplos anteriores, 
desempeñan el mismo papel que los pronombres, en ese caso sujetos, "él" 
y "ella" juegan en las proposiciones abiertas en castellano que se vieron 
en la página 12. En matemáticas se les llama variables. Vemos, pues, que 
proposiciones abiertas son las que contienen variables. 
Consideremos la proposición abierta "3 X n < 12" más detenidamente. 
Al contestar a la pregunta "¿cuáles serán los reemplazamientos de n que 
harán que esta proposición sea verdadera? Se observa pronto que si se 
reemplaza la variable n por 1, 2, ó 3, se obtiene una proposición verdadera; 
pero si n se reemplaza por 4 o cualquier número mayor que 4, la proposi· 
ción resultante es falsa. ¿Podemos concluir de ello que la proposición "3 X 
n < 12,. es verdadera sólo sin se reemplaza por 1, 2, ó 3? Este es, ciertamen­
te, el caso si los únicos reemplazamientos pennisibles para la variable n son 
Jos números naturales; es decir, los números del conjunto N = {1, 2, 3, 
4, . .. }. Pero supongamos que, dijimos que n podía reemplazarse por cual­
quier entero; es decir, cualqui�r número del conjunto ] = { . . . , -2, ·1, O, 
1, 2, ... } . En este caso la proposición abierta "3 X n < 12" se convierte 
en una proposición verdadera cuando la variable n se reemplaza por cual­
quier entero menor que 4. Por ejemplo, si n se reemplaza por -s, la pro­
posición se vuelve "3 X -5 < 12", es decir, "-15 < 12!), lo que es una 
proposición verdadera. 
Vemos, de acuerdo con este ejemplo, que para ser del todo precisos en 
la discusión de proposiciones abiertas, debemos hacer algo más que sola­
mente enunciar la proposición. Debemos también especificar el conjunto de 
reemplazamientos permisibles para la variable en la proposición. A este 
conjunto se le llama conjunto de reemplazamiento de la variable. Así pues, 
si se nos da una proposición abierta y el conjunto de reemplazamientos para 
su variable, entonces los {micos números que es permitido poner en lugar 
de la variable son los números del conjunto de reemplazamiento. De ordi­
nario, algunos de estos números harán que la proposición sea verdadera y 
otros harán que sea falsa. Como usualmente nuestro mayor interés está 
en el conjunto de números que hacen que la proposición sea verdadera, 
damos a este conjunto un nombre especial: el de conjunto de verdad. 
Decimos que eJ conjunto de verdad -o conjunto solución- de una propo· 
sición abierta es el conjunto d.e todos los números del conjunto de reempla· 
zamiento que hacen que la proposición sea vetdadera. 
Aclararemos estas ideas por medio de cierto número de ejemplos; véasela tabla I. Recuérdense los nombres comunes de los conjuntos que se 
dieron en la página 11. 
Proposiciones abierta!! 
3 X 0 < 12 
3 X n < 12 
3 x o< 12 
3 X 0 < 12 
3 X�= 12 x2<5 xz<5 
2+ �:S2 
2+�:S2 
PROPOSICIONES ABIERTAS COMPUESTAS 
TABLA 1 
CONJUNTOS DE VElUlAD 
ConJunto de Jeemplazamlco.to 
w 
w 
1 
R 
N, W, 1 o R 
N 
1 
w 
N 
Conjunto de verdad 
{O, 1, 2, 3) 
{0, 1, 2, 3} 
{ · • ·, ·2, ·t, O, 1, 2, 3} 
{números reales menores que 4-} 
(4} 
{1, 2} 
{-2, -1, o, 1, 2} 
(O} 
{ } 
15 
Deben haeerse dos observaciones acerca de estos ejemplos. En los dos 
primeros notamos que los conjuntos de verdad son los mismos aunque la 
variable en una de las proposiciones se llama O y en la otra se llama n. Esto 
no debe sorprendernos, porque las dos proposiciones abiertas afirman lo 
mismo; a saber, que "tres por algún número es menor que doce". Conside­
ramos por ello que dos proposiciones abiertas son la misma si la única 
diferencia entre ellas es el símbolo que se usa para la variable. La proposi· 
ci6n "3 + � = 10" significa lo mismo que u3 + x = 10". 
La otra observación está ligada con la notación para los conjuntos. 
Los conjuntos de verdad en los últimos dos ejemplos son {O} y { ). Estos 
conjuntos son diferentes, porque el conjunto {O} contiene un elemento, a 
saber, el número O, mientras que { } no tiene elemento alguno. Al último 
se le llama el conjunto r;acío y se representa habitualmente por� o por { }. 
pmgq§jcjgpe§ gl¡¡jertgs sgmpuestgi 
Una proposici6n abierta compuesta puede formarse, en matemáticas, 
tomando dos proposiciones simples del tipo que hemos estado considerando 
y uniéndol�s con una u otra de las conjunciones "y'• y "o". Así, si ligamos 
la proposid6n ''-2 < x" con la proposición "x < 4" por medio de 'Y' 
obtenemos "-2 < x y x < 4", lo que usualmente se escribe ''-2 < x < 4" 
para mayor brevedad. Un número hace que esta proposici6n sea verdadera 
si y sólo si hace que las dos proposiciones simples sean verdaderas. (Véase 
el cuaderno 12: Lógica.) Los conjuntos de verdad de esta proposici6n para 
distintos conjuntos de reemplazamiento se muestran en la tabla Il. 
16 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE 
TA1!LA D 
CONJUNTOS DE VERDAD PARA Dl'f'ERENTES 
CONJUNTOS DE RE.'!MPLAZAJoUENTO 
Conj"unto de reezi>p azarniento Conjunto da verdad 
{1, 2, 3} 
{O, 1, 2, 3) 
{-1, o, 1, 2, 3} 
Podemos observar que el conjunto de verdad para la proposición com� 
puesta es la intersección de los .conjuntos de verdad de las dos proposiciones 
simples. Recuérdese que la intersección de dos conjuntos, A y B, consiste en 
el conjunto de todos los elemc;ntos que pertenecen a los dos conjuntos; es 
decir, el conjunto de todos los �lementos que A y B tienen en común. Se de· 
nota por A n B. En este ejemplo, con el conjunto de reemplazamiento 
/ el conjunto de verdad de "-2 < x'' es 
{-1, (j� 1, 2, 3, 4, 5, . . . }, 
e l conjunto de verdad de ".x < 4" es 
( ... , "'3, -2, -1, o, 1, 2, 3}, 
y la intersección de estos dos conjuntos es, sin duda, 
{-1, o, 1, 2, 3}. 
Veamos, mediante un ejemplo, qué es lo que sucede cuando unimos dos 
proposiciones simples con "o".· Cuando combinamos "6 < n" con "n < 3'' 
en esta fonna, obtenemos la proposición compuesta "6 < n o n < 3". No 
escribimos esto en la forma "Q < n < 3" porque esta fonna abreviada ha 
sido ya apropiada por las proposiciones ''y". Un número hace que la pro­
posición "6 < n o n < 3" sea. verdadera si y sólo si hace que una u otra 
-o ambas-- de las proposiciones simples sea verdadera. De aquí que, para 
N como conjunto de reemplazamiento, el conjunto de verdad de esta pro­
posición compuesta es la unión del conjunto de verdad de "6 < n", a saber 
{7, 8, 9, . . . ), y el conjunto de verdad de "n < 3", es decir, {1, 2}. Re­
cuérdese que la unión de dos <;onjuntos A y B, representada por A U B, es 
el conjunto de todos los objetos que pertenecen a A o a B o a ambos. Por 
tanto, el conjunto de verdad es {1, 2, 7, 8, 9, . . . }. 
Obsérvese que, en matemáticas, usamos la conjunción "o" en el sentido 
"inclusivo" --distributivo gramaticalmente hablando-- de "o uno, u otro, o 
PROPOSICIONES ABIERTAS COMPUESTAS 17 
ambos". (El barbarismo "yfo" se emplea a veces fuera de las matemáticas 
con este propósito expresivo .) Por ejemplo, si J es el conjunto de reempla. 
zamicnto para la variable :< es la proposición "2 < :< o x < 6", entonces el 
conjunto de verdad es el mismo ]. porque todo número en J hace, al menos 
que una de las dos proposiciones simples asociadas sea verdadera. Algunos 
números, tales como M2, 1 y 7, hacen que solo una de las proposiciones sea 
verdadera; otros, por ejemplo 3 y 5, hacen que ambas sean verdaderas. 
Obsétvese, también, que una proposición tal como la x < 3 es una pro· 
posición "o", puesto que se lec, ":< es igual � menor que 3". Si el conjunto 
de reemplazamiento para esta proposición es N, entonces el conjunto so· 
lución es {1, 2, 3}. 
GRUPO DE EJERCICIOS 1 
l. ¿Son verdaderas, falsas o abiertas las siguientes proposiciones? 
a) �1 es primer ministro de Inglaterra. 
b) Lincoln fue el primer presidente de Estados U nidos. 
e) Ella está sentada en la primera fila. 
d) Morelia es la capital de Michoacán. 
2. ¿Son verdaderas, falsas o abiertas las siguientes proposiciones matemá­
ticas? 
a) 3 + 3 = 33 
b) 9 X 0 =54 
e} 7- 7:::; O 
d) n + 13 > 27 
e) -4 < 1 < 3 
f)2<1o2>3 
g) 2 < 1 o 2 > -3 
h) -4 <o< 3 
i) � > 2 o 6. < -2 
j) 2:::; 2 < 4 
3. Encuéntrese el conjunto de verdad de cada una de las siguientes pro­
posiciones cuando el conjunto de reemplazamiento es W = {0, 1, 2, . .. }: 
a) n- 8 = 28. 
b) 6 + 1 < 5. 
e) 2 X q > 5. 
d) X + 1 < 2. 
e) z + 1 < l. 
4. Encuéntrese el conjunto de verdad en cada una de las siguientes pro­
posiciones compuestas cuando el conjunto de verdad es J = { ... , -2, 
-¡, o, l, 2, ... ) : 
a) 1 <O< 5 
b) -1 <X< 1 
e) 1 < n < 2 
d) 4 < -2 o 6. > 2 
e) /::, < 2 o 6. > -2 
f)z�3 
18 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE 
Notgsiéo coo&!n'rtixg 
Es conveniente tener una notación "taquigráfica" para el conjunto de 
verdad de una proposición abierta dada. Como ejemplo, tornemos la propo· 
sición "D. < 4", con N como conjunto de reemplazamiento. La notaci6n 
que adoptaremos para indicar el conjunto de verdad de esta proposición es 
{D.J D. está en N, y D.< 4}. 
Su traducción al lenguaje cotidiano es "el conjunto de todo «triángulo» tal 
que «triángulo» está en N y «triángulo» es menor que 4". Así pues, al leer 
la notación comiéncese con la frase "el conjunto de todo"; luego, el nolll­
bre de la variable; entonces léase la barra vertical como ''tal que"; y, final­
mente, léase la proposición o proposiciones que siguen a la barra. A veces 
también se lec empleando plurales: "el conjunto de todos (o todas) los «aquí 
el nombre de la variable en plural (triángulos, equis, etc.)» tales que 
«y aquí, al final, la proposición o proposiciones que siguen a la barra»". 
Obsérvese que aunque esta notación parece complicada, comunica toda 
la información pertinente acerca del ejemplo. El hecho de que se usen 
llaves, { }, nos pone sobre aviso de que Jo que se describe es un conjunto. 
La primera mención de /)., antes de la barra vertical, nos dice qué sím­
bolo es el que se está usando para la variable. Como observamos anterior. 
mente, el símbolo particular usado es de poca importancia, pero debemos 
decidirnos por algún símbolo antes de que podamos escribir la proposición 
abierta. Después de la barra está la información que nos dice cuál es d 
conjunto de reemplazamiento y cuál es la proposición abierta. La harta 
está ahí como una especie cie barrera para impedir que las cosas se mezclen; 
también suelen usarse en vez de la barra los dos puntos ( : ) • 
Digamos ahora unas palabras acerca de la parte de la notación "D. está 
en N". Sabemos que es importante haber especificado cuál es el conjunto 
de reemplazamiento, pero a veces el conjunto de reemplazamiento se ha 
especificado de antemano. Si estamos seguros de que éste es el caso, entonces 
podemos omitiruna frase como "D. está en N". Incluso si la frase no puede 
omitirse sin peligro de confusión, se puede abreviar escl'ibiendo en su lugar 
simplemente "D. e N", en que se usa el símbolo común "e" que significa 
"es un elemento de" o "es un miembro de" o "pe.t·tenece a11• 
Consideremos algunos ejemplos. 
{6,. 1 6,. t. N y D, < 4) :::: {1, 2, 3}. 
{D. 1!:::. E: R y f:::. < 4} = {todos los números reales menores que 4}. 
{nlnt.Wy-2<n<l) ={O}. 
{nlnt:Jy-2<n<l} = {-1, O}. 
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABlE 1 9 
{xlx&] y -S < x < 4} = {-2,-1, O, l, 2 , 3}. 
{0 1 O es uno de )os 
Estados de Estados Unidos} = {Alabama, Alaska, • • • , Wyomíng}. 
{zlu:]y,z.=::-2} = {-2,-1,0,1,2,3, ... ). 
{V' 1 V'&] y V' �-2} = {-2, -l, 0', 1 , 2, 3, . . . }. 
Los últimos dos ejemplos señalan de nuevo el hecho de que no importa cuál 
sea el símbolo que usemos para la variable. 
Como nuestra notaci6n parece, en cierto sentido, ser una especie de 
"plan" para la construcción de un conjunto específico, la llamamos nota­
ci6n constructiva. 
Podemos usar la notación constructiva de un modo diferente, podríamos 
decir, hacia atrás. Hacemos esto cuando tenemos un conjunto definido in 
mente y deseamos describirlo con la notación. Todo lo que tenemos que 
hacer es construir una proposici6n abierta que tenga el conjunto dado como 
su conjunto de verdad. Supongamos, por ejemplo, que deseamos describir el 
conjunto {0, 1, 2, 3}. Podríamos razonar como sigue: todos los elementos 
del conjunto son enteros, el menor es O, el mayor es 3, y todos los enteros 
entre o y 3 están en el conjunto; por tanto 
{0, 1, 2, 3} = {0 1 o e. J y o< o :;:; 3}. 
Un razonamiento un poco diferente nos habría llevado a escribir 
o a 
{O,t, 2, 3}={xjxe] y -l<x<4}> 
{0, 1, 2, 3} = {ni n e W y n :;:; 3}. 
Es perfectamente admisible usar algunas palabras. Por ejemplo, para 
describir el conjuntQ {1, 3, 5, . . . , 99} de todos los números naturales im­
pares menores que 100, podría escribirse {x 1 x e N, x < 100, y x es impar}. 
2rgfjsg§ dft pmggskjgpe§ ghjg;�g§ eg ugg ygrjgbl� 
Volveremos ahora al problema de diir una representación gráfica del 
conjunto de verdad de una proposición abierta en una variable. Para este 
propósito necesitaremos la recta numérica que mostramos en la figura 1. 
Hemos mostrado, desde luego, solamente una parte de la re· ta y hemos 
rotulado splamente aJgunos de !os puntos que se correspondt.n con enteros. 
"2 -, o 2 3 4 5 
La recta numérica. 
FIGURA 1 
20 PROPOSICIONES ABIERTAS EN UNA VARIABLE 
Sin embargo, sabemos que a cada número de cualquiera de nuestros con� 
juntos ya habituales, N, W, J y R, corresponde un punto único sobre la 
recta. Parece, por tanto, razonable intentar retratar sobre la recta los con­
juntos de verdad de las clases de proposiciones abiertas que hasta el mo­
mento hemos considerado. 
Verdaderamente, lo único que necesitamos es algún método gráfico para 
distinguir un conjunto particular de puntos. Una forma de hacerlo consiste 
simplemente en ampliar las imágenes de sus elementos, es decir, de hacer 
puntos más grandes. Esto no implicará que los puntos se hagan mayores. 
Los puntos, después de todo, solamente son sugeridos en cualquier represen­
tación; lo cierto es que no tienen existencia física alguna. También pode­
mos rotular Jos puntos del conjunto con letras. 
A la representación del conju.nto de verdad de una proposición abierta • 
por medio de un dibujo, la llamamos gráfica de la proposición. Veamos 
ahora tmos cuantos cj<'mplos en la íigul'a 2, donde la descripción de cada 
g.-áfica cstít dada abajo de ella en una notación �onstructiva adecuada. En 
lugar de estar expresada como <icl conjunto de verdad de la proposición 
abierta O < 4, con conjunto de reemplazamiento N", la información se 
.3 .2 -, o 2 3 4 5 
(01 OzN r o� 4} = 11, 2, 3, 41. 
' o • •• • • • • • 
"3 "2 -1 o 1 2 3 4 5 
In 1 neJ y n > -2} = {-I, O, 1, 2, 3, · • · l . 
"3 -. o 2 3 5 
o 2 3 4 5 
j:r; 1 z e R y z < 21 .,. 1J conjunto de todos los númerosjl reales menores que 2 
o 2 3 4 5 
....:: } _ {conjunto de todos los números} {x 1 x t: R y x- 2 - 1 • 1 ? rca es 1gua es o menores que -
Gráficas de proposiciones numéricas. 
FIGURA 2 
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIE�TAS EN UNA VARIABlE 21 
expresa simplemente como "{O 1 O ct N y O :::;; 4)." En los primeros tres 
ejemplos el conjunto de verdad se da también explícitamente. 
En los últimos dos ejemplos presentados en la figura 2, nos encontramos 
con una dificultad técnica. ¿Cómo mostra,r que el punto que representa a 
2 no está incluido en la primera gráfica, pero sí está claramente incluido 
en la segunda? Hay varias maneras de resolver este problema artístico. Aquí, 
la que hemos escogido es la de indicar la inclusión rnedian�e un punto 
sólido, y la no inclusión mediante uno húeco. Para indicar que todos los 
puntos de un segmento o rayo están en la ¡gráfica, usamos una línea gruesa 
como puede verse. 
Veamos la figura 3, para unos cuantos ejemplos -más, ahora usando 
proposiciones compuestas. 
�3 '2 -, o 2 3 4 5 
lz 1 z e J y -2 ::; z < 31 
-3 '2 ., o -2 3 4 5 
ID IOcR y -2 �o� 3} 
"3 �2 -, o 2 3 4 5 
lt 1 ta R y t < -1 o t > 21 
GriCicas de proposiciones numéricas compuestaa. 
FIGURA 3 
GaUPO DE EJBCICIOS 2 
l. Exprésense, usando palabras, cada unQ de los conjuntos descritos abajo 
en notación constructiva: 
a) (O 1.0 e W y O< 3} 
b) {n fn & ] y -2 < n < 3} 
e) {616 &N y -2 <!:::. < 3} 
d) {x]x&R y x+1=3} 
e) {61!:::. r.NJ!:::. < 14, y 6 es par} 
f) {x 1 x es el nombre de un Estado de Estados Unidos que comienza 
con "A"}. 
22 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABl.ES 
2. Grafíquense cada uno de los· siguientes conjuntos sobre una recta nu­
mérica: 
a) El conjunto de verdad de O - 1 = 4; conjunto de reemplazamien· 
to: N 
b) El conjunto de verdad de !::. - 1 < 4; conjunto de reemplazamien-
to: N 
e) {!::. J D. e N y !::. - 1 < 4} 
d) {x 1 x e R y -2 < x < 1} 
e) El conjunto de verdad de -2 < O< 1; conjunto de reemplazamien­
to: R 
f) {t.jD.eJ y 6<3)., 
PRQPOS!pONES ABIERTAS EN ROS y&RIABLES 
Hasta el momento hemos considerado proposiciones abiertas que con­
tienen solamente una variable. Pasamos ahora a una discusión de las que 
contienen dos. Las proposicione� abiertas pueden presentarse en lenguaje 
cotidiano en construcciones tales como "esto es mayor que aquello" y "ella 
es su mujer". Estas proposiciones son abiertas si no ha habido ninguna 
discusión previa que especifique les sujetos n i ningún otro medio de espe­
cificación ha establecido antecedentes de los pronombres. Com�;> en español, 
proposiciones tan vagas como éstas raramente se presentan fuera de un 
contexto, no proseguiremos con ellas. En contraste, proposiciones abiertas 
con dos variables se presentan con frecuencia en matemáticas y son de gran 
importancia. 
Pares ordeqgdg:r 
Est�diemos la expresión 
(2 X 0) + � = 9. 
Esta expresión �s declarativa en su forma, pero no podemos decir si lo 
que en ella se afirma es verdadero o falso hasta que se hayan reemplazado 
por números los dos S'Ímbolos, O y D., que en ella aparecen. Llamamos a 
estos símbolos variables, lo mismo que hicimos en las proposiciones abiertas 
que consideramos anteriormente. Si la variable O se reemplaza por 2 y la 
variable D. se reemplaza por 5, la proposición se convierte en la "(2 X 2) 
+ 5 = 9", que es verdadera. Si O se reemplaza por 3 y D. por 4, la pro­
porción resultante es "(2 X 3) + 4 = 9", que es falsa. Vemos que es nece­
sario sustituir un par de números, uno para O y el otro para 6, en la 
proposición, antes de que tal proposición tenga un valor de verdad; es decir, 
CONJUNTOS DE VERDA!) FINITOS 23 
antes de que sea verdadera o falsa. Podemos querer enumerar muchos de 
tales pares. Para ser consistentes, convengamos en llamar a O primera va­
riable y a � segunda variable. Esta elección es completamente arbitraria, 
pero una vez hecha tenemos que apegarnos a ella. Cuando estas variables 
tienen que expresarse mediante letras del alfabeto, usualmenteel orden 
alfabético es el que rige nuestra elección sobre la que debe considerarse pri­
mera variable y la que debe considerarse segunda. Entonces, al enumerar 
un par escribiremos el reemplazamiento de·O primero, y el de � en se­
gundo lugar. Los dos pares que se emplearon en la anterior sustitución 
se escribirían ( 2, 5) y (3, 4). El orden en que se escriben los números de 
cada par es muy importante. Vimos que el par ( 2, 5) hace que la proposición 
sea verdadera. Pero el par ( 5, 2) que contiene a los mismos números pero 
en orden opuesto, hace que la proposición abierta se convierta en la " ( 2 X 
5) + 2 = 9", que es falsa. Debemos, por tanto, distinguir (2, 5) y (5, 2). 
Señalar esto es la razón por la que usamos paréntesis, ( ) , en lugar de 
llaves, { ), al escribir tales pares: {2, 5} y {5, 2} representarían exacta� 
mente al mismo conjunto. Para enfatizar que el orden es importante, lla­
mamos a (2, 5) y (5, 2) pares ordenados. Al primero de los dos números 
que aparecen en un par ordenado le llamamos primer componenJe del par 
y, al otro, segundo componente. 
Antes de continuar con este ejemplo recordemos que al considerar pro· 
posiciones en una variable es importante conocer el conjunto de reempla­
zamiento para la variable, es decir, el conjunto del que está permitido ob­
tener reemplazamientos para la variable. La situación es la misma para las 
proposiciones en dos variables, excepto que ahora debemos tener conjuntos 
de reemplazamiento para ambas variables. 
Se nos da una proposición abierta que contiene dos variables, a una de 
las cuales se le llama primera variable y, �gunda variable, a la otra. Se nos 
da, también, un conjunto de reemplazamiento, llamémosle A, para la pri­
mera variable, y un conjunto de reemplazamiento B, para la segunda. (El 
conjunto .8 puede ser o no igual al conjunto A.) Un par ordenado pertenece 
al conjunto de verdad de la proposición dada si su primer componente es 
un elemento de A, su segundo componente es un elemento de B, y hace de 
la proposición una afirmación verdadera. El conjunto de verdad de )a 
proposición' es el conjunto de tales pares ordenados. 
eooiuntos de yerdgd fjgjtos 
Ilustraremos las ideas introducidas al . final de la anteriol' .sección con­
tinuando nuestra discusión de la proposición abierta 
(2 X 0) + L = 9. 
24 PROPOSICION�S ABIERTAS EN DOS VARIABlES 
Tornemos corno con junto ge reemplazamiento para cada una de las va­
riables O y /:::,. el conjunto N = (1, 2, 3, . . . } . La mayoría de nuestros 
ejemplos lo serán del importan'te tipo de proposición en que ambas variables 
tienen el mismo conjunto de x:ecrnplazarnicntos. Ahora bien, los números 2 
y 5 están en N, y hemos visto ·que cuando reemplazarnos O por 2 y /:::,. por 
5 la proposición resulta verdadera. Por tanto, el par ordenl:\do (2, 5) está 
en el conjunto de verdad de 1� proposición. Busquemos más elementos del 
conjunto de verdad. Una fo'r!Tla sistemática de conducir esta investigación 
sería la de reemplazar una de 'las variables, digamos O, por algún número 
en N y ver luego si hay algún reemplazamiento para /:::,. que haga que la 
proposición sea cierta. Por ejemplo, si sustituimos a O por 1, la proposición 
toma la forma " (:! x 1 ) + /:::,. = 9''. Esta es todavía una proposición abier­
ta; pero corno solo le queda una variable, el problema se ha hecho más 
fácil. Pronto veremos que si se reemplaza /:::,. po.r 7, la proposición se vuelve 
verdadera. Hemos encontrado, así, otro par ordenado, el ( 1, 7), del conjunto 
de verdad. Si sustituimos ahora; O por 2, obtenemos el par ordenado (2, 5) 
que el lector puede comprobar· por sí mismo que pertenece al conjunto de 
verdad. Si repetimos este procedimiento, obtenemos ( 3, 3) y ( 4, 1 ) como 
resultados de la sustitución de tJ por 3 y por 4. Si sustitujmos O por 5, la 
proposición se vuelve "(2 X 5� + /:::,. = 9". Vemos que si 6. se reemplaza 
después por cualquier elemento· de N -recuérdese que N es el conjunto de 
reemplazamiento para ambas v�riables-, el primer miembro será mayor que 
9; por tanto, no puede haber nihgún par ordenado cuyo primer componente 
sea 5 en el conjunto de verdad. De la misma manera vemos que si reem­
plazarnos O por cualesquiera de los números 6, 1, 8, . . · . , no podemos 
reemplazar a /:::,. por ningún elemento de N que haga que la proposici6n 
sea verdadera. Podemos, por tanto, concluir que: 
El conjunto de verdad de la proposición 
(2 ).( 0) + /:::,. = 9, 
con N como cónjunto de reempluamiento 
para ambas variables, es 
{ (1, 7), (2, 5), (3, 3), (4-, 1 ) }. 
Esta proposición puede expresarse más sucintamente en la notaci6n 
constructiva: {(0, 6) l O e N, !:::. e N, y (2 X 0) + /:::,. = 9} = (1, ?), 
(2, 5), (3, 3 ) , ( 4, l } } . El primer miembro de esta igualdad se leería, "el 
conjunto de todos los pares ordenados --cuadrado, triángulo-- tales que 
cuadrado está en N, triángulo está en N, y dos por cuadrado, más triánguJo, 
es igual a nueve". Todo lo cual está de acuerdo con la forma en que usamos 
la notación constructiva en la sección anterior. Sin embargo, ahora tenemos 
d()J variables a nombrar en el espacio antes de la barra vertical, y éstas de-
CONJUNTOS. OE VERDAD INFINITOS 25 
ben nombrarse en un orden específico; de aquí que allí escribamos el par 
ordenado (0, .6.). 
Q>gjugtes de yerdad ipfjgjto§ 
En el ejemplo que estamos considerando, el conjunto de verdad re­
sultó finito; es decir, contenía solo un número finito de pares ordenados 
(cuatro). Veamos lo que sucede si conservamos la misma proposici6n abier­
ta y el mismo conjunto de reemplazamiento, N, para la variable O, pero 
establecemos J como conjunto de reemplazamiento para .6. (/ es el conjun­
to de los enteros). Es decir, buscamos el conjunto 
{(0, .6. ) 1 0 e N, !::. e J, y (2 X 0) + .6. = 9}. 
Este conjunto contendrá todos los pares ordenados que antes encontramos, 
porque todo elemento de N es también un elemento de J. Pero ahora, si 
reemplazamos O por 5, obteq.íendo "(2 X 5) + .6. = 9", podemos encon­
trar un reemplazamiento para .6. en J que haga que la proposici6n sea 
verdadera, a saber, -1. Luego ( 5,-1) está en ·nuestro conjunto de verdad. De 
la misma manera podemos encontrar ( 6, -g), ( 7,-5), etc., todos en nuestro 
conjunto de verdad. Por tanto 
( (0, 6,} 1 0 E N, ,6. 1: ], y (2 X 0) + 0 = 9} 
= {(1, 7), (2,5), (3,3), (4, 1) , (5,-1), (6,-3}, . . . ). 
Este conjunto de verdad contiene infini.tos pares ordenados, y observa­
mos que en los elementos sucesivos el primer componente aumenta en 1, 
comenzando con 1, mientras que el segundo componente disminuye en 2 
y comienza con 7. 
Con frecuencia es más difícil darse cuenta de una característica de los 
pares ordenados del conjunto solución, particularmente si la proposición 
es complicada; por ejemplo, si su "verbo" es � en lugar de ::::, o si los 
conjuntos de reemplazamiento para las variables son conjuntos muy grandes, 
por ejemplo, R. 
Como ejemplo, consideremos la. proporción abierta "m + n � 2", donde 
el conjunto de reemplazamiento para cada 'una de las variables m y n es J. 
Describamos 'su conjunto de verdad: 
{(m, n) l m & j, n & j, y m + n $ 2}. 
Desde luego, lo que acabamos de expresar describe al conjunto, ¿pero 
no podemos hacer algo mejor? No es difícil encontrar un número de parea 
ordenados que pertenezcan a este conjunto de verdad; por ejemplo: 
(1, 1 ) , (1, 0), (0,0) , (2,0), (-1, 2), (-1,3) , (4,-3). 
26 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES 
Pero enumerarlos de modo tal que muestren alguna característica es 
difícil. ¿Hay alguna otra forma de describir este conjunto? ¡ Si pudiéramos 
mostrarlo gráficamente! 
Veamos otra vez la proposición abierta que acabamos de considerar, 
"x + y :;;; 2" (recuérdese que el nombre que demos a las variables no im­
porta) ; pero establezcamos como conjunto de reemplazamiento'para ambas 
variables a R, el conjunto de los números reales. Hay ahora'·todavía más 
pares ordenados en el conjunto ;de verdad ; por ejemplo, ( !. 1 i), ( H, i), 
(?T, -2), (·V2, 3). E l problema d e cómo indicar una lista completa d e estos 
pares es insuperable. ¿Estamos, pues, reducidos a decir únicamente que el 
conjunto de verdad es { (x, y) J x e R, y e R, y x + y < 2) y quedarnos en 
eso? Esta es una descripción precisa, desde luego, pero no nos dice intuiti­
vamente mucho de lo que el conjunto de verdad es realmente. De nuevo 
sentimos que si solo tuviéramos un modo de representar gráficamente el 
conjunto, las cosas serían bastante más claras. Afortunadamente un modo 
tal existe, y después de algunos preliminares lo discutiremos. 
El métgdg tgbu!er 
Con frecuencia es conveniente usar un procedimiento tabular de enu­
meraci6n de algunos de los pares ordenados del conjunto de verdad de una 
proposición abierta. Ocasionalmente podemos, incluso, evaluarlos todos, como 
en el siguiente ejemplo. En la página 22 considerábamos la proposición 
abierta "(2 X 0 ) + D. = 9", con N como conjunto de reemplazamiento 
para cada una de las variables. Encontramos que el conjunto ,de verdad 
{(0, .6.) 1 0 e N, .6. eN, y (2 X 0) + .6. = 9) 
era { ( 1, 7), (2, 5) , (3, 3), (4, 1 )}. Podemos enumerar sus elementos eficien­
temente en una tabla, como mostramos en )a figura 4. El 1 en la columna O 
o .6. 
1 7 
.2 5 
3 3 
4 1 
{(2 X 0) + .6. = 9, D e N, .6. eN}. 
FIGURA 4 
tiene que emparejarse con el 7 eil la columna .6. para que se obtenga el par 
ordenado (1, 7 ) . Los números que se encuentran en el rcngl6n siguiente 
forman el par ordenado (2, 5), y así sucesivamente. 
El MBODO TABUlAR 27 
o !::, 1 7 
2 5 
3 3 
4 1 
5 -1 6 -3 
{(2 X 0) + 1:::, :::: 9, O t: N, 1:::, e.J}. 
FIGURA 5 , 
Desde luego, no siempre es posible tabular el conjunto de verdad en su 
totalidad. La figura 5 nos muestra una tabulaci6n parcial del conjunto de 
verdad para la, misma proposición abierta " ( 2 X O} + 1:::, = 9", cuando 
el conjunto de reemplazamiento para O sigue siendo N, pero es ] el con­
junto de reemplazamiento para 1:::, . Las columnas de puntos indican que la 
tabla es incompleta. 
GRUPO DE EJERC:ICIOS 3 
1. Dígase explícitamente cuáles son los conjuntos de pares ordenados si. 
guientes. En los ejercicios la y le, el conjunto de reemplazamiento dado 
es el conjunto de reemplazamiento para ambas variables: 
a) El conjunto de verdad de O + 1:::, = 5; conjunto de reemplaza­
miento: N 
b) {(x,y) l x e N, y e N, y x + y = 5} 
e) El conjunto de verdad de m + n < ,2; conjunto de reemplazamien­
to: W 
2. Encuéntrense, al menos, cuatro elementos de cada uno de lo.s siguientes 
conjuntO$. El conjunto de reemplazamiento, cuando se da, es para ambas 
variables: 
a) El conjunto de verdad de x = y; conjunto de reemplazamiento: R 
b) El conjunto de verdad de O + !::, = 2, conjunto de reemplazamien­
to: J 
e) {(m,n) 1 m e ], n. e ], y m + n = 2} 
28 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABlES 
d) {(0, 6) I O �t R, D. r. R, y 0 < .6.} 
e) E l conjunto d e verdad d e ·(2 X O) - D. < O ; conjunto d e reempla­
zamiento: f 
3. Escríbanse en forma tabular las contestaciones a los ejercicios l a y 2.b. 
ljffifisq§ de pQ[ftS grd;qndp� J 
El lector recordará que cuando grafkábamos proposiciones abiertas de 
una variable -es decir, cuando· graficábamos sus conjuntos de verdad-, 
utilizábamos una recta numérica1. Parece razonable pensar que para graficar 
los conjuntos de verdad de proposiciones de dos variables, deberemos em­
plear con ventaja dos rectas numéricas. Pero, ¿cómo hacerlo? Fue una 
gran contribución a las matemáticas que René Descartes ( 1596-1650), filó­
sofo y matemático francés, conc�biese la idea de colocar dos rectas numé­
ricas, una horizontal, vertical la otra, de manera que se cortasen en el punto 
cero de cada una, tal como se muestra en la figura 6. Resulta que este plano 
coordenado es precisamente lo que necesitamos para representar pares or­
denados de números y, por tant9, para representar el conjunto de verdad 
qe una proposición abierta en d� variables. La gráfica de un par ordenado 
de números será un punto --qué representaremos por medio de un pul'íto 
5 
4 
3 
2 
-.. 
2 3 4 5 
El plano coordenado. 
FIGURA 6 
GRÁFICAS DE PARES ORDENADOS 29 
físico- en el plano determinado por las dos ,rectas numéricas que se ínter­
secan -por ejemplo, el plano de la hoja de papel o del pizarrón sobre el 
que se han dibujado las rectas. 
Al describir cómo localizar el punto que es la gráfica de un par ordenado 
dado, será conveniente tener un nombre para el punto en el cual las dos 
rectas numéricas se cruzan; se llamará origeJ.t. Localicemos ahora el punto 
que es la gráfica del par ordenado (3, 2 ) . Comenzamos en el origen y "co­
rremos" tres Wlidades hacia la derecha. D�pués corremos dos unidades 
perpendicularmente hacia arriba, y allí localizamos el punto. Esto es lo que 
se muestra en las dos gráficas de la figura 7. 
4 
3 
2 
o 
"3 "2 "1 o 
"1 
"2 
"3 
(9.) 
�(3,2) 
2 3 4 3 1'2 
segundo 
componente 
4 
3 
2 
1 
o 
'l "1 o 1 
"'2 
"3 
(b) 
(3.2) 
12 ;:s 
Gráfica del punto (3, 2) en -el plano coordenado. 
FIGURA 7 
� 
primer 
componente 
La línea de puntos de la figura 7(a) muestra la ruta (hacia la derecha 
3, hacia arriba 2) que seguimos para alcanzar la gráfica de (3, 2) y de ahora 
en adelante debemos ignorarla. La figura ,7 (b) difiere de la figura 7 (a) 
solamente en' que se han trazado rectas horizontales y verticales por los 
"puntos enteros" de las dos rectas numéric�s originales. Todas estas rectas 
forman una malla o red que nos hace más sencillo encontrar nuestro ca· 
mino. El papel en el que ya aparece impresa tal malla o red se llama papel 
para gráficas o papel cuadriculado. 
¿Por qué comenzamos por correr tres unidades horizontalmente hacia 
la derecha a partir del origen, en lugar de subir verticalmente? Esto no es 
30 PROPOSICIONES: ABIERTAS EN DOS VARIABlES 
nada más que un convenio, pero uno muy fuerte. Casi siempre asociamos 
la dirección horizontal con el primer componente del par ordenado y la 
dirección uertical con d segundo componente. Los economistas a menudo 
hacen precisamente lo contrario. Pero, ¿por qué corremos tres unidades 
a la derecha en lugar de a la izquierda? También esto nada más que por 
otro poderoso convenio: que las unidades que están hacia la derecha y 
hacia arriba han de considerarse positivas, y las que están hacia la izquier­
da y hacia abajo, negativas. A�í pues, medimos tres unidades a la derecha 
del origen sobre la recta numérica horizontal; si hubiésemos corrido hacia 
la izquierda estaríamos en ·3. Análogamente, al correr dos unidades ha­
cia arriba --después de haber corrido tres a la derecha- estamos enfrente 
del 2 que está sobre la recta numérica vertical, en lugar de estar enfrente del 
·2, adonde habríamos llegado si hubiéramos corrido hacia abajo. No hay 
nada, sin embargo, que nos obligue a obedecer estos convenios, y un mate­
mático no vacilaría en violarlos si por cualquier raz6n pareciera preferible 
para determinado problema. 
Las anteriores observaciones sugieren la forma en que localizaríamos un 
punto correspondiente a un par de números que tuviera, al menos, uno de 
sus componentes negativo. Para localizar ( ·3, 1 ) ; es decir, para localizar el 
punto correspondiente a (-3, 1), o que tiene -3 y 1 como coordenados, co­
menzamos corriendo tres unidades hacia la izquierda a partir del origen, 
y luego una unidad hacia arriba. Para localizar (-2, -3), corremos dos uni­
dades hacia la izquierda desde el origen, y Juego tres unidades hacia abajo. 
Para localizar ( 1-!, -2!), corremos una y media unidades hacia la derecha, 
y luego dos y un tercio unidades hacia abajo. Todos estos puntos aparecen 
gralicados en la figura 8. 
¿Y qué ocurre si uno o ambos componentes de un par ordenado son O? 
Lo único que tenemos que hacer es interpretar la instrucci6n "correr O uni­
dades" como si significaran "qpedane en donde se está". Esto puede, sin 
embargo, causar alguna confusion por dos razones. Primera, a algunas per­
sonas les parece contradictoriala idea de que O sea algo, a pesar de que O 
es un número perfectamente correcto. En segundo lugar, y esto confunde 
más, cuando seguimos las instf\lcciones para localizar (-4, O), digamos, co­
rriendo cuatro unidades hacia la izquierda y luego quedándonos allí, nos 
encontramos en el punto marcado -4 en la recta horizontal. Pero -4 no es 
lo mismo que (·4, O). Lo que ha sucedido ha sido esto: El r6tulo -4 se dej6 
allí desde el tiempo en que est�bamos considerando solamente la recta nu­
mérica horizontal. Dejamos tales rótulos sobre la recta numérica, simple­
mente porque nos resultaba conveniente para localizar puntos en el plano. 
Es importante tener presente q1,1e todos los puntos en el plano, estén o no 
en una de las rectas numéricas originales, tiene dos coordenadas. La figu-
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS DE DOS VARIABLES 31 
ra 8 muestra varios puntos que representan pares ordenados con un com­
ponente igual a O. 
Nótese en la figura 8 que las gráficas de (3, 2) y (2, 3) están localizadas 
en puntos distintos del plano. Como debe ser, puesto que los pares ordenadQs 
son distintos. 
('4.4 
3.1) 
4.0) 
4 3 -2 
segundo 
componente 
5 
4 
3 (0.3) 
2 
' 
o 0.0) 
1 o � ·¡ 
Jl(0:2' 
2,3) 
(3.2) 
(2.0) 
¡2 3 
2:31 .3 1\:-2 ) 
(44) 
4 
primer 
componente 
Gráficas de puntos en el plano coordenado. 
FIGURA 8 
La cuadrícula de la figura 8 recuerda el plano de las calles de una ciu­
dad. La verdad es que pensarlo de este modo nos ayuda a aclarar las ideas 
que hemos estado presentando. El lector puede pensar en fas rectas verti­
cales como si representaran calles y en las hc>rizontales como si representaran 
avenidas. Entonces, la "dirección" { -3, 1) éstá en la intenecci6n de la ter­
cera calle negativa y la primera avenida positiva, mientras que (2, O) está 
en la intersección de la segunda calle positiva y la avenida cero. 
<;¡ráfjs¡ts. de pmpg§kjgges qhiertgs de dos ygrjgbl¡¡ 
Ahora que podemos representar gráficamente pares ordenados de nú­
meros, es fácil representar conjuntos de p�res ordenados y, por tanto, los 
conjuntos de verdad de las proposiciones a�iertas. 
Como ejemplo, veamos una vez más la proposición abierta "(2 X 0) 
+ b, == 9", con N como conjunto de reemplazamiento para ambas varia-
32 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES 
D. 6 
a 8 
1.7) e(1.7) 
6 6 
2.5) •(2,5) 
4 
4 
3Jl •(3.3) 
� 2 
(4,Í) •(4,1) 
(1 o 1'2 o 2 4 o .2 o 2 4 o 
"2 "2 
(a) (b) 
Gráfica de (2 X 0) + � = 9, Q t: N, � e: N. 
FIGURA 9 
bies. Ya vimos anteriormente que el conjunto de verdad es { ( l, 7), (2, 5}, 
{3, 3), (4, 1 )}. 
Las figuras 9(a) y 9(b) m�estran la representación gráfica de este con· 
junto de verdad, es decir, la gráfica de la proposición abierta. Rotulamos 
las dos rectas numéricas con "O" y "�" para que quede claro que los 
reemplazamientos para O, es decir, los primeros componentes de los pares 
ordenados, están asociados con la dirección horizontal y que los reempla­
zamientos para la � están asociados con la dirección vertical. Aquí hemos 
suprimido la cuadricula porque hace excesivamente denso el dibujo. De 
aquí en adelante la suprimiremos siempre. Si el lector lo desea puede di. 
bujar la cuadricula. El conjunto de verdad en el caso que acabamos de 
considerar era relativamente s�ncillo. 
Con todo, supongamos que el conjunto de reemplazamiento para las 
variables en "(2 X O) + � = 9" es R, en lugar de N. Ahora el conjunto 
de verdad ( (0, l:l) 1 O e R, ·6 e R, y (2 X O) + !:l = 9} contiene in­
finitos pares ordenados. Enumeremos algunos de ellos en una tabla, figu· 
ra lO( a) y, al hacerlo, localicen)os los puntos correspondientes, figura lO(b). 
Después de un momento notamos que parece haber una línea recta que 
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES A&IERTAS DE DOS VARIABLES 33 
contiene a todos estos puntos. Parece ra:t.onable suponer que si todos los 
puntos correspondientes a los pares ordemidos del conjunto de verdad 
pudieran ser graficados, llenarían tal recta. Dibujamos, por ello, toda la 
recta y decimos que es la gráfica de ]a proposición abierta. Esto requiere 
cierta dosis de fe por parte nuestra. Una rania de las matemáticas, llamada 
geometría analítica, nos da los medios para probar que la gráfica de e�ta 
proposición abierta es, ciertamente, la recta -que hemos trazado. 
o 6 
l 7 
2 5 
3 3 
4 1 
5 .1 
6 .3 
o 9 
"1 11 
l 8 
� 6 "4 s o 
(a) (b) 
Gr§.fica de (2 x 0) + 6. = .9, O &R, 6. &R. 
FIGURA 10 
Consideremos l a proposici6n abierta "m + n < 2", con 1 como con junto 
de reemplazamiento para las dos varíablcs. Este ejemplo ya s� consideró 
brevemente en la página 14. Quizá la manera más sencilla de graficar esta 
proposición es comen7.ar con la gráfica de m + n = 2, con J, también, 
como conjunto de reemplazamiento. El primer paso se muestra en la fi­
gura 1 1 como el conjunto diagonal de puntos agrandados. N6tcse que la 
suma de las coordenadas del punto representado por cualquiera de estos 
puntos gran�es es exactamente 2. Ahora, al observar cualquiera de estos pun­
tos, el lector puede ver que todo punto que se encuentre directamente -es 
decir, verticalmente- debajo de él, tiene la misma primera coordenada que 
el punto agrandado, pero una segunda coordenada menor que la suya. Lue­
go, la suma de estas cordenadas es menor que 2. Así que cualquiera de esos 
puntos que tenga coordenadas enteras está en la gráfica de m + n < 2 con 
1 como conjunto de reemplazamiento para m y para n. Para ilustrar lo 
34 PROPOSICIONeS ABIERTAS EN DOS VARIABLES 
dicho, comencemos con ( -1, 3) . . A medida que recorremos para abajo su ce� 
sivas unidades de distancia, llegamos a ios puntos correspondientes a (-1, 2 ) , 
(-1, 1 ) , (-1, 0), (-1, -1), etc. En todos los casos, la suma de los componentes 
es i�al o menor que 2, por tantp, todos estos puntos están en la gráfica del 
conjunto { (m, .n) J m e ], n e ], y m + n. < 2}. La gráfica de la proposi­
ción abierta dada, consiste, pues, en una especie de ''triángulo infinitp", 
una parte del cual aparece en la figura 11. Tal gráfica se llama, a veces, 
"grúfica incompleta", pero ordinariamt•ntc el nombre se omite cuando el 
conttxto implica que la gráfica es un tri{,ngulo infinito. 
n 
7 
• 6 
• • 5 
• • • 4 
• • • • 3 
. • • • 2 
• • . • 1 • 
o 
""T· ·z '1 o 2 3 4 m • • . . . , • • • 
• . • • '2 • • . • 
• • • • '3 • • • • • 
Gráfica de m + n ,:$ 2, m & J, n t: /. 
(gráfica incompleta) 
FIGURA 1 1 
De la figura 1 1 podemos sacar la gráfica de m + n < 2 con J como 
conjunto de reemplazamiento para cada una de las variables. Todo lo que 
tenemos que hacer es borrar la recta diagonal r.uperior de ·puntos. 
Las gráficas de las proposiciones ".t' + y S:; 2" y ·"x + y < 2", con R 
como conjunto de reemplazamiento para ambas variables en las dos pro­
posiciones puede construirse de un modo análogo al que acabamos de des­
cribir. Se muestran en las figuras 12(a) y 12(b), respectivamente. Nótese 
que hemos optado por indicar la presencia en la gráfica 12(a) de los puntos 
sobre la recta x + y = 2, tales como (3, -1) y (-�, ll), mediante el dibujo 
de una recta continua, mientras que su ausencia la indicamos en la gráfica 
l2(b) mediante una rt-cta interrumpida -de trazo interrumpido. En cual­
quiera de ambos casos todos los puntos que se encuentran debajo y a la 
izquierda de la recta diagonal, están en la gráfica. 
GRÁFICAS DE PROPOSICIONES ABIERTAS DE DOS VARIABlES 
y 
4 
3 
3 
Gráfica de x + y � 2, :c & R, y �: R. 
(a) 
y 
4 
3 
4 X 
3 4 X 
Gráfica de x + y < 2, x E R, y E R. 
(b) 
FIGURA 1 2. 
35 
36 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLES 
En los ejemplos ant<·rion$, hemos <'stado usando con mucha libertad 
el síwbo)o ''<". tina de las pw¡losicimws mús st'll<:illus que pueden íonnarse 
con este símbolo de ord .. n t�s 
.'( < )'. 
En la sección siguiente m·t�t�sitarcmo� la gt·Mica <.le esta pn1po:;ición. La 
mostrrunos t•n la figura 13 par·a 1•l caso 1�11 que el conjunto de reemplaza­
miento para cada una de Jas variabks es R. Hemos rotulado unos cuantospuntos para firws de c:ontml: d punto (3, 1 ) 110 l'Stá l'Jt la gráfica, ya que 
3 -( t. 
y 
�3,1) 
Cráfk.a de x < y, x E ll, y 1: R. 
FIGURA 1 3 
R'992§i'ͺPft§ cgmg'!ft§ÍQfi liP QQ§ vgngble§ 
A Jo largo de toda esta scr..ción, el cClnjunto de reemplazamiento para 
todas las variables que aparc"can será R. 
Fonnemos una proposición conectando las siguientes proposiciones sim­
ples con la conjunción "y" : 
(2 X 0) + /::, = 9; 
0 = 4 X �. 
Obtenemos la proposición compuesta 
(2 X 0) + /::, = 9 y 0 = 4 X /::, 
PROPOSICIONeS COMPUESTAS EN DOS VARIABLES 37 
Nos gustaría encontmr d conjunto d(· \'f'rdad de t•sta proposidón. H•:mos 
considerado ya la prinwra de las d'•s proposidoJI(:S simples, y con l'ierto 
detenimiento, en las p:íginas 22 a �+. La pmpn-;ición "O = + X 6" l'.S 
fácil de analizar; alg¡mos de los par(•s or<h:nados el� su conjunto de wrdad 
son (8, 2), (-4, -1}, (2, � ) , (O, O) , (4, l ) ! (.J. v'2, y'2). Rc·cuét"(lt·sc qu•� lu�­
mos convenido en que el conjunto de rcempla�atnil·nto será R. Ahora hit•n, 
\ó 
10 
(a) ((2 X 0 ) + !::;. = 9}. 
8 0 
t::. 
10 
6 
6 
4 
(b) 10 = 4 X D,). 
6 
10 
8 
6 
2 
o 
o 2 
(4.1) • 
4 8 0 
(e) { ( 2 X 0 ) + D, =9}; {0=4Xb,}. (d} { ( 2 X 0 ) + D, =9 y 0=4Xb,}. 
Pasos para graficar una prop9sici6n compuesta. 
FIGURA 14 
38 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIABLE$ 
un par ordenado hace que la proposición sea verdadera si y sólo si hace que 
las ·dos proposiciones simples s�an verdaderas. N otcmos que el par ( 4, 1) 
verifica t'Sto y está, por tanto, eh el conjunto de \'Crdad, 
{ (0, 6) 1 ( 2 X O) + !::, = 9 y o = 4 X 6), 
de la proposición compuesta. ¿Hay algunos pares ordenado� •más en este 
conjunto de verdad? Después de algunas investigaciones, que quizá impli­
quen la construcción de una tabla para cada una de las dos proposiciones 
simples, comen amos a sentirnos convencidos de que ( 4, 1) es, ciertamente, 
el único. 
Esta conclusión se refuerz.a cuando miramos las gráficas. El conjunto 
de verdad de esta proposición compuesta de tipo "y" es la intersección de 
los conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Por tanto, la grá­
fica de la proposición compuc�ta es la intersección de las gráficas de las 
proposic.iones simples. La gráfica de "(2 X O) + !::, = 9'' se obtuvo en 
la figura 10; la reproducimos en la figura 14(a). La gr:lfica de "O = 4 X 
.6.'' no es difícil de trazar. Es 'una línea recta, tam.bi�n, como se muestra 
en la figura 14 ( b) . En la figura 14 (e) hemos vuc lto a dibujar estas dos 
gráficas en un mismo plano. Resulta evidente ahora que su intersección es 
un solo punto, a saber, el asociado con (4, 1 ) . La figura 14(d) muestra la 
gráfica de la proposición t"ompuesta. 
Estamos ahora convd1cidos de que 
{ ( 0, 6 ) : ( 2 X 0 ) + !::, = 9 y 0 = 4 X !::, } = { ( 4, 1 ) } ; 
es decir, el conjunto de verdad de la proposición compuesta 
(2 X 0) + 6 = 9 y 0 = 4 X 6 
es l'i conjunto cuyo único elem�nto es el par ordenado (4, 1 ) . 
EstudiC'mos ahora una proposición compuesta cuyo conjunto de verdad 
ticnt.' más elementos; por ejemplo, 
X < y y X + y < 2. 
Las dos proposiciones simples que aquí se asocian se estudiaron en la 
sección precedente. De nuevo deseamos encontrar el conjunto de verdad 
{ (:�, y) l x < y y x + y < 2} 
de la proposición compuesta. Este conjunto contiene muchos pares orde­
nados: (0, 1 ) , (�, �), (-3, 2), (-2, -1 ) , para nombrar unos cuantos. El 
lector debe vcrific.ar que estos pares están realmente en el conjunto de 
verdad de la proposición compuesta. Recuérdese que cada uno de ellos debe 
hacer verdaderas a ambas proposiciones. Parece que probablemente la 
PROPOSICIONES COMPUff>TAS EN DOS VARIABLES 39 
y 
__ _ ::.-= =-, 
(a) {x < y}. (b) {x + y < 2}. 
(1.1) 
(e) {x < y} ; {x + y < 2} . 
Pasos para graficar proposiciones de desigualdad compuestas. 
fiGURA 1 5 
mejor forma de describir d conjunto en cuestión es el de representarlo di­
bujando su gráfica. Para hacer esto, comenzamos por dibujar las gráficas de 
"x < y" [íig. lS (a)] y de "x + y < 2" [fig. 15(b)]. Después las volvemos 
a dibujar en un mismo plano como aparece en la figura 15(c) . Después de 
alguna práctica, los pasos (a) y (b) pueden omitirse. Usamos ahora el he· 
cho de que el conjunto de verdad de una proposición compuesta del tipo 
"y" es la in�crsccción de los conjuntos de verdad de las proposiciones sim· 
pies que se unen para fonnarla. Supcrponici\do la gráfica de uno de los con­
juntos de verdad sobre la del otro, podemos ver que la gráfica del conjunto 
de verdad de la proposición compuesta es la parte del doble rayado de la 
figura 15( e) . En la figura 15 ( d) se ha simplificado el dibujo de manera 
que el conjunto que b•ascamos aparezca mejor. 
40 PROPOSICIONES ABIERTAS EN DOS VARIAilLfS 
Formemos ahora un tipo dif�rcnte de proposición compuesta conectando 
las mi.o;mas dos proposiciones simples c.on la conjunción "o" : 
El conjunto de vl'rdad 
.'1: < y O X + y < 2. 
{ (x, y) 1 x < )' o >: + y < 2} 
dr. rstc tipo de proposición "o"· consiste en todos los pares ordenados que 
hacen que las proposiciones de cualquiera de las proposiciones abiertas 
simples sean verdaderas 
x < y 
.Y + Y < 2. 
Es deci .. , el conjunto de verdad de la proposición compuesta es la 
unión de los conjuntos de verdad de las dos proposiciones simples. Este 
hecho facilita el trazo de la gráfica de la proposición compuesta; és, sim­
plemente, la unión de las gráficas de las proposiciones simples. Este conjunto 
aparece en la figura 15 (e) como toda 1a parte del dibujo que está som­
breada. La mostramos en la íigura 16. Recuérdese que una línea interrum­
pida indica que todos los puntos ltasta la línea están incluidos, pero que no 
�stán incluidos los puntos situados sobre la linea interrumpida -de trazo 
interrumpido. En particular, el par ordenado (1, 1 ) no hace que sea ver­
Qadera la proposici6n compuesta. 
( x < y o x + y < 2}. 
FIGURA 16 
PROPOSICIONES COMPUESTAS EN DOS VARIABLES 41 
En conexión con esto, podemos hacer notar que la uni6n de las dos 
.rt•<·tas de la figura 14( c.), página 37, es la grá(ka de la proposición c.om­
pucsta 
(2 X 0) + l::. = 9 o 0 = 4 X l::.. 
GRUPO DE EJERCICIOS 4 
l. Grafíquense las siguientes proposiciones en el mismo cuadro. Como con· 
junto de reemplazamiento tomaremos a 8, el conjunto de los números 
reales, 
a) )' = x. b) y = 2 X x. e) y = 3 X x. 
2. Grafíqucnsc cada una de las siguientes proposiciones en cuadros separa· 
dos, usando W = {0, 1, 2, . . . } como conjunto de ret'mplazamicnto: 
a) O + l::. = 2. b) D + t::. < 2. e) O + l::. > 2. 
3. Grafíquense cada una de las siguientes proposiciones compuestas, usando 
R como conjunto de reemplazamiento: 
a) x + y > 2 y y < L b) ·" + y > 2 o y < l . 
RELACIONES 
En las secciones precedentes hicimos uso de los shnbolos "<" y ";::: ··, 
que se usan en lugar de las frases "es menor que" y "es mayor o igual que", 
respectivamente. Ahora, cada una de estas frases puede considerarse como 
el nombre de una relación que existe entre 'los elementos de ciertos pares 
ordenados de números. Pot ejemplo, 1a relación es menor que existe entre 
2 y 5, en este orden. 
Unas cuantas frases que parece denominan a relaciones entre pares de 
cosas aparecen a continuación. 
Nombre de la relad6n Cos:lS que se relacionan 
es un múltiplo de • • • • • • • • • • • • • • • • enteros 
tiene pelo más claro que • . • • • • • • • • persona• 
l'S paralela a . • • • • . . • . • • • • . . . • • • • líneas rectas 
es \tn hl'mumo de • • . . • • • • • • .
.
• • • . • personas 
es \In subconjunto de • . . • . • • . • • . . • conjuntos 
es congruente con . • • . • • . . . • • • • . . . triángulos 
da mb )�che que . . • • • . . . . , • • . . • ,·acns 
no es igltal a • • • • • . • • • • • • • • • • . • • • números 
es el cuadrado de . . • • . . . • • • • . • • • • números 
.42 RELACIONES 
En la siguiente sección decidiremos exactamente qué es lo que queremos 
expresar por relación,daremos una definición bastante técnica de la palabra 
''relación" y estudiaremos, después, ciertas clases de relaciones que son de 
particular importancia en matemáticas. 
Pefjgjsjég de lg Qglqbm ''reladég" 
Casi todo el mundo cree conocer lo que significa la palabra relación; 
pero si se le precisa a que diga e.xactamcnte lo que es una relación, lo más 
probable será que se limite a dar algunos ejemplos. En matemáticas no se 
definen las cosas dando ejemplos de ellas, aunque es verdad que los ejemplos 
ayudan a cualquiera a entender lo que significa una definición. Lo que aquí 
requerimos, en términos tan simples como sea posible, es una proposición 
que diferencia cada ente que sea una relación de todos aquellos entes que 
no lo sean. 
Al intentar formular una definición tal es perfectamente admisible 
que algunos ejemplos específicos nos guíen. ¿ Qué es lo que tienen de común 
todas las frases de la lista anterior? Cada uno es parte de una proposición 
sobre un par de cosas; por ejemplo, "12 es un múltiplo de 3", ''Mary tiene 
el pelo más claro que Juan'', y "Blanca da más leche que Pinta". Si el 
lector no está seguro de lo que la frase es un múltiplo de significa, puede 
saltar hasta la página 47 en .donde se discute esto con cierto detalle. Por 
otra parte, el orden de los <:lemcntos del par de cosas ha de tenerse en 
cuenta. Por ejemplo, "12 es un múltiplo de" es una propQSición verdadera, 
mientras que "3 es un múltiplo de 12" es falsa. 
Todo esto nos hace recordar nuestra discusión sobre las proposiciones 
abiertas. Es claro que cada una de las frases de que hemos estado hablando 
puede asociarse de un modo natural con una proposición abierta simple en 
dos variables: "O es un múltiplo de 6", "x tiene el pelo más claro que y'', 
y así sucesivamente. Ahora bien, ¿qué es realmente lo que queremos que 
sea la relación indicada por es un múltiplo de? Podíamos decir que es la 
proposición abit�rta "O es un múltiplo de 6", pero preferimos decir que es 
el conjunto de verdad de esta proposición. Según este acuerdo, la relación 
es un múltiplo de es el con junto { (O, 6 ) 1 O es un múltiplo de 6}, la 
relación tiene el pelo más claro que es el conjunto { (x, y) 1 x tiene el pelo 
más claro que y}, y así sucesivamente. Desde luego, los conjuntos de reem­
plazamiento deben, en cada caso, especificarse. La ventaja que tiene tomar 
el conjunto de verdad como la relación, es que nos dice exactamente qué 
cosas se considera que están relacionadas con qué otras cosas. Es decir, si el 
par ordenado (a, IJ) es uno de los elementos ele CÍ\:rta relación, entonces 
sabemos que a está relacion:vl" ron b por t:><;-� relación. 
DEFINICIÓN DE LA PALABRA "RELACióN" .43 
No hemos terminado del todo. Sabemos qué es lo que entendemos por 
cualquier relación específica como, digamos, es un múltiplo de. Pero, ¿qué 
es una relación en gen�ral? Es decir, ¿qué cosas son relaciones y qué cosas 
no lo son? Para contestar esta pregunta, veamos qué es lo que tienen en 
común todas nuestras relaciones específicas. Para comenzar, todas ellas son 
conjuntos de pares ordenados. Pero esto es también todo lo que encontra­
mos como rasgo común. ¿ Qué más es lo que tienen en común conjuntos 
tales como {(12, 3), ( 18, 3) , (8, 2) . . . }, { { María, Juan ) , (Juan, Elena), 
. . . }, etc.? ¡Nada! Nos vemos, pues, casi C:ompletamente obligados a dar 
la siguiente definición: 
Una relación es un conjunto de pares ordenados. 
Esta definición tiene ciertas ventajas. Solo usa términos elementales, 
"conjunto" y "par ordenado" ; y discrimina completamente. No deja duda 
alguna sobre si una cosa es una relación o no. Por otra parte, no parece 
amoldarse a nuestra idea intuitiva sobre Jo que es una relaci6n. Probable· 
mente la. razón para esto es que tenden1os a pensar en relaciones específicas; 
relaciones que tienen nombres o que pueden describirse con facilidad. Como 
ejemplo de esta dificultad, consideremos { (Tombuctú, Roma), (Roma, 
Londres), (Tornbuctú, Londres) } . De acuerdo con nuestra definición, este 
conjunto de pares ordenados es una relación. ¿Pero qué relaci6n es? ¿Cuál 
es su nombre? Podría ser tiene una población más pequeña qtte, o está sÍ· 
tuada al Sur de, o alguna otra cosa. Sin embargo, subsiste el hecho de que 
la única cosa común a todas las relaciones es que todas ellas son conjuntos 
de pares ordenados. 
Una palabra más acerca de la terminología. En muchas situaciones im· 
portantes, una relación dada asocia alguno;; elementos de cierto conjunto 
con otros elementos del mismo con junto. ESte es el caso de todas las rela­
ciones que enumeramos en la página 41. Di;eimos entonces que la relación 
está definida sobre ese conjunto. En términos más técnicos, una rela. 
ción está definida sobre un conjunto A si los dos componentes de cada uno 
de los pares ordenados de la relación son elemento A. Algunas veces abre­
viamos esa fr�seología y simplemente decirnos que una relación está sobre A. 
Por ejcmploj la relación es un múltiplo de está definida sobre ], los enteros ; 
da más leche que está definida sobre cualquier hato de ,·acas; y es el cua· 
drado de está sobre R, el conjunto de Jos .números reales. Esto no quiere 
decir que estas relaciones no puedan definirse sobre otros conjuntos. Por 
ejemplo, es un múltiplo de está también définida sobre N, el conjunto de 
los n!'1meros naturales. 
RELACIONES 
No todas. las relaciones están ddinidas sobre un solo conjunto. Por �;j(:m­
plo, nació en el año -como ''Juan nació en d aiío 1958"- relaciona gentes 
con enteros.• Más adelante consideraremos estas relaciones. 
Gjemplo de 'elgdep&» 
Quizá sea de ayuda para aclarar la idea de n•lación como conjunto 
de pares ordenados que consideremos un ejemplo en el•que algunas rela­
ciones pueden enunciarse explícitamente en forma total. Consideremos la 
familia Pérez, que consiste en el matido, la esposa, dos hijos varones y una 
hija. En la tabla III se dan algunos de sus datos fundamentales. 
TABLA lii 
LA I'AMILJA PÉRE:Z: 
Nombre Edad Peso Est;.tura (años) (lg) {m) 
El señor Pérez (papi) 42 7 7 1.87 
La señora Pérez {mamá) 40 57 1.68 
Tom&s J!) 6 1 1.80 
Edmundo 1 7 66 1.63 
Linda 15 43 1.53 
Hay muchas relaciones definidas en la familia Pérc7.. Es hermano de 
-hermano, no hermana- es una. De acuerdo con la secdón anterior, esta 
relación, como conjunto de pares ordenados, es el conjunto de verdad de la 
proposición abierta "X es lwrmano de Y", con la familia Pércz como con­
junto de reemplazamiento para cada una de las \'ariablt�S. Es drdr, esta 
rda<·ión sobre la familia Pércz es d conjunto { (X, Y) l X t•s hcnnano de 
Y}. Este conjunto t'!r suficicntemE:'nic pequeño para que podamos enumerar 
todos sus elementos, y cncontran¡os así que la relación es hermano de es 
{(Tomás, EdmundoL (Edmundo, Tomás), (Tomás, Linda) , 
(Edmundo, Linda)}. 
El lectm· puede convencerse de que cada uno de estos pares pertenece 
al conjunto sustituyéndolos uno por uno en la proposición abierta. Debe 
• El lector preparado podrá decir, con razón, que tal proposición está defi· 
nida en el conjunto unión dd conjunto de gentes con el conjunto de enteros. [N. 
del T.] 
EJEMPlO DE RELACIONES AS 
también asegurarse de que ningunos otros pares pertenecen al conjunto. 
Por ejemplo, pruébese el par (Linda, Tomás} en la proposición abierta. 
Antes ele dar más ejemplos de relaciones sobre la familia Pérez, y con 
el fin de abre\'Íar lo que tengamos que decir, convengamos en represen­
tar d nombre del señor Pérez por P (papá), el de la señora Pérez por lvf 
(malllá), el de Tomás por T, el de Edmundo por E, y finalm�nte, el de 
Linda por L. Entonces, la primera reladón definida sobre la familia Pé­
rez es 
C'S hermano de = { (T, E), (E, T), (T, L), (E, L) ). 
Algunas otras rdaciones definidas sobre la familia Pércz son 
es hijo de = { (T, P), (T, M) , (E, P) , (E, M), (L,P), (L, M) }. 
nació antes de haber pasado tres años de haber nacido 
= {(P,P), (P, M), (M, M) , (M,P}, (T,T), (T,E}, (E,E) 
(E, T), (E, L) ,(L, L), (L, E) } . 
Nótese aquí que, por ejemplo papá nació antes de haber pasado tres 
años el<� haber nacido papá. Si, arbitraria!llente, convenimos en que una 
persona es más grande que otra si y solo si es más alta y de mayor peso, 
ambas cosas, que esta otra, entonces 
es más grande que = {(P,M}, (P, T), (P,E), (P,L), (M, L) , 
(T, M), (T, L) , (E, L} }. 
Pruebe el lector nombrar algunas otras relaciones específicas definidas 
sobre la familia Pérez y t•numere después lo� pares ordenados del correspon­
diente conjunto. Algunos de estos pueden ser bastante extensos. Por ejemplo, 
es Jel mismo sexo qtte consta de 13 pares ordenados; contiene pares como 
(P, P) y tanto {P, T) como (T, P). 
GRUPO DE EJElCIC�OS 5 
1. EnúncÍ<',llSc explícitamente, como conjuntos de pares ordenados, las si­
guientes relaciones definidas sobre la familia Pérez de la sección prece­
dente: 
a) es la hermana de 
b) es hermano o hermana de 
e) es de más edad y más estatura que 
46 RELACIONES 
2. Encuéntrense al menos cuatro pares ordenados pertenecientes a cada 
una de las relaciones que abajo se indican : 
a) nació antes que, definida sobre el conjunto {Colón, Cieopatra, Eisen­
hower, Napoleón}. 
b) está situada al Este de, definida sobre el conjunto de todas las ciu­
dades de Estados Unidos. 
3. Encuéntrense dos frases que tengan dos significados diferentes, pero de­
nominen la siguiente relación, definida sobre el conjunto {Esfinge, Par­
tenón, Torre Eiffel}: (Esfinge, Partenón) , {Partenón, Torre Eiffel), 
(Esfinge, Torre Eiffcl) . 
GráHsgs de re¡adog¡¡ 
Hay dos fonnas estándar de representar las relaciones. Una, es por mi!· 
dio de diagramas de flechas, procedimiento que discutiremos en la siguiente 
sección; la otra, es por medio de gráficas. 
Comencemos por considerat· las gráficas de relaciones numéricas, es 
decir, de relaciones que están definidas sobre conjuntos de números. Vere­
mos primero la relación es menor que ( <), definida sobre R, el conjunto 
de los números reales. De acuerdo con nuestra definición, esta relación es 
precisamente el conjunto de verdad de la proposición abierta x < y, con R 
como conjunto de reemplazamiento, y a este conjunto de verdad ya lo 
hemos representado gráficamente en la figura 13. El dibujo de la figura 13 
es la gráfica de la relación es menor que definida sobre R. La gráfica en la 
figura 17, como la de la figura 13, es desde luego incompleta. 
y 
• • • • • • • 
• • • • • • 
• • • • • 
• • • • 1 
X 
• • • 
• • 
• 
La relación es menor que, definida sobre /. 
FIGURA 1 7 
GRÁFICAS DE RELACIONES 47 
Supóngase que consideramos ahora la misma relación es menor que, 
pero esta vez definida sobre J, el conjunto de los enteros. (Véase la figura 
17.) No es difícil ver que la gráfica consiste ahora en aquellos puntos de la 
gráfica que aparecen en la figura 13, correspondientes a pares ordenados 
cuyos dos componentes son enteros. 
En este momento podemos hacer una pausa para recordar que el con­
junto de verdad de toda proposici6n abierta en dos variables, es un conjunto 
de pares ordenados y es, por tanto, una relación. La segunda sección de este 
cuaderno ''Proposiciones abiertas en dos variables", nos proporciona, en 
consecuencia muchos ejemplos de relaciones y sus gráficas. Algunas de éstas 
son un poco difíciles de denominar verbalmente. Por ejemplo, discutimos la 
proposición abierta "m + n :::; 2" con J, el conjunto de los enteros, como 
conjunto de reemplazamiento. Si nos empeñamos, podemos construir una 
frase que denomine a la relación correspondiente. Por ejemplo, la frase 
da lugar a una suma que no es mayor que 2 cuando sumado a 
Ensáyese poniendo un 3 delante de la frase y un -¡ detrás de ella. Esto 
está muy lejos de frases tan sencillas como e� menor que o es la suma de, 
pero describe la relación en cuestión. El punto importante, no obstante, 
es que podamos pensar en un nombre adecuado para ella o no, {(m, n) 1 
m e J, n e:. J, y m + n :::; 2} es una relación definida sobre J. La figura 11 , 
muestra su gráfica. 
Vemos, pues, que nada nuevo tenemos que aprender para poder graficar 
relaciones porque ya sabemos cómo graficar conjuntos de pares ordenados 
de números. Daremos, sin embargo, un ejemplo más. 
Hemos hecho frecuentes referencias a la relación es un múltiplo de, 
definida sobre el conjunto J de los enteros. Observémosla en detalle y cons­
truyamos su gráfica. Para fijar la idea de múltiplo en nuestras mentes, 
preguntémonos cuáles son ]os múltiplos de 3. Cierto, 1 X 3, 2 X 3, y 3 X 3 
son algunos de ellos. Pero también ]o son O X 3, -¡ X 3, -2 X 3, . . . . Ve­
mos, pues, que todos los números . . . , -6, -s, O, 3, 6, 9, . . . son múltiplos 
de 3 ; y, por tanto, los pares ordenados . . . (-6, 3 ) , (-3, 3) , (O, 3 ) , (3, 3 ) , 
(6, 3 ) , (9, 3 ) , • • . están en l a relaci6n es un múltiplo de. Análogamente, Jos 
múltiplos de -3 son 
. . . , -2 X -3, -1 X -3, 0 X -3, 1 X -3, 2 X -3, 
y, consecuentemente, los pares ordenados 
. . . ' (6, -3)' (3, -3)' (0, -3 ) ' (-3, -3)' (-6, -3)' . . . 
están en la relación. Nótese que todos los pares ordenados en las dos listas 
son diferentes. Si graficamos los pares orden�dos que hemos obtenido hasta 
48 RELACIONES 
el momento, tendremos dos renglones de puntos, uno a tres unidades sobre 
la recta numérica horizontal, el otro a tres unidades por dehajo de ella. 
Repitamos el procedimiento para los múltiplos de O, los múltiplos de l y -1, 
de 2 y ·2, de 4 y de -4 (ya hemos graficado los múltiplos de 3 y -3), de 
5 y -5, etc. Nótese que el único múltiplo de O es el propio O, porque el 
producto de cualquier número por O es O. Los múltiplos de i son todos los 
enteros, que también son los múltiplos de -I. Cuando hayamos grafkado 
bastantes puntos, habremos obtenido la gráfica en forma de mariposa que 
mostramos en la figura 18. 
� 
3 
• 12 f9 ro � 3 6 ¡g 12 
.3 
"6 
La relación el un múltiplo de, definida sobre ]. 
FIGURA 1 8 
Podríamos haber abordado este problema de obtención de la gráfica de 
es un múltiplo de, en forma diferente: para un entero dado, por ejemplo 6, 
podríamos preguntar, ¿cuáles s.on los enteros del que es múltiplo? Como 6 es 
igual a cualquiera de los productos 1 X 6, 2 X 3, 3 X 2, 6 X 1, -6 X -1, 
-3 X -2, -2 X -3 y -1 X -6, pero no a ningún otro producto de enteros, 
vemos que 6 es un múltiplo de, exactamente, 6, 3, 2, 1, -1, -2, -3, -s. Por 
tanto, Jos pares (6, 6), (6, 3), (6, 2), (6, 1 ) , (6, -1), (6, -2) , (6, -3) y (6, -6) 
GRÁFICAS DE RELACIONES NO NUM�RICAS 49 
están en la relación, pero no está ningún otro par con 6 como primer com­
ponente. Cuando graficamos estos pares ordt·nados, obtenemos toda la parte 
de la gráfica que se encuentra directamente arriba y abajo dd punto de 
la recta numérica horizontal ·que tiene 6 com() rótulo. 
Insistimos en este momento ante el lector para que cicr·rc este cuaderno 
y grafique es un múltiplo de, definida sobre ]� por sí mismo -el papel cua­
driculado facilita la tarea. La construcción de esta grMira es un medio 
excelente de llegar a entender realmente lo que son los múltiplos de los 
enteros. 
�réfkgs de relgdopes go gumé[jss¡i 
¿Cómo -podemos graficar una relación que está definida sobre un con­
junto de cosas que no son números sino, por ejemplo, personas o vacas? 
Pongamos un ejemplo de técnica apropiada para estos casos. 
L • • L 
E • E 
T • T 
M M • • • 
p p • • • 
M T B L � M T B L 
es hcnnano de e.!l hijo de 
(a.) (b) 
L • • L • • • • 
E • • • E • 
T • • T • 
M • • M • • 
p • • p 
p M T E L p M T L 
se lleva rnencu de tres años con es más grande que 
(e} (d) 
Gráficas de relaciones definidas soqre la familia Pérez. 
FIGURA 1 9 
50 RELACIONES 
Recuérdese que en las páginas 44 y 45 considerábamos algunas relacio­
nes definidas sobre la familia :Pérez. Los elementos de la familia y los sím­
bolos que usamos para rcpres�ntarlos eran los siguientes: señor Pérez, P; 
señora Pérez, M; sus hijos, Tomás, T, y Edmundo, E; su hija, Linda L. 
Una de las relaciones