Fundamentos de Matemática Financiera [Larragán]

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FUNDAMENTOS
DE
MATEMÁTICA FINANCIERA
2ª edición revisada
Amaia Apraiz Larragán
Profesora del Departamento de Gestión
Universidad Comercial de Deusto 
BIBLIOTECA DE GESTIÓN
DESCLÉE DE BROUWER
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A Edurne, mi madre
© Amaia Apraiz Larragán, 2003
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INTRODUCCIÓN A LA ESTRUCTURA ECONÓMICA. Fundamentos e instrumentos del análisis
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NUEVOS CASOS PRÁCTICOS DE INVERSIÓN Y FINANCIACIÓN, por Javier Santibáñez y
Fernando Gómez-Bezares
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ÍNDICE 
ÍNDICE...........................................................................................................V 
PRESENTACIÓN...........................................................................................7 
1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................9 
1.1 Conceptos Básicos ....................................................................9 
1.2 Equivalencia Financiera..........................................................10 
1.3 El Valor del Dinero en el Tiempo...........................................10 
2 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS.............................13 
2.1 Introducción ............................................................................13 
2.2 Ley financiera de capitalización simple..................................13 
2.3 Ley financiera de capitalización compuesta ...........................16 
2.4 Representación Gráfica...........................................................18 
2.5 Leyes Financieras de Descuento .............................................20 
2.6 La Letra de Cambio ................................................................23 
2.6.1 Aceptación de la Letra de Cambio ................................24 
2.6.2 Endoso de la Letra de Cambio.......................................24 
2.6.3 Protesto de la Letra de Cambio......................................24 
2.6.4 Requisitos de la Letra de Cambio..................................25 
2.6.5 El juicio cambiario ........................................................25 
2.6.6 Descuento de la Letra de Cambio..................................26 
2.7 Diferentes acepciones en relación a los intereses ...................29 
2.8 Conjugación y escindibilidad..................................................34 
2.9 Ejercicios ................................................................................37 
3 RENTAS ................................................................................................51 
3.1 Definición ...............................................................................51 
3.2 Clasificación ...........................................................................52 
3.3 Valoración de Rentas Inmediatas............................................54 
3.3.1 Renta Anual Constante Pospagable y Temporal ...........54 
3.3.2 Renta Anual Constante Pospagable y Perpetua .............58 
3.3.3 Renta Anual Constante Prepagable y Temporal ............60 
3.3.4 Renta Anual Constante Prepagable y Perpetua .............62 
3.4 Valoración de Rentas Diferidas ..............................................63 
3.4.1 Rentas Diferidas Temporales ........................................64 
3.4.2 Rentas Diferidas Perpetuas............................................66 
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VI FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
3.5 Valoración de Rentas Anticipadas ..........................................67 
3.5.1 Rentas Anticipadas Temporales ....................................67 
3.6 Valoración de Rentas Anuales Variables................................69 
3.6.1 Rentas Anuales Variables en Progresión Aritmética.....69 
3.6.2 Rentas Anuales Variables en Progresión Geométrica ...72 
3.7 Valoración de Rentas Fraccionadas ........................................74 
3.7.1 Rentas Fraccionadas Constantes....................................74 
3.7.2 Rentas Fraccionadas Variables......................................76 
3.8 Ejercicios ................................................................................77 
4 OPERACIONES DE AMORTIZACIÓN.........................................111 
4.1 Introducción ..........................................................................111 
4.2 Amortización mediante reembolso único .............................112 
4.3 Amortización mediante renta ................................................113 
4.3.1 Sistema de amortización francés .................................116 
4.3.2 Sistema de amortización uniforme ..............................121 
4.3.3 Sistemade amortización alemán .................................123 
4.4 Usufructo, nuda y plena propiedad .......................................129 
4.5 Ejercicios ..............................................................................131 
5 AMORTIZACIÓN DE EMPRÉSTITOS .........................................163 
5.1 Definición y Conceptos Básicos ...........................................163 
5.2 Empréstito normal o puro .....................................................165 
5.3 La Deuda Pública en España.................................................171 
5.3.1 Las Letras del Tesoro ..................................................172 
5.3.2 Los Bonos y las Obligaciones .....................................175 
5.4 Cálculo de la rentabilidad de los Valores..............................175 
5.4.1 Letras del tesoro ..........................................................175 
5.4.2 Bonos y Obligaciones..................................................176 
5.5 Características de un título....................................................178 
5.6 Valor de un título en el mercado...........................................179 
5.7 Riesgo asociado a un título ...................................................181 
5.8 Ejercicios ..............................................................................187 
ANEXO I .....................................................................................................193 
ANEXO II....................................................................................................199 
ANEXO III ..................................................................................................209 
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................215 
 
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PRESENTACIÓN 
Resulta inevitable comenzar diciendo que este libro es el resultado de 
doce años de experiencia docente en La Comercial de Deusto. Muchas veces 
he leído introducciones similares en otras páginas de presentación y he de 
confesar que otras tantas veces he pensado: “qué necesidad habrá de escribir 
nuevos libros sobre una materia sobre la que ya se ha escrito todo”. Es cierto 
que no es ésta una disciplina que se preste a interpretaciones ni sea susceptible 
de desatar fuertes controversias. Su fundamento teórico es fácilmente 
asumible y se trata, sencillamente, de que el dinero tiene un valor en el 
tiempo, y su desarrollo matemático no exige grandes dosis de abstracción. 
La realidad, sin embargo, es tozuda en demostrar que son muchos los 
estudiantes que encuentran dificultad en asimilar los conceptos más 
elementales relativos, por ejemplo, a las diferentes acepciones sobre los tipos 
de interés y a partir de ahí la matemática financiera se convierte en una 
especie de caja negra llena, en este caso, de fórmulas incomprensibles. 
Cuando eso ocurre todos los esfuerzos se orientan a conseguir saber qué 
fórmula debe aplicarse en cada caso, olvidándose de algo que me enseñaron 
en mis tiempos de estudiante y que considero fundamental: los resultados de 
esas fórmulas nunca pueden ir en contra del sentido común. 
El presente libro pretende simplificar el acceso de los no iniciados al 
tema de la matemática financiera con el fin de que comprendan que la fórmula 
es lo de menos, que siempre hay un libro donde se puede consultar. Lo 
importante, en mi opinión, es que al final, si se ha comprendido bien la 
materia, es posible acercarse bastante a la solución correcta de un problema 
aplicando únicamente el sentido común y realizando sencillos cálculos 
aritméticos con los operadores elementales. Sin menoscabo de todo ello, se ha 
de decir también que en esta materia la precisión es fundamental. Todas las 
operaciones que se estudian en las siguientes páginas tienen su reflejo en los 
mercados financieros y es imprescindible dominar la técnica para obtener de 
ella toda su utilidad y comprender el funcionamiento de los mismos y las 
ventajas e inconvenientes de los distintos productos que en ellos se ofrecen. 
Pero creo que es preciso insistir en que la exigencia de precisión no debe 
nublar el sentido común. El verdadero dominio de este tema se manifiesta 
cuando quien se enfrenta a un problema tiene ya una idea aproximada sobre 
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8 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
cual va a ser la solución. Esta es la destreza que se trata de desarrollar con este 
libro. Se intenta que el lector se adelante a la solución y que ésta sirva para 
confirmar su buena lógica o bien ponga de manifiesto algún error en su 
razonamiento. 
En cuanto al contenido, el libro consta de 5 capítulos en los que se 
abordan los temas fundamentales de esta disciplina. El capítulo primero es 
una introducción al concepto de equivalencia financiera y valor del dinero en 
el tiempo, continuando el segundo con el tema de los tipos de interés y las 
leyes financieras. El tercer capítulo se dedica a las rentas en sus diferentes 
formas, el cuarto a los principales sistemas de amortización de préstamos y el 
quinto a los empréstitos y la deuda pública en España. Se ofrece también una 
seleccionada bibliografía a la que acudir en busca de mayores profundidades 
sobre los temas aquí tratados o sobre otros que no se abordan en estas páginas. 
Para terminar de presentar el libro, añadir que en la actualidad no 
parece lógico adentrarse en el mundo de la matemática financiera sin ayuda de 
una hoja de cálculo. Con el fin de que el empleo de esta herramienta se 
convierta en algo natural, se ofrecen soluciones a los ejercicios basadas en ella 
y se incluye también en el Anexo II el código de una macro para la hoja de 
cálculo excel que elabora cuadros de amortización por el sistema francés y 
calcula el TAE. 
Y para terminar la presentación, unas palabras de agradecimiento a 
quienes han hecho posible que este proyecto llegue a su término. En primer 
lugar a mi amigo y compañero Javier Santibáñez que me animó a convertir 
mis apuntes en un libro y se ocupó de que el formato final fuese el correcto. 
También a Fernando Gómez-Bezares, director del Departamento de Finanzas 
de la facultad, por lo que me ha enseñado, por su paciente lectura de la 
primera versión y sus acertadas sugerencias. Por último a Leire Arana, 
compañera de fatigas en otro ámbito de mi actividad universitaria, por 
facilitarme el trabajo y ayudarme a sacar tiempo para escribir estas páginas. 
Gracias. 
 
 
Amaia Apraiz 
Universidad de Deusto 
Bilbao, verano de 2003
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1 INTRODUCCIÓN 
1.1 Conceptos Básicos 
A lo largo de los siguientes capítulos vamos a estudiar diferentes tipos 
de operaciones financieras consistentes todas ellas en calcular equivalencias 
entre capitales financieros o simplemente capitales. Un capital es una cantidad 
de dinero que vence (es decir, cuyo pago se hace exigible) en un momento 
determinado. Siguiendo a Meneu, Jordá y Barreira (1994), en toda operación 
financiera aparecen los siguientes conceptos: 
• Capitales que intervienen en la operación: Se denominan 
Prestación y Contraprestación. La operación se inicia con la prestación que 
está constituida por el capital o capitales que se entregan en primer lugar. 
Aunque los términos prestación y contraprestación pueden hacer pensar que 
estamos hablando de préstamos, en realidad se pueden aplicar también a otro 
tipo de operaciones como las de ahorro. En una operación de este tipo, el 
ahorrador realiza entregas periódicas de dinero, con lo que estaríamos ante 
una prestación formada por varios capitales, con el fin de constituir un ahorro, 
representado por una única cantidad, que sería la contraprestación. Un caso 
diferente sería el de la persona que entrega una única cantidad a una entidad 
financiera a cambio de una renta vitalicia. En este caso la prestación la 
constituye un único capital y la contraprestación un número indeterminado de 
ellos. En cualquier caso, prestación y contraprestación han de ser cantidades 
financieramente equivalentes. 
• Partes que intervienenen la operación: Se suele hablar de 
Prestamista y Prestatario. El prestamista, por analogía con lo expuesto en el 
punto anterior, sería el que inicia la operación entregando el primer capital y 
asumiendo por tanto el papel de acreedor. El prestatario sería el que recibe el 
primer capital e inicia la operación en posición deudora. Aunque en el 
apartado anterior hemos dicho que la aplicación de los conceptos de 
prestación y contraprestación se puede extender a diferentes tipos de 
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10 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
operaciones, lo cierto es que en la práctica sólo se habla de prestamista y 
prestatario en operaciones de préstamos. 
• Vida de la Operación: Es el tiempo que transcurre entre el 
momento en que vence, es decir el momento en que es exigible el pago, del 
primer capital y el momento en que vence el último. 
• Criterio Financiero de Valoración: El criterio financiero de 
valoración es una ley financiera que permite calcular las equivalencias entre 
los capitales que intervienen en la operación. En definitiva, una ley financiera 
no es otra cosa que la fórmula que permite calcular qué cantidad (o 
cantidades) con un vencimiento dado, es (o son) equivalente (o equivalentes) 
a otra (u otras) cantidad (o cantidades) con vencimiento anterior o posterior. 
Al decir cantidades, nos estamos refiriendo a Capitales Financieros, o 
simplemente capitales. 
1.2 Equivalencia Financiera 
El concepto de equivalencia financiera es la base sobre la que se 
establece el intercambio entre los capitales que intervienen en la operación y 
en definitiva es la materialización del acuerdo a que llegan las partes. Es 
decir, estas partes están de acuerdo en que el préstamo de 10.000 € recibido 
hoy es financieramente equivalente a la entrega de 10.500 € dentro de un año, 
según una determinada Ley Financiera aplicada a un determinado tipo de 
interés. La Ley Financiera, que no es otra cosa que la fórmula a aplicar, no 
cambia con el tiempo, sin embargo dado que los tipos de interés varían según 
el estado de la economía, una misma prestación puede dar lugar a diferentes 
contraprestaciones, según el momento y el lugar. En definitiva, siempre se 
puede afirmar que: 
En toda operación financiera, ha de verificarse la equivalencia 
entre los capitales que constituyen la prestación y los capitales de la 
contraprestación, en base a una Ley Financiera. 
1.3 El Valor del Dinero en el Tiempo 
El hecho de que el dinero tiene un valor en el tiempo parece fuera de 
toda duda. Tal y como explica Gómez-Bezares (1999) incluso en un 
hipotético mundo en que no existieran bancos y el único destino del dinero 
fuera guardarlo o gastarlo (o invertirlo en algún negocio, para los más 
 
 12 de 224
 CONCEPTOS BÁSICOS 11 
emprendedores) cualquier persona preferiría disponer de su dinero antes que 
después. Es evidente que, aún en ausencia de intereses, disponer de 1.000 
euros hoy ofrece mayores posibilidades que disponer de esos mismos 1.000 
euros dentro de un año. De hecho esta última alternativa no es más que una de 
las muchas posibilidades que ofrece tener el dinero hoy. Bastaría con 
guardarlo en un cajón y esperar un año. Pero si se cambia de opinión o se 
presenta una oportunidad imprevista, siempre se le puede dar un destino más 
interesante, posibilidad inalcanzable en el caso de optar por disponer del 
dinero dentro de un año. 
Hoy en día el dinero es una mercancía cuyo precio, como el de 
cualquier otra, dependerá de la oferta y de la demanda. Cuando el dinero es 
muy demandado quiere decir que estamos en una situación de escasez y como 
consecuencia su precio, el tipo de interés, será alto y se empleará solo en 
proyectos muy rentables, en caso contrario, si la oferta es alta quiere decir que 
hay abundancia de dinero en el mercado y su precio bajará pudiendo 
emplearse en proyectos menos interesantes. 
Hay ocasiones sin embargo, tal y como apunta también Gómez-
Bezares (1999) de estancamiento de la economía y al mismo tiempo de altos 
tipos de interés. En estos casos, cuya explicación escapa del alcance de estas 
páginas, aparece un nuevo factor que afecta al nivel general de precios, 
incluido el precio del dinero, y que no es otro que la inflación. Cuando esto 
ocurre se habla de tipo de interés nominal, el que efectivamente se paga, y 
real, que es el nominal menos la inflación. Puede ocurrir que el tipo nominal 
sea elevado pero, al restarle la inflación nos encontremos con tipos cercanos a 
cero. Esto significaría que el interés únicamente ha servido al inversor para 
cubrirse de las pérdidas de valor adquisitivo ocasionadas por la inflación. 
 
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2 TIPOS DE INTERÉS Y 
LEYES FINANCIERAS 
2.1 Introducción 
Existen diferentes acepciones en relación a los tipos de interés que 
determinan la Ley Financiera a utilizar. Es el caso de los conceptos de interés 
simple e interés compuesto que, dependiendo del tipo de operación de que se 
trate, implican el empleo de las Leyes Financieras Simples y Compuestas. 
Comenzaremos estudiando la diferencia entre ambos tipos de interés y 
continuaremos con la explicación de otras acepciones como la diferencia entre 
tipo de interés efectivo y nominal y el concepto de TAE o Tasa Anual 
Equivalente. 
2.2 Ley financiera de capitalización simple 
La diferencia entre tipo de interés simple y compuesto no es 
conceptual, sino que depende de que los rendimientos obtenidos por el capital 
se reinviertan o no a la misma tasa. Será más fácil comprenderlo con un 
ejemplo. 
Supongamos que disponemos de 1.000 € que colocamos en una 
cuenta al 3% anual. Al final del primer año dispondremos de: 
1.000·1,03=1.030 
cantidad que incluye el capital invertido más los intereses que se han 
producido en el año. En este momento, el inversor puede decidir si retira 
dichos intereses o si, por el contrario, opta por dejarlos en la misma cuenta de 
manera que durante el segundo año no sólo los primeros 1.000 sino también 
los 30 € produzcan nuevos intereses. 
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14 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
Esta decisión corresponde en exclusiva al inversor quien, en el 
momento de concertar la operación con su banco indicará dónde quiere que se 
le abonen los intereses, si en esa misma cuenta o en su cuenta corriente, la 
cual probablemente le proporcione muy baja o ninguna rentabilidad. En 
ocasiones, el propio tipo de operación implica una determinada opción. Es el 
caso de los planes de pensiones, EPSV y otras operaciones de ahorro de 
similares características en las que el inversor se compromete a realizar 
entregas de cantidades periódicas y/o entregas esporádicas extraordinarias y 
no puede disponer del dinero hasta que haya transcurrido un determinado 
plazo de tiempo. 
Pues bien, si el inversor decide que va a retirar los intereses a medida 
que se vayan produciendo, de manera que durante el período que dure la 
operación siempre reciba la misma cantidad por este concepto, estaremos ante 
el caso de tipo de interés simple: sólo el capital inicial produce intereses 
durante toda la vida de la operación. Siguiendo con el ejemplo, nuestro 
inversor retirará los 30 € y dejará los 1.000 € en la cuenta, con lo que al final 
del 2º año volverá a encontrarse con el mismo saldo: 
1.000·1,03=1.030 € 
de nuevo, retirará los 30 € y dejará los 1.000 € en la cuenta, repitiéndose el 
proceso, supongamos, durante 5 años. Al final de este plazo, ¿cuál ha sido la 
cantidad total que ha obtenido el inversor en la operación? Por un lado 
recuperará el capital invertido y por otro lado se han producido unos intereses 
de 30 € cada año que representan un total de 
30·5=150 € 
representando toda la operación la suma de ambas cantidades, es decir 
1.150 €. 
En general, si llamamos C al capital invertido, I a la cuantía de 
intereses, i al tipo de interés y n al tiempo, los intereses en una operación de 
estas características se obtienen aplicando la fórmula: 
 (2.1) I C i n= ⋅ ⋅
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS15 
En el caso de nuestro ejemplo: 
C =1.000 
i =3% (0,03 en tanto por uno) 
n =1, 2, …, 5 
para n =1: C·i·n = 1.000·0,03·1= 30 
para n =2: C·i·n = 1.000·0,03·2= 60 
para n =5: C·i·n = 1.000·0,03·5= 150 
La cantidad total conseguida será la suma del principal (cantidad 
invertida) y los intereses calculados según la fórmula anterior. Este es el 
concepto de interés simple. Debe quedar claro en todo caso, que 
transcurridos los cinco años el inversor ha podido disponer de los intereses 
anualmente y es posible que no los tenga ya en su poder por haberlos gastado 
o bien todo lo contrario, ha podido guardarlos y acumularlos en otra cuenta. 
El esquema sería el siguiente: 
 
 C C+Ci= =C(1+i) 
C+Ci+Ci=
=C(1+2i) 
C+Ci+Ci+Ci= 
=C(1+3i) 
C+Ci+..+Ci= 
=C(1+ni) 
n 2 3 0 1 n-1 
 
A dicha cantidad se le suele llamar Capital Final, Valor Final, 
Montante Final o simplemente Capital en el momento n, y la fórmula para 
calcularlo sería: 
 ( )0 1nC C n i= ⋅ + ⋅ (2.2) 
La expresión anterior nos da el capital final o capital en el momento n 
en que se convierte la cantidad inicial aplicando un tipo de Interés Simple 
Anual de i. Ambas cantidades serán financieramente equivalentes en base a la 
Ley Financiera de Capitalización Simple al tipo i. Aplicando la fórmula 
(2.2) a nuestro ejemplo: 
C5 =1.000·(1+5·0,03)=1.150 
 
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16 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
2.3 Ley financiera de capitalización 
compuesta 
Sin embargo, puede ocurrir que al final del primer año, el inversor 
decida no recoger los intereses. Puede que lo hubiera decidido ya en el 
momento de concertar la operación indicando en su banco que le ingresaran 
éstos en la misma cuenta. En ese caso, al final del 2º año el saldo de su cuenta 
sería: 
1.030·1,03=1.060,9 
lo que representa un total de 60,9 € obtenidos en concepto de intereses durante 
los dos años en que ha estado viva la operación, más los 1.000 € de capital 
invertidos inicialmente. Observe que en el caso del interés simple la cantidad 
obtenida en concepto de intereses al final del 2º año era de 60 €. La diferencia 
se explica fácilmente porque los primeros 30 € de intereses han generado 
nuevos intereses durante el 2º año. Es decir: 
30·0,03=0,9 
Si se repite el proceso durante el tercer año, al final el resultado será: 
1.060,9·1,03=1.092,727 
Observe también cómo en el caso del interés simple, el saldo de la 
cuenta era siempre el mismo, ya que únicamente el capital inicial generaba 
intereses anualmente, siendo éstos retirados en el momento de percibirse. En 
este caso se han obtenido 92,727 € en concepto de intereses que se suman a 
los 1.000 € de capital invertido. Durante todo este proceso el inversor no ha 
podido disfrutar anualmente sus intereses que aparecerán siempre sumados en 
el saldo final de su cuenta. Al final del 5º año, el saldo de su cuenta será: 
1.000·1,03·1,03·1,03·1,03·1,03=1.159,27 € 
Empleando el mismo procedimiento que seguimos para el caso del 
interés simple, podemos obtener la fórmula de Valor Final de un capital 
inicial C invertido de esta manera durante n años a un tipo de interés 
compuesto anual i del 3%, de la siguiente manera: 
C =1.000 
i =3% (0,03 en tanto por uno) 
n =1, 2, …, 5 
 
 18 de 224
 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 17 
para n =1: 1.000+1.000·0,03=1.000·(1+0,03)=1.030 
para n =2: 1.030·(1,03)=1.000·(1,03)·(1,03) = 1.000·(1,03)2 
para n =5: 10.000·(1,03)·(1,03)· … ·(1,03)=10.000·(1,03)
5 
 
Año Cant. Inicial 
(C0) 
·(1+i)= Cant. Final 
(Cn) 
1 1.000 1,03 1.030,00
2 1.030 1,03 1.060,90
3 1.060,90 1,03 1.092,72
4 1.092,72 1,03 1.125,51
5 1.125,51 1,03 1.159,27
Tabla-2.1- 
En general, un capital C invertido en las citadas condiciones a un tipo 
de interés compuesto anual igual a i durante un período de n años, producirá 
al final: 
 
 
 
 C 
 
C+Ci= 
=C(1+i) 
C(1+i)(1+i)= 
=C(1+i)2 
C(1+i)n-1(1+i)= 
=C(1+i)n 
n 2 3 0 1 
C(1+i)2(1+i)= 
=C(1+i)3 
n-1
con lo que llegamos a la siguiente fórmula de Valor, Capital o Montante 
Final: 
 ( )0 1
n
nC C i= ⋅ + (2.3) 
Las cantidades Cn y C0 son financieramente equivalentes según la Ley 
financiera de capitalización compuesta al tipo de interés compuesto i. 
Según (2.3): 
C5=1.000·(1+0,03)5=1.159,27 
 
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18 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
También pueden utilizarse las tablas financieras que aparecen en el 
Anexo I, aunque hoy en día se han visto relegadas en su uso debido al empleo 
generalizado de ordenadores y calculadoras. Las tablas proporcionan valores 
finales de 1 unidad monetaria a distintos tipos de interés y para diferente 
número de años. En nuestro ejemplo, el valor final de 1 € al 3% en 5 años que 
da la tabla es 1,1593 que, multiplicado por las 1.000 iniciales producen el 
mismo resultado, salvo diferencias debidas a redondeos, ya que en las tablas 
del anexo sólo se han incluido cuatro decimales. Los cálculos mediante 
calculadora u ordenador dan siempre resultados más precisos. 
2.4 Representación Gráfica 
La Representación Gráfica de la evolución de los capitales según las 
leyes financieras simple y compuesta a lo largo del tiempo, toma 
respectivamente las formas de función lineal y exponencial como se aprecia 
en la figura –2.1-. 
 
 
 
 
 
 
 
n 
C 
C(1+ni) 
C(1+i)n 
1 
 Figura-2.1- 
Como se puede observar, para períodos inferiores al año, la evolución 
del capital según La Ley Financiera de Capitalización Simple, al tratarse de 
una función lineal, discurre por encima de la correspondiente al interés 
compuesto, que se trata de una función exponencial. Para n=1 coinciden y a 
partir de ahí los valores alcanzados utilizando la Ley Financiera de 
Capitalización Compuesta superan los obtenidos mediante la Ley Financiera 
de Capitalización Simple. 
 
 20 de 224
 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 19 
A continuación en la tabla –2.2-, se puede observar la evolución de 
las cantidades finales con una y otra Ley Financiera, tanto para períodos 
inferiores como superiores al año. Veamos la evolución de los valores para 
C0=1.000 e i=3%: 
 
Periodo n Cn (I. Simp.)
Cn=C0·(1+ni)
Cn (I. Comp.)
Cn=C0·(1+i)n 
Interés 
Simple 
Interés 
Comp. 
1 mes 0,08333 1.002,50 1.002,47 2,50 2,47 
2 meses 0,16667 1.005,00 1.004,94 5,00 4,94 
3 meses 0,25 1.007,50 1.007,42 7,50 7,42 
4 meses 0,3333 1.010,00 1.009,90 10,00 9,90 
6 meses 0,5 1.015,00 1.014,89 15,00 14,89 
8 meses 0,66667 1.020,00 1.019,90 20,00 19,90 
1 año 1 1.030,00 1.030,00 30,00 30,00 
2 años 2 1.060,00 1.060,90 60,00 60,90 
3 años 3 1.090,00 1.092,73 90,00 92,73 
4 años 4 1.120,00 1.125,51 120,00 125,51 
5 años 5 1.150,00 1.159,27 150,00 159,27 
Tabla-2.2- 
Como conclusión a lo estudiado hasta este momento, podemos decir 
que es el inversor quien decide si se queda con el interés simple o lo convierte 
en compuesto. En el primer caso retirará los importes correspondientes y no 
los reinvertirá, bien porque los gasta o porque los guarda, y en el segundo 
caso los mantendrá a la misma tasa. La decisión dependerá, 
fundamentalmente, de sus necesidades y compromisos de pago. 
Las Leyes Financieras de Capitalización Simple y Compuesta 
permiten calcular cual es el capital, expresado en unidades monetarias de un 
momento futuro, financieramente equivalente a otro capital cuyo vencimiento 
es anterior en el tiempo. A esa cantidad expresada en unidades monetarias de 
un momento futuro se le denomina Valor Final, Capital Final o Montante 
Final. Con la realización de este cálculo podemos responder a preguntas del 
tipo: ¿cuánto tendrá que devolver dentro de dos años una persona por un 
préstamo de 1.000 € si el tipo de interés en el mercado para este tipo de 
operaciones es del 6%? O bien ¿cuál será la cantidad disponible dentro de tres 
años si deposito en el banco 1.000 € en una cuenta al 5%? 
 
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20 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
2.5 Leyes Financieras de Descuento 
Una vez estudiadas las nociones relativas a los tipos de interés y las 
Leyes Financieras de Capitalización, vamos a estudiarlas Leyes Financieras 
de Descuento. Una ley financiera de descuento permite realizar la operación 
contraria a la de capitalización. Es decir, permite convertir un capital que tiene 
su vencimiento en un momento futuro, en otro capital equivalente expresado 
en unidades monetarias de un momento anterior. Esta nueva cantidad recibe el 
nombre de Valor Actual o Valor Descontado y con su cálculo se responde a 
preguntas del tipo: ¿cuánto debería pagar hoy para cancelar de forma 
adelantada un préstamo que vencía dentro de dos años, si hoy en día los 
intereses en el mercado son del 6%?, o bien ¿cuánto podría recibir hoy por 
una letra que vence dentro de un año si el tipo de descuento que aplica el 
banco es del 7%? 
El Valor Actual de una cantidad es, como sabemos, otra cantidad 
financieramente equivalente a la primera pero expresada en unidades 
monetarias de un momento anterior. El cálculo de ese valor financieramente 
equivalente se puede realizar en base a una ley financiera simple o compuesta. 
Si calcular el Valor Final se denomina Capitalizar, calcular el Valor Actual, se 
denomina Actualizar o Descontar. Partiendo de la fórmula (2.3), si 
despejamos C0 tenemos que: 
 
( )0 1
n
n
CC
i
=
+
 (2.4) 
Esta fórmula se denomina Ley Financiera de Descuento 
Compuesto. Observe en la siguiente tabla el resultado de calcular el Valor 
Actual de una cantidad (1.159 €) a diferentes tipos: 
 
Tipo C5 C0= ( )
5
51
c
i+
 
1% 1.159,274074 1.103,009504
2% 1.159,274074 1.049,990246
3% 1.159,274074 1.000
4% 1.159,274074 952,8387858
5% 1.159,274074 908,3215713
6% 1.159,274074 866,2770266
Tabla-2.3- 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 21 
Si actualizamos al momento actual, o momento 0 los 1.159,27 € que 
obtendremos al cabo de 5 años considerando el mismo tipo de interés, es 
decir, el 3%, llegaremos, como era de esperar, al resultado de 1.000 €, del que 
habíamos partido. Es decir, supuesto este rendimiento, serían indiferentes las 
cantidades de 1.000 € hoy o 1.159,27 € dentro de 5 años, aplicando el 3% de 
interés compuesto. La tabla –2.3- evidencia que cuanto mayor sea el tipo de 
interés, menor será el valor actual equivalente al mismo valor final. 
La utilidad de los valores actuales consiste en que, supuesto que 
existe un coste del dinero, podemos comparar valores de diferentes años 
actualizando todos al momento cero. Se observa cómo a medida que aumenta 
el tipo (valor del dinero) la cantidad equivalente en unidades monetarias del 
momento cero disminuye. Esto significa que si hubiésemos contraído una 
deuda a pagar dentro de cinco años por importe de 1.159,27 € y quisiéramos 
cancelarla anticipadamente hoy, nos interesaría negociar con nuestro acreedor 
un tipo de interés lo más alto posible, ya que eso nos permitiría finalizar la 
operación pagando hoy una menor cantidad. Esto sería posible siempre que el 
acreedor pudiera obtener ese tipo en el mercado. Utilizando las tablas 
financieras del Anexo I llegaríamos al mismo resultado, salvo redondeos de la 
tabla. Por ejemplo para el 3%, tomando el valor que da la tabla para 1 € a 5 
años y multiplicándolo por 1.159,27: 
0,86260·1.159,27=999,98 € 
Estas mismas operaciones se pueden realizar considerando tipos de 
interés simples, con lo que llegaremos a la definición de las Leyes 
Financieras de Descuento Simple, empleadas normalmente en operaciones a 
corto plazo, es decir para plazos inferiores al año, sobre todo, en operaciones 
de descuento de efectos. 
Ya conocemos la fórmula (2.2) de Valor Final (Cn) de una cantidad 
C0 a interés simple i durante n períodos, que define la Ley de Capitalización 
Simple: 
 ( )0 1nC C n i= ⋅ + ⋅ 
Pues bien, si utilizamos la misma nomenclatura y escribimos la 
siguiente expresión: 
 ( )0 1nC C n d= ⋅ − ⋅ (2.5) 
tendremos la Ley de Descuento Simple Comercial. Esta ley, así definida, 
que no se obtiene directamente de la fórmula de capitalización simple, se 
 
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22 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
suele emplear en las operaciones de descuento de efectos, es decir, de letras 
de cambio. Como se observa en la expresión (2.5), el tipo utilizado en estas 
operaciones se representa por d y se suele denominar tipo de descuento. 
Por otro lado, si despejamos directamente de la fórmula (2.2) de 
capitalización simple, la expresión obtenida será: 
 
( )0 1
nCC
n i
=
+ ⋅
 (2.6) 
que denominaremos Ley de Descuento Simple Racional. En este caso el tipo 
aplicable se denomina tipo de interés y se representa por la i. Esta ley se 
emplea también en operaciones a corto plazo. Se presenta a continuación la 
tabla-2.4- en la que se comparan los valores actuales de una misma cantidad, 
1.000 €, según las diferentes leyes de descuento aplicadas. 
 
Período n m i (d) Cn C0 
(comp.) 
C0 
(s.r.) 
C0 
(s.c.) 
1 mes 0,083333 12 3% 1.000 997,5397 997,5062 997,5 
2 mese 0,166667 6 3% 1.000 995,0856 995,0248 995 
3 meses 0,25 4 3% 1.000 992,6375 992,5558 992,5 
4 meses 0,333333 3 3% 1.000 990,1954 990,0990 990 
6 meses 0,5 2 3% 1.000 985,3292 985,2216 985 
8 meses 0,666667 1,5 3% 1.000 980,4870 980,3921 980 
1 año 1 1 3% 1.000 970,8737 970,8737 970 
2 años 2 0,5 3% 1.000 942,5959 943,3962 940 
3 años 3 0,33333 3% 1.000 915,1416 917,4311 910 
4 años 4 0,25 3% 1.000 888,4870 892,8571 880 
5 años 5 0,2 3% 1.000 862,6087 869,5652 850 
Tabla-2.4- 
Deteniéndonos de nuevo en las dos leyes de descuento simple, simple 
racional (s.r.) y simple comercial (s.c.) podemos decir que un tanto de 
descuento d se considera equivalente a un tanto de interés i, cuando aplicado a 
un capital de cuantía C durante n períodos, el efectivo obtenido es el mismo 
para ambas leyes. En este sentido algunos autores consideran que la ley de 
descuento simple comercial tiene carácter abusivo, veamos porqué. 
Ya hemos dicho que ambas leyes se emplean fundamentalmente en 
operaciones a corto plazo y, más concretamente, en descuento de efectos o 
 
 24 de 224
 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 23 
letras de cambio. Estudiaremos a continuación qué es y como se emplea una 
letra de cambio. 
2.6 La Letra de Cambio 
La letra de cambio es un documento mercantil por el que una persona, 
librador, ordena a otra, librado, el pago de una determinada cantidad de 
dinero, en una fecha determinada, denominada fecha de vencimiento. 
La letra se debe expedir en impreso oficial emitido por el Estado, y su 
timbre estará en proporción al importe la misma. La insuficiencia del timbre 
de la letra puede conllevar dificultades para emprender acciones contra el 
deudor en el caso de que ésta sea impagada. Con la compra del impreso 
estamos abonando el Impuesto de Transmisiones Patrimoniales y Actos 
Jurídicos Documentados. 
El librador puede conservar el documento hasta la fecha de 
vencimiento o bien transmitirlo a un tercero mediante la fórmula del endoso. 
Llegado el momento, el librado hará efectivo el pago de la letra bien al 
librador o bien a ese tercero llamado beneficiario, tomador o tenedor, a quien 
el librador ha transmitido o endosado la letra de cambio. En una operación de 
este tipo intervienen las siguientes personas: 
El librador: Es el acreedor y quien emite (libra) la letra de cambio 
para que el deudor o librado la acepte y se haga cargo del pago del importe de 
la misma en el momento de su vencimiento. 
El librado: Es el deudor, quien debe pagar la letra de cambio cuando 
llegue la fecha indicada o de vencimiento. El librado puede aceptar o no la 
orden de pago dada por el librador y en caso de que la acepte, quedará 
obligado a efectuarlo. 
El tomador, portador, tenedor o beneficiario: Es la persona que 
tiene en su poder la letra de cambio y a quien se le debe pagar. Como ya se ha 
dicho, puede tratarse del librador (primer acreedor) o de un tercero a quién le 
haya sido posteriormente transmitida. 
También pueden intervenir las siguientes personas: 
El endosante: Es un tenedor que endosa o transmite la letra a un 
tercero. 
 
 25 de 224
24 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERAEl endosatario: Es aquel en cuyo favor se endosa la letra 
convirtiéndose en tomador, beneficiario. 
El avalista: Es la persona que garantiza el pago de la letra. 
2.6.1 Aceptación de la Letra de Cambio 
Es la declaración del librado o deudor, incluida en la propia letra, por 
la que asume la obligación de pagar la cantidad establecida a quien la tenga en 
su poder cuando llegue su vencimiento. Con esta declaración el librado se 
convierte en aceptante, esto es, en el obligado principal y directo. 
Sin la aceptación, el librado no estará obligado al pago de la letra de 
cambio, independientemente de las acciones que pueden ejercitarse en su 
contra por la negativa a aceptar. En este caso, el beneficiario de la letra de 
cambio o tenedor podrá dirigirse contra el librador para reclamar su pago. 
La aceptación se realiza mediante la firma de la letra de cambio por 
parte del librado y puede realizarse por la totalidad o parte de la cantidad 
consignada en la letra. La aceptación no puede estar sujeta a ninguna 
condición. 
2.6.2 Endoso de la Letra de Cambio 
Es la declaración contenida en la letra por la que el librador transmite 
a otra persona o endosatario, los derechos de cobro derivados de la letra de 
cambio. El endosatario por tanto se convierte en el tenedor, tomador o 
portador de la misma con los mismos derechos que tenía el librador. 
La letra podrá transmitirse por endoso tantas veces como sea 
necesario. En cada transmisión el endosatario, actual tenedor, se convertirá en 
endosante frente al nuevo endosatario y garantizará la aceptación y el pago de 
la letra de cambio frente a los que la vayan adquiriendo con posterioridad. Su 
firma será imprescindible para que el endoso sea efectivo. Se pueden realizar 
endosos al portador, sin indicar el nombre del nuevo endosatario o tomador. 
2.6.3 Protesto de la Letra de Cambio 
Es un acto notarial que sirve para acreditar que se ha producido la 
falta de aceptación o de pago de la letra de cambio. El protesto notarial puede 
ser sustituido por una declaración firmada por el librado en la que conste su 
negativa a aceptar o pagar la letra. 
 
 26 de 224
 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 25 
En el protesto, el Notario levantará acta en la que se reproducirá la 
letra de cambio comunicando al librado que la letra ha sido protestada. 
El librado dispondrá de 2 días hábiles para pagar la letra ante el 
Notario, en cuyo caso le será entregada, o para formular las alegaciones que 
estime convenientes. 
Transcurrido el plazo sin que se haya pagado la letra, el Notario 
devolverá al tenedor la letra y el acta de protesto, con las manifestaciones del 
librado, en el caso de que las haya realizado, para que ejercite las acciones 
legales oportunas contra el librado. 
2.6.4 Requisitos de la Letra de Cambio 
- Denominación de “Letra de Cambio” en el mismo texto del 
documento y expresado en el mismo idioma empleado en la redacción del 
documento. 
- Orden de pagar una suma determinada, que no puede estar sujeta a 
ninguna condición. Si la cantidad reflejada en letra no coincide con la 
expresada en números, la indicada en letras prevalecerá sobre la indicada en 
cifras. 
- Nombre, apellido y dirección del librado. 
- Fecha de vencimiento. Si no está indicado, se entenderá que la letra 
de cambio es “a la vista”, esto es, a su presentación. 
- Lugar donde el pago debe efectuarse. Si no se indica, deberá 
realizarse en el domicilio del librado. 
- Nombre y apellidos de la persona a quien debe hacerse el pago o a 
cuya orden debe realizarse, beneficiario o tomador. 
- Lugar y fecha en la que se emitió la letra. 
- La firma del que gira o emite la letra. 
2.6.5 El juicio cambiario 
La actuación contra el deudor de una letra de cambio se inicia 
presentando demanda ante el Juzgado de Primera Instancia del domicilio del 
obligado al pago que debe ir firmada por abogado y procurador. 
 
 27 de 224
26 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
En ella se harán constar de forma resumida los hechos que motivan la 
reclamación y, en todo caso, debe acompañarse la letra de cambio cuyo pago 
se pretende. En la demanda podrá solicitarse que se proceda al embargo 
preventivo de los bienes del deudor. 
Sin más trámites, el juez requerirá al deudor para que realice el pago 
en el plazo de 10 días y, en su caso, podrá ordenar el embargo preventivo de 
los bienes del deudor en cantidad suficiente para cubrir el importe de la deuda 
así como la cantidad que se estima que se generará en concepto de intereses 
de demora, gastos y costas si el deudor no paga. 
Por su parte, el deudor podrá pagar la cantidad reclamada, en cuyo 
caso se hará también cargo las costas causadas en el procedimiento o bien 
oponerse al requerimiento en el plazo de 5 días desde su recepción. En estos 
casos el deudor sólo podrá argumentar que la firma que aparece en la letra no 
es auténtica, o bien, en el caso de haber sido firmada por representante legal, 
la falta de representación de éste. En estos supuestos el juez podrá alzar los 
embargos preventivos exigiendo, en su caso, aval bancario. 
2.6.6 Descuento de la Letra de Cambio 
La operación de descuento de una letra consiste en adelantar el cobro 
de una deuda a nuestro favor, formalizada en una letra de cambio. Este 
adelanto en el cobro se consigue acudiendo a una entidad financiera que nos 
dará el dinero que resulte de aplicar la correspondiente fórmula de descuento 
y se quedará con el documento para su cobro en el momento del vencimiento. 
En realidad la operación de descuento puede considerarse como un 
préstamo con la garantía de cobro representada por el título, por la letra de 
cambio. Este préstamo tendrá por otro lado, un coste para el titular. El coste 
de la operación lo mediremos como diferencia entre lo que cobra hoy y lo que 
cobraría en el momento del vencimiento, es decir Cn–C0. Aunque en principio 
no sería correcto restar cantidades correspondientes a distintos momentos, 
podemos aceptar este cálculo teniendo en cuenta que se trata de cantidades 
que vencen dentro de un mismo año, ya que como hemos dicho, estas leyes 
financieras se aplican en operaciones a corto plazo, es decir, con vencimiento 
inferior a un año. 
Dicho lo anterior, procederemos a calcular los valores obtenidos para 
C0 según las dos leyes de descuento estudiadas y definidas por (2.5) y (2.6). 
Así, según (2.5) tenemos que: 
( )0 1nC C n d= ⋅ − ⋅
 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 27 
Si calculamos la diferencia entre Cn y C0 obtendremos: 
Cn – C0 = Cn - Cn·(1-n·d) = Cn·n·d 
Si aplicamos ahora la fórmula (2.6) de la que, para simplificar las 
operaciones, despejamos Cn llegaremos al siguiente cálculo de la diferencia 
entre Cn y C0: 
Cn – C0 = C0·(1+n·i) -C0 = C0·n·i 
Resulta evidente cómo en el caso de aplicarse la fórmula de descuento 
simple comercial (2.5) el coste de la operación, calculado como diferencia 
entre Cn y C0, viene dado por la expresión Cn·n·d, lo que significa que el tipo, 
en este caso denominado tipo de descuento (d), se aplica por el plazo 
correspondiente (n) sobre el importe del capital final (Cn). En el segundo caso, 
aplicando la fórmula de descuento simple racional (2.6), el coste de la 
operación resulta ser C0·n·i. Esto quiere decir que aquí el coste se calcula 
aplicando el denominado tipo de interés (i), por el plazo correspondiente (n) y 
por el importe del capital inicial (C0). 
La razón por la que la primera de las leyes, que denominamos ley de 
descuento simple comercial, y que se expresa mediante la fórmula (2.5), es 
considerada abusiva resulta ahora evidente: si entendemos que la operación de 
descuento es, en realidad, una operación de préstamo con garantía, en el caso 
de aplicar el descuento simple comercial estaríamos pagando intereses por un 
dinero que nunca hemos recibido, dicho de otra manera es como un préstamo 
en el que se pagan intereses, no por lo que se nos presta, por lo que recibimos 
hoy, sino por la cantidad que devolvemos. Conceptualmentepor tanto, parece 
que la fórmula de descuento simple racional es más justa y desde luego, 
siendo el tipo a aplicar el mismo en ambos casos, siempre pagaríamos más 
con el descuento simple comercial que con el descuento simple racional, ya 
que el capital final es siempre superior al capital inicial. Veamos un ejemplo: 
Supongamos que el poseedor de una letra de cambio de nominal 
1.000 € con vencimiento a 90 días decide descontarla hoy pues necesita 
liquidez. Acude a su banco habitual y éste le ofrece la posibilidad de hacer la 
operación aplicando un 6% de descuento. Al emplear el término descuento 
damos a entender que la fórmula a aplicar va a ser la de descuento simple 
comercial es decir, la (2.5). Por lo tanto la cantidad a percibir hoy en estas 
condiciones sería: 
 0
901.000 1 0,06 985 €
360
C  = ⋅ − ⋅ = 
 
 
 
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28 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
Pero si gozamos de cierta fuerza podemos intentar modificar las 
condiciones de la operación de manera que resulte un poco más ventajosa para 
nosotros. Si consiguiéramos mediante negociación que nuestro banquero nos 
aplicase la formula de descuento simple racional (2.6) entonces hoy 
obtendríamos: 
0
1.000 985,22 €
901 0,06
360
C = =
 + ⋅ 
 
 
¿Y cual será el tipo de interés (i) equivalente a ese 6% de descuento 
(d)? Veamos: 
90 1.0001.000 1 0,06
90360 1
360
90 901 0,06 1
360 360
900,985 1 1
360
901 1,01522
360
6,091%
i
i
i
i
i
 ⋅ − ⋅ =    
1
+ ⋅ 
 
   − ⋅ ⋅ + ⋅ =   
   
 ⋅ + ⋅ = 
 
 + ⋅ = 
 
=
 
Es decir, nos resultaría indiferente que se nos aplicase el descuento 
simple comercial al 6% o el racional al 6,091%. Al tratarse de tipos 
relativamente bajos y periodos de tiempo relativamente cortos, las diferencias 
no son muy apreciables. Podemos decir también que desde el punto de vista 
conceptual resultan más aceptables los supuestos implícitos en la fórmula del 
descuento simple racional pero ello no implica que sea siempre más 
interesante ésta última, ya que dependerá del tipo de interés y descuento 
utilizado en cada una ellas, pudiendo fácilmente calcularse sus equivalencia, 
como en el ejemplo anterior. Finalmente, lo que las cifras obtenidas en el 
ejemplo nos están diciendo es que si descontamos una letra de 1.000 € y se 
nos aplica un 6% de descuento, estamos en realidad pagando un 6,091% de 
interés sobre la cantidad obtenida hoy. Puede encontrar más información y 
ejemplos en Deyá (2001) y una buena colección de ejercicios resueltos en 
Sanz (2003). 
 
 30 de 224
 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 29 
2.7 Diferentes acepciones en relación a los 
intereses 
Cuando una persona dispone de determinada cantidad de dinero y 
decide colocarla en un banco para obtener un interés sin riesgo (descartando, 
por tanto, la bolsa), necesita conocer como mínimo dos datos para optar por el 
producto que más le conviene: el tipo de interés anual y la frecuencia de pago 
de dicho interés anual. Si el tipo de interés es, por ejemplo, el 5% y la 
frecuencia de pago es anual, significa que una vez al año va a percibir sus 
intereses (que retirará o no) con lo cual, si su inversión es de 1.000 € obtendrá 
a fin de año 50 €. En cambio, cuando el tipo de interés anunciado, que casi 
siempre es un tipo anual, no se paga anualmente sino que se percibe en 
períodos inferiores al año, surgen nuevos conceptos y hablaremos de Tipo de 
Interés Nominal Anual, Tipo de Interés Efectivo Anual y Tipo de Interés 
del Período de Capitalización (que se refiere al período de pago de los 
intereses: semestral, trimestral,...). Debemos tener siempre presente que 
estos términos tienen sentido únicamente en caso de pago de intereses 
fraccionado. 
El Interés Nominal Anual es el dato que efectivamente interesa al 
inversor pues indica la cantidad de dinero que obtendrá al año por el dinero 
invertido. Si dicha cantidad de dinero, en concepto de intereses, se percibe 
anualmente, el interés nominal anual y el efectivo anual coincidirán. 
Veámoslo con un ejemplo: 
Vamos a suponer dos alternativas de inversión: 
a) Una cuenta con un 4% de interés nominal pagadero anualmente 
b) Una cuenta con un 3,75% de interés nominal pagadero 
trimestralmente 
Si nos fijamos exclusivamente en el tipo, la primera opción aparecería 
como más interesante, sin embargo la segunda nos permite ir percibiendo los 
intereses con mayor antelación y ya estábamos de acuerdo en que el dinero 
tiene un valor en el tiempo. Como conclusión, diremos que los dos tipos no 
son directamente comparables. 
La opción a representa una operación de inversión al 4% con 
intereses pagaderos anualmente. Esto significa que en un año no se puede 
obtener más de un 4%. Si mi inversión es de 1.000 € a fin de año el saldo de 
la cuenta será exactamente 1.040 €. Ese dato del 4% es, por lo tanto, Nominal 
Anual, Efectivo Anual y Efectivo del Período de Capitalización, ya que el año 
 
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30 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
coincide con el período de Capitalización o frecuencia de pago de los 
intereses. 
La segunda opción, en cambio, anuncia una rentabilidad del 3,75% 
pagadera trimestralmente. Esta información se debe interpretar del siguiente 
modo: la cuenta ofrece un 3,75% Nominal, o lo que es lo mismo, paga 3,75 € 
por cada 100 € al año, pero en lugar de pagarlos de una sola vez los paga 
repartidos trimestralmente a lo largo del año de forma que cada trimestre el 
banco pagará por cada 100 €: 
0,0375 0,009375
4
=
 
o lo que es lo mismo un 0,9375% efectivo trimestral. Esto es lo que 
llamamos el tipo efectivo del período de capitalización. Pero ahora nos 
preguntamos ¿qué es más ventajoso un 4% anual o un 0,9375% trimestral? El 
sentido común parece indicarnos que la diferencia no es desde luego muy 
grande, pero en todo caso ¿a favor de cual de las dos opciones nos 
inclinaríamos? El hecho de que la opción b nos permita disponer de nuestros 
intereses con antelación nos ofrece también la posibilidad de sacarles una 
rentabilidad. La cuestión es ¿qué rendimiento anual, comparable con el 4% de 
la opción a, se puede obtener con esta segunda opción? 
Para responder a esta cuestión recurriremos a los conceptos de interés 
simple y compuesto, aplicados a un horizonte temporal de un año. 
Suponiendo una inversión de 100 € al 3,75% nominal capitalizable por 
trimestres, transcurridos los tres primeros meses cobraríamos 0,9375 €. Si ese 
dinero no lo tocamos, sino que lo dejamos en la misma cuenta, reinvertido por 
tanto a la misma tasa, transcurridos otros tres meses se generarían nuevos 
intereses, pero sobre 100,9375 € y, así sucesivamente hasta cumplirse el año. 
Por lo tanto el Tipo Efectivo Anual lo calcularemos aplicando el concepto de 
interés compuesto a una operación al 0,9375% de interés trimestral (0,009375 
en tanto por uno) que se repite 4 trimestres (es decir, un año completo). Por lo 
tanto: 
100·(1,009375)4 = 103,803064737 
lo que significa que podemos obtener como máximo un 3,80306% Efectivo 
Anual en el caso de escoger la segunda opción que es inferior al 4% de la 
primera. Escogeríamos por tanto la opción a, salvo que por necesidades 
financieras nos sea necesario disponer de esa cantidad trimestral para cumplir 
con nuestros compromisos de pago. 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 31 
Si la segunda opción ofreciese el mismo tipo nominal de 3,75%, pero 
con frecuencia bimestral, ¿cuál sería el efectivo anual equivalente? 
Procederemos del mismo modo. Un 3,75% nominal con pago bimestral 
significa que el banco paga 3,75 € por cada 100 € al año pero en lugar de 
hacerlo en una solo operación lo reparte a lo largo del año entregando cada 
dos meses: 
0,0375 0,00625
6
=
 
con lo que el 3,75% nominal anual con pago bimestral es lo mismo que un 
0,625% efectivo bimestral. El efectivo anual equivalente lo calculamos 
suponiendo reinversión durante el año. 
Por lo tanto: 
(1,00625)6 = 1,03809 
¿Qué nos dice esa cifra? Que 1 € al 0,625% bimestralcon reinversión 
durante el año a la misma tasa, se convierte en 1,03809 €. O lo que es lo 
mismo, el 3,75% nominal anual con pago bimestral se puede convertir en un 
3,809% efectivo anual. Este efectivo sigue siendo inferior al 4% de la primera 
opción y por tanto el análisis financiero nos recomendaría quedarnos con a. 
Nuevamente tomaríamos esta opción salvo que existieran restricciones ajenas 
a este análisis, como compromisos de pago ya adquiridos, que nos obligasen a 
optar por la b. 
En general, si llamamos Jm al tipo nominal anual de frecuencia m 
(siendo m el número de veces que el año contiene el período considerado), im 
al tipo efectivo del periodo, se cumplirán las siguientes equivalencias: 
 mm
Ji
m
= (2.7) 
 (1
m
mJ i
m
  )1+ = + 
 
 (2.8) 
o bien: ( ) (1 1mmi )i+ = + (2.9) 
donde: 
i Tipo Efectivo Anual equivalente 
 
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32 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
Jm Tipo Nominal Anual de frecuencia m 
m Número de veces que el año contiene al período 
im Tipo Efectivo del período 
Una vez establecidas las equivalencias y siguiendo con nuestro 
ejemplo podríamos llegar a considerar pago de interés instantáneo. Aunque 
esto no se dará nunca en la práctica tiene cierto interés su cálculo pues el 
efectivo anual equivalente a un determinado nominal con frecuencia 
instantánea será el máximo teórico alcanzable. 
Por tanto, en caso de interés continuo, m tenderá a infinito de tal 
manera que: 
( )lim 1 1 m
m
Jm
x
J i e
m→∞
 + = + = 
  
en nuestro caso: 
( )0,0375 1 1,038211997e i= + =
 
Ya vemos que, incluso en el hipotético caso de que se pagasen 
intereses de forma instantánea el efectivo anual nunca será superior al 3,82%, 
inferior al 4%. 
Veamos a continuación la tabla –2.5- en la que se relacionan los tipos 
efectivo y nominal para diferentes valores de m. 
Tipo Nominal 
(Jm) 
Frecuencia de 
Pago 
m Efectivo Período 
im=Jm/m 
Efectivo Anual 
i=((1+im)m)-1 
3% Mensual 12 0,25% 3,04160% 
3% Bimestral 6 0,50% 3,03775% 
3% Trimestral 4 0,75% 3,03392% 
3% Cuatrimestral 3 1,00% 3,03010% 
3% Semestral 2 1,50% 3,02250% 
3% Anual 1 3,00% 3,00000% 
Tabla-2.5- 
Resumiendo lo dicho hasta ahora, deben quedar claras las siguientes 
ideas: 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 33 
• Si el período de capitalización no coincide con el año, el tipo 
nominal anual puede convertirse en un tipo efectivo anual superior, 
considerando reinversión de intereses durante el año. 
• Partiendo del Tipo Efectivo del Período de Capitalización (im), el 
Tipo Nominal Anual será la suma de los m im. En realidad, bajo la 
denominación de Tipo Nominal (que siempre se expresa como tipo anual) se 
halla implícito el supuesto de interés simple dentro del año, es decir, no 
reinversión. 
• Partiendo del mismo Tipo Efectivo del Período de Capitalización 
(im), y suponiendo reinversión durante el año a la misma tasa, es decir interés 
compuesto durante el año, llegaríamos a calcular el Tipo Efectivo Anual. 
Queda por último referirse a un concepto en relación al tipo de 
interés, el T.A.E. o Tasa Anual Equivalente, que debe entenderse como el 
parámetro indicativo del coste o rendimiento de las operaciones financieras 
calculado según las normas que el Banco de España establece para las 
entidades de crédito. Tales normas aparecen en la Circular 8/1990, sobre 
transparencia en las operaciones y protección a la clientela, que reproduce, sin 
modificación sustancial al respecto, la 15/1987, en donde el concepto se 
formuló por primera vez. En los últimos años la norma ha sufrido algunas 
modificaciones. La circular nº3/1999 de 24 de marzo trata de precisar algunos 
aspectos en el proceso de sustitución de la peseta por el euro, teniendo en 
cuenta las recomendaciones de la comisión europea de 23 de abril de 1998 
sobre comisiones bancarias por la conversión a euros y sobre la doble 
indicación de precios y otros importes monetarios. La circular nº7/1999 de 29 
de junio tiene por objeto ajustar el cuadro de tipos oficiales de referencia para 
préstamos hipotecarios tras la introducción del euro, creando una nueva 
referencia interbancaria a un año ligada al comportamiento del índice euribor. 
La circular nº1/2000 de 28 de enero, ajusta la circular 8/1990 a lo establecido 
en la Orden Ministerial de 1 de diciembre de 1999 sobre la nueva forma de 
cálculo del índice de tipo de interés del mercado interbancario a un año 
(MIBOR) con efectos 1 de enero de 2000. Por último, la circular nº3/2001 de 
24 de septiembre pretende adaptar algunos aspectos de la norma para que la 
utilización de internet en la realización de operaciones bancarias no implique 
merma alguna en los sistemas de protección del consumidor, establecidos en 
la circular 8/1990. 
En todo momento es posible consultar la aparición de nuevas 
modificaciones a la circular 8/1990, acudiendo a la página web del Banco de 
España, www.bde.es, y una vez en ella entrando en el apartado de normativa 
donde aparecen las circulares. 
 
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www.bde.es
34 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
Según la Circular 8/1990, norma octava, sobre el coste y rendimiento 
efectivos de las operaciones, punto 2: “Los tipos de interés, costes o 
rendimientos se expresarán en tasas porcentuales anuales pagaderas a 
término vencido equivalentes”. Y en el punto 3: “La tasa porcentual 
equivalente es aquella que iguala en cualquier fecha el Valor Actual de los 
efectivos recibidos y entregados a lo largo de la operación, por todos los 
conceptos, incluido el saldo remanente a su término”. 
En definitiva, se trata de un tipo efectivo anual, pero que debe incluir 
en su cálculo aquellas otras características de la operación que afecten a su 
coste o rendimiento efectivo. Es claro el caso de costes de estudio o 
comisiones de apertura en los préstamos, sobre los que volveremos cuando 
estudiemos dichas operaciones. 
En relación a las operaciones de depósito bancario, la circular, en la 
misma norma octava punto 5, sobre el rendimiento efectivo de las operaciones 
pasivas dice: “El cálculo del rendimiento efectivo se referirá a los importe 
brutos liquidados, sin tener en cuenta, en su caso, las deducciones por 
impuestos a cargo del perceptor, ni las ventajas fiscales por desgravaciones 
que puedan beneficiarle. La entidad podrá añadir, si lo considera 
conveniente, los tipos netos que puedan resultar para el cliente, teniendo en 
cuenta esas circunstancias fiscales”. 
2.8 Conjugación y escindibilidad 
Una Ley Financiera de Capitalización y una Ley Financiera de 
Descuento se denominan conjugadas cuando aplicadas sucesivamente al 
mismo capital y por un mismo período de tiempo, dicho capital permanece 
invariable. Las Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Compuesto 
son conjugadas, lo mismo que la Ley Financiera de Capitalización Simple y la 
Ley Financiera de Descuento Simple Racional. No lo son, sin embargo, la Ley 
Financiera de Capitalización Simple y la Ley Financiera de Descuento Simple 
Comercial. Esta característica es, por tanto, aplicable a pares de leyes y no a 
una sola ley. Veámoslo con un ejemplo: 
Leyes Financieras de Capitalización y Descuento Compuesto: 
1.000·(1,05)3÷(1,05)3=1.000 
Leyes Financieras de Capitalización Simple y Descuento Simple 
Racional: 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 35 
1.000·(1+3·0,05)÷(1+3·0,05)=1.000 
Estos ejemplos resultan obvios, ya que las leyes de descuento se han 
obtenido despejando directamente de las de capitalización, pero se incluyen 
para que resulte más evidente, por comparación, el siguiente caso en que no se 
da la propiedad. 
Leyes Financieras de Capitalización Simple y Descuento Simple 
Comercial: 
1.000·(1+3·0,05)·(1-3·0,05)=977,5 
El resultado, 977,5 evidentemente no coincide con el capital inicial. 
Las Leyes no son, por lo tanto, conjugadas. 
Por otro lado se dirá que una Ley, sea de Capitalización o de 
Descuento, es escindible si produce el mismo resultado al aplicarse en una 
sola operación quehaciéndolo sucesivamente para períodos intermedios entre 
el inicial y el final. Son escindibles las Leyes Financieras de Capitalización y 
Descuento Compuesto y no lo son las Leyes Financieras de Capitalización y 
Descuento Simple, tanto comercial como racional. A continuación se incluyen 
unos ejemplos: 
Ley Financiera de Capitalización Compuesta: 
Aplicada en una sola operación: 
1.000·(1,05)3=1.157,625 
Aplicada sucesivamente: 
1.000·(1,05)·(1,05)2=1.157,625 
1.000·(1,05)·(1,05) )·(1,05)=1.157,625 
Ley Financiera de Descuento Compuesto: 
Aplicada en una sola operación: 
1.000÷(1,05)3= 863,837598531 
Aplicada sucesivamente: 
1.000÷(1,05)÷(1,05)2=863,837598531 
 
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36 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
1.000÷(1,05)÷(1,05)÷(1,05) =863,837598531 
Ley Financiera de Capitalización Simple: 
Aplicada en una sola operación: 
1.000·(1+3·0,05) =1150 
Aplicada sucesivamente: 
1.000·(1+0,05)·(1+2·0,05)= 1155 
1.000·(1+0,05)·(1+0,05)·(1+0,05)= 1.157,625 
Este último coincidiría con el de Capitalización Compuesta 
Ley Financiera de Descuento Simple Racional 
Aplicada en una sola operación: 
1.000÷(1+3·0,05) =869,565217391 
Aplicada sucesivamente: 
1.000÷(1+0,05)÷(1+2·0,05)= 865,800865801 
1.000÷(1+0,05)÷(1+0,05) )÷(1+0,05)= 863,837598531 
que coincide con el resultado obtenido para el caso de Descuento Compuesto. 
Ley Financiera de Descuento Simple Comercial 
Aplicada en una sola operación: 
1.000·(1-3·0,05) = 850 
Aplicada sucesivamente: 
1.000·(1-0,05)·(1-2·0,05)= 855 
1.000·(1-0,05)·(1-0,05)·(1-0,05)= 857,37 
 
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2.9 Ejercicios 
1.- Calcular los tipos nominales de frecuencia trimestral y semestral 
equivalentes al 8% efectivo anual. 
Utilizando la fórmula de equivalencia: 
1 +
Jm
m
 
 
  
 
 
m
= 1 + i( )
 
donde: 
m = 4 y 2 
i = 0,08 
tenemos que 
( )
( )
4
4
4
2
2
2
1 1,08 ; 7,
4
1 1,08 ; 7,85%
2
J J
J J
 + = = 
 
 + = = 
 
77%
 
2.- Calcular el tipo de interés bimestral equivalente al 7% de interés 
efectivo anual. 
En este caso nos están pidiendo un tipo de interés efectivo, no nominal 
como en el ejercicio anterior. Concretamente nos están pidiendo un tipo 
de interés efectivo del periodo de capitalización. 
La ecuación de equivalencia aplicable será, por tanto: 
1 + im( )
m
= 1 + i( )
 
donde: 
m = 6 
i = 0,07 
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38 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
y por lo tanto: 
( ) ( )66 61 1,07 ; 1,13%i i+ = =
 
3.- ¿Qué tipo de interés trimestral proporciona una cuenta de ahorro que 
paga el 6% nominal anual de frecuencia cuatro? 
Este ejercicio es aún más sencillo. Partimos de un tipo nominal de 
frecuencia 4 (J4). Sabemos que la relación entre un tipo nominal (Jm) y el 
efectivo equivalente de la fracción m del año (im), es una simple relación 
lineal, consecuencia del supuesto implícito de no reinversión que encierra 
el concepto de nominal. Por lo tanto: 
Jm = im ⋅ m
 
donde: 
J4 = 0,06 
m = 4 
y por tanto: 
4
4
0,06 1,5%
4 4
Ji = = =
 
4.- Los intereses generados por un producto financiero que paga un 
3,225% nominal anual de frecuencia 12 se retiran, obteniendo a fin de 
año 3.870 € ¿cuál fue la inversión inicial? 
0,03225 12 3.870
12
120.000 €
C
C
⋅ ⋅ =
= 
5.- Calcular el montante de un capital de 6.000 € colocados durante 3 
años en las siguientes condiciones: 
a) 6% nominal con capitalización semestral 
b) 5% nominal con capitalización trimestral 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 39 
Podemos resolver este ejercicio utilizando el año como periodo de 
referencia o utilizando el periodo de capitalización como periodo de 
referencia. 
a) En el primer caso, utilizando el año como periodo de referencia, n serán 
3 años y habrá que calcular el efectivo anual equivalente a un 6% nominal 
con frecuencia semestral, para lo cual utilizaremos la ya conocida fórmula 
de equivalencia entre tipos: 
( )1 1
m
mJ i
m
 + = + 
  
donde: 
m=2 
J2= 0,06 
y por lo tanto: 
20,061 1 6,09%
2
i  = + − = 
  
ahora, utilizando la fórmula de capitalización compuesta, calcularemos el 
montante. 
Cn = C0 (1+i )n 
Donde: 
i = 0,0609 
n = 3 
por lo tanto: 
Cn = 6.000 (1,0609 )3 
Cn = 7.164,31 € 
Pero también podríamos hacer el cálculo utilizando como unidad de 
medida el semestre. 
 
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40 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
En ese caso: 
i = 0,03 
n = 6 
por lo tanto: 
C6 = 6.000 (1,03)6 
C6 = 7.164,31€ 
Desde luego no podía ser de otra manera, teniendo en cuenta que: 
(1.03)6 = ((1,03)2)3 = (1,0609)3 
b) En este caso: 
m=4 
J4= 0,05 
y por lo tanto: 
40,051 1 5,094%
4
i  = + − = 
  
ahora, utilizando la fórmula de capitalización compuesta, calcularemos el 
montante. 
Cn = C0 (1+i )n 
donde: 
i = 0,05094% 
n = 3 
por lo tanto: 
C3 = 6.000 (1,05094 )3 
Cn = 6.964,53 € 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 41 
Pero también podríamos hacer el cálculo utilizando como unidad de 
medida el trimestre. En ese caso: 
i = 1,25% 
n = 12 
por lo tanto: 
Cn = 6.000 (1,0125)12 
Cn = 6.964,53 € 
6.- Se deposita un capital al 3,75% de interés compuesto anual durante 5 
años. Si la cantidad acumulada resultó ser de 5.375,79 €, ¿cuál fue el 
importe del capital? 
Utilizando de nuevo la fórmula de capitalización compuesta: 
5.375,79 = C0 (1,0375)5 
C0 = 4.472 € 
7.- Calcular cuánto tiempo estuvo colocado un capital de 3.000 € al 4,5% 
de interés compuesto si se convirtió en 4.082,58 €. 
Utilizaremos la misma fórmula que en el caso anterior para despejar la n. 
4.082,58 = 3.000 (1,045)n 
1,36086183 = 1,045n 
ln 1,36086183 = n ln 1,045 
n = 7 años 
8.- ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse una cantidad colocada al 3,5% 
nominal con capitalización semestral? 
Trabajando con el tipo efectivo semestral: 
2
0,035 0,0175
2
i = =
 
 
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en la siguiente expresión la n estará expresada en semestres: 
2C = C (1,0175)n 
ln 2 = n ln 1,0175 
n ≈ 40 semestre, 20 años 
9.- Un individuo que dispone de una letra con vencimiento a 8 meses 
decide descontarla sin esperar a su vencimiento. A tal efecto se dirige 
a su banco, donde le informan de que el tipo de descuento aplicable en 
dichas operaciones es el 5% anual. La letra tiene un nominal de 
2.000 €. ¿Cuál será el líquido que obtiene en la operación? Si en otra 
entidad le ofrecieran la posibilidad de descontar la letra según la ley 
de descuento simple racional ¿qué tipo de interés le proporcionaría el 
mismo resultado? ¿Cómo interpreta estas cifras? 
En el primer banco le aplicarán la ley de descuento simple comercial, 
según la cual el líquido a percibir será: 
( )dnCC n ⋅−= 10
 
donde 
0
82.000 1 0,05 1.933,33 €
12
C  = − ⋅ = 
  
si el segundo banco le ofrece la posibilidad de aplicar en la operación la 
ley de descuento simple racional, el tipo de interés que le proporcionaría 
la misma cantidad en esta operación a 8 meses lo calcularíamos del 
siguiente modo: 
8 11 0,05 812 1
12
i
− ⋅ =
+ ⋅ 
i = 5,1724% 
Estos resultados nos indican que cuando el primer banco nos dice que nos 
cobra un 5% de descuento en la operación, en realidad nos está cobrando 
un 5,1724% de interés, ya que el tipo del 5% se aplica sobre la cantidad 
final, 2.000 euros, cantidad que el cliente nunca recibe en su totalidad 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 43 
suponiendo en realidad un 5,17% sobre los 1933,33 euros que obtiene en 
la operación de descuento. Lo comprobamos fácilmente: 
La cantidad descontada en la operación es de 2.000-1.933,33 = 66,67. 
Aplicando el 5,17% sobre los 1.933,33 € y teniendo en cuenta que es una 
operación a 8 meses tenemos: 
0,051724 8 1.933,33 66,67
12
⋅ ⋅ =
 
10.- Un pago de 1.000 €, que se debía realizar dentro de tres meses, se 
sustituye por uno de 400 € dentro de un mes y un segundo pago de 
importe a convenir dentro de cuatro meses. ¿Cual será el importe de 
este segundo pago si se establece un tipo de interésdel 5% en la 
capitalización y un 7% de descuento en la actualización? 
Representaremos en primer lugar el esquema temporal de la operación: 
meses 1 3 4 
cantidad 400 1.000 X 
 
0,05 0,07400 1 2 1 1 1.000
12 12
600,17 €
X
X
   ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ =   
   
= 
Observe que en este ejercicio no es indiferente el momento de valoración 
que se establezca. Al utilizarse leyes de capitalización simple y descuento 
simple comercial, las operaciones no son escindibles (nunca lo son las 
leyes financieras simples) ni conjugadas (lo serían si se utilizase el 
descuento simple racional) y además se emplean tipos distintos en una y 
otra. Puede comprobar como se obtienen resultados diferentes si se 
establece la equivalencia financiera en el mes uno y en el cuatro. 
11.- Debemos pagar dentro de tres años una letra de 926 € nominales. 
Sabiendo que anticipamos el pago de 410 € un año, calcular el 
nominal de otro efecto, a pagar dentro de cinco años, que cancele la 
deuda, si el interés aplicado es el 5% anual. 
 
 
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44 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
años 2 3 5 
cantidad 410 926 X 
 
( ) ( ) 2410 1 0,05 1 0,05 926
546,29 €
X
X
−⋅ + + ⋅ + =
= 
A diferencia del ejercicio anterior, en este caso es indiferente el momento 
de valoración que se establezca ya que las leyes financieras compuestas 
son escindibles y conjugadas y hay un único tipo aplicable. 
12.- La empresa Z ha de pagar una letra de 5.000 € el 28 de Marzo. A día 
de hoy acuerda con su acreedor sustituirla por otra con vencimiento 
30 de Junio, por adecuarse mejor a sus disponibilidades de liquidez. 
Sabiendo que en todo caso el acreedor la va descontar hoy, 27 de 
Enero, al 6,5% de descuento comercial, calcular el nuevo nominal de 
la letra. 
 
De nuevo representamos el horizonte temporal: 
 
27E 28M 30J 
 (60 días) 5.000 (94 días) X 
De texto del ejercicio se deduce sin dificultad que el momento de 
valoración es el 27 de Enero, fecha en que el acreedor va a descontar el 
efecto. Por lo tanto: 
0,065 0,0651 154 5.000 1 60
360 360
5.087,29 €
X
X
  ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅  
  
=



 
Al tratarse de una operación a menos de un año y aplicarse las leyes 
financieras simples no es indiferente el momento de valoración que se 
establezca. Si considerásemos el 28M como momento de valoración, el 
cálculo, más sencillo, sería: 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 45 
0,0651 94 5.000
360
5.086,32 €
X
X
 ⋅ − ⋅ = 
 
= 
A pesar de que la diferencia no es muy grande está claro que hay 
diferencia y que no es debida a redondeo en decimales. La cusa de la 
diferencia está en la no escindibilidad de las leyes de decuento simple, 
tanto la simple comercial como la simple racional. Observe que la 
diferencia entre las dos ecuaciones está en los 60 días de diferencia entre 
los momentos de valoración escogidos. Para trasladar esta segunda 
expresión de equivalencia al 27E habría que multiplicar ambos términos 
por (1-60·0,065/360), con lo que nos quedaría: 
0,065 0,065 0,0651 94 1 60 5.000 1 60
360 360 360
5.086,32 €
X
X
     ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅     
     
= 
Esta expresión evidencia la razón de la diferencia, que no es otra que la no 
escindibilidad de la ley de descuento simple comercial. 
Obviamente: 
0,065 0,065 0,0651 154 1 94 1 60
360 360 360
X    − ⋅ ≠ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅    
    


 
Para terminar de dar vueltas a este sencillo ejercicio veamos lo que ocurre 
tomando como momento de valoración el 30J y utilizando para la 
capitalización el mismo tipo que para el descuento. En este caso: 
0,0655000 1 94
360
5.084,86 €
X
X
 = ⋅ + ⋅ 
 
= 
Si trasladamos la ecuación de equivalencia del 28M al 30J, multiplicando 
ambos términos por (1+94·0,065/360), tendremos: 
0,065 0,065 0,0651 94 1 94 5.000 1 94
360 360 360
X     ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅    
    


 
y vemos claramente que la diferencia entre los valores de X en los dos 
momentos de valoración está, en este caso, en la no conjugabilidad de las 
 
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46 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
leyes de descuento simple comercial y de capitalización simple ya que 
evidentemente: 
0,065 0,0651 94 1 94
360 360
X X  ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ≠  
  


 
(aunque dada la magnitud de las cifras en este caso se parecen bastante) 
13.- Una persona paga cierta cantidad por un pagaré que vence dentro de 
1.172 días por importe de 850 €. Si sabemos que la operación le 
reportó un beneficio del 7%, ¿cuánto pagó por él? 
La cantidad buscada será tal que, capitalizada al 7% durante los 1.172 días 
que quedan hasta el vencimiento del pagaré, se convertiría en el importe 
del nominal, por tanto: 
( )
1.172
3651 0,07 850
684,02 €
X
X
⋅ + =
= 
14.- Una persona pidió un préstamo hace tres años al 7% del que, a día 
de hoy, le quedan pendientes de pago 2.475 €. Dado que en la 
actualidad los tipos de interés de los préstamos han bajado, decide 
cambiar de banco y solicitar un nuevo préstamo al 5% en otra 
entidad. Calcular la cantidad qe pedirá a esta segunda entidad si 
sabemos que se cobra una comisión de apertura del 1% en este tipo 
de operaciones. 
La primera aproximación a la solución de este problema sería pensar que 
bastaría con pedir un 1% más con el fin de que nos quedase la cantidad 
justa. En ese caso, el importe sería: 
( )2.475 1 0,01 2.499,75€⋅ + =
 
Sin embargo, podemos comprobar que esta cantidad no resulta suficiente 
ya que si se aplica sobre ella el 1% de comisión de apertura nos quedaría 
disponible el siguiente importe: 
( )2.499,75 1 0,01 2.474,75€⋅ − =
 
El importe que se debe solicitar se calculará del siguiente modo: 
 
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 TIPOS DE INTERÉS Y LEYES FINANCIERAS 47 
(1 0,01) 2.475
2.500
X
X
⋅ − =
= 
Que de nuevo recuerda las diferencias entre los conceptos de descuento 
simple comercial y racional. 
15.- La diferencia entre los intereses simple y compuesto de un capital 
colocado durante n años en una entidad financiera es de 229,31 €. Si 
hubiera estado colocado un año menos a interés compuesto, el capital 
acumulado sería de 6.511,30 €; si hubiera estado colocado un año 
menos a interés simple el capital acumulado sería de 6.350 € y si 
hubiera estado dos años menos a interés simple sería de 6.125 €. 
Calcular cual fue la cantidad invertida, el tiempo que duró la 
inversión y el tipo aplicado en la operación. 
Para resolver este ejercicio lo primero que se debe hacer es expresar en 
forma de ecuaciones las informaciones de que disponemos: 
( ) ( )
( )
( )( )
( )( )
1
1 1 22
1 6.511.30
1 1 6.350
1 2 6.125
n
n
C i C ni
C i
C n i
C n i
−
+ − + =
+ =
+ − =
+ − =
9,31
 
De las anteriores informaciones, y sin necesidad de operaciones (aunque 
obviamente se alcance la misma solución operando, salvo errores), 
podemos obtener otras de forma bastante inmediata. Por ejemplo, la 
diferencia entre los capitales acumulados a interés simple, 
correspondientes a dos años sucesivos, sean cuales sean estos años, es 
siempre C·i, por tanto: 
C·i = 6.350 - 6.125 = 225 
y conocidos los intereses de un año a tipo simple y el capital acumulado 
hasta el año n-1, el capital a fin del año n, será: 
C (1+n·i) = 6.350+225 = 6.575 
sustituyendo ahora en la primera ecuación y despejando, tendremos: 
C (1+i)n = 6.804,31 
 
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48 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA FINANCIERA 
sabemos también que: 
C (1+i)n = C (1+i)n-1 (1+i) = 6.804,31 
C (1+i)n-1 = 6.511,30 
y sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos directamente el valor 
de i: 
i = 4,5% 
Y a partir de aquí el resto de valores se obtiene de forma sencilla: 
C·i = 225; C = 5.000 
C (1+n·i) = 6.575 
n = 7 
16.- La señora T. está interesada en una obra de arte que cuesta 4.500 € 
al contado, pero se le ofrece también la posibilidad de pagar 2.500 € 
en el momento actual y 2.250 € al cabo de un año. 
 a) Si puede invertir su dinero al 2,5% de interés semestral ¿qué forma 
de pago es más conveniente? 
 b) ¿y si pudiera invertir