Clase 8 Fuerzas Conservativas - Disipativas - Principio de conservacion de la Energía - March DR

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Fuerzas Conservativas y No Conservativas
 Energía Potencial Gravitatoria y Elástica
Trabajo realizado por fuerzas no conservativas
Enunciado general del teorema del trabajo y energía
Principio de Conservación de la Energía
Discusión de curvas de Energía potencial
UNIDAD 5 
Fuerzas Conservativas y no conservativas 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Se denominan Fuerzas conservativas a aquellas que efectúan un trabajo nulo sobre una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria cerrada. Ejemplos de este tipo de fuerzas resultan la fuerza peso, fuerzas elásticas y electrostáticas.
Una fuerza es No Conservativa o disipativa, si el trabajo efectuado por la misma sobre una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria cerrada cualquiera no es nulo. Ejemplos de este tipo son la fuerza de fricción o de rozamiento y viscosas.
 z
 B Suponemos que la partícula va desde A hacia B 
 por el trayecto I , luego dicha partícula regresa 
 desde B hacia A por la trayectoria II
 si la fuerza actuante F encargada de trasladar 
 I dicha partícula fuera conservativa :
 II + = 0
 y Es decir =  
 A
 Concluimos que una fuerza es conservativa si el 
 trabajo hecho por ella sobre una partícula que 
 mueve entre dos puntos cualesquiera depende solamente de esos puntos 
 x inicial y final, y no de la trayectoria. 
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Energía potencial gravitatoria
El trabajo total efectuado por la fuerza gravitatoria, cualquiera sea la trayectoria, es igual al producto de ( mg) multiplicado por el desplazamiento vertical (  ) :
 	 =  mg . (  ) = mg  mg =  
este trabajo no se ve afectado por ningún movimiento horizontal que pueda darse; por lo tanto se puede usar la misma expresión para la energía potencial gravitacional, sea la trayectoria del cuerpo recta o curva.
Energía potencial elástica
El proceso de guardar energía en un cuerpo deformable, ejemplo resorte o liga elástica, se puede describir en términos de energía potencial elástica.
La fuerza aplicada F = Kx, es decir existe una proporcionalidad entre la fuerza y el desplazamiento
El trabajo efectuado, sobre una masa adosada a un resorte, por la fuerza elástica en términos de energía potencial es:
	 =  k (  ) = k  k. =  = ΔU
La diferencia importante con la U gravitatoria es que el punto x=0 no es arbitrario, para el resorte x=0 debe ser la posición del resorte ni estirado ni comprimido, posición de equilibrio. 
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Trabajo realizado por fuerzas no conservativas
Supongamos la existencia de un campo de fuerzas no conservativas(es decir que las mismas realicen trabajo no nulo) y fuerzas conservativas .
El teorema del trabajo y la energía aplicado a dicho sistema se tiene:
		 + = Δ 
Donde:
 = trabajo de fuerzas conservativas = Δ 
 = trabajo de fuerzas no conservativas
Despejando y reemplazando se tiene:
 = Δ  = Δ  ( Δ ) = Δ  Δ = Δ ( ) 
 	 = Δ 
Generalizando se puede decir que la suma de los trabajos de cada una de las fuerzas no conservativas es igual a la variación de la energía mecánica
Ejemplos de fuerzas no conservativas son la de fricción o rozamiento, electromagnética 
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Principio de Conservación de la energía 
Suponemos que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas 
	 = Δ =  = Δ = - (  )
 reordenando
	 + = + 
 ( + )A = ( + )B 
	 
Como puede observarse en la ecuación aparece en ambos miembros la suma de energía cinética mas potencial que denominamos Energía Mecánica
	 = 
Si las fuerzas que actúan sobre una partícula y que realizan trabajo son conservativas la energía mecánica se conserva, lo que es idéntico a decir que permanece constante
	 = + = CTE.
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Enunciado General del teorema de Trabajo y Energía
Cuando en un sistema actúan tanto fuerzas gravitacionales, elásticas y de rozamiento (no conservativas), el trabajo realizado por todas las fuerzas es igual al cambio en la energía mecánica total incluida la elástica:
	 + + + = + + 
	 + + = 
Ejemplo de aplicación
	Un cuerpo es impulsado por un resorte como muestra el esquema de la figura. Considerando que el rozamiento es despreciable en el primer tramo, hasta llegar a B. Hallar:
            a- La compresión del resorte para la cual se deja libre la masa si pasa por el punto A con la mínima velocidad posible.
            b - El trabajo de la fuerza de rozamiento si es apreciable desde B en adelante, y el cuerpo llega justo hasta el punto C		
			
	Datos:
R = 1m
m = 2 kg
k = 200 N/m		
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Resolución:
Para responder la primer pregunta, se debe relacionar dos estados o posiciones: 
la posición o estado inicial O: resorte comprimido
la posición o estado final A: parte mas alta del rulo circular (punto A)
Ahora se aplica teorema de trabajo y energía entre esos 2 (dos) puntos
		 = 
El enunciado dice rozamiento despreciable en el primer tramo  = 0
			0 = 
			0 =  
		 = 
	 + + = + + 
Ahora se debe fijar un marco referencial adecuado y para el resorte estado inicial y final. Altura igual a cero a nivel del tramo horizontal. Entonces en la ecuación se identifica cuales energías son iguales a cero 		
 + + = + + 
Ahora reemplazamos cada energía por su expresión
		 k = m + mg 
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La ecuación tiene dos incógnitas: que es la compresión que solicita el enunciado y que es la mínima velocidad posible que plantea el enunciado para pasar por el punto A
Para la velocidad se plantea lo siguiente: existen 2 fuerzas dirigidas hacia el centro del círculo  P + N = m y para que se cumpla que sea la mínima fuerza se debe plantear el caso límite donde N=0  P = m 
Que se resuelve mg = m  = g . R
Se reemplaza en la ecuación y tenemos k = m g R+ m g 
Despejamos la compresión =
Que reemplazados los datos se obtiene = 0,7 m
Para responder la segunda pregunta se hace el planteo entre el punto A y C
 =  =  
 = m + mg  m  mg 
Pero como = y el cuerpo llega justo al punto C, es decir se detiene v = 0
Nos da = m 
Reemplazo = m g R = 9,8 J
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Ejemplo de aplicación
Determinar la altura mínima desde la cual debe empezar a caer una bola de manera tal que pueda completar el movimiento circular, mostrado en el siguiente gráfico. Suponer que la bola resbala sin rodar y sin fricción. 
 v=0
 A BN
 P
 h
 R
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Resolución:
Cuando la bola es soltada en el punto A a una altura “h” respecto a la base del rulo circular, la bola parte del reposo v = 0 y comienza a ganar velocidad, cuando empieza a subir por la circunferencia su velocidad comienza a disminuir. En cualquier punto del riel (camino por donde pasa la bola) las fuerzas actuantes sobre la partícula son su peso “P” y la fuerza de reacción del riel (fuerza Normal) 
Se plantea la conservación de la “Energía de la partícula” entre los puntos A y B
La energía total 	 = 
		 + = + 
Dado que inicia el movimiento en A con v = 0  = 0  = + 
Las expresiones son: mg h = m + mg 
Se observa que para determinar la altura “h” es necesario hallar el valor de 
En el punto “B” tanto el peso de partícula como la reacción “N” apuntan hacia el centro de la circunferencia y considerando la fuerza centrípeta se tiene:
 = m .  N + P = m. 
La mínima velocidad de la bola en el punto “B” sucede cuando en el límite la reacción Normal del riel sobre la partícula es nula N = 0
Por lo tanto P = m.  mg = m.  = g . R
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La altura del punto “B” respecto a la base del rulo circular es = 2R
Reemplazamos en la expresión de la conservación de la energía y se realizan las operaciones algebraicas necesarias se obtiene:
		 mg h = m g R + mg 2R
		 
 h = 5 R
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Discusión de curvas de Energía Potencial
La siguiente curva de representa la energía potencial para un movimiento unidimensional 
 
 (x)
 K (4) 
 H (3)
 
 
 C D F G (2)
 
 
 A B (1)
 
 E 
 
 x
 0 A’ B’ 
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Una de las primeras ecuaciones usadas nos daba la fuerza F sobre la partícula para cualquier valor de x, cuya expresión es F =  
donde la expresión representa la pendiente de la curva (x). 
Se observa que la pendiente es positiva siempre que la curva crece y negativa cuando decrece. Por consiguiente la fuerza F (el negativo de la pendiente) es:
Negativa o dirigida hacia la izquierda, cuando está aumentando
Positiva o dirigida hacia la derecha, cuando está disminuyendo
En los puntos donde la es mínima o máxima, como son los puntos indicados por , y se cumple que = 0 y por lo tanto F = 0 , tales posiciones son de equilibrio, denominadas:
Equilibrio estable posición de mínima, debido a que si la partícula se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio, esta sometida a una fuerza que trata de devolverla a dicha posición 
Equilibrio inestable posición de máxima, debido a que si la partícula sufre un ligero desplazamiento de la posición de equilibrio, experimenta una fuerza que trata de alejarla aún mas de dicha posición
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Si se considera una partícula con energía total E, indicada por la línea horizontal (1), en cualquier posición x la energía potencial esta dada por la ordenada de la curva y la energía cinética está dada por la distancia de la curva (x) a la línea E, es decir: = E  
La línea de energía E corta a la curva (x) en los puntos A y B. Se observa que a la izquierda de A y a la derecha de B la energía E es menor que la energía potencial y por lo tanto en dichas regiones la energía cinética sería negativa, pero esto es imposible dado que = m es necesariamente positiva
Por lo tanto el movimiento de la partícula esta limitado al intervalo AB y la partícula oscila entre x= A’ y x= B’ estos son puntos de retorno, allí la velocidad se anula y la partícula cambia su movimiento.
Si la partícula tiene una energía mayor, tal como la que corresponde a línea (2), hay dos regiones posibles de movimiento:
Una oscilante entre C y D
Otra oscilante entre F y G 
Si la partícula se encuentra en alguna de esas dos regiones no puede saltar o pasar nunca a la otra, porque ello requiere pasar por la región DF ,donde la energía cinética sería negativa y por lo tanto no esta permitido. Se dice que las dos regiones están separadas por una barrera de potencial . 
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Para el nivel de energía que corresponde a la línea (3), el movimiento de la partícula es oscilatorio entre los puntos H e I.
Para el nivel de energía línea (4) el movimiento no es oscilatorio y la partícula puede moverse entre el punto K y el infinito, es decir si la partícula se esta moviendo hacia la izquierda al llegar al punto K rebota alejándose por la derecha sin regresar.