Conceptos Teóricos sobre Derivada de una Función

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Derivada de una Función
Previo al estudio de derivadas repasemos el 
concepto de pendiente de una renta, recta 
secante y recta tangente. 
Pendiente de una recta: nos muestra la 
inclinación de una recta respecto al eje 
horizontal : m =
𝑦2 −𝑦1
𝑥2 −𝑥1
 Recta Secante: es una recta que corta a una curva en 2 
puntos.
 Consideremos la función y = f(x) y un punto A 
perteneciente a la función de coordenadas A = (x, f(x)). 
Si por la curva de la función marcamos de forma 
arbitraria otro punto B, podemos definir de forma 
explícita la recta que pasa por estos dos puntos.

 
Recta Tangente:
 Djimos anteriormente que Recta Secante: es 
una recta que corta a una curva en 2 puntos. Conforme 
estos puntos se acercan y su distancia se reduce a cero, 
la recta adquiere el nombre de recta tangente. 
Derivada de una Función en un punto
Definición :
Se llama derivada de una función f en un punto, al límite del cociente incremental 
cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero.
Es decir, una función se dice que es derivable en un punto de su dominio, si existe el 
límite del cociente incremental. Simbólicamente se expresa:
o
Las relaciones anteriores representan la rapidez instantánea de cambio o 
tasa instantánea de cambio en la variable dependiente cuando se opera un 
cambio en la variable independiente.
Luego la derivada
Es la pendiente de la recta 
tangente t.
Concepto geométrico de derivada La Derivada de una función es la 
pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado.
Ejemplo de funciones no derivables en un punto, donde no se
Puede definir la pendiente de la recta tangente:
Teoremas sobre Derivadas
* Si c es una constante y f una función definida por f(x) = c para toda 
x, entonces f’(x) = 0
* Si f definida por f(x) = x es la función identidad entonces f’(x) = 1
* Si f está definida por f(x) = u + v , donde u y v representan funciones 
derivables de x, entonces f’(x) = u’+ v’
* Si c es una constante, v es una función derivable en x, y f es la función 
definida por f(x) = cv, entonces f’(x) = cv’
* Si u y v son dos funciones derivables en la variable x y si la función f 
está definida por f(x) = uv, entonces f’(x) = u’v + u v’
* Si la función f se define como f(x) = u/v, siendo u y v dos funciones de 
la variable x y tal que la función v no se anule, entonces 
* Si n es un valor constante, v es una función derivable de x y la 
función f se define como f(x) = vn, entonces f’(x) = n.vn-1.v’
* La derivada de una función compuesta y = f(u(x)) con respecto de x es 
igual al producto de la derivada de y con respecto de u por la derivada de u 
con respecto de x., es decir:
o
Algunas Derivadas usuales:
Derivada de la función logaritmo natural
Derivada de la función potencial 
Derivada de la función exponencial de base e
Derivada de la función seno
Derivadas sucesivas de una función
Cuando derivamos una función y = f(x), obtenemos 
como resultado y = f´(x), podemos derivar nuevamente 
la función derivada y así obtener f´´(x), 
llamada segunda derivada. 
Ejemplo de cómo calcular la segunda derivada 
Calcular la segunda derivada de 𝑓(𝑥)=𝑥4
 f´(x)=4 𝑥3
f´´(x) =12𝑥2
Resumen
 La derivada de una función es un concepto 
fundamental en el cálculo y tiene una amplia gama de 
aplicaciones en matemáticas, ciencias naturales, 
ingeniería y economía. En términos simples, la 
derivada de una función describe cómo cambia la 
función en un punto dado. Este concepto es crucial 
para comprender el comportamiento de las funciones 
en diferentes contextos y para resolver una variedad de 
problemas en diversas disciplinas.
 La derivada de una función se denota comúnmente 
como f'(x) o dy/dx, donde f es la función y x es la 
variable independiente. La derivada se define como el 
límite de la tasa de cambio promedio de la función a 
medida que el intervalo considerado se hace cada vez 
más pequeño. Matemáticamente, esto se expresa 
como:
 f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h
 Esta expresión representa la tasa de cambio 
instantáneo de la función en el punto x. En otras 
palabras, la derivada nos dice cuánto está cambiando 
la función en un punto específico.
 La interpretación geométrica de la derivada es el 
concepto de pendiente de la recta tangente a la curva 
de la función en un punto dado. La pendiente de esta 
recta tangente es igual a la derivada de la función en 
ese punto. Esto significa que la derivada nos 
proporciona información sobre la inclinación o la 
pendiente de la curva en un punto específico.
 Existen diferentes reglas y técnicas para calcular 
derivadas, que incluyen la regla de potencia, la regla 
del producto, la regla del cociente, la regla de la 
cadena, entre otras. Estas reglas nos permiten 
encontrar la derivada de funciones más complejas 
combinando las derivadas de funciones más simples.
 Las derivadas tienen varias aplicaciones importantes 
en matemáticas y en otros campos. Por ejemplo, en 
física, la derivada se utiliza para describir la velocidad y 
aceleración de un objeto en movimiento. En economía, 
las derivadas se utilizan para analizar el cambio en las 
funciones de demanda y oferta. En ingeniería, las 
derivadas son fundamentales para comprender el
 comportamiento de sistemas dinámicos y para resolver 
problemas relacionados con el cambio y la variación.
 Además, las derivadas tienen aplicaciones en 
optimización, donde se utilizan para encontrar 
máximos y mínimos de funciones. La derivada nos 
proporciona información sobre cómo cambia una 
función alrededor de un punto crítico, lo que es crucial 
para determinar si ese punto es un máximo o un 
mínimo.
 Otro concepto relacionado con la derivada es la 
integral, que es el proceso inverso de la derivación. Las 
integrales se utilizan para calcular áreas bajo curvas, 
volúmenes de sólidos y otras cantidades importantes 
en matemáticas y ciencias aplicadas.
En resumen, la derivada de una función es un concepto 
fundamental en matemáticas que nos proporciona 
información sobre cómo cambia una función en un 
punto dado. Su interpretación geométrica como 
pendiente de la recta tangente y sus diversas aplicaciones 
en diferentes campos hacen que la derivada sea un tema 
central en el estudio del cálculo y una herramienta 
invaluable para comprender el mundo que nos rodea.
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	Diapositiva 2: Previo al estudio de derivadas repasemos el concepto de pendiente de una renta, recta secante y recta tangente. 
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	Diapositiva 4: Recta Tangente:
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	Diapositiva 12: Resumen
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