MIT - EYRM - RECOPILACIÓN - Inés Martínez Mendoza

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Desafio PASSEI DIRETO
14/7/2022
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ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 1 
 
 
1 
 
INTRODUCCIÓN A LA 
RESISTENCIA DE MATERIALES 
 
 
1.1. RESISTENCIA DE MATERIALES 
 
1.1.1. Conceptos 
Los cuerpos absolutamente rígidos, indeformables, con los que se ha tratado en la cátedra de 
ESTABILIDAD I, no existen en la realidad. Las deformaciones de los cuerpos, debida a la acción de 
cargas, en realidad son pequeñas y en general pueden ser detectadas solamente con instrumentos 
especiales. Las deformaciones pequeñas no influyen sensiblemente sobre las leyes del equilibrio y del 
movimiento del sólido, por lo que la Mecánica Teórica prescinde de ellas. Sin embargo, sin el estudio 
de estas deformaciones sería imposible resolver un problema de gran importancia práctica como es el 
de determinar las condiciones para las cuales puede tener lugar la falla de una pieza, o aquellas en las 
que la misma puede servir sin tal peligro. 
Las construcciones que el ingeniero encuentre en su práctica tienen, en la mayoría de los casos 
configuraciones bastante complejas. Los diversos elementos de estas se reducen a los siguientes tipos 
simples. 
 
a) Barra: Es un cuerpo que tiene dos dimensiones pequeñas en comparación con la tercera, como 
caso particular, pueden ser de sección transversal constante y de eje rectilíneo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.1: Barra de eje curvo Fig. 1.2: Barra de eje recto 
 
La línea que une los centros de gravedad de sus secciones transversales se denomina eje de la 
barra. 
 
b) Placa: Es un cuerpo limitado por dos planos, a distancia pequeña en comparación con las otras 
dimensiones. 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.3: Placa 
 
 
 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
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c) Bóveda: Es un cuerpo limitado por dos superficies curvilíneas, a distancia pequeña en 
comparación con las otras dimensiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.4: Bóveda 
 
 
d) Bloque: Es un cuerpo cuyas tres dimensiones son del mismo orden. 
 
En la Resistencia de Materiales (Estabilidad II) se estudian principalmente, los casos de barras 
que tienen sección constante y eje recto. 
Entenderemos por falla de una estructura o de determinadas partes de la misma a la rotura, o 
sin llegar a ello, a la existencia de un estado inadecuado. Esto último puede ocurrir por varios moti-
vos: deformaciones demasiado grandes, falta de estabilidad de los materiales, fisuraciones, pérdida del 
equilibrio estático por pandeo, abollamiento o vuelco, etc. En este curso limitaremos el estudio a la fa-
lla por rotura, deformaciones excesivas o pandeo. 
 
La Resistencia de Materiales es la disciplina que estudia las solicitaciones internas y las defor-
maciones que se producen en el cuerpo sometido a cargas exteriores. La diferencia entre la Mecánica 
Teórica y la Resistencia de Materiales radica en que para ésta lo esencial son las propiedades de los 
cuerpos deformables, mientras que en general, no tienen importancia para la primera. Feodosiev ha di-
cho que la Resistencia de Materiales puede considerarse como Mecánica de Los Sólidos Deforma-
bles. 
 
La Resistencia de Materiales tiene como finalidad elaborar métodos simples de cálculo, acep-
tables desde el punto de vista práctico, de los elementos típicos más frecuentes de las estructuras, em-
pleando para ello diversos procedimientos aproximados. La necesidad de obtener resultados concretos 
al resolver los problemas prácticos nos obliga a recurrir a hipótesis simplificativas, que pueden ser jus-
tificadas comparando los resultados de cálculo con los ensayos, o los obtenidos aplicando teorías más 
exactas, las cuales son más complicadas y por ende usualmente poco expeditivas. 
 
Los problemas a resolver haciendo uso de esta ciencia son de dos tipos: 
a) Dimensionamiento 
b) Verificación 
 
En el primer caso se trata de encontrar el material, las formas y dimensiones mas adecuadas de 
una pieza, de manera tal que ésta pueda cumplir su cometido: 
 
§ Con seguridad 
§ En perfecto estado 
§ Con gastos adecuados 
 
El segundo caso se presenta cuando las dimensiones ya han sido prefijadas y es necesario co-
nocer si son las adecuadas para resistir el estado de solicitaciones actuantes. 
 
 
 
 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 3 
 
 
1.1.2. Hipótesis fundamentales 
 
a) El material se considera macizo (continuo). 
El comportamiento real de los materiales cumple con esta hipótesis aún cuando pueda detec-
tarse la presencia de poros o se considere la discontinuidad de la estructura de la materia, compuesta 
por átomos que no están en contacto rígido entre sí, ya que existen espacios entre ellos y fuerzas que 
los mantienen vinculados, formando una red ordenada. 
Esta hipótesis es la que permite considerar al material dentro del campo de las funciones 
continuas. 
 
b) El material de la pieza es homogéneo (idénticas propiedades en todos los puntos). 
El acero es un material altamente homogéneo; en cambio, la madera, el hormigón y la piedra 
son bastante heterogéneos. Sin embargo, los experimentos demuestran que los cálculos basados en 
esta hipótesis son satisfactorios. 
 
c) El material de la pieza es isótropo. 
Esto significa que admitimos que el material mantiene idénticas propiedades en todas las 
direcciones. 
 
d) Las fuerzas interiores, originales, que preceden a las cargas, son nulas. 
Las fuerzas interiores entre las partículas del material, cuyas distancias varían, se oponen al 
cambio de la forma y dimensiones del cuerpo sometido a cargas. Al hablar de fuerzas interiores no 
consideramos las fuerzas moleculares que existen en un sólido no sometido a cargas. 
Esta hipótesis no se cumple prácticamente en ninguno de los materiales. En piezas de acero se 
originan estas fuerzas debido al enfriamiento, en la madera por el secamiento y en el hormigón 
durante el fraguado. Si estos efectos son importantes debe hacerse un estudio especial. 
 
e) Es válido el principio de superposición de efectos. 
Ya se ha hecho uso de este principio en la cátedra de ESTABILIDAD I, para el caso de sólidos 
indeformables. Al tratarse de sólidos deformables este principio es válido cuando: 
- Los desplazamientos de los puntos de aplicación de las fuerzas son pequeños en comparación 
con las dimensiones del sólido. 
- Los desplazamientos que acompañan a las deformaciones del sólido dependen linealmente de 
las cargas. Estos sólidos se denominan “sólidos linealmente deformables”. 
Por otro lado, siendo que las deformaciones son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio corres-
pondiente a un cuerpo cargado pueden plantearse sobre su configuración inicial, es decir, sin defor-
maciones. 
Lo que hemos enunciado en este último párrafo es válido en la mayoría de los casos, no obs-
tante, cuando analicemos el problema del pandeo de una barra elástica veremos que este criterio no 
puede ser aplicado. 
 
f) Es aplicable el principio de Saint – Venant 
Este principio establece que el valor de las fuerzas interiores en los puntos de un sólido, 
situados suficientemente lejos de los lugares de aplicación de las cargas, depende muy poco del modo 
concreto de aplicación de las mismas. Merced a este principio en muchos casos podremos sustituir un 
sistema de fuerzas por otro estáticamente equivalente, lo que puede conducir a la simplificación del 
cálculo. 
 
g) Las cargas son estáticas o cuasi-estáticas 
Las cargas se dicen que son estáticas cuando demoran un tiempo infinito en aplicarse, mientras 
que se denominan cuasi-estáticas cuando el tiempo de aplicación es suficientemente prolongado. Las 
cargas que se aplican en un tiempo muy reducido se denominan dinámicas, y como veremos en el ca- 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIADE MATERIALES 
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pítulo 11, las solicitaciones internas que producen son sensiblemente mayores que si fuesen estáticas o 
cuasi-estáticas. 
 
 
1.1.3. Método 
Al realizarse el estudio de un objeto o sistema real se debe comenzar por la elección de un 
esquema de cálculo. Para realizar el cálculo de una estructura se debe, ante todo, separar lo importante 
de lo que carece de importancia, es decir, se debe esquematizar la estructura prescindiendo de todos 
aquellos factores que no influyen significativamente sobre el comportamiento del sistema como tal. 
Este tipo de simplificación es en todos los casos absolutamente necesario, puesto que la solución del 
problema que considere todas las propiedades de la estructura es imposible debido a que, en general 
éstas son inagotables. 
 
Supongamos, por ejemplo, que deseamos calcular la resistencia del cable de un ascensor. De-
bemos considerar ante todo el peso de la cabina, su aceleración y, en el caso de que se eleve a gran al-
tura, el peso del cable. Simultáneamente, podremos dejar de lado algunos factores de poca impor-
tancia como la resistencia aerodinámica que ofrece al ascensor, la presión barométrica a distintas al-
turas, la variación de la temperatura con la altura, etc. 
 
Un mismo cuerpo puede tener esquemas de cálculo diferentes, 
según la exactitud pretendida y según el aspecto del fenómeno que 
interesa analizar. Por otro lado, un hecho muy importante a tener en 
cuenta es que a un mismo esquema de cálculo pueden corresponderle 
muchos objetos reales. 
 
Esto reviste gran importancia, pues al estudiar teóricamente 
cierto esquema de cálculo se puede obtener la solución de toda una 
serie de problemas reales comunes al esquema dado. 
 
 
 
 
 Fig. 1.5 
Al escogerse el esquema de cálculo se introducen ciertas simplificaciones en: 
 
a) La geometría del objeto. Así un sólido muy alargado se puede idealizar con una barra. 
b) Los vínculos. Usualmente se consideran ideales. 
c) Los sistemas de fuerzas aplicadas: es conocido por ejemplo, que las cargas concentradas 
prácticamente no existen en la realidad, sino que son las resultantes de fuertes presiones 
localizadas en zonas pequeñas. 
d) Las propiedades de los materiales. En el ítem anterior hemos hecho consideraciones al respecto. 
 
El paso siguiente a la elaboración del esquema de cálculo corresponde a la resolución numérica 
del problema, para lo cual, las bases fundamentales de la Resistencia de Materiales se apoyan en la 
Estática, la que resulta sumamente importante en la determinación de las solicitaciones internas y de 
las deformaciones. 
 
Aún cuando a partir del encauzamiento del estudio por la vía de las operaciones matemáticas 
pareciera que el trabajo ha concluido, debemos dejar bien en claro que el cálculo no consiste solamen-
te en el empleo de fórmulas. En efecto, debemos tener muy presente que lo que se ha resuelto no es el 
sistema real sino un modelo matemático. Esto significa que los resultados deben ser adecuadamente 
interpretados, y eventualmente corregidos para acercarse lo más próximo posible a la solución real. 
 
 
F
ig. 1.1 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 5 
 
 
Finalmente, y a título de resumen, podemos decir que el método de la Resistencia de Materia-
les, que no es sino el de la Mecánica Aplicada puede enunciarse de la siguiente manera: 
 
1) Elección de un esquema de cálculo (elaboración de un modelo matemático). 
2) Resolución matemática del problema 
3) Interpretación de los resultados en función del sistema físico real. 
 
 
1.2. CONCEPTOS DE TENSIÓN Y DE DEFORMACIONES ESPECÍFICAS 
 
Como introducción al tema observemos la máquina de la figura 1.6 la función de esta prensa es 
la de ensayar muestras de materiales sometidos a esfuerzos de compresión. Para ello se coloca la 
muestra sobre el piso de la base y se aprieta el extremo del tornillo contra ella haciendo girar el 
volante del extremo superior. Esta acción somete así a la porción inferior del tornillo a compresión 
axial y a las barras laterales a tracción axial. Se observa también que la cruceta de cabeza está 
sometida a flexión y corte, y la parte superior del tornillo a torsión. 
 
Si consideramos los componentes de prensa, vemos que los 
mismos están sometidos a diferentes tipos de solicitaciones, las que como 
ya se ha estudiado en ESTABILIDAD I, generan esfuerzos internos. Por 
ejemplo, podríamos trazar los diagramas característicos correspondientes a 
momentos flectores y corte en la cruceta de cabeza. 
 
Si tomamos ahora una de las barras laterales y le realizamos un 
corte como el a-a indicado, veremos que para que la parte superior se 
encuentre en equilibrio (ver figura 1.7), en esta sección debe aparecer una 
fuerza F que en realidad representa la acción de la otra parte eliminada. 
Ahora bien, ¿debemos suponer que en la sección indicada aparece en 
realidad una fuerza concentrada F? La intuición nos dice que eso no 
parece lógico, lo razonable es que aparezcan solicitaciones en cada punto 
de la sección considerada, que no son otra cosa que los esfuerzos que 
actúan en cada partícula manteniendo la continuidad del cuerpo. La ley 
matemática que podría corresponderle a estas solicitaciones podía ser la 
que se indica en la figura 1.7, aunque no lo podemos afirmar rigurosa-
mente si no hacemos un buen estudio del problema. 
 
Fig. 1.6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.7 Fig. 1.8 
σ
 
=
 
 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 6 
 
 
Observemos a continuación el tornillo 2, vemos que en la sección indicada aparece un mo-
mento tordente. Nuevamente, es de suponer que este esfuerzo es en realidad el resultante de un con-
junto de solicitaciones que actúan punto a punto, y con una ley semejante a la indicada en la figura 
1.8. También podemos observar que en este caso las solicitaciones no son similares a las anteriores, ya 
que antes teníamos fuerzas distribuidas uniformemente y perpendiculares a la sección, mientras que a-
hora las fuerzas son yacentes en la sección, con intensidades y sentido cambiantes 
 
A partir de todas las consideraciones anteriores podemos formular una hipótesis: “Los esfuer-
zos internos en una sección cualquiera de un cuerpo se desarrollan punto a punto”. Esta hipótesis será 
de gran importancia y, como se ve en otros cursos, pueden demostrarse experimentalmente. 
 
Si consideramos un cuerpo sometido a cargas exteriores en equilibrio, y lo dividimos en dos 
partes mediante la intersección con un plano cualquiera, sabe-
mos que en la sección originada aparecerán fuerzas que man-
tienen el equilibrio de la porción. Si en la sección tomamos un 
punto P y un entorno de área ∆Ω, sobre dicha área existirá una 
fuerza elemental ∆F. Haciendo el cociente de ∆F/∆Ω, con ∆Ω 
tendiendo a cero, definiremos como “vector tensión total o 
tensión resultante en el punto P, al siguiente límite. 
 
∆Ω
∆
=ρ
→∆Ω
F
 lim
0
 (1.1) 
 
 
La tensión es una magnitud vectorial, por lo tanto queda definida mediante tres parámetros: in-
tensidad, dirección y sentido. Por otro lado, la dimensión que tiene es la de una fuerza por unidad de 
área, y puede medírsela, por ejemplo, en Kg/cm2 (KN/cm2) 
 
 
Sistema Internacional de Unidades 
Fuerza Newton 1 N ≅ 0,1 Kgf 
Momento Newton × metro N.m 
Presión Pascal Pa = N / m2 
 
 
 
 
 
 
El vector tensión total puede descomponerse según dos direcciones, una normal al plano de la 
sección y otra contenida en el mismo, obteniéndose así dos componentes de tensión denominadas ten-
sión normal (σ) y tensión tangencial (τ). Ver figura 1.10. 
 
Volviendo nuevamente al caso de la barra lateral de la prensa, cuando más gira el volante 
superior mayor es la fuerza que debe absorberla barra. Se observa, así mismo, que la barra se estira 
ligeramente de modo que para cada valor de F se produce un pequeño alargamiento δ. 
 
Como el esfuerzo F es constante en toda la barra, todas las fibras longitudinales están estiradas 
uniformemente. Podemos entonces establecer el cociente entre el desplazamiento δ y la longitud L de 
la barra cuando está descargada, a este cociente lo denominamos “deformación unitaria o especifica” 
 
 
 
∆
∆Ω
 
Fig. 1.9 
τ
σ
ρ
 
Fig. 1.10 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
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L
δ
=ε (1.2) 
 
Observamos que ésta no tiene unidades, es decir, es una magnitud adimensional. Ahora bien, si 
todas las fibras se han alargado igual, cada punto del cuerpo está caracterizado por tener la misma 
deformación especifica, aunque en otros casos esto podría no ser así, con lo que cada punto tendría un 
valor distinto de ε. 
 
De las consideraciones anteriores podemos deducir que cada punto de la barra tiene una 
tensión y una deformación. Cabe entonces una pregunta: ¿las tensiones y las deformaciones están 
relacionadas entre sí? Resolveremos este interrogante en el próximo ítem. 
 
Supongamos ahora que quisiéramos graficar la variación Carga – Desplazamiento (F – δ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 1.12 
 
 
Para nuestro análisis, consideremos la posibilidad de combinar las variables sección y 
longitud; manteniendo las características del material constante. 
 
 
 
 
Dónde: 
Ω2 > Ω1 
L2 > L1 
 
 
 
 
 
Fig. 1.13 
 
 
δ 
L Ω 
F 
L1 Ω1 
L2 Ω2 
 
Fig. 1.11 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 8 
 
 
 
 
 
Aún cuando se trata del mismo material, la representación Carga – Desplazamiento va a variar 
si tomamos en cuenta la sección o la longitud de la barra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.14 
 
 
 
1.3. ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES 
 
1.3.1. Elasticidad y Plasticidad 
 
Si retomamos nuevamente el ejemplo de la barra traccionada, podemos ver que si la fuerza F 
cesa, el alargamiento δ desaparece completa o parcialmente, es decir, la barra tiende a recuperar su 
longitud original L. Esta propiedad que posee un material de volver parcial o completamente a su 
forma inicial una vez que desaparece la carga es lo que se llama “elasticidad”. Si la barra recupera 
completamente su longitud inicial, se dice que el material es “perfectamente elástico”; de lo contrario 
se dice que es “parcialmente elástico”. 
La “plasticidad” es una propiedad opuesta, un material es “perfectamente plástico” cuando al 
dejar de actuar la carga que lo deforma mantiene su configuración deformada. 
En la realidad ningún material resulta perfectamente elástico o perfectamente plástico. Algunos 
materiales como el acero, aluminio, goma e incluso la madera y el hormigón pueden ser considerados 
como perfectamente elásticos dentro de ciertos límites, es decir, si no están excesivamente cargados. 
Otros materiales como la arcilla y la masilla pueden considerarse como perfectamente plásticos. 
 
 
1.3.2. Ley de Hooke 
 
La denominada Ley de Hooke constituye la base de la Resistencia de Materiales y es válida 
dentro de lo que se denomina régimen lineal elástico. Esta 
ley establece que si la tensión normal σ se mantiene por 
debajo de un cierto valor σp, llamado tensión de propor-
cionalidad, las deformaciones específicas y las tensiones 
son directamente proporcionales. 
 
ε=σ . E (1.3) 
 
 
 arc tg E
ε
σ
 Fig. 1.15 
 
F 
δ 
Ω2 – L1 
Ω2 – L2 
Ω1 – L2 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 9 
 
E: Recibe el nombre de Módulo de Elasticidad Longitudi- 
nal, o módulo de Young. El valor de E es una característi-ca de cada material. 
 
1.3.3. Diagrama tensión - deformación (σ - ε ) del acero común 
Al resolver los problemas de la Resistencia de Materiales nos encontramos con la necesidad de 
tener ciertos datos experimentales previos sobre los cuales se pueda basar la teoría. Por ejemplo, para 
poder establecer la ley de Hooke se hace necesario conocer el módulo E, el cual debe determinarse 
experimentalmente.1 
Para obtener los datos antes mencionados se pueden realizar distintos tipos de ensayo, de los 
cuales uno muy difundido es el de tracción. Para este ensayo usualmente se emplean probetas 
especiales, que consisten en barras de sección circular, las cuales son estiradas en una máquina 
especialmente diseñada para el ensayo. Como veremos en el próximo capítulo, cuando una barra esta 
sometido a un esfuerzo axial P, aparecen internamente tensiones normales σ calculables a través de la 
siguiente expresión: 
 
 
Ω
=σ
P
 (1.4) 
 
 
 
 
Dónde Ω es el área de la sección transversal de la barra. Sabemos también que se originan 
desplazamientos δ. Si entonces se miden los valores (P ; δ) para cada escalón de carga, se pueden 
graficar los valores (σ ; ε), que se evalúan mediante las expresiones ya conocidas. 
Para el caso del acero común, también llamado acero dulce, que es de bajo contenido de 
carbono, el diagrama tenso-deformación resulta como el de la figura siguiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este diagrama pueden distinguirse ciertas zonas con determinadas características: 
 
a) Período elástico 
 
1 Área de "Ensayo de Materiales" 
L 
Ω 
 
 
 
Fig. 1.16: Probeta de acero 
 
 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 10 
 
Este período queda delimitado por la tensión σe (límite de elasticidad). El límite de elasticidad 
se caracteriza porque, hasta llegar al mismo, el material se comporta elásticamente, es decir que pro- 
 
 
ducida la descarga, la probeta recupera su longitud inicial. En la práctica, este límite se considera 
como tal cuando en la descarga queda una deformación especifica remanente igual al 0.001 %. 
Este período comprende dos zonas: la primera, hasta el σp (límite de proporcionalidad), dónde 
el material verifica la ley de Hooke. La segunda entre σp y σe, si bien es elástica, no manifiesta propor-
cionalidad entre tensiones y deformaciones. 
 
( ) (1.6) reducido delasticida de Módulo :zona segunda laEn 
(1.5) E :zonaprimer laEn 
=ε=
ε
σ
=
ε
σ
=
ε
σ
f
d
d
d
d
 
 
En general, los límites de proporcionalidad y de elasticidad difieren muy poco entre sí. 
 
b) Período elasto-plástico 
Para valores de tensión superiores al límite elástico, si la pieza fuera descargada no recobraría 
su dimensión original, apreciándose una deformación remanente acorde con la carga aplicada. A me-
dida que aumenta la solicitación, la gráfica representativa es la de una función para la cual disminuye 
el valor de su tangente, tendiendo a anularse en el tramo final del período, al cual se llega con un va-
lor de tensión que se indica como σf (tensión de fluencia). 
 
c) Período plástico (fluencia) 
Una vez arribado al valor de tensión σf (límite de fluencia), el material fluye, es decir, aumen-
tan las deformaciones sin que existe aumento de tensión. En realidad este fenómeno no es tan simple, 
ya que puede verse que la tensión oscila entre dos valores límites y cercanos entre sí, denominados lí-
mites de fluencia superior e inferior, respectivamente. 
La tensión de proporcionalidad resulta ser aproximadamente el 80% de la tensión de fluencia. 
 
Fp
8.0 σ≅σ (1.7) 
 
Las investigaciones demuestran que durante 
la fluencia se producen importantes deslizamientos 
relativos entre los cristales. Como consecuencia de 
estos deslizamientos, en lasuperficie de la probeta a-
parecen las llamadas líneas de Chernov - Lüders, que 
forman con el eje de la misma un ángulo de 45º. 
 
 
d) Período de endurecimiento y de estricción 
Como consecuencia de un reacomodamiento cristalográfico, luego de la 
fluencia el material sufre un re-endurecimiento, que le confiere la capacidad de 
incrementar la resistencia, es decir, puede admitir un incremento de carga. Sin 
embargo en este período las deformaciones son muy pronunciadas. La tensión 
aumenta hasta alcanzar un valor máximo σR, denominado “tensión de rotura”, a 
partir del cual la tensión disminuye hasta que alcanza una determinada defor-
mación de rotura, produciéndose la rotura física. 
 
 
 
Fig. 1.18 
 
Fig. 1.19: 
Fenómeno de estricción 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 11 
 
La tensión σR no es en realidad la máxima tensión que se origina en la probeta sometida a 
carga. En efecto, alcanzado el valor de la deformación es- 
 
 
 
pecífica correspondiente a σR, comienza a manifestarse en la probeta un fenómeno denominado 
“estricción”. 
Este consiste en la reducción de una sección central de la pieza. Esta reducción, progresiva con 
el aumento de la carga, hace que las tensiones aumenten y que, en realidad, el diagrama efectivo en 
lugar de presentar su concavidad hacia abajo muestra un punto de inflexión en las vecindades de σR y 
cambia su curvatura presentando una rama creciente hasta alcanzar la deformación de rotura εR. 
Debido a lo que hemos mencionado recientemente el diagrama que acabamos de ver suele 
denominarse “diagrama convencional σ - ε”, ya que los cálculos de las tensiones se realizan siempre 
sobre la base de suponer la sección transversal constante, con área igual a la inicial. 
 
Una valoración cuantitativa del fenómeno de estricción esta dada por el “coeficiente de 
estricción lateral”, el cual se define según la siguiente expresión: 
 
f
fi
Ω
Ω−Ω
=ϕ 
 
Dónde: 
Ωi = área inicial 
Ωf = área final 
 
En los aceros comunes ϕ ≈ 50 % 
 
 
 
 
Si al realizar el ensayo de un 
acero común, una vez alcanzado un 
punto tal como el M de la gráfica de la 
figura 1.14, se descarga la probeta, se 
llega a una tensión nula a través de una 
recta paralela a la que define el 
período elástico, quedando una defor-
mación remanente. Si la probeta vuel-
ve a cargarse retoma la curva en el 
punto N, pero con un nuevo recorrido 
donde ya no existe el período de fluen-
cia. Así mismo, la zona recta se pro-
longa hasta un valor σ'p > σp. 
 
 
El fenómeno anterior de denomina endurecimiento mecánico o por trabajo en frío, y también 
puede lograrse por laminado en frío, trafilado o torsión. El trafilado se utiliza para endurecer alambres 
o barras circulares finas, y el torsionado especialmente para barras redondas (en general, con confor-
maciones superficiales), para hormigón armado. 
Para estos aceros endurecidos mecánicamente o los de dureza natural, logrado por un mayor 
contenido de carbono o mediante aleaciones especiales, el diagrama σ - ε resulta ser substancialmente 
distinto del que hemos visto hasta este punto. Las características más importantes son las siguientes: 
11..11..11..11..FFii
gg.. 11..1133 
R ε 
σ 
ε 
Diagrama 
convencional
Diagrama 
efectivo 
Fig. 1.20: Diagrama efectivo y convencional 
σ 
ε α α 
M 
N 
σ'p 
σp 
 
 
Fig. 1.21: Endurecimiento mecánico del acero dulce 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 12 
 
 
§ Sus límites de proporcionalidad y elasticidad son más elevados 
que los aceros comunes. 
§ No poseen un límite de fluencia definido ni tampoco zonas de 
escurrimiento plástico. 
§ La deformación de rotura se reduce considerablemente. 
§ Como consecuencia de no existir un límite de fluencia definido, 
este se determina en forma convencional como la tensión para la 
cual la deformación especifica remanente alcanzan al 0.2 %. 
 
Los materiales como el acero dulce, que presentan una gran 
capacidad de deformación antes de alcanzar la rotura, se denominan 
“dúctiles”. Podemos decir que estos materiales avisan la rotura fí-
sica, ya que antes de alcanzarse la misma las deformaciones son tan 
grandes, que la estructura llega a la falla por este motivo. Los mate-
riales como el acero duro, para los cuales la rotura se produce brus-
camente, sin grandes deformaciones previas, se denominan “frági-
les”. 
 
 
 
1.3.4. Diagrama tensión – deformación para otros materiales 
Hay algunos materiales para los cuales se observa que el diagrama σ - ε es una curva continua 
sin tramos rectos, es decir, que prácticamente en ningún momento verifican la ley Hooke. Un ejemplo 
clásico es el hormigón, para el cual en general interesa su curva σ - ε en compresión. 
En estos casos no puede hablarse de un módulo de elasticidad único. Caben distinguir tres 
valores del módulo de elasticidad: 
 
a) Módulo al origen E= tg α (1.9) 
 
b) Módulo instantáneo o tangente. Su valor lo da la 
pendiente a la curva σ - ε en cada punto: 
 
0
 tg 
d
d
 E α=
ε
σ
= (1.10) 
 
 
 
 
 
c) Módulo secante, el que viene dado por la tangente trigonométrica del ángulo α1. 
 
 
Para estos materiales, Bach, sobre la base de numerosos ensayos, propuso como relación entre 
σ y ε una ley de tipo exponencial que lleva su nombre: 
 
 ε×=σ E k (1.11) 
 
 
donde el coeficiente k depende del material (valor medio,ya que depende de muchas variables): 
 
 
0,2 % 
σ 
σR 
σF 
σp 
εp εR = 12 % 
ε 
 
Fig. 1.22: 
Límite Convencional de Fluencia σ 0,2 
εR 
α1 
ε 
α 0 
α 
σR 
σ 
Fig. 1.23: Módulos tangentes y secantes 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 13 
 
 
 
Material Coeficiente k 
Hormigón k = 1,15 
Cobre k = 1,10 
Latón k = 1,085 
Cuero k = 0,70 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el caso particular en que se toma k = 1, 0 se obtiene la ley de Hooke. Ciertos materiales 
presentan además la particularidad de tener un comportamiento diferente en compresión que a 
tracción, tal es el caso del hormigón. 
 
 
1.3.5. Diagramas ideales 
Los diagramas que hemos visto suelen no ser prácticos para trabajar con ellos, por lo que en 
determinadas circunstancias se los reemplaza por diagramas idealizados debidos a Prandtl, que resu-
men las características fundamentales de los tres tipos básicos de materiales. 
El diagrama ideal correspondiente a un material dúctil se compone de dos tramos rectos: uno 
inclinado, correspondiente al período elástico; el otro horizontal, materializando el período de fluen-
cia. El período de endurecimiento no interesa porque la deformación al final de la fluencia es tan sig-
nificativa que el material está en falla antes de llegar a la rotura. 
 
 
εF 
ε 
σ 
σF 
εR 
ε 
σ 
σR 
ε 
σ 
σF = σR 
 
 
Fig. 1.25.1: Diagrama ideal Fig. 1.25.2: Diagrama ideal Fig. 1.25.3: Diagrama ideal 
 para un material dúctil para un material frágil para un material plástico 
 
 
 
En los materiales frágiles el límite de proporcionalidad es muy próximo a la tensión de rotura, 
prescindiéndose entonces del tramo curvo. 
Para los materiales plásticos el diagrama es una recta horizontal, lo que significa que 
sometidos a una carga, se deforman indefinidamente sin incremento de tensión. 
 
 
 
 
 
σ
ε
hormigón
cuero
 
Fig. 1.24 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 14 
 
 
1.4. CONSTANTES ELÁSTICAS 
El comportamiento lineal elástico de los sólidos, permite determinar valores característicos o 
constantes elásticas, para cada material, agrupando entre ellos a los llamados módulos de elasticidad. 
 
1.4.1. Módulode elasticidad longitudinal (E) 
Consideremos una barra de longitud inicial L sometida a la acción de fuerzas axiales. Esta 
pieza por acción de la fuerza sufre un alargamiento ∆L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
La relación ∆L/L, deformación especifica unitaria, la identificamos con ε. Admitiendo para el 
material el cumplimiento de la ley de Hooke, la tensión 
Ω
P
=σ , será proporcional a la deformación ε. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La constante E, llamada módulo de elasticidad longitudinal, es también conocida como módulo 
de Young. Es la más importante de las cuatro constantes elásticas. 
 
 
1.4.2. Módulo de elasticidad transversal (G) 
Sea un paralelepípedo fijo en su parte inferior y de baja altura lo sometemos a una fuerza P en 
su cara superior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L ∆L 
P 
Ω 
P 
 
 
Fig. 1.26 
ε=σ
=
ε
σ
=α
 E
Etg (1.12) 
γ γ
Ω
 
Fig. 1.28: Distorsión 
α
σ
ε
 
Fig. 1.27 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 15 
 
 
La deformación que se produce, muy pequeña, es una distorsión (deformación angular); al 
ángulo lo llamamos γ. La tensión (coincidente con el plano de la sección) la designamos como τ, 
siendo: 
 
Ω
=τ
P
 (1.13) τ = tensión tangencial o tensión de corte 
 
De la misma forma que se grafica la relación 
σ- ε, puede hacerse con la de τ - γ. Para el caso del 
acero común la gráfica representativa, es similar a la ya 
vista para las tensiones normales. 
Dentro del campo lineal elástico, la constante 
que vincula la tensión tangencial con la deformación 
angular, es llamada módulo de elasticidad transversal 
(G). 
γ=τ
=
γ
τ
=β
G 
Gtg
 (1.14) 
 
Para el acero común τFl ≅ 0,57 σFl 
 
 
 
1.4.3. Módulo de elasticidad de volumen (K) 
Se define como el módulo de elasticidad de volumen (K), a la constante que permite obtener la 
deformación cúbica específica de un paralelepípedo elemental sometido a presión uniforme. 
Sea un paralelepípedo inicialmente de lados ∆x, ∆y, ∆z, sometidos a una presión hidrostática 
p; cada una de las aristas experimentará un acortamiento, lo cual se traduce en una variación de 
volumen ∆V = Vf - Vi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La deformación específica volumétrica está dada por: 
 
i
if
v V
VV −
=ε (1.15) 
 
Esta deformación se vincula a la presión actuante mediante una constante de proporcionalidad, 
el módulo K. 
v
 K p ε= (1.16) 
 
τ 
β 
γ 
τ F l 
Fig. 1.29: Diagrama Tensión – Distorsión angular 
∆
∆
∆
 
Fig. 1.30: Elemento diferencial 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 16 
 
 
Siendo εv adimensional, la unidad de K será (Kg/cm2). Este módulo de elasticidad volumétrica 
no es independiente de los dos vistos anteriormente. 
 
 
1.4.4. Coeficiente de Poisson 
Al someter a una barra a un esfuerzo axial, además de experimentar deformación según la 
dirección de la fuerza, el cuerpo también deforma en las direcciones normales a ella. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
a
;
L
L
tL
∆
=ε
∆
=ε 
 
Llamando con εL el alargamiento específico en dirección de la fuerza y ε t la deformación es-
pecífica transversal, se define como coeficiente de Poisson (o módulo de Poisson) a la relación entre: 
 
L
t
ε
ε
−=µ (1.17) 
o bien: 
t
L1m
ε
ε
−=
µ
= 
 
El valor de µ es función del material, aunque su variación es pequeña. En general para 
materiales isótropos, µ varía entre 0,25 y 0,33. 
En cualquier caso µ < 0,50 
 
 
Valores de Constantes Elásticas según el material 
 
Material E (t/cm2) µ 
Acero 
Cobre 
Bronce 
Hierro fundido 
Aluminio 
Madera (paralela a la fibra) 
Hormigón 
Mampostería de ladrillo 
Caucho 
Corcho 
2.000 a 2.100 
1.160 a 1.300 
1.100 
750 a 1600 
760 
80 a 120 
150 a 350 
< 120 
0.01 
- 
0.22 a 0.33 
0.31 a 0.34 
0.32 a 0.35 
0.23 a 0.27 
0.32 a 0.36 
- 
0.10 a 0.20 
- 
0.47 
≈ 0.00 
 
 
 
 
a 
P P 
L L + ∆ L 
a + ∆ a 
 
Fig. 1.31 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 17 
 
 
1.5. CONCEPTOS DE COEFICIENTES DE SEGURIDAD, DE TENSIÓN ADMISIBLE Y DE 
CARGA ADMISIBLE 
En el primer ítem de este capítulo hemos enunciado algunas de las causas que pueden provocar 
la falla de una pieza. Al realizar el dimensionamiento debemos crear seguridad contra todas las clases 
de falla posible, la cual puede producirse por coincidir varias circunstancias desfavorables, por e-jem-
plo, un crecimiento no previsto de las cargas que gravitan en las secciones, cuya resistencia se ha de-
bilitado por la existencia de vicios ocultos. 
La teoría de probabilidades nos enseña que no se puede lograr una seguridad absoluta, lo úni-
co que puede hacerse es mantener reducidas las probabilidades de falla. 
“La seguridad de una construcción siempre estará amenazada por incertidumbres, será satis-
factoria cuando las probabilidades de falla queden por debajo del valor considerado como admisible”. 
Existen numerosas causas de incertidumbres: 
§ Las hipótesis de cargas 
§ Las hipótesis de cálculo 
§ Los errores de cálculos 
§ Defectos del material 
§ Errores de las dimensiones 
§ Errores de ejecución 
 
El método de cálculo fundamental y más difundido de los Coeficientes de Seguridad es el ba-
sado en las tensiones. Según este método, el cálculo de la resistencia se realiza controlando el valor de 
la tensión máxima que se produce en cierto punto de una estructura. La tensión máxima de trabajo no 
debe superar cierto valor. 
 
ν
σ
≤σ L
máx
 (1.18) 
 
σL: cierto valor límite de la tensión para el material dado 
ν: un número mayor que la unidad denominado “coeficiente de seguridad” 
 
Para el caso de materiales dúctiles el valor límite σL es el límite de fluencia, en el caso de ma-
teriales frágiles σL es el límite de resistencia o tensión de rotura. La relación νσ /L recibe el nombre 
de “tensión admisible”. 
 
adm
L σ=
ν
σ
 (1.19) 
 
 
La elección del coeficiente de seguridad depende del mayor o menor grado de incertidumbre 
que exista en un problema, y se realiza basándose en toda una serie de criterios, en general probabi-
lísticos, que escapan a los alcances de este curso. Existen reglamentos que establecen los criterios de 
Dimensionamiento del coeficiente de seguridad, por ejemplo, la norma CIRSOC (SIREA). Para los 
casos más frecuentes ya existen valores establecidos de los coeficientes de seguridad. Podemos hacer 
referencia a disposiciones reglamentarias que tratan sobre construcciones de acero; indican valores 
que varían entre 1.25 y 1.60 según los recaudos constructivos, el destino de los edificios y los estados 
de carga considerados. Para estructuras de hormigón armado, los coeficientes de seguridad varían en-
tre 1,75 y 2,10. Para el caso de la madera, material que presenta muchas incertidumbres en cuanto a su 
comportamiento, los coeficientes de seguridad suelen ser bastantes más grandes. 
 
 
 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 18 
 
 
Una expresión que es usada con frecuencia para dar un concepto del coeficiente de seguridad, 
es que éste representa el incremento que debería tener el estado de cargas para producir el colapso de 
la pieza. Debemos señalar que si bien esto puede ser cierto, solamente lo será si los demás parámetros 
que intervienen en el problema están totalmente controlados, y no existe ninguna incertidumbre res-
pecto de ellos. 
En los materiales que tienen un período lineal elástico, la tensión admisible se encuentra en di-
cha zona, por lo tanto puede considerarse como valida la ley de Hooke, ya que la tensión de trabajo 
resulta menor o igual que la admisible. Para los materiales donde no existe un período elástico bien 
definido, también puede considerarse valida la ley de Hooke yaque para valores bajos de las tensio-
nes, el diagrama σ - ε se aproxima bastante a una recta. 
 
ν
σ
=σ F
adm
 
ν
σ
=σ 0,2
adm
 
ν
σ
=σ R
adm
 
 
Fig. 1.32: Tensiones admisibles en los distintos tipos de materiales 
 
Al criterio utilizado para determinar el valor del coeficiente de seguridad basado en relación de 
tensiones lo llamaremos criterio elástico. Además de este existe otro al cual lo llamaremos plástico. La 
denominación utilizada para identificar a cada criterio, está relacionada al método de cálculo 
empleado para establecer valores de solicitaciones en la estructura: es decir que un método de cálculo 
elástico, y método de cálculo plástico. 
 
El coeficiente de seguridad a través del criterio plástico se establece en base a relación de 
cargas. Entenderemos como máxima carga estructural, el límite del valor de carga que puede soportar 
una estructura sin dejar de cumplir satisfactoriamente los fines constructivos a que está destinada. En 
este caso el valor del coeficiente de seguridad viene dado por 
 
)P(P
P
) Admisible(Carga real Carga
lEstructura Carga Máxima
admtrab
rot
p
==ν 
 
En la materia nos referiremos al coeficiente ? que compara tensiones. 
 
 
1.5.1.1 Ejemplos de cálculo del Coeficiente de Seguridad. Interpretación del concepto de tensión 
 admisible .. 
 
Dimensionar las barras de la figura con secciones circulares macizas de acero común. 
Condición: Ω1 = Ω2. 
 
 
 
σ σ σ 
σFl 
σadm 
σ0,2 
σadm 
σR 
σadm 
ε ε ε 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 19 
 
 
α1 = 45º
P
B
C
α1
A
α2
P
X 2
C
X 1
D . C . L .
 
α2 = 30º 
P = 3 tn. 




==
υ
σ
=σ 2cmtn
Fl 40,1
71,1
40,2
37St Acero :Material
 
 
X1 = 1,53 tn 
X2 = 2,19 tn 
 
2
cm
t
adm
máx
nec
cm56,1
40,1
t 19,2X
2
==
σ
=Ω 
 
Tabla 
∅ Ω 
(mm) (cm2) 
10 0,78 
12 1,13 
16 2,01 
20 3,14 
 
De Tabla adopto una barra de ∅ 16 mm y de sección Ω = 2,01 cm2 
 
Tensión de trabajo. Coeficiente de seguridad del sistema: 
 
20,2 
20,2
09,1
40,2
 09,1
cm 2,01
 t19,2X
16,3
76,0
40,2
 76,0
cm 2,01
 t53,1X
Sistema
2T
Fl
2cm
t
2
2
2
2T
1T
Fl
1cm
t
2
1
1
1T
2
2
=ν









==
σ
σ
=ν⇒==
Ω
=σ
==
σ
σ
=ν⇒==
Ω
=σ
 
 
 
 Mediante el ejemplo anterior tratamos de diferenciar el concepto de tensión admisible, 
respecto del de tensión de trabajo o de servicio. En el primer caso se determina un valor de referencia, 
al cual se llega adoptando un coeficiente de seguridad (1,71), que como proyectistas lo estimamos 
razonable. En tanto los de tensión de trabajo corresponderían a los valores reales que tendría el 
sistema proyectado, de acuerdo al material utilizado. 
 
 
 
 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 20 
 
 
1.6. ENERGÍA POTENCIAL DE DEFORMACIÓN 
Vamos a analizar el proceso de deformación de un sólido elástico desde el punto de vista 
energético. Las fuerzas exteriores aplicadas al cuerpo elástico realizan cierto trabajo que designaremos 
W. Como resultado del trabajo realizado, en el cuerpo se acumula cierta energía potencial U del sólido 
deformado. Al mismo tiempo, parte del trabajo sirve para transmitir ciertas velocidades a la masa del 
sólido, es decir, se transforma en energía cinética K. El balance de la energía, en el supuesto que no 
haya pérdidas por fricción, calor, etc., es el siguiente: 
 
W = U + K (1.20) 
 
Si la carga se aplica lentamente, la velocidad del desplazamiento de las masas del cuerpo será 
pequeña, con lo que la energía cinética será despreciable, luego: 
 
W = U (1.21) 
 
Al descargar el cuerpo, debido a la 
energía potencial, se realiza cierto trabajo, el 
necesario para devolver al cuerpo su forma o-
riginal. En este sentido, un sólido es un a-cu-
mulador de energía, comportándose como un 
resorte. 
Si consideramos, por ejemplo, el caso 
de una barra traccionada mediante una fuerza 
que varía en forma estática, para un valor de 
carga P´ la misma tendrá un desplazamiento 
δ´. Si a partir de ese instante se realiza un in-
cremento de la carga, el alargamiento δ´ ten-
drá un incremento dδ´. La fuerza P realizará 
en consecuencia un trabajo, el que producirá 
un incremento de la energía de deformación 
acumulada. 
 
dW = dU = P' dδ ' + ½ dP' dδ ' 
 
Como el término ½ dP' dδ ' tiende a cero por ser infinitésimo de orden superior, podemos afir-
mar: 
 
dW = dU ≅ P´ dδ ’ (1.22) 
 
Para un determinado valor de P, la energía acumulada será: 
 
δ==δ= ∫
δ ∆
 P
2
1
OAB area ´d P´ U
O
 (1.23) 
 
Podemos ver que el trabajo de la fuerza se obtiene tomando la mitad del producto de la fuerza 
por el desplazamiento correspondiente. Si la relación entre fuerza y desplazamiento no es lineal, el 
coeficiente ½ es otro. Si la carga mantiene su valor constante desde el comienzo, el coeficiente se hace 
igual a la unidad. 
 
En algunas aplicaciones es de importancia la energía de deformación por unidad de volumen, 
también denominada “energía específica de deformación”. 
δ
d ` δ
δ
δ δ 
P
Ω
P
Fig. 1.33: Energía de deformación acumulada en una barra 
 ESTABILIDAD II CAPITULO I : INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
/2004 21 
 
 
 
∫
∫∫
∫
ε
εε
δ
εσ==
εσΩ=εΩσ=
Ωσ=ε=δδ=
O
OO
O
d 
Vol
U
u
d L d L U
PL d dd P U
 (1.24) 
 
 
Podemos ver que la energía de deformación por unidad de 
volumen resulta ser igual al área encerrada por el diagrama σ - ε. 
Si la tensión se encuentra dentro del período lineal elástico: 
 
2
2
E
2
1
E2
1
2
1
u ε=
σ
=σε= (1.25) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
dε` ε
εε`
σ
σ
σ`
 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 1 
 
 
2 
 
SOLICITACION NORMAL 
Y CORTE PURO 
 
 
2.1 SOLICITACION NORMAL 
 
2.1.1 Tracción y compresión, tensiones y deformaciones 
 
El problema que vamos a estudiar a continuación se refiere a las piezas que están sometidas 
exclusivamente a esfuerzos internos normales, de tracción o compresión. 
Si trazamos sobre la superficie de una barra 
prismática una red de líneas rectas, unas paralelas y 
otras perpendiculares al eje de la barra, y sometemos 
a la misma a una fuerza de tracción, observaremos 
que después de la deformación las rectas de la red 
permanecen ortogonales entre sí en toda la superficie, 
excepto en una zona pequeña próxima al punto de 
aplicación de la fuerza y de la que ahora prescind i-
remos, mientras que las distancias entre las rectas va-
rían. Las rectas horizontales se desplazan hacia abajo, 
permaneciendo rectas y horizontales. Es de suponer 
que en el interior de la barra tiene lugar el mismo fe-
nómeno, lo cual permite enunciar una hipótesis: 
“Las secciones transversales de las barra, que eran 
planas y perpendiculares a su eje antes de la defo r-
mación, permanecen planas y normales a éste des-
pués de ocurrir la deformación”. 
Esta hipótesis, que tiene suma importancia, se conoce 
como “hipótesis de las secciones planas o hipótesis 
de Bernoulli – Navier”, y los ensayos confirman las fórmulas que se basan en la misma. 
 Lo expuesto sobre las deformaciones nos permite suponer que en las secciones transversales 
de las barras actúan solamente tensiones normales, distribuidas uniformemente. Por razones de equi-
librio debe entonces ocurrir: 
 
∫ ∫
Ω Ω Ω
=σ→Ωσ=Ωσ=Ωσ=
P
 * d d P (2.1) 
 
Los ensayos también demuestran que al estirar la barra, su longitud aumenta,mientras que sus 
dimensiones transversales disminuyen. Cuando se trata de compresión, el fenómeno se invierte. Si 
consideramos que el material tiene un comportamiento elástico lineal podemos calcular analíticamen-
te el valor de δ. 
L
a b 
a ' b ' 
P δ
P 
 
Fig. 2.1 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 2 
 
E*
L*P
 
E*
L*P
 
E
L*
 
E
 L *
Ω
=δ
Ω
=
σ
=δ
σ
=εε=δ
 
 
Puede verse que el desplazamiento δ es directamente proporcional a la carga P aplicada y a la 
longitud inicial L de la barra. Así mismo, δ resulta inversamente proporcional al producto Ω *E, el 
cual se denomina “Rigidez Axial”. Efectivamente, este producto representa la oposición de la pieza a 
la deformación, para lo cual ésta emplea sus propiedades geométricas y mecánicas. 
Recordemos que no solo existe una deformación longitudinal sino que las dimensiones trans-
versales también varían, obteniéndose una deformación ε’. 
 
εµ−=ε . ' (2.3) 
 
La suposición anterior sobre la distribución uniforme de las tensiones internas en la sección 
transversal es valida siempre y cuando no se analicen las zonas próximas a la aplicación de la carga. 
Aquí se obra de acuerdo al principio de Saint- Venant ya enunciado, el que para el caso concreto de 
barras establece que la zona de perturbación influye en distancias no superiores a las dimensiones de 
la sección transversal. 
Es de hacer notar, también, que las fórmulas anteriores son válidas cualquiera sea el signo de 
σ, es decir, tanto para solicitaciones de tracción como de compresión. Sin embargo, para estas últ imas 
tiene sus limitaciones. En efectos, en los cuerpos sujetos a compresión la fórmula 2.1 pierde validez 
cuando la esbeltez de la pieza supera ciertos valores, a partir de los cuales se presenta un fenómeno 
denominado “pandeo”, cuyo estudio lo realizaremos en el capítulo 10. 
Conociendo la relación existente entre P y δ podemos obtener las siguientes expresiones para 
la energía de deformación: 
 
22 P 
E 
L
 
2
1
 
L
E 
 
2
1
 P 
2
1
 U
Ω
=δ
Ω
=δ= (2.4) 
 
2.1.2 Aplicaciones 
 
En los problemas de dimensionamiento deberán cumplirse dos condiciones básicas, las cuales 
surgen de despejar el área de la sección transversal, de las fórmulas anteriormente vistas. 








δ
σ
≥Ω
adm
adm
 E
L P
P
 (2.5) 
 
En los problemas de verificación deberán cumplirse, también, dos condiciones. 
 
admadm E 
L P
 
P
δ≤
Ω
σ≤
Ω
 (2.6) 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 3 
 
 
A continuación vamos a desarrollar un ejemplo, para el cual se desea dimensionar las barras 
del reticulado de la figura 2.2 
 
Para las barras 1 y 2 debe emplearse madera 
con: 
 
σadm = 80 kg/cm2 
δadm = L/300 
E = 100 t/cm2 
 
Para la barra 3 debe emplearse acero con: 
 
σadm = 2.400 kg/cm2 
δadm = L/500 
E = 2.100 kg/cm2 
 
- Barras 1-2 
 
2
trab
adm
nec
 2
2
adm
nec
kg/cm 73 
38.7
2830
 
P
 
B.C. cm 0.94 
300
283
 cm 0.2 
100*7.38
283*2.83
 
E 
L P
 cm 38.7 cm 2,54 1" siendo , 2"x 3" de escuadría una Adoptamos
cm 35.4 
80
2.83
 
P
 
 tn2.83 P
==
Ω
=σ
→=<=→δ≤
Ω
Ω>=Ω→=
==
σ
≥Ω
=
 
 
- Barra 3 
 
 kg/cm 1770 
1.13
2000
 
P
 
B.C. cm 0.8 
500
400
 cm 0.34 
2100*13.1
400*2
 
E 
L P
 cm 1.13 
12 1 Adoptamoscm 0.83 
2400
2000
 
P
 
 tn2 P
2
trab
nec
 2
2
adm
nec
==
Ω
=σ
→=<==
Ω
Ω>=Ω
φ→==
σ
≥Ω
=
 
 
 
4 t n
1 2
3
2 . 8 3 t n
2 t n4 m
2 t n
2 . 8 3 t n
2 t n
4 m
2m
 
Fig. 2.2 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 4 
 
 
En general, cuando existen varias condiciones de dimensionamiento se emplea una de ellas y 
se verifican las demás. Si alguna de éstas no es satisfecha se procede a redimensionar. 
Cuando se emplean las fórmulas 2.5, por razones de economía se trata de que se cumplan las 
igualdades, lo que no siempre es posible ya que debemos adoptar piezas cuyas secciones transversales 
existan comercialmente. 
Si en el ejemplo anterior quisiésemos saber el valor del descenso de la estructura en el punto 
de aplicación de la carga exterior de 4 tn, podríamos calcularlos mediante consideraciones energéti-
cas. En efecto, el trabajo que realiza esa fuerza se convierte en energía de deformación, la cual será 
igual a la suma de la energía absorbida por cada barra. 
 
cm 0.46 
2*
2.100*1.13
400
 *
2
1
 2*2.83* 
100*38.7
283
 *
2
1
 4 
2
1
P 
E
L
 
2
1
 P 
2
1
22
3
1i
2
i
ii
i
=δ
+




=δ
Ω
=δ ∑
=
 
 
Aunque el cálculo anterior parezca muy simple debemos señalar que pudo realizarse merced a 
que tenemos una sola carga exterior y además calculamos el corrimiento correspondiente a su punto 
de aplicación. Para casos mas generales deben aplicarse otros criterios de cálculo, los que no son tra-
tados en este curso. 
 
 
2.1.3 Influencia del peso propio en la solicitación axial 
 
En el estudio que realizamos en el primer ítem de este capítulo solo hemos tenido en cuenta 
las cargas exteriores, sin considerar el efecto que pudiera tener el peso propio de la estructura. Esto 
esta permitido cuando esta influencia es despreciable en relación a las tensiones originadas por las 
cargas exteriores. 
A continuación estudiaremos el caso de barra de sección constante sometida a una carga exte-
rior y a su propio peso. 
 
( ) x** P N x Ωγ+= (2.7) 
 
γ = peso específico del material 
( )
( )
( )
( )
L 
P
L 
L 
x 
P
 llamando
x 
P
 
N
adm
admo
admoLx max
ox
o
x
x
γ−σ
=Ω
γ−σ≤σ
σ≤γ+σ=σ
γ+σ=σ
Ω
=σ
γ+
Ω
=
Ω
=σ
=
 
P
 d x 
x
γ Ω x 
L
Fig. 2.3 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 5 
 
 
Esta última expresión nos permite establecer el límite de utilización de la barra de sección 
constante. En efecto, cuando σadm= γ*L, el denominador se anula y Ω adquiere un valor infinito. La 
longitud límite resulta ser: 
 
γ
σ
≤ adm
max
L (2.9) 
 
A partir de esta longitud es necesario recurrir a las barras de sección variable. Por otra parte, 
cuando las dimensiones de las barras son grandes y la influencia del peso propio es considerable, el 
proyectar la barra con sección constante es antieconómico. 
A continuación vamos a calcular el desplazamiento máximo producido cuando además de una 
carga exterior actúa el peso propio. 
Si a la distancia x del borde inferior de la figura 2.3 consideramos un elemento de longitud dx, 
el mismo tendrá aplicada una carga que viene dada por la ecuación 2.7, la cual le producirá un alar-
gamiento ∆x. 
( )
E 
L W
2
1
E 
L P
)barraladetotalpeso( WL L
E 2
L 
E 
L P
2E
L 
E 
L P
dxx
EE 
P
dxx
EE 
P
dx
E 
N
dx
E
dx
2L
0
L
0 x
x
x
Ω
+
Ω
=δ
=Ωγ
Ω
Ωγ
+
Ω
=δ
γ
+
Ω
=


 γ+
Ω
=∆=δ



 γ+
Ω
=
Ω
=
σ
=ε=∆
∫∫
 (2.10) 
 
De la última expresión se puede deducir que el alargamiento total resulta ser iguala la suma 
de dos términos, uno de ellos corresponde al alargamiento producido por la carga exterior y el otro 
corresponde a alargamiento debido el peso propio. Este último puede ser definido como el alarga-
miento de una barra ideal con su peso concentrado en la mitad de su longitud. 
En lo que sigue vamos a ver la forma geométrica que tendría que tener una barra sometida a 
carga exterior en su extremo y a su propio peso, para que fuese un sólido de igual resistencia, es decir, 
que la tensión fuese constante en todas las secciones. 
Supongamos que aislamos un elemento diferencial de longitud dx: 
 
 
dW 
Ω + dΩ 
Ω d x 
σ 
σ 
σ= cte = σ adm 
d W = γ Ω d x 
P 
dx Ω + dΩ 
Ω 
Ω o 
x 
Fig.2.4 
 
 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 6 
 
 
( )
( )
( )








σ
γ






σ
γ





 +
σ
γ
σ
=Ω
σ
==Ω→=
==Ω
+
σ
γ
=Ω→
σ
γ
=
Ω
Ω
=Ωγ−Ωσ
←=−Ωσ−Ω+Ωσ
x
adm
x
adm
C
0
x
C
cx
adme 
P
P
e 0x para
e e e)x(
cx ln integrado dx 
d
 0 dx d
equilibriopor 0Wdd
 (2.11) 
 
En la práctica, la ley exponencial de la ecuación última puede aproximarse como se indica el 
al figura 2.5. 
 
 
2.1.4 Deformaciones térmicas 
 
Los cambios de temperatura producen deformación en los materiales. En el caso de materiales 
homogéneos e isótropos, un cambio de ∆T grados origina una deformación lineal uniforme en todas 
las direcciones. 
Las deformaciones térmicas lineales se calculan mediante: 
 
 ∆l = α . l . ∆T 
 
donde α es el coeficiente de dilatación térmica lineal 
 
Material α (x 10-6/ºC) 
Aluminio 
Fundición 
Cobre 
Acero 
Hormigón 
23.2 
10.4 
16.7 
11.7 
10.8 
 
2.1.5 Problemas hiperestáticos en tracción y compresión 
 
Como ya sabemos, un sistema resulta hiperestático cuando la cantidad de grados de libertad 
(g) del mismo resulta menor que la cantidad de restricciones de vínculo (r) impuestas; las que, por o-
tro lado, no configuran ningún caso crítico. 
 
 g < r ∉ caso crítico 
 
La definición anterior nos permite dar un concepto de los sistemas hiperestáticos a través de 
consideraciones cinemáticas. Desde el punto de vista estático, la condición de hiperestaticidad viene 
dada por el hecho de que la cantidad de ecuaciones (E) que surgen de los planteos de equilibrio de la 
Estática es menor que la cantidad de incógnitas reactivas planteadas (I). 
 
E < I 
Fig. 2.5 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 7 
 
 
Para poder resolver estas estructuras es necesario agregar a las ecuaciones mencionadas, (I - 
E) ecuaciones de compatibilidad. Estas reciben este nombre precisamente porque tratan de expresar la 
compatibilidad entre las deformaciones y la vinculación existente, que como hemos dicho, resulta su-
perabundante. 
A continuación vamos a tratar algunos ejemplos simples donde solamente se involucran de-
formaciones por esfuerzos normales. 
 
a) Ejemplo 1 
En este caso deseamos calcular las solicitaciones 
en las barras 1 y 2 de la figura 2.6. A la barra horizontal la 
suponemos perfectamente rígida. 
Si planteamos las ecuaciones de equilibrio de la 
barra rígida tendremos: 
 
∑
∑
∑
=−+→=
=−++→=
=→=
0aPaRaR 0M
0PVRR 0y
0H 0x
2211A
A21
A
 
 
De estas tres ecuaciones podemos observar que la 
primera se cumplen con la nulidad del esfuerzo horizontal 
HA, lo cual es obvio, y que las dos ecuaciones restantes no 
son suficientes para determinar las tres incógnitas faltantes. 
Para poder calcularlas necesitamos una ecuación adicional, la cual puede obtenerse si imagi-
namos la forma en que se deformará el sistema. En efecto, teniendo en cuenta que la barra inferior es 
rígida podemos establecer: 
 
222
22
111
11
22
22
C
11
11
B
1
B
2
c
Ea
lR
 
Ea
lR
E
lR
 
E
lR
 
aa
Ω
=
Ω
Ω
=δ
Ω
=δ
δ
=
δ
 
 
Luego, resolviendo el siguiente sistema, pueden obtenerse las tres incógnitas restantes. 
 
222
22
111
11
2211
A21
aE
lR
aE
lR
0aPaRaR 
0PVRR 
Ω
=
Ω
=−+
=−++
 
 
Para determinar los corrimientos en los puntos B y C, hemos supuesto que las barras 1 y 2 se 
encuentran en el período elástico en el que tiene validez la ley de Hooke. Luego de calculadas las in 
 
Pa
1
C
2
B
a1
a2
l1
l2
P
R2R1HA
δCδB
VA
 
Fig. 2.6 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 8 
 
 
cógnitas deberá verificarse si esto es cierto, en caso contrario deberá tenerse en cuenta la expresión 
que verdaderamente corresponda para los corrimientos. 
Una observación importante a tener presente es que para poder plantear numéricamente la 
ecuación de compatibilidad, las barras tendrán que estar predimensionadas. Esta es una característica 
sumamente importante de las estructuras hiperestáticas, donde las solicitaciones dependen de sus ca-
racterísticas mecánicas y geométricas. Por esta razón el proceso de dimensionamiento suele ser itera-
tivo. 
 
b) Ejemplo 2 
Deseamos determinar las relaciones de vínculo de la es-
tructura del esquema de la figura 2.7. 
Para resolver este problema en primera instancia vamos a con-
siderar que el vínculo superior no existe. 
 
21
o
A
PPR += 
 
Como el extremo B se encuentra libre, en corresponden-
cia con el mismo existirá un corrimiento: 
 
( )
E 
cPcbP
21o
B Ω
++
=δ 
 
Dado que en la realidad en B tenemos un empotramiento, el desplazamiento en dicho lugar 
deberá ser nulo. Para producir esto es que el vínculo genera una reacción RB de manera tal de anular 
el desplazamiento total. 
 
( )
( )
l
cPcbP
PP R RR
RRR
l
cPcbP
R 
E 
lR
 0
21
21A
1
AB
1
A
o
AA
21
B
B1
B
o
B
1
B
1
B
o
BB
++
−+=→=
−=
++
=→
Ω
=δ
δ−δ→=δ−δ=δ
 
 
c) Ejemplo 3 
Queremos calcular las tensiones produc idas en las 
barras 1 y 2 cuando existe un incremento de temperatura 
∆t. 
En primera instancia supongamos que hemos 
eliminado el vínculo en B, con lo que a raíz del incre-
mento de la temperatura el punto B tiene un desplaza-
miento: 
 
t2t1
bal ∆α+∆α=∆ 
P1
P2
P2
P1
l b
a
c
RA
δ B δ B
RA
1
1
RB
 
a b
A B21
 
Fig. 2.8 
Fig. 2.7 
Fig. 2.9 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 9 
 
 
Sin el vínculo en B la estructura resulta isostática, lo que significa que la dilatación térmica no 
genera solicitaciones. Ahora bien, debido a que el punto B no puede desplazarse, aparece una fuerza 
reactiva que tiende a anular el desplazamiento. 
 
2
2
1
1
BA
1122
B
11
B
22
B
BB
R
 ; 
R
)equilibrio de razones(por R RR
E
a
E
b
l
R 
E
aR
E
bR
 l
Ω
=σ
Ω
=σ
==








Ω
+
Ω
∆
=→
Ω
+
Ω
=δ∆=δ
 
 
d) Ejemplo 4 
Deseamos determinar las tensiones origina-
das en la columna del esquema de la figura 2.10. La 
misma esta formada por dos materiales distintos, y 
la placa superior es infinitamente rígida. Planteando 
las ecuaciones de equilibriotendremos: 
 
P PP 
21
=+ 
 
Dónde P1 Y P2 son las fuerzas que deben 
absorber el material 1 y 2 respectivamente. Como 
la placa superior es infinitamente rígida, el despla-
zamiento será igual para ambos materiales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fig. 2.11 
 
l 
1
2
P
 
Fig. 2.10 
( )
( )
( )
( ) ( ) 1
122
2
2
11
1
1
2
112
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
22
2
11
1
21
 
 1
P 
 1
P P
1
P P
1
P 
P 
1
P
P P..nP
)geométrica cuantía( y 
E
E
 llamando
P
E
E
P 
E
lP
E
lP
 
ση=
Ωηϕ+
η
=
Ωηϕ+
ηϕ
=
Ω
=σ
Ωηϕ+
=
Ω
=σ
ηϕ+
ηϕ
=
ηϕ+
=→ϕ=
Ω
Ω
=ϕ=η
Ω
Ω
=→
Ω
=
Ω
→δ=δ
ε ε
σ
σ
 1 
σ 
 2 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 10 
 
 
 
2.2 ENVOLVENTES CILÍNDRICAS DE PEQUEÑO ESPESOR 
 
Consideremos un tubo de longitud indefinida de radio interior r, de espesor de pared e (peque-
ño en relación con r), y sometido a una diferencia de presión, p, entre el interior y el exterior. 
 
10 
e
r
≥ (2.12) 
 
En un punto cualquiera del espesor de la pared se ori-
ginan dos tensiones normales, una radial σr y otra circunferen-
cial σc. Ambas tensiones varían a lo largo del espesor e de la 
pared según leyes determinadas. 
 
La tensión σc varía entre el borde interno de la pared y 
el externo, pero por ser el espesor e muy pequeño en relación 
al radio, esta variación no es muy importante, pudiéndose ad-
mitir una distribución uniforme. La tensión σr alcanza en el 
borde interno el valor de pi, y de pe en el borde exterior; y 
siendo que σc resulta mucho más grande que p, las tensiones 
σr pueden ser despreciadas sin cometer mayor error. 
Para deducir el valor que adquiere σc consideremos el 
equilibrio de una faja de envolvente de largo unitario y que de-
sa-rrolla un arco ds. 
 
e
r p
 0dr p
2
d
 e 2
dr pds pRp 1eRc 
2
d
2
d
 sen 
0Rp 
2
d
 sen Rc 2 0y
0
2
d
 cos Rc
2
d
 cos Rc 0x
dr ds
cc
c
=σ→=θ−
θ
σ
θ==σ=
θ
≅
θ
=−
θ
→=
=
θ
−
θ
→=
θ=
∑
∑
 (2.13) 
 
De acuerdo con la ley de Hooke, la deformación específica circunferencial será: 
 
e E
r p
E
c
c
=
σ
=ε (2.14) 
 
El aumento de longitud del desarrollo de la sección del conducto será: 
 
c
r 2 s επ=∆ 
 
Fig. 2.12 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 11 
 
 
A este aumento de longitud de circunferencia corresponde un aumento del radio: 
 
c
r 
2
s
r ε=
π
∆
=∆ 
 
Con lo que la correspondiente deformación específica radial será: 
 
 
r
r 
r
r
crc
c
r
ε=ε→ε=
ε
=
∆
=ε (2.15) 
 
Si el cilindro se encuentra cerrado en sus 
extremos, las expresiones anteriores serán válidas 
para secciones alejadas de los extremos, de acuer-
do con el principio de Saint-Venant. La existencia 
de cierres extremos origina además tensiones lon-
gitudinales σL, uniformemente distribuida sobre el 
área de la sección transversal del conducto. 
La fuerza resultante sobre los extremos es: 
 
2r p R π= 
 
El área de la sección transversal del con-
ducto puede tomarse aproximadamente como: 
 
er 2 π=Ω 
Luego: 
2e2
rp
er2
r p c
2
L
σ
==
π
π
=σ (2.16) 
 
Como consecuencia de la tracción longitu-
dinal, el radio sufre una contracción debido al co-
eficiente de Poisson: 
 
2
c
L
Lcr
ε
=ε
εµ−ε=ε
 
cr 2
1 ε




 µ−=ε (2.17) 
 
 
Recientemente hemos estudiado el problema relativo a tubo de paredes delgadas para lo cual 
hemos hecho algunas hipótesis simplificativas. Cuando el espesor de los tubos aumentan ya no es po-
sible ignorar las tensiones radiales σr, y además es necesario considerar la verdadera ley de variación 
para las tensiones circunferenciales σc. El estudio de los tubos de paredes gruesas puede encararse a 
través de los desarrollos realizados por Lamé, y puede consultarse la bibliografía que se sita al final 
del último capítulo. 
 
 
 
p
pp p
RR
σL σL σL 
σc 
σc 
 
Fig. 2.13 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 12 
 
Q
 
2.3 SOLICITACIÓN POR CORTE PURO 
 
2.3.1 Conceptos generales 
 
Según hemos visto en el capítulo I al definir tensión, el 
vector tensión total puede descomponerse en un vector normal a 
la sección y en uno yacente en la misma, al cual denominaremos 
“tensión tangencial”. 
Así como ya vimos algunos problemas en los que se in-
volucró la presencia de tensiones normales, ahora vamos a tratar 
otros donde solamente aparecen tensiones tangenciales. 
El problema de corte puro se presenta cuando en una sec-
ción de una pieza actúa exclusivamente un esfuerzo de corte. En 
este caso puede suponerse que solamente se desarrollan tensio-
nes tangenciales, y que las mismas se distribuyen uniformemen-
te. Luego, por razones de equilibrio deberá ocurrir: 
 
Ω
=τ→Ωτ=Ωτ=Ωτ= ∫∫ ΩΩ
Q
 dd Q (2.18) 
 
Antes de continuar debemos aclarar que la hipótesis anterior es correcta en cuanto a suponer 
que el esfuerzo de corte genera tensiones tangenciales; sin embargo, la suposición de que estas son 
constantes es irreal; por lo que la fórmula 2.18 debe 
solo considerarse como representativa del valor me-
dio de las tensiones tangenciales. 
Las hipótesis anteriores son aceptadas en 
algunos casos como veremos a continuación, para 
facilitar el cálculo, ya que el estado tensional real 
suele ser muy complicado. Por otro lado, la aproxi-
mación introducida debe ser tenida en cuenta en la 
elección del adecuado coeficiente de seguridad. 
 
 
 
 
 
En los siguientes casos podemos admi-
tir esfuerzos de corte puro: 
 
 
- Vigas de muy pequeña luz donde la rotura 
se produce por corte puro, ya que el efecto 
de flexión es despreciable (fig. 2.16). 
- El corte en una plancha metálica mediante 
el empleo de una cizalla. 
- Punzonamiento, por ejemplo, la perfora-
ción de hojas. 
- Uniones con remaches, bulones, soldadu-
ra, pernos, etc. 
 
 
Fig. 2.14 
Fig. 2.15 
Fig. 2.16 
ρ 
σ 
d Ω 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 13 
 
Fig. 2.18 
γ
γ
 
2.3.2 Deformación por corte, energía de deformación 
 
Si en una pieza que está sometida a un esfuerzo de 
corte puro consideramos una tajada de longitud ∆l, compro- 
baremos que las dos secciones que la definen se desplazan 
una distancia ∆h, como consecuencia del esfuerzo Q. 
 
l
h
 tg
∆
∆
=γ≅γ (2.19) 
 
El ángulo γ se denomina “ deformación angular o 
ángulo de distorsión ”. 
Los ensayos demuestran que en el caso de muchos materiales, hasta ciertos límites de solicita-
ción, se verifica una relación lineal entre las tensiones tangenciales y las deformaciones angulares. 
Esta relación puede expresarse de la siguiente manera: 
 
γ=τ G (2.20) 
 
Dónde G recibe el nombre de módulo de elasticidad transversal. La ley anterior resulta ser la 
ley de Hooke para el caso de tensiones tangenciales. Los valores de G dependen del material. 
 
Acero G ≅ 810 tn/cm2 
HormigónG ≅ 83 tn/cm2 
 
El valor de la tensión tangencial admisible (τadm) no es único para cada material, sino que de-
pende de varios factores: 
 
- De la forma en que se manifiesta el esfuerzo de corte dentro de la pieza. 
- De si está combinado o no con otras solicitaciones 
- Del tipo de elemento de que se trate. 
 
En cuanto a la energía especifica de deformación, podemos decir que, en forma análoga a lo 
estudiado para el caso de tensiones normales, la misma puede calcularse como el área que encierra el 
diagrama τ - γ. 
 
Si el material se encuentra en el período elástico lineal, tenemos: 
 
2
2
G 
2
1
G2
1
2
1
u γ=
τ
=γτ= (2.21) 
 
 
Si deseamos obtener el valor de la energía de deformación debemos 
multiplicar estas expresiones por el volumen del elemento. 
 
h Q
2
1
 l) ( ) (
2
1
 l 
2
1
 l u dv u ∆=∆γΩτ=∆Ωγτ=∆Ω= 
 
 
l
hG 
2
1
G 
lQ
2
1
h Q 
2
1
U
22
∆
∆Ω
=
Ω
∆
=∆= (2.22) 
Fig. 2.17 
Q 
Q 
∆ h 
∆ l 
 γ 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 14 
 
 
2.3.3 Aplicaciones al cálculo de elementos de unión 
 
a) Ejemplo 1 
Dimensionamiento de la chaveta de unión entre un 
eje y una polea 
 
adm
adm
Q
 b a 
b a
Q
τ
≥→τ≤=τ 
 
Consideremos que el motor que mueve al eje tiene 
una potencia P, y que el eje gira a una velocidad angular ω, 
el momento tordente originado se calcula como: 
 
ω
=
P
M
T
 
 
Al querer arrastrar el eje a la polea, el momento tor-
dente produce un esfuerzo de corte Q en el plano medio de 
la chaveta. 
Por equilibrio: 
r 
P
r
M
Q T
ω
== 
adm
 r 
P
 b a
τω
≥ 
 
Adoptamos una de las dos medidas, a o b, se puede obtener la otra. 
 
b) Ejemplo 2 
Dimensionamiento de la unión del 
esquema mediante remaches o bulones. 
Si llamamos n a la cantidad de bulones a co-
locar: 
adm
2
adm2
1
1
P
4
d 
n 
4
d 
n
PP
n
P
P
τ
≥
π
→τ≤
π
=
Ω
=τ
=
 
Eligiendo el diámetro d puede determinarse la cantidad n de bulones, o viceversa. Luego de e-
legidos los bulones, dado que tenemos un esfuerzo de tracción, deberá verificarse: 
 
( )
 
d-a e
PP
adm
neta
σ≤=
Ω
=σ 
 
En cuanto a la cantidad de bulones o remaches y diámetro a adoptar existen condiciones regla-
mentarias a respetar, pero el estudio de las mismas escapa a los alcances de este curso. Por otro lado, 
las verificaciones que hemos hecho no son las únicas que deben realizarse para completar el cálculo. 
 
r
a
b
Q
Q
 
Fig. 2.19 
PP
e
e
P Pa
Fig. 2.20 
ESTABILIDAD II CAPITULO II: SOLICITACIÓN NORMAL Y CORTE PURO 
/2005 15 
 
 
c) Ejemplo 3 
En la figura 2.21 está representada una junta soldada de dos planchuelas, unidas por cordones 
de soldadura. Se trata de soldaduras en ángulo compuestas por dos cordones laterales y dos frontales. 
 
 
Al calcular las soldaduras en ángulo, se considera que la sección peligrosa de la costura co-
incide con el plano de la bisectriz del ángulo recto ABC. Así pues, el área de la sección peligrosa de 
una costura frontal es: b x 0.7 k y el de una costura lateral es: l x 0.7 k, siendo k el cateto de la costu-
ra. 
En el plano representado en la figura, el cateto es igual al espesor de las planchas. Las tensio-
nes tangenciales se consideran distribuidas uniformemente en el área de la sección peligrosa. Tenien-
do en cuenta esta hipótesis, la carga admisible correspondiente a la costura serán: 
 
Tadm frontal = (b 0.7 k).τadm. 
Tadm lateral = (L.0.7 k).τadm. 
 
Es obvio que para conseguir una junta resistente, será necesario que la resistencia total admi-
sible de la costura no sea inferior a la fuerza que actúa sobre la junta. Es decir: 
 
(2 Tadm frontal + 2 Tadm lat.) ≥ P 
 
Con los ejemplos anteriores se ha pretendido hacer una ejercitación del problema de corte pu-
ro. Oportunamente en otras asignaturas se profundizará el estudio para los tipos de uniones más fre-
cuentes. 
 
Fig. 2.21 
ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 
 
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3 
 
ELEMENTOS DE LA TEORIA DE 
TENSIONES Y DEFORMACIONES 
 
3.1 DEFINICION DE LOS ESTADOS TRIPLES, DOBLES Y SIMPLES DE TENSIONES 
 
Consideremos el caso de un sólido en equilibrio 
bajo la acción de cargas exteriores y aislemos del interior 
del cuerpo un cubo elemental de aristas dx, dy y dz, de 
manera que las cargas pueden orientarse según el siste-
ma de referencia. 
Sobre cada una de las caras existirá un vector ten-
sión total de manera tal que el cubo elemental se encuen-
tre en equilibrio. Estos vectores pueden proyectarse se-
gún los ejes de referencia de manera que en cada una de 
las seis caras tendremos en general una tensión normal y 
dos tensiones tangenciales perpendiculares entre si. Un 
estado de tensiones de estas características se dice que es 
un “estado triple o espacial”. 
En determinadas circunstancias las cargas actuan-
tes sobre el cuerpo hacen que las tensiones sobre el cubo 
elemental queden ubicadas dentro de un plano. Este esta-
do se denomina “doble o plano”. 
Cuando los vectores tensión son paralelos a un 
eje, el estado se denomina “simple o lineal”. 
En realidad, la definición de un estado como sim-
ple, doble o triple no solo depende de estado de cargas 
actuante sino de la orientación del cubo elemental. Como 
veremos mas adelante, el estado simple puede pasar a ser 
un estado doble si el elemento diferencial tiene una rota-
ción, inclusive puede convertirse en un estado triple. El 
proceso al revés no siempre es factible. Es decir, si tene-
mos un estado doble, por ejemplo, es probable que no en-
contremos, por rotación del elemento, una posición para 
el cual el estado sea lineal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTABILIDAD II CAPITULO III: ELEMENTOS DE LA TEORIA DE TENSIONES Y DEFORMACIONES 
 
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Para poder entendernos con claridad al referirnos a las tensiones, vamos a establecer ciertas 
convenciones: 
σi : el subíndice i indicará al eje respecto del cual las tens iones normales son paralelas ( σx, σy, σz ). 
Serán positivas cuando produzcan tracción. 
τij : el subíndice i indicará el vector normal al plano donde actúan las tensiones tangenciales, y el sub-
índice j indicará el eje al que resultan paralelas ( τxy, τxz, τyz, τyx, τzx, τzy ). 
 
Tanto las tensiones normales como la tangenciales varían punto a punto en el interior de un 
cuerpo, por lo tanto, debemos tener presente que las tensiones quedan expresadas como funciones: 
 
 σ = σ(x,y,z) τ = τ(x,y,z) 
 
 
3.2 EQUILIBRIO DE UN PRISMA ELEMENTAL 
 
Consideremos, como en la figura 3.3, un punto A correspondiente a un sólido sujeto a tensio-
nes, punto que hacemos coincidir con el origen de coordenadas; y tres planos perpendiculares que pa-
san por el punto, coincidentes con los planos coordenados. Supongamos además un segundo punto B 
del mismo sólido, de coordenadas dx, dy y dz.. 
 Admitiremos que las funciones que definen las tensiones en los puntos del sólido son cont i-
nuas y derivables. Las tensiones que