Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
ESTÁTICA Y RESISTENCIA DE MATERIALES MOVIMIENTO DE INCLUSIÓN TOTAL https://www.facebook.com/MIT.FI.UNJu/ RECOPILACIÓN DE MATERIAL Por apuntes de otras materias mandanos un mensaje a la página ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 1 1 INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 1.1. RESISTENCIA DE MATERIALES 1.1.1. Conceptos Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de ESTABILIDAD I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las que la misma puede servir sin tal peligro. Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos simples. a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo. Fig. 1.1: Barra de eje curvo Fig. 1.2: Barra de eje recto La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la barra. b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones. Fig. 1.3: Placa ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 2 c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en comparación con las otras dimensiones. Fig. 1.4: Bóveda d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden. En la Resistencia de Materiales (Estabilidad II) se estudian principalmente, los casos de barras que tienen sección constante y eje recto. Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma a la rotura, o sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios moti- vos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la fa- lla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo. La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las defor- maciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha di- cho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deforma- bles. La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, acep- tables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, em- pleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser jus- tificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas. Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: a) Dimensionamiento b) Verificación En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: § Con seguridad § En perfecto estado § Con gastos adecuados El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario co- nocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes. ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 3 1.1.2. Hipótesis fundamentales a) El material se considera macizo (continuo). El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detec- tarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que los mantienen vinculados, formando una red ordenada. Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones continuas. b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos). El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en esta hipótesis son satisfactorios. c) El material de la pieza es isótropo. Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las direcciones. d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas. Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no consideramos las fuerzas moleculares que existen en un sólido no sometido a cargas. Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial. e) Es válido el principio de superposición de efectos. Ya se ha hecho uso de este principio en la cátedra de ESTABILIDAD I, para el caso de sólidos indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando: - Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación con las dimensiones del sólido. - Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”. Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio corres- pondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración inicial, es decir, sin defor- maciones. Lo que hemos enunciado en este último párrafo es válido en la mayoría de los casos, no obs- tante, cuando analicemos el problema del pandeo de una barra elástica veremos que este criterio no puede ser aplicado. f) Es aplicable el principio de Saint – Venant Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del cálculo. g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Lascargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y como veremos en el ca- ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 4 pítulo 11, las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o cuasi-estáticas. 1.1.3. Método Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general éstas son inagotables. Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. De- bemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran al- tura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca impor- tancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas al- turas, la variación de la temperatura con la altura, etc. Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle muchos objetos reales. Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una serie de problemas reales comunes al esquema dado. Fig. 1.5 Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en: a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra. b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales. c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones localizadas en zonas pequeñas. d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto. El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de las deformaciones. Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamen- te en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real. F ig. 1.1 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 5 Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materia- les, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera: 1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático). 2) Resolución matemática del problema 3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real. 1.2. CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIONES ESPECÍFICAS Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 1.6 la función de esta prensa es la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión. Si consideramos los componentes de prensa, vemos que los mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, las que como ya se ha estudiado en ESTABILIDAD I, generan esfuerzos internos. Por ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza. Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se encuentre en equilibrio (ver figura 1.7), en esta sección debe aparecer una fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada. Ahora bien, ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la que se indica en la figura 1.7, aunque no lo podemos afirmar rigurosa- mente si no hacemos un buen estudio del problema. Fig. 1.6 Fig. 1.7 Fig. 1.8 σ = ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 6 Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un mo- mento tordente. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un con- junto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura 1.8. También podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que a- hora las fuerzas son yacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuer- zos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente. Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabe- mos que en la sección originada aparecerán fuerzas que man- tienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o tensión resultante en el punto P, al siguiente límite. ∆Ω ∆ =ρ →∆Ω F lim 0 (1.1) La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: in- tensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2) Sistema Internacional de Unidades Fuerza Newton 1 N ≅ 0,1 Kgf Momento Newton × metro N.m Presión Pascal Pa = N / m2 El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas ten-sión normal (σ) y tensión tangencial (τ). Ver figura 1.10. Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante superior mayor es la fuerza que debe absorber la barra. Se observa, así mismo, que la barra se estira ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento δ. Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica” ∆ ∆Ω Fig. 1.9 τ σ ρ Fig. 1.10 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 7 L δ =ε (1.2) Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un valor distinto de ε. De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem. Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga – Desplazamiento (F – δ): Fig. 1.12 Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y longitud; manteniendo las características del material constante. Dónde: Ω2 > Ω1 L2 > L1 Fig. 1.13 δ L Ω F L1 Ω1 L2 Ω2 Fig. 1.11 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 8 Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga – Desplazamiento va a variar si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra. Fig. 1.14 1.3. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 1.3.1. Elasticidad y Plasticidad Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo contrario se dice que es “parcialmente elástico”. La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando al dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada. En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos. 1.3.2. Ley de Hooke La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por debajo de un cierto valor σp, llamado tensión de propor- cionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones son directamente proporcionales. ε=σ . E (1.3) arc tg E ε σ Fig. 1.15 F δ Ω2 – L1 Ω2 – L2 Ω1 – L2 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 9 E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudi- nal, o módulo de Young. El valor de E es una característi-ca de cada material. 1.3.3. Diagrama tensión - deformación (σ - ε ) del acero común Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse experimentalmente.1 Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra esta sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales σ calculables a través de la siguiente expresión: Ω =σ P (1.4) Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) para cada escalón de carga, se pueden graficar los valores (σ ; ε), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas. Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente. En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características: a) Período elástico 1 Área de "Ensayo de Materiales" L Ω Fig. 1.16: Probeta de acero ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 10 Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que pro- ducida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %. Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad), dónde el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta propor- cionalidad entre tensiones y deformaciones. ( ) (1.6) reducido delasticida de Módulo :zona segunda laEn (1.5) E :zonaprimer laEn =ε= ε σ = ε σ = ε σ f d d d d En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí. b) Período elasto-plástico Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A me- dida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un va- lor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia). c) Período plástico (fluencia) Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumen- tan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados lí- mites de fluencia superior e inferior, respectivamente. La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia. Fp 8.0σ≅σ (1.7) Las investigaciones demuestran que durante la fluencia se producen importantes deslizamientos relativos entre los cristales. Como consecuencia de estos deslizamientos, en la superficie de la probeta a- parecen las llamadas líneas de Chernov - Lüders, que forman con el eje de la misma un ángulo de 45º. d) Período de endurecimiento y de estricción Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada defor- mación de rotura, produciéndose la rotura física. Fig. 1.18 Fig. 1.19: Fenómeno de estricción ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 11 La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación es- pecífica correspondiente a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado “estricción”. Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR y cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura εR. Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial. Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “coeficiente de estricción lateral”, el cual se define según la siguiente expresión: f fi Ω Ω−Ω =ϕ Dónde: Ωi = área inicial Ωf = área final En los aceros comunes ϕ ≈ 50 % Si al realizar el ensayo de un acero común, una vez alcanzado un punto tal como el M de la gráfica de la figura 1.14, se descarga la probeta, se llega a una tensión nula a través de una recta paralela a la que define el período elástico, quedando una defor- mación remanente. Si la probeta vuel- ve a cargarse retoma la curva en el punto N, pero con un nuevo recorrido donde ya no existe el período de fluen- cia. Así mismo, la zona recta se pro- longa hasta un valor σ'p > σp. El fenómeno anterior de denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también puede lograrse por laminado en frío, trafilado o torsión. El trafilado se utiliza para endurecer alambres o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con confor- maciones superficiales), para hormigón armado. Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama σ - ε resulta ser substancialmente distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes: 11..11..11..11..FFii gg.. 11..1133 R ε σ ε Diagrama convencional Diagrama efectivo Fig. 1.20: Diagrama efectivo y convencional σ ε α α M N σ'p σp Fig. 1.21: Endurecimiento mecánico del acero dulce ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 12 § Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados que los aceros comunes. § No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de escurrimiento plástico. § La deformación de rotura se reduce considerablemente. § Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido, este se determina en forma convencional como la tensión para la cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %. Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan “dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura fí- sica, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los mate- riales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce brus- camente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frági- les”. 1.3.4. Diagrama tensión – deformación para otros materiales Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε es una curva continua sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva σ - ε en compresión. En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres valores del módulo de elasticidad: a) Módulo al origen E= tg α (1.9) b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la pendiente a la curva σ - ε en cada punto: 0 tg d d E α= ε σ = (1.10) c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α1. Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre: ε×=σ E k (1.11) donde el coeficiente k depende del material (valor medio,ya que depende de muchas variables): 0,2 % σ σR σF σp εp εR = 12 % ε Fig. 1.22: Límite Convencional de Fluencia σ 0,2 εR α1 ε α 0 α σR σ Fig. 1.23: Módulos tangentes y secantes ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 13 Material Coeficiente k Hormigón k = 1,15 Cobre k = 1,10 Latón k = 1,085 Cuero k = 0,70 En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a tracción, tal es el caso del hormigón. 1.3.5. Diagramas ideales Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resu- men las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales. El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluen- cia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan sig- nificativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura. εF ε σ σF εR ε σ σR ε σ σF = σR Fig. 1.25.1: Diagrama ideal Fig. 1.25.2: Diagrama ideal Fig. 1.25.3: Diagrama ideal para un material dúctil para un material frágil para un material plástico En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura, prescindiéndose entonces del tramo curvo. Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión. σ ε hormigón cuero Fig. 1.24 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 14 1.4. CONSTANTES ELÁSTICAS El comportamientolineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad. 1.4.1. Módulo de elasticidad longitudinal (E) Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L. La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε. Admitiendo para el material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión Ω P =σ , será proporcional a la deformación ε. La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas. 1.4.2. Módulo de elasticidad transversal (G) Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en su cara superior. L ∆L P Ω P Fig. 1.26 ε=σ = ε σ =α E Etg (1.12) γ γ Ω Fig. 1.28: Distorsión α σ ε Fig. 1.27 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 15 La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como τ, siendo: Ω =τ P (1.13) τ = tensión tangencial o tensión de corte De la misma forma que se grafica la relación σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del acero común la gráfica representativa, es similar a la ya vista para las tensiones normales. Dentro del campo lineal elástico, la constante que vincula la tensión tangencial con la deformación angular, es llamada módulo de elasticidad transversal (G). γ=τ = γ τ =β G Gtg (1.14) Para el acero común τFl ≅ 0,57 σFl 1.4.3. Módulo de elasticidad de volumen (K) Se define como el módulo de elasticidad de volumen (K), a la constante que permite obtener la deformación cúbica específica de un paralelepípedo elemental sometido a presión uniforme. Sea un paralelepípedo inicialmente de lados ∆x, ∆y, ∆z, sometidos a una presión hidrostática p; cada una de las aristas experimentará un acortamiento, lo cual se traduce en una variación de volumen ∆V = Vf - Vi. La deformación específica volumétrica está dada por: i if v V VV − =ε (1.15) Esta deformación se vincula a la presión actuante mediante una constante de proporcionalidad, el módulo K. v K p ε= (1.16) τ β γ τ F l Fig. 1.29: Diagrama Tensión – Distorsión angular ∆ ∆ ∆ Fig. 1.30: Elemento diferencial ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 16 Siendo εv adimensional, la unidad de K será (Kg/cm2). Este módulo de elasticidad volumétrica no es independiente de los dos vistos anteriormente. 1.4.4. Coeficiente de Poisson Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella. a a ; L L tL ∆ =ε ∆ =ε Llamando con εL el alargamiento específico en dirección de la fuerza y ε t la deformación es- pecífica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre: L t ε ε −=µ (1.17) o bien: t L1m ε ε −= µ = El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33. En cualquier caso µ < 0,50 Valores de Constantes Elásticas según el material Material E (t/cm2) µ Acero Cobre Bronce Hierro fundido Aluminio Madera (paralela a la fibra) Hormigón Mampostería de ladrillo Caucho Corcho 2.000 a 2.100 1.160 a 1.300 1.100 750 a 1600 760 80 a 120 150 a 350 < 120 0.01 - 0.22 a 0.33 0.31 a 0.34 0.32 a 0.35 0.23 a 0.27 0.32 a 0.36 - 0.10 a 0.20 - 0.47 ≈ 0.00 a P P L L + ∆ L a + ∆ a Fig. 1.31 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 17 1.5. CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN ADMISIBLE Y DE CARGA ADMISIBLE En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por e-jem- plo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha de- bilitado por la existencia de vicios ocultos. La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo úni- co que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla. “La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satis- factoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible”. Existen numerosas causas de incertidumbres: § Las hipótesis de cargas § Las hipótesis de cálculo § Los errores de cálculos § Defectos del material § Errores de las dimensiones § Errores de ejecución El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el ba- sado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no debe superar cierto valor. ν σ ≤σ L máx (1.18) σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado ν: un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad” Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de ma- teriales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación νσ /L recibe el nombre de “tensión admisible”. adm L σ= ν σ (1.19) La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general probabi- lísticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, la norma CIRSOC (SIREA). Para los casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían en- tre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes. ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 18 Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad, es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre res- pecto de ellos. En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en di- cha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke,ya que la tensión de trabajo resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke ya que para valores bajos de las tensio- nes, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta. ν σ =σ F adm ν σ =σ 0,2 adm ν σ =σ R adm Fig. 1.32: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo elástico, y método de cálculo plástico. El coeficiente de seguridad a través del criterio plástico se establece en base a relación de cargas. Entenderemos como máxima carga estructural, el límite del valor de carga que puede soportar una estructura sin dejar de cumplir satisfactoriamente los fines constructivos a que está destinada. En este caso el valor del coeficiente de seguridad viene dado por )P(P P ) Admisible(Carga real Carga lEstructura Carga Máxima admtrab rot p ==ν En la materia nos referiremos al coeficiente ? que compara tensiones. 1.5.1.1 Ejemplos de cálculo del Coeficiente de Seguridad. Interpretación del concepto de tensión admisible .. Dimensionar las barras de la figura con secciones circulares macizas de acero común. Condición: Ω1 = Ω2. σ σ σ σFl σadm σ0,2 σadm σR σadm ε ε ε ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 19 α1 = 45º P B C α1 A α2 P X 2 C X 1 D . C . L . α2 = 30º P = 3 tn. == υ σ =σ 2cmtn Fl 40,1 71,1 40,2 37St Acero :Material X1 = 1,53 tn X2 = 2,19 tn 2 cm t adm máx nec cm56,1 40,1 t 19,2X 2 == σ =Ω Tabla ∅ Ω (mm) (cm2) 10 0,78 12 1,13 16 2,01 20 3,14 De Tabla adopto una barra de ∅ 16 mm y de sección Ω = 2,01 cm2 Tensión de trabajo. Coeficiente de seguridad del sistema: 20,2 20,2 09,1 40,2 09,1 cm 2,01 t19,2X 16,3 76,0 40,2 76,0 cm 2,01 t53,1X Sistema 2T Fl 2cm t 2 2 2 2T 1T Fl 1cm t 2 1 1 1T 2 2 =ν == σ σ =ν⇒== Ω =σ == σ σ =ν⇒== Ω =σ Mediante el ejemplo anterior tratamos de diferenciar el concepto de tensión admisible, respecto del de tensión de trabajo o de servicio. En el primer caso se determina un valor de referencia, al cual se llega adoptando un coeficiente de seguridad (1,71), que como proyectistas lo estimamos razonable. En tanto los de tensión de trabajo corresponderían a los valores reales que tendría el sistema proyectado, de acuerdo al material utilizado. ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 20 1.6. ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN Vamos a analizar el proceso de deformación de un sólido elástico desde el punto de vista energético. Las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo elástico realizan cierto trabajo que designaremos W. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del sólido deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del sólido, es decir, se transforma en energía cinética K. El balance de la energía, en el supuesto que no haya pérdidas por fricción, calor, etc., es el siguiente: W = U + K (1.20) Si la carga se aplica lentamente, la velocidad del desplazamiento de las masas del cuerpo será pequeña, con lo que la energía cinética será despreciable, luego: W = U (1.21) Al descargar el cuerpo, debido a la energía potencial, se realiza cierto trabajo, el necesario para devolver al cuerpo su forma o- riginal. En este sentido, un sólido es un a-cu- mulador de energía, comportándose como un resorte. Si consideramos, por ejemplo, el caso de una barra traccionada mediante una fuerza que varía en forma estática, para un valor de carga P´ la misma tendrá un desplazamiento δ´. Si a partir de ese instante se realiza un in- cremento de la carga, el alargamiento δ´ ten- drá un incremento dδ´. La fuerza P realizará en consecuencia un trabajo, el que producirá un incremento de la energía de deformación acumulada. dW = dU = P' dδ ' + ½ dP' dδ ' Como el término ½ dP' dδ ' tiende a cero por ser infinitésimo de orden superior, podemos afir- mar: dW = dU ≅ P´ dδ ’ (1.22) Para un determinado valor de P, la energía acumulada será: δ==δ= ∫ δ ∆ P 2 1 OAB area ´d P´ U O (1.23) Podemos ver que el trabajo de la fuerza se obtiene tomando la mitad del producto de la fuerza por el desplazamiento correspondiente. Si la relación entre fuerza y desplazamiento no es lineal, el coeficiente ½ es otro. Si la carga mantiene su valor constante desde el comienzo, el coeficiente se hace igual a la unidad. En algunas aplicaciones es de importancia la energía de deformación por unidad de volumen, también denominada “energía específica de deformación”. δ d ` δ δ δ δ P Ω P Fig. 1.33: Energía de deformación acumulada en una barra ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES /2004 21 ∫ ∫∫ ∫ ε εε δ εσ== εσΩ=εΩσ= Ωσ=ε=δδ= O OO O d Vol U u d L d L U PL d dd P U (1.24) Podemos ver que la energía de deformación por unidad de volumen resulta ser igual al área encerrada por el diagrama σ - ε. Si la tensión se encuentra dentro del período lineal elástico: 2 2 E 2 1 E2 1 2 1 u ε= σ =σε= (1.25) dε` ε εε` σ σ σ` ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 1 2 SOLICITACION NORMAL Y CORTE PURO 2.1 SOLICITACION NORMAL 2.1.1 Tracción y compresión, tensiones y deformaciones El problema que vamos a estudiar a continuación se refiere a las piezas que están sometidas exclusivamente a esfuerzos internos normales, de tracción o compresión. Si trazamos sobre la superficie de una barra prismática una red de líneas rectas, unas paralelas y otras perpendiculares al eje de la barra, y sometemos a la misma a una fuerza de tracción, observaremos que después de la deformación las rectas de la red permanecen ortogonales entre sí en toda la superficie, excepto en una zona pequeña próxima al punto de aplicación de la fuerza y de la que ahora prescind i- remos, mientras que las distancias entre las rectas va- rían. Las rectas horizontales se desplazan hacia abajo, permaneciendo rectas y horizontales. Es de suponer que en el interior de la barra tiene lugar el mismo fe- nómeno, lo cual permite enunciar una hipótesis: “Las secciones transversales de las barra, que eran planas y perpendiculares a su eje antes de la defo r- mación, permanecen planas y normales a éste des- pués de ocurrir la deformación”. Esta hipótesis, que tiene suma importancia, se conoce como “hipótesis de las secciones planas o hipótesis de Bernoulli – Navier”, y los ensayos confirman las fórmulas que se basan en la misma. Lo expuesto sobre las deformaciones nos permite suponer que en las secciones transversales de las barras actúan solamente tensiones normales, distribuidas uniformemente.Por razones de equi- librio debe entonces ocurrir: ∫ ∫ Ω Ω Ω =σ→Ωσ=Ωσ=Ωσ= P * d d P (2.1) Los ensayos también demuestran que al estirar la barra, su longitud aumenta, mientras que sus dimensiones transversales disminuyen. Cuando se trata de compresión, el fenómeno se invierte. Si consideramos que el material tiene un comportamiento elástico lineal podemos calcular analíticamen- te el valor de δ. L a b a ' b ' P δ P Fig. 2.1 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 2 E* L*P E* L*P E L* E L * Ω =δ Ω = σ =δ σ =εε=δ Puede verse que el desplazamiento δ es directamente proporcional a la carga P aplicada y a la longitud inicial L de la barra. Así mismo, δ resulta inversamente proporcional al producto Ω *E, el cual se denomina “Rigidez Axial”. Efectivamente, este producto representa la oposición de la pieza a la deformación, para lo cual ésta emplea sus propiedades geométricas y mecánicas. Recordemos que no solo existe una deformación longitudinal sino que las dimensiones trans- versales también varían, obteniéndose una deformación ε’. εµ−=ε . ' (2.3) La suposición anterior sobre la distribución uniforme de las tensiones internas en la sección transversal es valida siempre y cuando no se analicen las zonas próximas a la aplicación de la carga. Aquí se obra de acuerdo al principio de Saint- Venant ya enunciado, el que para el caso concreto de barras establece que la zona de perturbación influye en distancias no superiores a las dimensiones de la sección transversal. Es de hacer notar, también, que las fórmulas anteriores son válidas cualquiera sea el signo de σ, es decir, tanto para solicitaciones de tracción como de compresión. Sin embargo, para estas últ imas tiene sus limitaciones. En efectos, en los cuerpos sujetos a compresión la fórmula 2.1 pierde validez cuando la esbeltez de la pieza supera ciertos valores, a partir de los cuales se presenta un fenómeno denominado “pandeo”, cuyo estudio lo realizaremos en el capítulo 10. Conociendo la relación existente entre P y δ podemos obtener las siguientes expresiones para la energía de deformación: 22 P E L 2 1 L E 2 1 P 2 1 U Ω =δ Ω =δ= (2.4) 2.1.2 Aplicaciones En los problemas de dimensionamiento deberán cumplirse dos condiciones básicas, las cuales surgen de despejar el área de la sección transversal, de las fórmulas anteriormente vistas. δ σ ≥Ω adm adm E L P P (2.5) En los problemas de verificación deberán cumplirse, también, dos condiciones. admadm E L P P δ≤ Ω σ≤ Ω (2.6) ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 3 A continuación vamos a desarrollar un ejemplo, para el cual se desea dimensionar las barras del reticulado de la figura 2.2 Para las barras 1 y 2 debe emplearse madera con: σadm = 80 kg/cm2 δadm = L/300 E = 100 t/cm2 Para la barra 3 debe emplearse acero con: σadm = 2.400 kg/cm2 δadm = L/500 E = 2.100 kg/cm2 - Barras 1-2 2 trab adm nec 2 2 adm nec kg/cm 73 38.7 2830 P B.C. cm 0.94 300 283 cm 0.2 100*7.38 283*2.83 E L P cm 38.7 cm 2,54 1" siendo , 2"x 3" de escuadría una Adoptamos cm 35.4 80 2.83 P tn2.83 P == Ω =σ →=<=→δ≤ Ω Ω>=Ω→= == σ ≥Ω = - Barra 3 kg/cm 1770 1.13 2000 P B.C. cm 0.8 500 400 cm 0.34 2100*13.1 400*2 E L P cm 1.13 12 1 Adoptamoscm 0.83 2400 2000 P tn2 P 2 trab nec 2 2 adm nec == Ω =σ →=<== Ω Ω>=Ω φ→== σ ≥Ω = 4 t n 1 2 3 2 . 8 3 t n 2 t n4 m 2 t n 2 . 8 3 t n 2 t n 4 m 2m Fig. 2.2 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 4 En general, cuando existen varias condiciones de dimensionamiento se emplea una de ellas y se verifican las demás. Si alguna de éstas no es satisfecha se procede a redimensionar. Cuando se emplean las fórmulas 2.5, por razones de economía se trata de que se cumplan las igualdades, lo que no siempre es posible ya que debemos adoptar piezas cuyas secciones transversales existan comercialmente. Si en el ejemplo anterior quisiésemos saber el valor del descenso de la estructura en el punto de aplicación de la carga exterior de 4 tn, podríamos calcularlos mediante consideraciones energéti- cas. En efecto, el trabajo que realiza esa fuerza se convierte en energía de deformación, la cual será igual a la suma de la energía absorbida por cada barra. cm 0.46 2* 2.100*1.13 400 * 2 1 2*2.83* 100*38.7 283 * 2 1 4 2 1 P E L 2 1 P 2 1 22 3 1i 2 i ii i =δ + =δ Ω =δ ∑ = Aunque el cálculo anterior parezca muy simple debemos señalar que pudo realizarse merced a que tenemos una sola carga exterior y además calculamos el corrimiento correspondiente a su punto de aplicación. Para casos mas generales deben aplicarse otros criterios de cálculo, los que no son tra- tados en este curso. 2.1.3 Influencia del peso propio en la solicitación axial En el estudio que realizamos en el primer ítem de este capítulo solo hemos tenido en cuenta las cargas exteriores, sin considerar el efecto que pudiera tener el peso propio de la estructura. Esto esta permitido cuando esta influencia es despreciable en relación a las tensiones originadas por las cargas exteriores. A continuación estudiaremos el caso de barra de sección constante sometida a una carga exte- rior y a su propio peso. ( ) x** P N x Ωγ+= (2.7) γ = peso específico del material ( ) ( ) ( ) ( ) L P L L x P llamando x P N adm admo admoLx max ox o x x γ−σ =Ω γ−σ≤σ σ≤γ+σ=σ γ+σ=σ Ω =σ γ+ Ω = Ω =σ = P d x x γ Ω x L Fig. 2.3 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 5 Esta última expresión nos permite establecer el límite de utilización de la barra de sección constante. En efecto, cuando σadm= γ*L, el denominador se anula y Ω adquiere un valor infinito. La longitud límite resulta ser: γ σ ≤ adm max L (2.9) A partir de esta longitud es necesario recurrir a las barras de sección variable. Por otra parte, cuando las dimensiones de las barras son grandes y la influencia del peso propio es considerable, el proyectar la barra con sección constante es antieconómico. A continuación vamos a calcular el desplazamiento máximo producido cuando además de una carga exterior actúa el peso propio. Si a la distancia x del borde inferior de la figura 2.3 consideramos un elemento de longitud dx, el mismo tendrá aplicada una carga que viene dada por la ecuación 2.7, la cual le producirá un alar- gamiento ∆x. ( ) E L W 2 1 E L P )barraladetotalpeso( WL L E 2 L E L P 2E L E L P dxx EE P dxx EE P dx E N dx E dx 2L 0 L 0 x x x Ω +Ω =δ =Ωγ Ω Ωγ + Ω =δ γ + Ω = γ+ Ω =∆=δ γ+ Ω = Ω = σ =ε=∆ ∫∫ (2.10) De la última expresión se puede deducir que el alargamiento total resulta ser igual a la suma de dos términos, uno de ellos corresponde al alargamiento producido por la carga exterior y el otro corresponde a alargamiento debido el peso propio. Este último puede ser definido como el alarga- miento de una barra ideal con su peso concentrado en la mitad de su longitud. En lo que sigue vamos a ver la forma geométrica que tendría que tener una barra sometida a carga exterior en su extremo y a su propio peso, para que fuese un sólido de igual resistencia, es decir, que la tensión fuese constante en todas las secciones. Supongamos que aislamos un elemento diferencial de longitud dx: dW Ω + dΩ Ω d x σ σ σ= cte = σ adm d W = γ Ω d x P dx Ω + dΩ Ω Ω o x Fig.2.4 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 6 ( ) ( ) ( ) σ γ σ γ + σ γ σ =Ω σ ==Ω→= ==Ω + σ γ =Ω→ σ γ = Ω Ω =Ωγ−Ωσ ←=−Ωσ−Ω+Ωσ x adm x adm C 0 x C cx adme P P e 0x para e e e)x( cx ln integrado dx d 0 dx d equilibriopor 0Wdd (2.11) En la práctica, la ley exponencial de la ecuación última puede aproximarse como se indica el al figura 2.5. 2.1.4 Deformaciones térmicas Los cambios de temperatura producen deformación en los materiales. En el caso de materiales homogéneos e isótropos, un cambio de ∆T grados origina una deformación lineal uniforme en todas las direcciones. Las deformaciones térmicas lineales se calculan mediante: ∆l = α . l . ∆T donde α es el coeficiente de dilatación térmica lineal Material α (x 10-6/ºC) Aluminio Fundición Cobre Acero Hormigón 23.2 10.4 16.7 11.7 10.8 2.1.5 Problemas hiperestáticos en tracción y compresión Como ya sabemos, un sistema resulta hiperestático cuando la cantidad de grados de libertad (g) del mismo resulta menor que la cantidad de restricciones de vínculo (r) impuestas; las que, por o- tro lado, no configuran ningún caso crítico. g < r ∉ caso crítico La definición anterior nos permite dar un concepto de los sistemas hiperestáticos a través de consideraciones cinemáticas. Desde el punto de vista estático, la condición de hiperestaticidad viene dada por el hecho de que la cantidad de ecuaciones (E) que surgen de los planteos de equilibrio de la Estática es menor que la cantidad de incógnitas reactivas planteadas (I). E < I Fig. 2.5 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 7 Para poder resolver estas estructuras es necesario agregar a las ecuaciones mencionadas, (I - E) ecuaciones de compatibilidad. Estas reciben este nombre precisamente porque tratan de expresar la compatibilidad entre las deformaciones y la vinculación existente, que como hemos dicho, resulta su- perabundante. A continuación vamos a tratar algunos ejemplos simples donde solamente se involucran de- formaciones por esfuerzos normales. a) Ejemplo 1 En este caso deseamos calcular las solicitaciones en las barras 1 y 2 de la figura 2.6. A la barra horizontal la suponemos perfectamente rígida. Si planteamos las ecuaciones de equilibrio de la barra rígida tendremos: ∑ ∑ ∑ =−+→= =−++→= =→= 0aPaRaR 0M 0PVRR 0y 0H 0x 2211A A21 A De estas tres ecuaciones podemos observar que la primera se cumplen con la nulidad del esfuerzo horizontal HA, lo cual es obvio, y que las dos ecuaciones restantes no son suficientes para determinar las tres incógnitas faltantes. Para poder calcularlas necesitamos una ecuación adicional, la cual puede obtenerse si imagi- namos la forma en que se deformará el sistema. En efecto, teniendo en cuenta que la barra inferior es rígida podemos establecer: 222 22 111 11 22 22 C 11 11 B 1 B 2 c Ea lR Ea lR E lR E lR aa Ω = Ω Ω =δ Ω =δ δ = δ Luego, resolviendo el siguiente sistema, pueden obtenerse las tres incógnitas restantes. 222 22 111 11 2211 A21 aE lR aE lR 0aPaRaR 0PVRR Ω = Ω =−+ =−++ Para determinar los corrimientos en los puntos B y C, hemos supuesto que las barras 1 y 2 se encuentran en el período elástico en el que tiene validez la ley de Hooke. Luego de calculadas las in Pa 1 C 2 B a1 a2 l1 l2 P R2R1HA δCδB VA Fig. 2.6 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 8 cógnitas deberá verificarse si esto es cierto, en caso contrario deberá tenerse en cuenta la expresión que verdaderamente corresponda para los corrimientos. Una observación importante a tener presente es que para poder plantear numéricamente la ecuación de compatibilidad, las barras tendrán que estar predimensionadas. Esta es una característica sumamente importante de las estructuras hiperestáticas, donde las solicitaciones dependen de sus ca- racterísticas mecánicas y geométricas. Por esta razón el proceso de dimensionamiento suele ser itera- tivo. b) Ejemplo 2 Deseamos determinar las relaciones de vínculo de la es- tructura del esquema de la figura 2.7. Para resolver este problema en primera instancia vamos a con- siderar que el vínculo superior no existe. 21 o A PPR += Como el extremo B se encuentra libre, en corresponden- cia con el mismo existirá un corrimiento: ( ) E cPcbP 21o B Ω ++ =δ Dado que en la realidad en B tenemos un empotramiento, el desplazamiento en dicho lugar deberá ser nulo. Para producir esto es que el vínculo genera una reacción RB de manera tal de anular el desplazamiento total. ( ) ( ) l cPcbP PP R RR RRR l cPcbP R E lR 0 21 21A 1 AB 1 A o AA 21 B B1 B o B 1 B 1 B o BB ++ −+=→= −= ++ =→ Ω =δ δ−δ→=δ−δ=δ c) Ejemplo 3 Queremos calcular las tensiones produc idas en las barras 1 y 2 cuando existe un incremento de temperatura ∆t. En primera instancia supongamos que hemos eliminado el vínculo en B, con lo que a raíz del incre- mento de la temperatura el punto B tiene un desplaza- miento: t2t1 bal ∆α+∆α=∆ P1 P2 P2 P1 l b a c RA δ B δ B RA 1 1 RB a b A B21 Fig. 2.8 Fig. 2.7 Fig. 2.9 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 9 Sin el vínculo en B la estructura resulta isostática, lo que significa que la dilatación térmica no genera solicitaciones. Ahora bien, debido a que el punto B no puede desplazarse, aparece una fuerza reactiva que tiende a anular el desplazamiento. 2 2 1 1 BA 1122 B 11 B 22 B BB R ; R )equilibrio de razones(por R RR E a E b l R E aR E bR l Ω =σ Ω =σ == Ω + Ω ∆ =→ Ω + Ω =δ∆=δ d) Ejemplo 4 Deseamos determinar las tensionesorigina- das en la columna del esquema de la figura 2.10. La misma esta formada por dos materiales distintos, y la placa superior es infinitamente rígida. Planteando las ecuaciones de equilibrio tendremos: P PP 21 =+ Dónde P1 Y P2 son las fuerzas que deben absorber el material 1 y 2 respectivamente. Como la placa superior es infinitamente rígida, el despla- zamiento será igual para ambos materiales. Fig. 2.11 l 1 2 P Fig. 2.10 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 122 2 2 11 1 1 2 112 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 22 2 11 1 21 1 P 1 P P 1 P P 1 P P 1 P P P..nP )geométrica cuantía( y E E llamando P E E P E lP E lP ση= Ωηϕ+ η = Ωηϕ+ ηϕ = Ω =σ Ωηϕ+ = Ω =σ ηϕ+ ηϕ = ηϕ+ =→ϕ= Ω Ω =ϕ=η Ω Ω =→ Ω = Ω →δ=δ ε ε σ σ 1 σ 2 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 10 2.2 ENVOLVENTES CILÍNDRICAS DE PEQUEÑO ESPESOR Consideremos un tubo de longitud indefinida de radio interior r, de espesor de pared e (peque- ño en relación con r), y sometido a una diferencia de presión, p, entre el interior y el exterior. 10 e r ≥ (2.12) En un punto cualquiera del espesor de la pared se ori- ginan dos tensiones normales, una radial σr y otra circunferen- cial σc. Ambas tensiones varían a lo largo del espesor e de la pared según leyes determinadas. La tensión σc varía entre el borde interno de la pared y el externo, pero por ser el espesor e muy pequeño en relación al radio, esta variación no es muy importante, pudiéndose ad- mitir una distribución uniforme. La tensión σr alcanza en el borde interno el valor de pi, y de pe en el borde exterior; y siendo que σc resulta mucho más grande que p, las tensiones σr pueden ser despreciadas sin cometer mayor error. Para deducir el valor que adquiere σc consideremos el equilibrio de una faja de envolvente de largo unitario y que de- sa-rrolla un arco ds. e r p 0dr p 2 d e 2 dr pds pRp 1eRc 2 d 2 d sen 0Rp 2 d sen Rc 2 0y 0 2 d cos Rc 2 d cos Rc 0x dr ds cc c =σ→=θ− θ σ θ==σ= θ ≅ θ =− θ →= = θ − θ →= θ= ∑ ∑ (2.13) De acuerdo con la ley de Hooke, la deformación específica circunferencial será: e E r p E c c = σ =ε (2.14) El aumento de longitud del desarrollo de la sección del conducto será: c r 2 s επ=∆ Fig. 2.12 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 11 A este aumento de longitud de circunferencia corresponde un aumento del radio: c r 2 s r ε= π ∆ =∆ Con lo que la correspondiente deformación específica radial será: r r r r crc c r ε=ε→ε= ε = ∆ =ε (2.15) Si el cilindro se encuentra cerrado en sus extremos, las expresiones anteriores serán válidas para secciones alejadas de los extremos, de acuer- do con el principio de Saint-Venant. La existencia de cierres extremos origina además tensiones lon- gitudinales σL, uniformemente distribuida sobre el área de la sección transversal del conducto. La fuerza resultante sobre los extremos es: 2r p R π= El área de la sección transversal del con- ducto puede tomarse aproximadamente como: er 2 π=Ω Luego: 2e2 rp er2 r p c 2 L σ == π π =σ (2.16) Como consecuencia de la tracción longitu- dinal, el radio sufre una contracción debido al co- eficiente de Poisson: 2 c L Lcr ε =ε εµ−ε=ε cr 2 1 ε µ−=ε (2.17) Recientemente hemos estudiado el problema relativo a tubo de paredes delgadas para lo cual hemos hecho algunas hipótesis simplificativas. Cuando el espesor de los tubos aumentan ya no es po- sible ignorar las tensiones radiales σr, y además es necesario considerar la verdadera ley de variación para las tensiones circunferenciales σc. El estudio de los tubos de paredes gruesas puede encararse a través de los desarrollos realizados por Lamé, y puede consultarse la bibliografía que se sita al final del último capítulo. p pp p RR σL σL σL σc σc Fig. 2.13 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 12 Q 2.3 SOLICITACIÓN POR CORTE PURO 2.3.1 Conceptos generales Según hemos visto en el capítulo I al definir tensión, el vector tensión total puede descomponerse en un vector normal a la sección y en uno yacente en la misma, al cual denominaremos “tensión tangencial”. Así como ya vimos algunos problemas en los que se in- volucró la presencia de tensiones normales, ahora vamos a tratar otros donde solamente aparecen tensiones tangenciales. El problema de corte puro se presenta cuando en una sec- ción de una pieza actúa exclusivamente un esfuerzo de corte. En este caso puede suponerse que solamente se desarrollan tensio- nes tangenciales, y que las mismas se distribuyen uniformemen- te. Luego, por razones de equilibrio deberá ocurrir: Ω =τ→Ωτ=Ωτ=Ωτ= ∫∫ ΩΩ Q dd Q (2.18) Antes de continuar debemos aclarar que la hipótesis anterior es correcta en cuanto a suponer que el esfuerzo de corte genera tensiones tangenciales; sin embargo, la suposición de que estas son constantes es irreal; por lo que la fórmula 2.18 debe solo considerarse como representativa del valor me- dio de las tensiones tangenciales. Las hipótesis anteriores son aceptadas en algunos casos como veremos a continuación, para facilitar el cálculo, ya que el estado tensional real suele ser muy complicado. Por otro lado, la aproxi- mación introducida debe ser tenida en cuenta en la elección del adecuado coeficiente de seguridad. En los siguientes casos podemos admi- tir esfuerzos de corte puro: - Vigas de muy pequeña luz donde la rotura se produce por corte puro, ya que el efecto de flexión es despreciable (fig. 2.16). - El corte en una plancha metálica mediante el empleo de una cizalla. - Punzonamiento, por ejemplo, la perfora- ción de hojas. - Uniones con remaches, bulones, soldadu- ra, pernos, etc. Fig. 2.14 Fig. 2.15 Fig. 2.16 ρ σ d Ω ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 13 Fig. 2.18 γ γ 2.3.2 Deformación por corte, energía de deformación Si en una pieza que está sometida a un esfuerzo de corte puro consideramos una tajada de longitud ∆l, compro- baremos que las dos secciones que la definen se desplazan una distancia ∆h, como consecuencia del esfuerzo Q. l h tg ∆ ∆ =γ≅γ (2.19) El ángulo γ se denomina “ deformación angular o ángulo de distorsión ”. Los ensayos demuestran que en el caso de muchos materiales, hasta ciertos límites de solicita- ción, se verifica una relación lineal entre las tensiones tangenciales y las deformaciones angulares. Esta relación puede expresarse de la siguiente manera: γ=τ G (2.20) Dónde G recibe el nombrede módulo de elasticidad transversal. La ley anterior resulta ser la ley de Hooke para el caso de tensiones tangenciales. Los valores de G dependen del material. Acero G ≅ 810 tn/cm2 Hormigón G ≅ 83 tn/cm2 El valor de la tensión tangencial admisible (τadm) no es único para cada material, sino que de- pende de varios factores: - De la forma en que se manifiesta el esfuerzo de corte dentro de la pieza. - De si está combinado o no con otras solicitaciones - Del tipo de elemento de que se trate. En cuanto a la energía especifica de deformación, podemos decir que, en forma análoga a lo estudiado para el caso de tensiones normales, la misma puede calcularse como el área que encierra el diagrama τ - γ. Si el material se encuentra en el período elástico lineal, tenemos: 2 2 G 2 1 G2 1 2 1 u γ= τ =γτ= (2.21) Si deseamos obtener el valor de la energía de deformación debemos multiplicar estas expresiones por el volumen del elemento. h Q 2 1 l) ( ) ( 2 1 l 2 1 l u dv u ∆=∆γΩτ=∆Ωγτ=∆Ω= l hG 2 1 G lQ 2 1 h Q 2 1 U 22 ∆ ∆Ω = Ω ∆ =∆= (2.22) Fig. 2.17 Q Q ∆ h ∆ l γ ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 14 2.3.3 Aplicaciones al cálculo de elementos de unión a) Ejemplo 1 Dimensionamiento de la chaveta de unión entre un eje y una polea adm adm Q b a b a Q τ ≥→τ≤=τ Consideremos que el motor que mueve al eje tiene una potencia P, y que el eje gira a una velocidad angular ω, el momento tordente originado se calcula como: ω = P M T Al querer arrastrar el eje a la polea, el momento tor- dente produce un esfuerzo de corte Q en el plano medio de la chaveta. Por equilibrio: r P r M Q T ω == adm r P b a τω ≥ Adoptamos una de las dos medidas, a o b, se puede obtener la otra. b) Ejemplo 2 Dimensionamiento de la unión del esquema mediante remaches o bulones. Si llamamos n a la cantidad de bulones a co- locar: adm 2 adm2 1 1 P 4 d n 4 d n PP n P P τ ≥ π →τ≤ π = Ω =τ = Eligiendo el diámetro d puede determinarse la cantidad n de bulones, o viceversa. Luego de e- legidos los bulones, dado que tenemos un esfuerzo de tracción, deberá verificarse: ( ) d-a e PP adm neta σ≤= Ω =σ En cuanto a la cantidad de bulones o remaches y diámetro a adoptar existen condiciones regla- mentarias a respetar, pero el estudio de las mismas escapa a los alcances de este curso. Por otro lado, las verificaciones que hemos hecho no son las únicas que deben realizarse para completar el cálculo. r a b Q Q Fig. 2.19 PP e e P Pa Fig. 2.20 ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO /2005 15 c) Ejemplo 3 En la figura 2.21 está representada una junta soldada de dos planchuelas, unidas por cordones de soldadura. Se trata de soldaduras en ángulo compuestas por dos cordones laterales y dos frontales. Al calcular las soldaduras en ángulo, se considera que la sección peligrosa de la costura co- incide con el plano de la bisectriz del ángulo recto ABC. Así pues, el área de la sección peligrosa de una costura frontal es: b x 0.7 k y el de una costura lateral es: l x 0.7 k, siendo k el cateto de la costu- ra. En el plano representado en la figura, el cateto es igual al espesor de las planchas. Las tensio- nes tangenciales se consideran distribuidas uniformemente en el área de la sección peligrosa. Tenien- do en cuenta esta hipótesis, la carga admisible correspondiente a la costura serán: Tadm frontal = (b 0.7 k).τadm. Tadm lateral = (L.0.7 k).τadm. Es obvio que para conseguir una junta resistente, será necesario que la resistencia total admi- sible de la costura no sea inferior a la fuerza que actúa sobre la junta. Es decir: (2 Tadm frontal + 2 Tadm lat.) ≥ P Con los ejemplos anteriores se ha pretendido hacer una ejercitación del problema de corte pu- ro. Oportunamente en otras asignaturas se profundizará el estudio para los tipos de uniones más fre- cuentes. Fig. 2.21 ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES /2005 1 3 ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 3.1 DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES Consideremos el caso de un sólido en equilibrio bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de manera que las cargas pueden orientarse según el siste- ma de referencia. Sobre cada una de las caras existirá un vector ten- sión total de manera tal que el cubo elemental se encuen- tre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse se- gún los ejes de referencia de manera que en cada una de las seis caras tendremos en general una tensión normal y dos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un estado de tensiones de estas características se dice que es un “estado triple o espacial”. En determinadas circunstancias las cargas actuan- tes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este esta- do se denomina “doble o plano”. Cuando los vectores tensión son paralelos a un eje, el estado se denomina “simple o lineal”. En realidad, la definición de un estado como sim- ple, doble o triple no solo depende de estado de cargas actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como veremos mas adelante, el estado simple puede pasar a ser un estado doble si el elemento diferencial tiene una rota- ción, inclusive puede convertirse en un estado triple. El proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tene- mos un estado doble, por ejemplo, es probable que no en- contremos, por rotación del elemento, una posición para el cual el estado sea lineal. ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES /2005 2 Para poder entendernos con claridad al referirnos a las tensiones, vamos a establecer ciertas convenciones: σi : el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tens iones normales son paralelas ( σx, σy, σz ). Serán positivas cuando produzcan tracción. τij : el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan las tensiones tangenciales, y el sub- índice j indicará el eje al que resultan paralelas ( τxy, τxz, τyz, τyx, τzx, τzy ). Tanto las tensiones normales como la tangenciales varían punto a punto en el interior de un cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensiones quedan expresadas como funciones: σ = σ(x,y,z) τ = τ(x,y,z) 3.2 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL Consideremos, como en la figura 3.3, un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensio- nes, punto que hacemos coincidir con el origen de coordenadas; y tres planos perpendiculares que pa- san por el punto, coincidentes con los planos coordenados. Supongamos además
Compartir