1 TENSIONES Y DEFORMACIONES EN ESTADO TRIDIMENSIONAL - Alfonso Toribio

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Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA TENSORIAL 
 
1) ROTACIÓN DE COORDENADAS EN EL ESPACIO 
 
Dado un sistema de ejes cartesianos ortogonal (x1, x2, x3) con origen O, manteniendo el mismo 
origen tomamos otra terna de ejes cartesianos ortogonales (x’1, x’2, x’3). 
La posición de los nuevos ejes queda perfectamente establecida conociendo los cosenos 
directores de cada eje. 
Llamaremos λij = cos x’ixj al coseno que cada nuevo eje forma con los antiguos. 
Llamamos matriz de rotación a aquella formada de la siguiente manera: 
 
 X3 
 X’3 
 X’1 
 X2 
 
 
 X1 
 X’2 
 
 X1 X2 X3 
X’1 λ11 λ12 λ13 
X’2 λ21 λ22 λ23 
X’3 λ31 λ32 λ33 
 
 
 
1.1) Propiedades de la matriz de rotación: 
 
a) Propiedad 1 
3 0 si i≠j 
Σ λih . λjh = 
h=1 1 si i=j 
 
3 0 si i≠j 
Σ λhi . λhj = 
h=1 1 si i=j 
 
b) Propiedad 2 
 
A . A = I ⇒ A = A 
 
c) Propiedad 3 
 
 1 
D(A) = ⇒ puede demostrarse que cuando se trabaja con ternas de la misma orientación 
 -1 el determinante vale 1, en tanto si se trabaja con ternas de distinta orientación 
 vale –1. 
 
D(A)= Determinante de A 
 1
 
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2) CONCEPTOS DE VECTOR Y TENSOR 
 
En general podemos decir que es fácil intuir geométricamente y físicamente, que es un vector. El 
mismo puede representarse mediante una terna de números o componentes y nos damos cuenta 
que esos números cambiarán si el sistema de referencia sufre una rotación, no obstante que el 
vector es el mismo. Si pensamos en una fuerza (que es un vector), éste no cambiará porque 
cambie el sistema de referencia. 
 
 y En x,y → v = (4,3) 
 x’,y’ → v = (5,0) 
y’ x’ 
 
 3 5 
 v 
 
 x 
 
 4 
 
Podemos definir un vector de la siguiente manera: “Es un ente que en un sistema cartesiano 
ortogonal está representado por una terna ordenada de números reales o componentes. Si el 
sistema coordenado se modifica por translación dichas componentes no cambian pero si el 
sistema se modifica por rotación de acuerdo a la matriz A el vector en el nuevo sistema estará 
representado por una nueva terna ordenada donde x’i = Σ λij.xj, lo que matricialmente se indica 
como A.V’’. 
Un tensor es un ente matemático que no puede representarse geométricamente, sin embargo el 
estado de tensiones que existe en un punto de un cuerpo sometido a esfuerzos corresponde a la 
expresión de un tensor. 
“Llamaremos tensor de segundo rango en el espacio tridimensional a un ente abstracto que en un 
sistema de referencia cartesiano ortogonal queda representado por nueve números o 
componentes ordenados en forma de matriz cuadrada” 
 
 t11 t12 t13 
 (tij) = t21 t22 t23 
 t31 t32 t33 
 
de tal manera que si el sistema coordenado se modifica por translación la matriz (tij) no cambia, 
sin embargo si el sistema rota según la matriz A, las componentes del tensor se modifican 
también según la siguiente ley: 
 3 3 
t’ij = Σ Σ λih λjk thk 
 h=1 k=1 
 
Lo que matricialmente se expresa como T’ = A.T.A 
Como extensión definimos como tensor de primer rango a un vector y como tensor de rango cero 
a un escalar. 
 
2.1) Algebra Tensorial 
 
Pueden definirse: Suma de tensores 
 Producto de un tensor por un escalar 
 Producto de tensores 
 Producto de un tensor por un vector 
 2
 
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(Esto último se define; dado T, v; T.v = u) 
 
2.2) Invariantes de un tensor 
 
a) Determinante o invariante de 3 orden 
 
D(T’) = D(T) = J3 
El determinante de un tensor permanece invariante en cualquier sistema de referencia. 
 
b) Invariante de 2 orden 
 
Aij = adj (tij) = (-1) Mij 
A11 + A22 + A33 = J2 
 
c) Invariante de 1 orden 
 
T11 + t22 + t33 = J1 
 
 
 
2.3) Tensores Simétricos 
Decimos que un tensor es simétrico si lo es la matriz que lo representa en cualquier sistema. 
 
3) AUTOVALORES Y AUTOVERSORES DE UN TENSOR SIMÉTRICO 
 
Sea un tensor T simétrico y sea u un vector que en un sistema de referencia quedan representados 
por la matriz T y u respectivamente. 
Si realizamos el producto T.u = v obtendremos un vector v. 
Nos proponemos encontrar el vector u tal que realizando la operación anterior el vector v 
encontrado sea paralelo a u. 
Si v es u ⇒ v = α u donde α ∈ R 
Por definición de producto de un número real por un vector. 
Luego en un sistema de referencia T → T 
 u → u 
T.u → T.u = α u 
 u1 
 u2 
 u3 
 t11 t12 t13 αu1 
 t21 t22 t23 αu2 
 t31 t32 t33 αu3 
 
 
 
 
Desarrollando este producto matricial llegamos a: 
 
(t11-α) u1 + t12 u2 + t13 u3 = 0 
t21 u1 + (t22-α) u2 + t23 u3 = 0 
t31 u1 + t32 u2 + (t33-α) u3 = 0 
 
 
 3
 
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para que existan soluciones distintas de la trivial debe ser nulo el determinante de la matriz del 
sistema: 
 
 t11-α t12 t13 
 t21 t22-α t23 = 0 
 t31 t32 t33-α 
 
Desarrollando esta expresión llegamos a: 
 
α³ - J1 α² + J2 α - J3 = 0 
 
que se conoce como ecuación característica o ecuación secular del tensor. 
J1, J2 y J3 son los invariantes del tensor. 
Puede demostrarse que siendo el tensor simétrico las tres raíces que satisfacen esta ecuación son 
reales y se denominan “autovalores”. 
Reemplazando en el sistema de ecuaciones de a un autovalor por vez se encontrará para cada 
autovalor un conjunto de vectores, todos paralelos entre sí. De todos esos vectores que se 
denominan autovectores puede elegirse un versor, llamado “autoversor”. Debido a que existen 3 
autovalores se obtienen 3 autoversores, si los 3 autovalores son distintos puede demostrarse que 
los autoversores son normales entre sí. Si con los autoversores se forma una matriz A puede 
demostrarse que al hacer T’=A T A 
 
 
 α1 0 0 
T’= 0 α2 0 
 0 0 α3 es decir, se logra diagonalizar el tensor. 
 
 4
 
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CAPITULO I 
 
1.TEORIA DE TENSIONES 
 
En estática se decía que las fuerzas interiores no intervienen en el análisis del equilibrio de un cuerpo. La 
teoria de la elasticidad se propone determinar las fuerzas interiores que se generan en un cuerpo sólido, 
elástico, suficientemente vinculado cuando se lo somete a un determinado estado de cargas. 
Para calcular estas fuerzas interiores usamos los conocimientos de la estática, o sea, hay que tratar de 
llevar las fuerzas interiores a la categoría de fuerzas exteriores. Esto se realiza con el método de las 
secciones. 
Por M un punto interior del cuerpo hacemos pasar un plano y suponemos que alejamos la parteB. 
 
 
Las fuerzas aplicadas a la parte A del plano secante, quedaran desequilibradas. La parte A se encuentra en 
equilibrio, quiere decir que las fuerzas interiores que pasan ahora a exteriores con respecto a A deben ser 
equilibradas por fuerzas exteriores P. 
∆A: área pequeña alrededor del punto M, comprendida dentro del plano. 
∆Ρ : vector resultante de todas las pequeñas fuerzas que abarca el área ∆A. 
∆Α
∆Ρ : este cociente es un vector por un escalar, lo llamamos tensión media de las fuerzas interiores en el 
área elemental ∆A. Estando esta área ∆A situado en el plano π. 
Si el área ∆A ⇒ 0 tendremos: 
0→∆Α
=
∆Α
∆Ρ δlim 
tensión de las fuerzas internas en el punto M del cuerpo sobre un elemento de superficie, situado en el 
plano π, es evidente que si por el mismo punto M hubiese pasado otro plano, el vector δ hubiera sido 
distinto. 
 1
 
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Al vector δ se lo denomina vector tensión total. Como para el mismo punto M podemos tener valores 
distintos según haya sido el plano con el cual seccionamos, se acostumbra colocarle un subíndice a la 
tensión. El subíndice indica el versor normal de la superficie donde se realiza la sección. 
 
 
 
El vector tensión total no es suficiente para determinar el estado de tensión en un punto de un cuerpo. 
Veremos mas adelante que para definir el estado de tensión hacen falta nueve valores. 
 
2.ESTADO DE TENSION DE UN CUERPO 
 
Seccionamos con un plano π de normal exterior n , al cuerpo y lo consideramos en el espacio. 
Trabajaremos con las componentes cartesianas de las tensiones, según una terna x, y, z. 
 
 2
 
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δnx, δny, δnz componentes de nδ en las tres direcciones. El primer subíndice indica la normal al plano y 
el segundo la componente. 
En general las secciones conviene hacerlas paralelas a los planos coordenados. 
 
 
 
 
Vector tensión Componentes 
zδ δzx, δzy, δzz 
Una de las tensiones será una tensión normal y las otras dos serán tensiones tangenciales. 
Si tomamos la notación tradicional 
 3
 
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δzx o τzx 
δzy o τzy 
δzz o τzz (σz) 
Lo mismo hubiera sucedido si se seccionaba con un plano paralelo al xz o al yz. Entonces trabajaremos 
con un conjunto de nueve valores que son los siguientes: 
σx τyx τzx 
τxy σy τzy 
τxz τyz σz 
 
3.ECUACIONES DIFERENCIALES DE EQUILIBRIO 
 
Supongamos que tenemos un cuerpo elástico cargado, que esta en equilibrio, y queremos realizar el 
estudio en un punto M interior al cuerpo. Imaginemos que alrededor del punto M recortamos un prisma 
diferencial, de caras paralelas a los planos coordenados y cuyas aristas miden respectivamente dx, dy y 
dz. La acción que ejercían las partes suprimidas del cuerpo sobre el elemento aislado, la reemplazamos 
con fuerzas. Descomponemos la tensión sobre cada cara en tres componentes. 
 
 
 
 
Las tensiones están aplicadas en el centro de cada cara. 
Las funciones σ y τ son funciones continuas que varían de un punto a otro σ(x,y,z) y τ(x,y,z). 
Además sobre el cuerpo actúan fuerzas por unidad de volumen cuyas componentes según los ejes son X, 
Y , Z. 
Por estar en equilibrio el cuerpo debe verificar las ecuaciones de la estática: 
Σx=0 ΣMx=0 
Σy=0 ΣMy=0 
 4
 
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Σz=0 ΣMz=0 
Resolveremos la primera de estas ecuaciones: 
Σx=0 
(σx+∂σx dx)dy dz-σx dy dz+(τxy+∂τxy dy)dx dz-τxy dx dz+(τxz+∂τxz dz)dx dy-τxz dx dy+X dx dy dz=0 
 ∂x ∂y ∂z 
 
Reduciendo términos y dividiendo por dx, dy, dz tendremos: 
 
∂σx + ∂τxy + ∂τxz + X =0 A 
 ∂x ∂y ∂z 
 
Del mismo modo desarrollamos las dos ecuaciones restantes: 
 
 
∂τyx + ∂σy + ∂τyz + Y =0 A 
 ∂x ∂y ∂z 
 
∂τzx + ∂τzy + ∂σz + Z =0 
 ∂x ∂y ∂z 
 
Si desarrollamos las otras tres ecuaciones de equilibrio, por ejemplo ΣMx=0. Los momentos de algunas 
fuerzas entre las indicadas en el cubo, serán magnitudes infinitamente pequeñas de tercer orden y otras de 
cuarto orden. 
Por ejemplo para las fuerzas normales de las caras izquierda y derecha tenemos el momento: 
 
(σy+∂σy dy)dx dz dz-σy dx dz dz 
 ∂y 2 2 
son magnitudes de cuarto orden, los momentos de las fuerzas masicas son de cuarto orden etc. 
De observar el cubo hallamos solo dos fuerzas que dan un momento de tercer orden: 
 
 
(τyz + ∂τyz dz) dx dy dz - (τzy+∂τzy dy) dx dy dz = 0 
 ∂z ∂y 
despreciando los términos de cuarto orden 
τyz dx dy dz - τzy dx dy dz = 0 
τyz = τzy Ley de las tensiones tangenciales conjugadas. Ley de Cauchy 
Luego τxy = τyx y τxz = τzx 
Las ecuaciones de equilibrio de la estática nos condujeron a tres ecuaciones diferenciales A que contienen 
nueve funciones de las coordenadas del punto considerado. Recordar que tres de las nueve son iguales. 
Luego tenemos tres ecuaciones diferenciales que contienen seis funciones incógnitas. Como el numero de 
incógnitas excede el numero de las ecuaciones, concluimos que el problema de la teoría de la elasticidad es 
indeterminado. Las ecuaciones que faltan pueden obtenerse, solo si se estudian las condiciones de 
deformación y se tiene en cuenta las propiedades del material. 
 
4. TENSIONES EN LAS AREAS ELEMENTALES OBLICUAS RESPECTO DE LOS PLANOS 
COORDENADOS. 
CONDICIONES EN LA SUPERFICIE. 
 
Trabajemos de nuevo en un punto M y extraemos ahora un tetraedro diferencial en vez de un cubo. 
Llamemos ds al área de la cara ABC 
 5
 
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 z 
 
 
 C nδ n (l,m,n) 
 
 
 δnx M δnz 
 δny B y fig. 6 
 
A 
x 
 
Las áreas de las caras restantes valdrán: 
Área ABC = ds 
Área MAB = n ds 
Área MCB = l ds 
Área MAC = m ds 
 
Sean δnx, δny, y δnz las proyecciones de δn sobre los ejes coordenados. 
La 1º condición de equilibrio del tetraedro es: 
 
Σ X = δnx ds - τzx n ds -τyx m ds - σx l ds + X dx dy dz = 0 
 Infinitésimo de orden sup. 
Despejando y simplificando ds: 
 
δnx = σx l + τyx m + τzx n 
δny = τxy l + σy m + τzy n B 
δnz = τxz l + τyz m + σz n 
 
Las ecuaciones B dan la relación que existe entre las tensiones en el punto M sobre el área oblicua de 
normal exterior n y las tres áreas elementales paralelas a los planos coordenados. Si el tetraedro pertenece 
a la superficie entonces δnx, δny y δnz, resultan ser las componentes de la tensión producida por las 
fuerzas exteriores aplicadas a la superficie. 
Las ecuaciones B dan entonces la relación entre la carga exterior y las fuerzas interiores. Se llaman 
condiciones en la superficie del cuerpo. 
El cuerpo en su totalidad estará en equilibrio si se verifican las ecuaciones de equilibrio A y las 
condiciones de contorno B. 
 
5. ESTADO DE TENSION EN UN PUNTO DADO DE UN CUERPO 
 
El estado de tensión en un punto de un cuerpo queda definido por la siguiente matriz de valor 
 
 σx τyx τzx referida a la siguiente terna 
 τxy σy τzy 
 τxz τyz σz 
 z 
 
 
 
 6
 
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 y 
 
 x 
Supongamos ahora, siempre trabajando en el mismo punto M, que se cambia la terna de referencia por 
rotación 
 
 "z"x 
 
 
 "y 
Los elementos de la matriz que definen el estado de tensiones en dicho punto para la nueva terna es: 
 
 "σx "τyx "τzx 
 "τxy "σy "τzy 
 "τxz "τyz "σz 
Veremos la relación de las dos matrices. 
Supongamos el tetraedro en el interior del cuerpo elástico, nδ la tensión total y δnx, δny, δnz sus 
componentes según la terna x, y , z. 
 
 z "z n (l3,m3,n3) 
 
 C nδ 
 
 "x 
 δnx M δnz fig.7 
 δny B y 
 
 A "y 
x 
Ahora colocamos la otra terna de tal manera que "z≡ n luego "x, "y están en el plano (cara ABC). 
Estamos ante una rotación de ejes definida por el siguiente cuadro 
 x y z. 
"x l1 m1 n1 
"y l2 m2 n2 
"z l3 m3 n3 
 
que son los cosenos directores de los ejes nuevos respecto a los anteriores 
 
 l1 m1 n1 
 A l2 m2 n2 
 l3 m3 n3 
 
Las componentes de nδ valen: 
 
δnx = σx l3 + τyx m3 + τzx n3 
 7
 
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δny = τxy l3 + σy m3 + τzy n3 
δnz = τxz l3 + τyz m3 + σz n3 
 
Conocemos 
 σx τyx τzx 
 τxy σy τzy 
 τxz τyz σz 
 
Calculemos una componente "τzx en el nuevo sistema "τzx= proyección de δn sobre "x = sumatoria 
proyección de δnx, δny, δnz sobre "x. 
"τzx = δnx l1 + δny m1 + δny n1 
Reemplazando 
"τzx = (σx l3 + τyx m3 + τzx n3) l1 + (τxy l3 + σy m3 + τzy n3) m1 + (τxz l3 + τyz m3 + σz n3) n1 
Esto responde a la ley de transformación que vincula a los elementos de las tensiones al hacer un cambio 
de coordenadas. 
Si escribimos la ley de transformación en forma escalar será: 
 3 3 
"tij= ∑ ∑ λih λjk thk 
 h=1 k=1 
t componentes del tensor 
λ componentes de la matriz de rotación 
 t 
En forma matricial "T = A T A 
Los nueve componentes determinan el tensor de tensiones 
 
 σx τyx τzx 
 T= τxy σy τzy 
 τxz τyz σz 
 
 
 "σx "τyx "τzx 
 "T= "τxy "σy "τzy 
 "τxz "τyz "σz 
 
La matriz de rotación 
 
 l1 m1 n1 
 A l2 m2 n2 
 l3 m3 n3 
 
Las formulas enunciadas determinan la transformación del tensor de un sistema de coordenadas en otro. 
El tensor de tensiones es simétrico puesto que las componentes simétricas respecto de la diagonal 
principal (τ) son iguales entre si, esta propiedad se conserva también para otros sistemas de coordenadas. 
 
6. TENSIONES PRINCIPALES. 
INVARIANTES DEL TENSOR DE TENSIONES 
 
Se sabe del análisis tensorial que siempre existe una terna de ejes para la cual la matriz que representa al 
tensor, si el tensor es simétrico, queda diagonalizada. 
 
x, y, z σx τyx τzx Hablando desde el punto de vista matemático si esta matriz es 
 τxy σy τzy simétrica puede quedar diagonalizada. 
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 τxz τyz σz 
 
x’, y’, z’ σ1 0 0 
 0 σ2 0 
 0 0 σ3 
 
Desde el punto de vista de la elasticidad esto significa que hay una terna para la cual existirán solo 
tensiones σ es decir que en las caras o en los planos normales a los ejes de esta nueva terna solo habrá 
tensiones de tracción o compresión y no habrá tangenciales. A los tres planos donde ocurre esto se los 
llama planos principales y a las tensiones, tensiones principales. 
Si el elemento ABC dado (fig. 7) es el principal, la tensión total nδ , que se desarrolla en ella, está 
dirigida según n y es la tensión principal. La llamamos σ, sus proyecciones son: 
 
 
δnx = σx l + τyx m + τzx n = σ l Incógnitas l, m, n y σ 
δny = τxy l + σy m + τzy n = σ m σx, τyx, τzx ,..., valores conocidos. 
δnz = τxz l + τyz m + σz n = σ n 
 
Sustituyendo: 
 
(σx - σ) l + τyx m + τzx n = 0 
τxy l + (σy - σ) m + τzy n = 0 1 
τxz l + τyz m + (σz - σ) n = 0 
 
Agregamos a esto la relación fundamental existente entre los cosenos directores de la normal n. 
 
l ² + m² + n² = 1 a 
 
tenemos cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas. 
El sistema homogéneo no admite la solución trivial l = m = n = 0 ya que contradice a a , para que 
existan otras soluciones es necesario que su determinante sea nulo. 
 
(σx - σ) τyx τzx 
τxy (σy - σ) τzy = 0 
τxz τyz (σz - σ) 
 
 
Ecuación de tercer (3º) grado en σ 
 
σ³ - J1 σ² + J2 σ - J3 = 0 c 
 
J1 = σx + σy + σz 
 
 σx τyx σx τzx σy τzy 
J2 = τxy σy + τxz σz + τyz σz 
 
 σx τyx τzx 
J3 = τxy σy τzy 
 τxz τyz σz 
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Se puede demostrar que J1, J2 y J3 son invariantes que no dependen del sistema coordenado original que 
se haya tomado. Se los llama invariante del tensor de tensiones. 
Invariantes de 1ª, 2ª y 3ª orden respectivamente. 
La ecuación de tercer grado (3º) representada por c se llama ecuación secular y como ya adelantamos si 
el tensor es simétrico se puede demostrar que tiene tres raíces reales. 
Las tres raíces reales de c nos dan σ1, σ2, σ3. Introduciendo cualquiera de esos tres valores σ en las 
ecuaciones 1 y usando dos de ellas hallamos los valores li, mi, ni proporcionales a los cosenos directores 
de la normal al área principal buscada: l’i = λ li; m’i = λ mi; n’i = λ ni. 
Llevando esto a a hallamos λ y por ende los cosenos. 
De esta forma quedan determinadas las direcciones de las áreas elementales principales. 
Supongamos que los planos de coordenadas Mxy, Myz y Mzx coinciden con las áreas principales que 
pasan por el punto dado y es : 
τzy=τyz=0 τzx=τxz=0 τxy=τyx=0 
σx=σ1 σy=σ2 σz=σ3 
Las componentes serán: 
δnx=σ1 l 
δny=σ2 m D 
δnz=σ3 n 
Se puede representar geométricamente las relaciones D. 
Para ello llevamos desde el punto M (fig. 8) el vector ΟΡ , igual a la tensión total sobre el área elemental 
elegida de normal exterior n , las coordenadas del extremo de ese vector son: 
x=δnx y=δny z=δnz 
Al variar la inclinación del área elemental, el punto P describe cierta superficie que resulta ser un 
elipsoide 
1σ
xl = 
2σ
ym = 
3σ
zn = 
2
3
2
2
2
1
222
222
σσσ
zyxnml ++=++ 
Se lo denomina elipsoide de tensiones o elipsoide de Lame. De sus semejantes uno es el mayor, otro el 
menor y el tercero el intermedio, luego de las tres tensiones principales, una será la máxima, la otra la 
mínima y la tercera media. 
 
 
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7. TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS 
 
Para simplificar el análisis orientemos primero los ejes coordenados oxyz según las normales a las áreas 
principales. Suponemos un plano π que pasa por el origen y que este plano tiene una normal n y un 
vector tensión total nδ . 
 
 
 
Las proyecciones de nδ serán: 
δnx=σ1 l 
δny=σ2 m 
δnz=σ3 n 
 
 σ1 0 0 
 0 σ2 0 
 0 0 σ3 
 
Calculamos σn que es la proyección de nδ sobre n 
σ n = δnx l + δnx m + δnx n = σ1 l²+ σ2 m²+ σ3 n² & 
La tensióntangencial total sobre el área elemental elegida la llamamos τn, tenemos: 
δ²n= σ²n + τ²n 
τ²n = δ²n - σ²n= (σ²1 l²+ σ²2 m²+ σ²3 n²)-(σ1 l²+ σ2 m²+ σ3 n²)² E 
Al girar el área elemental, τn variara siendo función de l, m y n. 
τ²n = f(l,m,n) 
n²= 1 - l² - m² ⇒ τ²n = f(l,m) 
Queda un problema de máximos y mínimos en dos variables. Para obtener τn max/min igualamos a cero 
las derivadas parciales de τn respecto de l y m. 
0
2
=
∂
∂
l
nτ 0
2
=
∂
∂
m
nτ 
 si n² = 1 - l² - m² 
La expresión E quedara: 
τ²n=(σ²1-σ²3) l² + (σ²2-σ²3) m² + σ²3 - [(σ1-σ3) l² + (σ2-σ3) m² + σ3]² 
Desarrollando las derivadas 
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(σ²1-σ²3) l - 2 [(σ1-σ3) l² + (σ2-σ3) m² + σ3] (σ1-σ3) l = 0 
(σ²2-σ²3) m - 2 [(σ1-σ3) l² + (σ2-σ3) m² + σ3] (σ2-σ3) m = 0 
Consideremos el caso en que σ1≠σ2≠σ3, efectuando algunas transformaciones llegamos a: 
{σ1-σ3 - 2 [(σ1-σ3) l² + (σ2-σ3) m²] } l = 0 F 
{σ2-σ3 - 2 [(σ1-σ3) l² + (σ2-σ3) m²]} m = 0 
Tenemos dos ecuaciones de tercer grado en l y m. 
Si tomamos la solución l≠0 y m=0, la segunda de las F se verifica y la primera, después de simplificarse 
por l, se reduce a: (σ1-σ3) (1 - 2 l²)= 0 de donde 
 l = ±
2
1 m=0 n = ± 
2
1 
Luego si l=0 y m≠0 tendremos 
l =0 m = ± 
2
1 n = ± 
2
1 
Si al comienzo no hubiéramos eliminado n si no m de las E habríamos obtenido una solución mas: 
l = ± 
2
1 m = ± 
2
1 n = 0 
Cada una de las 3 soluciones determina 2 áreas elementales que pasan por uno de los ejes coordenados y 
que están dispuestos respecto de los otros ejes bajo ángulos de 45º y 135º. 
Sustituyendo la primera solución en E tendremos el valor máximo ( o mínimo) buscado de la tensión 
tangencial: 
( ) ( )22
22
2
222
313131 σσσσσστ −=+−+=n 
si reemplazamos τn por τ2 resulta: 
2
31
2
σστ −±= 
Las dos soluciones restantes dan análogamente 
2
32
1
σστ −±= 
2
21
3
σστ −±= 
 
8. ÁREAS ELEMENTALES OCTAÉDRICAS Y TENSIONES OCTAÉDRICAS 
 
Hallemos las tensiones en las áreas que tengan igual inclinación respecto de las áreas principales. En los 8 
octantes del sistema coordenado se pueden construir ocho de esas áreas que forman un octaedro y se las 
llama octaédricas. 
Los cosenos de las normales valen: 
l = ± 
3
1 m = ± 
3
1 n = ± 
3
1 
 Llevando estos valores a & resulta: 
σ n = ⅓ (σ1 + σ2 + σ3 ) = ⅓ (σx + σy + σz ) 
y a E τ²o= 1/ 9 [(σ1-σ2)² + (σ2-σ3)² + (σ3-σ1)²] 
 
9. TENSOR ESFÉRICO Y DESVIADOR DE TENSIONES 
 
La tensión normal octaédrica puede llamarse tensión normal media en un punto mediante el siguiente 
tensor: 
 
 σo 0 0 
 0 σo 0 
 12
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 0 0 σo 
 
Las tres tensiones principales son iguales por lo tanto el elipsoide de Lame es una esfera y por esa razón 
se llama esférico. 
 
Tenemos un tensor arbitrario 
 
 σx τyx τzx 
 (S) = τxy σy τzy 
 τxz τyz σz 
 
Sumamos el tensor y luego restamos de el un tensor esférico, luego: 
 
 σx-σo τyx τzx σo 0 0 
 (S) = τxy σy-σo τzy + 0 σo 0 
 τxz τyz σz-σo 0 0 σo 
De esta manera el tensor de tensiones puede representarse en general en forma de una suma de 2 tensores. 
El primero de ellos recibe el nombre de desviador de tensiones y lo notamos con (Ds). 
El tensor esférico separa de un estado de tensión arbitraria la tracción (compresión) uniforme cúbica, en 
todas las direcciones, para la cual varia el volumen de un elemento dado del cuerpo sin que varié su 
forma, el desviador (Ds) expresa un estado para el cual varia la forma sin que haya cambio de volumen. 
 
10. GENERALIZACIÓN DE LA LEY DE RECIPROCIDAD DE LAS TENSIONES 
 
Supongamos dos áreas elementales de normales n y m y las tensiones totales δn y δm en un punto M 
 
 
 
Se intenta probar que δnm = δmn cuando n no es normal a m 
Componentes de nδ 
δnx = σx l1 + τyx m1 + τzx n1 
δny = τxy l1 + σy m1 + τzy n1 
δnz = τxz l1 + τyz m1 + σz n1 
Componentes de mδ 
δmx = σx l2 + τyx m2 + τzx n2 
δmy = τxy l2 + σy m2 + τzy n2 
δmz = τxz l2 + τyz m2 + σz n2 
 13
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Proyección de δn sobre m 
 
 δnx l2 
 δny x m2 
 δnz n2 
 
Proyección de δm sobre n 
 
 δmx l1 
 δmy x m1 
 δmz n1 
 
δnm = δnx l2 + δny m2 + δnz n2 = (σx l1 + τyx m1 + τzx n1) l2 + (τxy l1 + σy m1 + τzy n1) m2 + (τxz l1 + 
τyz m1 + σz n1) n2 
δmn = δmx l1 + δmy m1 + δmz n1 = (σx l2 + τyx m2 + τzx n2) l1 + (τxy l2 + σy m2 + τzy n2) m1 + (τxz l2 
+ τyz m2 + σz n2) n1 
Luego δnm = δmn 
La ley de reciprocidad de tensiones resulta de aquí como un caso particular, cuando las áreas son 
perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 14
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
CAPITULO II 
 
TEORÍA GEOMÉTRICA DE LAS DEFORMACIONES 
 
1.- COMPONENTES DEL CORRIMIENTO Y COMPONENTES DE LAS DEFORMACIONES. 
 SU INTERDEPENDENCIA 
 
Tomemos un cuerpo elástico y vinculémoslo de modo que no pueda desplazarse como rígido. Todo 
corrimiento de sus puntos será originado por deformaciones. Sea un punto M antes de la deformación. 
Luego se desplaza a M’ debido a ella. 
 
El punto M sufrió un corrimiento 
 S/x u=u(x,y,z) Funciones de las coordenadas del punto 
 S/y v=v(x,y,z) 
 S/z w=w(x,y,z) 
Luego u,v,w son las componentes del corrimiento. 
Veremos ahora las deformaciones. Separemos un prisma diferencial de aristas dx, dy, dz. 
Al deformarse el cuerpo, el prisma se desplaza y deforma, con lo cual varia la longitud de sus aristas y 
se deforman los ángulos formados por sus caras, que originariamente eran rectos. 
Para determinar las deformaciones en un punto deben estudiarse los alargamientos (deformaciones 
lineales) de las aristas dx, dy, dz del prisma y las variaciones de los ángulos (resbalamientos o 
deformaciones angulares). 
Trabajaremos con tres componentes de las deformaciones lineales y tres de las deformaciones 
angulares. 
 1
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Para analizar las deformaciones proyectaremos sobre los planos coordenados el prisma. 
Tomemos la proyección sobre el plano Oxy. 
 
Antes de la deformación Después de la deformación 
AB=dx AC=dy A’B’ y A’C’ 
Veremos la deformación lineal εx o sea la componente según x de la deformación lineal (deformación 
de AB). 
Corrimiento de A : u 
Corrimiento de B : u+δu = u + ∂u dx 
 ∂x 
εx es la deformación absoluta dividido dx. 
 
εx= B’’B-A’A = u + ∂u/∂x dx – u = ∂u 
 AB dx ∂x 
 2
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Del mismo modo εy= ∂v y εz=∂w 
 ∂y ∂z 
Analicemos la deformación angular y hallemos αyx 
x
u
x
v
dx
dx
x
udx
x
v
BA
BByxyx
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
==≈
1'''
'''tgαα 
x
u
∂
∂ se desprecia frente a 1. 
Luego 
x
vyx
∂
∂
=α 
Análogamente el giro de la arista AC=dy 
y
uyxyx
∂
∂
=≈ αα tg 
El resbalamiento especifico o distorsión del ángulo recto BAC es : 
 γxy= αyx + αxy = 
y
u
x
v
∂
∂
+
∂
∂ 
Permutando los subíndices se obtienen los resbalamientos en los otros planos coordenados. 
Reuniendo los resultados : 
a) Alargamientos relativos o específicos 
εx= 
x
u
∂
∂ εy= 
y
v
∂
∂ εz= 
z
w
∂
∂ 
εx= exx εy= eyy εz= ezz A 
b) Resbalamientos ( o distorsiones) específicos 
y
u
x
vxy
∂
∂
+
∂
∂
=γ γxy = exy 
z
v
y
wyz
∂
∂
+
∂
∂
=γ γyz = eyz 
x
w
z
uzx
∂
∂
+
∂
∂
=γ γzx = ezx 
Regla de los signos : εx, εy, εz positivas corresponden alargamientos 
 Negativas corresponden acortamientos 
 3
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 γxy, γyz, γzx positivas corresponden a una disminución del ángulo comprendido 
entre las direcciones positivas de los ejes. Negativas en caso contrario. 
Las formulas A muestran que las seis funciones εx,εy, εz, γxy, γyz, γzx llamadas componentes de la 
deformación se expresan linealmente mediante nueve derivadas parciales de las componentes de los 
corrimientos u,v,w. 
x
u
∂
∂ 
y
u
∂
∂ 
z
u
∂
∂ 
x
v
∂
∂ 
y
v
∂
∂ 
z
v
∂
∂ B 
x
w
∂
∂ 
y
w
∂
∂ 
z
w
∂
∂ 
Veamos una circunstancia muy importante: no es posible formar un sistema de ecuaciones inversas a 
las A, o sea, expresar las nueve componentes de la matriz B con las de las deformaciones A, las 
ecuaciones A son insuficientes para ello. Esto se debe a que el cuadro geométrico de las 
deformaciones en el punto dado es aun incompleto, para completarlo introducimos otras tres 
componentes. 
El ángulo de giro de la diagonal del cubo alrededor del eje z es igual al ángulo de giro de la proyección 
AD de dicha diagonal alrededor del punto A. 
Distorsión simple paralela al eje x (figura a) 
11 2/1' DBDDADz ∠≈∠=β 
 4
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
0z' positivo; es 2/1'
2/12
y 
1111
111
<
∂
∂
∂
∂
−=
∠≈⇒⋅⋅∠=∠⋅
=∠∠
ββ
y
u
y
uz
DBDDADADADDBDA
arcoDDDBDDAD
 
Resbalamiento simple paralela al eje y (figura b) 
)(2/1'''
2/1''
y
u
x
vzzz
x
vz
∂
∂
−
∂
∂
=+=
∂
∂
=
βββ
β
 
Surgen del estudio de los ángulos de giro de las diagonales alrededor de los ejes x, y, z. 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
z
v
y
wx
2
1ω 
 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
x
w
z
uy
2
1ω C 
 ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
y
u
x
vz
2
1ω 
Estas magnitudes ωx, ωy, ωz se denominan componentes de rotación, para tener un cuadro completo 
de las deformaciones, corresponde agregar a las ecuaciones A las C. 
 
2.- ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE LAS DEFORMACIONES 
 
Si tenemos como dato el campo de corrimientos u, v, w inmediatamente por derivación obtenemos las 
seis componentes de la deformación εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx. Pero si por el contrario tenemos como 
dato las seis componentes de la deformación, lo más probable es que no exista un campo u,v,w de la 
que ellas deriven. Esta faltando alguna relación entre deformaciones que garantice la existencia de un 
campo de corrimientos, estas son las llamadas ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones. 
Resumiendo si en cada punto de un cuerpo tenemos u,v y w podemos obtener las funciones A. Con 
las funciones A conocidas no puede garantizarse la existencia de las tres funciones u, v, w de las que 
se deriven. 
Buscaremos relaciones entre εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx de tal manera que garanticen la existencia de un 
campo real de corrimientos u, v y w. 
Son seis dependencias entre ellas y se dividen en dos grupos: 
 5
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Primer grupo : Derivamos las primeras dos ecuaciones A 
2
3
2
2
yx
u
y
x
∂∂
∂
=
∂
∂ ε 2
3
2
2
xy
v
x
y
∂∂
∂
=
∂
∂ ε 
Sumando: 
yx
xy
x
v
y
u
yxx
y
y
x
∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ γεε 22
2
2
2
2
 
Sustituyendo subíndices tenemos : 
zy
yz
y
z
z
y
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ γεε 2
2
2
2
2
 
xz
zx
z
x
x
z
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ γεε 2
2
2
2
2
 
Segundo grupo: Derivamos las 3 ultimas ecuaciones A como sigue : 
xz
v
xy
w
x
yz
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂
∂ 22γ + 
yx
w
yz
u
y
zx
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂
∂ 22γ + 
zy
u
zx
v
z
xy
∂∂
∂
+
∂∂
∂
=
∂
∂ 22γ - 
Sumando miembro a miembro : 
yx
w
z
xy
y
zx
x
yz
∂∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂ 22γγγ 
Derivando respecto de z y teniendo en cuenta que 
yx
z
zyx
w
∂∂
∂
=
∂∂∂
∂ ε23 
Tendremos : 
yx
z
z
xy
y
zx
x
yz
z ∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ εγγγ 22 
Sustituyendo subíndices tenemos: 
zy
x
x
yz
z
xy
y
zx
x ∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ εγγγ 22 
zx
y
y
zx
x
yz
z
xy
y ∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ εγγγ 22 
 6
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Observación : Si logramos hallar directamente, de acuerdo con las cargas propuestas, los corrimientos 
u,v,w de los puntos de un cuerpo, las deformaciones podrán calcularse mediante las ecuaciones A, 
entonces las condiciones de compatibilidad se verificaran por si mismas, pues han sido deducidas de 
las ecuaciones A y son una consecuencia de estas. 
En cambio, si hallamos las tensiones, de acuerdo con las cargas propuestas y luego las deformaciones, 
será necesario al mismo tiempo satisfacer las condiciones de compatibilidad, si estas no se verifican, 
las deformaciones serán incompatibles y no podremos hallar los corrimientos, a partir de las 
ecuaciones A. 
 
3. CARÁCTER TENSORIAL DE LA DEFORMACIÓN DE UN CUERPO EN UN PUNTO DADO 
 
Se puede demostrar que respecto de las deformaciones se verifican relaciones del tipo tensorial. 
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
 y 
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ε
γγ
γ
ε
γ
γγ
ε
22
22
22
 
Conociendo las componentes de esas matrices, podemos hallar el alargamiento especifico de un 
segmento arbitrario, trazado desde el punto dado, con esto queda plenamente determinada la 
deformación de un cuerpo en un punto dado, así como el conocimiento de las 9 componentes del 
tensor de tensiones permite determinar completamente el estado de tensión en un punto, o sea, las 
tensiones en cualquier área trazada por dicho punto. 
La primer matriz la llamamos tensor de los corrimientos relativos y la segunda tensor de la 
deformación en el punto dado. 
Se definen así mismo planos principales (donde no habrá resbalamientos ) y ejes principales. 
 7
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Se obtienen alargamientos principales a lo largo de los ejes principales. 
Los invariantes de deformación son: 
θ = εx + εy + εz 
zzy
yzy
zzx
xzx
yxy
xyx
ε
γ
γ
ε
ε
γ
γ
ε
ε
γ
γ
ε
η
2
2
2
2
2
2 ++= 
zyzxz
yzyxy
xzxyx
ε
γγ
γ
ε
γ
γγ
ε
λ
22
22
22
= 
 
4. DEFORMACIÓN VOLUMÉTRICA 
 
Suponemos un elemento prismático diferencial de aristas dx, dy dz. Definimos como deformación 
volumétrica a la variación de volumen. Suponemos que las deformaciones angulares no generan 
cambio de volumen, es decir que solamente la variación de volumen depende de los alargamientos de 
las aristas dx, dy, dz. 
dx → dx ( 1 + εx ) 
dy → dy ( 1 + εy ) 
dz → dz ( 1 + εz ) 
El nuevo volumen será : 
dΓ + δ (dΓ) = dx ( 1 + εx ) dy ( 1 + εy ) dz ( 1 + εz ) 
desarrollando 
dΓ + δ (dΓ) = dx dy dz (1+εx+εy+εz+εx εy+εx εz+εy εz+εx εy εz) 
desechando los infinitésimos: 
δ (dΓ) = dΓ (εx+εy+εz) 
La deformación volumétrica será: 
( ) zyx
d
d εεεδ ++=
Γ
Γ 
θ= εx+εy+εz 
z
w
y
v
x
u
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=θ 
 8
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
La deformación volumétrica coincide exactamente con el primer invariante lineal del tensor de la 
deformación. 
 
5. DESVIADOR DE LA DEFORMACIÓN 
 
Descompondremos el tensor de la deformación 
( )
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
ε
γγ
γ
ε
γ
γγ
ε
ε
22
22
22
 
2
xyxy γγ = 
2
yzyz γγ = 
2
xzxz γγ = 
en dos partes 
( )
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
o
o
o
ozyzxz
yzoyxy
xzxyox
ε
ε
ε
εεγγ
εεεγ
γγεε
ε
00
00
00
 
εo = 
3
1 (εx+εy+εz) es el alargamiento medio de un punto dado. La deformación correspondiente al 
segundo sumando implica que el elemento sufre iguales alargamientos en todas las direcciones, el 
elemento permanece semejante a sí mismo, modificándose solo su volumen y por lo tanto el tensor 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
o
o
o
ε
ε
ε
00
00
00
es esférico. 
El primer sumando ( )
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
ozyzxz
yzoyxy
xzxyox
D
εεγγ
εεεγ
γγεε
ε representa el desviador de la deformación que 
caracteriza el cambio de la forma del elemento, sin variación de volumen, pues en este caso la 
dilatación cúbica se vuelve nula. 
θ= (εx-εo)+(εy-εo)+(εz-εo)= εx+εy+εz-3εo=0 
La descomposición no solo constituye una operación formal, sino que refleja las propiedades físicas 
del fenómeno de la deformación, pues los materiales reales reaccionandistintamente, desde el punto 
de vista de la resistencia, a la variación de volumen y de forma. 
 9
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 1
CAPITULO III 
LEY GENERALIZADA DE HOOKE 
 
1. CONSIDERACIONES GENERALES 
 
En los capítulos anteriores hemos estudiado la teoría de las tensiones que ilustra la faz estática del 
problema y la teoría de los corrimientos y de las deformaciones que explica el problema desde el 
punto de vista geométrico. Esas dos teorías, por si mismas, no pueden servir para resolver los 
problemas físicos de la teoría de la elasticidad, mientras que las tensiones y las deformaciones no estén 
ligadas por alguna ley física. 
Se plantea esa ley en forma general: 
σx = f1 ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 
σy = f2 ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 
σz = f3 ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 1 
τyz = f4 ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 
τxz = f5 ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 
τxy = f6 ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 
Luego se averigua el valor de los coeficientes de las funciones 1 para las distintas estructuras de un 
cuerpo elástico. Por ejemplo llamando amn a los coeficientes tensiones 
σx = a11 εx + a11 εy + a11 εz + a11 γyz + a11 γzx + a11 γxy 2 
Estas relaciones resultan ser muy complicadas por lo que se plantean una serie de hipótesis 
simplificativas 
a.- Trabajaremos dentro del periodo de las pequeñas deformaciones 
b.- Todas las relaciones son del tipo lineal 
c.- Tendrá validez la ley de independencia de las acciones que supone que la tensión σx, por ejemplo, 
originada por la presencia de varias componentes de deformación εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy es igual a la 
suma de tensiones suscitadas por cada una de esas componentes por separado. Ley de superposición de 
efectos. 
d.- Los cuerpos que estudiamos son homogéneos e isótopos ( propiedades iguales en todas las 
direcciones). Para los cuerpos elásticos isótopos las funciones 2 adquieren la forma mas simple: se las 
deduce a partir de la ley de hooke, aplicada a barras sometidas a tracción y compresión. 
En la figura 1 se muestra el diagrama de tracción, la forma es distinta para diferentes materiales y 
depende de varios factores. 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 2
El diagrama a es característico de los metales ( acero por ejemplo) que gozan de propiedades plásticas. 
El tramo OA resulta recto y revela la proporcionalidad entre la tensión y el alargamiento relativo: 
σx = E εx 3 esta función es la que formula la ley de Hooke. 
El punto A corresponde al limite de proporcionalidad. La experiencia muestra que, en casi todos los 
materiales, el alargamiento longitudinal εx de la barra, cuando hay solamente tracción, es acompañado 
por deformaciones transversales de igual magnitud εy=εz pero de signo contrario (acortamientos), 
siendo estas deformaciones proporcionales al alargamiento fundamental εx: εy=εz= - µ εx 4 el 
coeficiente µ es constante para cada material. 
La ley de Hooke es formulada por dos relaciones 3 y 4, y contienen dos números que caracterizan las 
propiedades elásticas de los materiales: el modulo de elasticidad longitudinal o modulo de Young E 
(fuerza/longitud²) y un numero adimensional µ, llamado coeficiente de Poisson, a veces se usa el 
numero de Poisson 
µ
1
=m . 
El valor numérico de E para los distintos materiales varia dentro de márgenes muy amplios. El 
coeficiente de poisson µ siempre se expresa por una fracción menor que 0.5. En los materiales que no 
poseen propiedades plásticas, materiales frágiles, el diagrama de tracción no posee tramo inicial 
rectilíneo (fig. 1 b), su parte inicial se diferencia poco de una recta, este tramo se reemplaza por una 
recta y se aplica la ley de Hooke a materiales frágiles. 
La experiencia muestra que mientras el material trabaja en condiciones elásticas se observa la 
proporcionalidad entre las tensiones tangenciales que se desarrollan en las caras del paralelepípedo 
elemental y la distorsión relativa de esas caras: τxy= G γxy τyz= G γyz τzx= G γzx. 
El coeficiente de proporcionalidad G recibe el nombre de modulo de elasticidad de resbalamiento o 
módulo de elasticidad transversal G (kN/cm2). 
Admitiremos la proposición de que en un material elástico, homogéneo e isótropo las tensiones 
normales no provocan resbalamientos y, a la inversa, las tensiones tangenciales no originan 
alargamientos en la dirección de su solicitación. 
σ no provoca γ 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 3
τ no provoca ε 
τxy no genera ni γxz, ni γyz 
τxz no genera ni γxy, ni γyz 
τyz no genera ni γxy, ni γxz 
En cambio con los σ no ocurre esto ya que: σx provoca εx, εy, εz (por Poisson). 
 
2.- EXPRESIÓN DE LAS DEFORMACIONES EN FUNCION DE LAS TENSIONES 
 
Empezaremos por las tensiones normales y tomaremos un paralelepipedo de aristas igual a 1, sometido 
a la solicitación de fuerzas normales. Si actúan solo σx, el alargamiento especifico es: 
E
xx σε =' 
Bajo la acción de σy, solamente el alargamiento especifico a lo largo del eje Ox es 
E
yx σµε −='' 
Bajo la acción de σz es 
E
zx σµε −=''' . 
Admitiendo la ley de independencia de la acción de las fuerzas, tenemos el alargamiento total: 
εx = ε'x + ε''x + ε'''x = 
E
xσ
E
yσµ−
E
zσµ− . 
εx = 
E
1 [ σx -µ (σy +σz )]. 5 
Para los otros ejes: 
εy = 
E
1 [ σy -µ (σz +σx )]. εz = 
E
1 [ σz -µ (σx + σy )]. 5 
Las fórmulas 5 expresan la ley generalizada de Hooke para las tensiones normales. 
Sumando a los segundos miembros +µ σx -µ σx, +µ σy -µ σy, +µ σz -µ σz resulta: 
εx = 
E
1 [ (1+µ) σx - µ Θ ] 
εy = 
E
1 [ (1+µ) σy - µ Θ ] 6 
εz = 
E
1 [ (1+µ) σz - µ Θ ] 
Θ = σx + σy + σz 
Veremos las relaciones entre los resbalamientos y las tensiones tangenciales en la siguiente forma: 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 4
G
yzyz τγ = 
G
zxzx γγ = 
G
xyxy τγ = 7 
Las fórmulas 5, 6 y 7 nos dan la ley generalizada de Hooke para un cuerpo sólido 
elástico,homogéneo e isótropo. 
Si utilizamos la relación G = E / 2( 1 + µ ). 
Tendremos un nuevo grupo fundamental de ecuaciones de la teoría de la elasticidad : 
εx = 
E
1 [ σx -µ (σy +σz )] 
εy = 
E
1 [ σy -µ (σz +σx )] 
εz = 
E
1 [ σz -µ (σx +σy )] 
( ) yz
EG
yzyz τµτγ +== 12 8 
 ( ) zx
EG
zxzx τµτγ +== 12 
( ) xy
EG
xyxy τµτγ +== 12 
Si las igualdades 6 las sumamos miembro a miembro : 
εx + εy + εz = 
E
1 [ (1+µ) (σx+σy+σz) - 3 µ Θ ] 
θ = εx + εy + εz Θ = σx+σy+σz 
Luego: Θ−=
E
µθ 21 9 
Que expresa, que la deformación volumétrica unitaria θ es proporcional a la suma Θ de las tres 
tensiones normales. Esta es la ley de Hooke en su forma volumétrica. 
 
3.- EXPRESIÓN DE LAS TENSIONES EN FUNCION DE LAS DEFORMACIONES 
 
Puede resultar necesario disponer de las relaciones anteriores resueltas en forma inversa, o sea, 
respecto de las tensiones. Tomemos la primera de las 6 e introducimos en ella el valor : 
θ
µ21−
=Θ
E de la 9 
( )
E
Exx 1
21
1 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−+= θ
µ
µσµε despejamos: 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 5
( )( ) ( ) x
EEx ε
µ
θ
µµ
µσ
+
+
−+
=
1211
 o bien 
σx = λ θ + 2 ρ εx 10 
donde: ( )( )µµ
µλ
211 −+
=
E , ( )µρ += 12
E 
λ y ρ se llaman coeficientes de Lame. Igual que los módulos de elasticidad E y G caracterizan las 
propiedades elásticas de un sólido. Se advierte que ρ coincide con el modulo de resbalamiento G. 
De la ecuación 10 por sustitución cíclica obtenemos las otras dos ecuaciones, si añadimos las tres 
ecuaciones del grupo 8 tendremos la ley de Hooke resuelta respecto de las tensiones : 
σx = λ θ + 2 ρ εx 
σy = λ θ + 2 ρ εy 
σz = λ θ + 2 ρ εz 11 
τyz = ρ γyz 
τzx = ρ γzx 
τxy = ρ γxy 
Sumando miembro a miembro las tres primeras ecuaciones obtenemos la ley volumétrica de Hooke, 
expresada en función de los coeficientes de Lame: 
σx + σy + σz = 3 λ θ + 2 ρ ( εx + εy + εz ) 
Θ = ( 3 λ + 2 ρ ) θ 11ª 
Dividiendomiembro a miembro de la igualdad por 3 y teniendo en cuenta que: 1/3 Θ = σo representa 
la tensión media u octaedrica y 1/3 θ = εo es el alargamiento medio en el punto dado, luego : 
σo = ( 3 λ + 2 ρ ) εo 12 
Si expresamos E y µ en función de los coeficientes de Lame tendremos : 
ρλ
ρλρ
+
+
=
23E ( )ρλ
λµ
+
=
2
 
Si un elemento considerado esta sometido a esfuerzos de tracción en la dirección de los tres ejes x, y, 
z , es decir, si σx > 0, σy > 0, σz > 0,⇒ Θ > 0 su volumen no puede disminuir y debemos tener θ > 0. 
Entonces por 9 
2
1
=µ . Luego se demuestra que : λ > 0 , ρ > 0. 
Señalemos que los conceptos de tensores desviadores de tensión y deformación estudiados en los 
capítulos anteriores permiten expresar la ley generalizada de Hooke en una forma tensorial mas 
comprimida. Construyamos las expresiones de las componentes del desviador de tensiones en función 
de las deformaciones, empleando las expresiones 11. Teniendo en cuenta la relación 12 resulta: 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 6
σx - σo = 3 λ εo + 2 ρ εx - ( 3 λ + 2 ρ ) εo = 2 ρ ( εx - εo) 
del mismo modo hallamos las tensiones normales restantes: 
σy - σo = 2 ρ ( εy - εo ) 
σz - σo = 2 ρ ( εz - εo ) 
Las tensiones tangenciales (expresadas por las mitades de los ángulos de distorsión ) son : 
yzyz γρτ 2= 
xzxz γρτ 2= 
xyxy γρτ 2= 
Vemos en estas relaciones que todas las componentes del desviador de las tensiones son 
proporcionales a las correspondientes componentes del desviador de deformaciones con un mismo 
coeficiente de proporcionalidad 2 ρ. 
En forma tensorial el desviador de tensiones es proporcional al desviador de las deformaciones. 
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
ozzyzx
yzoyyx
xzxyox
ozzyzx
yzoyyx
xzxyox
εεγγ
γεεγ
γγεε
ρ
σσττ
τσστ
ττσσ
2 
 (Ds) = 2 ρ (Dε) 13 
Llevemos al primer miembro de la igualdad 11A que expresa la ley volumétrica de Hooke, la tensión 
media Θ = 3 σo 
No = K θ 14 donde K = λ + 
3
2 ρ 
Recibe el nombre de modulo volumétrico de elasticidad o modulo de elasticidad volumétrica. La ley 
generalizada de Hooke se expresa por dos igualdades: una escalar 14 y otra tensorial 13 y contiene 
dos constantes elásticas : 2 ρ y K. 
 
4. TRABAJO DE LAS FUERZAS ELÁSTICAS EN UN CUERPO RÍGIDO 
 
Separemos un paralelepípedo ( dx, dy, dz ) y calculemos el trabajo desarrollado por las fuerzas 
elásticas, aplicadas al mismo, cuando a los puntos del cuerpo dado se les asignan corrimientos posibles 
cualesquiera. Consideremos primero el caso de tracción-compresión del elemento en la dirección del 
eje Ox. Las tensiones son σx y dx
x
xx
∂
∂
+
σσ , el alargamiento relativo εx y el absoluto εx dx. Si se le 
comunica al cuerpo corrimientos cualesquiera, el alargamiento variara en δεx dx. 
El trabajo de las dos fuerzas normales aplicadas a las caras del paralelepípedo es : σx δεx dx dy dz.- 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 7
Las fuerzas restantes realizan un trabajo similar : σy δεy dx dy dz; σz δεz dx dy dz. 
A las caras superior e inferior del paralelepípedo están aplicadas las fuerzas τxz dx dy que forman un 
par de momento τxz dx dy dz, el trabajo de dicho par se halla multiplicando su momento por el ángulo 
de giro δγxz ( incremento del ángulo de distorsión γxz ). 
El trabajo de tres pares de fuerzas tangenciales será: 
τxz δγxz dx dy dz; τyz δγyz dx dy dz; τxy δγxy dx dy dz; 
El trabajo que realizan todas las fuerzas aplicadas al paralelepípedo, sobre un corrimiento posible es: 
δ (dT) = (σx δεx + σy δεy + σz δεz + τyz δγyz + τzx δγzx + τxy δγxy ) dx dy dz 
El trabajo por unidad de volumen será : 
δA = ( )
Γd
dTδ = σx δεx + σy δεy + σz δεz + τyz δγyz + τzx δγzx + τxy δγxy 15 
 
5. POTENCIAL DE LAS FUERZAS ELÁSTICAS 
 
Enunciaremos una hipótesis, que las fuerzas elásticas internas tienen un potencial, o también, que el 
trabajo de las fuerzas elásticas se transforma enteramente en energía potencial, que el cuerpo acumula 
cuando sufre deformaciones elásticas y que devuelve en forma de trabajo al desaparecer las 
deformaciones. La energía potencial es una consecuencia de las deformaciones y por ellas solas 
desarrollada. Si llamamos W a la energía referida a la unidad de volumen del cuerpo en el punto dado, 
ella debe ser función de las componentes de la deformación: 
W= F ( εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy) 15A 
De acuerdo a la hipótesis establecida δA = δW 16 
El incremento δW lo reemplazamos con una aproximación de infinitésimos de segundo orden, por su 
diferencial total: 
xy
xy
Wzx
zx
Wyz
yz
Wz
z
Wy
y
Wx
x
WW δγ
γ
δγ
γ
δγ
γ
δε
ε
δε
ε
δε
ε
δ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 17 
De acuerdo con 16 para valores cualesquiera de las deformaciones deben coincidir 15 y 17 por este 
motivo los coeficientes que afectan a las deformaciones deben ser iguales : 
x
Wx
ε
σ
∂
∂
= 
y
Wy
ε
σ
∂
∂
= 
z
Wz
ε
σ
∂
∂
= 
yz
Wyz
γ
τ
∂
∂
= 
xz
Wxz
γ
τ
∂
∂
= 
xy
Wxy
γ
τ
∂
∂
= 18 
Quiere decir que si las fuerzas interiores elásticas tienen un potencial, las componentes de las tensiones 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 8
σx, σy, σz, τyz, τzx, τxy se expresan en forma de derivadas parciales de la energía potencial 15 A 
respecto de las correspondientes deformaciones. 
 
6. CONSTANTES ELÁSTICAS, REDUCCIÓN DEL NUMERO DE LAS MISMAS CUANDO 
EXISTE EL POTENCIAL DE LAS FUERZAS ELÁSTICAS. 
CUERPOS ANISÓTROPOS 
 
Vimos al comienzo del capitulo la ley que vincula a las tensiones y deformaciones, ellas son: 
σx = a11 εx + a12 εy + a13 εz + a14 γyz + a15 γzx + a16 γxy 
σy = a21 εx + a22 εy + a23 εz + a24 γyz + a25 γzx + a26 γxy 
σz = a31 εx + a32 εy + a33 εz + a34 γyz + a35 γzx + a36 γxy 
τyz = a41 εx + a42 εy + a43 εz + a44 γyz + a45 γzx + a46 γxy 
τzx = a51 εx + a52 εy + a53 εz + a54 γyz + a55 γzx + a56 γxy 19 
τxy = a61 εx + a62 εy + a63 εz + a64 γyz + a65 γzx + a66 γxy 
Estas ecuaciones contienen 36 coeficientes constantes amn, llamados constantes elásticas. Ellas 
definen las propiedades elásticas de un cuerpo y son análogos, por sus dimensiones, a los módulos de 
elasticidad E y G. El numero de las constantes elásticas es en general muy grande, sin embargo, puede 
reducirse considerablemente, cuando existe el potencial de las fuerzas elásticas. 
Tomemos la derivada parcial de la energía potencial respecto por ej. de εy, basándonos en 18 y 19 
y
W
ε∂
∂ = σy = a21 εx + a22 εy + a23 εz + a24 γyz + a25 γzx + a26 γxy 
Derivando nuevamente respecto de γzx tenemos: 
zxy
W
γε ∂∂
∂ 2 = a25 
Hallemos ahora la misma segunda derivada, pero operando en sentido inverso: 
zx
zx
W τ
γ
=
∂
∂ 
y
zx
yzx
W
ε
τ
εγ ∂
∂
=
∂∂
∂ 2 = a52 
Dado que la magnitud de la derivada no depende del orden de la derivación, resulta a25 = a52 lo 
mismo se puede demostrar para dos coeficientes cualesquiera : amn = anm 20 
La relación 20 que es consecuencia de la existencia del potencial de las fuerzas elásticas nos muestra 
que en las ecuaciones 19 los coeficientes simétricos respecto de la diagonal principal son iguales de a 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 9
dos entre si. Luego de las 36 constantes elásticas, en el caso mas general serán distintas las seis a11, 
a22, a33, a44, a55, a66 dispuestas según la diagonal y 15
2
636
=
− de las restantes en total 21 
constantes. 
Solo un cuerpo " el más anisótropo ", que goza de propiedades elásticas completamente distintos en las 
diferentes direcciones, puede poseer un numero tan considerable de constantes. 
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
CAPITULO IV 
 
RESOLUCIÓN EN CORRIMIENTOS DEL PROBLEMA DE LA TEORIA DE ELASTICIDAD 
 
1. RESUMEN DE LAS ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA TEORIA DE LA ELASTICIDAD 
 
A. Ecuaciones estáticas 
 
A1. Ecuaciones generales de equilibrio ( ecuaciones de Navier) 
 
0=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ X
z
xz
y
xy
x
x ττσ 
0=+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ Y
z
yz
y
y
x
yx τστ I 
0=+∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ Z
z
z
y
zy
x
zx σττ 
 
A2. Condiciones en la superficie 
 
δsx = σx l + τxy m + τxz n 
δsy = τyx l + σy m + τyz n II 
δsz = τzx l + τzy m + σz n 
 
B. Ecuaciones geométricas 
 
B3. Relación entre los corrimientos y las deformaciones ( ecuaciones de Cauchy ) 
 
x
ux
∂
∂
=ε 
z
v
y
wyz
∂
∂
+
∂
∂
=γ 
y
vy
∂
∂
=ε 
x
w
z
uzx
∂
∂
+
∂
∂
=γ III 
z
wz
∂
∂
=ε 
y
u
x
vxy
∂
∂
+
∂
∂
=γ 
 
B4. Ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones ( ecuaciones de Saint Venant ) 
 
yx
xy
x
y
y
x
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ γεε 2
2
2
2
2
 
yx
z
z
xy
y
zx
x
yz
z ∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ εγγγ 22 
 
zy
yz
y
z
z
y
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ γεε 2
2
2
2
2
 
zy
x
x
yz
z
xy
y
zx
x ∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ εγγγ 22 IV 
xz
zx
z
x
x
z
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂ γεε 2
2
2
2
2
 
xz
y
y
zx
x
yz
z
xy
y ∂∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂ εγγγ 22 
C. Ecuaciones físicas 
 
C5. Ley generalizada de Hooke 
 
 1
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
εx = 
E
1
[ σx -µ (σy +σz )] 
εy = 
E
1 [ σy -µ (σz +σx )] 
εz = 
E
1 [ σz -µ (σx +σy )] 
( ) yz
EG
yzyz τµτγ +== 12 V 
 
( ) zx
EG
zxzx τµτγ +== 12 
 E 
( ) xy
EG
xyxy τµτγ +== 12 
 
 
Θ
−
=
E
µθ 21 Va 
 
 
 
σx = λ θ + 2 ρ εx 
σy = λ θ + 2 ρ εy 
σz = λ θ + 2 ρ εz V' 
τyz = ρ γyz 
τzx = ρ γzx 
τxy = ρ γxy 
 
 
Θ = ( 3 λ + 2 ρ ) θ V'a 
 
Sobre la base de estas ecuaciones podemos abocarnos inmediatamente a la resolución del problema general 
de la teoría de la elasticidad referente a tensiones y deformaciones. Las ecuaciones deducidas en el 
supuesto de que las deformaciones sean muy pequeñas y las ecuaciones I fueron deducidas para un estado 
no deformado y también pueden considerarse validas solamente para deformaciones muy pequeñas. Las 
ecuaciones I V contienen muchas incógnitas que expresan las tensiones, los corrimientos y las 
deformaciones. Conviene elegir previamente las magnitudes que se tomaran como incógnita 
fundamentales. 
Se pueden seguir dos caminos : 
1. Adoptar como incógnitas fundamentales los corrimientos de los puntos del cuerpo elástico, 
tendremos entonces en cada punto (x, y, z) del cuerpo tres incógnitas. 
u(x,y,z) v(x,y,z) w(x,y,z) 1 
y el problema se reduce a la determinación de 3 funciones 1 debiendo satisfacerse al mismo tiempo 
las 3 condiciones de equilibrio I , simultáneamente, en la superficie deben verificarse las 
condiciones II que contienen la fuerzas exteriores (cargas). 
δsx, δsy, δsz 
 2
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
2. Adoptar como incógnitas fundamentales las tensiones, entonces, en cada punto del cuerpo 
tendremos seis incógnitas 
σx(x,y,z) σy(x,y,z) σz(x,y,z) 
τyz(x,y,z) τzx(x,y,z) τxy(x,y,z) 2 
 
El problema se reduce a hallar seis funciones 2 que deben satisfacer tres ecuaciones de equilibrio I, sin 
embargo estas ecuaciones son insuficientes y habrá que recurrir a las seis condiciones de compatibilidad de 
las deformaciones IV. Deben verificarse, además las condiciones en la superficie. 
Se ve que el primer método es más sencillo desde el punto de vista matemático por tener un menor numero 
de incógnitas. 
 
2. ECUACIONES DE LAME 
 
Volviendo a las ecuaciones I y II, debemos transformar ese grupo de ecuaciones, expresando las tensiones 
en función de los corrimientos, adoptadas como incógnitas. Expresaremos las tensiones en función de las 
deformaciones V’ y estas en funcion de los corrimientos III. Eligiendo en V’ las tensiones que entran en 
la primera de las ecuaciones I tendremos: 
x
ux
∂
∂
+= ρλθσ 2 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
y
u
x
vxy ρτ 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
z
u
x
wxz ρτ 
 
Derivándolas resulta: 
 
2
2
2
2
x
u
x
u
xx
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ ρρθλσ 
2
22
y
u
yx
v
y
xy
∂
∂
+
∂∂
∂
+=
∂
∂ ρρτ LL 
2
22
z
u
zx
w
z
xz
∂
∂
+
∂∂
∂
+=
∂
∂ ρρτ LL 
 
Llevando estos términos a la primera de las I resulta: 
 
02
2
2
2
2
222
2
2
=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ X
z
u
y
u
x
u
zx
w
yx
v
x
u
x
ρρθλ 1 
 
Veamos que : 
xz
w
y
v
x
u
xz
u
y
u
x
u
∂
∂
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ θ
2
2
2
2
2
2
 
y con notación abreviada : 
u
z
u
y
u
x
u 2
2
2
2
2
2
2
∇=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ 
que se denomina operador de Laplace de la funcion u(x,y,z). Ahora la ecuación 1 queda: 
 3
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
( ) 02 =+∇+
∂
∂
+ Xu
x
ρθρλ 
Si transformamos las dos ecuaciones restantes I, realizando una permutación cíclica de las letras (x,y,z) y 
(u,v,w), llegamos al sistema de ecuaciones fundamentales de la teoría de la elasticidad para determinar los 
corrimientos. 
 
( ) 02 =+∇+
∂
∂
+ Xu
x
ρθρλ 
( ) 02 =+∇+
∂
∂
+ Yv
y
ρθρλ VI 
( ) 02 =+∇+
∂
∂
+ Zw
z
ρθρλ 
 
Cuando las fuerzas masicas no existen las ecuaciones VI son homogéneas. 
Estas ecuaciones se llaman ecuaciones de Lame, y nos dan una síntesis de las teorías referentes a las 
tensiones, deformaciones y a la relación de dependencia entre ellas. 
Las ecuaciones de Lame contienen todas las premisas de carácter mecánico, geométrico y físico sobre las 
cuales se basa la teoría de la elasticidad. En efecto, ellas 
1) expresan las condiciones de equilibrio de cada elemento del cuerpo 
2) contienen las características geométricas de las deformaciones u,v,w y θ 
3) contienen los factores físicos λ y ρ que caracterizan las propiedades elásticas del cuerpo. 
Si transformamos del mismo modo las condiciones de contorno II tendremos: 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+= n
x
wm
x
vl
x
u
s
ulsx ρρλθδ 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+= n
y
wm
y
vl
y
u
s
vmsy ρρλθδ VI a 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+= n
z
wm
z
vl
z
u
s
wnsz ρρλθδ 
s normal a la superficie del cuerpo. 
Las ecuaciones de Lame VI, junto con las condiciones de contorno VI a permite pasar directamente a la 
resolución de los problemas de la teoría de la elasticidad. Si logramos integrar las ecuaciones VI y hallar 
las funciones u,v y w que satisfagan las condiciones en la superficie en la forma II o VI a, entonces 
introduciéndolas en las ecuaciones III hallaremos las deformaciones εx, εy, εz, γxy, γxz, γyz, llevando 
estas ultimas a las ecuaciones de la ley de Hooke V’ hallaremos las tensiones : σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz. 
 4
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
CAPITULO V 
 
RESOLUCIÓN EN TENSIONES DEL PROBLEMA DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD 
 
1.PROBLEMAS ELEMENTALES 
 
En él capitulo I hemos mencionado que si queremos hallar directamente, de acuerdo con las fuerzas 
exteriores propuestas, las tensiones en un cuerpo elástico, σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz las condiciones de 
equilibrio I son insuficientes, pues él numero de incógnitas excede al de ecuaciones, por lo tanto, habrá que 
acudir a las condiciones de compatibilidad de las deformaciones IV. Mas adelante se transformaran las 
ecuaciones IV llevando a ellas las tensiones en lugar de las deformaciones. 
Veremos ahora el caso particular en que las tensiones se expresan por funciones de primer grado (lineales) 
de las coordenadas del punto o resultan ser constantes. 
Por las ecuaciones V se ve que las derivadas segundas de las deformaciones siempre se expresan por 
funciones lineales de las segundas derivadas de las tensiones, por ejemplo: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2 1
y
z
y
y
y
x
Ey
x σσµσε 
zx
yz
Gzx
yz
∂∂
∂
=
∂∂
∂ τγ 22 1 
Como en nuestro caso las tensiones son funciones lineales de x,y,z, todas las derivadas segundas de las 
deformaciones se anulan, esto quiere decir que todas las condiciones de compatibilidad IV serán 
satisfechas. Solo queda por verificar las ecuaciones I y las condiciones de contorno II. Estos problemas se 
denominan problemas simples de la teoría de la elasticidad. Veremos ahora uno de ellos. 
 
2. TORSIÓN DE UNA BARRA CILÍNDRICASe estudia el estado de tensión y deformación de una barra en forma de cilindro circular (Fig. 1) a cuyas 
bases están aplicadas fuerzas exteriores, que originan solo tensiones tangenciales y que pueden reducirse a 
dos pares opuestos de fuerzas, el momento de este par recibe el nombre de momento de torsión. 
Formularemos varias hipótesis: 
a. La deformación consiste en que las secciones transversales planas de la barra giran una respecto de 
la otra sin sufrir distorsión alguna. 
b. En todos los puntos de la sección se desarrollan solo tensiones tangenciales dirigidas normalmente a 
los radios vectores de los puntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El sistema de fuerzas que actúan en la sección se reduce al momento torsor : M=∫ Tz r dF 
dF: área elemental Tz: tensión tangencial 
Designemos con θ el ángulo de giro reciproco de dos secciones, cuya distancia es igual a la unidad. 
El ángulo de resbalamiento valdrá : 1 γ = r θ 
 5
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
La tensión valdrá : Tz=G γ = G r θ 
Si la proyectamos sobre los ejes x e y valdrán: 
τxz= -Tz senα = - Tz 
r
y 
τyz= -Tz cosα = - Tz 
r
x 
reemplazando: τxz= - G θ y τyz= - G θ x 
Suponiendo que las tensiones componentes restantes se anulan, llegaremos al siguiente sistema de 
tensiones: σx=0 σy=0 σz=0 
 τyz= G θ x τxz= -G θ y τxy= 0 1 
 
 
0
00
00
xGyG
xG
yG
θθ
θ
θ
−
−
 
 
Verifiquemos si este sistema 1 es posible desde el punto de vista de la teoría de la elasticidad. Ya que las 
tensiones 1 son funciones lineales de las coordenadas del punto, solo deberán ser satisfechas las ecuaciones 
I y habrá que verificar, por las condiciones en la superficie II, si las tensiones I corresponden a las 
condiciones del problema de torsión. 
Llevando las 1 a las ecuaciones I tendremos: X=0 Y=0 Z=0 
Las tensiones 1 son posibles, siempre que no existan las fuerzas masicas. Pasamos ahora a las condiciones 
de contorno de la barra. Se ve que en la superficie lateral es en todas partes: 
 cos (sz)= 0 s:normal a la superficie 
cos (sx)= cosα = 
r
x cos (sy)= senα =
r
y 
Llevando estos valores y los de 1 a las ecuaciones II 
δsx=0 δsy=0 δsz=0 
lo que implica que la superficie lateral no esta cargada. 
En la sección transversal extrema tenemos: 
cos (sx)= cos (sy)= 0 cos (sz)= 1 
Llevando estos valores y los de 1 a las ecuaciones II, resulta 
δsx=τxz= G θ y δsy=τyz= G θ x δsz=0 
Solo hay fuerzas tangenciales, su resultante tiene las siguientes proyecciones: 
∫∫τxz dF= -∫∫ G θ y dF= - G θ ∫∫ y dF=0 
∫∫τyz dF= - G θ ∫∫ x dF=0 
ya que el origen de coordenadas esta ubicado en el centro de gravedad de la sección. Las fuerzas aplicadas 
a la sección extrema se reducen a un par que vale: 
M=∫∫ (τxz y - τyz x) dF = - G θ ∫∫ (x² + y²) Df = - G θ Jp 
2
4RJp π= momento polar de inercia de la sección. 
Ahora hallaremos los corrimientos de sus puntos. 
Introduciendo las tensiones 1 en la ley de Hooke V tendremos las deformaciones, expresamos luego la 
deformaciones en función de los corrimientos según las ecuaciones III y obtenemos el siguiente sistema de 
ecuaciones: 
0=
∂
∂
x
u 0=
∂
∂
y
v 0=
∂
∂
z
w 2 
 6
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
u
x
v 
x
z
v
y
w θ=
∂
∂
+
∂
∂ 3 
y
x
w
z
u θ−=
∂
∂
+
∂
∂ 
A partir de estas ecuaciones se puede demostrar que se obtienen los siguientes desplazamientos : 
u = -θ y z v = θ x z w=0 
La ultima ecuación confirma la hipótesis de que las secciones planas transversales de una barra de sección 
circular permanecen planas cuando tiene lugar la torsión. 
 
3. PRINCIPIO DE SAINT-VENANT 
 
Este principio señala que en los puntos del cuerpo sólido, suficientemente alejados de los sitios de 
aplicación de las cargas exteriores, las tensiones dependen muy poco de la forma precisa que se 
materializan esas cargas, por ejemplo, para el problema que acabamos de resolver sobre torsión, el 
principio de Saint-Venant expresa que, en los puntos suficientemente alejados de las secciones 
transversales extremas de la barra, las tensiones producidas por la torsión casi no dependen dl modo de 
aplicación de los pares de torsión y poco varían al variar el procedimiento. Pero, en los extremos de la 
barra, el modo de aplicación de los pares torsores influye esencialmente en el carácter y la magnitud de las 
tensiones. 
El principio de Saint-Venant se desprende del siguiente postulado: Si se aplica un sistema de fuerzas 
equilibrado, a una parte A de un cuerpo, se desarrollan en el tensiones que decrecen rápidamente a medida 
que se alejan de la parte A. 
La figura 2 ilustra este enunciado en el caso particular de una barra aprisionada por unas tenazas que 
configuran un sistema equilibrado de fuerzas. Es evidente que, por más grandes que sean estas fuerzas (al 
cortar el alambre por ejemplo), ellas casi no pueden originar tensiones fuera de la zona A, rodeada por una 
línea de puntos en la figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. ECUACIONES DE BELTRAMI – MICHELL 
 
Nos ocuparemos ahora del caso general de la resolución del problema de la elasticidad en tensiones. Como 
se indico si se toman las tensiones como incógnitas, su numero asciende a seis: σx, σy, σz, τyz, τzx, τxy 
Por consiguiente las ecuaciones de equilibrio I son insuficientes, entonces, habrá que recurrir también a las 
condiciones de compatibilidad de las deformaciones IV, además deben satisfacerse las condiciones en la 
superficie II. 
 7
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
El problema se reduce a la integración de nueve ecuaciones I y IV con seis funciones incógnitas. Las 
funciones arbitrarias que intervienen en la solución general deben determinarse de las condiciones en la 
superficie II. 
Las condiciones de compatibilidad IV vinculan entre sí las deformaciones εx, εy, εz, γyz, γzx, γxy, por lo 
tanto, tendremos que transformar esas condiciones expresando las deformaciones por las tensiones 
mediante la ley de Hooke V. 
Efectuando las sustituciones y usando las ecuaciones de equilibrio I, daremos a las ecuaciones IV la 
siguiente forma, suponiendo que las fuerzas masicas no existen o que son constantes: 
( ) 01 2
2
2 =
∂
Θ∂
+∇+
x
xσµ 
( ) 01 2
2
2 =
∂
Θ∂
+∇+
y
yσµ 
( ) 01 2
2
2 =
∂
Θ∂
+∇+
z
zσµ VII 
( ) 01
2
2 =
∂∂
Θ∂
+∇+
zy
yzτµ 
( ) 01
2
2 =
∂∂
Θ∂
+∇+
xz
zxτµ 
( ) 01
2
2 =
∂∂
Θ∂
+∇+
yx
xyτµ 
De esta manera, para resolver el problema habrá que integrar nueve ecuaciones I y VII y satisfacer las 
condiciones de contorno II. 
Beltrami hallo las ecuaciones VII por un camino distinto, partiendo de las ecuaciones de Lame VII. 
Michel estableció las ecuaciones VII para el caso general en que las fuerzas masicas no son constantes. 
Las expresiones obtenidas son más compleja y por ejemplo, la primera de las ecuaciones queda 
reemplazada por esta otra: 
x
X
z
Z
y
Y
x
X
x
x
∂
∂
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
∂
Θ∂
+
+∇ 2
11
1
2
2
2
µ
µ
µ
σ . 
 
5. TRES GÉNEROS DE PROBLEMAS DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD. 
TEOREMA DE LA UNICIDAD 
 
Las ecuaciones de Beltrami-Michell completan el sistema de ecuaciones de la teoría de la elasticidad que 
permite resolver los problemas en corrimientos o en tensiones. 
Hasta ahora hemos supuesto que estén dadas las cargas en la superficie de un cuerpo elástico y también las 
fuerzas masicas. Al problema así enunciado lo llamaremos primer problema fundamental de la teoría de la 
elasticidad. Suele presentarse otro caso y es cuando están prefijados los corrimientos u,v,w de todos los 
puntos de la superficie del cuerpo elástico, lo llamaremos segundo problema fundamental de la teoría de la 
elasticidad, junto con los corrimientos propuestos se desarrollan en la superficie tensiones que no 
conocemos a priori. también puede plantearse un problema mixto de la teoría de la elasticidad, cuando en 
una parte de la superficie están dados los corrimientos y en la otra, las cargas (tensiones), en todos estos 
problemas pueden existir, fuerzas masicasconocidas a priori. 
Veremos ahora la demostración de la unicidad de la solución de los problemas de la teoría de la elasticidad, 
la que se expone fue dada por Kirchoff y se basa en las propiedades del trabajo de las fuerzas que provocan 
la deformación del cuerpo elástico. Sean δsx, δsy, δsz las proyecciones de una carga exterior aplicada a la 
superficie del cuerpo, vinculadas con las tensiones existentes en la proximidad de la superficie por las 
 8
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
ecuaciones II, u,v,w son los corrimientos del punto correspondiente de la superficie. Formemos la 
siguiente doble integral que se extiende sobre la superficie del cuerpo: 
 s:superficie (
( )
∫ ++=ℑ
s
dswszvsyusx *** δδδ )
ella expresa el trabajo duplicado de las cargas exteriores en el proceso de deformación del cuerpo. (las 
cargas crecen lentamente). 
Reemplacemos szsysx δδδ ,, por sus expresiones de las II y reunamos los coeficientes que afectan a los 
cosenos de los ángulos formados por la normal exterior s y los ejes coordenados. 
La integral queda: 
ℑ= [P cos(sx)+ Q cos (sy)+ R cos (sz)] ds cos (sx)=l cos (sy)=m cos (sz)=n 
( )
∫
s
donde: P= σx u + τyx v + τzx w 
Q= τxy u + σy v + τzy w 
R= τxz u + τyz v + σz w 
De acuerdo con la formula de Green esa integral puede ser transformada en una integral extendida sobre el 
volumen Γ del cuerpo: ℑ= (∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z) dΓ 
( )
∫
Γ
Calculemos las derivadas: 
x
wzx
x
vyx
x
uxw
x
zxv
x
yxu
x
x
x
P
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ ττσττσ 
y
wzy
y
vy
y
uxyw
y
zyv
y
yu
y
xy
y
Q
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ τσττστ 
z
wz
z
vyz
z
uxzw
z
zv
z
yzu
z
xz
z
R
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ σττσττ 
Sumemos miembro a miembro esa igualdades, observando que al sumar las primeras tres columnas y, 
conforme a las ecuaciones I, resulta : 
X
z
xz
y
xy
x
x
−=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ ττσ 
Al sumar las ultimas tres columnas tendremos en cuenta la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales 
y las formulas III, como resultado tendremos: 
z
R
y
Q
x
P
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ = -X u – Y v – Z w + σx εx + σy εy + σz εz + τyz γyz + τzx γzx + τxy γxy 
z
R
y
Q
x
P
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ = -X u – Y v – Z w + 2 W 
Usando esta relación al efectuar la transformación de la integral ℑ llegamos a la igualdad: 
( )
∫
s
(δsx u + δsy v + δsz w) ds + (X u +Y v +Z w ) dΓ = 2 W dΓ 12 
( )
∫
Γ ( )
∫
Γ
La primera integral del miembro expresa, el doble del trabajo de las fuerzas que actúan en la superficie, 
realizado durante el proceso de la deformación, la segunda integral expresa el doble del trabajo de las 
fuerzas masicas, en el segundo miembro figura la energía elástica potencial acumulada por el cuerpo 
multiplicada por dos. 
La igualdad 12 permite demostrar fácilmente el teorema de la unicidad de la solución para los tres 
problemas fundamentales de la teoría de la elasticidad. Supondremos que a igualdad de condiciones en la 
superficie y para iguales fuerzas masicas, hayamos obtenido dos sistemas distintos de tensiones, 
corrimientos y deformaciones. 
σ’x, σ’y, σ’z, τ’yz, τ’zx, τ’xy 
σ’’x, σ’’y, σ’’z, τ’’yz, τ’’zx, τ’’xy 
 9
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
Si adoptamos la ley de independencia de la acción de las fuerzas “la diferencia de esas soluciones” 
δsx = δ’sx - δ’’sx δsy = δ’sy - δ’’sy δsz = δ’sz - δ’’sz 
σx = σ’x - σ’’x σy = σ’y - σ’’y σz = σ’z - σ’’z 
τyz = τ’yz - τ’’yz τzx = τ’zx - τ’’zx τxy = τ’xy - τ’’xy 13 
u = u’ – u’’ v = v’ – v’’ z = z’ – z’’ 
εx = ε’x - ε’’x εy = ε’y - ε’’y εz = ε’z - ε’’z 
γyz = γ’yz - γ’’yz γzx = γ’zx - γ’’zx γxy = γ’xy - γ’’xy 
también puede considerarse como solución de cierto problema de la teoría de la elasticidad, luego, se puede 
aplicar a esa solución la igualdad 12 con la simplificación de que la segunda integral del primer miembro 
se anula, pues en ambas soluciones las fuerzas masicas son iguales, y por lo tanto 
X = X’ – X’’ y así sucesivamente. 
Tenemos así: (δsx u +δsy v +δsz w) ds = 2 W dΓ 14 
( )∫∫ s ( )∫∫∫Γ
Donde δsx, δsy, δsz, u, v, w han sido tomados de la primera y tercera líneas de 13, si la función W esta 
expresada en función de las deformaciones, sus argumentos deben ser tomados de la cuarta línea de 13, si 
esta dada en función de las tensiones, conviene tomar sus argumentos de la segunda línea de 13. 
En la integral del primer miembro de 14 observamos que: 
1. en el caso del primer problema fundamental tendremos en toda la superficie 
δsx=0 δsy=0 δsz=0 15 
2. en el caso del segundo problema fundamental será 
u=0 v=0 w=0 16 en toda la superficie 
3. en el caso de un problema mixto, en la partes de la superficie donde están dadas las tensiones se 
observan las condiciones 15 y en las otras donde están propuestos los corrimientos, se cumplen las 
condiciones 16. 
Es evidente que en los tres casos la integral del primer miembro de 14 se anula y resulta la igualdad 
( )
∫
Γ
W dΓ = 0 
Sin embargo se demostró que W > 0 en todos los puntos del cuerpo, luego, esta ultima igualdad solo es 
posible cuando todos los argumentos de la función W son nulos, esto es : εx = ε’x - ε’’x = 0 y asi 
sucesivamente. σx = σ’x - σ’’x = 0 .................... 
De aquí se deduce que ambos sistemas de tensiones admitidos al principio deben coincidir en todos los 
puntos del cuerpo, lo mismo se refiere a las deformaciones . 
Con esto queda demostrado el teorema de la unicidad. 
 
 10
 
Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
CAPITULO V 
 
RESOLUCIÓN EN TENSIONES DEL PROBLEMA DE LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD 
 
1.PROBLEMAS ELEMENTALES 
 
En él capitulo I hemos mencionado que si queremos hallar directamente, de acuerdo con las fuerzas 
exteriores propuestas, las tensiones en un cuerpo elástico, σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz las condiciones de 
equilibrio I son insuficientes, pues él numero de incógnitas excede al de ecuaciones, por lo tanto, habrá que 
acudir a las condiciones de compatibilidad de las deformaciones IV. Mas adelante se transformaran las 
ecuaciones IV llevando a ellas las tensiones en lugar de las deformaciones. 
Veremos ahora el caso particular en que las tensiones se expresan por funciones de primer grado (lineales) 
de las coordenadas del punto o resultan ser constantes. 
Por las ecuaciones V se ve que las derivadas segundas de las deformaciones siempre se expresan por 
funciones lineales de las segundas derivadas de las tensiones, por ejemplo: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2 1
y
z
y
y
y
x
Ey
x σσµσε 
zx
yz
Gzx
yz
∂∂
∂
=
∂∂
∂ τγ 22 1 
Como en nuestro caso las tensiones son funciones lineales de x,y,z, todas las derivadas segundas de las 
deformaciones se anulan, esto quiere decir que todas las condiciones de compatibilidad IV serán 
satisfechas. Solo queda por verificar las ecuaciones I y las condiciones de contorno II. Estos problemas se 
denominan problemas simples de la teoría de la elasticidad. Veremos ahora uno de ellos. 
 
2. TORSIÓN DE UNA BARRA CILÍNDRICA 
 
Se estudia el estado de tensión y deformación de una barra en forma de cilindro circular (Fig. 1) a cuyas 
bases están aplicadas fuerzas exteriores, que originan solo tensiones tangenciales y que pueden reducirse a 
dos pares opuestos de fuerzas, el momento de este par recibe el nombre de momento de torsión. 
Formularemos varias hipótesis: 
a. La deformación consiste en que las secciones transversales planas de la barra giran una respecto de 
la otra sin sufrir distorsión alguna. 
b. En todos los puntos de la sección se desarrollan solo tensiones tangenciales dirigidas normalmente a 
los radios vectores de los puntos. 
 
 
 
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Elasticidad y Plasticidad – F.R.R. U.T.N. 
 
 
 
 
 
 
 
El sistema de fuerzas que actúan en la sección se reduce al momento torsor : M=∫ Tz r dF 
dF: área elemental Tz: tensión tangencial 
Designemos con θ el ángulo de giro reciproco de dos secciones, cuya distancia es igual a la unidad. 
El ángulo de resbalamiento