Topologia Algebraica

Vista previa del material en texto

MARCO A. PÉREZ B.
Université du Québec à Montréal.
Département de Mathématiques.
TOPOLOGÍA ALGEBRAICA
Notas de curso
S2 − {N, S}
S1 × RS1
∼=
∼=
Julio, 2012.
Estas notas están basadas en un curso dado por Ferḿın Dalmagro en la UCV entre finales
de 2006 y principios de 2007. Cualquier error u omisión es responsabilidad del autor.
i
ii
TABLA DE CONTENIDOS
1 CATEGORÍAS Y FUNTORES 1
1.1 Categoŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sucesiones en Mod−R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Los funtores Ext y Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 HOMOTOPÍA 11
2.1 Grupo fundamental o de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Homotoṕıa de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Aplicaciones del grupo fundamental de S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Revestimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 HOMOLOGÍA SINGULAR 25
3.1 Homoloǵıa singular y sus propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Sucesión exacta del par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Escisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Sucesión exacta de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.5 Complejos CW y su homoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 VARIEDADES DIFERENCIABLES 41
4.1 Estructuras y aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 Fibrados vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Fibrado tangente a una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Fibrado de formas sobre una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.5 Cohomoloǵıa de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
BIBLIOGRAFÍA 57
iii
iv
CAPÍTULO 1
CATEGORÍAS Y FUNTORES
1.1 Categoŕıas
Una categoŕıa C es una clase de objetos Ob(C) tal que para cada par de objetos X e Y existe un conjunto
de flechas o morfismos HomC(X,Y ) sujeto a las siguientes condiciones:
(1) Para todo X, Y y Z y morfismos f : X −→ Y y g : Y −→ Z, existe una flecha h : X −→ Z llamada
composición de f y g, que denotamos por g ◦f . Dicha composición es asociativa. En este caso, diremos
que el siguiente triángulo es conmutativo:
X Y
Z
f
g ◦
f
g
(2) Para cada objeto X ∈ Ob(C) existe un morfismo idX ∈ HomC(X,X) tal que para todo Y ∈ Ob(C) y
para todo f : X −→ Y y g : Y −→ X se tiene f ◦ idX = f y idX◦ = g.
Dadas dos categoŕıas C y D, diremos que C es una subcategoŕıa de D si cada objeto de C es un objeto de
D, y para cada par de objetos X e Y en C se tiene HomC(X,Y ) ⊆ HomD(X,Y ).
Ejemplo 1.1.1. Los siguientes son ejemplos de categoŕıas:
(1) Conj, donde Ob(Conj) son los conjuntos, y HomConj(X,Y ) son las funciones de X en Y .
(2) Top, donde Ob(Top) son los espacios topológicos, y HomTop(X,Y ) son las funciones continuas de X
en Y .
(3) Top1, donde Ob(Top1) son los espacios topológicos (X,x0) con X ∈ Ob(Top) y x0 ∈ X, y los
morfismos HomTop1((X,x0), (Y, y0)) son las funciones continuas de X en Y tales que f(x0) = y0.
(4) Top2, donde Ob(Top2) son los espacios topológicos (X,A) con X ∈ Ob(Top) y A ⊆ X, y los morfismos
HomTop2((X,A), (Y,B)) son las funciones continuas de X en Y tales que f(A) ⊆ B.
1
(5) Var, donde Ob(Var) son las variedades diferenciables, y HomVar(X,Y ) son las funciones diferenciables
de X en Y .
(6) Mod−R (resp. R−Mod), donde Ob(Mod−R) (resp. Ob(R−Mod) son los módulos por la derecha
(resp. por la izquierda) sobre un anillo R, y HomMod−R(X,Y ) (resp. HomR−Mod(X,Y )) son los
homomorfismos de X en Y .
Más adelante estudiaremos con más detenimiento cada una de estas categoŕıas.
Recordemos que (R,+, ·) es un anillo conmutativo unitario si (R,+) es un grupo abeliano y si las siguientes
condiciones se satisfacen para todo a, b, c ∈ R:
(1) a · b = b · a.
(2) (a · b) · c = a · (b · c).
(3) a · (b+ c) = a · b+ a · c.
(4) Existe un elemento 1 ∈ R tal que 1 · a, para todo a ∈ R.
Ejemplo 1.1.2. Z, Q y R son ejemplos de anillos.
Sea (M,+) un grupo abeliano y R un anillo conmutativo unitario. Diremos que M es un módulo sobre R
si existe una operación · : R×M −→M tal que las siguientes condiciones se satisfacen para todo a, b ∈ R y
x, y ∈M :
(1) a · (x+ y) = a · x+ a · y.
(2) (a+ b) · x = a · x+ b · x.
Sean M y N R-módulos y f : M −→ N . Diremos que f es un homomorfismo de R-módulos si para todo
x, y ∈M y todo a ∈ R las siguientes condiciones se satisfacen:
(1) f(x+ y) = f(x) + f(y).
(2) f(a · x) = a · f(x).
Ejercicio 1.1.1. Pruebe que todo Z-módulo en un grupo abeliano. Rećıcprocamente, todo grupo abeliano
puede verse como un Z-módulo. Pruebe también que todo módulo sobre un cuerpo es un espacio vectorial.
Ejercicio 1.1.2. Estudiar la estructura anular de Zp := Z/p·Z. Si p es primo, demuestre que Zp es un cuerpo.
Dadas dos categoŕıas C y D, un funtor de C en D es una asignación F : C −→ D tal que:
(1) A cada objeto X ∈ Ob(C) le asigna un objeto F (X) en D.
(2) A cada morfismo f ∈ HomC(X,Y ) le asigna un morfismo F (f) ∈ HomD(F (X), F (Y )) sujeto a las
siguientes condiciones:
2
(a) Para cada diagrama conmutativo en C
X Y
Z
f
g ◦
f
g
se tiene un diagrama conmutativo en D
F (X) F (Y )
F (Z)
F (f)
F (g ◦ f)
F (g)
(b) Para cada X ∈ Ob(C) se tiene F (idX) = idF (X).
Un cofuntor o functor contravariante de C en D es una asignación F : C −→ D tal que:
(1) A cada objeto X ∈ Ob(C) le asigna un objeto F (X) en D.
(2) A cada morfismo f ∈ HomC(X,Y ) le asigna un morfismo F (f) ∈ HomD(F (Y ), F (X)) sujeto a las
siguientes condiciones:
(a) Para cada diagrama conmutativo en C
X Y
Z
f
g ◦
f
g
se tiene un diagrama conmutativo en D
F (X) F (Y )
F (Z)
F (f)
F (g ◦ f)
F (g)
(b) Para cada X ∈ Ob(C) se tiene F (idX) = idF (X).
Ejemplo 1.1.3. Sea H0 : Top −→ Conj el funtor que asigna a cada espacio topológico X el conjunto
H0(X) formado por todas las componentes conexas de X, y a toda función continua f : X −→ Y la función
H0(f) : H0(X) −→ H0(Y ) definida por:
H0(f)(C) = componente conexa de f(C).
3
Este funcor distingue a R de Rn, para todo n ≥ 2. Si R y Rn son homeomorfos, entonces también lo son
R − {0} y Rn − {(0, . . . , 0)}. Al aplicar H0, tenemos que H0(R − {0}) es un conjunto de dos elementos
y H0(Rn − {(0, . . . , 0)}) es un conjunto de un elemento. Por lo tanto, R y Rn, con n ≥ 2, no pueden ser
homeomorfos.
Dada una categoŕıa C y f ∈ HomC(X,Y ), diremos que:
(1) f es un monomorfismo si para todo Z ∈ Ob(C) y h1, h2 ∈ HomC(Z,X), la igualdad f ◦ h1 = f ◦ h2
implica h1 = h2.
(2) f es un epimorfismo si para todo Z ∈ Ob(C) y g1, g2 ∈ HomC(Y, Z), la igualdad g1 ◦f = g2 ◦f implica
g1 = g2.
(3) f es un isomorfismo si existe g ∈ HomC(Y,X) tal que g ◦ f = idX y f ◦ g = idY .
Ejercicio 1.1.3. Probar que en la categoria Conj, (1), (2) y (3) son equivalentes a inyectividad, sobreyec-
tividad y biyectividad.
Ejercicio 1.1.4. Pruebe que los isomorfismos son invariantes por funtores y cofuntores.
Ejercicio 1.1.5. ¿Son invariantes los epimorfismos?
1.2 Sucesiones en Mod−R
Una sucesión semi-exacta (o complejo de cadena) en Mod−R es una sucesión de R-módulos y homo-
morfismos
· · ·An−1
∂n−1−→ An ∂n−→ An+1 −→ · · ·
donde cada An es un R-módulo y cada ∂n es un homomorfismo de R-módulos, tales que ∂n ◦ ∂n−1 = 0, es
decir Im(∂n−1) ⊆ Ker(∂n).
Una sucesión exacta · · · −→ An−1
∂n−1−→ An ∂n−→ An+1 −→ · · · es exacta si Ker(∂n) = Im(∂n−1). Recuerde
que para todo homomorfismo g : M −→ N , el núcleo Ker(g) y la imagen Im(g) se definen como
Ker(g) := {x ∈M / g(x) = 0},
Im(g) := {y∈ N / existe x ∈M tal que g(x) = y}.
Un complejo de cadenas es una sucesión semiexacta
A = · · · −→ An+1
∂n+1−→ An ∂n−→ An−1 −→ · · ·
4
Dados dos complejos de cadena A y C, una transformación de cadena g : A −→ C es una sucesión de
homomorfismos de R-módulos (gn : An −→ Cn / n ∈ Z) tales que para cada n ∈ Z el siguiente cuadrado es
conmutativo:
An An−1
Cn Cn−1
∂n
gn gn−1
δn
Ejercicio 1.2.1. Probar que los complejos de cadena y las transformaciones de cadena constituyen una
categoŕıa, a la cual denotaremos por Cad(R).
Ejercicio 1.2.2. Dado un R-módulo M y un submódulo N ⊆ M , diremos que x, y ∈ M son equivalentes
(x ∼ y) si x − y ∈ N . Es fácil ver que ∼ es una relación de equivalencia. Denotamos por M/N el conjunto
de clases de equivalencia M/N := {x mod N : x ∈M}. Probar que M/N es un R-módulo.
Ejercicio 1.2.3. Considere la asignación Hn : Cad(R) −→Mod−R dada por
(1) Hn(A) := Ker(∂n)/Im(∂n+1) (n-ésimo grupo de homoloǵıa) para cada complejo de cadena A.
(2) Para cada transformación de cadena g : A −→ C, sea Hn(g) : Hn(A) −→ Hn(C) el homomorfismo
definido por
Hn(g)(x+ Im(∂n+1)) := gn(x) + Im(δn+1).
Pruebe que Hn(g) está bien definido. Luego demuestre que Hn es un funtor.
Un complejo de cocadenas es una sucesión semi-exacta
A = · · · −→ An−1
∂n−1−→ An ∂n−→ An+1 −→ · · ·
Dados dos complejos de cocadena A y C, una transformación de cocadenas g : A −→ C es una colección
de homomorfismos de R-módulos (gn : An −→ Cn / n ∈ Z) tales que para cada n ∈ Z el siguiente cuadrado
es conmutativo:
An−1 An
Cn−1 Cn
∂n−1
gn−1 gn
δn−1
Denotaremos por CoCad(R) la categoŕıa de los complejos de cocadena y las transformaciones de cocadena.
5
Ejercicio 1.2.4. Considere la asignación Hn : CoCad(R) −→Mod−R dada por
(1) Hn(A) := Ker(∂n−1)/Im(∂n) (n-ésimo grupo de cohomoloǵıa) para cada complejo de cadena A.
(2) Para cada transformación de cocadena g : A −→ C, sea Hn(g) : Hn(A) −→ Hn(C) el homomorfismo
definido por
Hn(g)(x+ Im(∂n)) := gn(x) + Im(δn).
Pruebe que Hn(g) está bien definido. Luego demuestre que Hn es un funtor.
Un R-módulo P se dice proyectivo si para todo diagrama
P
M N 0
g
f
existe un homomorfismo h : P −→M tal que f ◦h = g. En otras palabras, tenemos un diagrama conmutativo
P
M N 0
g
f
∃ h
Un R-módulo L se dice libre si existe un conjunto B tal que todo elemento de L es combinación lineal finita
de elementos de B, y dicha combinación es única.
Ejercicio 1.2.5. Dada una familia de R-módulos (Mα : α ∈ Λ), consideremos el conjunto
M =
∏
α∈Λ
Mα =
{
f : Λ −→
⋃
α∈Λ
Mα, f(α) ∈Mα
}
,
al cual denominaremos producto de R-módulos. Demuestre que M tiene estructura de R-módulo. Probar
lo mismo para el conjunto
⊕
α∈Λ
Mα :=
{
f ∈
∏
α∈Λ
Mα / f(α) = 0, salvo para un número finito de ı́ndices α
}
.
Este R-módulo se conoce como suma directa.
Note que si Λ = {1, 2, . . . , n} entonces ∏ni=1Mi = ⊕ni=1Mi.
6
Una sucesión exacta corta es un diagrama
0 −→M ′′ f−→M ′ g−→M −→ 0
tal que Ker(g) = Im(f), f es inyectivo y g es sobreyectivo.
Ejemplo 1.2.1. Si M y N son R-módulos, 0 −→M iM−→M ⊕N pN−→ N −→ 0 es una sucesión exacta corta,
donde iM (x) = (x, 0) y pN (x, y) = y. Note que pM ◦ iM = idM y pN ◦ iN = idN .
Ejercicio 1.2.6. Probar que todo módulo libre es proyectivo.
Ejercicio 1.2.7. Sea 0 −→ M ′′ f−→ M ′ g−→ M −→ 0 una sucesión exacta. Las siguientes condiciones son
equivalentes:
(1) Existe h : M −→M ′ tal que g ◦ h = idM .
(2) Existe k : M ′ −→M ′′ tal que k ◦ f = idM ′′
(3) Existe h : M −→M ′ y k : M ′ −→M ′′ tal que g ◦ h+ k ◦ f = idM ′ .
(4) M ′ ∼= M ⊕M ′′.
1.3 Los funtores Ext y Tor
Dado un R-módulo M , denotaremos por Hom(M,−) al funtor Mod−R −→Mod−R definido de la siguiente
manera:
(1) Hom(M,N) = {homomorfismos de M en N}, para cada N ∈Mod−R.
(2) Para cada homomorfismo f : N −→ N ′, Hom(M,f) : Hom(M,N) −→ Hom(M,N ′) es el homomorfismo
dado por
Hom(M,f)(g) = f ◦ g, para todo g ∈ Hom(M,N).
Dado un R-módulo N , consideramos la sucesión exacta
0 −→ N ′′ β−→ N ′ α−→ N −→ 0,
donde N ′ es el R-módulo generado por N :
α(r1 · x1 + · · ·+ rn · xn) = r1 · x1 + · · ·+ rn · xn,
donde la suma de la izquierda es una suma formal y la de la derecha es la suma en N , N ′′ = Ker(α) y β es
la inclusión.
Proposición 1.3.1. La sucesión
0 −→ Hom(M,N ′′) Hom(M,β)−→ Hom(M,N ′) Hom(M,α)−→ Hom(M,N)
es exacta.
7
Se define Ext1(M,N) como
Ext1(M,N) := CoKer(Hom(M,α)) = Hom(M,N)/Im(Hom(M,α)).
Si N es proyectivo entonces Hom(M,α) es un epimorfismo. Entonces Ext1(M,N) = 0 si N es proyectivo.
En cierta forma, Ext mide la proyectividad de N .
Ejercicio 1.3.1. Defina el funtor Ext1 : Mod−R −→Mod−R.
Repasemos el producto tensorial de módulos. Dados dos R-módulos M y N , existe un R-módulo K y una
aplicación bilineal α : M ⊕N −→ K que satisface la siguiente propiedad universal: para todo R-módulo K ′
y toda aplicación bilineal β : M ⊕ N −→ K ′ existe una única aplicación lineal β′ : K −→ K ′ que hace el
siguiente diagrama conmutativo:
M ⊕N K
K ′
α
β
β
′
Se puede probar que dicho módulo K es único salvo isomorfismos.
Damos la construcción de dicho K. Sea D el grupo libre generado por M ⊕N = M ×N ,
D = {r1 · (x1, y1) + · · ·+ rn · (xn, yn) : ri ∈ R, xi ∈M, yi ∈ N, ∀ 1 ≤ i ≤ n, con n ∈ N}.
Sea H el submódulo de D generado por
{(x1 + x2, y)− (x1, y)− (x2, y), (x, y1 + y2)− (x, y1)− (x, y2), (a · x, y)− a · (x, y), (x, b · y)− b · (x, y)}.
El módulo K se define por K = M ⊗N := D/H, y la aplicación bilineal α : M ×N −→ K viene dada por
α(x, y) = [(x, y)] = x⊗ y.
Dado un R-módulo M y un homomorfismo f : N −→ N ′, M ⊗ f : M ⊗ N −→ M ⊗ N ′ es el único
homomorfismo que hace conmutativo al siguiente diagrama:
M ×N M ⊗N
M ×N ′ M ⊗N ′
α
M × f M ⊗ f
α′
Ejercicio 1.3.2. Pruebe que:
(1) M ⊗− es funtorial.
(2) M ⊗N ∼= N ⊗M .
8
Ejercicio 1.3.3. Pruebe que si 0 −→ N ′′ −→ N ′ −→ N −→ 0 es una sucesión exacta entonces
N ′′ ⊗M β⊗M−→ N ′ ⊗M α⊗M−→ N ⊗M −→ 0
es una sucesión exacta.
Sean M y N dos R-módulos y considere una resolución libre de N :
0 −→ N ′′ β−→ N ′ α−→ N −→ 0.
Sabemos que la sucesión
N ′′ ⊗M β⊗M−→ N ′ ⊗M α⊗M−→ N ⊗M −→ 0
es exacta. Se define Tor1(N,M) como
Tor1(N,M) := Ker(N,M).
Ejercicio 1.3.4. Demuestre que Tor1 es funtorial. ¿Es cierto que Tor1(M,N) = Tor1(N,M)?
9
10
CAPÍTULO 2
HOMOTOPÍA
2.1 Grupo fundamental o de Poincaré
Trabajaremos con la categoŕıa Top1 de los espacios punteados (X,x0). Dados dos puntos x0 y x1 en un espacio
topológico X, un camino σ que comienza en x0 y termina en x1 es una aplicación continua σ : [0, 1] −→ X
tal que σ(0) = x1 y σ(1) = x1. Dados dos caminos σ y α que comienzan en x0 y terminan en x1, diremos
que σ es homotópico a α si existe una aplicación continua H : [0, 1]× [0, 1] −→ X tal que:
(1) H(0, t) = x0,
(2) H(1, t) = x1,
(3) H(s, 0) = σ(s),
(4) H(s, 1) = α(s).
Denotaremos por α ∼H σ si α es homotópico a σ.
x0 x1
↵
�
↵
�x0
x1
Proposición 2.1.1. ∼ es una relación de equivalencia.
11
Demostración: Veamos primero que ∼ es una relación reflexiva. Basta considerar H(s, t) = α(s).
Ahora veamos que ∼ es simétrica. Supongamos que α ∼H σ. Luego σ ∼H′ α, donde H ′(s, t) = H(1−s, t).
Por último, veamos que ∼ es transitiva. Supongamos que α ∼H σ y que σ ∼H′ β. Entonces α ∼H′′ β,
donde
H ′′(s, t) =
{
H(2s, t), si s ∈ [0, 1/2)
H(2s− 1, t), si s ∈ [1/2, 1].
Denotemos por Ω(X,x0) el conjunto de los caminos cerrados que comienzan y terminan en x0. Consideremos
el conjunto cociente
π1(X,x0) := Ω(X,x0)/ ∼ .
Veamos que este conjunto posee estructura de grupo. Dadas dos clases [α] y [σ], definimos
[σ] ∗ [α] := [σ ◦ α], donde σ ◦ α(s) :=
{
α(2s), si 0 ≤ s ≤ 1/2,
σ2s− 1, si 1/2 < s ≤ 1.
Con esta operación, π1(X,x0) posee estructura de grupo. Primero verifiquemos que ∗ está bien definida.
Supongamos que σ1 ∼H1 σ2 y α1 ∼H2 α2. Se tiene que σ1 ◦ α1 ∼H3 σ2 ◦ α2, donde
H3(s, t) =
{
H1(2s, t), si 0 ≤ s ≤ 1/2,
H2(2s− 1, t), si 1/2 < s ≤ 1.
Por lo tanto, ∗ está bien definida.
x0 x0 x0 x0⇤
�1
�2 ↵2
↵1
H1 H2
H3
�2 � ↵2
�1� ↵1
x0 x0
(1) Axioma del elemento neutro: Definamos el camino e(t) = x0. Es fácil ver que [σ] ∗ [e] = [σ] y
[e] ∗ [σ] = [σ]. En el case σ ◦ σ0 ∼H σ, la función H está dada por
H(s, t) =
{
σ(s), si 0 ≤ s ≤ 2−t2 ,
x0, si
2−t
2 < s ≤ 1.
Considere las rectas L1 : y = 2x y L2 : y = −2x + 2. El siguiente diagrama explica el axioma del
elemento neutro.
12
(1, 0)
L1
L2
�
� �0
(2) Dada una clase [σ], definamos [σ]−1 = [σop], donde σop(s) = σ(−s). Tenemos que [σ] ∗ [σop] = [e],
donde σ ◦ σop ∼H e a través de la función
H(s, t) =
 σ(s), si 0 ≤ s ≤
t
2 ,
x0, si
t
2 < s ≤ 2−t2 ,
σop(s), si
2−t
2 < s ≤ 1.
� �op
x0
x0� �op
Ejercicio 2.1.1. Probar que el producto ∗ es asociativo.
Con la operación ∗, el par (π1(X,x0), ∗) se conoce como el Grupo Fundamental (o de Poincaré) de X
en x0.
Ejercicio 2.1.2. Dado un morfismo f : (X,x0) −→ (Y, y0) en Top1, sea π1(f) : π1(X,x0) −→ π1(Y, y0) la
aplicación dada por π1(f)([σ]) = [f ◦ σ], para todo [σ] ∈ π1(X,x0). Probar que π1(f) está bien definida,
es decir, si σ ∼ α en (X,x0), entonces f ◦ σ ∼ f ◦ α en (Y, y0). Probar además que π1(−) es un funtor
Top1 −→ Grp.
13
2.2 Homotoṕıa de funciones
Dados dos morfismos f, g : (X,x0) −→ (Y, y0) en Top1, diremos que f es homotópica a g (denotado por
f ≈ g) si existe una función continua H : I×X −→ Y tal que H(0, x) = f(x) y H(1, x) = g(x). Denotaremos
por [f ] a la clase de equivalencia de f .
Proposición 2.2.1. ≈ es una relación de equivalencia.
Diremos que un morfismo f : (X,x0) −→ (Y, y0) en Top1 es una equivalencia de homotoṕıa si existe otro
morfismo g : (Y, y0) −→ (X,x0) tal que f ◦ g ≈ idY y g ◦ f ≈ idX . En este caso, diremos que (X,x0) y (Y, y0)
son homotópicos, y denotaremos esta condición por (X,x0) ≈ (Y, y0). Diremos que un espacio (X,x0) es
contráctil si idX ≈ constante.
Proposición 2.2.2. Sean f, g : (X,x0) −→ (Y, y0) dos morfismos en Top1. Si [f ] = [g] entonces
π1(f) = π1(g).
Demostración: Tenemos que probar que f ◦ σ ∼ g ◦ σ, para todo [σ] ∈ π1(X,x0). Sabemos que existe
una función continua H : I ×X −→ Y tal que H(0, x) = f(x) y H(1, x) = g(x). Definimos
H ′(s, t) =
{
H(2s, σ(t)), si 0 ≤ s ≤ 1/2,
H(2s− 1, σ(t)), si 1/2 < s ≤ 1.
Note que H ′(0, σ(t)) = f ◦ σ(t) y H ′(1, σ(t)) = g ◦ σ(t).
Corolario 2.2.1. Si (X,x0) es contráctil entonces π1(X,x0) = {0}.
Demostración: Tenemos que idX ≈ c0, donde c0 es la función constante x 7→ x0. Entonces π1(idX) =
π(c0). Luego, para todo camino σ centrado x0, se tiene [σ] = π1(idX)([σ]) = π1(c0)([σ]) = [e].
Proposición 2.2.3. Todo subespacio conexo de Rn es contráctil.
Demostración: Fijamos x0 ∈ X, donde X es un subespacio convexo de Rn. Sea H : I ×X −→ X la
función continua dada por H(s, x) = s · x + (1 − s) · x0. Tenemos H(0, x) = x0 (contante) y H(1, x) =
x = idX(x).
14
Ejercicio 2.2.1. Sea (X,x0) un espacio topológico contráctil. Entonces todo par de funciones
f, g : (X,x0) −→ (X,x0) son homotópicas.
Diremos que un espacio X es simplemente conexo si π1(X,x0) = {0}, para todo x0 ∈ X.
Proposición 2.2.4. Sea {U, V } un cubrimiento abierto de X. Si U y V son subespacios simplemente
conexos de X y U ∩ V es conexo por arcos, entonces X es simplemente conexo.
Demostración: Consideremos sólo el caso no trivial en el que U ∩ V 6= ∅. Consideremos un camino σ
en X, debemos probar que σ es homotópico a e. Los casos σ ⊆ U y σ ⊆ V son triviales. Consideremos
el caso no trivial.
U V
x0
�
Tenemos que {σ−1(U), σ−1(V )} es un cubrimiento abierto de [0, 1]. Por el Lema del Cubrimiento de
Lebesgue, existe λ > 0 tal que para todo x ∈ [0, 1], B(x, λ) ⊆ σ−1(U) o σ(x, λ) ⊆ σ−1(V ). Como I es
un espacio compacto, existe una partición x0 = 0 < x1 < · · · < xn = 1 tal que para todo intervalo de la
partición [xj−1, xj ] ⊆ σ−1(U) o [xj−1, xj ] ⊆ σ−1(V ). Podemos suponer sin pérdida de generalidad que
para todo i = 1, . . . , n− 1, σ(xi) ∈ Ui ∩ Uj , donde Ui = σ([xi−1, xi]). Hagamos una prueba para n = 2,
tenemos el siguiente gráfico:
U V
x0 ��(x1)
�(x2)
�
Los caminos β y la parte derecha de σ son homotópicos porque β−1 ◦ σ ∼ σ(x1). Además, la parte
izquierda de σ compuesta con β es homotópica a 0. De esto se sigue el resultado.
Corolario 2.2.2. La espera Sn es simplemente conexo, para todo n ≥ 2.
15
Demostración: Sean N y S los polos Norte y Sur de la esfera, respectivamente. Como U = Sn − {N}
y V = Sn − {S} son simplemente conexos, y como U ∩ V = Sn − {N,S} es conexo por arcos, se tiene
que Sn es simplemente conexo.
Ejercicio 2.2.2. Hacer la prueba para n 6= 2.
Ejercicio 2.2.3. Probar que si un espacio topológico es conexo por arcos, entonces π1(X,x0) no depende
de la elección de x0.
Lema 2.2.1. π1(S
1, 1) = Z.
Considere la función e(t) = exp(2πit). Considere el conjunto cociente R/Z, donde [t] = [t′] si 2πt− 2πt′ = n
para algún n ∈ Z. Considere la aplicación ρ(exp(2πit)) = [t]. Tenemos que ρ está bien definida porque e es
periódica. Más aún, ρ es un homeomorfismo porque ρ es biyectiva y S1 es un espacio compacto.
R
R/Z S1
e
ρ
Proposición 2.2.5. Para todo camino σ : I −→ S1 tal que σ(0) = σ(1) = 1, se tiene:
(1) Existe σ′ : I −→ R tal que σ′(0) = 0 y e ◦ σ′ = σ.
(2) Si α : I −→ S1 es otro camino con α(0) = α(1) = 1 y H es una homotoṕıa de σ en α, entonces existe
H ′ : I × I −→ R tal que σ′ ∼H′ α′.
R
I S1
eσ
′
σ
Note que como e(σ′(1)) = 1, se tiene e−1(1) = Z, de donde σ′ termina en un entero. Sea Y = I o Y = I × I,
luego 0 = 0 o 0 = (0, 0). Consideremos una función f : Y −→ S1. Busquemos una función f ′ : Y −→ R tal
que f ′(0) = 0, e ◦ f ′ = f . Note que la función e satisface e(−1/2, 1/2) ⊆ S1 − {−1} (homeomórficamente).
R
Y S′
f
′
f
e
16
Demostración: Note que e es un homeomorfismo local, en particular (−1/2, 1/2) ∼=e S1 − {−1}.
(1) Si f(Y ) ⊆ S1 − {−1} entonces f ′ = e−1|(−1/2,1/2) ◦ f .
(2) En caso contrario, sea Γ un cubrimiento abierto por arcos conexos de S1 de longitud menor que π.
Luego, f−1(Y ) es un cubrimiento abierto de Y . Por el Lema del Cubrimiento de Lebesgue, existe
λ > 0 tal que si |x− z| < λ entonces existe U ∈ Γ tal que x, z ∈ f−1(U) implica que f(x) 6= −f(z),
de donde se sigue que f(x)f(z) 6= −1. Sea N ∈ N tal que Y ⊆ B(0, Nλ). Definamos f ′. Sea y ∈ Y .
Notamos que
f(y) =
 f(y)
f
(
(N−1)
N · y
)
 ·
f
(
(N−1)
N · y
)
f
(
N−2
N · y
)
 · [f (N−2N · y)
f
(
N−3
N · y
)] · · ·[f ( yN )
f(0)
]
.
Además ∣∣∣∣y − (N − 1)N · y
∣∣∣∣ = ∣∣∣ yN ∣∣∣ < �,∣∣∣∣N − kN · y − N − (k + 1)N · y
∣∣∣∣ = ∣∣∣ yN ∣∣∣ < �.
Sea ψ : S1 − {−1} −→ (−1/2, 1/2) la inversa local de e. Tenemos
f ′(y) = ψ
 f(y)
f
(
(N−1)
N · y
)
+ ψ
f
(
(N−1)
N · y
)
f
(
(N−2)
N · y
)
+ · · ·+ ψ(f ( yN )
f(0)
)
,
f ′(0) = ψ(1) + · · ·+ ψ(1) = 0 + · · ·+ 0 = 0,
e ◦ f ′(y) = f(y).
Corolario 2.2.3. Si σ ∈ Ω(S1, 1) entonces σ1(1) ∈ Z y σ ∼ β =⇒ σ′(1) = β′(1).
Demostración del Lema 2.2.1: Definamos la aplicación χ : π1(S
1, 1) −→ Z por χ([σ]) = σ′(1).
Supongamos que χ([σ]) = m = σ′(1) y χ([β]) = n = β′(1). Tenemos
χ([σ] ∗ [β]) = χ([σ ◦ β]) = m+ n.
Se tiene que χ es un homomorfismo de grupos. Ahora, para cada n ∈ Z, se tiene que n es imagen de
σ(t) = exp(2πint), es decir, que χ es un epimorfismo. Por último, supongamos que χ([σ]) = 0. Entonces
σ′(1) = 0. De donde σ′ comienza y termina en 0. Se sigue que σ′ ∼ 0 y por tanto e ◦ σ′ ∼ e(0) = 1.
Entonces, [σ] = 0. Por lo tanto, χ es también un monomorfismo.
17
2.3 Aplicaciones del grupo fundamental de S1
Sea A ⊆ X un subespacio de X. Se dice que A es un retracto de X si existe un diagrama conmutativo
A X
A
i
id
A
r
Ejercicio 2.3.1. ¿Si X es un espacio de Hausdorff y A es un retracto de X, entonces A debe ser cerrado?
Si A es un retracto de X, tenemos el siguiente diagrama conmutativo en Grp:
π1(A, a) π1(X, a)
π1(A, a)
π1(i)
id
π
1(A,a) = π1(idA)
π1(r)
De donde π(r) es un epimorfismo y π1(i) es un monomorfismo.
Un retracto r : X −→ A se dice retracto por deformación si la composición X r−→ A i−→ X es homotópica
a la identidad idX : X −→ X.
A X
A X
π1(A) π1(X)
π1(A) π1(X)
i
idA
r
id
X
i
π1(i)
id
π1(r)
id
π1(i)
De este diagrama se sigue que π1(r) es un monomorfismo. En efecto, sea b ∈ Ker(π1(r)), luego
i ◦ π1(r)(b) = 0 = id(b) = b =⇒ Ker(π1(r)) = {0}.
Ejemplo 2.3.1.
(1) Sea X un subconjunto convexo de Rn y A = {x0}, para algún x0 ∈ X. Entonces A es retracto por
deformación de X. Basta considerar la homotoṕıa
H(x, t) = (1− t) · x+ t · x0.
18
(2) El ćırculo S1 es retracto de D2 − {0}. Sea r : D2 − {0} −→ S1 la función dada por r(x) = x||x|| . La
función H : D2 − {0} × I −→ D2 − {0} dada por
H(x, t) = (1− t) · x+ t · x||x||
es la homotoṕıa deseada.
Ejercicio 2.3.2. ¿Puede ser que S1 fuese retracto por deformación del disco?
Teorema 2.3.1 (Teorema del Punto Fijo de Brower). Toda función continua de D2 en D2 tiene un punto fijo.
Demostración: Sea f : D2 −→ D2 una función continua tal que f(x) 6= x, para todo x ∈ D2.
Escribimos f(x, y) = (f1(x, y), f2(x, y)). Existe t ∈ R tal que
||(1− t) · (f1(x, y), f2(x, y)) + t · (x, y)|| = 1.
Tal t (positivo) es único y denotamos t := g(x, y). Se puede demostrar que g es una función continua.
Podemos definir una retracción
r(x, y) = (1− g(x, y)) · f(x, y) + g(x, y) · (x, y).
La función
H((x, y), s) = (1− s) · (x, y) + s · r(x, y)
es la homotoṕıa deseada. De donde, D2 es retracto a S1, obteniendo aśı una contradicción, pues se
rompe la continuidad de f .
Ejercicio 2.3.3. Probar que r(x, y) en la prueba anterior es una retracción.
Ejercicio 2.3.4. Probar el Teorema Fundamental del Álgebra usando homotoṕıas.
Dados dos espacios topológicos X e Y , existe una manera sencilla de calcular el grupo fundamental de X×Y :
π1(X × Y, (x0, y0)) ∼= π1(X,x0)⊕ π1(Y, y0).
Para probar este isomorfismo, considere la sucesión
(Y, y0)
i1−→ (X × Y, (x0, y0)) p2−→ (X,x0),
donde i1(y) = (x0, y) y p2(x, y) = x. Esta sucesión da lugar a una sucesión exacta en Grp:
0 −→ π1(Y )
π1(i1)−→ π1(X × Y )
π1(p2)−→ π1(X) −→ 0,
19
la cual se parte, pues la función i2 : X −→ X×Y dada por x 7→ (x, y0) satisface la igualdad π1(p2)◦π1(i2) =
idπ1(X). De esto se sigue que el isomorfismo anterior.
Ejercicio 2.3.5. Probar que la sucesión anterior es exacta.
2.4 Revestimientos
Una función continua p : (E, e0) −→ (B, b0) es un revestimiento si existe un cubrimiento abierto Γ de B
tal que para todo U ∈ Γ existe una familia {Vα}α∈Λ de abiertos disjuntos de E tal que p−1(U) =
⋃
α∈Λ Vα y
p|Vα : Vα ∼= U . El espacio B es conexo y localmente conexo por arcos. Los elementos de Γ se conocen como
abiertos distinguidos y para cada U ∈ Γ, los correspondientes Vα son láminas sobre U .
E
B
V↵1
V↵2
V↵3
...
Ejemplo 2.4.1.
(1) La función e : (R, 0) −→ (S1, 1) dada por e(i) = exp(2πit) es un revestimiento, tomando el cubrimiento
de abiertos distinguidos Γ = {U1 = S1−{1}, U2 = S1−{−1}}. Tenemos que e−1(U1) =
⋃
n∈Z(n, n+1)
y e−1(U2) =
⋃
n∈Z
(
n− 12 , n+ 12
)
.
(2) La función S1 −→ S1 dada por z 7→ zn es también un revestimiento, donde cada arco de longitud 2π/n
es un abierto distinguido, y cada uno de estos arcos tiene n preimágenes.
(3) El Espacio Proyectivo Real de dimensión n se define como el cociente de RPn := Rn+1 − {0}/ ∼,
donde y ∼ x si existe λ 6= 0 tal que y = λx. Note que en Sn, dos puntos son equivalentes si, y sólo si
son antipodales. Además, Sn/ ∼∼= RPn. La proyección canónica p : Sn −→ RPn es un revestimiento,
en el que cada abierto tiene dos preimágenes. Nótese además las siguientes igualdades:
RP1 = {y = 1} ∪ {∗} = S1,
RP2 = {z = 1} ∪ RP1 ⊆ R2 ∪ RP1,
...
20
Lema 2.4.1. Sea p : (E, e0) −→ (B, b0) un revestimiento y f : (Y, y0) −→ (B, b0) una función continua,
donde (Y, y0) es un espacio conexo y localmente conexo por arcos. Si existe un levantamiento de f , entonces
dicho levantamiento es único.
(E, e0)
(Y, y0) (B, b0)
f
pf
′
Demostración: Suponemos que g, h : (Y, y0) −→ (E, e0) son dos levantamientos de f , por lo que
p◦h = p◦g = f . Sea A = {y ∈ Y : h(y) = g(y)}. Note que A es un cerrado no vaćıo. Ahora veamos que
A es también abierto. Sea y ∈ A y sea U un abierto que contiene a y. Luego, g(y) pertenece a alguna
lámina de U , digamos Vα. De la misma manera, h(y) pertenece a alguna otra lámina de U , digamos Vβ .
Tenemos y ∈ h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα), por lo que h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα) es un abierto no vaćıo. Vamos a probar
que h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα) ⊆ A. Si z ∈ h−1(Vβ) ∩ g−1(Vα) entonces h(z) ∈ Vβ y g(z) ∈ Vα. De aqúı, α = β
porque Vβ y Vα son disjuntos. Aśı se tiene
p|Vβ (h(z)) = f(z) = p|Vβ (g(z)) =⇒ h(z) = g(z), porque p|Vβ es un homeomorfismo.
Por lo tanto, z ∈ A. Como (Y, y0) es conexo, se tiene que A = Y , es decir g = h.
Proposición 2.4.1 (Levantamiento de caminos). Si p : (E, e0) −→ (B, b0) es un revestimiento, entonces
todo camino en B que comienza en b0 se levanta a un único camino en E que comienza en e0.
Demostración: Sea σ : I −→ (B, b0) un camino que comienza en b0.
(1) Si σ está enteramente contenido en un abierto distinguido, entonces σ se levanta a (E, e0).
E
BU
V↵
b0
e0
�
p|V↵
•
•
(p|V↵)�1
0 1
�
21
(2) Si σ no está enteramente contenido en un abierto distinguido, precedemos de la siguiente manera:
σ−1(Γ) = {σ−1(U) : U ∈ Γ} es un cubrimiento abierto de [0, 1]. Por argumentos de compacidad
y por el Lema de Lebesgue, existe una partición 0 = t0 < t1 < · · · < tn = 1 tal que para todo
0 ≤ j < n existe Uj ∈ Γ tal que σ([tj , tj+1]) ⊆ Uj . Tenemos σ(tj) ∈ Uj ∩ Uj+1.
E
B
t0 t1 t2
V↵1 V↵2
p
El camino σ(0, t1) se levanta a un camino σ
′
0 en una lámina Vα0 que contiene a e0. De forma
similar, σ(t1, t1) se levanta a un camino σ
′
1 en una lámina Vα1 que contiene a σ
′
0(t1), y aśı
sucesivamente. Se puede probar que σ′ = σ′0 ◦ σ′1 ◦ · · · ◦ σ′n es un levantamiento de σ que comienza
en e0.
Ejercicio 2.4.1. Complete los detalles del caso (2) en la demostración anterior.
Teorema 2.4.1. Si p : (E, e0) −→ (B, b0) es un revestimiento, toda homotoṕıa en B se levanta a una única
homotóıa.
Demostración: Sea H : (I × I, 0) −→ (B, b0) una homotoṕıa en B.
(E, e0)
(I × I, 0) (B, b0)
H
H
′
Si H(I× I) ⊆ U , donde U es un abierto distinguido que contiene a b0, elegimos una lámina Vα0 de U que
contiene a e0, entonces (p|V−α)−1 ◦H es el levantamiento deseado de H. La prueba del caso no trivial
se la dejamos al lector.
22
Ejercicio 2.4.2. Demuestre el caso (2) del teorema anterior.
Tenemos las siguientes consecuencias:
(1) Para todo revestimiento p : (E, e0) −→ (B, b0), el homomorfismo π1(p) : π1(E, e0) −→ π1(B, b0) es un
monomorfismo.
En efecto. sea σ un camino cerrado en (E, e0) tal que π1(p)([σ]) = 0. Tenemos que [p ◦ σ] = 0. Por
unicidad de levantamientos, se tiene que σ es el único levantamiento de p ◦ σ. Entonces tenemos
p ◦ σ ∼ b0 =⇒ σ ∼ e0 =⇒ [σ] = 0.
(2) Para todo b ∈ B, Card(p−1(b0)) = Card(p−1(b0)).
Sea h : p−1(b0) −→ p−1(b1) la función dada por h(e) = σ′e(1), donde σ′e es el levantamiento de σ que
comienza en e. Esta función resulta ser biyectiva.
(3) Considere el diagrama
(E, e0) (E, e0)
(B, b0)
h
p
p
Sea G el conjunto de los homeomorfismos h levantados de p. Como
p ◦ (h1 ◦ h2) = (p ◦ h1) ◦ h2 = p ◦ h2 = p.
Entonces G es cerrado bajo la operación de composición. Se puede probar que G posee estructura de
grupo.
Ejercicio 2.4.3. La aplicación F : π1(B, b0) −→ G dada por [σ] 7→ h es un isomorfismo de grupos.
Teorema 2.4.2. Si π1(f)(π1(Y, y0)) ⊆ π1(p)(π1(E, e0)) entonces f se levanta.
23
24
CAPÍTULO 3
HOMOLOGÍA SINGULAR
3.1 Homoloǵıa singular y sus propiedades
Consideremos los siguientes puntos en el espacio Rn.
E0 = (0, 0, . . . , 0),
E1 = (1, 0, . . . , 0),
E2 = (0, 1, . . . , 0),
...
En = (0, 0, . . . , 1).
Sea 0 ≤ q ≤ n. El conjunto
∆q := {λ1E1 + · · ·+ λqEq : λ1 + · · ·+ λq = 1}
se denomina cápsula convexa o q-simple de E0, E1, . . . , Eq. Note que ∆1, ∆2 y ∆3 tienen las siguientes
formas en R3.
E0
E1
E2
E3
••
•
E0
E2
E1
E0
E1
�1
�2 �3
Sea X un espacio topológico. Un q-simple singular es una aplicación continua σ : ∆q −→ X. Note que un
0-simple es un punto, los 1-simplesson segmentos de rectas, y los 2-simples son triángulos en X.
25
Fijemos un anillo A y sea Sq(X) el A-módulo libre generado por los q-simples singulares. Definimos una
aplicación ∇iq : ∆q −→ ∆q+1, con i = 0, 1, . . . , n por
∇iq(Ej) :=
{
Ej , si j < i,
Ej+1, si j ≥ i.
y extendemos por linealidad. Por ejemplo, ∇02(E0) = E1, ∇02(E1) = E2, ∇02(E2) = E3, ∇12(E0) = E0,
∇12(E1) = E2, ∇12(E2) = E3, etc.
E2
E3
E0
E1
E0
Definimos la aplicación ∂q : Sq(X) −→ Sq−1(X) por
∂q(σ) :=
q∑
i=0
(−1)iσ ◦ ∇iq−1.
Proposición 3.1.1. La sucesión
S(X) : · · · −→ Sq(X)
∂q−→ Sq−1(X) −→ · · · −→ S1(X) −→ S0(X) −→ 0
es un complejo de cadenas.
Primero probemos algunos lemas, antes de demostrar la proposición anterior.
Lema 3.1.1. Para todo i < j, ∇iq ◦ ∇jq−1 = ∇jq ◦ ∇i−1q−1.
Demostración: 0 < j < i: ∇iq ◦ ∇jq(E0) = E0 = ∇jq ◦ ∇i−1q−1(E0). Ahora supongamos que 0 < · · · < j <
· · · < i− 1 < i < · · · < n. Tenemos
∇iq ◦ ∇jq−1(Ej) = ∇iq(Ej+1) =
{
Ej+1, si i < j + 1,
Ej+1, si i ≥ j + 1. = ∇
j
q ◦ ∇i−1q−1(Ej).
26
Ahora probaremos que ∂q−1 ◦ ∂q(σ) = 0:
∂q−1
(
q∑
i=1
(−1)iσ ◦ ∇jq
)
=
q∑
j=0
(
q∑
i=0
(−1)i+jσ ◦ ∇iq ◦ ∇jq
)
=
∑
j<i=1
(−1)i+jσ ◦ ∇iq ◦ ∇jq−1 +
∑
j≥i=1
(−1)i+jσ ◦ ∇iq ◦ ∇jq−1
∂q−1
(
q∑
i=1
(−1)iσ ◦ ∇jq
)
=
∑
j<i=1
(−1)i+jσ ◦ ∇jq ◦ ∇i−1q−1 +
∑
j≥i=1
(−1)i+jσ ◦ ∇iq ◦ ∇jq−1.
Haciendo i− 1 = j y j = i, se cancelan los sumandos.
Proposición 3.1.2. S(−) : Top −→ Cad(R) define un functor de la categoŕıa de los espacios topológicos
en la categoŕıa de los complejos de cadena.
Considere una función continua f : X −→ Y . Definimos S(f) := f∗ : Sq(X) −→ Sq(Y ) como la aplicación
σ 7→ f ◦ σ.
∆q X
Y
σ
f
Tenemos el siguiente diagrama de complejos de cadena:
S(X) : · · · Sq(X) Sq−1(X) · · · S1(X) S0(X) 0
S(Y ) : · · · Sq(Y ) Sq−1(Y ) · · · S1(Y ) S0(Y ) 0
∂q
f∗ f∗
∂1
f∗ f∗
∂q ∂1
Veamos que f∗ ◦ ∂q = ∂q ◦ f∗:
f∗ ◦ ∂q(σ) = f∗
(
q∑
i=0
(−1)iσ ◦ ∇iq−1
)
=
q∑
i=0
(−1)if ◦ σ ◦ ∇iq−1 = ∂q(f ◦ σ) = ∂q ◦ f∗(σ).
Tenemos que f∗ es una transformación de cadenas. Además,
g∗ ◦ f∗(σ) = g∗(f ◦ σ) = g ◦ (f ◦ σ) = (g ◦ f) ◦ σ = (g ◦ f)∗(σ),
(idX)∗(σ) = idX ◦ σ = σ = idS(X)(σ).
Dado un espacio topológico X, denotaremos por Hq(X) el q-ésimo grupo de homoloǵıa del complejo S(X):
Hq(X) :=
Ker(∂q : Sq(X) −→ Sq−1(X))
Im(∂q+1 : Sq+1(X) −→ Sq(X))
27
La sucesión de grupos H(X) := (Hq(X))q≥0 se conoce como la homoloǵıa singular de X.
Proposición 3.1.3. Si X es un espacio conexo por arcos, entonces H0(X) ∼= A.
Demostración: Consideremos la aplicación h : H0(X) =
S0(X)
Im(∂1)
−→ A dada por
(λ1x1 + · · ·+ λnxn) + Im(∂1) 7→ λ1 + · · ·+ λn.
Esta aplicación está bien definida. En efecto,
λ1x1 + · · ·+ λnxn ∼ β1y1 + · · ·+ βmym ⇐⇒ λ1x1 + · · ·+ λnxn = β1y1 + · · ·+ βmym
+ ∂(γ1σ1 + · · ·+ γkσk)
⇐⇒ λ1x1 + · · ·+ λnxn = β1y1 + · · ·+ βmym
+ γ1(σ(E1)− σ(E0)) + · · ·+ γk(σ(E1)− σ(E0))
Ahora apliquemos h:
λ1 + · · ·+ λn = β1 + · · ·+ βm + γ1z1 − γ1z2 + γ2z1 − γ2z2 + · · · ,
donde γ1z1 − γ1z2 + γ2z1 − γ2z2 + · · · = 0.
Entonces, h está bien definida. Es claro que h es un epimorfismo. Para ver que h es un monomorfismo,
supongamos que h((λ1x1 + · · · + λnxn) + Im(∂1)) = 0. Elegimos x0 ∈ X. Para cada xj , elegimos un
camino σj que comience en x0 y termine en xj . Sea λ1σ1 + · · ·+ λnσn ∈ S1(X). Tenemos
∂1(λ1σ1 + · · ·+ λnσn) = λ1∂1(σ1) + · · ·+ λn∂1(σn)
= λ1x1 + · · ·+ λnxn −
 n∑
i=j
λj
 · x0
= λ1x1 + · · ·+ λnxn.
Por lo tanto, (λ1x1 + · · ·+ λnxn) + Im(∂1) = 0.
Si A = Z, se puede probar que H1(X) es el conmutador de π1(X). Si π1(X) es abeliano, entonces
H1(X) = π1(X).
Proposición 3.1.4. Sea X un punto. Entonces
Hq(X) =
{
0 si q 6= 0,
A si q = 0.
28
Demostración: Note que Sq(X) = A.
· · · −→ A ∂q−→ A −→ · · · −→ A ∂1−→ A −→ 0.
Tenemos
∂q(σ) =∼qi=0 (−1)iσ ◦ ∇iq−1 =
{
0 si q es par,
1 si q es impar.
Luego, nos queda que Hq(X) =
Ker(∂q)
Im(∂q+1)
= AA = 0 si q es par y q > 0, y Hq(X) =
Ker(∂q)
Im(∂q+1)
= 00 = 0 si q
es impar. El caso q = 0 se sigue del la proposición anterior.
Lema 3.1.2. Si f, g : X −→ Y son dos funciones continuas tales que f ∼H g, entonces f∗ = g∗ en cada
Hq(X).
Demostración: Existe una homotoṕıa H : X × I −→ Y . Considere las funciones α0, α1 : X −→ X × I
dadas por α0(x) = (x, 0) y α1(x, 1). Tenemos que f = H ◦ α0 y g = H ◦ α1. Luego, f∗ = H∗ ◦ (α0)∗ y
g∗ = H∗ ◦ (α1)∗. Entonces basta probar que (α0)∗ = (α1)∗. Como α0 y α1 son homotópicas, existe una
familia de homomorfismos βq : Sq(X) −→ Sq+1(X) tal que en el diagrama
· · · Sq+1(X) Sq(X) Sq−1(X) · · ·
· · · Sq+1(X × I) Sq(X × I) Sq−1(X × I) · · ·
∂Xq+1
(α1)∗(α0)∗
∂Xq
(α0)∗(α1)∗ (α0)∗(α1)∗
∂X×Iq+1 ∂
X×I
q
se cumple la relacicón βq−1 ◦ ∂Xq + ∂X×Iq+1 ◦ β1 = (α1)∗ − (α0)∗. Luego, para cada σ en Hq(X) tenemos:
βq−1 ◦ ∂Xq (σ) + ∂X×Iq+1 ◦ β1(σ) = (α1)∗(σ)− (α0)∗(σ)
0 + 0 = (α1)∗(σ)− (α0)∗(σ).
Entonces, (α1)∗ = (α0)∗.
Corolario 3.1.1. Si X es un espacio contráctil entonces Hq(X) =
{
0 si q = 0,
A si q = 0.
Demostración: Como X es contráctil, idX ∼ c, donde c es una constante. Por el lema previo, (idX)∗ =
c∗ = 0. Se sigue que Hq(X) = 0 para cada q > 0. El caso q = 0 se sigue porque X es conexo por arcos.
29
Corolario 3.1.2. Sea A ⊆ X. Si A es un retracto por deformación de X entonces Hq(X) = Hq(A), para
cada q ≥ 0.
Demostración: Consideremos el diagrama conmutativo
A X X
A
i
id
A
idX
r
i
Aplicando el funtor Hq(−), obtenemos el diagrama
Hq(A) Hq(X) Hq(X)
Hq(A)
i∗
id
H
q (A
)
idHq(X)
r∗
i∗
Se sigue que r∗ es un isomorfismo.
Ejercicio 3.1.1. Dado un subespacio A ⊆ X, considere el cilindro A × I ⊆ X × I. Probar que
Hq(A× I) = Hq(A).
30
3.2 Sucesión exacta del par
Consideremos un par (X,A), donde X es un espacio topológico y A ⊆ X es un subespacio. La inclusión
i : A −→ X induce una transformación de cadenas i∗ : S(A) −→ S(X),
Sq(A) Sq−1(A)
Sq(X) Sq−1(X)
∂Aq
i∗ i∗
∂Xq
Tenemos la siguiente sucesión exacta corta
0 −→ S(A) −→ S(X) −→ S(X,A) := S(X)
S(A)
−→ 0.
Es decir, se tiene el siguiente diagrama conmutativo con columnas exactas:
0 0 0
S(A) : · · · Sq+1(A) Sq(A) Sq−1(A) · · ·
S(X) : · · · Sq+1(X) Sq(X) Sq−1(X) · · ·
S(X,A) : · · · Sq+1(X)Sq+1(A)
Sq(X)
Sq(A)
Sq−1(X)
Sq−1(A)
· · ·
0 0 0
∂Aq+1
i
∂Aq
i i
∂Xq+1
p
∂Xq
p p
∂
(X,A)
q+1 ∂
(X,A)
q
donde
∂(X,A)q (σ + Sq(A)) = ∂
X
q (σ) + Sq−1(A).
Teorema 3.2.1. Existe un homomorfismo de grupos, ∆ : Hq(X,A) −→ Hq−1(A), llamado homomorfismo
de conexión, tal que la sucesión
· · · −→ Hq(A) i∗−→ Hq(X) p∗−→ Hq(X,A) ∆−→ Hq−1(A) −→ · · ·
es exacta.
31
Ejercicio 3.2.1. Si A ⊆ X ′ ⊆ X entonces existe un homomorfismo de grupos ∆ : Hq(X,X ′) −→
Hq−1(X ′, A) tal que la sucesión
· · · −→ Hq(X ′, A) i∗−→ Hq(X,A) i∗−→ Hq(X,X ′) ∆−→ Hq−1(X ′, A) −→ · · ·
es exacta.
Como consecuencia de este ejercicio, se tiene Hq(D
n, Sn−1) ∼= Hq(Sn−1).
Un retracto por deformación r : X −→ A (i ◦ r ∼H idX) es un retracto por deformación fuerte si la
homotoṕıa H : X × I −→ X cumple:
(1) H(x, 0) = x, para todo x ∈ X.
(2) H(x, 1) = r(x), para todo x ∈ X.
(3) H(a, t) = a, para todo t ∈ I.
Ejemplo 3.2.1. La aplicación r : Dn − {0} −→ Sn−1 dada por r(x) = x||x|| , es un retracto por deformación
fuerte. En este caso, la homotoṕıa H : (Dn−{0})×I −→ Dn−{0} viene dada por H(x, t) = (1−t)·x+t·r(x).
Supongamos que X es la unión disjunta de dos abiertos A y B, ambos conexos por arcos, entonces Hq(X) ∼=
Hq(A)⊕Hq(B). Consideremos la sucesión exacta
0 −→ Sq(A) i∗−→ Sq(X) p−→ Sq(B) −→ 0,
donde
p(σ) =
{
0 si σ(∆q) ⊆ A,
σ si σ(∆q) ⊆ B.
Por exactitud, se tiene que Sq(B) ∼= Sq(X,A). Esta sucesión se parte, ya que i∗ : Sq(B) −→ Sq(X) es una
inversa lateral de p. Luego, Sq(X) ∼= Sq(A)⊕ Sq(B). De esto se sigue que Hq(X) ∼= Hq(A)⊕Hq(B).
Proposición 3.2.1. Si X es contráctil, entonces Hq(X,A) ∼=∆ Hq−1(A), para todo q ≥ 1. En particular,
H1(X,A) = 0 = H0(X,A).
Demostración: Basta considerar la sucesión
0 = H1(X) −→ H1(X,A) −→ H0(A) ∼= A −→ H0(X) ∼= A −→ H0(X,A) −→ 0.
Proposición 3.2.2. Si A es retracto por deformación de X, entonces Hq(X,A) = 0.
32
3.3 Escisión
Dado el triple U ⊆A ⊆ X, diremos que U se puede escindir si Hq(X − U,A− U) ∼= Hq(X,A).
Hq(A− U) Hq(X − U) Hq(X − U,A− U) Hq−1(A− U) Hq−1(X − U)
Hq(A) Hq(X) Hq(X,A) Hq−1(A) Hq−1(X)
∆
∆
Teorema 3.3.1. Si U ⊆ int(A) entonces U se puede escindir.
Dadas las inclusiones B ⊆ A y Y ⊆ X, diremos que (Y,B) es un retracto por deformación fuerte de
(X,A) si existe un diagrama conmutativo
(Y,B) (X,A) (X,A)
(Y,B)
i
id
id
i
y una homotoṕıa H : (X,A)× I −→ (X,A) tal que:
(1) H(x, 1) = x, para todo x ∈ X.
(2) H(x, 0) = r(x), para todo x ∈ X.
(3) H(a, t) = a, para todo a ∈ Y .
Corolario 3.3.1. Sea V ⊆ U . Si (X −U,A−U) es un retracto por deformación fuerte de (X − V,A− V ) y
V se puede escindir, entonces también U .
Proposición 3.3.1. Si (Y,B) es un retracto por deformación de (X,A) entonces Hq(Y,B) ∼= Hq(X,A).
Demostración: Tenemos el siguiente diagrama conmutativo
Hq(B) Hq(Y ) Hq(Y,B) Hq−1(B) Hq−1(Y )
Hq(A) Hq(X) Hq(X,A) Hq−1(A) Hq−1(X)
∼= ∼= ∼= ∼=
Por el Lema de los Cinco, se tiene que Hq(Y,B) −→ Hq(X,A) es un isomomorfismo.
33
Consideremos el disco unitario Dn+1 de Rn+1. La esfera Sn es el borde de Dn+1. Considere los conjuntos
E+n = {y ∈ Sn : yn+1 ≥ 0} y E−n = {y ∈ Sn : yn+1 ≤ 0}. Pongamos
X = Sn, A = E−n , U = {y ∈ Sn : yn+1 < 0} y V = {y ∈ Sn : yn+1 ≤ −1/2}.
Se tiene X−A = Sn−E−n . Por un lado, (A−U,X−U) es un retracto por deformación fuerte de (X−V,A−V ).
Por el otro, V se escinde de (X,A) porque V ⊆ int(A). Como consecuencia, U se escinde de (X,A). Se sigue
que,
Hq−1(S
n−1) ∼= Hq(E+n , Sn−1) ∼= Hq(Sn, E−n ) ∼= Hq(Sn).
Ejercicio 3.3.1. Probar que Hq(S
n) =
{
A si q = 0, n, donde n > 0,
0 en caso contrario.
Ejercicio 3.3.2. Probar que Hom(Rn,R) ∼= Rn. Sugerencia: Usar el hecho de que (M × N,R) =
Hom(M,R)⊕Hom(N,R).
3.4 Sucesión exacta de Mayer-Vietoris
Lema 3.4.1 (Lema de Barrat-Whitehead). Dado el diagrama conmutativo
· · · An Bn Cn An−1 · · ·
· · · A′n B′n C ′n A′n−1 · · ·
fn
αn
gn
βn
hn
γn αn−1
f ′n g
′
n h
′
n
con filas exactas, donde cada γn es un isomorfismo. Entonces la sucesión
· · · −→ An µn−→ Bn ⊕A′n
νn−→ B′n
∆n−→ An−1 −→ · · · ,
donde
(1) µn(a) = (fn(a), αn(a)).
(2) νn(b, a
′) = βn(b)− f ′n(a′).
(3) ∆n = hn ◦ γ−1n ◦ g′n.
Demostración: Tenemos ν ◦ µn(a) = ν(fn(a), αn(a)) = βn ◦ fn(a) − f ′n ◦ αn(a) = 0. Por lo que
Im(µn) ⊆ Ker(νn). Ahora, sea (b, a′) tal que νn(b, a′) = 0. Luego, βn(b) = f ′n(a′). Entonces, γn ◦gn(b) =
g′n◦βn(b) = g′n◦f ′n(a′) = 0. Por lo que gn(b) ∈ Ker(γn) = {0}. Aśı, b ∈ Ker(gn) = Im(fn), luego b = fn(a)
para algún a ∈ An. Ahora, f ′n(αn(a)− a′) = 0. De donde existe c ∈ C ′n+1 tal que a′ − αn(a) = h′n+1(c).
34
Sea c ∈ Cn+1 tal que c′ = γn+1(c′), y considere hn+1(c) ∈ An. Tenemos
µ(a+ hn+1(c)) = (fn(a+ hn+1(c)), αn(a+ hn+1(c))) = (fn(a) + fn ◦ hn+1(c), αn(a) + αn ◦ hn+1(c))
= (b+ 0, αn(a) + h
′
n+1 ◦ γn+1(c)) = (b, αn(a) + h′n+1(c′)) = (b, αn(a) + a′ − αn(a))
= (b, a′).
Por lo tanto, Ker(νn) = Im(µn).
Ahora probemos que Ker(∆n) = Im(νn). Tenemos
∆n ◦ γn(b, a′) = ∆n(βn(b)− f ′n(a′)) = ∆n ◦ βn(b)−∆n ◦ f ′n(a′) = 0− 0 = 0.
Sea b′ ∈ Ker(∆n), es decir, hn ◦ γ−1n ◦ g′n(b′) = 0. Aśı, γ−1n ◦ g′n(b′) ∈ Ker(hn) = Im(gn), de donde existe
b ∈ B tal que g′n(b′) = γn ◦ gn(b) = g′n ◦ βn(b). Luego, b′ − βn(b) ∈ Ker(g′n) = Im(f ′n). Aśı existe a′ ∈ A′n
tal que b′ = βn(b) + f ′n(a
′) = νn(b, a′). Por lo tanto, Ker(∆n) = Im(νn).
Teorema 3.4.1 (Sucesión exacta de Mayer-Vietoris). Sea X un espacio topológico, U y V abiertos en X,
entonces existe un homomorfismo de conexión ∆q : Hq(X) −→ Hq−1(U ∩ V ) y una sucesión exacta
· · · −→ Hq(U ∩ V )
µq−→ Hq(U)⊕Hq(V )
νq−→ Hq(X)
∆q−→ Hq−1(U ∩ V ) −→ · · · ,
donde
(1) µq(a) = ((iU )∗(a), (iV )∗(a)), iU : U ∩ V −→ U e iV : U ∩ V −→ V son inclusiones.
(2) νq(a, b) = (idU )∗(a)− (idV )∗(b).
Ejemplo 3.4.1. Sea U = S1 − {N} y V = S1 − {S}, donde N y S son los polos Norte y Sur de la
circunferencia, respectivamente. Por el Teorema de Mayer-Vietoris, se tiene una sucesión exacta
0 −→ H1(S1) α−→ A⊕ A β−→ A⊕ A γ−→ A −→ 0.
De donde H1(S
1) = A.
Ejercicio 3.4.1. Probar, usando el Teorema de Mayer-Vietoris, que Hq(S
n) =
{
A si q = 0, n,
0 en caso contrario.
Ejercicio 3.4.2. Probar que Sn−1 no es retracto por deformación de Dn.
Ejercicio 3.4.3. Probar el Teorema del punto fijo de Brower.
Ejercicio 3.4.4. Calcular la homoloǵıa de un ramo de esferas.
35
3.5 Complejos CW y su homoloǵıa
Sea X un espacio topológico localmente compacto y segundo numerable, por ende paracompacto. Para cada
n ∈ N, sea Jn una familia de ı́ndices y Γn = {enα : α ∈ Jn} una familia de subconjuntos de X, llamados
n-celdas o celdas de dimensión b, tales que Γ =
⋃
n≥0 Γn es un cubrimiento de X. Por convención,
Γ−1 = ∅, y para n lo suficientemente grande, se tiene Γn = {∅}. El conjunto
Kn :=
n⋃
j=0
{ejα : α ∈ Jj y j = 0, 1, . . . , n}
se denomina n-esqueleto. Se define el borde de enα ∈ Γn al la intersección
énα := e
n
α ∩Kn−1,
y al interior de enα como
ė := enα − énα.
La familia {Γn} es una estructura celular de X (o X es un complejo celular) si:
(1)
⋃
n≥0 Γn es un cubrimiento de X.
(2) ėnα ∩ ėmβ 6= ∅ =⇒ α = β y n = m.
(3) Para todo enα existe una función continua f
n
α : (D
n, Sn−1) −→ (enα, énα) tal que la restricción fnα |int(Dn) :
int(Dn) −→ ėnα es un homeomorfismo.
Una celda emβ es adyacente inmediata (o es una cara inmediata) de e
n
α si ė
m
β ∩ enα 6= ∅. Si emβ es ady-
acente inmediata de enα entonces m ≤ n. En efecto, supongamos que m > n. Luego, ėmβ ⊆ Km −Km−1 y
enα ⊆ Kn −Kn−1. Entonces ėmβ ∩ ėnα = ∅.
Una celda emβ es adyacente (o una cara) a e
n
α si existe una secuencia e
m
β , e
m1
β1
, . . . , emkβk de celdas tal que
emβ es adyacente inmediata a e
m1
β1
, em1β2 es adyacente inmediata a e
m2
β2
, y aśı sucesivamente hasta que emkβk es
adyacente inmediata a emα .
Ejercicio 3.5.1. Si X es un complejo celular, entonces Γ0 6= ∅.
Ejercicio 3.5.2. Probar que una celda posee un número finito de caras inmediatas si, y sólo si, ésta posee
un número finito de caras.
Ejercicio 3.5.3. Si (X,Γ) es un complejo celular, entonces cada Kn es un complejo celular.
Ejemplo 3.5.1.
(1) La esfera Sn: Sabemos que Sn se puede escribir como el cociente Sn = Dn/ ∼, donde x ∼ y ⇐⇒
x = y o x, y ∈ Sn−1. En este ejemplo, las 0-celdas son los puntos, Γ0 = {{N}}, Γm = {∅} si m 6= n, y
Γn = {Sn}. La función fn : (Dn, Sn−1) −→ (Sn, {N}) es la aplicación cociente.
36
(2) El espacio proyectivo real RPn: RPn es el conjunto de todas las rectas reales que pasan por el origen
en Rn+1. Damos en Rn+1 − {0} la siguiente relación de equivalencia: x ∼ y ⇐⇒ existe λ 6= 0
real tal que x = λy. El conjunto de las clases de equivalencia de Rn+1 − {0} es precisamente RPn,
RPn := (Rn+1 − {0})/ ∼. Damos a RPn la siguiente estructura celular:
R1 ⊆ R2 ⊆ R3 ⊆ · · · ⊆ Rn+1,
S0 ⊆ S1 ⊆ S2 ⊆ · · · ⊆ Sn,
RP0 ⊆ RP1 ⊆ RP2 ⊆ · · · ⊆ RPn.
RP0
y = 1z
L
RP1 = RP0 [ {y = 1} = RP0 [ R
RP2 = RP1 [ {Z = 1} = RP1 [ R2
Z = 1
Sea γm =
{
RPmp , si m ≤ n,
∅ si m > n.
Tenemos Km = RPm, ´RPm = RPm ∩ RPm−1, ˙RPm = RPm − RPm−1 = Ḋm ∼= Rm.
La función fm : (D
m, Sm−1) −→ (RPm,RPm−1) es un homeomorfismo sobre el interior de Dm.
(3) Espacios proyectivos complejos CPn: Sea CPn el conjunto de las rectas complejas en Cn+1 que pasan
por el origen. Damos en Cn+1 − {0} la siguiente relación de equivalencia: x ∼ y ⇐⇒ existe λ ∈ C∗
tal que x = λy. El conjunto de clases de equivalencia de Cn+1 − {0} es precisamente CPn. Note que
Cn+1 ∼= R2n+2 ⊇ S2n+1.
CPn = (Cn+1 − {0})/ ∼= S2n+1/ ∼ .
A la clase de (z0, . . . , zn) en Cn+1 − {0} la denotamos por [z0, . . . , zn]. Damos a CPn la siguiente
estructura celular:
C1 ⊆ C2 ⊆ · · · ⊆ Cn+1,
S1 ⊆ S3 ⊆ S5 ⊆ · · · ⊆ S2n+1,
CP0 ⊆ CP1 ⊆ CP2 ⊆ · · · ⊆ CPn,
CPm = CPn−1 ∪ Cm(unión disjunta),
γm =
{ ∅ si m es impar,
CPm/2 si m es par.
En este caso, las funciones f2m : (D
2m, S2m−1) −→ (CPm,CPm−1) vienen dadas por
f2m(z0, . . . , zm) = [z0, . . . , zm,
√
1− |z0|2 − · · · − |zm|2].
Ejercicio 3.5.4. Redactar con detalles los ejemplos anteriores.
37
Una complejo celular (X,Γn : n ≥ 0)es un complejo CW si verifica las siguientes condiciones:
W: La topoloǵıa de X es la topoloǵıa débil (weak) dada por la siguente definición de conjunto cerrado:
A es cerrado en X si, y sólo si, A ∩ enα es cerrado en enα, para todo n ≥ 0 y para todo α ∈ Jn.
C: Cada celda posee una cantidad finita de caras (inmediatas). Es decir, la topoloǵıa débil definida en X
es compacta.
Ejercicio 3.5.5. Si X es un complejo CW, entonces todo esqueleto es también un complejo CW.
Proposición 3.5.1. ėnα es abierto en Kn.
Demostración: Hay que probar que Kn − ėnα es cerrado. Tenemos que
(Kn − ėnα) ∩ emβ = emβ − ėnα ∩ emβ = emβ − ∅ = emβ es cerrado.
Proposición 3.5.2. Si (X,Γ) es un complejo CW, entonces todo compacto en X intersecta sólo a un
número finito de interiores de celdas.
Demostración: Sea C un subconjunto compacto de X. Sea Z el conjunto que resulta de elegir un
punto en cada interior de celda que intersecta a C. Para todo n y para todo α ∈ Jn, si ėnα ∩ C 6= ∅
elegimos pnα ∈ ėnα ∩ C. Probemos que X es finito, para ello probaremos que Z es cerrado en C y que Z
es discreto. Basta probar que todo subconjunto de Z es cerrado. Sea A ⊆ Z y sea enα una celda de X
tal que A ∩ enα 6= ∅. Tenemos
A ∩ enα = (A ∩ ėnα) ∪ (A ∩ énα).
Si A ∩ ėnα 6= ∅ entonces A ∩ ėnα es un punto. Además, A ∩ énα 6= ∅. De esto se sigue el resultado.
Ejercicio 3.5.6. Redactar los detalles de la prueba de la proposición anterior.
Corolario 3.5.1. Si X es un complejo CW compacto, entonces X tiene un número finito de celdas y por
tanto coincide con alguno de sus esqueletos.
Para calcular la homoloǵıa de los complejos CW, comenzaremos calculando la homoloǵıa de sus esqueletos.
Como Kn−1 ⊆ Kn, podemos considerar la sucesión exacta larga del par (Kn,Kn−1):
· · · −→ Hq(Kn−1) −→ Hq(Kn) −→ Hq(Kn,Kn−1) −→ Hq−1(Kn−1) −→ · · · .
38
Teorema 3.5.1.
Hq(Kn,Kn−1) =
{
0, si q 6= n,⊕
α∈Jn (A-módulo libre con tantos generadores como n-celdas), si q = n.
Demostración: Sea E el conjunto que resulta de elegir un punto en el interior de cada n-celda. Tenemos
Kn−1 ⊆ E ⊆ Kn. Note que Kn−1 es un retracto por deformación de Kn − E, luego Hq(Kn−1) =
Hq(Kn − E).
Hq(Kn−1) Hq(Kn) Hq(Kn,Kn−1) Hq−1(Kn−1) Hq−1(Kn)
Hq(Kn − E) Hq(Kn) Hq(Kn,Kn − E) Hq−1(Kn − E) Hq−1(Kn)
∼= = ∼= =
Por el Lema de los Cinco, Hq(Kn,Kn−1) = Hq(Kn,Kn − E). Note que Kn − E es abierto en Kn por
ser discreto, entonces Kn−1 se puede escindir de Kn. Aśı tenemos
Hq(Kn,Kn−1) = Hq(Kn,Kn − E) ∼= Hq(Kn −Kn−1,Kn − E −Kn−1)
= Hq
(⊔
ėnα,
⊔
ėnα − E
)
=
⊕
Hq(ė
n
α, ė
n
α − p),
Hq(ė
n
α, ė
n
α − p) = Hq(int(Dn), Sn−1) ∼= Hq(Rn, Sn−1), debido al isomorfismo fnα |int(Dn) : int(Dn) ∼= ėnα.
Considerando la sucesión exacta
Hq(ė
n
α, ė
n
α − p) −→ Hq(Rn) −→ Hq(Rn, Sn−1) −→ Hq−1(Sn−1)
donde Hq(Rn) = 0, se tiene Hq(Rn, Sn−1) ∼= Hq(Sn−1). De donde Hq(ėnα, enα− p) =
{
0 si q 6= n,
A si q = n. De
esto se sigue el resultado.
Corolario 3.5.2. Hq(Kn) =
{
0 si q > n,
Hq(X) si q < n.
Demostración: Usaremos inducción. Tenemos que Hq(K0) = 0 para q > 0, porque K0 son puntos
aislados de X. Supongamos ahora que Hq(Kn−1) = 0 para todo q > n−1. Tenemos una sucesión exacta
larga
· · · −→ Hq(Kn−1) −→ Hq(Kn) −→ Hq(Kn,Kn−1) −→ · · ·
donde Hq(Kn−1) = 0 y Hq(Kn,Kn−1) = 0. Entonces Hq(Kn) = 0. Resta probar el caso q < n.
Tomamos la sucesión exacta del par (Kn+1,Kn):
Hq+1(Kn+1,Kn) −→ Hq(Kn) −→ Hq(Kn+1) −→ Hq(Kn+1,Kn) −→ · · ·
donde Hq+1(Kn+1,Kn) = Hq(Kn+1,Kn) = 0. Entonces Hq(Kn) ∼= Hq(Kn+1).
39
Ejercicio 3.5.7. Calcular la homoloǵıa singular de CPn.
Ejercicio 3.5.8. Calcular la homoloǵıa singular de RPn.
40
CAPÍTULO 4
VARIEDADES DIFERENCIABLES
4.1 Estructuras y aplicaciones diferenciables
Antes de dar a conocer la noción de variedad diferenciable, repasemos algunas cosas de teoŕıa de conjuntos.
Un conjunto (I,≤) se dice preordenado, o que ≤ es un orden parcial sobre I, si:
(1) ≤ es reflexiva: i ≤ i, para todo i ∈ I.
(2) ≤ es antisimétrica: Si i ≤ j y j ≤ i entonces i = j.
(3) ≤ es transitiva: Si i ≤ j y j ≤ k entonces i ≤ k.
Un elemento m ∈ I se dice maximal si para todo i ∈ I, m ≤ i implica que m = i. Dado un subconjunto
J ⊆ I, diremos que p ∈ I es una cota superior de J si j ≤ p para todo j ∈ J . Diremos que J es una
cadena en I (o un orden total) si para todo i, j ∈ J se tiene i ≤ j o j ≤ i.
Lema 4.1.1 (Lema de Zorn). Dado un conjunto preordenado (I,≤). Si toda cadena en I tiene cota superior,
entonces I posee algún elemento maximal.
Ahora recordemos un poco de cálculo en varias variables. Al estudiar la esfera S2 = {x ∈ R3 : ||x|| = 1},
se consideran varios subconjuntos particulares conocidos como hemisferios. Por ejemplo, E+Z = {x ∈
S2 : x3 > 0} y E−Z = {x ∈ S2 : x3 < 0} son los hemisferios norte y sur de S2, respectivamente. De
manera similar, se tienen los otros hemisferios E+Y , E
−
Y , E
+
X y E
−
X . Estos hemisferios son homeomorfos al
disco abierto unitario de R2, D2 = {(x, y) ∈ R2 : ||(x, y)|| < 1}. Por ejemplo, la función ϕ+Z : E+Z −→ D2
dada por ϕ+Z (x1, x2, x3) = (x1, x2) es un homeomorfismo, pues posee una inversa continua (ϕ
+
Z )
−1 : D2 −→
E+Z dada por (ϕ
+
Z )
−1(x, y) = (x, y,
√
1− x2 − y2). Si definimos homeomorfismos similares de los demás
hemisferios aD2, obtendremos una colección {(E+X , ϕ+X), (E−X , ϕ−X), (E+Y , ϕ+Y ), (E−Y , ϕ−Y ), (E+Z , ϕ+Z ), (E−Z , ϕ−Z )}.
Ahora consideremos, por ejemplo la intersección E+Z ∩ E+Y = {(x1, x2, x3) ∈ S2 : x2, x3 > 0}. Tenemos un
diagrama
{(x1, x2) ∈ D2 : x2 > 0} E+Z ∩ E+Y {(x1, x2) ∈ D2 : x2 > 0}
ϕ+Y ϕ
+
Z
41
Nótese que ϕ+Z ◦ (ϕ+Y )−1 = id y ϕ+Z ◦ (ϕ−Y )−1(x, y) = (x,−y). Se puede probar de manera similar que
cualquiera de estas composiciones resulta siempre en una aplicación infinitamente diferenciable. La colección
{(E+X , ϕ+X), (E−X , ϕ−X), (E+Y , ϕ+Y ), (E−Y , ϕ−Y ), (E+Z , ϕ+Z ), (E−Z , ϕ−Z )} es un ejemplo de lo que se conoce como es-
tructura diferenciable.
Sea X un espacio topológico, de Hausdorff, segundo numerable y localmente compacto. Sea n ∈ N. Una
n-estructura diferenciable en X es una familia Γ = {(U,ϕU )} tal que:
(1) {U} es un cubrimiento por abiertos conexos de X.
(2) ϕU : U −→ Rn es un homeomorfismo sobre un abierto de Rn.
(3) Para todo par de abiertos U y V en la colección tales que U ∩ V 6= ∅, se tiene que la composición
Rn ⊇ ϕU (U ∩ V )
ϕ−1U−→ U ∩ V ϕV−→ ϕV (U ∩ V ) ⊆ Rn
es un difeomorfismo.
Ejercicio 4.1.1. Probar que las proyecciones estereográficas de S2 constituyen una estructura diferenciable.
Ejercicio 4.1.2. Probar que Rm y Rn no son homeomorfos si n 6= m.
Ejercicio 4.1.3. Demuestre que si X posee una n-estructura diferenciable, entonces dicho n es único.
Sean Γ1 = {(U,ϕU )} y Γ2 = {(V, ψV )} dos estructuras diferenciables. Diremos que Γ1 y Γ2 son compatibles
si para todo (U,ϕU ) ∈ Γ1 y (V, ψV ) ∈ Γ2, la composición
ϕU (U ∩ V )
ϕ−1U−→ U ∩ V ψV−→ ϕV (U ∩ V )
es un difeomorfismo.
Proposición 4.1.1. Sean Γ1 y Γ2 dos estructuras direfenciables en X. Entonces Γ1 y Γ2 son compatibles
si, y sólo si, Γ1 ∪ Γ2 es una estructura diferenciable.
Ejercicio 4.1.4. Probar que si Γ es una estructura diferenciable y {V } es un refinamiento abierto de {U},
entonces Γ′ = {(V, ϕU |V )} es una estructura diferenciable compatible con Γ.
Ejercicio 4.1.5. Probar que las proyecciones estereográficas y las proyecciones coordenadas son estructuras
diferenciables compatibles en Sn.
Ejercicio 4.1.6. Probar que si Γ1 ⊆ Γ2 entonces Γ1 y Γ2 son compatibles.
42
Sea ΩΓ el conjunto de todas las estructuras diferenciables de X compatibles con Γ. Damos la siguiente
relación de orden en ΓΓ:
Γ1 ≤ Γ2 si, y sólo si Γ1 ⊆ Γ2.
Veamos que ΩΓ tiene al menos un elemento maximal. Sea B una cadena en ΩΓ y sea Γ
′ =
⋃
O∈B O. Entonces
Γ′ es una estructura diferenciable y por lo tanto cota superior de B. Por el Lema de Zorn, ΩΓ tiene al menos
un elemento maximal.
Una variedad diferenciable es un espacio topológico X con una estructura diferenciable prefijada, o con
una estructura diferenciable maximal respecto a una estructura dada.Sea M un espacio topológico, de Hausdorff, segundo numerable y localmente compacto. Una n-carta en M
es un par (U,ϕU ) donde U es un abierto conexo de M y ϕU : U −→ Rn es un encaje o encamamiento (es
decir, un homeomorfismo sobre su imagen abierta).
Dos n-cartas (U,ϕU ) y (V, ϕV ) son compatibles si U ∩ V 6= ∅ y las aplicaciones
ϕU (U ∩ V )
ϕ−1U−→ U ∩ V ϕV−→ ϕV (U ∩ V ) y ϕV (U ∩ V )
ϕ−1V−→ U ∩ V ϕU−→ ϕU (U ∩ V )
son diferenciables.
Una n-estructura diferenciable es un sistema de n-cartas compatibles dos a dos tal que {U} es un cubrim-
iento abierto de M .
Dadas Γ1 = {(U,ϕU )} y Γ2 = {(V, ψV )} dos estructuras diferenciables en M . Diremos que Γ1 y Γ2 son
compatibles si lo son miembro a miembro.
Observacicón 4.1.1.
(1) Si M posee una n-estructura diferenciable entonces n es único. Tal n se denomina la dimensión de
M .
(2) Γ1 y Γ2 son compatibles si, y sólo si Γ1 ∪ Γ2 es una estructura diferenciable.
(3) Todo refinamiento de una estructura diferenciable es una estructura diferenciable compatible.
Ejercicio 4.1.7. ¿Ser compatible es una relación de equivalencia?
Una estructura diferenciable Γ = {(U,ϕU )} es maximal si para toda carta (V, ψV ) de M , si (V, ψV ) es
compatible con cada carta de Γ entonces (V, ψV ) ∈ Γ.
Teorema 4.1.1. Dada una estructura diferenciable Γ, existe una estructura diferenciable maximal que la
contiene.
43
Demostración: Sea θ el conjunto de todas las estructuras diferenciables que contienen a Γ. Si orden-
amos a θ por inclusión, el resultado se sigue del Lema de Zorn.
Una variedad diferenciable es un espacio topológico M de Hausdorff, segundo numerable, localmente
compacto, conexo, junto con una estructura diferenciable maximal.
U
V
U ∩ V
ϕU (U)
ϕU (U ∩ V ) ϕV (U ∩ V )
ϕV (V )
ϕV
ϕU
∼=
Observacicón 4.1.2. Dada una estructura diferenciable en M , siempre podemis asignar a M una estructura
de variedad diferenciable.
Lema 4.1.2. Sea M una variedad diferenciable con estructura maximal Γ = {(U,ϕU )}, y sea N un
subconjunto abierto y conexo de M . Entonces {(U ∩ N,ϕU |N )} determina una estructura diferenciable en
N , y en consecuencia N es una variedad diferenciable. En resumen, todo subconjunto abierto y conexo de
una variedad diferenciable es también diferenciable.
Lema 4.1.3. Si M1 y M2 son dos variedades diferenciables, entonces M1 ×M2 también lo es.
Ejemplo 4.1.1.
(1) Los difeomorfismos locales de Rn determinan en Rn una estructura de variedad diferenciable.
(2) Sn es una variedad diferenciable. Basta dar la estructura diferenciable determinada por las proyecciones
coordenadas.
(3) Mn(R) ∼= R2n es una variedad diferenciable. También lo es el subconjunto conocido como grupo lineal
general GLn(R) = {M ∈Mn(R) : det(M) 6= 0}.
(4) RPn es una variedad diferenciable con las proyecciones ortogonales.
Sean M y N variedades diferenciables. Una aplicación continua f : M −→ N es diferenciable en p ∈M si
para cada carta (U,ϕU ) en M con p ∈ U y cada carta (V, ϕV ) en N con f(p) ∈ V , la aplicación
ϕU (U ∩ f−1(V ))
ϕ−1U−→ U ∩ f−1(V ) f−→ V ϕV−→ Rn
es diferenciable. Diremos que f es diferenciable si es diferenciable en cada punto.
44
V
N
f
U
M
f−1(V )p f(p)
ϕU
ϕU (p)
ϕU (U)
ϕV (f(p))
ϕV (V )
ϕV
ϕV ◦ f ◦ ϕ−1U |ϕU (U∩f−1(V ))
Ejercicio 4.1.8. Probar que las variedades diferenciables junto con las aplicaciones diferenciables forman
una categoŕıa. Dicha categoŕıa la denotaremos por Var.
4.2 Fibrados vectoriales
Dados tres espacios topológicos E, B y F , un fibrado de E en B con fibra t́ıpica F es una aplicación so-
breyectiva p : E −→ B tal que para todo b ∈ B, p−1(b) ∼= F .
Ejemplo 4.2.1. La proyección B × F −→ B dada por (b, f) 7→ b es un fibrado, conocido como fibrado
trivial.
Diremos que p : E −→ B es localmente trivial si para cada punto b ∈ B existe un entorno abierto U de b
y un homeomorfismo φU : U × F −→ p−1(U) tal que el siguiente diagrama conmuta:
U × F p−1(U)
U
φU
∼=
π p
En este caso, diremos que (U, φU ) es una trivialización local de p en b. Dadas dos trivializaciones locales
(U, φU ) y (V, φV ) de p en b, tenemos la composición
(U ∩ V )× F φU−→ p−1(U ∩ V ) φ
−1
V−→ (U ∩ V )× F
(a, b) 7→ (a, g(a, b)),
donde la aplicación g se conoce como cociclo, y el siguiente diagrama conmutativo:
(U ∩ V )× F p−1(U ∩ V ) (U ∩ V )× F
U ∩ V
φU
π
φV
p
π
45
Un fibrado vectorial es un fibrado localmente trivial de fibre Rn y tal que los cociclos gφU ,φV : (U∩V )×F −→
F cumplen una relación
gφU ,φV (a, v) = h(a) · v, donde h(a) ∈ GLn(R).
En estas condiciones, tenemos una aplicación (U ∩ V ) × Rn −→ Rn dada por (a, v) 7→ h(a) · v, donde
h = hφU ,φV : U ∩ V −→ GLn(R).
E
B
U
U × F
πUpp
−1(U)
φU
∼=
Ejercicio 4.2.1. Probar que:
(1) hφU ,φU (a) es la matriz identidad.
(2) hφU ,φV (a) = (hφV ,φU (a))
−1.
(3) hφU ,φV ◦ hφV ,φW = hφU ,φW .
Note que p : E −→ B es un fibrado vectorial de fibra Rn, con p sobreyectiva, si:
(1) Existe un cubrimiento {Uα}α∈Λ y una familia de aplicaciones continuas Φα : Uα×Rn −→ p−1(U) tales
que el siguiente diagrama conmuta:
Uα × Rn p−1(Uα)
U
Φα
π p
(2) Para todo α y β tales que Uα ∩ Uβ 6= ∅,
(Uα ∩ Uβ)× Rn Φα−→ p−1(Uα ∩ Uβ)
Φ−1β−→ (Uα ∩ Uβ)× Rn
existe gαβ : Uα ∩ Uβ −→ GLn(R) tal que Φ−1β ◦ Φα(b, v) = (b, gαβ(b) · v).
Un fibrado vectorial p : E −→ B es diferenciable si B es una variedad diferenciable y los cociclos son
aplicaciones diferenciables.
46
Teorema 4.2.1. Si p : E −→ B es un fibrado diferenciable entonces E es una variedad diferenciable y p es
una aplicación diferenciable.
Demostración: Sea {Uα,Φα}α∈Λ una familia de trivializaciones locales de p. Podemos suponer que
{(Uα,Φα)}α∈Λ es el sistema diferenciable maximal en B. Consideremos la composición
p−1(Uα)
Φ−1α−→ Uα × Rn ϕα×id−→ Rn × Rn = R2n.
Veamos que {(ϕα× id) ◦ϕ−1α : p−1(Uα) −→ R2n} es una estructura diferenciable en E. Supongamos que
Uα ∩ Uβ 6= ∅:
R2n
ϕ−1α ×id−→ (Uα ∩ Uβ)× Rn Φα−→ p−1(Uα ∩ Uβ)
Φ−1β−→ (Uα ∩ Uβ)× Rn
ϕβ×id−→ R2n.
La composición
(ϕβ × id) ◦ (ϕ−1β ◦ Φα) ◦ (ϕ−1α × id) = (ϕβ ◦ ϕ−1α , gαβ) (∗)
es una aplicación diferenciable.
Ejercicio 4.2.2. Probar que la composición (∗) es diferenciable.
Sean E1 y E2 dos fibrados vectoriales en B. Diremos que una aplicación F : E1 −→ E2 es fibrada si el
diagrama
E1 E2
B
F
p
1 p 2
conmuta, o equivalentemente, si F manda fibras en fibras.
Ejercicio 4.2.3. ¿Toda aplicación fibrada es diferenciable?
4.3 Fibrado tangente a una variedad
Sea M una variedad diferenciable con estructura diferenciable {(Uα, ϕα)}. Sea p ∈ M y sea F(M,p) el
conjunto de todas las aplicaciones diferenciables de algún entorno de p en R. Es claro que F(M,p) 6= ∅, pues
contiene alguna carta. Note que si f, g ∈ F(M,p) y λ ∈ R, entonces:
(1) λ · f ∈ F(M,p) y f + g ∈ F(M,p).
(2) f · g ∈ F(M,p).
47
De (1) y (2) se tiene que F(M,p) es un álgebra.
Un vector tangente a M en p es una aplicación lineal v : F(M,p) −→ R tal que v(f · g) = f(p) · v(g) +
g(p) · v(f). Esta igualdad se conoce como derivación o identidad de Jacobi. Denotaremos por Tp(M) el
espacio vectorial de todos los vectores tangentes a M en p.
Ejemplo 4.3.1. Sea (U,ϕ) una carta de la estructura diferenciable de M tal que p ∈ U . Consideremos la
composición xj : U
ϕ−→ Rn πj−→ R, para algún j. Tenemos que xj ∈ F(M,p). Sea x∗j = ∂∂Xj
∣∣∣
p
, donde
∂
∂xj
∣∣∣∣
p
(f) =
∂
∂rj
∣∣∣∣
ϕ(p)
(f ◦ ϕ−1).
Se tiene que x∗j es un vector tangente.
Proposición 4.3.1. Los vectores ∂∂X1
∣∣∣
p
, . . . , ∂∂Xn
∣∣∣
p
son linealmente independientes, por lo que forman una
base de Tp(M).
El fibrado tangente a M es el conjunto TM =
⊔
b∈M Tb(M), junto con la aplicación p : TM −→ M dada
por p(v) = b si v ∈ Tb(M).
(1) Trivializaciones locales de TM : Sea {(Uα, ϕα)} la estructura maximal de M , tenemos el diagrama
p−1(Uα) Uα × Rn
Uα
Φα
πp
Cada ϕα : Uα −→ Rn puede escribirse como ϕα = (x1, . . . , xn). Definimos
Φα(b, (a1, . . . , an)) = a1 ·
∂
∂X1
∣∣∣∣
b
+ · · ·+ an ·
∂
∂Xn
∣∣∣∣
b
∈ Tb(M).
(2) Cociclos: (Uα ∩ Uβ)× Rn Φα−→ p−1(Uα ∩ Uβ)
Φ−1β−→ (Uβ ∩ Uα)× Rn,
Φ−1β ◦ Φα(b, (a1, . . . , an))= Φ−1β
(
a1 ·
∂
∂X1
∣∣∣∣
b
+ · · ·+ an ·
∂
∂Xn
∣∣∣∣
b
)
=
b, J(ϕα ◦ ϕ−1β )∣∣∣
ϕα(b)
·
 a1...
an

 ,
donde J(ϕα ◦ ϕ−1β ) es la matriz de Jacobi de ϕα ◦ ϕ−1β .
Sea f : M −→ N una aplicación diferenciable. Se define el diferencial de f como la aplicación lineal
df : TM −→ TN dada por
df(v)(g) = v(g ◦ f)
48
M
TqM
v
q
Tf(q)N
f(q)
dfq(v)
N
R
f g
dfq
Ejercicio 4.3.1. Demuestre que:
(1) df es una aplicación fibrada.
(2) d(f1 ◦ f2) = d(f1) ◦ d(f2).
(3) Si df = 0 entonces f es constante.
(4) Sean ϕ = (x1, . . . , xn) cartas de M y ψ = (y1, . . . , ym) cartas de N , entonces
df
(
∂
∂Xj
∣∣∣∣
p
)
=
n∑
i=1
∂
∂Xj
(yj ◦ f) ·
∂
∂yi
∣∣∣∣
f(p)
Un campo vectorial en M es una sección diferenciable del fibrado tangente, esto es una aplicación X :
M −→ Tp(M) tal que p ◦X = idM .
M
q
X(q)
4.4 Fibrado de formas sobre una variedad
Sea E un espacio vectorial de dimensión n, sea k ∈ N y Bk(E,R) el conjunto de aplicaciones multi-lineales
de Ek en R,
α : Ek = E × · · · × E −→ R
es lineal en cada variable y Bk(E,R) es un espacio vectorial real.
49
Una aplicación α ∈ Bk(E,R) es alterenada si para todo σ ∈ Sk (donde Sk es el grupo de permutaciones de
orden k) se tiene
α(a1, . . . , ak) = (−1)|σ|α(aσ(1), . . . , aσ(k)).
Denotaremos por Λk(E) el subespacio vectorial de Bk(E,R) de las formas alternadas. Por conveción, Λ0(E) =
R. Nótese que Λ1(E) = B1(E,R). Sea
Λ∗(E) = Λ0(E)⊕ Λ1(E)⊕ · · · ⊕ Λn(E).
Daremos a Λ∗(E) una estructura de álgebra graduada. Sea ∧ : Λk(E)× Λl(E) −→ Λk+l(E), con k + l ≤ n,
el producto definido por
α ∧ β(a1, . . . , ak, . . . , ak+l) =
1
(k + l)!
·
∑
σ∈Sk+l
(−1)|σ|α(aσ(1), . . . , aσ(k)) · β(aσ(k+1), . . . , aσ(k+l)),
para todo α ∈ Λk(E) y β ∈ Λl(E).
Proposición 4.4.1 (Propiedades).
(1) ∧ es asociativo.
(2) α ∧ β = −β ∧ α.
(3) α ∧ α = 0.
Esta construcción es cofuntorial, esto es que si g : E −→ F es una aplicación lineal, definimos g∗ : Λl(E) −→
Λk(F ) de la siguiente forma:
g∗(α) = α(g(a1), . . . , g(ak)),
que satisface:
(1) (g ◦ f)∗ = f∗ ◦ g∗.
(2) Si f es sobreyectiva entonces f∗ es inyectiva (y viceversa).
(3) Si f es inyectiva entonces f∗ es sobreyectiva (y viceversa).
(4) f∗(α ∧ β) = f∗(α) ∧ f∗(β).
Sea {e1, . . . , en} una base de E, {e∗1, . . . , e∗n} es una base de Λ1(E) = E∗. Entonces
{e∗i1 ∧ · · · ∧ e∗ik : i1 < i2 < · · · < ik}
es una base de Λk(E). Se sigue que dim
(
Λk(E)
)
=
(
n
k
)
. Nótese que Λn(E) = R.
Dada una n-variedad M , q ∈ M , y 0 ≤ k ≤ n, tenemos a Λk(Tq(M)) y consideramos la aplicación
π : Λk(M) :=
⊔
q∈M Λ
k(Tq(M)) −→M dada por π(α) = q si α ∈ Λk(Tq(M)).
Analicemos la topoloǵıa de Λk(M). Sea {(Uα, ϕα)} la estructura maximal diferenciable de M . Consideremos
π−1(Uα) = tq∈UαΛk(Tq(M))
hα−→ Uα ∧ Λk(Rn) ∼= Uα × R(
n
k).
50
Consideremos la base de Tq(M) dada por
{
∂
∂x1
∣∣∣
q
, . . . , ∂∂xn
∣∣∣
q
}
. Sea {dx1|q, . . . , dxn|q} la base dual. Defi-
namos
hα(dxi1 |q ∧ · · · ∧ dxik |q) = (q, dxi1 ∧ · · · ∧ dxik)
y extendemos por linealidad. Aśı obtenemos una biyección y Uα × R(
n
k) es un espacio topológico, damos a
π−1(Uα) la topoloǵıa inducida por h. Ahora consideremos las inclusiones iα : π−1(Uα) −→ Λk(M). Damos
a Λk(M) la topoloǵıa final dada por las iα.
La proyección π : Λk(M) −→ M es una función continua. Sea A un abierto de M , entonces π−1(A) es un
abierto en Λk(M). Luego, π−1(A) ∩ π−1(Uα) = π−1(A ∩ Uα) es abierto en π−1(Uα). Tenemos el siguiente
diagrama conmutativo
π−1(Uα) Uα × R(
n
k)
Uα Uα
hα
π π1
=
Aśı obtenemos el siguiente resultado:
Proposición 4.4.2. La función π : Λk(M) −→ M es un fibrado vectorial diferenciable con fibra
π−1(q) = Λk(Tq(M)).
Uα × R(
n
k) = Uα × Λk(Tq(M)) π−1(Uα)
Uα Uα
h−1α
∼=
π π
=
Al considerar dos cartas (Uα, ϕα = (x1, . . . , xn)) y (Uβ , ϕβ = (y1, . . . , yn)) tenemos la composición
(Uα ∩ Uβ)× R(
n
k) h
−1
α−→ tq∈Uα∩UβΛk(Tq(M))
hβ−→ (Uα ∩ Uβ)× R(
n
k)
(q, dxi1 , . . . , dxik) 7→ (dxi1 |q ∧ · · · ∧ dxik |q) 7→ (q,
∑
λj1,...,jkyj1 ∧ · · · ∧ yjk),
donde los coeficientes λj1,...,jk vienen dados por la matriz de cambio de base asociada a ϕ
−1
α ◦ϕβ : Rn −→ Rn.
Como ϕ−1α ◦ ϕβ es diferenciable, se tiene que cada λj1,...,jk también lo es.
Dada una aplicación diferenciable f : N −→M , se tiene el siguiente diagrama conmutativo:
Λk(M) λk(N) TM TN
M N M N
f∗
πM πN
f
df
pp
f
51
donde la aplicación f∗ : Λk(M) −→ Λk(N) viene dada por f∗(α)(v1, . . . , vk) = α(f(v1), . . . , f(vk)). Nótese
que
(f ◦ g)∗ = g∗ ◦ f∗ y (idM )∗ = idΛk(M).
Una k-forma diferencial es una sección diferenciable de π : Λk(M) −→M , es decir una aplicación diferen-
ciable ω : M −→ Λk(M) tal que π ◦ ω = idM . Estudiemos la representación local de ω. Consideremos una
carta (Uα, ϕα) de M . Tenemos el siguiente diagrama conmutativo:
Uα × R(
n
k) π−1(Uα) Λk(M)
Uα M
h−1α
∼=
p
1
π π ω
Tenemos
ω(q) =
(
q,
∑
i1<···<ik
fi1,...,ik(q)dxi1 ∧ · · · ∧ dxik
)
donde fi1,...,ik : Uα −→ R es una función diferenciable. Localmente, tenemos
ω =
∑
i1<···<ik
fi1,...,ikdxi1 ∧ · · · ∧ dxik .
4.5 Cohomoloǵıa de de Rham
Teorema 4.5.1 (Derivada exterior). Existe un único morfismo (lineal) de fibrado d : Λk(M) −→ Λk+1(M)
tal que:
(1) d2 = 0.
(2) d(α ∧ β) = d(α) ∧ β + (−1)|α|α ∧ d(β).
Denotaremos por Λk(M) el espacio de todas las k-formas diferenciales en M . Por el teorema anterior, se
tiene un complejo
0 −→ Ω0(M) d−→ Ω1(M) −→ · · · −→ Ωk(M) d−→ Ωk+1(M) −→ · · · −→ Ωn(M) −→ 0.
Tal complejo se conoce como complejo de de Rham.
El k-ésimo grupo de cohomoloǵıa de de Rham se define como el k-ésimo grupo de cohomoloǵıa del
complejo anterior:
HkdR(M) :=
Ker(dk)
Im(dk−1)
.
Dada una k-forma diferencial ω y k campos vectoriales X1, . . . , Xk, definimos ω(X1, . . . , Xk) : M −→ R de
la siguiente manera:
ω(X1, . . . , Xk)(q) := ω(q)(X1(q), . . . , Xk(q)).
52
Denotemos por X(M) el conjunto de los campos vectoriales en M . Usando la caracterización anterior, pode-
mos ver a ω como una aplicación ω : X(M)k −→ F(M).
Ejercicio 4.5.1. Demuestre que ω es una k-forma diferenciable si, y sólo si, para todo X1, . . . , Xk ∈ X(M)
se tiene ω(X1, . . . , Xk) ∈ F(M).
Consideremos la representación local de d para probar que d2 = 0:
d(f · dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ) =
n∑
j=1
∂f
∂xj
· dxj ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxij
d2(f · dxi1 ∧ · · · ∧ dxij ) =
∑
i,j
∂2f
∂xi∂xj
· dxi1 ∧ dxj ∧ · · · ∧ dxij
= 0.
Ejemplo 4.5.1.
(1) Sea M = R. Tenemos el complejo de de Rham
0 −→ Ω0(R) d−→ Ω1(R) −→ 0,
donde d(f) = f ′. Aśı,
H0dR(R) = Ker(d) = {f : R −→ R / f es constante} ∼= R.
H1dR(R) = 0.
(2) Sea M = R2. Tenemos el complejo de de Rham
0 −→ Ω0(R2) d−→ Ω1(R2) d−→ Ω2(R2) −→ 0.
Como hicimos en el ejemplo anterior, se puede ver que H0dR(R2) ∼= R. Además es claro que H2dR(R2) = 0.
Falta calcular H1dR(R2). Consideremos la representación local de una 1-forma f · dx+ g · dy. Tenemos
que si
d(f · dx+ g · dy) = ∂f
∂y
· dy · dx+ ∂g
∂x
· dx · dy = 0
entonces (
∂g
∂x
− ∂f
∂y
)
dx · dy = 0, por el Teorema de Green.
Luego, existe h : R2 −→ R diferenciable tal que ∇h = (f, g). De esto se sigue que H1dR(R2) = 0.
Lema 4.5.1 (Lema de Poincaré). HkdR(M × R) = HkdR(M). De donde se tiene que
HkdR(Rn) =
{
R si k = 0,
0 si k 6= 0.
53
Teorema 4.5.2 (Sucesión de Mayer-Vietoris). Sea M una variedad y {U, V } un cubrimiento por abiertos
de M . Entonces para todo k se tiene una sucesión exacta
0 −→ Ωk(M) α−→ Ωk(U)⊕ Ωk(V ) β−→ Ωk(U ∩ V ) −→ 0,
donde α es la siguiente aplicación inducida por las inclusiones iU : U −→M y iV : V −→M :
α(ω) = ((iU )
∗(ω), (iV )
∗(ω)),
y β es la aplicación dada por
β(θ1, θ2) = θ2|U∩V − θ1|U∩V .
Teorema 4.5.3. Dada una variedad M y {U, V } un cubrimiento por abiertos de M , existe una aplicación
∆ : KkdR(U ∩ V ) −→ Hk+1dR (M) que hace exacta la siguiente sucesión:
· · · −→ HkdR(U)⊕HkdR(V )
β−→ HkdR(U ∩ V )
∆−→ Hk+1dR (M) −→ Hk+1dR (U)⊕Hk+1dR (V ) −→ · · · .
Ejemplo 4.5.2. Como aplicación del teorema anterior, podemos probar que la cohomoloǵıa de de Rham de
la esfera Sn viene dada por
HkdR(S
n) =
{
R si k = 0, n,
0 en otro caso.Consideremos los abiertos U = Sn − {N} ∼= Rn y V = Sn − {S} ∼= Rn, donde N y S representan los polos
Norte y Sur de la esfera, respectivamente. Tenemos que U ∩ V = Sn − {N,S} ∼= Sn−1 × R.
S2 − {N, S}
S1 × RS1
∼=
∼=
Veamos qué ocurre para n = 1. Es claro que H0dR(S
1) ∼= R. Supongamos que k = 1. En este caso,
U ∩ V ∼= R t R. Por el teorema anterior, tenemos la siguiente sucesión exacta:
0 −→ H0dR(S1) −→ H0dR(U)⊕H0dR(V ) −→ H0dR(U ∩ V ) −→ H1dR(Sn) −→ H1dR(U)⊕H1dR(V ) −→ · · ·
0 −→ R −→ R⊕ R −→ R⊕ R −→ H1dR(Sn) −→ 0⊕ 0 = 0.
Por uno de los teoremas fundamentales de isomorfismos, y por la exactitud de la sucesión anterior, tenemos
que
H1dR(S
1) = R⊕ R/Ker(R⊕ R −→ H1dR(S1)) = R⊕ R/Im(R⊕ R −→ R⊕ R).
De la misma manera, se tiene que
Im(R⊕ R −→ R⊕ R) = R⊕ R/Ker(R⊕ R −→ R⊕ R) = R⊕ R/Im(R −→ R⊕ R) = R⊕ R/R ∼= R.
54
Aśı, nos queda
H1dR(S
1) = R⊕ R/R ∼= R.
Supongamos que el resultado se cumple para n − 1. Es claro que H0dR(Sn) = 0. Consideremos la sucesión
exacta
Hk−1dR (U ∩ V ) −→ HkdR(Sn) −→ HkdR(U)⊕HkdR(V )
Hk−1dR (S
n−1 × R) −→ HkdR(Sn) −→ HkdR(Rn)⊕HkdR(Rn)
Hk−1dR (S
n−1) −→ HkdR(Sn) −→ 0.
Si 0 < k < n, tenemos Hk−1dR (S
n−1) = 0 y por la exactitud de la última sucesión nos queda HkdR(S
n) = 0.
Ahora supongamos que k = n. Tenemos la sucesión exacta
0 −→ Hn−1dR (Sn−1) −→ HndR(Sn) −→ 0.
De donde HndR(S
n) ∼= Hn−1dR (Sn−1) ∼= R.
Ejercicio 4.5.2. Sea M una variedad conexa, probar que H0dR(M)
∼= R.
55
56
BIBLIOGRAFÍA
[1] Raoul Bott & Loring W. Tu. Differential forms in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics.
Vol. 82. Springer Verlag. New York. (2010).
[2] Albrecht Dold. Lectures on Algebraic Topology. Classics in Mathematics. Springer Verlag. Berlin. (1995).
[3] William S. Massey. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 127.
Springer Verlag. New York. (1991).
[4] Edwin H. Spanier. Algebraic Topology. Springer Verlag. New York. (1966).
[5] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Graduate Texts in Mathe-
matics. Vol. 94. Springer Verlag. New York. (2010).
57
58