5 ELEMENTOS FINITOS, APLICACIONES - Alfonso Toribio

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Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 
 
FORMULACION BASICA Y PROBLEMAS LINEALES 
 
1, SISTEMAS ESTRUCTURALES DISCRETOS 
 
1.1 GENERALIDADES 
 
Las limitaciones de la mente humana son tales que no puede captar el comportamiento del 
complejo mundo que lo rodea en una sola operación global. Por ello, una forma natural de 
proceder de ingenieros, científicos, e incluso economistas, consiste en separar los sistemas en 
sus componentes individuales, o “elementos”, cuyo comportamiento pueda conocerse sin 
dificultad, y a continuación reconstruir el sistema original para estudiarlo a partir de dichos 
componentes. 
En muchos casos se obtiene un modelo adecuado utilizando un numero finito de componentes 
bien definidos. A tales problemas los denominaremos discretos. En otros, la subdivisión 
prosigue indefinidamente y el problema solo puede definirse haciendo uso de la ficción 
matemática de infinitésimo. Ello nos conduce a ecuaciones diferenciales o expresiones 
equivalentes con un numero infinito de elementos implicados. A tales sistemas los llamaremos 
continuos. 
Con la llegada de las computadoras digitales, los problemas discretos pueden resolverse 
generalmente sin dificultad, aun cuando el numero de elementos sea muy elevado. Como la 
capacidad de las computadoras es finita, los problemas continuos solos se pueden resolver de 
forma exacta mediante manipulaciones matemáticas. En ese aspecto, las técnicas matemáticas 
disponibles suelen limitar las posibilidades a casos extremadamente simplificados. 
Para vencer la dificultad que presenta la solución de problemas continuos reales, ingenieros y 
matemáticos han ido proponiendo a través de los años diversos métodos de discretizacion. La 
aplicación de estos métodos hace necesario efectuar alguna aproximación de tal manera que 
quepa esperar que la misma se acerque, tan estrechamente como se quiera, a la solución 
continua verdadera a medida que crezca el numero de variables discretas. 
Este proceso ha sido atacado de manera distinta, por matemáticos e ingenieros. Los 
matemáticos lo hacen aplicando técnicas de resolución a las ecuaciones diferenciales que 
gobiernan el problema: diferencias finitas, residuos ponderados o estableciendo "funcionales" 
que correspondan a un problema y calculando sus valores estacionarios. 
Los ingenieros resuelven el problema en forma más intuitiva estableciendo una analogía entre 
subdominios (partes finitas) de un dominio continuo y elementos finitos reales. 
Las primeras analogías de este tipo en el campo estructural datan de 1940, cuando se 
demuestra que pueden obtenerse buenas aproximaciones sustituyendo pequeñas regiones de 
un continuo por elementos lineales elásticos (barras) (Hreniboff y Newmark). Mas adelante, 
gracias a Argyris y otros investigadores, la sustitución de las regiones se hace en formas más 
directa, admitiendo un funcionamiento mas o menos simplificado de dichos elementos. El 
nombre de elementos finitos fue primeramente utilizado por Clough, ha superado el campo de 
las estructuras, permitiendo desarrollar métodos generales de calculo que resuelven una gran 
variedad de problemas. 
El nombre de elementos finitos, en la actualidad debe entenderse como una metodología, 
conceptual y numérica, aplicable a los sistemas discretos. Esto, tanto desde el punto de 
vista conceptual como del numérico, es de la mayor importancia. El primero permite una mejor 
comprensión del problema, el segundo, el uso de un criterio unificado para abordar una gran 
variedad de problemas y desarrollar procedimientos generales de calculo. El objeto del curso 
es presentar un panorama del método de los elementos finitos como procedimiento general de 
 1
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
discretizacion de los problemas continuos planteados por expresiones definidas 
matemáticamente. 
Existe una manera única para abordar los problemas discretos tipo, lo que nos permite una 
primera definición del método de los elementos finitos como procedimiento de aproximación de 
problemas continuos, de tal forma que: 
a) el continuo se divide en un numero finito de partes (elementos), cuyo comportamiento se 
especifica mediante un numero finito de parámetros, y 
b) la solución del sistema completo como ensamblaje de los elementos sigue precisamente 
las mismas reglas que se aplican a los problemas discretos tipos. 
 
1.2 ELEMENTOS Y SISTEMAS ESTRUCTURALES 
 
Para presentar el concepto general de sistema discreto, consideraremos en primer lugar un 
ejemplo mecánico estructural del tipo de elasticidad lineal. 
Sea la figura 1.1 una estructura plana formada por distintos elementos enlazados entre si en 
los nudos, numerados del 1 al n. los enlaces en los nudos son, en este caso, articulaciones de 
manera que no transmiten momentos. 
 
 
 
Figura 1.1 Estructura típica formada por elementos interconectados 
 
Analizando un elemento genérico, del cual suponemos conocidas sus propiedades por cálculos 
aparte o por resultados experimentales. Así pues, si examinamos un miembro representativo 
como el (1) asociado a los nudos 1, 2 y 3, las fuerzas que actúan en los nudos están 
unívocamente definidas por los desplazamientos de tales nudos, la carga distribuida que actúa 
sobre el elemento (p), y su deformación inicial. Esta ultima puede ser debida a la temperatura, 
a la retracción, o simplemente a un desajuste inicial. 
Expresemos en forma matricial las fuerzas que actúan en los nudos del elemento 1. 
 2
 
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⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
1
3
1
2
1
1
1
q
q
q
q ; ; etc. (1.1) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
1
11
1 V
U
q
También en forma matricial expresamos los desplazamientos nodales del elemento 1. 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
1
3
1
2
1
1
1
a
a
a
a ; ; etc. (1.2) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
1
11
1 v
u
a
Para un elemento elástico lineal, las cargas nodales pueden calcularse como: 
 
11111
op ffaKq ε++= (1.3) 
 
11aK : fuerzas originadas en nudos por desplazamientos de los mismos. 
1
pf : fuerzas nodales necesarias para equilibrar las cargas distribuidas 
1
ofε : fuerza nodal necesaria para compensar cualquier deformación inicial 
 
Definiendo las tensiones en un punto cualquiera del elemento mediante la matriz se obtiene, 
para el elemento 1. 
1σ
 
11111
opaS εσσσ ++= (1.4) 
11aS : tensiones originadas por desplazamientos nodales 
1
pσ : tensiones originadas por cargas repartidas 
1
oεσ : tensiones iniciales cuando se restringe el desplazamiento de los nudos 
 
En general se denomina 
eK : matriz de rigidez del elemento (e) 
eS : matriz de tensiones del elemento (e) 
 
Saliendo de este ejemplo particular y yendo al caso más general de un elemento tridimensional 
de m nodos vinculados rígidamente 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
e
m
e
e
e
q
q
q
q
.
.
.
2
1
 (1.5) 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
e
m
e
e
e
a
a
a
a
.
.
.
2
1
Las matrices de rigidez, como y poseen el mismo numero de componentes o grados de 
libertad, serán matrices cuadradas 
iq ia
 3
 
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⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
e
mm
e
mj
e
mi
e
im
e
ij
e
ii
e
KKK
KKK
K
....
..
..
....
 (1.6) 
 
Y donde son submatrices cuadradas de orden igual al numero de componentes de fuerza a 
considerar por nodo. 
e
ijK
 
1.3 ENSAMBLE DE LOS ELEMENTOS 
 
Realizados los cálculos indicados en el punto anterior para cada uno de los elementos, 
restablecemos su unión para obtener la estructura original y la solución de la misma, solución 
que ha de satisfacer en cualquier punto. 
a) Compatibilidad de desplazamientos 
b) Equilibrio 
Todos los desplazamientos nodales 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
ma
a
a
a
.
.
2
1
 (1.7) 
Donde a representa los desplazamientos de los nodos de toda la estructura, luego de 
producida la unión de todos los elementos, satisfacen la 1º condición,debido al hecho de que 
unir los elementos en los puntos nodales, significa imponer igualdad de desplazamientos. En 
cuanto a las condiciones de equilibrio, vemos a través del desarrollo del punto anterior, que los 
elementos están en equilibrio, faltando establecer las condiciones de equilibrio en los nodos de 
la estructura. 
Consideremos que sobre la misma actúa un sistema de fuerzas concentradas actuante en 
nodos 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
nr
r
r
r
.
.
2
1
 (1.8) 
donde cada tiene el numero de componentes adecuado en cada nodo. ir
En nuestro ejemplo, con nudos articulados (1.9) 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
i
i
i Y
X
r
Estableciendo el equilibrio de un nodo i, cada componente de tiene que ser igual a la suma 
de las componentes correspondientes con que participa cada elemento en dicho nodo: 
ir
..........211
1
++== ∑
=
ii
nel
e
e
ii qqqr
i
 (1.10) 
En donde . es la fuerza que el elemento 1 aporta al nudo i, la fuerza que aporta el 
elemento 2, etc. Claramente, solo los elementos que contengan al punto i contribuirán con 
fuerzas no nulas, pero para mayor claridad se han incluido todos los elementos en el sumatorio. 
1
iq
2
iq
 4
 
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Si recordamos que, por ejemplo 
11111
op ffaKq ε++= 
vemos que la expresión anterior, quedara en función de los desplazamientos nodales que son 
comunes a todos los elementos pudiendo suprimirse el supra índice (e) que identifica los 
elementos. 
∑∑∑
===
++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
iii nel
e
e
i
nel
e
e
i
nel
e
e
ii faKaKr
1
2
1
21
1
1 ...... (1.11) 
inel : significa el numero de elementos con contribución no nula al nodo i y 
e
o
e
p
e fff ε+= en cada nodo i. 
Resumiendo estas ecuaciones para todos los nodos, obtenemos: 
 
fraK −=* (1.12) 
En esta ecuación una submatriz definida por imK
∑
=
=
inel
e
e
imim KK
1
 (1.13) 
representa los esfuerzos originados en el nodo i por desplazamientos unitarios del nodo m. 
Una matriz asociada al nudo i representa if
(
i
e
o
e
p
nel
e
nel
e
e
ii ffff
ii
ε+== ∑∑
== 11
) (1.13) 
Este proceso de ensamble constituye una de las características fundamentales del 
método y es el proceso seguido en todos los problemas resueltos por elementos finitos. 
Si utilizamos diferentes tipos de elementos estructurales y estos han de acoplarse, se ha de 
recordar que la regla para la suma de matrices solo permite esta si las matrices son de 
idénticas dimensiones. Por consiguiente, las submatrices individuales que hayan de 
ensamblarse deben formarse con el mismo numero de componentes de fuerzas o de 
desplazamientos. Así, por ejemplo, si un miembro capaz de transmitir momentos a un nudo 
tiene que unirse en ese nudo a otro miembro que este articulado, es necesario completar la 
matriz de rigidez de este ultimo insertando convenientemente ceros en las posiciones 
correspondientes a las rotaciones y en las de los momentos. 
 
1.4 CONDICIONES DE CONTORNO 
 
El sistema de ecuaciones fraK −=* se ha formado sin hacer distinción entre los nudos que 
tienen una restricción a su desplazamiento y entre los que no la tienen. En el ejemplo de la 
figura 1.1, donde son nulas ambas componentes de los desplazamientos de los nudos 1 y 6, 
habrá que sustituir 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
0
0
61 aa 
Lo que equivale a reducir el numero de ecuaciones de equilibrio (en este caso 12) anulando las 
dos primeras y las dos ultimas, y reduciéndose así el numero total de incógnitas a ocho. Es 
conveniente, sin embargo, ensamblar las ecuaciones de la forma expresada en la ec. (1.12) 
para incluir todos los nudos. 
Es obvio que sin sustituir un numero mínimo de desplazamientos, obligados para impedir que la 
estructura se mueva como un sólido rígido, seria imposible resolver el sistema pues lo 
desplazamientos no pueden quedar unívocamente determinados por las fuerzas y habría 
infinitas soluciones para un sistema de fuerzas dados. Este hecho, físicamente evidente, debe 
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interpretarse matemáticamente en razón de que la matriz K, al ser singular, carece de la 
inversa. 
Estableciendo entonces valores adecuados a ciertos desplazamientos podrá obtenerse una 
solución única del sistema. 
nnnn fraKaK
fraKaK
−=++
−=++
.....
.
.
.
.
.....
2211
11212111
 (1.14) 
Si imponemos un desplazamiento cualquiera ii aa = , la fuerza exterior correspondiente no 
puede ser impuesta y pasara a ser incógnita. 
ir
Se podría prescindir de la ecuación i y sustituir por un valor conocido en las ecuaciones 
restantes. Este procedimiento es engorroso y generalmente se procede de una de las dos 
formas siguientes: 
ia
1) Se numeran los grados de libertad de la estructura, asignándoles a los reactivos la 
numeración mas alta evitando el ensamblaje de las ecuaciones correspondientes a 
los mismos. Este procedimiento será visto en detalle mas adelante. 
2) Se adicionan a los términos de rigidez asociados a los nodos (o grados de libertad) 
reactivos un numero grande Iα 
I: matriz unidad, quedando ( ) ........ +++ iii aIK α y se reemplaza el segundo miembro 
 por ii fr − iaIα . Si α es mucho mayor que cualquier otro coeficiente de rigidez, 
resulta: ii aa αα = ∴ ii aa = 
 
1.5 TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS 
 
Muchas veces suele ser conveniente evaluar las propiedades de los elementos en un sistema 
de ejes asociados a ese elemento en particular, denominado sistema local que no coincide con 
el sistema general de referencia de la estructura, en el cual se definen cargas y 
desplazamientos nodales, sistema que se denomina estructural o global. Se calculan entonces 
las propiedades y vectores en ejes locales, rotándose luego y ensamblándose posteriormente 
en ejes estructurales. El índice prima indicara valores en ejes locales 
aLa *'= (1.25) 
L: matriz de rotación 
Considerando las componentes de carga y desplazamientos en los dos sistemas el trabajo 
realizado por las mismas será independiente del sistema 
' (1.26) ' aqaq TT =
Según (1.25), tendremos: 
aLqaq TT *'= ∴ o Lqq TT '=
' (1.27) qLq T=
Para rotar rigideces: ''*' aKq = (1.28) 
Reemplazando esto en la ecuación anterior: 
 y ''*aKLq T=
aLKLq T *'*= 
LKLK T '*= (1.29) 
K= Matriz de rigidez estructural 
En otros casos puede querer reemplazarse un conjunto de parámetros a por otro relacionado b 
a través de una matriz de transformación T. 
 6
 
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a= T*b (1.30) 
El sistema lineal es de la forma 
fraK −=* (1.31) 
Substituyendo 
frbTK −=** , (1.32) 
como K es simétrica, para seguir manteniendo la simetría, premultiplico por TT 
( ) fTrTbTKT TTT −=** (1.33) 
T puede no ser matriz cuadrada, por ejemplo, cuando a contiene mas componentes que las 
necesarias para resolver el problema (ejemplo: elemento con nodos interiores que se 
condensan previo al ensamble). 
 
1.6 EL PROCESO GENERAL 
 
Para afianzar los conceptos expuestos en este capitulo presentaremos un ejemplo. Este se 
muestra en la figura 1.4 (a), donde se interconectan 5 elementos discretos, que pùeden ser de 
tipo estructural, eléctrico o de cualquier otra naturaleza lineal. 
 
Figura 1.4 El proceso general 
 7
 
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En la solución: 
El primer paso es determinar las propiedades de cada elemento a partir de la geometría 
del problema, de los datos de carga y de la naturaleza del material. Se determina la matriz 
de rigidez para cada elemento así como las correspondientes “cargas nodales” en la forma 
expresada por la ec. (1.3). Cada elemento tiene su propio numero de identificación y sus 
conexiones nodales especificadas. Por ejemplo: 
Elemento 1 conexión 1 3 4 
 2 1 4 2 
 3 2 5 
 4 3 6 7 4 
 5 4 7 8 5 
Suponiendo que las propiedades se hayan establecido en las mismas coordenadas, 
podemos alojar cada componente de “rigidez” o de “fuerza” en la matriz global comose 
muestra en la figura 1.4 (b). Cada cuadrado sombreado representa un coeficiente individual, 
o una submatriz del tipo si consideramos más de una cantidad en los nudos. En este 
caso, para cada elemento se muestra su contribución individual y el lector puede comprobar 
la posición de los coeficientes. Adviértase que aunque hemos considerado en este ejemplo 
“elementos” de varios tipos, no representa ninguna dificultad su especificación. (todas las 
“fuerzas”, incluyendo las nodales, se han asociado aquí con elementos por razones de 
simplificación). 
ijK
El segundo paso es el ensamblaje de las ecuaciones finales del tipo de la ec. (1.12). Esto 
se puede realizar simplemente siguiendo la regla dada en la ec. (1.13), es decir, mediante 
simple adición de todos los números en el lugar correspondiente de la matriz global. El 
resultado se muestra en la figura 1.4 (c) donde se han sombreado los coeficientes no nulos. 
Como las matrices son simétricas, en realidad solamente tenemos que calcular la mitad 
superior de la diagonal. 
Todos los coeficientes no nulos están confinados dentro de una banda o contorno cuyo 
ancho puede calcularse a priori a partir de la posición de las conexiones nodales. Así pues, 
en los programas de computadoras solamente es preciso almacenar los elementos que 
caen dentro de la mitad superior del ancho de banda, como se muestra en la figura 1.4 (c). 
El tercer paso es introducir las condiciones de contorno en la matriz final ya ensamblada. A 
esto le sigue: 
El paso final de resolución del sistema de ecuaciones resultantes. Para ello se pueden 
seguir muchos métodos. Evidentemente el problema de la resolución de las ecuaciones, 
aunque es extremadamente importante, cae en general fuera del alcance de este curso. 
Al paso final seguirá la sustitución para obtener tensiones, corrientes u otras cantidades de 
salida cuyo conocimiento se desee. 
Vemos, pues que de todas las operaciones que precisa el análisis de estructuras, o cualquier 
otro análisis, son extremadamente sencillas y repetitivas. 
Podemos definir el sistema discreto general como aquel en el que prevalecen dichas 
condiciones. 
 
1.7 EL SISTEMA DISCRETO GENERAL 
 
En el sistema discreto general encontramos que: 
 
1.- Definición de un conjunto de parámetros discretos de manera que asociado a funciones 
conocidas describan el comportamiento de cada elemento y del sistema completo. Se los 
denomina parámetros del sistema. En nuestro caso, en estructuras, serán desplazamientos 
de los puntos nodales. 
ia
 
 8
 
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2.- Se define para cada elemento un conjunto de cantidades en función de los parámetros 
del sistema . En nuestro análisis estructural serán fuerzas del elemento concentradas en 
puntos nodales. La relación puede ser no lineal 
e
iq
ia
( )aqq eiei = (1.20) 
Inicialmente en nuestro curso, con problemas lineales, la relación será: 
 (1.21) ei
e
i
e
i
e
i faKaKq +++= ........2211
3.- Las ecuaciones del sistema discreto se obtienen por suma de valores 
∑
=
=
inel
e
e
ii qr
1
 (1.22) 
donde son cantidades que pertenecen al sistema completo. En análisis estructural serán 
cargas concentradas en puntos nodales, que naturalmente pueden ser nulas. Siendo el 
problema lineal, la suma nodal se traduce en 
ir
rfaK =+* (1.23) 
Tal que (1.24) ∑
=
=
m
e
e
ijij KK
1
∑
=
=
m
e
e
ijij ff
1
 
4.- Sobre el sistema anterior se fijan condiciones de contorno y se resuelve para los parámetros 
a. En el caso estructural obtendremos desplazamientos. 
 
5.- A partir de los parámetros a pueden obtenerse otras magnitudes que interesen. Por ejemplo 
tensiones, en el caso estructural. 
 
1.8 EJEMPLO 
 
 
Figura 1.2 Barra articulada en los extremos 
 
Consideremos la barra articulada plana de sección uniforme A y modulo de elasticidad E que s 
representa en la Figura 1.2. La barra esta sometida a una carga lateral uniforme p y a una 
deformación uniforme debida a la temperatura 
T*0 αε = 
 9
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Si los extremos de la barra están definidos por las coordenadas , y , su longitud 
puede calcularse mediante la formula 
ix ix ix ix
( ) ([ ])22 inin yyxxL −+−= 
Y su ángulo de inclinación respecto a la horizontal por 
in
in
xx
yy
−
−
= −1tanβ 
Solamente hay que considerar dos componentes de fuerzas y de desplazamientos en cada 
nudo. Las fuerzas nodales debidas a la carga lateral son, evidentemente 
2
cos
cos pL
sen
sen
V
U
V
U
f
pj
j
i
i
e
p
β
β
β
β
−
−
−== 
Y representan las componentes adecuadas de las reacciones de una viga simplemente 
apoyada, pL/2. Similarmente, para impedir la expansión térmica 0ε se necesita una fuerza axial 
)( TAEα , lo que da unas componentes 
)(
cos
cos
0
0
TAE
sen
sen
V
U
V
U
f
j
j
i
i
e α
β
β
β
β
ε
ε −
−
−== 
Finalmente los desplazamientos del elemento 
j
j
i
i
e
v
u
v
u
a = 
Originaran un alargamiento ββ senvvuu inin )(cos)( −+− . Al multiplicar este por EA/L 
obtendremos la fuerza axial cuyas componentes pueden calcularse. Tras ordenar las 
ecuaciones obtenemos la expresión general 
 
j
j
i
i
j
j
i
i
ee
v
u
v
u
sensensensen
sensen
sensensensen
sensen
L
EA
V
U
V
U
aK
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
==
ββββββ
ββββββ
ββββββ
ββββββ
δ
22
22
22
22
coscos
coscoscoscos
coscos
coscoscoscos
 
Así hemos obtenido las componentes de la ecuación general (1.3) para el caso elemental 
estudiado. Es, asimismo, muy sencillo establecer las tensiones en cualquier sección del 
elemento en la forma establecida por la ec. (1.4). por ejemplo, si se considera la sección media 
C de la viga, puede demostrarse que las tensiones en la fibra extrema, calculadas a partir de la 
tensión axial del elemento y del momento flector, son 
TE
I
dpLa
sensen
sensen
L
E e
C
e
C αββββ
ββββ
σ
σ
σ
1
1
81
1
coscos
coscos 2
2
1 −
−
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−−
== 
En la cual d es el semiespesor de la sección e I su momento de inercia. Por tanto, todos los 
términos que aparecían en la ec. (1.4) son ya fácilmente reconocibles. 
Para elementos mas complicados se requieren procedimientos de análisis mas elaborados, 
pero los resultados tienen la misma forma. El ingeniero reconocerá enseguida que las 
 10
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
relaciones entre desplazamientos y rotaciones que se usan en el análisis de entramados 
rígidos son solamente un caso particular de las relaciones generales. 
Quizás deba destacarse, de paso, que la matriz de rigidez obtenida para el elemento aislado 
sometido a tracción resulta ser simétrica. Esto no es en absoluto un hecho fortuito, sino que es 
consecuencia del principio de la conservación de la energía y de su corolario, el conocido 
teorema de reciprocidad de Maxwell – Betti. 
 
 
 
 
 11
 
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2. MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS EN UN MEDIO ELÁSTICO CONTINUO 
 
2.1 INTRODUCCIÓN 
 
El proceso de aproximar el comportamiento de un continuo mediante “elementos finitos” que se 
comportan de una forma similar a los elementos reales, “discretos”, descritos en el capitulo 
anterior, se puede introducir mediante aplicaciones físicas especificas o como un concepto 
matemático general. Se escogió aquí seguir el primer camino. 
Resulta muy frecuente en ingeniería estructural la determinación de tensiones y deformaciones 
en una estructura elástica continua: estados planos de tensión y deformación, sólidos 
axisimetricos, flexión de placas, cáscaras y sólidos tridimensionales. El continuo es dividido en 
elementos finitos por líneas imaginarias, no resultando la discretizacion tan evidente como en 
las estructuras de barras. Asimismo no es fácil visualizar la conexión entre elementos, tan 
sencilla en el caso de barras, dado que en el contorno imaginario del elemento existen infinitos 
puntos de conexión. 
El problema puede resolverse en la forma siguiente: 
 1.- El continuo se divide mediante líneas o superficiesimaginarias en “elementos finitos”. 
2.- Situados sobre el contorno del elemento se definen un numero finito de puntos 
llamados nodos, y a través de los cuales se conectaran los elementos. Asociados a 
estos nodos definiremos desplazamientos generalizados que serán las incógnitas de 
nuestro problema. La unión de los elementos a través de los nodos se realizara por 
simple identificación de desplazamientos. 
3.- Se relacionaran estos desplazamientos nodales generalizados, de manera biunívoca, 
con un campo interno de desplazamientos. 
4.- Estas funciones desplazamientos definen también unívocamente el estado de 
deformaciones dentro del elemento, deformaciones que junto con las iniciales y las 
ecuaciones constitutivas del material definirán el estado de tensiones en el interior del 
elemento y en sus contornos. 
5.- Establecer una matriz de rigidez u otra forma de relación conveniente entre fuerzas 
generalizadas y desplazamientos generalizados. El equilibrio del elemento logrado por 
las fuerzas generalizadas que contrarrestan a tensiones en el contorno, fuerzas 
distribuidas y efectos iniciales sobre el elemento provee las relaciones necesarias para el 
ensamble de los elementos. 
6.- Se resuelve para la estructura conectada, teniendo en cuenta las cargas nodales 
externas y las condiciones de borde. 
En el camino indicado para llegar a la solución se han ido introduciendo una serie de 
aproximaciones: 
1.- No se podrá lograr en todos los casos que las funciones desplazamientos elegidas 
satisfagan continuidad de desplazamientos con los elementos adyacentes a través de 
sus fronteras. 
2.- Al concentrar fuerzas en nodos, el equilibrio se alcanzara a nivel de elemento, pero 
será violado localmente, tanto en el interior como en la frontera del elemento. 
 3.- Las funciones desplazamiento son una aproximación de las reales. 
 
Será misión del ingeniero escoger la forma de los elementos y de las funciones de 
desplazamiento para cada caso particular, debiendo usar de su ingenio y habilidad, 
dependiendo el grado de aproximación que se alcance del uso que haga de esas dos 
facultades. 
El procedimiento que acaba de esbozarse se conoce como método de los desplazamientos. 
Hasta aquí, el procedimiento descrito se justifica solo intuitivamente, pero de hecho lo que se 
ha sugerido es equivalente a la minimización de la energía potencial total del sistema, siendo 
 12
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
función esta de un campo de desplazamientos impuesto. Si este campo de desplazamientos se 
define adecuadamente, deberá producirse convergencia hacia la solución correcta. El proceso 
es, por consiguiente, equivalente al conocido método de Ritz. Esta equivalencia se demostrara 
en una sección posterior de este capitulo, en donde se analizaran también los necesarios 
criterios de convergencia. 
 
2.2 DESARROLLO DEL MÉTODO 
 
A los conceptos delineados en forma bastante intuitiva en el capitulo anterior, los 
desarrollaremos nuevamente, pero ahora bajo una forma matemática mas detallada. 
Sin perder generalidad nos apoyaremos en un estado de tensión plana, con dos variables 
independientes. Para ello se divide la región en elementos triangulares, como se muestra en la 
Fig. 2.1. La extensión al espacio se realizara simplemente agregando una tercera variable al 
presente desarrollo. 
 
 
Figura 2.1 Región sometida a tensión plana dividida en elementos finitos 
 
2.2.1 La función desplazamiento 
 
Consideramos un elemento genérico e definido por nodos i, j, m, etc. y contornos rectos. 
Escribimos una expresión aproximada para los desplazamientos de la forma 
(∑
=
≈
n
k
u
kk yxPu
1
,α ) ( )∑
=
+≈
n
k
v
kn yxPv
1
,α
 13
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Ambas componentes se agrupan en el vector desplazamientos 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
),(
),(
yxv
yxu
u
Las funciones y son conocidas, desconociendo los parámetros ukP
v
kP kα . 
Cuando en las funciones u y v, se reemplazan las variables x e y, por los valores 
correspondientes a cada nodo del elemento obtendré los desplazamientos de los puntos 
nodales. 
( )∑
=
=
n
k
ii
u
kki yxPu
1
,α ( )∑
=
+=
n
k
ii
v
kni yxPv
1
,α
. 
. 
. 
(∑
=
=
n
k
mm
u
kkm yxPu
1
,α ) ( )∑
=
+=
n
k
mm
v
knm yxPv
1
,α
Suponiendo conocidos los desplazamientos nodales puedo calcular los coeficientes α 
resolviendo este sistema de ecuaciones. Llamando al vector de desplazamientos 
nodales del nodo genérico i. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
i
i
i v
u
a
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
m
j
i
e
a
a
a
a
.
. al vector de los desplazamientos nodales del elemento genérico e. 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
n
j
i
e
2
.
.
.
.
α
α
α
α al vector de los parámetros kα 
Para que exista correspondencia biunívoca el numero de parámetros kα será igual al numero 
de desplazamientos nodales. Del sistema de ecuaciones anteriores encuentro . ee aT *=α
Reemplazando en las expresiones de desplazamiento iniciales y reagrupando respecto a los 
desplazamientos nodales obtenemos para el vector desplazamiento 
[∑
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
==
e
m
j
i
mji
e
ii
a
a
a
NNNaNu
.
.,.......,, ] (2.1) eaNu =
iN es una matriz que contiene en su diagonal las funciones desplazamientos en el elemento 
para un valor unitario del desplazamiento nodal . ia
Para las funciones , , se cumplen las siguientes relaciones iN jN mN
 14
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
( ) IyxN iii =, matriz unidad, 
( ) ( ) 0,, == mmiiii yxNyxN , etc. 
Si las dos componentes del desplazamiento se interpolan de la misma manera IN ii ℵ= , donde 
la función será para , iℵ 1=ℵi ii yx , 0=ℵi en los otros puntos nodales. 
Las funciones N se llamaran funciones de forma y juegan un rol muy importante en el método 
de los elementos finitos. 
 
2.2.2 Deformaciones 
 
Conocidos los desplazamientos, puede pasarse a las “deformaciones” para cualquier punto del 
elemento, obteniéndose una relación matricial de la forma 
uL *=ε , (2.2) 
donde L es un operador apropiado, utilizando la expresión aproximada para los 
desplazamientos . aNu =
Resulta aB *=ε (2.3) 
 
NLB *= (2.4) 
 
En estado plano 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
v
u
xy
y
x
x
v
y
u
y
v
x
u
xy
y
x
0
0
γ
ε
ε
ε 
Conocidas las funciones de forma, el cálculo de B es inmediato. 
 
2.2.3 Tensiones 
 
El material dentro de la región definida para el elemento puede estar sujeto a deformaciones 
iniciales, cambios de temperatura, retracción, etc. Si llamamos con 0ε a esas deformaciones 
iniciales, las tensiones que aparezcan en dicho material, se originan por la diferencia entre las 
deformaciones reales ε e iniciales 0ε . Si además el cuerpo esta sometido a un estado de 
tensiones residuales conocidas 0σ y admitiendo un comportamiento elástico lineal para el 
material, la relación entre tensiones y deformaciones puede escribirse matricialmente: 
( ) 00 σεεσ +−= D (2.5) 
En estado plano de tensiones 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ 0 
2
100
01
01
1 2 ν
ν
ν
ν −−
=
ED 
 
2.2.4 Fuerzas nodales equivalentes 
 
Son las fuerzas actuantes en nodos, estáticamente equivalentes a las tensiones en el contorno 
y a los efectos distribuidos que actúan en el elemento 
 15
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
e
m
e
j
e
i
e
q
q
q
q
.
. 
En estado plano 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
i
ie
i V
U
q Componentes en correspondencia con los desplazamientos . ia
Llamaremos b al vector de fuerzas masicas, o fuerzas por unidad de volumen. Las 
componentes de las mismas tienen la dirección de los desplazamientos. 
En estado plano 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
y
x
b
b
b
Para hallar la equivalencia estática mencionada utilizamos el principio de los trabajos virtuales: 
impongo un desplazamiento virtualarbitrario a los nodos e igualo los trabajos virtuales 
originados por fuerzas externas e internas. 
Conjunto de desplazamientos nodales virtuales . eaδ
Se originan variaciones virtuales de desplazamiento y deformaciones en el elemento: 
eaNu δδ = y . (2.6) eaBδδε =
Trabajo virtual de las fuerzas nodales 
eeT qaδ (2.7) 
Trabajo virtual de las fuerzas internas por unidad de volumen 
σδσδε TeTT Ba= 
Trabajo virtual de las fuerzas distribuidas 
bNabu TTT δδ = (por unidad de volumen). 
Aplicando principio de trabajos virtuales 
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ∫ ∫
e eV V
TTeTeeT bdVNdVBaqa σδδ (2.10) 
Relación valida para cualquier desplazamiento virtual , luego eaδ
∫ ∫−=
e eV V
TTe bdVNdVBq σ (2.11) 
Relación valida con absoluta generalidad cualquiera sea la relación tenso deformación. Si esta 
ley adquiere la forma lineal vista anteriormente 
( ) 00 σεεσ +−= D , 
la expresión de las cargas nodales se transforma, reemplazando este valor de σ en: 
eeee faKq += (2.12) 
∫=
eV
Te dVBDBK ** (2.13a) 
∫∫∫ +−−=
eee V
T
V
T
V
Te dVBdVDBbdVNf 00 σε (2.13b) 
esta última ecuación da la colaboración a las fuerzas nodales de las fuerzas masicas, de las 
deformaciones iniciales y de las tensiones iniciales. Si las tensiones iniciales forman un sistema 
en equilibrio, como es el caso de las tensiones residuales normales, las fuerzas nodales 
originadas por ellas , luego del ensamble de los distintos elementos dará valores 
nulos. En estos casos solo tiene importancia considerarlas cuando se extraen zonas de 
∫
eV
T dVB 0σ
 16
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
material, por ejemplo, al fabricar una pieza con un material sujeto a tensiones residuales o 
cuando se excava en rocas donde existen tensiones tectónicas conocidas. En estos casos la 
eliminación de material producirá por el efecto de 0σ fuerzas nodales no compensadas que es 
necesario tener en cuenta. El ensamblaje de elementos y posterior solución sigue los 
lineamientos sencillos dados anteriormente. podrá existir un conjunto de fuerzas concentradas 
externas aplicadas en los nodos que deberá tenerse en cuenta al evaluar el equilibrio 
de los nodos. 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
.
.
.
2
1
r
r
r
también deberán tenerse en cuenta para los elementos adyacentes al contorno de la estructura 
y sometidos a una carga externa 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
y
x
t
t
t actuando en la superficie del elemento, de las cargas 
nodales originadas, a través de la expresión 
∫−
eA
T dAtN . (2.15) 
Una vez calculados los desplazamientos nodales de toda la estructura a, se calculan las 
tensiones en cada elemento a través de: 
00 σεσ +−= DDBa
e (2.16) 
DBS e = matriz de tensiones (2.17) 
 
2.3 APLICACIÓN AL DOMINIO COMPLETO 
 
En el punto anterior, se definió el concepto de fuerza nodal equivalente, se aplico el PTV al 
elemento aislado y el equilibrio del continuo establecido en forma global a través del equilibrio 
de los nodos permitió encontrar la técnica de ensamble de los elementos. Se puede llegar al 
mismo resultado aplicando el razonamiento anterior al continuo completo. Consideremos que 
para toda la estructura aNu *= (2.19) 
u: vector desplazamiento en un punto cualquiera de toda la estructura 
a: vector desplazamiento de todos los puntos nodales 
Sd
ii NN = (2.20) 
cuando el punto en consideración este dentro del subdominio Sd. 
0=iN (2.21) 
 cuando el punto este fuera del subdominio Sd. 
 
Es sencillo observar que en un punto cualquiera interior a un “elemento”, los desplazamientos 
son análogos a los establecidos en el punto anterior. Análogamente también, se puede definir 
para el continuo completo aB *=ε . 
Aplicamos el PTV a todo el continuo dando un desplazamiento virtual aδ 
δεδδ →→ ua luego 
∫∫∫ +−−=
V
T
A
T
V
TT dVdAtubdVura σδεδδδ (2.22) 
Como aNu = ; aB *=ε y si ( ) 00 σεεσ +−= D , la ecuación anterior, previo reemplazo y 
eliminación de se resume en: Taδ
 17
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
rfaK =+ (2.23) 
donde , (2.24a) ∫=
V
T dVBDBK **
∫∫∫∫ +−−−=
V
T
V
T
A
T
V
T dVBdVDBdAtNbdVNf 00 σε (2.24b) 
Y si aplicamos la propiedad que 
( ) ( )dVdV
V V e
∫ ∑ ∫= 
 y lo mismo para integrales de superficie. 
Las y nos llevan a la misma técnica de ensamblaje y a las mismas conclusiones que en 
el punto anterior. La diferencia es que ahora no se ha utilizado el concepto de fuerza nodal. 
∫
eV
∫
eA
 
Consideración: Al considerar el PTV para todo el continuo completo como sumatoria de los TV 
realizado en los elementos, se supone implícitamente que no aparecen discontinuidades entre 
los elementos, por lo que las funciones de forma aseguran la continuidad de desplazamientos 
en las interfases de los elementos. Si esto no ocurriera se debe considerar el trabajo de las 
tensiones a lo largo de la interfase de los elementos. 
 
2.4 MINIMIZACIÓN DE LA ENERGÍA POTENCIAL 
 
El PTV puede replantearse, cuando las fuerzas son conservativas; δεδδ ,, ua serán variaciones 
de las cantidades reales. Podemos escribir 
WdAtubdVura
V A
TTT δδ −=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ ∫ ∫ (2.27) 
W: energía potencial de las cargas exteriores. 
Si el tipo de material permite la existencia de la energía de deformación tal que 
∫=
V
T dVU σδεδ . (2.28) 
Si el material es elástico lineal, se puede verificar que 
∫∫∫ −−=
V
T
V
T
V
T dVdVDdVDU 002
1 σεεεεε (2.29) 
Se define VU +=π energía potencial total. 
( ) ( ) 0==+ πδδ WU (2.30) 
Para el equilibrio π debe ser estacionaria para las variaciones de los desplazamientos 
admisibles. Efectuando los reemplazos y simplificaciones correspondientes, llegamos a las 
expresiones de puntos anteriores. Todo esto podría escribirse como 0
1
=
∂
∂
a
π 
0
2
=
∂
∂
a
π .............. que representa la variación de π con respecto a un numero finito de 
parámetros a. 
En problemas de elasticidad se puede demostrar que π además de ser estacionaria es un 
mínimo. Elementos finitos busca alcanzar dicho mínimo ajustando los valores de los 
desplazamientos nodales, pero manteniendo la configuración de desplazamientos que 
corresponden a las funciones de forma adoptadas. A mayor numero de grados de libertad, o 
sea desplazamientos nodales, en nuestro caso, la solución aproximada se acercara mas a la 
exacta. Si la función π puede especificarse “a priori” las ecuaciones obtenidas para elementos 
finitos pueden obtenerse a partir de π . En esta metodología se basa el método de Rayleigh – 
 18
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Ritz. Se expresan las funciones desplazamientos para todo el continuo en función de un 
numero finito de parámetros. Se calcula la energía potencial total que queda expresada en 
función de los mismos parámetros de las funciones desplazamientos. Se minimiza la energía 
potencial respecto a esos parámetros, obteniendo un conjunto de ecuaciones simultáneas que 
permiten obtener el valor de los mismos. Las funciones deben expresarse para todo el campo, 
lo que limita su aplicación a geometrías sencillas. En elementos finitos esta restricción de 
geometría sencilla se impone al elemento solamente y no al campo total. En Rayleigh – Ritz 
cada parámetro influye en la totalidad del campo de desplazamientos, resultando el sistema de 
ecuaciones a resolver con una matriz completa. En elementos finitos cada parámetro influye 
solo en los elementos asociados al mismo, resultando una matriz banda para el sistema. En 
Rayleigh – Ritz los parámetros incógnitas no tienen ningún significado en particular mientras 
que en elementos finitos cada parámetro se asocia a un desplazamiento nodal, permitiendo 
una interpretación física de gran valor para los ingenieros, debiéndose a este hecho gran parte 
de la difusión que ha tenido este método. 
 
2.5 CRITERIOS DE CONVERGENCIA 
 
Para poder asegurar la convergencia de los resultados a valores correctos, las funciones 
desplazamientos deben cumplir con las condiciones siguientes: 
 
Condición1 
 “Cuando los desplazamientos nodales de un elemento correspondan a un 
desplazamiento en conjunto como cuerpo rígido, las funciones desplazamientos no deben 
permitir deformaciones en el elemento”. 
Esta primera condición es evidente. En la medida que los elementos vayan disminuyendo su 
tamaño, tienden a un estado de deformación constante. Las funciones desplazamiento deben 
representar esta situación. 
 
Condición 2 
 “Si los desplazamientos nodales son compatibles con un estado de deformación 
constante debe obtenerse en el elemento dicho estado de deformación”. 
Deformación tiene un significado generalizado. Se observa que la condición 2 contiene a la 1 
para el caso de deformación constante nula. en realidad estos criterios necesitan cumplirse en 
el limite, con los elementos tendiendo a dimensión cero, pero cuando se imponen a 
dimensiones finitas se mejora la precisión. 
 
Condición 3 
 “Las funciones desplazamientos deben ser capaces de asegurar la continuidad en 
los limites de separación entre elementos”. 
En algunos casos es muy difícil encontrar funciones desplazamiento que cumplan con la 
condición 3, en cuyo caso los elementos correspondientes se llamaran “no conformes”. La 
discontinuidad de desplazamientos en la interfase de los elementos generara deformaciones 
infinitas y este hecho no se ha contemplado en la evaluación del trabajo virtual utilizado para 
hallar las ecuaciones fundamentales del método. Sin embargo, en el limite, al disminuir el 
tamaño de los elementos, dicha continuidad se restablece y los elementos “no conformes” 
convergen a la solución correcta, para ello deberán cumplir con: 
 
Criterio de la parcela 
“Se impone a un numero de elementos desplazamientos nodales que 
corresponden a un estado de deformación constante. Si se alcanza el equilibrio sin 
necesidad de introducir ninguna fuerza nodal exterior y se obtiene un estado de tensión 
 19
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
constante, no se habrá perdido trabajo a través de las discontinuidades de los 
elementos”. 
 
Todos estos criterios tienen su justificación matemática, que escapa a los alcances de este 
curso, considerándose suficiente los conceptos intuitivos involucrados por los criterios 
presentados. 
 
2.6 EJEMPLOS 
 
 
VIGA CONTINUA 
 
Usaremos un concepto de tensión y deformación generalizado. La deformación en este caso 
será la curvatura. 
 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
i
i
xi
i
ia θ
ω
ω
ω
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
j
j
ji
j
ja θ
ω
ω
ω
2
2
dx
d ωε −≡ 2
2
dx
dEIM ωσ −=≡ EID = 
Función de forma para iω 
Función de forma para xiω . 
Discretizando el desplazamiento, podremos escribir: aN *=ω 
Para asegurar continuidad, tomo como parámetros nodales ω y θ , obteniéndose los vectores 
 y especificados anteriormente. Para que exista bi unicidad entre los 4 parámetros o 
desplazamientos nodales y los coeficientes de los polinomios . 
ia ja
3
4
2
321 xxx ααααω +++=
A partir del proceso mencionado anteriormente o a partir de la inspección de la forma de ji ℵℵ , 
se pueden hallar las funciones. 
 20
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
3232
2,231
L
x
L
x
L
xL
L
x
L
xNi 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
3232
,23
L
x
L
xL
L
x
L
xN j 
aNLL *** == ωε 2
2
dx
dL −= 
aB *=ε [ ]ji BBB ,= 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −−
=−= 222
2 64
,
126
L
L
L
x
L
L
x
N
dx
dB ii 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −+−
=−= 222
2 62
,
126
L
L
L
x
L
L
x
N
dx
dB jj 
∫=
L
Te EIBdxBK
0
 Matriz de rigidez 
y una submatriz dentro de ella . ∫=
L
j
T
i
e
ij dxEIBBK
0
Realizando las operaciones: 
EI
LLLL
LLLL
LLLL
LLLL
K e
4626
612612
2646
612612
22
2323
22
2323
−
−−−
−
−
= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
3.- ESTADOS PLANOS DE TENSIÓN Y DEFORMACIÓN 
 
3.1 GENERALIDADES 
 
 
 
El estado general de tensión y deformación puede definirse a través de los vectores 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
yz
xz
xy
z
y
x
τ
τ
τ
σ
σ
σ
σ 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
yz
xz
xy
z
y
x
γ
γ
γ
ε
ε
ε
ε
En los casos planos (considerando la estructura plana en el plano coordenado x, y), se 
producen las simplificaciones siguientes: 
a) Estado plano de tensiones 
0=== yzxzz ττσ 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
γ
ε
ε
ε
Ley de Hooke 
xo
yx
x EE
ε
σ
ν
σ
ε +−= yox
y
y EE
ε
σ
ν
σ
ε +−= ( ) xyoxyxy E γτ
νγ ++= 12 
Despejando las tensiones de este sistema obtengo 
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
xyo
yo
xo
xy
y
x
xy
y
x
D
γ
ε
ε
γ
ε
ε
τ
σ
σ
 
 22
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
( )oD εεσ −= 
2
100
01
01
1 2 ν
ν
ν
ν −−
=
ED 
b) Estado plano de deformaciones 
0=zε 0== yzxz γγ 0≠zσ pero en función de x,y. 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
τ
σ
σ
σ 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xy
y
x
γ
ε
ε
ε
xo
zyx
x EEE
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε +−−= yozx
y
y EEE
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε +−−= ( ) xyoxyxy E γτ
νγ ++= 12 
Además zo
yxz
z EEE
ε
σ
ν
σ
ν
σ
ε +−−= 
Despejando zσ y reemplazando resulta 
( )
( )( )
100
01
1
0
1
1
11
1
ν
ν
ν
ν
νν
ν
−
−
−+
−
=
ED 
En el caso general de anisotropía 
333231
232221
131211
ddd
ddd
ddd
D = 
 
3.2 ELEMENTO TRIANGULAR LINEAL 
 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
i
i
i v
u
a 
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
m
m
j
j
i
i
m
j
i
e
v
u
v
u
v
u
a
a
a
a
Función desplazamiento lineal yxu 321 ααα ++= yxv 654 ααα ++= 
Se calculan las seis constantes iα evaluando los desplazamientos nodales y resolviendo los 
dos sistemas de ecuaciones resultantes respecto de los iα . Por ejemplo 
mmm
jjj
iii
yxu
yxu
yxu
321
321
321
ααα
ααα
ααα
++=
++=
++=
 
El determinante del sistema == A
yx
yx
yx
mm
jj
ii
2
1
1
1
2 veces el área del triangulo 
 23
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Resolviendo 
( ) ( ) ( )ijjimmiimjjmmji yxyxuyxyxuyxyxuA −+−+−=12 α 
( ) ( ) ( )jimimjmji yyuyyuyyuA −+−+−=22 α 
( ) ( ) ( )ijmmijjmi xxuxxuxxuA −+−+−=32 α 
y llamando con 
jmi
mji
jmmji
xxc
yyb
yxyxa
−=
−=
−=
 
la función desplazamiento u resulta 
( ) ( ) ( ){ }mmmmjjjjiiii uycxbauycxbauycxbaAu ++++++++= 2
1 
mmmjjj cbacba ,,,,, se obtienen por permutación cíclica de índices. 
Realizando el mismo procedimiento para los desplazamientos verticales, se obtiene 
( ) ( ) ( ){ }mmmmjjjjiiii vycxbavycxbavycxbaAv ++++++++= 2
1 
[ ]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
m
j
i
mji
e
a
a
a
NNNNa
v
u
u ,, ii IN ℵ= I :matriz unidad 2x2 
 
A
ycxba iii
i 2
++
=ℵ 
Las funciones desplazamientos elegidas y los puntos nodales en los vértices garantizan la 
continuidad de los desplazamientos en la interfase al unir los elementos. Por ultimo es 
necesario recalcar que los nodos se deben numerar en sentido antihorario, para que el valor 
del área de positivo. 
 
Deformaciones 
uL
v
u
xy
y
x
x
v
y
u
y
v
x
u
L
xy
y
x
*0
0
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
43421
γ
ε
ε
ε 
Reemplazando u por su expresión en los ea
[ ]
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
m
j
i
mji
e
a
a
a
BBBBaε , NLB *=
Una matriz genérica viene expresada por iB
 24
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
A
ycxba
xy
y
x
ILNLB iii
L
iii 210
01
0
0
***
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=ℵ==
43421
 
ii
i
i
i
bc
c
b
A
B 0
0
2
1
= 
[ ]
mmjjii
mji
mji
mji
bcbcbc
ccc
bbb
A
BBBB 000
000
2
1
== 
 
Deformaciones iniciales
En el caso mas frecuente serán originadas por cambios de temperatura,dando en general un 
vector de deformación inicial 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
xyo
yo
xo
o
γ
ε
ε
ε Estas deformaciones pueden variar dentro del elemento, definiéndose 
normalmente un único valor (valor medio) para el elemento, lo que además es coherente con la 
hipótesis de deformación constante en el elemento. Para el caso de tensión plana, material 
isótropo e incremento de temperatura , y un coeficiente de dilatación eθ α . 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
0
e
e
o αθ
αθ
ε 
Si el caso anterior es de deformación plana al estar impedida la deformación zε , se modifican 
las tensiones ( y deformaciones) en el plano x,y, apareciendo las constantes elásticas del 
material. 
( )
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+=
0
1 e
e
o αθ
αθ
νε ν : coeficiente de Poisson 
Si el material es anisótropo, se debe variar la formulación (α depende de la dirección). Por 
ejemplo si el material es estratificado y llamamos con x’ e y’ a las direcciones principales del 
material, direcciones que poseen coeficientes de dilatación térmica 1α y 2α respectivamente, 
se calcula el vector deformación inicial referido a estas direcciones. 
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
0
' 2
1
''
'
'
e
e
oyx
oy
ox
o θα
θα
γ
ε
ε
ε 
Para obtener el vector oε se transforma el vector o'ε , a través de la relación o
t
o T εε ='
ββββββ
ββββ
ββββ
22
22
22
sencoscossencossen
cossen2cossen
cossen2sencos
−−
−
=T 
 
Relación εσ − 
 25
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
( )oD εεσ −= 
Donde ya vimos las expresiones para D según los distintos casos. 
 
Matriz de rigidez 
Según vimos en capítulos anteriores 
∫=
Ve
T DBdVBK 
Para el caso de desplazamientos lineales , si el espesor es constante 
 , luego . 
∫=
Ve
T dVDBBK
∫ =
Ve
AtdV * DBtABK T=
Estas operaciones matriciales para evaluar K son realizadas por la computadora. 
 
Fuerzas nodales 
Originadas en el elemento debido a deformaciones iniciales. 
tADBdVDBf o
T
Ve o
Te
o
εεε ∫ −=−= 
 
Fuerzas nodales 
Originadas en el elemento y debido a fuerzas masicas. 
 (por unidad de volumen) 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=
y
x
b
b
b
∫∫
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=−=
Ve
T
y
x
Ve
Te
b dVNb
b
bdVNf 
Si las fuerzas masicas son constantes, N contiene funciones de x e y (lineales) y no puede salir 
fuera de la integral. Si se elige en particular el origen de coordenadas coincidente con el centro 
de gravedad del triangulo ∫ ∫ == 0ydxdyxdxdy , con esta simplificación tenemos: 
3
* tA
b
b
b
b
b
b
f
f
f
f
y
x
y
x
y
x
e
m
e
j
e
i
e
b
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
−=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
= 
3.3 EJEMPLOS 
 
3.3.1 Concentración de tensiones 
 
Se considera la distribución de tensiones alrededor de un orificio circular en un material 
isótropo y otro anisótropo para tensión uniforme. Se ha utilizado una división en elementos 
gradual, que permite un estudio más detallado en la región donde se esperan gradientes de 
tensión elevados. En la Fig. 3.6 se puede comprobar el alto grado de precisión alcanzable, 
comparándose algunos de los resultados con las soluciones exactas. 
 26
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
 
3.3.2 Distribución de tensiones en torno de un orificio reforzado (Fig. 3.7) 
 
En vasijas de presión de acero o en los fuselajes de aviones se practican orificios en 
revestimientos sometidos a tensiones. El conducto que penetra proporciona en si un cierto 
refuerzo alrededor del borde y, además, el espesor del mismo revestimiento se aumenta para 
reducir las tensiones debidas a los efectos de concentración. 
El análisis de este tipo de problemas como casos de tensión plana no presenta dificultad. Los 
elementos se escogen de manera que sigan la variación del espesor, asignando a este valores 
convenientes. 
La estrecha zona de material grueso alrededor del borde se puede representar por elementos 
especiales tipo viga, o mas fácilmente en un programa general mediante elementos 
triangulares muy delgados del tipo usual, a los que se asignan los espesores convenientes. En 
la Fig. 3.7 se muestran los valores de tensiones, obsérvese la extensión de la región 
introducida en el análisis y la disminución gradual del tamaño de los elementos de la malla. 
 27
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
3.3.3
 
 
3.3.3 Presa sometida a presiones hidrostáticas internas y externas (Fig. 3.9) 
 
Se analiza aquí una presa de contrafuertes cimentada sobre una masa rocosa algo compleja. 
La región heterogénea que comprende la cimentación esta sometida a condiciones de 
deformación plana, mientras que la presa en si se considera como una placa (tensión plana) de 
espesor variable. 
En la Fig. 3.9 se muestra la subdivisión en elementos de la región y el croquis de la presa. En 
las figuras 3.10 (a) y (b) se muestran las tensiones que resultan del efecto del peso propio de la 
presa y de las debidas a la presión del agua, suponiendo que actúa como carga exterior o, 
alternativamente, como presión intersticial interna. Ambas soluciones indican grandes zonas de 
tracción, pero el incremento de tensiones debido a la segunda hipótesis es importante. 
 28
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
3.3.4 Presas de gravedad 
 
La presa de contrafuertes es un ejemplo natural de la aplicación del método de los elementos 
finitos. Otros tipos, como presas de gravedad con o sin aliviadero u otros accesorios, pueden 
tratarse con gran sencillez. La Fig. 3.13 muestra el análisis de una presa de gran tamaño con 
aliviadero y compuertas en coronación. Es evidente que este caso implica una aproximación 
consistente en adoptar un análisis bidimensional en las proximidades del cambio brusco de 
sección que se produce en las zonas donde el aliviadero se une al cuerpo principal de la presa, 
pero esto conduce solo a errores localizados. 
Es importante hacer notar aquí que, en uno de los casos se uso una malla de tamaños 
gradualmente variables para estudiar la concentración de tensiones en la presa y el 
comportamiento de la cimentacion. La variación lineal entre los tamaños de los elementos más 
grandes y los más pequeños es del orden 30 a 1. 
 29
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
 
Bibliografía 
El Método de los Elementos Finitos – Volumen 1 
O. C. Zienkiewicz – R. L. Taylor 
McGraw - Hill 
 
 30
 
 
1. INTRODUCCION AL METODO DE RIGIDEZ 
 
1.1. GENERALIDADES 
 
 Los ingenieros dedicados al diseño estructural deben determinar las proporciones de los 
elementos y la configuración de conjunto que permitan resistir económica y eficientemente las 
condiciones de carga posibles de ocurrir durante la vida útil de la estructura. El aspecto central 
de esta función es el cálculo de la distribución de fuerzas dentro de la estructura y el estado 
deformado de la misma. 
 
En esta primera parte del curso vamos a estudiar la forma de ejecutar dichos cálculos en el 
caso particular de estructuras de barras bajo comportamiento elástico lineal a través del 
método de los desplazamientos. 
 
Existe una amplia gama de estructuras que pueden representarse satisfactoriamente, a los 
fines del análisis por un modelo tipo esqueleto (de barras); tal es el caso de: edificios de 
diversos tipos, partes de aviones y de barcos, torres, etc. 
La filosofía de diseño que se aplica en la mayoría de los casos es aquella que requiere 
comportamiento elástico de la estructura bajo la acción de las cargas (no se admiten 
deformaciones plásticas). El comportamiento de cualquier tipo de estructuras (de barras, 
placas, cáscaras o sólidos) se describe fundamentalmente por medio de ecuaciones 
diferenciales. Esto no es necesario en el caso de estructuras de barras prismáticas ya que 
pueden ser tratadas como un ensamblaje de elementos unidimensionales para los cuales se 
conoce la solución exacta o aproximada de las ecuaciones diferenciales. 
A partir de dichas soluciones bien conocidas se pueden obtener relaciones entre las fuerzas y 
los desplazamientos de los extremosde cada barra. Finalmente combinando dichas relaciones 
con las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad de los nudos obtenemos un sistema de 
ecuaciones algebraicas que describe el comportamiento de la estructura. 
 
En los casos de elementos estructurales bi o tridimensionales el problemas es mas complicado 
porque raramente existen soluciones exactas para las ecuaciones diferenciales en derivadas 
parciales que ellas originan. Una manera práctica de obtener soluciones numéricas en tales 
casos es la aplicación del método de Elementos Finitos. El concepto básico de este método 
es que el continuo (toda la estructura) puede modelarse analíticamente subdividiéndolo en 
regiones (elementos finitos) cuyo comportamiento puede describirse por una serie de funciones 
propuestas de antemano, que representan los desplazamientos o las tensiones en dichas 
regiones. Este planteo conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas. 
Debe quedar claro que un miembro de una estructura de barras, es un caso particular 
(relativamente simple) dentro de la gama de Elementos Finitos. La solución práctica de un 
problema será de tipo numérico e involucrara la formación y solución de sistemas 
(generalmente grande) de ecuaciones algebraicas. 
 
1.2. TIPOS DE ESTRUCTURAS 
 
Una estructura esta formada por elementos conectados que pueden considerarse de una, dos 
o tres dimensiones. En realidad todo elemento tiene largo, ancho y espesor, pero el ancho y el 
espesor son pequeños respecto a la longitud se puede considerar al elemento como 
unidimensional (barra). En el caso de placas y cáscaras el espesor es pequeño respecto al 
largo y el ancho y pueden por lo tanto considerarse como elementos bidimensionales. Si el 
espesor, el largo y el ancho son todas comparables debe considerarse al elemento como 
 1
 
 
tridimensional. La clasificación como uní, bi o tridimensional depende del criterio del calculista 
quien deberá cotejar la exactitud que espera en los resultados con el esfuerzo de calculo. 
En esta primera parte trataremos únicamente estructuras cuyos elementos son 
unidimensionales (barras) y que después de ciertas aproximaciones e hipótesis simplificativas 
pueden analizarse a través de un modelo que es una idealización de la estructura real. 
A fin de su estudio vamos a clasificar las estructuras de barras de la siguiente manera: 
 
Nudos articulados Reticulado plano 
 Reticulado espacial 
 
Nudos rígidos Planas Pórtico plano 
 Emparrilado plano 
 
 Espacial Pórtico espacial 
 
1.3. OBJETO DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL 
 
En esta parte nos orientaremos al análisis estructural que es una herramienta del diseño 
estructural el análisis estructural se ocupa de determinar los desplazamientos y la fuerzas 
internas. En una etapa posterior se calculan las tensiones en base a la resistencia de 
materiales y se calcula el coeficiente de seguridad de acuerdo a la teoría de falla que se 
adopte. Las teorías de falla se verán en el último capitulo del curso, pueden referirse a: fluencia 
o rotura, corte máximo, tensión principal máxima, inestabilidad elástica (pandeo), etc. 
El análisis estructural se realiza sobre una estructura predimensionada que viene definida a 
través de datos precisos sobre la geometría y sobre las características de las materiales de la 
misma. También supone definidas las acciones a considerar, que son: cargas de diversa 
naturaleza, defectos de montaje, variaciones de temperatura, etc. 
El calculo de tensiones puede mostrara la necesidad de introducir modificaciones mas o menos 
importantes en la estructura original. En esos casos se debe repetir el análisis y posterior 
calculo de tensiones. 
Todo esto puede esquematizarse de la siguiente manera: 
 
DATOS 
a) características 
funcionales 
b) acciones 
DISEÑO ESTRUCTURAL 
a) definición de la estructura 
b) definición de las cargas 
(acciones externas, peso propio, 
etc.)
 
ANALISIS ESTRUCTURAL 
Determina: 
a) Fuerzas extremas de barras 
b) Desplazamiento de nudos 
 
CALCULO DE TENSIONES 
Utilización de alguna teoría de falla 
Satisfactorio
FIN 
Ejecución de planos, 
etc. 
No satisfactorio 
(Repetir ciclo) 
 2
 
 
1.4. SOLUCIÓN COMPLETA DE PROBLEMAS DE MECÁNICA ESTRUCTURAL 
 
Comenzaremos recordando algunos conceptos fundamentales ya enunciados en la iniciación 
de éste curso. 
Recordemos que la solución completa de un problema estructural consiste en determinar: 
 
a) Esfuerzos 
b) Desplazamientos 
 
Para lograr estos objetivos deben necesariamente utilizarse en alguna etapa de cálculo las 
siguientes relaciones: 
 
a) Ecuaciones de equilibrio 
b) Condiciones de compatibilidad 
c) Relaciones constitutivas 
d) Condiciones de vinculo 
 
Sustituyendo unas ecuaciones en otras se llega a un sistema de ecuaciones que satisfacen los 
cuatro tipos de relaciones enunciadas, pero cuyas incógnitas pueden ser fuerzas o 
desplazamientos. Según sea el orden en que se sustituyan unas ecuaciones en otras, las 
incógnitas que se calculen primero, se origina el método de las fuerzas o el método de los 
desplazamientos. Estos métodos son esencialmente distintos. 
A continuación haremos un resumen de las características fundamentales de ambos métodos y 
un ejercicio que muestra la forma de operara de los mismos. 
 
1.5. LOS DOS GRANDES MÉTODOS DE CALCULO 
 
Método de las fuerzas 
 
1) Primero se plantean y resuelven ecuaciones de compatibilidad cuyas incógnitas son 
fuerzas (incógnitas hiperestaticas). Debido a esto también se lo conoce como método de 
compatibilidad o método de flexibilidad. El numero de ecuaciones esta asociado al 
grado de indeterminación estática. 
2) En una segunda etapa de calculo se pueden determinar de a uno por vez los 
desplazamientos en los distintos puntos de la estructura. 
 
Método de rigidez 
 
1) Primero se plantean y resuelven ecuaciones de equilibrio cuyas incógnitas son 
desplazamientos. Debido a esto también se lo conoce como método de equilibrio o 
método de los desplazamientos. El numero de ecuaciones esta asociado al grado de 
indeterminación geométrica. 
2) En una segunda etapa de cálculo se pueden determinar de a uno por vez los esfuerzos 
en los distintos puntos de la estructura. 
 
1.6. EJEMPLO DE APLICACIÓN DE LOS DOS MÉTODOS 
 
Nos proponemos resolver el problema hiperestatico simétrico de la fig. 1 
 
Datos: PAElAEl ,,,,,,, 222111α 
 
 3
 
 
 
 
Fig. 1 
 
Incógnitas: 
Fuerzas en las barras F1 , F2 
Elongaciones de las barras e1, e2 
El desplazamiento del punto A AU
Tenemos en total 5 incógnitas. 
 
A) Ecuaciones de equilibrio 
 
PFF =+ 21 cos2 α (1) 
 
B) Ecuaciones constitutivas 
 
Supondremos que el material es linealmente elástico (se cumple la ley de hooke) y 
denotaremos K al producto 
l
AE que llamaremos rigidez axial de la barra. 
1
1
1 K
Fe = (2.1) 
 
2
2
2 K
Fe = (2.2) 
 
C) Ecuaciones de compatibilidad 
 
Para desplazamientos pequeños podemos calcular el alargamiento de la barra proyectando 
el desplazamiento relativo entre los extremos sobre la dirección original de la barra. 
 
αcos1 AUe = (3.1) 
AUe =2 (3.2) 
 
Hemos planteado 5 ecuaciones que permiten determinar las 5 incógnitas. Debemos hacer 
notar que el problema no puede resolverse a menos que utilicemos todas las ecuaciones. 
 
 4
 
 
Método de las fuerzas 
 
De las ecuaciones (3.1) y (3.2) llegamos a una sola ecuación de compatibilidad donde no figura 
el desplazamiento como incógnita. AU
2
1
cos
ee =
α
 (4) 
 
Sustituyendo (2.1) y (2.2) en (4) tenemos: 
 
2
2
1
1
cos K
F
K
F
=
α
 (5) 
 
Si despejamos de (1) y lo sustituimos en (5) resulta: 1F
 
2
1
1
1 cos2
cos K
FP
K
F α
α
−
= (6) 
 
Esta es una ecuación de compatibilidad geométrica (ambos miembros son dimensionalmente 
longitudes). Es una versión de (4) que cumple además equilibrio y tiene en cuenta las 
características de las barras. 
De (6) despejamos las fuerzas incógnitas , hallamos sustituyendo en (1), luego 
calculamos las elongaciones según (2.1) y (2.2) y finalmentedeterminamos el desplazamiento 
 según (3.2). 
1F 2F
AU
 
Método de rigidez 
 
Sustituyendo las ecuaciones (3) en (2) tenemos expresadas las fuerzas en función del 
desplazamiento : AU
 
αcos11 AUKF = (1.1) 
 
AUKF 22 = (1.2) 
 
Sustituyendo ahora estos valores en la ecuación (1) nos queda: 
 
PUKUK AA =+ 2
2
1 cos2 α 
 
PUKK A =+ )cos2( 2
2
1 α (8) 
 
que en notación abreviada se expresa: 
 
K U = P (9) 
 
(8) es una ecuación de equilibrio (ambos miembros son fuerzas) que satisface además 
compatibilidad de deformaciones y tiene en cuenta las características elásticas de las barras. 
Determinamos el desplazamiento a partir de (8) y luego por simple sustitución se calculan las 
fuerzas empleando (7.1) y (7.2). 
 
 5
 
 
Los métodos que permiten plantear sistemáticamente ecuaciones de compatibilidad en función 
de fuerzas incógnitas tales como: TRABAJOS VIRTUALES, CASTIGLIANO, TRES 
MOMENTOS, etc. pertenecen al método de las FUERZAS. 
Concentraremos ahora nuestra atención en desarrollar un procedimiento que permita plantear 
sistemáticamente ecuaciones del tipo de (9), vale decir, ecuaciones de equilibrio estático en 
función de desplazamientos, donde las fuerzas elásticas, KU, equilibran a las fuerzas exteriores 
P. 
 
U es el vector desplazamiento generalizado (corrimientos y giros). 
P es el vector de cargas generalizado (fuerzas y momentos). 
K es la matriz de rigidez que depende de las propiedades elásticas y geométricas de cada 
barra y además de la forma en que se conectan. 
 
Comenzaremos por sencillez desarrollando el método de rigidez para el caso de reticulados 
planos. 
 
2.- Método de rigidez – Reticulados planos 
 
2.1 Relaciones cinemáticas para barras de reticulado 
 
Resulta fundamental para el método de rigidez relacionar los desplazamientos de los extremos 
de una barra de reticulado con el alargamiento de la misma. 
Vamos a considerar una barra que une el origen (nudo “i”) con el extremo (nudo “j”) cuyo largo 
es l. Suponemos que el origen experimenta un desplazamiento iU pasando al punto I mientras 
que el extremo “j” se desplaza jU hasta J. 
La posición inicial esta definida por los vectores de posición ir , jr . Los vectores de posición 
una vez deformada la barra se obtienen en función de los corrimientos nodales iU , jU . 
 
 
 Fig. 1 
 6
 
 
jjJ
iiI
UrR
UrR
+=
+=
 
 
Notación: 
lr
tlr
rrr ij
=∆
=∆
∆=−
. 
t versor 
UrRRR
UUU
IJ
ij
∆+∆=∆=−
∆=− 
 
La elongación que ha sufrido la barra es igual a la diferencia de longitud de la barra antes y 
después de la deformación. 
 
lRlLe −∆=−= 2)( 
 
Dividiendo por l: 1
)( 2
−
∆
=
l
R
l
e luego 2
22
1
l
R
l
e ∆
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ + 
 
Normalmente 11 <<= εl
e de modo que: ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −∆
=∴
∆
=+∴+≅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
l
lRe
l
R
l
e
l
e
l
e 2
2
2
22
2
121211 
 
Recordando que urR ∆+∆=∆ y desarrollando el cuadrado escalar nos queda: 
 
( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ −∆+∆∆+∆
=
l
lUUrre
222 2
2
1 
 
Finalmente 
l
UUtUe
2
** ∆∆+∆≡ (1) (contiene hipótesis de pequeñas def. específica) 
La ecuación (1) es una expresión bastante exacta para obtener las elongaciones pero tiene el 
inconveniente de ser no lineal en los desplazamientos. 
 
Si U∆ es pequeño como ocurre en la mayoría de los casos el segundo término (termino no 
lineal) del segundo miembro de (1) puede despreciarse quedando solamente: 
 
tUe *∆≡ (2) (contiene la hipótesis de pequeños giros) 
 
O sea que para U∆ pequeño, la elongación de la barra es aproximadamente igual a la 
proyección del corrimiento relativo entre los extremos sobre la dirección de la barra 
indeformada. 
 
 7
 
 
2.2. Matriz de rigidez de una barra de un reticulado plano 
 
Vamos a relacionar las fuerzas aplicadas en los extremos de una barra con los 
desplazamientos de los extremos de dicha barra. La relación se logra a través de la matriz de 
rigidez de la barra que depende de las características elásticas de la barra y de su orientación. 
Hay dos componentes de desplazamientos incógnita por nudo y se pueden plantear dos 
ecuaciones de equilibrio por nudo por lo que la matriz de rigidez resulta ser de (4x4). 
 
 Fig. 2 
 
 (3) 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
j
x
j
y
i
x
i
y
j
x
j
y
i
x
i
P
P
P
P
U
U
U
U
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
44434241
34333231
24232221
14131211
 
Para deducir los elementos de la matriz K, utilizaremos un razonamiento físico. 
 
 
Podemos hacer: 
 8
 
 
 (4) 
0
0
=yj
j
U
U
0
1
=
=
=
x
y
i
x
i
U
U
 
El corrimiento horizontal del nudo “i” es igual a la unidad y los restantes corrimientos nulos. La 
elongación de la barra es según (2) (hipótesis lineal) igual a la proyección del corrimiento 
unitario sobre la dirección primitiva de la barra. 
 
αcos*1≡e (5) 
 
 Fig. 3 
 
La fuerza que comprime la barra una magnitud e esta dada por la ley de Hooke eKP *= (6) 
Notar que planteamos equilibrio en el sistema indeformado. 
 
Sustituyendo (4) en (3) queda: (7) 
y
j
x
j
y
i
x
i
PK
UK
PK
PK
=
=
=
=
1*
1*
1*
1*
41
31
21
11
 9
 
 
La ecuación (7) muestra que la primera columna de K es numéricamente igual al valor de las 
fuerzas que mantienen el estado de deformación prefijado definido en (4). 
 
Observando la fig. 3 tenemos: 
 
αcos*PP xi = ; ; ; (8) βcos*PP
y
i = αcos*PP
x
j −= βcos*PP
y
j −=
 
Debemos respetar el sentido que hemos adoptado como positivo para fuerzas y 
desplazamientos. 
Sustituyendo (5) en (6) y luego en (8): 
α2cos*KP xi = ; ; ; (9) αβ cos*cos*KP
y
i = α
2cos*KP xj −= αβ cos*cos*KP
y
j −=
Reemplazando las expresiones de (9) en (7) obtenemos la primera columna de la matriz K. 
Por un razonamiento similar podemos determinar una por una las restantes columnas. 
 
 
 
Podemos ahora dar la forma “explicita” (receta) de la matriz de rigidez de una barra de rigidez 
axial K y cuyos cosenos directores son: 
1cos γα = 2cos γβ = l
AEK = 
 nudo i 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
2
221
2
221
21
2
121
2
1
2
221
2
221
21
2
121
2
1
γγγγγγ
γγγγγγ
γγγγγγ
γγγγγγ
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
K (10) 
 
 nudo i nudo j nudo j 
 
Se observa que la 3ª fila de (10) es igual a la 1ª fila cambiada de signo, la 4ª fila es igual a la 2ª 
cambiada de signo, y la 2ª es igual a la 1ª multiplicada por 21 / γγ . El sistema (3) contiene solo 
una ecuación linealmente independiente, la matriz K es singular y el sistema no tiene solución 
única. 
Si las componentes de fuerza del 2º miembro de (3) no guardan las mismas relaciones que las 
filas del 1º miembro, el sistema es incompatible. (no hay equilibrio). Si el sistema es compatible 
 10
 
 
(hay equilibrio) hay infinitas soluciones que corresponden a un alargamiento de la barra 
seguido de un desplazamiento de cuerpo rígido. 
Debemos destacar que si se conocen los desplazamientos de los extremos de la barra la 
expresión (3) permite hallar las fuerzas que solicitan la barra. 
La simetría de la matriz es una simple consecuencia del teorema de reciprocidad. 
Si cambiamos la orientación de la barra cambian simultáneamente los dos cosenos directores y 
por lo tanto (10) no cambia. 
 
 
Fig. 4 
 
Las ecuaciones de equilibrio (3) llamadas ecuaciones “fuerza-movimiento” pueden escribirse 
particionadas como sigue: 
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
j
i
j
i
jjji
ijii
P
P
U
U
KK
KK
 (11) 
 
O también : 
 
ijijiii PUKUK =+ ** (12.1) 
jjjjiji PUKUK =+ ** (12.2) 
 
Notar que es una submatriz 2x2 y los vectores y son vectores de dos componentes. ijK iP iU
La (11) es un sistema de dos ecuaciones vectoriales. Como cada vector tiene dos 
componentes escalares (proyecciones sobre el sistema global) se trata de cuatro ecuaciones 
algebraicas lineales. 
Debemos notar que la matriz de rigidez (10) provee una descripción completa de las 
características elásticas de la barra y de sudirección, antes de plantear las ecuaciones de 
equilibrio globales y de compatibilidad de desplazamientos para el conjunto. 
 
2.3 Matriz de rigidez del reticulado 
 
Como ya mencionamos el número de incógnitas en el método de rigidez esta asociado al grado 
de indeterminación geométrica. Se definen como “grados de libertad geométricos” o 
simplemente “grados de libertad” (que abreviaremos GL) a los desplazamientos que debemos 
determinar para dar la configuración deformada. 
 11
 
 
En un reticulado “ideal” (perfectamente articulado) bastara conocer la posición final de cada 
nudo para conocer “toda” la configuración deformada (ya que las barras permanecen rectas). 
En el reticulado plano bastara conocer las dos componentes ( ) del desplazamiento de 
cada nudo. 
yx UU ,
El número de GL para un reticulado plano es igual al doble del número de nudos menos el 
número de condiciones de vínculo. 
Ilustraremos el ensamble de la matriz de rigidez del conjunto a partir de las matrices de rigidez 
de cada una de las barras individuales, considerando el reticulado de la fig. 5. 
 
 
 
Fig. 5 
 
Este reticulado tiene 7 nudos y por lo tanto 14 GL. Dejaremos para una etapa posterior 
introducir las condiciones de vínculo. 
Al ensamblar la matriz de rigidez del conjunto (de orden 14x14) se distinguen dos importantes 
aspectos: 
 
a) características elásticas y orientación de cada barra 
b) topología del reticulado. 
 
El primer aspecto esta totalmente resuelto a través de la matriz de rigidez (10) de cada barra. 
El segundo se refiere a la forma en que se unen las barras (conectividades). 
Dijimos que la matriz K será de orden 14 y corresponderá a un sistema de 14 ecuaciones de 
equilibrio. 
Vamos a desarrollar en detalle las dos ecuaciones de equilibrio del nudo 4 a modo de ejemplo. 
Empleando notación matricial escribiremos una sola ecuación vectorial de equilibrio del nudo 4. 
 
 12
 
 
 
 
Fig. 6 
 
Equilibrio (13) 4PPPPP
h
i
g
i
e
j
d
j =+++
 
La fuerza se descompone en cuatro fuerzas actuando en el extremo “j” de las barras d y e y 
en el origen “i” de las barras g y h. 
4P
 
Compatibilidad (14) 4UUUUU
h
i
g
i
e
j
d
j ====
 
La (14) expresa simplemente los corrimientos de los extremos de las barras que concurren al 
nudo 4 son iguales al corrimiento del nudo 4. 
Las fuerzas en los extremos de las barras en la ecuación de equilibrio (13) pueden expresarse 
en función de los desplazamientos de los extremos por las ecuaciones fuerza – movimiento 
(12.1) y (12.2). 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 4PUKUKUKUKUKUKUKUK hjhijhihiigjgijgigiiejejjeiejidjdjjdidji =+++++++ 
 
( ) ( ) ( ) ( )64544342 ,,,,,,, UUUUUUUUUUUUUUUU hjhigjgiejeidjdi ======== 
 
Si tenemos en cuenta las ecuaciones de compatibilidad del tipo (14), para cada nudo tenemos: 
 
( ) 47654321 *0*0 PUUKUKUKKKKUKUKK hiigijhiigiiejjdjjejidji =+++++++++ (15) 
 
La expresión vectorial (15) corresponde a las dos ecuaciones de equilibrio del nudo 4 que 
resultan ser la séptima y octava ecuaciones del sistema (14x14) correspondiente al reticulado 
de la figura 5. 
 
Ensamble de la matriz de rigidez del conjunto 
 
La ecuación (15) se desarrollo para el nudo 4 (a modo de ejemplo), pero es totalmente general 
y nos provee una manera sistemática de plantear las ecuaciones de equilibrio. Concretamente 
nos muestra la forma de ensamblar la matriz de rigidez del reticulado, a partir de las 
submatrices de rigidez de cada barra. 
 13
 
 
 
 
(16) 
 
Sobre la diagonal (elemento ) se suma la contribución de la rigidez de las cuatro barras que 
concurren al nudo 4. 
44K
El elemento contiene el aporte de la única barra que une los nudos 2 y 4. 42K
El elemento es nulo porque no hay ninguna barra conectando el nudo 1 con el 4.como 
ejemplo vamos a ensamblar directamente la contribución de una barra cualquiera. 
41K
Tomemos la barra d que une el nudo 2 con el 4. 
 
 
 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
= d
jj
d
ji
d
ij
d
iid
KK
KK
K (17) 
 
 14
 
 
:diiK se suma a la contribución de las barras a y c para dar . 22K
:dijK resulta ser . 24K
:djiK resulta ser . 42K
:djjK se suma a la contribución de las barras e, g y h para dar . 44K
 
Lo que mostramos para la barra d es totalmente general, para una barra genérica α que une el 
nudo “i” con el nudo “j” tenemos: 
 
barrasotraslasdeoncontribuciUKUKP
barrasotraslasdeoncontribuciUKUKP
jjjijij
jijiiii
−−−−++=
−−−−++=
αα
αα
 (18) 
 
Para ensamblar la matriz del conjunto se parte de una matriz nula (2nx2n) donde n es el 
número de nudos del reticulado y se va sumando la contribución de cada barra. 
 
Por ejemplo la contribución de la barra α será según (18) la indicada en la figura 7. 
 
 
 
 
Fig. 7 
 
Características de la matriz de rigidez 
 
1) La matriz de rigidez del reticulado es cuadrada y de orden 2n, donde n es el 
número de nudos. 
2) Resulta ser una matriz simétrica como consecuencia de que las matrices de las 
barras individuales son simétricas. 
3) Es una matriz singular (determinante nulo) de modo que no puede resolverse el 
sistema (16) obteniendo solución única porque todavía no se han tenido en 
cuenta los apoyos. Para impedir desplazamiento de cuerpo rígido en el plano hay 
que dar por lo menos tres condiciones de vínculo apropiadas. 
 
 15
 
 
Introducción de las condiciones de vínculo 
 
Hasta el momento se han considerado las relaciones constitutivas y las ecuaciones de 
equilibrio y de compatibilidad, solo resta introducir las condiciones de apoyo. 
El nudo 1 es un apoyo fijo y el nudo 5 es un apoyo móvil, de modo que conocemos tres 
desplazamientos que son nulos: 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=−−−−⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
00
0 5
51
xU
UU (19) 
 
Las columnas primera, segunda y décima que van a ser multiplicadas por cero, pueden 
omitirse. 
 
Las filas primera, segunda y décima, se pueden, también omitir y resolver un sistema 11x11 
que permitirá determinar los 11 desplazamientos incógnitas. 
Una vez calculados los 11 desplazamientos (sin considerar las filas 1ª, 2ª y 10ª), se pueden 
utilizar las ecuaciones 1ª, 2ª y 10ª para obtener las reacciones de apoyo desconocidas 
(observar el sistema (16)). 
La diagonal principal tiene todos sus elementos distintos de cero y además positivos. Esto es 
concordante con el hecho de que para producir un desplazamiento en una dirección y sentido 
dado hay que aplicar en dicho nudo una fuerza de igual sentido. Como además los elementos 
de la diagonal son los únicos que se obtienen sumando rigideces de distintas barras resultan 
ser dominantes (mayores) que los restantes elementos de la matriz. 
Observando la fig. 76 se deduce que si los números que definen los nudos extremos de una 
barra difieren en pocas unidades las cuatro submatrices de esa barra se alojaran muy cerca de 
la diagonal principal (es evidente que cualquiera sea la numeración, las submatrices y 
van siempre sobre la diagonal principal). 
iiK ijK
Una numeración adecuada de los nudos permitirá que todos los elementos no nulos de la 
matriz estén próximos a la diagonal principal. De esta manera se obtiene una matriz “en banda” 
del tipo de la figura 8. 
Dentro de la banda puede haber también algunos elementos nulos, pero fuera de la banda 
deben ser todos los elementos nulos. 
 
 Fig. 8 
 16
 
 
 
Ejemplo 
 
Fig. 9 
 
En el caso a obtenemos una matriz “llena” mientras que la numeración b ninguna barra tiene 
extremos cuya numeración difiera en mas de dos unidades. 
 
 
 
En ambos casos antes de introducir las condiciones de vínculo tenemos una matriz de 24x24 
simétrica. El ancho de banda tiene gran importancia desde el punto de vista computacional. El 
caso b requiere menos capacidad de memoria porque la parte fuera de la banda no necesita 
almacenarse, además de simetría se almacena solo la mitad. 
Vamos a introducir variantes al reticulado de la figura 5 para ver como afectan al sistema de 
ecuaciones a resolver. 
 17
 
 
 
 
1) Agregamos un apoyo móvil en el nudo 3 en dirección horizontal. 
En el método de las fuerzas tendríamos