Apunte 4 - Variables Aleatorias - Primera Parte - Guadalupe Montes Martin

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4.4. VARIABLES 
ALEATORIAS 
UNIDIMENSIONALES
CONTENIDO
4. VARIABLES ALEATORIAS 
UNIDIMENSIONALES............................65
4.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS.......................................... 66
4.1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD............................. 66
4.1.2 PARAMETROS ESTADISTICOS........................................... 68
4.1.3 EJERCICIOS RESUELTOS.................................................... 70
4.2 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS........................................ 71
4.2.l FUNCION DE DENSIDAD..................................................... 71
4.2.2 PARAMETROS ESTADISTICOS........................................... 73
4.2.3DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV......................................... 73
G.Carnevali-E.Franchelli-G.Gervasoni
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
PRIMERA PARTE
4. VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Las experiencias aleatorias dan como resultado sucesos elementales. Una variable 
aleatoria se define al asignar un valor numérico a cada suceso elemental de una 
experiencia aleatoria. Es decir, una variable aleatoria numérica es un fenómeno de interés 
cuyos resultados se expresan con números. 
Como se vio en el capítulo 1, las variables aleatorias numéricas se clasifican como discretas 
o continuas, las primeras surgen del proceso de contar y las segundas de un proceso de 
medir.
Ejemplos: número de hijos por familia, sueldo de empleados administrativos, número de 
llamadas telefónicas que llegan a una central, longitud de cierta pieza, etc.
4.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
Una variable es discreta cuando el conjunto de valores posibles que puede asumir (llamado 
rango o recorrido de la variable: RX) es un conjunto finito o infinito numerable.
 Ejercicios 
Identifique cuáles de las siguientes variables aleatorias pueden clasificarse como discretas:
a) Número de alumnos por curso
b) Número de respuestas correctas de un examen por alumno
c) Años completos trabajados por un empleado
d) Tiempo que tarda un alumno en llegar a la escuela 
e) Tiempo de demora en la llegada de un determinado tren
f) Consumo de gas natural por hogar en una ciudad
4.1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
En el capítulo 2 se presentó para un conjunto de datos correspondientes a una variable 
discreta la distribución de frecuencias (absolutas o relativas).
Pensando ahora en todos los valores posibles que puede asumir la variable aleatoria 
discreta y la probabilidad asociada a cada valor se dice que:
 Una distribución de probabilidad es la enumeración de todos los valores posibles que puede 
asumir una variable aleatoria, junto con sus probabilidades.
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
Ejemplo :
La tabla 4.1 representa la distribución de probabilidad del número de empleados ausentes 
por día en una empresa:
TABLA 4.1 :
Nº de empleados
 ausentes por día
 ( xi )
Probabilidad 
( pi )
Probabilidad 
acumulada
F(xi )
1 0,085 0,085
2 0,118 0,203
3 0,184 0,387
4 0,217 0,604
5 0,127 0,731
6 0,118 0,849
7 0,104 0,953
8 0,047 1
1,000
GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD 
FIGURA 4.1
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Número de empleados ausentes
Pr
ob
ab
ili
da
d
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 Ejercicios 
 1.- ¿Qué es una distribución de probabilidad?
 2.- ¿Cuál es la diferencia entre una distribución de probabilidad y una distribución de 
frecuencias?
 3.- Sea X: número de accidentes diarios en una planta industrial. Los datos fueron 
obtenidos durante un período de tiempo prolongado:
Número de accidentes 
diarios
Proporción de 
días
0 0,51
1 0,28
2 0,15
3 0,03
4 0,03
 
a) ¿Es ésta una distribución de frecuencias o una distribución de probabilidad? 
Fundamente su respuesta.
b) Represente gráficamente.
c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos accidentes en un día?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya por lo menos dos accidentes diarios?
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Observaciones : ¿??
 pi ≥ 0 ∀ i
 1 pi =∑
∈∀ Ri
 (condición de cierre).
La distribución de probabilidad debe contener todos los valores posibles que puede 
tomar una variable aleatoria. Por lo tanto la suma de las probabilidades debe ser 
igual a 1.
 ( ) ( ) ( )∑
=
==≤=
x
k
kXPxXPxF
0
 
F (x) es la Función de distribución de Probabilidad Acumulada. 
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.1.2 PARAMETROS ESTADISTICOS
Son las medidas que resumen la información que brinda una distribución de probabilidad así 
como los estadísticos resumen la información que brinda una distribución de frecuencias.
• ESPERANZA MATEMÁTICA O PROMEDIO POBLACIONAL
La esperanza matemática es el valor promedio de una variable aleatoria X. Se la nota 
como E ( X ) o µ .
La fórmula para el cálculo de la esperanza matemática de una variable aleatoria discreta 
X está dada por:
( ) ∑
∞
=
=
1i
i.i pxXE
En el ejemplo de la tabla 4.1 el promedio poblacional es 4.2 , es decir el número 
promedio de empleados ausentes por día es de 4,2 empleados. Se simboliza E (X) = 
4,2 empleados.
• VARIANZA POBLACIONAL
Es una medida de dispersión y se la nota como V ( X ) o σ2 .
La fórmula para el cálculo de la varianza está dada por:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 222i
1i
2
i
2 XEXEXEXEp.μxσ −=−== ∑
∞
=
−
Observe que puede expresarse como el promedio de los desvíos al cuadrado.
• DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza y su ventaja es que trabaja con las mismas 
unidades en las que está expresada la variable.
Así : ( ) 2σσXD +== 
 En el ejemplo de la tabla 4.1 la varianza es 3,67 (empleados)2, de donde la desviación 
estándar es 1,92 empleados. Se simboliza D ( X ) = 1,92 empleados
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
 Ejercicios 
1.- Una compañía desea introducirse en el mercado de la electrónica. A tal fin, analiza el 
número de unidades defectuosas en su línea de chips para computadora.
Sea X: número de unidades defectuosas producidas por esta línea en un día normal. La 
variable X puede asumir los valores 0, 1, 2, 3 y 4, con las correspondientes 
probabilidades 0,40, 0,30, 0,15, 0,10 y 0,05.
Calcule el promedio y la desviación de la variable aleatoria X e interprete. 
2.- Sea X una variable aleatoria con promedio µ y desvío estándar σ. Determine la 
esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria Z ( a la que se conoce con el 
nombre de variable estandarizada ) y se define como :
σ
μXZ −=
 
4.1.3 EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Identifique cuáles de las siguientes variables aleatorias se pueden clasificar como 
discretas:
a) El número de personas que pasan por una caja registradora
b) Cantidad de mm3 en botellas de gaseosa
c) Edad de los alumnos de la UTN – Fac. Reg. Rosario
d) El número de ventas hechas por un vendedor de autos en un mes 
e) Duración de un tubo fluorescente
f) El número de ofertas recibidas sobre una casa en venta
 Solución : son variables discretas a ) , d ) y f ) .
2.- La compañía constructora “M.L” está teniendo problemas con herramientas que se 
rompen. La distribución de probabilidad del número de herramientas rotas diariamente 
es:
Número de herramientas 
rotas por día Probabilidad
0 0,30
1 0,25
2 0,15
3 0,20
4 ó más 0,10
a ) Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera haya tres herramientas rotas
b ) Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera haya más de una herramienta rota
c ) Calcule la probabilidad de que no haya herramientas rotas en los próximos dos días 
(considere que las roturas en diferentes días son independientes)
Solución :
X : número de herramientas rotas :
a ) P ( X = 3 ) = 0,20
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALESb ) P ( X > 1 ) = P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) + P ( X = 4 ) = 0,15 + 0,20 + 0,10 = 0,45
c ) P ( X = 0 ∩ X = 0 ) = P ( X = 0 ) * P ( X = 0 ) = 0,30 * 0,30 = 0,09
3.- La compañía Nutra ha determinado que si se comercializa un nuevo tipo de edulcorante, 
la siguiente distribución de probabilidad describiría su contribución a las ganancias de la 
empresa durante los siguientes tres meses :
 
Contribución a las 
ganancias Probabilidad
- $ 3000 0,20
 $ 5000 0,50
$ 20000 0,30
 
Calcule E(X) e interprete.
Solución:
X: contribución a la ganancia 
E ( X ) = 0,2 * (- 3000) + 0,5 * 5000 + 0,3 * 20000 = $ 7900
La interpretación queda propuesta para el alumno.
 
4.2 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
En las distribuciones de probabilidad presentadas hasta ahora, las variables aleatorias 
toman sólo valores aislados (Rx finito o infinito numerable), por lo tanto se hacía referencia a 
distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas. Ahora se verán 
distribuciones de probabilidad para variables aleatorias continuas, es decir, para aquellas 
variables que pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo de los Reales.
 
Una variable aleatoria es continua cuando el rango o recorrido de la misma ( Rx ) es un 
conjunto infinito no numerable.
Ejemplos: tiempo de demora en el otorgamiento de un crédito, años de antigüedad de los 
empleados de una empresa, duración de componentes electrónicas, etc.
4.2.l FUNCION DE DENSIDAD
En el capítulo 2 se vio que la representación gráfica de una variable continua se realiza a 
través de un histograma con su correspondiente polígono de frecuencias relativas. La 
siguiente figura muestra que a medida que aumenta el tamaño de la muestra y disminuye la 
amplitud del intervalo de clase, el polígono de frecuencias tiende a una curva llamada curva 
de densidad :
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VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
La curva de densidad es la representación de una función, llamada función de densidad, 
que se simboliza con ƒ(x ) y que verifica:
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( )
( ) cierre) de (condición1
0
=•
≥•
∫
∞+
∞−
dxxf
xf
( ) ( ) dxxfdXcP
d
c
∫=≤≤•
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.2.2 PARAMETROS ESTADISTICOS
• ESPERANZA MATEMATICA O PROMEDIO POBLACIONAL
( ) ∫
+ ∞
∞−
= dxxfxXE )(
• VARIANZA POBLACIONAL
( ) ( ) ( ) ( )[ ] 2222 XEXEdxxfx)X(V −=µ−== ∫∞+
∞−
σ
• DESVIACION ESTANDAR POBLACIONAL
 ( ) 2σσ +==XD
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Observaciones:
 La probabilidad de que un valor de X sea igual a cualquier valor 
específico es cero, en consecuencia, el signo de igualdad puede o no incluirse 
en la especificación del intervalo. Es decir:
( ) ( ) ( ) ( )dXcPdXcPdXcPdXcP <<=≤<=<≤=≤≤
 Se define:
( )∫
∞
=<=
x
-
.dssf xX PF ( x ) )(
Función de distribución de probabilidad acumulada de X.
 Se deduce:
f (x) = )(xF
dx
d
VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES
4.2.3 DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV
La desigualdad de Chebyshev muestra una propiedad muy útil de la desviación estándar. En 
particular dice que, independientemente de cómo se distribuyan los valores de la variable 
aleatoria X, al menos (1 – 1/ k2) % de dichos valores estarán a menos de k desviaciones 
estándar del promedio. 
Es decir: 
[ ]
[ ] (b) 1 - 1 - XP
(a) 1 - X P
2
2
k
kμ
k
kμ
≥≤
≤≥
σ
σ
Trabajando la desigualdad (b),
 para algunos valores de k:
La aplicación de esta regla es útil cuando no se conoce la función de probabilidad de la 
variable y nos permite obtener valores aproximados de las probabilidades asociadas a dicha 
variable.
Observación: recordar regla empírica para distribuciones simétricas ( pag. 33 ).
Ejemplo :
En una fábrica la edad promedio de los operarios es de 44,8 años con una desviación 
estándar de 9,7 años. Al usar la desigualdad de Chebyshev para k = 2 se obtiene:
Es decir que al menos el 75 % de las edades de los operarios de la fábrica están entre 
25,4 y 64,2 años, o lo que es lo mismo, la probabilidad de que un operario de la fábrica 
(elegido al azar) tenga entre 25,4 y 64, 2 años es al menos de 0,75. Si se hubiese 
conocido la función de densidad correspondiente a los años de los operarios de la fábrica 
se hubiese podido calcular con exactitud el porcentaje de edades de los operarios que se 
encuentra a menos de dos desviaciones estándar del promedio.
 
 Ejercicios 
 1.- Una variable aleatoria continua X tiene un promedio de 9,2. ¿Qué valor máximo puede 
admitirse para el desvío estándar σ, si se desea que la variable se encuentre en el 
intervalo (9,0 ; 9,4) con una probabilidad de al menos 0,889?
 2.- Sea X la variable que representa la cantidad de lluvia caída en una semana en una región 
determinada. Supóngase que µ = 20 mm y σ = 5 mm. Una persona afirma que es 
frecuente que en esa región llueva más de 50 mm en una semana. ¿Qué opina Ud. 
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k cota de la probabilidad
2 0,75
3 0,89
4 0,94
74
[ ]
64,2 X 25,4 9,7 *2 44,8 X 9,7 *2 - 44,8 
X X - - 
≤≤=+≤≤=
=+≤≤=≤ σµσµσµ kkk