Salvador_ Valls Martínez Cruz Rambaud - Introducción a las matemáticas financieras (3a ed )-Ediciones Pirámide (2014) - Isamara Ojeda Aguilar

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Introducción
a las matemáticas
financieras
Introducción
a las matemáticas
financieras
SALVADOR CRUZ RAMBAUD
CATEDRÁTICO DE UNIVERSIDAD DEL DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA
Y EMPRESA. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
Y EMPRESARIALES. UNIVERSIDAD DE ALMERÍA
EDICIONES PIRÁMIDE
MARÍA DEL CARMEN VALLS MARTÍNEZ
PROFESORA TITULAR DE UNIVERSIDAD DEL DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA 
Y EMPRESA. FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES. 
UNIVERSIDAD DE ALMERÍA
COLECCIÓN «ECONOMÍA Y EMPRESA»
Edición en versión digital
 
 
© Salvador Cruz Rambaud y María del Carmen Valls Martínez, 2014
© Primera edición electrónica publicada por Ediciones Pirámide (Grupo Anaya, S. A.), 2014
Para cualquier información pueden dirigirse a piramide_legal@anaya.es
Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid
Teléfono: 91 393 89 89
www.edicionespiramide.es
ISBN digital (pack completo): 978-84-368-3098-9
 
Está prohibida la reproducción total o parcial 
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recuperación, en cualquier forma o por cual-
quier medio, ya sea electrónico, mecánico, 
conocido o por inventar, sin el permiso expre-
so escrito de los titulares del copyright.
© Ediciones Pirámide 7
Prólogo .................................................................................................................
SECCIÓN PRIMERA 
Conceptos básicos
 Cuadro sinóptico de la sección primera ..............................................
1. Fundamentos de decisión financiera ..................................................... 
 1.1. Capital financiero fijo ...............................................................................
 1.2. Espacio financiero .................................................................................... 
 1.3. Ley financiera ...........................................................................................
 1.4. Relación de equivalencia entre capitales financieros fijos .......................
 1.5. Relaciones de preferencia entre capitales financieros ..............................
 1.6. Operaciones entre capitales financieros ................................................... 
 1.6.1. Suma financiera ............................................................................
 1.6.2. Producto de un capital financiero por un número real ................. 
 1.7. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
 2. Operaciones financieras ............................................................................
 2.1. Introducción ..............................................................................................
 2.1.1. Definición ..................................................................................... 
 2.1.2. Definición .....................................................................................
 2.2. Concepto de operación financiera ............................................................ 
 2.3. Clasificación de las operaciones financieras ............................................
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Índice 
© Ediciones Pirámide8
 2.4. Reserva matemática o saldo financiero de una operación ........................
 2.5. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
 3. Magnitudes financieras ..............................................................................
 3.1. Introducción ..............................................................................................
 3.2. El factor financiero ...................................................................................
 3.2.1. El factor financiero de desplazamiento positivo o a la derecha.... 
 3.2.2. El factor financiero de desplazamiento negativo o a la izquierda... 
 3.3. El rédito .................................................................................................... 
 3.3.1. El rédito de desplazamiento positivo o a la derecha……………. 
 3.3.2. El rédito de desplazamiento negativo o a la izquierda………….. 
 3.4. El tanto ..................................................................................................... 
 3.4.1. El tanto de desplazamiento positivo o a la derecha……………...
 3.4.2. El tanto de desplazamiento negativo o a la izquierda…………... 
 3.4.3. El tanto instantáneo……………………………………………... 
 3.5. Interés y descuento ................................................................................... 
 3.6. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
 Resumen de la sección primera ..............................................................
SECCIÓN SEGUNDA 
Leyes financieras clásicas
 Cuadro sinóptico de la sección segunda .............................................. 
 4. Leyes financieras clásicas de capitalización .......................................
 4.1. Ley financiera de capitalización simple ...................................................
 4.2. Ley financiera de capitalización compuesta .............................................
 4.3. Comparación entre las leyes financieras de capitalización simple y de
 capitalización compuesta ..........................................................................
 4.4. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
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Índice 
© Ediciones Pirámide 9
 5. Leyes financieras clásicas de descuento ............................................. 
 5.1. Ley financiera de descuento simple comercial .........................................
 5.2. Ley financiera de descuento simple racional o matemático .....................
 5.3. Comparación entre las leyes financieras de descuento simple comercial 
 y descuento simple racional o matemático ...............................................
 5.4. Ley financiera de descuento compuesto ...................................................
 5.5. Comparación entre las leyes financieras de descuento simple comercial, 
 racional y compuesto ................................................................................5.6. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
 Resumen de la sección segunda ............................................................. 
SECCIÓN TERCERA 
Rentas financieras
 Cuadro sinóptico de la sección tercera ................................................. 
 6. Teoría general de rentas financieras ......................................................
 6.1. Concepto de renta financiera ....................................................................
 6.2. Valor capital o financiero de una renta .................................................... 
 6.3. Clasificación de las rentas ........................................................................
 6.4. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
 7. Rentas constantes .......................................................................................
 7.1. Rentas inmediatas .....................................................................................
 7.1.1. Rentas pospagables .......................................................................
 7.1.2. Rentas prepagables ....................................................................... 
 7.2. Rentas diferidas ........................................................................................ 
 7.2.1. Rentas pospagables .......................................................................
 7.2.2. Rentas prepagables ....................................................................... 
 7.3. Rentas anticipadas .................................................................................... 
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Índice 
© Ediciones Pirámide10
 7.3.1. Rentas pospagables .......................................................................
 7.3.2. Rentas prepagables ....................................................................... 
 7.4. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
 8. Rentas variables .......................................................................................... 
 8.1. Rentas variables en progresión geométrica .............................................. 
 8.1.1. Rentas inmediatas .........................................................................
 8.1.1.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.1.1.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.1.2. Rentas diferidas ............................................................................ 
 8.1.2.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.1.2.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.1.3. Rentas anticipadas ........................................................................ 
 8.1.3.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.1.3.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.2. Rentas variables en progresión aritmética ................................................
 8.2.1. Rentas inmediatas .........................................................................
 8.2.1.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.2.1.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.2.2. Rentas diferidas ............................................................................ 
 8.2.2.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.2.2.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.2.3. Rentas anticipadas ........................................................................ 
 8.2.3.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.2.3.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.3. Rentas variables en general ...................................................................... 
 8.3.1. Rentas inmediatas .........................................................................
 8.3.1.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.3.1.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.3.2. Rentas diferidas ............................................................................ 
 8.3.2.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.3.2.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.3.3. Rentas anticipadas ........................................................................ 
 8.3.3.1. Rentas pospagables ........................................................
 8.3.3.2. Rentas prepagables ........................................................ 
 8.4. Lecturas recomendadas ............................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...................................................................................
 Prácticas con ordenador ............................................................................
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Índice 
© Ediciones Pirámide 11
9. Rentas fraccionadas ................................................................................... 
 9.1. Rentas inmediatas ....................................................................................
 9.1.1. Rentas pospagables ......................................................................
 9.1.1.1. Caso general ................................................................. 
 9.1.1.2. Fraccionamiento uniforme y amplitud variable ........... 
 9.1.1.3. Fraccionamiento uniforme y amplitud constante ......... 
 9.1.2. Rentas prepagables ......................................................................9.1.2.1. Caso general ................................................................. 
 9.1.2.2. Fraccionamiento uniforme y amplitud variable ........... 
 9.1.2.3. Fraccionamiento uniforme y amplitud constante ......... 
 9.2. Rentas diferidas y anticipadas ................................................................. 
 9.3. Lecturas recomendadas ........................................................................... 
 Ejercicios resueltos ..................................................................................
 Prácticas con ordenador ...........................................................................
 10. Rentas con tipo de interés variable y rentas continuas.................. 
 10.1. Rentas con tipo de interés variable .......................................................
 10.2. Valor financiero de una renta continua ................................................ 
 10.3. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
 Resumen de la sección tercera .............................................................. 
SECCIÓN CUARTA 
Operaciones de constitución
 Cuadro sinóptico de la sección cuarta .................................................
 11. Operaciones de constitución de capitales. Planteamiento ge-
neral ............................................................................................................. 
 11.1. Descripción de las operaciones de constitución ...................................
11.2. Dinámica de las operaciones de constitución de aportaciones prepa-
gables ....................................................................................................
 11.3. Cuadro de constitución .........................................................................
 11.4. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
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Índice 
© Ediciones Pirámide12
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
12. Operaciones prepagables de constitución de capitales. Casos 
 particulares .................................................................................................. 
 12.1. Introducción ..........................................................................................
 12.2. Método de cuotas de constitución constantes .......................................
 12.3. Método de términos constitutivos constantes .......................................
 12.4. Método de términos constitutivos variables en progresión aritmética.. 
 12.5. Método de términos constitutivos variables en progresión geométrica... 
 12.6. Tantos efectivos en una operación de constitución ..............................
 12.7. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
 Resumen de la sección cuarta ............................................................... 
SECCIÓN QUINTA 
Operaciones de amortización
 Cuadro sinóptico de la sección quinta .................................................
 13. Introducción a las operaciones de amortización ............................. 
 13.1. Descripción de las operaciones de amortización ..................................
 13.2. Dinámica de las operaciones de amortización .....................................
 13.3. Cuadro de amortización ........................................................................
 13.4. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
 14. Sistemas de amortización .......................................................................
 14.1. Introducción ..........................................................................................
 14.2. Sistema americano de amortización .....................................................
 14.3. Método de cuotas de amortización constantes .....................................
 14.4. Método francés de amortización ..........................................................
14.5. Sistema de términos amortizativos variables en progresión aritmética. 
269
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Índice 
© Ediciones Pirámide 13
 14.6. Sistema de términos amortizativos variables en progresión geométrica. 
 14.7. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
 15. Amortización con intereses anticipados............................................. 
15.1. Descripción de las operaciones de amortización con intereses antici-
pados .....................................................................................................
15.2. Dinámica de las operaciones de amortización con intereses anticipados..
 15.3. Cuadro de amortización ........................................................................
 15.4. Sistemas de amortización .....................................................................
 15.4.1. Sistema de amortización alemán ............................................
15.4.2. Método de cuotas de amortización constantes con intereses 
 anticipados...............................................................................
 15.5. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
 16. Operaciones de amortización con períodos de carencia y con 
 fraccionamiento de intereses ..................................................................
 16.1. Operaciones de amortización con períodos de carencia .......................
 16.1.1. Carencia parcial ......................................................................
 16.1.2. Carencia total ..........................................................................
 16.2. Operaciones de amortización con fraccionamiento de intereses ..........
 16.3. Tantos efectivos en las operaciones de amortización ...........................16.4. Lecturas recomendadas ........................................................................ 
 Ejercicios resueltos ...............................................................................
 Prácticas con ordenador ........................................................................
 Resumen de la sección quinta ............................................................... 
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© Ediciones Pirámide 15
Prólogo
Esta nueva edición de la obra Introducción a las matemáticas financieras es el 
resultado de la experiencia docente e investigadora de los autores y de su utiliza-
ción durante las dos ediciones anteriores en la Facultad de Ciencias Económicas y 
Empresariales de la Universidad de Almería. Más concretamente, este libro se 
ajusta a los programas de la asignatura Matemáticas financieras de los nuevos 
grados y, en especial, del grado en Finanzas y Contabilidad, y pretende ser un 
reflejo de lo que realmente se imparte en los 6 créditos que esta asignatura tiene 
en su ordenación docente. Ello justifica el nombre que hemos querido dar al libro 
y que éste no contenga otros capítulos clásicos de las matemáticas financieras, 
como las operaciones a corto plazo, los empréstitos, etc., que se dejan para asig-
naturas posteriores de los planes de estudio. Tales cuestiones son estudiadas en el 
manual de Operaciones financieras avanzadas publicado por esta misma editorial 
y de los mismos autores. 
No obstante, a pesar del carácter introductorio de la obra, queremos poner de 
manifiesto que sus contenidos son suficientes para analizar los nuevos productos 
financieros que surgen del dinamismo de los mercados. 
En este sentido, la obra se ha estructurado en 5 secciones. La primera de ellas 
contiene los Conceptos básicos para introducir al alumno en las matemáticas 
financieras, describiendo cuáles son los fundamentos de decisión (concepto de ley 
financiera) y los instrumentos necesarios para poder trabajar con capitales (opera-
ciones y magnitudes financieras). 
La segunda sección estudia las Leyes financieras clásicas, tanto de capitaliza-
ción como de descuento, que son las que se emplean de forma habitual en la prác-
tica de los mercados financieros. 
En la sección tercera se estudian las Rentas financieras, que son un concepto 
básico para poder afrontar las operaciones que aparecen recogidas en los capítu-
los restantes. 
Prólogo 
© Ediciones Pirámide16
Así, en la sección cuarta se aborda el tratamiento de las Operaciones de cons-
titución, de gran trascendencia y aplicación en la actualidad debido al auge de los 
fondos de pensiones. 
Por último, en la quinta sección se analizan las Operaciones de amortización,
considerando los diversos sistemas amortizativos y la posibilidad de que el tipo 
de interés sea variable, tal y como sucede en la mayoría de los préstamos concer-
tados en la actualidad. 
Al principio de cada sección se ha incluido un cuadro sinóptico de su conteni-
do, para que el estudiante tenga una visión global de lo que en ella se va a tratar. 
Por otra parte, una vez finalizada la misma, se facilita un resumen de los principa-
les aspectos analizados. 
Cada una de las secciones se divide en capítulos, que están estructurados de la 
siguiente forma: 
� Enumeración de los epígrafes que lo componen. 
� Conocimientos previos necesarios para abordar el tratamiento de los con-
tenidos. 
� Objetivos mínimos a alcanzar por el estudiante una vez concluido el estu-
dio de la unidad. 
� Desarrollo de los epígrafes. 
� Lecturas recomendadas para profundizar y complementar el enfoque 
propuesto por los autores. 
� Ejercicios resueltos que muestran la aplicación práctica de los conceptos 
teóricos.
� Prácticas a resolver con ordenador, de gran interés, dado que éste consti-
tuye actualmente un instrumento básico en la gestión empresarial. 
Esperamos que esta obra sea de utilidad para el estudiante y este objetivo es lo 
que justifica la estructura propuesta. 
LOS AUTORES 
 SECCIÓN PRIMERA:
 CONCEPTOS BÁSICOS
 
 - Factor
 - Concepto - Rédito 
 - Clasificación - Tanto 
 - Reserva matemática - Tanto instantáneo 
Capital financiero fijo 
Ley financiera 
Relación de equivalencia Relación de preorden total 
Capital financiero fijo Magnitudes derivadas 
Suma Producto por un número real
Operación 
financiera
Relación de 
orden total
© Ediciones Pirámide 19
CONTENIDO 
1.1. Capital financiero fijo. 
1.2. Espacio financiero. 
1.3. Ley financiera. 
1.4. Relación de equivalencia entre capitales financieros fijos. 
1.5. Relaciones de preferencia entre capitales financieros. 
1.6. Operaciones entre capitales financieros. 
1.7. Lecturas recomendadas. 
 Ejercicios resueltos. 
 Prácticas con ordenador. 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Para abordar con éxito el estudio de este capítulo, el alumno deberá tener 
los siguientes conocimientos previos:
� Concepto de par ordenado y producto cartesiano de conjuntos. 
� Funciones reales de dos y tres variables. 
� Crecimiento y decrecimiento de funciones reales. 
� Derivadas parciales. 
� Relación de equivalencia y conjunto cociente; curvas de indiferencia. 
� Relación de orden y de preorden; concepto de espacio vectorial real. 
OBJETIVOS
Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno deberá ser capaz de: 
� Analizar si una función de dos o tres variables puede ser utilizada como 
ley financiera unitaria de valoración, hallando, en caso afirmativo, su 
dominio temporal. 
� Calcular combinaciones lineales de capitales financieros. 
� Ordenar capitales financieros. 
 Fundamentos de decisión
 financiera 1
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide20
1.1. CAPITAL FINANCIERO FIJO 
Se denomina capital financiero fijo a un par ordenado (C, t), donde C � � re-
presenta la cuantía y t � � el vencimiento o instante de disponibilidad del capital 
financiero.
Si C < 0, diremos que el capital financiero es deudor y si C > 0, el capital fi-
nanciero se denominará acreedor.
Parece lógico definir el capital financiero fijo como una cuantía C, medida en 
unidades monetarias (euros, dólares, etc.), referida a un instante t del tiempo, 
medido en unidades temporales (días, años, etc.), ya que todo sujeto económico 
racional coincide en que no es lo mismo, por ejemplo, 100 u. m. disponibles en el 
día de hoy, es decir, (100, t0), que esas mismas 100 u. m. disponibles dentro de un 
año, o sea, (100, t0+365), suponiendo que estemos expresando t en días. 
Por otra parte, y con relación a una persona determinada, un capital puede ser 
a su favor o acreedor, en cuyo caso la cuantía será positiva, o puede estar obliga-
do a pagarlo o deudor, en cuyo caso la cuantía será negativa. 
En resumen: 
�
�
�
�
�
�
�
�
	
	�
t
C
C
C
tC
oVencimient
deudor0
acreedor0
Cuantía
),(fijofinancieroCapital
1.2. ESPACIO FINANCIERO 
Se llama espacio financiero E al conjunto formado por todos los posibles capi-
tales financieros fijos: 
.};/),{( 2���
������� tCtCE
Representaremos un capital financiero (C, t) en el espacio financiero como un 
punto del plano con referencia a un sistema de ejes cartesianos, anotando C en el 
eje de ordenadas y t en el eje de abscisas: 
Fundamentos de decisión financiera 
© EdicionesPirámide 21
 C (C, t)
 t
Figura 1.1.
No obstante, son usuales las representaciones simplificada y esquemática:
 C
 C
 t t
Figura 1.2.
1.3. LEY FINANCIERA 
Se denomina ley financiera a una función real de variable vectorial que repre-
senta la cuantía del capital equivalente en p de un capital financiero fijo (C, t):
),,(),,(/: 3 ptCFptCF ����
 F(C1, t1, p)
 (C1, t1) 
 (C2, t2)
 F(C2, t2, p)
 t1 p t2
Figura 1.3.
Obsérvese que un retraso en la disponibilidad del capital implicaría un aumento de la 
cuantía y que un adelanto en la disponibilidad daría lugar a una disminución de la cuan-
tía, para que la función anterior tenga sentido financiero. Este comportamiento se verá 
reflejado en la tercera de las condiciones que se describen a continuación. 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide22
y que verifica las siguientes condiciones:
i. F es homogénea de grado uno con respecto a C:
).,,1(),,( ptFCptCF ��
Diremos que F(1, t, p) > 0 es la ley financiera unitaria y la representare-
mos por F(t, p), con lo que: 
).,(),,( ptFCptCF ��
ii. F(C, t, t) = C o, lo que es lo mismo, F(t, t) = 1, lo cual es evidente, ya que 
todo capital ha de ser equivalente a sí mismo. 
iii. Fijado p, F es estrictamente decreciente con respecto a t:
,0),( 
t
ptF
�
�
 C·F(t, p)
 C·F(s, p)
 F(t, p)
 C C
 F(s, p)
 
 1 1 
 
 t s p
Figura 1.4.
y, fijado t, F es estrictamente creciente con respecto a p:
,0),( �
p
ptF
�
�
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 23
 C·F(t, q)
 C·F(t, p)
 F(t, q)
 C F(t, p)
 
 1
 
 t p q
Figura 1.5.
Si F(t, p) fuese derivable respecto de t y de p, la condición se expresaría 
de la siguiente forma: 
0),( 
�
�
t
ptF y .0),( �
�
�
p
ptF
Esta doble condición refleja la idea de que el diferimiento en la disponibi-
lidad de un bien ha de ser compensado con un aumento de la cuantía para 
que ambas cantidades, disponibles en distintos momentos del tiempo, si-
gan siendo equivalentes y recíprocamente. 
iv. F es continua respecto de t y de p separadamente. 
Se llama dominio temporal de una ley financiera al subconjunto de �2 forma-
do por los pares (t, p) para los que F(t, p) cumple las condiciones i, ii, iii y iv de 
la definición de ley financiera.
En la definición de ley financiera es usual fijar uno de los parámetros t o p. Si 
se fija t, se tiene la ley financiera unitaria desde t:
: / ( ) ( , )t tF p F t F t p��� �� .
No obstante, en lo que sigue vamos a considerar fijo en una ley financiera el 
punto p, con lo que obtenemos la ley financiera hasta p:
: / ( ) ( , )p pF t F t F t p��� �� .
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide24
Si restringimos el dominio temporal D de la ley financiera a 
}/),{( ptptD �� , obtenemos el concepto de ley financiera de capitalización, 
mientras que si lo restringimos a }/),{( ptptD �� , obtenemos el de ley finan-
ciera de descuento. Es usual representar la ley financiera de capitalización como 
),( ptL y la ley financiera de descuento como ),( ptA . A partir de las condiciones 
de la definición de ley financiera, puede demostrarse que ( , ) 1 L t p � y que 
.1),(0 �
 ptA
1.4. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA ENTRE CAPITALES 
FINANCIEROS FIJOS 
Dada una ley financiera F(t, p) hasta p, en el espacio financiero E se define la 
siguiente relación binaria: 
),(),(),(),( ptFCptFCtCtC
pF
��������� .
Esta relación binaria es de equivalencia ya que verifica las siguientes propie-
dades:
i. Reflexiva: ),(),( tCtC
pF� .
ii. Simétrica: Si ),(),( tCtC
pF
��� entonces ),(),( tCtC
pF��� .
iii. Transitiva: Si ),(),( tCtC
pF
��� y ),(),( tCtC
pF
������� entonces 
),(),( tCtC
pF
����� .
Por medio de esta relación binaria, el espacio financiero E queda dividido en 
clases de equivalencia. Una clase de equivalencia estará formada por todos los 
capitales financieros fijos que estén relacionados entre sí, es decir, que tengan la 
misma imagen o proyección en p mediante la función Fp.
Cada clase de equivalencia recibe el nombre de línea de indiferencia financie-
ra o capital financiero y el conjunto cociente 
pFE �/ , cuyos elementos son las 
clases de equivalencia, se denomina mapa de indiferencia financiera. La clase de 
equivalencia de (C, t) se representará por [(C, t)], salvo cuando no exista posibili-
dad de confusión, en cuyo caso se seguirá denotando por (C, t).
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 25
 
 t p t
Figura 1.6.
Debe observarse el carácter relativo de la relación binaria de equivalencia, ya 
que depende de la ley financiera a la que va asociada y del punto p.
1.5. RELACIONES DE PREFERENCIA ENTRE CAPITALES 
FINANCIEROS 
Dada una ley financiera F(t, p) hasta p, en el espacio financiero E se define la 
siguiente relación binaria: 
),(),(),(),( ptFCptFCtCtC
pF
��������� .
El símbolo 
pF� se lee “es menos preferido o indiferente, según la ley financie-
ra F para un valor de p, que”. 
Esta relación binaria es de preorden total ya que verifica las siguientes pro-
piedades:
i. Reflexiva: ),(),( tCtC
pF� .
ii. Transitiva: Si ),(),( tCtC
pF
��� y ),(),( tCtC
pF
������ � entonces 
).,(),( tCtC
pF
�����
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide26
iii. Conexa: Para todo (C, t) y ),( tC �� , se verifica que o bien ),(),( tCtC
pF
���
o ),(),( tCtC
pF
��� .
Si esta relación binaria se hubiese definido en el conjunto 
pFE �/ , sería inde-
pendiente de los representantes de cada clase de equivalencia. Además, se verifi-caría la propiedad antisimétrica:
Si ),(),( tCtC
pF
��� y ),(),( tCtC
pF
��� entonces ),(),( tCtC ��� .
Por consiguiente, en este caso, la relación es de orden total.
1.6. OPERACIONES ENTRE CAPITALES FINANCIEROS 
1.6.1. Suma financiera 
Se dice que ),( tC ���� es la suma financiera de los capitales financieros ),( tC y 
),( tC �� , según la ley F(t, p) hasta p, y escribiremos: 
),(),(),( tCtCtC ��������
si se verifica que: 
),(),(),( ptFCptFCptFC ����������� .
Esta definición es independiente de los representantes de cada clase de equiva-
lencia.
Además, se verifican las siguientes propiedades:
i. Asociativa: � � � �),(),(),(),(),(),( tCtCtCtCtCtC ����������������� .
ii. Conmutativa: ),(),(),(),( tCtCtCtC ������� .
iii. Elemento neutro: Es el capital financiero (0, t) ya que se verifica: 
),(),0(),( tCttC �� .
iv. Elemento opuesto: El opuesto del capital financiero (C, t) es ),( tC� ya 
que se cumple: 
),0(),(),( ttCtC ��� .
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 27
Por tanto, ),/( ��
pFE tiene la estructura de grupo conmutativo o abeliano.
 
 *C ��
 
 V ��
 *C �
 C �� V � *C
 C �
 
 V
 C
 
 t t �� t � p *t � *t �� *t
Figura 1.7.
donde: 
1.6.2. Producto de un capital financiero por un 
 número real 
Se dice que ),( tC �� es el producto por el número real � del capital financiero 
(C, t), según la ley F(t, p) hasta p, y escribiremos: 
),(),( tCtC �����
si se verifica que: 
),(),( ptFCptFC ������� .
).,(),(
),,(),(
),,(),(
**
**
**
ptFCptFCV
ptFCptFCV
ptFCptFCV
��������������
���������
����
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide28
Esta definición es independiente de los representantes de cada clase de equiva-
lencia. Además, se verifican las siguientes propiedades: 
i. Pseudoasociativa: � �),(),()( tCtC ����� ���� .
ii. Distributiva respecto de la suma de capitales financieros: 
� � ),(),(),(),( tCtCtCtC ���������� ��� .
iii. Distributiva respecto de la suma de números reales: 
),(),(),()( tCtCtC ������ ���� .
iv. Elemento unidad: Es el número real 1 ya que se verifica: 
),(),(1 tCtC �� .
Por tanto, ),,/( ���
pFE tiene la estructura de espacio vectorial, denominado el 
espacio vectorial de los capitales financieros.
1.7. LECTURAS RECOMENDADAS 
Bonilla Musoles, M. e Ivars Escortell, A. (1994): Matemática de las opera-
ciones financieras, AC, Madrid. 
De Pablo López, A. (2000): Matemática de las operaciones financieras II,
UNED, Madrid. 
Gil Luezas, M. A. y Gil Peláez, L. (1992): Matemática de las operaciones fi-
nancieras 2, UNED, Madrid. 
Gil Peláez, L. (1992): Matemática de las operaciones financieras, AC, Ma-
drid. 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 29
EJERCICIOS RESUELTOS 
Hallar los valores de � y k para los que 
ktpiCptCF ����
33
)1(),,( � , con i > 0 
es una ley financiera, indicando su dominio temporal. 
Solución: 
Para que la función dada sea una ley financiera, ha de cumplir las siguientes 
condiciones, cuya exigencia dará lugar a los valores de � y k y a las restricciones 
de su dominio temporal: 
i. F ha de ser homogénea de grado 1 respecto de C, es decir: 
),,1(),,( ptFCptCF �� ,
por lo que sustituyendo: 
ktpktp iCiC ���� ���
3333
)1()1(� ,
de donde se deduce que ha de ser � = 1. Por tanto: 
ktpiCptCF ����
33
)1(),,( . 
Además, 0),( �ptF se cumple para todos los valores de t y p ya que se tra-
ta de una función exponencial y ésta es siempre > 0. 
ii. ),( ttF ha de ser igual a 1, por lo que: 
1)1()1(
33
���� �� kktt ii ,
de donde se deduce que ha de ser k = 0. Por tanto: 
33
)1(),,( tpiCptCF ��� .
1.1 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide30
iii. )1ln()3()1(),( 2
33
iti
t
ptF tp ����
�
� � ha de ser < 0, lo que se cumple para 
cualquier valor real de t, excepto para t = 0. No obstante, puede compro-
barse que, en t = 0, ),( ptF es decreciente. 
)1ln()3()1(),( 2
33
ipi
p
ptF tp ���
�
� � ha de ser > 0, condición que también 
se verifica para cualquier valor de p, excepto para p = 0. No obstante, 
puede comprobarse que, en p = 0, ),( ptF es creciente. 
iv. F(t, p) es continua respecto de t y de p separadamente, por tratarse, en 
ambos casos, de una función exponencial de exponente polinómico. 
Por tanto, el dominio temporal de la ley financiera será: 
2���
��D .
Demostrar que las siguientes funciones de �2 en � son leyes financieras unita-
rias, indicando su dominio temporal: 
1.
22
)1(),( tpiptF ��� , donde i > 0. 
2. )(1),( 33 tpiptF ��� , donde i > 0. 
3. )()1(),( tppiptF ��� , siendo i > 0. 
4. )()1(),( tptiptF ��� , siendo i > 0. 
5. )(5,11),( tp eeptF ��� .
Solución:
Para que las funciones dadas sean leyes financieras, han de cumplir las cuatro 
condiciones exigidas en la definición de ley financiera, cuya exigencia dará lugar 
a las restricciones del dominio temporal de cada ley. Obsérvese que los 5 casos 
dados son leyes financieras unitarias, lo que implica que la condición de homoge-
neidad de grado 1 respecto de C se cumple en todas ellas. Por tanto, faltaría por 
demostrar la verificación del resto de las condiciones, incluida la positividad de la 
ley. 
1.2 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 31
1.
22
)1(),( tpiptF ��� , donde i > 0. 
i. 0),( �ptF se cumple para todos los valores de t y p ya que se trata de 
una función exponencial y ésta es siempre > 0. 
ii. 1)1()1(),( 0
22
����� � iittF tt .
iii. )1ln()2()1(),(
22
iti
t
ptF tp ����
�
� � ha de ser < 0. 
Pues bien, teniendo en cuenta que 0)1(
22
�� �tpi y que ln(1 + i) > 0, ha 
de ser necesariamente t > 0. 
)1ln()2()1(),(
22
ipi
p
ptF tp ���
�
� � ha de ser > 0. 
Pues bien, teniendo en cuenta que 0)1(
22
�� �tpi y que ln(1 + i) > 0, ha 
de ser necesariamente p > 0.
iv. F(t, p) es continua respecto de t y de p separadamente, por tratarse, en 
ambos casos, de una función exponencial de exponente polinómico. 
Por tanto, el dominio temporal de la ley financiera será: 
}0,0/),{( 2 ����� ptptD .
2. )(1),( 33 tpiptF ��� , donde i > 0. 
i. 0),( �ptF se cumple para todos los valores de t y p tales que 
i
tp 133 ��� .
ii. 101)(1),( 33 ������� ittittF .
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide32
iii. 23),( it
t
ptF
��
�
� ha de ser < 0, lo que se cumple para cualquier valor real 
de t, excepto para t = 0. No obstante, puede comprobarse que, en t = 0, 
),( ptF es decreciente. 
iv. 23),( ip
p
ptF
�
�
� ha de ser > 0, lo que se cumple para cualquier valor real 
de p, excepto para p = 0. No obstante, puede comprobarse que, en p = 0, 
),( ptF es creciente. 
v. F(t, p) es continua respecto de t yde p separadamente, por tratarse, en 
ambos casos, de una función polinómica. 
Por tanto, el dominio temporal de la ley financiera será: 
�
�
 
�
�
� ������
i
tpptD 1/),( 332 .
3. )()1(),( tppiptF ��� , siendo i > 0. 
i. 0),( �ptF se cumple para todos los valores de t y p ya que se trata de 
una función exponencial y ésta es siempre > 0. 
ii. 1)1()1(),( 0)( ����� � iittF ttt .
iii. )1ln()()1(),( )( ipi
t
ptF tpp ����
�
� � ha de ser < 0. 
Pues bien, teniendo en cuenta que 0)1( )( �� �tppi y que ln(1 + i) > 0, ha 
de ser necesariamente p > 0. 
)1ln()2()1(),( )( itpi
p
ptF tpp ����
�
� � ha de ser > 0. 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 33
Pues bien, teniendo en cuenta que 0)1( )( �� �tppi y que ln(1 + i) > 0, ha 
de ser necesariamente 2p � t > 0, o sea, t < 2p.
iv. F(t, p) es continua respecto de t y de p separadamente, por tratarse, en 
ambos casos, de una función exponencial de exponente polinómico. 
Por tanto, el dominio temporal de la ley financiera será: 
}0,2/),{( 2 �
��� pptptD .
4. )()1(),( tptiptF ��� , siendo i > 0. 
i. 0),( �ptF se cumple para todos los valores de t y p ya que se trata de 
una función exponencial y ésta es siempre > 0. 
ii. 1)1()1(),( 0)( ����� � iittF ttt .
iii. )1ln()2()1(),( )( itpi
t
ptF tpt ����
�
� � ha de ser < 0. 
Pues bien, teniendo en cuenta que 0)1( )( �� �tpti y que ln(1 + i) > 0, ha 
de ser necesariamente p – 2t < 0, o sea, p < 2t.
)1ln()1(),( )( iti
p
ptF tpt ���
�
� � ha de ser > 0. 
Pues bien, teniendo en cuenta que 0)1( )( �� �tpti y que ln(1 + i) > 0, ha 
de ser necesariamente t > 0. 
iv. F(t, p) es continua respecto de t y de p separadamente, por tratarse, en 
ambos casos, de una función exponencial de exponente polinómico. 
Por tanto, el dominio temporal de la ley financiera será: 
}0,2/),{( 2 �
��� ttpptD .
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide34
5. )(5,11),( tp eeptF ��� .
i. 0),( �ptF se cumple para todos los valores de t y p tales que 
3
2
��� tp ee .
ii. 105,11)(5,11),( ������� tt eettF .
iii. te
t
ptF 5,1),( ��
�
� ha de ser < 0, lo que se verifica para todo valor real de 
t.
pe
p
ptF 5,1),( �
�
� ha de ser > 0, condición que también se verifica para 
cualquier valor real de p.
iv. F(t, p) es continua respecto de t y de p separadamente, por tratarse, en 
ambos casos, de una función polinómica con términos exponenciales. 
Por tanto, el dominio temporal de la ley financiera será: 
�
�
 
�
�
� ������
3
2/),( 2 tp eeptD .
Poner un ejemplo de ley financiera que sea continua pero no derivable con res-
pecto a t.
Solución:
Planteamos la siguiente ley financiera: 
�
�
�
���
��
�
pttp
pttp
ptF
),(2,01
),(1,01
),( . 
En efecto, F(t, p) es continua para t = p, puesto que: 
1.3 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 35
lím ( , ) lím ( , ) 1
t p t p
F t p F t p
� �� �
� � .
Sin embargo, F(t, p) no es derivable para t = p:
2,0),( ��
�
�
�� ptt
ptF ,
mientras que: 
1,0),( ��
�
�
�� ptt
ptF .
Dada la ley financiera F(t, p) = 1 + 0,1(p � t), hallar y dibujar las líneas de indife-
rencia financiera para p = 1995 y p = 2000. 
Solución: 
Para p = 1995, hallaremos y dibujaremos la línea de indiferencia financiera 
que contiene, por ejemplo, al capital financiero fijo (1,1990), es decir, la clase de 
equivalencia [(1,1990)]: 
� � )}1990,1(),/(),{()1990,1(
1995FtCtC �� ,
de donde: 
� � .5,1)1995(1,01
),1995,1990(1)1995,(
����
���
tC
FtFC
Despejando:
tt
C
�
�
�
�
2005
15
1,05,200
5,1 ,
cuya representación gráfica es una curva con asíntota vertical en t = 2005. Análo-
gamente, podríamos haber tomado los capitales (3,1990), (6,1992), etc. 
1.4 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide36
 
 
 7,8 
 
 6
 4,5 
 
 
 3
 1,5 
 
 1 
 
 1990 1992 1995 2005 
 
 
 
 10,8 
 
 
 6 
 6 
 
 2 
 
 3 
 
 
 1 
 
 1990 1992 2000 2010 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 37
Para p = 2000, la línea de indiferencia que contiene al capital financiero fijo 
(1,1990) es: 
2 20
201 0,1 2010
C
t t
� �
� � �
,
cuya representación gráfica es ahora una curva con asíntota vertical en t = 2010. 
Análogamente, podríamos haber tomado los capitales (3,1990), (6,1992), etc. 
Hallar el lugar geométrico de los puntos del espacio financiero que son equiva-
lentes al capital financiero fijo (1,95), según la ley financiera de capitalización: 
tpptL ��� )12,01(),( siendo p = 100. 
Repetir el ejercicio para p = 110. ¿Qué puede observarse? 
Solución:
El lugar geométrico de los puntos del espacio financiero que son equivalentes 
al capital financiero fijo (1,95) es la clase de equivalencia: 
� � )}95,1(),/(),{()95,1(
100FtCtC �� ,
de donde: 
.)12,01(1)12,01(
),100,95(1)100,(
95100100 �� �����
���
tC
LtLC
Despejando:
9512,1 �� tC ,
cuya representación gráfica es una función exponencial. Si repetimos el razona-
miento anterior para p = 110, obtenemos el mismo lugar geométrico que para p = 
= 100: 
9512,1 �� tC
lo cual no tiene por qué ocurrir en general, como puede observarse en el ejercicio 
1.4. 
1.5 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide38
Poner el signo � o � entre los siguientes capitales financieros fijos: 
1. (1.000, t) y (1.000, t � 3). 
2. (200, t) y (215, t � 5). 
3. (x, t) y (x, t + 1). 
4. (8, t) y (9, t + 1). 
5. (300, t � 5) y (300, t + 4). 
Solución:
1. (1.000, t) � (1.000, t � 3). 
2. (200, t) � (215, t � 5). 
3. (x, t) � (x, t + 1), si x > 0 y (x, t) � (x, t + 1), si x < 0. 
4. La relación de preferencia entre (8, t) y (9, t + 1) depende de la ley finan-
ciera de valoración utilizada. 
5. (300, t � 5) � (300, t + 4). 
Sumar en t = 99 los capitales financieros (1.000,96), (1.100,97) y (1.050,98), 
según la ley )(2)(
2
)1(),( tptpiptF ����� , con i = 0,10 y p = 100. 
Solución:
Si (S,99) es el capital suma solicitado, ha de verificarse, por la definición de 
suma financiera, que: 
)100,99()100,98(050.1)100,97(100.1)100,96(000.1FSFFF ���� ,
es decir: 
2 2
2 2
(100 96) 2(100 96) (100 97) 2(100 97)
(100 98) 2(100 98) (100 99) 2(100 99)
1.000(1 0,10) 1.100(1 0,10)
 1.050(1 0,10) (1 0,10) ,S
� � � � � �
� � � � � �
� � � �
� � � �
1.7 
1.6 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 39
esto es: 
381524 1,11,1050.11,1100.11,1000.1 
�
�
�
 S ,
de donde se deduce que S = 12.543,5. 
Ordenar los capitales financieros del ejercicio anterior. 
Solución:
Para ello, proyectamos los capitales dados en p = 100: 
� 1.000 F(96,100) = 9.849,73. 
� 1.100 F(97,100) = 4.594,97. 
� 1.050 F(98,100) = 2.250,77. 
Por tanto: 
)98,050.1()97,100.1()96,000.1(
100100 FF �� .
Hallar X para que la suma de los capitales financieros (10,2001), (9,2002), 
(5,2003) y (X,2004) sea (40,2004), según la ley financiera de descuento: 
)()1(),( ptiptA ��� , con i = 0,15 y p = 2000. 
Solución:
Si (40,2004) es la suma de los capitales financieros dados, ha de verificarse 
por la definición de suma financiera que: 
���� )2000,2004()2000,2003(5)2000,2002(9)2000,2001(10 XAAAA
),2000,2004(40A�
es decir: 
,)15,01(40)15,01(
)15,01(5)15,01(9)15,01(10
)20002004()20002004(
)20002003()20002002()20002001(
��
���
����
�����
X
esto es: 
44321 85,04085,085,0585,0985,010 
�
�
�
�
 X ,
de donde se deduce que X = 5,38. 
1.8 
1.9 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide40
Hallar i en la ley financiera F(t, p) = 1 + i(p � t), p = 100, sabiendo que la suma 
de los capitales financieros (110,90), (120,91) y (150,95) es (500,96). 
Solución:
Por la definición de suma financiera, habrá de verificarse que: 
110 F(90,100) + 120 F(91,100) + 150 F(95,100) = 500 F(96,100), 
esto es: 
110[1+i(100�90)] + 120[1+i(100�91)] + 150[1+i(100�95)] = 500[1+i(100�96)], 
de donde se deduce que: 
i = 0,1290 = 12,90%. 
Hallar i en la ley financiera tpiptF ��� )1(),( , p = 100, sabiendo que la suma de 
los capitales financieros (500,98) y (600,99) es (1.500,100). 
Solución:
Por la definición de suma financiera, habrá de verificarse que: 
500 F(98,100) + 600 F(99,100) = 1.500 F(100,100), 
esto es: 
1001009910098100 )1(500.1)1(600)1(500 ��� ����� iii ,
de donde: 
015)1(6)1(5 2 ����� ii ,
ecuación de segundo grado cuyas soluciones son 2330,11 1 �� i e 4330,21 2 ��� i ,
de donde se deduce, desechando la segunda solución, que: 
i = 0,2330 = 23,30%. 
1.11 
1.10 
Fundamentos de decisión financiera 
© Ediciones Pirámide 41
Determinar el valor de S en la siguiente expresión: 
)96,200(5)95,150(3)90,100(2)99,( ���S ,
según la ley financiera )(1),( )(1,0 tpeptF tp ��� � , con p = 100. 
Solución:
Si (S,99) es el capital solicitado, ha de verificarse, por la definición de suma y 
producto por un número real, que: 
)100,96(2005)100,95(1503)100,90(1002 �

�

�

 FFF
)100,99(FS 
� ,
es decir: 
� � � �
� � � � ,)99100(1)96100(1000.1
)95100(1450)90100(1200
)99100(1,0)96100(1,0
)95100(1,0)90100(1,0
������
������
��
��
eSe
ee
de donde se deduce que S = 1.343,78. 
PRÁCTICAS CON ORDENADOR 
Dada una ley financiera F(C, t, p), para C y p fijos, elaborar una hoja de cálculo 
con los valores de F, variando t y observando que F(C, t, p) es estrictamente de-
creciente respecto de él. 
Dada una ley financiera F(C, t, p), para C y t fijos, elaborar una hoja de cálculo 
con los valores de F, variando p y observando que F(C, t, p) es estrictamente 
creciente respecto de él. 
Sumar financieramente varios capitales financieros. 
Hallar diversas combinaciones lineales de capitales financieros. 
Ordenar varios capitales financieros. 
Dibujar varias líneas de indiferencia correspondientes a una misma ley financiera. 
 1.1 
 1.2 
 1.3 
 1.4 
 1.5 
 1.6 
1.12 
 
© Ediciones Pirámide 43
 
 
CONTENIDO 
 
2.1. Introducción. 
2.2. Concepto de operación financiera. 
2.3. Clasificación de las operaciones financieras. 
2.4. Reserva matemática o saldo financiero de una operación. 
2.5. Lecturas recomendadas. 
Ejercicios resueltos. 
Prácticas con ordenador. 
 
 
CONOCIMIENTOS PREVIOS 
Para abordar con éxito el estudio de este capítulo, el alumno deberá tener 
los siguientes conocimientos previos:
 
� Concepto de ley financiera. 
� Equivalencia de capitales financieros fijos. 
� Suma de capitales financieros. 
� Notación sumatoria y esperanza matemática. 
 
OBJETIVOS
Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno deberá ser capaz de: 
 
� Identificar con claridad los elementos que componen una operación fi-
nanciera. 
� Clasificar una operación financiera cualquiera de acuerdo con los 7 crite-
rios principales. 
� Calcular la reserva matemática o saldo financiero de una operación por 
cualquiera de los tres métodos (retrospectivo, prospectivo y recurrente), 
ya sea por la derecha o por la izquierda. 
 
 
 Opecos-
tacm@munimadrid.esraciones2 Operaciones financieras2
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide44
 
 
 
2.1. INTRODUCCIÓN 
 
En el tema anterior se ha definido la relación de equivalencia entre capitales 
financieros fijos según una ley de valoración F en el punto p. Esta relación puede 
ser extendida a conjuntos de capitales financieros fijos, utilizando para ello el 
concepto de suma financiera. 
 
2.1.1. Definición 
Sean A y B dos conjuntos de capitales financieros fijos: 
1 1 2 2
1 1 2 2
{( , ),( , ), , ( , )},
{( , ),( , ), , ( , )}.
n n
m m
A C t C t C t
B C t C t C t
�
� � � � � ��
�
�
 
Diremos que A y B son equivalentes según la ley financiera F en el punto p y 
escribiremos BA
pF� si: 
! !
� �
���
n
i
m
j
jjii tCtC
1 1
),(),( 
esto es, si las sumas financieras de ambos conjuntos de capitales coinciden en un 
mismo instante de tiempo (en este caso, el punto p de aplicación de la ley): 
),(),(
1 1
ptFCptFC j
n
i
m
j
jii ���! !
� �
. 
Esta relación binaria es de equivalencia en el conjunto de las partes de E 
("(E)) ya que verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 
Otro concepto sobre el que se debe reflexionar es el propio concepto de capital 
financiero fijo. En efecto, en el tema anterior se ha supuesto que tanto la cuantía 
como el vencimiento de un capital financiero fijo vienen dados en términos cier-
Operaciones financieras 
© Ediciones Pirámide 45
tos. Ahora bien, puede ocurrir que la cuantía y/o el vencimiento vengan expresa-
dos en términos de probabilidad, en cuyo caso, se recurrirá al concepto de capital 
financiero-aleatorio fijo.
2.1.2. Definición 
Se llama capital financiero-aleatorio fijo a un capital financiero fijo en el que 
la cuantía y/o el vencimiento vienen dados en términos de probabilidad. Dicho de 
otra forma, un capital financiero-aleatorio fijo es una variable aleatoria bidimen-
sional (#,$), donde # y $ son variables aleatorias unidimensionales definidas en 
un conjunto de cuantías y en un conjunto de vencimientos, respectivamente. 
Ahora bien, teniendo en cuenta el alcance de este libro, en lo sucesivo sólo se 
considerarán capitales financiero-aleatorios fijos del tipo (#,t) y (C,$), es decir, 
donde sólo la cuantía o sólo el vencimiento son aleatorios. 
Además, cuando se trabaje con capitales financiero-aleatorios fijos, se con-
vendrá en utilizar, equivalentemente, su esperanza matemática, es decir: 
)),((),( tEt ## � 
o bien: 
))(,(),( $$ ECC � .
2.2. CONCEPTO DE OPERACIÓN FINANCIERA 
 
Una operación financiera es una terna 
},,{ pFCPO � 
formada por: 
i. Un conjuntode capitales financieros fijos: 
)},(,),,(),,{( 2211 nn tCtCtC ��P , 
llamado prestación, tales que nttt 
 �21 . 
ii. Un conjunto de capitales financieros fijos: 
)},(,),,(),,{( 2211 mm tCtCtC ������� �C , 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide46
llamado contraprestación, tales que mtttt �
�
�
 �211 . 
iii. Una ley financiera de valoración en p, Fp, tal que: 
PC
pF� , 
es decir, 
! !
� �
���
n
i
m
j
jjii tCtC
1 1
),(),( 
o, equivalentemente: 
),(),(
1 1
ptFCptFC j
n
i
m
j
jii ���! !
� �
. 
El vencimiento t1 recibe el nombre de origen de la operación y 
máx{ , }f n mt t t�� recibe el nombre de final de la operación. Se llama duración de 
la operación al espacio de tiempo que media entre t1 y tf, es decir: 
1ttd f �� . 
Usualmente, una operación financiera supone un intercambio de capitales en-
tre dos personas, físicas o jurídicas, que está regulado por una ley de valoración 
en un punto determinado. La representación gráfica de una operación financiera 
viene dada en la figura 2.1. 
 C1 C2 % Cn 
 P: 
 
 t1 t2 % tn 
 
 1C � 2C � % mC � 
 C: 
 
 1t � 2t � % mt � 
Figura 2.1. 
Operaciones financieras 
© Ediciones Pirámide 47
La persona que entrega el conjunto P inicia la operación como acreedor mien-
tras que la otra parte la inicia como deudor, situación que puede mantenerse así 
hasta el final de la operación o puede ir cambiando a lo largo de ella, como se 
verá posteriormente en este tema. 
La condición PC
pF� en una operación financiera establece una ecuación, 
denominada ecuación de equivalencia financiera, que permitirá calcular alguna 
cuantía, algún vencimiento o algún parámetro de la ley financiera de valoración 
que no esté definido a priori, siendo conocidos el resto de los parámetros. 
 
2.3. CLASIFICACIÓN DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS 
 
Las operaciones financieras pueden clasificarse atendiendo a distintos crite-
rios: 
1. Según el grado de certeza de los capitales que las definen: 
a) Operaciones financieras ciertas: son aquellas en las que todos 
los capitales que intervienen son ciertos. 
b) Operaciones financiero-aleatorias: son aquellas en las que al 
menos uno de los capitales que intervienen es aleatorio. 
2. Según el grado de conocimiento de los capitales que las forman: 
a) Operaciones determinadas a priori o predeterminadas: son 
aquellas en las que todos los capitales que las forman han sido 
especificados de antemano en el contrato de la operación, ya sean 
ciertos o aleatorios. 
b) Operaciones determinadas a posteriori o posdeterminadas: son 
aquellas en las que los capitales que las forman sólo pueden ser 
conocidos una vez finalizada la operación. 
3. Según el grado de liquidez interna de la operación: 
a) Operaciones con liquidez interna total: cuando pueden ser can-
celadas en cualquier instante � �ftt ,1�& , a instancia de cualquie-
ra de las dos partes y sin condiciones previas. 
b) Operaciones con liquidez interna parcial o condicionada: cuan-
do la cancelación exige el acuerdo de las dos partes o alguna 
condición previa. 
Independientemente de esta liquidez interna, existe la liquidez in-
directa o externa obtenida por una de las partes al transferir la 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide48
operación a un tercero que se subroga en los derechos y obliga-
ciones del cedente. 
4. Según la duración de la operación: 
a) Operaciones a corto plazo: cuando d es menor o igual que un 
año (si bien es posible establecer otro límite temporal diferente, 
el año es el más frecuente). 
b) Operaciones a largo plazo: cuando d es mayor que un año. 
5. Según los cardinales de P y C: 
a) Operaciones simples: cuando Card(P) = Card(C) = 1. 
b) Operaciones compuestas: cuando Card(P) o Card(C) son > 1: 
i. Operaciones de prestación única y contraprestación 
múltiple: cuando Card(P) = 1 y Card(C) > 1. 
ii. Operaciones de prestación múltiple y contraprestación 
única: cuando Card(P) > 1 y Card(C) = 1. 
iii. Operaciones doblemente compuestas: cuando Card(P) 
y Card(C) son > 1. 
6. Según la posición relativa del punto p: 
a) Operaciones de capitalización: cuando tf � p. En este caso, la ley 
financiera de valoración será una ley financiera de capitalización. 
b) Operaciones de descuento: cuando p � t1. En este caso, la ley fi-
nanciera de valoración será una ley financiera de descuento. 
c) Operaciones mixtas: cuando t1 < p < tf. En este caso, la ley finan-
ciera de valoración será una ley financiera completa. 
7. Según la evolución crediticia de la operación: 
a) Operaciones de crédito unilateral: cuando la prestación conserva 
su condición de acreedor durante toda la operación; por tanto, la 
contraprestación siempre tendrá carácter deudor. 
b) Operaciones de crédito bilateral o recíproco: cuando la presta-
ción pasa a tener la condición de deudor en algún momento de la 
duración de la operación; en consecuencia, la contraprestación en 
algún momento tendrá carácter acreedor. 
 
 
Operaciones financieras 
© Ediciones Pirámide 49
2.4. RESERVA MATEMÁTICA O SALDO FINANCIERO 
DE UNA OPERACIÓN 
 
Consideremos una operación financiera },,{ pFCPO � , que supone el inter-
cambio de los conjuntos de capitales: 
)},(,),,(),,{( 2211 nn tCtCtC ��P 
y 
)},(,),,(),,{( 2211 mm tCtCtC ������� �C , 
basándose en la ley financiera de valoración en p, Fp. 
Por la definición de operación financiera, se sabe que la suma financiera de 
todos los capitales de la prestación en p es igual a la suma financiera de todos los 
capitales de la contraprestación en p: 
),(),(
1 1
ptFCptFC j
n
i
m
j
jii ���! !
� �
. 
Algunos autores llaman a esta igualdad ecuación de equilibrio estático de la 
operación financiera. Ahora bien, si se elige un instante cualquiera del tiempo& 
distinto de p, tal que & � D, se verificará igualmente que la suma financiera de los 
capitales de la prestación en& es igual a la suma financiera de los capitales de la 
contraprestación en&. Para obtener la valoración de los distintos capitales en &, 
bastará con dividir por el valor F(&, p): 
),(
),(
),(
),(
1 1 pF
ptF
C
pF
ptF
C j
n
i
m
j
j
i
i &&
�
��! !
� �
, (1) 
El cociente 
),(
),(
pF
ptF i
&
es el factor financiero, que será estudiado en el epígrafe 3.2, y re-
presenta el número por el que hay que multiplicar la cuantía del capital financiero dispo-
nible en el instante ti para obtener la cuantía del capital financiero equivalente disponible 
en �. 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide50
deduciéndose la llamada ecuación de equilibrio dinámico de la operación finan-
ciera en &. Si se llama S a la cuantía de la suma financiera de los capitales de la 
prestación en &: 
!
�
�
n
i
i
i pF
ptF
CS
1 ),(
),(
&
 
y S � a la cuantía de la suma financiera de la contraprestación en &: 
),(
),(
1 pF
ptF
CS j
m
j
j &
�
��� !
�
, 
resulta evidente que SS �� . 
Si & es ahora un punto cualquiera del intervalo 1, ,ft t' () * las dos sumas de la 
ecuación (1) pueden descomponerse de las siguientes formas: 
 
1. Si � � +1 1, , ,f ft t t t& &' ( (� ,) * * : 
� � + � � � + � ),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
,,,, 11 pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C j
tt
j
j
tt
j
i
tt
i
i
tt
i
fjjfii
&&&& &&&&�
��
�
��� !!!!
������
, (2) 
esto es, la suma financiera de los capitales de la prestación en & se descompone en 
dos partes: la suma financiera en el instante & de los capitales de la prestación que 
pertenecen al intervalo � �&,1t más la suma financiera en el instante& de los capita-
les de la prestación que pertenecen al intervalo + , .ft& (* Análogamente ocurre con 
los capitales de la contraprestación. 
 
2. Si � � � - � �ff tttt ,,, 11 && ,� : 
� - � � � - � � ),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
,,,, 11 pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C j
tt
j
j
tt
j
i
tt
i
i
tt
i
fjjfii
&&&& &&&&
�
��
�
��� !!!!
������
. (3) 
Operaciones financieras 
© Ediciones Pirámide 51
esto es, la suma financiera de los capitales de la prestación en & se descompone en 
dos partes: la suma financiera en el instante & de los capitales de la prestación que 
pertenecen al intervalo� -1,t & más la suma financiera en el instante& de los capita-
les de la prestación que pertenecen al intervalo , .ft&' () * Análogamente ocurre con 
los capitales de la contraprestación. 
Obsérvese que las ecuaciones (2) y (3) son iguales si el instante& no coincide 
con ningún vencimiento de los capitales de la prestación ni de la contrapresta-
ción: 
� � },,,,,,,{, 21211 mnf tttttttt ����� ��& , 
por lo que la consideración de ambas sólo tendrá sentido si & coincide con el ven-
cimiento de alguno de los capitales de la prestación o de la contraprestación: 
},,,,,,,{ 2121 mn tttttt ���� ��& , 
situación que no se supondrá por ahora, hasta que se advierta de lo contrario. Si a 
la cuantía de la suma financiera en & de los capitales de la prestación anteriores a 
& se le llama S1 y a la cuantía de la suma financiera en & de los capitales de la 
prestación posteriores a & se le llama S2, resulta que: 
21 SSS �� . 
Gráficamente: 
 
 S1 
 
 S2 
 
 � � 
 (C1,t1) 
 � � 
 � � 
 
 � 
 
 t1 & tn 
Figura 2.2. 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide52
Análogamente, si 1S � es la cuantía de la suma financiera en & de los capitales 
de la prestación posteriores a & y 2S � es la cuantía de la suma financiera en & de 
los capitales de la contraprestación posteriores a & resulta que: 
21 SSS ����� . 
En consecuencia: 
2121 SSSS ����� , 
de donde resulta que: 
2211 SSSS ����� . (4) 
Obsérvese que el primer miembro de la ecuación (4) representa la diferencia 
en & entre la suma de los capitales ya entregados por la prestación y la suma de 
los entregados por la contraprestación. Por otra parte, el segundo miembro repre-
senta la diferencia en & entre la suma de los capitales que ha de entregar la con-
traprestación y la suma de los que debe entregar la prestación. 
Por este motivo, a cualquiera de los dos miembros de la ecuación (4) se le 
llama reserva matemática o saldo financiero de la operación en el punto & y se 
representará &R , denominándose reserva matemática por el método retrospectivo 
a la diferencia: 
11 SS �� , 
esto es, a la diferencia entre la suma financiera en & de los capitales de la presta-
ción anteriores a & y la suma financiera en & de los capitales de la contrapresta-
ción anteriores a &. 
Por otra parte, se llama reserva matemática por el método prospectivo a la di-
ferencia: 
22 SS �� , 
esto es, a la diferencia entre la suma financiera en & de los capitales de la contra-
prestación posteriores a & y la suma financiera en & de los capitales de la presta-
ción posteriores a &. 
Obsérvese que la reserva matemática por los métodos retrospectivo y prospec-
tivo coincide. El término reserva o saldo se debe a que &R representa la cuantía 
que habría de entregar en & la parte que ha entregado menos hasta ese instante 
para restablecer el equilibrio financiero de la operación. En efecto: 
Operaciones financieras 
© Ediciones Pirámide 53
1. Si 0�&R , entonces 11 SS �� , esto es, la prestación ha entregado más que 
la contraprestación, por lo que la contraprestación habrá de entregar en el 
futuro más que la prestación, es decir 22 SS �� . 
2. Si 0
&R , entonces 11 SS �
 , esto es, la prestación ha entregado menos 
que la contraprestación, por lo que la prestación habrá de entregar en el 
futuro más que la contraprestación, es decir 22 SS 
� . 
Existe un tercer método para calcular la reserva matemática o saldo financiero 
de una operación, denominado método recurrente, que se utiliza cuando se cono-
ce la reserva en un punto& � anterior a &. En efecto, sean& � y & dos puntos tales que 
&,& � � D y& �< &. En este caso, se pueden descomponer los dos miembros de la 
ecuación (1) de la siguiente forma: 
� - + �
� - + �
.
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
,),(,
,),(,
1
1
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
j
tt
j
j
t
j
j
tt
j
i
tt
i
i
t
i
i
tt
i
fjjj
fiii
&&&
&&&
&&&&
&&&&
�
��
�
��
�
��
���
!!!
!!!
��������
�����
 
Trasponiendo términos convenientemente: 
� - � -
+ � + �
.
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
),(
,,),(
),(,, 11
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
pF
ptF
C
i
tt
i
j
tt
j
j
t
j
i
t
i
j
tt
j
i
tt
i
fifjj
iji
&&&
&&&
&&&&
&&&&
!!!
!!!
������
�������
�
�
��
�
��
��
.
.
/
0
1
1
2
3 �
��
 (5) 
La expresión entre paréntesis que figura en el primer miembro de la ecuación 
(5) es la reserva matemática o saldo financiero de la operación en el punto& � por 
el método retrospectivo, mientras que el segundo miembro de dicha igualdad es la 
reserva matemática en & por el método prospectivo. Por tanto, podemos escribir: 
Introducción a las matemáticas financieras 
© Ediciones Pirámide54
.
),(
),(
),(
),(
),(),(
&
&&&&
& &&
R
pF
ptF
C
pF
ptF
CR j
t
j
i
t
i
ji
�
�
��� !!
�����
� 
Así, el método recurrente supone la sustitución de toda la operación anterior a 
& � por el capital ),( && ��R donde proceda (en la prestación o en la contrapresta-
ción), según el signo de & �R . 
Si en el instante & tiene su vencimiento un capital de la prestación y 
� � � � + �ff tttt ,,, 11 && ,� : 
 
 S1 
 
 S2 
 
 � � 
 (C1,t1) 
 � � 
 � � 
 
 � 
 
 t1 & tn 
Figura 2.3. 
En este caso, la reserva matemática se llamará reserva matemática o saldo finan-
ciero por la derecha en el punto