Gustavo Adolfo Pérez Munguía-Apuntes de Mecánica Cuántica - Gina Solorzano (1)

Vista previa del material en texto

1
Apuntes de Mecánica Cuántica
Dr. Gustavo Adolfo Pérez Mungúıa
Apuntes de Mecánica Cuántica
Dr. Gustavo Adolfo Pérez Mungúıa
Tegucigalpa, Honduras
PACS numbers: 03.65
The Unreasonable Man
The reasonable man adapts himself to the world;
the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself.
Therefore all progress depends on the unreasonable man.
Introducción
La introducción de nuevas teoŕıas f́ısicas, tales como las leyes de Newton, la Relatividad y la Mecánica Cuántica,
siempre trajeron consigo la modificación de nuestros conceptos de espacio, tiempo y realidad. A medida que la ciencia
extiende sus fronteras hacia las grandes distancias, como en la Teoŕıa de la Relatividad, o a pequeñas distancias como
en la Mecánica Cuántica, nuestro concepto intuitivo del espacio tiempo adquiere nuevas formas y contornos. Estos
nuevos contornos hacen aparecer fenómenos que por su vez generan el descubrimiento de nuevas teoŕıas haciendo aśı
una cadena infinita que solo terminará con la propia evolución del ser humano.
Finalmente, es necesario aclarar que la introducción axiomática de la Mecánica Cuántica que aqúı se hace, tiene
como único objetivo esclarecer a los alumnos los principios en que se fundamenta la teoŕıa y de ninguna manera debe
inducir a pensar que las teoŕıas f́ısicas se pueden construir sin el apoyo de la base experimental suficiente.
Se supone de parte del lector un buen conocimiento de álgebra y análisis.
[0] ∗ E-mail:gus@pepper.org
3
Sabré enfrentar el rigor del invierno,
porque luego después llegará la primavera.
A LA MEMORIA DE:
Dr. JORGE A. SWIECA
Considered one of the major specialists in field theory in the country, Jorge André Swieca (1936 - 1980) published, both
in Brazil and abroad, numerous works which attracted the attention of the academic elite in his area of specialization.
There are bases mainly on quantic electrodynamics, on the asymptotic conditions in the theory of fields, on the
localization of states in relativistic quantic theories, on the spontaneous rupture of symmetries, on the behavior of
commutators in non-relativistic theories of many bodies and the algebra of Gell-Mann currents.
FIG. 1: Jorge André Swieca
4
La Teoŕıa de los Cuantos . Resumen y Proyecciones
Conferencia dictada por el Dr. Klaus Schocken
Departamento de F́ısica UNAH, Tegucigalpa 1975.
He estudiado F́ısica en la Universidad de Berĺın entre los años 1923 y 1928. En aquel tiempo la Teoŕıa de los Cuantos
fue el centro de gran interés. La universidad y los institutos independientes como el Instituto Nacional de F́ısica y
Tecnoloǵıa y los institutos de la Sociedad para el Fomento de las Ciencias (hoy llamada Sociedad Max Planck) eran
fuertes en espectroscoṕıa, que era la llave para abrir el interior de los átomos. Los investigadores eran igualmente
competentes en la medición y la interpretación según la teoŕıa de Bohr y Sommerfeld. Hab́ıa un coloquio semanal en
el cual se congregaba la mayoŕıa de los f́ısicos de las inmediaciones de la ciudad. Los art́ıculos nuevos se discut́ıan
en estas ocasiones. En mis años como estudiante no graduado, estos coloquios se relacionaron casi siempre con
espectroscoṕıa. En los pocos casos que recuerdo cuando se comunicaron resultados de otras actividades como la
descomposición artificial de núcleos atómicos, la radiación cósmica u observaciones experimentales sobre Relatividad,
vinieron visitantes fuera de Berĺın.
En Alemania exist́ıan tres centros importantes de F́ısica: Berĺın, Munich y Gotinga. La universidad de Munich
era famosa por causa de Arnold Sommerfeld de cuyo libro Estructura Atómica y Ĺıneas Espectrales una generación
entera aprendió la Teoŕıa de los Cuantos.
Hasta ahora he hablado de los primeros años de mi estudio, cuando la Teoŕıa de los Cuantos era dominante en la
forma de Bohr Sommerfeld.
El primer cambio ocurrió cuando Heisenberg, Born y Jordan publicaron su disertación sobre la mecánica de matrices.
Esta publicación se conoció inmediatamente, pero las opiniones no cambiaron en Berĺın. La F́ısica continuó como
antes. Las cosas fueron diferentes cuando Schrödinger comenzó a publicar su serie de art́ıculos sobre la mecánica
de ondas. La F́ısica cambió en Berĺın después de su segunda memoria. A la Teoŕıa de Schrödinger le fue dada la
bienvenida con esperanzas inmensas y Schrödinger se juntó a la facultad de Berĺın en poco tiempo. La interpretación
original de la Teoŕıa de los Cuantos dada por Schrödinger coincidió con las opiniones y expectaciones de la Facultad
de F́ısica de Berĺın, en particular las de Planck, Einstein y Von Laue. Cuando Max Born publicó la interpretación
probabiĺıstica de la Teoŕıa de los Cuantos, la interpretación original de Schrödinger cayó; pero la interpretación de
probabilidades en el sentido de Born no se aceptó jamás en Berĺın. Recuerdo a Einstein diciendo: ”Esta gente hace
del apuro una virtud”.
Con esta educación temprana, ¿Cómo se puede valorar la Teoŕıa de los Cuantos hoy?
Primero hace falta apuntar que la Teoŕıa de los Cuantos no se puede valorar sin considerar la Teoŕıa de la Relatividad
simultáneamente, ni la Teoŕıa de la Relatividad sin considerar simultáneamente la Teoŕıa de los Cuántos. Ambas
teoŕıas se originaron al comienzo del siglo en un peŕıodo de pocos años. Los problemas que trataron de resolver eran
totalmente diferentes. La Teoŕıa de la Relatividad era la consumación de la Teoŕıa Clásica de Newton y Maxwell. Y
a pesar de las innovaciones grandes que postuló, sus problemas y métodos eran clásicos. La Teoŕıa de los Cuantos
resolvió desde el principio los problemas que eran inaccesibles a los métodos clásicos, tales como la ley de la radiación
del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y la teoŕıa atómica.
La Teoŕıa de la Relatividad es el apéndice a la Teoŕıa Clásica de Newton y Maxwell. Pero se sabe hoy que la
Teoŕıa Clásica es solo aproximación. No es exacta. La Teoŕıa Cuántica expresa la F́ısica exacta. Pero la Teoŕıa
Cuántica no covariante es también solo una aproximación, no es exacta. Entonces solo una teoŕıa covariante de
campos cuánticos puede ser exacta. Tal teoŕıa se ha desarrollado en analoǵıa a la teoŕıa de campos clásicos. El
cambio principal con respecto a los campos clásicos es asociar observables con operadores autoadjuntos sobre un
espacio de Hilbert. Tal Teoŕıa de los Campos Cuánticos se ha desarrollado según estos principios y se denomina la
Teoŕıa de los Campos Cuánticos de Lagrange. Esta teoŕıa ha alcanzado éxitos notables como una teoŕıa básica de las
interacciones elementales y resuelve bien el problema de part́ıculas aisladas.
Pero además de la dificultades matemáticas, esta teoŕıa no es satisfactoria en el tratamiento de las interacciones
entre part́ıculas. El único método por el cual se puede aplicar es a través de la teoŕıa de perturbaciones y ésta es
inaplicable a las interacciones fuertes.
A pesar de sus defectos, ésta es la única Teoŕıa Cuántica que tiene bases sólidas. Se conoce bajo el nombre de
principio de Acción de Schrödinger. Debe ser mejorada.
Yo no creo que se pueda descartar el método de variaciones. La geometrización de la F́ısica es una consecuencia
inmediata de la Teoŕıa de la Relatividad. Esta tendencia halla su consumación en la Teoŕıa Unificada del Campo.
En ella todas las leyes de la F́ısica se representan por movimientos a lo largo de geodésicas. Si este programa no es
capaz de realizarse para la Teoŕıa de los Cuantos, esta imposibilidad puede ser debido a que se usan todav́ıa conceptos
pre-relativ́ısticos.
En particular hace falta clarificar el concepto de part́ıcula. Entre los observables dinámicos que se derivan para
las part́ıculas en los diversos campos cuánticos en ninguno se indica si la part́ıcula bajo consideración es un cuerpo
ŕıgido o una gota ĺıquida. Si aparecen contradicciones se puede llegar a la conclusión que impĺıcitamentela part́ıcula
5
es ŕıgida. Tal cuerpo no es conforme con la Teoŕıa de la Relatividad. Por eso la Teoŕıa de los Campos Cuánticos de
Lagrange es incompleta hasta ahora.
En cambio la vieja controversia sobre el determinismo en la Teoŕıa de los Cuantos es infecunda. En la teoŕıa existe
la interpretación probabilista que es la única que surte efecto. Pero esta teoŕıa es todav́ıa incompleta. Es imposible
predecir la interpretación de una teoŕıa completa que no existe ahora.
Este es un resumen de la conferencia dictada por el Dr. Klaus Schocken alumno de Max Planck en ocasión de
la celebración de los cincuenta años de la Mecánica Cuántica durante su estancia en Tegucigalpa, Honduras en el
Departamento de F́ısica de la UNAH como miembro del Cuerpo de Paz.
El Dr. Schocken trabajó en ionización de gases por rayos x en los años 30 en Alemania, en el Army Medical Re-
search en los 50, en el DOI en el 51 y en la Nasa del 57 al 70. Nació el 24 de abril de 1905, murió el 13 de octubre de 1997.
6
Índice
Contents
I. CAPÍTULO 1 9
A. Axiomas 9
B. La Normalización de la Función de Onda 9
C. La Estructura de un Espacio Vectorial con Producto Interno 10
D. La Interpretación de la Función de Onda 10
Definición de Valor Medio 10
Axioma 4 11
E. Propiedades de los Operadores Hermitianos 11
Problemas 13
F. Propiedades del Adjunto o Hermitiano Conjugado 14
G. La Teoŕıa de la Medida 14
H. Los Operadores Asociados a las Cantidades Observables
El Operador Asociado a la Posición 16
El Operador Momento Lineal 17
I. Los Autovalores de un Operador Hermitiano y las Autofunciones Asociadas 17
La Normalización de la Part́ıcula Libre 18
Problemas 18
J. El Valor Medio en la Base de Autovectores 18
K. Relaciones de Incertidumbre 19
Teorema 19
L. Operador Momento Angular 21
El Módulo del Momento Angular 23
El Principio de Correspondencia 23
Problemas 24
II. CAPÍTULO 2 26
A. La Dinámica de la Mecánica Cuántica 26
B. La Velocidad de Grupo de un Pulso de Ondas 27
Axioma 5 28
C. La Conservación de Probabilidad en la Ecuación de Onda 28
La Solución de la Ecuación de Schrödinger cuando V(x,t) no depende del Tiempo 30
Ejemplos de Solución de la Ecuación de Onda
Problemas en una Dimensión 30
El Operador de Paridad 32
Problema No 2 38
El Caso Antisimétrico 40
La Barrera de Potencial 42
Problemas 46
D. La Evolución Temporal de la Función de Onda 47
Ejemplo 48
E. Problemas de Evolución de Paquetes Libres 51
F. Problemas de Repaso 52
1. Probabilidad 52
2. Operadores 52
3. Normalización de la Función de Onda. 53
4. Mecánica Cuántica 54
G. Problemas Resueltos 56
III. CAPÍTULO 3 60
A. Teorema de Ehrenfest 60
B. El Comportamiento de un Potencial que se Anula en el Infinito 62
C. El Oscilador Armónico 63
7
D. El Principio de Correspondencia para el Oscilador Armónico 66
E. El Estudio de los Polinomios de Hermite 67
F. Función Generadora de los Polinomios de Hermite 67
G. La Fórmula de Recurrencia de los Polinomios de Hermite 68
H. La Constante de Normalización del Oscilador Armónico 69
I. El Caso de un Paquete Gaussiano en un Potencial Armónico 71
J. Comportamiento de una Función de Onda de Ancho Arbitrario 74
IV. CAPÍTULO 4 76
A. La Separación de Variables en Coordenadas Cartesianas 76
B. La Ecuación de Onda en Coordenadas Esféricas 77
C. Las Propiedades de los Polinomios de Legendre 82
D. La Ecuación Radial y sus Soluciones 84
1. La Solución de la Ecuación de Bessel 89
E. Problemas 94
1. Notas y Ejemplos 95
2. Ortogonalidad de los Polinomios de Legendre 95
F. La Part́ıcula en una Caja Rectangular y en una Caja Circular 96
1. Introducción 97
2. La Caja Rectangular 98
3. La Caja Circular 99
4. Ahora la Mecánica Cuántica 100
V. CAPÍTULO 5 103
A. El Átomo de Hidrógeno 103
B. Clasificación de los Niveles de Enerǵıa 105
C. Algunas de las Propiedades de los Polinomios de Laguerre 106
D. El Potencial Armónico Isótropo 107
E. El Oscilador Armónico en Coordenadas Esféricas 108
F. Sistemas de Muchas Part́ıculas 111
VI. CAPÍTULO 6 117
A. El Spin y el Momento Angular Orbital 117
B. El Spin del Electrón 121
C. Los Hamiltonianos con Spin 124
D. El Acoplamiento del Spin al Momento Angular Orbital 128
E. Propiedades del Producto Directo o Tensor de Dos Espacios Vectoriales 132
Cálculo de los Coeficientes de Clebsch-Gordan 133
F. El Momento Angular y las Rotaciones 135
G. La Representación del Grupo de las Rotaciones 136
H. Operadores Tensoriales 137
I. El Teorema de Wigner Eckart 139
J. Aplicaciones del Teorema de Wigner Eckart 140
VII. CAPÍTULO 7 143
A. Perturbación Independiente del Tiempo 143
1. Caso Degenerado de Primer Orden 146
2. La Teoŕıa de Perturbación de Segunda Orden 147
B. Aplicaciones de la Teoŕıa de Perturbaciones 149
C. Efecto Zeeman 149
1. Efecto Zeeman Normal 149
D. Efecto Zeeman Anómalo 153
E. El Acoplamiento Spin Órbita 155
F. El Efecto Stark 159
1. El Caso Degenerado 159
2. El Efecto Stark en los Átomos Alcalinos 162
VIII. CAPÍTULO 8 169
A. Métodos no Perturbados de Aproximación 169
8
B. Aplicaciones para el Átomo de Helio 170
1. La Integral de Undsöld 174
C. El Método WKB 175
D. La Expansión Asintótica 182
E. La Regla de Sommerfeld Wilson 185
F. Cálculo de Coeficientes de Reflexión y Transmisión por el Método WKB 187
IX. CAPÍTULO 9 191
A. La Interacción con el Campo Electromagnético 191
1. Las Ecuaciones de Movimiento 191
2. El Átomo en la Presencia de un Campo Electromagnético Externo 195
3. La Teoŕıa de la Perturbación Dependiente del Tiempo 196
4. Emisión de Radiación 197
X. Agradecimientos 204
9
I. CAPÍTULO 1
Los Principios Básicos de la Mecánica Cuántica
A. Axiomas
En este caṕıtulo comenzaremos enunciando un conjunto de reglas básicas que llamaremos de axiomas y que nos
permitirán construir la teoŕıa matemática en la cual se basa la Mecánica Cuántica. Estos axiomas representan las
conclusiones experimentales mı́nimas sobre las cuales se puede construir la teoŕıa.
Axioma 1. El estado de un átomo se describirá por medio de una función de onda compleja.
Axioma 2. |ψ(x, t)|2 es la densidad de probabilidad de al hacer una medida de localización en el tiempo t alĺı
encontrar el electrón.
Axioma 3. Principio de Superposición.
Las funciones de onda forman un espacio vectorial. Si ψ1 es una función de onda y ψ2 también, la combinación
lineal αψ1 + βψ2 también será una función de onda, donde α y β pertenecen a los números complejos.
B. La Normalización de la Función de Onda
Para representar una probabilidad la función de onda debe estar normalizada, o sea que si
P (x, t) = |ψ(x, t)|2 (1.1)
es la densidad de probabilidad de encontrar la part́ıcula en un determinado punto e instante,
∫
V
P (x, t)d3x (1.2)
es la densidad de probabilidad de encontrar la part́ıcula en el volumen V.
Como la probabilidad de encontrar una part́ıcula en todo el espacio debe ser uno, tenemos que:
∫
∞
|ψ(x, t)|2d3x = 1 (1.3)
Donde ∞ significa que la integral es sobre todo el espacio. Note que si sustituimos la función de onda original por
φ = cψ (1.4)
y mantenemos la normalización
∫
|φ(x, t)|2d3x = |c|2 (1.5)
o sea |c|2 = 1 , concluimos que c es una fase en la función de onda, esto es que
c = eiθ (1.6)
si multiplicamos la función de onda por una fase el estado f́ısico no se altera, tendremos que estudiar esto en más
detalle cuando completemos la descripción de los teoremas. Lo que nos permite afirmar que una fase introducida en
la función de onda no es una caracteŕıstica mensurable del sistema.
10
C. La Estructura de un Espacio Vectorial con Producto Interno
Los axiomas anteriores dan una estructura de espacio vectorial para la función de onda, en general de dimensión
infinita.
La determinación de las caracteŕısticas de continuidad de una función de onda para que represente un fenómeno
f́ısico nos conduce a lo que se conoce como espacio de Schwartz de la funciones test, las ”funciones generalizadas”
fueron introducidas por Sergéi Sóbolev en1935. Independientemente y a finales de la década de 1940 Laurent Schwartz
formalizó la teoŕıa de distribuciones, lo que le valió la Medalla Fields en 1950, pero en términos menos rigurosos solo
se exige que las funciones ψ sean de cuadrado integrable L2(R3) por ejemplo ηe−x
2
El producto interno que usaremos será:
∫
∞
ψ∗ψd3x =< ψ, ψ >≥ 0 (1.7)
y
< ψ, ψ >= 0 si ψ = 0 (1.8)
a menos de un conjunto de medida nula.
Para que el producto interno esté bien definido es necesario que satisfaga la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
| < ψ, φ > | ≤ |ψ||φ| (1.9)
donde como es usual
|ψ| =
√
< ψ,ψ > (1.10)
la desigualdad triangular se escribe como:
|ψ + φ| ≤ |ψ|+ |φ| (1.11)
Como es sabido cuando la Mecánica Cuántica se formuló por primera vez surgieron dos versiones, la de Schrödinger
que utiliza ecuaciones diferenciales y la segunda debida a Heisenberg, Werner Heisenberg (5 Diciembre 1901-1 Febrero
1976), que utiliza operadores matriciales, las propiedades que relacionan un operador en un espacio de Hilbert con
la matriz asociada a ese operador nos harán ver que tanto la formulación ondulatoria como la matricial son dos
expresiones equivalentes del mismo fenómeno f́ısico. Sabemos que un espacio de Hilbert o sea un espacio con producto
interno completo y separable tiene una base ortonormal. Esa base ortonormal cumplirá :
< ei, ej >= δij (1.12)
Donde δij es el delta de Kronecker, Leopold Kronecker (Diciembre 7, 1823-Diciembre 29, 1891), o sea la matriz
asociada al operador unitario Iψ = ψ.
Vamos a recordar que el espacio L2(<) o sea las funciones de cuadrado integrable en la recta es completo, el teorema
fue probado de forma independiente en 1907 by Frigyes Riesz y Ernst Sigismund Fischer. Y por lo tanto si ψ ∈ L2(<)
existe una base completa {ψn} donde ψ =
∑
anψn donde an ∈ C(los números complejos). Para L(−π, π) la base es
la de Fourier para L2(<) la base es la de Hermite.
D. La Interpretación de la Función de Onda
Definición de Valor Medio
Sabemos por el segundo axioma que P (x, t) = |ψ(x, t)|2 aśı el valor medio es:
< x >=
∫
xP (x, t)d3x =
∫
[ψx]?ψd3x
o sea el primer momento.
En general el valor medio no se refiere a una multitud de medidas hechas sobre la part́ıcula, ya que la primera medida
puede perturbar la part́ıcula y afectar las medidas subsecuentes aśı la medida se realiza sobre una gran cantidad de
part́ıculas en el mismo estado.
11
El valor medio de una cantidad dinámica se obtiene de la siguiente manera: A la cantidad dinámica clásica f(x, p)
que es una función con dominio en el espacio de fases (x, p) se le asocia el operador cuántico correspondiente a través
de la relación x → xop y p → pop o sea haciendo corresponder los operadores de posición y momento lineal, a esta
función la llamamos Fop y su valor medio será definido como:
< F >=
∫
[ψ?Fop]ψd3x =< ψ, Fopψ > (1.13)
Fop es el operador asociado a la cantidad dinámica F .
Axioma 4
Asociado a una cantidad observable existe un operador Θ → Θop lineal tal que su valor medio es real < Θ >=<
Θ >∗.
Utilizando este postulado, o sea que el valor medio de toda cantidad dinámica observable es real podemos escribir:
< Θ >=< ψ, Θopψ >=< Θopψ, ψ > (1.14)
por definición de operador adjunto tomamos a Θ† tal que:
< ψ, Θ ψ >=< Θ† ψ, ψ > (1.15)
haciendo la diferencia entre (8.23) y (8.24)
< (Θop −Θ†op)ψ,ψ >= 0
de forma que
Θop = Θ†op
o sea el operador que representa una cantidad dinámica debe ser autoadjunto. La existencia del autoadjunto
o hermitiano la supondremos sin demostración.
E. Propiedades de los Operadores Hermitianos
Un operador Θ es autoadjunto o hermitiano si:
< ψ, Θψ >=< Θψ,ψ > o si (1.16)
< ψ1, Θψ2 >=< Θψ2, ψ1 > (1.17)
La asociación de un operador a su matriz en una determinada base se hace de la siguiente manera: Sea {ψn} una
base ortonormal de L2 luego:
< ψn, ψm >= δnm (1.18)
como la base es completa podemos escribir:
ψ =
∑
anψn (1.19)
tomando el producto interno de ambos lados (8.26) tenemos:
< ψm, ψ >=
∑
an < ψm, ψn >=
∑
anδnm = am (1.20)
o sea que
an =< ψn, ψ > (1.21)
que son precisamente los coeficientes de Fourier o sea las proyecciones de la función ψ sobre la base {ψn}. Los
elementos de matriz del operador Θ se obtienen de la siguiente forma:
φ = Θψ (1.22)
12
ψ =
∑
anψn; substituyendo en (8.28)
φ = Θψ = Θ
∑
anψn =
∑
anΘψn (1.23)
por otra parte la descomposición de φ en elementos de la base es:
φ =
∑
bnψn luego
∑
bnψn =
∑
anΘψ,
tomando el producto con ψm por la izquierda
∑
bn < ψm, ψn >=
∑
an < ψm, Θψn > (1.24)
como < ψm, ψn >= δnm, tenemos que:
bn =
∑
an < ψm, Θψn > , (1.25)
Si recordamos la regla de multiplicación de una matriz por un vector dando como resultado un vector, podemos definir
la matriz asociada al operador Θ como:
Θm,n =< ψm, Θψn >
el hecho que Θ es un operador hermitiano se traduce para los elementos de matriz como:
< ψm, Θψn >=< Θψm, ψn >=< ψn,Θψm >
o sea
Θm,n = Θ?n,m
para enfatizar que {bn} es un vector y bn son sus componentes en la ecuación (8.29) a veces se escribe:
|bn >= {bn} para el vector que tiene por
componentes bn y por abuso de lenguaje también se representa como:
|bn >= {bn} = |n >
Esta notación que lleva el nombre de notación de Dirac en honor a su inventor, Paul Adrien Maurice Dirac, OM, FRS
(8 de agosto de 1902 - 20 de octubre de 1984), es muy práctica para cálculos, en Mecánica Cuántica.
La expansión en una base se re-escribe aśı :
|ψ >=
∑
an|n >
donde si la base |n > es ortonormal entonces
an =< n|ψ >
En caso que el espacio es pre-Hilbert o no separable la base es no denumerable (o sea no se puede construir una
biyección entre los elementos de la base y los números enteros), en ese caso se utiliza la notación:
|ψ(x) >= |ψ >
donde el ı́ndice ψ pertenece a los complejos.
13
Problemas
Problema 1.1
Encuentre la normalización de las siguientes funciones de onda.
ψ(x) = e−x
2
ψ(x) = e−|x|senx
Problema 1.2
Demuestre que las ecuaciones a y b son verdaderas:
a) Para un espacio separable.
1 =
∑
|n >< n| donde 1 es la unidad del espacio.
b) Para un espacio no separable.
1 =
∫
|x >< x|dx
Problema 1.3
Defina δ como un funcional lineal continuo que tiene la propiedad
δψ = ψ(0)
lo que a veces se escribe como:
∫
δ(x
′ − x)f(x)dx′ = f(x)
a) Demuestre que
xdδ(x)
dx
= −δ(x)
Problema 1.4
Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo tamaño y asuma AB = BA muestre que:
(A + B)2 = A2 + 2AB + B2
y
(A + B)(A−B) = A2 −B2
Problema 1.5
Sea:
A =
[
1 2
3 −1
]
y B =
[
2 0
1 1
]
Encuentre AB y BA.
Problema 1.6
Sea F (θ) el operador de rotación en el espacio R2, este operador toma una base ortonormal y la gira de un ángulo θ
en el sentido trigonométrico positivo.
Si ê1 = (1, 0) y ê2 = (0, 1) encuentre los elementos de matriz de F en esta base o sea:
< 1|F |1 >,< 1|F |2 >,< 2|F |1 >,< 2|F |2 >
Problema 1.7
Sea F : R4 → R2 dada por F (x1, x2, x3, x4) = (x1, x2) lo que es una proyección. Encuentre la matriz asociada a este
operador.
14
Problema 1.8
Sea D = d/dt la derivada y B una base de funciones.
Encuentre los elementos de matriz de D en relación a las siguientes bases:
a) {et, e2t}
b) {1, et, t2}
c) {1, t, et, e2t, te2t}
d) {sent, cost}
F. Propiedades del Adjunto o Hermitiano Conjugado
La definición de el operador hermitiano es:
< ψ1, Θψ2 >=< Θψ1, ψ2 > (1.26)
Utilizando la definición podemos fácilmente demostrar que:
(AB)† = B†A† (1.27)
(αA + βB)† = ᾱA† + β̄B† (1.28)
Cuando el operador satisface la ecuación:
Θψ = λψ (1.29)
Y λ ∈ C decimos que λ es un autovalor del operador y ψ es la autofunción asociada. No necesariamente todos los
operadores tienen autovalores λ 6= 0, el operador del problema 1.6 de la sección anterior no tiene autovalores 6= 0.
Sin embargo los operadores hermitianos de espacios de dimensión finita, y los operadores hermitianos de dimensión
infinita pero compactos satisfacen el teorema espectral que dice:
Sea V un espacio de Hilbert y A un operador lineal hermitiano (autoadjunto y compacto), luego existe un sistemaortonormal {φn} de autovectores correspondientes a los autovalores {λn} tal que cada elemento ξ²V se puede escribir
de forma única como:
ξ =
∑
n
Cnφn + ξ
′
(1.30)
donde el vector ξ
′
verifica la condición Aξ
′
= 0,además:
Aξ =
∑
k λKCKφK (1.31)
Y limλnn→∞ = 0 (1.32)
G. La Teoŕıa de la Medida
Vamos primero a demostrar que el valor medio de un operador observable es un autovalor. Para eso es necesario
examinar lo que significa una medida. Una vez efectuada una medida se obtiene un número real bien definido (los
operadores hermitianos tienen autovalores reales). Después de una medida de un operador de espectro discreto vamos
a suponer que el desv́ıo es cero, o sea: ∆Θ2 =< (Θ− < Θ >) >2= 0 donde < Θ > representa el valor medio del
operador Θ. La suposición es razonable pero es clásica y puede ser justificada notando que nuestros aparatos de
medida son clásicos (esencialmente macroscópicos) luego inmediatamente después de la medida:
∆Θ2 = 0
∆Θ2 = < (Θ− < Θ >)2 >=< ψ, (Θop− < Θ >)2ψ > (1.33)
= < (Θop− < Θ > ψ, (Θop− < Θ >)ψ >= 0
Como el producto es positivo definido (8.30) implica que:
Θopψ =< Θ > ψ
15
De donde concluimos que al hacer la medida individual sobre Θop,obtendremos un autovalor y vemos que después de
la medida la función de onda es una autovector. Aśı, cuando el sistema se encuentra en un estado cualquiera y se
hace una medida, él se reduce a una autofunción del operador medido.
&%
'$
¡¡µ autovalor
ψ (ANTES)−→ MEDIDA −→ ψn después de la medida.
?
Las consecuencias de este cambio, brusco y discontinuo de la función
de onda lo llamamos de reducción del pulso que representa la part́ıcula. Por ejemplo el estado de polarización de un
fotón puede ser determinado por un experimento que mida si está polarizando a izquierda o a derecha.
Un fotón linealmente polarizado se escribe como:
ψ = aψ+ + bψ− donde a y b son números complejos y ψ la función de onda de un fotón linealmente polarizado y ψ+
y ψ− las funciones de onda correspondientes a las polarizaciones en el sentido dextrógiro o levógiro.
Después de hacer la medida el resultado será ψ+ o ψ (exclusivamente), note que hay un cambio brusco.
Esto ha llevado a la interpretación de los muchos-mundos que fue propuesta por Hugh Everett III de Princeton y
desarrollada por Bryce S DeWitt y John A. Wheeler de la Universidad de Texas en Austin. Como la Teoŕıa Cuántica
da solamente la probabilidad de un evento, en principio una part́ıcula puede estar en cualquier punto solamente que
con diferente probabilidad, aśı la part́ıcula existe en todos los puntos y no solamente en aquel en que la posición es
medida.
Para que esto sea satisfecho es necesario suponer que existen infinitamente muchos mundos, cada uno con la part́ıcula
en la posición diferente pero definida. Lo que sucede durante el proceso de medida es que se seleccionará un mundo
de los infinitos posibles (una posible realidad). La función de onda aún aśı es importante, pues continua a describir
la totalidad de los mundos. Esta interpretación no es la interpretación estad́ıstica que nosotros le damos a la función
de onda.
Hugh Everett III (11 de noviembre de 1930-19 de julio de 1982) fue un f́ısico estadounidense que propuso por primera
vez la Teoŕıa de los Universos Paralelos en la F́ısica Cuántica. Dejó la F́ısica después de acabar su doctorado,
desalentado por la falta de respuestas hacia su teoŕıa por parte de los demás f́ısicos. Desarrolló el uso generalizado
de los multiplicadores de Lagrange en investigación operativa y los aplicó comercialmente como consultor y analista,
convirtiéndose en multimillonario.
Problemas
Problema 1.9
Sea H un operador que llamaremos de Hamiltoniano y que tiene elementos de matriz en la base |r >
Hrr′ =< r|H|r′ >= Hδ(r − r′)
muestre que la inversa de esta matriz se puede escribir como:
H−1rr′ =
∑
n
E−1n φn(r
′)φn(r)
donde En y φn son autovalores y autofunciones del operador H.
Problema 1.10
Se define una matriz ortogonal como aquella que satisface:
TT † = 1 donde 1 es la matriz unidad. Muestre que:
T =


cos θ −senθ 0
senθ cos θ 0
0 0 1


que produce una rotación de un ángulo θ en torno del eje z es ortogonal.
Problema 1.11
Un operador de proyección es una operador que proyecta un vector en un subespacio.
16
Por ejemplo el operador representado por la matriz


1 0 0
0 1 0
0 0 0


proyecta el vector


a
b
c


en el subespacio bidimensional


a
b
0


Demuestre que si P es un operador de proyección P 2 = P . ¿Qué se puede decir sobre la inversa de P?
H. Los Operadores Asociados a las Cantidades Observables
El Operador Asociado a la Posición
El operador asociado a la posición será definido como:
Xopψ(x) = xψ(x) (1.34)
O sea el operador multiplicación por la coordenada x.
Si ψa(x) es una autofunción del operador Xop asociado a el autovalor a tenemos que:
Xopψa = aψa (1.35)
Utilizando la definición (8.31) tenemos que:
(x− a)ψa = 0 (1.36)
de la teoŕıa de las distribuciones sabemos que (8.32) implica en que:
ψa = cδ(a) c ∈ C (1.37)
esta relación se puede demostrar con facilidad utilizando la transformada de Fourier
F (p) =
1
(2π)
3
2
∫
v∞
f(x)e
~x•~p
h̄ d3x (1.38)
donde h̄ es la constante de Planck h dividida por 2π, h̄ = h/2π y p es un parámetro
F (δ) = cte (1.39)
aśı que
xT = 0
F (xT ) = 0 → {F (T )}′ = 0
F (T ) = c (1.40)
tomando la transformada inversa de (8.33) tenemos
F{F̄ (T )} = cF (1) (1.41)
lo que significa que
T = cδ (1.42)
pues
F (1) = cδ (1.43)
La generalización a tres dimensiones es inmediata.
ψa(x) = δ(x1 − a1)δ(x2 − a2)δ(x3 − a3) = δ(~x− ~a)
17
El Operador Momento Lineal
Por la relación de Broglie, sabemos que el electrón es una part́ıcula de momento ~p que puede ser descrito por una
onda
ψp(x) = ei~p•~x/h̄ (1.44)
aśı que Pop tiene que satisfacer la relación
Popψp = peipx/h̄ (1.45)
a una dimensión. Como:
Popψp = −ih̄∂e
ipx/h̄
∂x
= peipx/h̄ (1.46)
definimos:
Pop = −ih̄ ∂/∂x (1.47)
o equivalentemente en tres dimensiones
Pop = −ih̄~∇ (1.48)
I. Los Autovalores de un Operador Hermitiano y las Autofunciones Asociadas
Suponga que θn 6= θm
θopψn = θnψn
y
θopψm = θmψm
luego como:
< ψm, θopψn >= θn < ψm, ψn >=< θopψm, ψn >= θ?m < ψm, ψn >
como θn 6= θm eso implica que
< ψm, ψn >= 0
en el caso que m = n
θn = θ?n luego el autovalor es real.
Se dice que un operador tiene espectro (el conjunto de todos los números complejos λ que satisfacen:
(θ − λI)ψ = 0
donde I es la identidad) no degenerado cuando existe solamente una función ψn asociada con cada autovalor θn.En
el caso que el operador sea degenerada sus autofunciones deben ortogonalizarse por el proceso de Gram Smith para
conseguir una base ortogonal.
Los operadores f́ısicos (compactos) tienen autofunciones que forman una base ortogonal completa del espacio.
En el caso de los autofunciones del operador momento lineal que llamaremos de funciones de onda de la
part́ıcula libre, como el operador momento no es compacto, la descomposición en elementos de la base se representa
por la integral de Fourier.
ψ(~x) =
1
(2π)
3
2
∫
V∞
a(~p)ei~p•~x/h̄d3~p (1.49)
Cualquier estado de una part́ıcula libre de interacción con otras part́ıculas pueden expresarse en la forma (1.49).
18
La Normalización de la Part́ıcula Libre
Como la función ψp = ei~p•~x/h̄ no pertenece a L2(<3) consideramos que no representa un verdadero fenómeno f́ısico,
mas un proceso ĺımite de un verdadero fenómeno f́ısico que es descrito por un paquete de onda de la forma:
ψp±∆p = A
∫ p+∆p
p−∆p
ψp(x)d3p = A
∫ p+∆p
p−∆p
ei~p•~x/h̄d3p (1.50)
debido a que el espectro del operador Pop es continuo, no tiene sentido hablar de una medida experimental con valor
preciso más de un valor p±∆p, o sea la integral del paquete de onda da el valor de la función entre p−∆p y p + ∆p,
esta función aśı promediada si pertenece a L2(<3).
Problemas
Problema 1.12
Calcule la transformada de Fourier de la función dada por:
ψ = 0 |x| > a
ψ =
1√
2a
− a ≤ x ≤ +a
Problema 1.13Una part́ıcula libre de momento p se representa por una onda plana. Un aparato de medida determina que la
part́ıcula está en la región de longitud l. La interacción se asume, deja la función de onda invariante en l, pero la
reduce a cero fuera de esta región. ¿Cuáles son el momento y la enerǵıa cinética medias de la part́ıcula después que
se ha hecho la medida?
Problema 1.14
Muestre que el momento lineal medio de cualquier paquete de onda representando una part́ıcula libre no cambia con
el tiempo.
J. El Valor Medio en la Base de Autovectores
Sea {ψn} una base de autofunciones del operador Θ de forma que ψ se escribe como
ψ =
∑
anψn
calculando el valor medio de < Θ > tenemos
< Θ > = < ψ, Θopψ >=<
∑
m
amψm, Θop
∑
n
anψn >
=
∑
mn
a?man < ψm; Θopψn >=
∑
mn
a?manθn < ψm, ψn >
=
∑
n
|an|2θn
luego vemos que la relación entre un valor medio y los coeficientes de Fourier an es
< Θk >=
∑
n
a2nθ
K
n (1.51)
de donde vemos que la probabilidad de que un autovalor sea el resultado de una medida de Θ es |an|2.
En el caso del operador momento lineal.
ψ(x) =
1
(2π)
3
2
∫
g(k)eikxd3k
donde |g(k)|2 es la densidad de probabilidad de al hacer la medida encontrar la part́ıcula con momento
~p = h̄~k
19
K. Relaciones de Incertidumbre
Ya hemos estudiado que sucede cuando hacemos una medida de una cierta cantidad F́ısica, nuestro problema ahora
consiste en saber en que condiciones se pueden hacer dos observaciones de cantidades diferentes simultáneamente.
Teorema
Sean A y B dos operadores, la condición necesaria y suficiente para que A y B sean simultáneamente diagonalizables
es que A y B conmuten o sea:
{A,B} = (AB −BA) = 0 (1.52)
Demostración:
La condición suficiente {A,B} = 0 significa que AB = BA, sean φn y ψn autofunciones de A y B respectivamente.
Aφn = anφn
Bψn = bnψn
Suponga también que el espectro de ambos operadores es no degenerado, calculando BAφn = anBφn utilizando el
hecho que AB = BA, se transforma en
ABφn = anBφn (1.53)
por (1.53) entonces, si definimos
ξn = Bφn (1.54)
es un autovector de A
considere ahora
ABψm = bnAψm (1.55)
pues ψm es autofunción de B.
luego tanto ξn = Bφn como φn son autovectores de A correspondientes al mismo autovalor
Aφn = anφn
y
A(Bφn) = anBφn
ambos vectores deben ser proporcionales
Bφn ∼ φn
luego los autofunciones de A también lo son de B.
La condición necesaria
si
Aψi = aiψi
Bψi = biψi
(AB −BA)ψi = (aibi − biai)ψi = 0
como ψi es una base completa
{A,B} = 0
20
el significado f́ısico de este teorema, es el siguiente: las medidas f́ısicas asociadas a operadores que conmutan pueden
realizarse simultáneamente.
A continuación calculamos algunas fórmulas de incertidumbre de mucha utilidad
∆A2 =< ψ, (A− < A >)2ψ >
para B
∆B2 =< ψ, (B− < B >)2ψ >
ambos son números. El desv́ıo es definido como un operador hermitiano
∆Aop = A− < A > I donde I es la unidad
∆Bop = B− < B > I
note que si A y B son dos operadores hermitianos el conmutador {A,B} = iC también es un operador hermitiano.
(AB −BA)† = (AB)† − (BA)† = B†A† −A†B† = {BA−AB} = −iC† (1.56)
luego
C = C†
es fácil demostrar que
{∆Aop,∆Bop} = {A,B} (1.57)
por otra parte por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
| < ∆Aopψ, ∆Bopψ > |2 ≤ ||∆Aopψ||2||∆Bopψ||2
||∆Aop||2 =< ∆Aopψ, ∆Aopψ >=< ψ, (∆Aop)2ψ >= ∆A2
aśı podemos escribir
|| < ∆Aopψ,∆Bopψ > ||2 ≤ ∆A2∆B2 (1.58)
si ahora calculamos
|| < ∆Aopψ,∆Bopψ > ||2 = Im2{< ∆Aopψ,∆Bopψ >}+ Re2{< ∆Aopψ, ∆Bopψ >} (1.59)
la parte imaginaria (Im) por su vez se escribe como
Im{< ∆Aopψ, ∆Bopψ >} = 12i{< ∆Aopψ, ∆Bopψ > − < ∆Bopψ, ∆Aopψ >}
=
1
2i
{< ψ, (∆Aop∆Bop −∆Bop∆Aopψ >}
=
1
2i
{< ψ, {∆Aop,∆Bop}ψ >}
utilizando (1.57) tenemos que
=
1
2i
{< ψ, {A,B}ψ >} = 1
2i
< ψ, iCψ >= − 1
2i
< C >
lo que significa que (1.58) se puede escribir como
∆A2∆B2 ≥ {−1
2
< C >}2 = < C >
2
4
(1.60)
si extraemos la ráız cuadrada
||∆Aop|| =
√
< ∆Aopψ, ∆Aopψ >
21
||∆A|| ||∆B||ψ ≥ < C >2 (1.61)
repare que la desigualdad depende de la función de onda que se tome. La relación (1.61) se llama relación de
incertidumbre y la función de onda que satisface el signo de igualdad:
||∆Aop||ψ||∆Bop||ψ = < C >2 (1.62)
se denomina paquete de mı́nima incertidumbre.
El ejemplo clásico en el cual se aplican las relaciones de incertidumbre es la posición y el momento lineal, tome aśı :
xop → x Pop → −ih̄ d/dx
calculando la regla de conmutación
{xop, Pop}ψ = −xh̄i∂ψ
∂x
+ i
∂h̄
∂x
(xψ) = ih̄ψ
utilizando < c >= h̄ o sea c = h̄1 la regla de conmutación se escribe como:
{Xop, Pop} = ih̄1 (1.63)
esta relación nos dice que no podemos medir simultáneamente x y p. Una medida de la posición modifica el estado
de momento lineal de la part́ıcula y viceversa.
La relación para los valores medios consecuencia de (1.63) se denomina principio de incertidumbre o principio
de Heisenberg
∆x∆p ≥ h̄/2 (1.64)
donde
∆x = ||∆Xop|| y ∆p = ||∆Pop|| (1.65)
en tres dimensiones donde los operadores tienen componentes la ecuación (1.65) se transforma en:
∆xi∆pj ≥ δij h̄2 (1.66)
L. Operador Momento Angular
Para terminar este caṕıtulo sobre fundamentos de la Mecánica Cuántica, estudiaremos aqúı como se escribe el
momento angular orbital, el momento angular intŕınseco o spin será estudiado en caṕıtulos posteriores.
Definimos:
~L = ~Xop ∧ ~Pop = ih̄(~x ∧ ~∇) (1.67)
Lk = −ih̄²ijkxi ∂
∂xj
donde ²ijk es el tensor de Levi-Civita. Tullio Levi-Civita (1873-1941) fue un matemático italiano, famoso por su trabajo
sobre cálculo tensorial pero quién también hizo contribuciones significativas en otras áreas de las matemáticas. Levi-
Civita personalmente ayudó a Albert Einstein a aprender el cálculo tensorial, en el cual Einstein basaŕıa su Relatividad
General, y que hab́ıa luchado por dominar.Las componentes de ~L son:
Lz = −ih̄(x ∂
∂y
− y ∂
∂x
) (1.68)
Lx = −ih̄(y ∂
∂z
− z ∂
∂y
) (1.69)
Ly = −ih̄(z ∂
∂x
− x ∂
∂z
) (1.70)
(1.71)
22
Para resolver el problema del momento angular de una part́ıcula, empezaremos por tratar de encontrar las autofun-
ciones de L o sea en z debemos resolver el problema
Lzψ = mh̄ψ (1.72)
este problema se torna mas fácil si pasamos a coordenadas esféricas
x = rsenθ cosφ (1.73)
y = rsenθ cosφ (1.74)
z = r cos θ (1.75)
utilizando la regla de la cadena podemos escribir
∂
∂φ
=
∂
∂x
∂x
∂φ
+
∂
∂y
∂y
∂φ
+
∂
∂z
∂z
∂φ
como z no depende de φ
∂z
∂φ
= 0
y
∂x
∂φ
= −rsenθsenφ = −y
∂y
∂φ
= rsenθ cosφ = x
∂
∂φ
= −y ∂
∂x
+ x
∂
∂y
de donde (1.72) se escribe en coordenadas esféricas como
−ih̄∂ψ
∂φ
= mh̄ψ (1.76)
lo que integrado resulta en
ψ = ψ0eimφ (1.77)
como el punto (r1, θ0, 0) debe ser equivalente a (r1, θ0, 2π)
ψ(r1, θ0, 2π) = ψ0eim2π = ψ0
lo que implica que m es un entero m = 0, 1,±2,±n.
Para continuar el proceso de diagonalización en Lx y Ly es necesario saber si es posible medir las tres componentes
del aumento angular con igual precisión. Calculando los conmutadores obtendremos:
{Lx, Ly} = ih̄Lz (1.78)
{Lz, Lx} = ih̄Ly (1.79)
{Ly, Lz} = ih̄Lx (1.80)
estas tres fórmulas se colocan en forma compacta como:
{Li, Lj} = ih̄Lk donde i, j, k estan en el órden ćıclico (1.81)
o de otra forma:
{Li, Lj} = ih̄²ijkLk (1.82)
23
El Módulo del Momento Angular
El módulo de un vector es
L2 = L2x + L
2
y + L
2
z (1.83)
si calculamos el conmutador con cada una de las componentes observamos que:
{Li, L2} = 0
en coordenadas esféricas L2 se escribe como:
L2 = −h̄2 1
senθ
∂
∂θ
senθ
∂
∂θ
+
1
sen2θ
∂
∂φ2
que nada más es que la parte angular del operador ∇2 en coordenadas esféricas.
∇2 = 1
r2
∂
∂r
r2
∂
∂r
() +
1
r2
{
1
senθ
∂
∂θ
senθ
∂
∂θ
() +
1
sen2θ
∂
∂φ2
()
}
(1.84)
y como demostraremos después:
L2ψ = l(l + 1)h̄2ψ
Luego podemos determinar L2 y Lz mas no las otras componentes del vector ~L, que pueden quedar en cualquier
lugar del plano xy, luego en lugar de un vector tenemos un cono.
El ángulo α de apertura del cono vale:
α = arc cos
m√
l(l + 1)
y su valor máximo es:
α = arc cos
l√
l(l + 1)
El Principio de Correspondencia
El principio decorrespondencia es debido a Bohr y afirma que un sistema cuántico tendrá propiedades clásicas
cuando sus números cuánticos sean mucho mayores que la constante de Planck h̄.
En ese sentido el ĺımite clásico se toma cuando h̄ → 0. Por ejemplo el principio de correspondencia afirma
que cuando l →∞
Cos α = lim
l→∞
l√
l(l + 1)
= 1
o sea α = 0 lo que significa que conocemos simultáneamente el módulo y la dirección del vector momento angular, o
en otra forma
lim
l→0
{Lz, Lx} = ih̄Ly → 0
o sea las componentes del momento angular conmutan
24
FIG. 2: m es la altura del cono y α su ángulo de apertura,
√
l(l + 1) su lado
Problemas
Problema 1.15
a)¿Cuáles son los niveles de enerǵıa para un rotor, que consiste de masas iguales M, que están a una distancia relativa
d fija y separadas por una varilla sin masa?
b) ¿Cuáles son las autofunciones?
Problema 1.16
Suponga que una part́ıcula tiene momento angular Lz = mh̄ y módulo l(l + 1)h̄2
a)muestre que
< Lx >=< Ly >= 0
b) muestre que
< L2x >=< L
2
y >=
l(l + 1)h̄2 −mh̄2
2
c) Suponga que se realiza una medida de una componente del momento angular que hace un ángulo θ con el eje z;
calcule el valor medio de esta medida.
d) Suponga que l = 1; calcule las probabilidades de obtener m = 1, 0 para esta componente.
e) Habiendo hecho esta medida, ¿cuál es la probabilidad de obtener mh̄ si repetimos la medida de Lz ? Re-
comendación: Introduzca los operadores L± = Lx ± iLy
Problema 1.17
Sea
ψ(x, y, z) = (x + y + z)e−α
√
x2+y2+z2
25
La función de onda de una part́ıcula de masa m; calcule la probabilidad de obtener para una medida de L2 y Lz, los
resultados 2h̄2 y 0 respectivamente.
Problema 1.18
Defina el producto algebraico de Jordan o anticonmutador [A, B]+ = 12 (AB +BA) y el producto de Lie o conmutador
[A,B] = ih̄ (AB −BA) Muestre que satisfacen la relación:
[A, [B,C]+] = [[A,B], C]+ + [B, [A,C]+]
5) Suponga que A y B son observables cuánticos y ψ es un autoestado de ambos operadores. Muestre que el producto
de Jordan se comporta sobre este estado como el producto clásico:
f[A,B]+ψ = fA(ψ)fB(ψ)
6) Defina el paréntesis de Poisson:
{f, g} = ∂f
∂x
∂g
∂p
− ∂g
∂x
∂f
∂p
Demuestre que {x, p} = 1
Problema 1.19
Defina ~L = ~r ∧ ~p = ~r ∧ (−ih̄~∇) escriba tanto ~r como~∇ en coordenadas esféricas muestre que:
a)
~L = (−ih̄)(φ̂ ∂
∂θ
− θ̂ 1
sin θ
∂
∂φ
)
b) Calcule L2 = ~L · ~L y muestre que el resultado es el mismo que el obtenido en la teoŕıa.
Ver P.D. Gupta Am. J. Physics vol 44 N 9, September 1976, page 888. A new derivation of quantum-mechanical
angular momentum operator L2.
26
II. CAPÍTULO 2
Dinámica
A. La Dinámica de la Mecánica Cuántica
Ya hemos visto como a través de postulados se le da una nueva interpretación F́ısica a las cantidades que describen
un sistema f́ısico. El espacio base constituido por posición y tiempo se transforman en la base de parámetros
sobre las cuales se construye un espacio vectorial de funciones, funciones estas cuyo valor absoluto al cuadrado da
solamente la probabilidad de encontrar la part́ıcula en un instante en una determinada posición. Las cantidades
F́ısicas u observables se transforman en operadores y nuestras medidas corresponden a autovalores de estos operadores.
Deseamos ahora calcular la evolución temporal de un sistema cuando sometido a un determinado potencial y
no sujeto a medidas u otros disturbios externos.
Vamos a comenzar por la part́ıcula libre de momento lineal p = h̄k y enerǵıa dada por E = h̄ω. Utilizando
las relaciones de Broglie
ψ(x, t) = ei(kx−ωt) = e
i
h
(
px− p2t2m
)
donde
E =
p2
2m
esta función satisface las ecuaciones
− h̄
2
2m
∇2ψ = p
2
2m
ψ = Eψ
y también
ih̄
∂
∂t
ψ = Eψ (2.1)
de donde:
− h̄
2
2m
∇2ψ = ih̄∂ψ
∂t
(2.2)
En el caso de una part́ıcula libre pero de momento no definido.
ψ(x, t) =
∫
g(p)e
i
h̄
(
p.x− p22m t
)
d3p
o sea que para el instante inicial podemos escribir
ψ(x, 0) =
1
(2π)
3
2
∫
g(p)eip x/h̄d3p (2.3)
calculando los valores g(p) por la transformada inversa
g(p) =
1
(2π)
3
2
∫
ψ(x, 0)e−ip x/h̄d3x (2.4)
o sea que conociendo el valor de la función en el instante inicial podemos conocer los valores ulteriores de la función,
a esto se le llama conocer la evolución del sistema.
27
B. La Velocidad de Grupo de un Pulso de Ondas
La expresión
∫
k∼k0
a(k)ei(kx−ωt)dk
representa un pulso de ondas y la velocidad de grupo del pulso se define como:
dω
d~k
= ~Vg (2.5)
en el caso en que
~p = h̄~k y E = h̄ω
~Vg =
dE
dp
=
dω
dk
=
~p
m
= ~V0 que coincide con la velocidad de la part́ıcula.
Hasta ahora las relaciones obtenidas han sido para la part́ıcula libre, debemos estudiar el caso de un sistema general,
para ello introducimos la siguiente regla heuŕıstica.
Construya la hamiltoniana del sistema
H =
p2
2m
+ V (x) (2.6)
donde p es el momento lineal, m la masa de la part́ıcula y V (x) el potencial a que la part́ıcula está sometida.
substituimos:
H = ih̄
∂
∂t
p2
2m
= − h̄
2
2m
∇2
de donde obtenemos:
ih̄
∂
∂t
ψ = − h̄
2
2m
∇2ψ + V (x, t)ψ (2.7)
Esta ecuación se denomina ecuación de Schrödinger y describe la dinámica del sistema.
En principio pueden existir otros métodos de cuantización, el primero es considerar
ψ = eiS(x,t)/h̄
donde
S(x, t) = ~p • ~x− Et
para la part́ıcula libre obtenemos
p2
2m
=
1
2m
(∇S)2) = ∂S
∂t
o para el caso con potencial
1
2m
(∇S)2 + V (x) = ∂S
∂t
El argumento contra esta ecuación es que como no es lineal es incompatible con el principio de superposición.
La ecuación de Jacobi es un ĺımite semi-clásico de la Mecánica Cuántica y las trayectorias perpendiculares a
las soluciones de la ecuación representan las trayectorias reales.
28
La ecuación de Hamilton Jacobi representa la aproximación eikonal a la ecuación de onda de Schrödinger, lo
que es equivalente en óptica a considerar una onda despreciando la difracción de los rayos luminosos.
Esta relación la podemos exponer en el siguiente cuadro.
Óptica Geométrica ←→ Mecánica Clásica
l l
Óptica Ondulatoria ←→ Mecánica Cuántica
El segundo método consiste en sustituir el paréntesis de Poisson por el conmutador:
{ }
y se imponen las reglas de conmutación, que sustituyen las relaciones entre las variables canónicas.
Problema 2.1
1) Demuestre que la relación de Weyl(Hermann Weyl, 9 de noviembre 1885 - 8 de diciembre 1955):
S(α, β) = U(α)V (β)e
−iαβ
2 = e
iαβ
2 V (β)U(α)
donde
U(α) = eαip, V (β) = eiβq
son familias de operadores unitarios a un parámetro conducen a la relación canónica de conmutación
pq − qp = i
Problema 2.2
Demuestre que
{Lz, cosφ} = isenφ
{Lz, senφ} = −i cos φ
Después de esta introducción heuŕıstica llegamos al axioma de evolución.
Axioma 5
La evolución dinámica del sistema es descrita por la ecuación de Schrödinger (n. 12 de agosto 1887 en Viena,
Erdberg; m. 4 de enero 1961, id. era un f́ısico austŕıaco, nacionalizado irlandés)
ih̄
∂ψ
∂t
= − h̄
2m
∇2ψ + V (x, t)ψ
donde V (x, t) es el potencial real y corresponde al potencial clásico a que la part́ıcula está sometida.
Actualmente se ha desarrollado una versión muy adecuada de la Mecánica Cuántica siguiendo la escuela de Copenhagen
sus axiomas se pueden encontrar en arXiv:0909.2359 [pdf] en un art́ıculo por Pierre Hohenberg, esta versión se llama
Mecánica Cuántica Consistente o CQT de sus siglas en inglés.
C. La Conservación de Probabilidad en la Ecuación de Onda
La ecuación de Schrödinger (2.7) implica en la conservación de la probabilidad si el potencial es real; veamos como
demostramos esto introduciendo la corriente de probabilidad.
Tome la ecuación de Schrödinger(2.7) y multipĺıquela por ψ∗ aśı obtenemos
ih̄ψ∗
∂ψ
∂t
= − h̄
2
2m
ψ∗∇2ψ + V (~x, t)ψψ∗ (2.8)
29
por otro lado calculando el complejo conjugado de (2.7) tenemos:
−ih̄∂ψ
∗
∂t
= − h̄
2
2m
∇2ψ∗ + V (~x, t)ψ∗ (2.9)
multiplicando (2.9) por ψ
−ih̄ψ ∂ψ
∗
∂t
= − h̄
2m
(∇2ψ∗)ψ + V (~x, t)ψ∗ψ (2.10)
restando (2.8), (2.10) resulta en
ih̄
(
ψ∗
∂ψ
∂t
+ ψ
∂ψ∗
∂t)
= − h̄
2
2m
{(ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗))ψ}
definiendo la densidad de probabilidad
ρ = ψψ∗
∂ρ
∂t
= − h̄
2mi
{ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗)ψ}
por otra parte
∇{ψ∗∇ψ − (∇ψ∗)ψ} = ∇ψ∗.∇ψ + ψ∗∇2ψ − (∇2ψ)ψ − (∇ψ∗.∇ψ)
= ψ∗∇2ψ − (∇2ψ∗)ψ
de donde concluimos
∂ρ
∂t
= − h̄
2mi
{∇ • (ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗)} (2.11)
definiendo la corriente de probabilidad
~j = +
h̄
2mi
{ψ∗∇ψ − ψ∇ψ∗}
escribimos
∂ρ
∂t
= −~∇ •~j (2.12)
la ecuación (2.12) se llama ecuación de continuidad de la probabilidad.
Integrando (2.12) obtenemos una ley de conservación
∫
v
(
∂ρ
∂t
)
d3x = −
∫
(~∇ •~j)d3x
d
dt
{∫
v
ρd3x
}
= −
∫
(~∇ •~j)d3x
como
P (t) =
∫
v
ρd3x
usando el teorema de Gauss con la normal hacia afuera
d
dt
P (t) =
∫
s
~j • d~s
cuando el radio de la superficie s se hace muy grande s →∞ la corriente ~j = 0, luego
d
dt
P (t) = 0
Esto significa que la ecuación de onda describe part́ıculas que no son creadas o destruidas. En el caso que el potencial
fuese complejo V (~x, t)²C podŕıamos describir procesos de creación o destrucción, mas la enerǵıa no seŕıa un operador
hermitiano.
30
La Solución de la Ecuación de Schrödinger cuando V(x,t) no depende del Tiempo
ih̄
∂ψ
∂t
=
{
− h̄
2
2m
∇2 + V (~x, t)
}
ψ(~x, t)
utilizando la separación de variables
ψ(~x, t) = φ(~x)ξ(t)
ih̄
ξ(t)
dξ
dt
=
1
φ(~x)
{
− h̄
2
2m
∇2 + V (~x)
}
φ(~x) (2.13)
ambos lados de la ecuación deben ser iguales a una constante
ih̄
dξ
dt
= Eξ (a) (2.14)
− h̄
2
2m
∇2φ(x) + V (x)φ(x) = Eφ(x) (b)
de (2.14) (a) obtenemos
ξ = e−i
Et
h̄ (2.15)
de (2.14) )(b) obtenemos una ecuación de autovalores de soluciones φn aśı
ψn(~x, t) = ψn(~x)e
−iEnt
h̄ (2.16)
la solución general es
ψ(~x, t) =
∑
n
anψn(~x)e
−iEnt
h̄ (2.17)
si conocemos el valor de la función en t = 0 podemos escribir
ψ(~x, 0) =
∑
n
anφn(~x) (2.18)
o sea
an =< ψn, ψ(~x, 0) > (2.19)
vemos que la part́ıcula libre es un caso particular de (2.17)
ψ(~x, t) =
1
(2π)
3
2
∫
g(p)e
i~p•~x
h̄ −
−iE(p)t
h̄ d3p
Ejemplos de Solución de la Ecuación de Onda
Problemas en una Dimensión
1) Considere una caja impenetrable, o sea el potencial como se muestra en la figura.
31
-
6 6
−a/2 a/2
V (x)
I II III
x
la ecuación del potencial es
V (x) =



0 −a/2 < x < a/2
∞ |x| > a/2


 (2.20)
o en la forma mas comúnmente usada en F́ısica
V (x) = δ(x− |a/2|)
Solución. Utilizando (2.14) (b)
{
− h̄
2
2m
d2
dx2
+ V (x)
}
φn = Eφn
en la región II. podemos escribir
− h̄
2
2m
d2
dx2
φIIn = Enφ
II
n (2.21)
en la región I y III no existe part́ıcula luego
φI,III = 0
en la región II, la solución general de (2.21) es:
φn = An cos knx + Bnsenknx (2.22)
donde An y Bn son constantes y kn tiene el valor
kn =
√
2mEn/h̄2 (2.23)
imponiendo la continuidad de la función de onda tenemos:
ψII(a/2) = ψII(−a/2) = 0 (2.24)
lo que significa
An cos
(
kna
2
)
+ Bnsen
(
kna
2
)
= 0 (2.25)
An cos
(
kna
2
)
−Bnsen
(
kna
2
)
= 0 (2.26)
tenemos aśı dos posibilidades:
Caso No 1
Suponga que
An#0 Bn = 0
32
luego por (2.24) y (2.25)
cos
(
kna
2
)
= 0 kna2 = (2n + 1)
π
2
kna = (2n + 1) n = 0, 1, 2 . . .
En =
(2n+1)π2h̄2
2ma2 (2.27)
luego
φII = An cos
{
(2n + 1)πx
a
}
la normalización se obtiene por
|A|2
∫ a/2
−a/2
cos2 knxdx = 1
Problema 2.3
Calcule el valor de An
Caso No 2
En el segundo caso suponga que
An = 0, Bn#0
en este caso
sen
(
kna
2
)
= 0
kna
2
= nπ kn =
2nπ
a
o sea
E =
(2n)2π2h̄2
2ma2
n = 1, 2 . . .
reuniendo las fórmulas de enerǵıa
Er =
π2h̄2r2
2ma2
r = 1, 2 . . .
si r es impar la solución es simétrica, si r es par la solución es antisimétrica. Note que la solución simétrica es la de
menor enerǵıa.
El Operador de Paridad
La simetŕıa de la función esta relacionada con las propiedades del sistema f́ısico. Para estudiar estas propiedades
es necesario introducir un operador paridad definido como:
Pψ(x) = ψ(−x) (2.28)
P es un operador lineal, que tiene que ser unitario y P 2 = 1 luego tiene que ser hermitiano.
Problema 2.4
Solo con la propiedad de P |x >= | − x > demostrar que es un operador hermitiano. Use que < x′| − x >= δ(x + x′ >
Los autovalores de P son ±1, pues como cualquier función puede escribirse como
ψ(x) =
1
2
{ψ(x) + ψ(−x)}+ 1
2
{ψ(x)− ψ(−x)} (2.29)
donde la parte
ψ(x) + ψ(−x) es simétrica y corresponde al autovalor 1, y ψ(x)− ψ(−x) corresponde al autovalor −1.
33
La relación entre la simetŕıa del potencial y la simetŕıa de la función de onda se obtiene mostrando que P conmuta
con H el operador hamiltoniano.
{P, H}ψ = (PH −HP )ψ = P
{
− h
2
2m
∇2ψ + V (x)ψ
}
−
{
− h̄
2m
∇2 + V (x)
}
ψ(−x)
PV (x)ψ(x) = V (x)ψ(−x) si V es simétrico podemos escribir
{P, H}ψ = − h̄
2
2m
∇2ψ(−x) + V (x)ψ(−x) + h̄
2
2m
∇2ψ(−x)
−V (x)ψ(−x) = 0
de donde concluimos que si el potencial es simétrico la función de onda será necesariamente simétrica o antisimétrica.
34
Coplas de Jorge Manrique
(Paredes de Nava, Palencia o Segura de la Sierra, Jaén, 1440–Santa Maŕıa del Campo Rus, Cuenca, 1479),
poeta español.
COPLAS DE DON JORGE MANRIQUE POR LA MUERTE DE SU PADRE
I
Recuerde el alma dormida, avive el seso e despierte contemplando cómo se passa la vida, cómo se viene
la muerte tan callando; cuán presto se va el plazer, cómo, después de acordado, da dolor; cómo, a nuestro
parescer, cualquiere tiempo passado fue mejor.
II
Pues si vemos lo presente cómo en un punto s’es ido e acabado, si juzgamos sabiamente, daremos lo non
venido por passado. Non se engañe nadi, no, pensando que ha de durar lo que espera más que duró lo que
vio, pues que todo ha de passar por tal manera.
III
Nuestras vidas son los ŕıos que van a dar en la mar, qu’es el morir; alĺı van los señoŕıos derechos a se
acabar e consumir; alĺı los ŕıos caudales, alĺı los otros medianos e más chicos, allegados, son iguales los que
viven por sus manos e los ricos.
INVOCACIÓN
IV
Dexo las invocaciones de los famosos poetas y oradores; non curo de sus ficciones, que traen yerbas secretas
sus sabores. Aquél sólo m’encomiendo, Aquél sólo invoco yo de verdad, que en este mundo viviendo, el
mundo non conoció su deidad.
V
Este mundo es el camino para el otro, qu’es morada sin pesar; mas cumple tener buen tino para andar
esta jornada sin errar. Partimos cuando nascemos, andamos mientra vivimos, e llegamos al tiempo que
feneçemos; asśı que cuando morimos, descansamos.
VI
Este mundo bueno fue si bien usásemos dél como debemos, porque, segund nuestra fe, es para ganar aquél
que atendemos. Aun aquel fijo de Dios para sobirnos al cielo descendió a nescer acá entre nos, y a vivir
en este suelo do murió.
VII
Si fuesse en nuestro poder hazer la cara hermosa corporal, como podemos hazer el alma tan glor̈ıosa
angelical, ¡qué diligencia tan viva toviéramos toda hora e tan presta, en componer la cativa, dexándonos
la señora descompuesta!
VIII
Ved de cuán poco valor son las cosas tras que andamos y corremos, que, en este mundo traidor, aun
primero que muramos las perdemos. Dellas deshaze la edad, dellas casos desastrados que acaeçen, dellas,
por su calidad, en los más altos estados desfallescen.
IX
Dezidme: La hermosura, la gentil frescura y tez de la cara, la color e la blancura, cuando viene la vejez,
¿cuál se para? Las mañas e ligereza e la fuerça corporal de juventud, todo se torna graveza cuando llega
el arrabal de senectud.
X
Pues la sangre de los godos, y el linaje e la nobleza tan crescida, ¡por cuántas v́ıas e modos se pierde su
grand alteza en esta vida! Unos, por poco valer, por cuán baxos e abatidos que los tienen; otros que, por
non tener, con oficios non debidos se mantienen.
XI
Los estados e riqueza, que nos dexen a deshora ¿quién lo duda?, non les pidamos firmeza. pues que son
d’una señora; que se muda, que bienes son de Fortuna que revuelven con su rueda presurosa, la cual non
puede ser una ni estar estable ni queda en una cosa.
XII
35
Pero digo c’acompañen e lleguen fasta la fuessa con su dueño: por esso non nos engañen, pues se va la vida
apriessacomo sueño, e los deleites d’acá son, en que nos deleitamos, temporales, e los tormentos d’allá,
que por ellos esperamos, eternales.
XIII
Los plazeres e dulçores desta vida trabajada que tenemos, non son sino corredores, e la muerte, la çelada
en que caemos. Non mirando a nuestro daño, corremos a rienda suelta sin parar; desque vemos el engaño
y queremos dar la vuelta no hay lugar.
XIV
Esos reyes poderosos que vemos por escripturas ya passadas con casos tristes, llorosos, fueron sus buenas
venturas trastornadas; asśı, que no hay cosa fuerte, que a papas y emperadores e perlados, asśı los trata
la muerte como a los pobres pastores de ganados.
XV
Dexemos a los troyanos, que sus males non los vimos, ni sus glorias; dexemos a los romanos, aunque óımos
e léımos sus hestorias; non curemos de saber lo d’aquel siglo passado qué fue d’ello; vengamos a lo d’ayer,
que también es olvidado como aquello.
XVI
¿Qué se hizo el rey don Joan? Los infantes d’Aragón ¿qué se hizieron? ¿Qué fue de tanto galán, qué de
tanta invinción como truxeron? ¿Fueron sino devaneos, qué fueron sino verduras de las eras, las justas e
los torneos, paramentos, bordaduras e çimeras?
XVII
¿Qué se hizieron las damas, sus tocados e vestidos, sus olores? ¿Qué se hizieron las llamas de los fuegos
encendidos d’amadores? ¿Qué se hizo aquel trovar, las músicas acordadas que tañ́ıan? ¿Qué se hizo aquel
dançar, aquellas ropas chapadas que tráıan?
XVIII
Pues el otro, su heredero don Anrique, ¡qué poderes alcançaba! ¡Cuánd blando, cuánd halaguero el mundo
con sus plazeres se le daba! Mas verás cuánd enemigo, cuánd contrario, cuánd cruel se le mostró; habiéndole
sido amigo, ¡cuánd poco duró con él lo que le dio!
XIX
Las dávidas desmedidas, los edeficios reales llenos d’oro, las vaxillas tan fabridas los enriques e reales del
tesoro, los jaezes, los caballos de sus gentes e atav́ıos tan sobrados ¿dónde iremos a buscallos?; ¿qué fueron
sino roćıos de los prados?
XX
Pues su hermano el innocente qu’en su vida sucesor se llamó ¡qué corte tan excellente tuvo, e cuánto grand
señor le siguió! Mas, como fuesse mortal, metióle la Muerte luego en su fragua. ¡Oh jüicio divinal!, cuando
más ard́ıa el fuego, echaste agua.
XXI
Pues aquel grand Condestable, maestre que conoscimos tan privado, non cumple que dél se hable, mas
sólo como lo vimos degollado. Sus infinitos tesoros, sus villas e sus lugares, su mandar, ¿qué le fueron sino
lloros?, ¿qué fueron sino pesares al dexar?
XXII
E los otros dos hermanos, maestres tan prosperados como reyes, c’a los grandes e medianos truxieron tan
sojuzgados a sus leyes; aquella prosperidad qu’en tan alto fue subida y ensalzada, ¿qué fue sino claridad
que cuando más encendida fue amatada?
XXIII
Tantos duques excelentes, tantos marqueses e condes e varones como vimos tan potentes, d́ı, Muerte, ¿dó
los escondes, e traspones? E las sus claras hazañas que hizieron en las guerras y en las pazes, cuando tú,
cruda, t’ensañas, con tu fuerça, las atierras e desfazes.
XXIV
Las huestes inumerables, los pendones, estandartes e banderas, los castillos impugnables, los muros e
balüartes e barreras, la cava honda, chapada, o cualquier otro reparo, ¿qué aprovecha? Cuando tú vienes
airada, todo lo passas de claro con tu flecha.
36
XXV
Aquel de buenos abrigo, amado, por virtuoso, de la gente, el maestre don Rodrigo Manrique, tanto famoso
e tan valiente; sus hechos grandes e claros non cumple que los alabe, pues los vieron; ni los quiero hazer
caros, pues qu’el mundo todo sabe cuáles fueron.
XXVI
Amigo de sus amigos, ¡qué señor para criados e parientes! ¡Qué enemigo d’enemigos! ¡Qué maestro
d’esforçados e valientes! ¡Qué seso para discretos! ¡Qué gracia para donosos! ¡Qué razón! ¡Qué benino a
los sujetos! ¡A los bravos e dañosos, qué león!
XXVII
En ventura, Octav̈ıano; Julio César en vencer e batallar; en la virtud, Africano; Ańıbal en el saber e
trabajar; en la bondad, un Trajano; Tito en liberalidad con alegŕıa; en su braço, Aureliano; Marco Atilio
en la verdad que promet́ıa.
XXVIII
Antoño Ṕıo en clemencia; Marco Aurelio en igualdad del semblante; Adriano en la elocuencia; Teodosio
en humanidad e buen talante. Aurelio Alexandre fue en desciplina e rigor de la guerra; un Constantino en
la fe, Camilo en el grand amor de su tierra.
XXIX
Non dexó grandes tesoros, ni alcançó muchas riquezas ni vaxillas; mas fizo guerra a los moros ganando
sus fortalezas e sus villas; y en las lides que venció, cuántos moros e cavallos se perdieron; y en este oficio
ganó las rentas e los vasallos que le dieron.
XXX
Pues por su honra y estado, en otros tiempos passados ¿cómo s’hubo? Quedando desamparado, con
hermanos e criados se sostuvo. Después que fechos famosos fizo en esta misma guerra que haźıa, fizo
tratos tan honrosos que le dieron aun más tierra que teńıa.
XXXI
Estas sus viejas hestorias que con su braço pintó en joventud, con otras nuevas victorias agora las renovó
en senectud. Por su gran habilidad, por méritos e anciańıa bien gastada, alcançó la dignidad de la grand
Caballeŕıa dell Espada.
XXXII
E sus villas e sus tierras, ocupadas de tiranos las halló; mas por çercos e por guerras e por fuerça de sus
manos las cobró. Pues nuestro rey natural, si de las obras que obró fue servido, d́ıgalo el de Portogal, y,
en Castilla, quien siguió su partido.
XXXIII
Después de puesta la vida tantas vezes por su ley al tablero; después de tan bien servida la corona de su
rey verdadero; después de tanta hazaña a que non puede bastar cuenta cierta, en la su villa d’Ocaña vino
la Muerte a llamar a su puerta,
XXXIV
diziendo: ”Buen caballero, dexad el mundo engañoso e su halago; vuestro corazón d’azero muestre su
esfuerço famoso en este trago; e pues de vida e salud fezistes tan poca cuenta por la fama; esfuércese la
virtud para sofrir esta afruenta que vos llama.”
XXXV
”Non se vos haga tan amarga la batalla temerosa qu’esperáis, pues otra vida más larga de la fama glor̈ıosa
acá dexáis. Aunqu’esta vida d’honor tampoco no es eternal ni verdadera; mas, con todo, es muy mejor
que la otra temporal, peresçedera.”
XXXVI
”El vivir qu’es perdurable non se gana con estados mundanales, ni con vida delectable donde moran los
pecados infernales; mas los buenos religiosos gánanlo con oraciones e con lloros; los caballeros famosos,
con trabajos e aflicciones contra moros.”
XXXVII
37
”E pues vos, claro varón, tanta sangre derramastes de paganos, esperad el galardón que en este mundo
ganastes por las manos; e con esta confiança e con la fe tan entera que tenéis, partid con buena esperança,
qu’estotra vida tercera ganaréis.”
[Responde el Maestre:]
XXXVIII
”Non tengamos tiempo ya en esta vida mesquina por tal modo, que mi voluntad está conforme con la
divina para todo; e consiento en mi morir con voluntad plazentera, clara e pura, que querer hombre vivir
cuando Dios quiere que muera, es locura.”
[Del maestre a Jesús]
XXXIX
”Tú que, por nuestra maldad, tomaste forma servil e baxo nombre; tú, que a tu divinidad juntaste cosa
tan vil como es el hombre; tú, que tan grandes tormentos sofriste sin resistencia en tu persona, non por
mis merescimientos, mas por tu sola clemencia me perdona”.
FIN
XL
Asśı, con tal entender, todos sentidos humanos conservados, cercado de su mujer y de sus hijos e hermanos
e criados, dio el alma a quien gela dio (el cual la ponga en el cielo en su gloria), que aunque la vida perdió,
dexónos harto consuelo su memoria.
Jorge Manrique, 1477
38
Problema No 2
La caja finita se describe por un potencial de la forma
V (x) =



0 |x| < a/2
V0 |x| > a/2
que se representa gráficamente como
-
6
−a/2 a/2
I II III
A
V (x) B
La part́ıcula que tiene enerǵıa A representa un estado ligado o sea la enerǵıa total E < V0
La part́ıcula que tiene enerǵıa B representa una part́ıcula en un estado dispersivo o sea E > V0
Aśı tenemos clases de soluciones en el caso del estado ligado, en la regiónII podemos escribir la ecuación de autovalores.
− h̄
2
2m
d2φ
dx2
n = Eφn
que tiene soluciones
φn(x) = Ancos(knx) + Bnsen(knx)
con k2n =
2m
h̄2
En
en la región I y II la ecuación de autovalores se escribe como
− h̄
2
2m
d2φ
dx2
+ V0φ = Eφ
esta ecuación puede escribirse en la forma
d2φ
dx2
=
2m
h̄2
(V0 − E)φ (2.30)
de soluciones
φI,II = AI,IIeγx + BI,IIe−γx
donde
γ =
√
(2m/h̄2)(V0 − E)
la continuidad de la ecuación de onda esta garantizada si el potencial V ²L2(<). integrando (2.30) tenemos
∫ a/2+²
a/2−²
d2ψ
dx2
=
2m
h̄2
∫ a/2+²
a/2−²
(V (x)− E) ψdx
²−→0
→ 0
que utilizando el teorema fundamental del cálculo se transforma en
dψ
dx
|a/2+² −
dψ
dx
|a/2−² = 0
39
luego si la derivada es continua con mayor razón la función.
Continuemos a estudiar el estado ligado del pozo de potencial. Las soluciones son del tipo
φII = AII cos kx + BIISenkx en la región II, y
φI,III = AI,IIIeγx + BI,IIIe−γx en la región I y III
Sabemos que basta analizar el caso simétrico y antisimétrico, para la región II la solución simétrica es:
φII(x) = AII cos kx
La solución AI,IIIeγx no es una solución F́ısica pues cuando x →∞, la solución diverge. Análogamente para la región
I BI = 0, aśı:
φI(x) = AIeγx
φIII = BIIIe−γx
para el caso simétrico
φI(x) = φIII(−x)
de donde
AI = BIII
imponiendo la continuidad de la función y su derivada en a/2
AII cos
k
2
a = BIIIe−γa/2 (2.31)
kAIISen
ka
2
= γBIIIe−γa/2 (2.32)
dividiendo (2.32) por (2.31) tenemos
k tan
(ka)
2
= γ
que es una ecuación de autovalores, pues limita los valores posibles de la enerǵıa, escribiéndola en otra forma.
ka
2
tan
ka
2
=
γa
2
cambiando variables
ξ =
ka
2
y η =
γa
2
podemos escribir
ξ tan ξ = η (2.33)
por otro lado calculando
ξ2 + η2 =
{
2mE
h̄2
+
2m(V0 − E)
h̄2
}
a2
4
ξ2 + η2 =
mV0a
2
2h̄2
(2.34)
que es la ecuación de un ćırculo.
La solución simultánea de (2.33) y (2.34) se representa gráficamente abajo
En el gráfico observamos que a medida que el potencial V0 se torna mas profundo aparecen autovalores asociados
a auto-estados al borde del pozo. Igualmente cuando a2 crece aparecen nuevos estados ligados. Cuándo V0 →∞ las
40
-10 -5 5 10
-20
-10
10
20
FIG. 3: x tanx y varios ćırculos de radio 1-10
circunferencias tienden para infinito y corta las tangentes en π/2, 3π/2, etc. como en el caso del pozo infinito.
Las caracteŕısticas de esta solución no se limitan al pozo cuadrado pero si aplican a todo potencial simétrico,
los potenciales que comparten estas propiedades se llaman de alcance finito y tienen un número finito de autovalores.
Los potenciales que satisfacen la desigualdad de Bargmann (a tres dimensiones):
I =
∫ ∞
0
r|V (r)|dr
nl ≤ I2l + 1
son de alcance finito, donde nl es el número de autovalores con momento angular l. Pero el potencial V (r) = 1/r
el potencial coulombiano no es de alcance finito. El número de estados ligados es dependiente de la dimensión del
espacio. En el caso de una dimensión es necesario:
∫ ∞
∞
V (x)dx ≤ 0
Am J Phys Vol 57, issue 10, página 886.
Note que según los resultados obtenidos existe probabilidad de encontrar la part́ıcula en una región clásicamente
prohibida o sea de enerǵıa cinética negativa, mas esto no es contradictorio porque si realizamos una medida de la
posición de la part́ıcula alteramos de tal manera su momento lineal.
∆x∆p ≥ h̄
que la enerǵıa será positiva. Aśı pues, no tiene sentido hablar en enerǵıa cinética en una región del espacio sino en la
enerǵıa cinética como un todo.
El Caso Antisimétrico
En el caso antisimétrico las soluciones de la ecuación de onda son:
φII = BIISenkx
φI = AIIIeγx
φIII = AIIIe−γx
las condiciones de contorno implican en:
a) La continuidad de la función de onda
BIISen
ka
2
= AIIIe−γa/2
41
b) La continuidad de la derivada
kBII cos
ka
2
= −AIIIγe−γa/2
La antisimetŕıa nos permite afirmar que si imponemos las condiciones de frontera en a/2 automáticamente serán
impuestos en −a/2. Con estas soluciones llegamos a
ξcotξ = η
ξ2 + η2 =
mV0a
2
2h̄2
lo que corresponde a la siguiente figura: de la figura anterior vemos que después de una valor simétrico continúa un
-10 -5 5 10
-30
-20
-10
10
20
30
FIG. 4: x cotx y varios ćırculos de radio 1-10
estado antisimétrico y aśı sucesivamente. Esta propiedad es propia de potenciales de alcance finito.
Finalmente para E > V0 todos las soluciones son oscilatorias y los autovalores continuos aśı:
φI(x) = Aeikx + Be−ikx; k2 =
2m
h̄2
(E − V0)
φII(x) = Ceikx + De−ikx k2 =
2m
h̄2
E
φIII(x) = Feikx
las soluciones de (2.34) se pueden obtener en forma numérica como
ξ2 + η2 = R2 R =
√
(mV0a2)/2h̄2
η = ξ tan ξ
despejando η =
√
R2 − ξ2
luego
ξ = (cotξ)
√
R2 − ξ2
en el caso R = 1 eso significa V0 = 2h̄
2
ma2
si definimos la función
f(ξ) =
√
(R2 − ξ2)cotξ − ξ
una solución gráfica se puede encontrar
ξ0 = 0.7854
encontrando las ráıces de la función
f(ξ) =
√
R2 − ξ2cotξ − ξ
42
Valores de Ráıces Caso Ráıces Caso
R Simétrico. Antisimétrico.
1 0.739 0
2 1.0298 0
3 1.1701 0
4 1.2523 0
4 3.5953 0
5 1.3064 0
5 3.8374 4.1046
10 1.4275 0
10 4.271 3.499
10 7.0688 7.0681
10 9.6788
0 = no existe solución
la forma antisimétrica se puede escribir
g(ξ) = (
√
R2 − ξ2)Tanξ + ξ
La Barrera de Potencial
El problema inverso al pozo de potencial es la barrera de potencial. Este ejemplo es importante pues introduce el
efecto túnel, en el cual una part́ıcula con enerǵıa total E < V0, la altura de la barrera, pasa de un lado a otro de esta.
-
1 2 3
−a/2 a/2
V
V0
El potencial de la barrera se escribe como
V (x) =



0 |x| > a/2
V0 |x| < a/2
La barrera de potencial es un sistema f́ısico análogo al paso de una onda de luz de un medio dieléctrico a otro. Por
ejemplo en el caso de incidencia normal
R = |E′/E|2 donde E es el campo incidente
E
′
es el campo reflejado y R el coeficiente de reflexión. Este coeficiente de reflexión sólo depende de las caracteŕısticas
del cristal de forma que
R =
(
1− n
1 + n
)2
de forma análoga aqúı R el coeficiente de reflexión dependerá solo de la frecuencia de la onda y la extensión de la
barrera, o sea los parámetros propios de la barrera.
43
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
FIG. 5: Una barrera de altura 1
Para la región (1) y (3) podemos escribir
− h̄
2
2m
d2
dx2
φ(1, 3) = Eφ(1, 3)
que tiene soluciones
φ(1) = A1eikx + B1e−ikx, k =
√
(2mE)/h̄2
donde A1eikx es la onda incidente y B1e−ikx es la onda reflejada.
Para φ3 = A3eikx y B3 = 0 pues no existe onda reflejada en el infinito. En la región 2 la ecuación de
Schrödinger se escribe como:
− h̄
2
2m
d2φ(2)
dx2
= (E − V0)φ(2)
utilizando la ecuación de conservación del flujo de probabilidad
ρ = ψ∗ψ
sabemos que cuando ρ no depende de t
∂ρ
∂τ
+ ~∇ •~j = 0
implica en
~∇ •~j = 0
o sea en una dimensión con A > a/2
∫ A
−A
dj
dx
= jT − jI + jR = 0
o sea que de forma análoga a lo que se hace en óptica podemos escribir
jI − jR = jT
donde T significa transmitido, R reflejado e I incidente.
como
~j =
h̄
2mi
{ψ∗~∇ψ − ψ~∇ψ∗}
44
podemos escribir que
|A3|2 + |B1|2 = |A1|2
Si definimos los coeficientes de reflexión y transmisión como
R =
∣∣∣∣
B1
A1
∣∣∣∣
2
y
T =
∣∣∣∣
A3
A1
∣∣∣∣
soluciones:
ψ =



A1eikx + B1e−ikx (1)
A2eγx + B2e−γx (2)
A3eikx (3)
de donde
R + T = 1
note que ψT , ψR y ψI tienen la misma frecuencia k pues corresponden a la región 1 y 3.
Vamos a continuación ha calcular los coeficientes para la barrera. Comenzamos imponiendo las condiciones
de continuidad de la función de onda y su derivada en x = −a/2
A1e
−ika
2 + B1e
ika
2 = A2e
−γa
2 + B2e
γa
2
ik
(
e
−kai
2 A1 −B1e ika2
)
= γ
(
A2e
−γa
2 −B2e γa2
)
en
x = a/2
A3e
ika
2 = A2e
γa
2 + B2e
−γa
2
ik
(
A3e
ika
2
)
= γ
(
A2e
γa
2 −B2e−γa2
)
resolviendo el sistema de cuatro ecuaciones y 5 incógnitas vemos que uno tiene
A1 = eikaA3
{
cosh(γa)− i
2
(
k
γ
− γ
k
)
Senh(γa)
}
T =
∣∣∣∣
A3
A1
∣∣∣∣
2
=
1{
cosh2γa + 14
(
k
γ − γk
)2
Senh2(γa)
}
que se comporta cualitativamente como
T ∼ e−2γa
y esta expresión tiende a cero cuando γ tiende para infinito.
El coeficiente de reflexión R se escribe como:
R =
1
1 + 4k
2γ2csch(aγ)2
(k2+γ2)2
45
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
a
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
sech2
a Ñ2
Ñ
Azul-> Transmisión y Lila->Reflexión
FIG. 6: R+T=1;Coeficientes de reflexión y transmisión para una barrera de alto dos veces la enerǵıa de la part́ıcula y ancho
variable
En el caso que E > V0 las soluciones son:
φ1 = Aeikx + Be−ikx
φ2 = CeiKx + De−iKx
φ3 = Feikx
donde k2 = 2mE
h̄2
y K2 = 2m
h̄2
(E − V0) el coeficiente de reflexión es
R =
8k2K2
k4 + 6k2K2 + K4 − (k2 −K2)2 Cos[2aK]
que es el mismo coeficiente de reflexión del pozo cuando se cambia
k → k y K → iγ
el coeficiente de transmisión es:
T =
1
1 + 4k
2K2Csc[aK]2
(k2−K2)2
que se representa gráficamente como:
46
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
a
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4
17
4
-
1
4
cos
2 a Ñ2
Ñ
Azul-> Transmisión y Lila->Reflexión
FIG. 7: R+T=1
Problemas
Problema 2.5
En Mecánica Clásica, los potenciales de referencia, son arbitrarios. ¿Cuál es el efecto en la función de onda y la
enerǵıa, de adicionar una constante V0 en la ecuación de Schrödinger?
Problema 2.6
Calcule el coeficiente de reflexión del sodio metálico en función de la enerǵıa del electrón y su ángulo de incidencia.
Para electrones de longitud de onda grande, la barrera de potencial de un metal puede tratarse como discontinua.
Asuma que la enerǵıa potencial de un metal es de -5 electrón - voltios. Calcule el ı́ndice de refracción de un metal
para electrones.
Problema 2.7
Calcule la corriente de probabilidad J̄ para la región x = 0 en el caso de un escalón de potencial colocado en x = 0,
cual es la interpretación F́ısica que se le da a J̄ para E < V .
?
x = 0
Problema 2.8
Calcule la probabilidad de transmisión de la barrera para part́ıculas de masa m y enerǵıa E > V . Asuma que la
barrera es delgada de forma que la condición es válida.
h√
2mE
À a
Esto es equivalente a asumir que la longitud de onda de Broglie de la part́ıcula es mucho mayor que el grosor de la
barrera rectangular.
a) Calcule el coeficiente de transmisión para dos barreras delgadas o sea
a ¿ h/
√
2mE
47
que están separadas por una distancia b.
b) Discuta los efectos de resonancia que puedan aparecer para ciertas enerǵıas y separaciones.
D. La Evolución Temporal de la Función de Onda
Hasta ahora hemos aprendido a resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, nuestro siguiente
objetivo es estudiar la evolución temporal de una función de onda.
Vamos a comenzar por describir un pulso, o part́ıcula libre del cual sabemos su configuración inicial.
Una vez que
{
φne
(−iEth̄ )
}
es una base completa, podemos escribir
ψ(~x, t) =
∑
anφn(~x)e−iEnt/h̄ (2.35)
como en el caso de la part́ıcula libre
φn = e
−i
h̄ ~p•~x
y
En =
p2
2m
la ecuación (2.35) se describe como
ψ(~x, t) =
1√
2π3h̄3
∫
g(p)e
i
h̄
(
~p•~x− p2t2m
)
d3p (2.36)
donde
e
−
(
i
h
p2
2m t
)
es la dependencia temporal de la función de onda.
Vamos a introducir, como en óptica un vector de propagación asociado a la part́ıcula por la relación
~k = ~p/h̄ (2.37)
este vector tiene módulo
k =
2π
λ
donde λ es la longitud de onda de Broglie de la part́ıcula, Prince Louis-Victor Pierre Raymond de Broglie (n. Dieppe,
Francia, 15 de agosto de 1892 - Paŕıs, Francia, 19 de marzo de 1987), con eso la fórmula (2.36) se escribe en una
dimensión como
ψ(x, t) =
1
(2π)
1
2
∫ +∞
−∞
a(k)ei
(
kx− h̄k2t2m
)
dk (2.38)
donde a(k) esta dado por la transformada inversa de Fourier
a(k) =
1√
2π
∫ +∞
−∞
ψ(x, 0)e−ikxdx (2.39)
48
Ejemplo
Como ejemplo vamos a analizar la evolución temporal de una gaussiana. Por razones que pronto veremos la
llamaremos de paquete de mı́nima incertidumbre.
Una gaussiana se escribe como
ψ(x, 0) =
1
{2π(∆x)2} 14 e
( ipxh̄ )e
−x2
4(∆x)2 (2.40)
este pulso esta normalizado, pues fácilmente calculamos
∫ +∞
−∞
ψ(x, 0)ψ∗(x, 0)dx =
1√
2π(∆x)2
∫ +∞
−∞
e−x
2/2(∆x)2dx
y vemos que su valor es 1.
Problema 2.9
Demostrar que la integral arriba vale 1, usando
∫∞
−∞ e
−αx2dx =
√
π
α .
Vamos a mostrar ahora que p que aparece en la definición (2.40) es en realidad el momento lineal medio < p >.
Calculando por la definición
< p >=< ψ,Popψ >=< ψ,−ih̄ d
dx
ψ >
como la función de onda que aparece en la integral (2.39) es
ψ(x) = e
(
ipx
h̄ − x
2
4(∆x)2
)
aplicando Pop a la función de onda obtenemos
Popψ = −ih̄ 1
dx
ψ = −ih̄pe( ipxh̄ ) d
dx
e
(
−x2
4(∆x)2
)
(2.41)
demuestre que:
ψ∗(−ih̄ d
dx
ψ) = (
e−
x2
2∆x2
(
2p∆x2 + ixh̄
)
2
√
2π∆x3
)
integrando a ambos lados (2.41) tenemos
∫ ∞
−∞
e−αx
2
dx =
√
π
α
−ih̄
∫ +∞
−∞
ψ
d
dx
ψdx = p
∫ +∞
−∞
ψ∗ψdx− ih̄
∫ +∞
−∞
e
(
−x2
4(∆x)2
)
d
dx
e
(
−x2
4(∆x)2
)
dx
demostraremos que la segunda integral va para cero y luego
< ψ, Popψ >= p
suponga
f(x) = e
(
− x2
4(∆x)2
)
la integral
∫ +∞
−∞
e
(
− x2
4(∆x)2
)
d
dx
(
e
(
−x2
4(∆x)2
))
dx
49
se escribe como
∫ +∞
−∞
f(x)
df
dx
=
1
2
∫
d
dx
f2(x)dx =
1
2
{f2(∞)− f2(−∞)} = 0
a continuación vamos a demostrar que una gaussiana es un pulso de mı́nima incertidumbre; o sea que satisface la
igualdad
∆p∆x =
h̄
2
esto es equivalente a decir que en la desigualdad de Schwarz, o la desigualdad de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz,
podemos escribir
| < ∆Aopψ,∆Bopψ > |2 = ∆A2∆B2
o sea que ambas funciones ∆xψ y ∆pψ son paralelas
∆xψ = α∆Pψ
donde α ∈ c
Esto demuestra que las desigualdades en el principio de incertidumbre no son cŕıticas, pues existe un caso donde se
satisface la igualdad.
Considere la transformada de Fourier (2.39), donde la función inicial es la gaussiana
a(k) =
1
((2π)(∆x)2)
∫ +∞
−∞
e
(
ip.x
h̄ − x
2
4∆x2
)
e(−ikx)dx (2.42)
completando el cuadrado
−x2
4∆x2
+ i
( p
h̄
− k
)
x = − 1
4∆x2
{{
x− 2∆x2i
( p
h̄
− k
)}2
−∆x2
( p
h̄
− k
)2}
(2.43)
usando esta identidad (2.43) en la integral (2.42) tenemos
a(k) =
e(−∆x
2(p/h−k)2
√
2π(2π∆x2)
1
4
∫ +∞
−∞
e−
1
4∆x2
(x−2∆x2i(p/h̄−k))2dx (2.44)
utilizando la transformación de variables
Z =
1
2∆x
(
x− 2i∆x2
( p
h̄
− k
))
o sea
dz =
1
2∆x
dx
aśı (2.44) se reduce a
a(k) =
e
(
−∆x2( ph̄−k)
2
)
√
2π(2π∆x2)
1
4
∫ +∞
−∞
e−z
2
dz(2∆x) (2.45)
que utilizando
∫ +∞
−∞
e−z
2
dz =
√
π
a(k) =
[
2∆x2
π
] 1
4
e−∆x
2(p/h̄−k)2 (2.46)
50
se reduce a
a(k) =
e(−∆x
2(p/h̄−k)2)
(π/(2∆x2))
1
4
(2.47)
recordando que la transformada de Fourier es una transformación unitaria o sea que no altera los longitudes
||FT || = ||T ||
concluimos que
∫ +∞
−∞
a(k)∗a(k)dx = 1
recordando las propiedades de la gaussiana vemos que, si φ es una gaussiana.
1
σ
φ
(
x−m
σ
)
=
1√
2πσ
e−((x−m)/(2σ
2))2 (2.48)
de donde
< x >=
1
σ
∫ +∞
−∞
xφ
(
x−m
σ
)
dx =
∫ +∞
∞
(m + σx)φ(x)dx = m
lo que significa que m es el valor medio de la gaussiana.
Usando un razonamiento análogo y viendo que
xφ(x) = −dφ
dx
se obtiene
(∆x)2 =
1
σ
∫ +∞
−∞
(x−m)2φ
(
x−m
σ
)
dx = σ2
∫ +∞
−∞
x2φ(x)dx = σ2
luego σ es la varianza de la gaussiana, identificado (2.48) con (2.47), tenemos
a(k) =
[
2∆x2
π
] 1
4
e(−2∆x
2(p/h̄−k)2/2)
o sea que es una gaussiana, con varianza
2σ2 =
1
2∆x2
o sea
σ2 =
1
4∆x2
= (∆x)2
y el valor medio
k = p/h̄
(∆p)2(∆x)2 =
h̄2
4
que era lo que deseábamos demostrar. De aqúı concluimos que cuando mas estrecha sea la gaussiana original más
larga será la gaussiana en p y viceversa.
La evolución del pulso en el tiempo es
ψ(x, t) =
{∫ +∞
−∞
a(k)e
(
i
{
kx− h̄k22m
})
dk
}
1√
2π
51
calculando con a(k) dado por (2.47)
ψ(x, t) =
1
(2π)
1
2
(
2∆x2
π
)
1
2
∫ +∞
−∞
e
(
−∆x2( p̄h̄−k)
2
+ikx− ih̄k2t2m
)
dk
luego
|ψ(x, 0)|2 = 1
(2π∆x2)
1
2
e
−x2
2∆x2
por integraciones análogas a las anteriores escribimos
|ψ(x, t)|2 = 1
(2π)
1
2
1
{∆x2 + h̄2t24m2∆x2 }
e
− {x−(p/2m)t}2
2(∆x2+ h̄2t24m2∆x2 ) (2.49)
eso significa que cuando pasa el tiempo la gaussiana se va desplazando con velocidad