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Theodor Broecker_ Klaus Jaenich_ Juan Vázquez - Introducción a la Topología Diferencial-AC - Isamara Ojeda Aguilar
Desafio PASSEI DIRETO
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Introducción a la
Topología Dif er~ncial
Theodor Brócker
Klaus Janich
Universidad de Regerisburg
Editorial AC, Madrid
-l~)\>C.J o('' i -
1
(~) l~O
i,·.:'
t , .•
/'~. INTRODUCCION A LA TOPOLOGIA DIFERE'NCIAL
primera edición en castellano de la obra
EINFUEHRUNG IN DIE DIFFERENTIALTOPOLOGIE
publicada originalmente en alemán por Springer-Verlag.
Traducción: Juan Vázquez
Universidad Complutense
Edjtorial AC
Gutierre de Cetina, 61 - Madrid, 17 - España
~ 408 52 17
© 1973, Springer-Verlag
© 1977, Editorial AC
Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial de la obn
sin permiso escrito de los editores
ISBN: 84· 7288-011· 7
DL: M.· 10961 • 1977
Gráficas LORMO, Isabel Méndez, 15 - Madrid 'fl 477 56 07
Prólogo
El objeto de este ~bro es presentar los métodos geométricos realmente elementales.
Está dirigido a estudiantes con conocimientos básicos de análisis y topología ge-
neral.
Demostramos teoremas de inmersión difeomórfica, isotopía y transversalidad y,
como técnicas importantes, tratamos el teorema de Sard, particiones de la unidad,
sistemas dinámicos y (siguiendo el modelo de Serge Lang) sprays, suma conexa, en-
tornos tubulares, entornos collares y adjunción de variedades con borde a lo largo
de éste. ·
Como cualquier topólogo de hoy día, hemos aprendido mucho de los artículos
de Milrior [ 4, 5, 6], de los que se ·encuentran vestigios .en el texto. También, en
ocasiones, hemos utilizado la excelente presentación [3) de Serge Lang: evitar a
todo trance estas referencias no haría sino perjudicar a un libro de topología dife-
rencial.
· Los muchos ejercicios añadidos a cada capítulo no son siempre fáciles para el
principiante; no se· utilizan sus resultados en el texto posterior.
No se estudia en este libro análisis en variedades ( teorema de Stokes), ni teoría
de Morse, topología algebraica o teoría de brodismo. Esperamos, sin embargo, que
nuestro libró resulte una base sólida para un conocimiento más profundo de estos
dominios de la topología diferencial.
Regensburg, 197 3
T-heodor Brocker
Klaus J iinich
Contenido
1 Variedades y estructuras diferencia bles
2 El espacio tangente
3 Fibrados vectoriales
4 Algebra lineal para fibrados vectoriales
5 Propiedades locales y tangenciales
6 Teorema de Sard
7 La inmersión difeomórfica
8 Sistemas dinámicos
9 lsotopías de inmersiones difeomórficas
l O La suma conexa
11 Ecuaciones diferenciales de segundo orden y sprays
12 Aplicación exponencial y entornos tubulares •
13 Variedades con borde
14 Transversalidad
Bibliografía
Indice de símbolos
Indice
1
13
22
34
45
58
64
76
90
101
113
121
136
153
1.63
164
165
1 Variedades y·estructuras diferenciables
Una variedad es un espacio topológico que localmente "se parece" a IRn, el e~paciu
euclídeo de las n-tuplas reales x == (x 1 , ••• , Xn) con la topología usual. Tales cspaci(Js
se originan en general, como veremos, corno variedades de soluciones de sistemas de
ecuaciones no lineales; muchos conceptos de la topología general han surgido del
estudio de estos espacios especiales. Darnos la definición exacta:
(1.1) Definición. Una variedad topológica n-dimensional Mn es un espacio topoló-
gico de Hausdorff con base numerable· de-su topología que es localmente horneo•
morfo a IR.n. La última condición ,significa que para cada punto p E M existe un en-
torno abierto U de p y un horneornorfismo
h: U➔ U
·con un subcoajunto abierto u' e IR.n.
Ou1 cRº
M
Fig. 1
La exigencia de que el espacio sea de Hausdorff no resulta, corno pudiera creerse,
de esta condición local. Corno contraejemplo, tómese la recta real IR con un punlo
l
adicional p y defínase la topología en M = IR U {p} de forma que IR CM sea
abierto y
•P
-------·--------•R o
Fig. 2
los entornos de p sean los conjuntos (U - {O}) U {p}, donde U es un entorno de
O E IR.
Ejemplos de variedades topológicas son:
Todo subconjunto abierto de un espacio euclídeo.
La n-esfera sn = {x E IR.n + 1¡ lxl = 1}.
El toro, la superficie de un aro .
... ---- ... -------........ ,, .. ,
' ..
:\,1.:1 · ..... i~.\' ..... -,; ·' ,.,.-,. .·.--,.
\;·· - I{-;
Fig. 3
(1.2) D~Íiniclón. Si Mn es una variedad topológica y h : U ➔ u' un homeomor-
fismo de'.un subconjunto abierto U CM con el subconunto abierto u' e IRn, h ·se
denomina una carta de M, y U el dominio de carta correspondiente. Un conjunto de
cartas {h.l~EA} con dominios Uap se llama atlas deM si .l;A u. =M.
Para dos cartas h., h(J, están definidos en la intersección de sus dominios U11 (J : =
= U. n U(J ambos homeomorfismos h. y h(J y de ellos se obtiene un cambio de car-
tas ha(J como homeomorfismos entre subconjuntos abiertos de IR.11 mediante el dia-
grama conmutativo
por tanto h.,(J = h(J O h.- 1 , donde _esté definida la última aplicación.
En ocasiones resulta cómodo incluir en la notación el dominio de definición de
una aplicación, especialmente de una carta, y escribimos (h, U) para una aplica-
ción h: U ➔ U'.
2
u,.
Ua:;p
I \
□
hor.p D
u;a
U"« Fig. 4
Si uno se figura la variedad entera compuesta a tiras a partir de los dominios de
cartas, que la recubren, y de los que se sabe tanto como se puede saber de los sub-
conjuntos abiertos del espacio euclídeo, entonces los cambios de cartas indican
justamente cómo deben pegarse unos con otros íos dominios de cartas. Si se quieren
· definir también sobre la variedad, con ayuda de un atlas apropiado, otras propie-
dades de los subconjuntos abiertos euclídeos que vayan más allá de lo topológico, se
debe atender a que la definición sea independiente de la elección de la carta r•onc~-
pondiente en el atlas, o a que la propiedad considerada sea invariante ante el cambio
de cartas del atlas.
(1.3) Definición. Un atlas de una variedad se llama diferenciable si todos sus cam-
bios de cartas son diferenciables.
' Enti:ndemos por aplicación diferenciable entre subconjuntos abiertos de JR'j
aquí y en lo sucesivo, una aplicación C .. , es decir, una aplicación cuyas derivadas
parciales existen y son continuas todas ellas. Como para los cambios de cartas h.µ se
cumple evidentemente que
hoa = Id,
también los inversos de los cambios de cartas son diferencia bles, es decir, los ,·am-
bios de cartas sol\ difeomorfismos.
Si~ es un atlas diferenciable sobre la variedad M, sea 'D = 1) ('ll) el atlas que cllli-
tiene justamente aquellas cartas cuyo cambio de cartas con cada carta de ~.t es dife-
renciable. Entonces el atlas 1) es asimismo diferenciable pues, localmente, se puedl;
escribir un cambio de cartas hp,y en ti como composicion hp,y = ha-y o h¡¡a de L:<ill, ..
bios de cartas con una carta ha E ~, y la diferenciabilidad es una propiedad local.
3
El atlas l) es claramente maximal entre los atlas diferenciables, no ampliable por
adición de más cartas, y es el mayor atlas diferencia ble que contiene a 'JI. Así cada
atlas diferenciable 'll determina unívocamente un atlas diferenciable maximal l)('ll),
de forma que 'll C 1) (~); y l)('ll) = l)(~) si y sólo si 'U U\!\ es un atlas diferencia-
ble. Aclaramos:
(1.4) Definición. ,Una estructura diferenciable en una variedad topológica es un
atlas diferenciable máxi!llal. Una ~ariedad diferenciab/e es una variedad topológica
jµnto con una estructuril diferencia ble.
Para indicar una estructura diferenciable sobre una variedad se ha de indicar un
atlas diferenciable, y éste se buscará en general tal que sea no maximal, naturalmen-
te, sino lo más pequeño posible.
En adelante admitiremos tácitamente que todas las cartas y atlas de una variedad
düerenciable con estructura diferenciable l) están con tenidos en l). Como es usual,
escribimos brevemente M y no (M, 1)) para representar una variedad diferencia ble.
(1 .5) Ejemplos. (a) Sea U C IRn un abierto. El atlas {Idu}, que consta de una sola
carta ldu : U ➔ U', define en U la estructura diferenciable usual. Pero todo homeo-
morfismo h : U ➔ u', U' abierto,define también un atlas diferencia ble {h}, que
define la misma estructura diferenciable que {Id} si y sólo si h es difeomorfismo.
Así pues, se pueden definir fácilmente sobre un abierto de IRn con n > O distintas
estructuras diferenciables; sin embargo, como veremos, no se obtienen variedades
düerenciables esencialmente distintas.
(b) La esfera sn = {x E IRn + 1¡ l_xl : = Jx~ + ... + x~ + 1 = 1} posee un atlas
diferenciable cuya estructura diferenciable consideraremos en lo sucesivo estructura
standard sobre sn. Sus dominios de cartas son los conjuntos
las cartas son
hk¡ : U ki ➔ 1,n = {x E IR n¡ 1 x 1 < 1} (bola llena abierta)
X .--(xo, ... ,xk-1,Xk+ 1, .. . ,Xn)
La carta hk¡ olvida pues la k-sima co.ordenadl Resulta fácil comprobar que este
atlas es diferenciable, pues la aplicación h¡¡} : Dn ➔ sn tiene la k-sima coordenada
(la que falta a ÍJ") igual a (- l)i (l - -~ xl)í/l, que es claramente una función
'*k . o
diferencia ble en el sentido usual en Dn, y hk¡ es ori_ginado por restricción de una
aplicación diferenciable IRn + 1 ➔ IRn.
4
Fig. 5
(c) El espacio proyectivo real IR pn es el espacio cociente de la esfera S" p0r l,1
relación de equivalencia engendrada por x ~ - x. Un punto p E IR P" viene dc,;c11-
to por
p = [x] = [x0 , ... , Xn] = [ -x0 , •.. , - Xn] ,
n 2
~ X¡ = l ' ;r:a o
La relación de equivalencia identifica exactamente los subconjuntos U k ,o y U k, 1
de la esfera. Por tanto, los conjuntos
son abiertos en IR pn y se tiene un altas diferenciable por cartas
Fig. 6
' Los espacios proyectivos son ejemplos de variedades diferenciables que aparecen
de modo natural como variedades abstractas y no como subconjuntos del espacio
euclídeo. No resulta claro de antemano que los espacios proyectivos sean en general
homeomorfos a subconjuntos del espacio euclídeo.
(d) Un subconjunto abierto de una variedad diferenciable posee una estructura
abierta como variedad diferenciable.
El asunto de este libro serán las variedades diferenciables o, más precisamente, la \
categoría de las variedades diferenciables. Sus "objetos" son las variedades diforen-
ciables, sus "morfismos" las aplicaciones diferenciables, que pasamos a definir:
(1.5) Definición. Una aplicación continua/: M ➔ N entre variedades diferenciales
se llama diferenciable en el punto p EM cuando para un par de cartas (y por lo tan-
to para todas) h : U➔ U', p E U y k : V ➔ V', f(p) E V, de M y N respectivamen-
te, la composición k O f O h -i es diferc;ciable en el punto h (p) E U'; obsérvese que
esta aplicación está definida en el entorno h [f-1 ( V) íl U] de h (p). La aplicación/ se
llama diferenciable cuando•es diferenciable en cada punto p E M.
,M
/
!h
G
U'cRm
-
kofoh-1 -
!k
lki(p) 1
V'cRn
Fig. 7
Con otras palabras: se sabe cuándo una aplicación entre dominios de cartas de M y
N debe llamarse diferenciable debido a que estos dominios están identificados,
mediante las cartas, con subconjuntos abiertos del espacio euclídeo, y una aplica-
ción continua se escribe lo·calmente como aplicación entre dominios de cartas. La
independencia de la elección particular de las cartas se basa en que los cambios de
cartas son diferenciables.
( 1. 6) Observación y notación. La identidad de una variedad diferenciable es dife-
rencia ble; la composición de aplicaciones diferencia bles es diferenciable. A estas dos
afirmaciones nos referimos al decir: las variedades y aplicaciones diferenciables
6
forman una categon·a, la categori'a diferenciable. Esta categoría la designa1 e mus
abreviadamente por C'°. Análogamente:
C'° (M, N) : = conjunto de las aplicaciont:s diferencia bles M ··• N;
e'° (M) : = e'° (M, IR).
La composición de aplicaciones diferenciables es., pues, una aplicación
e'° (M, N) X e'° (L, M) ~ e'° (L, N) (f, g-) t-- fo g .
Muchos conceptos se introducen fácilmente en una categoría de una manern for-
mal, pues se definen mediante las aplicaciones de la categoría y su composición, co-
mo por ejemplo isomorfismo, suma, producto.
(l. 7) Definición: Un difeomorfismo es una aplicación diferencia ble invertible.
"Invertible" quiere decir in~rtible en la cateogrfa diferenciable; así f: M ➔ N (is
un difeomorfismo si existe una aplicación diferenciable g : N ➔ M tal que f O g:.:: ld.'V
y g o f = ldM. En otras palabras, esto significa que fes biyectiva y ¡-1 es tambi~n
diferenciable. Empleemos la notación ":::::" para los difeomorfismos que constituyeu
los isomorfismos de la categoría diferenciable.
Un homeomorfismo diferenciable puede no ser un difeomorfismo, como indica
la aplicación IR ➔ IR, x 1-- x 3 .
Por ejemplo, definimos en (1.5, a) muchas estructuras diferenciables, distintas
en general, sobre un abierto U C IR.n; pero las variedades diferencia bles U con atlas
{Id} y U con atlas {h} son naturalmente difeomorfas, h : U➔ U' es un difeomorfi,-
mo (U, {h}) ➔ (U, {Id}) de la segunda con la primera y, por tanto, ambas vaneda
des no son esencialmente distintas para la topología diferencial.
Por el contrario, una cuestión difícil es la de saber si se pueden definir en una
variedad topológica dos estructuras diferenciables distintas de forma tal que las va-
riedades diferenciables originadas no sean difeomorfus. Por ejemplo la 7-esfcra to-
pológica posee exactamente l S estructuras diferentes, no difeomorfas entre sí, co-
mo variedad diferencia ble; es decir, existen exactamente l S variedades diferencia-
bles no difeomorfas que sin embargo son todas ellas homeomorfas a la esfera S 7
(Kervaire y Milnor, 1963). Tales resultados están claramente fuera del alcance Lle
este libro.
Toda carta h : U ➔ u' de Mes un difeomorfismo entre U y u', donde u' lleva la
estructura standard como abierto de IRn (1.5, d) y la estructura difen:nciable de M
se compone justamente del conjunto de todos los difeomorfismos entre subconJun-
tos abiertos de M y subconjuntos abiertos de IR".
La función t t-- tg [(7r/2) t) define un difeomorfismo (-· l, l) --,. IR.
La topología diferencial trata de las propiedades que son invariantes por d1 kn-
morfismos. Para consideraciones locales siempre se puede suponer que se tr.ib.iJ.1
con un abierto de IR"; en vez de la función f en U se consid~ra f O h -i en u'; en v~t
de un subconjunto V CU, el subconjunto h(V) CU', etc. Ya que los puntos de 11{"
7
se dan mediante sus coordenadas, se designa a menudo una carta de M en un entor,
no de p como sistema de coordenadas local. La carta h : U ➔ u' se escribe en com-
ponentes como h :;: (h 1 , ••• , hn ), donde las funciones coordenadas h¡ : U ➔ IR son
funciones diferenciables; median te traslación en IR" se puede conseguir h (p) :;: O :;:
:;: (O, ... , O) para un punto fijo p E U. Así, una vez introducido un sistema de coor-
denadas, se puede describir unívocamente cada punto en un entorno U de p por los
valores de las funciones coordenadas, las coordenadas del punto .
(x 1 , ••• , Xn) con (O, ... , O):;: coordenadas de p.
Una función definida en U es diferenciable si y sólo si es diferenciable como función
de las coordenadas en el sentido ordinario del cálculo diferencial.
En la categoría diferenciable existen sumas y productos:
(l .8) Definición. La unión disjunta de dos variedades diferenciables n-dimensiona-
les M 1 , M 2 es, de forma canónica, una variedad diferencia ble que se designa por
M 1 + M2 • La topología está determinada por la propiedad de que M 1 y M 2 son
abiertos de M 1 + M 2 , y un atlas diferenciable es la unión de los atlas de ambas va-
riedades. La variedad .M 1 + .M 2 se llama suma (diferenciable) de M I y M 2 • Se tienen
las inclusiones canónicas
como subconjuntos abiértos, y una aplicación f : M 1 + M2 ➔ N ~s evidentemente
diferenciable si y sólo si las dos restricciones fo i11 son diferenciables; con otras pa·
labras, se tiene la biyección canómica
para toda variedad diferenciable N (propiedad universal de la suma).
© M¡
'-------------~
Fig. 8
Dualmente se construye el producto cartesiano M I x M 2 de dosvariedades diferen-
cia bles M 1 , M 2 de dimensiones n, k y se Je da la estructura de una variedad diferen-
ciable (n + k)-dimensional, que se llama producto (diferenciable) de MI y M 2 •
8
~i h,,, : U,,, ➔ U~ son cartas de la estructura diferenciable de M,,,, entonces
es una carta de M 1 x M2 y el conjunto de estas cartas define la estructura difere11-
ciable de M, x M2.
• Se tienen las proyecciones canónicas
y, análogamente a lo ocurrido con la suma, una biyección canónica
/f---+ (p¡ º /, P2 º /)
para toda variedad diferencia ble N (propiedad universal del producto).
Toro
1-ig. ')
La última observación expresa que una aplicación al producto es diferendable si y
sólo si sus dos componentes fv = p,,, 0 f son diferencia bles; localmente la aplicación
va a un dominio de carta U1 x U2 y la composiéión con la carta
es diferenciable si y sólo si las componentes lo son.
Menos canónico es el concepto de subvariedad, por lo que no está definido de
modo único en la bibliografía.
(1.9) Definición. Un subconjunto N C M'1 + k se llama subvariedad diferenciab/e
n-dimensional de M si en cada punto p E N existe una carta
h : U ➔ U' C IR" + k = IR" x IR" tal que
h(N n U)= u' n IR",
donde identificamos IR" con IR" x OC IR" x IR k.
El número k = dim M - dim N se llama codimensión de la subvariedad.
Se abrevia diciendo: la subvariedad N está contenida en M localmente como lll 11
en IR"+ k
9
La définición está justificada por la observación de que existe una estructura dife-
renciable canónica en N. De una carta h como la de la definición ( l. 9) se obtiene
una carta h' = h I U n N ➔ u' n IR. n y el conjunto de es tas cartas es un a ti as diferen-
cia ble para N. ·
U'
I , .
-----¼---.--+--+---Rn
/
Fig. 10
(1.10) Definición. Una aplicación diferenciable f: N ➔ M se llama inmersión di-
feomórfica si /(N) CM es una subvariedad diferenciable y f: N ➔ f(N) es un difeo-
morfismo.
Si aquí N y M tienen la misma dimensión, /(N) es abierto en M como muestra in-
mediatamente la definición (1.9), y la inclusión de un subconjunto abierto es tam-
bién una inmersión difeomórfica. En caso contrario, se necesita que dim N < dim M.
Cada punto p EM define una inmersión difeomórfica.
ip: N➔ M xN, qi--(p, q)
tal que p2 o ip = ldN, del mismo modo que cada punto p E M define una proyec-
ción rrp : M + N ➔ M tal que rrp o i 1 = ldM. El segundo factor se comporta de for-
ma enteramente análoga; si p E M y q EN, ip(N) e iq(M) se cortan en el pun-
to (p, q) EM x N. .
.--M X N
N
---+-------M
p
Fig. 11
10
(1.11) Ejercicios
l. Demuéstrese que toda variedad (diferenciable) posee un atlas (difercnciable)
numerable.
2. Demuéstrese que la esfera sri posee un atlas diferenciable con dos cartas. ¿Po-
see también uno con una sola carta?
3. Descríbase el cambio de cartas para el atlas de IR pn en ( l. 5, c) y muéstrese
que es diferenciable.
4. Sea Muna variedad diferencia ble y T : M ➔ Muna involución sin punto fijo, es-
to es, res un difeomorfismo con r O r = ldM y r(x) * x para todo x.
Demuéstrese que el espacio cociente M/r que se origina a partir de M identifican-
do los purtos que se corresponden por r, es una variedad topológica que posee
una sola estructura diferenciable respecto a la cual la proyección M ➔ M/r es
un difeomorfismo local.
5. Demuéstrese que IR P1 :::: S1 •
6. Provéase a la superficie del cubo {x E Uln + 1¡ max {lx;I} = 1} de una estructu-
ra de variedad diferencia ble.
7. Sea Muna variedad diferenciable y/: N ➔ M un homeomorfismo. Demuéstre-
se que N posee üria sola estructura de variedad diferencia ble tal que f sea un di-
. feomorfismo.
8. Provéase al espacio proyectivo complejo CC pn de una estructura de variedad
diferenciable 2n-dimensional. Este espacio se define del modo siguente: en el
espacio vectorial complejo crn + 1 se tiene la relación de equivalencia
x ~ y ~ (existe un numero A E([', A* O tal que AX = y). El espacio cociente
( ccn + 1 - {O})/ ~ es, por definición, <CPn.
9. Demuéstrese qUe si M es una variedad n-dimensional no vacía y k .-;;; n, existe
una inmersión difeomórfica IR.k ➔ M.
10. Sea N una variedad compacta y Muna variedad conexa, ambas de dimensión n
y no vacías. Sea f : N ➔ M una inmersión difeomórfica. Demuéstrese que/ es
un difeomorfismo.
11. Demuéstrese que sn es una variedad de IR n + 1 •
12. Descríbase una inmersión difeomórfica S1 x S1 ➔ Ol3 dos funciones elemen-
tales.
13. Demuéstrese que la composición de inmersiones difeomórficas es una inmer-
sión difeomórfica y el producto cartesiano / 1 x / 2 : N1 x N 2 ➔M I x M-2 de dos
inmersiones difeomórficas / 1 , h es una inmersión difeom~rfica.
14; Demuéstrese que si la variedad n-dimensional Mes un producto de esferas, exis-
te una inmersión difeomórfica M ➔ IRn + 1 .
Indicación:" . Descríbase una inmersión difeomórfica sn x IR ➔ IR" + 1 y u tilí -
cese 13.
1 1
'
15. Se describen los puntos de CC pk (ver 8) mediante coordenadas homogéneas
x = [x o, ... , x k ]: = clase de (xo, , .. , xk) por~- Demuéstrese que la aplicación
/: CCPmx CCPn ➔ ccpmn+m+n
(x,y) t--- [xo Yo, Xo Y,, .. , ,,X11Yµ,, .. ,Xm y,¡],
e" una inmersión difeomórfica, Lo mismo para los espacios proyectivos reales.
16. Sea M(m x n) el espacio vectorial de las matrices m x n reales y Mr(m x n)el
subespacio de las matrices de rango r. Mr(m x n) es una subvariedad de M(m x n)
de codimensión (n - r) · (m - r) parar~ min {m, n}.
Indicación: Un dominio de carta típico alrededor de un punto de Mr(m x n) es
el conjunto U CM(m x n) de las matrices de la forma
(
AD AB ) A EM(r x r),
DB+C '
det(A) -:f. O.
Una matriz tal pertenece a M r (m x n) si y sólo si C = O.
17. La inclusión IR. n + 1 C IR n + 2 induce una inmersión difeomórfica IR. pn C IR pn + 1
y IR pn + l _ IR p n ::!! IR n + l •
18. Sea IRn+ 1 = {(x, a0 , ..• , ªn-i)lx, a EIR}. El conjunto de los puntosenque
xn + ªn _ 1 ~- l + ... + a0 = O es una su bvariedad de codimensión 1 de IR n + 1
y es difeomorfa en IRn.
19. El conjunto c•(M) de ( 1.6) es un álgebra con adición y multiplicación de fun-
ciones definidas obviamente. Una aplicación diferenciable f: M ➔ N define un
homomorfismo de álgebras ·
r: C""(N) ➔ C 001(M) ,
con las propiedades funtoriales:
ldM = Id; (lo g)• =g• o f•.
20. Notación como en 19. Sea, para un punto p E M,
12
Wlp = {ipEC.(M)iip(p)=O},
Demuéstrese que:
(a) .fillp es un ideal maximal de c•(M).
(b) Si Mes compacto y \Dt C C-(M) es un ideal maximal, existe· un p E M tal
que \Ul =\DI p •
2 El espacio tangente
Un problema de topología diferencial se descompone a menudo en una parte local
y otra global; en este capítulo definimos conceptos locales fundamentales.
El concepto dominante de la teoría local es el de espacio tangente en un punto
p E M de una variedad. Si imaginamos que la variedad está inmersa en el espacio
euclídeo IR n, resulta· intuitivamente natural hacer corresponde~ a cada punto p E M
un cierto subespacio lineal de IRn, el espacio de los vectores tangentes a M en p, es
decir, de los vectores velocidad de los movimientos posibles sobre M. Así, la esfera
s" .está inmersa en IR n+i como sn = {x E 1R11+1 1 lx 1 = l}, y el espacio tangente en d
punto x E sn es el conjunto de los vectores {v E IRn+i 1 (v, x) = O} .
..... -~----...............
,,, X ',,
1 ', , \
I \
,' \
I \
----------1--------..... -- ,/ -.... ,
Espacio tangente
( trasladado paralelamente)
Fig. 12
Como en general tal inmersión no viene dada canónicamente, hemos de describir el
espacio tangente mediante propiedades internas de la variedad.
Para el estudio local es natural no sólo considerar aplicaciones/': M ➔ N defini-
das en todo M sino también admitir aplicaciones que estén definidas solamente en
un entorno U de p E M. Además, consideraremos dos de estas aplicaciones iguales si
13
coinciden en un entorno de p (quizá más pequeño). Introducimos, pues, en el con-
junto de las aplicaciones diferenciables
{/ 1/: U➔ N, para un entornoU de p EM}
la relación de equivalencia siguiente:
f ~ g ~ existe un entorno V de p tal que /1 V= g IV.
' .
(2.1) Definición. Una clase de equivalencia de esta relación se llama germen de
una aplicación M ➔Nen torno a p. Designamos un germen con representante f me-
diante f: (M, p) ➔ No también f: (M, p) ➔ (N, q) si /(p) = q. Con los gérmenes
(M., p) 1➔ (N, q) 77 (L, r) se obtiene una composición go f: (M, p) ➔ (L, r) como . g .
germen de la composición de los representantes respectivos. Un germen de función
es un germen diferenciable (M, p) ➔ IR. El conjunto de todos los gérmenes de fun-
ciones en torno a p E M se designa ,S (p).
tf(p) tiene la estructura de un álgebra real: adición y multiplicación se definen
~ediante la operación correspondiente con representantes. Un germen diferenciable
f: (M, p) ➔ (N, q) define mediante composición un homomorfismo de álgebras
¡•: G (q) ➔ t!(p),
y se tienen las propiedades funtoriales
Id•= Id,
De las propiedades funtoriales resulta en particular que un germen/, invertible res-
pecto a la composición, induce un isomorfismo f•:
;,;.,J ,,.
! fo¡-• =Id=> ¡-1 • o t• = Id.
Así, si p E Mn, se encuentra una carta h en torno a p que define un germen inverti-
ble ii : (M, p) ➔ (IR n, O) y, por lo tan to, un isomorfismo
h•: ,S n ➔ iS(p); rfn = conjunto de gérmenes (IRn, O) ➔IR.
El estudio de las álgebras tf(p) se puede limitar pues a los modelos 8n,
Después de haber dirigido así nuestro campo visual local, nos volvemos hacia los
espacios tangentes. Tres definiciones equivalentes han tomado carta de naturaleza;
cada una tiene sus ventajas y hemos de aprender a movernos entre ellas libremente:
son las definiciones
14
(A) del algebrista
(F) del físico
(G) del geómetra.
(2.2) Definición (del algebrista). El espacio tangente TpM a la variedad diferencia-
ble M en el punto p es el espacio vectorial real de las derivaciones de ,! (p ). Una de-
rivación de ,! (p) es una aplicación lineal X: ti (p) ➔ IR, que cumple la regla del pro-
ducto
X(ip · ~) = X(ip) · ~(p) + ~(p), X(i/1).
Un germen diferenciable 7: (M, p) ➔ (N, q), y por consiguiente también una aplica-
ción diferenciable f: M ➔ N, induce el homomorfismo de álgebras/"' : ,S' (q) ·"* rS' (p)
y, como consecuencia, la aplicación lint!al tangente (la diferencial) de f en p:
Tpf: TpM ➔ TqN
X.,._.X 0 f"'.
Se comprueba inmediatamente que una combinación lineal de derivaciones es de
nuevo una derivación y que éstas forman, pues, un espacio vectorial. De la regla del
producto se deduce que X(l) = X(l) + X(l ), luego X(l) = O para la función cons-
te de valor l; por lo tanto, debido a la linealidad, X(c) = O para toda constante c.
La definición de la diferencial significa, para un germen íji : (N, q) ➔ IR ,
Tpf(X)('íji) = X o f"'(íji) = X(ip o f).
De esto, o de las propiedades funtoriales de "', se deduce para una composición
(M, p)-¡ (N, q) i (L, r) la propiedad funtorial Tp(g O [) = Tqi O Tpf de la aplica-
ción tangente. De la definició,n sale inmediatamente que la aplicación tangente es
lineal.
Sea ahora ii: (N, p) ➔ (IR.n, O) germen de una carta. Entonces la aplicación indu-
cida h"' : ,! n ➔ tS'(p) es un isomorfismo y, por consiguiente, también lo es la aplica-
ción tangente Tph : TpN ➔ T0 IR.n. Para describir el último espacio vectorial es útil
el siguiente:
(2.3) Lema. Sea U una bola en torno ai origen de coordenadas de IR'1, y f: U-+ ll<
unafuncfón diferenciable. Entonces existen funciones diferenciables f 1, h, . .. , /11 :
: U➔ IR tales que
n
f(x) =/(O)+ 1: Xv · fv(x).
v=l
Demostración.
-i'd ·- n ll /(x)-/(0)- dtf(tx¡, .. . , txn)dt·- }:; Xv Dvf(tx 1 , •• • , tx11 )dt,
O v=l O
donde Dv designa la derivada parcial con respecto a la v-sima variable.
Póngase entoncesfv(X): = rinvf(tx,' .. . , txn)dt. □
15
• Derivaciones del alge bra ti n son, como el nombre indica, las derivadas parciales,
que en notación antigua designamos por:
a . ,,, ➔ IR ax . 0 n •
11
¡pi-- -a a ',O(O).
X11
Corolario. Las 3/3x11, v = 1, ... , n, forman una base' del espacio. vectorial To IR" de
las derivaciones de ti,..
n
Demostración. Si la derivación I: a11(3xµ/3x 11 ) = O, se obtiene en particular para
11 • 1
1 Xµ, la µ-sima coordenada: aµ = f a11 (3xµ/3x 11 ) = O para todaµ, luego las a¡ax11 son
11'" 1
linealmente independientes.
Sea ahora X e: T0(1Rn ), X(.x11 ) =: a11 • Queremos demostrar que:
n
X= I:
11 ,. l
n .
Pongamos Y :· = X - I: a 11 (3/3x11 ). Entonces Y es una derivación y, por construo-
11 • 1
ción, Y(x11 ) = O para cada función coordenada.
Si TE In es un germen de función arbitrario, según el lema (2.3) se puede escribir
T= [(O) + l: x11 - fv y obtener
11•1
- n
Y(f) = Y(/(0)) + ~ Y(x11 ) • / 11(0) = O. D
11 = 1
Observamos en esta ocasión que el espacio tangente en un punto a una variedad
diferencia ble n-dimensional tiene dimensión n como espacio vectorial, de modo que
la dimensión está de hecho definida de forma única. En el caso topológico esto no
se ve tan fácilmente, pero también es cierto.
Tras la introducción de coordenadas locales (x 1 , ••• , Xn) en torno a un punto
p E Nn se pueden expre.!ar los vectores TpN explícitamente como combinaciones
lineales de las 3/ox1• Si f : (~, p) ➔ (Mm, q) es un germen diferencia ble y si se in-
troducen también coordenadas locales (y1 , ••• , Yn> en torno a q, se puede escrib~/
como germen (IRn, O) ➔ (IR n, O), que para más sencillez designamos también por f:
(N, p) ¿ (M, q)
carta ! f l carta
(IRn, O)! (IR.m, O),
y la aplicación tangente T0 [ se calcula del modo siguiente:
16
Si¡¡ E tff m, según la definición (2. 2) y la regla de la cadena,
ci ¡ :
J
,¿
-( a ) - a _ - '!/ ª"' at; T0 f - (ip) = - (ip O f) = ~ - (O), - (O),
ax¡ ax¡ /=I ay¡ ax¡
luego
La matriz
Df; = d[¡
ax¡
se llama matriz jacobiana. Se puede calcular, pues, la diferenciál de 1 en forma ma-
tricial así:
Si v = ~a1(3/3x¡), T0 f(v) = ~b¡(ijjay¡), donde
b =D/0 • a.
Resumimos:
(2.4) Proposición. Si se introducen coordenadas locales en torno a p E N'1 y
q E Mm, (x1, ... , x 11 ) e (y 1 , .•• , y 11 ) respectivamente, las derivaciones a¡ax; y
a¡ay¡ fm:man base de espaci!!_ vectorial de TµN y TqM respectivamente, y la aplica-
ción tangente de un germen f: (N, p) ➔ (M, q) está dada respecto a estas bases por
Df0 : IR
11 ➔ IRm. D
La definición del algebrista es la más cómoda de manejar, pero no es gráfü.:a ni
intuitiva (ni tampoco conveniente cuando se considerarn variedades infinito-dimen ..
sionales o sólo finitamente diferenciables).
Los físicos parten de la descripción en coordenadas de la proposición ( 2.4 ). Se
encuentran definiciones como: "Un vector o tensor covariante de primer gr.ido~
unan-tupla real que se transforma mediante la matriz jacobiana». Esto se interpreta
así: si h, k : (N, p) ➔ (IR 11 , O) son gérmenes de cartas, el cambio de cargas g: =
= k o 'fj-l : (IR.11, O) ➔ (IR.11 , O) es un germen diferencial invertible. Todos los gérme-
nes invertibles (IR11 , O) ➔ (IR.11 , O), y por consiguiente todos los cambios de cartas
posibles, forman, mediante composición " 0 ", un grupo ~(}, y existe por lo tanto para
cada dos gérmenes de cartas h, k un y sólo un g E~(} tal que go h = k. A cada gE './í
le hacemos corresponder la matriz jacobiana en el origen Dg0 y, tal como enseña el
cálculo diferencial, a la composición de aplicaciones le corresponde entonces el pro-
ducto de matrices; en particular, sé tiene un homomorfis1110 de grupos
f§➔ GL(n,IR),
de "§ en el grupo lineal de las matrices invertibles.
17
(2.S) Definición (del físico). Un vector tangente en el punto p E Nn es una co-
rrespondencia que a cada germen de una carta ii: (N, p) ➔ (IR'1 , O) en torno a paso-
cia un vector v = ( 11 1 , ••• , v,,) E IR n, de modo que el germen de carga.fo ii le corres-
pon de el vector Dg0 • v.
N
•
1/
R"
V
Fig. 13
Si designamos por KP el conjunto de los gérmenes de cartas
ii: (N, p ) ➔ (IR", O),
el espacio tangente delfísico Tp (N)p es entonces igual al conjunto de las apli-
caciones
v : K P ➔ IR", para las que
v(ff oh)= Dg0 • v(h) para todo iE '.tJ.
Estas aplicaciones forman un espacio vectorial ya que Dg0 es una aplicación lineal.
Para una carta fija h se puede elegir arbitrariamente el vector v E IR" y así queda
determinada la elección en todas las demás cartas; el espacio vectorial J'p(N)pes
isomorfo a IR"; un isomorfismo viene dado por la elección de un sistema de coorde-
nadas local. El isomorfismo canónico
con el espacio tangente, definido algebraicamente (2.2), hace corresponder, en una
carta dada h = (h1 , ••• , ii,,) : (N, p) ➔ (IR", O), a la derivación X E TµN el vector
18
(X(h1 ), ••• , X(h,1 )) E IR". Las componentes de este. vector son prei.:isame11lt: los
coeficientes de X respecto a la base de TpN citada en (2.4); se transforman en un
cambio de cartas mediante la matriz jacobiana, ya que las bases de (2.4) se corres-
ponden mediante la matriz jacobiana traspuesta.
La diferencial, aunque un poco complicada de escribir formalmente a causa de los
muchos sistemas de coordenadas, se describe de un modo natural respecto a siste-
mas de ·coordenadas locales en torno al punto original y a su imagen mediante la
matriz jacobiana, como en (2.4).
La más intuitiva es la definición del geómetra; sigue la idea de que el espacio tan-
gente se compone de vectores velocidad en el punto p de camirios que pasan por
ese punto; naturalmente, todo se ·considera de nuevo localmente en torno al punto.
(2.6) Definición (del geómetra). En el conjunto Wp de los gérmenes de aplH:ai.:io-
nes diferenciables
w:(IR,O) ➔ (N,p)
(o sea, gérmenes de caminos que pasan por p) se define la relación de equivalen.:ia
w ~ v: ~ para todo germen funcional [ES (p) es (d/dt)f 0 w(O) = (d/dt)f0 v\O).
Una clas~ de equivalencia (w] de esta relación es un vector tangente en el pun-
to p.
Fig. 14
Dos núcleos de caminos definen el mismo vector tangente si y sólo si definen la mis-
ma "derivada de funciones en la dirección de la curva". Así, a cada clase de equiva-
lencia ( w) se le hace corresponder de modo único la derivación X w de li (p):
- d -
Xw(J): = - f O w(O).
, dt
Esta correspondencia define una ~plicación inyectiva (
19
del conjunto de las relaciones de equivalencia de gérmenes de caminos en el espacio
tangente, y esta aplicación es también sobreyectiva pues, si w(t) = (ta 1 , ••• , tan) (en
• ,1
coordenadas locales), entonces X w = l: a,,(a/ax,,). De hecho, sólo hace falta com-
,, a 1
probar la igualdad de derivaciones Xw = Xv aplicándolas sobre las funciones de un
· sistema de coordenadas local (los valores son precisamente los coeficientes respecto
de la base a¡ax,,), de modo que también se puede decir: w ~ v-si y sólo si para un
sistema de coordenadas local (d/dt)w¡(O) = (d/dt)v;(O) para i ;= 1, ... , n.
También la aplicación tangente resulta muy intuitiva con esta definición: un ger-
men[: (N, p) ➔ (M, q) induce una aplicación
[ w Ji-- [/ o w] .
-----<>-----R
Fig. 15
Que esta definición está de acuerdo con la anterior (2. 2) lo muestra la igual ciad
X¡wCip)=..!!_ ~fw(O)=XwCipf)= Tpf(Xw)(~).
dt
En adelante no se distinguirá entre las distintas ctefiniciones de espacio tangente. Dé-
jese guiar nuestra intuición por la definición geométrica; cuando sean necesarios
cálculos explícitos se puede usar la definición mediante coordenadas (2.4).
(2. 7) Ejercicios.
1. Demuéstrese que 111 (p) : = { .p E 1, (p) 1 .P'Y,l = O} es el ideal maximal único de
1, (p).
20
2. Si p E Mn y n :j: O, el ideal 111 (p) del ejercicio 1 no es el único ideal f O, ¡f ( p) de
,S (p ).
3. Sif:M➔Nesunainmersión difeomórfica y f(p)=q, la aplicación[•: J·(q)➔ ó(p)
es sobreyectiva y Tp(f) inyectiva.
4. El ideal maximal 111 11 C {{·,, está engendrado por los gérmenes x1 , ••• , x,, de las
funciones coordenadas.
5. ~i 111n C ~ 11 es el ideal maximal, 111 ~ es el ideal de los gérmenes 1 para los que las
'derivadas de orden < k se anulan en el origen . .
6. La serie de Taylor en el origen define un homomorfismo 0·,, ➔ IR [(x 1 , ••• , x11 ] I
de lf11 en el anillo de las series de potencias formales en n variables. El núcleo
de este homomorfismo es
- , - n- k 111,,.- 111,,
k = 1
(ver 5 ).
7. Con las notaciones de 4, se cumple tf ,,/11111 ,._, IR; por consiguiente, 111n/111~ :::::1R
11
•
Un germen 1: (IR11 , O) ➔ (IR", O) induce/*: 1B' m ➔ &,i, f* 111 m C III n, luego se
tiene una aplicación lineal
111•· 111,,
f''' · JRm =~➔--=IR"
• - 111 2 1112 ..,... '
m n
que viene dada por la matriz 'D/0 •
8. Si la aplicación[: sn ➔ IR es diferencia ble, existen dos puntos distintos p, q E S11
tales que Tp(f) y Tq(f) son ambas O.
9. Sea M = {x E IRn I x¡ = xi + x ~ + ... + x;, y x 1 ;;;i, O}, n > l. Demuéstrese que
M no es subvariedad diferencia ble de IR".
1 O. Seaf: IR" ➔ IR k una aplicación diferenciable tal que para cada número real I se
cumpla: f(t · x) = t · f(x). Demuéstrese que fes lineal.
11. Sea f : IR'' ➔ IR k, f(O) = O una aplicación diferencia ble y sea f,(x) = t -• /(tx).
Demuéstrese que f,(x) se puede extender diferenciablemente (dependiendo de
t y x) a {t = O}mediante D/0. .
21
3 Fibrados vectoriales
Mediante la construcción del espacio tangente se coloca en cada punto de una varie-
dad un espacio vectorial. En general, en topología diferencial y en topología sucede
a menudo que se coloca un espacio vectorial e~ cada punto de una variedad o de un
espacio topológico, respectivamente, de tal mcido que no se tiene un único espacio
vectorial, sino todo un haz de espacios vectoriales •.
~ Espacios vectoriales
Fig. 16
(3.1) Definición. Un fibrado vectorial (topológico real n-dimensional) es una terna
(E, 'Ir, X) donde r,: E ➔ X es una aplicación sobreyectiva continua, estando provisto
cada. f x : = 7r-1(x) de la estructura de espacio vectorial real n-dirnensi<;>nal y de for-
ma que se cumple el
Axioma de trivialidad local: Cada punto de X tiene un entorno U para el que existe
un homeomorfismo
de forma que para cada ~ E U
Íx :=flEx :Ex ➔ {x}xlR"
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
• Vektorraumbündel, "haz de espacios vectoriales", es el nombre en alemán del librado
vectorial. N. del T.
22
/
Fig. 17
Forma hablada y escrita: (E, 11', X) se llama fibrado vectorial "sobre X"; E se llama
espacio total, X base y 11' la proyección del fibrado. En lugar de (E, 11', X) se escribe
abreviadamente E.
(3.2) Definición .. Un par (f, U) como en el axioma de trivialidad local se llama
"carta vectorial". Un fibrado sobre X se llama trivial si posee una carta vectorial
(f, X).
•
Los fibrados vectoriales sobre Wl espacio fijo X forman de modo natural los obJdos
de una categoría. Los "morfismos" correspondientes son los llamados homomorfis-
mos de fibrados, que definimos a continuación.
(3.3) Definición. Sean E y E' fibrados vectoriales sobre X. Una aplicación continua
/: E ➔ E' se llama homomorfismo de librados si
es conmutativo y cada fx : Ex ➔ E~ es lineal.
(3.4) Definición. Si E es un fibrado vectorial n-dimensional sobre X y si E' CE es
un subconjunto, de forma que en torno a cada punto de X exist~ una carla (f, U)
con
23
entonces (E', 1T Ir.:', X) es de forma canónica un fibrado vectorial sobre X y se deno-
mina subfibrado k-dimensional de E.
X
Fig. 18
(3.S) Lema. Si f : E ➔ Fes un homomorfismo de librados vectoriales sobre X y si
rg<Jx) = const. = c, entonces
Kern f: = U Kern fx es un subfibrado de E
xeX
Im f: = U Irn fx es un subfibrado de F.
xe X
Demostración: Dos observaciones facilitan la demostración: en primer lugar, pode-
mos suponer sin pérdida de generalidad, ya que se trata de un problema local, que
los fibrados E y F son X x IR m y X x IR". En segundo-lugar, basta considerar sólo el
caso')1 = m.
Piles bien, supongamos demostrado el lema para n = m. Si completamos, para
(n, m) arbitrarios, el espacio de menor dimensión con el número de coordenadas que
le faltan,naturalmente sigue siendo rg(J) = const. y en el caso n ;;;i. m no hemos cam-
biado nada,.e,~·;F ni en lm /, en el caso n ..;; r:i no hemos camb_iado nada en E ni en
Kern f. Asf queda demostrado para n ;;;i. m que lm / es un subf1brado, y para n ..;; m
que Kern / lo es también. Si ahora aplicamos estas deducciones, en el caso n >m, a
f : E ➔ lm f = : F,
como dim E ;;;i. dim F, resulta también que Kern fes un subfihrado de E; y análoga-
mente obtenemos, paran< m, la afirmación para la imagen a partir de la afirmación
para el núcleo, si consideramos
24
f 1 (Kern ¡;)1: (Kern !>1 ➔ F
en lugar de f, donde el complemento ortogonal 1, tomado en cada fibra IR", permite
obtener del subfibrado Kern f C X x IR III un subfibrado (Kcrn nl con c.lim (Kcrn).L.;;
,e;; dim F,
Demostración propiamente dicha: Sea x E X. Como se sabe por álgebra lineal, se
puede suponer sin pérdida de generalidad que f está dada en el punto x mediante
··-··--·--•-•·· ----
o, ('
fx =
o º· 11 - (" ·o
Sea
P: IR n ➔ IR"
la proyección sobre las n - e coordenadas últimas. En ton ces f x + P es un isomúrl 1s-
mo y, por tanto, debido a la continuidad, también fu + Pes un isomorfismo para
·todo u en un cierto entorno abierto U de x. Con esto obtenemos una carta vccto1ül
f + P· : U X IR n ➔ U X IR 11
con lfu + P) (Kern fu) = P(Kern fu) C IRn -e y, debido a las dimensiones res pee tiva,,
se cumple incluso P(Kern fu) = IR n -c. Así que queda probado que Kern les un
subfibrado.
Para lm fusamos
(j + P) - l ; LJ X IR11 ➔ LJ X IR 11
como carta vectorial, pues (Ju + P) (IR") = fu(IRc) C lm /~, de donde IR e C
C (f ~ + P)- 1 (Im fu) y, en razón de las dimensíones respectivas, es en realidad una
igualdad para todo u E U; así pues, Im fes un subfi brado. D
*
Tras refrescamos en este oasis de demostración, debemos dirigirnos de nuevo al de-
sierto de las definiciones. Primero debemos citar otro punto de vista bajo el cual se
puede ver un fibra.do como contenido en otros.
(3.6) Definición. Si (E, 7T, X) es un fibra do vectorial y X O C X, entonces ( 1r-
1 (X O ),
25
rr I rr-1 (X0 ), X 0 ) es un fibrado vectorial sobre X O, que se designa por E IX O y se de-
nomina restricción de E sobre X O•
E
Fig. 19
(3. 7) Definición ("Sección"). Por sección de un fibrado vectorial (E, rr, E) se en-
tiende una aplicación continua a : X ➔ E con a(x)EEx para todo x E X. Cada fibra-
do vectorial tiene, por ejemplo, una "sección nula"
X ➔ E
x ➔ O E Ex
\ 1 1
-
/ " 1 __,, / ..,.. ¡.., ~ "-
magen de la sección nula
,,.
1 magen de una seccidn
11 •
1 1
'
con ceros
X
Fig. 20
26
(3.8) Observación. Si a : X ➔ E es una sección, o : X ➔ a(X) es un homeomor·
fismo.
Debido a esto se puede en particular "concebir" sin ningún inconveniente la
imagen de la sección nula como base, ya que existe entre ambas un homeomorfismo
canónico mediante la sección nula . .
*
Se pueden "inducir" nuevos fibrados vectoriales a partir de uno dado. La situa-
ción es como sigue: dado un fibrado vectorial n-dimensional E sobre Y y una aplica-
ción continua f : X ➔ Y:
Se origina el fibrado inducido/• E sobre X colocando en cada x E X la fibra E¡(x)·
Este proceso puede describirse así:
(3.9) Definición. Sea (E, 1r, Y) un fibra:do vectorial sobre Y y f: X ➔ Y continua.
Considérese el grafo de f
y Grafo (t)
Fig. 21
y el homeomorfismo canónico Grafo (f) ~X.Por medio de la composición
f • E : = (X x E) 1 Grafo (f) ex x E
t• ff ~+o(/)CXx Y
X
se define un fibrado vectorial (J • E, f * 1r, X) que se llama librado inducido por f.
27
( 3.10) Observaciún. El espacio total de I • E es { (x, e) l 1T(e) = l(x)} C X x E. Este
espacio se llama también producto librado de I y 7T •
•
La aplicación/ • E ➔ H dada mediante la proyección X x E ➔ E aplica cada fibra de
f *E lineal e isomorfamente sobre una fibra de E. Tales aplicaciones se llaman "apli-
caciones de librados". Generalizando los conceptos de homomorfismo de fibrados y
aplicación de fi brados se tienen aún las "aplicaciones lineales", en las que solamente
se pide que apliquen linealmente fibras en fibras:
(3.11) Definición. Si E y F son fibrados vectoriales sobre X e Y, respectivamente,
y si / : X ➔ Y es continua, una aplicación continua T: E ➔ F se llama aplicación
lineal sobre/ si? aplica cada fibra E\ linealmente en Ff(xf
E-4F
t t
X l,. Y,
y si estas aplicaciones son isomorfismos Ex :: Ft(x), f se llama aplicación de fibra-
dos sobre f
El motivo por el que exponemos precisamente aquí esta terminología de homo-
morfismos de fibrados, aplicaciones de fibrados y aplicaciones lineales es que la cons•
trucción del fibrado inducido muestra cómo toda aplicación lineal puede escribirse
como composición de un.'homomorfismo de fibrados con una aplicación de fibrados:
(3.12) Nota. Si o.p: E ➔ Fes una aplicación lineal de fibrados vectoriales sobre f
y si T : f*F ➔ Fes la aplicación de fitrados canónica, existe un único homomorfis-
mo de fibrados h : E ➔ f • F tal que o.p = [ 0 h:
E~ J• F 4 F
~ l '!
X -=+ Y,
a saber, h(v) = (7í(v), ip(1•)) E X x E. A esto se le llama "propiedad universal" del fi-
brado inducido.
•
Hasta ahora sólo se han considerado fibrados vectoriales "topológicos". Debemos ya
introducir el concepto de fibrado vectorial diferenciable. Para ello necesitamos el
concepto previo de atlas vectorial.
(3.13) Definición. Sea (E, 1T, X) un fibrado vectorial n-dimensional. Un conjunto
{U: , u. )la E A} de cartas vectoriales se llama atlas vectorial de E si U u. = X.
a a•A
28
Las aplicaciones continuas dadas median te los solapamientos di: cartas de fibra ti o
Uo:
U,a
Fig. 22
Ua n UfJ ➔ GL(n, JR)
X f--+ Í(Jx o f;~
se llaman funciones de paso del atlas.
(3.14) Definición. Un atlas vectorial de un fibrado vectorial sobre una variedad di-
ferenciable se llama diferenciab/e si todas sus funciones de paso son diferenciables.
Un fibrado vectorial diferencia ble es un par (E,!B) que consta de un fibrado vectorial
E sobre M y de un atlas vectorial diferencia ble maximal !B para E.
( 3.15) Nota. El espacio total de un fibrado vectorial k-dimensional sobre una va-
riedad n-dimensional M es de forma canónica una variedad diferenciable de dimen-
sión n + k.
Indicación: Las definiciones y afirmaciones anteriores sobre fibrados vectoriales
topológicos se traducen de forma natural al caso· de fibrados vectoriales diferen-
cia bles.
•
Los fibrados diferenciales y topológicos aparecen a menudo en una forma en que
podrían denominarse quizá "prefibrados vectoriales": si se dan los datos usuales
E espacio total
1T proyección
X base
!B atlas vectorial,
29
con la única falta de que no está definida la topología de E, es inmediato considerar
E como unión (¡disjunta!) de los espacios vectoriales Ex :a:: 1r -l (x). Pero además se
puede introducir de forma canónica la topología de E y definir así un fibrado vecto-
rial normal. ·
•
Como muchos de los fibrados vectoriales geométricamente relevantes se obtienen
así, expondremos el concepto de "prefibrado vectorial" formalmente con pre•
cisión:
(3.16) Definición. Un pre·fibrado vector:ial n-dimensional es una cuaterna (E, 1r,
X, !B ), compuesta por un conjunto ( ! ) E, un espacio topológico X, una aplicación
sobreyectiva 1r : E ➔ X con una estructura de espacio vectorial sobre cada Ex : :a::
:a:: 1r-1 (x) y un "pre-atlas vectorial" '.8, esto es, un conjunto {(f.,, U,,) 1 o: E A } , don•
de { u. 1 a E A } es un recubrimiento abierto de X y
f., : 7f-1(U.,) ➔ U., X )Rn
una aplicación biyectiva que aplica, para todo x E u., la fibra Ex sobre {x} x IR n
lineal e isomorfamente y de modo que todas las funcionfS de paso U., n U/3 ➔
➔ GL(n, IR) de !!l son continuas.
(3.17) Primera observación: Si (E, 1r, X, !B) es un pre-fibrado vectorial, existe una
sola topología en E respecto a la cual (E, 1r, X) es un fibrado vectorial y '.8 un atlas
vectorial para este fibrado.
( 3. J 8) Segunda observación: Si M es una variedad diferenciable y (E, Tr, M, '.8) es
un pre-fibrado vectorial, esto es, si las funciones de paso de '.8 son todas diferencia·
bles, la extensión maximal !B dr !!l proporciona claramente un fibrado vectorial di-~ ferenciable (E,!!\,) sobre M.
•
Nuestra primera aplicación, con la cual ya compensaría la introducción del concep-
to, es la construcción del fibrado tangente. ·
(3.19) Definición (fibrado tangente). Sea M una variedad n-dimensional diferen·
ciable y '.!l un atlas diferenciable de M. Entonces se tiene el pre-fibrado vectorial
( TM, 1r, M, !l:l ), dado como sigue:
Tr: canónica (~M ➔ p)
!l:l : :a:: { (fh 1 (h, U) E '.!(},
30
donde fh : 7T-I (U) ➔ U X IR n
X ➔ p X (11 1 , ••• , Vn)
viene dada mediante las coordenadas "físicas" V¡= X(h¡) de.X E TpM con respeclo
a (h, U) (2.5).
pxRn
,
TpM UxRn
u fh -
lh
h(U)cRn Fig. 23
El fibrado vectorial n-dimensional diferenciable TM sobre M dado de ese modo y
claramente independiente de la elección del atlas se llama fibrado tangente de M.
(3.20) Definición. Sea M una variedad diferenciable. Se entiende por campo vec-
torial (diferenciable) en Muna s1'cción (diferenciable)
M ➔ TM
del fibrado tangente.
(3.21) Definición. Si f: M ➔ N es una aplicación diferenciable, mediante la dife-
rencial
se define .una aplicación diferenciable
Tf: TM ➔ TN,
(como se ve usando (2.4 )), que se llama "la diferencial" de f.
( 3.22). Nota. La diferencial es una "aplicación lineal entre fibrados vectoriales".
Según (3.12), existe un solo homomorfismo de fibrados TM ➔ f •rN tal que el
diagrama
TM.I!TN
.. \/
sea conmutativo.
[• TN
31
(3. 23) Ejercicios.
1. Sea U un espacio topológico y f: ·U ➔ M(n x k, IR) una aplicación de U en el
espacio de las matrices (n x k) reales. Demuéstrese que la ap~icación construida
con/
(u, x).....:.f(u) · x
es continua si y sólo si fes continua. Más aún: si U es una variedad, Fes dife-
renciable si y sólo si Jo es/.
Indicación. Este hecho ya se ha utilizado implícitamente alguna vez en el
texto.
2. Sean (E, 1T, X) un fibrado vectorial sobre un espacio conexo X, f: E ➔ E un
homomorfismo de fibrados y f O /= f. Demuéstrese queftiene rango constante.
3. Sean (E, 1T, X) un fibrado vectorial sobre un espacio conexo X y f: E ➔ E un
homomorfismo de fibrados con f O / = lde, Demuéstrese que Fix(f) : =
= {v E E lf(v) = v} es un subfi.brado de E.
4. Sea E un fibrado vectorial sobre X; sea X 0 C X un subespacio e i: X 0 CX la
inclusión. Demuéstrese que i•E y E I Xo son canónicamente isomorfos.
5. Demuéstrese que, si (E, 1T, X) es un fibrado vectorial trivial, todo fibrado indu-
cido f •E (para f : Y ➔ X) es también trivial.
6. Sea (E, 1T, X) un fibrado vectorial y 7To : = 7T I E - {sección nula}. Indíquese
una sección "canónica" de 7To • E que no se anule en ningún punto.
7. Demuéstrese que un fibrado vectorial es trivial si y sólo si posee un atlas vecto-
rial cuyas funciones de paso sean todas aplicaciones a {Id} C GL(n, IR).
8. Consideremos sobre IR P" = sn+ 1 /~ el subfibrado momodimensional
11n : = { ( [ x ], Ax) 1 x E S'1 + 1 , A E IR}
de IR P" x IR 11 + 1 (¿por qué es un subfibrado?). Demuéstrese que, paran~ 1,
1)11 no es trivial. (Sugerencia: considérese 1/n - {~ección nula}).
9. Demuéstrese que todo fibrado vectorial 1-dimensional sobre S1 o es trivial o es
isomorfo al dado mediante
10. Demuéstrese que si se quita de IR P11 + 1 un punto se obtiene una variedad res-
tante que es isomorfa al espacio total de 1/n:
IR P" + 1 - pt:::::: 1/n .
32
Sugerencia: sin pérdida de generalidad, pt =[O, ... ,O, 1)
11. Sea n ~ 1. Demuéstrese que existen exactamente do.~ tipos de isomorfismo de
fibrados vecto_riales n-dimensionales sebre S1 (cf. Ejercicio 9).
12. Demuéstrese que TS1 9!: S1 x IR.
13. Demué~trese que el fibrado tangente a S2 posee un atlas de dos cartas vecto-
riales.
14. Sea M conexo. Demuéstrese que una aplicación diferenciable f: M ➔ N, cuya
diferencial Tf es nula en todo punto, tiene que ser constante.
15. Demuéstrese que. si f : M ➔ N es una inmersión difeomórfica también lo es
T[.: TM ➔ TN.
16. Propóngase un campo vectorial sobre S2 que tenga exactamente dos ceros.
17. Propóngase un campo vectorial sobre S2 que tenga exactamente un cero.
4 Algebra lineal para fibrados vec_toriales
Las operaciones algebraicas que se efectúan en álgebra lineal con espacios vectoriales
y homomorfismos se pueden llevar a cabo corrientemente también en fibrados vec-
toriales y homomorfismos de fibrados, procediendo en cada punto de la base con las
fibras precisamente como se ha aprendido en álgebra lineal. Así se construye, por
ejemplo, la suma dire•ct~ E EB F (la llamada "suma de Whitney") de dos fibrados vec-
toriales E y F sobre x:· Usando en cada punto x E X la suma directa Ex ffi F; como
fibra de E EB F, etcétera.
•
Natur¡¡lmente, hemos de definir con más precisión la estructura de fibra.:lo de las
familias así originadas.
(4.1) Definición como muestra. Sean E y F fibrados vectoriales sobre X, con atlas
vectoriales \l( y~. Entonces se da un prefibrado E EB F del modo siguiente:
Proyección : canónica.
EfilF: = U ExEBFx
xEX
Atlas: {(.pEBiJ¡, un V l(.p, U)E '.!(, (iJ¡, V)E~ },
donde ,p fB i/1 viene dado de forma natural por:
El fibrado E EB F perteneciente a este prefibrado vectorial se llama suma de Whitney
de Ey F.
(4.2) Comple~Imto. Si f: E ➔ E' y g :. F ➔ F' son homomorfismos de fibrados, se
define de forma canónica un homomorfismo de fibrados f ffi g : E ffi F ➔ E' EB F'.
(4. 3 J Nota. Si E y F son diferencia bles, también lo es E EB F de forma canónica: si
f y g son diferencia bles, también lo es f ffi g.
(4.4} Otros ejemplos. Análogamente se_traducen otros conceptos de álgebra lineal
a categoría de fibrados vectoriales topológicos o diferenciables sobre X, "fibra a fi-
bra"; se obtienen así, por ejemplo, los conceptos de
34
(i) Producto tensorial E (B F,
(ii) Fibrado cociente E/F (en caso de que F sea subfibrado de E),
(iii) Fibrado dual E•,
(iv) Fibrado de homomorfismos Hom (E, F),
(v) Fibrado Altk(H) de las k-formas alternadas,
(vi) Fibrado Ak E de las potencias exteriorel· k-simas,
para fibrados vectoriales E, F sobre X y, de forma canónica, los correspondientes
conceptos para homomorfismos de fibrados .
•
Indicación. Debe tenerse en cuenta que algunos de los funtores del álgebra lineal
usados aquí sobre fibrados son contravariantes, por ejemplo, Hom en la primera
variable: los homomorfismos de fibra dos f : A ➔ B y g : F ➔ F' inducen un ho rnM-
fismo de fibrados
Hom (/, g) : Hom '(B, F) ➔ Hom (A, F'),
es decir, mediante
B ➔ F
1 l 1,
A··► F'.
Análogamente, la carta vectorial de Hom (E, F) que se obtiene de las cartas vecto-
riales (.¡;, U) de E y (t/1, V) de F, viene dada por
Hom (.¡;-1, tµ) : Hom (E, F) 1 U /1 V ➔ (U /1 V} x Hom (IR n, IRk) = ( U /1 V) x IR'1 k
•
Una reflexión cuidadosa merece el concepto de orientación. Naturalmente se orien-
ta un fibrado vectorial orientando cada fibra particular precisamente de forma que,
al desplazarse continuamente sobre la base, la orientación de las fibras correspon-
dientes no "salte" repentinamente.
(4.S) Definición (orientación de un fibrado vectorial). Sea E un fibrado vectorial
n-dimensional sobre X. Una familia
o - {o }
- JC -x.x
de orientaciones <' x de las fibras Ex se llama orientación de E si en torno a todo
punto de X existe una carta vectorial (/, U) para E, tal que mediante fu : Eu ~ IR"
35
la orientación "u para cada u E U se transforma en la misma orientación de IRn .
•
Mientras hasta ahora hemos podido traducir a fibrados vectoriales las construccio-
nes de álgebra lineal fácilmente fibra a fibra o mediante cartas, aparece aquí por
primera vez un fenómeno global: para un espacio vectorial, una fibra, se puede es-
. .
coger siempre una orientación, pero el fibrado entero no tiene por qué ser orienta ble.
Si se orienta por ejemplo una determinada fibra Ex, se puede extender fácilmen-
teesta orientación mediante las cartas (J, U) de (4.5) a las fibras sobre los puntos del
entorno U de x.
Si se intenta orientar de este modo todas las fibras de E, pasando de cada una a
las vecinas, se puede observar que en ciertos fibrados este procedimiento conduce
forzosamente a un salto de la orientación.
t.
I
orientada en primer lugar
! ,r
X
........ ,-~·
Fig. 24
A veces es preciso hacer consideraciones de orientación también en fibrados no
orientables (por ejemplo, sobre la demostración de la no orientabilidad o sobre si
se puede usar una cierta proposición, demostrada para fibrados orientables, también
para los no orientables) y para este fin es muy útil conocer el concepto de recubri-
dor de orientaciones que se define para todo fibrado.
(4.6) Definición y observación. Sea (E, rr, X) un fibrado vectorial n-dimensional y,
por consigui~nte, A" E el fibrado !-dimensional de las potencias exteriores n-siÍnas.
Mediante x ~y:~ y= AX para un X> O, se define en An E - {sección nula}una re-~ lación de equivalencia ~ y, si se introduce en el conjunto X(E) de las clases de
equivalencia la topología cociente, la proyección canónica
36
es un recubridor de dos hojas de X que se llama recubridor de urie111t1cio11es ele H.
Fig. 25
La rela.ción entre orientación y producto exterior n-ple conocida por álgebra lineal
[dos bases (v 1 , ••. , v,,) y (w 1 , ••• , w,,) están igualmente orientadas si y sólo si
·v1 /\ ••• /\ v,, y w1 /\ .•• /\ w,, se diferencian en un factor constante] muestra
que, como conjunto, X (E) es canónicamente el mismo que el conjunto de todas las
orientaciones de todas las fibras y que -ir-1 (x) consta de las dos orientaciones de Ex.
una orientación de Ex
/
X(E)~
X ~
//ori~ntación op~esta de Ex
Fig. 26
37
Es conveniente imaginarse también X (E) de este modo: la descripción como
(An E - sección nula)/~
tiene la ventaja técnica de dar automáticamente la topología de X(E).
(4.:J) Observación. E es orienta ble si y sólo si X(E) es trivial como recubridor, esto
es, isomorfo a X x '11. 2 • Una orientación de E se puede interpretar en este caso como
una sección X-"- X (E) (aplicación continua con 'Ir a o = Idx ).
(4.8) Observa~ión. El recubridor X(E) es además canónicamente isomorfo a
(An E* -_sección nula)/~ y (Altn - sección nula)/~, es decir, podría haberse descri-
to mediante estos isomorfismos.
(4.9) Definición (orientación de una variedad). Seentiendepororientación de tina
variedad Muna orientación del fibrado tangente TM.
*
Otro concepto de álgebra lineal cuya traducción a fibrados vectoriales merece aten-
ción es el producto escalar.
Si V es un espacio vectorial real se pueden interpretar las formas bilineales
Vx V ➔ IR.,
corno es sabido, como elementos de ( V ffi V)*. Si E es un fibrado vectorial sobre X,
según ( 4.4) se puede definir el fibrado (E ffi E)*.
(4.1 O) Definición (producto escalar, métrica riemanniana). Si (E, 1T, X) es un fibra-
do vectorial, se entiende por producto escalar o métrica riemanniana en E una sec-
ción continua,
s:X ➔ (EffiE)*,
tal que para todo x E X la forma bilineal dada por
Ex X Ex ➔ IR
(v, w) ➔ (v, w) x
es simétrica y definida positiva. La métrica se llama diferencia ble si X es una varie-
dad y E y s son diferencia bles.
( 4. J J) Observación. Si el fibrado vectorial E está provisto de una métrica riemanni-
na y F CE es un fibrado vectorial, también
38
és un subfibrado vectorial.
U pl
X
xeX
Demostración: Si (J, lf) es una carta vectorial de E, que representa F I U como
U x (IRk x O) C U x IR n, y si v1 , ••• , Vn son las secciones de E I U que corresponden a
los vectores de base canónicos de IRn mediante f, por el método de ortonormali,.J-
ción de Schmidt se obtienen secciones v'1 , ••• , v~ de E I U que forman en cada x E U una base ortonormal de Ex y precisamente de forma que v; (x), ... , 11i.(x)
engendran el subespacio Fx y v~ + 1 (x), ... , v~(x) engendran Pi.
Por lo tanto
r' : E I u ➔ u x IR"
A¡ v~(x) + ... + A-11 v;,(x) ➔ (x, X,, ... , An)
determina una carta vectorial, que representa F I U como U x IR k y F1 1 U como d
complementario u·x IR.n -k. □
Ya que/' es ortogonal en cada fibra, podemos obse1var como resultado adicional de
esta demostración:
(4.12) Nota., Cada fibrado vectorial con métrica riemanniana posee un atlas vce1n-
rial de cartas vectoriales ortogonales en ¡;ada fibra. En particular, las funciones de
paso de tal atlas son aplicaciones de O(n) C GL(n, IR).
*
( 4.13) Observación. Si E está provisto de una métrica riemanniana y F C ¡.; es un
subfirbado, la composición
F1 C H----HJF
Proy,
es un isomorfismo de fibrados ¡,.J. ::::: H/F; se puede concebir E/F simplemente
como F1.
Se deduce que el núcleo de esta composición se anula por motivos de dimensión.
Para cada fibra esto significa que ¡;J n Fx = O.
Esta idea intuitiva del fibrado cociente como complemento ortogonal debe Clll··
plearse en particular en el caso del fibrado normal a una subvaricdad:
(4.14) Definición (fibrado normal). Si Mes una variedad diferencia ble y XC Me,~
una su bvariedad, se llama "normal a X" a
lX : = (TM I X)/TX,
39
d librado normal a X en M.
Fig. 27
(4.1 S) Definición (variedad riemanniana). Una variedad M, cuyó fibrado tangente
está provisto de un producto escalar diferenciable, se llama variedad riemanniana
("una variedad riemanniana es un par-(M, ( , ) ) compuesto por .... ").
( 4. 16) Nura. Si M es una variedad riemanniana y X CM es una subvariedad, e) fi-
brado normal a X en Mes canónicamente isomorfo a (TX>1.
X Fig. 28
*
Pasamos a la importante cuestión de la existencia de métricas riemannianas en fi-
brados vectoriales. Sea (E, 11, X) un fibrado vectorial. Buscamos una sección
s : X ➔ (b' ffJ E)*
tal que cada s(x) sea simétrico y definido positivo. Naturalmente, resulta fácil hallar
una sección tal para E I U en cada carta vectorial (J, U) de E; sólo se necesita partir
del producto escalar usual en IR.n; E I U~ U x IR. 11 • Si hacemos esto para cada carta
de un atlas vectorial, llegamos a la siguiente situación:
40
Tenemos entonces secciones "locales"
~
...
,,..-
~ ,,...
,
---~ /
1
Sin embargo, buscamos una sección global:
, .... ......
' .... L.,
,..,,~
V ~
'
1
~ X
.. Fibrado(E@ El*
.........
Fig. 29
simétrica,
positiva, definido
X
Fig. 30
Un problema así se presenta a menudo en topología, y puede ser muy difícil o in-
soluble ( ¡como pasa con la orientación! ). Sin embargo, en el caso en que la propie-
dad exigida a los vectores s(x) sea una propiedad "convexa", es decir, si siempre
que s1 (x) y s2 (x) tienen esa propiedad también la tienen todos los vectores de la
forma
para t E [O, 1 ], entonces existe posibilidad de solución:
41
~ ··------ -----x
Fibra, aquí !Ex® Exl*
Fig. 31
La sim_etría y la definición positiva son propiedades convexas .
•
El instrumento técnico con que se cosen las secciones dadas localmente para formar
una sección global (una herramienta que el topólogo diferencial ha de tener siempre
a punto) es una partición de la unidad:
(4.17) Definición. Sea X un espacio topológico. Una familia {Ta} ae A de funcio-
nes continuas
Ta:X ➔ [O,l]
se llama partición unidad si cada punto de X tiene un entorno en el que sólo un nú-
mero finito de T1 son distintas de cero y, para todo x E X, se cumple:
( 4.18) Definición. Una tal partición de la unidad se dice subordinada a un cierto
recubrimiento de X si para todo a el soporte de Ta (esto es, Sop Ta·: = {x E X 1
Ta (x) *O}) está contenido en uno de los conjuntos del recubrimiento.
(4.19) · Cita de un teorell)a de topología. (cf. [ 8), pág. 88,Teorema 4): Si X (!S pa-
racompacto existe para cáda recubrimiento abierto una partición subordinada de la
unidad.
(4.20) Corolario.· Si E es un /ibrado vectorial sob,:e un espacio paracompacto (por
ejemplo, una variedad), E puede ser provisto de una métrica riemanniana.
42
Demostración: Sea 'JI unatlas de E y { Ta }.e A una partición de la unidad subordi-
nada a { U}u-, U) e 11 • Para cada a elegimos una carta. vectorial (f., u.), tal que
Sop r. Cu., y una métrica riemanniana s. para EIU •. Entonces 10 s0 es una sec-
ción continua de (E EB E)"' en todo X si se define 10 s0 como la sección nula fuera del
soporte de 1 • .
5 e<:
~ (E /
~
~
® E)*
V
r
/ ·\
... ---
Fig. 32
Entonces s: = ~ Ta s. es evidentemente una métrica riemanniana para X. ll
o EA
(4;2]) Indicación. En variedades diferenciables existe para cada recubrimiento
abierto incluso una partición de la unidad diferenciable, es decir, las r. se pucJcn
elegir diferenciables y, por consiguiente, todo fibrado vectorial tiene también una
métrica riemanniana diferenciable. Dada la gran importancia de las particiones difc-
renciables de la unidad en topología diferencial, no las liquidaremos con esla nota
sino que su existencia ser.á. demostrada con detalle en el capítulo 7; hasta ese mo-
mento nos abstendremos de usarlas.
(4.22) Ejercicios.
l. Explíquese de qué forma pueden interpretarse los homomorfismos de fibrados
f:H ➔ F
como secciones de E* EB F = Hom (E, F).
2. Demuéstrese que si E 1 (l) E2 ~ h.'3 y ambos fibra dos vectoriulcs H¡, i = 1, 2 sun
orientables también lo es el tercero.
3. Sea E un fibrado vectorial orientable y F CE un subfibrado. Demuéstrese que
E/Fes orienta ble si y sólo sf Fes orienta ble.
43
4. Demuéstrese que un fibrado vectorial es orientable si y sólo si posee un atlas
vectorial cuyas funciones de paso son todas ellas aplicaciones de GL +(n, IR) : =
= {A E GL(n, IR) 1 det A > O}.
5. Sea E un fibrado vectorial. Demuéstrese que E a, E es orienta ble.
6. Sea (E, 1T, X) un fibra<lo vectorial y 'ir: X(E) ➔ X su recubridor de orientacio-- ~ n,~s. Demuéstrese que rr • E' posee una orientación (canónica).
' ~
7. Se entiende por recubridor de orientaciones M ➔ M de una variedad M el recu-
bridor de orientaciones de TM. Demuéstrese que la variedad M es orienta ble.
B. Demuéstrese que IR P11 es orientable paran impar y no orientable paran par.
9. Demuéstrese que para toda subvariedad M C IR" la suma de Whitney
1 o.
11.
TMEBlM
d~l, fibr~,iP, tangen te y el normal es trivial.
tj~ fiqt(~ vectorial se llama establemente trivial si su suma de Whitney con
cqn un fibrado trivial apropiado es trivial. Demuéstrese que TS'1 es estable-
m!ente trivial.
,
Sea Muna variedad y AM la diagonal de M x M:
ó.M: = {(x, x) EM xMlx EM}.
Demuéstrese que !:i.M es una subvariedad de M x M para la que los fibrados tan-
gencial y normal son isomorfos: TAM =!á lt:i.M.
12. Demuéstrese que si (E, rr, X) es un fibrado trivial con una métrica riemanniana,
existe un isomorfismo de fibrados
E===XxIR 11
que ~.s una isometría en cada fibra.
~ .. __ ;
13. Sea\f! un fibrado vectorial sobre X y ~I un atlas vectorial para E, cuyas funciO:.
nes de paso son todas ellas aplicaciones de O(n) C GL(n, IR). Demuéstrese que
existe una sola métrica riemanniana (, ) en E tal que todas las cartas de lll son
isometrías en las fibras.
14. Sea X un espacio en el que todo recubrimiento abierto posee una partición de
la unidad subordinada (por ejemplo, una variedad). Demuéstrese que para todo
"fibrado de líneas" (es decir, fibrado vectorial !-dimensional) L sobre X, L EBL
es trivial.
5 Propiedades locales y tangenciales
Para el estudio local de las variedades es importante ante todo ver si un germen
f: (M, p) ➔ (N, q) es invertible, es decir, si una aplicación aplica un entorno de fJ
difeomórficamente sobre un entorno de q. La propiedad funtorial muestra que para
un germen así la diferencial Tp[: TpM ➔ TqN es un isomorfismo y el cálculo dife-
rencial nos enseña que esta condición es también suficiente.
(5.1) Teorema de la función inversa. Un germen diferenciab/e es invertí bit' si y scilo
si su diferencial es un isomorfismo.
Introduciendo cartas ii: (M, p) ➔ (IRm, O) y, k: (N, q) ➔ (IR11 , O), [induce el gcrm<!n
invertible
La diferencial es ahora una aplicación lineal IR'" ➔ IR 11 que, según (2.4), qucJu tks-
crita mediante la matriz jacobiana en el origen Dg0 • Si ésta es invertible (la diferen·
cial es isomorfismo, en particular m = n), entonces un representante g de g es inv1:r-
tible en un entorno, es decir, g, y por lo tanto también 1, es invertible (ver por ejem-
plo Grauert-Fischer [2], capítulo IV, § 4, 5). D
En una situación aún más general se describe un germen mediante su diferencial:
(S.2) Definición. El rangu de una aplicación diferenciable f: M ➔ N en el punto
p E M (el rango del germen/: (M, p) ➔ N) es el número
(5.3) Observación. El rango de una aplicación es una función semicontinua infc-
riormente: si rgpf = r, existe un entorno U de p ta_! que rgqf;;,, r para todo q E U.
Demostración. Una vez elegidas las cartas es preciso demostrar que el rango dt~ una
matriz jacobiana Df no puede disminuir localmente en torno a p E V C IR". Las
componentes de esta matriz describen una aplicación diferenciable
Df: V ➔ IR'" · 11 , q.....,(a[¡ (q)). ax, .
1
45
Como rgpf = r, existe una submatriz r x r de D[p (sin pérdida de generalidad pode-
mos suponerla formada por las r primeras filas y columnasJ .:..iyo determinante no se
anula en el punto p; así la aplicación
V ......... IR"' . n ......... IRr ·' -------. IR
p ,_. D[p ,._.., submatriz ,_. determinante
no se anula en el punto p, por lo tanto tampoco en un entorno U de p; en este en-
torno no disminuye el rango. O
Naturalmente, el rango puede ser mayor que rgpf arbitrariamente cerca de p.
Ejemplo:
f: IR ➔ IR, X t-- x2
tiene diferencial Dfx = 2x i=- O para x i=- O.
Si un germen J: (M, p) ➔ (N, q) es descrito por una aplicación lineal para cartas
apropiadas en torno a p y q, es decir, si existe una aplicación lineal g: IR m ➔ IR 11 y
cartas h, k tales que el diagrama siguiente es conmutativo:
•
(M, p)----. (N, q)
;q f l _k
(!Rm,O) _ (IR11 ,O),
g
entonces la diferencial Tg está dada por la matriz jacobiana, y la matriz jacobiana
Dg de la aplicación lineal g : x t-- y con
Y;= l; a¡¡:x¡
I
es (ay;Jax¡) = (a¡¡), constante, luego el rango de un representante fes localmente
constante, a saber, igual al rango de la matriz (a;¡). Esta condición en el rango es no
sólo necesaria sino también (como veremos inmediatamente) suficiente para que el
germen f pueda ser descrito, una vez elegidas cartas apropiadas, mediante la diferen-
cial Tpf=g.
Una aplicación lineal de rango r se pllede poner siempre, mediante la elección de
bases apropiadas, de la forma
g ·. IR m ➔ IR11 , ( ) ( O O) X¡ , ••• , Xm t-- X¡, •.• , Xr, , ••• , •
Queremos expresar que un germen tiene rango constante si posee un representan-
te con rango_constante.
(S.4) Teorema de rango. Sea f: (M, p) t-- (N, q) un germen de rango constante r;
entonces existen cartas h y k en torno a p y q respectivamente, tales que el germen
k o fo h - 1: (IRm, O) ➔ (IR11 , O) viene representado por ·
(x 1 , •• • , Xm) t-- (x 1 , • •• , Xr, O, ... , O).
46
f . -
g
--·►
01~
lk
Rn-r $R'R"
(x1 , ... ,Xm) i--- (x1 ... Xr,0, ... ,0) Fig. 33
Demostración. Podernos suponer de partida que 1: (lllm, O) ➔ (IR.11 , O); así encon-
trarnos una subrnatriz r x r de Df que es regular en el origen, e intercambiando las
coordenadas de IR_m y IR11 si es necesario obtenernos que_la matriz
es regular.en el origen.
3[¡
-, 1<.;,;<.,
3x¡
Sea ii : (IRm, O) ➔ (lllm, O) representada por la aplicación
h : (x 1 , ••• , Xm) f-+ (11 (x), ... , fr(x), x, + 1 , ••• , Xm );
e~tonces la matriz jacobiana de h tiene la forma
Df;/f1x1
-
¡jJ¡ = 1
o ··.O o·· . . 1
det (Dh 0 ) = det (3f¡/3x¡(O)¡, ¡" r =/=- O.
Así ii es, según el teorema de la función inversa, un germen invertible y el diagrama
(X¡, . .. , Xm) f-+ if1 (x), ... , fn(x))
~ /
(11 (x), ... , fr(x), Xr + 1, ... , X111 )
11
(z 1 , ••• , Zm)
47
muestra que el germen l: = / 0 ;¡-i está representado por la aplicación
(5.5) (z 1 , ••• , Zm) ➔ (z1, ••• , Zr, Kr+ 1 (z), ... , Kn(z)).
La matriz jacobiana del tiene por lo tanto, la forma
1 :. .. o o Q"· .. 1
Dg =
? A(z)
Hasta aquí nos lleva la transformación del espacio original y se ha usado solamente
que rg0f ';iJ r.
Pero, como rg(f) = rg(g) = rg(Dg) = r en un entorno del origen, A(z) se anula ne-
cesariamente en este entorno, A(z) = O, luego
3g-
_, =O para r+l~i~n,r+I~j~m.
3z¡
Consideremos ahora en el espacio imagen el germen k : (IR n, O) ➔ ( IRn, O), represen-
tado por lil-aplic~ción · ·
(Y1, .. ·,Y.) ...... (Y1, ···,Y,, Y,+ 1 -g, + 1 ( Y1, · .. , Y,,O, ... ,O), ... , Yn -11.(Y1, ... , Y,, O, ... , O)).
La matriz jacobiana de ié tiene la forma
1
·· .. O o
Q'· .. 1
,.
Dk =
1
?
· .. o
o·· .. i n-r,
de modo que k es invertible y k o 1 o ¡¡-i = k o g está representado por la compo-
sición
(:¡, .. ,,zm) "'g' (:¡,,,.,z,,g,+¡(z), ... ,fJ11 (z))
---¡--+ (:1, ... , z,,g, .. 1 (z) - 1/,+ 1 (z1, ... , z,, O, ... , O), ... , g.(z) - g,,(z1, ... , z,, O, ... , O)).
48
Si nos restringirnos ahora a un entorno cúbico I z¡I < E para f suficientemcnll! pe-
queño, entonces
g¡(z 1 , •• • , Zn) -g¡(z 1, .. . , z,:, O, ... , O)= O, r + 1,.;;; i,.;;; 11
debido a(*), luego k O i está representado por
(z¡,._: ., Zm) ·(z¡, .. . , Zr, O, ... , O). □
El teorema del rango, y mediante él el teorema de la función inversa, domina la
geometría elemental de las aplicaciones diferenciables.
Si rgpf es máximo, y por lo tanto igual a la dimensión de M o N, el rango es en--
tonces localmente constante (5.3) y el teorema del rango utilizable.
(5.6) Definición. Una aplicación diferenciable f: M ➔ N se llama:
para todo p E M.
Submersión (submersiva) si rgpf= dim N,
Inmersión (inmersiva) si rgpf = dirn M,
Un punto p E M se llama regular si la diferencial Tpf es sobreyectiva. Un punto
q E N se llama valor regular de f si cada punto de ¡-1 (q) es regular. En lugar de "no
regular" se usan las expresiones singular o cri'tico.
Obsérvese que un punto q EN es en particular un valor regular si ¡-1 (q) "' </J,
aún cuando no sea imagen de la función. La aplicación fes una submersión si todo
punto p E.Mes regular o si todo punto q EN es un valor regular.
Que f sea una inmersión significa que la diferencial Tf es inyectiva en todo punto
p E M. Según el teorema del rango f tiene entonces localmente, y en coordenadas
apropiadas, la forma
(x 1 , ••• , Xm) t-• (x 1, .. . , Xm, O, ... , O);
en particular, posee cada punto de M un entorno que f inmerge difeornórficamente
en N. Con todo, f no es necesariamente inyectiva:
f ..
Fig. 34
y aunque f sea inyectiva, no tiene por qué ser una inmersión difeomórfü:a; con-
traejemplo:
49
R
f
Fig. 35
Si, sin embargo, Mes compacta y f: M ➔ N es inmersiva e inyectiva, fes una inmer•
sión difeomórfica: más en general:
(S.7) Proposición. Sea f: M ➔ N una inmersión inyectiva y f: M ➔ f(M) un ho-
meomorfismo, donde f(M) CN tiene la topologia inducida como subespacio; enton-
ces fes una inmersión difeomórfica.
Demostración: Si p E M y f(p) = q EN, el teorema del rango proporciona cartas
h : U ➔ U' y k : V ➔ V' en torno a p y q respectivamente, tales que/ induce la apli-
cación
f; = k o fo h - l ,
(x 1 , ••• , Xm) ➔ (x 1, .• . , Xm, O, .... , O);
además, tómese U suficientemente pequeño para que Testé definida en todo U':
T: u' ➔ v'.
Como fes un homeomorfismo, U= ¡-1 W para un cierto entorno abierto W (le q, y
para la carta k' : = k 1 (V n W) se cumple k'(f(M) n V n W) = IR.m n k'( V n W). Por
consiguientef(M) es una subvariedad de N y f: M ➔ f(M) es localmente invertible y
biyectiva, luego es un difeomorfismo. D
M
f -
7 -U'
Fig. 36
50
Para una inmersión f : M ➔ N se puede definir, lo mismo que para una inmcr~i{,n
difeomórfica, un fibrado normal: como Tf: TM ➔ TN aplica cae.la fibra inycdiva-
mente, según la definición (5.6), el homomorfismo inducido (3.12) de fibrados vcc·
toriales sobre M
h: TM ➔ f"TN
es inyectivo, y el fibrado cociente
(5.8) f*TN/h(TM)
se llama librado normal de/.
(S.9) Lema. Si q es un valor regular de la aplicación diferenciab/e f: M" + k -• N",
¡-1 (q) es una sub variedad diferenciab/e de M de codimensión n.
Demostración. Si f(p) = q, el rango de fes localmente constante en tomo a p, sc--
gún (5.3), ya que no puede ser mayor que n, luego se pueden introducir por el leo-
rema del rango sistemas de coordenadas locales en torno a p y q de modo que l c~té
dado en estas coordenadas por
p = (O, ... , O), q = (O, ... , O)
en un entorno U de p. Entoncesf-1 (q) n U= IR.k n UC IR.n +kn U; así pues,¡--• (q)
es una subvariedad de dimensión k. □
Este lema es el instrumento más importante para demostrar que un subconjunto
de una variedad diferenciable es una subvariedad, o para construir subvaricdadcs.
Las líneas de nivel de un mapa, por ejemplo, son subvariedades siempre que la altura
sea regular.
alturas
,..._ __ _:~-------------i Valor crítico
-----------< Valor regule,
Valor crítico
Fig. 37
Damos como ilustración la siguiente
5 1
(5.1 O) Aplicación. El co11j1111to 0(11) de las matrices reales ortogonales n x n es una
sub variedad de IR n • 11 , conjunto de todas las matrices, de dimensión ½ . n , (n - 1 ).
Demostración. Una matriz A E IR n •n es ortogonal si y sólo si 'AA es igual a E, la
matriz unidad. En todo caso, 'AA es simétrica. Así pues, O(n) es la imagen inversa
de E por la aplicación ·
f: IRn•n ➔ S, A t--+ 1AA
de IR11 • n en el conjunto de todas las matrices simétricas (S = IR l n <11 + 1 l ).
Para calcular la diferencial de f consideramos la aplicación en los caminos w(A) =
= A +A• B que pasan por A tal que f(A) = E:
f(A + AH) =E+ A(1AB + 1BA) + A2 • 1BB.
Así, a TA (f) pertenecen precisamente las matrices de la forma (' A B + 1 BA ), donde
'AA = E y BE IR n •n es arbitrario. Se ve que éstas son todas las matrices simétricas
poniendo B = ½ AC para C matriz simétrica cualquiera. Por tanto, E es un punto re-
gular de / y O(n) C IRn · 11 es una subvariedad, y su codimensión es dim (S) =
= ½ n (n + 1). O
(5.11) Definición. Sean M, N variedades diferenciables y sea L C N una subvarie-
dad k-codimensional. Una aplicación diferenciable f: M ➔ N se llama transversal a
L si se cumple la condición de transversa/idad para todo p EM:
Tpf(TpM) + Tt(p)L = Tf(p)N, en caso de que/{p) EL,
f (M)
L
L
transversal no transversal
Fig. 38
Naturalmente, se debe disfrutar de estas representaciones gráficas con cuidado: el
comportamiento de la aplicación no se puede deducir solamente del conjunto
imagen.
52
La condición de transversalidad impone una exigencia sólo en los punlos de la
imagen inversa de L. Por ejemplo, una aplicación cuya imagen no intersecta a la sub-
variedad es en particular trans•,".;rsal, y si dim M < codim L entonces fes transversal
a l si y sólo si f(M) n L =</),ya que la condición (Trp) no se puede cumplir en nin-
gún otro punto. La suma de espacios vectoriales en 1a·condición de transversalidad
no necesita ser directa; por ejemplo, toda aplicación es transversal a L = N.
Además se puede hacer una formulación equivalente: (Trp) <? la composición de
aplicac.idnes lineales
7T = proyección,
es sobreyectiva para q = f(p) E L. La condición expresa que el espacio tangente M sc
aplica."tan transversalmente como es posible" respecto a la subvariedad /,.
Si L es un punto, la aplicación f es transversal a L si y sólo si este punto es
regular.
(5.12) Proposición. Si f: Af ➔ N es transversal a la subvariedad k-codime11siu11 .. J
L C N y ¡-1 (L) i=- </), entonces¡· 1 (L) es una sub variedad k-codimensional de Al y
existe un isomorfismo de fibrados canónico para los. librados normales
l(f-1 L)::::: /*(ll).
Demostración. Sea /(p) = q E L y sea un entorno V de q mediante coordenadas
locales apropiadas V ::::: V' C IR.11 :
en que la inclusión IR11 -kc IR 11 está dada por la anulación de las k últimas coordena-
das, y sea 11 : IR 11 ➔ IR k la proyección sobre estas coordenadas. Entonces
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